第三讲§4.3 n阶常系数线性非齐次方程的解法
n阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法
n阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法
以《n阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法》为标题，本文旨在介绍n阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法。
微分方程是数学分析中最重要的一个分支，其中，n阶常系数非齐次线性微分方程特别重要，其数学表示为：
begin{align}
y^{(n)} + a_{1}(t)y^{(n-1)} + cdots + a_{n-1}(t)y +
a_{n}(t)y = f(t)
end{align}
n阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法一般可以分为三步走，首先，我们需要使用解析法将此方程分解为n个递归子问题，紧接着，我们可以使用适当的技巧，如解析法、数值方法和近似解析法，来求解这n个递归子问题中的每一个，最后，将求解出来的n个解合并在一起，使用一种称为“线性组合”的技巧，可以得到最终的特解。
除了上述的统一求法外，现有还有一种简单的求解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的方法，叫做特征方程法，它可以直接从给定微分方程中求解出特征方程，解特征方程可以得到特解的集合，由此可以得到最终的特解。
然而，当n取大值时，使用特征方程法来求解n阶常系数非齐次线性微分方程特解就变得困难，此时，使用统一求法就十分有用。
在求解n阶常系数非齐次线性微分方程时，统一求法和特征方程
法都有其特点，在实际使用时，需要根据具体情况，综合考虑两种方法的优点，以实现最佳的结果。
综上所述，本文介绍了n阶常系数非齐次线性微分方程的特解的统一求法，并对依据不同情况，使用统一求法和特征方程法来求解特解时的考虑进行了探讨。
n阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便解法
n阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便解法
n阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便解法是一种简单有效的求解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的数值解法。
首先，根据给定的n阶非齐次线性微分方程，确定它的一组特权根以及其置换的相应特权向量。
其次，利用以上n项特权向量构造n阶特权伴随矩阵，然后解出该伴随矩阵的方程组，就可以确定该特解的系数基向量和整体解。
最后，使用前面求得的系数基向量和特权根构造出特解，即可得到n阶常系数非齐次线性微分方程特解要求的解。
另外，关于n阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便解法有一个重要的常用结论，即当方程组有多个特权根时，特解就是由各自特权向量的乘积组成的。
这一定理可以使解决非齐次线性微分方程特解简便许多，算法的复杂度也降低了很多。
总的来说，n阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便解法是一种非常有效、简单易操作的数值求解方法，可以帮助我们更加因材施教、快速有效地确定并获得满足特解要求的解。
n阶常系数非齐线性方程特解的系数公式
时
,
同样 有
`
g
(
) ( t ) 二 O
1 a
k
m f ( )
二
一
K
艺
= In
g (
k
`
” (
t
)
( 9
)
0
1 a
、
一
从 {汀
f (
( 0
)
=
艺
K
二
g
“ ” (
o
)
(
10
)
O
,
拄 怠到
f (
’
) i!
(
.
0 )
2,
…
,
m )
4 3
一
i a 、
“
,
二
艺
K
=
g (
k 斗
’
) (
o
)
一
ù 艺
K
。
( K
一
至 j 土三上 I
1
B
=
0
!
m )
于是 规 定 场K
m 一
S>
1
时
、
,
二 C)
由 (
16 )
有
1
一
h
i
二
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K
=
`
} 交
恤场
一
.
十
二
m
一
O
毓
+ .
艺
K
二
二 玉
O
护
(
标
( K 十、
(
+
i )
a 、
1
O
1 1 )
n阶常系数非齐次线性微分方程的通解
( ∫ L( ∫ e
( r1 − r2 ) x
(−1)i x n −1 −i +i i −r x ( ∫ x e f ( x ) d x) d x ) L d x ) d x ) d x ∑ i = 0 ( n1 − 1 − i1 )!i1 !
1 1 2 1 1 1
证明 1 当 n = 2 时 因为 r1 ≠ r2 由定理 1 知其通解为 y 2 =
一般常微分方程教材中 用特征根法求 n 阶常系数非齐次线性微分方程的通解的方法已很成熟[1 用积分表示方程的通解在文献[3]~[5] 中进行了探讨 设 n 阶常系数非齐次线性微分方程 但还不完善 仍值得研究
2]
y ( n) + a1 y (n−1) + L + an−1 y ′ + an y = f ( x )
关 键 词
n 阶常系数非齐次线性微分方程
通解 特解
韦达定理 A
中图分类号 O175.1
文献标识码
The General Solution Derivation of Order n Non-homogeneous Linear Differential Equation with Constant Coefficients
所 对 应 的 齐 次 方 程 的 特 征 根 为 r1 , r2 , L , rn
( f ( x )连续)
(1)
由 韦 达 定 理 可 将 方 程 (1) 化 为
( y ′ − rn y )( n−1) + L + ( −1) k
令 y1 = y ′ − rn y
1≤i1<i2 <L<ik ≤ n−1
设方程(1)所对应的齐次方程的特征根为 r1 , r2 , L , rn
线性齐次及非齐次方程的解法
为函数 y1( x), y2( x),, ym ( x) 的朗斯基行列式。
结论 若 y1( x), y2( x),, yn( x)为 n 阶 线性齐次方程
a ( x) y(n) a1( x) y(n1) an1( x) yan ( x) y0
的 n 个 解 ，则 y1( x), y2( x),, yn ( x) 在区间 I 上线性
解: 特征方程: r5 r 4 0, 特征根 :
r1 r2 r3 r4 0, r5 1 原方程通解: y C1 C2 x C3x2 C4 x3 C5ex
(不难看出, 原方程有特解 1, x, x2, x3, ex )
25
例5.
解方程
d4 w dx4
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.
例如，
在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
又如，
若在某区间 I 上
则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
必需全为 0 ,
在任何区间 I 上都 线性无关.
6
两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
y1
1 2
( y1
y2 )
e x cos x
y2
1 2i
(
y1
y2
)
e
x
sin
x
因此原方程的通解为
y e x (C1 cos x C2 sin x)
21
小结:
y p y q y 0 ( p, q为常数)
常系数非齐线性微分方程的解法
目录
• 引言 • 分离变量法 • 积分因子法 • 参数法 • 幂级数法
01 引言
微分方程的定义与重要性
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的数学工具，广泛应用于物 理、工程、经济等领域。
解决微分方程是理解和预测复杂系统 行为的关键，对于解决实际问题具有 重要意义。
03 积分因子法
积分因子法的原理
积分因子法的基本思想是通过引入一个积分因子，将非齐线性微分方程转化为齐线性微分方程，从而 简化求解过程。
积分因子是一个非零的函数，乘以原方程的每一项后，能够使新方程的每一项都含有未知函数的一次导 数项。
通过求解新方程，可以得到原方程的解。
积分因子法的应用步骤
1
确定原方程的形式，并求出其积分因子。
2
根据积分因子的定义，将原方程转化为齐线性微 分方程。
3
利用已知的求解方法，求解新方程，得到原方程 的解。
积分因子法的实例分析
01
考虑常系数非齐线性微分方程 $y'' + p(t)y' + q(t)y = f(t)$，其中 $p(t)$、$q(t)$ 和 $f(t)$ 是已知函数。
02
首先求出该方程的积分因子 $M(y, t) = e^{int p(t) dt}$。
确定幂级数解的形式
根据微分方程的特征，选择适当的幂级数形 式作为解的表达式。
建立递推关系式
将微分方程转化为递推关系式，以便求解幂 级数的系数。
求解递推关系式
通过求解递推关系式，得到幂级数的系数， 进而得到微分方程的解。
验证解的正确性
将得到的解代入原微分方程进行验证，确保 解的正确性。
n阶常系数非齐次线性微分方程解法解法待定系数法为特征方程的k重根
(不难看出, 原方程有特解 1, x, x2, x3, ex )
例6 求微分方程 y 4 y 4 y e x 的通解, 其中 为实数.
解 特征方程 2 4 4 0 , 特征根 1,2 2 ，
对应齐次方程通解 Y (C1 C2 x)e2x .
1）若 2 , 则设特解为 y Ax2e2x ,
故所求通解为 y C1e x C2e3 x
例3 求方程 y 2 y 5 y 0的通解.
解 特征方程为 2 2 5 0 解得 1，2 1 2i ,
故所求通解为 y e x (C1 cos 2x C2 sin2x)
例4.
的通解.
解: 特征方程 r 4 2 r3 5 r 2 0, 特征根:
解: (1) 特征方程
有二重根
所以设非齐次方程特解为
特点 不显含未知函数 y. 解法 令 y P( x), y P, 代入原方程, 得 P f ( x, P( x)).
(3) y f ( y, y) 型
特点 不显含自变量 x. 解法 令 y P( x), y P dp ,
dy 代入原方程, 得 P dp f ( y, P).
dy 2、线性微分方程解的结构
r1 r2 0, r3 , 4 1 2 i
因此原方程通解为
y C1 C2x ex (C3 cos 2x C4 sin 2x )
例5. 解方程 y(5) y(4) 0.
解: 特征方程:r5 r 4 0, 特征根 :
r1 r2 r3 r4 0, r5 1 原方程通解: y C1 C2 x C3x2 C4 x3 C5ex
n
方程的任一解 x(t) 都可表示为 x(t) ci xi (t) i 1
（2）非齐线性方程解的性质与结构
三阶常系数线性非齐次微分方程特解的两种解法
三阶常系数线性非齐次微分方程特解的两种解法一种解法是求解特征方程，另一种解法是采用逐步求解法。
1、求解特征方程法：设三阶常系数线性非齐次微分方程为：y'''+a2y''+a1y'+a0y=f(x)其中a2,a1,a0为常数，f(x)为右端函数。
（1）求解特征方程：设特征根为λ1,λ2,λ3，则特征方程为：λ3+a2λ2+a1λ+a0=0求解特征方程，得到特征根：λ1,λ2,λ3（2）求解特解：令特解为y=C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x代入方程，得：C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x+a2(C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x)+a1(C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x)+a0(C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x)=f(x)即：(C1λ3+C2λ2+C3λ1)eλ1x+(C1λ3+C2λ2+C3λ1)eλ2x+(C1λ3+C2λ2 +C3λ1)eλ3x=f(x)化简得：C1λ3+C2λ2+C3λ1=f(x)解得：C1=f(x)λ3/(λ3-λ2)(λ3-λ1)C2=f(x)λ2/(λ2-λ1)(λ2-λ3)C3=f(x)λ1/(λ1-λ2)(λ1-λ3)故特解为：y=f(x)λ3/(λ3-λ2)(λ3-λ1)eλ1x+f(x)λ2/(λ2-λ1)(λ2-λ3)eλ2x+f(x)λ1/(λ1-λ2)(λ1-λ3)eλ3x2、逐步求解法：设三阶常系数线性非齐次微分方程为：y'''+a2y''+a1y'+a0y=f(x)（1）求解一阶线性微分方程：设y1(x)为一阶线性微分方程的解，则有：y1'+a2y1=0解得：y1=C1e-a2x（2）求解二阶线性微分方程：设y2(x)为二阶线性微分方程。
线性齐次及非齐次方程的解法
作业
习 题 五 （P230）
1 （1）（3）（5）；
4 ； 6 （2）。
4.4.2 常系数 线性微分方程
第十二章
一、求解常系数线性齐次微分方程 二、求解常系数线性齐次微分方程
18
一、二阶常系数齐次线性微分方程:
①
和它的导数只差常数因子,
∴ e x 与 xe x 线性无关。
定理 2.
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
数) 是该方程的通解. (自证)
例如, 方程
有特解
且
y2 y1
tan
x
常数, 故方程的通解为
推论.
是 n 阶齐次方程
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
y C1y1 Cn yn (Ck为任意常数)
4
说明:
y C1y1(x) C2 y2 (x) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如,
是某二阶齐次方程的解, 则
也是齐次方程的解
但是
并不是通解
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.
5
定义: 设 y1(x), y2 (x), , yn (x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
u 0
取 u = x , 则得 y2 x er1 x , 因此原方程的通解为 y ( C1 C2 x ) er1 x
20
3. 当 p2 4 q 0 时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
y1 e( i ) x e x (cos x i sin x ) y2 e( i ) x e x (cos x i sin x )
n阶常系数非齐次线性微分方程特解的求解方法
3 例子
例1 求方程 x″ - x = t sin t 的特解 .
t ( 1 - cos2 t ) t t cos2 t t 2 解法 1 ( 比较系数法) 原方程右端 f ( t ) = t sin t = = ,对 f 1 ( t ) = , 设特 2 2 2 2
2
解为 x 1 ( t ) = A + B t ,将 x 1 ( t ) 代入方程 x″ - x=
e c′ 1 ( t ) + t e c′ 2 ( t) = 0
- t - e c′ 1 ( t ) + (e
t
- t
- t
- t - t e ) c′ 2 ( t ) = 3e
t
t +1
,
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1
L 1 ( D) L 2 ( D)
[
1
f ( t) ] =
1
L 2 ( D) L 1 ( D) f 2 ( ( D)
[ f 1 ( t) + f 2 ( t) ] =
1
L ( D)
f 1 ( t) +
1
L ( D)
( 3) 逆算子的运算法则 1 kt kt ① 若 f ( t ) = e ,且 L ( k ) ≠ 0 ,则 f ( t) = e L ( D) L 1 kt kt ② 若 f ( t ) = e ,且 L ( k ) = 0 ,则 ( ) f ( t ) = e L D L 1 ; ( k) 1 ; (D + k )
1 引 言
常系数非齐次线性微分方程特解的几种求解方法
n 阶常系数非齐次线性微分方程特解的几种求解方法1引言对形如()()()()()t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n =++⋅⋅⋅++−−−01111（1）的n 阶非齐次线性方程，称()()()()001111=++⋅⋅⋅++−−−x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n （2）为其相关的齐次线性方程。
任给一个满足(1)且不带任何参数的函数x ~称为方程(1)的特解，已有下述求解定理：定理1若x ~为n 阶非齐次线性方程()()()()()t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n =++⋅⋅⋅++−−−01111（1）在区间I 上的任一个特解，设()()()t x t x t x n ,,,21⋅⋅⋅是其相关齐次线性方程()()()()001111=++⋅⋅⋅++−−−x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n （2）的一个基本解组，则在区间I 上方程（1）的通解为：()()()x t x c t x c t x c x n n ~2211++⋅⋅⋅++=，其中()n i c i,,2,1⋅⋅⋅=为任意常数。
由定理1知，非齐次线性方程的通解由两个函数的和组成：()()()x x x t x c t x c t x c x cn n ~~2211+=++⋅⋅⋅++=，其中线性组合()()()t x c t x c t x c x n n +⋅⋅⋅++=2211称为方程（1）余函数。
定理2k x x x ~,,~,~21⋅⋅⋅为n 阶非齐次线性方程（1）在区间I 上对应于k 个不同函数()()()t f t f t f k ,,,21⋅⋅⋅的k 个特解，也就是设i x ~表示对应于方程()()()()()t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a i n n n n n n =++⋅⋅⋅++−−−01111的特解，则kx x x x ~~~~21+⋅⋅⋅++=为()()()()()()()t f t f t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a k n n n n n n +⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++−−−2101111的特解。
n阶线性非齐次微分方程的所有解
n阶线性非齐次微分方程的所有解
非齐次线性非齐次微分方程的解：
1、非齐次线性齐次微分方程的通解：
非齐次线性非齐次微分方程可以化为齐次线性微分方程，而齐次线性微分方程根据积分因子法和特征系数法可以求得通解。
2、非齐次线性非齐次微分方程的特解：
一般非齐次线性非齐次微分方程都存在一个特解，它的形式为：
y=Aexp{∫F(x)dx}，其中A为常数，F(x)是方程的非齐次项。
3、解析法求得的解：
针对特定的非齐次线性非齐次微分方程，存在求解其解的解析法，比如可以用Frobenius方法求非齐次线性微分方程，极限积分法求非线性非齐次微分方程等等。
4、数值解：
还可以通过数值方法求解非齐次线性非齐次微分方程，比如可以用Euler法解
此类方程，也可以用Runge-Kutta法求解，此外还可以用其他的数值计算方法求得
此类的解。
总结：
非齐次线性非齐次微分方程的解有四种，分别是：1、非齐次线性齐次微分方
程的通解；2、非齐次线性非齐次微分方程特解；3、解析法求得的解；4、数值解。
可以根据实际问题采用不同的解法来寻找合适的解。
n阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法
n阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法
非齐次线性微分方程指的是一类数学问题，其特征是一个常系数、高阶数函数来描述某些物理量及其之间间的变化规律。
对于这类物理问题，求解通常使用统一求法，也就是阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法。
阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法是一种微积分解决方案，需要利用数学工具，包括积分学的概念，基础的几何和代数的计算方法，常数及共轭量的对应，解析函数及其分部积分等，这些都是进行解决非齐次线性微分方程问题所必须具备的知识。
在求解特解时，主要是通过计算微分系数，解它们的积分表达式，再通过求和或者其他方法得出最终答案。
计算机科学的发展，给阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法带来了更多便利。
如今，已经有很多种具有优良性能的软件在处理这类数学问题上发挥了关键作用。
这些软件不仅可以提升计算效率，而且有效解决了复杂问题，也使得研究及科学实验更为便捷。
总之，阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法是解决物理问题所必备的基础方法。
在计算机的帮助下，已经可以解决大量的复杂问题，从而大大提高了研究实验的便捷性。
第三讲§4.3 n阶常系数线性非齐次方程的解法
第三讲§4.3 n 阶常系数线性非齐次方程的解法(4学时)教学目的: 本节主要讨论n 阶常系数线性非齐次方程的解法.教学要求: 掌握n 阶常系数线性非齐次方程的一些解法.教学重点: n 阶常系数非齐次线性方程的待定指数函数法.教学难点: 特征根法和待定系数法教学方法: 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
教学手段: 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
教学过程:本节研究n 阶常系数线性非齐次方程()(1)11[]()n n n n L y y a y a y a y f x --'≡++++= (4.33) 的求解问题，这里))(,,(21为连续函数而常数x f a a a n .上一节我们给出了齐次常系数方程通解的求法，下面我们来研究非齐次方程的解法，从非齐次线性方程解的结构定理知，要求非齐次常系数方程的通解，只需求出非齐次线性方程的一个特解即可，第一节给出了求特解的一个方法-----常数变易法，但这方法求解很繁琐,而且必须经过积分运算,下面将给出比较简单的求解方法---待定系数法，其计算较为简便，但主要适用于非齐次项的某些情形。
这里我们只考虑如下两种类型的非齐次项()()x m f x p x e α=(1)(2)()[()cos ()sin ]x m m f x e P x x P x x αββ=+其中(1)(2)(),(),()m m m p x P x P x 是多项式，,αβ是常数。
4.3.1 第一类型非齐次方程特解的待定系数法.现在，考虑()()x m f x p x e α=时，非齐次方程(4.33)的特解的求法。
先从最简单的二阶方程x y py qy eα'''++= (4.34)开始。
因为x e α经过求任意阶导数再与常数线性组合后，仍是原类型函数，所以，自然猜想到(4.34)有形如x y Ae α= (4.35)的特解，其中A 为待定常数。
n阶常系数线性非齐次方程解法
n 阶常系数线性非齐次方程解法对于形如()(1)'11()n n n n y a y a y a y f x --++++=的解法，它的通解等于其对应的齐次方程()(1)'110n n n n y a y a y a y --++++=的通解与它本身的一个特解之和.比较系数法（待定系数法）下面分两种类型讨论:01设1011()()m m t m m f t b t b t b t b e λ--=++++，其中λ及(0,1,,)i b i m =为实常数.当λ不是特征根时，()(1)'11()n n n n y a y a y a y f x --++++=有形如1()()x m y x Q x e λ=的特解，其中1011()m m m m m Q x q x q x q x q --=++++当λ是k （1k ≥）重特征根时，()(1)'11()n n n n y a y a y a y f x --++++=有形如()x m k 1ex x x y λ）（Q =的特解，其中1011()m m m m m Q x q x q x q x q --=++++，对于）（x y 1中的）（x m Q 的系数，则可以由待定系数法求得. 例11求方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解解 先求对应齐次方程065=+'-''y y y 的通解，其特征方程是0652=+-λλ;故特征根为322,1==λλ， 从而，对应齐次线性方程通解为x x e c e c y 3221+=;由于0=λ不是特征根，因而已知方程有形如c Bx A y ++=21x 的特解. 为确定C B A ,,将它代入原方程中，由于A y B Ax y 2,2=''+=',故 2106)(6x 25222+-=++++-x x c Bx Ax B A A ）（. 比较上式等号两端x 的同次幂系数，可得 001===C B A ，，,故已知方程特解为21x y =，则原方程的通解为 x x e c e c x y 32212++=.例12 求方程x e y y y 2244=+'-''.解 由于0442=+-λλ则221==λλ故齐次方程通解为： )(212c c e y x += ，由于2=λ为二重特征根,故有 x e Ax 221y =,故 x e x A 221y 1==，,则原方程的通解为 )(y 21222x c c e e x x x ++=.︒2设t e t t B t t A t f αββ]sin )(cos )([)(+=，其中βα，为常数，而)(,t t B A ）（是带实系数t 的多项式，其中一个的次数为m ，一个的次数不超过m ，则有形如t k e t t Q t t P t x αββ]sin )(cos )([+=的特解.其中k 为特征方程0=）（λP 的根的重数，而)(),t (t Q P 均为特定的带实系数的次数不高于m 的t 的多项式 根据欧拉公式，有ie e x e e x xi x i x i x i 2sin ,2cos ββββββ---=+= 则x i x i x x i x i x x i x i e t B e t A e ie t B e e e t A tf )()()(~)(~2e )(2)()(βαβααββαββ-+--+=-++= 再利用迭加原理,于是有两种形式：（1） 如果βαi ±不是特征根，则特解具有形式]sin cos [)2()1(1x Q x Q e y m m x ββα+=其中)(),()2()1(m x Q x Q m 是系数待定的m 次多项式.（2）如果βαi ±是k 重特征根，则特解应具有形状]sin )(cos )([)2()1(1x x Q x x Q e x y m m ax k ββ+=. 例13 求解方程t t x x 2cos sin ''-=+.解 先求对应的齐次方程0''=+x x ，我们有012=+λ,故特征根为i i -==21,λλ；由于迭加原理，则原方程可化为⎩⎨⎧-=+=+''tx x t x x 2cos sin '' (1)对于t x x sin ''=+，由于i i ±=±βα是特征根，故方程tx x sin ''=+具有形如)cos cos (1t B t A t x +=的特解，现将上式代入t x x sin ''=+，则0,21=-=B A ; 则t x x sin ''=+的通解为t t c t t c t t x sin )(cos )(cos 21~'2'1++-=. (2)对于t x x 2cos ''-=+，由于i i 2±=±βα不是特征根，故方程t x x 2cos ''-=+具有形如)2sin 2cos (1t B t A x +=的特解.现将上式代入t x x 2cos ''-=+，则031==B A ，, 则t x x 2cos ''-=+的通解为t c t c t x sin ~cos ~2cos 31~21++=. 故原方程的通解为t t t t c t c x 2cos 31cos 21sin cos ~21+-+=. 总结：比较系数法用于方程右端)(t f 是某些基本函数的情况，常见的有：多项式，指数函数，正弦（或余弦）函数以及它们的某种乘积组合，然后根据)(t f 的前面所归纳的类型，从而求出方程的特解，进而求出通解.拉普拉斯变换 []9它无需求出已知方程的通解，而是直接求出它的特解来，从而在运算上得到很大简化，这一方法的基本思想是：先通过拉普拉斯变换将已知方程化为代数方程，求出代数方程的解，再通过逆拉普拉斯变换，便可得到所求初值问题的解.由积分dt t f e s F st )()(0⎰+∞-=所定义的确定于复平面上的复变数s 的函数)(s F 称为)(t f 的拉普拉斯变换，其中)(t f 与0≥t 有定义，且满足不等式t Me t f σ )(，这里M,σ为某两个正常数，这时)(t f 为原函数，而)(s F 称为像函数.例14 求函数at e t f =)(的拉普拉斯变换.解 []⎪⎩⎪⎨⎧≤∞>-=-===ℵ+-∞+-∞+-⎰⎰a s a s a s e s a dt e dt e e e t s a t s a at st at ,,1|10)(0)(0 . 例15 解方程21')0('')0(,0;sin -===+x x t x x .解 由于[][]t x x sin '' =+，从而2211)(21)(ss x s x s +=++ 则 )1(212111)1)((2222s s s s s x +-=-+=+， 故 222)1(121)(s s s x +--=， 由于 []222)1(1cos s s t t +-= ， 故所求初值解为 t t t x cos 21)(-=.当然，方法本身也有一定的局限性，它要求所考察的微分方程的右端函数必须是原函数，否则方法就不适用了，关于拉普拉斯变换的一般概念及基本性质，请参阅有关书籍.。
非齐次、常系数线性微分方程的求解思路与方法
非齐次、常系数线性微分方程的求解思路与方法
n阶齐次常系数线性微分方程
右边项为f(x)的n阶常系数非齐次线性微分方程为
基于线性微分方程解的结构有如下n阶非齐次常系数线性微分方程(**)解的求解步骤与过程：
第一步：用特征方程法求对应常系数齐次线性微分方程的通解；
第二步：用待定函数法求非齐次微分方程的特解；如果右边函数项f(x)不符合标准类型，则需要借助于叠加原理分解成标准类型求解；
情形1
其中P m(x)是m次多项式。
可设特解为
其中k是λ作为特征根的重数，Q m(x)是m次待定多项式。
情形2
其中P m(x)为m次多项式，β≠0。
可设特解为
其中k是α±βi作为特征根的重数，Q m(x)，R m(x)是m次待定多项式。
第三步：基于非齐次线性微分方程解的结构，写出通解。
非齐次、常系数线性微分方程的求解参考课件节选：
小贴士。
n阶非齐次方程的通解
n阶非齐次方程的通解
n阶非齐次方程的通解是指在非齐次线性微分方程中，能够解出该方程的所有解的一般形式。
n阶非齐次方程的通解可以通过多种方法求解，其中最常用的是特解法和常数变易法。
特解法是通过猜解出一个特解，再利用相应的齐次方程求出通解。
对于n阶非齐次方程，我们先猜测一个特解，然后将其代入方程中，消去齐次方程的解，得到一个关于特解的方程。
通过求解这个方程，我们可以得到特解的具体形式。
最后，将特解和齐次方程的解相加即可得到n阶非齐次方程的通解。
常数变易法是通过将n阶非齐次方程的通解表示为一般形式 y = yc + yp，其中yc为对应的齐次方程的通解，yp为一个特解。
然后，我们利用常数变易法来求出特解yp的具体形式。
具体来说，我们将yp表示为一组未知常数的线性组合，然后将其代入原方程中，通过
解线性方程组得到这组未知常数的值，最终得到特解yp的具体形式。
在实际应用中，选择何种方法求解n阶非齐次方程的通解取决于方程的具体形式以及求解的难易程度。
一般来说，特解法更适用于求解形如y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)的非齐次方程，而常数变易法则更适用于求解形如y'' + ay' + by = f(x)的非齐次方程。
总之，n阶非齐次方程的通解在数学和物理学中有着广泛的应用，对于求解一些实际问题具有重要意义。
不同的方法可以用来求解n阶非齐次方程的通解，我们可以根据具体情况选择合适的方法来解决问题。
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第三讲§4.3 n 阶常系数线性非齐次方程的解法(4学时)教学目的: 本节主要讨论n 阶常系数线性非齐次方程的解法.教学要求: 掌握n 阶常系数线性非齐次方程的一些解法.教学重点: n 阶常系数非齐次线性方程的待定指数函数法.教学难点: 特征根法和待定系数法教学方法: 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
教学手段: 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
教学过程:本节研究n 阶常系数线性非齐次方程()(1)11[]()n n n n L y y a y a y a y f x --'≡++++= (4.33) 的求解问题，这里))(,,(21为连续函数而常数x f a a a n .上一节我们给出了齐次常系数方程通解的求法，下面我们来研究非齐次方程的解法，从非齐次线性方程解的结构定理知，要求非齐次常系数方程的通解，只需求出非齐次线性方程的一个特解即可，第一节给出了求特解的一个方法-----常数变易法，但这方法求解很繁琐,而且必须经过积分运算,下面将给出比较简单的求解方法---待定系数法，其计算较为简便，但主要适用于非齐次项的某些情形。
这里我们只考虑如下两种类型的非齐次项()()x m f x p x e α=(1)(2)()[()cos ()sin ]x m m f x e P x x P x x αββ=+其中(1)(2)(),(),()m m m p x P x P x 是多项式，,αβ是常数。
4.3.1 第一类型非齐次方程特解的待定系数法.现在，考虑()()x m f x p x e α=时，非齐次方程(4.33)的特解的求法。
先从最简单的二阶方程x y py qy eα'''++= (4.34)开始。
因为x e α经过求任意阶导数再与常数线性组合后，仍是原类型函数，所以，自然猜想到(4.34)有形如x y Ae α= (4.35)的特解，其中A 为待定常数。
将(4.35)代入(4.34)得到 2()x x A p q e e αααα++=则21A p qαα=++ (4.36) 这样，当α不是特征方程20p q λλ++=的根时，则用(4.36)所确定的A 代入(4.35)便得到(4.34)的特解。
当α是特征方程20p q λλ++=的单根时，即20p q αα++=，这时(4.36)无法确定A 。
此时可设特解为x y Axe α= (4.37)并将它作为形式解代入(4.34)式，得2()(2)x x x A p q xe A p e e αααααα++++=因α是单特征根，故可解出12A pα=+ (4.38) 这时(4.34)便有形如(4.37)的特解，其中A 由(4.38)确定。
如果α是特征方程20p q λλ++=的重根，则2p α=-，这时(4.37)的形式已不可用。
此时，可设特解为2xy Ax e α= (4.39)将它作为形式解代入(4.34)得到 2()(2)2x x x x A p q xe A p e Ae e ααααααα+++++=由于α是二重根，故上式左端前两个括号内的数为零，由此得到12A = 综上所述，可以得到如下结论：如果α不是特征方程20p q λλ++=的根，则(4.34)有形如(4.35)的特解；如果α是特征方程20p q λλ++=的单根，则(4.34)有形如(4.37)的特解；如果α是特征方程20p q λλ++=的重根，则(4.34)有形如(4.39)的特解。
例1 求方程 53x y y e '''-=的通解。
解 先求齐次通解，特征方程为230λλ-=，特征根为120,3λλ==故齐次方程的通解为 312x y C C e =+。
由于5α=不是特征根，故已知方程有形如51x y Ae =的解。
将它代入原方程，得到 5552515x x x Ae Ae e -= 于是110A =，已知方程有特解，从而得通解 3512110x x y C C e e =++。
例2 求方程 12x y y e ''-=的通解。
解 易见对应齐次方程的特征方程为 210λ-=，特征根为 1λ=±，所以对应齐次方程的通解为12x x y C e C e -=+由于1α=是特征方程的根，故已知方程有形如 1x y A x e =的特解。
将它代入原方程，得122x x x x Ae Axe Axe e +-=从而14A =，故114x y xe =，由此得通解 1214x x x y C e C e xe -=++. 上述关于二阶方程的结果，可以推广到n 阶常系数线性非齐次方程(4.33)上.设()m P x 是m 次实或复系数多项式，1011()()()(1)x x m m m m m f x e P x e p x p xp x p m αα--==++++≥ (4.40) （1）当α不是特征根时，(4.33)有形如1()x m y Q x e α=的特解，其中 1011()m m m m m Q x q x q x q x q --=++++ 。
（2）当α是(1)k ≥重特征根时，(4.33)有形如1()k x m y x Q x e α=的特解，其中1011()m m m m m Q x q x q x q x q --=++++ 。
例3 求方程 2566102y y y x x '''-+=-+ 的通解。
解 先求对应齐次方程的通解，由于其特征方程为 2560λλ-+=，特征根为122,3λλ==，从而对应齐次方程的通解为2312x x y C e C e =+因为0α=不是特征根，因而已知方程有形如21y Ax Bx C =++的特解。
为确定系数,,A B C ，将它们代入原方程中。
可得1,0,0A B C ===。
故已知方程的特解为 21y x =，它的通解为23212x x y C e C e x =++。
例4 求方程 2552y y x x '''-=-+的通解。
解 对应齐次方程的特征方程为λ２－5λ＝0， λ(λ－5)＝0特征根为120,5λλ==，齐次方程的通解为512x y C C e =+由于0α=是单特征根，故已知非齐次方程有形如21()y x Ax Bx C =++的特解.将它代入已知方程，并比较x 的同次幂系数，得1,0,03A B C === 故3113y x =，最后可得所求通解 351213x y x C C e =++ 例5 求方程y ″－4y ′+4y ＝2e 2x的通解.解 由于λ2－4λ＋4＝0，1,22λ=故齐次方程通解为212()x y e C C x =+由于2α=是二重特征根，故已知非齐次方程有形如221x y Ax e =的特解．将它代入已知方程，比较x 的同次幂系数，得1A =所求通解为22212()x x y x e e C C x =++4.3.2 第二类型非齐次项特解的待定系数解法考虑(1)(2)()[()cos ()sin ]x m m f x e P x x P x x αββ=+时，非齐次方程(4.33)的特解的求法．设上式中的(1)()m P x 与(2)()m P x 是x 的次数不高于m 的多项式，但二者至少有一个的次数为m .根据欧拉公式，有cos ,sin 22i x i xi x i x e e e e x x iββββββ--+-== 这样一来f (x )可改写成 (1)(2)(1)(2)()()()()()22()()i x i x i x i xxx m m i x i x m m e e e e f x P x e P x e i P x e P x e ββββαααβαβ--+-+-=+=+ (4.4.1)其中， (1)()m Px , (2)()m P x 是m 次多项式. 因此，(4.41)式相当于两个(4.40)形状的函数相加.再由非齐次方程的一个性质——迭加原理，情形(4.41)可化为情形(4.40).下面就来介绍迭加原理. 迭加原理 设有非齐次方程12[]()()L y f x f x =+ （4.42） 且12(),()y x y x 分别是方程12[](),[]()L y f x L y f x ==的解，则函数12()()y x y x +是方程(4.42)的解.证明 由于 1122[()](),[()]()L y x f x L y x f x == 故有 121212[()()][()][()]()()L y x y x L y x L y x f x f x +=+≡+证毕.根据迭加原理，就可以把情形(4.41)化为(4.40)了. 再根据对于(4.40)讨论的结果，我们有如下的结论：(1) 如果i αβ±不是特征根，则(4.33)有形如(1)()(2)()1()()i x i x m m y Q x e Q x e αβαβ+-=+ (4.43)的特解，其中(1)()m Q x 与(2)()m Q x 是m 次多项式；(2) 如果i αβ±是k 重特征根，则(4.33)有形如(1)()(2)()1[()()]k i x i x m m y x Q x e Q x e αβαβ+-=+ (4.44)的特解，其中(1)()m Q x 与(2)()m Q x 是m 次多项式.为了求得对于(4.41)的情形方程(4.33)的实特解，可以由()i x e αβ±的定义，将(4.43)与(4.44)化成三角函数的形式.于是，对应于上述两种情形，有：(3) 如果i αβ±不是特征根，则特解具有形状(1)(2)1[()cos ()sin ]x m m y e Q x x Q x x αββ=+其中(1)()m Q x 与(2)()m Q x 是系数待定的m 次多项式.(4)如果i αβ±是k 重特征根，则特解应具形状(1)(2)1[()cos ()sin ]k x m m y x e Q x x Q x x αββ=+其中(1)()m Q x 与(2)()m Q x 是系数待定的m 次多项式.(1)()m Q x ，(2)()m Q x 的系数的求法和上面类似，即把1y 代入原方程，再比较x 的同次幂系数即可求得.值得注意的是，即使在(1)(2)(),()m m P x P x 中有一个恒为零，这时方程(4.33)的特解仍具有形状(4.43)，(4.44).即不能当(1)()m P x ≡0时在(4.43)或(4.44)中就令(1)()m Q x ≡0，而(2)()0m P x ≡时，就令(2)()0m Q x ≡例6 求方程y ″＋y ′－2y = e x (cos x －7sin x )的通解.解 先求解对应的齐次方程：y ″＋y ′－2y = 0我们有 21220,1,2λλλλ+-===-212x x y C e C e -=+因为数i αβ±=1±i 不是特征根，故原方程具有形如1(cos sin )x y e A x B x =+的特解.将上式代入原方程，由于111(cos sin )[()cos ()sin ][2cos 2sin ]x x x y e A x B x y e A B x B A x y e B x A x =+'=++-''=- 故2[2cos 2sin ][()cos ()sin ]2(cos sin )(cos 7sin )x x x x y y y e B x A x e A B x B A x e A x B x e x x '''+-=-+++--+=-或 (3)cos (3)sin cos 7sin B A x B A x x x --+=-比较上述等式两端的cos x ，sin x 的系数，可得－A +3B = 1, －3A －B = －7因此，A = 2，B = 1. 故1(2cos sin )x y e x x =+所求通解为212(2cos sin )x x x y e x x C e C e -=+++例7 求方程y ″+ y ′= 2sin x的通解.解 齐次方程是y ″+ y ′= 0，我们有21,210,i λλ+==±12cos sin y C x C x =+由于i αβ±=±i 是特征方程的单根，故所求特解应具形式1(cos sin )y x A x B x =+现将上式代入原方程，确定系数A ，B . 由于111(cos sin )(cos sin )(sin cos )()cos ()sin (2)cos (2)sin y x A x B x y A x B x x A x B x A Bx x B Ax xy B Ax x A Bx x =+'=++-+=++-''=--+112cos 2sin 2sin y y B x A x x ''+=-= 可求得 A ＝－1，B ＝01cos y x x =-因而，所求通解为12cos cos sin y x x C x C x =-++例8 求方程y ″－6y ′＋5y ＝－3e x ＋5x 2的通解.解 对应的齐次方程是y ″－6 y ′＋5y ＝0. 我们有212650,1,5λλλλ-+===故它的通解是512x x y C e C e =+.因为原方程右端由两项组成，根据迭加原理，可先分别求下述二方程y ″－6y ′＋5y ＝－3e xy ″－6y ′＋5y ＝5x 2的特解，这二特解之和即为原方程的一个特解.对于其中第一个方程，有 1133,,44x x y Axe A y xe === 对于第二个方程，有 221262,1,,525y Ax Bx C A B C =++=== 221262525y x x =++ 因而， 212312624525x y y xe x x +=+++ 为原方程的一个特解，其通解为 2512312624525x x x y xe x x C e C e =+++++ 本节要点：本节主要内容是介绍如何求解n 阶常系数线性非齐次方程的解法．非齐次方程解法主要有两种，即常数变易法和待定系前者应用泛围较广，而后者只适用某些特殊的非齐次项形式．这里我们把非齐次项分成两个类型加以讨论，但是其核心思想是一致的，即多项式和指数函数的导数还是同类函数，这是待定系数法可行性的基础．作业：习题4.3 page2001，3，5，7，9。