山东省全国高中数学联合竞赛试题(山东卷)

合集下载

2020年全国高中联赛山东赛区预赛试卷

∴ D 0,1 是一系列Δ ABC 的外接圆所经过的定点．
9．设 OABC 是边长为 1 的正四面体，E、F 分别为 AB 与 OC 的中点，
则异面直线
OE
与
BF
的距离是
．
__________________________________________________________________
2．已知 a 0 ，函数 f x ax2 bx c, g x ax b 满足：
当 x 1时， f
x
1，且 g x 有最大值 2，则 f
x
．
__________________________________________________________________
【解析】将盒子任意翻动时，小球达不到的空间有两类：一是正方体 8 个角处的空间，二是正方体 12 条棱处的空间．
其中 8 个角处的空间可以合并为棱长为 2 的正方体挖掉半径为 1 的小球，其体积为 8 4 ； 3
12 条棱处的空间合并为 3 个空心正四棱柱(底边长 2 高 4 的正四棱柱挖去一底半径 1 高 4 的圆柱)，
又a
b ,c q
bq 代入上式得： bx
xd
bq①,
b q
b②,bqxd
b③， q
②×③再代入①得： b2 b2xq2d bq 2 q2d =b2q2d 2 ，∴ q2d3 1，
q
又 q 1，∴ 2d 3 0 ，∴ d 3 ． 2
法二：记 lg a x, lg c y ，则 lg b x y ，且 x y ， 2
∴ da cos A ，同理可得： db cos B , dc cos C ，
db cos B

山东省师范大学附属中学2025届高三下学期联合考试数学试题含解析

山东省师范大学附属中学2025届高三下学期联合考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a b A A B C++=+-，求sin b A =（）A ．2B ．3C ．12D ．22．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22⨯列联表，由计算得27.218K ≈,参照下表:得到正确结论是( ) A ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”3．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，则3a b -<的概率是（）A ．15 B ．415 C ．13 D ．254．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -体积的最大值为43时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（）A ．4π3B ．82π3C ．32π3D ．642π35．已知函数31,0()(),0x x f x g x x ⎧+>=⎨<⎩是奇函数，则((1))g f -的值为（）A ．－10B ．－9C ．－7D ．16．运行如图程序，则输出的S 的值为（）A ．0B ．1C ．2018D ．20177．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（）A ．14B ．13C ．532D ．3168．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的不等式()()20f x af x +<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解，则实数a 的最大值为（）A ．2B ．3C ．5D ．89．函数2()1cos 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭图象的大致形状是（） A ． B ．C ．D ．10．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥11．定义,,a a b a b b a b≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（）A ．23B ．1C ．43D ．212．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为7,0)F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 A ．22134x y -= B ．22143x y -= C ．22152x y -= D ．22125x y -= 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022_年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题与解析

２０２２年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题与解析张志刚(山东省宁阳县复圣中学ꎬ山东泰安２７１４００)摘㊀要:文章给出２０２２年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题及其解析ꎬ部分试题从多个视角尝试解答ꎬ启迪学生敏锐捕捉解题灵感ꎬ多方位搭建解题思路ꎬ从而提高解题效益.关键词:竞赛数学ꎻ试题解析ꎻ极值问题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１６－００４９－０４收稿日期:２０２３－０３－０５作者简介:张志刚(１９８３－)ꎬ男ꎬ山东省宁阳人ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀２０２２年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题共１４道题目ꎬ包括１０道填空题和４道解答题.考查内容主要有代数运算(第１㊁２题)㊁数列(第４㊁９题)㊁函数与不等式(第３㊁６㊁１１㊁１３题)㊁三角函数(第１０题)㊁平面解析几何(第８㊁１２题)㊁概率(第８题)㊁平面几何图形(第５题)㊁立体几何(第７题)㊁组合数学(第１４题)等.该套试卷设计简洁清新ꎬ构思别具匠心ꎬ解法灵活多变ꎬ饱含数学思想ꎬ凝聚教学智慧ꎬ富有较高的研究价值.与高考试题相比ꎬ竞赛试题综合性更强ꎬ思维跨度更大ꎬ需要考生具备较高的数学抽象㊁逻辑推理㊁数学运算等核心素养ꎬ以及转化与化归㊁函数与方程㊁分类讨论㊁换元法㊁配方法等数学思想方法ꎬ颇具挑战性和选拔性.命题组只给出了填空题的结果ꎬ未给出具体的解答过程ꎬ解答题也只提供了一种解法供阅卷参考.为此ꎬ笔者尝试对每道试题剖析解答ꎬ部分试题给出了有别于参考答案的精彩解法.题１㊀用ｘ[]表示不超过ｘ的最大整数ꎬ则方程２２ｘ－１[]２＋２ｘ－１[]－１＝０的解集是.解析㊀解方程２２ｘ－１[]２＋２ｘ－１[]－１＝０ꎬ得２ｘ－１[]＝－１(２ｘ－１[]＝１２舍)ꎬ则－１ɤ２ｘ－１<０ꎬ解得０ɤｘ<１２ꎬ故解集是０ꎬ１２[öø÷.题２㊀设ａꎬｂꎬｃɪＲꎬａ㊁ｃʂ０ꎬ方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的两个虚根ｘ１ꎬｘ２满足ｘ２１ｘ２ɪＲꎬ则ð２０２２ｋ＝０ｘ１ｘ２æèçöø÷ｋ＝.解析㊀由于ｘ１ꎬｘ２是方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的两个虚根ꎬ所以ｘ２＝ｘ－１ꎬｘ２１ｘ２＝ｘ２１ｘ－１ɪＲꎬｘ２１ｘ１－＝ｘ－２１ｘ１ꎬ即ｘ３１－ｘ－３１＝０ꎬ从而ｘ２１＋ｘ１ｘ－１＋ｘ－２１＝０ꎬ即ｘ１ｘ－１＝ωꎬ故ð２０２２ｋ＝０ｘ１ｘ２æèçöø÷ｋ＝ð２０２２ｋ＝０ωｋ＝１－ω２０２３１－ω＝１.题３㊀已知ｆｘ()是－ɕꎬ＋ɕ()上单调递增的奇函数ꎬ满足对一切实数θ恒有ｆａ－ｃｏｓ２θ()＋ｆａ＋ｓｉｎθ()ȡ０.则实数ａ的取值范围是.解析㊀对一切实数θ恒有ｆａ＋ｓｉｎθ()ȡｆｃｏｓ２θ－ａ()ꎬ则ａ＋ｓｉｎθȡｃｏｓ２θ－ａ.从而２ａȡ－２ｓｉｎ２θ－ｓｉｎθ＋１＝－２ｓｉｎθ＋１４æèçöø÷２＋９８.从而２ａȡ９８ꎬ解得ａȡ９１６.题４㊀数列ａｎ{}共１００项ꎬａ１＝０ꎬａ１００＝４７５ꎬ且ａｋ＋１－ａｋ＝５ꎬｋ＝１ꎬ２ꎬ ꎬ９９.则满足这种条件的不同数列的个数为.解析㊀由题意得ａｋ＋１－ａｋ＝ʃ５ꎬａ１００＝ａ１００－ａ９９()＋ａ９９－ａ９８()＋＋ａ２－ａ１()＝４７５ꎬ设９９个差ａｋ＋１－ａｋ中有ｘ个５和ｙ个－５ꎬ则有５ｘ－ｙ()＝４７５ꎬｘ＋ｙ＝９９ꎬ{解得ｘ＝９７ꎬｙ＝２.{所以９９个差ａｋ＋１－ａｋ中ꎬ有９７个取５和２个取－５.这９７个５和２个－５的每一个排列都唯一对应一个满足条件的数列ꎬ故满足这种条件的不同数列的个数为９９!９７!ˑ２!＝９９ˑ４９＝４８５１个.题５㊀单位圆内接四边形对角线互相垂直ꎬ则该四边形四条边平方和是.解析㊀如图１示ꎬ设四边形ＡＢＣＤ的边ａꎬｂꎬｃꎬｄꎬ对角线ＡＣꎬＢＤ的中点分别是Ｏ１ꎬＯ２ꎬ交点为Ｉꎬ记ＩＡ＝ｘꎬＩＢ＝ｙꎬＩＣ＝ｚꎬＩＤ＝ｗꎬＯＯ１＝ｆꎬＯＯ２＝ｅꎬ则ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２＝２ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＋ｗ２()＝２[(Ｏ１Ａ＋ｅ)２＋(Ｏ２Ｂ－ｆ)２＋(Ｏ１Ａ－ｅ)２＋(Ｏ２Ｂ＋ｆ)２]＝４Ｏ１Ａ２＋Ｏ２Ｂ２＋ｅ２＋ｆ２()＝４ˑ１＋１()＝８.所以该四边形四条边平方和是８.图１题６㊀已知０<ａ<ｂ<１ｅꎬ则ａａꎬｂｂꎬａｂꎬｂａ从小到大排列为.解析㊀易知ａｂ<ａａꎬｂｂ<ｂａꎬａａ<ｂａꎬａｂ<ｂｂꎬ即有ａｂ<ａａ<ｂａꎬａｂ<ｂｂ<ｂａ.下面比较ａａ与ｂｂ的大小.设ｆｘ()＝ｘｌｎｘ０<ｘ<１ｅæèçöø÷ꎬ则ｆᶄｘ()＝ｌｎｘ＋１<０ꎬ所以ｆｘ()在０ꎬ１ｅæèçöø÷上单调递减.又０<ａ<ｂ<１ｅꎬ所以ｆａ()>ｆｂ().即ａｌｎａ>ｂｌｎｂ.即ｌｎａａ>ｌｎｂｂ.从而ａａ>ｂｂ.综上ꎬａｂ<ｂｂ<ａａ<ｂａ.题７㊀将３个１２ˑ１２的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分(如图２)ꎻ将这６部分接于一个边长为６２的正六边形上(图３)ꎬ若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图ꎬ则该多面体的体积是.图２㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图３解析㊀折成的多面体如图４所示ꎬ将其补形为正方体(如图５)ꎬ所求多面体体积为正方体体积的一半ꎬ即Ｖ＝１２ˑ１２３＝８６４.图４㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图５题８㊀设ａꎬｂ是从集合１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５{}中随机选取的数ꎬ则直线ｙ＝ａｘ＋ｂ与圆ｘ２＋ｙ２＝２有公共点的概率是.解析㊀易知ｙ＝ａｘ＋ｂꎬｘ２＋ｙ２＝２{即ａ２＋１()ｘ２＋２ａｂｘ＋ｂ２－２＝０有实根ꎬ则Δ＝２ａｂ()２－４ａ２＋１()ｂ２－２()ȡ０ꎬ解得ｂ２ɤ２ａ２＋１().当ｂ＝１ꎬ２时ꎬａ＝１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎻ当ｂ＝３时ꎬａ＝２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎻ当ｂ＝４时ꎬａ＝３ꎬ４ꎬ５ꎻ当ｂ＝５时ꎬａ＝４ꎬ５.所以使得ｂ２ɤ２ａ２＋１()的ａꎬｂ()共有１９个ꎬ所求概率为１９２５.题９㊀已知正数列ａｎ{}满足对∀ｎɪＮ∗ꎬðｎｉ＝１ａ３ｉ＝ðｎｉ＝１ａｉ()２ꎬ则ａｎ＝.解析㊀由ａ３１＝ａ２１得ａ１＝１.由１＋ａ３２＝１＋ａ２()２得ａ２＝２.设当ｎɤｋ时ꎬａｋ＝ｋꎬ则当ｎ＝ｋ＋１时ꎬðｋ＋１ｉ＝１ａ３ｉ＝ðｋ＋１ｉ＝１ａｉ()２ꎬａ３ｋ＋１＋ðｋｉ＝１ａ３ｉ＝ａｋ＋１＋ðｋｉ＝１ａｉ()２ꎬａ３ｋ＋１＝ａ２ｋ＋１＋２ａｋ＋１ðｋｉ＝１ａｉꎬ从而ａ２ｋ＋１＝ａｋ＋１＋ｋｋ＋１()ꎬ解得ａｋ＋１＝ｋ＋１ꎬ故ａｎ＝ｎ.题１０㊀已知０<ｘꎬｙ<π２ꎬ则ｆ＝１ｃｏｓｘｃｏｓ２ｙｓｉｎ２ｙ＋９ｓｉｎ２ｘ的最小值是.解法１㊀(柯西不等式法)ｆ＝９ｓｉｎ２ｘ＋ｓｉｎ２ｙ＋ｃｏｓ２ｙｃｏｓｘｃｏｓ２ｙｓｉｎ２ｙ＝９ｓｉｎ２ｘ＋１ｃｏｓｘｃｏｓ２ｙ＋１ｃｏｓｘｓｉｎ２ｙꎬ解析式ｆ中三个分式分母之和ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓｘｃｏｓ２ｙ＋ｃｏｓｘｓｉｎ２ｙ＝１－ｃｏｓ２ｘ＋ｃｏｓｘ＝－ｃｏｓｘ－１２æèçöø÷２＋５４ɤ５４.由柯西不等式ꎬ得５４ｆȡ(ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓｘｃｏｓ２ｙ＋ｃｏｓｘｓｉｎ２ｙ)[９ｓｉｎ２ｘ＋１ｃｏｓｘｃｏｓ２ｙ＋１ｃｏｓｘｓｉｎ２ｙ]ȡ３＋１＋１()２＝２５ꎬ当ｘ＝π３ꎬｙ＝π４时取等号.所以ｆ的最小值是２０.解法２㊀(基本不等式＋柯西不等式法)ｆ＝９ｓｉｎ２ｘ＋１ｃｏｓｘｃｏｓ２ｙｓｉｎ２ｙȡ９ｓｉｎ２ｘ＋１ｃｏｓｘ[(ｃｏｓ２ｙ＋ｓｉｎ２ｙ)/２]２ȡ９ｓｉｎ２ｘ＋４ｃｏｓｘȡ３＋２()２ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓｘ＝２５１－ｃｏｓ２ｘ＋ｃｏｓｘ＝２５－ｃｏｓｘ－１/２()２＋５/４ȡ２５５/４＝２０ꎬ当且仅当ｘ＝π３时取等号ꎬ所以ｆ的最小值是２０.题１１㊀已知函数ｆｘ()满足对任意实数ｘꎬｙ有ｆｘｙ()＋ｆｙ－ｘ()ȡｆｘ＋ｙ().求证:对于任意实数ｘ均有ｆｘ()ȡ０.证明㊀取实数ｘꎬｙ满足ｘｙ＝ｘ＋ｙꎬ即ｘ－１()ｙ－１()＝１.令ｙ－１＝ｔｔʂ０()ꎬ则ｙ＝ｔ＋１ꎬｘ＝１ｔ＋１ꎬ则ｆｔ－１ｔæèçöø÷ȡ０ꎬ对于任意ｕɪＲꎬ令ｕ＝ｔ－１ｔꎬ则ｔ２－ｕｔ－１＝０.由Δ＝ｕ２＋４>０得ꎬ存在实数ｔꎬ使得ｕ＝ｔ－１ｔꎬｆｕ()ȡ０ꎬ即对于任意实数ｘꎬ均有ｆｘ()ȡ０.题１２㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()ꎬ证明:存在圆心在原点的定圆ꎬ使该圆上任一点的切线与椭圆Ｃ恒有两个交点ＡꎬＢ且ＯＡң ＯＢң＝０.证法１㊀(命题组提供)当ＡꎬＢ分别为椭圆Ｃ的长㊁短轴端点时ꎬ原点到直线ＡＢ的距离为ａｂａ２＋ｂ２.下面证明圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２(其中ｒ＝ａｂａ２＋ｂ２)上任意一点处的切线与椭圆Ｃ恒交于两点ꎬ且满足ＯＡң ＯＢң＝０.由ｒ＝ａｂａ２＋ｂ２<ｂ知圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２在椭圆Ｃ内部ꎬ故该圆上任意一点处的切线与椭圆Ｃ恒交于两点.易得该圆上任意一点ｘ０ꎬｙ０()处的切线为ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２ꎬ代入ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ꎬ得ｂ２ｘ２０＋ａ２ｙ２０()ｘ２－２ａ２ｒ２ｘ０ｘ＋ａ２ｒ４－ｂ２ｙ２０()＝０ꎬ消去ｘꎬ得ｂ２ｘ２０＋ａ２ｙ２０()ｙ２－２ｂ２ｒ２ｙ０ｙ＋ｂ２ｒ４－ａ２ｘ２０()＝０.设Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬ则ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝ｒ４ａ２＋ｂ２()－ａ２ｂ２ｘ２０＋ｙ２０()ｂ２ｘ２０＋ａ２ｙ２０＝ｒ４ａ２＋ｂ２()－ａ２ｂ２ｒ２ｂ２ｘ２０＋ａ２ｙ２０＝ａｂ()４－ａｂ()４ｂ２ｘ２０＋ａ２ｙ２０()ａ２＋ｂ２()＝０.即ＯＡң ＯＢң＝０.故圆ｘ２＋ｙ２＝ａｂ()２ａ２＋ｂ２满足条件.证法２㊀(极坐标法)设Ａρ１ｃｏｓθꎬρ１ｓｉｎθ()ꎬＢρ２ｃｏｓθ＋π２æèçöø÷ꎬρ２ｓｉｎθ＋π２æèçöø÷æèçöø÷ꎬ即Ｂ－ρ２ｓｉｎθꎬρ２ｃｏｓθ().代入ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ꎬ得ρ２１ｃｏｓ２θａ２＋ρ２１ｓｉｎ２θｂ２＝１ꎬρ２２ｓｉｎ２θａ２＋ρ２２ｃｏｓ２θｂ２＝１.故１ρ２１＋１ρ２２＝１ａ２＋１ｂ２＝ａ２＋ｂ２ａ２ｂ２.在ＲｔәＡＯＢ中ꎬＯＭʅＡＢꎬ故ＡＢＯＭ＝ＯＡＯＢꎬ１ＯＭ２＝ＡＢ２ＯＡ２ＯＢ２＝ＯＡ２＋ＯＢ２ＯＡ２ＯＢ２＝１ＯＡ２＋１ＯＢ２＝１ρ２１＋１ρ２２＝ａ２＋ｂ２ａ２ｂ２.所以ｒ２＝ａ２ｂ２ａ２＋ｂ２是定值ꎬ即存在圆ｘ２＋ｙ２＝ａｂ()２ａ２＋ｂ２满足条件.题１３㊀设ａꎬｂꎬｃ>０且ａ２＋ｂ＋ｃ＝５３ꎬａｂｃ＝２８.求ｆ＝ａ＋ｂ＋２ｂ＋ｃ＋ｃ＋ａ的最小值.解析㊀设ａ＝７ｘꎬｂ＝２ｙꎬｃ＝２ｚꎬ则ｘｙｚ＝１ꎬ４９ｘ２＋２ｙ＋２ｚ＝５３ꎬ即２ｙ＋ｚ()＝５３－４９ｘ２.①由１＝ｘｙｚɤｘ＋ｙ＋ｚ３æèçöø÷３得ｘ＋ｙ＋ｚȡ３ꎬ即２ｘ＋５３－４９ｘ２ȡ６ꎬ即０<ｘɤ１.由１＝ｘｙｚɤｙｚɤｙ＋ｚ２æèçöø÷２ꎬ得ｙ＋ｚȡ２ꎬｙｚȡ１.②故ｂ＋ｃ＝２ｙ＋２ｚȡ２.由①②ꎬ得ａ＋ｂ＋ｃ＋ａ＝７ｘ＋２ｙ＋２ｚ＋７ｘ＝７ｘ＋２ｙ＋２ｚ＋７ｘ()２＝１４ｘ＋２ｙ＋ｚ()＋２４９ｘ２＋１４ｘｙ＋ｚ()＋４ｙｚȡ１４ｘ＋５３－４９ｘ２＋２４９ｘ２＋２８ｘ＋４＝－４９ｘ２＋２８ｘ＋５７.因为ｙ＝－４９ｘ２＋２８ｘ＋５７０<ｘɤ１()的图象的对称轴为ｘ＝２７ꎬ所以当ｘ＝１时ꎬｙ取得最小值３６ꎬ从而ａ＋ｂ＋ｃ＋ａȡ６ꎬｆȡ１０ꎬ显然ꎬ当且仅当ｘ＝ｙ＝ｚ＝１ꎬａ＝７ꎬｂ＝ｃ＝２时等号成立ꎬ故ｆ的最小值为１０.题１４㊀把集合Ａ＝１０１１ꎬ１０１２ꎬ ꎬ２０２２{}任意划分为两个不交的非空子集.证明:至少有一个子集中包含两个数ꎬ这两个数之和为完全平方数.证明㊀先找三个正整数ｘ<ｙ<ｚ使得两两之和为完全平方数ꎬ令ｘ＋ｙ＝ｍ２ꎬｘ＋ｚ＝ｍ＋１()２ꎬｙ＋ｚ＝ｍ＋２()２ꎬ则ｍ为奇数(否则ꎬｘ㊁ｙ同奇偶ꎬｙ㊁ｚ同奇偶ꎬ得ｘ㊁ｙ㊁ｚ同奇偶ꎬ故ｘ＋ｚ＝ｍ＋１()２为偶数ꎬ矛盾).令ｍ＝２ｋ－１ｋɪＮ∗()ꎬ解ｘ＋ｙ＝２ｋ－１()２ꎬｘ＋ｚ＝４ｋ２ｙ＋ｚ＝２ｋ＋１()２ìîíïïïï得ｘ＝２ｋ２－４ｋꎬｙ＝２ｋ２＋１ꎬｚ＝２ｋ２＋４ｋ.{由ｘ＝２ｋ２－４ｋȡ１０１１ꎬ得ｋȡ２４.当ｋ＝２４时ꎬｘ＝１０５６ꎬｚ＝１２４８<２０２２.由ｘ＝２ｋ２－４ｋɤ２０２２得ｋɤ３０ꎬ故当２４ɤｋɤ３０时ꎬ１０１１ɤｘ<ｙ<ｚɤ２０２２.将Ａ中１０１２个数任意划分成两不交的非空子集时ꎬ对２４ɤｋɤ３０中的任一整数ｋ对应的ｘꎬｙꎬｚ中必有两个属于同一子集ꎬ这两个数之和为完全平方数.参考文献:[１]张志刚.一道联考试题命制背景与破解研究[Ｊ].数理化学习(高中版)ꎬ２０２２(０３):３－６.[责任编辑:李㊀璟]。

2024届山东省联合模拟考试数学试题(解析版)

2024年全国普通高考模拟考试数学试题2024．5注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．3．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.样本数据2，3，4，5，6，8，9的第30百分位数是（）A.3B.3.5C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】利用百分位数的求法计算即可.【详解】易知730% 2.1⨯=，则该组数据的第三个数4为第30百分位数.故选：C2.已知集合{}|12024A x x =-≤≤，{}|1B x a x a =+≤≤()0a >，若A B ⋂≠∅，则a 的取值范围是（）A.()0,2024 B.(]0,2024 C.()0,2023 D.(]0,2023【答案】B 【解析】【分析】由A B ⋂≠∅，则集合B 中最小元素a 应在集合A 中，即可得到a 的取值范围.【详解】由题意A B ⋂≠∅，再由0a >，所以集合B 中最小元素a 应在集合A 中，所以02024a <≤，即a 的取值范围是(]0,2024.故选：B.3.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，点P 在C 上，若P 到直线=3y -的距离为5，则PF =（）A.5B.4C.3D.2【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义先确定准线及焦点，计算即可.【详解】由题意可知()0,1F ，抛物线的准线为1y =-，而PF 与P 到准线的距离相等，所以()()5133PF =----=.故选：C4.某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法种数为（）A.120B.72C.64D.48【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用不相邻的排列问题列式计算即得.【详解】依题意，两名老师不相邻，所以不同的站法种数为2334A 62A 127=⨯=.故选：B5.已知5a = ，4b = ，若a 在b 上的投影向量为58b - ，则a 与b 的夹角为（）A.60° B.120°C.135°D.150°【答案】B 【解析】【分析】利用投影向量的定义计算即可.【详解】易知a 在b上的投影向量为cos ,55cos ,88a b a b a b a b b b ⋅=-⇒=- ，而51cos ,82b a b a =-⋅=-，所以a 与b 的夹角为120 .故选：B6.已知圆()22:200M x y ay a ++=>的圆心到直线322x y +=M 与圆()()22:221N x y -++=的位置关系是（）A.相离B.相交C.内切D.内含【答案】D 【解析】【分析】根据点到直线的距离公式求a 的值，再利用几何法判断两圆的位置关系.【详解】圆M ：2220x y ay ++=⇒()222x y a a ++=，所以圆心()0,M a -，半径为a .==，且0a >，所以112a =.又圆N 的圆心()2,2N -，半径为：1.所以2MN ==，912a -=.由922<，所以两圆内含.故选：D7.已知等差数列{}n a 满足22144a a +=，则23a a +可能取的值是（）A.2-B.3- C.4D.6【答案】A 【解析】【分析】根据题意，令12cos a θ=，42sin a θ=，由等差数列的下标和性质结合三角函数的性质求解即可.【详解】设12cos a θ=，42sin a θ=，则1243π)4a a a a θ=+++=，所以23[a a ∈+-，故选：A.8.已知函数()1cos 4221f x x x ππ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，则21y x =-与()f x 图象的所有交点的横坐标之和为（）A.12B.2C.32D.3【答案】D 【解析】【分析】先用诱导公式化简函数，然后变形成一致的结构，再换元，转化成新元方程根的横坐标之和，分别画图，找出交点横坐标的关系，再和即可.【详解】由题意化简()11cos 4sin(4)22121f x x x x x πππ⎛⎫=-+=+ ⎪--⎝⎭11sin(42)sin 2(21)2121x x x x πππ=-+=-+--，21y x =-与()f x 图象有交点，则1sin 2(21)2121x x x π-+=--有实根，令21t x =-，则12t x +=，则化为1sin 2t t t π+=，即1sin 2t t tπ=-的所有实根之和，即()sin 2g t t π=与1()h t t t =-所有交点横坐标之和，显然()g t 是周期为1的奇函数，()h t 为奇函数且在(0,)+∞上为增函数，图像如图所示，显然，一共有6个交点123456,,,,,t t t t t t ，它们的和为0，则12345612345616322t t t t t tx x x x x x ++++++++++=⨯+=，故选：D .二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知1z ，2z 为复数，则（）A.1212z z z z +=+ B.若12z z =，则2121z z z =C.若11z =，则12z -的最小值为2 D.若120z z ⋅=，则10z =或20z =【答案】BD 【解析】【分析】通过列举特殊复数验证A ；设()1i,,R z a b a b =+∈，则()2i,,R z a b a b =-∈，通过复数计算即可判断B ；设()1i,,R z a b a b =+∈，由复数的几何意义计算模长判断C ；由120z z ⋅=得120z z =，即可判断D.【详解】对于A ，若121i,1i =+=-z z ，则121i 1i 2z z +=++-=，121i 1i z z +=++-=1212z z z z +≠+，故A 错误；对于B ，设()1i,,R z a b a b =+∈，则()2i,,R z a b a b =-∈，所以()()2212i i z z a b a b a b =+-=+，而2221z a b =+，所以2121z z z =，故B 正确；对于C ，设()1i,,R z a b a b =+∈，因为11z =，所以221a b +=，所以()1i 22a b z =-+===-，因为11a -≤≤，所以1549a ≤-≤，所以12z -的最小值为1，故C 错误；对于D ，若120z z ⋅=，所以120z z ⋅=，所以120z z =，所以10z =或20z =，所以12,z z 至少有一个为0，故D 正确.故选：BD10.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件A =“取出的球的数字之积为奇数”，事件B =“取出的球的数字之积为偶数”，事件C =“取出的球的数字之和为偶数”，则（）A.()15P A =B.()1|3P B C =C.事件A 与B 是互斥事件D.事件B 与C 相互独立【答案】AC 【解析】【分析】分别求出事件,,A B C 的概率，再根据互斥事件和相互独立事件的概率进行判断.【详解】因为“取出的求的数字之积为奇数”，就是“取出的两个数都是奇数”，所以()2326C 31C 155P A ===；故A 正确；“取出的球的数字之积为偶数”就是“取出的两个数不能都是奇数”，所以()2326C 3411C 155P B =-=-=；“取出的两个数之和为偶数”就是“取出的两个数都是奇数或都是偶数”，所以()2326C 22C 5P C =⨯=；A B +表示“取出的两个数的积可以是奇数，也可以是偶数”，所以()1P A B +=；BC 表示“取出的两个数的积与和都是偶数”，就是“取出的两个数都是偶数”，所以()2326C 1C 5P BC ==.因为()()()|P BC P B C P C =12=，故B 错误；因为()()()P A B P A P B +=+，所以,A B 互斥，故C 正确；因为()()()P BC P B P C ≠⋅，所以,B C 不独立，故D 错误.故选：AC11.已知双曲线()222:10x C y a a-=>的渐近线方程为12y x =±，过C 的右焦点2F 的直线交双曲线右支于A ，B 两点，1F AB 的内切圆分别切直线1F A ，1F B ，AB 于点P ，Q ，M ，内切圆的圆心为I，半径为，则（）A.CB.切点M 与右焦点2F 重合C.11F BI F AI ABI S S S +-=△△△D.17cos 9AF B ∠=【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，根据渐近线方程求出2a =，得到离心率；B 选项，由双曲线定义和切线长定理得到22AP BQ AM BM AF BF -=-=-，得到切点M 与右焦点2F 重合；C 选项，根据双曲线定义和1F AB 的内切圆的半径得到11F BI F AI ABI S S S +-=△△△；D 选项，作出辅助线，得到112tan 4PI AF I PF ∠==，利用万能公式得到答案.【详解】A 选项，由题意得112a =，解得2a =，故离心率c e a ===A 正确；B 选项，11,,AP AM F P FQ QB BM ===，由双曲线定义可得1224AF AF a -==，1224BF BF a -==，两式相减得1122AF BF AF BF -=-，即22AP BQ AM BM AF BF -=-=-，故切点M 与右焦点2F 重合，B 正确；C 选项，1F AB 的内切圆的半径为2r =故()111111111122222F BI F AI ABI S S S F A r F B r AB r F A F B AB +-=+-=+- ()11112424222F A AM F B BM a =-+-=⨯=C 错误；D 选项，连接1F I ，则1F I 平分1AF B ∠，其中111224F P AF AP AF AF a =-=-==，故112tan 4PI AF I PF ∠==，所以2221111212112c i os cos co s s c s n s s in o in AF I AF IAF I AF I AF I AF IAF B ∠-∠∠-=∠=+∠∠∠2212212141tan 71tan 9214AF I AF I ⎛⎫-⎪-∠⎝⎭===+∠⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故选：ABD【点睛】关键点点睛：利用双曲线定义和切线长定理推出切点M 与右焦点2F 重合，从而推理得到四个选项的正误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.二项式5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为10，则=a ___________．【答案】2【解析】【分析】利用二项式展开式的通项计算即可.【详解】易知二项式5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项公式为()5152155C C rr rr rr r T x a x a x ---+=⋅=⋅，显然1r =时，115C 102a a =⇒=.故答案为：213.若函数()()πcos sin 3f x x x ϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为___________．【答案】π6（答案不唯一，满足πZ π2,6k k ϕ=+∈即可）【解析】【分析】利用和（差）角公式化简，再判断1sin 02ϕ+≠，利用辅助角公式化简，再结合函数的最大值，求出ϕ.【详解】因为()()πcos sin 3f x x x ϕ⎛⎫=-++⎪⎝⎭ππcos cos sin sin sin coscos sin 33x x x x ϕϕ=+++1cos cos sin sin 22x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若1sin 02ϕ+=，则cos 2ϕ=±，所以()0f x =或()f x x =，显然不满足()f x 的最大值为2，所以1sin 02ϕ+≠，则()()f x x θ=+，（其中3cos 2tan 1sin 2ϕθϕ+=+），依题意可得2213sin cos 422ϕϕ⎛⎛⎫+++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即sin 2ϕϕ+=，所以πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈，解得πZ π2,6k k ϕ=+∈.故答案为：π6（答案不唯一，满足πZ π2,6k k ϕ=+∈即可）14.如图，正方形ABCD 和矩形ABEF 所在的平面互相垂直，点P 在正方形ABCD 及其内部运动，点Q 在矩形ABEF 及其内部运动．设2AB =，AF =，若PA PE ⊥，当四面体PAQE 体积最大时，则该四面体的内切球半径为___________．【答案】222-或84352362+-【解析】【分析】先确定P 点的轨迹，确定四面体P AQE -体积最大时，P ，Q 点的位置，再利用体积法求内切球半径.【详解】如图：因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，BE ⊂平面ABEF ，且BE AB ⊥，所以BE ⊥平面ABCD .AP ⊂平面ABCD ，所以BE AP ⊥，又⊥PE AP ，,PE BE ⊂平面PBE ，所以AP ⊥平面PBE ，PB ⊂平面PBE ，所以AP PB ⊥.又P 在正方形ABCD 及其内部，所以P 点轨迹是如图所示的以AB 为直径的半圆，作PH AB ⊥于H ，则PH 是三棱锥P AQE -的高.所以当AQE 的面积和PH 都取得最大值时，四面体PAQE 的体积最大.此时Q 点应该与B 或F 重合，P 为正方形ABCD 的中心.如图：当Q 点与B 重合，P 为正方形ABCD 的中心时：13P AQE AQE V S PH -=⋅ 1213=23=，2AQE S = 1PEQ S = ，1PAQ S = ，APE V 中，因为AP PE ⊥，2AP =，2PE =，所以2APE S = .设内切球半径为r ，由()13P AQE AQE APE APB PQE V S S S S r -=+++⋅ 得：2222222r ==+.如图：当Q 点与F 重合，P 为正方形ABCD 的中心时：13P AQE AQE V S PH -=⋅ 1213=23=，2AQE S = 3PEQ S = ，1PAQ S = ，2APE S = .设内切球半径为r ，由()13P AQE AQE APE APB PQE V S S S S r -=+++⋅ 得：22231r =++84352362+--=.综上可知，当四面体PAQE 的体积最大时，其内切球半径为：222-或84352362+-.故答案为：222或84352362+-【点睛】关键点点睛：根据PA PE ⊥得到P 点在以AE 为直径的球面上，又P 点在正方形ABCD 及其内部，所以P 点轨迹就是球面与平面ABCD 的交线上，即以AB 为直径的半圆上.明确P 点轨迹是解决问题的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()()1ln f x x kx =-．（1）若曲线()f x 在e x =处的切线与直线y x =垂直，求k 的值；（2）讨论()f x 的单调性．【答案】（1）1k =（2）答案见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，结合题意有，()()e ln e 1f k ='-=-，即可求解k 值；（2）对函数求导，分0k >和0k <两种情况讨论，根据导数的正负判断原函数的单调性.【小问1详解】因为()()1ln f x x kx =-，0k ≠，所以()()ln f x kx =-'，曲线()f x 在e x =处的切线与y x =垂直，所以()()e ln e 1f k ='-=-，得1k =；【小问2详解】由()()1ln f x x kx =-得()()ln f x kx =-'，当0k >时，()f x 的定义域为()0,∞+，令()0f x '=得1x k=，当10,x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当1,x k ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '<所以()f x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减；当0k <时，()f x 的定义域为(),0∞-，令()0f x '=得1x k=当1,x k ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1,0x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>所以()f x 在1,k ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增．综上所述：当0k >时，()f x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减；当0k <时，()f x 在1,k ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.16.如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，1ABC 为等边三角形，E 为AB 的中点．（1）证明：111C D B E ⊥；（2）若1124BC B C ==，1B E =，求直线1BC 与平面11CDD C 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）连接1EC ，可得1AB C E ⊥，由已知得11AB B C ⊥，所以得AB ⊥平面11B C E ，可得11C D ⊥平面11B C E ，则可得111C D B E ⊥；（2）以点E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出1BC的坐标及平面11CDD C 的一个法向量n的坐标，由1BC 和n夹角的余弦值的绝对值即为直线1BC 与平面11CDD C 所成角正弦值，由向量夹角的余弦公式算出，再算出直线1BC 与平面11CDD C 所成角的余弦值.【小问1详解】连接1EC ，因为1ABC 为等边三角形，所以1AB C E ⊥，因为ABCD 为正方形，所以AB BC⊥在四棱台1111ABCD A B C D -中，11//BC B C ，所以11AB B C ⊥，又1111111,,B C C E C B C C E ⋂=⊂平面11B C E ，所以AB ⊥平面11B C E ，因为11//AB C D ，所以11C D ⊥平面11B C E ，因为1B E ⊂平面11B C E ，所以111C D B E ⊥；.【小问2详解】因为底面ABCD 为正方形，1ABC 为等边三角形，所以4AB BC ==，所以1C E =因为1B E =，112B C =，所以2221111C B B E C E +=，所以111B E B C ⊥，又由（1）111C D B E ⊥，且11111C D B C C = ，1111,C D B C ⊂平面1111D C B A ，所以1B E ⊥平面1111D C B A ，即1B E ⊥平面ABCD ，取CD 的中点F ，连接EF ，以点E 为坐标原点，以EB ，EF，1EB 分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，()2,0,0B ，()2,4,0C，(10,2,C ，()2,4,0D -，所以(12,2,BC =-，(12,2,CC =-- ，()4,0,0CD =-，设(),,n x y z = 是平面11CDD C 的一个法向量，所以100n CC n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22040x y x ⎧-+-+=⎪⎨=⎪⎩，得()n = ，直线1BC 与平面11CDD C所成角正弦值为113BC n BC n⋅==⋅，则直线1BC 与平面11CDD C3=.17.已知数列{}n a 满足12a =，1nn n a a d q +-=⋅，*n ∈N ．（1）若1q =，{}n a 为递增数列，且2，5a ，73a +成等比数列，求d ；（2）若1d =，12q =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）12d =（2）()1171332nnn a --=+⋅【解析】【分析】（1）利用数列{}n a 为单调递增数列，得到1n n a a d +-=，再根据2，5a ，73a +成等比数列，得到28230d d +-=，即可求出的值.（2）由数列{}21n a -是递增数列得出21210n n a a +-->，可得()()2122210n n n n a a a a +--+->，但2211122n n -<，可得212221n n n n a a a a +--<-．可得()221221211122nn n n n a a ----⎛⎫-==⎪⎝⎭；由数列{}2n a 是递减数列得出2120n n a a +-<，可得()1112n n n naa ++--=，再利用累加法可求出数列{}n a 的通项公式.【小问1详解】因为12a =，且{}n a 为递增数列，所以1n n a a d +-=，所以{}n a 为等差数列，因为2，5a ，73a +成等比数列，所以()()2114263a d a d +=++，整理得28230d d +-=，得12d =，34d =-，因为{}n a 为递增数列，所以12d =.【小问2详解】由于{}21n a -是递增数列，因而21210n n a a +-->，于是()()2122210n n n n a a a a +--+->①但2211122n n -<，所以212221n n n n a a a a +--<-．②又①，②知，2210n n a a -->，因此()221221211122nn n n n a a ----⎛⎫-==⎪⎝⎭③因为{}2n a 是递减数列，同理可得2120n n a a +-<，故()21221221122n nn n n a a ++-⎛⎫-=-=⎪⎝⎭，④由③，④即知，()1112n n n na a ++--=，于是()()()121321nn n a a a a a a a a -=+-+-++- ()1211111112221222212n nn --⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=+-++=++ ()1171332nn --=+⋅，故数列{}n a 的通项公式为()1171332nnn a --=+⋅．【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题.（1）数列{}n a 为等差数列，利用等差数列的性质即可；（2）根据数列{}21n a -是递增数列得，21210n n a a +-->，数列{}2n a 是递减数列得，2120n n a a +-<，综合数列{}21n a -和{}2n a 即可得()1112n n n naa ++--=，最后利用累加法可求出数列{}n a 的通项公式.18.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点为A ，左焦点为F ，点4,3b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭为C 上一点，且以AB为直径的圆经过点F ．（1）求C 的方程；（2）过点()5,0G -的直线l 交C 于D ，E 两点，线段DE 上存在点M 满足DM GE DG EM ⋅=⋅，过G与l 垂直的直线交y 轴于点N ，求GMN 面积的最小值．【答案】（1）221189x y +=（2）7【解析】【分析】（1）根据已知条件和椭圆中,,a b c 的关系，求出,,a b c 的值，可得椭圆的标准方程.（2）设直线l ：()5y k x =+，再设()11,D x y ，()22,E x y ，()00,M x y ，把直线方程代入椭圆方程，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，表示出12x x +，12x x ，并用,,120x x x 表示条件DM GE DG EM ⋅=⋅，整理得0x 为定值；再结合弦长公式表示出GM ，利用两点间的距离公式求GN ，表示出GMN 的面积，利用基本（均值）不等式求最值.【小问1详解】由题意知()0,A b ，(),0F c -，因为点4,3b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上，所以2221619b a b+=⇒218a =，由以AB 为直径的圆经过点F ，知0FA FB ⋅= ，得22403b c c -+=①，又222b c a +=②，由①②得3c =，3b =，所以C 的方程为：221189x y +=.【小问2详解】如图：由题意，直线l 斜率存在且不为0，设直线l 的方程为()5y k x =+，且()11,D x y ，()22,E x y ，()00,M x y ，将()5y k x =+代入221189x y +=，整理可得()2222122050180kxk x k +++-=，()()()2222Δ2041250180kk k =-+->，解得77k -<<，由根与系数的关系可得21222012k x x k +=-+，2122501812k x x k -=+，根据DM GE DG EM = ，得01120255x x x x x x -+=-+，解得()22221212021225018202525121218201051012k k x x x x k k x k x x k ⎛⎫-+-⎪++++⎝⎭===-++-++，设与直线l 垂直的直线方程为()15y x k=-+，令0x =，则5y k =-，即50,N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故GN ==，()1855GM =--=，记GMN 面积为S ，则12S GM GN =⨯==7272==，当且仅当1k =±时取等号，所以GMN 面积的最小值为7．【点睛】方法点睛：圆锥曲线求取值范围的问题，常见的解决方法有：（1）转化为二次函数，利用二次函数在给定区间上的值域求范围；（2）转化为不等式，利用基本（均值）不等式求最值；（3）转化为三角函数，利用三角函数的有界性求取值范围；（4）转化为其它函数的值域问题，通过分析函数的单调性求值域.19.设点集(){}{}23*1,,,,|0,1,1,n n i M a a a a a i n i =∈≤≤∈N L，从集合n M 中任取两个不同的点()123,,,,n A a a a a ，()123,,,,n B b b b b ，定义A ，B 两点间的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑．（1）求3M 中(),2d A B =的点对的个数；（2）从集合n M 中任取两个不同的点A ，B ，用随机变量X 表示他们之间的距离(),d A B ，①求X 的分布列与期望；②证明：当n 足够大时，()24D X n <．（注：当n 足够大时，20n -≈）【答案】（1）12对（2）①分布列见解析，()()212n nE X -=-；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分析可知：A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个相等，进而可得结果；（2）①分析可知X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，进而可求分布列，结合组合数性质可求期望；②根据方差公式()()21nk kk D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑整理可得()()2121C C C 214n n n n n n D X ⎡⎤<+++⎢⎥-⎣⎦L ，结合组合数性质分析证明.【小问1详解】当3n =时，若(),2d A B =，可知A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个位置的坐标相等，所以共有122322C A A 12=对.【小问2详解】①由题意可知，n M 中元素的个数为2n 个，对于X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，此时所对应情况数为12C 2C 22k k n k k n nn --⋅=⋅种．所以()122C 2C C 21n k n k n n n P X k -⋅===-，故X 的分布列为：X12⋅⋅⋅nP1C 21n n-2C 21n n-⋅⋅⋅C 21n nn-数学期望()1212C C C C C C 12120212121212121n nn n n n nn n n n n n n E X n n =⨯+⨯++⨯=⨯⨯+⨯+------L L ，当2k n ≤≤时，则()()()()()2!!C 2C 2!!2!2!k n k n nn n k n k k n k k n k n k k -++-+=⨯+-+⨯--+-()()()()()()()!!!111!!1!2!1!1!n n n n k k k n k n k k n k k =+=-++----+--+-()()1!C 1!1!k n n n n n k k -⋅==-+-，且1C 0C C nn n n n n n +==⋅=⋅，则()()11C C C 011212121n n n nn n n n E X n n -=+⨯+-⨯++⨯---L ，两式相加得()()01222C C C C 2121n nn n n n n n n n E X ⋅=++++=--L ，所以()()212n nE X -=-；②当n 足够大时，()2n E X ≈，由方差定义()()21nk k k D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑22212C C C 12212212212n n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭L222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ()()()21212221C C C C 1C 22214n n n n n n n n n n ⎧=+++-+-+⎨-⎩ ()()()()}23212C 33C 11C n n n n n n n n n n n n -⎡⎤-++---⋅+-⋅⎣⎦因为k n ≤，则()()()20n k n k n k k n ---⋅=-≤，当且仅当0k =或k n =时，等号成立，则()()()2221211C C C 212142144n n n n n n n n n n D X ⎡⎤⎡⎤<+++=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦L ，所以()24D X n <.【点睛】关键点点睛：（2）①利用倒序相加法结合()21C 2C C kn k k n nn k n k n -+-+-+=分析求解；②根据方差公式结合()()20n k n k n ---⋅≤分析证明.。

全国各省省高中数学竞赛试题及参考答案汇编

1、浙江省高中数学竞赛试题2、河北省高中数学竞赛试题3、全国高中数学联赛广东省预赛4、全国高中数学联赛江苏赛区初赛题5、浙江省高中数学竞赛试题6、湖北省高中数学竞赛试题7、全国高中数学联合竞赛一试试题8、二Ｏ一一年全国高中数学联赛甘肃省预赛试题9、全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷10、全国高中数学联赛山东省预赛试题11、全国高中数学联赛江西省预赛试题12、全国高中数学联赛山西省预赛13、全国高中数学联赛甘肃省预赛试题14、全国高中数学联合竞赛（四川初赛）15、全国高中数学联赛安徽省预赛试题16、新知杯上海市高中数学竞赛试题17、湖南省高中数学竞赛试卷A卷浙江省高中数学竞赛试题一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1. 已知53[,]42ππθ∈） A ．2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（）A. 2B. C. 2±D. ±3. 设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈⋂，命题q ：x A ∈或x B ∈，则p 是q 的（）A. 充分且必要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分且非必要条件4. 过椭圆2212x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45弦AB ，则AB 为（） A.B.C. 3D.21243400,3x x x x AB -=⇒==⇒==。

正确答案为C 。

5. 函数150()51xxx f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则该函数为（）A. 单调增加函数、奇函数B. 单调递减函数、偶函数C. 单调增加函数、偶函数D. 单调递减函数、奇函数 6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（）正视图侧视图俯视图（圆和正方形）2212231A. 4+52π B. 4+32π C. 4+2π D. 4+π 7．某程序框图如右图所示，现将输出（,)x y 值依次记为：1122(,),(,),,(,),;n n x y x y x y 若程序运行中输出的一个数组是 (,10),x -则数组中的x =（） A ．64 B ．32 C ．16 D ．88. 在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为（）A. 4B.8C. 16D. 32 9. 已知函数()sin(2)6f x x m π=--在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则m 的取值范围为（） A. 1, 12⎛⎫⎪⎝⎭ B 1, 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1, 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1, 12⎛⎤⎥⎝⎦10. 已知[1,1]a ∈-，则2(4)420x a x a +-+->的解为（）A. 3x >或2x <B. 2x >或1x <C. 3x >或1x <D. 13x <<二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11. 函数()2sin2xf x x =的最小正周期为______ ____。

2023全国高中数学联合竞赛加试卷及参考答案

2023年全国高中数学联合竞赛加试卷习题及参考答案一．（本题满分40分）如图，ABC 的外心为O ，在边AB 上取一点D ，延长OD 至点E ，使得,,,A O B E 四点共圆．若2,3,4,5OD AD BD CD ，证明：ABE 与CDE 的周长相等．证明：由,,,A O B E 共圆得AD BD OD DE ，又2,3,4OD AD BD ，所以6DE ． ……………10分由OA OB 得OAD OEA ，故OAD OEA ∽，故OA OE AEOD OA AD．所以22(26)16OA OD OE ，得4OA ．进而26OEAE AD AD OA．同理可得OBD OEB ∽ ，28BE BD ． ……………20分由于22OC OA OD OE ，故OCD OEC ∽． ……………30分因此EC OC CD OD．由2,8OD OE OD DE 知4OC ，又5CD ，故210EC CD ．计算得76821AB AE BE ，561021CD DE EC ，即ABE 与CDE 的周长相等． ……………40分二．（本题满分40分）设,m n 是给定的整数，3m n ≥≥.求具有下述性质的最小正整数k ：若将1,2,,k 中的每个数任意染为红色或者蓝色，则或者存在m 个红色的数12,,,m x x x （允许相同），满足121m m x x x x -+++< ，或者存在n 个蓝色的数12,,,n y y y （允许相同），满足121n n y y y y -+++< ．C E O A BD C EO A B D解：答案是1mn n -+．若k mn n =-，将1,2,,1n - 染为蓝色，,1,,n n mn n +- 染为红色．则对任意m 个红色的数12,,,m x x x ，有121(1)m m x x x n m x -+++≥-≥ ，对任意n 个蓝色的数12,,,n y y y ，有1211n n y y y n y -+++≥-≥ ，上述例子不满足要求．对k mn n <-，可在上述例子中删去大于k 的数，则得到不符合要求的例子．因此所求1k mn n ≥-+． ………………10分下面证明1k mn n =-+具有题述性质．假设可将1,2,,1mn n -+ 中的每个数染为红色或蓝色，使得结论不成立．情形一：若1是红色的数，则红色的数均不超过1m -，否则可取一个红色的数m x m ≥，再取1211m x x x -==== ，则11m m x x x -++< ，与假设矛盾． ………………20分故,1,,1m m mn n +-+ 均为蓝色的数，此时取121,1n n y y y m y mn n -=====-+ ，有121(1)11n n y y y m n mn m mn n y -+++=-<-+≤-+= ，（*）与假设矛盾． ………………30分情形二：若1是蓝色的数，则同情形一可知蓝色的数均不超过1n -，故,1,,1n n mn n +-+ 均是红色的数．此时取121,1m m x x x n x mn n -=====-+ ，与（*）类似，可得矛盾．故1k mn n =-+时结论成立．综上，所求最小的正整数1k mn n =-+． ………………40分三．（本题满分50分）是否存在2023个实数122023,,,(0,1]a a a ，使得20236120231110i j i j k ka a a证明你的结论．解：记20231202311i j i j k kS a a a．假设存在122023,,,(0,1]a a a ，使得610S ．不妨设12202301a a a ，则将12023i j i j a a去掉绝对值后，k a 的系数为22024k ，从而202311(22024)k k kS k a a． ……………10分当11011k 时，由基本不等式知 11(22024)(20242)220242k k kkk a k a k a a． ……………20分当10122023k 时，由于1()(22024)k f x k x x在(0,1]上单调增，故1(22024)(1)22025k k kk a f k a．从而1011202311012220242(22025)k k S k k1011110101012202422k k k． ……………30分注意到202422(20242)2202444k k k k ，故61010101210114410S ，这意味者不存在122023,,,a a a 满足条件． ……………50分四．（本题满分50分）设正整数,,,a b c d 同时满足： (1) 2023a b c d +++= ； (2) ab ac ad bc bd cd +++++ 是2023的倍数； (3) abc bcd cda dab +++是2023的倍数．证明：abcd 是2023的倍数．证明：易知22023717=⨯．首先，由(1)，(3)知2()()()()() a b a c a d a a b c d abc bcd cda dab +++=+++++++是2023的倍数，故,,a b a c a d +++中至少有一个是 7的倍数． ……………10分由对称性，不妨设a b +是7的倍数，则) 2023( c d a b +=-+也是7的倍数，()()ac ad bc bd a b c d +++=++也是7的倍数，故结合(2)知ab cd +是7的倍数，因此22) (()()a c a a b c c d ab cd +=+++-+也是 7的倍数．又平方数除以 7的余数只能是0,1,2,4，因此22,a c 只能同时是 7的倍数，这表明,,,a b c d 都是 7的倍数． ………………20分同上面分析可知：) ()()( a b a c a d +++是217的倍数，故或者其中有一个因子是217的倍数，或者其中有两个因子是 17的倍数．如果有一个因子是217的倍数，不妨设a b +是217的倍数，结合 ,a b 都是7的倍数知，a b +是 22023717=⨯的倍数，但这与2023a b c d +++=及,,,a b c d 是正整数相矛盾！ ………………30分因此,,a b a c a d +++中至少有两个是17的倍数．不妨设,a b a c ++都是17的倍数，那么b d +也是17的倍数，由2()()(2)()ab ac ad bc bd cd a b d b d c a a b a a c a +++++=+++++++-知，22a 是17的倍数，故a 是17的倍数．因此,,,a b c d 都是17的倍数，这就说明了abcd 是44717⨯的倍数，也就是2023的倍数．………………50分。

山东高中数学试题及答案

山东高中数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是二次函数的一般形式？A. y = ax^2 + bx + cB. y = a(x + b)^2 + cC. y = ax^2 + bx + c + dD. y = a(x - b)^2 + c答案：A2. 函数f(x) = x^3 - 3x + 1在区间(-∞, +∞)内有几个零点？A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：B3. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，那么第10项a10的值是多少？A. 23B. 25C. 27D. 29答案：A4. 圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，圆心坐标为？A. (2, 3)B. (3, 2)C. (-2, -3)D. (-3, -2)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(-1)的值。

答案：-16. 计算等比数列的前n项和公式为S_n = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中a1为首项，r为公比，当a1 = 2，r = 2，n = 4时，S_4的值为多少？答案：307. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么斜边的长度为？答案：58. 已知函数y = 1/x，当x = 2时，y的值为多少？答案：1/2三、解答题（每题10分，共60分）9. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求该函数的最小值。

答案：函数f(x) = x^2 - 4x + 3可以写成f(x) = (x - 2)^2 - 1，因为(x - 2)^2总是非负的，所以函数的最小值为-1，当x = 2时取得。

10. 求解方程2x^2 - 5x + 2 = 0。

答案：通过因式分解，我们得到(2x - 1)(x - 2) = 0，所以x = 1/2 或 x = 2。

11. 已知数列{an}满足a1 = 1，an+1 = an + 2n，求数列的前5项。

2023年山东省新高考联合质量测评高考数学联考试卷(3月份)+答案解析(附后)

2023年山东省新高考联合质量测评高考数学联考试卷（3月份）1. 已知集合，，则( )A. B.C. D.2. 已知复数z满足，则( )A. B. C. D.3. 为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录从低到高：高三一班：，，m，，，，，，，单位：，高三二班：，，，，，，，，n，单位：若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则为( )A. B. C. D.4. 函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则( )A. B. C. D.5. 第十四届“中华人民共和国全国人民代表大会”和“中国人民政治协商会议”分别于2023年3月5日和3月4日胜利召开，为实现新时代新征程的目标任务汇聚智慧和力量.某市计划开展“学两会，争当新时代先锋”知识竞赛活动.某单位初步推选出3名党员和5名民主党派人士，并从中随机选取4人组成代表队参赛.在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，则党员甲被选中的概率为( )A. B. C. D.6. 已知等腰直角三角形ABC中，，M，N分别是边AB，BC的中点，若，其中s，t为实数，则( )A. B. 1 C. 2 D.7. 如图，直三棱柱中，，，，点M是BC的中点，点P是线段上一动点，点Q在平面上移动，则P，Q两点之间距离的最小值为( )A.B.C.D. 18.已知，，，其中为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是( )A. B. C. D.9. 设随机变量的分布列如下：123 (20222023)P…则下列说法正确的是( )A. 当为等差数列时，B. 数列的通项公式可能为C. 当数列满足…，时，D. 当数列满足…，时，10. 已知圆锥顶点为S，高为1，底面圆O的直径AB长为若C为底面圆周上不同于A，B的任意一点，则下列说法中正确的是( )A. 圆锥SO的侧面积为B.面积的最大值为C. 圆锥SO的外接球的表面积为D. 若，E为线段AC上的动点，则的最小值为11. 已知AB，CD是经过抛物线焦点F的互相垂直的两条弦，若AB的倾斜角为锐角，C，A两点在x轴上方，则下列结论中一定成立的是( )A. 最小值为32B. 设为抛物线上任意一点，则的最小值为C. 若直线CD的斜率为，则D.12. 已知函数，其中e是自然对数的底数，记，，则( )A. 有唯一零点B. 方程有两个不相等的根C. 当有且只有3个零点时，D. 时，有4个零点13. 已知的展开式中含有常数项，则n的一个可能取值是______ .14. 已知点，设动直线和动直线交于点P，则的取值范围是______ .15. 过双曲线的左、右焦点作两条相互平行的弦AB，CD，其中A，B在双曲线的左支上，A，C在x轴上方，则四边形的最小值为______ ，当AB的倾斜角为时，的面积为______ .16. 已知函数的定义域D为，在上单调递减，且对任意的，，都有，若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______ .17. 已知多面体ABCDEF中，四边形CDEF是边长为4的正方形，四边形ABCD是直角梯形，，，求证：平面平面BCE；求直线AF与平面BCF所成角的正弦值.18. 为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免，全省国有A级旅游景区免首道门票，鼓励非国有A级旅游景区首道门票至少半价优惠.本次门票优惠几乎涵盖了全省所有知名的重点景区，据统计，活动开展以来游客至少去过两个及以上景区的人数占比约为某市旅游局从游客中随机抽取100人其中年龄在50周岁及以下的有60人了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄周岁及以下和50周岁以上分类统计得到如下不完整的列联表：不满意满意总计50周岁及以下_____55_____50周岁以上15__________总计__________100根据统计数据完成以上列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联？现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及以上景区的人数为X，若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率为概率.①求X的分布列和数学期望；②求参考公式及数据：，其中k19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且求的大小；若的平分线交AB于点D，且，求的取值范围，20. 在如图所示的平面四边形ABCD中，的面积是面积的两倍，又数列满足，当时，，记求数列的通项公式；求证：21. 已知曲线，直线l：与曲线E交于y轴右侧不同的两点A，求m的取值范围；已知点P的坐标为，试问：的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由.22. 已知函数若，试判断的单调性，并证明你的结论；设，求证：答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为，又，所以，得到，所以，故，故A错误，B正确；而，故CD错误．故选：利用条件求出，再利用集合的基本关系与运算即可得到结果．本题主要考查了集合包含关系的判断及集合的基本运算，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：，则，故故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：高三一班的第25百分位数是m，第90百分位数是；高三二班的第25百分位数是，第90百分位数是；所以，，解得，所以故选：根据题意利用百分位数的定义求出m、n，再求本题考查了百分位数的定义与应用问题，是基础题．4.【答案】A【解析】解：由三角函数的图像知，，；图中阴影部分近似为平行四边形，面积为，解得，故选：根据三角函数的图像知，图中阴影部分近似为平行四边形，由此得方程组求出、的值．本题考查了三角函数的图象和性质应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题．5.【答案】C【解析】解：记“随机选取4人”为事件，“代表队中既有党员又有民主党派人士”为事件A，“党员甲被选中”为事件B，则可得，，则，故在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，则党员甲被选中的概率为故选：根据题意古典概型结合组合数运算求解．本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．6.【答案】D【解析】解：如图，根据题意得：，联立①②消去得，，且，根据平面向量基本定理得：，故选：可画出图形，根据向量加法和数乘的几何意义可得出，联立①②消去即可用表示出，然后根据平面向量基本定理即可求出的值．本题考查了向量加法和数乘的几何意义，平面向量基本定理，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：以C为坐标原点，CA，CB，为坐标轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，点P是线段上一动点，，，当P为定点时，PQ的最小值即为点Q到平面的距离，设平面的一个法向量为，则，令，则，，平面的一个法向量为，点P到平面的距离，，Q两点之间距离的最小值为故选：以C为坐标原点，CA，CB，为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用向量法可求P，Q两点之间距离的最小值．本题考查求两点间的距离的最小值，属中档题．8.【答案】B【解析】解：令，令，，则，当时，，单调递增，所以，在上恒成立，所以，故，即，令，，则，故在上单调递减，，即，令，，则，所以在上单调递减，，即，所以在上恒成立，故，所以，综上，故选：结合已知不等式合理的构造函数，利用导数研究相应函数单调性，然后进行合理的赋值，即可比较大小．本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了单调性在函数值大小比较中的应用，属于中档题．9.【答案】AC【解析】解：由题意可得：，且，，2， (2023)对A：当为等差数列时，则，可得，故，A正确；对B：若，满足，，2， (2023)则，故数列的通项公式不可能为，B错误；对C：当数列满足时，满足，，2， (2022)则，可得，C正确；对D：当数列满足时，则，可得，D错误．故选：根据题意可得，且，，2，…，对A：结合等数数列的性质分析运算；对B：利用裂项相消法分析运算；对C：根据等比数列求和分析运算；对D：取，分析运算即可．本题考查离散型随机变量的分布列性质，考查数列的应用，是中档题．10.【答案】BCD【解析】解：对A：由题意可知：，，，圆锥SO的侧面积为，A错误；对B：面积，在中，，故为钝角，由题意可得：，故当时，面积的最大值为，B正确；对C，由选项B可得：，为钝角，可得，由题意可得：圆锥SO的外接球过球心的截面圆即为的外接圆，设其半径为R，则，即，故圆锥SO的外接球的表面积为，C正确：对D：将平面ABC与平面SAC展开为一个平面，如图所示，当S，E，B三点共线时，取到最小值，此时，，在，，则为锐角，则，在中，，由余弦定理可得，则，故的最小值为，D正确．故选：对A：根据圆锥的侧面积公式计算即可；对B：可得为直角三角形为最大面积；对C：圆锥SO的外接球过球心的截面圆即为的外接圆，利用正弦定理求三角形的外接圆半径，即可得；对D：将平面ABC与平面展开为一个平面，当S，E，B三点共线时，取到最小值，结合余弦定理运算．本题考查几何体的外接球问题，线段和最小问题，几何体的侧面积计算，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】解：设直线AB的倾斜角为，，则，即，同理可得，，根据定义得：，焦点坐标；选项A：当且仅当时等号成立，，因为，所以，故A正确；选项B：令转换成抛物线上的点到焦点的距离，，故B错误；选项C：若直线CD的斜率为，则直线CD的倾斜角为，直线AB的倾斜角为，所以，故C正确；选项D：因为AB的斜率为k，，所以，设，，AB的方程为，由可得，，，与k无关，同理，故，即，故D正确；故选：选项AC：数形结合推导出，应用公式求解和判断；选项B：根据抛物线定义和性质转化求解；选项D：联立方程，应用韦达定理证得：即可判断．本题考查了抛物线的性质，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：因为，所以，所以时，，时，，所以的图像如下图，选项A，因为，令，由，得到，由图像知，存在唯一的，使得，所以，由的图像知，存在唯一，使，即只有唯一零点，所以选项A正确；选项B，令，如图，易知与有两个交点，所以方程有两个不相等的根，所以选项B正确；选项C，因为，令，由，得到，当有且只有3个零点时，由的图像知，方程有两等根，且，或两不等根，，，，或，舍弃，不满足韦达定理，所以或，所以或，当时，，满足条件，所以选项C错误；选项D，当时，由，得到或，由的图像知，当时，有2个解，当时，有2个解，所以选项D正确．故选：先对求导，判断出函数的单调性，画出的简图，对于选项A，通过令，从而将函数的零点转化成，的根来求解，利用图像可得出结果；对于选项B，通过构造两个函数，利用函数图像的交点来解决，从而判断出选项B的正误；选项C，通过令，从而得到，有且只有3个零点时，方程有两等根，且，或两不等根，，，，从而求出a的范围；对于选项D，直接求出的值，再利用的图像即可判断结果．本题考查函数的零点与方程的根，考查运算求解能力，属中档题．13.【答案】4，8，12，16【解析】解：的展开式中含有常数项，它的通项公式为，有解，即，，1，2，，则n的一个可能取值是4，8，12，故答案为：4，8，12，由题意，求得二项式的通项公式，由题意，可得x的幂指数等于零有解，由此可得n的取值范围．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14.【答案】【解析】解：如图所示，由条件可知两动直线，分别过原点O和，且两直线互相垂直．所以动点P的轨迹为以OE为直径的圆上，，设圆心为D，则，显然当A、P、D三点共线时取得最值，故，即故答案为：由两动直线解析式可知其互相垂直，且均过定点，则交点P轨迹为圆，继而可知的取值范围．本题主要考查两点之间的距离公式，属于基础题．15.【答案】【解析】解：的，，设，，由对称性可得，由双曲线的定义可得，，在中，，在中，，又，所以，化为，由，可得，当且仅当，可得的最小值为1；当AB的倾斜角为时，设直线AB的方程为，联立双曲线的方程，可得，解得，由直线CD的方程，与双曲线的方程联立，可得，解得，所以四边形的面积为故答案为：1；设，，由双曲线的定义和三角形的余弦定理，推得，再由基本不等式可得所求最小值；求得直线AB，CD的方程与双曲线的方程联立，求得A，C的坐标，再由平行四边形的面积公式和三角形的面积公式，计算可得所求面积．本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】或【解析】解：令，有，得，令，得，则，令，，有，得，又函数的定义域D为关于原点对称，所以是偶函数，因为在上单调递减，所以在上单调递增．不等式可化为，则有，因为函数在上单调递增，所以，又，所以，即，设，则，因为，故当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以，所以或，即实数a的取值范围是或故答案为：或利用特殊值法求，，利用奇偶函数概念研究的奇偶性，再利用单调性化简不等式，参变分离、构造新函数法，再利用导数的性质进行求解即可．本题主要考查了函数的恒成立问题，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．17.【答案】证明：因为四边形CDEF是边长为4的正方形，所以，，因为四边形ABCD是直角梯形，，所以，，因为，AD，平面ADE，所以平面ADE，因为平面ADE，所以，因为，所以，因为，所以，由勾股定理得，，因为，所以，由勾股定理逆定理得，因为，，DE，平面CDE，所以平面CDE，因为平面CDE，所以，因为，AD，平面ADF，所以平面ADF，因为平面BCE，所以平面平面BCE；解：由知，DA，DC，DE两两垂直，故以D为坐标原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，，，，，所以，，设平面BCF的法向量为，则，解得，令，则，故，设直线AF与平面BCF所成角的大小为，又因为，所以，，即直线AF与平面BCF所成角的正弦值为【解析】先证明出，由勾股逆定理得到，证明出平面CDE，从而，证明出平面ADF，进而证得平面平面BCE；以D为坐标原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，进而求出相应向量的坐标，再利用空间向量求解线面角的正弦值．本题主要考查了平面与平面垂直的判定定理，考查了利用空间向量求直线与平面的夹角，属于中档题．18.【答案】解：由题意，抽取的100人年龄在50周岁及以下的有60人，则年龄在50周岁以上的有40人，补全的列联表如下：不满意满意总计50周岁及以下5556050周岁以上152540总计2080100，在犯错误的概率不超过的情况下认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联；①由题意可得，游客至少去过两个及以上景区的概率为，则，且，1，2，3，又，，，，的分布列如下：X0123P，；②【解析】由题意，抽取的100人年龄在50周岁及以下的有60人，则年龄在50周岁以上的有40人，即可补全列联表，再根据公式计算，即可判断；①由题意可知，根据二项分布即可求解分布列及数学期望；②根据即可计算．本题考查独立性检验原理的应用，二项分布的期望的求解，属中档题．19.【答案】解：由，可得，由正弦定理得，，，即，由于，又，，，，或，或舍去，；，平分，，则点D分别到AC，BC的距离，由，则，即，整理得，，当且仅当，即时取等号，故的取值范围为【解析】由正正弦定理得运算可求的大小；由已知可得即，利用基本不等式可求的取值范围，本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查三角恒等变换，考查基本不等式的应用，属中档题．20.【答案】解：过A作，过C作，连接AC，设，由已知的面积是面积的两倍，可得，∽，得，，又B、E、D三点共线，存在实数，使得，，又，可得，则当时，有，，则，即，又，数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，则；证明：令，当时，；当时，，，且，综上可得：【解析】由已知结合向量运算可得，有，可得，则数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式得答案；令，求出，当时，有，作和得结论．本题考查数列与向量、数列与不等式的综合，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：设直线l的方程为：，，，联立，可得，根据题意可得，解得，的取值范围为；的内心恒在定直线上，理由如下：设直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，要证的内心恒在一条定直线上，只需证，，，即证，又，的平分线总垂直x轴，的内心在定直线上．【解析】设直线l的方程为：，联立曲线E的方程，再根据题意建立不等式，即可求解；设直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，根据韦达定理，分析法，证明，即可求解．本题考查直线与椭圆的位置关系，设而不求法与韦达定理的应用，分析法的应用，化归转化思想，不等式思想，属中档题．22.【答案】解：若，则，在上单调递增，证明如下：，构建，则的定义域为，，令，解得；令，解得；则在上单调递减，在上单调递增，可得，即对恒成立，故在上单调递增．证明：由题意可得：，则，即，可得，故原题意等价于，构建，则，构建，则对恒成立，可得在上单调递增，故，即，，可得，，因为，，则，可得，因为当，时，则，当且仅当，即时，等号成立；即对，，均有，故当，，即，可得，故，则在上单调递增，可得，故，即证．【解析】求导，利用导数判断原函数单调性；根据题意分析可得原题意等价于，构建新函数，求导，结合基本不等式证明．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，不等式的证明，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．。

全国高中数学联赛及山东省数学竞赛

一、全国奖(共63人)
1.全国一等奖共15人
韦东奕(240分,山师附中)王颖婓（206分，实验中学）安传恺(201分,山师附中)
王储(190分,实验中学)刘青阳(177分,山师附中)鲁悦(172分,山师附中)
冯龙(152分,实验中学)禹泽西(150分,实验中学)方延博(150分,实验中学)
路若洲(143分,实验中学)刘宁(141分,实验中学)高茉人(130分,实验中学)
黄杨96分韩蕾94分刘海93分罗荣钧90分姜怡然90分
济南一中（1人）：陈双94分
济南二中（5人）：宫庆凯76分于昌灏70分郭晓宁64分姜玉玺63分
李祺龙58分
济南三中（6人）：蒋丽84分孙新利71分张虎67分卫成林66分
商和宁66分张婷婷66分
济南七中（2人）:肖玉淼49分陈晨45分
济南九中（2人）：鞠佳69分王紫辉66分
闫宁101分李晓阳106分菅庆圣102分崔月98分霍纯森96分
华震96分
2.省二等奖共202人
实验中学（13人）：祁海洋100分秦立煜101分李骥100分韩祥冬100分
李文硕98分王越98分栾义龙98分李可扬96分孙棋96分
孙振宇96分叶梦醒96分邹宗航96分栗榛96分
山师附中（13人）：杜宏87分宋建浩87分张志浩86分付强85分
章丘一中：赵蕾蕾87分徐帅81分刘波80分
章丘四中：李喆140分马宪进104分王增辉97分陈成成96分朱福兴94分索金召93分党灿93分柏杨93分许昊93分
章丘五中：郭乐田104分田春钊108分李虎100分刘杰100分张方瑞96分
韩成龙90分靳丰晨89分刘洋槐84分王海景83分郭红80分
郑伟80分鲁家刚80分
曹旭85分赵玉祯84分杨云钊82分宋晓楠81分刘青华79分

山东新高考联合质量测评2023-2024学年高三上学期9月联考数学试题含答案

u h町h市斗草草提自尊银狠毒卡山东新高考联合质量测评9月联考试题－－· ．． c::, 数学本卷满分150分，考试时间120分钟试卷类型：A2023.9注意事项：I.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上．用28铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2.作答选择题时，逃出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．171Tsin T的值为A子c子B. !!: D号2.已知等差数列｛α”｝，其前n项和S，满足S1－句＝12，则向＋句＝A.4B.TC.tD. 33.走马灯古称蟠蝙灯、仙音烛和转鸳灯、马骑灯，是汉族特色工艺品，亦是传统节日玩具之一，属于灯笼的一种如图为今年元宵萨�节某地灯会的走马灯，主体为正六棱柱，底面边长6cm，高15 c m，则它的体积为A. 810./3 c m3B. 810 cm3c.270 ,./3 c旷D. 270 crn3高三数学试题第1页（共4页）4.过点（3,0）作曲线J（元）= x旷的两条切线，切点分别为（元，，！（χI))'（旬，／（x,)),贝U x, ＋忽2=A. -3B. -,./3 c ../3 D. 35若（）e ( 0 , f),sin () -cos () ＝子，则叫＝A÷ B. 2 C.÷ D. 36.已知f(x)=cos(2x ＋圳，｜ψ｜〈旦，f（功的一个极值点是子，则2 6Aρ）在（f.号）上单调递增B. f(x）在（号，于）上单调递减c.f（均在（＿.＇.！！.，子i上单调递增 D.f(x）在（_.'.!!. 2!.）上单调递减\ 6 I \ 3’6 I7.己知正项等比数列｛α”｝的前n项和为孔，且满足a,S,= 2'"-1 -2川，设b. =./i石古:-+T了，将数列｛b.｝中的整数项组成新的数列｛叭，则马023=A. 4 048B. 2 023 c. 2 022 D. 4 0468.已知等腰豆角t::,ABC中，L C为直角，边AC＝厅，P，。

2019年全国高中数学联赛山东省预赛试题

2019全国数学联赛山东省预赛试题一、填空题（每小题8分，共80分）1、已知}1)2(log |{23≤-=x x x A ，),(],(+∞-∞=b a B 其中b a <，如果=B A R ，那么b a -的最小值是2、设函数b ax x x f ++=2)(，对于任意的R ∈b a ,，总存在]4,0[∈t ，使得m t f ≥|)(|成立，则实数m 的最大值是3、已知虚数数z 满足z z w 1+=为实数且21<<-w ，zz u +-=11，那么||2u w -的最小值是4、空间有4个点A 、B 、C 、D ，满足CD BC AB ==,若︒=∠=∠=∠36CDA BCD ABC ，那么直线AC 与直线BD 成的角的大小是5、数列}{n a 中，21=a ，192-=a ，n n n a a a -=++||12*)(N n ∈，那么=2019a6、设函数x x x f cos )(= ])2,0[(π∈x ，那么)(x f 的最大值是 7、实数)0(>k k ，在平面直角坐标系内已知抛物线2kx y =与圆222)()r b y a x =-+-（至少有3个公共点，其中一个是原点，另外两个在直线b kx y +=上，那么实数b 的最小值是8、ABC ∆中，16=AB ，55=BC ，9=CA ，在ABC ∆外部、到点B 或C 距离小于6的点组成的集合覆盖的平面区域的面积是9、6个相同的红色球，3个相同的白色球，3个相同的黄色球排在一条直线上，那么同色球不相邻的概率是10、整数n 使得多项式23)(3---=n nx x x f 可以表示为两个非常数整系数多项式的乘积，所有n 的可能值的和为二、解答题（共70分）11、（本题15分）已知：正方形ABCD 边长为1，点M 是边AD 的中点，以M 为圆心以AD 为直径作圆Γ，点E 在线段AB 上，且直线CE 与圆Γ相切.求：CBE ∆的面积.12、（本题15分）已知9324+-n n 是素数，求正整数n 的所有可能值.13、（本题20分）已知d c b a ,,,都是区间]2,1[上的实数，求证：4|))()()((|abcd a d d c c b b a ≤----14、（本题20分）设正整数1021,,,a a a 均不大于21，且每两个数的和不等于21.试求出所有满足条件的数组1021,,,a a a 的积1021a a a 的和.2019全国数学联赛山东省预赛试题（答案）一、填空题（每小题8分，共80分）1、已知}1)2(log |{23≤-=x x x A ，),(],(+∞-∞=b a B 其中b a <，如果=B A R ，那么b a -的最小值是答案：1-2、设函数b ax x x f ++=2)(，对于任意的R ∈b a ,，总存在]4,0[∈t ，使得m t f ≥|)(|成立，则实数m 的最大值是答案：23、已知虚数数z 满足z z w 1+=为实数且21<<-w ，zz u +-=11，那么||2u w -的最小值是答案：14、空间有4个点A 、B 、C 、D ，满足CD BC AB ==,若︒=∠=∠=∠36CDA BCD ABC ，那么直线AC 与直线BD 成的角的大小是答案:︒90或︒365、数列}{n a 中，21=a ，192-=a ，n n n a a a -=++||12*)(N n ∈，那么=2019a答案：176、设函数x x x f cos )(= ])2,0[(π∈x ，那么)(x f 的最大值是答案：162π7、实数)0(>k k ，在平面直角坐标系内已知抛物线2kx y =与圆222)()r b y a x =-+-（至少有3个公共点，其中一个是原点，另外两个在直线b kx y +=上，那么实数b 的最小值是答案：28、ABC ∆中，16=AB ，55=BC ，9=CA ，在ABC ∆外部、到点B 或C 距离小于6的点组成的集合覆盖的平面区域的面积是答案：495554+π 9、6个相同的红色球，3个相同的白色球，3个相同的黄色球排在一条直线上，那么同色球不相邻的概率是答案：9245 10、整数n 使得多项式23)(3---=n nx x x f 可以表示为两个非常数整系数多项式的乘积，所有n 的可能值的和为答案：192二、解答题（共70分）11、（本题15分）已知：正方形ABCD 边长为1，点M 是边AD 的中点，以M 为圆心以AD 为直径作圆Γ，点E 在线段AB 上，且直线CE 与圆Γ相切.求：CBE ∆的面积.解：设直线CE 与圆Γ相切于点N ，联结ME ，MN ，MC在MNC Rt ∆和MDC Rt ∆中，MN MC =，MC MC =，所以MDC MNC ∆≅∆，故DMC NMC ∠=∠.同理AME EMN ∠=∠.所以︒=∠90EMC .故 MN 是EMC Rt ∆斜边上的高，所以NC MN NM EN =，所以41=EN 所以41=AE ，43=BE 所以 CBE ∆的面积等于83 12、（本题15分）已知9324+-n n 是素数，求正整数n 的所有可能值. 解：9324+-n n )33(3)3(22+-++=n n n n所以 1332=++n n 或1332=+-n n ，解得2,1=n 将1=n ，2=n 带入检验均满足题意，所以1=n ，2=n 是所求.13、（本题20分）已知d c b a ,,,都是区间]2,1[上的实数，求证：4|))()()((|abcd a d d c c b b a ≤---- 证明：4|))()()((|abcd a d d c c b b a ≤---- 161)()()()(2222≤-⋅-⋅-⋅-⇔da a d cd d c bc c b ab b a 由于21)(2≤-ab b a 0)21)2(2≤--⇔b a b a （因为]2,1[,∈b a 所以上式成立. 同理21)(2≤-bc c b ，21)(2≤-cd d c ，21)(2≤-da a d 将上面的4个不等式相乘就得到所要证明的不等式其中当)1,2,1,2(),,,(=d c b a 或)2,1,2,1(时等号成立.14、（本题20分）设正整数1021,,,a a a 均不大于21，且每两个数的和不等于21.试求出所有满足条件的数组1021,,,a a a 的积1021a a a 的和.解：考察下列10个集合：{1,20}，}19,2{，…，11}{10，分两种情况讨论：（1）如果任意i a )10,,2,1( =i 均不等于21，则每个集合}21,{i i -)10,,2,1( =i 中必有一个1021,,,a a a 中的数，于是所求的总和为1021)1110()192)(201(=+++= S（2）如果其中某一个i a 等于21，则需要在9个集合}21,{i i -中各选一个数.假设不在{1,20}中选数,此时所求总和为1021)1110()192(21=++= S .类似讨论其他9个集合.由（1）（2）知所求的总和为102111⨯。

山东新高考联合质量测评2024届高三10月联考数学参考答案及评分标准(2)

山东新高考联合质量测评高三数学参考答案1.C2.A3.C 解：底面边长为4，∴底面的对角线长为设正四棱柱和正四棱锥的高为h ，因正四棱锥的侧棱长为32，则根据题意可得222h +=，解得2h =，故该几何体的体积为112844244233⨯⨯+⨯⨯⨯=，故选C.6.D 解：函数2e ()e x a f x +=的定义域为R ，因为()()0f x f x -+=，所以函数()f x 是R 上的奇函数，所以()010f a =+=，解得1a =-，所以2e 1()ex x f x -=，则()22e 11e ()e e x x x x f x f x -----===-，所以2e 1()e x x f x -=，则()222212e e 1()e e e e ex x x x x x xf x '==⋅--⋅+，因为()f x 在(,())b f b 处的切线方程为2y x =，所以2e 1()2eb b f b '+==，解得0b =，所以=+b a 2-2.故答案为：D.8.D 解：由已知1(1)(2)n n n a n a ++=+，所以121n n a a n n +=++，所以数列{}1n an +是常数列.又23a =，所以21121n a an ==++，从而1n a n =+，所以数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，故232n n nS +=．由存在n N +∈使得214n n S ka +≤成立可知，存在n N +∈使得2314(1)n n k n ++≤+成立，即2min 314()1n n k n ++≥+．设1t n =+，则1n t =-，从而22314(1)3(1)141211n n t t t n t t++-+-+==+++．记12()1f t t t=++，由对勾函数性质可知，()f t 在(0,23)上单调递减，在(23,)+∞上单调递增，又t N +∈，所以8143)3(=++=f ，8134)4(=++=f ，所以121t t++的最小值是8．故选：D．9.ACD 解：选项A ：设幂函数)(x f αx =，由2)41(=f 得21-=α，故选项A 正确；选项B ：032)(2=-+=x x x f 得13或-=x ，所以)(x f 的零点为13和-，故选项B 不正确；选项C ：因为)1(+x f 是偶函数，所以)1()1(+-=+x f x f ，因为()f x 是奇函数，所以)1()1()1(--=+-=+x f x f x f 因此函数()f x 的周期为4，所以()()()2024450600f f f =⨯==，故选项C 正确；选项D ：因为函数()3ln f x x x=-在()1,2x ∈时单调递增，而013ln )3(>-=f ，故选项D 正确.故选ACD.10.BD 解因为1132++-=n n n n a a a a ，所以1a ＋1＝2a ＋3，所以1a ＋1＋3＝21a n ＋3，且1a ＋3＝4≠0，所1a n ＋34为首项，2为公比的等比数列，即1a n ＋3＝4×2n-1，所以1a n ＝2n+1－3，可得a n ＝12n ＋1－3，故选项A ，C 错误；因为1a n ＝2n+1－3单调递增，所以a n ＝12n ＋1－3单调递减，即{a n }为递减数列，故选项B 1a n 前n 项和T n ＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n+1－3)＝(22＋23＋…＋2n+1)－3n ＝22×1－2n1－2－3n ＝2n+2－3n －4，故选项D 正确．故选BD.为正四面体.12.BD 解：作出f （x ）在（0，12]上的图象，如图所示：因为f （）＝f （）＝f （4）＝f （12）＝，又因为方程()x f ＝a 有四个互不相等的实数根，所以210≤<a ，故A 错误；对于B ，由题意可得＝﹣，且有0＜x 1≤，≤x 2＜2，所以x 1＝，所以2x 1+x 2＝+x 2≥2＝2，当＝x 2，即x 2＝时，等号成立，故正确；对于C ，由题意可得⎪⎭⎫ ⎝⎛27f ＝,212243sin 6276sin >==⎪⎭⎫⎝⎛+⨯πππ由A 可知210≤<a ，所以,27a f >⎪⎭⎫⎝⎛故错误；对于D ，由题意可知：x 3与x 4关于直线x ＝8对称，且,543<≤x ,12114≤<x 所以x 3+x 4＝16，所以.161143434343x x x x x x x x =+=+因为x 3+x 4＝16，所以x 3＝16﹣x 4.又因为,12114≤<x 所以x 3•x 4＝（16﹣x 4）x 4＝﹣+16x 4＝64﹣（x 4﹣8）2，单调递减，所以48≤64﹣（x 4﹣8）2＜55，所以,31165516,48115514343≤<≤<x x x x 所以.3111551643≤+<x x 因为(2,12∈x ,所以2221212121111x x x x x x x x x x +=+=+=+，单调递增，所以⎦⎤ ⎝⎛∈+2232122，x x ，所以]223,2(1121∈+x x .所以43211111x x x x +++的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛+629255126，,故D 正确．故选BD ．13.314.解：∵BD ⊥AB ，AC ⊥AB，∴，设二面角C ﹣AB ﹣D 为θ，则()θθπcos 12cos 34-=-⨯⨯=∙AC DB .又，则，即42＝42+22+32﹣24cosθ，所以．故答案为：．15.12+-n n 解：由=(14)得()214321+-=------=n n n b n 则()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-=1112121n n n n b n ，所以121112111413131212112+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-+--=n n n n n T n .16.⎥⎦⎤⎝⎛24,1e e 解由题意可知f (2)＝0，且f (x )在R 上单调递减，所以函数f (x )只有一个零点2，由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g (x )＝x 2－a e x 在区间(1,3)上存在零点．由g (x )＝x 2－a e x ＝0，得a ＝x 2ex .令h (x )＝x 2e x ，则h ′(x )＝2x －x 2ex ，所以h (x )在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且h (1)＝1e ，h (2)＝4e 2，h (3)＝9e 3>1e，要使函数g (x )在区间(1,3)上存在零点，只需a ∈⎥⎦⎤⎝⎛24,1e e .17.解（1）由已知()f x 图象的对称中心到对称轴的最小距离为4π，则44T π=，T π∴=，2222T ππωπ∴===，解得1ω=.∴函数()f x 的解析式是()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭.（2分）令∈+≤-≤+k k x k ,2324222πππππZ,解得∈+≤≤+k k x k ,8783ππππZ.所以函数的减区间为∈⎦⎤⎢⎣⎡++k k k ,87,83ππππZ .（5分）（2）由（1）知，函数在区间3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，在区间33,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数.（7分）因为08f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，1)43(-=πf ，故函数()f x 在区间3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[1-（10分）18.解（1）由{}为递增的等差数列，n a ,65,18424251=⋅=+=+a a a a a a 解得,13,542==a a 所以11=a ，公差4=d ，所以n n S n -=22，（4分）2.又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ ，（8分）两式相减得2111311121()222222n n n n T -++=++++- ，（10分）所以2552n nn T +=-．（12分）19.（1）证明：因为DA ⊥平面ABEF ，AB ，AF ⊂平面ABEF ，所以DA AB ⊥，DA AF ⊥.又AB AF ⊥，所以以A 为坐标原点，,,AF AB AD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，（2分）则()0,2,0B 、()1,2,0E 、()0,2,1C 、()0,0,2D 、()2,0,0G ，所以()1,0,1EC =- ，()1,2,2ED =-- ，()2,2,0BG =-，（4分）设平面DCE 的法向量为(),,n x y z = ，则0220n EC x z n ED x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令2x =，则2,1z y ==，所以()2,1,2n =，因为()221220n BG ⋅=⨯+⨯-=≠ ，即不存在λ使得BG与n垂直，所以BG 与平面DCE 不平行.（6分）（2）设AF a =（0a>且1a ≠），则(),0,0F a，所以(),2,0BF a =-.（7分）∵直线BF 与平面DCE ∴,3422cos 552⨯+-===a a 化简得21140160a a --=，解得4a =或411a =-（舍去）.故4AF =．（9分）∴()0,0,4F ()()知由1,2,0,4-=→FD 平面DCE 的一个法向量()2,1,2n =,所以F 到平面DCE 的距离34||=∙=→n n FD d（12分）f （x ）+2+f （-x ）+2=f （0）+2=0，所以函数f （x ）+2为奇函数；（4分）（2）证明：在R 上任取x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，所以f （x 1－x 2）＞－2.又f （x 1）＝f [（x 1－x 2）＋x 2]＝f （x 1－x 2）＋f （x 2）＋2＞f （x 2），所以函数f （x ）在R 上是增函数.（8分）（3）解：由f （1）＝2，得f （2）＝6，f （3）＝10.（9分）由f （x 2＋x ）＋f （1－2x ）＞8得f （x 2－x ＋1）＞f （3）.（10分）因为函数f （x ）在R 上是增函数，所以x 2－x ＋1＞3，解得x ＜－1或x ＞2.故原不等式的解集为{x ｜x ＜－1或x ＞2}.（12分）22.解：（1）函数()f x 的定义域为(0)+∞，，xx a x x a x f 2)(-=-=',（2分）当0a ≤时,0)(<'x f 恒成立，()f x 在(0)+∞，上单调递减.当0a >时，x ∈，0)(>'x f 恒成立，()f x 单调递增；（4分）)x ∈+∞，0)(<'x f 恒成立，()f x 单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0)+∞，上单调递减；当0a >时，()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减.（5分）（2）当0a >时，要使)(41)(2a g a x f <，则2max 1()()4f x a g a <.（6分）由（1）可知，max 11()ln (ln )22f x f a a a a a ===-，所以211(ln )(sin )24a a a a a e a -<-，即ln 11(sin )2aa e a a -<-.（8分）令aa a 1ln )(-=ϕ，1()(sin )2a h a e a =-2ln 2)(aa a -=ϕ'，可知)(a ϕ在2(0,)e 上单调递增，在2()e +∞，上单调递减.所以22max 1)()(ee a =ϕ=ϕ.（10分）0cos )(>-='a e a h a 恒成立，故()h a 在(0)+∞，上单调递增，21)0()(min =>h a h ,因为2112e <，所以)()(a h a <ϕ，所以当0a >时，21()()4f x a g a <.（12分）。

全国高中数学联赛山东赛区预赛详解

2018年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题详解一、填空题（本大题共10个小题，每小题8分，共80分）●1．若复数z 满足132z z i -+--=z 的最小值是．解析：设()()1,0,3,2A B ，复数z 对应的点记为Z ，则AB =，故点Z 的轨迹是线段AB ，数形结合知，min 1z OA ==． ●3．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则函数()[][]2sin cos sin cos f x x x x x =++g的值域为．解析：()[][][]2sin cos sin cos sin 24f x x x x x x x π⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎥⎝⎭⎦g2cos 22sin 12444x x x x ππππ⎡⎤⎤⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎦⎣⎦⎦，令sin 4t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则{}{}211,211,0,1,1,0,1t t ⎤⎡⎤-≤≤-∈-∈-⎣⎦⎦，于是(){}2212,1,0,1,2f x t ⎤⎡⎤=-+∈--⎣⎦⎦，∴函数()[][]2sin cos sin cos f x x x x x =++g的值域为{}2,1,1,2--．●2．已知在正四棱锥S-ABCD 中，二面角A-SB-D 的正弦值为3，则异面直线SA 与BC 所成的角为．解析：设AC 与BD 交于点O ，依题意知，SO ⊥面ABCD ，AO ⊥BD ， ∴AO ⊥面SBD ，∴AO ⊥SB ，∴AO ⊥面SBD ，作OE ⊥SB 于E ，则AE ⊥SB ，∴∠AEO 就是二面角A-SB-D 的平面角，∴sin OA AEO AE =∠=①，设AB ＝a ，SA ＝b ，则在△SAB中求得AE =，又OA，代入①式得：a b =，故正四棱锥S-ABCD 的侧面都是等边三角形，由于AD ∥BC ，故异面直线SA 与BC 所成的角为∠SAD ＝60°．●4．已知在△ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 于D ，且有14AD AC t AB =+u u u r u u u r u u u r，若AB ＝8，则AD ＝．解析：由于B 、D 、C 三点共线，∴34t = ，作DE ∥AB 交AC 于E ，作DF ∥AC 交AB 于F ，则四边形AFDE是菱形，36,4AF AB AD ==== ●5．甲乙两人轮流掷一枚均匀硬币，只出现正面朝上或朝下两种等可能的结果．规定先掷出正面朝上者赢，前一场的输者，下一场先掷．已知第一场甲先掷，则甲赢得第n 场的概率为____________________________________________________________________________________________________________________．解析：依题意知第n 场先掷的人若赢，则前面的()1n -场皆为正面朝下，且第n 场先掷的人正面朝上，故其概率为()2121111222n n --=g ，故每一场先掷的人赢的概率为35211111222223n -+++++=L L L ，设甲赢得第n 场的概率为n p ，则()()111212,12333n n n p p p p n --==+-≥， ∴1111232n n p p -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，∴()1111*263n n p n N -⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭．●6．若直线65280x y --=交椭圆()2222221,*,x y a b N a b a b+=∈>于A 、C 两点，设B(0，b )为此椭圆的上顶点，△ABC 的重心为此椭圆的右焦点F 2，则此椭圆的方程为____________________________________________________________________________________________________________________．解析：设A(1x ，2x )，B(1y ，2y )，依题意可得：12120,033x x y y bc ++++==，∴121203,x x c y y b ++=+=-，代入直线方程得：112265280,65280x y x y --=--=，两式相加可得：18556c b +=①，两式相减可得：212165y y x x -=-，代入椭圆方程得：2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式作差得：()()()()2212122121615y y y y b ba x x x x c+---==+-g g ，∴225a bc =②，联立①②，消去c 得：()()222652828a b +-=，∴2222822,56a b ≤<<，又()25565*36b b a N -=∈，∴*b N ∈，且b 是偶数，∴2b =或4b =，检验知当4b =时，2*a N ∈符合题意，这时220a =，因此椭圆的方程为2212016x y +=．●7．对任意实数,a b ，{}max ,,1a b a b b +--的最小值为____________________________________________________________________________________________________________________．解析：{}21max ,,14a b a b ba b a b b ++-+-+--≥()()()22142a b a b b +--+-≥=，当且仅当10,2a b ==时等号成立． ●8．已知a b +是方程20x ax b ++=的一个根，其中,a b Z ∈，则b 的最大可能值为____________________________________________________________________________________________________________________．解析：依题意可得：()()20a b a a b b ++++=，即22230a ab b b +++=，由于,a b Z ∈，∴()()222388b b b b b ∆=--=-必是完全平方数，设()228b b m m Z -=∈，则()()4416b m b m -+--=，且()()4,4b m b m -+--的奇偶性相同，∴48444244,,,42444844b m b m b m b m b m b m b m b m -+=-+=-+=--+=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨--=--=---=---=-⎩⎩⎩⎩，解得：9,8,1,0b =-，因此b 的最大可能值为9．●9．已知集合A ，B 满足{}1,2,3,,10,A B A B ==ΦU L I ，若A 中的元素个数不是A 中的元素，且B 中的元素个数不是B 中的元素，则集合A 的个数为____________________________________________________________________________________________________________________．解析：设集合A 的元素个数为()1,2,,9k k =L ，则B 中元素个数为10k -个，依题意可得：,10,10k A k B k A ∉-∉-∈， ∴此时集合A 的个数为1102k C --，其中5k ≠， ∴集合A 的总个数为58114848888092186k k k k k CC C C ≠--≤≤==-=-=∑∑．●10．已知()f n()201811k f k ==∑____________________________________________________________________________________________________________________．解析：设()()1,2,,2018f k m k ==L ， ①先证()f k12m =±，则43231122216n m m m m Z =±+±+∉，与*n N ∈矛盾， ②再求()f k m =的k 的个数：由于441122m k m ⎛⎫⎛⎫-<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且44311422m m m m ⎛⎫⎛⎫+--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()f k m =的k 有34m m +个，③()2018f ：∵44620187<<，∴()620187f ≤≤， ∴()()()6231141117852m mm m m m m =+=+++=⎡⎤⎣⎦∑，∴()()71786,1787,,2018f k k ==L ，值为7的共有233个，④()()20186311111671323328234233467677k m m m f k m ==⎛⎫=++=++= ⎪⎝⎭∑∑gg g g g ．二、解答题（本大题共4个小题，前两个小题各15分，后两个小题各20分，共70分） ●11．已知()()(),,,,,,*A m n B s p m n s p N ∈是曲线C ：3y x t =-上的两点，若满足⊙O ：224x y +=上的任意一点到A 、B 的距离之比为定值()1k k >，求t 的值．（本小题满分15分）解析：设(),P x y 是⊙O 上任意一点，则PA k PB =，即()()()()222222222222220111k s m k p n m n k s p x y x y k k k --+-++---=---，因此点P 的轨迹是一个圆，此圆必是⊙O ：224x y +=， ∴()()()()2222222222220,0,4111k s m k p n m n k s p k k k --+-+===---，把22,m k s n kp ==代入()()22222241m n k s p k +-+=-得：22244s p k+=<， ∵,*s p N ∈，∴21,2,2,2s p k m n =====，故()()2,2,1,1A B 在曲线C 上，∴232131t t=-⎧⎨=-⎩，解得：43t =．●12．已知数列{}n a 满足：()()111,02,sin sin3*333n n n a a n a a n N ππ+=<<≥≤∈，求证：)sin *n a n N ≤∈．（本小题满分15分）证明：①当1n =时，1sin a =<，当2,3,4n =时，1sin 3na ≤< ②设()()34013f x x x x =-<<，则()2'14f x x =-， ∴当102x <<时，()2'140f x x =->，∴()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增．③下面用数学归纳法证明结论：由①知当1,2,3,4n =时结论成立，假设当()4n k k =≥时结论成立，即有sink a <则当1n k =+时，3114sin sin 3sin sin 33k k k ka a a a +≤=-<-=，故要证1sin k a +<<，即证2392416191k k k k -+<+，即证2392416191k k k k -+<+，即证215816k k +>，由于4k ≥，上式成立，故1sin k a +<成立，即当1n k =+时，结论成立，综上，对一切*n N ∈，sinn a ≤●13．已知实数,,a b c 满足()2220a b c λλ++=>，试求()()(){}222min,,f a b b c c a =---的最大值．（本小题满分20分）解析：不妨设a b c ≤≤，令(),,0a b s c b t s t =-=+≥，则()()222b s b b t λ=-+++，即()222320b s t b s t λ--++-=，∴()()2224430s t s t λ∆=--+-≥g，∴2232s st t λ++≤，不妨设s t ≥，则()2221132f t s st t λ=≤++≤，当且仅当s t ==，即0,a b c ===因此f 的最大值是2λ． ●14．（本小题满分20分）证明对所有的正整数4n ≥，存在一个集合S 满足如下条件： ①S 由都小于12n -的n 个正整数组成；②对S 的任意两个不同的非空子集A 、B 都有A 中元素之和不等于B 中元素之和．证明：当4n =时，取{}3,5,6,7S =，则集合S 满足上面两个条件；当5n ≥时，取{}3421113,2,2,,2,23,22,21n n n n S ----=---L ，则集合S 满足条件①，只需证明集合S 满足条件②：记11123,22,21n n n a b c ---=-=-=-，()f X 表示集合X 中的所有元素之和，设A 、B 是S 的任意两个不同的非空子集，则只需证明()()f A f B ≠，不妨设A B =ΦI ，那么对*m N ∀∈，都有11242212m m m -++++=-<L ， ∴当,,a b c A B ∉U 时，都有()()f A f B ≠，又3421322225n n --++++=-L ，∴当,,a b c 中恰有一个属于A B U 时，都有()()f A f B >，故()()f A f B ≠；类似地讨论当,,a b c 中恰有2个或3同时个属于A B U 时，都有()()f A f B ≠；综上所述，当4n ≥时，满足条件的集合S 都存在．。

2019全国数学联赛山东省预赛试题A(答案)

2019全国数学联赛山东省预赛试题（答案）一、填空题（每小题8分，共80分）1、已知}1)2(log |{23≤-=x x x A ，),(],(+∞-∞=b a B ，其中b a <，如果=B A R ，那么b a -的最小值是．解析：由已知得，[)(]1,02,3A =-，(],U C B a b =，当(][),1,0a b ⊆-时，1,0a b ≥-<，∴1a b ->-，当(](],2,3a b ⊆时，2,3a b ≥≤，∴1a b -≥-，综上知，b a -的最小值是－1．2、设函数b ax x x f ++=2)(，对于任意的R ∈b a ,，总存在]4,0[∈t ，使得m t f ≥|)(|成立，则实数m 的最大值是．解析：由条件可知，b ax x x f ++=2)(图象开口向上，按区间[]0,4与对称轴2ax =-的相对位置关系讨论如下： ⑴当80a -<<时，对于任意的R ∈b a ,，()()0,4,2a f m f m f m ⎛⎫≥≥-≤- ⎪⎝⎭，三式必有一个成立．①当()()0,0f m f m ≥≤-或，()()4,4f m f m ≥≤-或或时，对任何m 结论都成立．②当()()04m f m m f m -≤≤⎧⎨-≤≤⎩时，必有224a a f b m ⎛⎫-=-≤- ⎪⎝⎭成立，即2104b a m -+<，如图抛物线的外部是2104b a m -+<的区域，∴四边形ABCD 必在抛物线的外部，由图可知只需点()4,A m -在抛物线的外部或在抛物线上，即满足条件， ∴()21404m m --+≤，∴2m ≤．⑵当0a ≥时，()f x 在[]0,4上递增，∴()()0,4f m f m ≤-≥必有一个成立， ∴()()04282f f m a -+≤=+，依题意知此式对一切满足条件的实数a 成立，∴{}min 28m a ≤+，∴8m ≤．⑶当8a ≤-时，()f x 在[]0,4上递减，∴()()0,4f m f m ≥≤-必有一个成立， ∴()()04282f f m a -≤=--，依题意知此式对一切满足条件的实数a 成立，∴{}min 28m a ≤--，∴8m ≤．综上知，对于任意的R ∈b a ,，若满足条件，必有2m ≤，因此实数m 的最大值是2．备注：当然作为填空题，只需临界情形即可：由已知抛物线开口向上， ∴临界情形是()()0,4,2a f m f m f m ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，解得：4,2a b m =-==． 3、已知虚数z 满足z z w 1+=为实数且21<<-w ，zzu +-=11，那么||2u w -的最小值是．解析：()()cos sin 0,sin 0,02z r i r θθθθπ=+>≠<<，则11cos sin w r i r r r θθ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由条件得，10r r -=，∴1r =，∴222cos ,tan ,tan 22w u i u θθθ==-=-，由于21<<-w ，∴1cos 12θ-<<，令2tan2x θ=，则221tan 12cos 11tan 2x xθθθ--==++，∴03x <<， ∴()22124||213431111x x x w u x x x x x --+-=+==++-≥-=+++，当且仅当1x =，即z i =±时，上式等号成立．4、空间有4个点ABCD 满足AB ＝BC ＝CD ，若∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝36°，那么直线AC 与直线BD 成的角的大小是．解析：设AB ＝1，记036α=，在△BCD 中，∠BCD ＝α，BC ＝CD ＝1，∴BD ＝12cos α，在△ABC 中，∠ABC ＝α，AB ＝BC ＝1，∴∠ACB ＝2α，AC ＝12cos α，在△ACD 中，∠CDA ＝α，AC ＝12cos α，CD ＝1，∴sin sin2CAD α∠=，∴∠CAD ＝2α或3α，∴∠ACD ＝2α或α，当∠CAD ＝2α时，cos2cos202cos 2cos CA BD CA CB CA CD αααα=-=-=，∴AC 与BD 成的角是90°，当∠CAD ＝α时，cos212cos 2CA BD CA CB CA CD αα=-=-00002sin54sin18sin18cos22cos36α-==-=-， ∴224cos cos2sin cos sin 4cos 4cos cos2cos sin sin CA BD αααααααααα====，∴AC 与BD 成的角是α，综上知，AC 与BD 成的角是90°，或36°．5、数列}{n a 中，21=a ，192-=a ，n n n a a a -=++||12*)(N n ∈，则=2019a ．解析：检验知，数列}{n a 是周期为9的周期数列，∴2019317a a ==．6、设函数x x x f cos )(=])2,0[(π∈x ，那么)(x f 的最大值是．解析：不会做．但是感觉所给答案是错误的．答案：162π．α=36°B7、在平面直角坐标系内，已知抛物线2kx y =与圆C ：222)()r b y a x =-+-（至少有3个公共点，其中一个是原点，另外两个在直线()0y kx b k =+>上，那么实数b 的最小值是．解析：由已知，圆心(),a b 在⊙C 上，∴222a b r +=，又直线y kx b =+与抛物线2kx y =的两个交点都在⊙C 上，由2y kx by kx=+⎧⎨=⎩得，20kx kx b --=，由2222)()x a y b r y kx⎧-+-=⎨=⎩（得，()231220k x kb x a +--=，依题意可知，()23122k x kb x a +--能被2kx kx b --整除，又()23122k x kb x a +--被2kx kx b --除所得余式为()212kb kx kb a -++-，∴21=020kb k kb a ⎧-+⎨-=⎩，∴12b k k =+≥，当且仅当1k =时等号成立，综上，实数b 的最小值是2．8、ABC ∆中，16=AB ，55=BC ，9=CA ，在ABC ∆外部、到点B 或C 距离小于6的点组成的集合覆盖的平面区域的面积是．解析：由已知计算得，53cos 72A =，sin A =， ∴边AB上的高68h =>， ∴以点C 为圆心的圆与边AB 无交点，设MN 为两圆的公共弦，K 为边BC 的中点，依对称性可知，扇形CNF 、扇形BEN 、扇形故重叠部分为弓形MEN ，即扇形BMN －△BMN ，计算得，5372MN MBN =∠=，∴∠MBN ＝∠A ，于是所求区域的面积为()()2221111552626619542222C B A πππ⎛⎫-+---=+ ⎪⎝⎭．9、6个相同的红色球，3个相同的白色球，3个相同的黄色球排在一条直线上，那么同色球不相邻的概率是．解析：先把红色球排好，有66A 种排法，下面分白色球与黄色球相邻与不相邻两种情形讨论：⑴白色球与黄色球不相邻时，由插空法可得，排法共有662A 种， ⑵白色球与黄色球相邻时，依题意知，只能有一个白色球与一个黄色球相邻，其余白色球与黄色球均不相邻， ①选出一个白色球和一个黄色球捆绑，视为一个大元素，有112332A A A 种选法， ②将这个大元素及余下的白色球和黄色球插入到红色球序列中，共有55A 种方法，综上知，白色球与黄色球相邻时的排法共有11253325A A A A 种，∴()611256633256121225924A A A A A A P A +==． 10、整数n 使得多项式23)(3---=n nx x x f 可以表示为两个非常数整系数多项式的乘积，所有n 的可能值的和为．解析：依题意知()f x 至少可以分解出一个一次的整系数因式，故方程()0f x =必有一个有理根，设为pq ，其中{}1,3q ∈，(),1p q =，则33320p np n q q ---=，∴332332p q n pq q -=+，①当1q =时，3232533311p n p p Z p p -==-+-∈++， ∴11,5p +=±±，∴0246,,,22638130p p p p n n n n ==-==-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-===⎩⎩⎩⎩．②当3q =时，31839p n p -=+，∴3p ⎜，这与(),1p q =矛盾，方程无解．综上，2,26,38,130n =-，因此所有n 的可能值的和为192．二、解答题（共70分）11、（本题15分）已知：正方形ABCD 边长为1，点M 是边AD 的中点，以M 为圆心以AD 为直径作圆Γ，点E 在线段AB 上，且直线CE 与圆Γ相切．求：CBE ∆的面积．解：设直线CE 与圆Γ相切于点N ，联结ME ，MN ，MC在MNC Rt ∆和MDC Rt ∆中，MD MN =，MC MC =，所以MDC MNC ∆≅∆，故,1NMC DMC CN CD ∠=∠==．同理,EMN AME EN EA ∠=∠=． ∴︒=∠90EMC ．故MN 是EMC Rt ∆斜边上的高，∴2=MN EN NC ，∴41=EN ，∴41=AE ，43=BE ，∴CBE ∆的面积等于83． 12、（本题15分）已知9324+-n n 是素数，求正整数n 的所有可能值．解：9324+-n n )33(3)3(22+-++=n n n n ，所以1332=++n n 或1332=+-n n ，解得2,1=n ，将1=n ，2=n 带入检验均满足题意，所以1=n ，2=n 是所求． 13、（本题20分）已知d c b a ,,,都是区间]2,1[上的实数，求证：4|))()()((|abcda d d c cb b a ≤----．证明：4|))()()((|abcda d d c cb b a ≤---- 161)()()()(2222≤-⋅-⋅-⋅-⇔da a d cd d c bc c b ab b a ，由于21)(2≤-ab b a 0)21)2(2≤--⇔b a b a （，因为]2,1[,∈b a ，所以上式成立．同理21)(2≤-bc c b ，21)(2≤-cd d c ，21)(2≤-da a d ，将上面的4个不等式相乘就得到所要证明的不等式，其中当)1,2,1,2(),,,(=d c b a 或)2,1,2,1(时等号成立．14、（本题20分）设正整数1021,,,a a a 均不大于21，且每两个数的和不等于21．试求出所有满足条件的数组1021,,,a a a 的积1021a a a 的和．解：考察下列10个集合：{1,20}，}19,2{，…，11}{10，，分两种情况讨论：（1）如果任意i a )10,,2,1( =i 均不等于21，则每个集合}21,{i i -)10,,2,1( =i 中必有一个1021,,,a a a 中的数，于是所求的总和为1021)1110()192)(201(=+++= S ．EBA（2）如果其中某一个i a 等于21，则需要在9个集合}21,{i i -中各选一个数．假设不在{1,20}中选数，此时所求总和为1021)1110()192(21=++= S ．类似讨论其他9个集合．由（1）（2）知，所求的总和为102111⨯．。

山东省济南市山东师大附中2022-2023学年高一下学期数学竞赛选拔(初赛)试题

山东省济南市山东师大附中2022-2023学年高一下学期数学竞赛选拔（初赛）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．10千里B．12千里17．2023年是农历癸卯兔年，在中国幸福的象征，寓意福寿安康.故宫博物院的名画——《梧桐双兔图》，该绢本离地面194cm.小南身高160cm 最低点B最大，小南离墙距离S应为（以证明；(3)若对任意[]0,ln 2t Î，关于x 的方程()()sinh cosh t x a +=有解，求实数a 的取值范围.1234,,,BC d CD d DE d EF d ====，再求出到路口C ，D ，E ，F 的距离总和，比较大小作答.【详解】观察图形知，1234567,,,,,,A A A A A A A 七个公司要到中转站，先都必须沿小公路走到小公路与大公路的连接点，令1A 到B 、2A 到C 、3A 到D 、4A 到D 、5A 到E 、6A 到E 、7A 到F 的小公路距离总和为d ，1234,,,BC d CD d DE d EF d ====，路口C 为中转站时，距离总和12232324321234()()()53C S d d d d d d d d d d d d d d d d =++++++++++=++++，路口D 为中转站时，距离总和12233431234()()23D S d d d d d d d d d d d d d =+++++++=++++，路口E 为中转站时，距离总和123233341234()()24E S d d d d d d d d d d d d d d =++++++++=++++，路口F 为中转站时，距离总和12342343441234()()2()2245F S d d d d d d d d d d d d d d d d =++++++++++=++++，显然,C D F E D S S S S S >>>，所以这个中转站最好设在路口D .故选：B【点睛】思路点睛：涉及实际问题中的大小比较，根据实际意义设元，列式表示出相关量，再用不等式的相关性质比较即可.9．B所以(2,6][(3))(1),22k af x a a a a È+Î，则所以5229264a a ì<ïïíï³ïî或5(31)292224a a ì+£ïïíï>ïî，无解，由()0g x =可转化为()f x 与2b y =-交点横坐标函数有奇数个零点，由图知：6312b £-£+，此时共有9个零点，。

2023年山东省高二10月“山东学情”联考数学试卷(C)+答案解析

考试时间：120分2023年“山东学情”高二10月联合考试数学试题（C 卷）钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若直线l的一个方向向量为(2,-，则它的倾斜角为()A.30︒B.120︒C.60︒D.150︒2.已知直线1:10l mx y +-=，()2:4310l m x my -+-=，若12//l l ，则实数m 的值为()A.3B.1C.1或3D.0或133.已知空间四点()4,3,1A ,()2,1,3B ,()3,5,7-C ,()z D ,3,1-共面，则z 的值为（）A．1B．3C．11D．54．如图,四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是平行四边形，E 为PD 的三等分点⎪⎭⎫⎝⎛=31DP DE，若a DP =，b DA =,c DC =,则用基底{},,a b c表示向量BE 为（）A.c b a--32 B.c b a --31C.c b a -+31 D.c b a +-315.过点(1,2)P -的直线与圆C ：22(2)(1)5x y ++-=相切，则切线长为()A.B.C.D.6.222410x y x y ++-+=与圆224640x y x y +-++=的公切线有()A.1条B.2条C.3条D.4条7.直线20x y +-=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)(1)2x y ++-=上，则ABP ∆面积的取值范围是()A.[2,6]B.[1,5]C.D.8.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 1的中点，则（）A.直线CE //平面BD A 1B .1BD CE ⊥C.三棱锥CE B -C 11的体积为61D．直线E B 1与平面11C CDD 所成的角正切值为3二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省济南市山东师大附中2022-2023学年高一下学期数学竞赛选拔(初赛)试题

山东省济南市山东师大附中2022-2023学年高一下学期数学竞赛选拔（初赛）试题一、单选题1．已知“x ∃∈R ，21a x >-”为真命题，则实数a 的取值范围为（） A ．1a >-B ．1a >C ．1a <-D ．1a <2．已知集合{}12,,,n A a a a =L ，任取1,,,i j j k i k i j k n a a A a a A a a A ≤<<≤+∈+∈+∈中至少有一个成立，则n 的最大值为（） A ．3B ．5C ．7D ．93．已知全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,5A =，集合{}2B =，则集合()U B A ⋃=ð（） A ．{}0,2,3,4B ．{}0,3,4C ．{}2D ．∅4．已知关于x 的不等式2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫⎪⎝⎭，其中0m <，则44b a b +的最小值为（） A ．－2 B ．1C ．2D ．85．已知14a >，12b >，且22a b +=，则114121a b +--的最小值是（） A ．1B ．43C ．2D ．526．数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形ABC V 中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设AD a =，BD b =，用该图形能证明的不等式为（）．A ．)0,02a ba b +≥>> B ．)20,0aba b a b>>+C ．)0,02a b a b +≤>>D ．)220,0a b a b +≥>>7．当x ，()0,y ∈+∞时，422422417424x x y y mx x y y ++<++恒成立，则m 的取值范围是（） A ．()25,+∞ B ．()26,+∞ C ．99,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．()27,+∞8．某市一个经济开发区的公路路线图如图所示，粗线是大公路，细线是小公路，七个公司1234567,,,,,,A A A A A A A 分布在大公路两侧，有一些小公路与大公路相连.现要在大公路上设一快递中转站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和越小越好，则这个中转站最好设在（）A ．路口CB ．路口DC ．路口ED ．路口F9．已知二次函数()()2R , ,f x ax bx c a b c =++∈，满足：对任意实数x ，都有(x)x f ≥，且当(13),x ∈时，有()()2128f x x ≤+成立，又(2)0f -=，则b 为（） A ．1 B ．12C ．2D ．010．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()22f x f x -=+，且当,2[0x ∈]时，21,01()π2sin 1,122x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，若关于x 的方程()ln ||m x f x =至少有8个实数解，则实数m 的取值范围是（）A ．11,00,ln 6ln5⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦B ．11,ln 6ln5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．11,00,ln 6ln5⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11,ln 6ln5⎛⎫- ⎪⎝⎭ 11．已知实数a 、b ，满足536log 6log 25a =+，345a a b +=，则关于a 、b 下列判断正确的是（）A ．a ＜b ＜2B ．b ＜a ＜2C ．2＜a ＜bD ．2＜b ＜a12．数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords ，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点C 为半圆O 上一点，CH AB ⊥，垂足为H，记COB θ∠=，则由tan BHBCH CH∠=可以直接证明的三角函数公式是（）A ．sin tan21cos θθθ=-B ．sin tan21cos θθθ=+C ．1cos tan 2sin θθθ-=D ．1cos tan 2sin θθθ+=13．正割（Secant ）及余割（Cosecant ）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔·威发首先引入，sec ，csc 这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角中，定义正割1sec cos αα=，余割1csc sin αα=.已知函数()11sec csc f x x x=+，给出下列说法： ①()f x 的定义域为{}π,Z x x k k ≠∈；②()f x 的最小正周期为2π；③()f x 的值域为)()(11,1⎡--⎣U U ；④()f x 图象的对称轴为直线()ππZ 4x k k =-+∈.其中所有正确说法的序号为（）A ．②③B ．①④C ．③D ．②③④14．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生于1946年9月应普林斯顿大学邀请去美国讲学，之后又被美国伊利诺依大学聘为终身教授.新中国成立的消息使华罗庚兴奋不已，他放弃了在美国的优厚待遇，克服重重困难，终于回到祖国怀抱，投身到我国数学科学研究事业中去.这种赤子情怀，使许多年轻人受到感染､受到激励，其中他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比t =值，黄金分割比还可以表示成2sin18o的值为（）A ．-4B ．4C ．-2D ．215．相传早在公元前3世纪，古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了地球半径.厄拉多塞内斯选择在夏至这一天利用同一子午线（经线）的两个城市（赛伊城和亚历山大城）进行观测，当太阳光直射塞伊城某水井S 时，亚历山大城某处A 的太阳光线与地面成角82.8θ=o ，又知某商队旅行时测得A 与S 的距离即劣弧»AS 的长为5000古希腊里，若圆周率取3.125，则可估计地球半径约为（）A．35000古希腊里B．40000古希腊里C．45000古希腊里D．50000古希腊里16．中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了汉代，使用圭表有了规范，规定“表”为八尺长（1尺=10寸）．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”．记“表”的顶部为A，太阳光线通过顶部A投影到“圭”上的点为B．同一日内，甲地日影长是乙地日影长的56，记甲地中直线AB与地面所成的角为θ，且4sin5θ=．则甲、乙两地之间的距离约为（）A．10千里B．12千里C．14千里D．16千里17．2023年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中，兔被视为一种祥瑞之物，是活力和幸福的象征，寓意福寿安康.故宫博物院就收藏着这样一幅蕴含“吉祥团圆”美好愿景的名画——《梧桐双兔图》，该绢本设色画纵约176cm，横约95cm，其挂在墙壁上的最低点B离地面194cm.小南身高160cm（头顶距眼睛的距离为10cm），为使观赏视角θ最大，小南离墙距离S应为（）A ．B ．76cmC ．94cmD ．18．在计算机尚未普及的年代，人们在计算三角函数时常常需要查表得到正弦和余弦值，三角函数表的制作最早可追测到古希腊数学家托勒密．下面给出了正弦表的一部分，例如，通过查表可知212︒'的正弦值为0.0384，3054︒'的正弦值为0.5135，等等.则根据该表，416．5°的余弦值为（）A ．0.5461B ．0.5519C ．0.5505D ．0.573619．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a ，则sin 26aππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．12B ．12-CD．20．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l 与太阳天顶距()090θθ︒<<︒的对应数表，这是世界数学史上最早的一整正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度l 等于表高h 与太阳天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=，对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α、β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且()1tan 2αβ-=，则第二次“晷影长”是“表高”的（）倍． A ．1B ．23C ．52D ．7221．魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率π约等于355113，和π相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin52︒44cos 3.5sin 3.54︒+︒-的值约为（） A ．32- B ．132-C ．32D ．13222．数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的n 倍角公式，即()cos cos n nx T x =，()01T x =，()1T x x =，()2221T x x =-，()3343T x x x =-，()424881T x x x =-+，()53516205T x x x x =-+，…，则2cos 18︒=（）ABCD23．古希腊地理学家埃拉托色尼从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上）记为A ，夏至那天正午，阳光直射，立杆无影；同样在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亚历山大城记为B ，测得立杆与太阳光线所成的角约为7.2︒.他又派人测得A ，B 两地的距离»800AB =km ，平面示意图如图，则可估算地球的半径约为（）（π3.14≈）A ．7260kmB ．6870kmC ．6369kmD ．5669km24．五角星是非常美丽的，我们的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，因为在五角星中可以找到许多线段之间的长度关系是符合黄金分割比的，也就是说正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形.如图所示的五角星中PT BP、PTAP 、TE TB 等，已知五角星的顶角是36°，则利用上面信息可求得sin126︒=（）A B C D 25．顺德欢乐海岸摩天轮是南中国首座双立柱全拉索设计的摩天轮，转一圈21分钟，摩天轮的吊舱是球形全景舱，摩天轮最高点距离地面高度为99m ，转盘直径为90m ，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，则在转动一周的过程中，高度H 关于时间t 的函数解析式是（）A ．()()2ππ45sin 54021212H t t t ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭B ．()()2ππ45sin 54021212H t t t ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭C ．()()2ππ45cos 54021212H t t t ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭D ．()()2ππ45sin 54021212H t t t ⎛⎫=--+≤≤ ⎪⎝⎭二、多选题26．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的特征.如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点(3,A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t 秒后，水斗旋转到点P ，设点P 的坐标为(),x y ，其纵坐标满足()sin()y f t R t ωϕ==+（0t ≥，0ω>，π2ϕ<），则下列叙述正确的是（）A ．π3ϕ=-B ．当(]0,60t ∈时，函数()y f t =单调递增C ．当(]0,60t ∈时，()f t 的最大值为D ．当100t =时，6PA =27．中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影，到了汉代，使用圭表有了规范．规定“表”为八尺长（1尺＝10寸）．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化．也能用于丈量土地，同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”，记“表”的顶部为A ．太阳光线通过顶部A 投影到“圭”上的点为B ，已知甲、乙两地之间的距离约为20千里．若同一日内，甲地中直线AB 与地面所成的角为θ，且1tan 2θ=，则甲地日影长是乙地日影长的（）A ．89B ．78C ．87D ．9828．由倍角公式2cos 22cos 1x x =-，可知cos 2x 可以表示为cos x 的二次多项式．一般地，存在一个n （n *∈N ）次多项式()12012n n n n n P t a t a t a t a --=+++⋅⋅⋅+（012,,,n a a a a ⋅⋅⋅∈R ），使得()cos cos n nx P x =，这些多项式()n P t 称为切比雪夫（P ．L ．Tschebyscheff )多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（）A ．()3343P t t t =-+B ．()424881P t t t =-+C ．sin18︒=D ．cos18︒29．质点P 和Q 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的圆O 上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P 的角速度大小为2rad /s ，起点为圆O 与x 轴正半轴的交点；Q 的角速度大小为5rad /s ，起点为射线()0y x =≥与圆O 的交点．则当Q 与P 重合时，Q 的坐标可以为（）A ．2π2πcos ,sin 99⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ππcos ,sin 99⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．2π2πcos ,sin 99⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．ππcos ,sin 99⎛⎫- ⎪⎝⎭30．若()sin cos x x x x f x =-，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小正周期是2π B ．()f x 的对称轴方程为212k x ππ=-，()k ∈Z C ．存在实数a ，使得对任意的x R ∈，都存在125,01,2x x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且12x x ≠，满足()()()210k f x af x f x -+=⎡⎤⎣⎦，()1,2k =D ．若函数()()2g x f x b =+，250,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，（b 是实常数），有奇数个零点()12221,,,,N n n x x x x n +⋅⋅⋅∈，则()1232215023n n x x x x x π++++⋅⋅⋅++=三、解答题31．已知a ，b ，c 为三角形的三边．(1)2c ；(2)若c b a ≥≥a b c <++．32．已知定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x >时，()()21log 24f x x x =--+.(1)求函数()f x 的解析式； (2)判断函数()f x 的单调性；(3)若对任意的t ∈R ，不等式()()2340f mt f mt ++-<恒成立，求实数m 的取值范围.33．水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示．设水车（即圆周）的直径为3米，其中心（即圆心）O 到水面的距离b 为1.2米，逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒．水车边缘上一点P 距水面的高度为h （单位；米），水车逆时针旋转时间为t （单位：秒）．当点P 在水面上时高度记为正值；当点P 旋转到水面以下时，点P 距水面的高度记为负值．过点P 向水面作垂线，交水面于点M ，过点O 作PM 的垂线，交PM 于点N ．从水车与水面交于点Q 时开始计时（0=t ），设QON ∠ϕ=，水车逆时针旋转t 秒转动的角的大小记为α．(1)求h 与t 的函数解析式；(2)当雨季来临时，河流水量增加，点O 到水面的距离减少了0.3米，求∠QON 的大小（精确到1°）；(3)若水车转速加快到原来的2倍，直接写出h 与t 的函数解折式．（参考数据：π3π2πsin0.60,sin 0.80,sin 0.865105≈≈≈）34．设(,)P x y 是角θ的终边上任意一点，其中0x ≠，0y ≠，并记r =试卷第11页，共11页 cot x y θ=，sec r xθ=，csc r y θ=．（Ⅰ）求证222222sin cos tan cot sec +csc θθθθθθ+--+是一个定值，并求出这个定值；（Ⅱ）求函数()sin cos tan cot sec +csc f θθθθθθθ=++++的最小值．35．在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：()e e sinh 2x x x --=，双曲余弦函数：()e e cosh 2x xx -+=.（e 是自然对数的底数，e 2.71828=L ）.(1)计算()()2cosh 22cosh 1-的值；(2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：()cosh x y +=______，并加以证明；(3)若对任意[]0,ln 2t ∈，关于x 的方程()()sinh cosh t x a +=有解，求实数a 的取值范围.。