二项分布、超几何分布、正态分布复习 通用精品课件
10.8超几何分布二项分布正态分布课件高三数学一轮复习
其中 n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，则 m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如 果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量 X 服从超几何分布．
(2)超几何分布的均值：设随机变量 X 服从超几何分布，则 X 可以解释为从包含 M 件
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
第八节 超几何分布、二项分布、正态分布
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
『知识聚焦』 1．超几何分布 (1)定义：一般地，假设一批产品共有 N 件，其中有 M 件次品，从 N 件产品中随机抽 取 n 件(不放回)，用 X 表示抽取的 n 件产品中的次品数，则 X 的分布列为
(1)用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的分布 列和数学期望；
(2)设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7： 30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率．
【解】 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到校
_____1_0________.
【解析】 由题意知 X＝2 表示取出的 4 件产品中 2 件次品，故 P(X＝2)＝CC23·41C0 27＝130.
4．小王通4过英语听力测试的概率是13，他连续测试 3 次，那么其中恰有 1 次获得通过 的概率是_____9_________．
【解析】 ＝49.
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈__□1_1__0_.6_8_2_7_____. ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈__□_1_2_0_.9_5_4_5_____.
10.6二项分布超几何分布与正态分布课件(42张)
1 x＝μ
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移， 如图(1)所示．
⑥当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ较小时，峰值高，曲线 “瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，峰值低，曲线 “矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图(2)所示．
X～N（μ，σ2）
μ
σ2
× √
√ √
2．(教材改编)鸡接种一种疫苗后，有90%不会感染某种病毒，如果
有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为( )
A．
B．
C．0.5
D．
答案：A
0.158 5
答案：B
5．(易错)已知随机变量X服从正态分布X～N(3，1)，且P(X>2c－1) ＝P(X<c＋3)，则c＝________．
第六节 二项分布、超几何分布与正态分布
必备知识·夯实双基
关键能力·题型突破
【课标标准】
1.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的 实际问题.
2.了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题. 3.了解服从正态分布的随机变量，了解正态分布的均值、方差及其 含义．
必备知识·夯实双基
望．
题后师说 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个 体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对 象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布． (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型， 其实质是古典概型．
巩固训练2
共享电动车是一种新的交通工具，通过扫码开锁，实现循环共 享．某校园旁停放了10辆共享电动车，这些电动车分为荧光绿和橙色 两种颜色，已知从这些共享电动车中任取1辆，取到的是橙色的概率 为P＝，若从这些共享电动车中任意抽取3辆．80正常Fra bibliotek超重 肥胖
二项分布_超几何分布_正态分布
高考总复习.理科.数学
8．3σ原则
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机 变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．
正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此 区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一 次试验中几乎不可能发生，这是统计中常用的假设检验方 法的基本思想．
高考总复习.理科.数学
解析(1)法一：记“取出的 2 个小球上的数字互不相同” 为事件 A，
∵从袋中的 6 个小球中任取 2 个小球的方法共有 C26种， 其中取出的 2 个小球上的数字互不相同的方法有 C23C12C12，
∴P(A)＝C23CC1226C12＝3×3×2×5 2＝45.
法二：记“取出的 2 个小球上的数字互不相同”的事件 记为 A，“取出的 2 个小球上的数字相同”的事件记为 B，则 事件 A 与事件 B 是对立事件．
令k＝n得，在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为P(ξ ＝n)＝Cpn(1－p)0 ＝pn.
高考总复习.理科.数学
3．超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品数，则事件 “X ＝ k” 发生的概率为： P(X ＝ k) ＝ CkM·CCnNnN－－kM，k＝0,1,2，…，m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N， M≤N，n，M，N∈N*，称分布列
高考总复习.理科.数学
正态分布 N(μ，σ2))是由均值 μ 和标准差 σ 唯一决定的分 布．
标准正态总体 N(0,1)在正态总体的研究中占有重要的地 位．
7．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(简称三个 基本概率值)
P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826； P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544； P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.
新人教版高中数学一轮复习二项分布、超几何分布、正态分布培优课件
( √ )
(3)n 重伯努利试验中各次试验的结果相互独立.
( √ )
(4)正态分布是对连续型随机变量而言的.
( √ )
10
目录
2.(2022 年新高考全国Ⅱ卷)已知随机变量 X 服从正态分布 N(2,σ2),且 P(2<X≤2.5)=0.36,则
P(X>2.5)= 0.14
.
[解析] 由题意可知,P(X>2)=0.5,故 P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-
A 发生的次数,则 X 的分布列为 P(X=k)=③
C pk(1-p)n-k
,k=0,1,2,…,n.
如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式,则称随机变量 X 服从二项分布,记作
④
X~B(n,p)
.
5
目录
二、两点分布与二项分布的均值、方差
1.若随机变量 X 服从两点分布,则 E(X)=p,D(X)=⑤
(k=0,1,2,3),
9 9
X 的分布列为
0
64
729
X
P
5
9
1
80
243
2
100
243
3
125
729
5
3
所以 E(X)=3× = .
25
目录
【讲练互动】
例3
考点二 超几何分布
(2023·芜湖模拟)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组
队参加.现有来自甲协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名,乙协会的运动员 5 名,其中种子
独立的;(3)该公式表示 n 次试验中事件 A 恰好发生了 k 次的概率.
上课124超几何分布与二项分布ppt课件
例 4：二十世纪 50 年代，日本熊本县水俣市的许多居民都患了运动失调、四肢麻木等 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 症状，人们把它称为水俣病．经调查发现一家工厂排出的废水中含有甲基汞，使鱼类受到 污染．人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类引起汞中毒． 引起世人对食品安全的关注．《中 华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过 1.00ppm．
ξ 可能的取值为 0，1，2，3，由 ξ～ B(3, 1) ， 3
其分布列如下：
ξ
0
1
2
3
P(ξ)
C
0 3
(
1) 3
0
(
2 3
)
3
C13
(
1 3Biblioteka )1(2 3)2
C
2 3
(
1 3
)
2
(
2 3
)1
C
3 3
(
1 3
)
3
(
2 3
)
0
由 ξ～ B(3, 1) ， 所以 Eξ=1. 3
条鱼，记 ξ 表示抽到的鱼汞含量超标的条数，求 ξ 的分布列及 Eξ.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
解：（I）记“15 条鱼中任选 3 条恰好有 1 条鱼汞含量超标”为事件 A
1求X的概率分布表； 2求去执行任务的同学中有男有女的概率.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
二项分布超几何分布与正态分布课件-2025届高三数学一轮复习
成绩
人数
[50，60)
5
[60，70)
5
[70，80)
15
[80，90)
25
[90，100]
10
(1)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名
学生考核优秀的概率；
(2)用分层抽样的方法，在考核成绩为[70，90)的学生中任取8人，再
从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在[80，90)的学生为X，求X
若P(a<ξ≤a＋1)＝0.3，且f(x)＝x2 －2ax＋6的最小值为－3，则P(ξ<2)
＝______．
答案：0.2
解析：因为f(x)＝x2－2ax＋6的最小值为－3，所以f(a)＝－a2＋6＝－3，
即a2＝9，又a>0，所以a＝3，
即根据正态分布的对称性，正态分布N(3，σ2)的正态密度曲线关于x＝3对称，
3
课堂互动探究案
1.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的
实际问题．
2．了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题．
3．了解服从正态分布的随机变量，了解正态分布的均值、方差及其
含义．
问题思考·夯实技能
【问题1】 “二项分布”与“超几何分布”有什么区别？
提示：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总
不低于10间的条件下，求这3家的品质型民宿的房间均不低于10间的
概率；
(2)从这8家中随机抽取4家，记X为抽取的这4家中普通型民宿的房间
不低于15间的家数，求X的分布列和数学期望．
题后师说
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个
高中数学总复习：二项分布、超几何分布与正态分布
协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参
加比赛.
目录
高中总复习·数学（提升版）
（1）设 A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手
来自同一个协会”，求事件 A 发生的概率；
22 32 ＋32 32
−
（ X ）＝ ·（1－ ）· .
−1
3. 对于正态分布 X ～ N （μ，σ2）， E （ X ）＝μ， D （ x ）＝σ2.
目录
高中总复习·数学（提升版）
1. 已知一盒子中有棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子.任意取出2粒，
若 X 表示取得白子的个数，则 X 的均值 E （ X ）＝
64
3
得 p ＝ ，则事件 A 恰好发生一次的概率为 31
4
×
3
3
9
2
×（1－ ） ＝ .
4
4
64
目录
高中总复习·数学（提升版）
4. 某产品有5件正品和3件次品混在了一起（产品外观上看不出有任何
区别），现从这8件产品中随机抽取3件，则取出的3件产品中恰有1
件是次品的概率为
15
28
.
解析：设取出的3件产品中次品的件数为 X ，3件产品中恰好有一件
1
位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 .
2
5
则质点 P 移动五次后位于点（2，3）的概率是 16 .
解析：由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移
动五次后位于点（2，3），所以质点 P 必须向右移动两次，向上移
新高考数学二项分布、超几何分布与正态分布精品课件
3. 超几何分布(1)定义:假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)= ,k=m,m+1,m+2,…,r,其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M},称随机变量X服从超几何分布. (2)特点:从含有M个特殊元素的N个元素中抽取n个元素,X表示其中的特殊元素的个数.(3)期望:E(X)= =np.
课前基础巩固
μ=0,σ=1
μ
σ2
课前基础巩固
③3σ原则如果X~N(μ,σ2),那么P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取 [μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.
课前基础巩固
③
[解析] 服从超几何分布的随机变量表示的是取出特殊元素的个数,由此可知③服从超几何分布.
5. 已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,则P(0<X<2)等于 .
课前基础巩固
0.3
[解析] 因为P(X<4)=0.8,所以P(X≥4)=0.2.由题意知正态曲线的对称轴为直线x=2,所以P(X≤0)=P(X≥4)=0.2,所以P(0<X<4)=1-P(X≤0)-P(X≥4)=0.6,所以P(0<X<2)=P(0<X<4)=0.3.
X
0
1
2
3
4
P
[总结反思] 二项分布满足的条件:①在每次试验中,事件发生的概率都是相同的(题目中有“将频率视为概率”时,每次试验概率就是相同的);②各次试验中的事件是相互独立的;③每次试验只有两种结果,事件要么发生,要么不发生;④随机变量是这n重伯努利试验中事件发生的次数.
课件1：4.2.3 二项分布与超几何分布（一）
k＝0,1，…，n，因此 X 的分布列如下表所示．
X0
1 …k…n
P C0np0qn C1np1qn－1 … Cknpkqn－k … Cnnpnq0
注意到上述 X 的分布列第二行中的概率值都是二项展开
式
(q
＋
p)n
[跟进训练] 2．9 粒种子分种在 3 个坑内，每坑放 3 粒，每粒种 子发芽的概率为 0.5，若一个坑内至少有 1 粒种子 发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都 没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种 一次，求需要补种坑数的分布列．
[解] 因为单个坑内的 3 粒种子都不发芽的概率为123＝18， 所以单个坑不需要补种的概率为 1－18＝78. 设需要补种的坑数为 X，则 X 的可能取值为 0,1,2,3， 这是 3 次独立重复试验， P(X＝0)＝C03×180×783＝354132， P(X＝1)＝C13×181×782＝154172，
()
(3)二项分布可以看作是有放回抽样．
()
(4)n 次独立重复试验中，每次试验的条件可以略有不同．
()
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．若 X～B(10,0.8)，则 P(X＝8)等于( )
A．C810×0.88×0.22
B．C810×0.82×0.28
C．0.88×0.22
D．0.82×0.28
[解] (1)由题意知，ξ 的可能取值为 0,1,2,3，且 p(ξ＝0)＝C031－233＝217， P(ξ＝1)＝C13231－322＝92， P(ξ＝2)＝C232321－32＝49， P(ξ＝3)＝C33233＝287.
第九章第7讲 二项分布、超几何分布及正态分布
第7讲 二项分布、超几何分布及正态分布[学生用书P207])1．事件的相互独立性(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )·P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质：①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A )，P (AB )＝P (A )·P (B )． ②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立． 2．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，A i (i ＝1，2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．(2)二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率是p ，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率，在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0，1，2，…，n )． (3)二项分布的均值与方差若随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，即X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．3．超几何分布(1)定义：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －M C nN，k ＝0，1，2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，即如果随机变量X 的分布列具有下表形式则称随机变量X 服从超几何分布． (2)均值若X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布，则E (X )＝nMN ．4．正态曲线的特点(1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； (3)曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π； (4)曲线与x 轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．1．辨明两个易误点(1)两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．(2)运用公式P (AB )＝P (A )P (B )时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A 、B 相互独立时，公式才成立．2．理解事件中常见词语的含义(1)A ，B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ； (2)A ，B 都发生的事件为AB ； (3)A ，B 都不发生的事件为A － B －； (4)A ，B 恰有一个发生的事件为A B －∪A －B ； (5)A ，B 至多一个发生的事件为A B －∪A －B ∪A － B －. 3．正态分布的三个常用数据 (1)P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682 7； (2)P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)≈0.954 5； (3)P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)≈0.997 3.1．若事件E 与F 相互独立，且P (E )＝P (F )＝14，则P (EF )的值等于( )A ．0B ．116C.14 D ．12[答案] B2．已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)．若P (X >2)＝0.023，则P (－2≤X ≤2)＝( ) A ．0.477 B ．0.628 C ．0.954D ．0.977C [解析] 因为μ＝0，所以P (X >2)＝P (X <－2)＝0.023， 所以P (－2≤X ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.3．(2015·高考全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312A [解析] 3次投篮投中2次的概率为P (X ＝2)＝C 23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P (X ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.4.教材习题改编 抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________．[解析] 抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现5点和6点时的概率为46×46＝49，所以至少有一次出现5点或6点的概率为1－49＝59，用X 表示10次试验中成功的次数，则X ～B ⎝⎛⎭⎫10，59，E (X )＝10×59＝509.[答案]5095.教材习题改编 国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙去北京旅游的概率为14，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．[解析] 记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A ，“乙去北京旅游”为事件B ，又P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝[1－P (A )][1－P (B )]＝⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14＝12， 甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游，故所求概率为1－P (A － B －)＝1－12＝12.[答案] 12相互独立事件的概率[学生用书P 208][典例引领](2016·高考山东卷节选)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望E (X )．【解】 由题意，随机变量X 可能的取值为0，1，2，3，4，6. 由事件的独立性与互斥性，得 P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×(34×13×14×13＋14×23×14×13)＝10144＝572， P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112.P (X ＝4)＝2×(34×23×34×13＋34×23×14×23)＝60144＝512，P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14.可得随机变量X 的分布列为所以数学期望E (X )＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．(3)代入概率的积、和公式求解．(2017·开封市第一次模拟)某生物产品，每一个生产周期成本为20万元，此产品的产量受气候影响、价格受市场影响均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X 表示1个生产周期此产品的利润，求X 的分布列；(2)连续3个生产周期，求这3个生产周期中至少有2个生产周期的利润不少于10万元的概率．[解] (1)设A 表示事件“产品产量为30吨”，B 表示事件“产品市场价格为0.6万元/吨”，则P (A )＝0.5，P (B )＝0.4，因为利润＝产量×市场价格－成本， 所以X 的所有值为50×1－20＝30，50×0.6－20＝10， 30×1－20＝10，30×0.6－20＝－2，则P (X ＝30)＝P (A －)P (B －)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P (X ＝10)＝P (A －)P (B )＋P (A )P (B －)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝－2)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2， 则X 的分布列为(2)设C i 表示事件“第i 个生产周期的利润不少于10万元”(i ＝1，2，3)，则C 1，C 2，C 3相互独立，由(1)知，P (C i )＝P (X ＝30)＋P (X ＝10)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1，2，3)，连续3个生产周期的利润均不少于10万元的概率为P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512，连续3个生产周期中有2个生产周期的利润不少于10万元的概率为P (C 1C －2C 3)＋P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C 2C －3)＝3×0.82×0.2＝0.384，所以连续3个生产周期中至少有2个生产周期的利润不少于10万元的概率为0.512＋0.384＝0.896.独立重复试验与二项分布(高频考点)[学生用书P 209]独立重复试验与二项分布是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，试题难度稍大，多为中高档题目．高考对独立重复试验与二项分布的考查主要有以下两个命题角度： (1)已知二项分布，求二项分布列及均值；(2)已知随机变量服从二项分布，求某种情况下的概率．[典例引领](2017·沈阳质量监测)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的分布列及数学期望． 【解】 (1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为A ，则事件A 包括：该节目可以获两张“获奖”票，或者获三张“获奖”票．因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响， 所以P (A )＝C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫231＋C 33⎝⎛⎭⎫133＝727.(2)所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫133＝127；P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫231⎝⎛⎭⎫132＝627＝29； P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫131＝1227＝49；P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫233＝827. 因此X 的分布列为所以X 的数学期望为EX ＝0×127＋1×627＋2×1227＋3×827＝2.(1)独立重复试验满足的条件独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)二项分布满足的条件①每次试验中，事件发生的概率是相同的． ②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． ④随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．[题点通关]角度一 已知二项分布，求二项分布列及均值1．小王在某社交络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个． (1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个．记乙所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列和期望．[解] (1)设“甲恰得1个红包”为事件A ，则P (A )＝C 12×13×23＝49.(2)X 的所有可能取值为0，5，10，15，20. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫233＝827， P (X ＝5)＝C 12×13×⎝⎛⎭⎫232＝827，P (X ＝10)＝⎝⎛⎭⎫132×23＋⎝⎛⎭⎫232×13＝627， P (X ＝15)＝C 12×⎝⎛⎭⎫132×23＝427，P (X ＝20)＝⎝⎛⎭⎫133＝127. 所以X 的分布列为E (X )＝0×827＋5×827＋10×627＋15×427＋20×127＝203.角度二 已知随机变量服从二项分布，求某种情况 下的概率2．设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥2)的值为( )A.3281 B ．1127C.6581D ．1681B [解析] 因为随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，又P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－(1－p )2＝59，解得p ＝13，所以Y ～B ⎝⎛⎭⎫4，13，则P (Y ≥2)＝1－P (Y ＝0)－P (Y ＝1)＝1127.超几何分布[学生用书P209][典例引领](2017·云南省第一次统一检测)某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛．(1)设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A ，求事件A 的概率P (A )；(2)设X 为选出的4人中女生的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．【解】 (1)由已知，得P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以事件A 的概率为635.(2)由题意知，X 服从超几何分布， 随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4.由已知得P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3C 48(k ＝1，2，3，4)．所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52.超几何分布的特点(1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出．(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．一个袋中有大小相同的黑球和白球共10个．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．[解] (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－xC 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个．(2)X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝3，P (X ＝k )＝C k 5C 3－k 5C 310，k ＝0，1，2，3.于是可得其分布列为则E (X )＝0×112＋1×512＋2×512＋3×112＝32.正态分布[学生用书P210][典例引领](1)(2017·长春质检)已知随机变量X 服从正态分布N (1，σ2)，若P (X ＞2)＝0.15，则P (0≤X ≤1)＝( )A ．0.85B ．0.70C ．0.35D ．0.15(2)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈68.27%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)≈95.45%)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%【解析】 (1)P (0≤X ≤1)＝P (1≤X ≤2)＝0.5－P (X ＞2)＝0.35.(2)由正态分布的概率公式知P (－3＜ξ＜3)≈0.682 7，P (－6＜ξ＜6)≈0.954 5，故P (3＜ξ＜6)＝P （－6＜ξ＜6）－P （－3＜ξ＜3）2＝0.954 5－0.682 72＝0.135 9＝13.59%，故选B ．【答案】 (1)C (2)B正态分布下的概率计算常见的两类问题(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，及曲线与x 轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．[通关练习]1．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12，则μ等于________．[解析] 根据题意，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ<0，即ξ>4，根据正态曲线的对称性，当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12时，μ＝4.[答案] 42．(2017·福建省毕业班质量检测)若随机变量X ～N (μ，σ2)，且P (X >5)＝P (X <－1)＝0.2，则P (2<X <5)＝________．[解析] 因为随机变量X ～N (μ，σ2)，所以正态曲线关于直线x ＝μ对称．又P (X >5)＝P (X <－1)＝0.2，所以μ＝5－12＝2，所以P (2<X <5)＝P (X >2)－P (X >5)＝0.5－0.2＝0.3.[答案] 0.3[学生用书P210])——离散型随机变量的综合问题(本题满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．[思维导图](1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}， A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意知A 1与A 2相互独立，A 1A 2与A 1 A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A 2＋A 1A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，(2分)所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，(3分)P (B 2)＝P (A 1A 2＋A 1A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2) ＝P (A 1)(1－P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2) ＝25×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－25×12＝12.(5分) 故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.(6分)(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15.(7分) 于是P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150⎝⎛⎭⎫453＝64125，P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫151⎝⎛⎭⎫452＝48125，P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152⎝⎛⎭⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153⎝⎛⎭⎫450＝1125.(10分) 故X 的分布列为(11分)X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35.(12分)(1)解答此类问题，应注意答题要求，严格按照题目及相关知识的要求答题．(2)注意分布列要用表格的形式列出来，不要认为求出各个相应的概率就结束了．[学生用书P376(独立成册)]1．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一个发生的概率是( )A.512 B ．12C.712D ．34C [解析] 依题意，得P (A )＝12，P (B )＝16，且事件A ，B 相互独立，则事件A ，B 中至少有一个发生的概率为1－P (A －·B －)＝1－P (A －)·P (B －)＝1－12×56＝712，故选C.2．已知⎝⎛⎭⎫1x 2＋x 64展开式中的常数项为a ，且X ～N (1，1)，则P (3<X <a )＝( ) (附：若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)≈68.27%，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)≈95.45%，P (μ－3σ<X <μ＋3σ)≈99.73%)A ．0.043B ．0.021 4C ．0.341 3D ．0.477 2B [解析] 因为⎝⎛⎭⎫1x 2＋x 64展开式中的常数项为a ，所以a ＝C 14⎝⎛⎭⎫1x 23x 6＝4.因为X ～N (1，1)，所以正态曲线关于直线x ＝1对称，因为P (－1<X <3)＝P (1－2<X <1＋2)≈95.45%，P (－2<X <4)＝P (1－3<X <1＋3)≈99.73%，所以P (3<X <4)＝12[P (－2<X <4)－P (－1<X <3)]＝12(99.73%－95.45%)＝0.021 4，故选B ．3．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________．[解析] 记不发芽的种子数为Y ，则Y ～B (1 000，0.1)，所以E (Y )＝1 000×0.1＝100.又X ＝2Y ，所以E (X )＝E (2Y )＝2E (Y )＝200. [答案] 2004．(2017·贵州省七校第一次联考)在某校2016年高三11月月考中理科数学成绩X ～N (90，σ2)(σ＞0)，统计结果显示P (60≤X ≤120)＝0.8，假设该校参加此次考试的有780人，那么试估计此次考试中，该校成绩高于120分的有________人．[解析] 因为成绩X ～N (90，σ2)，所以其正态曲线关于直线x ＝90对称．又P (60≤X ≤120)＝0.8，由对称性知成绩在120分以上的人数约为总人数的12(1－0.8)＝0.1，所以估计成绩高于120分的有0.1×780＝78人．[答案] 785．(2016·高考天津卷)某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．[解] (1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13. 所以事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715， P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415.所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×415＋1×715＋2×415＝1.6．为督导学校课外选修课的开展情况，某市教育督导部门从一所高中的四个选修专业中利用分层抽样的方法选出了14名学生进行调查，已知样本中各专业学生人数如下表：(1)若从这14名学生中随机选出两名，求这两名学生来自同一选修专业的概率； (2)现要从这14名学生中随机选出两名学生参加座谈，设其中来自剪纸专业的人数为X ，令Y ＝2X －1，求随机变量Y 的分布列及数学期望E (Y )．[解] (1)设“两名学生来自同一选修专业”为事件A ，则P (A )＝C 22＋C 23＋C 24＋C 25C 214＝2091.故两名学生来自同一选修专业的概率为2091.(2)因为剪纸专业有3人，非剪纸专业有11人，所以来自剪纸专业的人数X 服从超几何分布H (14，2，3)．则X 的所有可能取值是0，1，2，其中P (X ＝i )＝C i 3C 2－i11C 214(i ＝0，1，2)，对应的Y 的所有可能取值为－1，1，3.则P (Y ＝－1)＝P (X ＝0)＝C 03C 211C 214＝5591；P (Y ＝1)＝P (X ＝1)＝C 13C 111C 214＝3391；P (Y ＝3)＝P (X ＝2)＝C 23C 011C 214＝391.所以Y 的分布列为所以E (Y )＝(－1)×5591＋1×3391＋3×391＝－17.7．(2017·石家庄市第一次模考)某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员到篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：(1)依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数； (2)在某场比赛中，考察他前4次投篮命中时到篮筐中心的水平距离的情况，并且规定：运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离不少于4米的记1分，否则扣掉1分．用随机变量X 表示第4次投篮后的总分，将频率视为概率，求X 的分布列和数学期望．[解] (1)设该运动员到篮筐中心的水平距离的中位数为x ，因为0.20×1＝0.20<0.5，且(0.40＋0.20)×1＝0.6>0.5， 所以x ∈(4，5)．由0.40×(5－x )＋0.20×1＝0.5，解得x ＝4.25，所以该运动员到篮筐中心的水平距离的中位数是4.25米．(2)由频率分布直方图可知投篮命中时到篮筐中心距离超过4米的概率为P ＝35，随机变量X 的所有可能取值为－4，－2，0，2，4. P (X ＝－4)＝⎝⎛⎭⎫254＝16625， P (X ＝－2)＝C 14⎝⎛⎭⎫253⎝⎛⎭⎫351＝96625，P (X ＝0)＝C 24⎝⎛⎭⎫252⎝⎛⎭⎫352＝216625， P (X ＝2)＝C 34⎝⎛⎭⎫251⎝⎛⎭⎫353＝216625， P (X ＝4)＝⎝⎛⎭⎫354＝81625， 所以X 的分布列为E (X )＝(－4)×16625＋(－2)×96625＋0×216625＋2×216625＋4×81625＝45.8．在2016年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题．规定：至少正确回答其中2题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为23，且每题正确回答与否互不影响．(1)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的通过能力．[解] (1)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为ξ，η，则ξ的可能取值为1，2，3，P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝3)＝C 34C 02C 36＝15，所以考生甲正确回答题数的分布列为E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.又η～B ⎝⎛⎭⎫3，23，其分布列为所以E (η)＝np ＝3×23＝2.(2)因为D (ξ)＝(2－1)2×15＋(2－2)2×35＋(2－3)2×15＝25，D (η)＝np (1－p )＝3×23×13＝23，所以D (ξ)<D (η)．因为P (ξ≥2)＝35＋15＝0.8，P (η≥2)＝1227＋827≈0.74，所以P (ξ≥2)>P (η≥2)．从回答对题数的数学期望考查，两个水平相当；从回答对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲通过的可能性大．因此可以判断甲的通过能力较强．9．(2017·湖南衡阳一中月考)上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为1或2的人去淘宝购物，掷出点数大于2的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝和京东商城中选择一家购物．(1)求这4个人中恰有2人去淘宝购物的概率；(2)用X ，Y 分别表示这4个人中去淘宝购物的人数和去京东商城购物的人数，求这4个人中去淘宝购物的人数大于去京东商城购物的人数的概率；(3)记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列与数学期望E (ξ)．[解] (1)每个人去淘宝购物的概率都为13，去京东商城购物的概率都为1－13＝23，这4个人中恰有2人去淘宝购物的概率为C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫1－132＝827. (2)由题意可知X ～B (4，p )⎝⎛⎭⎫其中p ＝13， 则P (X ＝k )＝C k 4p k (1－p )4－k(k ＝0，1，2，3，4)， 这4个人中去淘宝购物的人数大于去京东商城购物的人数的概率为P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝19. (3)ξ可取0，2，4，P (ξ＝0)＝P (X ＝2)＝827，P (ξ＝2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (X ＝0)＋P (X ＝4)＝1781.所以随机变量ξ的分布列为E (ξ)＝14881.10．云南省2016年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100 000名高中男生的身高服从正态分布N (170.5，16)．现从云南省某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5 cm 和187.5 cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[157.5，162.5)，第2组[162.5，167.5)，…，第6组[182.5，187.5]，如图是按上述分组方式得到的频率分布直方图．(1)试评估该校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况； (2)求这50名男生身高在177.5 cm 以上(含177.5 cm)的人数；(3)从这50名男生身高在177.5 cm 以上(含177.5 cm)的人中任意抽取2人，该2人中身高排名(从高到低)在全省前135名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若ξ～N (μ，σ2)，则 P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 7， P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5， P (μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.[解] (1)由频率分布直方图知，该校高三年级男生平均身高为160×0.1＋165×0.2＋170×0.3＋175×0.2＋180×0.1＋185×0.1＝171.5(cm)，该校高三年级男生的平均身高高于全省高中男生身高的平均值170.5(cm)．(2)由频率分布直方图知，后两组频率和为0.2，所以人数和为0.2×50＝10，即这50名男生中身高在177.5 cm 以上(含177.5 cm)的人数为10.(3)因为P (170.5－3×4<ξ≤170.5＋3×4)≈0.997 3， 所以P (ξ≥182.5)＝1－0.997 32＝0.001 35，又0.001 35×100 000＝135.所以身高在182.5 cm 以上(含182.5 cm)的高中男生可排进全省前135名．因为该校这50名男生中身高在182.5 cm 以上(含182.5 cm)的有5人，身高在177.5 cm 以上(含177.5 cm)的有10人，随机变量ξ可取0，1，2，于是P (ξ＝0)＝C 25C 210＝1045＝29，P (ξ＝1)＝C 15C 15C 210＝2545＝59，P (ξ＝2)＝C 25C 210＝1045＝29.所以E (ξ)＝0×29＋1×59＋2×29＝1.。
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P(ξ＝4)＝C13·23·312·23＝247，
P(ξ＝5)＝C14·32313＋314＝19. 故 ξ 的分布列为
ξ2 3 4 5
P
4 9
8 27
4 27
1 9
正态分布的概率计算
某年级1班的一次数学考试成绩近似服从正态分布 N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，(1)若该年级1班 有60个学生，求该班成绩不及格的人数．(2)求该班成绩在 80～90分的学生人数．(3)该班甲同学的成绩是92分，他大 约能排在班上前多少名(名次按高分排前的原则)?
3．超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品数，则事件 “ X ＝ k” 发生的概率为： P(X ＝ k) ＝ CkM·CCnNnN－－kM，k＝0,1,2，…，m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N， M≤N，n，M，N∈N*，称分布列
为超几何分布列，如果随机变量 X 的分布列为超几何分 布列，则称离散型随机变量 X 服从超几何分布．
4．正态分布密度函数 φμ，σ(x)＝ 21πσe－x－2σμ2 2，(σ＞0，x∈(－∞，＋∞)) 其中 π 是圆周率；e 是自然对数的底；x 是随机变量的取 值；μ 为正态分布的均值；σ 是正态分布的标准差．正态分布 一般记为 N(μ，σ2)．
5．正态曲线 函数 φμ，σ(x)＝ 21πσe－x－2σμ2 2，(x∈(－∞，＋∞)，实数 μ 和 σ(σ＞0)为参数)，的图象为正态分布密度曲线，简称正态 曲线．
题型展示台
(2009 年辽宁卷)某人向一目标射击 4 次，每次击中目标 的概率为13.该目标分为 3 个不同的部分，第一、二、三部分面 积之比为 1∶3∶6，击中目标时，击中任何一部分的概率与其 面积成正比．
8 95
1 285
变式探究
1．(2009年德州模拟)袋中装着标有数字1,2,3的小球各2个， 从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等． (1)求取出的2个小球上的数字互不相同的概率； (2)用ξ表示取出的2个小球上的数字之和，求随机变量ξ的概率 分布．
解析(1)法一：记“ 取出的 2 个小球上的数字互不相同” 为事件 A，
8．3σ原则
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机 变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．
正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此 区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一 次试验中几乎不可能发生，这是统计中常用的假设检验方 法的基本思想．
12 A.125
16 B.125
48 C.125
96 D.125
解析：概率为 C2354251＝14285. 答案：C
课堂互动探究
超几何分布模型的概率计算
一个盒子中装有16个白球和4个黑球，从中任意取出3个， 设ξ表示其中黑球的个数，求ξ的分布列．
分析：这是一个超几何分布模型，其中 N＝20, M＝4, n ＝3，利用 P(ξ＝m)＝CmM·CCnNnN－－mM求解．
P(ξ＝4)＝C12×25×35×25＋533＝15215；
P(ξ＝5)＝C13×25×532×25＋C23352×25×35＝267205＝15245. ξ 的分布列为
ξ3 4 5
P
4 25
51 125
54 125
变式探究
2．(2009年泰州期末)在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法 引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐．已知只有5发子弹备 用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功， 每次射击命率都是 2 ，每次命中与否互相独立．
6．“小概率事件”和假设检验的基本思想 “小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件， 认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．这种认识便 是进行推断的出发点．关于这一点我们要有以下两个方面的 认识：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验” 来说的，
因为试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我 们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时， 我们也有5%的犯错误的可能．进行假设检验一般分三步： 第一步，提出统计假设．如课本例子里的统计假设是这个工 人制造的零件尺寸服从正态分布N(μ，σ2)； 第二步，确定一次试验中的取值a是否落入范围(μ－3σ，μ＋ 3σ)； 第三步，做出推断．如果a∈(μ－3σ，μ＋3σ)，接受统计假设； 如果a∉(μ－3σ，μ＋3σ)，由于这是小概率事件，就拒绝统计 假设．
(2)成绩在(80,90]的学生比例为： 12[P(70－2×10＜X≤70＋2×10)－0.6826] ＝12(0.9544－0.6826)＝0.1359， ∴该班成绩在(80,90]的学生人数约为 0．1359×60＝8.25≈8(人)． (3)∵92＞90＝70＋2×10， 而 P(70－2×10＜X≤70＋2×10)＝0.9544 0．9544×60≈57，12(60－57)＝32≈2，故甲某该次成绩应 排在班上前 2 名．
解析：设该班每个学生该次数学成绩为随机变量X， X～N(70,102)，则μ＝70，σ＝10， 成绩在(60,80]内的学生比例为： P(70－10＜X≤70＋10)＝0.6826， ∴不及格的学生的比例为(1－0.6826)＝0.1587， ∴该班不及格的学生人数约为 0．1587×60＝8.522≈9(人)．
∵P(B)＝CC2613＝135＝15， ∴P(A)＝1－P(B)＝45.
(2)由题意，ξ 所有可能的取值为：2,3,4,5,6.
P(ξ＝2)＝CC2622＝115，P(ξ＝3)＝CC12C26 12＝145， P(ξ＝4)＝C22＋CC62 21C12＝155， P(ξ＝5)＝CC12C26 12＝145，P(ξ＝6)＝CC2622＝115.
3．注意不同背景下的超几何分布模型，用超几何模型的概率 公式计算．
4．n 次独立重复试验中某事件 A 发生 k 次的概率 P(ξ＝
k)＝Cknpk(1－p)n－k 正好是二项式[(1－p)＋p]n 的展开式的第 k
＋1 项． 5．对正态分布的问题关键是抓住两个参数μ和σ，理
解两个参数的实际意义，再利用三个基本概率值就能解决有 关的计算问题．
3
(1)求油罐被引爆的概率．
(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的 分布列．
解析：(1)记“油罐被引爆”为事件 A，其对立事件为－A ， 则 P(－A )＝C1532314＋135，
∴P(A)＝1－C15·23134＋135＝223423. (2)射击次数 ξ 的可能取值为 2,3,4,5， P(ξ＝2)＝322＝49， P(ξ＝3)＝C12·23·13·23＝287，
基础自测
1．若 X～B(10,0.8)，则 P(X＝8)＝( )
A．C810×0.88×0.22 C．0.88×0.22
B．C810×0.82×0.28 D ．0.82×0.28
答案：A
2．(2008 年福建卷)某一批花生种子，如果每 1 粒发芽的
概率为45，那么播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是( )
(1) 求中国女排取胜的概率； (2)设决赛中比赛总的局数为 ξ，求 ξ 的分布列．
解析：(1)中国女排取胜的情况有两种： ①中国女排连胜三局； ②中国女排在第 2 局到第 4 局中赢两局，且第 5 局赢． 故中国女排取胜的概率为 P＝533＋C23532×25×35 ＝12275＋166225＝269275.故所求概率为269275. (2)设比赛局数为 ξ 其所有可能取值为 3,4,5.则 P(ξ＝3)＝522＝245；
ξ0
1 … k …n
P
C0n
C1np1qn－ … Cknpkqn－ …Cnnp0qn Nhomakorabea1
k
pnq0
我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n、 p为参数，p叫成功概率．
令k＝0得，在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为P(ξ ＝0)＝Cp0(1－p)n ＝(1－p)n，
令k＝n得，在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为P(ξ ＝n)＝Cpn(1－p)0 ＝pn.
变式探究
3．革命老区某村1000个农民2008年的每月平均收入服从正态 分布N(650, 625)(单位：元)，估计该村农民月收入在600元以 下的人数．
解 析 ： 由 μ ＝ 650 ， σ ＝ 25 ， 又 由 于 P(μ － 2σ ＜ X≤μ ＋ 2σ) ＝ 0.9544，所以月收入在600～700的概率为0.9544，从而月收 入 在 600 元 以 下 的 概 率 为 ： (1 － 0.9544)/2 ＝ 0.0228,1000×0.0228≈23. 估计该村农民月收入在600元以下 的有23人．
第十三章 概率与统计
第六节 二项分布、超几何分布、正态分布
课前自主学案
知识梳理
1．独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 2．二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重 复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ＝k)＝Cpkqn－k.其 中k＝0,1，…，n，q＝1－p， 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
正态分布 N(μ，σ2))是由均值 μ 和标准差 σ 唯一决定的分 布．
标准正态总体 N(0,1)在正态总体的研究中占有重要的地 位．
7．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(简称三个 基本概率值)
P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826； P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544； P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.
标准正态曲线：当 μ＝0、σ＝1 时，正态总体称为标准正 态总体，其相应的函数表示式是 f(x)＝ 12πe－x22，(－∞＜x＜ ＋∞)
其相应的曲线称为标准正态曲线. 6．正态分布 如果对于任何实数 a＜b，随机变量 X 满足 P(a＜X≤b) ＝ baφμ，σ(x)dx，则称 X 的分布为正态分布，参数 μ 表示 随机变量 X 的均值，参数 σ 表示随机变量 X 的标准差， 记作：X～N(μ，σ2)．其中 N(0,1)称为标准正态分布.