赵玉苗编高中数学必修一优秀例题及练习荟萃

赵玉苗编高中数学必修一优秀例题及练习荟萃
1 集合M ={x |x =
42π
+kx ,k ∈Z },N ={x |x =
42k ππ+,k ∈Z },则( ) A M =N B M N C M N D M ∩N =∅
2 已知集合A ={x |－2≤x ≤7},B ={x |m +1<x <2m －1}且B ≠∅,若A ∪B =A ，则( )
A －3≤m ≤4
B －3<m <4
C 2<m <4
D 2<m ≤4
3 已知集合A ={x ∈R |ax 2－3x +2=0,a ∈R },若A 中元素至多有1个，则a 的取值范围是_________
4 x 、y ∈R ,A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|b
y
a x - =1,a >0,
b >0},当A ∩B 只有一个元素时，a ,b 的关系式是
_________
5 集合A ={x |x 2－ax +a 2－19=0},B ={x |log 2(x 2－5x +8)=1}，C ={x |x 2+2x －8=0},求当a 取什么实数时，
A ∩
B ∅和A ∩
C =∅同时成立
6 设f (x )=x 2+px +q ,A ={x |x =f (x )},B ={x |f ［f (x )］=x }
(1)求证 A ⊆B ;
(2)如果A ={－1，3}，求B 答案1―6
1 解析 对M 将k 分成两类 k =2n 或k =2n +1(n ∈Z ), M ={x |x =n π+4
π,n ∈Z }∪{x |x =n π+43π
,n ∈Z },
对N 将k 分成四类，k =4n 或k =4n +1,k =4n +2,k =4n +3(n ∈Z ),
N ={x |x =n π+2
π,n ∈Z }∪{x |x =n π+43π,n ∈Z }∪{x |x =n π+π,n ∈Z }∪{x |x =n π+45π
,n ∈Z }答案 C
2 解析 ∵A ∪B =A ，∴B ⊆A,又B ≠∅,∴⎪⎩
⎪
⎨⎧-<+≤--≥+12171221m m m m 即2＜m ≤4 答案 D
3 a =0或a ≥
8
9 4 解析 由A ∩B 只有1个交点知，圆x 2+y 2=1与直线
b y
a x -=1相切，则1=
2
2b a ab +,即ab
答案 ab
5 解 log 2(x 2－5x +8)=1,由此得x 2－5x +8=2，∴B ={2,3} 由x 2+2x －8=0，∴C ={2,－4},又A ∩C =∅，∴2和－4都不是关于x 的方程x 2－
ax +a 2－19=0的解，而A ∩B ∅,即A ∩B ≠∅,
∴3是关于x 的方程x 2－ax +a 2－19=0的解，∴可得a =5或a =－2
当a =5时，得A ={2，3}，∴A ∩C ={2}，这与A ∩C =∅不符合，所以a =5(舍去)；当a =－2时，可以求得A ={3，－
5}，符合A ∩C =∅，A ∩B ∅，∴a =－2
6 (1)证明 设x 0是集合A 中的任一元素，即有x 0∈A
∵A ={x |x =f (x )},∴x 0=f (x 0)
即有f ［f (x 0)］=f (x 0)=x 0,∴x 0∈B ,故A ⊆B
(2)证明 ∵A ={－1,3}={x |x 2+px +q =x },
∴方程x 2+(p －1)x +q =0有两根－1和3，应用韦达定理，得
⎩
⎨⎧-=-=⇒⎩⎨
⎧=⨯---=+-31
3)1(),1(31q p q p ∴f (x )=x 2－x －3于是集合B 的元素是方程f ［f (x )］=x ,也即(x 2－x －3)2－(x 2－x －3)－3=x (*) 的根
将方程(*)变形，得(x 2－x －3)2－x 2=0解得x =1,3,3,B ={－3，－1，3，3}
7 若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )
A (－∞,2]
B [－2,2]
C (－2,2]
D (－∞,－2)
8 设二次函数f (x )=x 2－x +a (a >0),若f (m )<0,则f (m －1)的值为( )
A 正数
B 负数
C 非负数
D 正数、负数和零都有可能
9 已知二次函数f (x )=4x 2－2(p －2)x －2p 2－p +1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )>0,则实数p 的取值范围是_________ 10 二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f (2+x )=f (2－x ),若f (1－2x 2)<f (1+2x －x 2),则x 的取值范围是_________
11 已知实数t 满足关系式33log log a
y
a t a a = (a >0且a ≠1)
(1)令t=a x ,求y =f (x )的表达式；
(2)若x ∈(0,2]时，y 有最小值8，求a 和x 的值
12 如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围
13 二次函数f (x )=px 2+qx +r 中实数p 、q 、r 满足
m
r
m q m p ++++12=0,其中m >0,求证 (1)pf (
1
+m m
)<0; (2)方程f (x )=0在(0，1)内恒有解
14 一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P =160－2x ,生产x 件的成本R =500+30x 元
(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？
(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？ 答案7―14
7 解析 当a －2=0即a =2时,不等式为－4＜0,恒成立∴a =2,当a －2≠0时，则a 满足⎩⎨⎧<∆<-0
2a ,
解得－2＜a ＜2,所以a 的范围是－2＜a ≤2 答案 C
8解析∵f (x )=x 2－x +a 的对称轴为x =
2
1
,且f (1)>0,则f (0)>0,而f (m )＜0,∴m ∈(0,1), ∴m －1＜0,] ∴f (m －1)>0 答案A
9 解析 只需f (1)=－2p 2－3p +9>0或f (－1)=－2p 2+p +1>0即－3＜p ＜
23或－21＜p ＜1∴p ∈(－3, 2
3) 答案 (－3，
2
3） 10 解析 由f (2+x )=f (2－x )知x =2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，
∴|1－2x 2－2|＜|1+2x －x 2－2|,∴－2＜x ＜0 答案－2＜x ＜0
11 解 (1）由log a
3
3log a
y a t t =得log a t －3=log t y －3log t a
由t =a x 知x =log a t ，代入上式得x －3=x
x y a 3
log -, ∴log a y =x 2－3x +3，即y =a 3
32
+-x x (x ≠0)
(2)令u =x 2－3x +3=(x －
23)2+43
(x ≠0),则y =a u ①若0＜a ＜1,要使y =a u
有最小值8，
则u =(x －23)2+4
3
在(0，2]上应有最大值，但u 在(0，2]上不存在最大值
②若a >1,要使y =a u 有最小值8，则u =(x －23)2+4
3
,x ∈(0,2]应有最小值
∴当x =23时，u mi n =4
3
,y mi n =43
a
由4
3a =8得a =16∴所求a =16,x 2
3 12 解 ∵f (0)=1>0
(1)当m ＜0时，二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧，符合题意
(2）当m >0时，则⎪⎩⎪
⎨⎧>-≥∆030m
m 解得0＜m ≤1
综上所述，m 的取值范围是{m |m ≤1且m ≠0}
13 证明 (1)])1
()1([)1(
2r m m q m m p p m m pf ++++=+ ]
)
2()1()1()2([]
2
)1([]1)1([
222
22+++-+=+-+=++++=m m m m m m p m p m pm pm m r m q m pm pm
)
2()1(1
22
++-=m m pm ,由于f (x )是二次函数，故p ≠0,又m >0,所以，pf (1+m m )＜0
(2)由题意，得f (0)=r ,f (1)=p +q +r ①当p ＜0时，由(1）知f (1
+m m
)＜0 若r >0,则f (0)>0,又f (
1+m m )＜0,所以f (x )=0在(0，1
+m m
)内有解; 若r ≤0,则f (1)=p +q +r =p +(m +1)=(－m r m p -+2)+r =m
r
m p -+2>0,
又f (1+m m )＜0,所以f (x )=0在(1+m m ,1)内有解
②当p ＜0时同理可证
14 解 (1）设该厂的月获利为y ,依题意得
y =(160－2x )x －(500+30x )=－2x 2+130x －500
由y ≥1300知－2x 2+130x －500≥1300
∴x 2－65x +900≤0，∴(x －20)(x －45)≤0，解得20≤x ≤45 ∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元
(2）由(1）知y =－2x 2+130x －500=－2(x －
2
65)2
+16125 ∵x 为正整数，∴x =32或33时，y 取得最大值为1612元， ∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元 15 当a ≠0时，y =ax +b 和y =b ax 的图像只可能是( )
16 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y 轴表示
离学校的距离，x 轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是(
)
17 已知函数f (x )=log 2(x +1)，将y =f (x )的图像向左平移1个单位，再将图像上所有点的纵坐标伸长到原
来的2倍(横坐标不变)，得到函数y =g (x )的图像，则函数F (x )=f (x )－g (x )的最大值为_________ 18 在函数y =lg x 的图像上有A 、B 、C 三点，它们的横坐标分别为m ,m +2,m +4(m >1)
(1)若△ABC 面积为S ，求S =f (m ); (2)判断S =f (m )的增减性
19 如图，函数y =
23|x |在x ∈［－1,1］的图像上有两点A 、B ，AB ∥Ox 轴，点M (1，m )(m ∈R 且m >2
3)是△ABC 的BC 边的中点
(1)写出用B 点横坐标t 表示△ABC 面积S 的函数解析式S =f (t ); (2)求函数S =f (t )的最大值，并求出相应的C 点坐标
20 已知函数f (x )是y =1102
+x －1(x ∈R )的反函数，函数g (x )的图像与函数
y =－2
1-x 的图像关于y 轴对称，设F (x )=f (x )+g (x )
(1)求函数F (x )的解析式及定义域；
(2)试问在函数F (x )的图像上是否存在两个不同的点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直？若存在，求出A 、B 的坐标；若不存在，说明理由
21 已知函数f 1(x )=21x -,f 2(x )=x +2,
(1)设y =f (x )=⎩
⎨⎧∈--∈]1,0[ ),(3)
0,1[ ),(21x x f x x f ，试画出y =f (x )的图像并求y =f (x )的曲线绕x 轴旋转一周所得
几何体的表面积；
(2)若方程f 1(x +a )=f 2(x )有两个不等的实根，求实数a 的范围
(3)若f 1(x )>f 2(x －b )的解集为［－1，2
1］，求b 的值 22 设函数f (x )=x +
x
1
的图像为C 1，C 1关于点A (2，1)对称的图像为C 2，C 2对应的函数为g (x ) (1)求g (x )的解析表达式；
(2)若直线y =b 与C 2只有一个交点，求b 的值，并求出交点坐标；
(3)解不等式log a g (x )<log a
2
9 (0<a <1) 答案15―22
15 解析 ∵y =b ax =(b a )x ,∴这是以b a 为底的指数函数 仔细观察题目中的直线方程可知 在选择支B
中a >0,b >1,∴b a >1,C 中a ＜0,b >1,∴0＜b a ＜1,D 中a ＜0,0＜b ＜1,∴b a >1 故选择支B 、C 、D 均与指数函数y =(b a )x 的图像不符合 答案 A
16 解析 由题意可知，当x =0时，y 最大，所以排除A 、C 又一开始跑步，所以直线随着x 的增大
而急剧下降 答案 D
17 解析 g (x )=2log 2(x +2)(x >－2)
F (x )=f (x )－g (x )=log 2(x +1)－2log 2(x +2)
=log 2
1
4
41log 441log )2(122222+++=+++=++x x x x x x x x )1(2
1
1
11
log 2->++++=x x x
∵x +1>0,∴F (x )≤4
1
log 21
1
)1(21
log 2
2=++⋅
+x x =－2 当且仅当x +1=
1
1
+x ,即x =0时取等号 ∴F (x )max =F (0)=－2 答案 －2
18 解 (1)S △ABC =S 梯形AA ′B ′B +S 梯形BB ′C ′C －S 梯形AA ′C ′C
(2)S =f (m )为减函数
19 解 (1)依题意，设B (t ,23 t ),A (－t , 2
3
t )(t >0),C (x 0,y 0)
∵M 是BC 的中点 ∴20
x t +=1,2
23
y t + =m
∴x 0=2－t ,y 0=2m －
2
3t 在△ABC 中，|AB |=2t ,AB 边上的高h AB =y 0－2
3
t =2m －3t ∴S =
21|AB |·h AB = 2
1
·2t ·(2m －3t ),即f (t )=－3t 2+2mt ,t ∈(0,1)
(2)∵S =－3t 2+2mt =－3(t －3m )2+32
m ,t ∈(0,1],若⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>
≤<23130m m ，
即2
3
＜m ≤3, 当t =3m 时，S max =32m ,相应的C 点坐标是(2－3m , 2
3
m ),
若3
m
>1,即m >3 S =f (t ) 在区间(0，1］上是增函数， ∴S max =f (1)=2m －3,相应的C 点坐标是(1，2m －3)
20 解 (1)y =1
102+x －1的反函数为f (x )=lg x x
+-11(－1＜x ＜1)
由已知得g (x )=2
1+x ,∴F (x )=lg x x +-11+21
+x ,定义域为(－1，1)
(2)用定义可证明函数u =x x +-11=－1+1
2
+x 是(－1，1）上的减函数，且y =lg u 是增函数
∴f (x )是(－1，1）上的减函数，故不存在符合条件的点A 、B
21 解 (1）y =f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧∈+--∈-]
1,0[,1)
0,1[,12x x x x 的图像如图所示
y =f (x )的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体是由一个半径为1的半球及
底面半径和高均为1的圆锥体组成， 其表面积为(2+2)π
(2)当f 1(x +a )=f 2(x )有两个不等实根时，a 的取值范围为2－2＜a ≤1
(3)若f 1(x )>f 2(x －b )的解集为［－1，2
1
］，则可解得b
22 (1)g (x )=x －4
1
-x (2)b =4时，交点为(5，4)；b =0时，交点为(3，0)
(3)不等式的解集为{x |4＜x ＜2
9
或x >6
23 函数y =x 2+x
1 (x ≤－21
)的值域是( )
A (－∞,－4
7
]
B ［－47,+∞)
C ［2233,+∞)
D (－∞,－322
3
］
24 函数y =x +x 21-的值域是( )
A (－∞,1]
B (－∞,－1]
C R
D ［1,+∞)
25 一批货物随17列货车从A 市以V 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安
全，两列货车间距离不得小于(
20
V )2
千米 ，那么这批物资全部运到B 市，最快需要_________小时(不计货车的车身长)
26 设x 1、x 2为方程4x 2－4mx +m +2=0的两个实根，当m =_________时，x 12+x 22有最小值_________
27 某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，
市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R (x )=5x －2
1x 2
(万元)(0≤x ≤5),其中x 是产品售出的数量(单位 百台)
(1)把利润表示为年产量的函数；
(2)年产量多少时，企业所得的利润最大？ (3)年产量多少时，企业才不亏本？
28 已知函数f (x )=lg ［(a 2－1)x 2+(a +1)x +1］
(1)若f (x )的定义域为(－∞,+∞)，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为(－∞,+∞),求实数a 的取值范围 答案23―28
23 解析 ∵m 1=x 2在(－∞,－
21）上是减函数，m 2=x 1在(－∞,－21）上是减函数，∴y =x 2+x
1在 x ∈(－∞,－21)上为减函数,∴y =x 2+x
1 (x ≤－21)的值域为［－47
，+∞) 答案 B
24 解析 令x 21-=t (t ≥0),则x 212t - ∵y =212t -+t =－2
1
(t －1)2+1≤1∴值域为(－∞,1]
答案 A
25, 解析t =V 400+16×(20V )2/V =V 400+400
16V
≥216=8 答案 8
26 解析 由韦达定理知 x 1+x 2=m ,x 1x 2=42+m ,∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2－2x 1x 2=m 2－22+m =(m －41)2－16
17
,
又x 1,x 2为实根，∴Δ≥0 ∴m ≤－1或m ≥2， y =(m －41)2－1617
在区间(－∞,1）上是减函数，在
［2，+∞)上是增函数，又抛物线y 开口向上且以m =41为对称轴 故m =1时， y min 2
1
答案 －1 2
1
27. 解 (1）利润y 是指生产数量x 的产品售出后的总收入R (x )与其总成本C (x ) 之差，由题意，当
x ≤5时，产品能全部售出，当x >5时，只能销售500台，所以
y =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
>+-⨯-⨯≤≤+--)1( 25.012)50(5.02
175.4)5)(25.05.0()52155()50)(25.05.0(215222x x x x x x x x x x x (2）在0≤x ≤5时，y =－21x 2+4 75x －0 5,当x =－a
b
2=4 75(百台）时，y max =10 78125(万元），
当x >5(百台）时，y ＜12－0 25×5=10 75(万元）， 所以当生产475台时，利润最大
(3）要使企业不亏本，即要求⎩⎨
⎧≥->⎪⎩⎪
⎨⎧≥-+≤≤025.012505.075.42
15
02x x x x x 或 解得5≥x ≥4 75－5625.21≈0 1(百台）或5＜x ＜48(百台）时，即企业年产量在10台到4800
台之间时，企业不亏本
28 解 (1）依题意(a 2－1）x 2+(a +1)x +1>0对一切x ∈R 恒成立，当a 2－1≠0时，其充要条件是
⎪⎩
⎪
⎨⎧-<>-<>⎪⎩⎪⎨⎧<--+=∆>-13511,0)1(4)1(012
22
a a a a a a a 或或即， ∴a ＜－1或a >
3
5
又a =－1时，f (x )=0满足题意，a =1时不合题意
故a ≤－1或a >为3
5
所求
(2）依题意只要t =(a 2
－1)x 2
+(a +1)x +1能取到(0，+∞）上的任何值，则f (x )的值域为R ，故有⎩⎨⎧≥∆>-0
12a ,
解得1＜a ≤
35,又当a 2－1=0即a =1时，t =2x +1符合题意而a =－1时不合题意，∴1≤a ≤3
5为所求
29 设f (x )是(－∞,+∞)上的奇函数，f (x +2)=－f (x ),当0≤x ≤1时，f (x )=x ,则f (7 5)等于( )
A 0 5
B －0 5
C 1 5
D －1 5 30 已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0, 则a 的取值范围是( )
A (22，3)
B (3，10)
C (22，4)
D (－2，3)
31 若f (x )为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f (－3)=0,则xf (x )<0的解集为_________
32 如果函数f (x )在R 上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f (x +2)=－f (x ),试比较f (
31),f (3
2
),f (1)的大小关系_________
33 已知f (x )是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f (x )在(－∞,0)上的增减性并加以证明
34 已知函数y =f (x )=c
bx ax ++1
2 (a ,b ,c ∈R ,a >0,b >0)是奇函数，当x >0时，f (x )有最小值2，其中b ∈N 且
f 2
5
(1)试求函数f (x )的解析式；
(2)问函数f (x )图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由 答案29―34
29 解析 f (7.5)=f (5.5+2)=－f (5.5)=－f (3.5+2)=f (3.5)=f (1.5+2)
=－f (1.5)=－f (－0.5+2)=f (－0.5)=－f (0.5)=－0.5
答案 B
30 解析 ∵f (x )是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)＜0
∴f (a －3)＜f (a 2－9) ∴⎪⎩⎪
⎨⎧->-<-<-<-<-9
31911312
2a a a a ∴a ∈(22,3) 答案 A
31 解析 由题意可知 xf (x )＜0⎩
⎨⎧<>⎩⎨⎧><⇔0)(0
0)(0x f x x f x 或
⎩
⎨
⎧<>⎩⎨⎧-><⇔⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔30
30 )3()(0 )3()(0x x x x f x f x f x f x 或或∴x ∈(－3,0)∪(0,3)答案 (－3，0）∪(0，3） 32 解析 ∵f (x )为R 上的奇函数∴f (
31)=－f (－31),f (32)=－f (－32
),f (1)=－f (－1), 又f (x )在(－1，0)上是增函数且－31>－32>－1 ∴f (－31)>f (－32)>f (－1),∴f (31)＜f (3
2
)＜f (1)
答案 f (31)＜f (3
2
)＜f (1)
33 解 函数f (x )在(－∞,0）上是增函数，设x 1＜x 2＜0,因为f (x )是偶函数，所以f (－x 1)=f (x 1),f (－x 2)=f (x 2),
由假设可知－x 1>－x 2>0,又已知f (x ) 在(0，+∞)上是减函数，于是有f (－x 1)＜f (－x 2),即f (x 1)＜f (x 2),由此可知，函数f (x )在(－∞,0)上是增函数 34 解 (1）a =1
(2)f (x )=1212+-x x (x ∈R )⇒f －-1(x )=log 2
x
x -+11 (－1＜x ＜1)
(3)由log 2
x
x -+11>log 2
k x
+1⇒log 2(1－x )＜log 2k , ∴当0＜k ＜2时，不等式解集为{x |1－k ＜x ＜1};当k ≥2时，不等式解集为{x |－1＜x ＜1}
35 定义在(－∞,+∞)上的任意函数f (x )都可以表示成一个奇函数g (x )和一个偶函数h (x )之和，如果
f (x )=lg(10x +1),其中x ∈(－∞,+∞),那么( )
A g (x )=x ,h (x )=lg(10x +10－
x +2) B g (x )=
21［lg(10x +1)+x ］,h (x )= 2
1
［lg(10x +1)－x ］ C g (x )=2x ,h (x )=lg(10x +1)－2x D g (x )=－2x ,h (x )=lg(10x +1)+2
x
36 当a >1时，函数y =log a x 和y =(1－a )x 的图像只可能是( )
37 已知函数f (x )=⎩⎨⎧<<--≥)
02( )(log )0( 22x x x x 则f -－
1(x －1)=_________
38 设函数f (x )=log a (x －3a )(a >0且a ≠1),当点P (x ,y )是函数y =f (x )图像上的点时，点Q (x －2a ,－y )是函数
y =g (x )图像上的点
(1)写出函数y =g (x )的解析式；
(2)若当x ∈［a +2,a +3］时，恒有|f (x )－g (x )|≤1,试确定a 的取值范围
39 已知函数f (x )=log a x (a >0且a ≠1),(x ∈(0,+∞)),若x 1,x 2∈(0,+∞),判断
21
［f (x 1)+f (x 2)］与f (2
21x x +)的大小，并加以证明
40 已知函数x ,y 满足x ≥1,y ≥1 log a 2x +log a 2y =log a (ax 2)+log a (ay 2)(a >0且a ≠1),求log a (xy )的取值范围
41 设不等式2(log 21x )2+9(log 2
1x )+9≤0的解集为M ，求当x ∈M 时函数f (x )=(log 2
2x )(log 2
8
x )的最大、
最小值
答案35―41
35 解析 由题意 g (x )+h (x )=lg(10x +1) ①
又g (－x )+h (－x )=lg(10－x +1) 即－g (x )+h (x )=lg(10－
x +1) ②
由①②得 g (x )=
2x ,h (x )=lg(10x +1)2
x
答案 C 36 解析 当a >1时，函数y =log a x 的图像只能在A 和C 中选，又a >1时，y =(1－a )x 为减函数
答案 B
37 解析 容易求得f -
－1
(x )=⎩⎨⎧<-≥)
1( 2)1( log 2x x x x ,
从而 f －
1(x －1)=⎩
⎨⎧<-≥--).2( ,2)2(),1(log 12x x x x 答案 ⎩⎨⎧<-≥--)2( ,2)2(),1(log 12x x x x
38 解 (1)设点Q 的坐标为(x ′,y ′),
则x ′=x －2a ,y ′=－y 即x =x ′+2a ,y =－y ′ ∵点P (x ,y )在函数y =log a (x －3a )的图像上，
∴－y ′=log a (x ′+2a －3a ),即y ′=log a
a
x -21,∴g (x )=log a x -1
(2)由题意得x －3a =(a +2)－3a =－2a +2>0;a x -1
=a
a -+)3(1>0,
又a >0且a ≠1,∴0＜a ＜1,
∵|f (x )－g (x )|=|log a (x －3a )－log a a
x -1
|
=|log a (x 2－4ax +3a 2)|·|f (x )－g (x )|≤1,
∴－1≤log a (x 2－4ax +3a 2)≤1,
∵0＜a ＜1,∴a +2>2a f (x )=x 2－4ax +3a 2在［a +2,a +3］上为减函数， ∴μ(x )=log a (x 2－4ax +3a 2)在［a +2,a +3］上为减函数，
从而［μ(x )］max =μ(a +2)=log a (4－4a ),［μ(x )］mi n =μ(a +3)=log a (9－6a ),于是所求问题转化为求不等
式组⎪⎩⎪
⎨⎧≤--≥-<<1)44(log 1)69(log 10a a a a
a 的解
由log a (9－6a )≥－1解得0＜a ≤12
57
9-, 由log a (4－4a )≤1解得0＜a ≤5
4, ∴所求a 的取值范围是0＜a
39 解 f (x 1)+f (x 2)=log a x 1+log a x 2=log a x 1x 2,
∵x 1,x 2∈(0,+∞),x 1x 2≤(2
21x x +)2
(当且仅当x 1=x 2时取“=”号)，
当a >1时，有log a x 1x 2≤log a (2
21x x +)2
,
∴21log a x 1x 2≤log a (221x x +)，21
(log a x 1+log a x 2)≤log a 2
21x x +,
即
21
[f (x 1)+f (x 2)］≤f (2
21
x x +)(当且仅当x 1=x 2时取“=”号) 当0＜a ＜1时，有log a x 1x 2≥log a (2
21x x +)2
,
∴21(log a x 1+log a x 2)≥log a 221x x +,即21
［f (x 1)+f (x 2)］≥f (2
21x x +)(当且仅当x 1=x 2时取“=”号） 40 解 由已知等式得 log a 2x +log a 2
y =(1+2log a x )+(1+2log a y ),
即(log a x －1)2+(log a y －1)2=4,
令u =log a x ,v =log a y ,k =log a xy ,则(u －1)2+(v －1)2=4(uv ≥0),k =u +v 在直角坐标系uOv 内，
圆弧(u －1)2+(v －1)2=4(uv ≥0)与平行直线系v =－u +k 有公共点， 分两类讨论
(1)当u ≥0,v ≥0时，即a >1时，结合判别式法与代点法得
1+3≤k ≤2(1+2);
(2)当u ≤0,v ≤0,即0＜a ＜1时，同理得到2(1－2)≤k ≤1
综上，当a >1时，log a xy 的最大值为2+22，最小值为1+3；
当0＜a ＜1时，log a xy 的最大值为1－3，最小值为2－2
41 解 ∵2(21log x )2+9(2
1log x )+9≤0
∴(221log x +3)( 2
1log x +3)≤0 ∴－3≤2
1log x 2
3 即21log (21)－3≤21log x ≤21log (21)23
-
∴(21)23
-≤x ≤(2
1)－
3,∴22≤x ≤8
即M ={x |x ∈［22,8］}
又f (x )=(log 2x －1)(log 2x －3)=log 22x －4log 2x +3=(log 2x －2)2－1
∵22≤x ≤8,∴
2
3
≤log 2x ≤3 ∴当log 2x =2,即x =4时y mi n =－1;当log 2x =3,即x =8时，y max =0
42.集合{}|04P x x =≤≤，{}|02Q y y =≤≤，下列不表示．．．
从P 到Q 的映射是 （ ） A ．1:2f x y x →= B ．2
:3f x y x →=
C ．1
:3
f x y x →= D ．:f x y →43.下列各组函数是同一函数的是 （ ）
①()f x =
()g x =
②()f x x =
与()g x =0()f x x =与()1g x =； ④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--。

A ．①②
B ．①③
C ．②④
D ．③④
44.函数f ：{1，2，3}→{1，2，3} 满足f （f （x ））＝f （x ），则这样的函数个数共有 （ ）
（A ）1个 （B ）4个 （C ）8个 （D ）10个
45.已知两个函数)(x f 和)(x g 的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表.
则g (f (1))、g (f (2))、g (f (3))的值依次为
46.已知f （x x
+-11）=2
211x
x +-，则f （x ）= 47.函数,,
(),,
x x P f x x x M ∈⎧=⎨
-∈⎩其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f (P )={y|y =f (x ),x ∈P }，
f (M )={y|y =f (x ),x ∈M }，，给出下列四个判断： ①若P ∩M =φ,则f (P )∩f (M )=φ ②若P ∩M ≠φ,则f(P)∩f (M )≠φ ③若P ∪M =R ,则f (P )∪f (M )=R ④若P ∪M ≠R,则f (P )∪f (M )≠R 其中正确判断的序号是
答案:41-44、BCD ； 45. 3,2,1; 46.2
12x
x
+； 47.②④.提示:若P ∩M ≠φ则只有若P ∩M ={0}这一种可能．否则f (x )不是单值，与函数定义矛盾。

②和④是正确的．
48.若f :y =3x +1是从集合A ={1，2，3，k }到集合B ={4，7，a 4，a 2+3a }的一个映射，求自然数a 、k 的值及集合A 、B.
解：∵f （1）=3×1+1=4，f （2）=3×2+1=7，f （3）=3×3+1=10，f （k ）=3k +1，由映射的定义知
（1）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,133,1024k a a a 或（2）⎪⎩⎪⎨⎧+==+.
13,10342k a a a
∵a ∈N ，∴方程组（1）无解. 解方程组（2），得a =2或a =－5（舍），3k +1=16，3k =15，k =5.∴A ={1，2，3，5}， B ={4，7，10，16}.
49.集合M ={a ，b ，c }，N ={－1，0，1}，映射f :M →N 满足f （a ）+f （b ）+f （c ）=0，那么映射f :M →N 的个数是多少？
解：∵f （a ）∈N ，f （b ）∈N ，f （c ）∈N ，且f （a ）+f （b ）+f （c ）=0， ∴有0+0+0=0+1+（－1）=0.
当f （a ）=f （b ）=f （c ）=0时，只有一个映射；
当f （a ）、f （b ）、f （c ）中恰有一个为0，而另两个分别为1，－1时，有C 13·A 2
2=6个映射.因此
所求的映射的个数为1+6=7.
50.用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如下图），若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并写出其定义域.
解：∵AB =2x ，则
=πx ，AD =2π2x x l --.∴y =2x ·2π2x x l --+22πx =－（2
π+2）x 2
+l x .由
⎪⎩
⎪
⎨⎧-->2π2,
02x x l x ＞0，解得0＜x ＜
2π+l . 51.已知函数2
(),()f x x g x =为一次函数，且一次项系数大于零，若
2
(())42025,()f g x x x g x =-+求 的表达式。

解：由()g x 为一次函数，设(),(0)g x ax b b =+>∵2
(())42025f g x x x =-+ ∴2
2
()42025ax b x x +=-+,即2222
242025a x abx b ax x ++=-+ 解得a ＝2,b ＝-5故()25,()g x x x R =-∈
52.设f(x)是一次函数,当x ≥0时,
()f x ≤≤
求f(x)的函数解析式. 解: 设()f x ax b =+,当x =1时
,1(1)1f =≤≤
=即f (1)=1. ∴a+b=1,b=1-a ∵对一切x ≥0,
2
110ax a a a ≤+---≥即,显然a>0,
2111
10,(21)0,,422
a a a
b a ∴--≥-≤==即解得
此时1()2x f x -=≤恒成立, 故1
()2
x f x +=
53.函数y =)1(log 22
1-x 的定义域是 （ A ）
A.［－2，－1）∪（1，2］
B.（－3，－1）∪（1，2）
C.［－2，－1）∪（1，2］
D.（－2，－1）∪（1，2）
54.设2()lg
2x f x x +=-，则2
()()2x f f x
+的定义域为（B ） A.（-4，0）⋃（0，4） B.（-4，-1）⋃（1，4） C.（-2，-1）⋃（1，2） D.（-4，-2）⋃（2，4）
A
D
55.已知函数f （x ）=
3
1
32
3
-+-ax ax x 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是 （ B ） A.a ＞
3
1 B.－12＜a ≤0 C.－12＜a ＜0 D.a ≤
3
1 56.函数)13lg(13)(2++-=
x x
x x f 的定义域是（ B ）
A 、 ),31(+∞-
B 、 )1,31(-
C 、)31,31(-
D 、)3
1,(--∞ 57.若函数)23(x f -的定义域为[－1，2]，则函数)(x f 的定义域是（ C ）
A ．]1,25[--
B ．[－1，2]
C ．[－1，5]
D ．]2,2
1[ 58．若函数3
41
2
++-=mx mx mx y 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ D ） A ．]43,0( B ．)43
,0( C ．]43,0[ D ．)4
3,0[
59. 在△ABC 中，BC =2，AB+AC =3.中线AD 的长为y ，若以AB 的长为x ，则y 与x 的函数关系和定义
域是 15
(,)22
y x =
∈
60.已知函数f (x )的定义域为[a,b ]，其中0<－a<b ，则F (x )=f (x )－f (－x )的定义域为___________，[a,-a],
若y =log 2(x 2－2)的值域为[1，log 214]，则其定义域为_____________. [-4,-2]∪[2,4]。