二项式定理单元训练试题1
二项式定理练习题及答案解析
C．2
D．4
[答案] C
[解析] (1＋2x)3(1－3x)5＝(1＋6x＋12x＋8xx)(1－3x)5，
故(1＋2x)3(1－3x)5 的展开式中含 x 的项为 1×C35(－3x)3＋12xC05＝
－10x＋12x＝2x，所以 x 的系数为 2.
5．在 2x3＋1x2n(n∈N*)的展开式中，若存在常数项，则 n 的最小值
由 C45•a＝10，得 a＝2.
9．若(1＋2x)6 的展开式中的第 2 项大于它的相邻两项，则 x 的取值
范围是( )
A.112＜x＜15 B.16＜x＜15
C.112＜x＜23 D.16＜x＜25
Hale Waihona Puke [答案] A[解析] 由 T2>T1T2>T3 得 C162x>1C162x>C26(2x)2∴112＜x＜15.
[答案] D
[解析] x5 应是(1＋x)10 中含 x5 项与含 x2 项．
∴其系数为 C510＋C210(－1)＝207.
7．(2009•北京)在 x2－1xn 的展开式中，常数项为 15，则 n 的一个值
可以是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
[答案] D
[解析] 通项 Tr＋1＝Cr10(x2)n－r(－1x)r＝(－1)rCrnx2n－3r，常数项
二项式定理练习题及答案解析
一、选择题
1．二项式(a＋b)2n 的展开式的项数是( )
A．2n
B．2n＋1
C．2n－1
D．2(n＋1)
[答案] B
2．(x－y)n 的二项展开式中，第 r 项的系数是( )
A．Crn
B．Cr＋1n
二项式定理训练题(含答案)
二项式定理训练题一、单选题（共4题；共8分）1.若二项式的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x项的系数为（）A. 1B. 5C. 10D. 202.已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则的系数为（）A. 14B.C. 240D.3.若，则的值为（）A. B. C. D.4.在（x2﹣x﹣2）5的展开式中，x3的系数为（）A. ﹣40B. 160C. 120D. 200二、填空题（共13题；共15分）5.二项式的展开式中常数项为________.6.展开式中常数项为________.7.的展开式中，x3的系数为________．8.已知的展开式中各项系数和为2，则其展开式中常数项是________.9.的二项展开式中，含项的系数为________．10.若，则的展开式的第4项的系数为________.（用数字作答）11.二项式的展开式的各项系数之和为________，的系数为________．12.已知的展开式中的系数为108，则实数________.13.的展开式中，的系数是20，则________.14.展开式中的系数是15，则展开式的常数项为________，展开式中有理项的二项式系数和为________.15.在的展开式中，的系数是________.16.的展开式中的系数为________.17.在的展开式中，的系数为15，则实数________．三、解答题（共3题；共25分）18.已知展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求其展开式中的有理项．19.设.（1）求；（2）求及关于的表达式.20.已知二项式的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为128.（1）求的展开式中的常数项；（2）在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x) 的展开式中，求项的系数.(结果用数字作答)答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】由令得，解得，二项式展开式的通项公式为，令，解得，故展开式中含x项的系数为.故答案为：C.【分析】令，结合展开式中各项的系数和为234列方程，求得n的值，再利用二项式展开式的通项公式，即可求得含x项的系数.2.【答案】C【解析】【解答】二项展开式的第项的通项公式为由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：.解得：.所以令，解得：，所以的系数为故答案为：C【分析】由二项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：，令展开式通项中x的指数为3，即可求得，问题得解．3.【答案】C【解析】【解答】展开式的通项为：，故，，根据对称性知：.故答案为：C.【分析】计算，根据二项式系数的对称性即可得到答案.4.【答案】C【解析】【解答】∵（x2﹣x﹣2）5＝（x+1）5（x﹣2）5，∴x3的系数为.故答案为：C.【分析】先把（x2﹣x﹣2）5变形为（x+1）5（x﹣2）5，再利用二项式定理中的通项公式求出结果.二、填空题5.【答案】60【解析】【解答】二项式的展开式的通项公式为,令，解得，所以该二项式展开式中常数项为，故答案为：60。
(完整版)二项式定理练习题
二项式定理练习题一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在()103x -的展开式中,6x 的系数为（ )A ．610C 27-B ．410C 27 C ．610C 9-D ．410C 92． 已知a 4b ,0b a =>+， ()n b a +的展开式按a 的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n 等于（ ）A ．4B ．9C ．10D ．113．已知（n a a )132+的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2,则n 是 （ ）A ．10B ．11C ．12D ．13 4．5310被8除的余数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．7 5． (1。
05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（ ) A ．1.23 B ．1。
24C ．1。
33D ．1.346．二项式n4x 1x 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+ （n ∈N)的展开式中,前三项的系数依次成等差数列,则此展开式有理项的项数是（ ) A ．1B ．2C ．3D ．47．设(3x 31+x 21）n 展开式的各项系数之和为t ，其二项式系数之和为h ，若t+h=272，则展开式的x 2项的系数是( )A ．21B ．1C ．2D ．38．在62)1(x x -+的展开式中5x 的系数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79．nx x)(5131+展开式中所有奇数项系数之和等于1024,则所有项的系数中最大的值是（ ） A ．330 B ．462 C ．680 D ．790 10．54)1()1(-+x x 的展开式中，4x 的系数为（ ）A ．－40B ．10C ．40D ．4511．二项式（1+sinx)n的展开式中,末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为25，则x 在［0，2π]内的值为（ )A ．6π或3πB ．6π或65πC ．3π或32πD ．3π或65π12．在（1+x )5+(1+x ）6+（1+x ）7的展开式中，含x 4项的系数是等差数列 a n =3n －5的 ( ）A ．第2项B ．第11项C ．第20项D ．第24项二、填空题：本大题满分16分,每小题4分,各题只要求直接写出结果.13．92)21(xx -展开式中9x 的系数是 。
二项式定理训练题（含答案）
⼆项式定理训练题（含答案）⼆项式定理训练题⼀、单选题（共4题；共8分）1.若⼆项式的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x项的系数为（）A. 1B. 5C. 10D. 202.已知⼆项式的展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5，则的系数为（）A. 14B.C. 240D.3.若，则的值为（）A. B. C. D.4.在（x2﹣x﹣2）5的展开式中，x3的系数为（）A. ﹣40B. 160C. 120D. 200⼆、填空题（共13题；共15分）5.⼆项式的展开式中常数项为________.6.展开式中常数项为________.7.的展开式中，x3的系数为________．8.已知的展开式中各项系数和为2，则其展开式中常数项是________.9.的⼆项展开式中，含项的系数为________．10.若，则的展开式的第4项的系数为________.（⽤数字作答）11.⼆项式的展开式的各项系数之和为________，的系数为________．12.已知的展开式中的系数为108，则实数________.13.的展开式中，的系数是20，则________.14.展开式中的系数是15，则展开式的常数项为________，展开式中有理项的⼆项式系数和为________.15.在的展开式中，的系数是________.16.的展开式中的系数为________.17.在的展开式中，的系数为15，则实数________．三、解答题（共3题；共25分）18.已知展开式中各项系数和⽐它的⼆项式系数和⼤992，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求其展开式中的有理项．19.设.（1）求；（2）求及关于的表达式.20.已知⼆项式的⼆项展开式中所有奇数项的⼆项式系数之和为128.（1）求的展开式中的常数项；（2）在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x) 的展开式中，求项的系数.(结果⽤数字作答)答案解析部分⼀、单选题1.【答案】C【解析】【解答】由令得，解得，⼆项式展开式的通项公式为，令，解得，故展开式中含x项的系数为.故答案为：C.【分析】令，结合展开式中各项的系数和为234列⽅程，求得n的值，再利⽤⼆项式展开式的通项公式，即可求得含x项的系数.2.【答案】C【解析】【解答】⼆项展开式的第项的通项公式为由展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5，可得：.解得：.所以令，解得：，所以的系数为故答案为：C【分析】由⼆项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5可得：，令展开式通项中x的指数为3，即可求得，问题得解．3.【答案】C【解析】【解答】展开式的通项为：，故，，根据对称性知：.故答案为：C.【分析】计算，根据⼆项式系数的对称性即可得到答案.4.【答案】C【解析】【解答】∵（x2﹣x﹣2）5＝（x+1）5（x﹣2）5，∴x3的系数为.故答案为：C.【分析】先把（x2﹣x﹣2）5变形为（x+1）5（x﹣2）5，再利⽤⼆项式定理中的通项公式求出结果.⼆、填空题5.【答案】60【解析】【解答】⼆项式的展开式的通项公式为,令，解得，所以该⼆项式展开式中常数项为，故答案为：60。
二项式定理练习题与答案
二项式定理练习题一、单选题A．252B．426二、多选题5．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（）A ．由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和”猜想11C C C r r rn n n-+=+B ．由“第n 行所有数之和为2n ”猜想：012C C C C 2n n n n n n +++⋅⋅⋅+=C ．第20行中，第10个数最大D ．第15行中，第7个数与第8个数的比为7：9四、单空题五、双空题二项式定理练习题一、单选题【答案】B【分析】根据二项式系数的性质分析求解.【详解】二项式612x ⎫⎪⎭的展开式共有7项，则二项式系数最大的是第4项.故选：B.2．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中所选数1,1,2,3,6,10,20, 1，构成的数列{}n a 的第n 项，则12a 的值为（）A ．252B ．426C ．462D ．924【答案】C式的二项式系数的性质，即可求解【分析】根据题意，结合数字的构成规律，得到a 12即第11行的第6项，结合二项展开.【详解】由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中所选数1,1,2,3,6,10,20, ，构成的数列{}n a 的第n 项，根据数字的构成规律，可得数列的奇数项为每行数列的2n项，偶数项为每行的第12n +项，则12a 即第11行的第11162+=项，结合二项展开式的二项式系数的性质，可得61211C 462a ==.故选：C.【答案】C【分析】利用二项展开式通项即可得解.【详解】8141x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为418C r r r T x +=，0,1,2,,8r = ，当0,4,8r =时，159,,T T T 为有理项，故3m =.故选：C.4．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a ，b ，m ()0m >均为整数，若a 和b 被m 除得的余数相间，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡，如9和21被6除得的余数都是3，则记()921mod 6≡.若()mod10a b ≡，且0122202020202020C C 2C 2C 2a =+⋅+⋅++⋅ ，则b 的值可以是（）A ．2019B ．20C ．2021D ．2022【答案】C【分析】确定()10203101a ==-，展开计算得到()1mod10a ≡，对比选项得到答案.【详解】()()201001222020201020202020C C 2C 2C 21239101a =+⋅+⋅++⋅=+===- ，()100101991010101010101C 10C 10C 10C -=⋅-⋅+-⋅+ ，故()1mod10a ≡，依次验证选项知()20211mod10≡，故选：C.二、多选题5．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（）A ．由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和”猜想11C C C r r rn n n-+=+B ．由“第n 行所有数之和为2n ”猜想：012C C C C 2n n n n n n +++⋅⋅⋅+=C ．第20行中，第10个数最大D ．第15行中，第7个数与第8个数的比为7：9【答案】ABD【分析】对于A 选项，根据“杨辉三角”的规律进行判断即可；对于B 选项，根据二项式系数之和的性质进行计算即可；对于C 选项，第20行的数为()20C 0,1,2,,20ii =⋅⋅⋅，进而求解其最大项即可；对于D 选项，根据规律找到第7、8个数，直接计算即可.【详解】对于A 选项，由“杨辉三角”的规律可得A 正确；对于B 选项，由二项式系数的性质知012C C C C 2n nn n n n +++⋅⋅⋅+=，B 正确；第20行的数是()20C 0,1,2,,20ii =⋅⋅⋅，最大的1020C 是第11个数，C 错误；第15行中，第7个数与第8个数分别是615C 和715C ，615615771515A C 76!A C 97!==，D 正确.故选：ABD.【答案】AD【分析】利用赋值法解决，对于A ：通过给x 赋值0和1即可作出判断；对于B 和C ：通过给x 赋值1和1-，得到两个等式作差得到结果，进而作出判断；对于D ：2202120211212202122021111222222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通过给x 赋值12得到结果即可作出判断.【详解】由题意，当0x =，2021011a ==，当1x =时，202101232021(1)1a a a a a +++++=-=- ；A 正确；当=1x -时，2021012320213a a a a a -+-+-= ，所以20211352021312a a a a +++++=- ，20210242020312a a a a -++++= ，BC 错误；2202120211212202122021111222222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12x =时，2202101220211110222a a a a ⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2202112202101111222a a a a ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯++⨯=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．D 正确.故选：AD ．【答案】960【分析】根据二项式定理求出展开式中的第8项，由此即可求解．【详解】因为，()1021x +展开式的第8项为()37310C 2960=x x ，所以，()1021x +的展开式的第8项的系数为960.故答案为：960【答案】4或4【分析】根据二项展开式的通项公式结合二项式系数运算求解.【详解】因为()1sin nx +的展开式的通项公式为()1C 1sin C sin ,0,1,2,,rr n r r rr n n T x x r n -+=⨯⨯==⋅⋅⋅，令1=-r n ，可得111C sin sin n n n n n T x n x ---==⋅；令r n =，可得1C sin sin n n nn n T x x +==；由题意可得：19n +=，解得8n =，所以二项式系数最大的为第5项，则4445835C sin 70sin 2T x x ===，且()0,πx ∈，则sin 0x >，可得sin x =所以π4x =或3π4x =.故答案为：π4或3π4.【答案】240【分析】利用二项式展开式的通项公式求解即得.【详解】二项式61(x -的展开式通项为36621661C ()((2)C ,N,6r r r r r rr T xr r x --+=-=-∈≤，由3602r -=，得4r =，所以所求常数项为4456(2)C 1615240T =-=⨯=.故答案为：240【答案】3【分析】利用二项式展开式的通项公式及给定的常数项求出a 值.【详解】52()x x +的展开式的通项5521552C ()2C (0,1,2,3,4,5)r r r r r rr T x x r x--+===，令521r -=-得3r =，令520r -=，无解，所以52(2)()ax x x-+的展开式中的常数项为3352C 80240a a ⋅==，所以3a =.故答案为：3【答案】2或2-【分析】分别令0x =和2x =-可得系数的和与奇数项与偶数项系数的差，进而利用平方差公式整体代入可得关于m 的方程，求解即可.【详解】在()()()()20232202301220231111x m a a x a x a x ++=+++++++L 中，令0x =得()202301220231m a a a a +=++++L ，令2x =-得()2023012320231m a a a a a -+=-+-+-L ，所以()()2220230220221320233a a a a a a +++-+++=L L ()0123202301232023()a a a a a a a a a a =-+-+-+++++ ()()()202320232023220231113m m m =+-+=-=，所以213m -=，实数m 的值为2±,故答案为：2±.【答案】82【分析】用二项式定理展开，注意合并相反项再求和.【详解】(554321001122334455555551C 1C 1C 1C 1C 1C 1=+++++((((((5543210011223344555555551C 1C 1C 1C 1C 1C 1=+++++可得两式和的结果为82，故答案为：82【答案】8【分析】令1,2x y =-=，可得答案.【详解】注意到()()()()3232248112122a b c d a b c d -+-+=⋅-+⋅-⨯+⋅-⨯+⋅.又33223(106)x y ax bx y cxy dy +=+++，则248a b c d -+-+=()3101628⎡⎤⨯-+⨯=⎣⎦.故答案为：8【答案】16【分析】根据二项式展开式结合其常数项组成形式即可得到答案.【详解】因为)61展开式的通项为()()662166C1C 1r rrrr r r T x--+=-=-，06,N r r ≤≤∈，)6111x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项由两项构成，即()6661C 11⨯-=与()24461C 115x⨯⨯-=，所以)6111x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为11516+=.故答案为：16.15．在2nx ⎫⎪的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之【答案】729/63【分析】根据二项式系数之和求出n 的值，进而设出各项的系数，然后采用赋值法即可求得答案.【详解】由题意2nx ⎫⎪⎭的二项式中，所有的二项式系数之和为64，即264,6n n =∴=，设62x ⎫⎪⎭的各项的系数为0126,,,,a a a a ，则各项的系数的绝对值之和为0126||||||||a a a a ++++ ，即为62x ⎫⎪⎭中各项的系数的和，令1x =，660126||||||||(12)3a a a a ++++=+= ，即各项的系数的绝对值之和为63729=，故答案为：729【答案】270【分析】利用二项式定理计算即可.【详解】令()5523211332322a x x a a x ⎛⎫=⇒+=+=⇒=- ⎪⎝⎭，则()552233233a x x x x -⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，设()5233x x --的通项为()()()5235102355C 3C 31rrrrrr r r r T x x x -----=-=⋅⋅-⋅，当2r =时，()55C 311027270rrr -⋅⋅-=⨯=，即展开式中的常数项为270.故答案为：270【答案】35-【分析】由条件利用二项式定理，分类讨论求得5221x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中x 项的系数.【详解】5221x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭表示5个因式221x x -+的乘积，在这5个因式中，有1个因式选x ，其余4个因式选1，相乘可得含x 的项；或者有3个因式选x ，1个因式选22x-，1个因式选1，相乘可得含x 的项；故x 项的系数为：()1431154521C C C C 2C 35⨯+⨯⨯-⨯=-.故答案为：35-.【答案】4【分析】由二项展开式通项公式可确定04,a a ，可构造关于n 的方程，解方程求得结果.【详解】()12nx -展开式的通项公式为：()C 2rr n x -，分别令0,4r r ==，01a ∴=，4416C n a =，则0417a a +=，即4116C 17n +=，解得：4n =.故答案为：4.【答案】10【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即可．【详解】由522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为5535522C C 2kk k kk k x x x --⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，0,1,,5k = ，令532k -=，得1k =，所以展开式中2x 的系数为115C 210⨯=．故答案为：10．五、双空题【答案】1-364【分析】通过赋值的思路计算即可.【详解】令0x =得，()6011a -==；令1x =得，65432101a a a a a a a =++++++，令=1x -得，6543210729a a a a a a a =-+-+-+，两式相减得，()5317282a a a -=++，解得531364++=-a a a .故答案为：1；-364.。
（完整版）二项式定理单元测试题
（完整版）二项式定理单元测试题二项式定理单元测试题（人教B 选修2-3）一、选择题1．设二项式?33x ＋1x n 的展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，若P＋S ＝272，则n ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．8解析： 4n ＋2n ＝272，∴2n ＝16，n ＝4. 答案： A2.?x 2＋1x n 的展开式中，常数项为15，则n 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6 解析：∵T r ＋1＝C n r (x 2)n －r －1x r ＝(－1)r C n r x 2n －3r ，又常数项为15，∴2n －3r ＝0，即r ＝23n 时，(－1)r C n r ＝15，∴n ＝6.故选D. 答案： D3．(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－2 C ．2D ．4 解析： (1＋2x )3(1－3x )5＝(1＋6x 12＋12x ＋8x 32)(1－5x 13＋10x 23－10x ＋5x 43－x 53)，x 的系数是－10＋12＝2.答案： C4．在?x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )A ．－154B.154 C ．－38D.38解析：该二项展开式的通项为T r ＋1＝C 6r x 26－r ·－2x r＝(－1)r C 6r ·126－2r ·x 3－r .令3－r ＝2，得r ＝1. ∴T 2＝－6×124x 2＝－38x 2.答案： C5．C 331＋C 332＋C 333＋…＋C 3333除以9的余数是( ) A ．7 B ．0 C ．－1D ．－2解析：原式＝C 330＋C 331＋C 332＋…＋C 3333－C 330 ＝(1＋1)33－1＝233－1＝811－1＝(9－1)11－1＝C 110×911－C 111×910＋…＋C 1110×9×(－1)10＋C 1111×(－1)11－1 ＝C 110×911－C 111×910＋…＋C 1110×9－2 ＝9M ＋7(M 为正整数)．答案： A6．已知C n 0＋2C n 1＋22C n 2＋…＋2n C n n ＝729，则C n 1＋C n 3＋C n 5的值等于( ) A ．64 B ．32 C ．63D ．31解析： C n 0＋2C n 1＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729. ∴n ＝6，∴C 61＋C 63＋C 65＝32. 答案： B7．(1＋2x )2(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝( ) A ．32 B ．－32 C ．－33D ．－31解析：令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 7＝32 ∴a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝a 0－32 ＝1－32＝－31. 答案： D8．(1＋ax ＋by )n 展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为()A．a＝2，b＝－1，n＝5 B．a＝－2，b＝－1，n＝6C．a＝－1，b＝2，n＝6 D．a＝1，b＝2，n＝5解析：令x＝0，y＝1得(1＋b)n＝243，令y＝0，x＝1得(1＋a)n＝32，将选项A、B、C、D代入检验知D正确，其余均不正确．故选D.答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)9．若(1－2x)2 004＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 004x2 004(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2 004)＝________.(用数字作答)解析：在(1－2x)2 004＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 004x2 004中，令x＝0，则a0＝1，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 004＝(－1)2 004＝1，故(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2 004)＝2 003a0＋a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 004＝2 004.答案： 2 00410．若多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝________.解析：x3＋x10＝(x＋1－1)3＋(x＋1－1)10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a10(x＋1)10∴(x＋1)9项的系数为C101(x＋1)9(－1)1＝－10(x＋1)9∴a9＝－10.答案：－1011．(1－x)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为__________．解析：(1－x)20的二项展开式的通项公式T r＋1＝C20r(－x)r＝C20r·(－1)r·x r2，令r2＝1，∴x的系数为C202(－1)2＝190.令r2＝9，∴x9的系数为C2018(－1)18＝C202＝190，故x的系数与x9的系数之差为0.答案：012．若x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．解析： T r ＋1＝C 6r x 6－r (－a )r x －2r ＝C 6r (－a )r x 6－3r ，∴令r ＝2得x －a x 26的常数项为C 62a ，∴令C 62a ＝60,15a ＝60，∴a ＝4.答案： 4三、解答题(每小题10分，共20分)13．已知?x －124x n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，(1)证明展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有的有理项．解析：由题意：2C n 1·12＝1＋C n 2·122，即n 2－9n ＋8＝0，∴n ＝8(n ＝1舍去)，∴T r ＋1＝C 8r (x )8－r ·? ??－124x r ＝－12r ·C 8rx 8－r 2·x r 4＝(－1)r C 8r 2r ·x 16－3r 4(0≤r ≤8，r ∈Z )(1)若T r ＋1是常数项，则16－3r 4＝0，即16－3r ＝0，∵r ∈Z ，这不可能，∴展开式中没有常数项； (2)若T r ＋1是有理项，当且仅当16－3r4为整数，∵0≤r ≤8，r ∈Z ，∴r ＝0,4,8，即展开式中有三项有理项，分别是：T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x －2.14．求0.9986的近似值，使误差小于0.001.解析：0.9986＝(1－0.002)6＝1＋6×(－0.002)＋15× (－0.002)2＋…＋(－0.002)6，∵T 3＝15×(－0.002)2＝0.000 06＜0.001. 即第3项以后的项的绝对值都小于0.001，∴从第3项起，以后的项可以忽略不计，即0.9986＝(1－0.002)6≈1＋6×(－0.002)＝0.988.15．(10分)已知f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋4x )n (m ，n ∈N *)的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含x 2项的系数最小值．解析： (1＋2x )m ＋(1＋4x )n 展开式中含x 的项为C m 1·2x ＋C n 1·4x ＝(2C m 1＋4C n 1)x ，∴2C m 1＋4C n 1＝36，即m ＋2n ＝18，(1＋2x )m ＋(1＋4x )n 展开式中含x 2的项的系数为 t ＝C m 222＋C n 242＝2m 2－2m ＋8n 2－8n ，∵m ＋2n ＝18，∴m ＝18－2n ，∴t ＝2(18－2n )2－2(18－2n )＋8n 2－8n ＝16n 2－148n ＋612 ＝16?n 2－374n ＋1534，∴当n ＝378时，t 取最小值，但n ∈N *，∴n ＝5时，t 即x 2项的系数最小，最小值为272，此时n ＝5，m ＝8.16．在(x －y )11的展开式中，求 (1)通项T r ＋1；(2)二项式系数最大的项；(3)项的系数绝对值最大的项；(4)项的系数最大的项； (5)项的系数最小的项； (6)二项式系数的和； (7)各项系数的和．解析： (1)T r ＋1＝(－1)r C 11r x 11－r y r ；(2)二项式系数最大的项为中间两项：T 6＝－C 115x 6y 5， T 7＝C 116x 5y 6；(3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项： T 6＝－C 115x 6y 5，T 7＝C 116x 5y 6；(4)因为中间两项系数的绝对值相等，一正一负，第7项为正，故T 7＝C 116x 5y 6； (5)项的系数最小的项为T 6＝－C 115x 6y 5；(6)二项式系数的和为C 110＋C 111＋C 112＋…＋C 1111＝211；(7)各项系数的和为(1－1)11＝0.17．已知(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…a 9y 9，求： (1)各项系数之和； (2)所有奇数项系数之和； (3)系数绝对值的和；(4)分别求出奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和．解析： (1)令x ＝1，y ＝1，得 a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1 (2)由(1)知，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1令x ＝1，y ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59 将两式相加，可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即为所有奇数项系数之和． (3)方法一：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9，令x ＝1，y ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝59；方法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|即为(2x ＋3y )9展开式中各项系数和，令x ＝1，y ＝1得， |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝59. (4)奇数项二项式系数和为： C 90＋C 92＋…＋C 98＝28.偶数项二项式系数和为：C 91＋C 93＋…＋C 99＝28.18．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n －1＝29－n ，求n .解析： a 0＝1＋1＋…＋1＝n ，a n ＝1.令x ＝1，则2＋22＋23＋…＋2n ＝a 0＋a 1＋a 2…＋a n ，∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2(1－2n )1－2－a 0－a n＝2(2n－1)－n－1＝2n＋1－n－3，∴2n＋1－n－3＝29－n，∴n＝4.。
最全的二项式定理题型及典型试题
最全的二项式定理题型及典型试题
1
最全的二项式定理题型总结及练习
1、“n b a )(+展开式
例1．求4)1
3(x x +的展开式；
【练习1】求4)1
3(x x -
的展开式
2.求展开式中的项
例2.已知在331
)2-（n x x 的展开式中，第6项为常数项.
（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.
【练习2】若41()2n x x
+展开式中前三项系数成等差数列.求：
（1）展开式中含x 的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项.
3.二项展开式中的系数
例3.已知223()n x x +的展开式的二项式系数和比(31)n x -的展开式的二项式系数和大992，求21(2)
n x x -的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项（先看例9）.
[练习3]已知*22()()n x n N x
-∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.（1）求展开式中含3
2x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.
4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数
例4．在72)2)(1-+x x （的展开式中，3
x 项的系数是；
[练习4]在2
61+x+x )(x )x
-（2的展开式中常数项是5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5．在3)21(-+
x
x 的展开式中，常数项是________ [练习5]在28+x-x )（2的展开式中含1x 的项是
6、求中间项。
二项式定理经典习题(29题)
一．选择题（共19小题）1．（ax+y）5的展开式中x2y3项的系数等于80，则实数a＝（）A．2B．±2C．D．±2．的展开式中x3的系数为（）A．5B．﹣5C．15D．﹣153．已知二项式（x+）n的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中含x3项的系数是（）A．1B．C．D．34．（x﹣1）5展开式中x4项系数为（）A．5B．﹣5C．10D．﹣105．的展开式中常数项为（）A．﹣240B．﹣160C．240D．1606．（1+x）5展开式中x2的系数为（）A．﹣10B．﹣20C．20D．107．的展开式中含x5项的系数是（）A．﹣112B．112C．﹣28D．288．的展开式中x3的系数为（）A．﹣160B．﹣64C．64D．1609．二项式的展开式中的常数项是（）A．﹣15B．15C．20D．﹣2010．若的展开式中常数项为240，则正整数n的值为（）A．6B．7C．8D．911．（x﹣1）10的展开式的第6项的系数是（）A．B．C．D．12．展开式中的常数项是（）A．﹣160B．﹣140C．160D．14013．（x﹣2y﹣1）5的展开式中含x2y2的项的系数为（）A．﹣120B．60C．﹣60D．3014．若的展开式中第4项是常数项，则n的值为（）A．14B．16C．18D．2015．设n为正整数，（2x2+）n的展开式中存在常数项，则n的最小值为（）A．2B．3C．4D．516．在（2x+1）4的展开式中，x2的系数为（）A．6B．12C．24D．3617．在的展开式中，的系数为（）A．﹣30B．﹣20C．﹣10D．3018．的展开式中，x2的系数等于（）A．﹣45B．﹣10C．10D．4519．（x+2y）（x﹣y）5的展开式中x2y4的系数为（）A．﹣15B．5C．﹣20D．25二．填空题（共10小题）20．已知（a+x）（1+x）6的展开式中x2的系数为21，则a＝．21．展开式中所有奇数项的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为.（用数字作答）22．（x﹣2y+1）5展开式中含x2y项的系数为．23．的展开式中项的系数为．24．的展开式中，常数项为（用数字作答）．25．（x﹣1）（x+2）8的展开式中x8的系数为（用数字作答）．26．在的展开式中，xy7的系数为．27．（x2﹣y）（）6的展开式中，其中不含x的项为．28．在的展开式中，常数项等于．（用数字作答）29．（x2+y+3）6中x4y的系数为（用数字作答）．。
二项式定理测试题及答案
二项式定理测试题及答案二项式定理测试题一、选择题1.(x-1)的10次方的展开式的第6项的系数是（）．A。
C10B。
-C10C。
C10D。
-C102.(2x+x)的展开式中x的3次方的系数是（）．A。
6B。
12C。
24D。
483.(1-x的3次方)(1+x)的10次方的展开式中x的5次方的系数是（）．A。
-297B。
-252C。
297D。
2074.(Ax+B)的展开式中，各项都含有x的奇次幂，则n（）．A。
必为偶数B。
必为奇数C。
奇偶数均可D。
不存在这样的正整数5.二项式的展开式中二项式系数最大的项为（）．A。
第6项B。
第5、6项C。
第7项D。
第6、7项6.设(2+x) = a + a1/x + a2/x的10次方 + a10/x的10次方，则(a+a2+a4+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2的值是（）A。
1B。
-1C。
0D。
(2-1)7.把(x-1)的9次方按x降幂排列，系数最大的项是（）A。
第四项和第五项B。
第五项C。
第五项和第六项D。
第六项8.若(3x-4)的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（）A。
-540B。
-162C。
162D。
540二、填空题9.9192被100除所得的余数为92.+3Cn+5Cn+n+(2n+1)Cn=2n+3Cn。
11.在(x2+x-1)的7次方(2x+1)的4次方的展开式中，奇数项的系数的和为0.12.(x+4)的展开式中系数最大的项为C4.三、解答题13.(3x+4)的展开式为：81x的4次方+108x的3次方+54x 的2次方+12x+1.14.已知二项式(3x-1/3)：1) 展开式第四项的二项式系数为35.2) 展开式第四项的系数为-80/27.15.在(5x-2y)的20次方的展开式中，系数最大的项是C10*(5x)的10次方*(-2y)的10次方，系数最小的项是C20*(-2y)的20次方。
2.由题意可得，4-r+r=3，解得r=2.因此，223x的系数为C4-2=6，乘以2得到答案为12.3.展开(1-x)(1+x)，得到1-x^2.展开式中含x项的系数为-1，因此，1-x^2中含x项的系数为0.而1-x^2=(1+x)-(x^2)，因此，含x项的系数为1，含x^2项的系数为-1.因此，x项系数为-C10=-207.4.展开式中的一般项为Tr+1=C(Ax)^r+1，其中A=5，x=-1.要使展开式中含有x^10，必须使n为奇数。
二项式定理训练题
二项式定理训练题一、题点全面练1.(2019·河北“五个一名校联盟”模拟) A.－32C.6解析：选D 通项T r ＋1＝C 3 r⎛24⎫32－x ⎪的展开式中的常数项为()⎝x ⎭B.32D.－6⎛2⎫3－r 4r r 3－r r －6＋6r ·(－x )＝C 3(2)·(－1)x ，当－6＋6r ＝0，2⎪⎝x ⎭a 2＋a 4的值为()a 1＋a 3即r ＝1时为常数项，T 2＝－6，故选D.2.设(2－x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x ＋…＋a 5x ，则61A.－603C.－4525122B.－12190D.－121142332解析：选C由二项式定理，得a 1＝－C 52＝－80，a 2＝C 52＝80，a 3＝－C 52＝－40，a 4＝C 52＝10，所以4a 2＋a 43＝－.a 1＋a 3423.若二项式 x ＋⎪的展开式的各项系数之和为－1，则含x 项的系数为()x ⎛⎝a ⎫72⎭A.560C.280B.－560D.－280解析：选A 取x ＝1，得二项式 x ＋⎪的展开式的各项系数之和为(1＋a )，即(1＋a )x ⎛⎝2a ⎫777⎭⎛22⎫7⎛2⎫r r 27－r ＝－1,1＋a ＝－1，a ＝－2.二项式 x －⎪的展开式的通项T r ＋1＝C 7·(x )· －⎪＝⎝x ⎭⎝x ⎭C 7·(－2)·x 44r r 14－3r ⎛22⎫72.令14－3r ＝2，得r ＝4.因此，二项式 x －⎪的展开式中含x 项的系数⎝x ⎭为C 7·(－2)＝560.4.(2018·山西八校第一次联考)已知(1＋x )的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A.2C.246119n B.2D.2n 1210解析：选A由题意得C n ＝C n，由组合数性质得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2－1＝2.92⎫9⎛15.二项式 －2x ⎪的展开式中，除常数项外，各项系数的和为()⎝x ⎭A.－671C.672B.671D.673解析：选B 令x ＝1，可得该二项式各项系数之和为－1.因为该二项展开式的通项公式r ⎛1⎫9－r 2r r r 3r －9为T r ＋1＝C 9 ⎪·(－2x )＝C 9(－2)·x ，令3r －9＝0，得r ＝3，所以该二项展开式中x ⎝⎭的常数项为C 9(－2)＝－672，所以除常数项外，各项系数的和为－1－(－672)＝671.6.(2018·石家庄二模)在(1－x )(2x ＋1)的展开式中，含x 项的系数为()A.－5C.－2545433 B.－15D.2534解析：选B 由题意含x 项的系数为－2C 5＋C 5＝－15.⎛1⎫10267.(2018·枣庄二模)若(x －a ) x ＋⎪的展开式中x 的系数为30，则a 等于()⎝x ⎭1A.3C.11B.2D.2⎛1⎫10⎛1⎫r r r 10－r 10－2r 解析：选D x ＋⎪的展开式的通项公式为T r ＋1＝C 10·x · ⎪＝C 10·x ，令10x x ⎝⎭⎝⎭－2r ＝4，解得r ＝3，所以x 项的系数为C 10.令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以x 项的系数为436⎛1⎫1022632C 10.所以(x －a ) x ＋⎪的展开式中x 的系数为C 10－a C 10＝30，解得a ＝2.⎝x ⎭8.若(1＋mx )＝a 0＋a 1x ＋a 2x ＋…＋a 6x ，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为()A.1或3C.16626 B.－3D.1或－36解析：选D 令x ＝0，得a 0＝(1＋0)＝1.令x ＝1，得(1＋m )＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6.∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，∴(1＋m )6＝64＝26，∴m ＝1或m ＝－3.9.(2019·唐山模拟)(2x －1)的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)解析：(2x －1)的展开式中，二项式系数最大的项是第四项，系数是C 62(－1)＝－160.答案：－16010.(2019·贵阳模拟) x ＋⎪的展开式中x 的系数为－84，则展开式的各项系数之和为x 63336⎛⎝a ⎫93⎭________.解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C 9x r 9－r ⎛a ⎫r ＝a r C r x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，所以a 3C 3＝ x ⎪99⎝⎭⎛1⎫99－84，解得a ＝－1，所以二项式为 x －⎪，令x ＝1，则(1－1)＝0，所以展开式的各项系⎝x ⎭数之和为0.答案：0⎛1⎫511. x ＋＋1⎪展开式中的常数项为________.⎝x ⎭⎛x ＋1＋1⎫5展开式的通项公式为T ＝C r ·⎛x ＋1⎫5－r .令r ＝5，5解析：得常数项为C 5＝1， ⎪r ＋15 ⎪⎝x ⎭⎝x ⎭令r ＝3，得常数项为C 5·2＝20，令r ＝1，得常数项为C 5·C 4＝30，所以展开式中的常数项为1＋20＋30＝51.答案：51312⎛x ＋1⎫⎪n的展开式中，前三项的系数成等差数列.12.已知 4⎪ 2x ⎭⎝(1)求n ；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项.11120解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C n ，C n ，C n，2411012由已知得2×C n ＝C n ＋C n ，解得n ＝8(n ＝1舍去).24⎛x ＋1⎫⎛1⎫3r 8r 8－r ⎪的展开式的通项T r ＋1＝C 8(x )· ⎪r ＝2－r C r (2) (r ＝0,1，…，8x 4－4⎪4⎪ 42x ⎭⎝⎝2x ⎭8)，3r 354要求有理项，则4－必为整数，即r ＝0,4,8，共3项，这3项分别是T 1＝x ，T 5＝x ，48T 9＝12.256x (3)设第r ＋1项的系数a r ＋1最大，则a r ＋1＝2C 8，－r r a r ＋12C 89－r 则＝－r －r －1＝≥1，a r 2C 82r －r ra r ＋12C 8＝＋1＝a r ＋22－r ＋C r 8－r r r ＋8－r≥1，解得2≤r ≤3.当r ＝2时，a 3＝2C 8＝7，当r ＝3时，a 4＝2C 8＝7，因此，第3项和第4项的系数最大，－22－33二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分⎛1⎫n21.在二项式 x －⎪的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有x 项的⎝x ⎭系数是()A.35C.－56B.－35D.56⎛1⎫8解析：选C 由于第五项的二项式系数最大，所以n ＝8.所以二项式 x －⎪展开式的通⎝x ⎭项公式为T r ＋1＝C 8x 33r8－r (－x )＝(－1)C 8x －1r r r 8－2r ，令8－2r ＝2，得r ＝3，故展开式中含有x 项2的系数是(－1)C 8＝－56.2.已知C n －4C n ＋4C n －4C n ＋…＋(－1)4C n ＝729，则C n ＋C n ＋…＋C n 的值等于()A.64C.63012233012233n n n 12n B.32D.31n n n n 6解析：选C 因为C n －4C n ＋4C n －4C n ＋…＋(－1)4C n＝729，所以(1－4)＝3，所以n ＝6，因此C n ＋C n ＋…＋C n＝2－1＝2－1＝63.1⎫5⎛a ⎫⎛43.(2019·济南模拟) x －⎪2x －⎪的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x 12n n 6⎝x ⎭⎝x ⎭项的系数为________.a ⎫⎛1⎫5⎛x －2x －解析：令x ＝1，可得 的展开式中各项系数的和为1－a ＝2，得a ＝－1，⎪x ⎪⎝x ⎭⎝⎭1⎫51⎫5⎛1⎫⎛⎛435则 x ＋⎪2x －⎪展开式中含x 项的系数即是 2x －⎪展开式中的含x 项与含x 项系数的和.⎝⎝x ⎭⎝x ⎭⎝x ⎭1⎫5⎛r r 5－r 5－2r 又 2x －⎪展开式的通项为T r ＋1＝C 5(－1)·2·x ，令5－2r ＝3，得r ＝1，令5－2r ＝x ⎭5，得r ＝0，将r ＝1与r ＝0分别代入通项，可得含x 项与含x 项的系数分别为－80与32，故原展开式中含x 项的系数为－80＋32＝－48.答案：－48(二)交汇专练——融会巧迁移2i12233 2 01924.[与复数交汇]设复数x ＝(i 是虚数单位)，则C 2 019x ＋C 2 019x ＋C 2 019x ＋…＋C 2 019x 1－i019435＝()A.iC.－1＋i2i解析：选D 因为x ＝＝1－i－B.－i D.－i －1＋＋＝－1＋i ，所以C 2 019x ＋C 2 019x ＋C 2 019x 12233＋…＋C 2 019x 2 0192 019＝(1＋x )2 019－1＝(1－1＋i)9 2 019－1＝i 2 2 019－1＝－i －1.925.[与导数交汇]已知(x ＋2)＝a 0＋a 1x ＋a 2x ＋…＋a 9x ，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)的值为()A.3C.3921192 B.3D.3981210解析：选D 对(x ＋2)＝a 0＋a 1x ＋a 2x ＋…＋a 9x 两边同时求导，得9(x ＋2)＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x ＋…＋8a 8x ＋9a 9x ，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9＝3，令x ＝－1，得a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9＝3.所以(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9)(a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9)＝3.1222227810⎛21⎫66.[与定积分交汇]设a ＝⎛12x d x ，则二项式 ax －⎪展开式中的常数项为________.⎠⎝x ⎭⎪⎛21⎫6⎛21⎫6解析：a ＝⎛1 2x d x ＝x ⎪＝1，则二项式 ax －⎪＝ x －⎪，其展开式的通项公式为T rx ⎭⎝x ⎭⎝⎪0⎠2＋11＝C 6(x )r 26－r ⎛1⎫r r r 12－3r 44· －⎪＝(－1)C 6x ，令12－3r ＝0，解得r ＝4.所以常数项为(－1)C 6＝15.⎝x ⎭答案：15。
二项式定理（题型及答案）
⼆项式定理（题型及答案）1、(1) 已知92-x x a 的展开式中3x 的系数为49，常数a 的值为___________． (2)设k=1，2，3，4，5，则的展开式中的系数不可能是（）A. 10B. 40C. 50D. 80(3)若展开式中含项的系数与含项的系数之⽐为-5，则n 等于（）A. 4B. 6C. 8D. 102、求值: (1) =-++?-?+-nn n n n C C C 3)1(333133221(2) S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1= (3)=3、试求下列⼆项展开式中指定项的系数：(1)(a+b+c)10的展开式中，含a 5b 3c 2的系数为_________(2)求的常数项(3) 的展开式中项的系数(4) 的展开式中项的系数(5) 的展开式中项的系数(6) 的展开式中x 项的系数(7) 的展开式中项的系数(8)5)12)((xx x a x -+的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为。
,其中b 0+b 1+b 2+……+b n =62, 则n=_________（Ⅱ）如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A. 7B. –7C. 21D. –21（Ⅲ）已知(1)求a 0, (2)求a 1+a 2+a 3+a 4+a 5(3)求(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3+a 5)2(4)求a 1+a 3+a 5 (5)|a 0|+|a 1|+……+|a 5|5、已知⼆项式展开式中，末三项的系数依次成等差数列，求此展开式中所有的有理项。
~6、已知nx x )3(232 的展开式各项系数和⽐它的⼆项式系数和⼤992． (1)展开式中⼆项式系数最⼤的项 (2)求展开式中系数最⼤的项．]*7、已知的展开式中奇数项的⼆项式系数之和等于512，试求：（1）⼆项式系数最⼤的项；（2）系数的绝对值最⼤的项；（3）系数最⼤的项。
二项式定理练习(带答案)
1.3.1二项式定理一、选择题1．在(x －12x )10的二项展开式中，x 4的系数为( )A ．－120B ．120C ．－15D ．15[答案] C[解析] T r ＋1＝C r 10x 10－r (－12x )r ＝(－12)r ·C r 10x 10－2r 令10－2r ＝4，则r ＝3.∴x 4的系数为(－12)3C 310＝－15.2．在(x 2－2x)6的二项展开式中，x 2的系数为( ) A ．－154B.154 C ．－38 D.38[答案] C[解析] ∵T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·(－2x )r ＝C r 6(－1)r 22r －6x 3－r (r ＝0,1,2，…，6)， 令3－r ＝2得r ＝1.∴x 2的系数为C 16(－1)1·2－4＝－38，故选C. 3．在(2x 2－1x )5的二项展开式中，x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．40D ．－40[答案] D[解析] 本小题考查二项式展开式的系数求法，考查运算能力．(2x 2－1x )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r (－1x )r ＝C r 525－r (－1)r x 10－3r ，令10-3r ＝1得，r ＝3，∴T 4＝C 3522(－1)3x ＝－40x .∴x 的系数是－40.[点评] 把二项式系数等同于项的系数是易犯的错误．4．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的展开式中，常数项为15，则n 的一个值可以是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6[答案] D[解析] 通项T r ＋1＝C r 10(x 2)n －r (－1x)r ＝(－1)r C r n x 2n －3r ，常数项是15，则2n ＝3r ，且C r n ＝15，验证n ＝6时，r ＝4合题意，故选D.5．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有( ) A ．4项 B ．5项 C ．6项 D ．7项[答案] A [解析] T r ＋1＝C r 20(32x )20－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22r ·(32)20－r C r 20·x 20－r ， ∵系数为有理数，∴(2)r与220－r 3均为有理数， ∴r 能被2整除，且20－r 能被3整除，故r 为偶数，20－r 是3的倍数，0≤r ≤20.∴r ＝2,8,14,20.二、填空题6. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是________．[答案] －160x[解析] ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2－13x 6的展开式中第4项为 T 4＝C 3623·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 3＝－160x . 7．x (x －2x )7的展开式中，x 4的系数是________．(用数字作答)[答案] 84[解析] x 4的系数，即(x －2x )7展开式中x 3的系数， T r ＋1＝C r 7·x 7－r ·(－2x )r＝(－2)r ·C r 7·x 7－2r ， 令7－2r ＝3得，r ＝2，∴所求系数为(－2)2C 27＝84.8．若(1＋2)5＝a ＋b 2(a 、b 为有理数)，则a ＋b 等于________．[答案] 70 [解析] ∵(1＋2)5＝1＋52＋20＋202＋20＋42＝41＋292＝a ＋b 2，又a 、b 为有理数，∴⎩⎨⎧ a ＝41，b ＝29.∴a ＋b ＝41＋29＝70.。
二项式定理相关练习题
二项式定理相关练习题一、基础题1. 已知 $(x + y)^5$ 的展开式中，$x^2y^3$ 的系数是多少？2. 求 $(a 2b)^4$ 的展开式中，$a^3b$ 的系数。
3. 已知 $(x \frac{1}{x})^6$ 的展开式，求其中 $x^3$ 的系数。
4. 计算 $(3x 4y + 5z)^2$ 的展开式中，$x^2$ 的系数。
5. 已知 $(2x + 3y 4z)^5$ 的展开式，求其中 $y^3z^2$ 的系数。
二、提高题1. 在 $(x + \frac{1}{x})^8$ 的展开式中，求常数项和$x^4$ 的系数。
2. 已知 $(a + b + c)^3$ 的展开式，求其中 $a^2b^2$ 的系数。
3. 计算 $(x^2 + \frac{1}{x})^5$ 的展开式中，$x^3$ 的系数。
4. 在 $(2x 3y + 4z)^4$ 的展开式中，求 $x^2y^2$ 的系数。
5. 已知 $(3a 4b + 5c)^6$ 的展开式，求其中 $a^3b^3c^3$ 的系数。
三、应用题1. 设 $(x + \frac{1}{x})^n$ 的展开式中，常数项为 40，求$n$ 的值。
2. 已知 $(a + b)^n$ 的展开式中，$a^3b^2$ 的系数为 60，求$n$ 的值。
3. 在 $(2x 5y)^7$ 的展开式中，求 $x^5y^2$ 的系数，并判断该系数是奇数还是偶数。
4. 计算 $(x^2 \frac{1}{x})^6$ 的展开式中，$x^4$ 的系数，并说明该系数的正负性。
5. 已知 $(3a + 4b)^n$ 的展开式中，$a^2b^3$ 的系数为 144，求 $n$ 的值。
四、综合题1. 若 $(x \frac{1}{2x})^8$ 的展开式中，$x^4$ 的系数为$70$，求 $x^6$ 的系数。
2. 在 $(a + b)^{10}$ 的展开式中，找出系数最大的项。
二项式定理练习题(最新整理)
数是
（）
A． 1
2
B．1
C．2
D．3
8．在 (1 x x 2 )6 的展开式中 x5 的系数为
（）
A．4
B．5
C．6
D．7
9． (3
1 x
5
1 x
)
n
展开式中所有奇数项系数之和等于
1024，则所有项的系数中最大的值是
A．330
B．462
C．680
D．790
（）
10． ( x 1)4 (x 1)5 的展开式中， x 4 的系数为
=1+0.3+0.0375+0.0025+… 1.34．
6．解： Tr1
28r
C xr
163r 4
8
，r=0,1,…,8.
设16 3r
k ，得满足条件的整数对(r,k)
只有(0,4),(4,1),(8,-2).
4
7．解：由 4n
2n
272, 得 2n
16 ，n=4, Tr1
34r
C
r 4
1 (x 6
2 x
3)
. （6 分）
∵ x > 0 , x 2 2 2 . x
当且仅当 x
2 时，等号成立. ∴ 当 x
2
时，
Cx3 (C1x )2
取得最小值.
（8 分）
（3）性质①不能推广，例如当 x
2 时， C1 有定义，但 C 2
2 2
1
无意义;
（10 分）
性质②能推广，它的推广形式是
(1 x x 2 )6 的展开式的通项公式为Tr1
r
(1)
n
C6r
二项式定理训练题
)
A．5
B．10
C．20
D．40
答案 B
解析 Tr＋1＝Cr5x2(5－r)x－r＝Cr5x10－3r，令 10－3r＝1，得 r＝3，故 T4＝C53x ＝10x，所以 x 的系数为 10.故选 B．
6．(x2＋1)
1
B．－10
C．－32
D．－42
答案 D
解析
数为 1×4＋2×4＝12.故选 A．
16．(2018·全国卷Ⅲ)x2＋2x5 的展开式中 x4 的系数为(
)
A．10
B．20
C．40
D．80
答案 C 解析 由题可得 Tr＋1＝Cr5(x2)5－r2xr＝Cr5·2r·x10－3r.令 10－3r＝4，则 r＝2， 所以 C5r·2r＝C25×22＝40，故选 C．
二项式定理
一、基础小题
1．(x－y)n 的二项展开式中，第 m 项的系数是( )
A．Cmn C．Cmn －1 答案 D
B．Cmn ＋1 D．(－1)m－1Cmn －1
解析 (x－y)n 展开式中第 m 项的系数为(－1)m－1·Cmn －1.
2.2x－1x4 的展开式中的常数项为(
)
A．－24
B．－6
D．378
答案 C
高中数学二项式定理经典练习题专题训练(含答案)
高中数学二项式定理经典练习题专题训练(含答案)高中数学二项式定理经典练题专题训练姓名。
班级。
学号。
说明：1、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟。
2、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。
考试结束后，只收第Ⅱ卷。
第Ⅰ卷（选择题）评卷人。
一．单选题（每题3分，共39分）1.已知在 $(1+x)^{10}$ 的展开式中常数项是（）A。
42B。
-14C。
14D。
-422.在 $(1+x)^5$ 的展开式中第三项的系数是（）A。
10B。
5C。
15D。
203.在$(1+x)^n$ 的展开式中，第6项为常数项，则n 为（）A。
10B。
9C。
8D。
74.设 $a=\cos^2 2x dx$，则 $(a-x)^6$ 展开式中含 $x^2$ 项的系数是（）A。
-192B。
-190C。
192D。
1905.在 $(x-1)^6$ 的二项展开式中，$x^3$ 的系数是（）A。
-20B。
20C。
15D。
-156.在 $(1-x)^5$ 的展开式中，x 的系数是（）A。
-5B。
5C。
4D。
-47.在 $(1-2x)(1+x)^5$ 的展开式中，$x^3$ 的系数是（）A。
20B。
-20C。
10D。
-108.在二项式系数 $\binom{n}{k}$ 的展开式中，各项系数之和为 M，各项二项式系数之和为 N，且 M+N=64，则展开式中含 $x^2$ 项的系数为（）A。
-90B。
90C。
10D。
-109.在$(a+x)^6$ 的二项展开式中，若中间项的系数是160，则实数 a 的值为（）A。
2B。
-2C。
1/2D。
-1/210.$(x-1)^{10}$ 展开式中系数最大的项是（）A。
第五项和第六项B。
第六项C。
第五项和第七项D。
第四项和第七项11.在 $(1+ax)^6$ 的二项展开式中含 x 项的系数是（）A。
28B。
-56C。
56D。
-2812.若 $(1+x)^n=1+6x+15x^2+20x^3+15x^4+6x^5+x^6$，则n 等于（）A。
《二项式定理》练习题
《二项式定理》练习题一、单选题1．在5(21)x -的展开式中，2x 的系数为（ ）A ．20B ．20-C ．40-D ．402．6(x 的展开式中的常数项为（ ）A ．58B ．1116C ．34D ．15163．6(2)x y -+的展开式中，22x y 的系数为（ ）A ．360B ．180C ．90D ．180-4．在6(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为（ ）A ．2B ．6C ．15D ．205．二项式522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，4x 的系数是（ ） A ．40B ．10C ．-40D ．10-6．在6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数为12，则a 的值为（ ） A ．2B ．2-C ．1D ．1-7．已知二项式nx⎫⎪⎭展开式中的常数项为第4项，则该二项式的展开式中的常数项为（ ）A ．84-B ．42-C ．42D ．848．若22)nx 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是（ ） A ．360B ．180C ．90D ．459．二项式6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为20-，则含4x 项的系数为（ ） A ．6-B ．15-C ．6D ．1510．已知二项式51()ax x-的展开式中含x 的项的系数为270，则实数a =（ ）A ．3-B ．2-C ．2D ．3243A ．12-B ．12 C ．1 D ．212．()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为（ ）A ．6-B ．5-C ．9D ．1513．多项式()()())2112(3x x x x ++++展开式中 3x 的系数为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．1314．在na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含6x 的项系数为（ ） A ．45B ．-45C ．120D ．-12015．已知等差数列{}n a 的第5项是612x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项，则28a a +=（ ）A ．20B ．20-C ．40D ．40-16．()()5321x x -+展开式中3x 的系数为（ ）A ．15-B ．10-C ．10D ．1517．若5a x ⎫⎪⎭的展开式中x 的系数为15，则a =（ ）A ．2B ．3.C ．4D ．518．()611a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为35，则实数a 的值为（ ） A ．25-B ．45-C ．35D ．15-19．已知()()()()52501251121212x a a x a x a x +=+++++⋅⋅⋅++，则1a =（ ）A ．516B ．532C ．15D ．520．若4701(1)(2)x x a a x ++=++2727(2)(2)a x a x +++⋅⋅⋅++，则3a =（ ）A ．27B ．35C ．8-D ．43-21．设0612620126172m m m m x a x a x a x a x x ⎛⎫-=++++ ⎪⎝⎭，则0126m m m m ++++=（ ）A ．21B ．64C ．78D ．15622．5(1-的展开式中，2x 的系数为___________.(用数字作答)23．512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 与1x -的系数之比为___________ 24．二项式72x ⎛- ⎝的展开式中第4项的系数为___________.25．344x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是___________.(用数字作答) 26．5(2x -的展开式中2x 的系数为80，则a =______ 27．若()()61x x a -⋅+与()()610ax a +≠的展开式中3x的系数相等，则实数a 的值为________．28．已知()()()()65601563111x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅++++，则5a =___________.29．已知nx ⎛+ ⎝的展开式中的第二项和第三项的系数相等，则展开式中所以二项式系数的和为__________．30．已知()2na b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为________．31．212nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的展开式中所有二项式系数之和为8，则该展开式中的常数项为_______（用数字作答） 32．已知()626012613x a a x a x a x +=++++，则246a a a ++=______．（结果用数字表示）33．()()541213x x -+的展开式中按x 的升幂排列的第3项的系数为___________. 34．()62121x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数为______． 35．()()5211x x y z -+++的展开式中2x y 的系数为____________． 36．()6x y z +-的展开式中23xy z 的系数是______．37．5(2)(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为______________38．若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为160，则a =___________. 39．54(12)(1)x x -+展开式中3x 的系数为__________．40．()5212x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为______，常数项为__________． 41．若()na x +的展开式中2x 项的二项式系数为10，则n =______；若展开式中的常数项为32-，则实数a 的值为______．42．已知2012(1)n n n x a a x a x a x -=++++，则0a =______，若340a a +=，则n =______．43．已知()727012712x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则127a a a ++⋅⋅⋅+=______．3a =______．44．已知523450123451322x a a x a x a x a x a x ⎛⎫-=+++++ ⎪⎝⎭，则2a =______，123452345a a a a a ++++=______．45．已知4na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第四项的系数为120，所有奇数项的二项式系数之和为512，则实数a 的值为______，展开式中的常数项为______．46．已知72ax ⎛⎝的展开式中的常数项为14，则a =______，展开式中x 的整数次幂项的个数为______． 47．已知()()257017121...,x x a a x a x -+=+++则0a =_____，1357a a a a +++=_____．48．二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为270，则：（1）a =_____，（2）该二项式展开式中所有项的系数和为_____．《二项式定理》练习题参考答案1．C 【解析】由题得()521x -的展开式的通项为555155(2)(1)(1)2.r r r r r r rr T C x C x ---+=-=-令5-r =2,则r =3,所以2x 的系数为33535(1)240.C --=-2．D 【解析】6(x 的通项公式为3662216611(1)()(1)()22rr r rrr r rr r T C xx C x ---+=⋅⋅-⋅⋅=⋅-⋅⋅，令3602r -=，解得4r =，故44456115(1)()216T C =⋅-⋅=，故选：D 3．A 【解析】()6622(2)2,x y x y x y -+=+-∴⎡⎤⎣⎦的系数为42264(2)360C C -=.故选：A. 4．C 【解析】展开式的通项为16r rr T C x +=．令2r得到展开式中2x 的系数是2615C =．故选：C ．5．A 【解析】二项式522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为25152()()r rr r T C x x -+=-1035(2)r r r C x -=-，0,1,2,3,4,5r =，令1034r -=，得2r，所以展开式中，4x 的系数是225(2)40C -=.故选：A6．B 【解析】6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()()66216611r r r r r r r r rr T C x a x a C x ---+=-=-，∵4x 的系数为12，∴当6-2r =4时，解得r =1，有()61=12rr ra C -，即-6a =12，解得：a =-2.故选：B7．A 【解析】n x ⎫⎪⎭展开式通项公式为：()()3211n rr n r rr rr n nT C x C x--+=-=-，9324nn T C x-∴=-，展开式常数项为第4项，902n -∴=，解得：9n =，∴常数项34984T C =-=-.故选：A. 8．B 【解析】展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中第6项为中间项，所以总共11项，故n ＝10，通项公式为5105211010222rr rrr r r T C C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭当5502r -=，即2r 时为常数，此时223102180T C ==，所以展开式的常数项是180，故选：B9．A 【解析】二项式6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式生的通项公式为()662166rr r r r rr a T C x a C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．当3r =时，为常数项.则()336201C a a -=-⇒=，令624r -=，得1r =，所以含4x 项的系数()15616C -=-.故选：A10．D 【解析】二项式51()ax x-的通项公式55552155(1)(1)r r r r r r r r r r T C a x x C a x-----+=⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅-，当D .11．A 【解析】4(2)x -的展开式的通项公式为4142(1)r r r rr T C x -+=⋅⋅-⋅，则41(2)x ⨯-的展开式中含有3x 的项为3133342(1)8C x x ⋅⋅-⋅=-，24(2)ax x ⨯-的展开式中含有3x 的项为21311342(1)32ax C x ax ⨯⋅⋅-⋅=-，则8328a --=，解得12a =-，故选：A ．12．C 【解析】()61x -的展开式通项为()()1661r rr rr r A C x C x +=⋅-=⋅-，且()()()666111111x x x x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭，所以，()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式通项为()()()()11,1666611111rk r k rrk k r r k k r k T C x C x C x C x x -++=⋅-⋅+⋅-⋅=⋅-⋅+⋅-⋅，由111r k =⎧⎨-=⎩，可得12r k =⎧⎨=⎩，因此，()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为12666159C C -+=-+=.故选：C. 13．C 【解析】原式()()()()()()2123123xx x x x x x =+++++++，所以展开式中含3x的项包含()()()123x x x +++中x 项为12231311x x x x ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ，和()()()123x x x +++中3x的项为3x ，这两项的系数和为11112+=.故选：C14．A 【解析】∵在na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，∴在na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式有11项，即n =10；而展开式的所有项的系数和为0，令x =1，代入=0na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即()101=0a +，所以a = -1.∴101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是展开式的通项公式为：()101021101011rr r r r rr T C x C xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，要求含6x 的项，只需10-2r =6，解得r =2，所以系数为()221010914521C ⨯-==⨯.故选：A 15．D 【解析】由二项式定理，612x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项是33361()20C x x ⨯-=-，即520a =-，因为{}n a 是等差数列，所以285240a a a +==-．故选：D ． 16．C 【解析】()51x +展开式通项公式为：55r rC x-，()()5321x x +∴-展开式中3x 的系数为：235532302010C C -=-=.故选：C.17．B 【解析】5a x ⎫⎪⎭的展开式中x 的项为4455aC ax x⋅=，则515a =，故3a =.故选：B 18．D 【解析】()6a x +的二项展开式的通项616rrr r T C ax -+=，()611a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含4x 的项包含两部分，即42424615C a x a x =，554616C ax ax x =，故()611a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为231565a a +=-，所以15a =-.故选：D ．19．B 【解析】令12x t +=，则111122t t x -++=+=，所以525012512t a a t a t a t +⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，所以541515232a C ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，故选：B ． 20．A 【解析】由47270127(1)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++＝()()472221x x +-++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()4143472183527a C C =-+-=-+=.故选：A. 21．A 【解析】62172x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为()612316217,0,1,2,,6k k kk k T C x k --+=⋅⋅-⋅=…，所以()()0126166127312+6=843212m m m m +⨯++++=⨯-++-⨯=…故选：A22．5【解析】5(1-的展开式的通项公式为12155((1)r rrrr r T C C x +==-，0,1,2,3,4,5r =，令122r =，得4r =，所以2x 的系数为445(1)5C -=. 23．2-【解析】因为()()()55521551221rrr r rrr r T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．令521r -=，则2r ，所以x的系数为()()522252180C --=，令521r -=-，则3r =，所以1x -的系数为()()533352140C --=-，所以x 与1x -的系数之比为2-，24．560-【解析】()335443224723516560T C x x x -⎛=⋅⋅=-⨯⨯=- ⎝.因此，二项式72x ⎛⎝的展开式中第4项的系数为560-.25．160-【解析】由题意，化简33263444(2)4x x x x x x x ⎛⎫-+-⎛⎫-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又由6(2)x -展开式的通项为6666(2)(2)r rr rr rC xC x---=-，当3r =时，可得33336(2)160C x x -=-，所以344x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是33160160x x-=-. 26．±1【解析】其通项公式为35552155(2)(1)(1)2r r rrrr r r r rr T C x a C a x ---+=⋅⋅-⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅，令3522r -=，则2r ，则22235(1)280C a ⋅-⋅⋅=，解得1a =±.27．83【解析】()6x a +的展开式通项为()616,06r r rr A C x a r N r -+=⋅⋅∈≤≤，且()()()()6661x x x a x a x a +=--⋅++，所以，()()61x x a -⋅+的展开式通项为66761,16666k kkr rrk kkr rrk r T xC xa C xa C xa C xa ----++=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅，由7363k r -=⎧⎨-=⎩，解得43k r =⎧⎨=⎩，所以，()()61x x a -⋅+的展开式中3x 的系数为443366C a C a ⋅-⋅，()61ax +的展开式的通项为()666166mmmm m m B C ax C a x ---+=⋅=⋅，由63m -=可得3m =，所以，()61ax +的展开式中3x 的系数为336C a ⋅，所以，443333666C a C a C a ⋅-⋅=⋅，解得3646283C a C ==．28．12【解析】因为()()()()()66560156321111x x a a x a x a x +=++=+++⋅⋅⋅++++⎡⎤⎣⎦，此二项式的展开式的通项为()61621r r r r T C x -+=⨯⨯+，当=5r 时()556621T C x =⨯⨯+，所以556212a C =⨯=29．24332【解析】32112rn r r n r r r n n r T C x C x --+==，由题意1221122n n C C =，解得5n =，令1x =，则系数和为51243(1)232+=． 30．7、8、9【解析】由题意()2na b +的展开式中第5项的二项式系数最大，当n 为偶数时，8n =，当n 为奇数时，中间两项二项式系数最大，则7n =或9n =．31．6【解析】∵212nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的展开式中所有二项式系数之和为8，∴28,3n n =∴=，∴展开式的常数项为()12232126C xx ⎛⎫⎪⎝⎭-=.32．2079【解析】令()()613f x x =+，则()001f a ==，由题意可得()()()60123456601234561412f a a a a a a a f a a a a a a a ⎧=++++++=⎪⎨-=-+-+-+=-⎪⎩，所以，()()()661150246114222204832208022f f a a a a +-+-+++===+=+=，因此，246208012079a a a ++=-=.33．26-【解析】按x 的升幂排列的第3项为含2x 项，∴22113554(2)(2)(3)T C x C x C x =⋅-+⋅-⋅⋅＋224(3)C x ⋅＝2222401205426x x x x -+=-，∴该项的系数为26-.34．45【解析】由二项式定理可得()61x +的通项为616rrr T C x-+=，所以()61x +的展开式中含2x 项的系数为46C 15=，含4x 项的系数为2615C =，故()62121x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数为1515245+⨯=．35．10【解析】由二项展开式的性质和组合数的计算，可得()()5211x x y z -+++的展开式中2x y 项为：11332212222254353221(1)1403010x C x C y C C x C y C x y x y x y ⋅⋅⨯⨯+-⨯⋅⋅⨯⨯=-=，所以()()5211x x y z -+++的展开式中2x y 的系数为10.36．60-【解析】()()66x y z x y z +-=+-⎡⎤⎣⎦，所以，()6x y z +-的展开通项为()616rrr r A C x y z -+=⋅⋅-，()ry z -的展开式通项为()()11kkk r k k r k k k r r B C y z C y z --+=⋅⋅-=⋅-⋅⋅， 所以，()6x y z +-的展开式通项可以为()61,161kr kr r k k r k r T C C x y z --++=⋅⋅⋅-，其中06k r ≤≤≤且k 、r N ∈，令6123r r k k -=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得53r k =⎧⎨=⎩，因此，()6x y z +-的展开式中23xy z 的系数是()35365160C C ⋅-=-.37．120【解析】由题意得5(2)x y -展开式的通项公式为555155(2)()2(1)k k k k k k k k k T C x y C x y ---+=-=-．令2k =，23232352(1)T C x y =-，令3k =，32323452(1)T C x y =-，所以33x y 的系数为232323552(1)22(1)16040120C C -⨯+-=-=.38．2【解析】展开式的通项公式为：()62123166,0,1,2,3,4,5,6kkk k k kk a T C x a C x k x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，因为3x 的系数为160 ，故令1233k -=，解得3k =.所以336160a C =，即：38a =，所以2a =.39．24【解析】由多项式乘法及二项展开式的通项可知，含3x 的项分别为03354C C x ，33054(2)C x C -，12254(2)C x C x -，22154(2)C x C x -，合并同类项，则含3x 的项为33(48060160)24x x --+=，所以系数为24.40．120- 20 【解析】()512x -的展开式的通项为()()5155122r rrr r r r T C x C x -+=⋅⋅-=-⋅，则()5212x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为()()242455222120C C --⨯-=-，常数项为()1152220C -⨯-=.41．5 2- 【解析】由题意得()n a x +的展开式中2x 项的二项式系数2C 10n =，则5n =，因此()5a x +的展开式中的常数项为0555C 32a a ==-，所以2a =-．故答案为：5；2-42．1 7 【解析】因为2012(1)n n n x a a x a x a x -=++++，所以令0x =可得01a =，因为3434,n n a C a C =-=，340a a +=，所以34n n C C =，所以7n =，43．2- 280-【解析】令1x =，得01271a a a a -=+++⋅⋅⋅+，令0x =，得01a =，所以1272a a a ++⋅⋅⋅+=-．二项展开式的通项()()17722rrr r r r T C x C x +=-=-，令3r =，得()33372280a C =-=-．44．13516- 52【解析】由二项式定理知，2332513135C 2216a ⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．对已知等式两边同时求导可得42341234511352345222x a a x a x a x a x ⎛⎫⨯-=++++ ⎪⎝⎭，令1x =，得12345523452a a a a a ++++=． 45．1 45 【解析】因为4na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的所有项的二项式系数之和为2n ，且奇数项和偶数项的二项式系数之和相等，所以12512n -=，解得10n =，所以展开式中第四项3374104C a T x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以3310C 120a =，解得1a =，所以1041x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项101051101041C C rr r r r r T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1050r -=，解得2r ，所以展开式中的常数项为210C 45=．46．2 3【解析】72ax ⎛ ⎝的展开式的通项公式为()7147273177rr r r r r r T C ax C a x ---+=⋅=．令71403r -=，得6r =，则展开式中的常数项为6767714C a a -==，故2a =．易知当0,3,6r =时，7143r -的值分别为14，7，0，均为整数，故展开式中x 的整数次幂项的个数为3． 47．1 2 【解析】在()()257017121...,x x a a x a x -+=+++中，令0x =，得250111a =⨯=．设25()(1)(21)f x x x =-+，则017(1)0f a a a =+++=，201237(1)24f a a a a a -=-+-+-=-=-，则1357(1)(1)0(4)222f f a a a a ----+++===． 48．3 32 【解析】二项式25()a x x-的展开式中，通项公式为53515(1)r r r r r T C a x --+=⋅-⋅⋅，令351r -=，可得2r ，故x 的系数为235270C a ⋅=，3a ∴=．令1x =，可得二项式25()ax x-的展开式中所有项的系数和为5232=，。
二项式定理专项训练(原卷版)
二项式定理专项训练1．（2024·江苏泰州·模拟预测）()()5x y x y -+的展开式中24x y 的系数是（ ） A ．10- B ．5-C ．5D ．152．（2024·江苏无锡·模拟预测）在()n a b +的展开式中，若第4项与第5项的二项式系数之和等于第10项与第11项的二项式系数之和，则n =（ ） A ．16 B ．15 C ．14 D ．133．（2024·江苏苏州·模拟预测）设(1)n n A x =+，12n n B A A A =++，则2024B 中3x 前的系数为（ ）A ．42023C B ．32024CC ．32023CD ．42025C4．（2023·江苏·二模）已知2323122202222312a a a aa x x x x x ⎛⎫-=+++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭，则0121222221222a a a a ++⋅⋅⋅++=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．25．（2024·江苏·一模）设5250125(12)x a a x a x a x +=++++，则125a a a +++=（ ）A ．2-B ．1-C ．242D ．2436．（2024·江苏南京·模拟预测）621x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，42x y 的系数为（ ）A ．60B ．60-C ．120D ．120-7．（2024·江苏苏州·三模）记M =“720的不同正因数的个数”，N =“5(1)x y +-的展开式中22x y 项的系数”，则（ ）A ．20M N -=B ．0M N -=C ．0M N ->D ．0M N +<8．（2024·江苏南通·二模）若()()()231021001210111x x x a a x a x a x ++++++=++++，则2a 等于（ ）A ．49B ．55C ．120D ．1659．（2024·江苏徐州·模拟预测）62x x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为（）A ．160B ．60C ．40D ．1510．（2024·江苏·模拟预测·多选）若()10223200123202x x a a x a x a x a x +-=+++++，则（ ）A ．01024a =B ．11a =C ．1910a =D ．13519512a a a a ++++=-11．（2024·江苏宿迁·一模）已知231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数和为32，则展开式中的常数项为 ．12．（2024·江苏宿迁·三模）设()()20121*nn n x a a x a x a x n +=++++∈N ，若54a a ，且56a a >，则nii a==∑ ．13．（2024·江苏南京·模拟预测）26(23)(21)x x x +++的展开式中，2x 的系数是 .14．（2024·江苏·模拟预测）()522x x y +-的展开式中62x y 的系数为 （用数字作答）15．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知5ax x ⎛ ⎝的展开式中所有项的系数和为32，则a = ．16．（2024·江苏苏州·模拟预测）()252(1)x x x +--的展开式中2x 的系数为 ．17．（2024·江苏泰州·模拟预测）对于8()x x的展开式，含2x 项的系数为 ．。
高考复习基础训练——二项式定理(原卷版)
高考复习基础训练——二项式定理一、单选题1、二项式741x ⎫⎪⎭的展开式中常数项为（ ） A. 7-B. 21-C. 7D. 212、若n 为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式1)2n x的展开式的常数项是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 103、已知()()523456012345611x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则13a a 的值为（ ） A. 1-B. 1C. 4D. 2-4、在6(2)x y -的展开式中，42x y 的系数为（ ） A. 30B.60C. 40D. -605、在61(2)x x-的展开式中含2x 项的系数是（ ）A. 192-B. 160-C. 240D. 606、()26x y x y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中25x y 的系数为（ ）A ．12B ．16C ．20D ．247、对任意实数x ，有()()()()()923901239231111x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-.则下列结论不成立的是（ ） A ．2144a =- B ．01a =C ．01291a a a a ++++=D ．9012393a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-8、已知0a >，62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二展开式中，常数项等于60，则=a （ ）A ．3B ．2C ．6D ．49、在234567(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x -+-+-+-+-+-+-的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．70B ．35C ．35-D ．70-10、设()20121nn n x a a x a x a x +=++++，若23a a =，则n =（ ）A. 5B. 6C. 7D. 811、若6a x ⎫⎪⎭的展开式中常数项的系数是15，则=a （ ） A. 2B. 1C. 1±D. 2±12、()73111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为（ ） A. 42B. 35C. 7D. 113、()()6211x ax x +---的展开式中2x 的系数是2-，则实数a 的值为（ ） A ．0B ．3C ．1-D ．2-14、设5250125(12)x a a x a x a x +=++++，则125a a a +++=（ ）A. 2-B. 1-C. 242D. 24315、二项式10x⎛⎝的展开式中有理项的个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．816、若2nx ⎛⎝的展开式中所有项系数和为81，则该展开式的常数项为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．417、已知正整数n ≥7，若1()(1)nx x x--的展开式中不含x 5的项，则n 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1018、2()nx x-展开式中的各二项式系数之和为1024，则4x 的系数是（ ）A ．-210B ．-960C ．960D ．21019、已知()522211x x a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是（ ）A ．10-B ．7-C ．9D ．1020、已知(51a =+a ，b 为有理数)，则a ＝（ ）A ．0B ．2C ．66D ．7621、(x 2+2ax -a )5的展开式中各项的系数和为1024，则a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．422、()4234012341x a a x a x a x a x +=++++，则01234a a a a a -+-+=（ ） A ．5B ．3C ．0D ．3-23、5()(3)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（ ） A ．-80 B ．-180C ．180D ．80二、多选题24、已知二项式6ax⎛⎝，则下列说法正确的是（ ）A ．若2a =，则展开式的常数为60B ．展开式中有理项的个数为3C ．若展开式中各项系数之和为64，则3a =D ．展开式中二项式系数最大为第4项25、已知5nx⎛⎝的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是（ ）A ．2，n ，10成等差数列B ．各项系数之和为64C ．展开式中二项式系数最大的项是第3项D ．展开式中第5项为常数项26、已知2nx⎛⎝的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（ ）A ．二项展开式中无常数项B ．二项展开式中第3项为3240xC ．二项展开式中各项系数之和为63D ．二项展开式中第4项的二项式系数最大 27、若()()20202320200123202012a a x a x a x x x a x =++++⋅⋅+-⋅∈R ，则（ ）A ．01a =B ．20201352019312a a a a -+++⋅⋅⋅+=C ．20200242020312a a a a ++++⋅⋅⋅+=D ．320201223202012222a a a a +++⋅⋅⋅+=- 三、填空题28、()4212x x ⎛⎫-+⎪⎝⎭展开式的常数项为______．29、二项式81x ⎫⎪⎭展开式中常数项为______．30、二项式521x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为______. 31、()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为__________．（用数字作答） 32、已知()611x ax x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为240，则实数=a ______．33、在(1)nax +（其中*N ,0n a ∈≠）的展开式中，x 的系数为10-，各项系数之和为1-，则n =__________.34、7211x y x y ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 .35、设n 为正整数， ()2na b +展开式的二项式系数的最大值为x ，()21n a b ++展开式的二项式系数的最大值为y ，若95x y =，则n =_____.。
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二项式定理单元训练试题1
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．6)x 2
x (+展开式中常数项是（ ）
A.第4项
B.464C 2
C.46C
D.2
2．(x －1)11展开式中x 的偶次项系数之和是（ ）
A.-2048
B.-1023
C.-1024
D.1024
3．7)21(+展开式中有理项的项数是（ ）
A.4
B.5
C.6
D.7
4．若n 17C 与m n C 同时有最大值，则m 等于（ ）
A.4或5
B.5或6
C.3或4
D.5
5．设(2x-3)4=44332210x a x a x a x a a ++++，则a 0+a 1+a 2+a 3的值为（ ）
A.1
B.16
C.-15
D.15
6．113)x 1x (-
展开式中的中间两项为（ ） A.5125121111,C x C x - B.695101111,C x C x -
C. 513591111,C x C x -
D.5175131111,C x C x -
二、填空题（每小题5分，共30分）
7．在7)y 3
1x 2(-展开式中，x 5y 2的系数是 8．=++++n n n 2n 21n 0n C 3C 3C 3C 9. 203)5
15(+的展开式中的有理项是展开式的第 项10．(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是 11．10
32)x x 3x 31(+++展开式中系数最大的项是
三、解答题（本大题共9小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
13．求(1+x+x 2)(1-x)10展开式中x 4的系数
14．求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数
16．若)N n m ()x 1()x 1()x (f n m ∈⋅+++=展开式中，x 的系数为21，问m 、n 为何值时，x 2的系数最小？
18．求11
80被9除的余数
19．已知n 2
)x 2x ( 的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项
20．在(x 2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数。