北师大版高中数学必修二两直线的交点坐标教案
两条直线的交点坐标教案
两条直线的交点坐标☆教学目标：1、理解求两条直线交点的方法思想，即解方程组的转化思想，能正确地通过解方程组确定交点坐标并通过求交点坐标判断两条直线的位置关系。
2、通过沟通方程组的解的情况与相应两条直线的交点个数（位置关系）情况，进一步渗透数形结合、坐标法思想。
3、通过探究过定点直线系的方程，培养运用转化思想。
☆教学重点：对转化思想的理解，求两条直线交点即解方程组确定交点坐标。
☆教学难点：过定点直线系的定点求法，对含字母参数解的讨论。
☆教学过程那么，如果两条直线相交，怎样求交点坐标？二、新课——两条直线的交点坐标1、探究如何判断两直线1l 、2l 的位置关系，通过解方程组确定交点坐标 已知1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ，将方程联立，得⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A ，对于这个方程组解的情况分三种讨论： 若方程组有唯一解⎩⎨⎧==00y y x x ，则1l 、2l 有唯一的公共点，此解就是交点坐标),(00y x P ，即相交若方程组无解，则1l 、2l 没有公共点，即平行；若方程组有无数多个解，则1l 、2l 有无数多个公共点，即重合。
上述情况表明：通过解方程组可以确定交点坐标；通过求交点可以确定两直线位置关系，即观察方程组解的不同情况得到1l 、2l 相交、平行、重合三种关系。
2、例题讲解，规范表示，解决问题例1：求下列两直线交点坐标1l ：0243=-+y x ，2l ：0242=++y x 解：见课本113页同类练习：课本第114页，练习1例2：判断下列各对直线的位置关系。
如果相交，求出交点坐标。
（1）1l ：0=-y x ，2l ：01033=-+y x（2）1l ：03=-y x ，2l ：026=-y x（3）1l ：0543=-+y x ，2l ：01086=-+y x解：见课本第114页总结提高：通过解方程组求交点坐标，可以确定两直线位置关系，事实上，进一步1、课本第114页，练习22、（补充）已知直线1l ：06=++my x ，直线2l ：023)2(=++-m y x m ，当m 为何值时，1l 与2l 相交、平行、重合？解：三、探究过定点的直线系方程问题：当λ变化时，方程0)22(243=+++-+y x y x λ表示什么图形？图形有何特点？探究：取1,0=λ……，得直线0243=-+y x ，055=+y x ，……作出图形可知，所有直线都过一个定点，该点为)2,2(-M结论：表示过1l ：0243=-+y x 与2l ：0242=++y x 交点即定点)2,2(-M 的直线系。
两条直线的交点坐标教案
两条直线的交点坐标教案教案标题：两条直线的交点坐标教案教案目标：1. 学生能够理解和应用直线方程的概念；2. 学生能够计算并确定两条直线的交点坐标；3. 学生能够解决实际问题中涉及两条直线交点坐标的情况。
教案步骤：引入（5分钟）：1. 引入直线方程的概念，例如y = mx + b，其中m是斜率，b是y轴截距。
2. 引入两条直线的交点概念，即两条直线在平面上相交的点。
讲解（15分钟）：1. 解释如何计算两条直线的交点坐标：a. 假设有两条直线，其方程分别为y1 = m1x + b1和y2 = m2x + b2。
b. 将两条直线的方程联立，得到m1x + b1 = m2x + b2。
c. 移项并合并同类项，得到(m1 - m2)x = b2 - b1。
d. 解方程，得到x的值。
e. 将x的值代入任意一条直线的方程中，计算出y的值。
f. 两个值分别为交点的x坐标和y坐标。
示范（15分钟）：1. 通过示例问题演示如何计算两条直线的交点坐标。
2. 提供几个简单的直线方程，要求学生计算它们的交点坐标。
实践（15分钟）：1. 分发练习题给学生，要求他们计算给定直线方程的交点坐标。
2. 鼓励学生在解决问题时运用所学的知识。
总结（5分钟）：1. 总结两条直线的交点坐标的计算方法。
2. 强调学生在解决实际问题时的应用。
扩展活动：1. 要求学生解决涉及两条直线交点坐标的实际问题，如两条道路的交叉口位置确定等。
2. 鼓励学生思考和讨论其他类型的直线方程，并计算其交点坐标。
评估：1. 观察学生在课堂上的参与程度和解决问题的能力。
2. 收集学生完成的练习题，评估他们对于计算两条直线交点坐标的掌握程度。
教案建议和指导：1. 强调直线方程的概念和计算方法，确保学生对这些基本知识有清晰的理解。
2. 在讲解和示范过程中使用图表和图像，帮助学生更好地理解和应用知识。
3. 鼓励学生在实践环节积极参与，提供个别指导和帮助。
4. 提供扩展活动，让学生应用所学知识解决实际问题，培养他们的问题解决能力和创造力。
《两条直线的交点坐标》示范课教学设计【高中数学】
环节一 两条直线的交点坐标（一）设置导入，引入新课通过前一阶段的学习，我们把几何图形放入平面直角坐标系中. 用坐标来表示点00(,)x y ，用二元一次方程0Ax By C ++=来表示直线，实现几何图形的代数化. 进而得到：点在直线上，则点的坐标一定满足这条直线的方程，即000Ax By C ++=. 反之，直线方程的每一组解都表示直线上的点坐标. 即：若00(,)x y 满足000Ax By C ++=，则点00(,)x y 一定在以0Ax By C ++=的直线上. 这样我们可以通过点与坐标，直线与二元一次方程建立了一一对应，进而用代数方法对直线进行定量研究. （二）探究问题，抽象方法问题1. 若直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=相交，它们的交点坐标与直线l 1 ，l 1的方程有什么关系？答案：两条直线的交点的坐标为方程组的解. 追问：如何求两条相交直线的交点坐标？答案：把这两条直线的直线方程，联立方程组再求解，以方程组的解为坐标的点即为两条直线的交点.➢ 点、线及它们之间关系所对应的代数关系总结如下：问题2. 通过方程组101012020200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩，的解能否判断直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=的位置关系？若能判断，如何判断？答案：方程组解的个数公共点的个数 直线的位置关系唯一解 有且仅有1个公共点相交 无解 没有 平行 无数多组解无数个重合（三）应用巩固、深化理解例1 求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：1:3420l x y +-=, 2:220.l x y ++=答案：解方程组3420,220.x y x y +-=⎧⎨++=⎩得2,2.x y =-⎧⎨=⎩所以1l 与2l 的交点是(2,2)M -.根据直线方程画出两条直线，标出交点坐标，如右图.例2 判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点的坐标. （1）12:0,:33100l x y l x y -=+-=；（2）12:340:6210l x y l x y -+=--=，； （3）12:3450:68100l x y l x y +-=+-=，. 答案：解：（1）解方程组0,33100x y x y -=⎧⎨+-=⎩得5,35.3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩方程组有一解，所以直线1l 与直线2l 相交，交点坐标为55(,)33. （2）解方程组340,(1)6210.(2)x y x y -+=⎧⎨--=⎩ (1)2(2)⨯-得90=矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，直线1l 与直线2l 平行，即1//l 2l .（3）解方程组3450,(1)68100.(2)x y x y --=⎧⎨+-=⎩ (1)2⨯得01086=-+y x ，因此（1）和（2）可以化为同一个方程，即（1）和（2）表示同一条直线， 1l 与2l 重合.追问1：若题目改为 “判断下列各对直线的位置关系”，你还有其他的判断方法吗？ 答案：（1）将两条直线方程化为斜截式，直线1:l y x =，210:3l y x =-+. 直线1l 与直线2l 的斜率不等，12,l l 相交.（2）将两条直线方程化为斜截式，直线1:34l y x =+，21:33l y x =-. 直线1l 与直线2l 的斜率相等，截距不等，12,l l 平行.（3）将两条直线方程化为斜截式，直线135:44l y x =-，135:44l y x =-. 直线1l 与直线2l 的斜率相等，截距相等，12,l l 重合.追问2： 比较用解方程组和用斜率与截距判断两直线的位置关系的方法，你有什么体会？答案：两种方法都是用代数方法判断，其中，用斜率和截距判断两条直线的位置关系，关注的是直线方程系数之间的关系，这种方法能快速判断两条直线平行或相交（垂直）. 用解方程组的方法判断两条直线的位置关系，关注的是解的个数与交点个数的对应，它不但可以判断两条直线的位置关系，还可以求出两条直线的交点坐标， 但计算量有时较大. 当然，如果仅仅判断两条直线位置关系，可以用斜率和截距来判断，不需要求出交点坐标.例3 已知直线l 经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=，求直线l 的方程.答案：由直线经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，可确定直线上一点. 又由所求直线平行于直线4370x y --=，可以确定斜率. 所以可以写出直线l 的点斜式方程.解：联立方程组280, (1)210. (2)x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得交点坐标为(3,2).由直线l 与4370x y --=平行知，直线l 的斜率为43. 所以直线l 的方程为42(3)3y x -=-，整理得4360x y --=.追问：若把“平行于直线4370x y --=”改为“垂直于直线4370x y --=”，你能求出直线l 的方程吗？答案：由直线l 与4370x y --=垂直知，直线l 的斜率为34-. 又由于直线过点(3,2)，所以直线l 的方程为32(3)4y x -=--，整理得34170x y +-=. （四）梳理归纳，感悟本质：问题3. 如何用代数的方法判断两条直线的位置关系？如何求两条直线的交点坐标？ 问题4. 结合两条直线的交点坐标的研究，谈谈你对坐标法的理解？ 答案：求两条直线的交点坐标的方法：写出这两条直线的直线方程，联立方程组求解，以方程组的解为坐标的点即为两条直线的交点，反之两条直线的交点的坐标为方程组的解.。
高中数学-两直线的交点坐标教案
3.3.1两直线的交点坐标教案教学目标知识与技能：1.直线和直线的交点2．二元一次方程组的解过程和方法：1. 学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法。
2．掌握数形结合的学习法。
3．组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断。
情态和价值：1. 通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内的联系。
2．能够用辩证的观点看问题。
教学重点，难点重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。
难点：两直线相交与二元一次方程的关系。
教学方法：启发引导式在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的的相互关系。
引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题。
由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决。
教具：用POWERPOINT课件的辅助式教学教学过程：一、情境设置，导入新课用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。
课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？二、讲授新课1.分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系已知两直线l1：A1x+B1y +C1=0, l2：A2x+B2y+C2=0，如何判断这两条直线的关系？教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。
课堂设问：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？（1）若二元一次方程组有唯一解，l 1与l 2相交。
（2）若二元一次方程组无解，则l 1与l 2平行。
（3）若二元一次方程组有无数解，则l 1与l 2重合。
课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？2.例题讲解，规范表示，解决问题 例1求下列两直线交点坐标l 1：3x +4y -2=0，L 2：2x +y +2=0 解：解方程组 34202220x y x y +-=⎧⎨++=⎩ 得 x=-2，y=2所以l 1与l 2的交点坐标为M （-2，2），如图。
北师大版高中数学必修2教案备课两条直线的交点
1.4 两条直线的交点学 习 目 标核 心 素 养1.学会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(重点)2.理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系．(难点)1.通过学习解方程组的方法求两直线交点坐标培养数学运算素养.2.通过理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系提升数学抽象素养.两直线的交点已知两条不重合的直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. (1)若点P (x 0，y 0)是l 1与l 2的交点， 则⎩⎨⎧A 1x 0＋B 1y 0＋C 1＝0，A 2x 0＋B 2y 0＋C 2＝0. (2)若两直线方程组成的方程组⎩⎨⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，有唯一解⎩⎨⎧x ＝x 0，y ＝y 0，则两条直线相交，交点坐标为(x 0，y 0)．因此求两条直线的交点，就是求这两条直线方程的公共解．思考：两条直线的交点同时满足这两条直线吗？ 提示：满足．1．两条直线l 1：2x －y －1＝0与l 2：x ＋3y －11＝0的交点坐标为( ) A ．(3,2) B ．(2,3) C ．(－2，－3)D ．(－3，－2)B [解方程组⎩⎨⎧2x －y －1＝0，x ＋3y －11＝0，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，故两条直线的交点坐标为(2,3)．]2．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数a 满足的条件是________．a ≠2 [由题意得6a －12≠0，即a ≠2.]3．直线y ＝kx ＋3过直线2x －y ＋1＝0与y ＝x ＋5的交点，则k 的值为________． 32 [由⎩⎨⎧2x －y ＋1＝0，y ＝x ＋5，得交点(4,9)， 代入y ＝kx ＋3得9＝4k ＋3，∴k ＝32.]两直线的交点问题(1)l 1：2x ＋3y －7＝0，l 2：5x －y －9＝0； (2)l 1：2x －3y ＋5＝0，l 2：4x －6y ＋10＝0； (3)l 1：2x －y ＋1＝0，l 2：4x －2y ＋3＝0.[解] (1)解方程组⎩⎨⎧ 2x ＋3y －7＝0，5x －y －9＝0，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1， 所以交点坐标为(2,1)，所以l 1与l 2相交． (2)解方程组⎩⎨⎧2x －3y ＋5＝0， ①4x －6y ＋10＝0， ②①×2得4x －6y ＋10＝0.因此①和②可以化成同一方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合． (3)解方程组⎩⎨⎧2x －y ＋1＝0， ①4x －2y ＋3＝0， ②①×2－②，得－1＝0，矛盾，方程组无解，所以两条直线无公共点，l 1∥l 2.解答本题充分利用了直线相交与联立直线方程所得方程组之间的关系，以及直线上的点的坐标与直线的方程之间的关系，掌握并理解这些关系是解此类问题的基础.[跟进训练]1．直线ax ＋2y ＋8＝0，x ＋3y －4＝0和5x ＋2y ＋6＝0相交于一点，求a 的值．[解] 解方程组⎩⎨⎧ x ＋3y －4＝0，5x ＋2y ＋6＝0得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，∴直线x ＋3y －4＝0和5x ＋2y ＋6＝0的交点坐标为(－2，2)，代入直线方程ax ＋2y ＋8＝0，得－2a ＋4＋8＝0，∴a ＝6.过两直线交点的直线方程12线5x －y ＋3＝0的直线方程．[解] 法一：由⎩⎨⎧3x ＋2y －7＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，又所求直线与直线5x －y ＋3＝0平行， 所以斜率k ＝5，由点斜式得y －2＝5(x －1)， 即5x －y －3＝0.法二：设所求直线方程为3x ＋2y －7＋λ(x －y ＋1)＝0，即(λ＋3)x ＋(2－λ)y －7＋λ＝0.∵直线与5x －y ＋3＝0平行， ∴－(λ＋3)＝5(2－λ)，解得λ＝134， ∴所求直线为3x ＋2y －7＋134(x －y ＋1)＝0， 即5x －y －3＝0.经过两直线交点的直线系方程：①与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋C ′＝0(C ′≠C )； ②与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程为Bx －Ay ＋C ′＝0；③过两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为λ1(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ2(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ1，λ2为参数).,当λ1＝1，λ2＝0时，方程即为l 1；,当λ1＝0，λ2＝1时，方程即为l 2.[跟进训练]2．求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．[解] 法一：由方程组⎩⎨⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，所以其斜率k ＝2－2＝－1， 直线方程为y ＝－x ，一般式为x ＋y ＝0. 法二：∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )， 即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0， 将原点坐标(0,0)代入上式解得λ＝1， ∴l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.直线恒过定点问题1．不论k 取什么值，直线y ＝kx ＋2恒过定点，试求出此定点．提示：由直线的方程可知当x ＝0时y ＝2，此时与k 的取值无关．故直线恒过点(0,2)．2．不论m 取什么值：直线y －2＝m (x ＋3)恒过定点．求出此定点． 提示：由直线方程可知当x ＝－3时y ＝2与m 的取值无关故直线恒过定点(－3,2)．【例3】 求证：无论k 取何值时，直线(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0必过定点，并求出该定点坐标．[证明] 法一： 当k ＝1时，直线方程为x ＝1. 当k ＝0时，直线方程为x ＋y ＝0. 由⎩⎨⎧x ＝1，x ＋y ＝0得交点P (1，－1)， 将P (1，－1)代入原方程左边得k ＋1－(k －1)×(－1)－2k ＝k ＋1＋k －1－2k ＝0， 即点P 的坐标总适合直线方程．∴无论k 取何实数，点P (1，－1)总在直线(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0上． 法二：将原方程化为k (x －y －2)＋x ＋y ＝0， 要使其对任意实数k 恒成立，则有⎩⎨⎧x －y －2＝0，x ＋y ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.∴不论k 为何实数，原直线都过定点(1，－1)．若将本例中的直线方程改为(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5应如何求解． [证明] 法一：取m ＝1时，直线方程为y ＝－4；取m ＝12时，直线方程为x ＝9.两直线的交点为P (9，－4)，将点P 的坐标代入原方程左边 (m －1)×9＋(2m －1)×(－4)＝m －5.故不论m 取何实数，点P (9，－4)总在直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5上， 即直线恒过点P (9，－4)．法二：原方程化为(x ＋2y －1)m ＋(－x －y ＋5)＝0. 若对任意m 都成立，则有⎩⎨⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0.∴⎩⎨⎧x ＝9，y ＝－4.∴不论m 为何实数，所给直线都过定点P (9，－4)．1．求直线过定点，可以分离系数，即将原方程化为f (x ，y )＋mg (x ，y )＝0的形式，欲使此式成立与m 的取值无关，则⎩⎨⎧f (x ，y )＝0，g (x ，y )＝0.由此方程组求得定点坐标．2．分别令参数为两个特殊值，得方程组，求出点的坐标，代入原方程成立，则此点为定点．1．解含有参数的直线过定点问题将含有一个参数的二元一次方程常整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(其中λ为常数)形式，可通过⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0求解定点． 2．方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2)．1．思考辨析(1)两条直线不相交就平行．( )(2)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．( ) (3)两直线平行，则由两直线方程组成的方程组无解． ( ) (4)若两直线重合，则由两直线方程组成的方程组有无数组解．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．直线2x －y ＝7与直线3x ＋2y －7＝0的交点坐标是( ) A ．(3，－1) B ．(－1,3) C ．(－3，－1) D ．(3,1)A [联立两直线的方程，得⎩⎨⎧ 2x －y ＝7，3x ＋2y －7＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1，即交点为(3，－1)，故选A.]3．当a 取不同实数时，直线(2＋a )x ＋(a －1)y ＋3a ＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．(－1，－2) [直线方程可写成a (x ＋y ＋3)＋2x －y ＝0，则该直线系必过直线x ＋y ＋3＝0与直线2x －y ＝0的交点，即(－1，－2)．]4．已知直线l 1：x －2y ＋4＝0，l 2：x ＋y －2＝0，设其交点为P . (1)求交点P 的坐标；(2)设直线l 3：3x －4y ＋5＝0，分别求过点P 且与直线l 3平行及垂直的直线方程．[解] (1)∵直线l 1：x －2y ＋4＝0与直线l 2：x ＋y －2＝0的交点为P ， 由⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2，∴P (0,2)． (2)∵l 3：3x －4y ＋5＝0，设与l 3平行的直线方程为3x －4y ＋C ＝0(C ≠5)， 将P (0,2)代入得C ＝8，∴过点P (0,2)且与l 3平行的直线方程是3x －4y ＋8＝0. 设与l 3垂直的直线方程为4x ＋3y ＋C ＝0， 将P (0,2)代入得C ＝－6，∴过点P (0,2)且与l 3垂直的直线方程是4x ＋3y －6＝0.。
北师大版高中数学必修二课件：两条直线的交点
������ + ������-1 = 0, ������������-2������ + 3 = 0,
得
, ,
-1 2+������ 2+������
所以 l1 与 l2 的交点是 P
,
3&#以点 P 的坐标满足 l3 的方程 . 即
探究三三线共点问题 【例3】 已知三条直线l1:x+y-1=0,l2:ax-2y+3=0,l3:x-(a+1)y-5=0. 若这三条直线交于同一点,求实数a的值. 分析:先求出l1与l2的交点坐标.令该点在l3上即得a的值.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:解由 l1,l2 的方程组成的方程组 ������ = ������ =
-1 2+������
-(a+1)· -5=0,解得 a=-7 或 a=-2(舍去 ).
2+������
3+������
故 a=-7.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练3 三条直线ax+2y+8=0,4x+3y=10和2x-y=10相交于同 一点,则a的值为 .
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究二求两条直线的交点坐标 【例2】已知两条直线2x+3y-m=0和x-my+12=0的交点在y轴上, 求m的值. 分析:两条直线的交点在y轴上,故交点的横坐标为0,从而可以求 解m的值.
2. 1.4 两条直线的交点课件(北师大版必修二)
得l1，l2的交点坐标为
－4m 4 ( ， )． 4－m 4－m －4m 8 代入l3的方程得 －3m· －4＝0. 4－m 4－m 2 解得m＝－1或m＝3， 2 ∴当m＝－1或m＝3时，l1，l2，l3交于一点．
(2)若l1与l2不相交，则m＝4，若l1与l3不相交，则m＝ 1 －6，若l2与l3不相交，则m∈∅. 2 1 综上知：当m＝－1或m＝ 3 或m＝4或m＝－ 6 时，三条 直线不能构成三角形，即构成三角形的条件是m∈(－∞， 1 1 2 2 －1)∪(－1，－6)∪(－6，3)∪(3，4)∪(4，＋∞)．
[一点通]
解答本题充分利用了直线相交与联立
直线方程所得方程组之间的关系，以及直线上的点的坐 标与直线的方程之间的关系，掌握并理解这些关系是解 此类问题的基础．
பைடு நூலகம்
1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点的坐
标 为 ( ) A．(－ 4 3，－ x＋23) y＋6＝0， x＝－4， 解析：由 得 B．(4,3) 2x＋5y－7＝0， y＝3. C．(－4,3) 故两直线的交点坐标为 (－4,3)．
法二：设直线l与直线4x＋y＋6＝0的交点为P(x0，－4x0－6)． 该点P关于(0,0)的对称点是(－x0,4x0＋6)． 根据题意知，该对称点在直线3x－5y－6＝0上， ∴－3x0－5(4x0＋6)－6＝0，
36 解得x0＝－23. 36 6 ∴P点坐标为(－23，23)． 6 23 ∴直线l的方程为y＝ 36x，即x＋6y＝0. －23
4．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且在y轴
上截距为8的直线的方程是
( )
A．2x＋y－8＝0
高中数学 2.1.4 两条直线的交点教案 北师大版必修2
2.1.4 两条直线的交点教学目标：1．知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解2．当两条直线相交时，会求交点坐标3．学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力 教学重点：根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两直线相交求交点教学难点：对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解教学过程：1．引入新课问题：任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示，那么两条直线是否有交点与它们的方程所组成的方程组是否有解有何联系？2．两条直线的交点设两条直线的方程分别是l :0=++C y B x A ,l :0=++C y B x A ．研究两条直线21的位置关系(相交、重合、平行)可以转化为两条直线方程所得的方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的解的个数问题． 3．例题讲解例1．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点：(1)1l :72=-y x ，2l :0723=-+y x ；(2)1l :0462=+-y x ，2l :08124=+-y x ；(3)1l :0424=++y x ，2l :32+-=x y ．解：(1)⎩⎨⎧=-+=--0723072y x y x 的解为31x y =⎧⎨=-⎩，直线1l 与2l 相交，交点坐标为()13-，． (2)⎩⎨⎧=+-=+-081240462y x y x 有无数组解，这表明直线1l 和2l 重合． (3)⎩⎨⎧=-+=++0320424y x y x 无解，这表明直线1l 和2l 没有公共点，故12l l P ． 例2．直线l 经过原点，且经过另外两条直线0832=++y x ，01=--y x 的交点，求直线l 的方程．分析：法一：由两直线方程组成方程组⎩⎨⎧=--=++010832y x y x ，求出交点()2,1--，再过原点()0,0，由两点求直线方程．法二：设经过两条直线0832=++y x ，01=--y x 交点的直线方程为()()01832=--+++y x y x λ，又过原点，由()0,0代入可求λ的值．(直线系)结论：已知直线1l :0111=++C y B x A ，2l :0222=++C y B x A 相交，那么过两直线的交点的直线(不含2l )方程可设为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ()R ∈λ． 练习：(1)求证：无论m 为何实数，l ：5)12()1(-=-+-m y m x m 恒过一定点，求出此定点坐标．(2)求经过两条直线0332=--y x 和02=++y x 的交点，且与直线013=-+y x 垂直的直线的方程．例3．(教科书86P 例3)某商品的市场需求1y (万件)、市场供求量2y (万件)、市场价格x (元/件)分别近似地满足下列关系：202,70-=+-=x y x y ．当21y y =时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．(1)求市场平衡价格和平衡需求量；(2)若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？解：(1)解方程组⎩⎨⎧-=+-=20270x y x y 得⎩⎨⎧==4030y x ， 故平衡价格为30元/件，平衡需求量为40元/件． (2)设政府给予t 元/件补贴，此时的市场平衡价格(即消费者支付价格)x 元/件，则供货者实际每件得到)(t x +元．依题意得方程组⎩⎨⎧=-+=+-4420)(24470t x x ，解得6,26==t x ． 因此，政府对每件商品应给予6元补贴．例4．已知直线1l :310x my +-=，2l :3250x y --=，3l :650x y +-=，(1)若这三条直线交于一点，求m 的值；(2)若三条直线能构成三角形，求m 的值．解：(1)325016501x y x x y y --==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩，代入1l 得，2m =； (2)分析：当三直线交于一点或其中两条互相平行时，它们不能构成三角形．○1由(1)得，当2m =时，三线共点，不能构成三角形， ○2当12l l P 时，2m =-，当13l l P 时，12m =，此时它们不能构成三角形， 综上所述：当2m ≠±且12m ≠时，三条直线能构成三角形． 4．课堂小结通过对两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系，得出了方程组的解的个数与直线位置关系的联系．培养同学们的数形结合、分类讨论和转化的数学思想方法．。
2.1.4两条直线的交点 教案(北师大版必修二)
1．4两条直线的交点(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)学会用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．(2)理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系．2．过程与方法通过用解方程组的方法求两直线交点，使学生掌握用代数方法解决与直线有关的问题．3．情感、态度与价值观培养解析几何意识，实现平面几何问题向代数方法的转变．●重点难点重点：用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．难点：方程组的解和两直线交点坐标的对应关系，可通过如下表格理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系：(教师用书独具)●教学建议教学时对方程组{A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0，可结合例题给出下面结论：(1)若方程组有唯一解，则两直线相交，此解就是交点的坐标．(2)若方程组无解，则两直线无公共点，此时两直线平行，这样对学生而言适当降低了要求，更加实效．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答问题，使学生了解求两相交直线的交点坐标的理论依据⇒通过例1及变式训练，使学生掌握求两直线交点坐标的具体方法⇒通过例2及互动探究，使学生掌握由两直线交点求直线方程的两种基本方法⇒通过例3及变式训练，使学生掌握直线系方程过定点的求解方法⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正若l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，且l1与l2的交点为P(x0，y0)，则P的坐标应满足什么关系？【提示】{A1x0＋B1y0＋C1＝0， A2x0＋B2y0＋C2＝0.两条直线相交与方程组解的关系已知两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.(1)若点P(x0，y0)是l1与l2的交点，则{A1x0＋B1y0＋C1＝0 A2x0＋B2y0＋C2＝0.(2)若两直线方程组成的方程组{A1x＋B1y＋C1＝0 A2x＋B2y＋C2＝0有唯一解{x＝x0 y＝y0，则两条直线相交，交点坐标为(x，y0)．因此，求两条直线的交点，就是求这两个直线方程的公共解.(1)l1：2x＋3y－7＝0，l2：5x－y－9＝0；(2)l1：2x－3y＋5＝0，l2：4x－6y＋10＝0；(3)l1：2x－y＋1＝0，l2：4x－2y＋3＝0.【思路探究】首先判断是否相交，若相交解方程组即可求出交点坐标．【自主解答】(1)解方程组{2x＋3y－7＝0， 5x－y－9＝0，得{x＝2， y＝1.所以交点坐标为(2,1)，所以l1与l2相交．(2)解方程组{2x－3y＋5＝0，① 4x－6y＋10＝0，②①×2得4x－6y＋10＝0.因此①和②可以化成同一方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．(3)解方程组{2x－y＋1＝0，① 4x－2y＋3＝0，②①×2－②，得－1＝0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2.1．本题通过方程组解的个数的情况来说明两直线的位置关系，但不能明确垂直关系．2．一般地，若方程组有一解，则两直线相交；若方程组无解，则两直线平行；若方程组有无数多组解，则两直线重合．直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点坐标为________．【解析】 由{ 3x ＋2y ＋6＝0 2x ＋5y －7＝0解得{ x ＝－4 y ＝3.故两直线的交点坐标为(－4,3)．【答案】 (－4,3)－1＝0平行的直线l 的方程．【思路探究】 求出两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点坐标，由平行关系得到l 的斜率，利用点斜式方程求解．【自主解答】 法一 由方程组{ 2x －3y －3＝0， x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧ x ＝－35， y ＝－75. ∵直线l 和直线3x －y －1＝0平行，∴直线l 的斜率k ＝3，∴根据点斜式有y －(－75)＝3[x －(－35)]． 即所求直线方程为15x －5y ＋2＝0.法二 ∵直线l 过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点，∴可设直线l 的方程为：2x －3y －3＋λ(x ＋y ＋2)＝0，即(λ＋2)x ＋(λ－3)y ＋2λ－3＝0. ∵直线l 与直线3x －y －1＝0平行，∴λ＋23＝λ－3－1≠2λ－3－1， 解得λ＝74. 从而所求直线方程为15x －5y ＋2＝0.1．本题法一是基本方法，求解交点坐标和斜率是解题关键．2．经过两直线交点的直线系方程①与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋C ′＝0(C ′≠C )；②与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程为Bx －Ay ＋C ′＝0；③过两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为λ1(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ2(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ1，λ2为参数)．当λ1＝1，λ2＝0时，方程即为l 1；当λ1＝0，λ2＝1时，方程即为l 2.将本例中的条件改为“求过2x ＋y ＋8＝0和x ＋y ＋3＝0的交点，且与直线2x ＋3y －10＝0垂直的直线方程．”【解】 法一 解方程组{ 2x ＋y ＋8＝0， x ＋y ＋3＝0，得{ x ＝－5， y ＝2，即交点P (－5,2)．∵直线2x ＋3y －10＝0的斜率k ＝－23， ∴所求直线的斜率是32.。
高二新课程教案：《数学·必修2》《直线的交点坐标与距离公式》
§3.3 直线的交点坐标与距离公式 §3.3.1 两条直线的交点坐标一、教材分析本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况.在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性.二、教学目标1．知识与技能（1）直线和直线的交点.（2）二元一次方程组的解.2．过程和方法（1）学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法.（2）掌握数形结合的学习法.（3）组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程.3．情态和价值（1）通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在的联系.（2）能够用辩证的观点看问题.三、教学重点与难点教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点. 教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系.课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法.思路2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题.（二）推进新课、新知探究、提出问题①已知两直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如何判断这两条直线的关系？ ②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？ ③解下列方程组(由学生完成)：(ⅰ)⎩⎨⎧=++=-+022,0243y x y x ; (ⅱ)⎪⎩⎪⎨⎧+==+-2131,0362x y y x ; (ⅲ)⎪⎩⎪⎨⎧+==-2131,062x y y x . 如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？④当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形，图形有什么特点？求出图形的交点坐标. 几何元素及关系代数表示②学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组的关系. 设两条直线的方程是l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l 1和l 2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 是否有唯一解.(ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l 1与l 2相交; (ⅱ)若二元一次方程组无解，则l 1与l 2平行;(ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l 1与l 2重合.即直线l 1、l 2联立得方程组⎪⎩⎪⎨⎧⇔⎪⎩⎪⎨⎧.,,212121平行重合相交无解无穷多解唯一解转化、l l 、l l 、l l(代数问题) (几何问题)③引导学生观察三组方程对应系数比的特点：(ⅰ)23≠14;(ⅱ)21316312=--=;(ⅲ)16312--=≠211.一般地，对于直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0(A 1B 1C 1≠0,A 2B 2C 2≠0),有方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⇔≠=⇔⇔==⇔⇔≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.,,002121212121212121212121222111平行无解重合无穷多解相交唯一解l l C CB B A A l lC C B B A A l l B B A A C y B x A C y B x A . 注意：(a)此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂，重在应用.(b)如果A 1,A 2,B 1,B 2,C 1,C 2中有等于零的情况，方程比较简单，两条直线的位置关系很容易确定.④(a)可以用信息技术，当λ取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点.(b)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论.(c)结论：方程表示经过这两条直线l 1与l 2的交点的直线的集合.（三）应用示例例1 求下列两直线的交点坐标,l 1：3x+4y-2=0,l 2：2x+y+2=0.解:解方程组⎩⎨⎧=++=-+,022,023y x y x 得x=-2，y=2，所以l 1与l 2的交点坐标为M(-2，2).变式训练求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l 1:x-2y+2=0,l 2:2x-y-2=0.解:解方程组x-2y+2=0, 2x-y-2=0,得x=2,y=2,所以l 1与l 2的交点是(2,2).设经过原点的直线方程为y=kx,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得k=1,所以所求直线方程为y=x. 点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方程也可应用两点式.例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.(1)l 1：x-y=0，l 2：3x+3y-10=0. (2)l 1：3x-y+4=0，l 2：6x-2y-1=0. (3)l 1：3x+4y-5=0，l 2：6x+8y-10=0.活动：教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后再进行讲评.解:(1)解方程组⎩⎨⎧=-+=-,01033,0y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.35,35y x所以l 1与l 2相交,交点是(35,35). (2)解方程组⎩⎨⎧=--=+-)2(,0126)1(,043y x y x①×2-②得9=0,矛盾,方程组无解,所以两直线无公共点,l 1∥l 2. (3)解方程组⎩⎨⎧=-+=-+)2(,01086)1(,0543y x y x①×2得6x+8y-10=0.因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l 1与l 2重合. 变式训练判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点.(1)l 1:7x+2y-1=0,l 2:14x+4y-2=0.(2)l 1:(3-2)x+y=7,l 2:x+(3+2)y-6=0.(3)l 1:3x+5y-1=0,l 2:4x+3y=5.答案：(1)重合，(2)平行，(3)相交，交点坐标为(2，－1).例3 求过点A(1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5=0平行的直线方程.解法一：∵直线2x ＋3y ＋5=0的斜率为-32，∴所求直线斜率为-32.又直线过点A(1，－4)，由直线方程的点斜式易得所求直线方程为2x ＋3y ＋10=0.解法二：设与直线2x ＋3y ＋5=0平行的直线l 的方程为2x ＋3y ＋m=0，∵l 经过点A(1，－4), ∴2×1＋3×(－4)＋m=0.解之,得m=10.∴所求直线方程为2x ＋3y ＋10=0.点评：解法一求直线方程的方法是通法，须掌握.解法二是常常采用的解题技巧.一般地，直线Ax ＋By ＋C=0中系数A 、B 确定直线的斜率.因此，与直线Ax ＋By ＋C=0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m=0，其中m 待定.经过点A(x 0，y 0)，且与直线Ax ＋By ＋C=0平行的直线方程为A(x －x 0)＋B(y －y 0)=0.变式训练 求与直线2x ＋3y ＋5=0平行，且在两坐标轴上截距之和为65的直线方程. 答案：2x+3y-1=0.（四）知能训练课本本节练习1、2.（五）拓展提升问题：已知a 为实数，两直线l 1:ax+y+1=0,l 2:x+y-a=0相交于一点，求证:交点不可能在第一象限及x 轴上.分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横、纵坐标的范围.解:解方程组⎩⎨⎧=-+=++0,01a y x y ax ,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+-=.11,112a a y a a x .若112-+a a ＞0，则a ＞1. 当a ＞1时，－11-+a a ＜0，此时交点在第二象限内. 又因为a 为任意实数时，都有a 2+1≥1＞0，故112-+a a ≠0. 因为a≠1(否则两直线平行，无交点)，所以交点不可能在x 轴上，交点(－11,112-+-+a a a a )不在x 轴上.（六）课堂小结本节课通过讨论两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系，得出了方程系数比的关系与直线位置关系的联系.培养了同学们的数形结合思想、分类讨论思想和转化思想.通过本节学习，要求学生掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.当两条直线相交时，会求交点坐标.注意语言表述能力的训练.通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.以“特殊”到“一般”，培养探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点.（七）作业课本习题3.3 A 组1、2、3,选做4题.§3.3.2 两点间的距离一、教材分析距离概念，在日常生活中经常遇到，学生在初中平面几何中已经学习了两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离的概念,到高一立体几何中又学习了异面直线距离、点到平面的距离、两个平面间的距离等.其基础是两点间的距离，许多距离的计算都转化为两点间的距离.在平面直角坐标系中任意两点间的距离是解析几何重要的基本概念和公式.到复平面内又出现两点间距离，它为以后学习圆锥曲线、动点到定点的距离、动点到定直线的距离打下基础，为探求圆锥曲线方程打下基础.解析几何是通过代数运算来研究几何图形的形状、大小和位置关系的，因此，在学习解析几何时应充分利用“数形”结合的数学思想和方法.在此之前，学生已学习了直线的方程、两直线的交点坐标，学习本节的目的是让学生知道平面坐标系内任意两点距离的求法公式，以及用坐标法证明平面几何问题的知识，让学生体会到建立适当坐标系对于解决问题的重要性.课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂教学过程中，创设问题的情境，激发学生主动地发现问题、解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则.根据这样的原则及所要完成的教学目标，下的教学方法：主要是引导发现法、探索讨论法、讲练结合法.二、教学目标1．知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。
《两直线的交点坐标》教学设计(优质课)
两直线的交点坐标（一）教学目标1．知识与技能（1）直线和直线的交点.（2）二元一次方程组的解.2．过程和方法（1）学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法.（2）掌握数形结合的学习法.（3）组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程.3．情态和价值（1）通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在的联系.（2）能够用辩证的观点看问题.（二）教学重点、难点重点：判断两直线是否相交，求交点坐标.难点：两直线相交与二元一次方程的关系.（三）教学方法：启发引导式在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的相互关系.引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题.由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决.教具：用POWERPOINT课件的辅助式数学.两直线的位置关系= 0如何判断这两条直线的关系？.关系？.10=0 10=0.备选例题例1 求经过点(2，3)且经过l 1：x + 3y – 4 = 0与l 2：5x + 2y + 6 = 0的交点的直线方程.解法1：联立3402,52602x y x x y y +-==-⎧⎧⎨⎨++==⎩⎩得，所以l 1，l 2的交点为(–2,2). 由两点式可得：所求直线方程为322322y x --=---即x – 4y + 10 = 0. 解法2：设所求直线方程为：x + 3y – 4 +λ(5x + 2y + 6) = 0. 因为点(2，3)在直线上，所以2+3×3–4+λ(5×2+2×3+6) = 0， 所以722λ=-，即所求方程为x + 3y – 4 + (722-)(5x + 2y + 6) = 0，即为x – 4y + 10 = 0.例2 已知直线l 1：x + my + 6 = 0，l 2：(m – 2)x + 3y + 2m = 0，试求m 为何值时，l 1与l 2：（1）重合；（2）平行；（3）垂直；（4）相交.【解析】当l 1∥l 2(或重合) 时：A 1B 2 – A 2B 1 = 1×3 – (m – 2)·m = 0，解得：m = 3，m = –1.（1）当m = 3时，l 1：x + 3y + 6 = 0，l 2：x + 3y + 6 = 0，所以l 1与l 2重合； （2）当m = –1时，l 1：x – y + 6 = 0，l 2：–3x + 3y – 2 = 0，所以l 1∥l 2； （3）当l 1⊥l 2时，A 1A 2 + B 1B 2 = 0，m – 2 + 3m = 0，即12m =； （4）当m ≠3且m ≠–1时，l 1与l 2相交.例3 若直线l ：y = kx –2x + 3y – 6 = 0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是：A ．[30,60)B ．(30,90)C ．(60,90)D ．[30,90]【解析】直线l1：2x + 3y – 6 = 0过A (3，0)，B (0，2)而l 过定点C (0, 由图象可知.0ACk k k >⎧⎨>⎩即可 所以l 的倾斜角的取值范围是(30°，90°)，故选B.。
高中数学必修二《直线的交点坐标与距离公式》教案
高中数学必修二《直线的交点坐标与距离公式》教案高中数学必修二《直线的交点坐标与距离公式》教案高中数学必修二《直线的交点坐标与距离公式》教学设计教学背景：解析几何第一章主要研究的是点线、线线的位置关系和度量关系，其中以点点距离、点线距离、线线位置关系为重点，点到直线的距离是其中最重要的环节之一，它是解决其它解析几何问题的基础。
教学目标：知识目标：让学生掌握点到直线距离公式的推导方法并能利用公式求点线距离。
能力目标：通过让学生在实践中探索、观察、反思、总结,发现问题，解决问题，从而达到培养学生的自学能力,思维能力，应用能力和创新能力的目的。
情感目标：培养学生勇于探索、善于研究的精神，挖掘其非智力因素资源，培养其良好的数学学习品质。
重点难点：教学重点：公式的推导与应用。
教学难点：知识教学方面：如何启发学生自己构思出距离公式的推导方案。
情感教育方面：如何营造课堂积极求解的氛围。
以激发学生的创造力。
增强学生知难而进的决心。
教学过程：一、创设情境，引入问题问题1直线方程的一般式是怎么样的，其中的系数有什么要求？(学生回答)是Ax+By+C=0(A、B不同时为0）（板书）问题2两点A、B间的距离公式是什么？(学生回答)PQ=问题3当直线AB垂直y轴或x轴时，公式又成什么样子的？(动画)(学生回答)AB=|x|或|y问题4点B在直线Ax+By+C=0上,点A在直线外,则什么时候它们最近？(学生回答)当直线AB与直线Ax+By+C=0垂直时。
(动画)这时AB就是点A到直线Ax+By+C=0的距离，它会等于什么呢？这就是现在我们要研究的问题。
（板书课题）二、课题解决研究一般性的问题往往从研究特殊情形入手。
问题1如何求点P(3,5)到直线L：y=2的距离？（作图）问题2变为求点P(3,5)到直线L：x=2/3的距离？如何求？学生思考一会儿，教师再引导学生同理来求，并归纳：己知P（x），当直线平行x轴时，为d=|y|；当直线平行y轴时，为d=|x|。
《两条直线的交点》示范公开课教学设计【高中数学必修2(北师大版)
《两条直线的交点》教学设计教材分析:当两直线相交时，我们主要研究的是两直线的交点问题，这一内容相对来说较简单，理解起来也比较容易.教学目标：【知识与能力目标】掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标，理解通过解方程组求交点的意义.【过程与方法】通过探究两直线交点的解法，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力．【情感态度与价值观】通过对两直线交点的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．教学重难点：【教学重点】两条直线交点的求法，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．【教学难点】启发学生, 把研究两直线交点的解法.课前准备：课件、学案教学过程：一、课题引入：问题1：两直线相交时，你觉得有哪些需要研究的问题？问题2：那从几何特点上交点有什么样的特征？那相关的代数解法应该是什么呢？二、新课探究：1. 求两直线1111110(0)A x B y C A B C ++=≠与2222220(0)A x B y C A B C ++=≠的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解即可. 注：⑴ 若有111222A B C A B C ==，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合，为同一方程；⑵ 若有111222A B C A B C =≠，则方程组无解，此时两直线平行； ⑶ 若有1122A B A B ≠，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点坐标. 三、知识应用：题型一 求两直线方程例1．判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标：（1）5420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩；（2）26301132x y y x -+=⎧⎪⎨=+⎪⎩；（3）2601132x y y x -=⎧⎪⎨=+⎪⎩． 【答案】（1）1014,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）重合；（3）平行． 解：（1）解方程组5420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩得该方程组有唯一解103143x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以两直线相交，且交点坐标为1014,33⎛⎫- ⎪⎝⎭． （2）解方程组2630 11 32x y y x -+=⎧⎪⎨=+⎪⎩①② ②×6得2x －6y+3=0，因此①和②可以化成同一个方程，即方程组有无数组解，所以两直线重合．（3）解方程组260 11 32x y y x -=⎧⎪⎨=+⎪⎩①② ②×6－①得3=0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，所以两直线平行．【设计意图】判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． 教学反思：直线交点问题容易理解，孩子自己思考一会儿就可以得到结论，主要在于解决计算问题.。
北师大版高中必修21.4两条直线的交点课程设计
北师大版高中必修21.4两条直线的交点课程设计背景介绍在高中数学中，直线是一个重要的概念。
直线不仅在几何图形中起着基础性的作用，在数学竞赛中也经常出现。
本次课程设计的目的是让学生通过学习求解两条直线的交点来理解和掌握直线的一些基础概念和方法。
教学目标1.掌握求解两条直线的交点的方法。
2.理解直线的斜率、截距和常见的直线方程。
3.培养分析和解决实际问题的能力。
教学内容场景模拟设想一个场景：有两个人从不同的地方出发，沿着不同的直线前进，当他们走到交点时相遇。
请运用所学知识，解决以下问题：1.求出两条直线的方程。
2.求出两个人最终到达的交点。
3.通过分析两个人的出发点和走路方向，判断出两条直线相交于一点的必要条件。
案例学习有一场雪，去玩雪的小明和小李分别走了不同的路线回家。
小明沿直线y=2x+3走，小李沿直线 $y-\\dfrac{1}{2}x=2$ 走。
请通过以下步骤来解决问题：1.想象小明和小李的行进路线，并画出两条直线的图像。
2.计算两条直线的交点。
3.评论两人的走路策略，决定谁更长得快。
开放式问题小强正在参加一场足球比赛。
他从A点向球门B点踢球，传球有一定角度。
假设他的球路可以用抛物线轨迹表示。
请思考以下问题：1.把球路表示为方程y=ax2+bx+c，并确定a,b,c的值。
2.如果球抛出后经过点(−3,0)，到达点(9,0)，求出球到达球门B点的位置和时间。
教学方法1.讲解和演示法：通过画图、示例和实例演示方法的基本操作和步骤，引导学生理解知识点。
2.师生互动式：鼓励学生自己动手计算、验证答案，并在教师的指导下发言探讨。
评价方式1.准备和参与课堂练习。
2.完成课堂任务和作业。
3.成果展示和分享经验。
总结本次课程设计通过生动形象的场景模拟和案例学习，帮助学生理解和掌握求解两条直线交点的方法，加深对直线的斜率、截距和常见的直线方程的理解，同时培养学生分析和解决实际问题的能力。
高中数学北师大版必修二2.1.4【教学设计】《两条直线的交点》
《两条直线的交点》◆教材分析本课是北师大版普通高中数学必修二第二章第1节的内容，两条直线的交点是在学生学习了二元一次方程组的解和直线方程以及两条直线相交有且只有一个交点的基础上，进一步研究利用代数的方法来解决两直线相交的交点坐标的问题，学习两直线的交点为今后学习解析几何知识打下基础。
通过两条直线的交点的学习，可以培养学生分析问题、解决问题的能力，以及数形结合的能力。
◆教学目标【知识与能力目标】会求直线和直线的交点以及二元一次方程组的解。
【过程与方法目标】通过探究两直线的位置关系与他们对应方程组的解，培养学生的数形结合能力，通过对方程组解的讨论培养学生的分类思想，培养学生的抽象思维能力与类比思维能力。
【情感态度价值观目标】通过学习两直线的位置关系与他们所对应的方程组的解的对应关系，培养学生的转化思想。
启发学生能够发现问题、提出问题、分析问题和解决问题。
◆教学重难点◆【教学重点】判断两直线是否相交，求交点坐标。
【教学难点】两直线相交与二元一次方程的关系。
◆课前准备◆电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
◆教学过程一、导入部分过点P (1,2)且斜率为1的直线l 1的方程是什么？过点P (1,2)且斜率为2的直线l 2的方程又是怎样的？直线l 1与l 2及点P 的位置关系应该如何描述？点P 的坐标相对l 1与l 2的方程又是什么关系呢？ 二、研探新知，建构概念 1、电子白板投影出上面实例。
直线l 1的方程为x －y ＋1＝0，l 2的方程为2x －y ＝0，直线l 1与l 2相交于点P ，点P 的坐标既适合l 1的方程，也适合l 2的方程，从而是两个方程的公共解，也就是两方程组成的方程组的解。
2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。
(1)两条直线相交与方程组解的关系已知两条不重合的直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0 ② 若点P (x 0，y 0)是l 1与l 2的交点，则{A 1x 0+B 1y 0+C 1=0A 2x 0+B 2y 0+C 2=0②若两直线方程组成的方程组{A 1x +B 1y +C 1=0A 2x +B 2y +C 2=0有唯一解{x =x 0y =y 0，则两条直线相交 ，交点坐标为(x 0，y 0) 。
高中数学《两条直线的交点坐标》导学课件 北师大版必修2
(2)若方程组 无 解,则l1、l2没有公共点,即平行; (3)若方程组有 无穷 多个解,则l1、l2有无数多个公共点,即重合.
问题3 怎么表示经过两条直线交点的所有直线?
过两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的
A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2)=0( λ ∈R) 直线系方程是 ,但此方程中不含 l2 若变为一般形式
������ + ������������ = ������,
解得
������ =
������������ ������
,
������ = - ,
������
������
∴P'( ,- ).
������ ������ ������ ������
������������
������
( 法二 ) 设点 P'(x,y),∵PP'的方程为 y-2=- (x+4),即 x+2y=0, ∴解方程组 ������ + ������������ = ������,
������ ������ ������ ������
B.y=-3 x-12 D.y=-3 x+4
1
1
x y
【解析】 + =1 可化为 3x+2y-6=0.故选 C.
3
已知直线 l1:3x+4y-5=0 与 l2:3x+5y-6=0 相交,则它们的交点 是 .
������������ + ������������- ������ = ������, ������������ + ������������- ������ = ������, 得 x= ,y=1.故直线 l1 与 l2 的交点是( ,1).
高中数学 两条直线的交点坐标学案 北师大版必修2
用心 爱心 专心1No.15 两条直线的交点坐标学习目标1．掌握判断两直线相交的方法；会求两直线交点坐标；2. 培养学生的转化能力。
.教学过程： 一．知识链接：210x y +-+垂直的直线2．平面直角系中两条直线的位置关系有几种？ 二、新课导学：（学生阅读教材70-72，下列问题） 预习探究问题1：已知两直线方程1111:0l A x B y C ++=，222:l A x B y +20C +=，如何判断这两条直线的位置关系？问题2：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？两直线的交点问题. 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩，若方程组有唯一解，则两直线相交； 若方程组有无数组解，则两直线重合； .预习自测：判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标. ⑴1:0l x y -=，2:33100l x y +-=； ⑵1:30l x y -=，2:630l x y -=；⑶1:3450l x y +-=，2:68100l x y +-=.应用探究：1. 求经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=平行的直线方程.2．当三条直线2x+3y+8=0，x-y-1=0和x+ky=0相交于一点，则k 的值等于2 3．光线从(2,3)M -射到x 轴上的一点(1,0)P 后被x 轴反射，则反射光线所在的直线方程 .1. 两直线12:210,:220l x y l x y ++=-++=的交点坐标为2. 两条直线320x y n ++=和2310x y -+=的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交且垂直 C ．相交但不垂直 D ．与n 的值有关3．已知直线1l 的方程为30Ax y C ++=，直线2l 的方程为2340x y -+=， 若12,l l 的交点在y 轴上，求C 的值.4. 直线54210x y m +--=与直线230x y m +-=的交点在第四象限，求m 的取值范围.。
高中数学(两条直线的交点坐标)导学案 北师大版必修2 学案
第5课时两条直线的交点坐标1.了解二元一次方程组的解与两条直线的交点坐标之间的关系,体会数形结合思想,并能通过解方程组求交点坐标.2.通过一般形式的直线方程解的讨论,加深对解析法的理解,培养转化能力.已知四条直线相交于A、B、C、D四点构成四边形,对于四边形ABCD是否为平行四边形,我们除了用斜率来判定两对边平行的办法外,还可以通过一条对边平行且相等来判别,那么如何求此四边形各边的边长呢?问题1:要求四边形的边长,先得求交点.两条直线的交点坐标的求法:将两直线方程联立组成方程组,此方程组的就是这两条直线的交点坐标,因此,求两条直线的交点只需解方程组即可.问题2:已知l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,将方程联立,得对于这个方程组解的情况可分三种情况讨论:(1)若方程组有解,则l1、l2相交,有唯一的公共点;(2)若方程组解,则l1、l2没有公共点,即平行;(3)若方程组有多个解,则l1、l2有无数多个公共点,即重合.问题3:怎么表示经过两条直线交点的所有直线?过两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程是,但此方程中不含;若变为一般形式m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(m2+n2≠0),则表示过l1与l2的所有直线方程.问题4:用坐标法解决几何问题的基本步骤是什么?①建立,用坐标表示有关的量——;②对点的坐标进行有关的;③对代数运算结果进行——研究几何图形性质.1.点M(1,2)与直线l:2x-4y+3=0的位置关系是().A.M∈lB.M∉lC.重合D.不确定2.在下列直线中,与直线x+3y-4=0相交的直线为().A.x+3y=0B.y=-x-12C.+=1D.y=-x+43.已知直线l1:3x+4y-5=0与l2:3x+5y-6=0相交,则它们的交点是.4.求直线l1:3x-y+12=0和l2:3x+2y-6=0及y轴所围成的三角形的面积.两条直线的交点及两条直线的位置关系求经过两条直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点,且和直线2x-y+6=0平行的直线l的方程.对称问题求点P(-4,2)关于直线l:2x-y+1=0的对称点P'的坐标.与交点有关的问题求经过两直线7x+8y-38=0和3x-2y=0的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.一束平行光线从原点O(0,0)出发,经过直线l:8x+6y=25反射后通过点P(-4,3),求反射光线所在直线的方程.当k为何值时,直线y=x+3k-2与直线y=-x+1的交点在第一象限.1.若两直线x+my+12=0和2x+3y+m=0的交点在y轴上,则m的值为().A.6B.-242.若直线l与两直线y=1和x-y-7=0分别交于M、N两点,且MN的中点是P(1,-1),则直线l 的斜率等于().B. D.3.过原点且经过两条直线l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0的交点的直线方程为.4.分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点.(1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0;(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.平面直角坐标系中直线y=2x+1关于点(1,1)对称的直线方程是().A.y=2x-1B.y=-2x+1C.y=-2x+3D.y=2x-3考题变式(我来改编):第5课时两条直线的交点坐标知识体系梳理问题1:解问题2:(1)唯一(2)无 (3)无穷问题3:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)l2交点问题4:①平面直角坐标系几何问题代数化②代数运算③几何解释基础学习交流1.B将点M的坐标代入直线方程,即1×2-4×2+3≠0,所以点M不在直线l上.故选B.2.C+=1可化为3x+2y-6=0.故选C.3.(,1)由得x=,y=1.故直线l1与l2的交点是(,1).4.解:三角形的三个顶点坐标分别为A(-2,6)、B(0,12)、C(0,3),S△ABC=×9×2=9.重点难点探究探究一:【解析】(法一)∵直线2x-y+6=0的斜率为2,且直线l与直线2x-y+6=0平行, ∴直线l的斜率为k l=2.由得∴直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点坐标为M(0,2).∴直线l的方程为y-2=2(x-0),即 2x-y+2=0.(法二)设与直线2x-y+6=0平行的直线l的方程为2x-y+C=0(C≠6).解方程组得∴直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点坐标为M(0,2).∵直线l经过两条直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点M(0,2),∴2×0-2+C=0,即C=2.∴直线l的方程为2x-y+2=0.【小结】法一是求直线方程的通法,需掌握.法二中利用了平行直线系的设法:与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程可设为Ax+By+λ=0(λ≠C).探究二:【解析】(法一)设点P'(x,y),由PP'⊥l及PP'的中点在l上,得即解得∴P'(,-).(法二)设点P'(x,y),∵PP'的方程为y-2=-(x+4),即x+2y=0,∴解方程组得PP'与l的交点M(-,),由中点坐标公式得得故P'(,-).【小结】(1)上述两种方法的基本思想一样,都是用直线l是线段PP'的垂直平分线这一思想,但具体用的视角不同,因而解法不同,比较两种解法,第一种较简便.(2)点关于点的对称问题是最基本的对称问题,用中点坐标公式求解,它是解答其他对称问题的基础.点M(a,b)关于点(x0,y0)的对称点为M'(2x0-a,2y0-b);点M(a,b)关于原点O的对称点是M'(-a,-b).探究三:【解析】(法一)由得交点为(2,3).因为所求直线在两坐标轴上截距相等,所以可设+=1.又此直线经过交点(2,3),所以+=1,即a=5,故所求直线方程为x+y-5=0.(法二)设所求直线方程为7x+8y-38+λ(3x-2y)=0(λ为常数),则(7+3λ)x+(8-2λ)y-38=0,令x=0,得y=;令y=0,x=.依题意,解得λ=.所以直线方程为x+y-5=0.[问题]截距能不能为0?直线系方程为7x+8y-38+λ(3x-2y)=0(λ为常数)包括3x-2y=0吗?[结论](法一)中直线的截距式方程+=1,只适用于截距不为0的情形.因而上述解法忽略了截距为0的情形,解法不完整.(法二)中7x+8y-38+λ(3x-2y)=0表示过直线7x+8y-38=0与直线3x-2y=0的交点(除3x-2y=0以外)的所有直线,因此,要检验直线3x-2y=0是否适合.于是,正确解答如下:(法一)当直线过原点时,设方程为y=kx.因为直线过点(2,3),所以3=2k,k=.此时方程为3x-2y=0.当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时,解法同错解法一,故所求方程为x+y-5=0.综上,所求方程为3x-2y=0或x+y-5=0.(法二)(1)显然直线3x-2y=0符合题意.(2)设所求直线方程为7x+8y-38+λ(3x-2y)=0,解法同错解法二,求得方程为x+y-5=0,故所求方程为3x-2y=0或x+y-5=0.【小结】考查熟练求解直线方程的方法,注意应用直线系简洁快速地解决问题.思维拓展应用应用一:(法一)由方程组得∵直线l与直线3x+y-1=0平行,∴直线l的斜率k=-3,∴由点斜式有y-(-)=-3[x-(-)],即所求直线方程为15x+5y+16=0.(法二)∵直线l过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点,∴设直线l的方程为2x-3y-3+λ(x+y+2)=0,即(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0.∵直线l与直线3x+y-1=0平行,∴=≠.解得λ=.从而所求直线方程为15x+5y+16=0.应用二:如图所示,设原点关于直线l的对称点A的坐标为(a,b),由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得解得∴点A的坐标为(4,3).∵反射光线的反向延长线过A(4,3),又由反射光线过P(-4,3),∴两点纵坐标相等,故反射光线所在直线的方程为y=3.应用三:(法一)解方程组得所以直线y=x+3k-2与直线y=-x+1的交点坐标为(,).要使交点在第一象限,则解得-<k<1.(法二)如图所示.直线y=-x+1与x轴、y轴的交点分别是A(4,0),B(0,1),直线y=x+3k-2表示斜率为1的直线,当且仅当两条直线的交点在线段AB上(不包括A、B两点)时,交点才在第一象限,可见直线y=x+3k-2应位于l1、l2之间.由于l1过点A(4,0),且斜率为1,则其方程为y=x-4,在y轴上的截距为-4.l2过点B(0,1),即l2在y轴上的截距为1.直线y=x+3k-2在y轴上的截距为3k-2,所以当-4<3k-2<1时两直线的交点在第一象限,解得-<k<1,即k的取值X围是{k|-<k<1}.基础智能检测1.C两直线与y轴的交点分别为(0,-),(0,-),由-=-,解得m=±6,故选C.2.A设l与y=1交于点M(m,1),与x-y-7=0交于点N(n+7,n).由中点坐标公式得即M(-2,1),∴k PM=k l=-.故选A.3.x-y=0解方程组得所以l1与l2的交点是(2,2).由两点式方程有=,所以所求直线方程为x-y=0.4.解:(1)方程组的解为因此直线l1和l2相交,交点坐标为(3,-1).(2)方程组有无数组解,这表明直线l1和l2重合.(3)方程组无解,这表明直线l1和l2没有公共点,故l1∥l2.全新视角拓展D在直线y=2x+1上任取两个点A(0,1),B(1,3),则点A关于点(1,1)对称的点为M(2,1),点B关于点(1,1)对称的点为N(1,-1).由两点式求出对称直线MN的方程=,即y=2x-3,故选D.思维导图构建相交重合平行。
高中数学学案北师大版必修2 两条直线的交点 教案
教学设计1.4两条直线的交点整体设计教学分析本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系．在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况．在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性．三维目标1．掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点．2．当两条直线相交时，会求交点坐标．培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练．3．学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力．4．从“特殊”到“一般”，培养学生探索事物本质属性的精神，以及运动变化相互联系的观点．重点难点教学重点：根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线方程求交点．教学难点：对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解．课时安排1课时教学过程导入新课作出直角坐标系中两直线，移动其中一条直线，让学生观察这两直线的位置关系．由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那么，如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法．推进新课新知探究提出问题①已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，如何判断这两条直线的位置关系？②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什么关系？ ③解下列方程组(由学生完成)：(Ⅰ)3420,220,x y x y +-=⎧⎨++=⎩(Ⅱ)2630,11,32x y y x -+=⎧⎪⎨=+⎪⎩(Ⅲ)260,11.32x y y x -=⎧⎪⎨=+⎪⎩ 如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？,④当λ变化时，方程3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0表示什么图形，图形有什么特点？求出图形的交点坐标.活动：①教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看下表，并填空．②关系．设两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l 1和l 2的交点，因此，两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0是否有唯一解．1°若二元一次方程组有唯一解，则l 1与l 2相交． 2°若二元一次方程组无解，则l 1与l 2平行． 3°若二元一次方程组有无数解，则l 1与l 2重合． ③引导学生观察三组方程对应系数比的特点： (Ⅰ)32≠41；(Ⅱ)213＝－6－1＝312；(Ⅲ)213＝－6－1≠112.注意：此关系不要求学生做详细的推导．因为过程比较繁杂，重在应用．如果A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2中有等于零的情况，方程比较简单，两条直线的位置关系很容易确定．④1°可以用计算机作图，当λ取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点．2°找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论． 讨论结果：①解方程组．②直线l 1，l 2解方程组③方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0⎩⎪⎨⎪⎧唯一解⇔A 1A 2≠B 1B 2⇔l 1，l 2相交，无穷多解⇔A 1A 2＝B 1B 2＝C1C 2⇔l 1，l 2重合，无解⇔A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2⇔l 1，l 2平行.④方程表示经过这两条直线l 1：3x ＋4y －2＝0与l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点的直线的集合．应用示例思路1例1 求下列两条直线的交点： l 1：x ＋2y ＋1＝0，l 2：－x ＋2y ＋2＝0.解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝0，－x ＋2y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－34.所以这两条直线的交点是M ⎝⎛⎭⎫12，－34. 例2 设三条直线l 1：x ＋y －1＝0，l 2：kx －2y ＋3＝0，l 3：x －(k ＋1)y －5＝0.若这三条直线交于一点，求k 的值．解：解由l 1，l 2的方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，kx －2y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12＋k ，y ＝3＋k2＋k ，所以l 1与l 2的交点是P ⎝⎛⎭⎪⎫－12＋k ，3＋k 2＋k .又因为l 1，l 2，l 3交于一点，即P 点坐标满足直线l 3的方程，－12＋k －(k ＋1)3＋k2＋k －5＝0.解得k ＝－7或－2(舍去)． 所以k ＝－7.问题与思考：若k ＝－2，三条直线l 1，l 2，l 3的位置关系会是什么情况？(三条直线互相平行) 变式训练判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点．(1)l 1：7x ＋2y －1＝0，l 2：14x ＋4y －2＝0；(2)l 1：(3－2)x ＋y ＝7；l 2：x ＋(3＋2)y －6＝0； (3)l 1：3x ＋5y －1＝0，l 2：4x ＋3y ＝5.解：(1)重合；(2)平行；(3)相交，交点坐标(2，－1).思路2例1 求过点A (1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线方程． 解法一：∵直线2x ＋3y ＋5＝0的斜率为－23，∴所求直线斜率为－23.又直线过点A (1，－4)，由直线方程的点斜式易得所求直线方程为2x ＋3y ＋10＝0.解法二：设与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线l 的方程为2x ＋3y ＋m ＝0， ∵l 经过点A (1，－4)，∴2×1＋3×(－4)＋m ＝0， 解之，得m ＝10.∴所求直线方程为2x ＋3y ＋10＝0.点评：解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握，解法二是常常采用的解题技巧．一般地，直线Ax ＋By ＋C ＝0中系数A ，B 确定直线的斜率．因此，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，其中m 待定．经过点A (x 0，y 0)，且与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程为A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0. 变式训练求与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距之和是56的直线方程．答案：2x ＋3y －1＝0.例2 已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，直线l 1与l 2：①相交；②平行；③重合；④垂直．解：方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋my ＋6＝0，(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0.当m ＝0时，则l 1：x ＋6＝0，l 2：－2x ＋3y ＝0，∴l 1，l 2相交． 当m ＝2时，则l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：3y ＋4＝0，∴l 1，l 2亦相交． 当m ≠0且m ≠2时，A 1A 2＝1m －2，B 1B 2＝m 3，C 1C 2＝62m .若A 1A 2＝B 1B 2，则m ＝－1或m ＝3.若A 1A 2＝C 1C 2，则m ＝3. ∴①当m ≠－1且m ≠3时⎝⎛⎭⎫A 1A 2≠B 1B 2，方程组有唯一解，l 1与l 2相交．②当m ＝－1时⎝⎛⎭⎫A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，方程组无解，l 1与l 2平行．③当m ＝3时⎝⎛⎭⎫A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2，方程组有无数解，l 1与l 2重合．④当m －2＋3m ＝0即m ＝12时，l 1与l 2垂直(∵l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0)．点评：要注意培养学生分类讨论的思想． 变式训练求经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线l 的方程．解法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－35，y ＝－75.∴交点为⎝⎛⎭⎫－35，－75. ∵l 与直线3x ＋y －1＝0平行，∴所求方程为y ＋75＝－3⎝⎛⎭⎫x ＋35， 即15x ＋5y ＋16＝0.解法二：设直线l 的方程为2x －3y －3＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 变形为(λ＋2)x ＋(λ－3)y ＋2λ－3＝0， ∵直线l 与直线3x ＋y －1＝0平行， ∴λ＋23＝λ－31≠2λ－3－1，解得λ＝112. 则直线l 的方程为15x ＋5y ＋16＝0.知能训练1．求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程： l 1：x －2y ＋2＝0，l 2：2x －y －2＝0.2．判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标． (1)l 1：x －y ＝0，l 2：3x ＋3y －10＝0； (2)l 1：3x －y ＋4＝0，l 2：6x －2y －1＝0； (3)l 1：3x ＋4y －5＝0，l 2：6x ＋8y －10＝0.3．求下列两直线交点坐标：l 1：3x ＋4y －2＝0；l 2：2x ＋y ＋2＝0. 解答：1．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋2＝0，2x －y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，所以l 1与l 2的交点是(2,2)． 设经过原点的直线方程为y ＝kx ，把点(2,2)的坐标代入以上方程，得k ＝1，所以所求直线方程为y ＝x .点评：此题为求直线交点与求直线方程的综合，求解直线方程也可应用两点式．2．(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，3x ＋3y －10＝0，得⎩⎨⎧x ＝53，y ＝53.所以l 1与l 2相交，交点是M ⎝⎛⎭⎫53，53.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＋4＝0，6x －2y －1＝0，①②①×2－②得9＝0，矛盾．方程组无解，所以两直线无公共点，l 1∥l 2.(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －5＝0，6x ＋8y －10＝0，①②①×2得6x ＋8y －10＝0.因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合．3．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，所以l 1与l 2的交点坐标为M (－2,2)．拓展提升已知a 为实数，两直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －a ＝0相交于一点．求证：交点不可能在第一象限及x 轴上．分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横、纵坐标的范围．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y ＋1＝0，x ＋y －a ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a ＋1a －1，y ＝a 2＋1a －1，若a 2＋1a －1＞0，则a ＞1. 当a ＞1时，－a ＋1a －1＜0，此时交点在第二象限内．又因为a 为任意实数时，都有a 2＋1≥1＞0，故a 2＋1a －1≠0.因为a ≠1(否则两直线平行，无交点)，所以交点不可能在x 轴上．所以交点⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋1a －1，a 2＋1a －1不可能在第一象限及x 轴上．课堂小结本节课通过讨论两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系，得出了方程系数比的关系与直线位置关系的联系．培养了同学们的数形结合思想、分类讨论思想和转化思想．通过本节学习，要求大家：掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点．当两条直线相交时，会求交点坐标．注意语言表述能力的训练．通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力．以“特殊”到“一般”，培养探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点．作业习题2—1A组第7,8,9题．设计感想本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系．在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线位置特点，其实质是直线方程Ax＋By＋C＝0中A，B，C就表示了直线的本质属性．还要注重研究方法的探讨，为学习下一章圆锥曲线时，对于曲线交点的研究打下基础．备课资料著名数学家陈省身(公元1911年—2004年12月3日)在数学领域，沃尔夫奖与菲尔兹奖是公认的能与诺贝尔奖相媲美的数学大奖．菲尔兹奖主要奖励在现代数学中做出突出贡献的年轻数学家，而沃尔夫奖主要奖励在数学上做出开创性工作、具有世界声誉的数学家．到1990年为止，世界上仅有24位数学家获得过沃尔夫奖，而陈省身教授就是其中之一．他由于在整体微分几何上的杰出工作获得1984年度沃尔夫奖，成为唯一获此殊荣的华人数学家．陈省身先生1911年生，浙江嘉兴人.1930年毕业于南开大学数学系，受教于姜立夫教授.1934年获清华大学硕士学位．同年入德国汉堡大学随布拉施克教授研究几何，仅用了1年零3个月便在1936年获博士学位后，以“法国巴黎索邦中国基金会博士后研究员”身份到巴黎大学从事研究工作，师从国际数学大师E·嘉当.1937—1943年，任清华大学和西南联合大学教授.1943—1946年在美国普林斯顿高级研究所任研究员．在微分几何中高斯-波内公式的研究和拓扑学方面取得重要进展.1946—1948年筹建中央数学研究所并任代理所长.1949—1960年，任美国芝加哥大学教授，1960—1979年任加州大学伯克利分校教授，1981—1984年任美国国家数学研究所首任所长，后任名誉所长．他是美国科学院院士，法国、意大利、俄罗斯等国家科学院外籍院士．他对整体微分几何的深远贡献，影响了整个数学，被公认为“20世纪伟大的几何学家”，先后获美国国家科学奖章、以色列沃尔夫奖、中国国际科技合作奖及首届邵逸夫数学科学奖等多项荣誉．陈省身对祖国心怀赤诚，1972年后多次回到祖国访问讲学，慨言“为祖国工作，是我崇高的荣誉”.2000年定居南开大学，被天津市人民政府授予永久居留权．他盛赞新中国欣欣向荣，瞩望祖国早日统一，诚挚地向党和国家领导人就发展科学事业、培养和引进人才等建言献策，受到高度重视.1984年应聘出任南开数学研究所所长，创办立足国内、面向世界培养中国高级数学人才基地．努力推进中国科学家与美国及其他各国的学术交流，促成国际数学家大会在北京召开，并被推选为大会名誉主席．他殚精竭虑地为把中国建成数学大国、科技强国贡献力量，多次受到邓小平、江泽民等党和国家领导人接见，高度称赞他对中国数学科学发展所作的杰出贡献．除了在数学上做出的巨大成就，陈省身教授还培养了一大批世界级的科学家，其中包括诺贝尔物理学奖获得者杨振宁，菲尔兹奖获得者丘成桐，中国国家自然科学奖一等奖获得者吴文俊等．(设计者：邓新国)。
优秀教案两条直线的交点坐标
3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标教材分析本节内容是数学必修2第三章直线与方程 3.3 直线的交点坐标与距离公式的第一课时．本节课是在学习了二元一次方程组的解、直线的位置关系和直线的方程后进行的;是对前面学习内容的延续与深入;也是后继学习距离公式、圆锥曲线以及曲线与曲线的交点的基础．本节课通过利用代数的方法来解决两条直线相交的交点坐标问题;渗透数形结合、坐标法的思想;通过探究过定点的直线系的方程问题进一步培养学生转化化归的思想．课时分配本节内容用1课时的时间完成;主要讲解两条直线的位置关系、两条相交直线的交点坐标以及二元一次方程组的解与两条直线位置的对应关系．教学目标重点:能判断两条直线的位置关系;会求两直线的交点坐标．难点：二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系;过两条直线的交点的直线系方程．知识点：两条直线的交点的求法;二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系;过两条直线的交点的直线系方程．能力点：通过学习两条直线交点坐标的求法;以及判断两直线位置的方法;培养学生的数形结合能力;通过研究两条直线的位置与它们对应方程组的解的关系;进一步渗透坐标法及转化化归的思想．教育点：通过两直线交点与二元一次方程组的解的关系;认识事物之间的内在联系;能用辩证的观点看问题；在探究和解决问题的过程中;培养学生细心观察、勇于探索、互相合作的精神;自主探究点：二元一次方程组的解与两条直线的位置对应关系的探究与发现;过两条直线的交点的直线系方程问题．考试点：求两直线的交点坐标;判断两条直线的位置关系;．易错易混点：利用直线系方程求解直线方程、求未知参．拓展点：探究直线恒过定点问题;探究对称与最值问题．教具准备课件、几何画板、三角板课堂模式学案导学一、引入新课知识回顾：教师出示多媒体课件并提出问题问题1. 直线的一般式方程与二元一次方程之间有什么关系问题2. 如何求二元一次方程组的解 二元一次方程组的解有几种情况 问题3：直角坐标系中两条直线的位置关系有几种 师生活动师：展示课件、提出问题． 生：思考、讨论并回答问题．师：每一个关于,x y 的二元一次方程都表示条直线;而二元一次方程组的解有三种情况;直角坐标系中两 条直线的位置关系也有三种;那么试想两条直线的位置关系与对应二元一次方程组解的情况有关系吗如果有;那么又有怎样的对应关系呢设计意图复习巩固;以旧带新；简单的知识回顾;为学生自主探究铺平道路;唤起学生的记忆;引发学生探究新知识的的学习兴趣和学习热情;并自然导入新课．二、探究新知探究1：两条直线的交点坐标问题1：教师引导学生从点与直线的位置关系入手完成下表;并讨论直线上的点与对应方程0Ax By C ++=的解有怎样的关系生：独立思考;小组交流;完善表格．师：因为直线1l 与2l 的交点是A ;故点A 在直线1l ;也在直线2l ．所以点A 坐标),(00y x 既满足1l 的方程;又满足直线2l 的方程;即：10101202020,0.A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩问题2：由上述问题可知;两条直线的交点坐标满足由两条直线方程所组成的方程组．那么;如果两条直线0:1111=++C y B x A l ;0:2222=++C y B x A l 相交;如何求这两条直线的交点坐标生：交流;讨论．师生共同总结：要求两条直线的交点坐标;只需写出这两条直线的方程;然后联立求解．设计意图设置问题串;以旧带新;通过对熟悉知识点的温故讨论;引发学生探究新知的兴趣;培养学生发现、归纳、概括数学问题的能力．探究2：两条直线的位置关系师：求解下列方程组;判断对应两条直线是否相交教材例2变式． 10,33100.x y x y -=⎧⎨+-=⎩2340,6210.x y x y -+=⎧⎨--=⎩33450,68100.x y x y +-=⎧⎨+-=⎩生：自主完成练习;并请学生到前面板演解题过程.1方程组有唯一解55(,)33;所以直线1:0l x y -=与2:33100l x y +-=即为相交;交点55(,)33． 2方程组无解．3两个方程可化为同一个方程;所以方程组有无数解．师：1中方程组有唯一解对应直线1l 与2l 相交；2中方程组无解;两个方程就没有公共解;那么方程对应的两条直线有交点吗它们具有怎样的位置关系 生：没有．两条直线平行．师：3中方程组有无数解;两条直线具有怎样的位置关系 生：两条直线重合．设计意图通过动手操作;直观感知;深入理解方程组的解与直线的位置之间的关系． 问题：两条直线方程所组成的二元一次方程组的解的个数与直线的位置关系有什么联系 已知1l ：0111=++C y B x A ;2l ：0222=++C y B x A ; 将方程联立;得⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A ;对于这个方程组解的情况分三种讨论：1若方程组有唯一解;则1l 、2l 相交;有唯一的公共点； 2若方程组无解;则1l 、2l 没有公共点;即平行；3若方程组有无数多个解;则1l 、2l 有无数多个公共点;即重合．设计意图通过学生独立思考、师生共同总结加强对知识的理解；由具体问题的解通过思考、感悟得到一般性结论;循序渐进;符合学生的认知规律;便于理解记忆；在问题探究的过程中;让学生体会数形结合的思想．三、理解新知师：如何求解两条直线的交点如何判断两条直线的位置关系 生：写出两条直线方程;联立求解：方程组有唯一解⇔两直线相交方程组无解⇔两直线平行 方程组有无穷多解⇔两直线重合师：如何根据两直线的方程的系数之间的关系来判定两直线的位置关系呢请大家完成下列表格： 1111111:0(,,0)l A x B y C A B C ++=≠;2222222:0(,,0l A x B y C A B C ++=≠）如果111,,A B C ;222,,A B C 中有等于零的情况;方程较简单;两条直线的位置关系容易确定.设计意图理解运用两条直线的交点个数判定两直线的位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的 一致性．四、运用新知例1 求下列两条直线的交点坐标: 生：分析解题思路;独立完成解题步骤. 师：板书解题过程;引导学生校对自己的答案． 解：解方程组 3420,4220.x y x y +-=⎧⎨++=⎩得：2,2.x y =-⎧⎨=⎩所以1l 与2l 的交点是(2,2)M -． 几何画板作图验证．设计意图巩固所学知识;提高学生分析问题、解决 问题的能力；通过问题分析;强化求解两条直线交点 的方法；教师板书示范;规范解题步骤．例2 判断下列各对直线的位置关系．如果相交;求出交点的坐标： 11:0l x y -=;2:33100l x y +-=； 21:340l x y -+=;2:6210l x y --=； 31:3450l x y +-=;2:68100l x y +-=. 学生自主完成例2;并请学生到前面板演解题过程.教师引导学生共同批改学生答案;探讨解题中出现的问题和解题的关键点;并校对自己的答案． 设计意图进一步巩固两直线位置关系与直线组成的方程组解的个数的对应关系；学生板书便于及时发现问题、解决问题;并规范学生的解题步骤；通过对答案的批改、校对;培养学生反思、总结的习惯． 例3补充 求经过两条直线240x y -+=和20x y +-=的交点;且和直线260x y -+=平行的直线l 的方程．分析：由直线l 与直线260x y -+=平行;可以求得 直线l 的斜率；又因为直线l 经过两条直线240x y -+= 和20x y +-=的交点;所以求出两直线的交点即可由点 斜式求得直线l 的方程． 解法一：直线260x y -+=的斜率为2;且直线l 与直线260x y -+=平行;∴直线l 的斜率为：2l k =．解方程组240,20.x y x y -+=⎧⎨+-=⎩ 得0,2.x y =⎧⎨=⎩∴直线240x y -+=和20x y +-=的交点坐标为(0,2M ）． ∴直线l 的方程为22(0)y x -=-;即 220x y -+=．解法二：设与直线260x y -+=平行的直线l 的方程为20(6)x y C C -+=≠解方程组240,20.x y x y -+=⎧⎨+-=⎩ 得0,2.x y =⎧⎨=⎩∴直线240x y -+=和20x y +-=的交点坐标为(0,2M ）．直线l 经过两条直线240x y -+=和20x y +-=的交点(0,2M ）;∴2020C ⨯-+=;即2C =．∴直线l 的方程为220x y -+=．点评：解法一中求直线方程的方法是通法;须掌握.解法二中利用了平行直线的设法：与直线0Ax By C ++=平行的直线方程可设为0(0)Ax By λλ++=≠;其中λ待定.设计意图 通过对问题的分析、解决过程;培养学生综合分析问题和转化化归的能力；通过方法探究;一题多解;发散思维;有益于沟通知识和方法;开拓解题思路． 拓展提升问题：当λ变化时;2420x y x y λ-+++-=（）表示什么图形呢图形有何特点 师：方程2420x y x y λ-+++-=（）中的未知数是什么λ可取什么值 生：未知数是,.x y λ可取任意实数;是常数． 师：是关于,x y 的几元几次方程 生：二元一次方程．师：这个二元一次方程2420x y x y λ-+++-=（）表示什么图形 生：表示直线．师：这个二元一次方程2420x y x y λ-+++-=（）能够表示多少条直线 生：无数条;一个λ的值就对应一条直线．师：这些直线有什么共同特点吗如何研究呢既然一个λ的值就对应一条直线;那么能否通过给定λ的特殊值进行研究呢例如取1,0,1,2λ=-……． 生：计算探究1λ=-时;方程为：360y -+=; 0λ=时;方程为：240x y -+=;1λ=时;方程为：2420x y x y -+++-=（）;即220x y -+= 2λ=时;方程为：24220x y x y -+++-=（）;即0x = 作出图形可知;所有直线都过一个定点;该点为(0,2M ）;即为例3中两条直线240x y -+=和20x y +-=的交点．由此猜测：方程2420x y x y λ-+++-=（）表示的直线都经过(0,2M ）点． 动画演示;验证猜想．师：方程2420x y x y λ-+++-=（）能表示20x y +-=这条直线吗 生：思考回答．结论：方程2420x y x y λ-+++-=（）表示除直线20x y +-=以外且经过两条直线240x y -+=和20x y +-=交点的直线．师：像这种具有某种共同性质的所有直线的集合;称为直线系；它的方程叫直线系方程． 总结提高：若1l :0111=++C y B x A 、2l :0222=++C y B x A 相交;则方程0)()(222111=+++++C y B x A C y B x A λ表示过1l 与2l 交点的直线系不包括直线2l ．应用：例3另解解：设经过两条直线240x y -+=和20x y +-=的交点的直线l 方程为2420x y x y λ-+++-=（）;则(1)(2)420x y λλλ++-+-=． 直线l 与直线260x y -+=平行;∴122λλ+-=-;即1λ=． ∴直线l 的方程为220x y -+=．五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识;涉及到哪些数学思想方法 学生总结：1．知识点：两条直线的交点的求法；二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系； 2．思 想：由特殊到一般的思想； 转化化归的思想； 数形结合的思想．教师强调：过两条直线交点的直线系方程．设计意图 通过学生总结;培养学生的口头表达能力、归纳概括能力;教会学生学习方法;让学生再次回顾本节课的活动过程、重点、难点所在;对所学知识加以思考延伸．使学生对本节课所学知识结构有一个清晰的认识;形成知识体系．六、布置作业1．书面作业必做题： 109P A 组1;3;4;B 组1．选做题：1.两直线21y kx k =++和240x y +-=的交点在第四象限;则k 的取值范围是 A .(6,2)- 1.(,0)6B - 11.(,)26C -- 1.(,)2D -+∞ 2.过点(0,1)P 作直线m ;使它被两条直线12:3100,:280l x y l x y -+=+-=所截得线段以P 为中点;求直线m 的方程．答案：1.C ；2. 440x y +-= 2．课外思考思考1：求证：不论λ取什么实数;直线0)3()3()12(=--++-λλλy x 都过一个定点;并求这个定点 坐标．思考2：已知直线:310l x y --=及点(4,1),(0,4),(2,0A B C ）; 1试在l 上求求一点P ;使||+||PA PC —最小； 2试在l 上求求一点Q ;使||||QA QB -—最大．设计意图书面作业的布置;以不同层次出现;对不同层次学生有不同的要求;体现了分层教学的教学思想．设置“必做题”是为了进一步巩固所学;加强学生学习的自信心；课外思考探究活动进一步激励学生学习的热情;培养学生数形结合的能力．七、教后反思本节课在设计上注重课堂的开放性;在学习过程中让学生主动参与;;使学生在参与活动的过程中感受“数”与“形”的相互转换;深化坐标法的应用．通过讨论两直线方程联立方程组的解来研究两直线的交点问题;培养了学生的数形结合与运动转化的数学思想.在探究两直线的位置关系与对应二元一次方程组解的个数问题的过程中;把学习的主动权还给学生;让学生自主经历发现问题、研究问题、解决问题的学习过程;使数学课堂生动起来．通过探究讨论;动画展示;加深对解析法的理解;培养学生勇于探索的科学精神．在直线系的探究过程;还是老师的启发过多、讲的多;可以尝试让学生分析讲解;老师补充完善;这样更有益于学生学习兴趣培养和对知识的理解．八、板书设计。
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2.1.6两直线的交点坐标
一、教学目标
1、知识与技能：（1）直线和直线的交；（2）二元一次方程组的解。
2、过程和方法：（1）学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法。
（2）掌握数形结合的学习法。
（3）组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程。
3、情态和价值：（1）通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内的联系。
（2）能够用辩证的观点看问题。
二、教学重点，难点
重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。
难点：两直线相交与二元一次方程的关系。
三、教学方法：启发引导式：在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的的相互关系。
引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题。
由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决。
教具：用POWERPOINT课件的辅助式教学
四、教学过程
(一）、情境设置，导入新课
用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。
课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？
（二）、研探新知
1、分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系
已知两直线L1：A1x+B1y +C1=0,L2：A2x+B2y+C2=0
如何判断这两条直线的关系？
教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。
课堂设问二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？
学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关
系？
（1）若二元一次方程组有唯一解，L 1与L2 相交。
（2）若二元一次方程组无解，则L 1与 L2
平行。
(3)若二元一次方程组有无数解，则L 1 与L2重合。
课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？
2、例题讲解，规范表示，解决问题
例题1：求下列两直线交点坐标：L1 ：3x+4y-2=0，L1：2x+y +2=0
解：解方程组 34202220x y x y +-=⎧⎨++=⎩
得 x=-2，y=2 所以L1与L2的交点坐标为M （-2，2），如图3。
3。
1。
6
4
2
-2
-4
-55y
x
教师可以让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后
才进行讲解。
同类练习：书本110页第1，2题。
例2 判断下列各对直线的位置关系。
如果相交，求出交点坐标。
（1） L1：x-y=0，L2：3x+3y-10=0
（2） L1：3x-y=0，L2：6x-2y=0
（3） L1：3x+4y-5=0，L2：6x+8y-10=0
这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系。
（三）、启发拓展，灵活应用。
课堂设问一。
当λλ变化时，方程 3x+4y-2+λ（2x+y+2）=0表示何图形，图形有何特点？求
出图形的交点坐标。
（1）、可以一用信息技术，当 取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点。
（2）、找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论。
（3）、结论，方程表示经过这两条直线L1 与L2的交点的直线的集合。
例3、 已知a 为实数，两直线1l ：01=++y ax ，2l ：0=-+a y x 相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x 轴上.
分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的范围. 解：解方程组若112-+a a ＞0，则a ＞1.当a ＞1时，－1
1-+a a ＜0，此时交点在第二象限内. 又因为a 为任意实数时，都有12
+a ≥1＞0，故112-+a a ≠0 因为a ≠1（否则两直线平行，无交点） ，所以，交点不可能在x 轴上，得交点(－1
1,112-+-+a a a a ) （四）、小结：直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决，并能进行应用。
（五）、练习及作业：
1、光线从M （-2，3）射到x 轴上的一点P （1，0）后被x 轴反射，求反射光线所在的直线方程。
2、求满足下列条件的直线方程。
经过两直线2x-3y+10=0与3x+4y-2=0的交点，且和直线3x-2y+4=0垂直。
五、教后反思：。