【精选】_高中数学第三章不等式3.1.1_2不等关系课件北师大版必修5

(2)作商法比较大小一般适用于含幂式、积式、分式且符号确 定的数或式的大小的比较，作商后可变形为能与1比较大小的式 子．
跟踪训练 2 将本例(1)中的条件“x≤1”改为“x∈R”，试 比较x3－1与2x2－2x的大小．
解析：x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2
解析：由于b<2a,3d<c，则由不等式的性质得b＋3d<2a＋c，故 选C.
答案：C
3．已知a，b均为实数，则(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－ 4)(填“>”“<”或“＝”)．
解析：因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－ 2a－8)＝－7<0，所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．
＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)x－122＋34. 当x>1时，x3－1>2x2－2x； 当x<1时，x3－1<2x2－2x； 当x＝1时，x3－1＝2x2－2x.
类型三 不等式的基本性质
[例3] (1)以下结论一定能推出a<b的是( )
A．(a－b)a2<0 B．a2<b2
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
2019/8/4
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(2)因为a>0，b>0，所以aabb>0，abba>0. 所以aaabbbba＝abaa－ －bb＝aba－b.
讨论：①当a>b时，ab>1，a－b>0，所以aba－b>1. 所以aabb>abba.
②当a＝b时，ab＝1，a－b＝0，所以aba－b＝1. 所以aabb＝abba.
(8)开方法则：a>b>0⇒n a>n b(n∈N＋)．
|自我尝试|
1．若f(x)＝3x3－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小 关系是( )
A．f(x)<g(x) B．f(x)＝g(x) C．f(x)>g(x) D．随x值变化而变化
解析：f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1) ＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0， 所以f(x)>g(x)．故选C. 答案：C
答案：<
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
③当a<b时，0<ab<1，a－b<0，所以aba－b>1.所以aabb>abba. 综上可知，当a>0，b>0时，aabb≥abba.
方法归纳
(1)利用作差法比较大小的一般步骤为作差——变形——定号 ——结论．变形的目的是能判断符号，变形越彻底就越易判断符 号．常用方法为配方、平方差公式、立方差、立方和公式、通 分、因式分解、分子(或分母)有理化等．
|巩固提升|
1．(湖南衡阳期末)设a，b，c∈R，且a>b，则( )
A．ac>bc B．a2>b2
C．a3>b3
11 D.a<b
解析：当c≤0时，A不成立；当b<a<0时，B不成立； 当a>0，b<0时，D不成立，C正确．选C. 答案：C
2．已知b<2a,3d<c，则下列不等式一定成立的是( ) A．2a－c>b－3d B．2ac>3bd C．2a＋c>b＋3d D．2a＋3d>b＋c
【课标要求】
1.通过具体情境，感受日常生活中存在的大量不等关系. 2.能利用不等式的性质比较两个实数的大小. 3.理解不等式的基本性质，并能运用这些性质判断或证明不等 式. 4.了解不等式(组)的实际背景.
自主学习 基础认识
1．不等式的有关概念
(1)用数学符号>、<、≥、≤、≠连接两个数或代数式，形成
2．某高速公路要求行驶车辆的速度v的最大值为120 km/h，同 一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为( )
A．v≤120 km/h，且d≥10 m B．v≤120 km/h，或d≥10 m C．v≤120 km/h D．d≥10 m
解析：v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，d不得小于10 m，即d≥10 m.
【解析】 设身高为h m，
文字表述 身高不足1.2 m 身高在1.2～1.5 m间
符号表示
h<1.2
1.2≤h≤1.5
票价
免票
半价票
身高超过1.5 m h>1.5 全价票
方法归纳
(1)利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性 质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不 能用不等式来表示．
|素养提升|
1．用作差法比较的一般步骤 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将 “差”化成“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确 定的要分情况讨论) 第四步：最后得结论． 概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形” 是关键．
2．运用不等式的性质判断不等式是否成立时要注意不等式成 立的条件，不要弱化条件，更不要想当然地运用一些不存在的性 质．如例3(1)中a<b并不能说明a、b的正负．
(2)利用不等式的性质证明不等式的注意事项 ①利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此 类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意 在解题中灵活准确地加以应用． ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式性质成 立的条件，切不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与 法则．
解析：根据题意可得
3x＋5y≤20 5x＋4y≤25 x≥1，x∈N y≥1，x∈N.
类型二 比较大小 [例2] (1)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． (2)已知a>0，b>0，比较aabb与abba的大小．
【解析】 (1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1) ＝(3x2＋1)(x－1)． 由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1>0. 所以(3x2＋1)(x－1)≤0， 所以3x3≤3x2－x＋1.
跟踪训练 3 (1)已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大 小关系是( )
A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b (2)若bc－ad≥0，bd>0，求证：a＋b b≤c＋d d.
解析：(1)选C.法一：因为A、B、C、D四个选项中，每个选项 都是唯一确定的答案，所以可用特殊值法．
a>b.
(2)证明：因为c<d<0，所以－c>－d>0.
又a>b>0，所以a－c>b－d>0，则(a－c)2>(b－d)2>0，即
1 a－c2
1 <b－d2.
又e<0，所以a－e c2>b－e d2.
方法归纳
(1)运用不等式的性质判断真假的技巧 ①首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不 凭想当然随意捏造性质． ②解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注 意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；一是取值要简 单，便于验证计算．
(2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一．
跟踪训练 1 配制A，B两种药剂，需要甲，乙两种原料．已 知配一剂A种药需甲料3克，乙料5克；配一剂B种药需甲料5克，乙 料4克．今有甲料20克，乙料25克，若A，B两种药至少各配一剂， 设A，B两种药分别配x，y剂(x，y∈N)，请写出x，y应满足的不等 关系式．
不等关系的式子叫作不等式．
(2)常见的文字语言与数学符号之间的转化如下表
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大于
>
至多
≤
小于
<
至少
≥
大于等于 ≥
不少于
≥
小于等于 ≤
不多于
≤
2.实数的运算性质与大小顺序之间的关系 a－b>0⇔a>b； a－b＝0⇔a＝b； a－b<0⇔a<b.
3．不等式的基本性质 (1)对称性：a>b⇔b<a. (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c. (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc. (5)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d. (6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd. (7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N＋)．
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的 研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行 叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法； 因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。