坐标找规律
坐标规律知识点归纳总结
坐标规律知识点归纳总结一、坐标系的基本概念1. 坐标系的定义坐标系是用来描述位置的一种数学工具，它由一组垂直的线和一组水平的线组成，用来表示平面上点的位置。
2. 直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系，由x轴和y轴组成，它把平面分成四个象限，分别用罗马数字I、II、III、IV来表示。
点的位置由其与x轴和y轴的交点，即坐标来表示。
3. 极坐标系极坐标系是由极轴和极径组成的坐标系，其中极轴是固定的，极径的长度和方向来描述点的位置。
二、坐标的表示和转化1. 点的坐标表示在直角坐标系中，点的坐标用一个有序对(x, y)表示，其中x是横坐标，y是纵坐标。
在极坐标系中，点的坐标用一个有序对(r, θ)表示，其中r是极径，θ是极角。
2. 坐标的转化在直角坐标系和极坐标系之间可以相互转化，利用三角函数可以实现坐标的转化。
三、坐标系中的位置关系1. 同一直线上的点的坐标关系若在直角坐标系中两点的坐标分别为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，则这两点在同一直线上，当且仅当$\frac{{y - y₁}}{{x₂ - x₁}} = \frac{{y₂ - y₁}}{{x₂ - x₁}}$成立。
2. 点的对称性点关于x轴对称的点的坐标为(x, -y)，关于y轴对称的点的坐标为(-x, y)，关于原点对称的点的坐标为(-x, -y)。
3. 点到直线的距离点(x, y)到直线Ax + By + C = 0的距离为$\frac{{|Ax + By + C|}}{{\sqrt{A^2 + B^2}}}$。
四、坐标系中的图形1. 直线的方程在直角坐标系中，一般式直线方程为Ax + By + C = 0；斜截式直线方程为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
2. 圆的方程圆的方程为$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中(h, k)为圆心坐标，r为半径。
3. 椭圆、双曲线、抛物线的方程椭圆的方程为$\frac{{(x - h)^2}}{{a^2}} + \frac{{(y - k)^2}}{{b^2}} = 1$，双曲线的方程为$\frac{{(x - h)^2}}{{a^2}} - \frac{{(y - k)^2}}{{b^2}} = 1$，抛物线的方程为$y = ax^2 + bx+ c$。
平面直角坐标系找规律100题
以下是关于在平面直角坐标系中寻找规律的100道题目：1. 绘制点(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), ... 并继续这个规律。
2. 连接点(-1, 0), (0, 1), (1, 0), (0, -1), (-1, 0) 形成一个图形。
这个图形是什么？3. 找到缺失的坐标：(2, 5), (4, 10), (6, ?)。
4. 绘制点(0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9), ... 并继续这个规律。
5. 连接点(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), ... 形成一条直线。
这条直线的斜率是多少？6. 找到缺失的坐标：(3, 6), (5, ?), (7, 14)。
7. 绘制点(-1, 0), (-2, 0), (-3, 0), (-4, 0), ... 并继续这个规律。
8. 连接点(0, 1), (1, 0), (0, -1), (-1, 0), (0, 1) 形成一个图形。
这个图形是什么？9. 找到缺失的坐标：(2, 4), (4, ?), (6, 12)。
10. 绘制点(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), ... 并找出这个规律的方程。
11. 连接点(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), ... 形成一条直线。
这条直线的斜率是多少？12. 找到缺失的坐标：(2, 5), (4, ?), (6, 11)。
13. 绘制点(-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 2), ... 并继续这个规律。
14. 连接点(-1, 1), (-2, 2), (-3, 3), (-4, 4), ... 形成一条直线。
这条直线的斜率是多少？15. 找到缺失的坐标：(3, 6), (5, ?), (7, 13)。
16. 绘制点(0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9), ... 并找出这个规律的方程。
七年级下人教数学：坐标系找规律
一：沿坐标轴运动的点 二：绕原点呈“回”字型运动的点 三：图形整体变化的点
类型一：沿坐标轴运动的点的坐标规律探究
例1：如图，平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着向上、向右、向下、向 右的方向依次不断移动，每次移动一个单位，得到点A1(0，1)，A2(1，1)，A3(1，0) ，A4(2，0)，…，那么点A451的坐标为_______．
对一些周期性的找规律，1、2顺序可互换 3、确定该区域或板块点的横纵坐标和下标的联系 4、写出所求点的坐标
课堂练习.复现
例1：如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与 x 轴或 y 轴平行．从内到外
它们的边长依次为 2，4，6，8，…，顶点依次用 A1，A2，A3，A4…表示，则顶点 A55
的坐标是：
落实3：如图，将边长为 1 的正方形 OAPB 沿 x 轴正方向连续翻转 2014 次，点 P 依次
落在点 P1， P2，P3， ……，P2013，P2014 的位置，记 Pi (xi，yi)，i=1，2，3，4， …… ，2014，则 P2014的坐标为_______；如果 xn=xn+1，则 xn+2=_______(请用含有 n 的式子 表示)．
．
例2：如图，平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“ ”方向排列，如 (1，0)→(2，0)→(2，1)→(3，2)→(3，1)→(3，0)， 根据这个规律探索可得，第 100 个点的坐标是：________．
课后落实.复现
落实1：如图，已知 A1(1，0)，A2(1，1)，A3(-1，1)，A4(-1，-1)，A5(2，-1)，……，则点 A2007 的坐标为：________．
积累练习题.复现
七年级数学平面直角坐标系寻找规律培优题解析
ｎ＝１０１０
所以Ａ？ｏｚｏ（１０１１，１０１０）
故选：Ｄ．
点评：本题考查了点的坐标、坐标的平移，解决本题的关键是 寻找点的变化规律．
５．如图，在平面直角坐标系中，从点Ｐ？（－１，０），Ｐ？（－１，－１），
Ｐ？（１，－１），Ｐ？（１，１），Ｐｓ（－２，１），Ｐ？（－２，－２），…依次扩
Ｂ．（１００９，１００８）
５｜
Ａ？
４
Ｄ．（１０１１，１０１０） Ａ
Ａ？ ２１
Ａ＜
－５ －４ －３ －２ －１ Ｇ
Ａ
Ａ Ａ：
ｄ
１２ ３ ４ ５ｘ
解：
因为Ａ，（－１，１），Ａ？（２，１），Ａ？（－２，２），Ａ？（３，２），Ａ？（－３， ３），Ａ？（４，３），Ａ？（－４，４），Ａｇ（５，４）…Ａ？ｎ－（－ｎ，ｎ），Ａ？？（ｎ＋１，
４．如图，在平面直角坐标系上有点Ａ（１，０），点Ａ第一次跳动至
点Ａ？（－１，１），第二次向右跳动３个单位至点Ａ？（２，１），第三
次跳动至点Ａ？（－２，２），第四次向右跳动５个单位至点Ａ？（３，
２），…，以此规律跳动下去，点Ａ第２０２０次跳动至点Ａ２０２０的坐
标是（）
个
Ａ．（１０１２，１０１１）
Ｃ．（１０１０，１００９）
． ８．在平面直角坐标系中，一只电子狗从原点Ｏ出发，按向上→ 向右→向下→向右的方向依次不断移动，每次移动１个单位长 度，其行走路线如图所示，则Ａ？０２０的坐标为． （１００７，１）
ｙ
Ａ？ Ａ：Ａ＋ Ａｓ Ａｉ １４
ａ Ａｙ ｄｇ Ａ１：
０
Ｚ
Ａ ｇ Ａｉā Ａｎ
解：
观察点的坐标变化特征可知：
Ａ，（０，ｌ），Ａ？（１，１），Ａ？（１，０），Ａ？（１，－１），
平面直角坐标系找规律技巧(一)
平面直角坐标系找规律技巧(一)平面直角坐标系找规律技巧介绍平面直角坐标系是数学中常用的工具，可以帮助我们描述平面上的各种图形和现象。
在解决问题时，我们经常需要找出规律来简化计算或推导过程。
本文将介绍一些在平面直角坐标系中找规律的常用技巧。
技巧一：观察坐标轴上的点•观察点在坐标轴上的位置，可以帮助我们找出两个量之间的关系。
例如，如果一个点的横坐标和纵坐标相等，则它在坐标系中呈现出对称的特点。
•另外，当点的横坐标或纵坐标为0时，它们通常代表特殊的情况。
我们可以通过观察这些点来找到一些特殊的规律。
技巧二：观察图形的对称性•当图形呈现出对称的形态时，我们可以利用对称性来简化问题。
例如，如果一个图形在横轴或纵轴上对称，则它的性质可能也在对称轴上相同。
•另外，如果一个图形在原点对称，则它的性质通常也在原点附近具有一些特殊的规律。
技巧三：利用直角三角形的性质•平面直角坐标系中的直角三角形具有一些特殊的性质，我们可以利用这些性质来找规律。
例如，两条边分别与横轴和纵轴平行的直角三角形可能呈现出相似的形状。
•此外，直角三角形中的角度关系也可以帮助我们找到一些规律。
例如，当两条线段之间的夹角为90度时，它们可能具有一些特殊的性质。
技巧四：利用平移和旋转的性质•在平面直角坐标系中，我们可以通过平移和旋转来改变图形的位置和方向。
利用平移和旋转的性质，我们可以找到一些规律。
例如，当一个图形经过平移后仍具有相似的性质时，我们可以猜测这个性质与平移无关。
•此外，有时候我们可以通过适当的旋转来简化问题。
例如，当一个图形经过旋转后具有一些特殊的性质时，我们可以利用这个性质找规律。
技巧五：利用数学工具辅助分析•平面直角坐标系中的问题通常涉及到数学知识，例如代数和几何。
我们可以利用这些数学工具来辅助分析，找到问题的规律。
例如，利用代数中的方程和函数可以帮助我们推导出一些特殊的关系式。
•此外，几何中的一些定理和性质也可以用来分析图形和推导规律。
坐标变换与找规律
笔记：图形平移时，对应点平移的距离相等。
观察 轴： ，直线 可表示为
观察 轴： ，直线 可表示为
笔记：①平行于x轴的直线上所有的点纵坐标相同，可表示为
②平行于y轴的直线上所有的点横坐标相同，可表示为
练习：(1)平面直角坐标系中，△ABC三点坐A（-1,0)，B(-2, - 3)
C(0,-2).将△ABC向上平移3个单位, 再向右平移3个单位，
练习：(1)如图，在平面直角坐标系中，点P(-2，3)关于直线 =2
的对称点坐标为（,）
（2）点P（3,5)和P（3,1)点关于（ ）对称.
A. =3 B. =-3C. =-3 D. =3
例3.（1）点A（2,3）关于x轴的对称点 的坐标为；点A关于y轴的对称点 的坐标为；点A关于原点的对称点 的坐标为；点 与点 关于对称.
(2)点M(a,b)与点N(-a,b)关于对称（ ）
A. 轴 B.原点 C. 轴 D. =
思考：当坐标系中一点P(1，3)关于 =2 对称，对称点坐标 （，).
当P（1, 3)关于 = 2对称，对称点的坐标点 (,)
笔记：点P( ， )关于 =a对称： (2a- , ).
点P( ， )关于 =b对称： ( ,2b- ).
（必会例题）（2）已知△ABC的面积为5，A（-1，1），点B（-1，-1），点C的纵坐标为3求点C的坐标.
【平面直角坐标素】【坐标与距 离】
练2-1.（1）已知直线 平行于 轴，点A、点B在直线 上，线段AB的长为3，且点B（-2，-2）则点A的坐标为，点C（-5，2）到直线的距离是.
（2）已知△ABC的面积为8，点A（-1，3），B（3，3），点C的横坐标为2，则点C的坐标.
(完整版)整理好的平面直角坐标系找规律解析
平面直角坐标系找规律题型解析1、如图，正方形ABCD 的顶点分别为A(1,1) B(1，-1) C(-1，-1) D(-1，1)，y 轴上有一点P(0，2)。
作点P 关于点A 的对称点p1，作p1关于点B 的对称点p2，作点p2关于点C 的对称点p3，作p3关于点D 的对称点p4，作点p4关于点A 的对称点p5，作p5关于点B 的对称点p6┅，按如此操作下去，则点p2011的坐标是多少？解法1：对称点P1、P2、P3、P4每4个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点P1，P2，P3，P4组成。
第1周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)第2周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)第3周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)第n 周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)2011÷4=502…3，所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为（－2，0）解法2：根据题意，P1（2，0） P2（0，－2） P3（－2，0） P4（0，2）。
根据p1-pn 每四个一循环的规律，可以得出：P4n （0，2），P4n+1（2，0），P4n+2（0，－2），P4n+3（－2，0）。
2011÷4=502…3，所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为（－2，0）总结：此题是循环问题，关键是找出每几个一循环，及循环的起始点。
此题是每四个点一循环，起始点是p 点。
2、在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．（1）填写下列各点的坐标：A4（ ， ），A8（ ， ），A10（ ， ），A12（ ）；（2）写出点A4n 的坐标（n 是正整数）；（3）按此移动规律，若点Am 在x 轴上，请用含n 的代数式表示m （n 是正整数）（4）指出蚂蚁从点A2011到点A2012的移动方向．（5）指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向．（6）指出A106，A201的的坐标及方向。
点的坐标找规律题
点的坐标找规律题
问题描述
本题给出一组点的坐标，要求找出这组点的规律或者特征。
解决思路
要找出一组点的规律或者特征，可以尝试以下几种方法：
1. 绘制点的图形
将所有点的坐标在二维平面上绘制出来，观察是否有一定的几何形状或者分布模式。
通过观察图形，可以初步判断出点的规律。
2. 计算点的距离或者角度
对于一组点，可以计算点与点之间的距离或者角度，然后观察这些值之间是否存在一定的关系或者规律。
例如，可以计算点到原点的距离，点与点之间的距离之比等等。
3. 分析点的坐标数值
观察点的坐标数值，尤其是x轴和y轴之间的关系。
可以计算
点的坐标差值或者比值，看是否存在一定的数学关系，例如等差数列、等比数列等等。
4. 使用数学公式或者方程
根据点的坐标特征，可以尝试运用数学公式或者方程进行计算
和推导。
例如，可以使用线性方程、二次方程等来描述点的规律。
总结
通过上述方法的尝试和分析，可以找出一组点的规律或者特征。
在解决问题的过程中，可以结合不同的方法进行综合分析，以获得
更准确和全面的答案。
平面直角坐标系找规律技巧
平面直角坐标系找规律技巧
当我们在平面直角坐标系中寻找规律时，可以运用以下几种技巧：
1.观察坐标轴的刻度间隔：在坐标轴上的刻度间隔通常是相等的。
观
察坐标轴的刻度间隔可以帮助我们找到规律。
例如，如果我们在某轴上的
刻度间隔逐渐增加，则很可能是一个等差数列的规律。
2.寻找特殊点的坐标：在直角坐标系中，某些特殊点的坐标往往具有
特殊的规律。
例如，原点(0,0)是某轴和y轴的交点，通常具有特殊性质。
另外，对称点和轴对称图形的坐标也具有一定的规律性。
3.观察点的坐标之间的关系：在确定一系列点的规律时，观察点的坐
标之间的关系是很关键的。
例如，可以观察相邻两个点的某坐标或y坐标
之间的差值是否存在规律。
4.使用图形的性质：直角坐标系中的图形通常具有一些性质。
例如，
直线的斜率可以通过两点的坐标计算得到，而矩形的对角线互相垂直。
通
过利用图形的性质，可以更容易地找到规律。
5.使用代数方法：在直角坐标系中，可以使用代数方法来寻找规律。
例如，可以利用方程、函数和等式等代数方法，通过解方程组或代入法来
求解问题。
以上是在平面直角坐标系中找到规律的一些常用技巧。
当然，不同的
问题和情况可能需要采用不同的方法。
在寻找规律时，要灵活运用不同的
技巧，并结合具体问题来进行思考和分析。
通过不断思考和练习，我们可
以提高在平面直角坐标系中找到规律的能力。
坐标系中平行四边形顶点坐标规律
坐标系中平行四边形顶点坐标规律亲爱的朋友们，大家好！今天我要和大家聊一聊一个很有趣的问题，那就是在坐标系中如何找到平行四边形的顶点。
这个问题听起来可能有点复杂，但其实只要我们掌握了一些基本的规律和方法，就能轻松解决。
那么，让我们一起来探索一下这个有趣的话题吧！我们要明确一点，那就是在坐标系中，平行四边形是由四个点组成的。
这四个点分别是平行四边形的四个顶点，它们分别位于不同的行和列上。
为了方便起见，我们可以将这四个点分别用字母A、B、C和D表示。
接下来，我们要分析的是这些点的坐标规律。
我们可以观察到，这四个点的横坐标都是相等的。
也就是说，无论我们在坐标系中选择哪个点作为参考，其他三个点的横坐标都是相同的。
这是因为平行四边形的对边平行，所以它们的横坐标是相等的。
然后，我们再来看看这四个点的纵坐标。
同样地，这四个点的纵坐标也是相等的。
这是因为平行四边形的对角线互相平分，所以我们可以将每个角平分到两条对角线上，这样每个角上的点的纵坐标就是相等的。
现在我们已经找到了这四个点的坐标规律：横坐标相等，纵坐标相等。
那么，我们应该如何根据这些规律来确定平行四边形的顶点呢？其实，这个问题的答案很简单。
我们只需要在坐标系中画出一个平行四边形，然后根据上述规律来确定它的顶点就可以了。
具体来说，我们可以先确定一个顶点，比如点A。
然后，我们可以观察它与另外三个顶点的关系，通过计算可以得出第三个顶点的位置。
同样地，我们可以依次计算出第四个顶点的位置。
通过这种方法，我们就可以准确地确定出平行四边形的所有顶点了。
这个过程虽然看起来有些繁琐，但是只要我们熟练掌握了坐标系的规律，就能够轻松地解决这类问题。
总的来说，找到平行四边形的顶点并不难，关键在于我们需要掌握一些基本的数学规律。
只要我们按照上述方法进行操作，就能够准确地找出平行四边形的顶点位置。
希望大家能够通过这篇文章的学习，提高自己的数学能力，更好地应对各种复杂的问题！。
平面直角坐标系口诀
平面直角坐标系口诀平面直角坐标系口诀：坐标系要灵活建，依次分成四象限。
有序数对确定点，各点符号尤关键。
X轴Y轴上的点，纵横坐标各为0。
若点关于轴对称，X轴对称X不变。
Y轴对称Y不变，原点对称就都变。
一三象限角分线，横纵坐标值不变。
二四象限角分线，横纵坐标和为0。
平行X轴的直线，上面各点纵不变。
平行Y轴的直线，上面各点横不变。
图形平移位置变，形状大小恒粘连。
横坐标右加左减，纵坐标上加下减。
图形面积要多练，辅助线要及时添。
不在坐标轴的点，同时就作轴垂线。
规则图形和与差，任何图形都可验。
记住口诀真方便，时时刻刻心头念。
1 / 11 / 1。
双曲线坐标系找规律题型
双曲线坐标系找规律题型双曲线是数学中的一种重要曲线类型。
在双曲线坐标系中，我们可以通过观察双曲线的特征来找到规律，并进行相应的题型运算。
1. 描述双曲线的基本特征：双曲线是由两个分离的曲线极限形成的，其数学表达式通常为(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1。
其中，a和b分别控制了双曲线的形状。
2. 找规律题型：在双曲线坐标系中，我们可以根据给定的特征和信息，进行找规律题型的求解。
举例1:已知一双曲线的数学表达式为(x/4)^2 - (y/3)^2 = 1，我们需要找到该双曲线上满足条件的点的坐标。
根据双曲线的定义和数学表达式，我们可以看出，该双曲线的a值为4，b值为3。
根据特点，我们可以找到双曲线上满足条件的点的坐标为(-4, 0)和(4, 0)。
也就是说，在双曲线上的横坐标分别为-4和4的点，其纵坐标为0。
举例2:已知一双曲线的焦点坐标分别为(-2, 0)和(2, 0)，并且该双曲线经过点(0, 5)。
我们需要求解该双曲线的数学表达式。
根据焦点的特性，我们可以得出双曲线的a值为2。
根据该双曲线经过点(0, 5)，我们可以得到双曲线的b值为5。
根据数学表达式(x/2)^2 - (y/5)^2 = 1，我们可以得出该双曲线的数学表达式。
通过以上两个例子，我们可以看出，在双曲线坐标系中找规律题型的解决方法通常是根据已知条件和双曲线的数学表达式，求解出双曲线上的满足特定条件的点的坐标，或者根据已知点和双曲线的特征，求解出双曲线的数学表达式。
双曲线坐标系找规律题型具有一定的难度，需要对双曲线的定义和基本特征有较深的理解。
希望通过本文档，读者可以对双曲线坐标系找规律题型有一个初步的认识，并能够在实践中掌握相关的解题方法。
苏教版八年级数学上册坐标系中的找规律课后练习
坐标系中的找规律在平面直角坐标系xOy中，点A从原点出发沿x轴正向移动1个单位长度到A1，逆时针旋转90°后前进2个单位长度到达A2，逆时针旋转90°后前进3个单位长度到达A3，…，逆时针旋转90°后前进2013个单位长度到达点A2013，则A2013的坐标为．题一：如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（1，1），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，依此规律跳动下去，点A第100次跳动至点A100的坐标是．题二：如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2012次，点P依次落在点p1、p2、…p2012的位置，则点p2012的横坐标为．题三： 如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE ，其中C 、D 两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x 轴向右滚动，则滚动过程中，经过点（75，0）的是 （填A 、B 、C 、D 或E ）．题四： 如图，一个动点A 在平面直角坐标系中作折线运动，第一次从点（1，1）到A 1（0，1），第二次运动到A 2（3，1），第三次运动到A 3（8，1），第四次运动到A 4（15，1）…，按这样的运动规律，经过第13次运动后，动点A 13的坐标是 ．题五：如图，在一单位为1的方格纸上，△123A A A ，△345A A A ，△567A A A ，……，都是斜边在x 轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形．若△123A A A 的顶点坐标分别为1A (2，0)，2A (1，1)，3A (0，0)，则依图中所示规律，2012A 的坐标为 ．题六：如图，在平面直角坐标系中，B 1（0，1），B 2（0，3），B 3（0，6），B 4（0，10），…，以B 1B 2为对角线作第一个正方形A 1B 1C 1B 2，以B 2B 3为对角线作第二个正方形A 2B 2C 2B 3，以B 3B 4为对角线作第三个正方形A 3B 3C 3B 4，…，如果所作正方形的对角线B n B n +1都在y 轴上，且B n B n +1的长度依次增加1个单位，顶点A n 都在第一象限内（n ≥1，且n 为整数），A 8A 7A 6A 4A 2A 1A 5A 3xyO那么A1的纵坐标为，用n表示A n的纵坐标．题七：如图在直角坐标系中第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次又变换△OA2B2第三次变换成△OA3B3，已知：A（1，3）A1（2，3）A2（4，3）A3（8，3）；B（2，0）B1（4，0）B2（8，0）B3（16，0）（1）观察每次变化前后的三角形有何变化，找出其中的规律，按此变化规律变换成△0A4B4则点A4的坐标为，点B4的坐标为．（2）若按第（1）题中找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到的△OA n B n 推测点A n坐标为，点B n坐标为.题八：在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿y轴翻折，再向右平移两个单位称为一次变换，已知等腰△ABC的顶点A、B、C的坐标分别为（2，3）、（3，1）、（1，1）．把△ABC经过连续9次这样的变换得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是．题九：在平面直角坐标系中，规定把一个正方形先沿着x轴翻折，再向右平移2个单位称为1次变换．如图，已知正方形ABCD的顶点A、B的坐标分别是（1，1）、（3，1），把正方形ABCD经过连续7次这样的变换得到正方形A′B′C′D′，则B的对应点B′的坐标是．题十：物质A与物质B分别由点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是．题十一：如图，菱形ABCD的顶点分别在x轴或y轴上，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿菱形AB CD的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以3个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2013次相遇地点的坐标是.题十二：如图，坐标系中的长方形ABCD为大小可调节的弹子盘，4个角都有洞．弹子从A出发，路线与边成45°角，撞到边界即反弹．当AB=4，AD=3时，弹子最后落入B洞．若AB=5，AD=4时，弹子在落入洞之前，撞击BC 边的次数次和最后落入的洞口为洞.题十三：如图，一个动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向作折线运动，即第一次从原点运动到（1，1），第二次从（1，1）运动到（2，0），第三次从（2，0）运动到（3，2），第四次从（3，2）运动到（4，0），第五次从（4，0）运动到（5，1），…，按这样的运动规律，经过第2013次运动后，动点P的坐标是．坐标系中的找规律课后练习参考答案题一：（1007，1006）．详解：如图所示：∵A1（1，0），A2（1，2），A3（2，2），A4（2，2），A5（3，2），A6（3，4），A7（4，4），A8（4，4），A9（5，4），A10（5，6），A11（6，6）…∴各点横坐标每两个为一组变化，偶数为负，奇数为正，纵坐标从第2个点开始，每四个为一组分别为：2，2，2，2；4，4，4，4；6，6，6，6…∵（2013+1）÷2=1007，∴A2013的横坐标为：1007，∵20131=2012，2012÷4=503，∴A2013的纵坐标为：第503组的最后一个，即503×2= 1006，∴A2013（1007，1006）．题二：（51，50）．详解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），第4次跳动至点的坐标是（3，2），第6次跳动至点的坐标是（4，3），第8次跳动至点的坐标是（5，4），…第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），∴第100次跳动至点的坐标是（51，50）．题三：2011．详解：观察图形结合翻转的方法可以得出P1、P2的横坐标是1，P3的横坐标是2.5，P4、P5的横坐标是4，P6的横坐标是5.5…依此类推下去，P2005、P2006的横坐标是2005，P2007的横坐标是2006.5，P2008、P2009的横坐标就是2008，P2010的横坐标是2009.5，P2011、P2012的横坐标为2011．题四：B．详解：∵C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．∴按题中滚动方法点E经过点（3，0），点A经过点（4，0），点B经过点（5，0），∵点（75，0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，∴可知经过（5，0）的点经过（75，0），∴点B经过点（75，0）．故答案为：B．题五：（168，1）.详解：∵A1（0，1），第二次运动到A2（3，1），第三次运动到A3（8，1），第四次运动到A4（15，1）…，∴横坐标为：0=121，3=221，8=321，15=421…纵坐标为：1，1，1，1…变化，则第奇数个为正数，第偶数个为负数，∴按这样的运动规律，经过第13次运动后，动点A13的横坐标为：1321=168，纵坐标为：1，故动点A13的坐标是（168，1）．题六：（2，1006）．详解：根据画出图像可找到规律，下标为4n(n为非负整数)的点横坐标为2，纵坐标为2n，则2012A的坐标为（2，1006）．2，()2 12n+．详解：作A1D⊥y轴于点D，则B1D=B1B2÷2=（31）÷2=1，∴A1的纵坐标=B1D+B1O=1+1=()2112+=2，同理可得A2的纵坐标=OB2+（B2B3）÷2=3+（63）÷2=()2122+=4.5，∴An的纵坐标为()2 12n+．（1）A4的坐标为（16，3），B4的坐标为（32，0）；（2）点An坐标为：（（1）n•2n，（1）n•3），点Bn的坐标为：（（1）n•2n+1，0）．详解：（1）如图，∵A（1，3）A1（2，3）A2（4，3）A3（8，3），∴点A4的坐标为（16，3）；∵B（2，0）B1（4，0）B2（8，0）B3（16，0），∴点B4的坐标为（32，0）；（2）根据点A的坐标每变化一次，纵坐标的长度不变，但奇数次变化为负数，偶数次变化为正数，横坐标的长度变为上一次的2倍，奇数次变化是负数，偶数次变化是正数；点B的坐标的长度每变化一次横坐标的变为上一次的2倍，奇数次变化为负数，偶数次变化为正数，纵坐标都是0，然后写出即可. 点An坐标为：（（1）n•2n，（1）n•3），点Bn的坐标为：（（1）n•2n+1，0）．（4，3）．详解：∵等腰△ABC的顶点A、B、C的坐标分别为（2，3）、（3，1）、（1，1），∴根据题意得：第1次变换后的点A的对应点的坐标为（2+2，3），即（4，3），第2次变换后的点A的对应点的坐标为（4+2，3），即（2，3），与第1次变换前的点A坐标相同，∴第n次变换后的点A的对应点的为：当n为奇数时为（4，3），当n 为偶数时为（2，3），∴把△ABC经过连续9次这样的变换得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是：（4，3）．（11，1）．详解：∵正方形ABCD，点A、B 的坐标分别是（1，1）、（3，1），∴根据题意得：第1次变换后的点B 的对应点的坐标为（3+2，1），即（1，1），第2次变换后的点B的对应点的坐标为：（1+2，1），即（1，1），第3次变换后的点B的对应点的坐标为（1+2，1），即（3，1），第n次变换后的点B的对应点的为：当n为奇数时为（2n3，1），当n为偶数时为（2n3，1），∴把正方形ABCD经过连续7次这样的变换得到正方形A′B′C′D′，则点B的对应点B′的坐标是：（11，1）．点的坐标是（43，2）．详解：正方形的边长为4，因为物质B是物质A的速度的2倍，时间相同，物质A与物质B的路程比为1：2，由题意知：①第一次相遇物质A与物质B行的路程和为16×1，物质A行的路程为16×116=123+，物质B行的路程为16×232=123+，在BC边相遇；②第二次相遇物质A 与物质B 行的路程和为16×2，物质A 行的路程为16×2×132=123+，物质B 行的路程为16×2×264=123+，在DE 边相遇；③第三次相遇物质A 与物质B 行的路程和为16×3，物质A 行的路程为16×3×1=1612+，物质B 行的路程为16×3×2=3212+，在A 点相遇；④第四次相遇物质A 与物质B 行的路程和为16×4，物质A 行的路程为16×4×164=123+，物质B 行的路程为16×4×2128=123+，在BC 边相遇；⑤第五次相遇物质A 与物质B 行的路程和为16×5，物质A 行的路程为16×5×280=123+，物质B 行的路程为16×5×2160=123+，在DE 边相遇；…综上可得相遇三次一个循环，因为11=3×3+2，即第11次相遇和第二次相遇的地点相同，所以它们第11次相遇在边DE 上，点的坐标是 （43，2）．（0，1）.详解：菱形的边长2212+53倍，时间相同，物体甲是物体乙的路程比为1：3，由题意知：①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为5，物体甲行的路程为5145物体乙行的路程为5345B 点相遇；②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为45，物体甲行的路程为5145物体乙行的路程为5345C点相遇；③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为5，物体甲行的路程为5145物体乙行的路程为5345D点相遇；④第四次相遇物体甲与物体乙行的路程和为5，物体甲行的路程为5145物体乙行的路程为5345A点相遇；⑤第五次相遇物体甲与物体乙行的路程和为5，物体甲行的路程为5145物体乙行的路程为5345B点相遇；…∵2013=4×503+1，∴它们第2013次相遇是在B点，B点坐标为（0，1）．撞击BC边的次数为2，落入的洞为D．详解：根据当AB=4，AD=3时的例图及弹子的运行规律：每一条运行轨迹都是一个正方形的对角线，所以若AB=5，AD=4时，如图所示，弹子在落入洞之前，撞击BC边的次数为2，落入的洞为D．题七：（2013，1）详解：∵第一次从原点运动到（1，1），第二次从（1，1）运动到（2，0），第三次从（2，0）运动到（3，2），次从（3，2）运动到（4，0），第五次从（4，0）运动到（5，1），…，∴按这样的运动规律，第几次横坐标即为几，纵坐标为：1，0，2，0，1，0，2，0…4个一循环，∵20134=503…1，∴经过第2013次运动后，动点P的坐标是：（2013，1）．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y ＝kx ＋b 的大致图象可能是（ ）9．(安顺中考)若一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，则一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k 、b 是一元二次方程(2x ＋1)(3x －1)＝0的两个根，且k ＞b ，则函数y ＝kx ＋b 的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y ＝(5－m 2)x 和关于x 的一元二次方程(m ＋1)x 2＋mx ＋1＝0中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是 ．12．(甘孜州中考)若函数y ＝－kx ＋2k ＋2与y ＝kx (k ≠0)的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ． .◆类型三 一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＞52B ．m ≤52且m ≠2C．m≥3 D．m≤3且m≠214．(包头中考)已知关于x的一元二次方程x2＋k－1x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x、y，根据题意得x＋y＝8，所以矩形的周长为2(x＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k－1)2－4(k2＋3)>0，即－4k－11>0，∴k<－114，令其两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝1－2k，x1·x2＝k2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x21＋x22＝52，∴(x1＋x2)2－2x1·x2＝25，∴(1－2k)2－2(k2＋3)＝25，∴k2－2k－15＝0，∴k1＝5，k2＝－3，∵k<－114，∴k＝－3, ∴把k＝－3代入原方程得到x2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m＜0，∴m＜－1，∴m＋1＜1－1，即m＋1＜0，m－1＜－1－1，即m－1＜－2，∴一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k≠013．B 14.k≥1。
初一数学坐标点找规律问题总结
在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动每次移动1个单位其行走路线如下图所示（1）填写下列各点的坐标：A 4（ ， ），A 8（ ， ），A 12（ ， ）； （2）写出点A 4n 的坐标（n 是正整数）； （3）指出蚂蚁从点A 100到点A 101的移动方向如图2，已知A l (1，0)、A 2(1，1)、A 3(－1，1)、A 4(－1，－1)、A 5(2，－1)、….则点A 2007的坐标为________.解析：依题意，得第一象限里的点分别是A 2、A 6、A 10、…，第二象限里的点分别是A 3、A 7、A 11、…，第三象限里的点分别是A 4、A 8、A 12、…，第四象限里的点分别是A 5、A 9、A 13、…，由此可见点A 2007是在第二象限内，而第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，且绝对值相等，并且由观察、推理、归纳得到A 3(－1，1)、A 7(－2，2)、A 11(－3，3)、…，因为2007＝501…3，所以点A 2007的坐标应该是(－502，502).提示：求解本题时要于归纳、猜想、验证，从中找到点坐标的规律，从而使问题获解.例10、在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点，设坐标轴的单位长度为1cm ，整点P 从原点O 出发，速度为1cm/s ，且整点P 作向上或向右运动（如图1所示.根据上表中的规律,回答下列问题:(1)当整点P 从点O 出发4s 时,可以得到的整点的个数为________个.(2)当整点P 从点O 出发8s 时,在直角坐标系中描出可以得到的所有整点,并顺次连结这些整点.(3)当整点P 从点O 出发____s 时,可以得到整点(16,4)的位置.O1 A 1A 2A 3 A 4 A 5A 6A 7 A 8 A 9A 10A 11 A 12 A 12xy图1 图2解析：本题为阅读型规律探索题，解决问题时需要认真阅读题意，即可根据题意写出整点的可能位置和坐标确定整点的个数，也可以通过表格发现出发时间与整点坐标以及整点P 的个数之间的规律，通过规律解决问题. 解：（1）根据表格中的规律可知，当点P 从点O 出发4s 时，可的到整点P 的坐标为(0,4)(1,3),(2,2)(3,1)(4,0),共5个. (2)如图2所示.(3).从表格规律可得当整点P 从原点0出发的时间为n(s)时,可得整点P 的坐标为(x,y),则x ＋y ＝n,因为16＋4＝20,所以当整点P 从点O 出发20s 时,可到达整点(16,4)的位置.如图6，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“ ”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根据这个规律探究可得，第100个点的坐标为 ．图7如图7，我们给中国象棋棋盘建立一个平面直角坐标系（每小正方形的边长均为1），根据象棋中“马”走“日”的规定，若“马”的位置在图中的点P ．写出下一步“马”可能到达的点的坐标 ； 6、（14，8）；7、（0，0），（0，2），（1，3），（3，3），（4，2），（4，0）任填一个；如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ，CD ．x 图6(1)求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积ABDC S 四边形(2)在y 轴上是否存在一点P ，连接PA ，PB ，使PAB S ∆＝ABDC S 四边形，若存在这样一点，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由．(3)点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC ，PO ，当点P 在BD 上移动时（不与B ，D 重合）给出下列结论：①DCP BOP CPO ∠+∠∠的值不变，②DCP CPOBOP∠+∠∠的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…12A 3，A 4，…表示，则顶点A 55的坐标是（ ） 一个质点在第一象限及x 轴、y 轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，且每秒移动一个单位，那么第2008秒时质点所在位置的坐标是（ ）。
直角坐标系找规律题型
直角坐标系找规律题型通常会给出一些坐标点或图形，要求我们根据这些已知信息来找出它们之间的规律，并预测出其他坐标点或图形的位置。
下面是一个例子：
已知以下三个点在同一直线上：A(1,2)，B(3,4)，C(5,6)。
试根据这个规律，预测点D、E和F的位置。
解决这个问题需要观察已知的点，找出它们之间的共性和规律。
观察A、B和C三个点，我们可以发现它们的横坐标和纵坐标都各自增加了2，即每次增加2个单位。
因此，我们可以得出以下规律：
-每个点的横坐标比前一个点的横坐标增加2个单位。
-每个点的纵坐标比前一个点的纵坐标增加2个单位。
根据这个规律，我们可以预测出D、E和F的位置：
-点D的横坐标应该为7，纵坐标应该为8，因此D的坐标为(7,8)。
-点E的横坐标应该为9，纵坐标应该为10，因此E的坐标为(9,10)。
-点F的横坐标应该为11，纵坐标应该为12，因此F的坐标为(11,12)。
因此，根据已知的三个点的规律，我们成功地预测出了点D、E和F 的位置。
专题 和坐标有关的规律性问题
（专题）和坐标有关的规律性问题【方法梳理】“2＋4”（1）：“2”－－两种规律①“周期性规律”－－计算直到找到周期数为止，再找变化规律；②“渐变性规律”－－般计算前三个，从中找到变化规律；（2）“4”－－四个解题注意①求什么找什么的规律；②变化规律最好用算式而不是得数表示；③找算式中数字与序号间的变化规律；④找坐标的变化规律，分两步进行：先找位置规律再找数字规律（点的坐标题型首先用这一条）；类型1周期性规律例题1．在平面直角坐标系中，对于点P(x，y)，我们把点P′(－y＋1，x＋1)叫做点P的幸运点．已知点A1的幸运点为A2，点A2的幸运点为A3，点A3的幸运点为A4，……，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An．若点A1的坐标为(3，1)，则点A2020的坐标为（）A．(-3，1)B．(0，-2)C．(3，1)D．(0，4)变式12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A−2,0,B1,2,C1,−2．已知N−1,0，作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C的对称点N3点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，…，依此类推，则点N2020的坐标为（）A．−1,8B．−3,−8C．−3,0D．（5，4）变式23．如图，边长为4的等边△ABC，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为边作等边△OBA1，边OA1与AB交于点O1，以O1B为边作等边△O1BA2，边O1A2与A1B交于点O2，以O2B为边作等边△O2BA3，边O2A3与A2B交于点O3，⋯，依此规律继续作等边△O n−1BA n，则A2021的横坐标________．变式34．如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn，点P2020的坐标是__．类型2渐变性规律例题5．如图，已知A1（0，1），A2−1），A3（−12），A4（0，2），A5（3，−1），A6（−3，−1），A72（0，3），A8−3），A9（−−32），…，则点A2010的坐标是______．2例题26．如图，已知A1(1，0)，A2(1，1)，A3(-1，1)，A4(-1，-1)，A5(2，-1)…，则A2021的坐标是________.变式17．在平面直角坐标系中，若干个半径为1个单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O个单位长度/出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，点在直线上的速度为1个单位长度/秒，点在弧线上的速度为π3秒，则2021秒时，点P的坐标是（）A．（2021，3）B．(20212C．(2021,−D．（2021，0）2变式28．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如下图所示．那么点A2020的坐标是________．变式39．如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点M，顶点A，B，C的坐标分别为1,3，1,1，3,1，规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2020次变换后，点M的坐标变为_________．变式410．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的顶点A、C分别在x，y轴上，且AO=1．将正方形OABC绕原点O顺时针旋转90°，且A1O=2AO，得到正方形OA1B1C1，再将正方OA1B1C1绕原点O顺时针旋转90∘，且A2O=2A1O，得到正方形OA2B2C2，以此规律，得到正方形OA2019B2019C2019，则点B2019的坐标为__________．变式511．已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O．以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，．．．．．．，A n，则点A n的坐标为________．变式612．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3，…分别在直线y=1x+b和x轴上．直线3y=1x+b与x轴交于点M，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果点A11,1，那么3点A2019的纵坐标是________．变式713．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，点A11,3．作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n A2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是________．变式814．如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形变换成三角形OA3B3，已知A1,3，A12,3，A24,3，A38,3，B2,0，B14,0，B28,0，B316,0．（1）观察每次变换前后的三角形，找出规律，按这些变换规律将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4，求A4和B4的坐标；（2）若按第（1）题的规律将三角形OAB进行了n次变换，得到三角形OA n B n，请推测A n和B n的坐标．谢谢观看。
平面直角坐标系口诀
平面直角坐标系口诀平面直角坐标系口诀：坐标系要灵活建，依次分成四象限。
有序数对确定点，各点符号尤关键。
X轴Y轴上的点，纵横坐标各为0。
若点关于轴对称，X轴对称X不变。
Y轴对称Y不变，原点对称就都变。
一三象限角分线，横纵坐标值不变。
二四象限角分线，横纵坐标和为0。
平行X轴的直线，上面各点纵不变。
平行Y轴的直线，上面各点横不变。
图形平移位置变，形状大小恒粘连。
横坐标右加左减，纵坐标上加下减。
图形面积要多练，辅助线要及时添。
不在坐标轴的点，同时就作轴垂线。
规则图形和与差，任何图形都可验。
记住口诀真方便，时时刻刻心头念。
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1．如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB 中，作内接正方形A 1B 1C 1D 1；在等腰直角三角形OA 1B 1中，作内接正方形A 2B 2C 2D 2；在等腰直角三角形OA 2B 2中，作内接正方形A 3B 3C 3D 3；……；依次作下去，则第n 个正方形A n B n C n D n 的边长是【 】（A ）n 113- （B ）n 13 （C ）n 113+ （D ）n 213+ 2．如图，已知直线l ：x y 33=，过点A （0，1）作y 轴的垂线 交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过 点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；…；按此作法继续下去，则点A 4的坐标为 A.（0，64） B.（0，128） C.（0，256） D.（0，512）3．在平面直角坐标系中，直线l ：y=x+1交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点A 1、A 2、A 3，…在x 轴上，点B 1、B 2、B 3，…在直线l 上．若△OB 1A 1，△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…均为等边三角形，则△A 5B 6A 6的周长是（ ）A ．B ．C ．D ．4． 在平面直角坐标系xOy 中，点A 1，A 2，A 3，···和B 1，B 2，B 3，···分别在直线y=kx+b 和x 轴上．△OA 1B 1，△B 1A 2B 2，△B 2A 3B 3，…都是等腰直角三角形，如果A 1（1，1），A 27322⎛⎫⎪⎝⎭，，那么点n A 的纵坐标是 ．5．如图，△ABC 的周长是32，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成的第3个三角形，…，则第n 个三角形的周长为 ．6．含60°角的菱形A 1B 1C 1B 2，A 2B 2 C 2B 3，A 3B 3C 3B 4，…，按如图的方式放置在平面直角坐标系xOy 中，点A 1，A 2，A 3，…，和点B 1，B 2，B 3，B 4，…，分别在直线y=kx 和x 轴上．已知B 1（2，0），B 2（4，0），则点A 1的坐标是 ；点A 3的坐标是 ；点A n 的坐标是 （n 为正整数）．7．如图放置的△OAB 1，△B 1A 1B 2，△B 2A 2B 3，…都是边长为2的等边三角形，边AO 在y 轴上，点B 1，B 2，B 3，…都在直线y=33x 上，则A 2014的坐标是 ．8．矩形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图10所示放置．点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y kx b =+(k ＞0)和x 轴上，若点B 1(1，2)，B 2(3，4)，则B n 的坐标是_ ．yxO C 1 B 2 A 2 C 3B 1A 3B 3A 1 C 2图8参考答案 1．B 。
【解析】寻找规律：∵等腰直角三角形OAB 中，∠A=∠B=450， ∴△AA 1C 1和△BB 1D 1都是等腰直角三角形。
∴AC 1=A 1C 1，BD 1=B 1D 1。
又∵正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1=C 1D 1=B 1D 1=A 1B 1，∴AC 1=C 1D 1=D 1B 。
又∵AB=1，∴C 1D 1=13，即正方形A 1B 1C 1D 1的边长为13。
同理，正方形A 2B 2C 2D 2的边长为213，正方形A 3B 3C 3D 3的边长为313，……正方形A n B n C n D n 的边长为n13。
故选B 。
2．C. 【解析】试题分析：∵直线l 的解析式为；y=33x ， ∴l 与x 轴的夹角为30°， ∵AB ∥x 轴， ∴∠ABO=30°， ∵OA=1， ∴OB=2， ∴AB=3，∵A 1B ⊥l ，∴∠ABA 1=60°， ∴A 1O=4， ∴A 1（0，4），同理可得A 2（0，16）， …∴A 4纵坐标为44=256， ∴A 4（0，256）． 故选C ．考点：一次函数综合题． 3．C 【解析】首先求得点A 与B 的坐标，即可求得∠OAB 的度���，又由△OA 1B 1、△A 1B 2A 2、△A 2B 3A 3…均为等边三角形，易求得OB 1=OA=，A 1B 1=A 1A ，A 2B 2=A 2A ，则可得规律：OA n =（2n﹣1）．根据A 5A 6=OA 6﹣OA 5求得△A 5B 6A 6的边长，进而求得周长．解：∵直线l 的解析式为y=x+1且交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，∴点A （﹣，0），点B （0，1），∴OA=，OB=1，∴tan ∠OAB=，∴∠OAB=30°，∵△OA 1B 1、△A 1B 2A 2、△A 2B 3A 3…均为等边三角形， ∴∠A 1OB 1=∠A 2A 1B 2=∠A 3A 2B 3=60°，∴∠OB 1A=∠A 1B 2A=∠A 2B 3A=∠OAB=30°， ∴OB 1=OA=，A 1B 2=A 1A ，A 2B 3=A 2A ， ∴OA 1=OB 1=，OA 2=OA 1+A 1A 2=OA 1+A 1B 2=+2=3， 同理：OA 3=7，OA 4=15，OA 5=31，OA 6=63，则A 5A 6=OA 6﹣OA 5=32． 则△A 5B 6A 6的周长是96， 故选C ．4．n 132-（）。
【解析】利用待定系数法求一次函数解析式求出直线的解析式，再求出直线与x 轴、y 轴的交点坐标，求出直线与x 轴的夹角的正切值，分别过等腰直角三角形的直角顶点向x 轴作垂线，然后根据等腰直角三角形斜边上的高线与中线重合并且等于斜边的一半，利用正切值列式依次求出三角形的斜边上的高线，即可得到各点的纵坐标的规律：∵A 1（1，1），A 27322⎛⎫⎪⎝⎭ ，在直线y=kx+b 上， ∴ k b 1 73 k b 22+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，解得1 k 54b 5⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。
∴直线解析式为14y x 55=+。
如图，设直线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为A 、D 。
当x=0时，y=45，当y=0时，14x 055+=，解得x=－4。
∴点A 、D 的坐标分别为A （－4，0 ），D （0，45）。
∴4DO 15tan DAO AO 45∠===。
作A 1C 1⊥x 轴与点C 1，A 2C 2⊥x 轴与点C 2，A 3C 3⊥x 轴与点C 3，∵A 1（1，1），A 27322⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∴OB 2=OB 1+B 1B 2=2×1+2×32=2+3=5，3333323A C A C 1tan DAO AC 45B C 5∠===++。
∵△B 2A 3B 3是等腰直角三角形，∴A 3C 3=B 2C 3。
∴23393A C 42==（）。
同理可求，第四个等腰直角三角形344273A C 82==（）。
依次类推，点An 的纵坐标是n 132-（）。
5．6n 2-。
【解析】寻找规律：由已知△ABC 的周长是32，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，根据三角形中位线定理，第2个三角形的周长为32×12； 同理，第3个三角形的周长为32×12×12=32×212⎛⎫⎪⎝⎭；第4个三角形的周长为32×212⎛⎫ ⎪⎝⎭×12=32×312⎛⎫⎪⎝⎭；…∴第n 个三角形的周长为=32×n 151n 6n 1=22=22---⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭。
6．（3，），（9，3），（3n ，n ）． 【解析】试题分析：利用菱形的性质得出△A 1B 1B 2是等边三角形，进而得出A 1坐标，进而得出OB 2=A 2B 2=4，即可得出A 3，A n 的坐标． 过点A 1作A 1D ⊥x 轴于点D ，∵含60°角的菱形A 1B 1C 1B 2，A 2B 2 C 2B 3，A 3B 3C 3B 4，…， ∴∠A 1B 1D=60°，A 1B 1=A 1B 2， ∴△A 1B 1B 2是等边三角形， ∵B 1（2，0），B 2（4，0）， ∴A 1B 1=B 1B 2=2，∴B 1D=1，A 1D=，∴OD=3， 则A 1（3，）， ∴tan ∠A 1OD=，∴∠A 1OD=30°，∴OB2=A2B2=4，同理可得出：A2（6，2），则A3（9，3），则点A n的坐标是：（3n，n）．故答案为：（3，），（9，3），（3n，n）．考点：1.菱形的性质；2.一次函数图象上点的坐标特征．7．（20143，2016）.【解析】试题分析：根据题意得出直线AA1的解析式为：y=33x+2，进而得出A，A1，A2，A3坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．试题解析：过B1向x轴作垂线B1C，垂足为C，由题意可得：A（0，2），AO∥A1B1，∠B1OC=30°，∴CO=OB1cos30°=3，∴B1的横坐标为：3，则A1的横坐标为：3，连接AA1，可知所有三角形顶点都在直线AA1上，∵点B1，B2，B3，…都在直线y=33x上，AO=2，∴直线AA1的解析式为：y=33x+2，∴y=33×3+2=3，∴A1（3，3），同理可得出：A2的横坐标为：23，∴y=33×23+2=4，∴A2（23，4），∴A3（33，5），…A 2014（20143，2016）．【考点】1.一次函数图象上点的坐标特征；2.等边三角形的性质． 8．)2,2(1n n 【解析】∵B 1的坐标为（1，2），点B 2的坐标为（3，4），∴正方形A 1B 1C 1O 1边长为1，正方形A 2B 2C 2C 1边长为2， ∴A 1的坐标是（0，1），A 2的坐标是：（1，2），代入y=kx+b 得，解得：．则直线的解析式是：y=x+1．∵A 1B 1=1，点B 2的坐标为（3，4），∴A 1的纵坐标是：1=20，A 1的横坐标是：0=20﹣1，∴A 2的纵坐标是：1+1=21，A 2的横坐标是：1=21﹣1，∴A 3的纵坐标是：2+2=4=22，A 3的横坐标是：1+2=3=22﹣1，∴A 4的纵坐标是：4+4=8=23，A 4的横坐标是：1+2+4=7=23﹣1，据此可以得到A n 的纵坐标是：2n ﹣1，横坐标是：2n ﹣1﹣1．故点A n 的坐标为 （2n ﹣1﹣1，2n ﹣1）． ∵点B 1的坐标为（1，2），点B 2的坐标为（3，4）， ∴点B 3的坐标为（4，8），∴Bn 的横坐标是：2n ﹣1，纵坐标是：2n．则B n 的坐标是（2n ﹣1,2n）。