山东省枣庄市第三中学2020届高三上学期期中考试 数学试卷

枣庄三中2020届高三上学期期中考试数 学 试 题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 其中1-10题是单选题，11-12题是多选题）1. 设集合2{1213},{log }A x x B x y x =-≤+≤==，则A B = ( )A.(0,1]B.[1,0]- C [1,0)- D.[0,1]2．已知2333211,,log 32a b c π⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为( ) A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 3. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，3778,35a a S +==，则2a =（） A.5B.6C.7D.84．设x ∈R ，则“｜x +1｜＜2”是“lg x ＜0”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设x ＞y ＞0，x +y =1，若，1()y a x=，1()log xyb xy =，1log yc x =，则实数a ，b ，c 的大小关系是 A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a6．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，则下列命题中真命题是A ．若l ⊥β，则α⊥βB ．若l ⊥m ，则α⊥βC ．若α⊥β，则l ⊥mD ．若α∥β，l ∥m7．函数()()33lg x x f x x -=+⋅的图象大致为8．若非零向量a b 、满足a b =，向量2a b +与b 垂直，则a 与b 的夹角为 A ． 150B ． 120C ．60D ．309. 已知函数()sin f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A. 3π-B. 0C.3πD.23π 10．用平面α截一个球，所得的截面面积为π，若α到该球球心的距离为1，则球的体积为A ．83π B ．3C ．D ．323π11．已知空间中两条直线a ，b 所成的角为50°，P 为空间中给定的一个定点，直线l 过点P 且与直线a 和直线b 所成的角都是θ(0°＜θ≤90°)，则下列选项正确的是 A ．当θ=15°时，满足题意的直线l 不存在 B ．当θ=25°时，满足题意的直线l 有且仅有l 条 C ．当θ=40°时，满足题意的直线l 有且仅有2条 D ．当θ=60°时，满足题意的直线l 有且仅有3条12. 设函数2()ln (0)2ax f x ax a e=->，若()f x 有4个零点，则a 的可能取值有( ) A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13 已知()0,απ∈且3cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．则=αsin _________. 14．若在ABC △中，1BC =，其外接圆圆心O 满足0=++OC OB OA ，则AB AC ⋅= .15. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小一份的量为 .16．已知函数()y f x =在R 上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为()f x '，当0x >时，有不等式()()22x f x xf x '>-成立，若对x R ∀∈，不等式0)()(222≥-ax f x a e f e x x 恒成立，则正数a 的最大值为_______.17．（10分）已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2cos (cos cos )0C a C c A b ++=．（1）求角C 的大小；（2）若2,b c ==ABC ∆的面积．18．(12分)己知集合{}24120A x x x =--≤，{}2240B x x x m =--+4≤ (1)求集合A 、B ；(2)当m ＞0时，若x ∈A 是x ∈B 成立的充分不必要条作，求实数m 的取值范围．19. （12分）设数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，数列{}n b 满足nn a n b 2log )1(1+=，（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，APB ∆是以P ∠为直角的等腰直角三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ．(1)证明：平面PAD ⊥平面PBC ； (2) M 为直线PC 的中点，且2AP AD ==，求锐二面角A MD B --的余弦值.21．(12分)某市城郊有一块大约500m×500m 的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000 平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S 平方米． (1)分别用x 表示y 及S 的函数关系式，并给出定义域；(2)请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积S 最大，并求出最大值22．（12分）已知函数21()ln 1()2f x x a x a R =-+∈. （Ⅰ）若函数()f x 在[1,2]上是单调递增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若20a -≤<，对任意[]12,1,2x x ∈，不等式121211()()f x f x m x x -≤-恒成立，求实数m 的取值范围.2017级高三上学期期中考试 数 学 试 题（答案）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 其中1-10题是单选题，11-12题是多选题）1-5. ADCBC 6—10.ADBDB 11.ABD 12.BCD 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.10334+ 14． 2115．53 16． e三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第19-22题12分，共70分） 17． （1）∵2cos (cos cos )0C a C c A b ++=， 由正弦定理可得2cos (sin cos sin cos )sin 0C A C C A B ++=， (2)∴2cos sin()sin 0C A C B ++=，即2cos sin sin 0C B B +=，…………………3 又0180B <<︒，∴sin 0B ≠，∴1cos 2C =-，即120C =︒．…………………5 （2）由余弦定理可得2222222cos12024a a a a =+-⨯︒=++， 又0,2a a >=， (8)∴1sin 2ABC S ab C ∆==ABC ∆．……………………………10 18.解：（1）由24120x x --≤，得26x -≤≤. 故集合{|26}A x x =-≤≤……1分由2244=0x x m --+，得1=2+x m ，2=2x m -.当0m >时，22,m m -<+由22440x x m --+≤得22,m x m -≤≤+ 故集合{|22}B x m x m .=-≤≤+ ………3分 当0m <时，22,m m ->+由22440x x m --+≤得：22,m x m +≤≤- 故集合{|2+2}B x m x m .=≤≤- ………5分 当=0m 时，由2440x x -+≤得2x =故集合{}2B x x .== ………6分 (2)x A ∈是x B ∈成立的充分不必要条件，[2,6]∴-是[2,2]m m -+的真子集， ………………………7分则有222226m m m m -<+⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩，解得4m ≥， …………………………10分又当4m =时，[2,2][2,6]m m -+=-，不合题意，……………………11分∴实数m 的取值范围为(4,)+∞. ………………………12分19.解：（1）1112,n a S ===时， (2)()()11122,22222n n n n n n n n S S n a S S n +--=-∴=-≥∴=-=≥ (4)21=a 符合2n n a =∴数列{}n a 的通项公式为：2n n a = (6)（2）n n n b nn )1(12log )1(12+=+=111+-=n n………………………8 1113121211+-++-+-=n n T n 111+-=n ……………………………………………………………………………12 18．（Ⅰ）证明：ABCD 为矩形，AD AB ∴⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，AD ∴⊥平面PAB ，则AD PB ⊥，又PA PB ⊥，PA AD A ⋂=，PB ∴⊥平面PAD ，而PB ⊂平面PBC ，平面PAD ⊥平面PBC ；（Ⅱ）取AB 中点O ，分别以,OP OB 所在直线为,x y 轴建立空间直角坐标系， 由2AP AD ==，APB ∆是以P ∠为直角的等腰直角三角形，得：()()()0,,0,,,A D B M ⎫⎪⎪⎝⎭，2322322,,1,,,1,,1MA MD MB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．设平面MAD 的一个法向量为(),,m x y z =，由20202m MA x y z m MD x y z ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，取1y =，得()3,1,0m =-；设平面MBD 的一个法向量为(),,n x y z =， 由2020n MDy z n MB y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=--=⎪⎩，取x 1=，得(=n.1cos 0,⋅∴==-⋅m n m n m nA MDB --的余弦值为5．21.解：（1）由已知30003000,,xy y x=∴=其定义域是(6,500).……………2分 (4)(6)(210),S x a x a x a =-+-=-150015000(210)(3)30306S x x x x∴=--=--,其定义域是(6,500).……………6分（2）150003030(6)3030303023002430,S x x x x=-+≤-=-⨯=………9分当且仅当15000=6x x，即50(6,500)x =∈时，上述不等式等号成立， 此时，max 5060,2430.x y S ===，………………………………………11分答：设计50m 60m x y ，== 时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米. ……12分 22．（Ⅰ）易知()f x 不是常值函数，∵21()ln 12f x x a x =-+在[]1,2上是增函数， ∴'()0af x x x=-≥恒成立，……………………………………………………2 所以2a x ≤，只需2min ()1a x ≤=； (4)（Ⅱ）因为20a -≤<，由（Ⅰ）知，函数()f x 在[1,2]上单调递增， 不妨设1212x x ≤≤≤，则()()121211f x f x mx x -≤-，可化为2121())m m f x f x x x +≤+（，………………………………………………6 设21()()ln 12m mh x f x x a x x x=+=-++，则12()()h x h x ≥， 所以()h x 为[1,2]上的减函数，……………………………………………………8 即2()0a mh x x x x=--≤'在[1,2]上恒成立， 等价于3m x ax ≥-在[1,2]上恒成立， (10)设3()g x x ax =-，所以max ()m g x ≥，因20a -≤<，所以2'()30g x x a =->，所以函数()g x 在[1,2]上是增函数，所以max ()(2)8212g x g a ==-≤（当且仅当2a =-时等号成立） 所以12m ≥． (12)。