人教a版高中数学选修2-1习题：第二章2.4-2.4.2第1课时抛物线的简单几何性质含答案
人教版高中数学选修2-1第二章2.4.2抛物线及其标准方程 (1)
导入新课θθαθ椭圆双曲线抛物线ellipse hyperbola parabola观察与分析在生活中存在着各式各样的抛物线，你能说出抛物线存在哪些几何性质吗？下面让我们一起学习和研究抛物线的简单几何性质……教学目标知识与能力：了解用方程的方法研究图形的对称性；理解抛物线的范围、对称性及顶点、离心率的概念；掌握抛物线的标准方程、会用抛物线的定义解决实际问题.过程与方法：注重数形结合，掌握解析法研究几何问题的一般方法，注重培养学生的能力；注重探索能力的培养.情感态度与价值观：在合作、互动的教学氛围中，培养学生科学探索精神，激励学生创新；让学生参与利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣.教学重难点重点：认识生活中的抛物线及其特点. 难点：掌握抛物线的简单几何性质.前面我们已经学习了椭圆,双曲线的性质,你能说出抛物线的性质与它们的性质有什么区别吗？分析:经过上面的学习我们知道,抛物线只有一个焦点、一个顶点一条对称轴、一条准线;它没有中心.通常抛物线称为无心圆锥曲线，而椭圆和双曲线称为有心圆锥曲线.一.范围：抛物线y 2=2px (p >0)与椭圆、双曲线一样同样有许多重要的性质,在这里我们一起研究它的几个简单几何性质.因为p >0,由y 2=2px (p >0)可知，对于此抛物线上的点M (x , y ), x ≥0,所以这条抛物线在y 轴的右侧,开口方向与x 轴正向相同;当x 的值增大时,|y |也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.二. 对称性：以-y代y,方程y2=2px(p>0)不变,所以这条抛物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.三. 顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程y2=2px(p>0)中,当y=0时,x=0,因此抛物线y2=2px(p>0)的坐标的顶点就是坐标的原点.四.离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e表示.由定义可知,e=-1.例1：已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M （2，-2 ）,求它的标准方程.2 解：因为抛物线关于x 轴对称，它的顶点在原点,并且经过点M （2,-2 ）,所以,可以设它的标准方程为 2y 2=2px （p >0）因为点M 在抛物线上，所以（-2 ）2=2p ·2，2即 p =2. 因此,所求的抛物线的标准方程为y 2=4x例2：O F My x 如图,M 是抛物线有y 2=4x 上一点,F 是抛物线的焦点,以Fx 为始边、FM 为终边的角∠xFM =60°,求|FM |.解：因为∠xFM =60°,所以线段FM 所在直线的斜率为k =tan 60°= ,因此，直线FM 的方程为y = （x -1）. 33与抛物线y 2=4x 联立，得 ｛y = （x -1）,① 3y 2=4x . ②把①代入②得 3x 2-10x +3=0， 继续解答 解得 x 1= , x 2=3. 13把x 1= ，x 2=3分别代入①得 13y 1= ，y 2=2 . -2333 由图可知（ ， ）不符合题意，所以M 点的坐标为（3，2 ）.13-233O F M yx 3因此，|FM |= 223-1+23-0（）（）= 4.例3：y x B AO ● F 如图,直线y =x -2与抛物线y 2=2x 相交于A ,B 两点,求证:OA ⊥OB.证明：将y =x -2代入y 2=2x 中，得（x -2）2=2x . 化简得 x 2-6x +4=0，解得 x =3± ，则 y =3± -2=1± . 55继续解答因为kOB= ，k OA= ，1+5 3+51-5 3-5所以kOB ·k OA= × = =-11+53+51-53-51-59-5所以OA⊥OB.解题技巧的小小总结：一. 已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为x(或y)则x 轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向.二. 由已知条件求抛物线标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p.课堂小结一.与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质如下：1.抛物线只位于半个坐标平面内，它可以无限延伸,但没有渐近线.2.抛物线只有1条对称轴，无对称中心.3.抛物线只有1个顶点、1个焦点、1条准线.4.抛物线的离心率是确定的，其值为1．二. 简单的定义：1.我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的对称轴.2.抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.3.抛物线上的动点M到焦点的距离和它到准线的距离比，叫做抛物线的离心率.三. 当抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)时，它具有如下几何性质：1.它的范围为向右上方和右下方无限延伸.2.它关于x轴对称.3.它的顶点就是坐标原点.4.它的离心率e=1.高考链接1.(2008广东文、理) 设b >0,椭圆方程为 ，抛物线方程为x 2=8（y -b ）.如图4所示,过点F (0,b +2)作x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G .已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点F 1.2222x y +=12b b(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;(2)设A,B分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点P,使得△ABP为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）.解：解方程组 2y =b +2x =8(y -b),(x >0)⎧⎨⎩得 x =4y =b +2⎧⎨⎩ 所以点G 的坐标为G (4,b +2),由x 2=8（y -b ）,得y = x 2+b ，求导数得18y ˊ= x ， 41 于是,抛物线y = x 2+b 在点G 的切线l 的斜率为 181|414'=⨯=x=4k =y 又椭圆 中 , 即c =b ,所以椭圆的右焦点为F 1（b ,0）由切线l 过点F 1,可知 ，解得b =1. 2222x y +=12b b2222c =2b -b =b 1GF b +2-0k ==14-b继续解答所以满足条件的椭圆方程和抛物线方程分别为和22x y+=1212x=8(y-1)（2）在抛物线上存在点P,使得△ABP为直角三角形.且这样的点有4个.证明：分别过点A、B做y轴的平行线,交抛物线于M,N点,则∠MAB=90°,∠NBA=90°,显然M,N在抛物线上,且使得△ABM,△ABN为直角三角形.若以∠APB为直角,设点P坐标为 ,A、B两点的坐标分别为和 ,.关于x2的二次方程有一大于零的解，21(x,x+1)8(-2,0) (2,0)PA 22242115PB=x-2+(x+1)=x+x-1=08644∴x有两解,即以∠APB为直角Rt△APB的有两个, 综上所述, 满足条件的点共有4个.2. (2008陕西文、理)已知抛物线:y=2x2,直线y=kx+2交C于A,B两点,M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行;（Ⅱ）是否存在实数k使 ,若存NA NB=在,求k的值;若不存在,说明理由．继续解答解:（Ⅰ）如图，设A (x 1,2x 12)，B (x 2,2x 22)，把y =kx +2代入y =2x 2得2x 2-kx -2=0， xA y 1 1 2 M NB O 由韦达定理得,x 1+x 2= , x 1x 2=-1,2k ∴ 12+===24N M x x k x x ∴ N 的点坐标为 ， ⎛⎫ ⎪⎝⎭248，k k 将y =2x 2代入上式得， 222-+-=048mk k x mx∵直线l 与抛物线C 相切,2222282()048mk k m m mk k m k ⎛⎫∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭∴m =k ,即l //AB .（Ⅱ）假设存在实数k ,则NA ⊥NB , 0NA NB ∙=又∵ M 是AB 的中点, 1∴|MN|=|AB|2由（Ⅰ）知 M 121212111y =(y +y )=(kx +2+kx +2)=[k(x +x )+4]222⎛⎫ ⎪⎝⎭221k k =+4=+2224∵MN ⊥ x 轴,222M N k k k +16\|MN |=|y -y |=+2-=488又 222121212|AB |=1+k |x -x |=1+k (x +x )-4x x ∙∙2222k 1=1+k -4(-1)=k +1k +1622⎛⎫∙∙∙ ⎪⎝⎭222k +161\=k +1k +1684∙,解得 k =±2. 即存在k =±2，使 NA NB =0∙随堂练习1.填空题：（1） 抛物线y 2=4x 的焦点F ,准线l 交x 轴于R ,过抛物线上一点P （4，4）作于PQ ⊥ l 于Q ,则S 梯PQRF =____________. 14（2）若抛物线y 2=2x 上两点 A （x 1，y 1）,B （x 2,y 2）关于直线y =x +m 对称,则 ,则m = ________. 121=-2x x 32（1）抛物线上有A 、B 、C 三点横坐标依次为1, 2 ,3在轴一点D 纵坐标为6,则四边形ABCD 为（ ） A. 正方形 B. 菱形C. 平行四边形D. 任意四边形2.选择题：C（2）已知A 、B 是抛物线y 2=2px （p >0）上两点,O 为原点,若|OA |=|OB |且△OAB 的重心恰为抛物线的焦点,则AB 的直线方程为（ ） A. x =p B. x =3p C. x = p D. x = p 3234D3.解答题：（1）抛物线y 2=4x 上两定点A 、B （A 在轴上方,B 在轴下方）F 为焦点,|AF |=2,|BF |=5,P 为抛物线AOB 这一段上一点,求S △PAB 面积最大值.解：由已知F （1,0）准线x =-1，|AF |=2 ∴x A +1=2 ∴A （1,2）|BF |=5,x B +1=5∴B （4，-4） AB =3 l AB ：2x +y -4=05200(,)4y P y y 0∈（-4，2）继续解答 200+-42(,)=5AB y y d p l 20(+1)-9=25y ∴y 0=-1 d MAX =925∴ ⨯⨯Δ1927=35=2425maxS 1(,-1)4P（2）设抛物线的顶点为O ,经过焦点且垂直于对称轴的直线交抛物线与B ,C 两点,经过抛物线上的一点P 且垂直于轴的直线与轴交于点Q .求证:|PQ |是|BC |和|OQ |的比例中项.证明：设抛物线方程为y 2=2px ,则点B 的坐标为（ ,p ）,点C 的坐标为（ ,-p ）,设点P 的坐标为（x ,y ）,则点Q 的坐标为（x ,0）.2p 2p 因为|PQ |=|y |= ,|BC |=2p ,|OQ |=x ,所以|PQ |2=|BC ||OQ |,即|PQ |是|BC |和|OQ |的比例中项. 2px（3）已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y 2=2px （p >0）的焦点,另外两个顶点在抛物线上,求这个等边三角形的边长.解：设等边三角形的另外两个顶点分别是A ,B ,其中点A 在x 轴上方.直线FA 的方程为3=-32（）p y x 与y 2=2px 联立,消去x ,得 y 2-2 py -p 2=0. 3解方程,得y 1=( +2)p ，y 2=( -2)p .33继续解答 把y 1=( +2)p 代入 ,得 33=-32（）p y x x 1= 7(+23).2p 把y 2=( -2)p 代入 ,得 33=-32（）p y x x 2= 7(-23).2p 所以，满足条件的点A 有两个：A 1( ,( +2)p ), A 2( ,( -2)p ). 7(+23)2p 37(-23)2p 3 根据图形的对称性，可得满足条件的点B 也有两个：B 1( ,-( +2)p ), B 2( ,-( -2)p ). 7(+23)2p 37(-23)2p 3 所以，等边三角形的边长是|A 1B 1|=2( +2)p ，或者|A 2B 2|=2(2- )p . 33习题解答 1.（1）y 2= x ; （2）x 2=20y ; 165（3）y 2=-16x ; （4）x 2=-32y . 2.图形右图,x 的系数越大,抛物线的开口越大. y 2=4x y 2=2xy 2=x y 2= x xy 123. 解：过点M (2,0)且斜率为1的直线l 的方程为y =x -2，与抛物线的方程y 2=4x 联立｛ y =x -2,y 2=4x . ｛ 解得 x 1=4+2 ， 3y 1=2+2 ；3｛x 2=4-2 ， 3y 2=2-2 . 3设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 |AB |= 222121-+-（）（）x x y y 22=-43+-43（）（）=464. 解:设直线AB的方程为x=a（a>0）.将x=a代入抛物线方程y2=4x,得y2=4a,即y=±2 .a因为|AB|=2|y|=2×2 =4 =4 ,a a3所以a=3.因此，直线AB的方程为x=3.。
人教版高中数学选修2-1(A版)课件：第二章 2.4 2.4.1抛物线及其标准方程 (共55张PPT)
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2.4.2抛物线的简单几何性质课时过关·能力提升基础巩固1抛物线2y=3x2的准线方程为()A.y=-16B.y=-14C.y=-12D.y=-1抛物线的标准方程为x2=23y,∴准线方程为y=-16.2以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点,且与x轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为()A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8y抛物线的通径为2p=8,且以x轴为对称轴,∴其方程为y2=8x或y2=-8x.3顶点在原点,对称轴是y 轴,并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( ) A.x 2=±3y B.y 2=±6x C.x 2=±12y D.x 2=±6y4如图,已知点Q (2√2,0)及抛物线y=x 24上的动点P (x ,y ),则y+|PQ|的最小值是( )A.2B.3C.4D.2√2,过点P 作PM 垂直抛物线的准线于点M ,则由抛物线的定义可知y+|PQ|=|PM|-1+|PQ|=|PF|+|PQ|-1,当且仅当P ,F ,Q 三点共线时,|PF|+|PQ|最小,由F (0,1),Q (2√2,0),得最小值为|QF|=√(2√2-0)2+(0-1)2=3.故y+|PQ|的最小值为3-1=2.5过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点作一条直线,交抛物线于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1y2x 1x 2为( )A.4B.-4C.p 2D.-p 2方法一)特例法:当直线垂直于x 轴时,A (p 2,p),B (p 2,-p),y 1y 2x 1x 2=-p 2p 24=-4.(方法二)由焦点弦所在直线方程与抛物线方程联立可得y 1y 2=-p 2,则y 1y 2x 1x 2=y 1·y 2y 122p ·y 222p=4p 2y 1y 2=4p 2-p 2=-4.6已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点M (2,y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=( ) A .2√2 B .2√3C .4D .2√5,知p2+2=3,即p=2,抛物线方程为y 2=4x.因为点M (2,y 0)在抛物线上,所以y 0=±2√2,故|OM|=√4+y 02=2√3.7设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,直线l 过点F 且与C 交于A ,B 两点.若|AF|=3|BF|,则l 的方程为( )A.y=x-1或y=-x+1B.y=√33(x-1)或y=-√33(x-1)C.y=√3(x-1)或y=-√3(x-1)D.y=√22(x-1)或y=-√22(x-1)8过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,若|AB|=7,则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为 .(1,0),准线方程为x=-1,p=2.由抛物线的定义,知|AB|=|AF|+|BF|=x 1+p 2+x 2+p 2=x 1+x 2+p ,即x 1+x 2+p=7, 故x 1+x 2=5.于是弦AB 的中点M 的横坐标为52,因此点M 到抛物线准线的距离为52+1=72.9若双曲线x 23−16y 2p 2=1(p>0)的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p= .10求抛物线y=x 2上的点到直线x-y-2=0的最短距离.y=x 2上一点P (x 0,y 0)到直线l :x-y-2=0的距离为d ,则d=00√2=020√2=√20-12)2+74|.当x 0=12时,d min =7√28.11过点(-3,2)的直线与抛物线y 2=4x 只有一个公共点,求此直线方程.k 不存在时,直线方程为x=-3与抛物线无交点,所以直线斜率k 存在,设直线方程为y-2=k (x+3),由{y -2=k (x +3),y 2=4x ,消去x ,整理得 ky 2-4y+8+12k=0. ①(1)当k=0时,方程①化为-4y+8=0,即y=2, 此时过点(-3,2)的直线方程为y=2,满足条件. (2)当k ≠0时,方程①应有两个相等的实根, 所以{k ≠0,Δ=0,即{k ≠0,16-4k (8+12k )=0,解得k=13或k=-1.则直线方程为y-2=13(x+3)或y-2=-(x+3),即x-3y+9=0或x+y+1=0.由(1)(2)可知所求直线有三条,其方程分别为y=2或x-3y+9=0或x+y+1=0.能力提升1已知直线y=kx-k 及抛物线y 2=2px (p>0),则( ) A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点直线y=kx-k=k (x-1),∴直线过点(1,0).又∵点(1,0)在抛物线y 2=2px 的内部,∴当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k ≠0时,直线与抛物线有两个公共点.2直线4kx-4y-k=0与抛物线y 2=x 交于A ,B 两点,若|AB|=4,则弦AB 的中点到直线x+12=0的距离等于( )A.74B.2C.94D.44kx-4y-k=0,即y=k (x -14),即直线4kx-4y-k=0过抛物线y 2=x 的焦点(14,0).设A (x 1,y 2),B (x 2,y 2),则|AB|=x 1+x 2+12=4,即x 1+x 2=72,则弦AB 的中点的横坐标是74,故弦AB 的中点到直线x+12=0的距离是74+12=94.3已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ,准线与x 轴的交点为K ,点A 在C 上,且|AK|=√2|AF|,则△AFK 的面积为 ( )A.4B.8C.16D.32抛物线C :y 2=8x 的焦点为F (2,0),准线为x=-2,∴K (-2,0).设A (x 0,y 0),如图所示,过点A 向准线作垂线,垂足为B , 则B (-2,y 0).∵|AK|=√2|AF|,且|AF|=|AB|=x 0-(-2)=x 0+2,∴由|BK|2=|AK|2-|AB|2,得y 02=(x 0+2)2,即8x 0=(x 0+2)2,解得x 0=2,∴y 0=±4.∴△AFK 的面积为12|KF|·|y 0|=12×4×4=8.4过抛物线y=14x 2的准线上任意一点作抛物线的两条切线,若切点分别为M ,N ,则直线MN 过定点( ) A.(-1,0)B.(0,-1)C.(1,0)D.(0,1)y=14x 2可化为x 2=4y ,则抛物线的准线方程为y=-1.取准线上的特殊点(0,-1),并设过点(0,-1)与抛物线相切的切线方程为y+1=kx ,代入到x 2=4y 中并消去y ,得x 2-4kx+4=0.令Δ=(-4k )2-16=0,则k=±1.求得M ,N 的坐标分别为(2,1),(-2,1).结合选项可知直线MN 必过点(0,1).5若抛物线过点(1,2),则抛物线的标准方程为 .x 轴正半轴时,设其方程为y 2=2p 1x (p 1>0),则4=2p 1,即p 1=2,故抛物线的标准方程为y 2=4x.当焦点在y 轴正半轴时,设其方程为x 2=2p 2y (p 2>0),则1=4p 2,即p 2=14,故抛物线的标准方程为x 2=12y.2=4x 或x 2=12y6设抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ,点A (0,2).若线段FA 的中点B 在抛物线上,则点B 到该抛物线准线的距离为 .,由已知可得点B (p4,1)在抛物线y 2=2px 上, 即1=2p ·p 4,故p=√2.故B (√24,1),准线为x=-√22.因此,点B 到准线的距离为3√24.7抛物线y=-x 2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是 .P (x ,-x 2)为抛物线上任一点,则点P 到直线4x+3y-8=0的距离 d=2√4+3=15|-3x 2+4x-8|=15|-3(x -23)2-203|,故当x=23时,d 取最小值,为15×203=43.8过点A (-2,-4)作倾斜角为π4的直线,交抛物线y 2=2px (p>0)于M ,N 两点,且|AM|,|MN|,|AN|成等比数列,求抛物线的方程.M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则由题意知MN 的方程为y=x-2. 由{y =x -2,y 2=2px ,消去x ,得y 2-2py-4p=0, 故y 1+y 2=2p ,y 1y 2=-4p. 又根据|AM|·|AN|=|MN|2, 可得(y 1+4)(y 2+4)=(y 1-y 2)2, 即5y 1y 2+4(y 1+y 2)+16=(y 1+y 2)2, 即p 2+3p-4=0,解得p=1或p=-4(舍去). 故所求抛物线的方程为y 2=2x.9已知抛物线y 2=-x 与直线y=k (x+1)相交于A ,B 两点. (1)求证:OA ⊥OB.(2)当△OAB 的面积等于√10时,求k 的值.,由{y 2=-x ,y =k (x +1), 消去x 得,ky 2+y-k=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由根与系数的关系得y 1y 2=-1,y 1+y 2=-1k . 因为A ,B 在抛物线y 2=-x 上,所以y 12=-x 1,y 22=-x 2. 所以y 12·y 22=x 1x 2.因为k OA ·k OB =y 1x 1·y 2x 2=y 1y 2x 1x 2=1y 1y 2=-1, 所以OA ⊥OB.x 轴交于点N ,显然k ≠0.令y=0,得x=-1,即N (-1,0). 因为S △OAB =S △OAN +S △OBN=12|ON||y 1|+12|ON||y 2|=12|ON|·|y 1-y 2|,所以S △OAB =12·1·√(y 1+y 2)2-4y 1y 2 =12√(-1k)2+4.因为S △OAB =√10, 所以√10=12√1k2+4,解得k=±16.★10已知A ,B 是抛物线x 2=2py (p>0)上的两个动点,O 为坐标原点,非零向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |.(1)求证:直线AB 经过一定点;(2)当线段AB 的中点到直线y-2x=0的距离的最小值为2√55时,求p 的值.|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴OA ⊥OB.设A ,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2), 则x 12=2py 1,x 22=2py 2.经过AB 两点的直线方程(x 2-x 1)(y-y 1)=(y 2-y 1)(x-x 1), 由y 1=x 122p ,y 2=x 222p ,得(x 2-x 1)(y-y 1)=(x 222p -x 122p )(x-x 1). ∵x 1≠x 2,∴y-y 1=x 2+x 12p (x-x 1).令x=0得y-y 1=x 1+x 22p (-x 1),∴y=-x 1x 22p .① ∵OA ⊥OB ,∴x 1x 2+y 1y 2=0.∴x 1x 2+x 12x 224p 2=0.∵x 1x 2≠0(否则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 中有一个为零向量), ∴x 1x 2=-4p 2代入①得y=2p.∴直线始终经过定点(0,2p ).AB 中点的坐标为(x ,y ),则x 1+x 2=2x ,y 1+y 2=2y.故x 12+x 22=2py 1+2py 2=2p (y 1+y 2). ∵x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=(x 1+x 2)2+8p 2, ∴4x 2+8p 2=4py ,即y=1p x 2+2p.②线段AB 的中点到直线y-2x=0的距离d=√5,将②代入得d=|1p x 2+2p -2x |√5=|1p (x -p )2+p |√5=1p (x -p )2+p√5.又d 的最小值为2√55, ∴√5=2√55.∴p=2.。
人教A版2019高中数学选修2-1习题：第二章2.4-2.4.1抛物线及其标准方程_含答案
第二章 圆锥曲线与方程2.4 抛物线2.4.1 抛物线及其标准方程A 级 基础巩固一、选择题1．抛物线y ＝4x 2的准线方程为( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－116D ．y ＝－116 答案：D2．抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( )A ．(0，2)B ．(0，1)C ．(2，0)D ．(1，0) 解析：由题意，y 2＝4x 的焦点坐标为(1，0)．答案：D3．经过点(2，4)的抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝8xB ．x 2＝yC ．y 2＝8x 或x 2＝yD ．无法确定解析：由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝2p ′y (p ′>0)，将点(2，4)代入可得p ＝4或p ′＝12，所以所求抛物线的标准方程为y 2＝8x 或x 2＝y .答案：C4．过点F (0，3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12x C ．x 2＝12y D ．x 2＝－12y 解析：由题意，知动圆圆心到点F (0，3)的距离等于到定直线y ＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线，所以所求的抛物线方程为x 2＝12y .答案：C5．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上一点，设点P 到此抛物线准线的距离是d 1，到直线x ＋2y－12＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A ．5B ．4 C.1155 D.115答案：C二、填空题6．已知抛物线的焦点在直线x －2y －4＝0上，则抛物线的标准方程为________． 答案：y 2＝16x 或x 2＝－8y7．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．解析：因为|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3， 所以x A ＋x B ＝52. 所以线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54. 答案：548．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为________． 答案：2三、解答题9．已知动圆M 经过点A (3，0)，且与直线l ：x ＝－3相切，求动圆圆心M 的轨迹方程． 解：法一：设动点M (x ，y )，设⊙M 与直线l ：x ＝－3的切点为N ，则|MA |＝|MN |， 所以点M 的轨迹是抛物线，且以A (3，0)为焦点，以直线l ：x ＝－3为准线，所以p2＝3，所以p ＝6. 所以圆心M 的轨迹方程是y 2＝12x .法二：设动点M (x ，y )，则点M 的轨迹是集合 P ＝{M ||MA |＝|MN |}，即（x －3）2＋y 2＝|x ＋3|，化简得y 2＝12x .所以圆心M 的轨迹方程为y 2＝12x .10.如图，已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3，2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求此时P 点坐标．解：如图，作PQ ⊥l 于Q ，由定义知，抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d ，求|PA |＋|PF |的最小值的问题可转化为求|PA |＋d 的最小值的问题．将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6. 因为6>2，所以A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|PA |＋|PF |＝|PA |＋d .由图可知，当PA ⊥l 时，|PA |＋d 最小，最小值为72.即|PA |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2.所以P 坐标为(2，2)．B 级 能力提升1．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝16xB ．y 2＝－16x C ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x 答案：A2．抛物线y ＝－14x 2上的动点M 到两定点F (0，－1)，E (1，－3)的距离之和的最小值为________．解析：将抛物线方程化成标准方程为 x 2＝－4y ，可知焦点坐标为(0，－1)，因为－3＜－14， 所以点E (1，－3)在抛物线的内部，如图所示，设抛物线的准线为l ，过M 点作MP ⊥l 于点P ，过点E 作EQ ⊥l 于点Q ，由抛物线的定义可知，|MF |＋|ME |＝|MP |＋|ME |≥|EQ |，当且仅当点M 在EQ 上时取等号，又|EQ |＝1－(－3)＝4，故距离之和的最小值为4.答案：43.一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处．已知接收天线的口径(直径)为4.8 m ，深度为0.5 m ，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点与原点重合．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，由已知条件可得，点A 的坐标是(0.5，2.4)，代入方程，得2.42＝2p ×0.5，所以p ＝5.76.所以所求抛物线的标准方程是y 2＝11.52x ，焦点坐标是(2.88，0)。
2020秋高中数学人教版2-1课堂达标：2.4.2.1抛物线的简单几何性质含解析
2020秋高中数学人教A版选修2-1课堂达标：2.4.2.1抛物线的简单几何性质含解析第二章2。
4 2.4。
2第1课时1．(河南洛阳市2019－2020学年高二期末)抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离是(C）A．4B．2C．错误!D．错误![解析]抛物线y＝4x2,即x2＝错误!y的焦点到准线的距离为:p＝错误!。
2．若动点M（x，y)到点F(4,0）的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是(D）A．x＋4＝0B．x－4＝0C．y2＝8x D．y2＝16x[解析]依题意可知M点到点F的距离等于M点到直线x＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，∴其方程为y2＝16x,故答案是D．3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的点A到焦点F距离为4，若在y轴上存点B（0,2）使得错误!·错误!＝0，则该抛物线的方程为（A)A．y2＝8x B．y2＝6xC．y2＝4x D．y2＝2x［解析］由题意可得：F(错误!，0)，x A＋错误!＝4，解得x A＝4－错误!，取y A＝错误!＝错误!。
∴A（4－p2，错误!）．∵错误!·错误!＝0，∴错误!（4－错误!）－2(错误!－2)＝0,∴（8p－p2－4)2＝0，解得p＝4。
经过检验满足条件．∴该抛物线的方程为y2＝8x。
故选A．4．抛物线y2＝x的焦点和准线的距离等于__0。
5__。
[解析]抛物线y2＝x中2p＝1，∴p＝0。
5，∴抛物线y2＝x的焦点和准线的距离等于0.5。
5．过抛物线y2＝8x的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3,则｜AB|的值为__10__。
[解析］由抛物线y2＝8x知，p＝4。
设A(x1，y1)、B(x2,y2)，根据抛物线定义知:|AF｜＝x1＋错误!，｜BF|＝x2＋错误!，∴|AB｜＝|AF｜＋|BF|＝x1＋错误!＋x2＋错误!＝x1＋x2＋p，由条件知x1＋x22＝3，则x1＋x2＝6，又∵p＝4,∴｜AB|＝10。
人教版高中数学选修2-1(A版)课件：第二章 2.4 2.4.2 抛物线的简单几何性质 (共55张PPT)
高中数学新人教A版选修2-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质
> 0.
即 A=0(直线与抛物线的对称轴平行,即相交);
≠ 0,
(2)直线与抛物线相切⇔有一个公共点,即
= 0.
≠ 0,
(3)直线与抛物线相离⇔没有公共点,即
< 0.
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探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l
③当Δ<0时,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.
综上所述,(1)当k=1或k=0时,直线l与C有一个公共点;
(2)当k<1,且k≠0时,直线l与C有两个公共点;
(3)当k>1时,直线l与C没有公共点.
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反思感悟方程思想解决直线与抛物线的位置关系
题,通过我们学过的数学知识进行求解.利用抛物线模型解决问题
时,关键是建立坐标系得到抛物线的标准方程,一般都是将抛物线
的顶点作为坐标原点,将对称轴作为x轴或y轴建立坐标系,其次要注
意抛物线上关键点的坐标,并善于运用抛物线的对称性进行求解.
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变式训练3如图是抛物线形拱桥,当水面到直线l时,拱顶离水面2
图形
对称轴
x轴
焦点
F
顶点
原点(0,0)
准线
x=-2
离心率
e=1
p
2
x轴
,0
p
开口方向 向右
p
F - ,0
2
p
y轴
F 0,
p
y轴
人教版高中数学选修2-1习题课件：2.4-2.4.2第1课时 抛物线的简单几何性质
[变式训练] 已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过 点F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原 点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线方程．
解：由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)， 焦点Fp2，0，直线l：x＝p2， 所以A，B两点的坐标为p2，p，p2，－p， 所以AB＝2|p|， 因为△OAB的面积为4，
＝x1＋1＋x2＋1＝7＋2＝9.
(2)因为抛物线的焦点是(1，0)，所以直线AB的方程
为y＝ 3 (x－1)，与抛物线方程联立消去y得3x2－10x＋3
＝0，所以x1＋x2＝
10 3
，从而|AB|＝x1＋x2＋p＝
10 3
＋2＝
136.
类型3 抛物线几何性质的简单应用
[典例3] 已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为
所以12×p2·2|p|＝4，所以p＝±2 2. 所以此抛物线方程为y2＝±4 2x.
类型2 抛物线的焦点弦问题 [典例2] 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且 与抛物线相交于A，B两点． (1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值； (2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离． 解：(1)因为直线l的倾斜角为60°，所 以其斜率k＝tan 60°＝ 3， 又F32，0， 所以直线l的方程为y＝ 3x－32.
[变式训练] 过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物
线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点． (1)如果x1＋x2＝7，求线段AB的长； (2)若点A，B是倾斜角为60°的直线与抛物线的交
点，则|AB|等于多少？
解：(1)由抛物线的方程得
p 2
高中数学人教版选修2-1习题 第2章 圆锥曲线与方程 2.4.2 第1课时 含答案
第二章 2.4 2.4.2 第1课时一、选择题1．(2015·河南洛阳市高二期末测试)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝10，则弦AB的长度为导学号 33780566 ( )A．16 B．14C．12 D．10[答案] C[解析] 设抛物线的焦点为F，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝10＋2＝12.2．抛物线x2＝－8y的通径为线段AB，则AB长是导学号 33780567( ) A．2 B．4C．8 D．1[答案] C[解析] 抛物线x2＝－8y，通径为|－8|＝8，∴选C.3．(2015·阜新高二检测)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，点P为C的准线上一点，则△ABP的面积为导学号 33780568( )A．18 B．24C．36 D．48[答案] C[解析] 设抛物线方程y 2＝2px(p>0) |AB|即通径为∴2p ＝12，∴p ＝6，点P 到AB 的距离为P ＝6，∴S △ABP ＝12×12×6＝36.4．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是导学号 33780569( ) A.π6或5π6 B ．π4或3π4C.π3或2π3 D ．π2[答案] B[解析] 解法一：∵抛物线y 2＝6x ，∴2p ＝6，∴p2＝32， 即焦点坐标F(32，0)设所求直线方程为y ＝k(x －32)与抛物线y 2＝6x 消去y ，得k 2x 2－(3k 2＋6)x ＋94k 2＝0设直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2) ∴x 1＋x 2＝3k 2＋6k 2∵直线过抛物线y 2＝6x 焦点，弦长为12. ∴x 1＋x 2＋3＝12，∴x 1＋x 2＝9 即3k 2＋6k 2＝9，解得k2＝1 k ＝tan α＝±1，∵α∈[0，π) ∴α＝π4或3π4解法二：弦长|AB|＝2psin 2α(α为直线AB 倾斜角)∴12＝6sin 2α，∴sin 2α＝12sin α＝±22，∴α∈[0，π)，∴α＝π4或α＝3π4.5．(2015·安庆高二检测)设抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB→的值是导学号 33780570( )A.34 B ．－34C ．3D ．－3[答案] B[解析] 抛物线y 2＝2x 焦点(12，0)当直线AB 斜率不存在时，。
【原创】人教A版选修2-1：第二章 2.4 2.4.1 抛物线及其标准方程
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②∵直线 l 与 y 轴的交点为(0，－3)， 即抛物线的焦点是 F(0，－3)， ∴p2＝3，∴p＝6， ∴抛物线的标准方程是 x2＝－12y. 综上所述，所求抛物线的标准方程是 y2＝8x 或 x2＝－12y.
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求抛物线的标准方程的方法
定义法 根据定义求p，最后写标准方程 待定系
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[解] 如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的 水平直线为 x 轴，竖直直线为 y 轴，建立直角 坐标系．
因为拱顶距水面 6 米，桥墩高出水面 4 米，所以 A(10，－2)． 设桥孔上部抛物线方程是 x2＝－2py(p>0)， 则 102＝－2p×(－2)，所以 p＝25， 所以抛物线方程为 x2＝－50y，即 y＝－510x2. 若货船沿正中央航行，船宽 16 米，而当 x＝8 时， y＝－510×82＝－1.28，
__0_，__p2_ _
__y_＝__－__p2_
x_2_＝__－__2_p_y_(p_>_0_)_ __0_，__－__p2_ _ _y_＝__p2___
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[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点轨迹一定
抛物线
2．4．1 抛物线及其标准方程
结束
预习课本 P64～67，思考并完成以下问题 1．平面内满足什么条件的点的轨迹叫做抛物线？它的焦点、准
线分别是什么？
2．抛物线的标准方程有几种形式？分别是什么？
人教A版高中数学高二选修2-1试题 2.4.1抛物线及其标准方程
第二章 2.4 第1课时一、选择题1．在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3的距离相等的点的轨迹是( ) A ．直线 B ．抛物线 C ．圆 D ．双曲线[答案] A[解析] ∵点(1,1)在直线x ＋2y ＝3上，故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x ＋2y ＝3垂直的直线．2．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝12y D ．x 2＝－12y [答案] C[解析] 由题意，知动圆圆心到点F (0,3)的距离等于到定直线y ＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线．3．抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 [答案] D[解析] 解法一：∵y ＝4，∴x 2＝4·y ＝16，∴x ＝4， ∴A (4,4)，焦点坐标为(0,1)， ∴所求距离为42＋(4－1)2＝25＝5.解法二：抛物线的准线为y ＝－1，∴A 到准线的距离为5，又∵A 到准线的距离与A 到焦点的距离相等．∴距离为5.4．抛物线y 2＝mx 的焦点为F ，点P (2,22)在此抛物线上，M 为线段PF 的中点，则点M 到该抛物线准线的距离为( )A ．1B ．32C ．2D ．52[答案] D[解析] ∵点P (2,22)在抛物线上，∴(22)2＝2m ，∴m ＝4，P 到抛物线准线的距离为2－(－1)＝3，F 到准线距离为2， ∴M 到抛物线准线的距离为d ＝3＋22＝52.5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4[答案] C[解析] 抛物线的准线为x ＝－p2，将圆方程化简得到(x －3)2＋y 2＝16，准线与圆相切，则－p2＝－1，∴p ＝2，故选C.6．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(－2,3)的抛物线方程是( ) A ．y 2＝94xB ．x 2＝43yC ．y 2＝－94x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝43y[答案] D[解析] ∵点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2p ′y (p ′>0)， 又点(－2,3)在抛物线上， ∴p ＝94，p ′＝23，∴抛物线方程为y 2＝－92x 或x 2＝43y .二、填空题7．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为________． [答案] －18[解析] 抛物线方程化为标准形式为x 2＝1a y ，由题意得a <0，∴2p ＝－1a ，∴p ＝－12a ，∴准线方程为y ＝p 2＝－14a ＝2，∴a ＝－18.8．沿直线y ＝－2发出的光线经抛物线y 2＝ax 反射后，与x 轴相交于点A (2,0)，则抛物线的准线方程为________(提示：抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行)．[答案] x ＝－2[解析] 由直线y ＝－2平行于抛物线的轴知A (2,0)为焦点，故准线方程为x ＝－2. 9．以双曲线x 216－y 29＝1的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是____________________．[答案] y 2＝－20x[解析] ∵双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)， 又p ＝10，∴y 2＝－20x . 三、解答题10．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M 点的横坐标及抛物线方程．[解析] ∵点M 到对称轴的距离为6， ∴设点M 的坐标为(x,6)． 又∵点M 到准线的距离为10，∴⎩⎪⎨⎪⎧62＝2px ，x ＋p 2＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝9，p ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，p ＝18.故当点M 的横坐标为9时，抛物线方程为y 2＝4x . 当点M 的横坐标为1时，抛物线方程为y 2＝36x .一、选择题11．若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点M 的轨迹方程是( )A ．x ＋4＝0B ．x －4＝0C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x[答案] D[解析] 依题意可知M 点到点F 的距离等于M 点到直线x ＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p ＝8，顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，∴其方程为y 2＝16x ，故答案是D.12．(2014·万州市分水中学高二期中)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4[答案] C[解析] 抛物线C 的准线方程为x ＝－2，焦点F (2，0)，由|PF |＝42及抛物线的定义知，P 点的横坐标x P ＝32，从而y P ＝±26，∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝12×2×26＝2 3.13．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|P 1F |＋|P 2F |＝|FP 3|B ．|P 1F |2＋|P 2F |2＝|P 3F |2C ．2|P 2F |＝|P 1F |＋|P 3F |D ．|P 2F |2＝|P 1F |·|P 3F |[答案] C[解析] ∵点P 1，P 2，P 3在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，两边同时加上p ， 得2(x 2＋p 2)＝x 1＋p 2＋x 3＋p2，即2|P 2F |＝|P 1F |＋|P 3F |，故选C.14．(2014·湖北部分重点中学高二期中)已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A.522B ．522＋1C.522－2 D ．522－1[答案] D[解析] 设抛物线焦点为F ，过P 作PA 与准线垂直，垂足为A ，作PB 与l 垂直，垂足为B ，则d 1＋d 2＝|PA |＋|PB |－1＝|PF |＋|PB |－1，显然当P 、F 、B 三点共线(即P 点在由F 向l 作垂线的垂线段上)时，d 1＋d 2取到最小值，最小值为522－1.15．(2014·云南景洪市一中期末)从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线焦点为F ，则△MPF 的面积为( )A ．10B ．8C ．6D ．4[答案] A[解析] 设P (x 0，y 0)，∵|PM |＝5，∴x 0＝4，∴y 0＝±4， ∴S △MPF ＝12|PM |·|y 0|＝10.二、填空题16．(2013·江西理，14)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.[答案] 6[解析] 如图不妨设B (x 0，－p2)．F (0，p2)，FD ＝p ，可解得B (3＋p 24，－p 2)．在Rt △DFB 中，tan30°＝BD DF ，∴33＝3＋p 24p. ∴p 2＝36，p ＝6. 三、解答题17．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过抛物线y 2＝2mx 的焦点F 作x 轴的垂线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝6；(2)抛物线顶点在原点，对称轴是x 轴，点P (－5，25)到焦点的距离是6.[解析] (1)设抛物线的准线为l ，交x 轴于K 点，l 的方程为x ＝－m2，如图，作AA ′⊥l 于A ′，BB ′⊥l 于B ′，则|AF |＝|AA ′|＝|FK |＝|m |，同理|BF |＝|m |.又|AB |＝6，则2|m |＝6. ∴m ＝±3，故所求抛物线方程为y 2＝±6x .(2)设焦点F (a,0)，|PF |＝(a ＋5)2＋20＝6，即a 2＋10a ＋9＝0，解得a ＝－1或a ＝－9.当焦点为F (－1，0)时，p ＝2，抛物线开口方向向左，其方程为y 2＝－4x ；当焦点为F (－9,0)时，p ＝18，抛物线开口方向向左，其方程为y 2＝－36x .18．一辆卡车高3m ，宽1.6m ，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值．[解析] 以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴建立直角坐标系，则B 点的坐标为(a2，－a4)，如图所示，设隧道所在抛物线方程为x 2＝my ，则 (a 2)2＝m ·(－a 4)，∴m ＝－a ，即抛物线方程为x 2＝－ay . 将(0.8，y )代入抛物线方程，得0.82＝－ay ， 即y ＝－0.82a.欲使卡车通过隧道，应有y －(－a 4)>3，即a 4－0.82a >3，由于a >0，得上述不等式的解为a >12.21，∴a 应取13.。
2018-2019年人教A版高中数学选修2-1练习：第二章 2.4 2.4.2 抛物线的简单几何性质 Word版含解析
[课时作业][A 组 基础巩固]1．已知抛物线的对称轴为x 轴，顶点在原点，焦点在直线2x －4y ＋11＝0上，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝－11xB ．y 2＝11xC ．y 2＝－22xD ．y 2＝22x解析：在方程2x －4y ＋11＝0中，令y ＝0得x ＝－112，∴抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112，0， 即p 2＝112，∴p ＝11，∴抛物线的方程是y 2＝－22x ，故选C.答案：C2．已知直线y ＝kx －k 及抛物线y 2＝2px (p >0)，则( )A ．直线与抛物线有一个公共点B ．直线与抛物线有两个公共点C ．直线与抛物线有一个或两个公共点D ．直线与抛物线可能没有公共点解析：∵直线y ＝kx －k ＝k (x －1)，∴直线过点(1,0)．又点(1,0)在抛物线y 2＝2px 的内部．∴当k ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点．答案：C3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作一直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则k OA ·k OB 的值为( )A ．4B ．－4C ．p 2D ．－p 2解析：k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2，根据焦点弦的性质x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，故k OA ·k OB ＝－p 2p 24＝－4.答案：B4．已知直线l ：y ＝k (x －2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若|AF |＝2|BF |，则k 的值是( )A.13B.223 C ．2 2 D.24解析：根据题意画图，如图所示，直线m 为抛物线的准线，过点A 作AA 1⊥m ，过点B 作BB 1⊥m ，垂足分别为A 1，B 1，过点B 作BD ⊥AA 1于点D ，设|AF |＝2|BF |＝2r ，则|AA 1|＝2|BB 1|＝2|A 1D |＝2r ，所以|AB |＝3r ，|AD |＝r ，则|BD |＝22r .所以k ＝tan ∠BAD ＝|BD ||AD |＝2 2.选C.答案：C5．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB→＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728 D.10解析：设直线AB 的方程为x ＝ny ＋m (如图)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵OA →·OB→＝2， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝2.又y 21＝x 1，y 22＝x 2，∴y 1y 2＝－2.联立⎩⎨⎧y 2＝x ，x ＝ny ＋m ，得y 2－ny －m ＝0， ∴y 1y 2＝－m ＝－2，∴m ＝2，即点M (2,0)．又S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO ＝12|OM ||y 1|＋12|OM ||y 2|＝y 1－y 2，S △AFO ＝12|OF |·|y 1|＝18y 1，∴S △ABO ＋S △AFO ＝y 1－y 2＋18y 1＝98y 1＋2y 1≥298y 1·2y 1＝3，当且仅当y 1＝43时，等号成立．答案：B6．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得的线段的中点坐标是________．解析：将y ＝x －1代入y 2＝4x ，整理，得x 2－6x ＋1＝0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝6，x 1＋x 22＝3，∴y 1＋y 22＝x 1＋x 2－22＝6－22＝2. ∴所求点的坐标为(3,2)．答案：(3,2)7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线的定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB的中点M 的横坐标为52.因此，点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72.答案：728．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为________．解析：抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－p 2，而点A (－2,3)在准线上，所以 －p 2＝－2，即p ＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F (2,0)．设切线方程。
数学人教A版选修2-1优化练习第二章 2.4 2.4.1 抛物线及其标准方程 Word版含解析
[课时作业][组基础巩固]．经过点()的抛物线的标准方程为( )．＝．＝．＝或＝．无法确定解析：由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为＝(>)或＝(>)，将点()代入可得＝或＝，所以所求抛物线标准方程为＝或＝，故选.答案：．已知抛物线：＝的焦点为，(，)是上一点，＝，则＝( )．．．．解析：由题意知抛物线的准线为＝－.因为＝，根据抛物线的定义可得＋＝＝，解得＝，故选.答案：．若动点(，)到点()的距离等于它到直线＋＝的距离，则点的轨迹方程是( ) ．＋＝．－＝．＝．＝解析：根据抛物线定义可知，点的轨迹是以为焦点，以直线＝－为准线的抛物线，＝，∴其轨迹方程为＝，故选.答案：．已知双曲线：－＝(>，>)的离心率为.若抛物线：＝(>)的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则抛物线的方程为( )．＝．＝．＝．＝解析：抛物线的焦点，双曲线的渐近线为＝±，不妨取＝，即－＝，焦点到渐近线的距离为＝，即＝＝，所以＝，双曲线的离心率为＝，所以＝＝，所以＝，所以抛物线方程为＝.故选.答案：．如图，设抛物线＝的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则△与△的面积之比是( )解析：由图形可知，△与△有公共的顶点，且，，三点共线，易知△与△的面积之比就等于.由抛物线方程知焦点()，作准线，则的方程为＝－.∵点，在抛物线上，过，分别作，与准线垂直，垂足分别为点，，且与轴分别交于点，.由抛物线定义，得＝－，＝－.在△中，∥，∴＝＝.答案：．已知抛物线＝(>)的准线与圆＋－－＝相切，则的值为．解析：依题意得，直线＝－与圆(－)＋＝相切，因此圆心()到直线＝－的距离等于半径，于是有＋＝，即＝.答案：．设抛物线＝(>)的焦点为，定点()．若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为．解析：抛物线的焦点的坐标为，线段的中点的坐标为，代入抛物线方程得＝×，解得＝，故点的坐标为，故点到该抛物线准线的距离为＋＝.答案：．对于抛物线＝上任意一点，点()都满足≥，则的取值范围是．解析：设(，±)(≥)，则＝≥对∀≥恒成立，即(－)＋≥对∀≥恒成立．化简得＋(－)≥.当－≥时，对∀≥，＋(－)≥恒成立，此时≤；。
人教版高中数学选修2-1练习：第二章2.42.4.1抛物线及其标准方程
[课时作业][A组基础稳固 ]1．经过点 (2,4)的抛物线的标准方程为()A ． y 2 ＝8xB ．x 2＝yC ． y 2＝8x 或x 2＝yD ．没法确立分析：由题设知抛物线张口向右或张口向上，设其方程为y 2＝ 2px(p>0)或21x ＝ 2py(p>0)，将点 (2,4)代入可得 p ＝4 或 p ＝2，所以所求抛物线标准方程为y 2＝ 8x 或 x 2 ＝y ，应选 C.答案： C252．已知抛物线 C ：y ＝ x 的焦点为 F ，A(x 0， y 0)是 C 上一点， |AF|＝ 4x 0，则 x 0＝( ) A ． 1 B ．2 C ． 4D ．8分析：由题意知抛物线的准线为 x ＝－1由于＝50，依据抛物线的定义可得4.|AF| 4x15x 0，解得 x 0＝1，应选 A.x 0＋ ＝|AF|＝44答案： A3．若动点 M(x ，y)到点 F(4,0)的距离等于它到直线x ＋4＝0 的距离，则 M 点的轨迹方程是( )A ． x ＋4＝0C ． y 2＝8xB ．x －4＝0D ．y 2＝16x分析：依据抛物线定义可知， M 点的轨迹是以 F 为焦点，以直线 x ＝－ 4 为准线的抛物线， p ＝8，2∴其轨迹方程为 y ＝16x ，应选 D.x 2 y 224．已知双曲线C 1：a 2－ b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为 2.若抛物线 C 2：x ＝2py(p>0)的焦点到双曲线 C 1 的渐近线的距离为 2，则抛物线 C 2 的方程为 ()28 3216 3A ． x ＝ 3 yB ．x ＝3yC ． x 2＝8yD ．x 2＝16y分析：抛物线的焦点 0， p，双曲线的渐近线为b ，不如取＝ b2 y ＝ ± y ，a xa xp|a × |即 bx －ay ＝0，焦点到渐近线的距离为22＝2，即 ap ＝4 a 2＋b 2＝ 4c ， 2a ＋ b所以 c ＝p，双曲线的离心率为 c＝2，所以 c ＝p＝2，所以 p ＝ 8，所以抛物线方a4aa 42程为 x ＝ 16y.应选 D.5．如图，设抛物线 y 2＝ 4x 的焦点为 F ，不经过焦点的直线上有三个不一样的点 A ，B ，C ，此中点 A ，B 在抛物线上，点 C在 y 轴上，则△ BCF 与△ ACF 的面积之比是 ()|BF|－1 |BF|2－1A.|AF|－1B.|AF|2－1|BF|＋1|BF|2＋1 C.|AF|＋1D.|AF|2＋1分析：由图形可知，△ BCF 与△ ACF 有公共的极点 F ，且 A ，B ，|BC|C 三点共线，易知△ BCF 与△ ACF 的面积之比就等于 |AC|.由抛物线方程知焦点 F(1,0)，作准线 l ，则 l 的方程为 x ＝－ 1.∵点 A ，B 在抛物线上，过 A ，B 分别作 AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点 K ，H ，且与 y 轴分别交于点 N ， M.由抛物线定义，|BC| |BM| |BF|－ 1得 |BM|＝ |BF|－ 1，|AN|＝|AF|－ 1.在△ CAN 中， BM ∥AN ，∴ |AC|＝ |AN|＝|AF|－ 1.答案： A6．已知抛物线 y 2＝ 2px(p>0)的准线与圆 x 2＋y 2－ 6x －7＝0 相切，则 p 的值为________．分析：依题意得，直线 p2 2x ＝－ 2与圆 (x －3) ＋y ＝ 16 相切，所以圆心(3,0)到直线xp＝－ 2的距离等于半径4，于是有p3＋2＝4，即p ＝ 2.答案： 27．设抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F，定点 A(0,2)．若线段 FA 的中点 B 在抛物线上，则 B 到该抛物线准线的距离为 ________．p分析：抛物线的焦点 F 的坐标为2，0 ，p线段 FA 的中点 B 的坐标为4，1 ，p代入抛物线方程得 1＝2p×，4解得 p＝ 2，故点 B 的坐标为2，1，4故点 B 到该抛物线准线的距离为2232 4＋2＝ 4.答案：3428．对于抛物线 y2＝4x 上随意一点 Q，点 P(a,0)都知足 |PQ| ≥|a，则 a 的取值范围是 ________．分析：设 Q(x0，±2x0)(x0≥0)，则 |PQ|＝x0－a2＋4x0≥|a|对? x0≥0恒成立，即 (x0－a)2＋4x0≥a2对? x≥0 恒成立．2化简得 x0＋(4－2a)x0≥0.当 4－2a≥0 时，对 ? x0≥0，x20＋(4－ 2a)x0≥0 恒成立，此时a≤2；当 4－2a＜ 0 时， 0＜x0＜2a－4 时不合题意．答案： (－∞，2]9．已知圆 A： (x＋2)2＋ y2＝1 与定直线 l：x＝1，且动圆 P 和圆 A 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程．分析：如图，作 PK 垂直于直线 x＝ 1，垂足为 K，PQ 垂直于直线 x＝2，垂足为 Q，则 |KQ|＝1，∴ |PQ|＝r ＋1，又 |AP|＝r ＋1.∴|AP|＝|PQ|.故点 P 到圆心 A(－2,0)的距离和到定直线x＝2 的距离相等．∴点 P 的轨迹为抛物线， A(－2,0)为焦点．直线x ＝2 为准线．p∴ 2＝ 2.∴p ＝4. ∴点P 的轨迹方程为 y 2＝－ 8x.10.如下图，花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1 m ，水从喷头 P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面 2 m ，P 距抛物线的对称轴 1 m ，则水池的直径起码应设计为多少米？ (精准到整数位 )分析：如下图，成立平面直角坐标系，设抛物线方程为2py(p>0)，依题意有 P(－ 1，－ 1)，在此抛物线上，代入得故得抛物线方程为 x 2＝－ y.又由于 B 点在抛物线上，将 B(x ，－ 2)代入抛物线方程得 x ＝ 2，即 |AB|＝ 2，则水池半径应为 |AB|＋1＝ 2＋ 1，所以所求水池的直径为 2(1＋ 2)，约为 5 m ，即水池的直径起码应设计为 5 m.[B 组 能力提高 ]1．已知抛物线2＝2px(p>0)的焦点为 F ，点 P 1(x1， y 1 ， 2 2，y 2， 3 3，y 3y) P (x)P (x)在抛物线上，且 2x 2＝ x 1＋x 3，则有 ( )A ． |FP 1|＋|FP 2 |＝|FP 3 |B ． |FP 1|2＋ |FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP |＝|FP |＋|FP |213 2 2＝|FP 13 |D ． |FP | | ·|FP分析： |FP 1 ＝ 1＋p ，|FP 2 ＝ 2＋ p， |FP 3 ＝ 3＋ p，| x 2 | x 2 | x 2∵ 2x 2＝ x 1 ＋x 3， ∴ 2|FP 2|＝|FP 1|＋| FP 3|.答案： C1 p ＝ 2，x 2＝－2．已知抛物线对于x 轴对称，它的极点在座标原点O ，而且经过点 M(2，y 0 )．若点 M 到该抛物线焦点的距离为3，则 |OM|等于 ()A ．2 2B ．2 3C ． 4D ．2 5分析：设抛物线方程为 y 2＝2px(p>0)，则焦点坐标为p2， 0，准线方程为px ＝－ 2，∵ M 在抛物线上，∴M 到焦点的距离等于到准线的距离，即p2＋ 2＝ 3，p ＝2，抛物线方程为 y 2＝ 4x ，∵ M(2，y 0)在抛物线上，∴ y 20＝8，∴ |OM|＝ 22＋y 20＝ 22＋ 8＝ 2 3.答案： B3．已知抛物线 y 2＝2px(p>0)上一点 M (1，m)(m>0)到其焦点的距离为 5，双曲线x 22a － y ＝1 的左极点为 A.若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数 a 等于________．p分析：由抛物线定义知 1＋ 2＝ 5，∴ p ＝8，∴抛物线方程为 y 2＝16x ，∴ m 2＝16，∴ m ＝4，即 M(1,4)，又∵ A(－ a ，0)，双曲线渐近线方程为y ＝ ±1，a x由题意知4 ＝ 1，∴ a ＝ 11＋ aa9.1答案： 94．如图，正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为a ，b(a ＜b)，原点 O 为 AD 的中点，抛物线 y 2 ＝2px(p ＞0)经过 C ，bF 两点，则 a ＝ ________.分析： ∵正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a ， b ， O 为 AD 的中点，a a∴ C 2，－ a ， F 2＋b，b .又∵点 C， F 在抛物线 y2＝ 2px(p＞0)上，a2＝ pa，b∴b2＝2p a2＋b，解得a＝2＋1.答案：2＋15．已知抛物线 y2＝－ x 与直线 y＝k(x＋ 1)订交于 A，B 两点．(1)求证： OA⊥ OB；(2)当△ OAB 的面积等于10时，求 k 的值．分析： (1)证明：设 A(－y21，y1)，B(－ y22，y2)．则 y1＝k(－ y21＋1)，y2＝ k(－y22＋1)，消去 k 得 y1(1－y22)＝y2(1－y21)．∴ (y2－y1)＝y1y2(y1－y2)，又 y1≠y2，∴ y1y2＝－ 1，→ →22＋12＝，∴ OA·＝ y1 2＋y12＝y1 2OBy y y (1y y ) 0∴ OA⊥ OB.1(2)S△OAB＝2×1×|y2－ y1|，y2＝－ x，得 ky2＋ y－ k＝0，由x＋y＝k，1× ×2－y1 ＝11，∴ S△OAB＝2k 2＋＝2 1 |y|4101∴ k＝± .66．已知抛物线 y2＝2px(p>0)．试问：(1)在抛物线上能否存在点P，使得点 P 到焦点 F 的距离与点 P 到 y 轴的距离相等？(2)在抛物线上能否存在点P，使得点 P 到 x 轴的距离与点 P 到准线的距离相等？分析： (1)假定在抛物线上存在点P，使得点 P 到焦点 F 的距离与点 P 到 y 轴的距离相等．那么依据抛物线定义，得点P 到准线的距离与点P 到 y 轴的距离相等，这明显是不行能的．所以在抛物线上不存在点P，使得点 P 到焦点 F 的距离与点 P 到 y 轴的距离相等．(2)假定在抛物线上存在点 P，使得点 P 到 x 轴的距离与点 P 到准线的距离相等，则由抛物线定义，得点 P 到 x 轴的距离与点 P 到焦点的距离相等．这样的点是存在的，有两个，即当PF 与 x 轴垂直时，知足条件 .。
高二数学 (人教版A版选修2-1)配套课时作业：第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 Word版含答案
2.4.2 抛物线的简单几何性质1．抛物线的简单几何性质设抛物线的标准方程为y 2＝2px(p>0)(1)范围：抛物线上的点(x ，y)的横坐标x 的取值范围是________，抛物线在y 轴的______侧，当x 的值增大时，|y|也________，抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：抛物线关于________对称，抛物线的对称轴叫做________________．(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的________．抛物线的顶点为____________． (4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的__________，用e 表示，其值为______．(5)抛物线的焦点到其准线的距离为______，这就是p 的几何意义，顶点到准线的距离为p2，焦点到顶点的距离为________． 2．直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x 的方程________________________的解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有______个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有______个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴__________，此时直线与抛物线有______个公共点． 3．抛物线的焦点弦设抛物线y 2＝2px(p>0)，AB 为过焦点的一条弦，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点M(x 0，y 0)，则有以下结论．(1)以AB 为直径的圆与准线________．(2)|AB|＝________(焦点弦长与中点坐标的关系)． (3)|AB|＝x 1＋x 2＋______.(4)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1x 2＝________，y 1y 2＝________.一、选择题1．顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(－2,3)，它的方程是( )A ．x 2＝－92y 或y 2＝43xB ．y 2＝－92x 或x 2＝43yC ．y 2＝－92xD ．x 2＝43y2．若抛物线y 2＝2px (p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F 的距离的关系是( ) A ．成等差数列B ．既成等差数列又成等比数列C ．成等比数列D ．既不成等比数列也不成等差数列 3．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A .172B ．3C . 5D .924．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax(a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x5．设直线l 1：y ＝2x ，直线l 2经过点P(2,1)，抛物线C ：y 2＝4x ，已知l 1、l 2与C 共有三个交点，则满足条件的直线l 2的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．过抛物线y 2＝ax (a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则1p ＋1q 等于( )A ．2aB .12aC ．4aD .4a二、填空题7．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P(2，2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．8．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M(2,2)，则△ABF的面积等于________．9．过抛物线x2＝2py (p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴的左侧)，则|AF||FB|＝________.三、解答题10．设抛物线y＝mx2 (m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．11．过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q所平分，求AB所在的直线方程．能力提升12．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|等于()A．4 3 B．8 C．8 3 D．1613.已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值．1．抛物线上一点与焦点的距离问题，可转化为该点到准线的距离．2．直线与抛物线的位置关系，可利用直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解来判定；“中点弦”问题也可使用“点差法”．2.4.2 抛物线的简单几何性质知识梳理1．(1)x ≥0 右 增大 (2)x 轴 抛物线的轴 (3)顶点 坐标原点 (4)离心率 1 (5)p p 22．k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0 两 一 没有 平行或重合 一3．(1)相切 (2)2(x 0＋p 2) (3)p (4)p 24－p 2作业设计1．B [由题意知所求抛物线开口向上或开口向左，利用待定系数法可求得方程．] 2．A [设三点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，y 23＝2px 3，因为2y 22＝y 21＋y 23，所以x 1＋x 3＝2x 2， 即|P 1F |－p 2＋|P 3F |－p2＝2⎝⎛⎭⎫|P 2F |－p 2， 所以|P 1F |＋|P 3F |＝2|P 2F |.] 3．A [如图所示，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－12的距离d 等于点P 到焦点的距离|PF |.因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点(0,2)的距离与点P到点F 的距离之和，其最小值为点M (0,2)到点F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为4＋14＝172.] 4．B [y 2＝ax 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0得y ＝－a2.∴12×|a |4×|a |2＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8.] 5．C [∵点P (2,1)在抛物线内部，且直线l 1与抛物线C 相交于A ，B 两点，∴过点P 的直线l 2在过点A 或点B 或与x 轴平行时符合题意．∴满足条件的直线l 2共有3条．]6．D [可采用特殊值法，设PQ 过焦点F ⎝⎛⎭⎫a 4，0且垂直于x 轴，则|PF |＝p ＝x P ＋a 4＝a 4＋a 4＝a 2， |QF |＝q ＝a 2，∴1p ＋1q ＝2a ＋2a ＝4a.]7．y 2＝4x解析 设抛物线方程为y 2＝ax .将y ＝x 代入y 2＝ax ，得x ＝0或x ＝a ，∴a2＝2.∴a ＝4.∴抛物线方程为y 2＝4x . 8．2解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2. ∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1.∴直线AB 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 将其代入y 2＝4x ，得A (0,0)、B (4,4)．∴|AB |＝4 2.又F (1,0)到y ＝x 的距离为22，∴S △ABF ＝12×22×42＝2.9.13解析 抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，则直线AB 的方程为y ＝33x ＋p 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝33x ＋p 2，消去x ，得12y 2－20py ＋3p 2＝0， 解得y 1＝p 6，y 2＝3p2.由题意可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义，可知|AF ||FB |＝y 1＋p 2y 2＋p 2＝p 6＋p 23p 2＋p 2＝13.10．解 由y ＝mx 2 (m ≠0)可化为x 2＝1my ，其准线方程为y ＝－14m.由题意知－14m ＝－2或－14m ＝4，解得m ＝18或m ＝－116.则所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y . 11．解 方法一 设以Q 为中点的弦AB 端点坐标为 A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则有y 21＝8x 1，① y 22＝8x 2，②∵Q (4,1)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝2.③①－②，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．④ 将③代入④得y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，即4＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k ＝4.∴所求弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0. 方法二 设弦AB 所在直线方程为y ＝k (x －4)＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x －4)＋1，消去x ， 得ky 2－8y －32k ＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A 、B 两点的纵坐标，由根与系数的关系和中点坐标公式，得y 1＋y 2＝8k，又y 1＋y 2＝2，∴k ＝4.∴所求弦AB 所在的直线方程为4x －y －15＝0. 12.B [如图所示，直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，与准线方程x ＝－2联立得A (－2,43)． 设P (x 0,43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6， ∴|PF |＝x 0＋2＝8，选B.]13．解 由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F (1,0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．分别过A 、B 作准线的垂线，垂足为A ′、B ′.(1)由抛物线的定义可知，|AF |＝x 1＋p2，从而x 1＝4－1＝3.代入y 2＝4x ，解得y 1＝±2 3. ∴点A 的坐标为(3,23)或(3，－23)． (2)当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ，消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 因为直线与抛物线相交于A 、B 两点，则k≠0，并设其两根为x1，x2，则x1＋x2＝2＋4k2. 由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋4k2>4.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，所以，|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.。
人教新课标版数学高二-数学选修2-1练习2.4.2抛物线的简单几何性质
2.4.2 抛物线的简单几何性质一、基础过关1．设点A 为抛物线y 2＝4x 上一点，点B (1,0)，且|AB |＝1，则A 的横坐标的值为( )A ．－2B ．0C ．－2或0D ．－2或2 2．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x 轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y 3．经过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作一直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则y 1y 2x 1x 2的值是( ) A ．4 B ．－4 C ．p 2 D ．－p 24．过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影为A 1、B 1，则∠A 1FB 1等于( ) A ．45° B ．90° C ．60° D ．120°5．等腰Rt △ABO 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则Rt △ABO的面积是( ) A ．8p 2 B ．4p 2 C ．2p 2 D ．p 26．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝________.7．如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________ m.二、能力提升8.如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( ) A ．y 2＝32x B ．y 2＝3x C ．y 2＝92x D ．y 2＝9x9．已知△ABC 的三个顶点都在y 2＝32x 上，A (2,8)，且这个三角形的重心与抛物线的焦点重合，则直线BC 的斜率是________．10．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．11．线段AB 过x 轴正半轴上一定点M (m,0)，端点A 、B 到x 轴的距离之积为2m ，以x轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线．求抛物线的方程．12．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) (x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．三、探究与拓展13．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则称AB 为抛物线的焦点弦．求证：(1)y 1y 2＝－p 2；x 1x 2＝p 24； (2)1|FA |＋1|FB |＝2p； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．答案1．B 2.C 3.B 4.B 5.B6．87．2 68．B9．－410．解 如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.又OA ＝OB ，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22， 即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0.整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0.∵x 1>0，x 2>0,2p >0，∴x 1＝x 2.由此可得|y 1|＝|y 2|，即线段AB 关于x 轴对称．由此得∠AOx ＝30°，∴y 1＝33x 1. 与y 21＝2px 1联立，解得y 1＝23p ，∴AB ＝2y 1＝43p .11．解 画图可知抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，直线AB 的方程为x ＝ky ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px x ＝ky ＋m 消去x ，整理得y 2－2pky －2pm ＝0，由根与系数的关系得y 1y 2＝－2pm ，由已知条件知|y 1|·|y 2|＝2m ，从而p ＝1，故抛物线方程为y 2＝2x .12．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，抛物线方程为y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0，化简得x 2－5x ＋4＝0， 从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(1＋4λ，－22＋42λ)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.13．证明 如图所示．(1)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p2，0，准线方程：x ＝－p2.设直线AB 的方程为x ＝ky ＋p2，把它代入y 2＝2px ，化简，得y 2－2pky －p 2＝0.∴y 1y 2＝－p 2，∴x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝(y 1y 2)24p 2＝(－p 2)24p 2＝p 24.(2)根据抛物线定义知|FA |＝|AA 1|＝x 1＋p2，|FB |＝|BB 1|＝x 2＋p2，∴1|FA |＋1|FB |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2＝22x 1＋p ＋22x 2＋p＝2(2x2＋p)＋2(2x1＋p) (2x1＋p)(2x2＋p)＝4(x1＋x2)＋4p4x1x2＋2p(x1＋x2)＋p2＝4(x1＋x2＋p)2p(x1＋x2＋p)＝2p.(3)设AB中点为C(x0，y0)，过A、B、C分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，C1.则|CC1|＝12·(|AA1|＋|BB1|)＝12(|AF|＋|BF|)＝1 2·|AB|.∴以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切．。
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第二章圆锥曲线与方程
2.4 抛物线
2.4.2 抛物线的简单几何性质
第1课时抛物线的简单几何性质
A级基础巩固
一、选择题
1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( )
A．1 B．2 C．4 D．8
解析：y2＝8x的焦点到准线的距离p＝4.
答案：C
2．以抛物线y2＝2px(p＞0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系是( ) A．相交B．相切
C．相离D．以上三种均有可能
答案：B
3．过抛物线y2＝2px的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则∠A1FB1＝( )
A．90°B．45°C．30°D．60°
答案：A
4．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛
物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A ．y 2＝8x
B ．y 2＝－8x
C ．y 2＝8x 或y 2＝－8x
D ．x 2＝8y 或x 2＝－8y 解析：设抛物线方程为y 2＝2px(p>0)或y 2＝－2px(p>0)，由题意可得p ＝4，所以其方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x.
答案：C
5．(2016·全国Ⅱ卷)设F 为抛物线
C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x
(k>0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )
A.12 B ．1 C.32 D ．2 解析：因为抛物线方程是y 2＝4x ，所以F(1，0)． 又因为PF ⊥x 轴，所以P(1，2)，
把P 点坐标代入曲线方程y ＝k x (k>0)，即k 1
＝2，所以k ＝2. 答案：D
二、填空题
6．抛物线x 2＝2py(p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．
答案：6
7．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．
解析：由y 2＝4x 知，抛物线的焦点F(1，0)，当x ＝1时，y ＝±2，所以A(1，
2)，B(1，－2)，此时AB ⊥x 轴，所以|BF|＝|AF|＝2.
答案：2
8．已知等边三角形AOB 的顶点A ，B 在抛物线y 2＝6x 上，O 是坐标原点，则△AOB 的边长为________．
解析：设△AOB 边长为a ，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32
a ，a 2，
所以a 24＝6×32 a.所以a ＝12 3.
答案：12 3 三、解答题
9．已知过抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则称AB 为抛物线的焦点弦．
求证：(1)y 1y 2＝－p 2；x 1x 2＝p 24
； (2)1FA ＋1FB ＝2p
. 证明：(1)如图所示．
抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点F ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫p 2，0， 准线方程：x ＝－p 2
. 设直线AB 的方程为x ＝ky ＋p 2
，把它代入y 2＝2px ， 化简，得y 2－2pky －p 2＝0.
所以y 1y 2＝－p 2，
所以x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝（y 1y 2）24p 2＝（－p 2）24p 2＝p 24
. (2)根据抛物线定义知PA ＝AA 1＝x 1＋p 2，FB ＝BB 1＝x 2＋p 2
， 所以1FA ＋1FB ＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝
22x 1＋p ＋22x 2＋p
＝2（2x 2＋p ）＋2（2x 1＋p ）
（2x 1＋p ）（2x 2＋p ）＝4（x 1＋x 2）＋4p
4x 1x 2＋2p （x 1＋x 2）＋p 2＝4（x 1＋x 2＋p ）2p （x 1＋x 2＋p ）＝2p . 10．已知P 为抛物线y 2＝4x 上的动点，过P 分别作y 轴与直线x －y ＋4＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，求|PA|＋|PB|的最小值．
解：如图，延长PA 交准线l 于A ′，焦点F(1，0)，p 2
＝
1.
|PA|＋|PB|＝|PA ′|－1＋|PB|＝|PF|＋|PB|－1。