2018届一轮复习人教A版 1.2命题及其关系充分条件与必要条件 学案

§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件考纲展示► 1.理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义．考点1 命题及其相互关系1.命题2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于________，原命题的否命题等价于________．在四种形式的命题中真命题的个数只能是________．答案：(1)若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p(2)逆否命题逆命题0,2,4(1)[教材习题改编]命题“若m＜0，则方程x2＋x－2m＝0有实根”的否命题是_______________________________________________．答案：若m≥0，则方程x2＋x－2m＝0无实根(2)[教材习题改编]“若a，b都是偶数，则ab必是偶数”的逆否命题为___________________________________________________．答案：若ab不是偶数，则a，b不都是偶数命题中的易错点：对条件、结论的否定不当．“单调函数不是周期函数”的逆否命题是___________________________________________________________________________.答案：周期函数不是单调函数解析：原命题可改写为“若函数是单调函数，则函数不是周期函数”，故其逆否命题是“若函数是周期函数，则函数不是单调函数”，简化为“周期函数不是单调函数”．[典题1] (1)命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题是( )A．若a>b，则a－1≤b－1B．若a>b，则a－1<b－1C．若a≤b，则a－1≤b－1D．若a<b，则a－1<b－1[答案] C[解析] 根据否命题的定义可知，命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．(2)[2017·宁夏银川模拟]命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是( )A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0[答案] D[解析] 将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.(3)已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题[答案] D[解析] 由f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝e x－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，∴其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．[点石成金] 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．考点2 充分条件、必要条件的判定充要条件答案：充分必要充分不必要真子集必要不充分真子集充要A＝B既不充分也不必要包含1.充要条件的易混点：混淆条件的充分性和必要性．“x(x－1)＝0”是“x＝1”的________条件．答案：必要不充分解析：x(x－1)＝0⇒x＝0或x＝1；反之，由x＝1可得x(x－1)＝0.故“x(x－1)＝0”是“x＝1”的必要不充分条件．2．充要条件的易错点：否定形式下充分条件、必要条件判断错误．“a≠b”是“a2≠b2”的________条件．答案：必要不充分解析：由a≠b不能得到a2≠b2，但由a2≠b2一定得出a≠b，故为必要不充分条件．1.充分、必要条件的判断方法：定义判断法；集合判断法．(1)[2014·浙江卷改编]设四边形ABCD的两条对角线分别为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的________条件．答案：充分不必要解析：若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD；反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定为菱形．故“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．(2)[2015·安徽卷改编]设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的________条件．答案：必要不充分解析：因为p：x＜3，q：－1＜x＜3，所以q⇒p，但p⇒/q，所以p是q成立的必要不充分条件．2．充要条件的两个结论：传递性；等价性．(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的________条件．答案：充分不必要解析：根据充分条件的概念可知，p⇒q，q⇒r，则p⇒r.又因为q⇒/p，r⇒/q，则r⇒/p，所以p是r的充分不必要条件．(2)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的________条件答案：充分不必要解析：因为原命题和它的逆否命题是等价命题，所以綈q是綈p的充分不必要条件．[典题2] (1)设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] |x－2|<1⇔1<x<3，x2＋x－2>0⇔x>1或x<－2.由于{x|1<x<3}是{x|x>1或x<－2}的真子集，所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分不必要条件．(2)若p是綈q的充分不必要条件，则綈p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] ∵p是綈q的充分不必要条件，∴綈q是p的必要不充分条件．∴綈p是q的必要不充分条件，故选B.(3)已知a，b∈R，下列四个条件中，使a>b成立的必要不充分的条件是( )A．a>b－1 B．a>b＋1C．|a|>|b| D．2a>2b[答案] A[解析] 因为a>b⇒a>b－1，但a>b－1⇒/ a>b，故A是a>b的必要不充分条件；B是a>b 的充分不必要条件；C是a>b的既不充分也不必要条件；D是a>b的充要条件．[点石成金] 充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法．如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．①綈q是綈p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件；②綈q是綈p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；③綈q是綈p的充要条件⇔p是q的充要条件.1.[2017·山东淄博模拟]“a＝2”是“函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞)上为增函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：“a＝2”⇒“函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞)上为增函数”，但反之不成立．2．[2017·河北武邑中学高三上期中]设a，b∈R，则“(a－b)a2≥0”是“a≥b”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B解析：若“(a －b )a 2≥0”，则“a ≥b ”不成立，故“(a －b )a 2≥0”不是“a ≥b ”的充分条件；若“a ≥b ”，则“(a －b )a 2≥0”成立，故“(a －b )a 2≥0”是“a ≥b ”的必要条件，故选B.考点3 充分条件、必要条件的应用[典题3] (1)[2017·江西南昌模拟]已知条件p ：|x －4|≤6；条件q ：(x －1)2－m 2≤0(m ＞0)，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是( )A ．[21，＋∞)B ．[9，＋∞)C ．[19，＋∞)D ．(0，＋∞)[答案] B[解析] 条件p ：－2≤x ≤10，条件q ：1－m ≤x ≤m ＋1， 又因为p 是q 的充分不必要条件，所以有⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9.(2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．[答案] [0,3][解析] 由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]． [题点发散1] 本例(2)条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．[题点发散2] 本例(2)条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇒/ P .∴[－2,10] [1－m,1＋m ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10，∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．[点石成金] 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验.1.已知p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1] C ．[－3，＋∞) D ．(－∞，－3)答案：A解析：解法一：设P ＝{x |x >1或x <－3}，Q ＝{x |x >a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，因此a ≥1.解法二：令a ＝－3，则q ：x >－3，则由命题q 推不出命题p ，此时q 不是p 的充分条件，排除B ，C ；同理，取a ＝－4，排除D.故选A.2．已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，12 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43 答案：D解析：由|x －m |<1得m －1<x <1＋m ，又因为|x －m |<1的充分不必要条件是13<x <12，借助数轴，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤13，m ＋1≥12，解得－12≤m ≤43.[方法技巧] 1.判断四种命题间关系的方法写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．充分、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断“若p ，则q ”“若q ，则p ”的真假即可．(2)利用集合间的包含关系判断：设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．[易错防范] 1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提． 2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p ，则q ”的形式．3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A 是B 的充分不必要条件”与“A 的充分不必要条件是B ”的区别，要正确理解“p 的一个充分不必要条件是q ”的语言．真题演练集训1．[2015·山东卷]设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m >0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0 答案：D解析：根据逆否命题的定义，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．故选D.2．[2015·北京卷]设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B解析：当m ∥β时，过m 的平面α与β可能平行也可能相交，因而m ∥β D ⇒/ α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m ⊂α，所以m ∥β.综上知，“m ∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．3．[2015·重庆卷]“x ＞1”是“log 12 (x ＋2)＜0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B解析：∵ x ＞1⇒log 12 (x ＋2)＜0，log 12 (x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，∴ x ＞1是log 12(x ＋2)＜0的充分而不必要条件．4．[2016·四川卷]设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A解析：取x ＝y ＝0满足条件p ，但不满足条件q ，反之，对于任意的x ，y 满足条件q ，显然必满足条件p ，所以p 是q 的必要不充分条件，故选A.课外拓展阅读根据充要条件求参数取值范围的方法1．解决根据充要条件求参数取值范围的问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的包含、相等关系列出关于参数的不等式(组)求解；有时也采用等价转化思想把复杂、疑难问题转化为简单、熟悉的问题来解决．2.在解求参数的取值范围的题目时，一定要注意区间端点值的检验，在利用集合关系列不等式时，不等式是否能取到等号直接决定着端点值的取舍，在这里容易增解或漏解．[典例] 已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．[答案] [9，＋∞)[解析] 解法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得 －2≤x ≤10，∴綈p 对应的集合为{x |x >10或x <－2}，设A ＝{x |x >10或x <－2}．由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，∴綈q 对应的集合为{x |x >m ＋1或x <1－m ，m >0}，设B ＝{x |x >m ＋1或x <1－m ，m >0}．∵綈p 是綈q 的必要而不充分的条件，∴B A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10，且不能同时取得等号，解得m ≥9，∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．解法二：∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件，∴q 是p 的必要而不充分条件，即p 是q 的充分而不必要条件．由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}，设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}，又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}，设N ＝{x |－2≤x ≤10}．由p 是q 的充分而不必要条件知N M ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10，且不能同时取等号，解得m ≥9.∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．方法点睛。