[22] 考虑多间隙耦合关系的齿轮系统非线性动力学分析
考虑多间隙耦合关系的齿轮系统非线性动力学分析
考虑多间隙耦合关系的齿轮系统非线性动力学分析张慧博;王然;陈子坤;魏承;赵阳;游斌弟【摘要】建立了一种新的考虑径向间隙与动态齿侧间隙耦合的齿轮转子系统动力学模型，分析了径向间隙与齿侧间隙的耦合关系及其对系统动力学特性的影响。
在系统动力学模型中，建立了考虑径向间隙的接触碰撞模型；通过推导齿轮中心距与齿侧间隙之间的函数关系，建立了考虑动态齿侧间隙的齿轮扭转振动模型。
进而利用该模型对多间隙齿轮系统的动力学特性进行分析。
给出了一对直齿轮副的数值仿真结果，分别分析了径向间隙大小和齿侧间隙大小对齿轮系统动力学特性的影响规律，分析结果对含间隙齿轮转子系统的研究具有重要的理论与工程价值。
%The dynamic behavior and the coupling relationship between radial clearance and backlash of a gear-rotor system with multi-clearance were investigated here.A new dynamic model of the gear-rotor system with coupled multi-clearance was developed including nonlinearity associated with radial clearance and dynamic backlash.In the dynamic model,the contact impact model considering radial clearance was established using the nonlinear contact force model.And the torsional vibration model with dynamic backlash was established using the geometrical relationship between gear center distance and backlash.And then,the dynamic characteristics of the gear-rotor system were analyzed based on the new dynamic model with coupled multi-clearance.The numerical simulation results for a spur gear pair with multi-clearance were presented and discussed.The effects of radial clearance size and initial backlash size on the system dynamic characteristics were analyzed,respectively.Theconclusions had important theoretical and engineering values for gear-rotor systems with clearances.【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2015(000)008【总页数】8页(P144-150,192)【关键词】动态齿侧间隙;径向间隙;多间隙耦合;齿轮转子系统;动力学特性【作者】张慧博;王然;陈子坤;魏承;赵阳;游斌弟【作者单位】哈尔滨工业大学航天工程系，哈尔滨 150001;哈尔滨工业大学航天工程系，哈尔滨 150001;哈尔滨工业大学航天工程系，哈尔滨 150001;哈尔滨工业大学航天工程系，哈尔滨 150001;哈尔滨工业大学航天工程系，哈尔滨150001;哈尔滨工业大学航天工程系，哈尔滨 150001【正文语种】中文【中图分类】TH113第一作者张慧博男，博士生，1985年生通信作者赵阳男，博导，教授，1968年生Nonlinear dynamic analysis of a gear-rotor system with coupled multi-clearanceKey words:dynamic backlash; radial clearance; coupled multi-clearance; gear-rotor system; dynamic characteristics对于齿轮系统的动力学建模一直是人们关注的焦点，也取得了大量的研究成果。
基于有限单元法的多间隙耦合齿轮传动系统非线性动态特性分析
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＶＩ ＲＡ ＯＮ Ｂ ＴＩ ＡＮＤ Ｓ ＨＯＣ Ｋ
基 于 有 限 单 元 法 的 多 间 隙耦 合 齿 轮 传 动 系 统 非 线 性 动 态 特 性 分 析
陈小安 ，缪莹赞 ，杨 为 ，康辉 民
４ ０４ ） ０ ０４
中 图分 类 号 ：Ｔ ３ ． Ｈ１２４ 文 献 标 识 码 ：Ａ
齿轮 传动 系统是 各类 机 械 系统 和机 械 装备 的主要
用 有 限元分 析 软 件 Ａ Ｓ Ｓ Ｌ Ｎ Ｙ ／ Ｓ—Ｄ Ｎ Ｙ Ａ建 立 多 间 隙耦
传 动系统 ， 统振 动 特 性 直 接 影 响 机 械 系统 和 机械 装 系
备 的性能 和 可靠 性 。因此 ， 长期 以 来 人们 对 齿 轮 系统
合 齿轮 传动 系统 动 力 学 模 型 ， 析 了耦 合 系统 的动 态 分 传 递误 差 、 双 边 冲击 特 性 、 齿 、 击及 混 沌现 象 等 单 脱 拍 强非线 性特 性 ， 研究 了不 同转 速 及 负 载力 矩对 系统 并
特性 、 脱齿及 拍 击 现 象 等 复 杂非 线 性 动 态 特 性 的研 究
齿 轮 子 系 统 加 速 度 、 度 和 位 移 速
还没 有相关 文献发 表 。 由于有 限单元 法 不仅 可 以处 理 任 意结构形 状 、 荷工 况等 复 杂 问题 ， 同时可 以考 虑 载 并
矢量；
，
非线性 动态特性 进 行 了大量 的研究 。 目前 国 内外
１ 齿轮 一轴 承 一转 子 耦 合 系统 动 力学 模 型
１ １ 齿 轮 一 承 一转子耦 合 系统 动 力学方 程 ． 轴
将 齿轮 一轴 承 一转 子 耦 合 系 统 分 为齿 轮 子 系统 、 转子子 系统 和 轴 承 子 系统 ， 用 有 限 单 元 法 建立 齿 轮 采
多间隙耦合齿轮转子系统动力学与试验研究_张慧博
0 前言1
齿轮转子系统的振动特性一直是关注的焦点
* 国家重点基础研究发展计划(973 计划，2013CB733000)、国家自然科 学 基 金 (51575126)和 机 器 人 技 术 与 系 统 国 家 重 点 实 验 室 开 放 研 究 (SKLRS-2017-KF-15)资助项目。20160628 收到修改稿，20170316 收 到修改稿
第 53 卷第 11 期 2017 年 6 月
机械工程学报
JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING
Vol.53 No.11
Jun.
2017
DOI：10.3901/JME.2017.11.029
多间隙耦合齿轮转子系统动力学与试验研究*
张慧博 1 田 健 2 周 峻 2 赵 阳 2 游斌弟 3
α
′
=
arccos
A0 AR
cosα0
(6)
式中，A0 为轮齿标准啮合时的理想中心距；AR 为考 虑径向跳动的实际中心距；α0 为理想啮合时的压 力角。
根据式(5)、(6)，给出动态齿侧间隙的表达式为 bt (t) = 2A0cos(α0 )(inv(α ′) − inv(α0 )) + bo (7)
3. School of Naval Architecture and Ocean Engineering, Harbin Institute of Technology, Weihai 264209)
Abstract：A new modelling method of gear-rotor system with multiple clearances used to investigate the dynamic responses of gear-rotor system is proposed. The dynamic model, including nonlinearity associated with radial clearance, dynamic backlash and time-varying mesh stiffness, is validated by experimental. Then the vibration characteristics of gear-rotor system with multiple clearances influenced by rotational speed and clearance size are presented and discussed in frequency domain. The results show that the spectrum of vibration acceleration mainly includes the radial frequency and mesh frequency. With the gradual increase of speed, the amplitude of radial vibration increases, and mesh vibration also more intense. The amplitudes of radial and mesh vibration increase with the increase of radial clearance. When the backlash is relatively large, the return difference is also relatively large. Finally, the theoretical calculation and analysis results are validated by the dynamic experiment data basically. And the differences between calculation results and experimental data are mainly from parameter error of dynamic model and measurement error. Key words：multiple clearances；gear-rotor system；dynamic modeling；experimental investigation
基于齿侧间隙的非线性系统动力学建模及仿真
基于齿侧间隙的非线性系统动力学建模及仿真佚名【摘要】This article carried out the system dynamics modeling and numerical solution for single-stage helical gear transmission mechanism.Continuous hyperbolic tangent function was used for the backlash nonlinear problem;the difficulty of nonlinear problem was transformed into a linear problem.This new method improves the numerical stability,through comparing the influence of the backlash on the gear meshing force and analyzing the displacement response curve so as to provide the basis for improving the accuracy of gear transmission.%对单级斜齿轮传动机构进行了系统动力学建模与数值分析求解，针对齿侧间隙非线性问题采用连续的双曲正切函数来代替，把难于处理的非线性问题转换成线性问题。
新的求解方法提高了数值稳定性，通过比较齿侧间隙对齿轮传动啮合力的影响，分析齿轮传动过程中外载下的位移响应曲线，为提高齿轮传动精度提供依据。
【期刊名称】《湖北工业大学学报》【年(卷),期】2015(000)004【总页数】4页(P61-64)【关键词】斜齿轮;数值分析;间隙非线性【正文语种】中文【中图分类】TH132.413斜齿轮作为机械传动中的一种常用减速机构，广泛应用于机械产品中。
齿轮传动系统的非线性冲击动力学行为分析_陈思雨
D+ ={(ti, xi, yi)xi >1, ·xi =yi}
(6)
假设初始值取在 Pi处 , 则轮齿经过短暂的运行之
后到达切换曲面 ∑ + -的 P0 点 , 本文忽略瞬态响应的影
响 , 以 P1 点为新的初始值 。则间隙系统的冲击映射结
构为 ,
∑ ∑ +
P1 P2 =P1 ※ P2 ∶ +
第 28卷第 4 期
Байду номын сангаас
振 动 与 冲 击 JOURNALOFVIBRATIONANDSHOCK
Vol.28 No.4 2009
齿轮传动系统的非线性冲击动力学行为分析
陈思雨1 , 唐进元 1 , 谢耀东2
(1.中南大学 机电工程学院 现代复杂装备设计与极端制 造教育部重点实验室 , 长沙 410083;2.株洲齿轮有限公司 , 株洲 412000)
1 2
c1 ω[
ann+an+2
(n+2)]
(11)
图 2 间隙系统的冲击示意图
当 xi >1时 , 映射路径只有 P1 P2和 P5 P6两种情形 , 除 了受初始条件的影响外 , 还跟齿轮系统的时变刚度 、摩
擦系数和载荷系数等参数有关系 。当 xi <1时 , 可能 出现的映射路径有 P7 P0 、 P3 P4 、 P9 P8和 P11 P10四种情 形 。此时映射跟初始条件 、摩擦系数及载荷系数等有
转动角速度 。
根据文献 [ 27] , 量纲一化的齿轮系统的运动方程
可以表示为 ,
·x· +c(t)·x+k(t)f(x) =F(t)
(1)
其中 , x为量纲一化的齿轮传动系统的动态传递误差 ;
考虑齿面接触温度的齿轮系统非线性动力学建模及分析_苟向锋
0
前言
*
齿轮是应用广泛的动力与运动传递装置之一。 齿轮系统实际啮合中齿面摩擦消耗的能量大部分转
国家自然科学基金(51365025， 11462012)、 教育部博士点基金 (2012620
4110001)和甘肃省创新研究群体计划(1308RJIA006) 资助项目。 20131107 收到初稿，20150228 收到修改稿
主、从动轮齿数。 rci (t)(i 1,2) 可由下式计算得到：
rc1(t) ((rb1 rb2 )sin ra22 rb22 cos2 rb11t)2 rb2 1
(6)
rc2 (t) ( ra22 rb22 cos2 rb11t cos)2 rb22 cos2
2
换为热量，导致齿面接触温度升高。在高速重载工 况下，摩擦引起的齿面接触温度升高极易导致齿面 胶合。TABURDAGITAN 等[1]建立了研究由摩擦引 起齿面温度变化的有限元模型。MAO[2]使用有限差 分法研究了一种复合材料齿轮的齿面接触温度，提 出了一种更接近实际的齿面闪温计算方法。龙慧等 [3] 提出了一种齿面摩擦因数和热流量的计算方法， 建立了高速齿轮传动瞬时接触温度分析模型。齿面 接触温度变化将使轮齿齿廓发生形变，进而使轮齿 啮合刚度发生变化，对齿轮系统的动力学性能产生 较大影响，这使得齿面接触温度成为不可忽视的因 素之一。近年来，以 KAHRAMAN [4]建立的单自由 度齿轮系统动力学模型为基础，学者们提出了各种 新的改进模型[5,6]， 研究了更多复杂因素对齿轮副动 态传递性能的影响。VAISHYA 等[7-8]研究了齿轮系 统的摩擦力，建立了计及摩擦力的齿轮系统动力学 模型。王三民等[9]建立了考虑摩擦、时变刚度、齿 侧间隙的单自由度齿轮系统非线性动力学模型。唐 ， 进元等[6 10]等建立了一种考虑齿面摩擦、时变刚度 和齿侧间隙的改进的动力学模型。在目前有关齿轮 系统的非线性动力学研究文献中，尚未见到考虑齿 面接触温度对动力学性能影响的报道。本文在考虑 齿面摩擦、时变啮合刚度、齿侧间隙等非线性因素 的基础上，根据 Block 闪温理论及 Hertz 接触理论 建立考虑齿面接触温度的单级直齿圆柱齿轮系统的 非线性动力学模型，并通过对该模型的研究，分析 摩擦因数、载荷对齿面闪温的影响以及齿面接触温 度对系统动力学的影响。
齿轮非线性动力学研究展望
齿轮非线性动力学研究展望齿轮传动是动力学研究领域中的重要组成部分，同时也被运用于各种机械设备中，系统的使用精度由于齿轮的广泛应用而大幅提升。
齿轮传动系统的主要特点是系统高转速、建模难度大和求精确解困难。
当今精密机械设备以及高精尖仪器等均对齿轮的精度提出了更严苛的需求，这对齿轮非线性动力学的研究提出了更深入的要求。
标签：非线性动力学；非线性方法；齿轮传动系统设备中极为关键的齿轮的传动系统应用的十分广泛，其高转速下的振动问题、内部结构的复杂性和各种非线性的因素存在，不仅给齿轮传动系统动力学分析更给设计带来了极大的困难。
齿轮传动系统的主要特点是系统高转速、建模难度大和求精确解困难。
在齿轮的传动系统动力学研究中，系统输入、系统模型、系统输出这3方面为主要研究过程[1]。
本文根据近年来相关的研究情况，对于非线性动力学的研究现状和成果进行概述。
并提出未来相关研究的热点和方向，在宏观上为齿轮非线性系统的动力学分析提供了今后研究的重点。
1 齿轮传动系统动力学的发展加工齿轮的时候，存在一些变化因素，比如装配以及齿合刚度等，齿轮会存在震动等一些有害的变化，从而给传动系统精度造成较大的影响[2]。
现在对于齿轮传动系统动力学的相关研究已经从之前的线性转变成为了非线性，齿轮传动系统的升级也给社会更好的发展做出了自己的贡献。
在考虑间隙为非线性时非线性问题可划分为两种模型：非线性时不变模型没有考虑到啮合刚度的时变性，而非线性时变模型考虑到了该时变性，因此可以把齿轮系统当作非线性的参数振动问题从而进行研究。
近30年来，融汇了许多先进的理论学说、研究方法的非线性动力学的高速发展并且不断优化齿轮传动系统的动力学分析思路，将线性方法无法解决的分岔、跳跃、极限环、混沌等现象进行科学合理的解释和处理[3]。
2 齿轮传动系统的非线性动力学的研究现状至今，有关齿轮传动系统的非线性动力学研究主要有以下3种方法：近似解析法、数值法和实验法，现将部分学者近期具有代表性的研究成果列举如下。
齿轮故障演化的非线性动力学机理与实验研究_苏勋文
０ 引言
齿轮正常工作时， 由于齿面摩擦、 齿侧间隙以及时变
］ ［ ］ ［ ］ １ ８ １ ２ ３ ７ － ５ １ ３ － ４ － １ 。 啮合刚度的影响， 振动具有强烈的非线性［
数振动等 ， 特别 是 分 叉 与 馄 饨 振 动 特 性 以 及 摩 擦、 间
第３ ９ 卷 第 ２ 期 齿轮故障演化的非线性动力学机理与实验研究
（ ） 文章编号 ： ４－２ ５ ３ ９ ２ ０ １ ５ ０ ２－０ ０ １ ９－０ ６ １ ０ ０
１ ９
齿轮故障演化的非线性动力学机理与实验研究
苏勋文１ 王少萍２
（ ） １ 北京林业大学 工学院 ， ０ ８ ３ ０ ０ 北京 １ ） （ １ ９ １ ２ 北京航空航天大学 自动化科学与电气工程学院 ， ０ ０ 北京 １
］ ６－８ 。 齿轮产生故障时 ， 隙、 时变刚度对二者的影响 ［ 由
由于齿轮的非线性振动方 程 无 法 求 出 解 析 解 ， 日本学 者对齿轮非线性振动方程 做 了 线 性 化 处 理 ， 求出了线 性近似方程 ， 并进行了试验验证
［ ５］ ５ ５ ８－５ ６ ４
于啮合刚度的变化 ， 同样 存 在 非 线 性 特 性 。 对 于 故 障 齿轮 振 动 ，学 者 针 对 齿 轮 的 不 同 故 障 形 式 如 磨
齿轮故障振动的非线性 特 性 。 目 前 ， 齿轮故障诊断多 集中于对齿轮振动信号的 不 同 处 理 方 法 ， 如时域分析
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ０
］ １ ８ ７－１ 。 方法 、 频域 分 析 方 法 、 时 频 域 联 合 分 析 方 法 等［
机械传动 ２ ０ １ ５年
齿轮系统时变刚度和间隙非线性振动特性研究_王立华
在 齿轮副的连续运转过程中 ,随着单齿对啮
合和双齿对啮合的交替进行 ,轮齿的啮合刚度会 随时间周期性变化 [4 ]。一般时变啮合刚度 k-( t-) 由
平均啮合刚度 km 和变刚度两部分组成 ,其中变刚
度部分用余弦函数表示 , ka 为变刚度幅值 ,keh 为
变刚度基频 ,hr 为变刚度初相位 ,一般取 hr = 0。当
王立华 博士研究生
齿轮传动系统是汽车传动系统的重要组成部 分 ,其动态特性直接影响汽车传动系统的可靠性。 为了保证良好的润滑和消除干涉现象 ,齿轮副在 设计时总是留有齿侧间隙 ,制造误差和磨损也会 使齿轮副产生齿侧间隙 ,而且轮齿的啮合刚度总 是随时间变化的。 具有齿侧间隙和时变啮合刚度 的齿轮系统将表现出强烈的非线性 ,这使得汽车 传动系统成为一种参数激励且具有时变刚度的间 隙非线性系统。 该系统在轻载或无载荷运转过程 中将会产生轮齿分离和冲击现象 ,这种冲击将会 导致剧烈的振动和产生强烈的噪声和动载荷 ,影 响 齿轮 传动的 平稳 性、 可靠 性和 寿命 。
大 学出版社 , 1983 [ 6] 曾韬 .螺旋锥齿轮 设计与加 工 .哈尔 滨: 哈 尔滨工业
大 学出版社 , 1989 (编辑 马尧发 )
作 者 简介: 李 小 清 , 男 , 1966 年 生。 华 中 科 技 大 学 (武 汉 市 430074)国家数控系统工程技术 研究中心博士研究生。 研究方向 为数控技术、齿轮加工。发表论文 5篇。周云飞 ,男 , 1956年生。华 中科技大学国家数控系统工程技 术研究中心教授、博士研究生导 师。王延忠 ,男 , 1963年生。华中科技大学国家数控系统工程技术 研究中心副教授、博士后研究人员。 易传云 ,男 , 1959年生。 华中 科技大学机械科学与工程学院副教授、博士后研究人员。
齿轮传动系统的非线性振动及控制
齿轮传动系统的非线性振动及控制齿轮传动系统的非线性振动及控制摘要：齿轮传动系统是一种常见的机械传动装置，广泛应用于各种机械设备中。
然而，由于齿轮传动的非线性特性，会引发系统的振动问题。
本文通过分析齿轮传动系统的动力学模型，探讨了非线性振动的产生原因和机制，并提出了相应的振动控制方法，以提高齿轮传动系统的运行效率和可靠性。
一、引言随着科技的发展和工业的进步，机械传动系统的要求越来越高。
齿轮传动系统由于其传递功率大、效率高的特点，被广泛应用于各种工业领域。
然而，齿轮传动系统在运行过程中往往会产生振动问题，影响其运行效率和寿命。
尤其在高负载、高速运转时，非线性振动的问题更加突出。
二、齿轮传动系统的非线性振动1. 非线性特性的原因齿轮传动系统之所以容易产生非线性振动，主要有以下几个原因：（1）齿轮的齿形和啮合失配（2）齿轮的动刚度和动阻尼（3）齿轮传动的干涉（4）齿轮传动的非线性摩擦2. 非线性振动的机制齿轮传动系统在工作时，由于以上原因，会引发以下几种非线性振动现象：（1）齿轮啮合冲击振动（2）齿轮传动的颤振现象（3）齿轮系统的周期x时不变振动（4）齿轮系统的混沌振动三、齿轮传动系统的振动控制1. 优化齿轮设计针对齿轮的齿形和啮合失配问题，可以通过优化设计来降低非线性振动，并提高齿轮传动系统的运行效率。
例如，采用新的齿轮形状，减小啮合失配。
2. 齿轮系统的模型建立和仿真分析通过建立齿轮传动系统的动力学模型，可以分析系统的振动行为，并通过仿真分析来预测齿轮传动系统的振动特性。
这有助于提前识别非线性振动问题，并采取相应的措施进行控制。
3. 振动控制策略的应用可以采取各种振动控制策略来降低齿轮传动系统的非线性振动。
例如，通过反馈控制、主动控制、结构优化等方法，控制齿轮的振动幅值，提高系统的稳定性。
4. 降低齿轮传动系统的摩擦齿轮传动系统的非线性摩擦会引发系统的振动。
因此，可以通过改善齿轮表面质量、采用润滑剂等方法来降低齿轮的摩擦，减小齿轮传动系统的非线性振动。
考虑耦合与刚度影响的齿轮传动系统分析
Abstract: Modal analysis is one of the effective ways to analyze all kinds of vibration. In order to analyze the vibration characteristics of a gear system, we build a finite element model of multistage-transmission gear system. Then we analyze the modal characteristics of the system, considering the effect of the system coupling and stiffness. The simulation result shows that: when the gear system coupling, modal parameter will be changed in pairs based on the single stage transmission, and will produce new modal; By changing the stiffness of gear mesh and bearing support, we can know the changing trend of modal under the different stiffness, which will provide reference for improving the performance of gear system to reduce vibration and noise.
滑动轴承—行星齿轮耦合系统非线性动力学特性研究
滑动轴承—行星齿轮耦合系统非线性动力学特性研究李同杰;靳广虎;鲍和云;朱如鹏【摘要】文章在综合考虑了滑动轴承非线性油膜力以及行星轮系齿侧间隙等非线性因素的基础上,建立了滑动轴承-行星齿轮耦合系统的非线性动力学模型.通过数值仿真的手段初步研究了滑动轴承—行星齿轮耦合系统的非线性动力学特性,结果发现,滑动轴承非线性油膜力可以对行星齿轮系中各活动构件的啮频振动起到镇定作用,也可以导致系统各齿轮副动态啮合力的波动失去周期规律;输入轴转速的变化能够导致轴承力的振动形态在周期运动与混沌之间分岔;轴承间隙对行星齿轮传动系统各齿轮副啮合状态的影响规律是一个非常复杂的非线性映射,间隙值选择不当可能引起行星轮系齿轮副的单边冲击现象.%A nonlinear dynamic model of planetary gear train coupleing with sliding bearing is established by taking nonlinear oil film force of the bearing and backlash of the syetem into account. Some coupling nonlinear dynamic characteristics of the system are studied by using numerical simulation method. The study results reveal that slide bearing nonlinear oil film force can calm the meshing frequency vibration of the moving parts of the planetary gear train, but it also can make the oscillation rule of the dynamic meshing loads of the gear pairs get in chaos; The change of the input shaft speed can lead to the vibration of the bearing force bifurcate between the periodic motion and chaos; the influence law of the bearing clearance on the gear pair meshing state of the system is a very complicated nonlinear relationship, and an improper bearing clearance value may lead to unilateral impact phenomenon.【期刊名称】《船舶力学》【年(卷),期】2018(022)004【总页数】10页(P499-508)【关键词】行星轮系;滑动轴承;非线性油膜力;齿侧间隙;耦合非线性动力学【作者】李同杰;靳广虎;鲍和云;朱如鹏【作者单位】南京航空航天大学机电学院,南京210016;安徽科技学院机械工程学院,安徽滁州233100;南京航空航天大学机电学院,南京210016;南京航空航天大学机电学院,南京210016;南京航空航天大学机电学院,南京210016【正文语种】中文【中图分类】TH132.4250 引言行星齿轮传动具有承载能力强、功重比大、体积小等优点，被广泛应用到船舶、汽车、航空、起重机械等领域。
多自由度含间隙齿轮系统的非线性动力学特性研究
多自由度含间隙齿轮系统的非线性动力学特性研究多自由度含间隙齿轮系统的非线性动力学特性研究摘要：近年来，多自由度含间隙齿轮系统的研究成为了一个热点领域。
本文通过建立多自由度含间隙齿轮系统的数学模型，研究了其非线性动力学特性。
通过数值模拟和分析，发现了多自由度齿轮系统中间隙的重要影响，进一步揭示了齿轮系统的振动机理和稳定性。
本文的研究成果对于齿轮系统的设计和控制具有一定的理论和实用价值。
1.引言多自由度含间隙齿轮系统作为一种重要的传动装置，广泛应用于工业和机械领域。
然而，由于其非线性特性，多自由度齿轮系统容易发生振动和共振现象，给系统的工作稳定性和可靠性带来了挑战。
因此，研究多自由度含间隙齿轮系统的非线性动力学特性具有重要的理论意义和应用价值。
2.非线性多自由度齿轮系统的建模为了研究多自由度含间隙齿轮系统的动力学特性，首先建立数学模型是必要的。
本文考虑了齿轮系统的多自由度特性，将其简化为弯曲振动模型。
通过考虑间隙和变形，建立了包含多自由度的非线性动力学方程。
3.齿轮系统的非线性动力学特性通过对得到的非线性动力学方程进行数值模拟和分析，可以得到多自由度含间隙齿轮系统的动力学特性。
研究发现，齿轮系统的振动频率和振幅随着参数的变化呈现出复杂的非线性行为。
特别是在共振点附近，系统的振动幅值可能会急剧增大，导致系统的不稳定。
此外，齿轮之间的间隙也会对系统的振动特性产生重要影响。
4.齿轮系统的稳定性分析为了进一步分析多自由度含间隙齿轮系统的稳定性，本文引入了Poincaré映射方法。
通过采样系统在一个周期内的振动信号，得到Poincaré映射，并通过分析映射的固定点和周期对系统的稳定性进行判断。
研究发现，齿轮系统的稳定性与系统的参数、初始条件以及间隙紧密相关，其稳定性具有一定的不确定性。
5.实验验证为了验证理论分析结果的准确性，本文进行了实验验证。
通过制作多自由度含间隙齿轮系统的实验样本，并进行力学测试，得到了系统的振动幅值和变形情况。
考虑多间隙的齿轮柔性转子耦合系统非线性动力学分析
ｒ ｏ ｔ ｏ ｒ — ｂ ｅ ｄ ｉｎ ｒ ｇ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｗａ ｓ ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｌ ｉ ｓ ｈｅ ｄ ｕ ｎ ｄ ｅ ｒ ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｅ ｘ ｌ ｏ ａ ｄ ｓ ． Ｕｓ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｍｏ ｄ ｉ ｉｅ ｆ ｄ Ｆ ＰＡ ｍｅ ｔ ｈｏ ｄ ｔ ｏ ｄ ｅ ｔ ｅ ｒ ｍｉ ｎ ｅ ｔ ｈ ｅ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｅ ｒ ｉ ｏ ｄ，ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ Ｒｕ ｎｇ ｅ － Ｋｕ ｔ ｔ ａ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ａ ｎ ｄ Ｎｅ ｗｔ ｏ ｎ— Ｒａ ｐｈ ｓ ｏ ｎ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｔ ｏ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｄ ｙ ｎ ａ ｍｉ ｃ ｅ ｑｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ，ｔ ｈｅ ｎ ｔ ｈ ｅ ｌ ａ ｒ ｇ ｅ ｓ ｔ Ｌｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ ｉ ｎ ｄｅ ｘ ｗａ ｓ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｅ ｄ ｔ ｏ ｄ ｅ ｔ ｅ ｍ ｉ ｒ ｎ ｅ ｔ ｈ ｅ ｄ ｙ ｎａ ｍｉ ｃ ａ ｌ ｂ ｅ ｈａ ｖ ｉ ｏ ｒ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ． Ｔ ｈｅ ｄ ｙ ｎ ａ ｍｉ ｃ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｗｅ ｒ ｅ ｓ ｉ ｍａ ｌ ａ ｔ ｅ ｄ ｎ ｕ ｍｅ ｉｃ ｒ ａ ｌ ｌ ｙ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｓ ｏ ｆ ｒ ｏ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｓ ｐ ｅ ｅ ｄ， ｂ ａ ｃ ｋ ｌ ａ ｓ ｈ， ｓ ｈ ａ ｆ ｔ ｓ ｔ ｉ ｆ ｆ ｎ ｅ ｓ ｓ， ｂ ｅ ａ ｒ ｉ ｎ ｇ ｒ ａ ｄ ｉ ａ ｌ ｃ ｌ ｅ ａ ｒ ａ ｎｃ ｅ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｎｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｄ ｙ ｎ ａ ｍｉ ｃ ｂ ｅ ｈ ａ ｖ ｉ ｏ ｒ ｏ ｆ ｔ ｈｅ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｗｅ ｒ ｅ ｓ ｔ ｕ ｄ ｉ ｅ ｄ． Ｔｈ ｅ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｓ ｈ ｏ ｗｅ ｄ ｔ ｈａ ｔ ｔ ｏ ｏ ｔ ｈ ｏ ｆ ａ ｎ ｄ ｂ ｉ ｌ ａ ｔ ｅ ｒ ａ ｌ ｉ ｍｐ ａ ｃ ｔ ｐ ｈ ｅ ｎ ｏ ｍｅ ｎ ｏ ｎ ｏ ｃ ｃ ｕ ｒ ｗｉ ｔ ｈ ｉ ｎ ｃ ｒ ｅ ａ ｓ ｅ ｉ ｎ ｂ ａ ｃ ｋ ｌ ａ ｓ ｈ， ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｑ ｕ ａ ｓ ｉ — ｐｅ ｒ ｉ ｏ ｄ ｉ ｃ ｍｏ ｔ ｉ ｏ ｎ ｃ ｈ ａ ｎｇ ｅ ｓ ｉ ｎ ｔ ｏ ａ ｃ ｈ ａ ｏ ｔ ｉ ｃ ｍｏ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｒ ｏ ｕ ｎｄ ｔ ｈ ｅ ｃ ｉｔ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ ｓ ｐ ｅ ｅ ｄ；ｗｉ ｔ ｈ
接合间隙对齿轮系统非线性特性的影响分析
第35卷第14期振动与冲击JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCK Vol. 35 No. 14 2016接合间隙对齿轮系统非线性特性的影响分析刘延伟1,赵克刚2(1.广东工业大学机电工程学院，广州510006; 2.华南理工大学机械与汽车工程学院，广州510641)摘要：面向一类带有开关控制接合元件的齿轮传动系统，以动态传递误差DTE为响应指标，在较大啮合频率范 围内对带有齿前或齿后接合间隙的多间隙构型齿轮系统的非线性特性进行了研究。
建立了带有时变啮合刚度、齿侧间隙和接合间隙的齿轮传动系统动力学模型，采用4阶R un ge-K utt a法对单间隙(齿侧间隙），齿侧间隙叠加齿前或齿后接合间隙等不同间隙构型的微分方程组进行数值求解，研究了不同间隙构型在不同负载驱动惯量比和系统转矩下响应指标的变化情况。
分析发现，间隙构型对齿轮系统动力学特性存在较大的影响，齿前或齿后间隙的存在会改变系统跳跃频率、幅值、重叠频域宽度、混沌程度等主要动态特性，总体上多间隙构型相对于单间隙响应的幅值减小，但是波动程度加大;在负载端惯量大于驱动端时，含齿前间隙多间隙构型的响应幅值和波动程度都明显大于含齿后间隙的多间隙构型，说明接合间隙远离惯量较大一端时系统的振动比较大。
关键词：齿轮系统;间隙;非线性;动态传递误差中图分类号：TH132.41 文献标志码：A DOI:10.13465/j.c n k i.j v s.2016.14.035Influence of engaging clearance on gear system dynamic characteristicsLIU Yan-wei1，ZHAO Ke-gang2(1. School of Electro-Mechanical Engineering，Guangdong University of Technology，Guangzhou 510006, China；2. School of Mechanical & Automotive Engineering，South China University of Technology , GuanAbstract：For a kind of gear transmission system with switch control engaging elements，the nonlinear charact eristics of the g ear system with multiple clearances the f ro n t or back engaging clearance and side clearance，were studied by using t he dynamic transmission error ( D T E)as a response index. A dynamic model with time-varying gear meshing s t i f f n e s s,side clearance and engaging clearance was developed. The d i f f e r e n t i a l equations configurations of side clearance，side &f r o n t clearances，and side &rear clearances were solved by using the fourth-order Runge-Kutta algorithm，and the i mpact of clearance configuration on DTE was studied，with dif f e r e n t driver-load i n e r t i ar a t i o s and d if f e r e n t torques separa tely.The re s u l t s indicate that：the gear system may enter each clearance co nfi gu ration. The existence of gear-front or gear-rear clearance changes the primary dynamic charact eristics obviously，such as the jump frequency，overlap band of primary resonance and chaos degree. In general，the response amplitude decreases，but the fluctuations increase f o r multi-clearance gear system. When the load end i s greater than t h a t of the d river end, the response amplitude and the fluctuations of the gar-front multi-clearance gear system are o bviously greater than those of the gear-rear multi-clearance gear system. This indicates t h at the vibrationof the system w i l l be larger when the engaging clearance locates f a r away from the lar g Key words：gear； clearance; dynamic response; dynamic transmission error (DTE)齿轮系统是各类机械系统中使用最为广泛的动力和运动传动装置，其动态特性直接影响机械系统的噪基金项目：国家自然科学基金(51405087 )广东省普通高校青年创新人 才基金（2014 KQNCX062)项目音、可靠性和寿命。
高速重载齿轮传动热弹变形及非线性耦合动力学研究
高速重载齿轮传动热弹变形及非线性耦合动力学研究一、本文概述随着现代工业的快速发展，高速重载齿轮传动系统在各类机械设备中扮演着越来越重要的角色。
然而，在实际运行过程中，高速重载齿轮传动系统常常面临着热弹变形和非线性耦合动力学等复杂问题的挑战。
这些问题不仅影响了齿轮传动的精度和稳定性，还可能导致设备故障，甚至引发安全事故。
因此，对高速重载齿轮传动热弹变形及非线性耦合动力学进行深入研究，具有重要的理论价值和实际应用意义。
本文旨在系统探讨高速重载齿轮传动系统在运行过程中出现的热弹变形和非线性耦合动力学问题。
通过理论分析和实验研究相结合的方法，揭示热弹变形对齿轮传动性能的影响机制，以及非线性耦合动力学行为的产生原因和演化规律。
在此基础上，提出有效的控制策略和优化方法，以提高高速重载齿轮传动系统的运行精度和稳定性，为相关领域的工程设计和技术创新提供理论支持和实践指导。
本文首先介绍了高速重载齿轮传动系统的基本结构和工作原理，阐述了热弹变形和非线性耦合动力学的基本概念和研究现状。
然后，建立了考虑热弹变形的齿轮传动动力学模型，分析了热弹变形对齿轮啮合力和动态特性的影响。
接着，通过数值计算和实验研究，深入探讨了非线性耦合动力学行为的产生机理和演化规律。
在此基础上，提出了基于热弹变形控制的优化策略和非线性动力学行为的调控方法。
对全文进行了总结，并展望了未来的研究方向和应用前景。
本文的研究不仅有助于深化对高速重载齿轮传动系统热弹变形和非线性耦合动力学问题的认识，还为提高齿轮传动的性能和可靠性提供了理论支持和实践指导。
未来，随着科学技术的不断进步和工业领域的快速发展，相信高速重载齿轮传动系统的研究将取得更加丰硕的成果，为现代工业的持续发展做出更大的贡献。
二、齿轮传动热弹变形理论基础齿轮传动作为机械传动中的重要组成部分，其运行过程中的热弹变形对传动的精度和稳定性具有重要影响。
因此，对齿轮传动的热弹变形进行深入研究，并建立相应的理论基础，对于提高齿轮传动的性能和寿命具有重要意义。
考虑随机装配间隙的变速器齿轮副非线性动力学研究的开题报告
考虑随机装配间隙的变速器齿轮副非线性动力学研究的开题报告题目：考虑随机装配间隙的变速器齿轮副非线性动力学研究背景和意义：变速器是传动系统中的核心部件之一，在各种机械设备中都有着广泛的应用。
其中齿轮副作为变速器的重要组成部分，具有传动效率高、传动精度高等优点。
然而，在实际生产过程中，由于零部件精度、加工工艺等原因，齿轮副存在一定的装配间隙。
这些间隙会导致齿轮副的非线性特性的产生，进而影响变速器的工作性能和使用寿命。
因此，对于这种随机装配间隙对于齿轮副动力学特性的影响及其分析，对于设计制造变速器具有重要的理论和实践意义。
研究目标：本文主要通过研究随机装配间隙对于变速器齿轮副的非线性动力学特性的影响，以期提高变速器的传动精度和使用寿命。
研究方法：本文将从以下几个方面进行研究：1. 基于Lagrange方程建立变速器齿轮副的非线性数学模型。
2. 考虑随机装配间隙的影响，建立含间隙的数学模型。
3. 对于建立的数学模型进行数值仿真，得到变速器齿轮副的动力学特性。
4. 分析随机装配间隙对于变速器齿轮副动力学特性的影响。
5. 提出一些优化方案，在保证变速器传动精度和使用寿命的前提下，减小随机装配间隙的影响。
研究内容：本文将从以下几个方面进行具体研究：1. 建立含随机装配间隙的变速器齿轮副的数学模型。
2. 利用数值仿真方法，得到不同随机装配间隙下的齿轮副的速度、位移和力的变化规律。
3. 分析随机装配间隙对于齿轮副动力学特性的影响，如振动、噪声等，对齿轮副的传动效率和寿命的影响等。
4. 设计一些优化方案，如优化齿轮副间隙的分配、加工精度的提高等，提高齿轮副传动精度和寿命。
预期结果：通过本研究，预计可以得到以下结果：1. 建立含间隙的齿轮副非线性动力学模型，并进行数值仿真研究，得到随机装配间隙对于齿轮副的影响。
2. 分析随机装配间隙对于齿轮副的动力学特性的影响，并提出优化方案，提高变速器的传动精度和使用寿命。
3. 推动齿轮副非线性动力学研究的发展，对于相关领域的理论研究和实际生产具有一定的指导意义。
高速旋转机械系统齿轮轴承非线性动力学浅析
高速旋转机械系统齿轮轴承非线性动力学浅析摘要：文中围绕圆柱齿轮系统非线性动力学问题，说明了齿轮系统啮合过程非线性振动的基本概念，包括基本的力学模型、数学模型、不同类型的分析系统和求解方法；然后分别介绍了齿轮啮合刚度参数振动问题和齿侧间隙非线性振动问题。
关键词：齿轮传动；非线性振动；间隙非线性振动Nonlinear dynamics around the cylindrical gear system Abstract: This paper explains the basic concepts of nonlinear vibration of gear system engagement process, including basic mechanics models, mathematical models, different types of systems and solving method; then introduced gear meshing stiffness parameter vibration problems and tooth the side clearance nonlinear vibration problems.Keywords: gear; nonlinear vibration; gap nonlinear vibration1前言齿轮传动系统是各类机械系统和机械装备的主要传动系统，齿轮系统振动特性直接影响机械系统和机械装备的性能和工作可靠性。
因此，长期以来人们对齿轮系统的振动特性进行了大量的理论分析和试验研究，取得了许多重要的研究成果。
透平压缩机中的齿轮传动系统有几个特点：一是系统转速高, 有时转速高达几万转, 会产生非常明显的振动。
齿轮传动系统的振动及稳定性问题一直是重点。
二是系统复杂, 所涉及到的机械零件有齿轮副、转子(轴) 和轴承(支承) 等, 从传动结构上分有原动机、齿轮箱和压缩机转子等, 从力学特性上来看有齿轮间隙、轴承油膜力等非线性因素。
含间隙同步锥齿轮锁定后的非光滑动力学分析
含间隙同步锥齿轮锁定后的非光滑动力学分析李春洋;张伟【摘要】针对周边环形桁架天线展开锁死后,分析齿轮副间隙由于空间冷-热环境交替对天线所产生的影响.因为整个桁架结构复杂,间隙种类众多,所以文中只研究一对同步直齿锥齿轮锁定后间隙的非光滑动力学行为.文中首先介绍了三种碰撞力模型,即恢复系数模型、Hertz接触力模型和非线性弹簧-阻尼模型,然后对物理模型进行简化得到动力学模型,最后建立了动力学方程.由于动力学方程中存在分段,直接求得解析解难度过大,文中直接采用数值仿真的方法进行分析,从仿真结果中得知含间隙的同步锥齿轮在外力的作用下整个系统会出现单倍周期、倍周期分岔和混沌等复杂的非线性响应.【期刊名称】《动力学与控制学报》【年(卷),期】2015(013)006【总页数】6页(P437-442)【关键词】间隙;碰撞;周期分岔;混沌响应【作者】李春洋;张伟【作者单位】北京工业大学机械工程与应用电子技术学院,北京100124;北京工业大学机械工程与应用电子技术学院,北京100124【正文语种】中文同步锥齿轮传动中，由于制造和安装时出现的误差及使用过程中产生的磨损，都不可避免地导致齿轮的轮齿之间间隙的出现，由于齿轮中的轮齿、润滑油等在太空由于太空环境温度的不断交替而产生能量损耗，对含间隙的同步齿轮的一对轮齿与润滑油之间将发生接触—碰撞—分离的往复运动.对进行动力学分析和齿轮系统的间隙碰撞［1-2］振动研究有着十分重要的意义.碰撞系统建模的方法主要有以下四种：恢复系数法、圣维南法、非线性有限元法和弹簧—阻尼模型，其中恢复系数法和弹簧—阻尼模型在碰撞振动动力学研究中应用最为广泛.恢复系数法［3-6］假设接触碰撞过程是瞬间完成的，且碰撞体的外形没有根本的改变，即忽略了接触时间和接触变形，只关心和研究碰撞前与碰撞后的动力学形态，而用恢复系数来表示碰撞前后速度的跳跃关系.非线性弹簧一阻尼模型能够比较精确地反映碰撞过程中的变形能量损耗，Zhang和sharf［7］通过实验证明了在弹性碰撞情况下非线性弹簧—阻尼模型的合理性和实用性.齿轮的冲击系统模型最早是由Dubowshy和reudenstein［8-9］在1971年提出的，但是研究轮齿冲击动力学行为时将冲击接触过程简单地用粘性阻尼来表示，并不能真实的反映齿轮冲击特性.Hunt和Crossley［10］等通过引入非线性冲击阻尼的概念来建立了含有冲击阻尼的冲击系统动力学模型.Veluswami和Crossley［11］利用这种冲击模型分析了两边约束的球振动模型，理论分析得到的结果与试验基本吻合，证明了冲击阻尼模型在研究冲击动力学的有效性.1984年，Pfeiffer［12］在研究齿轮传动系统动力学时建立了一种冲击模型，随后在文章中应用理论分析和实验方法，揭示了齿轮系统的常规运动和混沌运动状态.在2005年，Luo和Chen［13-16］建立了一类比较简单的分段线性冲击系统的理论模型，应用解析法分析了系统的周期运动，应用局部奇异性理论分析其周期解的擦边分岔，以及应用数值法模拟其混沌过程，此后又中讨论了此类系统的奇怪吸引子的擦边分岔，之后应用映射结构技术解析分析此类系统的任意周期运动.就现有文献来看，针对对齿轮传动系统的间隙和时变啮合刚度的非线性问题已进行了大量的研究，分别建立了单自由度［17-21］、三自由度［22］间隙非线性动力学模型，考虑周期时变刚度［20-21，23］的影响，并用各种方法研究齿轮系统的周期运动、混沌响应及分岔［22-23］，两自由度间隙非线性动力学模型比较少.另外针对含间隙同步锥齿轮锁定后的非光滑动力学分析相对较少.文中建立了一种含间隙的两自由度齿轮传动系统的动力学模型.通过数值仿真对齿轮传动系统的分岔和混沌等非线性动力学行为进行分析研究，对以后更好的完善含间隙和润滑的齿轮副运动副模型奠定了基础.1.1 恢复系数在机械结构中碰撞过程往往不是完全弹性碰撞，也不是完全非弹性碰撞，也导致碰撞过程总会存在着一定的能量损失，而这一部分损失的能量可以用恢复系数来表达.假设碰撞前两质体的速度为υ1i、υ2i，碰撞后的速度为υ1j、υ2j，则恢复系数可由下式表示，并且有0≤e≤1，对于完全弹性碰撞e＝1，对于完全非弹性碰撞e＝0.恢复系数的大小跟很多因素有关，如接触面的几何形状，碰撞速度，材料属性，接触持续的时间，甚至摩擦.当碰撞持续时间与碰撞体基本固有振动模的周期之比很大时，恢复系数的大小便决定于碰撞点附近的塑性变形量，而碰撞点附近的塑性变形主要由碰撞速度决定.1.2 Hertz接触力模型Hertz接触力模型是基于完全弹性变形，主要研究了弹性体的准静态接触问题，并且该模型是非线性接触力模型，但是没有考虑到接触的过程中能量的损耗.Hertz 接触力模型可以用一个非线性弹簧来描述，其接触力公式为，其中，δ为接触面的变形量，n是与接触面几何特征有关的常数，一般取1.5，K 是与质体材料特性和结构参数有关的常数，式中，Ri和Rj表示正面碰撞质体的球面半径，σi和σj表示如下，νh和Eh分别表示两个质体的泊松比和杨氏模量.1.3 非线性弹簧—阻尼模型当质体发生碰撞时，碰撞面之间发生弹性变形，从而产生接触碰撞力，碰撞力的大小与变形量有关，根据上一节Hertz理论的相关描述可知.变形恢复后速度的大小不能恢复到碰撞前的速度的大小，因为在碰撞过程中伴随着能量损耗，用于产生变形和热，而上面的碰撞力模型不能反映能量损耗的实际情况.因此在碰撞力模型中必须引入阻尼系数D，将碰撞力表示，其中，˙δ为相对速度，阻尼系数D采用迟滞阻尼模型，μ是迟滞阻尼系数，μ的值与粘性阻尼系数、剪切和体积变形等有关，通过能量法可以得到μ的表达式，因此，碰撞力的表达式为，2.1 物理模型简化同步直齿锥齿轮副锁死后如图2，物理模型可简化为含参数激励且具有含间隙的两自由度齿轮在外激励作用下的动力学模型.如图3所示，M1和M2分别是主动轮齿和被动轮齿的广义等效质量，K1和K2分别是主动轮齿和被动轮齿的接触刚度，间隙B表示M1和M2的齿侧间隙，而齿轮中的润滑油等在太空由于冷热冲击的不断交替而产生能量损耗，在此简化为模型中的阻尼部分C1、C2和激励力F（t）（Qsi nΦt），Q和Φ分别表示冷热冲击的激励的幅值和频率.假设轮齿为弹性体，在激励力作用下，则轮齿间发生接触—碰撞—分离的往复运动（由于对模型简化的需要，模型并未考虑齿轮接触面的摩擦）.2.2 动力学模型的建立当M1与M2之间的相对位移时，M1与M2不发生接触；当M1与M2之间的相对位移x1-x2＝B时，M1与M2刚发生接触，并没有力的作用，因此，M1和M2分别做自由振动，其振动系统的运动微分方程为当M1与M2之间的相对位移x1-x2＜-B和x1-x2＞B时，M1与M2将发生接触，此时相对速度不等于0，接触面上将产生弹性碰撞，两质量体分别发生压缩弹性变形直到质量块的速度为0，然后恢复弹性变形，直至质量体分离.碰撞过程的运动微分方程可表示为式中，P（t）的表达式如公式（8）所示.显然，当x1-x2＞B时，M1与M2的右侧面发生接触碰撞，当x1-x2＜B时，M1与M2的左侧面发生接触碰撞.为了方便地应用数值积分法求解此动力学问题，需要对方程进行无量纲化.取无量纲量，τ＝ω1t，ωi＝得到三组无量纲方程为，碰撞系统参数的变化，将使系统呈现出复杂的非线性动力学现象，如混沌、分岔等. 在图3中所示的动力学模型中，首先将系统参数B＝0.1，ζ1＝ζ2＝0.2，η＝1，κ＝20，λ＝3.5，n＝1.5，g＝2代入（10.1）、（10.2）、（10.3）中，取ω为控制参数.从图2中可知，随着ω的变化，此系统中x1呈现出周期运动与混沌的交替，即：单倍周期运动-二倍周期运动-倍周期-二倍周期运动-混沌运动.以下均为固定初始条件和其他参数的大小，增大转速ω所得的系统运动情况.当ω＝0.5时，系统出现单倍周期运动.系统的平面相图，三维相图，波形图如图5所示.当ω＝0.8时，系统出现单倍周期运动.系统的平面相图，三维相图，波形图如图6所示.当ω＝1.3时，系统出现概周期运动.系统的平面相图，三维相图，波形图如图7所示.当ω＝2.0时，系统出现二倍周期运动.系统的平面相图，三维相图，波形图如图8所示.当ω＝2.35时，系统出现多倍周期运动.系统的平面相图，三维相图，波形图如图9所示.当ω＝2.4时，系统出现概周期运动.系统的平面相图，三维相图，波形图如图10所示.当ω＝2.8时，系统出现混沌运动.系统的平面相图，三维相图，波形图如图11所示.⑴含间隙同步锥齿轮在锁定后，系统由于受到外部环境温度的影响，系统中将会出现着周期运动、混动运动等现象.系统依次经历单倍周期，分岔为两倍周期，之后分岔为多倍周期；随着外激励的变化，多倍周期又回到两倍周期，最后系统再次进入混沌.⑵通过分析齿轮锁死后间隙结构出现的几种形式的非线性动力学现象，对于通过选择合适的系统参数来减小甚至消除这种颤振有一定的参考意义.【相关文献】1 李万祥，牛卫中.一类含间隙系统的分岔与混沌的形成过程.振动与冲击，2005，24（3）：47～49（Li W X，Niu W Z.Bifurcation and chaos of a system with a pair of symmetric set up elastic stops.Journal of Vibration and Shock，2005，24（3）：47～49（in Chinese））2 马永靖，丁旺才，杨小刚.碰撞振动系统的参数自调节混沌控制.振动与冲击，2007，26（1）：24～26（Ma Y J，Ding W C，Yang X G.Chaos control of a vibro-impact system with parameter 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on perioddoubling bifurcation and chaos hierarchy in gear system.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2005，41（4）：44～48（in Chinese））Received 21 March 2014，revised 20 April 2014.*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（11290152，11272008）†Corresponding author E-mail：**********************。
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Abstract：
The dynamic behavior and the coupling relationship between radial clearance and backlash of a gear-
rotor system with multiclearance were investigated here． A new dynamic model of the gearrotor system with coupled multiclearance was developed including nonlinearity associated with radial clearance and dynamic backlash． In the dynamic model，the contact impact model considering radial clearance was established using the nonlinear contact force model． And the torsional vibration model with dynamic backlash was established using the geometrical relationship between gear center distance and backlash． And then ，the dynamic characteristics of the gearrotor system were analyzed based on the new dynamic model with coupled multiclearance． The numerical simulation results for a spur gear pair with multiclearance were presented and discussed． The effects of radial clearance size and initial backlash size on the system dynamic characteristics were analyzed ，respectively． The conclusions had important theoretical and engineering values for gearrotor systems with clearances． Key words： dynamic backlash； radial clearance ； coupled multiclearance； gearrotor system； dynamic characteristics 对于齿轮系统的动力学建模一直是人们关注的焦 点， 也取得了大量的研究成果。 早期， 齿轮系统的动力 学模型为线性模型。如 Winter 等
当 e bri ＜ c ri 时， 转子与轴承 处 于 自 由 运 动 状 态； e bri = c ri 时， 接触碰撞 转子与轴承处于临界接触状态， 力为零； e bri ＞ c ri 时， 产生接触碰撞力。 处于接触状态， 根据 Hertz 接触理 论， 碰撞力与碰撞体的材料属 性、 几何 特 性 以 及 碰 撞 速 度 等 因 素 相 关。 本 文 利 用 LankaraniNikravesh 模 型 建 立 轴 承 处 的 碰 撞 力 模 型。
图2
齿轮转子系统动力学模型
Fig． 2 Dynamic model of gearrotor system
在图 2 中， 齿轮系统中主要由主动轮 （ p ） 和从动轮 （ g） 两部分组成。其中， g） 的半径为 Ｒ i ， 转 齿轮 i（ i = p， 动惯量为 I i ， 角位移为 θ i ， 压力角为 α， 驱动转矩为 T p ， O ri 为转子中心， e bi O bi 为轴承中心， e ri 为转子中心矢量， e pg 为主、 e bri 为间隙矢量， 从动轮中心 为轴承中心矢量， b t 为齿侧间隙， K t 为齿轮时变拟合刚度， Ct 为 距矢量， 啮合阻尼。在动力学模型中考虑了径向间隙和动态齿 侧间隙， 首先分别建立考虑径向间隙的接触碰撞模型 和考虑动态齿侧间隙的扭转振动模型， 在此基础上建 立考虑径向间隙和动态齿侧间隙的齿轮系统动力学 模型。 1． 1 考虑径向间隙的轴承接触碰撞模型 g ） 用于描述齿轮轴承径向方 径向间隙 c r i （ i = p， 向的间隙， 可将其简化为转子与轴套之间的径向偏移， 偏移量可用间隙矢量来描述， 如图 2 所示， 间隙矢量 e br i 可表示为： e bri = e ri － e bi （ 1） 而转子与轴承的潜在碰撞点即在间隙矢量 e br i 所 可以利用嵌入量 δ i 描述转子与 指向的方向上。 同时， 轴承在碰撞过程中的状态， δ i 可表示为间隙矢量与径向 间隙的函数： δi =
振 第 34 卷第 8 期
动
与
冲
击 Vol． 34 No． 8 2015
JOUＲNAL OF VIBＲATION AND SHOCK
考虑多间隙耦合关系的齿轮系统非线性动力学分析
张慧博，王
摘
然，陈子坤，魏
承，赵
阳，游斌弟
（ 哈尔滨工业大学 航天工程系 ， 哈尔滨 150001 ）
要： 建立了一种新的考虑径向间隙与动态齿侧间隙耦合的齿轮转子系统动力学模型 ， 分析了径向间隙与齿侧
间隙的耦合关系及其对系统动力学特性的影响 。在系统动力学模型中 ， 建立了考虑径向间隙的接触碰撞模型 ； 通过推导 齿轮中心距与齿侧间隙之间的函数关系 ， 建立了考虑动态齿侧间隙的齿轮扭转振动模型 。进而利用该模型对多间隙齿轮 系统的动力学特性进行分析 。给出了一对直齿轮副的数值仿真结果 ， 分别分析了径向间隙大小和齿侧间隙大小对齿轮系 统动力学特性的影响规律 ， 分析结果对含间隙齿轮转子系统的研究具有重要的理论与工程价值 。 关键词： 动态齿侧间隙； 径向间隙； 多间隙耦合； 齿轮转子系统； 动力学特性 中图分类号： TH113 文献标志码： A DOI： 10． 13465 / j． cnki． jvs． 2015． 08． 025
1
齿轮系统动力学建模
包括由轴承、 转子组成的传动 在一般齿轮系统中，
轴系和齿轮啮合副两个主要部分， 如图 1 所示。 在传 动轴系中， 由于轴承间隙和传动轴的安装、 制造误差， 导致齿轮系统产生径向间隙； 在齿轮啮合副中也会存 在齿侧间隙， 同时由于径向间隙的存在， 齿轮在传动过 程中会产生径向跳动， 进而导致齿轮实际中心距发生 变化， 引起齿侧间隙的改变， 因此齿侧间隙在齿轮系统 的运动过程中是动态变化的。
图1
齿轮轴承转子系统
Fig． 1 Generic geared rotorbearing system
{
e bri － c ri 0 0
e bri ＞ c ri e bri = c ri e bri ＜ c ri （ 2）
为了建立考虑径向间隙与动态齿侧间隙耦合的齿 轮系统动力学模型， 首先提出以下假设： （ 1 ） 假设单对齿轮系统为平面系统， 将轴承处的 径向跳动等效为在齿轮回转平面内的两自由度平移运 动， 将齿轮的扭转振动等效为回转平面内的单自由度 转动。
。Theodossiades［13］ 研究非线性齿轮
啮合力与非线性油膜力共同作用下齿轮系统的动态响
第8 期
张慧博等： 考虑多间隙耦合关系的齿轮系统非线性动力学分析
145
不平衡质量、 静态传动误差和轴 应， 分析了外部扭矩、 承参数对系统动态行为的影响。 Farshidianfar 等
［14 ］
（ 2 ） 假设齿轮的轴承—转子系统为刚性系统， 不 考虑传动轴的弹性变形， 仅考虑由于轴承间隙引发的 径向跳动对系统动态特性的影响。 （ 3 ） 假设轮齿为刚性轮齿， 不考虑轮齿在接触碰 撞过程中的塑性变形。
则
利用多间隙模型分析齿轮系统的混沌和分岔现象。 但 是这种多间隙模型是在动力学模型中分别考虑径向间 隙与齿侧间隙， 并没有描述径向间隙与齿侧间隙的耦 合关系。但事实上， 径向间隙处转子的跳动会导致齿 侧间隙的大小发生变化， 齿侧间隙的变化又会影响转 子的径向跳动。 而当前还没有考虑这种 耦 合 关 系 的 研究。 本文重点研究在考虑径向间隙与齿侧间隙的耦合 关系时， 径向间隙大小和齿侧间隙大小对齿轮系统动 力学特性的影响。通过推导齿轮中心距与齿侧间隙之 间的函数关系， 建立考虑径向间隙的接触碰撞模型， 和 考虑动态齿侧间隙的齿轮扭转振动模型， 进而建立考 虑多间隙耦合的齿轮—转子系统动力学模型。 并利用 数值仿真分析径向间隙大小、 齿侧间隙大小对齿轮系 统动力学特性的影响规律， 分析结果对含间隙齿轮系 统的研究具有重要的理论与工程价值 。
［1 ］
隙和时变啮合刚度的非线性模型。 Kahraman 度齿轮系统动力学模型。 Ozguven 锁怀等
［5 － 7 ］ ［4 ］
［3 ］
首次考
虑了时变啮合刚度和齿侧间隙的影响， 建立了 3 自由 建立了考虑齿侧 间隙引起的齿背冲击作用的齿轮系统动力学模型。 张 建立了考虑脱齿、 挤齿和齿背接触等因素 的影响， 齿轮系统动力学模型， 并分析了转速对系统动 力学特性的影响。为了进一步考虑齿轮 － 转子系统中 齿轮和轴承的振动冲击特性， 又发展出了多间隙模型。 Kahraman［8］首先提出了考虑齿侧间隙和径向间隙的齿 轮 － 转子 － 轴承系统非线性模型。 随后， 他又继续完 善模型， 分析齿轮转子系统的非线性动力学特性， 同时 开展实验研究
［9 － 12 ］
利用分段线性化的
［2 ］
方法研究含齿侧间隙的齿轮系统。 Galhoud
也பைடு நூலகம்用
同样的方法建立了考虑齿侧间隙的两自由度齿轮系统 动力学模型， 并发现了啮合力的谐波响应现象。 然而， 线性模型并不能反映混沌、 分岔等非线性现象。 为了 考虑齿轮系统的非线性行为， 逐渐发展出考虑齿侧间