椭圆_双曲线_抛物线小结

P
F1
y
y
y
P
x
P
y
x
P
F2
x
F2 F1
x
范围 对称轴 对称中心 焦点坐标
x ≥ a， y∈R
y ≥ a ， x∈R
x 轴 ， y 轴；实轴长为 2a ,虚轴长为 2b
原点 O (0, 0)
F1 (−c, 0)
F2 (c, 0)
F1 (0, −c)
F2 (0, c)
焦点在实轴上， c = 顶点坐标 离心率
2
2
c
顶点 A1 （ A2 ）到准线 l 2 （ l1 ）的距离为 a + a
c
焦点到准 线的距离 渐近线 方程 共渐近线 的双曲线 系方程
焦点 F1 （ F2 ）到准线 l1 （ l 2 ）的距离为 c − a
2
2
c
焦点 F1 （ F2 ）到准线 l 2 （ l1 ）的距离为 a + c
c
y=±
b (虚) x a 实
2 y = 2 px
转化为一元二次方程用判别式确定。
y0 y = p ( x + x0 )
y0 y = − p( x + x0 )
x0 x = p( y + y0 )
x0 x = − p( y + y0 )
四．椭圆、双曲线及抛物线的性质对比(焦点在 x 轴上) 名称 椭圆 |PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|) 双曲线 ||PF1|-|PF2|| =2a(2a<|F1F2︱) 抛物线 |PF|= 点 F 不在直 线 l 上，PM⊥l 于 M
y
M
y
F2
M
®®®
F1
O
F2
x
O
x
F1
定
义
第二定义：平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的 距离的比是小于 1 的正常数时，这个动点的轨迹叫椭圆，定点是椭 圆的焦点，定直线是椭圆的准线。 y
y
M M
F2
M
F1
F2
x
F1
M
x
范
围
x ≤a
y ≤b
x ≤b
y ≤a
顶点坐标 对 称 轴
( ± a,0) (0, ±b)
(0,± a ) (±b, 0)
x 轴， y 轴；长轴长为 2a ，短轴长为 2b
对称中心
原点 O (0, 0)
F1 (c, 0)
焦点坐标
F2 (−c, 0)
F1 (0, c )
F2 (0, −c)
焦点在长轴上， c =
a 2 − b 2 ； 焦距： F1 F2 = 2c
,e =
2
离 心 率
e=
c ( 0 < e < 1) a
Ax + By + C = 0 的距离为： d =
椭圆
x2 y2 + = 1 与直线 y = kx + b 的位置关系： a2 b2
x2 y 2 =1 + 转化为一元二次方程用判别式确定。 直线和椭 利用 a 2 b 2 y = kx + b 圆的位置
相交弦 AB 的弦长 AB = 1 + k 2 (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 通径： AB = y2 − y1 过椭圆上 一点的切 线
p ( ,0) 2
准线
x=±
a2 c
x=−
p 2
通径
2b 2 AB = a
AB = 2 p
渐近线
y=±
b x a
——made by lucky 幽☆
x0 x y0 y + 2 = 1 利用导数 a2 b
y0 y x0 x + 2 = 1 利用导数 a2 b
二．双曲线 标准方程（焦点在 x 轴） 双曲线 标准方程（焦点在 y 轴）
x2 y2 − = 1(a > 0, b > 0) a2 b2
y2 x2 − = 1(a > 0, b > 0) a2 b2
c2 a2 − b2 = ， a2 a
e 越大椭圆越扁， e 越小椭圆越圆。
x=±
准线方程 准线垂直于长轴，且在椭圆外；两准线间的距离：
a2 c
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y=±
a2 c
2a 2 c
a2 −a 顶点 A1 （ A2 ）到准线 l1 （ l 2 ）的距离为 c 顶点到准
线的距离 顶点 A1 （ A2 ）到准线 l 2 （ l1 ）的距离为
三．抛物线
y 2 = 2 px ( p > 0)
抛 物 线 l y
y 2 = −2 px ( p > 0)
y l
x 2 = 2 py ( p > 0)
y
x 2 = −2 py ( p > 0)
y l
O
F
x
F
O
x O
F x l
O F
x
定义
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛 物线，点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。 { M MF =点 M 到直线 l 的距离}
x = a cos ϕ （ ϕ 为参数） y = b sin ϕ
x = b cos ϕ （ ϕ 为参数） y = a sin ϕ
椭圆上的 点到给定 直线的距 离
利用参数方程简便：椭圆
x = a cos ϕ （ ϕ 为参数）上一点到直线 y = b sin ϕ
|Aa cos ϕ + Bb sin ϕ + C| A2 + B 2
一．椭圆 （焦点在 x 轴） 标准 方程 （焦点在 y 轴）
x2 y2 + = 1(a > b > 0) a2 b2
y2 x2 + = 1(a > b > 0) a2 b2
第一定义：平面内与两个定点 F1 ， F2 的距离的和等于定长（定长 大于两定点间的距离）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫焦点， 两定点间距离焦距。 {M MF1 + MF2 = 2 a} (2 a > F1 F2 )
范围 对称性 焦点
x ≥ 0, y ∈ R
x ≤ 0, y ∈ R
x ∈ R, y ≥ 0
x ∈ R, y ≤ 0
关于 x 轴对称 (
关于 y 轴对称
p ,0) 2
(−
p ,0) 2
(0,
p ) 2
(0, −
p ) 2
焦点在对称轴上 顶点 离心率 准线 方程 顶点到 准线的 距离 焦点到 准线的 距离
x=±
b y a
(虚) 实
x2 y2 − = k （k ≠ 0） a2 b2
y2 x2 − = k （k ≠ 0） a2 b2
x2 y2 双曲线 2 − 2 = 1 与直线 y = kx + b 的位置关系： a b
x2 y 2 =1 − 转化为一元二次方程用判别式确定。 直线和双 利用 a 2 b 2 y = kx + b 曲线的位
a2 +a c a2 −c c a2 +c c
焦点 F1 （ F2 ）到准线 l1 （ l 2 ）的距离为 焦点到准 线的距离 焦点 F1 （ F2 ）到准线 l 2 （ l1 ）的距离为 椭圆上到 焦点的最 大（小） 距离 椭圆的参 数方程 最大距离为： a + c 最小距离为： a − c 相关应用题：远日距离 a + c 近日距离 a − c
定义
标准 方程
x 2 y2 + =1 a 2 b2
（a>b>0)
x2 y2 − =1 a2 b2
(a>0,b>0)
y2=2px (p>0)
图象
范围
x ≤ a, y ≤ b
x ≥a
x≥0
顶点 对称性 焦点 几何 性质 轴
(± a,0), (0,±b)
(± a,0)
(0,0) 关于 x 轴对称
关于 x 轴，y 轴和原点对称 （ ± c,0 ） 长轴长 2a, 短轴长 2b 实轴长 2a， ， 虚轴长 2b
第一定义：平面内与两个定点 F1 ， F2 的距离的差的绝对值是常数 （小于 F1 F2 ）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦 点，两焦点的距离叫焦距。 {M MF1 − MF2 = 2 a} (2 a < F1 F2 )
P
F1
y
y
x
y
y
x
P
F2
x
F2 F1
x
定义
第二定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离的比是常数 e ，当 e > 1 时，动点的轨迹是双曲线。定点 F 叫做双曲线的焦点， 定直线叫做双曲线的准线，常数 e （ e > 1 ）叫做双曲线的离心率。
置 二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。 相交弦 AB 的弦长 AB = 1 + k 2 (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 通径： AB = y2 − y1 过双曲线 上一点的 切线
x0 x y 0 y − 2 = 1 或利用导数 a2 b
y0 y x0 x − 2 = 1 或利用导数 a2 b
p2 4
2
y o
A ( x1 , y1 )
x B ( x2 , y2 ) F
（2） y1 y 2 = − p
（3）通径长： 2 p （4）焦点弦长 AB = x1 + x2 + p 抛物线 y 2 = 2 px 与直线 y = kx + b 的位置关系： 利用