角平分线复习
线段的垂直平行线与角平分线专题复习
线段的垂直平行线与角平分线专题复习本文档将重点复线段的垂直平行线与角平分线的相关知识。
以下是考察这一专题的关键点：1. 垂直平行线：- 定义：两条直线垂直或平行的关系。
- 特点：垂直线的斜率相乘为-1；平行线的斜率相等。
- 判定方法：- 斜率判定法：比较两条直线的斜率。
- 截距判定法：比较两条直线的截距。
- 两组垂直线的特点：斜率之乘积为-1，截距之和为0。
2. 角平分线：- 定义：将一个角分成两个相等的角的直线。
- 特点：角平分线将角分成两个相等的角。
- 判定方法：- 角度判定法：两条角平分线互相垂直。
- 斜率判定法：两条角平分线的斜率的倒数相等。
3. 例题：以下例题旨在帮助你巩固对线段的垂直平行线与角平分线的理解：1. 两条直线的斜率分别为$k_1=2$和$k_2=-\frac{1}{2}$，判断它们的关系。
2. 有一个角，将其平分成两个相等的角。
该角的角度为$80^\circ$，求两个相等角的度数。
3. 给定两条直线的斜率，求它们的角平分线的斜率。
4. 答案：1. 两条直线的斜率分别为$k_1=2$和$k_2=-\frac{1}{2}$，根据斜率判定法可以判断它们为垂直关系。
2. 有一个角，将其平分成两个相等的角。
该角的角度为$80^\circ$，因为两个相等角角度相等，所以每个相等角的度数为$\frac{80^\circ}{2}=40^\circ$。
3. 给定两条直线的斜率$k_1$和$k_2$，根据斜率判定法，角平分线的斜率即为$\frac{\frac{k_1+k_2}{2}}{-1}$。
希望这份文档能够帮助你复习线段的垂直平行线与角平分线的专题。
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角的平分线的性质复习课程
角的平分线的性质一.基础知识1角的平分线的性质(1) 内容角的平分线上的点到角的两边的距离相等.(2) 书写格式如图所示，•••点P在/ AOB勺角平分线上，PD丄OA PEL OB••• PD= PE2. 角的平分线的判定(1) 内容角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.(2) 书写格式如图所示，•/ PD L OA PE L OB PD= PE•••点P在/ AOB勺角平分线上.3. 运用角的平分线的性质解决实际问题运用角的平分线的性质的前提条件是已知角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离.在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中常常出现求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的平分线即可.运用角平分线的性质解决实际问题时，一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角的平分线上的点，这个过程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法.4•运用角的平分线的判定解决实际问题在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型（角的平分线）•然后根据已知某点到角两边的距离相等，则常常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题.解技巧巧用角的平分线的性质和判定解决问题能根据已知条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键.找到解决问题的切入点就是已知条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点.5•综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题角的平分线的性质和判定的关系如下:对于角的平分线的性质和判定，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质”和“判定”恰好是条件和结论的互换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据.析规律构造角的平分线的模型证明线段相等当有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线，根据角平分线的性质得线段相等. 同样，欲证明某射线为角平分线时，只需过其上一点向角的两边作垂线，再证线段相等即可.6•运用角的平分线的性质和判定解决探究型问题在实际问题中，确定位置（如建货物中转站、建集市、建水库等）的问题，常常用到角的平分线的性质来解决.尤其是涉及作图探究的题目，性质“角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上”的应用是寻找角的平分线的一种比较简单的方法.三角形有三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到该三角形三边的距离都相等，其实只要作出其中两条角平分线的交点，第三条角平分线一定过此交点.三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到该三角形三边所在的直线距离相等.三角形外角平分线共有三条，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.【例6】如下图所示，三条公路丨1,丨2,丨3两两相交于A B, C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？解：三角形的三条角平分线的交点到该三角形三条边的距离相等；/ ACB / ABC的外角平分线交于一点，利用角的平分线的性质和判定定理，可以得到此点也在/ CAB的平分线上，且到公路l i,丨2,丨3的距离相等；同理还有/ BAC / BCA勺外角平分线的交点；/ BAC / CBA勺外角平分线的交点，因此满足条件的点共有4个.(2)分别作出/ ACB / ABC的外角平分线的交点02,/ BAC / BCA的外角平分线的交点03,/ BAC / CBA的外角平分线的交点04;故满足条件的修建点有四处，即点01, 02, 03 04处.课堂练习一、填空题精品文档O1.1 •已知：△ ABC中，/ B=90°, / A、/ C的平分线交于点0,则/ A0C勺度数为2. ________________________________ 角平分线上的点到巨离相等；到一个角的两边距离相等的点者E在____________.3. / A0B的平分线上一点M , M到0A的距离为1.5 cm,则M到0B的距离为4 .如图，/ A0=60°, CDL 0A于D, CEL 0B于E,且CD=CE则/ D0C ________5. 如图，在△ ABC中,/ C=90°, AD 是角平分线，DE L AB 于E,且DE=3 cmBD=5 cm 贝U BC= __ m6. 如图，CD为Rt△ ABC斜边上的高，/ BAC的平分线分别交CD CB于点E、F,FGLAB,垂足为G,贝U CF FG CE CF7. 如图，已知AB CD相交于点E,/ AEC及/ AED的平分线所在的直线为PQ与MN则直线MN与PQ的关系是_________ .8. ___________________________________________________________ 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到__________________________ 目等.9. 点0是厶ABC内一点，且点0到三边的距离相等，/ A=60°，则/BOCK度数为______________ .10. 在^ABC 中，/ C=90°, AD 平分/ BAC 交 BC 于 D,若 BC=32且 BD: CD=9 : 7,则D 到AB 的距离为 ______________ .、选择题 11.三角形中到三边距离相等的点是（ ）12•如图，/ 1二/2, PD 丄OA PE 丄OB 垂足分别为 D, E ,下列结论错误的是（ ）A PD= PEB 、O 亠 OEC / DPO^Z EPOD PD= OD13•如图，直线丨1, l 2, I 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（A 、1处14•如图，△ ABC 中,/ C = 90°, AC= BC , E ,且A 吐6血，则厶DEB 勺周长为（第14题A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 三条中线的交点D 三条角平分线的交点AD 平分/ CAB 交 BC 于 D, DEL AB 于A 、4 cmC 、 10 cmD 不能确定第12题13A题15 •如图，MPL NP MQ%A MNP的角平分线，MF Mp连接TQ则下列结论中不正确的是（）A、TQ= PQ B、/ MQ壬/ MQP C / QTN b 90° D / NQT^Z MQT 16•如图在厶ABC中, Z ACB=90°, BE 平分/ ABC DEL AB 于D,如果AC=3 cm17•如图，已知AB=AC, AE=AF, BE与CF交于点D,则对于下列结论：①△ ABE ACF②厶BDF^A CDE③D在Z BAC的平分线上.其中正确的是（）18. 如图，AB=AD CB=CD AC BD相交于点O,则下列结论正确的是（精品文档那么AE+DE等于（）A. 2 cmB. 3 cmC. 4 cmD. 5 cmC .①和②D .①②③A.①A. 0/=0CB.点O到AB CD的距离相等C.Z BD金/BDCD.点O到CB CD的距离相等19. A ABC中，/ C=90。
三角形的角平分线专题复习
三角形的角平分线专题复习一、三角形两角平分线夹角与第三个角的关系1、已知：如图，在⊿ABC 中，BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，BD 与CE 交于点P 。
试确定∠P 与∠A 的数量关系．2、已知：如图，在⊿ABC 中，BP 平分∠CBD ，CP 平分∠BCE ，试确定∠P 与∠A 的数量关系．3、已知：如图，在⊿ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACD ，试确定∠P 与∠A 的数量关系．4、已知：如图，在⊿ABC 中，BP 1平分∠ABC ，CP 1平分∠ACD ， BP 2平分∠P 1BC ，CP 2平分∠P 1CD ，…试确定（1）∠P 2与∠A 的数量关系． （2）∠Pn 与∠A 的数量关系．二、三角形内角或外角平分线交点与三角形三边所在直线距离的关系AB C P D EAB CP D EAB C PD ABC D P 1P 2P n…1、已知：如图，在⊿ABC 中，BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，BD 与CE 交于点P 。
求证：点P 在∠A 的平分线上．练习1、找出到⊿ABC 三边距离相等的点练习2、如图，点P 是△ABC 的内心，点P 到AB 边的距离为1，△ABC 的周长为10，则△ABC 的面积为___________2、已知：如图，∠CBD 和∠BCE 是⊿ABC 的外角，BP 平分∠CBD ，CP 平分∠BCE ，判断点P 是否在∠A 的平分线上？3、已知：如图，∠ACD 是⊿ABC 的外角，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACD ，判断点P 是否在∠A 的平分线上 AB P AB C P D EAB C AC B CDEPAD C练习3、找出到a ，b ，c 三条直线距离相等的点练习4、（思考题）如图，在△ABC 中，∠ABC=105°，∠ACB=40°，CE 是角平分线，F 是CB 延长线上的一点，D 是AC 上一点， ∠CBD=30°，求∠ABF 和∠ADE 的度数.三、角平分线与平行线1、如图，在⊿ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，过O 点作EF ∥BC ，交AB 于E ，交AC 于F ，BE =5，CF =3，求EF 的长．2、已知，在⊿ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D ，过D 作DE//BC 交AC 与F ，交AB 于E ，求证：EF=BE －CFcbaF E D C B A O A B E C F AB C D EF G。
角平分线(复习)
EDCBAADBC《与角平分线有关的问题》复习学案 学习目标：1、 掌握角平分线的性质与判定定理2、 知道与角平分线有关问题的常见辅助线的作用 专题训练一：1、 如图：AB=AC ，BD 平分∠ ABC ，CD 平分∠ ACB ，EF ∥ BC 交AB 、AC 于E ，F ，且经过点D ，问：线段EF 与线段BE ，CF 有何数量关系？2、 如图，在△ABC 中，BI 、CI 分别平分∠ABC 、∠ACF ，DE 过点I ，且DE ∥ BC ．BD=8cm ，CE=5cm ，求DE 的长。
3、已知：如图，)(AC AB ABC ≠∆中，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF ∥AB,交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠专题训练二：1、如图所示，AB ∥CD ，∠B=90º，E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC ，求证：AE 平分∠DAB 。
2、如图在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC ，BD 平分∠ABC ．求证：︒=∠+∠180C A .3、已知：如图，在 ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠1=∠2，求证：BC=AB+AD．专题训练三：B C1、如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，求△EDF的面积。
2、如图，O是三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OD=3，△ABC的周长为15，求S△ABC 。
专题训练四：1、如图，在△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2=∠1+∠C．2、已知：如图，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BE ，求证：BD=2CE．。
角平分线性质复习
角的平分线的性质一、知识点：1．角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。
图形表示：若CD平分ADB,点P是CD上一点PE AD于点E，PF BD于点F，则PE=PF。
2．角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上。
若PE AD于点E，PF BD于点F，PE=PF，则PD平分ADB3.角平分线的尺规作图4．三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。
二、经验与提示1．角的平分线是射线，三角形的角平分下线是线段。
2．证明线段相等的方法：1）三角形全等；2）角的平分线的性质。
3．证明角相等的方法：1）三角形全等；2）角的平分线的判定。
三、典型例题：例1：如图，DABC中C=90°，AD平分BAC，点D在BC上，且BC=24，CD:DB=3:5求：D到AB的距离。
解：过D作DE AB于E。
∵AD平分BAC，DE AB，DC AC∴DE=CD∵BC=24，CD:DB=3:5∴CD=24 =9例2：如图，ACB=90°,BD平分ABC 交AC于D，DE AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F.求证：AE=CF证明：∵BD平分ABC，DE AB,DC BF∴DE=DC在DADE和DFCD中∴DADE DFCD(ASA)∴AE=CF例3：如图，已知AB=AC,AD=AE,DB与CE 相交于O(1)若DB AC,CE AB,D,E为垂足，试判断点O的位置及OE与OD的大小关系，并证明你的结论。
(2)若D，E不是垂足，是否有着这样的结论？并证明你的结论。
解：（1）∵AB=AC,AD=AE∴BE=CD∵DB AC,CE AB,∴BEO= CDO=90°在DBEO和DCDO中∴DBEO DCDO∴EO=DO∵EO AB,DO AC∴点O在A的平分线上（2）点D,E不是垂足时，（1）的结论仍然成立，连接AO在DABD和DACE中∴DABD DACE ∴B= C∵AB=AC,AD=AE∴EB=CD在DBEO和DCDO中∴DBEO DCDO∴EO=DO在DAEO和DADO中∴DAEO DADO∴EAO= DAO∴O点在A的角平分线上四、练习题1.已知，点P是DABC的角平分线AD上一点,PE AB于E,PF AC于F，则PE=________,AE=_________.点Q在DABC 内，QM BC于点M，QN BA于点N，QM=QN，则点Q在___________________________.2.已知，如图，四边形ABCD内一点P到三边AB、BC、CD的距离相等，则点P的准确位置在____________________________________.3.如果三角形内一点到三条边的距离相等，那么这点是三角形三条_________线的交点。
角平分线的性质与判定复习
一、角平分线的性质与判定 1.角平分线是 的集合。
2.如图，是一个平分角的仪器，其中AB ＝AD ，BC ＝DC ，沿着AC 画一条射线AE ，AE 就是∠BAC 的 。
这种平分角的方法告诉了我们一种作已知角的平分线的方法。
请你作出∠AOB的平分线。
3.角平分线的性质： 。
几何语言： ∵ （或 = ） ⊥ ， ⊥ ∴ = 已知：∠AOC = ∠BOC ，点 P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， 垂足分别为D ，E ．求证：PD =PE ．（请写出证明过程） 4.角平分线的判定： 。
几何语言： ∵ = ， ⊥ ∴ （或 = ） 5.四边形ABCD 中，AD=CD ，AB=CB.我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“ ”。
如图，（1）AC 与BD 的关系如何？ （2）AC 平分哪些角？（3）∠ABC 和∠ADC 相等吗？（4）有几对全等三角形？请列举出来出来。
二、相关习题 1.如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于O ．（1）求证：点O 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等． （2）点O 在∠A 的平分线上吗？试说明理由。
2.如图，已知点P 到AE ，AD ，BC 的距离相等，则下列说法：①点P 在∠BAC 的平分线上；②点P 在∠CBE 的平分线上；③点P 在∠BCD 的平分线上；④点P 是∠BAC ，∠CBE ，∠BCD 的平分线的交点，其中正确的有 （填序号）3.如图，三条公路两两相交于A 、B 、C 处，现计划修建一个加油站O ，要求到三条公路的距离相等，那么可供修建的地点有 处。
4.如图，在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD ，CE 相交于点O ．试说明AE+CD=ACD· · · · C BA E OA B A BO P C D EA BOQ M N5.已知：如图1，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，∠B 和∠D 都是直角． （1）求证：BC=CD ．（2）若将原题中的已知条件“∠B 和∠D 都是直角”放宽为“∠B 和∠D 互为补角”，其余条件不变，如图2，猜想：BC 边和邻边CD 的长度是否一定相等？请证明你的结论．6.如图，已知AB ∥CD ，0为∠CAB 、∠ACD 的平分线的交点．OE ⊥AC ，且OE=2，则两平行线AB 、CD 间的距离等于7.如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E ，F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF ＋∠BAF ＝180°，求证：DE ＝DF ．三、三角形全等的判定（补充）1.两边及其中一边上的中线分别相等的两个三角形全等。
中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.角平分线的定义：角的内部把角平均分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。
2.角平分线的性质：①平分角。
②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。
3.角平分线的判定：角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。
4.角平分线的尺规作图：具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。
如图①。
②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。
如图②。
③连接OP，OP即为角的平分线。
5.线段的垂直平分线的定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。
6.垂直平分线的性质：①垂直且平分线段。
②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
7.垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。
8.垂直平分线的吃规作图：具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。
如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。
如图②练习题1、（2022•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．2C．4 D．4+2【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故选：C．2、（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S △ACD＝．【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案为：1．3、（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，即×6•CD+×10•CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案为：3．4、（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25 B．22 C．19 D．18【分析】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD ＝AB+DC+AD＝AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∵△ABD的周长是AB+BD+AD，∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，∵AB＝7，AC＝12，∴AB+AC＝19，∴△ABD的周长是19，故选：C．5、（2022•湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．【解答】解：根据题意知，EF垂直平分AC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴AE＝AF＝CF＝CE，即四边形AECF是菱形，故①结论正确；∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，∴∠FAO＝∠ACB，∴∠AFB＝2∠ACB，故②结论正确；∵S四边形AECF＝CF•CD＝AC•OE×2＝AC•EF，故③结论不正确；若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，∴AF＝2BF，∵CF＝AF，∴CF＝2BF，故④结论正确；故选：B．33．（2022•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长．【解答】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，∴BD＝CD，∵AB＝3.7，AC＝2.3，∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，故答案为：6．34．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC 于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形内角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°．。
初中数学专题复习角的平分线 精讲精练(含解答)
角的平分线【基础知识精讲】角平分线是过角的顶点，且在角的内部的一条射线，它把一个角分成两个相等的角，它与角的两边三线共点.(角的顶点)角平分线是到角两边距离相等的所有点的集合.关于这一点需从两个方面去说明：①角平分线上的点到角两边的距离相等.②到角两边距离相等的点在角平分线上.进而推广到一般，若要证明某一图形B 是满足条件A 的点的集合，要说明两点：①图形B 上的所有点满足条件A.②满足条件A 的所有点都在图形B 上.关于命题“角平分线上的点到角两边距离相等”的证明，先要分清题目的题设部分及结论部分.依照命题准确作出图形，写出已知、求证，再利用相关知识进行证明，这也是证明一个命题(定理)的几个基本步骤.角平分线性质定理及其逆定理(判定定理)的证明分别利用了全等三角形中“AAS ”定理及“HL ”公理.本节还介绍了互逆命题及互逆定理，两个命题若条件（题设）与结论位置互换，即一个命题条件是另一个命题的结论，同时它的结论是另一命题的条件，则两命题互为逆命题.若一个定理的逆命题是真命题，则称逆命题为该定理的逆定理.这两个定理互为逆定理. 应当注意，每个命题都有逆命题，每个定理也有逆命题，但不一定有逆定理，只有当逆命题正确而成为定理时，才是原定理的逆定理.一个命题的正确与否与它的逆命题正确与否无关.难点：是“角平分线是到角两边距离相等的点的集合”这一结论的理解及运用. 例1 △ABC 中，∠C=90°，AD 为角平分线，BC=64，BD ∶DC=9∶7,求D 到AB 的距离.(图3.9-1)图3.9-1分析 设DE 为D 到AB 的距离，由角平分线性质CD=DE ，再由已知可求CD 、DE. 解 作DE ⊥AB 于E ，∵∠C=90°，DC ⊥AC ，又AD 为∠BAC 平分线，∴DC=DE ，BC=64，BD ∶DC=9∶7∴DC=167×64=28 ∴DE=28 例2 求证：三角形三条内角平分线交于一点.分析 此类命题证明需先作图，写出已知、求证，再根据条件进行证明.证明三直线共点，常用方法之一为二直线的交点必在第三条直线上，此题中，可考虑如图3.9-2，设∠ABC 与∠ACB 的平分线交于O ，再证AO 平分∠BAC.图3.9-2已知：△ABC 中，AA ′，BB ′，CC ′为角平分线，求证AA ′，BB ′，CC ′交于一点.证 设BB ′，CC ′交于O ，过O 分别作OD ⊥BC 于D ，DE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，∵O 在∠ABC 平分线上，∴OD=OF.O 在∠ACB 平分线上，∴OE=OD ∴OE=OF.∴O 在∠BAC 平分线上，即O 在AA ′上，∴AA ′，BB ′，CC ′交于一点.注：该点称为三角形内心.例3 定理“末位数字为0的整数能被5整除”是否存在逆定理？请说明理由.分析 先写出逆命题：“能被5整除的整数末位数字是0”，再说明逆命题的真假，显然这是一个假命题，我们只需举一反倒即可，例如15能被5整除，但末位数字为5，故逆命题为假命题，因此原定理没有逆定理例4 判断命题“两整数相加，和为整数”的逆命题的真假.解 逆命题为“和为整数，则两加数必为整数”，它是一个假命题，如“21+21=1，31+35=2”等，都能说明逆命题为假命题.【难题巧解点拨】例1 △ABC 的周长为41cm,边BC=17cm,角平分线AD 将△ABC 分为面积比为3∶5的两部分，且AB ＜AC ，求AB ，AC.(图3.9-3)图3.9-3分析 设AB=x,AC=y,则有x+y+17=41，而S △ABD ∶S △ADC =3∶5,此条件不好利用，故考虑AD 为角平分线，它到两边的距离相等，即△ABD 中AB 边上的高，△ADC 中AC 边上的高相等，从得求出x ∶y,进而求出x,y.解 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.∵AD 为角平分线∴DE=DF∵AB ＜AC ，∵S △ABD ∶S △ADC =（21DE ·AB ）∶（21DF ·AC ）=AB ∶AC=3∶5 ∴x+y+17=41 x ∶y=3∶5 (x ＜y)∴x=9,y=15 即AB=9cm, AC=15cm.例2 “三角形两内角平分线的交点到三角形三边距离相等”这一命题的逆命题是真命题还是假命题？图3.9-4分析 先要写出逆命题：到三角形三边距离相等的点是两内角平分线的交点.该命题是一个假命题.例如：图3.9-4，P 为△ABC 的两外角∠MBC 和∠NCB 的角平分线交点.此时P 到三边AB 、AC 、BC 的距离PD=PF=PE.而P 不为△ABC 的内角平分线交点.注意：不要误以为过点向△ABC 三边的作垂线那么垂足一定都落在边上，也可落在边延长线上，从这里入手证明逆命题为一假命题.【同步达纲练习】一、判断（3分×8=24分）( )1.P 为∠AOB 内一点，C 在OA 上，D 在OB 上，若PC=PD ，则OP 平分∠AOB.( )2.到角两边距离不相等的一点一定不在角平分线上.( )3.因为“三内角对应相等的两个三角形全等”是假命题，所以它的逆命题也是假命题.( )4.三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三顶点的距离相等.( )5.任何命题都有逆命题.( )6.任何定理都有逆定理.( )7.“三角形三条角平分线交点到三边距离相等”这个命题的逆命题是真命题.( )8.有命题“若x=y ，则x 2=y 2”的逆命题是个假命题.二、填空(4分×8=32分)1.角平分线是到角的两边 相等的所有点的 .2.三角形三内角平分线 ，该点到三边的距离 .3.“对顶角相等”的逆命题是 ，它是一个 命题.4.P 在∠MON 的角平分线上，PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，PA+PB=12，则PA= ，PB= .5.一个定理的 是正确的时，我们称它为原定理的 .6.“直角三角形有两个角是锐角”这个命题的逆命题是 ，它是一个 命题.7.定理“同位角相等，两直线平行”的逆定理是 .三、选择(5分×6=3分)1.下列说法正确的是( )A.每个命题都有逆命题B.每个定理都有逆定理C.真命题的逆命题也是真命题D.假命题的逆命题是假命题2.P 、Q 为∠AOB 内两点，且∠AOP=∠POQ=∠QOB=31∠AOB ，PM ⊥OA 于M ，QN ⊥OB 于N ，PQ ⊥OP,则下面结论正确的是( )A.PM ＞QMB.PM=QNC.PM ＜QND.PM=PQ3.下列关于三角形角平分线的说法错误的是( )A.两角平分线交点在三角形内B.两角平分线交点在第三个角的平分线上C.两角平分线交点到三边距离相等D.两角平分线交点到三顶点距离相等4.下列命题中，正确的命题有几个( )①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③不是对顶角的两个角就不相等;④不相等的角不是对顶角A.1个B.2个C.3个D.0个5.设a,b为实数，下面四个命题.①若a＞b, 则a2＞b2②若a2＞b2, 则a＞b③若a＞b，则a2＞b2④若a2＞b2则a＞b其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个6.下列命题真命题是( )A.同位角相等B.同旁内角相等，两直线平行C.不相等的角不是内错角D.同旁内角不互补，两直线不平行四、解答题(7分×2=14分)1.如图3.9-6，P为∠AOB内一点，OA=OB，且△OPA与△OPB面积相等，求证∠AOP=∠BOP.图3.9-62.△ABC的外角∠CBD，∠BCE的角平分线交于点F，求证AF平分∠BAC.【素质优化训练】1.如图3.9-7，AB=AC，AD=AE，BD、CE交于O，求证AO平分∠BAC.图3.9-72.△ABC 中，AB=BC=CA ，三内角平分线交于O ，OP ⊥AB 于P ，OM ⊥BC 于M ，ON ⊥CA 于N ，AH ⊥BC 于H.求证OP+OM+ON=AH.【生活实际运用】1.如图(3.9-8)，某铁路MN 和公路PQ 相交于点O ，且交角为90°,某仓库G 在A 区，到公路、铁路距离相等(即G 在∠NOQ 的平分线上)，且到公路与铁路的相交点O 的距离为200m.(1)在图上标出仓库G 的位置(比例尺1∶10000,用圆规作图，保留作图痕迹，不写作法)：(2)求出仓库G 到铁路的实际距离.图3.9-8参考答案：【同步达纲练习】一、1.× 2.√ 3.× 4.× 5.√ 6.× 7.× 8.√二、1.距离，集合 2.交于一点，相等 3.相等的角是对顶角，假 4.6，6 5.逆命题，逆定理 6.有两个锐角的三角形是直角三角形，假 7.两直线平行，同位角相等三、1.A 2.C 3.D 4.B 5.B 6.D四、1.作PM ⊥OA 交OA 延长线于M PN ⊥OB 交OB 延长线于N.∵S △OPA =S △OPB ∴21OA ·PM=21OB ·PN OA=OB ∴PM=PN ∴∠AOP=∠BOP 2.提示：过F 分别作三边的垂线FM ，FP ，FN. 易证FM=FP=FN ，再利用角平分线性质可得结论.【素质优化训练】1.作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N. AB=AC ∠BAD=∠CAE. AD=AE∴△ABD ≌△ACE ∴S △ABD =S △ACE ∴S △BOE =S △COD .又BE=CD ∴OM=ON ∴AO 平分∠BAC.2.S △ABC =S △OAB +S △OAC +S △OBC .21AH ·BC=21OP ·AB+21BC ·OM+21AC ·ON 又AB=BC=CA ∴OP+OM+ON=AH.【生活实际运用】(1)略 (2)1002(m)。
线段的垂直平分线和角平分线的复习
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REPORTING
目录
• 垂直平分线与角平分线基本概念 • 垂直平分线相关定理与推论 • 角平分线相关定理与推论 • 垂直平分线与角平分线在几何图形中应用 • 解题技巧与策略总结 • 练习题与答案解析
PART 01
垂直平分线与角平分线基 本概念
对称性等。
角平分线在多边形中可用于求解 角度和线段长度，如利用角平分 线性质求解多边形中的角度和边
长。
垂直平分线和角平分线的交点在 多边形中可用于求解多边形的内 切圆和外接圆以及与这些圆相关
的性质。
PART 05
解题技巧与策略总结
REPORTING
WENKU DESIGN
观察图形特征，选择合适方法
03
2. 题目
在△ABC中，AD是∠BAC的平分 线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于 点F，交BC于点G，且 DE=DF． 求证：△ABC是等腰三 角形．
04
解析
根据角平分线的性质“角的平分 线上的点到角的两边的距离相等” 可得点D在∠BAC的平分线上，再 根据等腰三角形的性质“等边对 等角”以及平角的性质证明 ∠B=∠C即可。
练习题三：证明四边形性质
题目
四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC， E、F分别是BD、AC的中点，求证： EF垂直平分AC。
解析
连接AE、CE，由于AB=CD，AD=BC， BD=BD，所以△ABD≌△CDB，从而 ∠ABD=∠CDB，又因为E是BD的中点，所以 AE=CE，又因为F是AC的中点，所以EF垂直平 分AC。
两者关系与区别
关系
垂直平分线和角平分线都是几何学中的基本概念，它们都与距离和角度有关。
角平分线复习
角平分线性质和判定复习
1. 角平分线的作法（尺规作图） 2、（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角 的两边的距离相等． ②几何表达：∵OP平分∠MON（∠1＝∠2）， PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB． （2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的 点在角的平分线上． ②几何表达： ∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB ∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）
例题3．如图，在四边形ABCD中，AC平∠BAD， 过C作CE⊥AB于E，∠ABC+∠ADC=180度， 求证：CD=BC
变式:如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作 CE⊥AB于E，并且, AE ( AB AD) 求∠ABC+∠ADC 的度数。
1 2
例题4 如图，在△ABC中， ∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、 ∠ACB， 求证：AC=AE+CD．
变式练习： 如图，∠B=600,角平分线AD和CE交与O，下列结
论正确的有（ ）个。 (1)∠AOC=1200 (2)OE=OD, (3)∠BEO+∠BDO=1800， (4)连接BO，则BO平 分∠ABC,(5)△AEO与△CDO的面积和等于 △AOC的面积（6）AE+CD=AC(7)AE=BE
C D
A
E
B
例题2 如图OC为∠AOB的平分 DE∥OBOE=DE 把其中两个作为条件，第三个作为结论，正确
E D C
O B M C
O
B
如图，已知△ABC中，AC+BC=24，AO、BO分别 是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于 M，则△CMN的周长为（ ） A．12 B．24 C．36 D．不确定
3、三角形的三条平分线交与一点
角平分线的性质和判定复习题
角平分线内容及典型例题一. 复习内容：1. 角平分线的作法．2. 角平分线的性质及判定．3. 角平分线的性质及判定的应用．二. 知识要点：1. 角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．2. 角平分线的性质及判定（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．①推导已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B．求证：PA＝PB．证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON∴∠PAO＝∠PBO＝90°∵OC平分∠MON∴∠1＝∠2在△PAO和△PBO中，∴△PAO≌△PBO∴PA＝PB②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB．（2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．①推导已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．证明：连结OP在R t△PAO和R t△PBO中，∴R t△PAO≌R t△PBO（HL）∴∠1＝∠2∴OP平分∠MON即点P在∠MON的平分线上．②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）3. 角平分线性质及判定的应用①为推导线段相等、角相等提供依据和思路；②实际生活中的应用．例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置，并说明理由．4. 画一个任意三角形并作出两个角（内角、外角）的平分线，观察交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系．三. 重点难点：1. 重点：角平分线的性质及判定2. 难点：角平分线的性质及判定的应用【考点分析】本讲内容作为基础内容来讲，它在中考题中偶尔以选择题或填空题的形式出现，但角平分线的性质及判定有时出现在综合题题目当中，因此还是比较重要的．【典型例题】例1. 已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．分析：由条件∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′，可以把点A看作是∠CBC′平分线上的点，由此可打开思路．证明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知），∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定义）．又∵AC＝AC′（已知），∴点A在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．∴∠ABC＝∠ABC′．（2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）（三角形内角和定理）．即∠BAC＝∠BAC′，∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，∴BC＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用，但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性．例2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判定定理．根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出∠1＝∠2，再利用平行线推得∠3＝∠4，最后用角平分线的定义得证．解：AD平分∠BAC．∵D到PE的距离与到PF的距离相等，∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．评析：由角平分线的判定判断出PD平分∠EPF是解决本例的关键．“同理”是当推理过程相同，只是字母不同时为书写简便可以使用“同理”．例3. 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段．解：AP平分∠BAC．结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、D．∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上，∴PD＝PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．同理PF＝PE，∴PD＝PF．∴AP平分∠BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）．例4.如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系．（1）学校距铁路的距离是多少？（2）请写出学校所在位置的坐标．分析：因为角平分线上的点到角的两边距离相等，所以点P到铁路的距离与到公路的距离相等，也是400m；点P在第四象限，求点P的坐标时要注意符号．解：（1）∵点P在公路与铁路所夹角的平分线上，∴点P到公路的距离与它到铁路的距离相等，又∵点P到公路的距离是400m，∴点P（学校）到铁路的距离是400m．（2）学校所在位置的坐标是（400，－400）．评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等．例5.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由．分析：由于点D在∠CAB的平分线上，若过点D作DE⊥AB于E，则DE＝DC．于是有BD＋DE＝BD＋DC＝BC＝AC，只要知道AC与AE的关系即可得出结论．解：能．过点D作DE⊥AB于E，则△BDE的周长等于AB的长．理由如下：∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC＝DE．在R t△ACD和R t△AED中，，∴R t△ACD≌R t△AED（HL）．∴AC＝AE．又∵AC＝BC，∴AE＝BC．∴△BDE的周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋DC＋BE＝BC＋BE＝AE＋BE＝AB．评析：本题是一道探索题，要善于利用已知条件获得新结论，寻找与要解决的问题之间的联系．本题利用角平分线的性质将要探究的结论进行转化．这是初中几何中常用的一种数学思想．【方法总结】学过“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”与“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”这两个结论后，许多涉及角的平分线的问题用这两个结论解决很方便，需要注意的是有许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用这两个结论，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论．所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路．练习题一. 选择题1. 如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系是（）A. PC＞PDB. PC＝PDC. PC＜PDD. 不能确定2. 在R t△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若BC＝10，BD∶CD＝3∶2，则点D 到AB的距离是（）A. 4B. 6C. 8D. 103. 在△ABC中，∠C＝90°，E是AB边的中点，BD是角平分线，且DE⊥AB，则（）A. BC＞AEB. BC＝AEC. BC＜AED. 以上都有可能4. （2007年浙江义乌）如图所示，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE＝3，则点P到AB的距离是（）A. 3B. 4C. 5D. 65. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误的是（）A. DC＝DEB. ∠AED＝90°C. ∠ADE＝∠ADCD. DB＝DC6. 到三角形三边距离相等的点是（）A. 三条高的交点B. 三条中线的交点C. 三条角平分线的交点D. 不能确定7. 如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB 于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（）A. 4cmB. 6cmC. 10cmD. 以上都不对8. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）A. 一处B. 二处C. 三处D. 四处二. 填空题9. 如图所示，点P是∠CAB的平分线上一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，如果PF＝3cm，那么PE＝__________．10. 如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD＝__________，∠CDA＝__________．11. 如图所示，P在∠AOB的平分线上，在利用角平分线性质推证PD＝PE时，必须满足的条件是____________________．12. 如图所示，∠B＝∠C，AB＝AC，BD＝DC，则要证明AD是∠BAC的__________线．需要通过__________来证明．如果在已知条件中增加∠B与∠C互补后，就可以通过__________来证明．因为此时BD与DC已经分别是__________的距离．13. 如图所示，C为∠DAB内一点，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，且CD＝CB，则点C 在__________．14. 如图所示，在R t△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．（1）若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是__________．（2）若BD∶DC＝3∶2，点D到AB的距离为6，则BC的长为__________．15. （1）∵OP平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴__________（依据：角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴OP平分∠AOB（依据：___________）．三. 解答题16. 已知：如图，在R t△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE ＝DC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．17. 如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF ＋∠BAF＝180°．（1）求证：DE＝DF；（2）若把最后一个条件改为：AE＞AF，且∠AED＋∠AFD＝180°，那么结论还成立吗？18. 如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD相交于点C．求证：AC ＝BC．19. 如图所示，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm．（1）在图上标出仓库G的位置．（比例尺为1∶10000，用尺规作图）（2）求出仓库G到铁路的实际距离．四. 探究题20. 有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法为：（1）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧交OM、ON于点A、B；（2）以O为圆心，不等于（1）中的半径长为半径画弧交OM、ON于点C、D；（3）连接AD、BC相交于点E；（4）作射线OE，则OE为∠MON的平分线．你认为他这种作法对吗？试说明理由．。
六年级数学复习巧用角平分线解决角平分线题
六年级数学复习巧用角平分线解决角平分线题角平分线作为数学中常见的概念，广泛应用于解决各类与角度相关的问题。
在六年级数学中，角平分线的运用不仅可以帮助我们解题，还能培养我们的推理思维和空间想象能力。
下面，我将介绍一些巧用角平分线解决角平分线题的方法和技巧。
一、角平分线的定义和性质在开始讲解具体应用之前，我们先来回顾一下角平分线的定义和一些重要性质。
在平面上，如果从角A的顶点引一条射线AD，使得角BAD和角DAC的度数相等，那么称射线AD为角A的角平分线，点D为角A的角平分点。
角平分线具有以下重要性质：1. 角平分线将一个角分成两个度数相等的小角。
2. 角平分线上的点到角的两边的距离相等。
3. 角的内部每一点都与角的两边形成两个度数相等的小角。
理解了这些基本性质后，我们就可以运用角平分线来解决各类与角平分线相关的数学题目。
二、利用角平分线解决角平分线的特殊题型1. 求角的度数当题目给出角的两条边的长度或者角的部分度数时，我们可以通过利用角平分线的性质来求解角的度数。
例如，如图1所示，已知AC=BC，AD为角A的角平分线，求角A 的度数。
解法：由题意可知，AD为角A的角平分线，所以角BAD=角DAC。
又AC=BC，所以三角形ABC是一个等腰三角形。
因此，角BAC=角BCA。
由于角BAC和角A的度数之和为180°，所以角A的度数为90°。
2. 判断角的性质当我们需要判断角的性质时，可以利用角平分线的性质来寻找关键线索。
例如，如图2所示，已知AD为角A的角平分线，角BAD=40°，角ADC=60°，判断角BCD的度数。
解法：由于AD为角A的角平分线，所以角BAD=角DAC=40°。
由于角ADC=60°，所以角CDA=180°-60°-40°=80°。
由角CDA=角BCD，所以角BCD的度数为80°。
角平分线复习题
一、选择题1、如图，△ABC ≌△AEF ，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，则对于结论①AC ＝AF ．②∠FAB ＝∠EAB ，③EF ＝BC ，④∠EAB ＝∠FAC ，其中正确结论的个数是（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个(第1题图) (第3题图) (第4题图) (第5题图)2、已知MN 是线段AB 的垂直平分线，C 、D 是MN 上任意两点，则∠CAD 与∠CBD 的大小关系是（ ）A.∠CAD>∠CBDB.∠CAD=∠CBDC.∠CAD<∠CBDD.与C 、D 无关3、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BD 是∠ABC 的平分线，交AC 于点D ，若CD=n ，AB=m ，则△ABD 的面积是（ ）A.mnB.21mn C.2mn D.31mn4、如图，已知AC 平分∠PAQ ，点B ，B ′分别在边AP ，AQ 上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB ′，那么该条件可以是（ ）A 、BB ′⊥AC B 、BC=B ′C C 、∠ACB=∠ACB ′D 、∠ABC=∠AB ′C5、如图，FD ⊥AO 于D ，FE ⊥BO 于E ，下列条件：①OF 是∠AOB 的平分线；②DF=EF ；③DO=EO ；④∠OFD=∠OFE 。
其中能够证明△DOF ≌△EOF 的条件的个数有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题6、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于F ，若BF=AC ，则∠ABC 的度数是 .7、在△ABC 中，AB=AC ，∠A=50°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，垂足为E ，则∠DBC 的度数是 .8如图，已知点C 是∠AOB 的平分线上一点，点P 、P’分别在边OA 、OB 上。
如果要得到OP=OP’，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能的结果的序号为____________：①∠OCP=∠OCP’ ②∠OPC=∠OP′C ； ③PC=P′C ； ④PP′⊥OC(第6题图) (第8题图)9如图，在ΔABC 中，BC =5 cm ，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且PD ∥AB ，PE ∥AC ，则ΔPDE 的周长是___________ cm.(第9题图) (第10题图)10、△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D 。
角平分线的性质(复习)
《角平分线的性质》与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． O A O B ，这种对称的图形应用得也较为普遍，ABOPPOBAA BOP专题一：三角形角平分线性质的直接应用1.如图，△ABC 的角平分线BM,CN 相交于点P.求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等.B2. △ABC 的∠B 外角平分线BD 与∠C 的外角平分线CE 相交于点P .求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 所在的直线距离相等.A归纳：1.三角形的三条角平分线交于一点，这点到三边的距离相等. 2.三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到三边所在直线的距离相等. 3.三角形外角平分线的交点共有3个，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.专题二：角平分线的性质定理与判定定理的综合运用1.如图，已知∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.(1)求证AM平分∠DAB；(2)求证DM⊥AM.变式1：如图，在四边形ABC D中，AD BC A∥，的平分线AE交D C于E．求证：当BE∠是B∠的平分线时，有AD BC AB+=．DECBA变式2：如图，180∠，点E在AD上．∠，C E平分B C DA D∠+∠=︒，BE平分ABC①探讨线段AB、C D和B C之间的等量关系．②探讨线段BE与C E之间的位置关系．DEABC 2.针对训练如图，已知∠B＝∠E＝90°，CE=CB，AB∥CD，求证：AD＝CD.专题三：角平分线的性质与三角形全等的综合运用1.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：(1)AE=AF;(2)DA平分∠EDF.2.针对训练如图，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∠1＝∠2，下列结论不正确的是（）A.PD=PEB.OD=OEC. ∠DPO=∠EPOD.OD＝OP专题四：三角形角平分线性质在求三角形周长中的运用如图，△ABC中，∠C＝90°,AC=BC, AD平分∠CAB，并交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB＝6cm，求△DEB的周长.C专题五：探究新题型在学习完角的平分线后，老师在黑板上出了这样一道题目：在四边形ABCD 中，BC>BA,AD=CD,BD平分∠ABC,求证∠A+∠C=180°.B。
八年级数学角平分线复习题
八年级数学角平分线复习题角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。
在几何学中，角平分线是一个重要的概念。
它不仅在解决各种几何问题时起到关键作用，而且在三角学和向量等更高级的数学学科中也有广泛的应用。
本文将为您提供一些八年级数学角平分线的复习题。
题目一：角平分线的性质1. 角OAB的角平分线OC将该角分成两个相等的角∠AOC和∠BOC。
若∠BOC的度数为80°，求∠AOC的度数。
题目二：实际应用2. 针对下图，AB和CD是直线，点O是它们的交点。
若∠BOC是一个锐角，并且∠BOC的角平分线交边AB，CD的延长线分别于点E和F。
若∠EOF = 60°，求∠BOC的度数。
题目三：角平分线的垂直性质3. 在△ABC中，角BAC的角平分线AD与边BC相交于点D。
若∠BAD = 30°，∠ADC = 70°，求∠ACB的度数。
题目四：角平分线的性质4. △ABC中，∠BAC = 54°，角平分线AD将∠BAC分成两个相等的角。
求∠BAD和∠DAC的度数。
题目五：角平分线的坐标表示5. 坐标平面上，角A的顶点位于原点O(0, 0)，角平分线AC的方程为x - y - 1 = 0。
求顶点A和角平分线AC的方程。
题目六：证明题6. 在△ABC中，∠BAC的角平分线AD与边BC相交于点D。
若∠DAC = ∠DCA，证明：AB = AC。
题目七：角平分线与圆的性质7. 在圆O内，角ACB的角平分线AD与圆O相交于点D。
若∠ACD = 40°，求∠AOB的度数。
题目八：证明题8. 在△ABC中，∠BAC的角平分线AD与边BC相交于点D。
若AB = AD，证明△ABC是等腰三角形。
题目九：角平分线的性质9. 在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交边BC于点D。
已知AB = 6cm，BC = 8cm，CD = 3cm，求AD的长度。
题目十：实际应用10. 一条光线以角的方式从光速中传播，当光线传播到两个不同介质的交界处时，会发生折射。
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角平分线、垂直平分线
知识考点：
了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。
精典例题：
【例题】如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝300，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：CF ＝2BF 。
分析一：要证明CF ＝2BF ，由于BF 与CF 没有直接联系，联想题设中EF 是中垂线，根据其性质可连结AF ，则BF ＝AF 。
问题转化为证CF ＝2AF ，又∠B ＝∠C ＝300，这就等价于要证∠CAF ＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF ＝2AF ＝2BF 。
分析二：要证明CF ＝2BF ，联想∠B ＝300，EF 是AB 的中垂线，可过点A 作AG ∥EF 交FC 于G 后，得到含300角的Rt △ABG ，且EF 是Rt △ABG 的中位线，因此BG ＝2BF ＝2AG ，再设法证明AG ＝GC ，即有BF ＝FG ＝GC 。
分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ，考虑到∠B ＝300，不妨设EF ＝1，再用勾股定理计算便可得证。
以上三种分析的证明略。
探索与创新：
【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：
例题图1
F E
C B A
例题图2
G F E
C
B A
例题图3
D F E
C
B A
问题图
3
2
1E
D C
B A
三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个
角的两边对应成比例。
如图，△ABC 中，AD 是角平分线。
求证：AC
AB
DC BD =。
分析：要证
AC
AB
DC BD =
，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别
的方法换比。
我们注意到在比例式AC
AB
DC BD =
中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例
项AE ，这样，证明AC
AB
DC BD =
就可以转化为证AE ＝AC 。
证明：过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E
CE ∥AD ⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠∠=∠∠=∠⇒E 13
221⇒∠E ＝∠3⇒AE ＝AC CE ∥AD ⇒AE
AB
DC BD = ∴
AC
AB
DC BD = （1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）；
（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个填入后面的括号内（ ）
①数形结合思想 ②转化思想 ③分类讨论思想 答案：②转化思想
（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，AB ＝5 cm ，AC ＝4 cm ，BC ＝7 cm ，求BD 的长。
答案：
9
35cm 评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。
跟踪训练：
一、填空题：
1、如图，∠A ＝520，O 是AB 、AC 的垂直平分线的交点，那么∠OCB ＝ 。
2、如图，已知AB ＝AC ，∠A ＝440，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则∠DBC ＝ 。
3、如图，在△ABC 中，∠C ＝900，∠B ＝150，AB 的中垂线DE 交BC 于D 点，E 为垂足，若BD ＝8，则AC ＝ 。
4、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE 是AB 的垂直平分线，△BCE 的周长为24，BC ＝10，则AB ＝ 。
5、如图，EG 、FG 分别是∠MEF 和∠NFE 的角平分线，交点是G ，BP 、CP 分别是∠MBC 和∠NCB 的角平分线，交点是P ，F 、C 在AN 上，B 、E 在AM 上，若∠G ＝680，那么∠P ＝ 。
二、选择题：
1、如图，△ABC 的角平分线CD 、BE 相交于点F ，且∠A ＝600，则∠BFC 等于（ ） A 、800 B 、1000 C 、1200 D 、1400
2、如图，△ABC 中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，若∠D ＝360，则∠C 的度数为（ ） A 、820 B 、720 C 、620 D 、520
3、某三角形有一个外角平分线平行于三角形的一边，而这三角形另一边上的中线分周长为2∶3两部分，若这个三角形的周长为30cm ，则此三角形三边长分别是（ ）
第1题图
O
C
B
A
第2题图
M
D
C
B
A
第3题图
E
D
C
B
第4题图
E
A
B C
D
填空第5题图 G
P
M
E B N C F
A 选择第1题图
F
E
D
C B A
选择第2题图
4
32
1D
C
B
A
A 、8 cm 、8 cm 、14cm
B 、12 cm 、12 cm 、6cm
C 、8 cm 、8 cm 、14cm 或12 cm 、12 cm 、6cm
D 、以上答案都不对 4、如图，Rt △ABC 中，∠C ＝900，CD 是AB 边上的高，C
E 是中线，C
F 是∠ACB 的平分线，图中相等的锐角为一组，
则共有（ ）
A 、0组
B 、2组
C 、3组
D 、4组
5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、不能确定 三、解答题：
1、如图，Rt △ABC 的∠A 的平分线与过斜边中点M 的垂线交于点D ，求证：MA ＝MD 。
2、在△ABC 中，AB ≠AC ，D 、E 在BC 上，且DE ＝EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF ＝AC ，求证：AE 平分∠BAC 。
3、如图，在△ABC 中，∠B ＝22.50，∠C ＝600，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，BD ＝26，AE ⊥BC 于点E ，求EC 的长。
4、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，AC ＝BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F ，求证AB 垂直平分DF 。
第1题图
M
D
C B
A 第2题图
E F
D C
B A 第3题图
E F
D C
B A
第4题图
E
F
D
C
B
A
选择第4题图
E
F D
C
参考答案
一、填空题：
1、380；
2、240；
3、4；
4、14；
5、680 二、选择题：CBCDB 三、解答题：
1、过A 作AN ⊥BC 于N ，证∠D ＝∠DAM ；
2、延长FE 到G ，使EG ＝EF ，连结CG ，证△DEF ≌△CEG
3、连结AD ，DF 为AB 的垂直平分线，AD ＝BD ＝26，∠B ＝∠DAB ＝22.50 ∴∠ADE ＝450，AE ＝22AD ＝262
2⨯＝6 又∵∠C ＝600 ∴EC ＝
323
63
==
AE
4、证△ACD ≌△CBF。