群的对称操作分4类, 所以有4个不可约表示.pptx
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群表示的理论基础和分子对称性
4.群表示的理论基础和分子对称性教学目标与学习指导1．本章第1节讨论分子对称性。
要求掌握五种对称元素和对称操作的乘积的概念。
2．本章第2节介绍群的基本知识。
要求对群的基本知识有一般的了解。
3．本章第3节讨论分子点群。
要求掌握分子点群的确定。
4．本章第4节讨论分子对称操作的矩阵表示。
要求掌握五种对称操作的矩阵表示法。
5．本章第5节讨论群表示的基及群的表示。
要求对群表示的一般性质有所了解。
要求掌握不可约表示和可约表示的概念以及可约表示的约化，了解特征标表。
4-1分子对称性4-2群的基本知识4-3分子对称操作群4-4分子对称操作的矩阵表示（选修）4-5群表示的基及群的表示（选修）RPbPbR的键合性质Y u Chen,Michael Hartmann,Michael Diedenhofen,and Gernot Frenking*Angew.Chem.Int.Ed.2001,40,No.11，2052群论是从实践中发展起来的一门比较抽象的数学。
但把它的基本理论与物质结构的具体对称性相结合之后，群论就成为研究物质微粒运动规律的一种有力工具。
在有关基本粒子、核结构、原子结构、分子结构以及晶体结构等问题的理论研究和计算中经常用到群论方法。
由于自然学科彼此间的交叉、渗透，在近代化学领域内，研究化学键理论和分子动力学，应用各种波谱技术等方面，群论已成为重要的工具。
4-1分子对称性对称性是物体所具有的,实施对称操作之前后不可分辨的性质。
通过研究分子的对称性，一方面可以把握分子结构的特点及说明分子的有关性质；另一方面，也可借助于分子对称性，使求解薛定谔方程的过程大为简化。
原子轨道、分子轨道及分子的几何构型的对称性，是电子运动状态及分子结构特点的内在反映。
4-1-1对称操作与对称元素4-1-2对称操作的乘积4-1-1对称操作与对称元素对称操作：每一次操作都能够产生一个与原来图形等价的图形。
也就是，当一个操作作用于一个分子上，所产生的新分子几何图形和作用前的图形如不借助于标号是无法区分的。
对称密码体制PPT课件
64比特
左移j比特
….
明文：0000000000000001 密钥： 22234512987ABB23 密文：0A4ED5C15A63FEA3
2）完全效应 指密文中的每个比特都由明文的许多比特决定。由
DES中的扩展和S盒产生的扩散和混淆作用表明了强烈的 完全效应。
2、设计标准 （1）S盒的设计
• 每一行的元素都是从0-15的置换。 • S盒是非线性的。 • 如果改变输入的一个比特，输出中的两个或更多比特会改变。 • 如果一个S盒的两个输入只有中间两个比特不同（第3和第4个比特），输出中至少有两个比特
P=DK1(DK2(C))
2.三重DES（以被广泛采用）
优点：能对付中途攻击。密钥长度为168bit
即用两个56位的 密钥K1、K2，发 送方用K1加密， K2解密，再使用 K1加密。接收方 则使用K1解密， K2加密，再使用 K1解密，其效果 相当于将密钥长 度加倍。
5 应用模式
电子密码本 ECB (electronic codebook
由于DES算法完全公开，其安全性完全依赖于对密钥的保护，必须有可 靠的信道来分发密钥。如采用信使递送密钥等。因此，它不适合在网络 环境下单独使用。
4 DES的变形
1.两重DES
双重DES密钥长度 为112bit,密码强 度似乎增强了一 倍，但问题并非 如此。
C=EK2(EK1(P))
双重DES易 受中途攻击
在每轮开始将输入的64比特数据分 成左、右长度相等的两半，将右半 部分原封不动地作为本轮输出的64 比特数据的左半部分，同时对右半 部分进行一系列的变换，即用轮函 数作用右半部分，然后将所得结果 （32比特数据）与输入数据的左半 部分进行逐位异或，将所得数据作 为本轮输出的64比特数据的右半部 分。
分子的对称性
第四章 分子的对称性§4.1 对称性操作和对称元素§ <1>分子对称性概念原子组成分子构成有限的图形，具有对称性。
与晶体的对称性不同。
晶体的主要对称性是点阵结构，而分子的对称性主要是指分子骨架在空间的对称性以及分子轨道（波函数）的对称性。
○1分子对称性：指分子的几何图形（原子骨架和原子、分子轨道空间形状）中有相互等同的部分，而这些等同部分互相交换以后，与原来的状态相比，不发生可辨别的变化，即交换前后图形复原。
○2对称操作：不改变物体内部任何两点间的距离，使图形完全复原的一次或连续几次的操作。
（借助于一定几何实体）○3对称元素：对图形进行对称操作，所依赖的几何要素，如：点，线，面及其组合。
<2>对称元素及相应的对称操作○1恒等元素和恒等操作，（E ） ΛE 所有分子图形都具有。
○2旋转轴（对称轴）和旋转操作，Λn n C C ,；对称轴是一条特定的直线。
绕该线按一定方向（逆时针方向为正方面）进行一个角度θ旋转，nπθ2=如：H 2O ： πθ21==n 。
分子中可能有 n 个对称轴，其中n 最大的称为主轴，其它称为非主轴，如：BF 3 ，主轴C 3 ，三个C 2垂直于C 3 与分子平面平行。
n C 将产生n 个旋转操作：E =-nn n n n n C C C C ,,,,12逆时旋转为正操作，k n C ；顺时旋转为逆操作，k n C -。
)(k n nk n C C --= 分子图形完全复原的最少次数称操作周期，旋转操作的周期为 n ；分子中，nC的轴次不受限制，n 为任意整数。
如： E =→332333,,C C C C○3对称和反映操作。
Λσσ, ：对称面是一个特定的镜面，把分子图形分成两个完全相等的对称部分，两部分之间互为镜中映像，对称操作是镜面的一个反映。
图形中相等的部分互相交换位置，其反映的周期为2。
E =Λ2σ。
对称面可分为：v σ面：包含主轴； h σ面：垂直于主轴；d σ面：包含主轴且平分相邻'2C 轴的夹角（或两个v σ之间的夹角）。
第五讲：分子的对称性与群论基础 群表示与不可约表示
则可以得到C3V点群6个对称操作的矩阵表示如下 （2） ：
1 0 0 E 0 1 0 0 0 1
1 0 0 σV 0 1 0 0 0 1
C2 3 C3C3
σ V σ V C 3
σ V C2 σV 3
可分解为两个子方阵：
1 2 Ca 3 3 2 3 2 1 2
Cb 3 1
b C 矩阵的直和 ：C 3 Ca 3 3
10
群表示和不可约表示
2. 可约与不可约表示
2)、可约和不可约表示
由矩阵的乘法规则可知：方块化的矩阵的乘法为方块对方块的乘法。 每组小方块矩阵服从同样的乘法次序。一组子方块矩阵也构成群的一 个表示。” C3V点群的三维表示 ：
13
群表示和不可约表示
3. 不可约表示特征标表
群的重要性质被概括在各种表格中，其中最频繁使用的是不可约 表示的特征标表（已列于教材的后面）。
14
群表示和不可约表示
3. 不可约表示特征标表
C3V
E 1 1
C3 1 1
1 2 3 2 3 2 1 2
1 2 3 2
C32 1 1
3 2 1 2
V (XZ)
1 -1
V’
1 -1
1 2 3 2 3 2 1 2
V”
1 -1
1 3 2 2 3 1 2 2
1/ 2 3 2 0 C3 3 2 1 / 2 0 0 0 1
3 2 0 1 / 2 0 0 1
1 / 2 3 2 0 2 C3 3 2 1 / 2 0 0 0 1
第三章 分子的对称性和点群ppt课件
(2) 甲烷具有S4，只有C2 与S4共轴，但C4和与之垂直 的σ并不独立存在.
CH4中的映轴S4与旋转反映操作
注意: C4和与之垂直的σ都不独立存在
环辛四烯衍生物中的 S4
分子中心是S4的图形符号
丙二烯
对称操作与对称元素
旋转是真操作, 其它对称操作为虚操作.
两个或多个对称 操作的结果，等效于 某个对称操作.
D2h群：乙烯
D3h 群
D3h 群 ： C2H6
D3h群分子多呈平面正三角形、正三棱柱或三角双锥结构
D4h群：XeF4
D6h群：苯
同核双原子分子，具有对称中心的线型分子，属于Dh群
Dh群： I3-
Dnd: 在Dn基础上, 增加了n个包含主轴且平分二次副轴
夹角的镜面σd.
D2d : 丙二烯
D2d : B2Cl4
3.偶次旋转轴和与它垂直的对称面的组合 一个偶次轴与一个垂直于它的对称面组合，必定在交
点上出现对称中心。 C2σh = S2 = i
3.2 点群
3.2.1定义一种称之为“乘
法”的运算，如果满足下列条件，则集合G构成群。
1）封闭性：集合G 中任何两个元素相“乘”（或称之为 组合），其结果仍然是G 中元素，也就是说，A、B分别 属于G，AB＝C 也属于G。即 A∈G， B∈G， 则 AB＝ C∈G
（2）二面体群：包括Dn、Dnh、Dnd . 这类点群的共同特点是
旋转轴除了主轴Cn外，还有与之垂直的n条C2副轴.
（a）Dn 群: 除主轴Cn外，还有与之垂直的n条C2副轴( 但没有 镜面).（ Cn + nC2⊥ Cn ）
D2 群
主轴C2垂直于荧光屏
D ： 3 这种分子比较少见，其对称元素也不易看出.
第一章对称性与群论
每个不可约表示 代表一种对称类型：
a. A或B: 一维表示; E: 二维表示; T (或F) : 三维表示 b. G: 四维表示，H：五维表示
c. b. A: 对于绕主轴Cn转动 2π/n是对称的一维表示
d. B:对于绕主轴Cn转动 2π/n是反对称的一维表示
e.
对于没有旋转轴的点群，所有一维表示都用A标记
§1.生物无机化学
{ 金属离子在人体中的作用 生物固氮
§2.超分子化学
{ 分子识别 分子组装 分子器件
5第5页，共64页。
教材： 《高等无机化学》， 科大出版社
参考书目： 1. 《Advanced Inorganic Chemistry》
F. Albert Cotton, Geoffrey, Wilkinsion, Carlos A. Murillo,
7第7页，共64页。
§1. 对称操作与对称元素
对称元素
n重对称轴 镜面 反演中心
n重非真旋转轴
或旋转反映
对称操作
对称符号
恒等操作
E
旋转2π/n 反映
Cn σ
反演
i
先旋转2π/n
再对垂直于旋转轴的 Sn
镜面进行反映
进行这些操作时，分子中至少有一个点保持不动
－－－“点群对称”操作。
8第8页，共64页。
C2v点群的每个对称元素作用在分子上都可以使元素复原，
相当于每个对称操作对H2S分子的作用是乘以“1”.
对称操作
E
整个H2S分子 1
C2
xz
yz
1
11
C2v点群的每个对称元素对H2S分子的其它物理量作用结果：
C2v
E
C2 xz yz 基向量
a. A或B: 一维表示; E: 二维表示; T (或F) : 三维表示 b. G: 四维表示，H：五维表示
c. b. A: 对于绕主轴Cn转动 2π/n是对称的一维表示
d. B:对于绕主轴Cn转动 2π/n是反对称的一维表示
e.
对于没有旋转轴的点群，所有一维表示都用A标记
§1.生物无机化学
{ 金属离子在人体中的作用 生物固氮
§2.超分子化学
{ 分子识别 分子组装 分子器件
5第5页，共64页。
教材： 《高等无机化学》， 科大出版社
参考书目： 1. 《Advanced Inorganic Chemistry》
F. Albert Cotton, Geoffrey, Wilkinsion, Carlos A. Murillo,
7第7页，共64页。
§1. 对称操作与对称元素
对称元素
n重对称轴 镜面 反演中心
n重非真旋转轴
或旋转反映
对称操作
对称符号
恒等操作
E
旋转2π/n 反映
Cn σ
反演
i
先旋转2π/n
再对垂直于旋转轴的 Sn
镜面进行反映
进行这些操作时，分子中至少有一个点保持不动
－－－“点群对称”操作。
8第8页，共64页。
C2v点群的每个对称元素作用在分子上都可以使元素复原，
相当于每个对称操作对H2S分子的作用是乘以“1”.
对称操作
E
整个H2S分子 1
C2
xz
yz
1
11
C2v点群的每个对称元素对H2S分子的其它物理量作用结果：
C2v
E
C2 xz yz 基向量
《分子的对称群》课件-优质公开课-人教A版选修3-4精品
平移对称性
对称性---实例
旋转对称性
对称性---实例
螺旋对称性
对称操作和对称元素
• 分子的对称性, 对称操作及对称元素
定义: 分子的对称性是指存在一定的操作，它在保 持任意两点间距离不变的条件下，使分子内部各部分变 换位置，而且变换后的分子整体又恢复原状，这种操作 称为对称操作(symmetry operation)． 对称操作据以进行的几何实体称为对称元素(symmetry element).
例: 水分子
• 对称操作:
• 将水分子绕一根通过氧原子且垂 直平分两个氢原子连线的轴旋转 1800或3600 • 通过包括氧原子核且垂直平分两 个氢原于连线的镜面进行反映 • 通过含氧、氢原子核的镜面进行 反映
• 对称元素:
• 旋转轴 • 镜面
对称操作类型
• • • • • 旋转 反映 反演 旋转反映 恒等操作
对称操作和对称元素
对称操作的表示矩阵
• 笛卡尔坐标系中，物体上的任一点的坐标 为x、y、z，对称操作使该点的坐标发生变 换．因此，对称操作的作用结果相当于不 同的坐标变换. • 坐标变换可以用矩阵表示．换句话说，对 称操作可以用矩阵来表示． • 若存在一组坐标的函数，当坐标变换时， 其中的任一函数变为这组函数的一个线性 组合，故由对称操作导致的这组函数的变 化情况也可以用矩阵来表示．
分子点群有二层解释含义：
1）这些对称操作都是点操作，操作
时分子中至少有一点不动。
2）分子中全部对称元素至少通过一
个公共点，若不交于一点，分子就不能维
持有限性质。
多根高次轴---正多面体
多个高次轴的对称元素组合必得 到与此组合对称性相对应的正多面体。 正多面体有五种：正四面体、正八面 体、立方体、正五角十二面体和正三 角二十面体。
对称性---实例
旋转对称性
对称性---实例
螺旋对称性
对称操作和对称元素
• 分子的对称性, 对称操作及对称元素
定义: 分子的对称性是指存在一定的操作，它在保 持任意两点间距离不变的条件下，使分子内部各部分变 换位置，而且变换后的分子整体又恢复原状，这种操作 称为对称操作(symmetry operation)． 对称操作据以进行的几何实体称为对称元素(symmetry element).
例: 水分子
• 对称操作:
• 将水分子绕一根通过氧原子且垂 直平分两个氢原子连线的轴旋转 1800或3600 • 通过包括氧原子核且垂直平分两 个氢原于连线的镜面进行反映 • 通过含氧、氢原子核的镜面进行 反映
• 对称元素:
• 旋转轴 • 镜面
对称操作类型
• • • • • 旋转 反映 反演 旋转反映 恒等操作
对称操作和对称元素
对称操作的表示矩阵
• 笛卡尔坐标系中，物体上的任一点的坐标 为x、y、z，对称操作使该点的坐标发生变 换．因此，对称操作的作用结果相当于不 同的坐标变换. • 坐标变换可以用矩阵表示．换句话说，对 称操作可以用矩阵来表示． • 若存在一组坐标的函数，当坐标变换时， 其中的任一函数变为这组函数的一个线性 组合，故由对称操作导致的这组函数的变 化情况也可以用矩阵来表示．
分子点群有二层解释含义：
1）这些对称操作都是点操作，操作
时分子中至少有一点不动。
2）分子中全部对称元素至少通过一
个公共点，若不交于一点，分子就不能维
持有限性质。
多根高次轴---正多面体
多个高次轴的对称元素组合必得 到与此组合对称性相对应的正多面体。 正多面体有五种：正四面体、正八面 体、立方体、正五角十二面体和正三 角二十面体。
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x 1
Nonlinear: ( )2 exp
2019年7月3
感谢你的观看
8
5. x *xdx 2 xdx
2 even 2 x odd
x 2 xdx 0
6.
(a)
[ xˆ,
pˆ x ] f
(x)
x(i x
l
2.
Aˆ
Aˆ
1 2m
[
pˆ x2
4
2
2m2x2
2ivmxpˆ x
pˆ x
(2iv mx) ]
Hˆ
1 2
h
Aˆ Aˆ
1 2m
[
pˆ x
2
4
2
2m2x2
2ivmxpˆ x
pˆ x (2ivmx)]
Hˆ
1 2
h
[ Aˆ , Aˆ ] Aˆ Aˆ Aˆ Aˆ h
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12
4.
Sx
1 2
Sx
1 2
S
2 x
1 2
4
S
2 x
1 4
2
2019年7月3
感谢你的观看
13
第五章
1.
*Hˆd 4
exp(cr 2 )[
2 2m
1 (r2
r
(r 2
)) r
e2 r
]exp(cr 2 )r 2dr
群论及应用ppt课件
证明：
xAB cii
aij b ji
i
i
j
xBA d jj
b ji aij
b ji aij
aij b ji xAB
j
ji
i
j
i
j
3、共轭矩阵特征标相同
B X 1 AX
xB bii
X
a 1
ij
jk
X
ki
i
i jk
X
ki
X
a 1
ij
jk
jk i
kj a jk a jj xA
（5）所有群都有一个全对称表示
（6） xi2 (R) 4 xi2 (R) 1 R
（7）正交性： xi (R)x j (R) 0
R
x(R) 1
（8）特征标表
C 2V
E
A1
1
A2
1
B1
1
B2
1
C2
1 V
2 V
1
1
1
1
-1
-1
-1
1
-1
-1
-1
1
熊夫利符号 对称操作 A，B 一维 E 二维 T 三维 g, u 中心对称与反对称
还是(x,y,z)，设P’点在OXYZ坐标系的坐标为(x’,y’,z’)，则： OP' e' r er '
因为
e ' eD(R)
OP' eD(R)r er'
r ' D(R)r
（3）
比较（3）和（2）式， 将物体固定变换基矢与将基矢固定使物体 作相反方向变动时，物体上各点的坐标变换情况是一样的。
R
h lil j
xAB cii
aij b ji
i
i
j
xBA d jj
b ji aij
b ji aij
aij b ji xAB
j
ji
i
j
i
j
3、共轭矩阵特征标相同
B X 1 AX
xB bii
X
a 1
ij
jk
X
ki
i
i jk
X
ki
X
a 1
ij
jk
jk i
kj a jk a jj xA
（5）所有群都有一个全对称表示
（6） xi2 (R) 4 xi2 (R) 1 R
（7）正交性： xi (R)x j (R) 0
R
x(R) 1
（8）特征标表
C 2V
E
A1
1
A2
1
B1
1
B2
1
C2
1 V
2 V
1
1
1
1
-1
-1
-1
1
-1
-1
-1
1
熊夫利符号 对称操作 A，B 一维 E 二维 T 三维 g, u 中心对称与反对称
还是(x,y,z)，设P’点在OXYZ坐标系的坐标为(x’,y’,z’)，则： OP' e' r er '
因为
e ' eD(R)
OP' eD(R)r er'
r ' D(R)r
（3）
比较（3）和（2）式， 将物体固定变换基矢与将基矢固定使物体 作相反方向变动时，物体上各点的坐标变换情况是一样的。
R
h lil j
结构化学课件第四章第一节
右列，不可约表示所依赖的基函数
表内，不可约表示对应各共轭类的特征标
共轭类
考虑群 G A, B,C
若， B1 AB C
B 为群中任一元素，那么 A 和 C
构成一个共轭类
群元素可分成若干共轭类，但每一个元素只能属一个共轭类。
如， C2v 点群
考虑 v yz
C21 v
yz
C 11 2
作用效果比较
xy xz yz x2-y2 3z2-r2
E xy xz yz x2-y2 3z2-r2
C2 xy -xz -yz x2-y2 3z2-r2
σV（xz） -xy xz -yz x2-y2 3z2-r2
σV（yz） -xy -xz yz x2-y2 3z2-r2
可以证明，这些矩阵的集合也构成群
S
D ' Ri
r21 0
0
r22 0 0
0 r33 0
0 0 r44
0
0
r45
0 0 0 r54 r55
此变换过程称，约化
可约表示总可以约化成若干个不可约表示
若表示可以约化，那么表示的基函数就是可以分解的
如，取x、y、z组合为基，
C2v点群的表示为对角矩阵（每个分块都是一维）
1 0 0
其中， G R1, R2 ,Ri Rn
等价表示的各矩阵的特征标对应相同，
或说特征标在相似变换中不变。
（2） 可约表示
若， D' G 有一个等价表示 DG
其每个矩阵都是具同样分块结构的准对角矩阵。
那么，此 D' G 即为可约表示。
准对角矩阵
r11 r12
r21
r22
0 0
0
表内，不可约表示对应各共轭类的特征标
共轭类
考虑群 G A, B,C
若， B1 AB C
B 为群中任一元素，那么 A 和 C
构成一个共轭类
群元素可分成若干共轭类，但每一个元素只能属一个共轭类。
如， C2v 点群
考虑 v yz
C21 v
yz
C 11 2
作用效果比较
xy xz yz x2-y2 3z2-r2
E xy xz yz x2-y2 3z2-r2
C2 xy -xz -yz x2-y2 3z2-r2
σV（xz） -xy xz -yz x2-y2 3z2-r2
σV（yz） -xy -xz yz x2-y2 3z2-r2
可以证明，这些矩阵的集合也构成群
S
D ' Ri
r21 0
0
r22 0 0
0 r33 0
0 0 r44
0
0
r45
0 0 0 r54 r55
此变换过程称，约化
可约表示总可以约化成若干个不可约表示
若表示可以约化，那么表示的基函数就是可以分解的
如，取x、y、z组合为基，
C2v点群的表示为对角矩阵（每个分块都是一维）
1 0 0
其中， G R1, R2 ,Ri Rn
等价表示的各矩阵的特征标对应相同，
或说特征标在相似变换中不变。
（2） 可约表示
若， D' G 有一个等价表示 DG
其每个矩阵都是具同样分块结构的准对角矩阵。
那么，此 D' G 即为可约表示。
准对角矩阵
r11 r12
r21
r22
0 0
0
4群表示与不可约表示
Chapter 4 分子的对称性与 群论基础
4.3 群表示和不可约表示
2. 可约与不可约表示
总结上述讨论： 1. 一个群可以有无穷多个矩阵表示，但其中很多是等价表 示，对于相互等价的表示，我们只需研究其中的一个。 2. 一个群可以有很多个不等价表示，但其中很多是可约的， 对于可约表示，我们可以将其约化为不可约表示的直和。 3. 研究群的性质，只需研究其不等价的不可约表示的性质。 对于有限阶的群，其不等价不可约表示的数目是有限的。 群的所有不等价不可约表示的性质就完全代表了群的性质。
Chapter 4 分子的对称性与 群论基础
4
4.3 群表示和不可约表示
1. 群表示
选取基函数为：
(g1 , g 2 , g 3 ) = (x 2 ,2 xy, y 2 )
1/ 4 3 2 C3 = − 3 4 − 1 / 2 34 − 3 2 3/ 4 3 4 14
− 1/ 2 σ′V = 3 2 0
3 2 0 1 / 2 0 0 1
b E = Ea ⊕ E b , C 3 = C a ⊕ C 3 3 , ......
− 1 / 2 − 3 2 0 ′ = − 3 2 σ ′V 1/ 2 0 0 0 1
χ (C n ) = −1
下标1 —— 下标2 ——
χ (σ V ) = 1
χ (σ V ) = −1
′ ) = −1 χ (C 2
′)=1 χ (C 2
上标′ —— 上标〞 ——
15
χ (σ h ) = 1
χ (σ h ) = −1
下标g —— 下标u ——
χ (i ) = 1
χ (i ) = −1
4.3 群表示和不可约表示
2. 可约与不可约表示
总结上述讨论： 1. 一个群可以有无穷多个矩阵表示，但其中很多是等价表 示，对于相互等价的表示，我们只需研究其中的一个。 2. 一个群可以有很多个不等价表示，但其中很多是可约的， 对于可约表示，我们可以将其约化为不可约表示的直和。 3. 研究群的性质，只需研究其不等价的不可约表示的性质。 对于有限阶的群，其不等价不可约表示的数目是有限的。 群的所有不等价不可约表示的性质就完全代表了群的性质。
Chapter 4 分子的对称性与 群论基础
4
4.3 群表示和不可约表示
1. 群表示
选取基函数为：
(g1 , g 2 , g 3 ) = (x 2 ,2 xy, y 2 )
1/ 4 3 2 C3 = − 3 4 − 1 / 2 34 − 3 2 3/ 4 3 4 14
− 1/ 2 σ′V = 3 2 0
3 2 0 1 / 2 0 0 1
b E = Ea ⊕ E b , C 3 = C a ⊕ C 3 3 , ......
− 1 / 2 − 3 2 0 ′ = − 3 2 σ ′V 1/ 2 0 0 0 1
χ (C n ) = −1
下标1 —— 下标2 ——
χ (σ V ) = 1
χ (σ V ) = −1
′ ) = −1 χ (C 2
′)=1 χ (C 2
上标′ —— 上标〞 ——
15
χ (σ h ) = 1
χ (σ h ) = −1
下标g —— 下标u ——
χ (i ) = 1
χ (i ) = −1
湘教版高中数学选修3-4对称和群全套PPT课件
，则
g(1) g(2) g(3) g(4) g(5) g(6)
g( 1)
a1
a1
a2
a3
a3
a2
2
a1
1 a1
6 a2
5 a3
4 a3
3 a2
1
g 故
是
1
的一个不动点.
反之，若对应
g 的循环置换分解式中某个
循环置换中号码的珠子有不同的颜色，例如
择，因而用乘法原理，这些有标 3
号的项链共有nm种。
4
但其中有一些可以通过旋转一个角
度或翻转180度使它们完全重合， 5 我们称为是本质相同的，我们要考
虑的是无论怎么旋转、翻转都不能
使它们重合的项链类型数。
1 8
7 6
设X={1，2，…m}, 代表m颗珠子的集合， 它们逆时针排列组成一个项链，由于每颗珠子 标有标号，我们称这样的项链为有标号的项链.
以1代表顶点A，2代表顶点B，而3代表顶点C。 并以M来记这三个顶点的集合，即M={l，2，3}。 于是，该三角形的诸对称变换就能用集合M的置换 来表示了。
我们用βl表示关于轴l1的反射，βl就相当于顶 点集合M的置换
1 1 1
2 3
3 2
，
关于轴l2，l3的反射β2，β3相当于顶点集合M 的置换
例1
决定正四边形ABCD的所有的对称变 换，并用顶点集合的置换来表示。
解 见左图。其中E，F，G，H分别
是边AD，AB，BC，CD的中点，l1，l2， l3，l4分别是线段EG，FH，AC，BD所在 的直线，O是正四边形ABCD的中心。对
于直线li(i=1，2，3，4)的反射记作βi， 显然βi把正四边形ABCD变到自身，即这 四个反射是ABCD的对称变换。它们对
第四章分子的对称
图IV
图V
图VI
D4h：[Ni(CN)4]2-(图I)、 [PtCl4]2-等平面四边形 分子属D4h对称性， 典型的金属四重键分子 Re2Cl82-(见课本P200)，两个Re各配位四个Cl原 子， 两层Cl原子完全重叠，故符合D4h对称性要 求。
还有一类金属簇，双金属原子间形成多重键，
并 通过四个羧桥再形成离域键。
平面型的对硝基苯分子 C6H4(NO2)2，草酸根离子 [C2O4]2-等。还有稠环化合物萘(图Ⅱ） 蒽、立体型的双吡啶四氟化硅(图Ⅲ）等。
图I
图II
图III
D3h：平面三角形的BF3(图IV)、
CO32-、NO3- 或三角形骨架的环丙烷均属D3h点群。 三 角双锥PCl5(图V)、 三棱柱型的Tc6Cl6(图VI)金属簇合物等也是D3h对称性。
分子点群是充分反映分子对称性的概念，有熊夫利
斯记号和国际记号两种。分子点群大致可分为几类：
Cn 、群 Dnh、群
Cnv、群 Dnd、群
Cnh 、群 Sn、群
Dn、群 高阶群
Cn点群
若分子只有n次旋转轴，它就属于Cn群，群元素为{E， Cn，Cn2…Cnn-1}。这是n阶循环群。
现以二氯丙二烯（图I）为例说明。 该分子两个H\C/Cl碎片分别位于两个相互垂直的平面上，
水 分 子 属 C2v 点 群 。 C2 轴 经 过 O 原 子 、 平 分 ∠HOH，分子所在平面是一个σv平面，另一个σv 平面经过O原子且与分子平面相互垂直。
与水分子类似的V型分子，如SO2、NO2、ClO2、 H2S, 船式环已烷(图IV)、N2H4(图V)等均属C2v点 群。其它构型的分子亦多属C2v点群的，如稠环化 合（C14H10），茚，杂环化合物呋喃(C4H4O)吡啶 (C5H5N)等。
对称问题_1 PPT
解题要点：求交点抓“到角”
思考：若l1//l2, 如何求l1 关于l2的对称直线方程？
例题讲解
五、反射问题
例5、一条光线从点M（5,3）射出，被 直线l：x+y=1反射，入射光线到直线l的
角为，已知tan =2,求入射光线和反射
光线所在直线的方程。
练习：
1、已知直线 3x－y－4=0 关于 x 轴对称的直 线方程为 _3_x_＋__y_－__4_=__0___；关于原点对称的直 线方程为 _3_x_－__y_＋__4_=__0___；关于直线 y = x 对 称的直线方程为 _x_－__3_y_&买的VIP时长期间，下载特权不清零。
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两条直线的位置关系
------对称问题
两条直线的位置关系 ------对称
四类对称 一、点关于点对称
常见运用 五、反射问题
二、点关于直线对称
三、直线关于点对称
四、直线关于直线对称
常见的对称问题：
x轴
y轴
P( a, b )
直线 y = x 直线 y = －x
直线 x = m
直线 y = n
点(m,n)
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思考：若l1//l2, 如何求l1 关于l2的对称直线方程？
例题讲解
五、反射问题
例5、一条光线从点M（5,3）射出，被 直线l：x+y=1反射，入射光线到直线l的
角为，已知tan =2,求入射光线和反射
光线所在直线的方程。
练习：
1、已知直线 3x－y－4=0 关于 x 轴对称的直 线方程为 _3_x_＋__y_－__4_=__0___；关于原点对称的直 线方程为 _3_x_－__y_＋__4_=__0___；关于直线 y = x 对 称的直线方程为 _x_－__3_y_&买的VIP时长期间，下载特权不清零。
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两条直线的位置关系
------对称问题
两条直线的位置关系 ------对称
四类对称 一、点关于点对称
常见运用 五、反射问题
二、点关于直线对称
三、直线关于点对称
四、直线关于直线对称
常见的对称问题：
x轴
y轴
P( a, b )
直线 y = x 直线 y = －x
直线 x = m
直线 y = n
点(m,n)
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对称元素组合点群优秀课件
• B类组合（高次轴多于1个），共5个。
• 3L2 4 L3 视为B类组合的原始形式，与L2 、与对称 心、与包含的对称面、与包含的对称面且有垂直L2
的组合时，可得到4个新的组合：
3L44L36L2 、 3L44L33PC 、 3L4i 4L36L2 、 3L44L36L29PC
晶体32种点群组合汇总
一、晶体对称元素的组合： 任何晶体的宏观对称性有以下十种对称元素:
1, 2, 3, 4, 6, 1, （2 m）, （3 3 1）, 4, （6 3 m）
晶体的对称元素间至少有一点重合。 晶体的全部对称元素的集合——点群。
晶体对称元素可能组合
• 可以通过直观的方法，上述对称元素的组合定律， 推导出点群。上述点群的推导比较形象和直观，但 欠严密性。严密的推导可利用群论进行。
1 23
如： 4/m m m
如：全写
4 m
3
2 m
简写: m3m
点群国际符号
晶体的对称分类
晶族(crystal category)的划分 根据高次轴的有无及多少而将晶体划分为三 个晶族
1.晶族（crystal category）：3个晶族 低级晶族：无高次轴 中级晶族：只有一个高次轴 高级晶族：高次轴多于一个
——表示Ln与垂直的对称面P的组合
C nv 群
C n 群加上含有n重轴的反演面，共4个
——表示Ln与平行的对称面P的组合
晶体点群的熊夫利符号
Dn ——表示Ln与垂直的L2的组合
双面群 D n
包含一个n重旋转轴和n个与之对应的二重轴的点群
D2, D3, D4, D6 —— 4个
Dnh群 Dnd 群
O h 群 —— 立方点群, 含有48个对称操作
分子的对称性习题解答汇编
C2
只有一个 C2 轴，点群为： C2
（e） O2N − NO2
（µ =0）
解：偶极矩为 0，O2N − NO2 中的六个原子在同一平面，N 原子采用 sp2
杂化，其结构为：
O
O
NN
O
O
主轴为 C2 ，有垂直于主轴的 C2 轴，以 D 打头，有垂直于主轴的对称
若三个 C 原子不等价，其中有一个 C 原子必须在正中心，其结构可
能是： O − C − C − C − O 或 C − O − C − O − C 后者不符合 C 四价，氧二价，
前者的结构为： O = C = C = C = O ，直线型对称分子，点群为： D∞h
（b） SO2
( µ = 5.40×10−30 C ⋅ m )
（c） 用矩阵的方法证明：
⎛ −1 0 0⎞
⎛1 0 0⎞
⎛ −1 0 0⎞
σ yz
=
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
，
σ
xz
=
⎜ ⎜
0
−1
0
⎟ ⎟
， C1 2(z)
=
⎜ ⎜
0
−1
0
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
⎛ −1 0 0⎞⎛ 1 0 0⎞ ⎛ −1 0 0⎞
∵⎜⎜ 0 ⎜⎝ 0
【4.6】用对称操作的表示矩阵证明：
（a） σ C2(z) xy = i 解：
（b） C C 2(x) 2( y) = C2(z)
（c） σ yzσ xz = C2(z)
（a） 用矩阵的方法证明：（提示：对角矩阵相乘等于对角元分别相乘）
只有一个 C2 轴，点群为： C2
（e） O2N − NO2
（µ =0）
解：偶极矩为 0，O2N − NO2 中的六个原子在同一平面，N 原子采用 sp2
杂化，其结构为：
O
O
NN
O
O
主轴为 C2 ，有垂直于主轴的 C2 轴，以 D 打头，有垂直于主轴的对称
若三个 C 原子不等价，其中有一个 C 原子必须在正中心，其结构可
能是： O − C − C − C − O 或 C − O − C − O − C 后者不符合 C 四价，氧二价，
前者的结构为： O = C = C = C = O ，直线型对称分子，点群为： D∞h
（b） SO2
( µ = 5.40×10−30 C ⋅ m )
（c） 用矩阵的方法证明：
⎛ −1 0 0⎞
⎛1 0 0⎞
⎛ −1 0 0⎞
σ yz
=
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
，
σ
xz
=
⎜ ⎜
0
−1
0
⎟ ⎟
， C1 2(z)
=
⎜ ⎜
0
−1
0
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
⎛ −1 0 0⎞⎛ 1 0 0⎞ ⎛ −1 0 0⎞
∵⎜⎜ 0 ⎜⎝ 0
【4.6】用对称操作的表示矩阵证明：
（a） σ C2(z) xy = i 解：
（b） C C 2(x) 2( y) = C2(z)
（c） σ yzσ xz = C2(z)
（a） 用矩阵的方法证明：（提示：对角矩阵相乘等于对角元分别相乘）
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感谢你的聆听
14
2.
(0) n
(2 / l)1/ 2
sin(nx / l)
E(1) =
=
(0) n
|
V0 V0
Hˆ
'|
(0) n
[sin(3n
3l / 4
= (2 / l)sin 2 (nx
l/4
/ 2) sin(n / 2)]
/
l )V0 dx
3l / 4
Ex
(nx
1 )h
2
x
E
(nx
1 )h
2
x
(ny
1 )h
2
y
(nz
1 )h
2
z
E
(nx
ny
nz
3)h
2
(b) (nx ny nz )
0
(0,0,0)
1
1
(1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)
3
2
(1,1,0) (1,0,1) (0,1,1) 6
(2,0,0) (0,2,0) (0,0,2)
15 10 5
2019-11-12
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6
2. 4 1 2 4 4 1 2 4 4 1
2
4
(a)
1 2 0 2 0 7/ 4 1/ 2
1 0 7/ 4 1/ 2
1
10 5 2 0 0 5 / 2 3 10 0 0 16 / 7 80 / 7
0 1 1 7 0 1 1 7 0 0 9 / 7 45/ 7
V (x,t) 2b2mx 2
2. H E
H
2 2m
2(x) x 2
V ( x)
(3c 2
/
m)(x)
E
3c 2 m
3 2.01018 (6.63 10 34 )2
1.0 10 30 4 2
6.67 10 20 J
2019-11-12
2019-11-12
感谢你的聆听
12
4.
Sx
1 2
Sx
1 2
S
2 x
1 2
4
S
2 x
1 4
2
2019-11-12
感谢你的聆听
13
第五章
1.
*Hˆd 4
exp(cr 2 )[
2 2m
1 (r2
r
(r 2
)) r
e2 r
l
2.
Aˆ
Aˆ
1 2m
[
pˆ x2
4
2
2m2x2
2ivmxpˆ x
pˆ x
(2iv mx) ]
Hˆ
1 2
h
Aˆ Aˆ
1 2m
[
pˆ x
2
4
2
2m2x2
2ivmxpˆ x
pˆ x (2ivmx)]
Hˆ
1 2
h
[ Aˆ , Aˆ ] Aˆ Aˆ Aˆ Aˆ h
x 1
Nonlinear: ( )2 exp
2019-11-12
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8
5. x *xdx 2 xdx
2 even 2 x odd
x 2 xdx 0
6.
(a)
[ xˆ,
pˆ x ] f
(x)
x(i x
]exp(cr 2 )r 2dr
4 exp(2cr 2 )( 22c2r 4 32cr 2 e2r)dr
m
m
(
exp(
ax2
)dx
)
a
32 32 e2 32 e2
4m 2c 2m 2c c 4m 2c c
f (x)) (i x
xf (x))
if
(x)
[xˆ, pˆ x ] i
(b)
[xˆ,
pˆ x2 ]
x(2
2 x2
)
x 2
2 x2
2 2
x
2 2
x
(c) [xˆ, pˆ y ] 0
(d) [xˆ,Vˆ (x, y, z)] 0
(e)
[xˆ, Hˆ ]
1 [xˆ, 2m
pˆ x2 ]
2 m
x
(f)
2019-11-12
[xˆyˆzˆ,
pˆ x2 ]
yz[xˆ,
pˆ x2
]
2 yz2 感谢你的聆听x
9
第四章
1. l l(l 1) 6 m l m 2,1,0,1,2
cos m 144.7 ,114.1 ,90 ,65.9 ,35.3
nk
nk
2019-11-12
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15
3.
(a)
1
c
E2 E1 hc
e2 2ahc
1 n12
1 n22
RH
1 n12
1 n22
109677.6(
1 32
1 62
)
9139.8
c m-1
1.09 10 4 cm
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16
4.
1
4 a03
2a0
r 2e2r / a0 dr
0
1
4 a03
e2r / a0 [ a0r 2 2
a02r 2
a03 4
2
8ml 2
n
2mvl h
2 10 3 10 2 10 2 6.63 10 34
3.02 1026
2.
(x) (2 / l)1/2 sin(x / l)
(a)
2 dx 2 x 6.55104
6.55104 106 655
(b)
126
[Hˆ ,
Aˆ ]
[ Aˆ
Aˆ
1 2
h
,
Aˆ
]
Aˆ[ Aˆ ,
Aˆ
]
hAˆ
[Hˆ
,
Aˆ
]
[
Aˆ
Aˆ
1 2
h
,
Aˆ
]
Aˆ[ Aˆ
,
Aˆ
]
hAˆ
2019-11-12
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10
HˆAˆ ( Aˆ Hˆ hAˆ ) [E hv]Aˆ
W
*Hˆd
*
d
3 2
4m
e2
2c c
32c 2e2 2m
2c
2c 2c
W 32
9 4
W
4e4m
3 2
(1/ 2) (4 / 3 ) 15%
(1/ 2)
2019-11-12
(d)
2dx
2[(
x2 b2
x b
1 2
)e
2
x
/
b
]0
1
4. t 0 (32 /c6 )1/4 xex2 /c2
2 dx 2 x 2.16104
2019-11-12
感谢你的聆听
2
第二章
1. E 1 mv 2 n2h2
41 2
4
0 7/ 4 1/ 2 1
0
0 0 16 / 7 80 / 7
00 0
0
(b) a 1 0 0 a
1
00 a
1
0
0
1 b 1 0 0 (ab 1) / a 1 0 0 (ab 1) / a
1
0
0 1 c 1 0 1
c1 0
0
(abc c a) /(ab 1) 1
感谢你的聆听
1
3.
(2 / b3 )1/ 2 xe|x|/ b
(a)
2 dx 2 x 3.29106
(b)
2 dx
(
x b
2 2
x b
1 )e2x/b 2
2
0
2dx
[(
x2 b2
x b
1 2
)e2
x
/
b
]02
0.0753
(c) 2 0 x 0 minimum
HˆAˆ ( AˆHˆ hAˆ ) [E hv]Aˆ
Aˆ
Aˆmin
(Hˆ
1 2
h
)min
0
(Emin
1 2
h
)m
in
Em in
1 2