大学物理课件---功能原理.机械能守恒.--[福州大学...李培官]

【例4】长度为L、质量为M的均匀链条，置于水平光 滑桌面上。开始时，有少部分链条（长度为a）下垂在 桌外。在重力作用下，链条下落。 求: 当链条尾端刚刚离开桌面时的速率 v = ? 解:(解法一) 用动能定理： L， M 链条下落是重力做功的结 果， 当下落长度变化时,重力大小也 变化，因此为变力做功。 用动能定理可求末状态速度。 1. 建立坐标 ox ,向下为正方向. 2. 某时刻端点位置为 x.
W
in c
( Epi Epi 0 ) Ep Ep 0
in nc
i i
W W (Ek Ep ) (Ek 0 Ep0 )
ex
定义机械能:
E Ek Ep
W W E E0
ex in nc
质点组的功能原理: 质点组机械能的增量等于外 力和非保守内力作功之和. 8
光滑 L、 M
光滑
a0Biblioteka a xx16
下落部分的质量及所受重力分别为
M m x L
M f mg xg L
L、 M
光滑
0
a x
M dW fdx xgdx L
W
L
a
M M 1 2 1 2 gxdx g L a L 2 2 L
v g 2 2 L a L
x
1 2 Mv 0 2
23
• 【例7】.如图所示，物块m=2 kg，在o处沿 水平方向X轴运动，初速V0 =7 m/s ，运动 中受到与速度V成正比的水平阻力f的作用 • f =-V /2 (SI).求：(1).速度V与时间t的 关系式；(2).若物块运动到c处时，速度Vc =3.5 m/s，则Xc =？ • f V。 Vc X 0 Xc
A
由功能原理:
Af EC E A
3
2 1 1 2 mg cos AC k ( BC ) ( mv 0 mg AC sin ) 2 2

C
解得: k 3.46 10 N/m
2) Af E D EC 2 1 mg cos CD mg CD sin k ( BC ) 2 解得: CD 3.17m
今天是2014年3月26日星期三
大学物理课件
2-4.功能原理.机械能守恒
福州大学至诚学院
大学物理教研室 李培官
第二章标题
2-4.功能原理.机械能守恒
2-4.功能原理. 机械能守恒
3
一.系统的势能
利用保守力的功与路径无关的特点，可引入 “势能” 的概念。 1. 系统的势能 Ep的定义 定义： 系统由位形(1)变到位形(2)的过程中， 其势能的减少(增量的负值)等于保守内力的功。
(25) 13
【例2】已知子弹质量m0=0.02kg，木块质量m为8.98kg， 弹簧的劲度系数是100N/m，子弹以v0=319m/s射入木块 后，弹簧被压缩△X。[子弹留在木块中]。求：△X的 大小。设木块与平面间的滑动摩擦系数为0.2.
解：子弹与木块碰撞，弹 簧来不及发生形变，子弹 与木块达到同样的速度， 碰撞整个过程动量守恒
m平衡时,有kx0=mg Ep=kx2/2 ★由以上结果，可引出如下
弹簧原长位置 x2
E重=mgx
m
M
F
x0 o x1
重要结论：
在重力场中，对于由物m和弹 簧k构成的系统，若以它们的 “平衡位置”看成“弹簧的原 长位置”，则可不计m所受的 重力及重力势能。
(28) 20
•
【例6】.如图所示,在重力场中,由弹簧k两 端联结物m1和 m2,再加压力F。求：撤去F后 能使m2也跳起来的最小值F=? x2 b m1 x1
27
(方法七).动量定理：
•
c
I =△P =mVc -mV0
fdt Vdt / 2 23.5 27
0 0
c
• 得；
X Vdt 14(m)
6
讨
论
1 势能是由保守内力相联系的质点系的状态函数
Ep Ep ( x, y, z ) 由质点间相对位置决定.
2 势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关, 因此势能的绝对值没有意义 .
3 保守力场中任意两点间的势能差与势能零点选取无关. 4 势能是属于系统的，如说物体的势能不确切. 5 势能计算 令
v0
m0v0 (m0 m)v
随后弹簧压缩，整个过程能量守恒，动能转化为 弹性势能及摩擦力所做的功 1 1 2 (m0 m )v k x 2 (m0 m ) g x 2 2 代入数值，得到：
△X=0.1m
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【例3】一轻质弹簧劲度系数为k, 二端固定质量均为 M的物体A和B, 放在光滑桌面上静止, 今有一质量为 m的子弹沿弹簧轴线方向以速度 v0 射入一物块而不 复出, 求弹簧最大压缩长度。 解:设m与A作用时间很短
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应用机械能守恒定律解题的思路和方法：
明确物理过程后，首先确定研究对象，研究 对象必须是质点系；然后进行受力分析，只分析 外力和非保守内力，判断它们作功是否为零；若 满足机械能守恒条件，则用机械能守恒定律，否 则只能运用功能原理；最后规定势能零点，写出 初末状态的机械能，列出方程，求解。
11
第四节
9
3.机械能守恒定律只适用于惯性系，不适合于非惯 性系。 4.在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性系中 机械能不一定守恒。
因为外力的功与参考系的选择有关。对一个参考系 外力功为零，但在另一参考系中外力功也许不为零。
5.机械能守恒定律只是普遍的能量转化和守恒定律的 特殊形式。 各种形式的能量是可以相互转换的，但是不论如何 转换，能量既不能产生，也不能消灭，只能从一种形式 转换成另一种形式，这一结论叫做能量守恒定律。
k
F
x3 a
m2
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• 解：(方法一)“基本法”.用机械能守恒定律 • 选取位置a为重力势能零点,弹簧原长位置为弹性 势能零点。 • 分析：要使m2能跳起，则弹簧必须拉伸一段x2， 且kx2必须大等于m2g [临界情况：m2g =kx2 ] • 根据机械能守恒，有Ea =Eb 即
• • • •
k(x1 +x3 )2 /2=m1g(x1 +x2 +x3 ) +kx22 /2 用m1g =kx1 代入上式， 整理得：x3 =x1 +x2 于是有：F(最小) =kx3 =kx1 +kx2 =m1g +m2g
W ( Ep Ep0 ) Ep
Ep0 0 ( x, y ,z )
Ep0 0 Ep ( x, y, z )
F dr
7
二.功能原理
由质点组动能定理
in in
W W Ek Ek 0
ex in
in c in nc
W Wi W W
i
非保守力的功
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• • • • • • • • •
(方法二)“模块法”.利用上题的结论 把平衡位置a，看成弹簧原长位置，则有 Ea =k(x3)2 /2 =Eb =k(x1 +x2 )2 /2 于是有：x3 =x1 +x2 F最小 =kx1 +kx2 =m1 g +m2g (方法三)“巧思法”.利用简谐振动规律 [临界情况：m2 实际未离地，可看成固定] 振幅=x3 =x1 +x2 于是F最小 =kx3 =kx1 +kx2 =m1g +m2g
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(方法五).微元动能定理. dW = f.dX = -VdX /2 =d[Ek ] = d[mV2 /2 ] • =2VdV (m =2kg ) 整理得： • dX = -4dV 两边积分得：Xc =14 (m) • • • • • • (方法六).据牛顿第二定律. f = -V /2 = -0.5 dX /dt =ma=2dV /dt 两边消去dt. 整理得：dX = -4dV 两边积分得：Xc -0 =-4×(3.5-7) =14 Xc =14 (米)
( 参考点 )
x
0 F dx k ( x - x0 )dx
M
(27) 19
1 1 2 1 2 2 k ( x x0 ) kx 0 kx kx 0 x 2 2 2
系统的重力势能:
1 2 系统的总势能: E p E弹 E重 kx - kx 0 x mgx 2 x
• • • dX 7 -t /4 dt 两边积分后可得
=e
牛顿
（Sir Isaac NewtonFRS, 1642-1727）
Xc =14 (m)
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• • • • • • • • • •
(方法二).据牛顿第二定律. f=ma=m.dV /dt =-V /2 可得：Vdt =-4dV 两边积分后可得：Xc =14 (m) (方法三).据牛顿第二定律. f =m.dV/dt.[dX /dX ] =-V /2 整理得：dX= -4dV 两边积分得： Xc =-4.[ 3.5-7 ] = 14 (米) (方法四).据微元动量定理：f.dt =d(mV) = -Vdt/2 整理得：Vdt = -4dV 两边积分得： Xc =-4.[ 3.5-7 ] = 14 (米)
m
v0
A
B
mv0 (m M )v
(m M )v (m 2 M )v
M
M
取m、A、弹簧和B为系统，动量守恒：
1 1 1 2 2 2 ( m M )v ( m 2 M )v kx 2 2 2
解得: x mv0
M k (m M )(m 2 M )
(29) 15
三.机械能守恒定律
A外 A非保内 E E0 E 质点系的功能原理：
若 A外 0 且 A非保内 0