高考数列压轴题

高考数列压轴题

Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

高考数列压轴题一．解答题（共50小题）

1．数列{a n}满足a1=1，a2=+，…，a n=++…+（n∈N*）

（1）求a2，a3，a4，a5的值；

（2）求a n与a n﹣1之间的关系式（n∈N*，n≥2）；

（3）求证：（1+）（1+）…（1+）＜3（n∈N*）

2．已知数列{x n}满足：x1=1，x n=x n+1+ln（1+x n+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，（Ⅰ）0＜x n+1＜x n；

（Ⅱ）2x n+1﹣x n≤；

（Ⅲ）≤x n≤．

3．数列{a n}中，a1=，a n+1=（n∈N*）

（Ⅰ）求证：a n+1＜a n；

（Ⅱ）记数列{a n}的前n项和为S n，求证：S n＜1．

4．已知正项数列{a n}满足a n2+a n=3a2n+1+2a n+1，a1=1．

（1）求a2的值；

（2）证明：对任意实数n∈N*，a n≤2a n+1；

（3）记数列{a n}的前n项和为S n，证明：对任意n∈N*，2﹣≤S n＜3．

5．已知在数列{a n}中，．，n∈N*

（1）求证：1＜a n+1＜a n＜2；

（2）求证：；

（3）求证：n＜s n＜n+2．

6．设数列{a n}满足a n+1=a n2﹣a n+1（n∈N*），S n为{a n}的前n项和．证明：对任意n ∈N*，

（I）当0≤a1≤1时，0≤a n≤1；

（II）当a1＞1时，a n＞（a1﹣1）a1n﹣1；

（III）当a1=时，n﹣＜S n＜n．

7．已知数列{a n}满足a1=1，S n=2a n+1，其中S n为{a n}的前n项和（n∈N*）．（Ⅰ）求S1，S2及数列{S n}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{b n}满足，且{b n}的前n项和为T n，求证：当n≥2时，．

8．已知数列{a n}满足a1=1，（n∈N*），

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）证明：．

9．设数列{a n}的前n项的和为S n，已知a1=，a n+1=，其中n∈N*．（1）证明：a n＜2；

（2）证明：a n＜a n+1；

（3）证明：2n﹣≤S n≤2n﹣1+（）n．

10．数列{a n}的各项均为正数，且a n+1=a n+﹣1（n∈N*），{a n}的前n项和是S n．（Ⅰ）若{a n}是递增数列，求a1的取值范围；

（Ⅱ）若a1＞2，且对任意n∈N*，都有S n≥na1﹣（n﹣1），证明：S n＜2n+1．

11．设a n=x n，b n=（）2，S n为数列{a n b n}的前n项和，令f n（x）=S n﹣1，x∈R，a ∈N*．

（Ⅰ）若x=2，求数列{}的前n项和T n；

（Ⅱ）求证：对n∈N*，方程f n（x）=0在x n∈[，1]上有且仅有一个根；

（Ⅲ）求证：对p∈N*，由（Ⅱ）中x n构成的数列{x n}满足0＜x n﹣x n+p＜．12．已知数列{a n}，{b n}，a0=1，，（n=0，1，2，…），

，T n为数列{b n}的前n项和．

求证：（Ⅰ）a n+1＜a n；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）．

13．已知数列{a n}满足：a1=，a n=a n﹣12+a n﹣1（n≥2且n∈N）．

（Ⅰ）求a2，a3；并证明：2﹣≤a n≤3；

（Ⅱ）设数列{a n2}的前n项和为A n，数列{}的前n项和为B n，证明：=a n+1．

14．已知数列{a n}的各项均为非负数，其前n项和为S n，且对任意的n∈N*，都有．

（1）若a1=1，a505=2017，求a6的最大值；

（2）若对任意n∈N*，都有S n≤1，求证：．

15．已知数列{a n}中，a1=4，a n+1=，n∈N*，S n为{a n}的前n项和．

（Ⅰ）求证：n∈N*时，a n＞a n+1；

（Ⅱ）求证：n∈N*时，2≤S n﹣2n＜．

16．已知数列{a n}满足，a1=1，a n=﹣．

（1）求证：a n≥；

（2）求证：|a n+1﹣a n|≤；

（3）求证：|a2n﹣a n|≤．

17．设数列{a n}满足：a1=a，a n+1=（a＞0且a≠1，n∈N*）．

（1）证明：当n≥2时，a n＜a n+1＜1；

（2）若b∈（a2，1），求证：当整数k≥+1时，a k+1＞b．18．设a＞3，数列{a n}中，a1=a，a n+1=，n∈N*．

（Ⅰ）求证：a n＞3，且＜1；（Ⅱ）当a≤4时，证明：a n≤3+．19．已知数列{a n}满足a n＞0，a1=2，且（n+1）a n+12=na n2+a n（n∈N*）．（Ⅰ）证明：a n＞1；

（Ⅱ）证明：++…+＜（n≥2）．

20．已知数列{a n}满足：．

（1）求证：；

（2）求证：．

21．已知数列{a n}满足a1=1，且a n+12+a n2=2（a n+1a n+a n+1﹣a n﹣）．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）求证：++…+＜；

（3）记S n=++…+，证明：对于一切n≥2，都有S n2＞2（++…+）．

22．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，n∈N*．

（1）求证：≤a n≤1；

（2）求证：|a2n﹣a n|≤．

23．已知数列{a n]的前n项和记为S n，且满足S n=2a n﹣n，n∈N* （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）证明：+…（n∈N*）

24．已知数列{a n}满足：a1=，a n+1=+a n（n∈N*）．

（1）求证：a n+1＞a n；

（2）求证：a2017＜1；

（3）若a k＞1，求正整数k的最小值．

25．已知数列{a n}满足：a n2﹣a n﹣a n+1+1=0，a1=2

（1）求a2，a3；

（2）证明数列为递增数列；

（3）求证：＜1．

26．已知数列{a n}满足：a1=1，（n∈N*）（Ⅰ）求证：a n≥1；

（Ⅱ）证明：≥1+

（Ⅲ）求证：＜a n+1＜n+1．