八年级下册数学第一章证明二章节复习

八年级下册数学第一章《证明二》章节复习
专题一、全等三角形
知识整理
1、全等三角形的判定
公理①：三边的两个三角形全等；公理②：两边及其夹角的两个三角形全等；公理③：的两个三角形全等；推论：的两个三角形全等。

2、全等三角形的性质公理：全等三角形的对应边、对应角。

典例分析
例1、（2010年吉林）如图△1，在ABC中，∠ACB=90°，AC=ＢＣ，CE⊥BE，CE与AB 相交于点F，AD⊥CF，垂足为D，且AD平分∠FAC，请写出图中的两对全等三角形，并选择其中一对加以证明。

A
C
例2、已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：∠BAE=∠CAE.(两种方法)D
F
E
B
专题二、等腰三角形
知识整理
1、等腰三角形的性质：（1）定理：等腰三角形的两个底角，简称“”；（2）推论：等腰三角形的顶角平分线、、互相重合，简称“”；
2、等腰三角形的判定：的三角形是等腰三角形，简称“”；
3、等边三角形的性质：等边三角形的三个内角，且每个内角都等于。

4、等边三角形的判定：（1）有一个角为60°的是等边三角形；
（2）三个角都的三角形是等边三角形。

典例分析
例1、已知：如图，AB=AC,D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的
延长线交CA的延长线于点△F.求证：ADF△是等腰三角形．
例△2、如图，在ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，求∠ABC 的度数
A
例 3、 如下图，在△ABC 中，∠B =90°，M 是 AC 上任意一点（M 与 A 不重合）MD ⊥BC ， 交∠BAC 的平分线于点 D ，求证：MD =MA .
例 4、如图，在 △Rt ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点 D 是 AC 的中点，将一块锐角为 45° 的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与 A 、D 重合，连接 BE 、EC ．试猜 想线段 BE 和 EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．
例 △5、如右图，已知 ABC 和△BDE 都是等边三角形，求证：AE =CD.
例 6、如图，以等腰直角三角形 A BC 的斜边 AB 为边作等边△ABD ， 连接 DC ，以 DC 为边作等边 △DCE ，B 、E 在 C 、D 的同侧，
若 AB= 2 ，求 BE 的长.
例 7、如图 1、图 △2， AOB ，△COD 均是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90º，
（1）在图 1 中，AC 与 BD 相等吗？请说明理由（4 分） （△2）若 COD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后，到达图 2 的位置，请问 AC 与 BD 还相 等吗？为什么？（8 分）
B
B
D
C
D
A
C
图 1
O
O 图 2
例 △8、如图，在 ABC 中，AB=AC 、D 是 AB 上一点，E 是 AC 延长线上一点，且 CE=BD ，连结
DE 交 BC 于 F 。

（1）猜想 DF 与 EF 的大小关系；（2）请证明你的猜想。

例9、已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中
点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．求证：
BD＝DE．
例10、（2010年宁波）如图2，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别是△ABC，△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）
A A
O D
D F
G
E
E
B C B
C
图2图3
例11、如图3所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD交于点O,AE与BD交于点F，连接OC，FG，则下列结论：①AE=BF;
②AG=BF；③FG∥BE，④∠BOC=∠EOC其中正确结论的个数为（）
A、0个；
B、1个；
C、2个；
D、3个
例12、等腰三角形底边长为7，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3，则腰长是（）A、4B、10C、4或10D、以上答案都不对
专题三、线段的垂直平分线和角平分线
知识整理
1、线段垂直平分线定理及其逆定理：线段垂直平分线上的点到的距离相等；到的点在这条线段的垂直平分线上。

2、角平分线的性质定理及其逆定理：角平分线上的点到距离相等；在角的内部，到距离相等的点在这个角的平分线上。

3、三角形的三边垂直平分线、角平分线的性质定理：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，并且这点到三角形的的距离相等；三角形的三个角的平分线相交于一点，这点到三角形的的距离相等；
典例分析：
例△1：在ABC中，AB的中垂线DE交AC于F，垂足为D，若AC=6，BC=4，求△BCF 的周长。

E
C
F
A D B
例△2：如图所示，在ABC中，AB=AC，∠BAC=1200，D、F分别为AB、AC的中点，
DE⊥AB，FG⊥AC
，E、G在BC上，BC=15cm，求EG的长度。

A
D F
B E G C
例3:：如图所示，△Rt ABC中，，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F。

求证：BE垂直平分CD。

C
E
F
A D B
例4、如图3所示，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=2求BD的长。

C
D
A B
图3
例5、如图19，在∆ABC中，∠C=900，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB=6cm.你能否求出∆BDE的周长？若能，请求出；若不能，请说明理由.
例6、（8分）如图21，在∆ABC中，∠A=900，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于
D，CE⊥BD的延长线于点E.求证：C E=1
2
BD.
图
例7、（8分）如图23，∠AOB=900，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由.
图23
（
例 8、如图所示，AB>AC ， ∠A 的平分线与 BC 的垂直平分线相交于 D ，作 DE ⊥AB 于 E ，
DF ⊥AC 于F ，求证：BE=CF 。

A
E B
M
C F
D
例 △9、如图， ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分 线 EF 交 BC 的延长线于点 F ，连接 AF 。

求证：∠B=∠CAF
A
E
B
D C F
专题四、直角三角形 知识整理
1、 直角三角形的性质和判定
直角三角形的性质： （1）勾股定理： ；即： ； （2）直角三角形中，30°角所对的直角边等于 。

（3）直角三角形斜边上的中线等于 。

直角三角形的判定定理：
（1）逆定理：若一个三角形中， ，则这个三角形是直角三角形。

（2）如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是 。

2、直角三角形的全等： 和 对应相等的两个直角三角形全等，简称“HL ” 定理。

典例分析：
例 1、 2010 年菏泽市）如图 1 所示，在 △Rr ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠ABC
的平分线，CD=5cm ，求 AB 的长。

B A
D
C
图
1
例 2 ：如图 2-5 所示．在等边三角形 ABC 中，AE=CD ，AD ，BE 交于 P 点，BQ ⊥AD 于 Q ．求证： BP=2PQ ．
例3、已知：如上图，在等边三角形ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，且AE＝CD，连结AD、BE交于点P，作BQ⊥AD，垂足为Q．求证：BP＝2PQ.
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例4：如图，∆ABC中，∠C=90︒,∠1=∠2,C D=,BD=
22，求AC的长。

例5：如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。

C
D
A B 例6：如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
A
A1
B1B C
例7、（13分）如图12，ABCD是一张长方形的纸片，折叠它的一边AD，使点D落在BC 边上的F点处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，那么EC等于多少？你能证明你的结论吗？
例8、（2010年三明市）如图△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点。

（△1）求证：ACE≌△BCD；（2）若AD=5，BD=12,求DE的长。

A
D
E
C B
图2
例9、（2010年绥化市）在△Rt ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为，（提示：分三种情况）。