【会员独享】广东省执信中学高三数学上学期期末试题 理

2011-2012学年度高三级数学科期末考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。

2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

第一部分选择题(共40分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1、已知全集U =R ，集合{|021}xA x =<<，3{|log 0}B x x =>，则U ()A B =（ ）A. {|1}x x >B.{|0}x x >C.{|01}x x <<D. {|0}x x < 2、在∆ABC 中, “sin A >cos B ” 是“A +B >2π”成立的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件3、三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为( )A. 8B. 4C.4、已知随机变量X 服从正态分布(, 4)N a ，且(1)0.5P X >=，则实数a 的值为( )C. 2D.45、若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有( )A.120个B.80个C.40个D. 20个6、点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点(0,1)A -的距离与到直线1-=x 的距离和的最小值是 ( )2正视图7、右图给出的是计算1001614121++++ 的值的一个程序 框图,则判断框中应该填入的条件是 ( )A. i >98 B i ≤98. C. i ≤100 D. i >1008.已知满足条件122≤+y x 的点（x,y ）构成的平面区域面积为1S ，满足条件1][][22≤+y x 的点（x,y ）构成的平面区域的面积为2S , 其中][][y x 、分别表示不大于y x ,的最大整数，例如: [-0.4]=-1, [1.6]=1,则21S S 与的关系是A. 21S S <B. 21S S =C. 21S S >D. 321+=+πS S第二部分非选择题(共110分)二、填空题：本大题共7小题，考生作答6题，每小题5分，共30分。

（一）必做题（9~13题）9、已知i 是虚数单位，则复数23z i+2i 3i =+所对应的点落在复平面的第 ▲ 象限.40 50 60 70 80 90 体重(kg) 频率10、已知平面,,αβγ,直线,l m 满足:,,,αγγαγβ⊥==⊥m l l m ,那么①m β⊥；②l α⊥；③βγ⊥；④αβ⊥.可由上述条件可推出的结论有 ▲ (请将你认为正确的结论的序号都填上).11、从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重（单位：kg ）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知体重的平均值为 __▲ _kg ；若要从体重在[ 60 , 70），[70 ，80) ,[80 , 90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人选两人当正负队长，则这两人体重不在同一组内的概率为__▲ _ ．12、曲线233y x =-与x 轴所围成的图形面积为__▲ __ .13、已知函数2()(1)1f x ax b x b =+++-，且(0, 3)a ∈，则对于任意的b ∈R ，函数()()F x f x x =-总有两个不同的零点的概率是 ▲ .（二）选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）14、（几何证明选讲选做题）如图，PA 与圆O 相切点A，PCB 为圆O 的割线，并且不过圆心O ，已知30BPA ∠=，PA =1PC =，则PB = ▲ ；圆O 的半径等于 ▲ ．15、（坐标系与参数方程选讲选做题）曲线C ：cos 1,sin 1x y θθ=-⎧⎨=+⎩（θ为参数）的普通方程为 ▲ .三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16、（本小题满分12分）已知向量OP =(cos x ,sin x ),OQ =(-33sin x ,sin x )，定义函数f (x )=OP ·OQ .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当OP ⊥OQ 时，求锐角x 的值. 17、（本小题满分12分）甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为•••••••••O1()2p p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59．（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）设ξ表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ． 18、（本小题满分14分）如图，在,60,90ABC ABC BAC ∆∠=︒∠=︒中，AD 是BC 上的高，沿AD 把ABC ∆折起，使60.BDC ∠=︒（1）求证：平面ADB ⊥平面BDC ；（2）设E 为BC 的中点，求直线AE 与平面ABD 所成角的正弦值；19、（本小题满分14分）过双曲线2x 2-y 2=1上一点A (1,1)作两条动弦AB , AC ,且直线AB , AC 的斜率的乘积为3.(1)问直线BC 是否可与坐标轴垂直?若可与坐标轴垂直,求直线BC 的方程,若不与坐标轴垂直,试说明理由.(2)证明直线BC 过定点.20、（本小题满分14分）设函数()()ln ln 0,0f x x a x a a =->>且为常数. ⑴当1k =时，判断函数()f x 的单调性，并加以证明； ⑵当0k =时，求证：()0f x >对一切0x >恒成立；⑶若0k <，且k 为常数，求证：()f x 的极小值是一个与a 无关的常数. 21、（本小题满分14分）已知1()f x x =，且对任意的*n N ∈，(1)1n f =，且''1()()()n n n f x f x xf x +=+（1）求()n f x 的解析式； （2）设2()()(()1)n n n f x F x f x =+，求证：12(2)(2)(2)1n F F F +++<；（3）若01212()2()3()...+1()nn n n n n n g x C C f x C f x n C f x =++++（），是否存在实数x ，使得12()()...()(1)(1)nn g x g x g x n x +++=++，说明理由。

2011-2012学年度第一学期高三级数学（理）科期末考试答卷注意事项：1、本答卷为第二部分非选择题答题区。

考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在AB C D AE C D各题目指定区域内的相应位置上答题，超出指定区域的答案无效。

2、如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改二、填空题：9．； 10. ； 11. ；12. ；13. ； 14. ； 15、三、解答题二、填空题：9.三 ； 10.②④ ； 11. 5.6432 ； 12.4； 13.13； 14.12,7 ； 15.22(1)(1)1x y ++-= 16．解：(1)f (x )=-33sin x c os x+sin 2x ........................................ 2分=21-33(21sin2x +23cos2x ) =21-33sin(2x +3π), ...................... 4分37222,2321212k x k k x k πππππππππ+≤+≤++≤≤+即 f (x )的单调递增区间为7,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) ....................................... 8分 (2)当OP ⊥OQ 时，f (x )=0，即21-33sin(2x+3π)=0，sin(2x+3π ， ........................................ 10分又3π<2x +433ππ<,故2x +233ππ= ,故x= 6π........................................12分17. 解 （Ⅰ）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故225(1)9p p +-=， 解得13p =或23p =． 又12p >，所以23p =． …………………6分 （Ⅱ）依题意知ξ的所有可能取值为2，4，6．5(2)9P ξ==，5520(4)(1)9981P ξ==-⨯=， 52016(6)198181P ξ==--=，所以随机变量ξ的分布列为：所以ξ的数学期望2469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．………………12分 18.19. 解:令B (x 1, y 1),C (x 2, y 2).(1)当BC 与x 轴垂直时,有x 1=x 2, y 1= -y 2,故:3=112121212111111)1(2)1()1(2)1(11111x x x x x y x y x y -+=--=--=---⋅-- ⇒x 1=51,与|x 1|≥22矛盾.因此AB 不与x 轴垂直. ……………………. 3分当BC 与y 轴垂直时,有x 1= -x 2, y 1= y 2,故:3=112121212111111)1(21)1(21)1(1111y y y y x y x y x y +-=--=--=---⋅-- ⇒y 1= -51.因此AB 可与y 轴垂直, 此时AB 的方程为y= -51. ………… 5分(2)当BC 不与坐标轴垂直时, k AB ·k AC =11112211--⋅--x y x y =3,故3(x 1-1)(x 2-1)=(y 1-1)(y 2-1). ………① .............. 6分 令BC : y=kx+b ,代入双曲线方程有: 2x 2-(kx+b )2=1⇔(2-k 2)x 2-2kbx -b 2-1=0.………② x 1,x 2是方程②的两个实根.令f (x )= (2-k 2)x 2-2kbx -b 2-1, 则(x 1-1)(x 2-1)=222221222)1(kb kb k kf -----=-. ③ ……………….. 8分直线方程又可写成:x=kby -, 代入2x 2-y 2=1,有: 2(y -b )2-k 2y 2=k 2,整理得:(2-k 2)y 2-4by+2b 2-k 2=0. ………④ y 1,y 2是方程④的两个实根.令g (y )= (2-k 2)y 2-4by+2b 2-k 2. (y 1-1)(y 2-1)=.224222)1(2222kb b k kg -+--=- …⑤ ………………10分③,⑤两式代入①式,有:,224222)21(3222222k b b k k b kb k -+--=----故3[1-(k+b )2]=2[(b -1)2-k 2],从而:3(1-k -b )(1+k+b )=2(b -1-k )(b -1+k ). ……⑥ 因为点A (1,1)不在直线y=kx+b 上,故k+b ≠1. 利用⑥,可知: 3 (1+k+b )+ 2(b -1-k )=0, 即k+5b+1=0⇔.5151b k +⋅=-因此直线AB 过定点M ⎪⎭⎫ ⎝⎛-51,51. 直线y=-51也过定点M .综上所述,直线AB 恒过定点M ⎪⎭⎫ ⎝⎛-51,51. …………… 14分21．解：（1）'1()()()n n n f x f x xf x +=+，即'11()()()n n n f x f x xf x --=+，'''1()[()]n n f x xf x -∴= 1()()n n f x xf x a -∴=+ 令1x =，上式可化为1(1)(1)n n f f a -=+，(1)1,0n f a =∴=，11(),()n n n f x x f x x x x -=∴=⋅=（2）22()()(()1)(1)nn n nn f x x F x f x x ==++， 112112222211(2)2()(21)(21)(21)(21)(21)2121n n n n n n n n n n nF ----⋅⋅==<=-+++++++ 1201121111111(2)(2)...(2)2(...)212121212121n n n F F F -∴+++=-+-++-++++++ 112()1221n =-<+（3）01212()2()3()...()nn n n n n n g x C C f x C f x nC f x =++++=012223...n n n n n n C C x C x nC x ++++=()'01223123...n n n n n n C x C x C x nC x +++++()[]'011221123...(1)(1)(1)1(1)n nn n n n n n n x C C x C x nC x x nx x n x x --⎡⎤=++++=+++=+++⎣⎦设12()()()...()n n S x g x g x g x =+++则[]1()(21)(31)(1)...(1)1(1)n n S x x x x n x x -=+++++++++ …①[]2(1)()(21)(1)(31)(1)...(1)1(1)n n x S x x x x x n x x +=++++++++++…②① -②得1()(21)(1)...(1)[(1)1](1)n n n xS x x x x x x n x x --=++++++-+++1(1)[1(1)](21)[(1)1](1)11n n x x x x n x x x -+-+=++-+++--1(21)(1)[1(1)][(1)1](1)n n x x x n x x -=+-+-+-+++(1)[(1)1](1)(1)[1(1)1](1)(1)(1)n n n n n x x n x x x x n x x x x n x =++-+++=++-+-+=-++ 1(1)(1)n n S x n ∴=-+++∴不在实数x ，使得12()()...()(1)(1)n n g x g x g x n x +++=++。