离散序列傅里叶变换习题
离散序列傅里叶变换习题
1、 试求以下各序列的时间傅里叶变换 (1)1()(3)x n n δ=- (2)211()(1)()(1)22x n n n n δδδ=+++- (3)3()(),01nx n a u n a =<<(4)4()(3)(4)x n u n u n =+--2、 设()j X e ω就是序列()x n 的离散时间傅里叶变换,利用离散时间傅里叶变换的定义与性质,求下列各序列的离散时间傅里叶变换。
(1)()()(1)g n x n x n =-- (2)()*()g n x n = (3)()*()g n x n =- (4)()(2)g n x n = (5)()()g n nx n = (6)2()()g n x n =(7)(),()20,n x n g n n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数3、 试求以下各序列的时间傅里叶变换(1)1()(),||1nx n a u n a =< (2)2()(),||1nx n a u n a =->(3)||3,||()0,n a n M x n n ⎧≤=⎨⎩为其他(4)4()(3),||1nx n a u n a =+<(5)501()()(3)4n m x n n m δ∞==-∑ (6)6sin(/3)sin(/4)()n n x n n n ππππ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦4、 设()x n 就是一有限长序列,已知1,2,0,3,2,1,0,1,2,3,4,5()0,n x n n --=⎧=⎨⎩为其他它的离散傅里叶变换为()j X e ω。
不具体计算()j X e ω,试直接确定下列表达式的值。
(1)0()j X e (2)()j X e π (3)()j X e d πωπω-⎰ (4)2|()|j X e d πωπω-⎰(5)2()||j dX e d d ωππωω-⎰ 5、 试求以下各序列的时间傅里叶变换(1)11,||()0,n N x n n ≤⎧=⎨⎩为其他(2)21||/,||()0,n N n N x n n -≤⎧=⎨⎩为其他(3)3cos(),||()20,n n N x n Nn π⎧≤⎪=⎨⎪⎩为其他6、证明:若()j X e ω就是序列()x n 的离散时间傅里叶变换,而1(),()0,nnx x n kk⎧⎪=⎨⎪⎩为整数其他则1()()j j X e X e ωω=。
第三章 离散傅立叶变换
第三章 离散傅立叶变换一、离散傅立叶级数计算题：1．如果)(~n x 是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为2N 的周期序列。
把)(~n x 看作周期为N 的周期序列有)(~)(~1k X n x ↔（周期为N ）；把)(~n x 看作周期为2N 的周期序列有)(~)(~2k X n x ↔（周期为2N ）；试用）（k X 1~表示）（k X 2~。
二、离散傅立叶变换定义填空题2．某DFT 的表达式是∑-==10)()(N k kl M Wk x l X ，则变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是（ ）。
3．某序列DFT 的表达式是∑-==10)()(N k kl M W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度是（ ），变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（ ）。
4．如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件（ ）。
5．采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1-z 代表的物理意义是 ），其中时域数字序列)(n x 的序号n 代表的样值实际位置是（ ）；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际位置又是（ ）。
6．用8kHz 的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的DFT 。
则频域抽样点之间的频率间隔f ∆为_______,数字角频率间隔w ∆为 _______和模拟角频率间隔∆Ω ______。
判断说明题：7．一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT 对它进行分析。
（ ）计算题8．令)(k X 表示N 点的序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换，)(k X 本身也是一个N 点的序列。
如果计算)(k X 的离散傅里叶变换得到一序列)(1n x ，试用)(n x 求)(1n x 。
9．序列}{0,0,1,1)(=n x ，其4点DFT )(k x 如下图所示。
现将)(n x 按下列（1），（2），（3）的方法扩展成8点，求它们8点的DFT ？（尽量利用DFT 的特性）（1）⎩⎨⎧-=)4()()(1n x n x n y 7~43~0==n n（2）⎩⎨⎧=0)()(2n x n y 7~43~0==n n（3）⎪⎩⎪⎨⎧=0)2()(3n x n y 奇数偶数==n n 10．设)(n x 是一个2N 点的序列，具有如下性质：)()(n x N n x =+另设)()()(1n R n x n x N =，它的N 点DFT 为)(1k X ，求)(n x 的2N 点DFT )(k X 和)(1k X 的关系。
(完整版)第三章离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考
第三章 离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考3.1 图P3.1所示的序列()x n %是周期为4的周期性序列。
请确定其傅里叶级数的系数()Xk %。
解：(1)11*0()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑%%%%%%3.2 （1）设()x n %为实周期序列，证明()x n %的傅里叶级数()Xk %是共轭对称的，即*()()X k X k =-%。
（2）证明当()x n %为实偶函数时，()Xk %也是实偶函数。
证明：（1）1011**()()()[()]()()N nk Nn N N nk nkNNn n X k x n W X k x n Wx n WX k --=---==-=-===∑∑∑%%%%%%（2）因()x n %为实函数，故由（1）知有 *()()Xk X k =-%或*()()X k X k -=% 又因()x n %为偶函数，即()()xn x n =-%%，所以有(1)11*0()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑%%%%%%3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号()x n %。
利用DFS 的特性及3.2题的结果，不直接计算其傅里叶级数的系数()Xk %，确定以下式子是否正确。
（1）()(10)Xk X k =+%%，对于所有的k ； （2）()()Xk X k =-%%，对于所有的k ； （3）(0)0X=%；（4）25 ()jkX k eπ%，对所有的k是实函数。
解：（1）正确。
因为()x n%一个周期为N＝10的周期序列，故()X k%也是一个周期为N＝10的周期序列。
（2）不正确。
因为()x n%一个实数周期序列，由例3.2中的（1）知，()X k%是共轭对称的，即应有*()()X k X k=-%，这里()X k%不一定是实数序列。
dft习题及答案
dft习题及答案DFT习题及答案离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是数字信号处理中的重要概念，它可以将时域信号转换为频域信号，从而帮助我们分析信号的频谱特性。
在学习DFT的过程中，练习习题是非常重要的，下面我们就来看一些常见的DFT习题及答案。
1. 问题：计算长度为N的序列x[n]的DFT，其中x[n] = {1, 2, 3, 4}，N=4。
答案：首先，根据DFT的定义公式可以得到：X[k] = Σn=0到N-1 x[n] * e^(-j2πnk/N)将x[n]代入公式中，可以得到：X[0] = 1 + 2 + 3 + 4 = 10X[1] = 1 + 2e^(-jπ/2) + 3e^(-jπ) + 4e^(-j3π/2) = 1 - 2j - 3 - 4j = -2 - 6jX[2] = 1 + 2e^(-jπ) + 3e^(-j2π) + 4e^(-j3π) = 1 - 2 - 3 + 4 = 0X[3] = 1 + 2e^(-j3π/2) + 3e^(-j3π) + 4e^(-j9π/2) = 1 + 2j - 3 - 4j = -2 + 2j因此，序列x[n]的DFT为X[k] = {10, -2-6j, 0, -2+2j}。
2. 问题：给定一个长度为N的序列x[n]，求其幅度谱和相位谱。
答案：幅度谱和相位谱可以通过DFT的结果来计算。
幅度谱的计算公式为|X[k]| = sqrt(Re(X[k])^2 + Im(X[k])^2)，相位谱的计算公式为∠X[k] =arctan(Im(X[k])/Re(X[k])。
通过计算DFT得到的结果X[k]，可以分别计算出每个频率点的幅度和相位，从而得到幅度谱和相位谱。
3. 问题：给定一个长度为N的序列x[n]，求其逆DFT。
答案：逆DFT的计算公式为x[n] = (1/N) * Σk=0到N-1 X[k] * e^(j2πnk/N)。
(完整word版)离散傅里叶变换(DFT)试题汇总
第一章离散傅里叶变换（DFT ）3.1 填空题（1） 某序列的DFT 表达式为∑-==1)()(N n knM W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长度为 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 。
解：N ；Mπ2 （2）某序列DFT 的表达式是∑-==10)()(N k klM W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度是 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是 。
解： NM π2（3）如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件 。
解：纯实数、偶对称（4）线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为252)1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统的极点为 ；系统的稳定性为 。
系统单位冲激响应)(n h 的初值为 ；终值)(∞h 。
解： 2,2121-=-=z z ；不稳定 ；4)0(=h ；不存在 (5) 采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1-z 代表的物理意义是 ，其中时域数字序列)(n x 的序号n 代表的样值实际位置是 ；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际位置又是 。
解：延时一个采样周期F T 1=，F n nT =，k Nk πω2=（6）已知}{}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x ，则][n x 和][n h 的5点循环卷积为 。
解：{}]3[]2[][][][][---+⊗=⊗k k k k x k h k x δδδ{}4,3,2,1,0;2,3,3,1,0])3[(])2[(][55==---+=k k x k x k x（7）已知}{}{3,2,1,0;1,1,2,4][,3,2,1,0;2,0,2,3][=--===k n h k n x 则][][n h n x 和的4点循环卷积为 。
离散序列傅里叶变换习题教学教材
1、 2、 11、试求以下各序列的时间傅里叶变换（1）1()(3)x n n δ=-（2）211()(1)()(1)22x n n n n δδδ=+++- （3）3()(),01nx n a u n a =<<（4）4()(3)(4)x n u n u n =+-- 12、设()j X e ω是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，利用离散时间傅里叶变换的定义与性质，求下列各序列的离散时间傅里叶变换。
（1）()()(1)g n x n x n =-- （2）()*()g n x n = （3）()*()g n x n =- （4）()(2)g n x n = （5）()()g n nx n = （6）2()()g n x n =（7）(),()20,n x n g n n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数13、试求以下各序列的时间傅里叶变换（1）1()(),||1nx n a u n a =< （2）2()(),||1nx n a u n a =->（3）||3,||()0,n a n M x n n ⎧≤=⎨⎩为其他（4）4()(3),||1nx n a u n a =+<（5）501()()(3)4nm x n n m δ∞==-∑（6）6sin(/3)sin(/4)()n n x n n n ππππ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦14、设()x n 是一有限长序列，已知1,2,0,3,2,1,0,1,2,3,4,5()0,n x n n --=⎧=⎨⎩为其他它的离散傅里叶变换为()j X e ω。
不具体计算()j X e ω，试直接确定下列表达式的值。
（1）0()j X e （2）()j X e π （3）()j X e d πωπω-⎰（4）2|()|j X ed πωπω-⎰（5）2()||j dX e d d ωππωω-⎰ 15、 试求以下各序列的时间傅里叶变换（1）11,||()0,n N x n n ≤⎧=⎨⎩为其他（2）21||/,||()0,n N n N x n n -≤⎧=⎨⎩为其他（3）3cos(),||()20,n n N x n Nn π⎧≤⎪=⎨⎪⎩为其他6、证明：若()j X e ω是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，而1(),()0,n nx x n kk⎧⎪=⎨⎪⎩为整数其他则1()()j j X e X e ωω=。
数字信号处理—原理、实现及应用(第4版)第3章 离散傅里叶变换及其快速算法 学习要点及习题答案
·54· 第3章 离散傅里叶变换（DFT ）及其快速算法（FFT ）3.1 引 言本章是全书的重点，更是学习数字信号处理技术的重点内容。
因为DFT （FFT ）在数字信号处理这门学科中起着不一般的作用，它使数字信号处理不仅可以在时域也可以在频域进行处理，使处理方法更加灵活，能完成模拟信号处理完不成的许多处理功能，并且增加了若干新颖的处理内容。
离散傅里叶变换（DFT ）也是一种时域到频域的变换，能够表征信号的频域特性，和已学过的FT 和ZT 有着密切的联系，但是它有着不同于FT 和ZT 的物理概念和重要性质。
只有很好地掌握了这些概念和性质，才能正确地应用DFT （FFT ），在各种不同的信号处理中充分灵活地发挥其作用。
学习这一章重要的是会应用，尤其会使用DFT 的快速算法FFT 。
如果不会应用FFT ，那么由于DFT 的计算量太大，会使应用受到限制。
但是FFT 仅是DFT 的一种快速算法，重要的物理概念都在DFT 中，因此重要的还是要掌握DFT 的基本理论。
对于FFT 只要掌握其基本快速原理和使用方法即可。
3.2 习题与上机题解答说明：下面各题中的DFT 和IDFT 计算均可以调用MA TLAB 函数fft 和ifft 计算。
3.1 在变换区间0≤n ≤N -1内，计算以下序列的N 点DFT 。
(1) ()1x n =(2) ()()x n n δ=(3) ()(), 0＜＜x n n m m N δ=- (4) ()(), 0＜＜m x n R n m N = (5) 2j()e, 0＜＜m n N x n m N π=(6) 0j ()e n x n ω=(7) 2()cos , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(8)2()sin , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(9) 0()cos()x n n ω=(10) ()()N x n nR n =(11) 1,()0n x n n ⎧=⎨⎩，解：(1) X (k ) =1N kn N n W -=∑=21j0eN kn nn π--=∑=2jj1e1ekN n k nπ---- = ,00,1,2,,1N k k N =⎧⎨=-⎩(2) X (k ) =1()N knNM n W δ-=∑=10()N n n δ-=∑=1，k = 0, 1, …, N -1(3) X (k ) =100()N knNn n n W δ-=-∑=0kn NW 1()N n n n δ-=-∑=0kn NW，k = 0, 1, …, N -1为偶数为奇数·55·(4) X (k ) =1m knN n W -=∑=11kmN N W W --=j (1)sin esin k m N mk N k N π--π⎛⎫⎪⎝⎭π⎛⎫ ⎪⎝⎭，k = 0, 1, …, N -1 (5) X (k ) =21j 0e N mn kn N N n W π-=∑=21j ()0e N m k nNn π--=∑=2j()2j()1e1em k N N m k Nπ--π----= ,0,,0≤≤1N k mk m k N =⎧⎨≠-⎩(6) X (k ) =01j 0eN nknN n W ω-=∑=021j 0e N k nN n ωπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=∑=002j 2j 1e1ek NN k N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭π⎛⎫- ⎪⎝⎭--= 0210j 202sin 2e2sin /2N k N N k N k N ωωωπ-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，k = 0, 1, …, N -1或 X (k ) =00j 2j 1e 1e Nk N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭--，k = 0, 1, …, N -1(7) X (k ) =102cos N kn N n mn W N -=π⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=2221j j j 01e e e 2N mn mn kn N N N n πππ---=⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭∑=21j ()01e 2N m k n N n π--=∑+21j ()01e 2N m k n N n π--+=∑=22j ()j ()22j ()j ()11e 1e 21e 1e m k N m k N N N m k m k N N ππ--+ππ--+⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=,,20,,N k m k N mk m k N M ⎧==-⎪⎨⎪≠≠-⎩，0≤≤1k N - (8) ()22j j 21()sin ee 2j mn mnN N x n mn N ππ-π⎛⎫== ⎪-⎝⎭ ()()112222j j j ()j ()0011()=e e ee 2j 2j j ,2=j ,20,(0≤≤1)N N kn mn mn m k n m k n N N N N N n n X k W Nk m N k N mk k N --ππππ---+===--⎧-=⎪⎪⎨=-⎪⎪-⎪⎩∑∑其他(9) 解法① 直接计算χ(n ) =cos(0n ω)R N (n ) =00j j 1[e e ]2n n ωω-+R N (n )X (k ) =1()N knNn n W χ-=∑=0021j j j 01[e e ]e 2N kn n n N n ωωπ---=+∑=0000j j 22j j 11e 1e 21e 1e N N k k N N ωωωω-ππ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，k = 0, 1, … , N -1 解法② 由DFT 共轭对称性可得同样的结果。
离散时间序列的傅里叶变换
傅里叶变换： 傅里叶反变换：
F ( j ) f ( t )e jt dt
1 f (t ) 2
F ( j )e jt d
一、离散序列傅里叶变换DTFT公式
F (e j ) F ( z )
T
z e jT
F (e j )
围内。
四、几种特殊的离散时间系统：
低通、高通、带通、带阻
全通系统
最小相位系统 最小相位系统：极零点全部在单位圆内。
全通
1) m=n;
2)
H (e j ) H 0 H ( z) |z 1
全通系统：对任意频率的离散正弦时间信号都有相同的幅
频响应，除了在z=0处的极点外，其余的极点和零点关于单
r (k )
i
k i k h ( i )( 1 ) ( 1 )
i
( 1) k H ( z ) z 1
H(-1)=32/3
32 r (k ) ( 1) k 3
k
作业：8.17 (2) , (3);
8.18(1)(5)
解：
F (e )
j
k
R
N
(k )e
j k
e jk
k 0
N 1
1 e 1 e j
j N
N sin j N 1 2 e 2 sin 2
| F (e j ) | e j ( )
|F(e j)| 幅频特性曲线 ()相频特性曲线
位圆镜像对称（即两者相角相等，幅度互为倒数, 或 zi
1 pi*
）
2.3有限长序列的离散傅里叶变换DFT
频率成正比的线性相移 W
− N
kn
=
e
j
2π N
k
m
，而对频谱的幅度没
有影响。
-26-
证明：
N −1
令 m + n =n，' 则= 有 ∑ x((n + m))N WNkn n=0
由于上式中求和项x((n′))NWNkn′以N为周 期， 所以对其在任一周期上的求和结果相
同。 将上式的求和区间改在主值区则得
n=−∞
∫ x(n) = 1 π X (e jω )e jωndω
2π −π
序列的傅里叶变换 X (e j是ω )数字频率 的ω连续周期函数，正变换需要执行从 到− 的∞
求和∞，反变换需要计算连续函数的积分，在实际中很难使用数字计算机来实现。
计算任何一个频谱值需要所有的信号数据，无法做到对信号的实时处理。必须要把 计算范围从无限宽收缩到一个有限区间，连续函数改为离散数据。
则
X (k)=DFT[x(n)]
DFT[x* (n=)] X *(N − k), 0 ≤ k ≤ N − 1
且
X (N )=X (0)
-32-
证明1：
又由 X (k) 的隐含周期性有 X (N )=X (0)
-33-
证明2：
N −1
∑ 证：DFT[x*(n)] = x*(n)WNnk
n=0
∑ =
N −1 n=0
x(n)WN−nk
*
∑ =
N −1 n=0
x(n)WN( N −k )n
*
= X*(N − k)
用同样的方法可以证明
DFT[x* (N − n)] = X *(k )
傅里叶变换方程练习题
傅里叶变换方程练习题在信号与系统学科中，傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，用于将一个函数从时域（时间域）转换为频域（频率域）表示。
傅里叶变换方程是进行这种转换的数学表达式。
在本文中，我们将通过一些练习题来巩固对傅里叶变换方程的理解与应用。
练习一：考虑一个实值函数f(t)，其傅里叶变换F(ω)表示为：F(ω) = ∫[从负无穷到正无穷] f(t) * e^(-iωt) dt1. 当f(t)为一个矩形脉冲函数时，求它的频域表示F(ω)。
2. 当f(t)为一个正弦函数时，求它的频域表示F(ω)。
3. 当f(t)为一个指数衰减函数时，求它的频域表示F(ω)。
练习二：考虑一个信号g(t)和一个信号h(t)，它们的傅里叶变换分别为G(ω)和H(ω)。
求以下函数的傅里叶变换：1. f(t) = g(t) + h(t)2. f(t) = g(t - a), 其中a为常数3. f(t) = g(at), 其中a为常数4. f(t) = g(-t)练习三：考虑一个实值函数f(t)，其傅里叶变换F(ω)表示为：F(ω) = ∫[从负无穷到正无穷] f(t) * e^(-iωt) dt1. 当f(t)为偶函数时，证明它的傅里叶变换F(ω)也为偶函数。
2. 当f(t)为奇函数时，证明它的傅里叶变换F(ω)也为奇函数。
3. 当f(t)为实值函数时，证明它的傅里叶变换F(ω)的共轭和实部为偶函数，虚部为奇函数。
练习四：考虑一个实值函数f(t)，其傅里叶变换F(ω)表示为：F(ω) = ∫[从负无穷到正无穷] f(t) * e^(-iωt) dt1. 当f(t)是一个无限长的周期函数时，证明它的傅里叶变换F(ω)也是一个周期函数。
2. 当f(t)是一个有限长的周期函数时，证明它的傅里叶变换F(ω)也是一个有限长的周期函数。
练习五：考虑一个离散时间信号序列x[n]，其傅里叶变换表示为X(e^(jω))，其中e^(jω)表示复指数函数。
实验3 离散序列的傅里叶变换的MATLAB实现
实验3 离散序列的傅里叶变换的MATLAB 实现1. 实验目的熟悉离散序列的傅里叶变换理论及其MATLAB 实现。
2. 实例分析2.1离散序列傅里叶变换的MATLAB 实现例 2.1 已知()(0.9),1010n x n n =--≤≤，求其离散时间傅里叶变换，并讨论其共轭对称性。
根据离散序列傅里叶变换公式：()()j j n n X e x n e ωω∞-=-∞=∑，将下列指令编辑到“exe2dtft.m” 文件中。
其中ω∈[−2π,2π]，并以pi/100为间隔取值。
% exe2dtft.m 序列的离散时间傅里叶变换n=-10:10; x=(-0.9).^n;k=-200:200; w= (pi/100)*k;X=x*(exp(-j*pi/100)).^(n'*k);magX=abs(X);angX=angle(X);subplot(2,1,1);plot(w,magX);xlabel('Frequency');ylabel('|X|');grid on ; subplot(2,1,2);plot(w,angX);xlabel('Frequency');ylabel('Angle');grid on ;运行“exe2dtft.m” 文件将产生如图2-3所示的序列。
由图2-3可知，()j X e ω不仅是ω的周期函数，而且是共轭对称的。
因此，对于实值序列，只需从0到π画出他们的傅里叶变换的幅度和相位就够了。
图2-1 离散序列的DTFT2.2离散系统差分方程的MATLAB 求解方法例2.2 一个三阶低通滤波器由下面差分方程描述：()0.0181()0.0543(1)0.0543(2)0.0181(3)1.76(1) 1.1829(2)0.2781(3)y n x n x n x n x n y n y n y n =+-+-+-+---+- 画出这个滤波器的幅度和相位响应。
傅里叶变换的练习题
傅里叶变换的练习题傅里叶变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理等领域。
通过傅里叶变换，我们可以将一个时域信号转换为频域表示，从而更好地理解和处理信号。
为了加深对傅里叶变换的理解，以下将提供一些傅里叶变换的练习题，帮助读者巩固相关知识点。
练习一：离散信号的傅里叶变换考虑离散信号x(n) = [1, 2, 3, 4]，使用离散傅里叶变换（DFT）计算其频谱X(k)。
解答：首先，我们需要计算离散信号的长度N，即N = 4。
然后，根据傅里叶变换的定义，计算频谱X(k)的每个元素：X(k) = Σ[n=0, N-1] x(n) * exp(-j2πkn/N)带入x(n)的值：X(0) = 1 * exp(-j2π*0*0/4) + 2 * exp(-j2π*0*1/4) + 3 * exp(-j2π*0*2/4) + 4 * exp(-j2π*0*3/4)= 1 + 2 + 3 + 4= 10X(1) = 1 * exp(-j2π*1*0/4) + 2 * exp(-j2π*1*1/4) + 3 * exp(-j2π*1*2/4) + 4 * exp(-j2π*1*3/4)= 1 + 2 * exp(-jπ/2) + 3 * exp(-jπ) + 4 * exp(-j3π/2)= 1 - 2j + 3 - 4j= 4 - 6jX(2) = 1 * exp(-j2π*2*0/4) + 2 * exp(-j2π*2*1/4) + 3 * exp(-j2π*2*2/4) + 4 * exp(-j2π*2*3/4)= 1 + 2 * exp(-jπ) + 3 + 4 * exp(-j2π)= 1 + 2 - 3 + 4= 4X(3) = 1 * exp(-j2π*3*0/4) + 2 * exp(-j2π*3*1/4) + 3 * exp(-j2π*3*2/4) + 4 * exp(-j2π*3*3/4)= 1 + 2 * exp(-j3π/2) + 3 * exp(-j3π) + 4 * exp(-j9π/4)= 1 + 2j + 3 - 4j= 4 - 2j因此，离散信号[1, 2, 3, 4]的频谱为X(k) = [10, 4-6j, 4, 4-2j]。
离散时间傅里叶变换
ω
2011-4-30
电气信息工程学院
高丙坤
2.5 离散时间信号截短对频谱的影响
Ak = 1 Ts
FT e jk Ω s t 2πδ (Ω − k Ω s ) →
∞
S a ( jΩ) = Ω S
k =−∞
∑ δ (Ω − k Ω )
s
2011-4-30
电气信息工程学院
Digital Signal Processing
δ (Ω − k Ω s − θ ) =
1 0
2.2 离散时间傅里叶变换 卷积 是一个具有DTFT 设 x(n) 是一个具有 的序列， X (e ) 的序列，请用 X (e ) 表示
jω jω
x(n) ∗ x (−n) 的DTFT
*
2011-4-30
电气信息工程学院
Digital Signal Processing
2.2 离散时间傅里叶变换 能量守恒定理
连续信号FT FT与 2.3 连续信号FT与DTFT 例题 证明
s a (t ) =
n = −∞
∑ δ (t − nT )
s
∞
的傅里叶变换为
S a ( jΩ) = Ω S
2011-4-30
k =−∞
∑ δ (Ω − k Ω )
s
∞
电气信息工程学院
Digital Signal Processing
连续信号FT FT与 2.3 连续信号FT与DTFT
2011-4-30
电气信息工程学院
Digital Signal Processing
2.4 采样定理
Xa ( jΩ)
π Ts
−6000π 6000π
π Ts
第三章 离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考
第三章 离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考3.1 图P3.1所示的序列()x n 是周期为4的周期性序列。
请确定其傅里叶级数的系数()Xk 。
解：(1)11*0()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k xn W xn W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑3.2 （1）设()xn 为实周期序列，证明()x n 的傅里叶级数()X k 是共轭对称的，即*()()X k X k =- 。
（2）证明当()xn 为实偶函数时，()X k 也是实偶函数。
证明：（1）1011**()()()[()]()()N nkNn N N nk nkNNn n Xk xn W X k xn W xn W Xk --=---==-=-===∑∑∑（2）因()xn 为实函数，故由（1）知有 *()()Xk X k =- 或*()()X k X k -= 又因()xn 为偶函数，即()()x n x n =- ，所以有 (1)11*0()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k xn W xn W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号()xn 。
利用DFS 的特性及3.2题的结果，不直接计算其傅里叶级数的系数()Xk ，确定以下式子是否正确。
（1）()(10)Xk X k =+ ，对于所有的k ； （2）()()Xk X k =- ，对于所有的k ； （3）(0)0X= ；（4）25()jkXk e π ，对所有的k 是实函数。
解：（1）正确。
因为()x n 一个周期为N ＝10的周期序列，故()Xk 也是一个周期为N ＝10的周期序列。
（2）不正确。
因为()x n 一个实数周期序列，由例3.2中的（1）知，()Xk 是共轭对称的，即应有*()()Xk X k =- ，这里()X k 不一定是实数序列。
傅里叶变换练习题
证：因为 、 在 上可积， ， ，
设 ，
，
由系数公式得
．
当 时，
．
于是由贝塞尔等式得
．
总练习题15
1试求三角多项式
的傅里叶级数展开式．
解：因为 是以 为周期的光滑函数，所以可展为傅里叶级数，
由系数公式得
，
当 时，
，
，
故在 ， 的傅里叶级数就是其本身．
2设 为 上可积函数， 为 的
傅里叶系数，试证明，当 时，
推论1设 在 上可积，则
, ．
推论2设 在 上可积，则
，
．
定理2设以 为周期的函数 在 上可积，则
，
此称为 的傅里叶级数的部分和的积分表达式．
二、收敛性定理的证明
定理3 (收敛性定理)设以 为周期的函数 在 上按段光滑，则
，
定理4如果 在 上有有限导数，或有有限的两个单侧导数，则
．
定理5如果 在 按段单调，则
．
由贝塞尔等式得 ，
故 ．
(3)取 ，由§1习题1 (2)得
．
由贝塞尔等式得 ，
故 ．
4证明：若 均为 上可积函数，且他们的傅里叶级数在 上分别一致收敛于 和 ，则
．
其中 为 的傅里叶系数， 为 的傅里叶系数．
证：由题设知 ，
．
于是
而
，
，
所以 ．
5证明若 及其导函数 均在 上可积, ,
，且成立贝塞尔等式，则
由系数公式得
．
当 时，
所以
， 为所求．
2设 是以 为周期的可积函数，证明对任何实数 ，有
，
．
证：因为 ， ， 都是以 为周期的可积函数，所以令 有
数字信号处理第三章习题解答
（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。
解：
（1）已知
（2）
（3）
（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）
18.我们希望利用 长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与 的L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列 ，m表示第m段计算输出。最后，从 中取出Ｂ个，使每段取出的Ｂ个采样点连接得到滤波输出 。
————第三章————
离散傅里叶变换DFT
3.1 学习要点
3.1.1DFT的定义、DFT与Z变换(ZT)、傅里叶变换(FT)的关系及DFT的物理意义
1.DFT的定义
设序列 为有限长序列，长度为 ,则定义 的 点离散傅立叶变换为
(3.1)
的 点离散傅立叶逆变换为
(3.2)
其中， ， 成为DFT变换区间长度。
学习DFT的性质时，应与傅里叶变换的性质对照学习，要搞清两者的主要区别。我们知道，傅里叶变换将整个时域作为变换区间，所以在其性质中，对称性以原点为对称点，序列的移动范围无任何限制。
然而，DFT是对有限长序列定义的一种变换，也就是说，DFT变换区间为 。这一点与傅立叶变换截然不同，由于 及 区间在DFT变换区间以外，所以讨论对称性时，不能再以原点作为对称点，而是以 点作为对称点。为了区别于无限长共轭对称序列，用 和 分别表示有限长（或圆周）共轭对称序列和共轭反对称序列。其定义为
即 隐含周期性，周期为 。
程佩青《数字信号处理教程》(第4版)(名校考研真题详解 离散傅里叶变换(DFT))
2 / 18
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平
台
对上式进行 DFT 变换有：
即：
，得证。
5．考虑如图 3-1 所示的线性非移（时）变 LSI 系统的互联
图 3-1
（1）试用
和
表示整个系统的频率响应；
12．已知有限长序列{g[n]}、{h[n]}，其中{g[n]}＝{3，2，4}，{h[n]}
＝{2，－4，0，1}。试求：
（1）线性卷积
；
（2）循环卷积
；
（3）基于 DFT 变换的方法求循环卷积
。[北京大学 2005 研]
解：（1）根据已知 g[n]＝{3，2，4}，h[n]＝{2，－4，0，1}，其线性卷积为：
若
，其中
、
分别是 x（n）和 h（n）的 5 点 DFT，
对 Y（k）作 IDFT，得到序列 y（n），求 y（n）。[华东理工大学 2005 研]
（2）根据频率和周期的关系得：
， 又因为 DFT 的分辨率达到 1Hz 时：
所以采样数据为：
由上可知此应该采集 4000 个点的数据。 7．计算有限长时间序列：
4 / 18
圣才电子书
均 N 点 DFT 的值
，
十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
。[北京理工大学 2006 研]
即： 帕塞瓦尔（Parseval）定理的物理意义表示信号时域和频域能量是守恒的。
2．设 DFT[x（n）]＝X（k），求证： DFT[X（k）]～Nx（N－n）。 [华南理工大学 2007 研]
证明：由已知对 DFT[x（n）]求反变换得 x（n）为：
课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--习题
课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--习题数字信号处理第三版第3章离散傅里叶变换(DFT)习题1．计算以下序列的N点DFT，在变换区间0≤n≤N－1内，序列定义为(1) x(n)=1(2) x(n)=δ(n)(3) x(n)=δ(n－n0) 0n0N(4) x(n)=Rm(n) 0mN(5) n ) jNmn N x(=e,0 mπ 2 (6) n ) x(=cos mn ,0mN2π(7) x(n)=ejω0nRN(n)(8) x(n)=sin(ω0n)RN(n)(9) x(n)=cos(ω0n)RN(N)(10) x(n)=nRN(n)2．已知下列X(k)，求x(n)=IDFT［X(k)］Njθ 2e N（1）X (k)= e jθ20 N k=m k=N m其它kNjθ j2e N jθ（2）X (k)= je 2 0 k=m k=N m 其它k其中，m为正整数，0mN/2, N为变换区间长度。
3．已知长度为N=10的两个有限长序列：做图表示x1(n)、x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)，循环卷积区间长度L=10。
，4．证明DFT的对称定理，即假设X(k)=DFT［x(n)］数字信号处理第三版证明DFT［X(n)］=Nx(N－k)5．如果X(k)=DFT［x(n)］，证明DFT的初值定理1x(0)=N∑X(k)k=0N 16．设x(n)的长度为N，且X(k)=DFT［x(n)］0≤k≤N－1令h(n)=x((n))NRmN(n) m为自然数H(k)=DFT［h(n)］mN 0≤k≤mN－1求H(k)与X(k)的关系式。
7．证明: 若x(n)为实序列，X(k)=DFT［x(n)］N，则X(k)为共轭对称序列，即X(k)=__（N－k)；若x(n)实偶对称，即x(n)=x(N－n)，则X(k)也实偶对称；若x(n)实奇对称，即x(n)=－x(N－n)，则X(k)为纯虚函数并奇对称。
课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--习题
的 N 值。
19． 已知调幅信号的载波频率 fc=1 kHz， 调制信号频率 fm=100 Hz， 用 FFT
对其进行谱分析， 试求：
(1) 最小记录时间 Tp min; (2) 最低采样频率 fs min; (3) 最少采样点数 Nmin。 20． 在下列说法中选择正确的结论。 线性调频 Z 变换可以用来计算一个有限
取样值。
21． 我们希望利用 h(n)长度为 N=50 的 FIR 滤波器对一段很长的数据序列进行
滤波处理， 要求采用重叠保留法通过 DFT(即 FFT)来实现。 所谓重叠保留法， 就是对输入序列进行分段(本题设每段长度为 M=100 个采样点)， 但相邻两段必 须重叠 V 个点， 然后计算各段与 h(n)的 L 点(本题取 L=128)循环卷积， 得到输 出序列 ym(n)， m 表示第 m 段循环卷积计算输出。 最后， 从 ym(n)中选取 B 个 样值， 使每段选取的 B 个样值连接得到滤波输出 y(n)。
求 X1 (k ) = DFT[ x1 (n)]8 和 X 2 (k ) = DFT[ x2 (n)]8 ［注: 用 X(k)表示 X1(k)和 X2(k)。 ］
17． 设 x(n)是长度为 N 的因果序列， 且 X (e jω ) = FT[ x( n)]
∞ y(n) = x(n + mM ) RM (n) m =− ∞
长序列 h(n)在 z 平面实轴上诸点{zk}的 Z 变换 H(zk)， 使
(1) zk=ak, k=0, 1, …, N－1, a 为实数， (2) (3) a≠1;
zk=ak, k=0, 1, …, N－1, a 为实数， a≠1; (1)和(2)都不行， 即线性调频 Z 变换不能计算 H(z)在 z 平面实轴上的
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
离散序列傅里叶变换习题1、 试求以下各序列的时间傅里叶变换 （1）1()(3)x n n δ=-（2）211()(1)()(1)22x n n n n δδδ=+++- （3）3()(),01nx n a u n a =<<（4）4()(3)(4)x n u n u n =+--2、 设()j X e ω是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，利用离散时间傅里叶变换的定义与性质，求下列各序列的离散时间傅里叶变换。
（1）()()(1)g n x n x n =-- （2）()*()g n x n = （3）()*()g n x n =- （4）()(2)g n x n = （5）()()g n nx n = （6）2()()g n x n =（7）(),()20,nx n g n n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数（4）2|()|j X e d πωπω-⎰ （5）2()||j dX e d d ωππωω-⎰3、 试求以下各序列的时间傅里叶变换 （1）11,||()0,n N x n n ≤⎧=⎨⎩为其他（2）21||/,||()0,n N n Nx n n -≤⎧=⎨⎩为其他（3）3cos(),||()20,n n N x n Nn π⎧≤⎪=⎨⎪⎩为其他6、证明：若()j X e ω是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，而 1(),()0,n nx x n kk ⎧⎪=⎨⎪⎩为整数其他则1()()j j X eX e ωω=。
7、设序列()()x n u n =，证明()x n 的离散时间傅里叶变换为1()(2)1j j l X e l e ωωπδωπ∞-=-∞=+--∑8、如图所示四个序列，已知序列1()x n 的离散时间傅里叶变换为1()j X e ω，试用1()j X e ω表示其他序列的离散时间傅里叶变换。
2n1341()x n 123456782n1342()x n 1234567821342n1343()x n 1234567821342n1344()x n 1234567821349、证明离散时间傅里叶变换性质中的帕塞瓦尔定理，即221|()||()|2j n x n X ed πωπωπ∞-=-∞=∑⎰10、证明离散时间傅里叶变换性质中的频域微分性质，即()[()]j dX e DTFT nx n jd ωω=式中，()j X e ω是序列()x n 的离散时间傅里叶变换。
11、证明：（1）若()x n 是实偶函数，则其离散时间傅里叶变换()j X e ω是ω的实偶函数。
（2）若()x n 是实奇函数，则其离散时间傅里叶变换()j X e ω是ω的虚奇函数。
12、设4()()x n R n =，试求()x n 的共轭偶对称序列()ex n 和共轭奇对称序列()ox n ，并分别画出其波形。
13、设实序列()x n 的偶对称序列1()[()()]2ex n x n x n =+-，奇对称序列1()[()()]2ox n x n x n =--，试证明 222|()||()||()|eon n n x n x n x n ∞∞∞=-∞=-∞=-∞==∑∑∑14、设实序列()x n 的波形如图所示，2n46()x n 1234（1）试求()x n 的共轭偶对称序列()ex n 和共轭奇对称序列()ox n ，并分别画出其波形。
（2）设序列1()()()eox n x n x n =+，式中，()ex n 和()ox n 为（1）所求结果。
画出1()x n 的波形，并与上图结果进行比较，结果说明了什么？（3）分别求序列()x n 、()ex n 和()ox n 的离散时间傅里叶变换()j X e ω、()j eX e ω和()j oXe ω，分析()j X e ω、()j eX e ω和()j o X e ω的实部Re{()}()j j R X eX e ωω=、虚部Im{()}()j j I X eX e ωω=的关系。
15、已知序列()()(01)nx n a u n a =<<，试分别求()x n 的共轭偶对称序列()ex n 和共轭奇对称序列()ox n 的离散时间傅里叶变换()j eX e ω和()j oXe ω。
16、若序列()x n 是因果序列，已知其离散时间傅里叶变换()j X e ω的实部()j eX e ω为()1cos j R X e ωω=+求序列()x n 及其离散时间傅里叶变换()j X e ω。
17、若序列()x n 是实因果序列，(0)1x =，已知其离散时间傅里叶变换()j X e ω的虚实部()j IX e ω为()sin j I X e ωω=-求序列()x n 及其其离散时间傅里叶变换()j X e ω。
18、如果()x n 是实序列，试证明*()()j j X eX e ωω-=19、设()x n 是已知的实序列，其离散时间傅里叶变换为()j X e ω，若序列()y n 的离散时间傅里叶变换为 221(){()][()()]2j j j Y eDTFT y n X e X e ωωω-==+试求序列()y n 。
离散时间傅里叶变换习题解答：1、 试求以下各序列的时间傅里叶变换 （1）1()(3)x n n δ=-解：3()j j X ee ωω-=（2）211()(1)()(1)22x n n n n δδδ=+++- 解：()1cos j X eωω=+（3）3()(),01nx n a u n a =<<解：1()1j j X eae ωω-=-（4）4()(3)(4)x n u n u n =+-- 解：771111()1cos cos 2cos32221j j j a e X e ae ωωωωωω---=+++=-2、 设()j X e ω是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，利用离散时间傅里叶变换的定义与性质，求下列各序列的离散时间傅里叶变换。
（1）()()(1)g n x n x n =-- 解：()(1)()j j j G ee X e ωωω-=-（2）()*()g n x n =解：()*()j j G eX e ωω-=（3）()*()g n x n =- 解：()*()j j G eX e ωω=（4）()(2)g n x n = 解：()()j jn n G e x n eωω∞-=-∞=∑(2)jn n x n eω∞-=-∞=∑令'2n n=，'2'()(')jn j n G e x n eωω-=∑为偶数21[()(1)()]2jn nn x n x n e ω∞-=-∞=+-∑2211()()22j jn jn n X e x n e e ωωπ∞-=-∞=+∑()22211()()()22j j jn jn n X e X e x n e e ωωωππ∞--=-∞=+∑（5）()()g n nx n = 解：()()j dX e jnx n d ωω⇔-Q ()()j j dX e G e jd ωωω∴=（6）2()()g n x n = 解： 1()()*()2j j j G e X e X e ωωωπ=（7）(),()20,n x n g n n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数解：()()j jn n G e x n eωω∞-=-∞=∑22()()j m j m x m eX e ωω∞-=-∞==∑3、 试求以下各序列的时间傅里叶变换 （1）1()(),||1nx n a u n a =<解：1()1j j X e ae ωω-=-（2）2()(),||1nx n a u n a =-> 解： 11()1j j X e a e ωω-=-（3）||3,||()0,n a n M x n n ⎧≤=⎨⎩为其他解：()()12Re[]MMj jn n jn n jn n n Mn MX e x n ea ea eωωωω∞---=-∞=-=-===+∑∑∑1221cos cos[(1)]cos 2Re[]12112cos M M Mn jn n Ma a M a M a ea a ωωωωω++-=---++=-=--+∑212212cos[(1)]2cos 12cos M M a a M a M a a ωωω++--++=-+（4）4()(3),||1nx n a u n a =+<33(3),||1n a a u n a -+=+<解： 3311()1j j j X e a e a e ωωω--=-（5）501()()(3)4n m x n n m δ∞==-∑301()(3)4m m n m δ∞==-∑解：3333300111()()()(3)()1441()4j jn m jn m j m j n n m m X e x n en m e e e ωωωωωδ∞∞∞∞----=-∞=-∞====-==-∑∑∑∑（6）6sin(/3)sin(/4)()n n x n n n ππππ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1sin(/3)sin(/4)12/3/4n n n n ππππ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦解：2sin()()cc c c n g nωωπωωω⇔% 232sin(/3)sin(/4)3()4()/3/4n n g g n n ππππωωππ∴⇔⇔%%2321()()*()2j X e g g ωππωωπ∴=%%10()12477()[()]/2()/2121212412j j X e X e ωωπωπππππωωπωπ∴≤≤=≤≤=--+=-1,0412()77()/2,121212j X e ωπωπππωπω⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩4、 设()x n 是一有限长序列，已知1,2,0,3,2,1,0,1,2,3,4,5()0,n x n n --=⎧=⎨⎩为其他它的离散傅里叶变换为()j X e ω。
不具体计算()j X e ω，试直接确定下列表达式的值。
（1）0()j X e解：()()j jn n X ex n eωω∞-=-∞=∑5()()1j n X e x n ===∑（2）()j X e π解：()()j jn n X ex n eωω∞-=-∞=∑5()(1)()1j n n X e x n π==-=-∑（3）()j X e d πωπω-⎰解：1()()2j jn x n X e e d πωωπωπ-=⎰()2(0)2j X e d x πωπωππ-==-⎰（4）2|()|j X e d πωπω-⎰解：221|()||()|2j n x n X ed πωπωπ∞-=-∞=∑⎰22|()|2|()|2(14941)38j n X e d x n πωπωπππ∞-=-∞==++++=∑⎰（5）2()||j dX e d d ωππωω-⎰解：()()j dX e jnx n d ωω⇔-22()||2|()|2(01149916425)2174348j n dX e d jnx n d ωππωππππω∞-=-∞==⨯+⨯+⨯+⨯+=⨯=∑⎰试求以下各序列的时间傅里叶变换（1）11,||()0,n Nx n n ≤⎧=⎨⎩为其他（2）21||/,||()0,n N n N x n n -≤⎧=⎨⎩为其他（3）3cos(),||()20,n n N x n Nn π⎧≤⎪=⎨⎪⎩为其他6、证明：若()j X e ω是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，而 1(),()0,n nx x n kk ⎧⎪=⎨⎪⎩为整数其他则1()()j j X eX e ωω=。