§1.3 复合函数与反函数

§1.3 复合函数与反函数
一、复合函数:
在实际问题中，有很多比较复杂的函数是由几个比较 简单的函数“叠置”而成的，如在简谐振动中位移y 与时间 t 的函数关系
s i n
()y t ωφ=+ 就是由三角函数 s i n
y u = 和线性函数 u t ωφ=+ “叠置”而成的， 例如：22,1,1y u u x y x ==-⇒=-设
定义：设有两个函数(),,(),z f y y B y x x A ϕ=∈=∈，记{},()G x x A x B ϕ=∈∈，若G φ≠，则对每一个x G ∈，通过ϕ对应B 内唯一一个值y ，而y 又通过f 对应唯一一个值z ，这就确定了一个定义在G 上的函数，它以x 为自变量，z 为因变量，记作(()),z f x x G ϕ=∈或()(),y f x x G ϕ=∈ 。

简记为f ϕ 。

称为函数f 和ϕ的复合函数，并称f 为外函数，ϕ为内函数，y 为中间变量。

几点说明：
1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;
arcsin ,y u =例如 22;u x =+ 2a r c s i n (2)
y x ≠+ 不能构成复合函数 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
cot ,,cot ,.22
x x y y u u v v ====例如 3.不仅要会复合，更要会分解。

把一个函数分解成若干个简单函数，在分解时也要注意定义域的变化。

①22log 1,(0,1)log ,,1.a a y x x y u u z z x =-∈→===- ②22arcsin 1arcsin , 1.y x y u u x =+→==+
③2
sin 222,,sin .x u y y u v v x =→===
4.一般来说f f ϕϕ≠ ，即复合运算不满足交换律。

例3 设()sin f x x =，2()x x ϕ=，则2
2()()s i n ()()(s i n )f x x f x x ϕϕ⎫=⇒⎬=⎭
f f ϕϕ≠ ，0x ∀≠
复合运算满足结合律：()()f g h f g h =
二、反函数
定义：设函数(),y f x x D =∈。

满足：对于值域()f D 中的每一个值y ，Ｄ中有且只有一个值x ，使得()f x y =，则按此对应法则得到一个定义在()f D 上的函数，称这个函数为f 的反函数，记作
1:(),(|)f f D D y x -→→或1(),()x f y y f D -=∈.
注：a) 并不是任何函数都有反函数；
b) 函数f 与1f -互为反函数，并有
1(()),,f f x x x X -≡∈ 1(()),().f f x y y f X -≡∈
c) 函数f 的反函数1f -通常记为1(),()y f x x f X -=∈.
d) 在同一个平面上 ()y f x =和1()y f x -= 的图像关于直线y x =对称 定理：设(),y f x x X =∈为严格增（减）函数，则f 必有反函数1f -，且1f -在其定义域()f X 上也是严格增（减）函数。

三、初等函数
i)基本初等函数及其图形
1、常量函数 y C =（Ｃ为常数）；
2、幂函数 ()y x R αα=∈；
3、指数函数(0,1)x y a a a =>≠；
4、对数函数 l o g (0,a y x a a =>
≠； 5、三角函数 s i n ,c o s ,t a n y x y x y x y x
====； 6、反三角函数 a r c s i n ,a r c c o s ,t a y x y x y a r x y a r c x
====。

7、双曲函数 2x x e e s h x --=，2x x e e chx -+=，x x x x e e e e thx --+-=，x x x
x e
e e e cthx ---+= ii)初等函数
定义:由基本初等函数经过在有限次四则运算与有限次复合运算所得到的函数，统称为初等函数 如：sin 341
2sin cos ,l g ,||.x a e y x x y o x y x x -=+=+=
不是初等函数的函数，称为非初等函数。

如Dirichlet 函数、取整函数等都是非初等函数。

练习:
1.已知函数2()f x x =，()sin g x x =，则复合函数[]()f g x ＝ 。

2.设:f X Y →，A X ∀⊂，则A （）1(())f f A -............................（ ）
(A) =； (B) ≠； (C) ⊃； (D) ⊂
3.关系式2arcsin ,2y u u x ==+表示的y 是否为x 的函数？。