波动方程解的Poisson公式的降维问题
波动方程初值问题与行波法
1 x at 1 u d 2 2a x at 1
1 arctan( x at ) arctan( x at ) 2a
例4： 求二阶线性偏微分方程初值问题的解
uxx 2uxy 3u yy 0 2 u | 3 x , u y | y 0 0 y0
2 F 3 x G x 3 x F ' 3 x G ' x 0
1 F 3x G x C 3
9 2 F 3x x C ' 4 G x 3 x 2 C ' 4
P( x, t )
依赖区间
x at
x at
x
区间 [ x at , x at ] 为解的依赖区间。
2.决定区域 该区域中任一点(x, t )的依 赖区间都落在区间[c, d]内 部，因此解在此该区域中的 数值完全由区间[c, d]上的 初始条件决定。
t
x c at
x d at
例5 求二阶线性偏微分方程的通解
uxx 2sin xuxy cos xuyy 0.
2
解：特征方程为
dy
2
2sin xdxdy cos x dx 0
2 2
dy dy 1 sin x 1 sin x 0 dx dx
G(x-at)=G(x0+at-at)=G(x0)
u2 G ( x ) ( t 0)
O
at
u2 G ( x at ) ( t t0 )
x0
x x0 at
x
u1 F ( x at )
Poincare不等式在Poisson方程弱解中的应用
Poincare不等式在Poisson方程弱解中的应用引言：Poincare不等式是数学中一个非常重要的不等式，它在解析几何、微分方程、概率论等领域有着广泛的应用。
本文将重点讨论Poincare不等式在Poisson方程的弱解中的应用。
Poisson方程是数学中常见的偏微分方程之一，它在物理学、工程学、地质学等领域有着重要的应用。
Poisson方程的解在实际问题中往往不易求得，因此需要借助一些数学工具来分析和解决。
Poincare不等式就是其中一个重要的工具，它可以帮助我们更好地理解和处理Poisson方程的弱解问题。
一、Poincare不等式的基本形式首先我们来回顾一下Poincare不等式的基本形式。
假设Ω是一个有界开区域，如果u(x)在Ω上的梯度有界且在Ω的边界上为零，即|∇u(x)|在Ω上有界且u(x)=0，那么Poincare不等式表示成：∫_Ω▒〖|u(x)|^2 d⁰x≤C ∫_Ω▒|∇u(x)|^2 d⁰x 〗其中C是一个与Ω和u(x)有关的常数。
这个不等式的意义在于，它告诉我们梯度有界的函数在Ω上的积分与函数的平方在Ω上的积分之间有一个关系，这个关系是通过常数C 来联系的。
这个不等式在分析几何和偏微分方程领域有着广泛的应用，特别是在处理Poisson方程的弱解问题时非常有用。
二、Poisson方程的弱解Poisson方程的弱解是指满足一定条件的解，这种解并不是在经典意义上的解，而是在广义意义上的解。
Poisson方程的一般形式可以写成：▽·(▽u)=f(x)其中f(x)是已知函数，u(x)是待求函数。
Poisson方程的弱解问题是指寻找一个函数u(x)，使得对于任意的测试函数φ(x)都有：这里φ(x)是满足一定条件的待定函数，Ω是定义域。
Poisson方程的弱解问题与Poincare不等式之间有着密切的联系，Poincare不等式为我们提供了分析Poisson方程弱解的有效工具。
波动方程与热传导方程的解法
波动方程与热传导方程的解法波动方程与热传导方程是物理学中常见的偏微分方程，它们描述了波动和热传导的过程。
在实际问题中，解这两个方程可以帮助我们了解和预测物理现象，例如声波传播、电磁波传播和热量传导等。
本文将介绍波动方程和热传导方程的解法及其应用。
一、波动方程的解法波动方程描述了波的传播和干涉。
通常表示为：∂²u/∂t² = v²∇²u其中，u代表波的振幅，t代表时间，v代表波速，∇²u是u的拉普拉斯算子。
1. 分离变量法分离变量法是求解偏微分方程的常用方法。
对于波动方程，我们可以假设u(x, t)的解为u(x, t) = X(x)T(t)，其中X(x)和T(t)是仅与x和t相关的函数。
将u(x, t)的表达式带入波动方程，我们可以得到两个关于X(x)和T(t)的普通微分方程。
通过求解这两个方程，我们可以得到波动方程的解。
2. 傅里叶变换法傅里叶变换法也是求解偏微分方程的重要方法。
通过将波动方程进行傅里叶变换，我们可以将其变换为关于频率和空间变量的代数方程，进而求解得到波动方程的解。
二、热传导方程的解法热传导方程描述了热量在物质中的传导过程。
通常表示为：∂u/∂t = α∇²u其中，u代表温度分布，t代表时间，α代表热扩散系数，∇²u是u 的拉普拉斯算子。
1. 分离变量法与波动方程类似，热传导方程也可以通过分离变量法求解。
我们可以假设u(x, t)的解为u(x, t) = X(x)T(t)，其中X(x)和T(t)是只与x和t有关的函数。
将u(x, t)的表达式带入热传导方程，我们可以得到两个关于X(x)和T(t)的普通微分方程。
通过求解这两个方程，我们可以得到热传导方程的解。
2. 球坐标系或柱坐标系下的解法对于具有球对称性或柱对称性的问题，我们可以将热传导方程转换为径向方程和角向方程，并通过求解这些方程得到热传导方程的解。
三、波动方程和热传导方程的应用波动方程和热传导方程广泛应用于物理学、工程学和其他领域中。
波动方程多种解法探究
波动方程多种解法探究波动方程是物理系统的重要方程之一，有多种解法可供探究。
1. 动量守恒冲击法：这是物理学家狄拉克和贝克尔所提出的一种方法，该方法基于简谐运动原理，用来求解非线性的一维及多维波动方程。
在波动方程中，动量守恒冲击法能够有效的求解多个离散点的动力学，尤其是在陆地的穿透问题中尤为有用。
2. 理想化平均方法：理想化平均法是物理学家马尔科夫提出来求解边界值问题的一种方法，是由波动方程演化出来的一种折中形式。
这种方法可以用于保证空间均一，对于非线性的一维及多维波动方程，理想化平均法能够有效求解波动过程中各空间点上变量的动力学行为。
3. 多重射线技术：多重射线法是一种新兴的数值求解方法，它可用来解决一维及多维的波动方程。
该方法的基本思想是发射多条射线，采用递推的方式，根据已知解法对每一条射线中的每一点进行迭代更新。
多重射线技术很容易改变，能够有效的计算多维波动中的分布状况。
4. 对流–扩散技术：对流–扩散法可以将波动方程分解为两个独立的方程，即对流方程和扩散方程。
此外，它的空间分解技术能够有效的消除中间变量的影响，使得波动方程的解能更准确地反映实际情况，同时还能减少计算时间。
5. 高斯—约当技术：高斯—约当技术被认为是一种有效的数值求解方法，能够有效的处理多维非线性波动方程，特别是在涉及变量和波动尺度较大时，该技术可以实现较高效率的求解。
此外，使用高斯—约当技术可以对系统进行结构性分析，更易于理解系统本身的特性。
总之，上述技术虽然各有特点，但主要用于解决波动方程。
掌握了这些技术，可以用来仔细研究波动过程的物理现象，有助于更好的理解波动动力学及相关物理系统情况。
波动方程的达朗贝尔公式
在上面的讨论中,我们看到了( x,t )平面上的直线 x ± at = c
(常数)对波动方程的研究起着重要的作用,它们称为波动 方程的特征线.
最后我们指出,在求解二阶方程线性常微分方程时,通 解中包含两个任意常数,因此,只须两个定解条件,就能完全 从中确定一个特解.
而今对于线性偏微分方程,比如对弦振动方程,在求得 达氏解,只用了两个定解条件,即两个初始条件,而在求的付 氏解时则又添了两个边界条件,一共用了四个边界条件.
那末,对于一个偏微分方程究竟要多少个定解条件,就 恰好(不多不少)能够从中确定一个特解呢?这一个问题没有 固定的答案.
这个事实,说明偏微分方程的定解问题比常微分方程要 复杂的多.
2.三维波动方程Cauchy问题的 Poisson公式
现在考察三维波动方程的初值问题
( ) ⎧⎪⎪⎨uut(t
= x,
a2Δu = a2
=
x+at)
+ϕ(
x-at)
2
给出.
为了简单起见,假设
⎧0
⎪
ϕ
(
x)
=
⎪⎪2 ⎨ ⎪⎪2
+ −
2x
α
2x
α
⎪⎩0
( x < −α ) (−α ≤ x ≤ 0)
(0 ≤ x ≤α) (x >α)
也就是说,初始位移是区间 [−α,α ] 上的一个等腰三角形.
图1给出了这个弦每经过时间
α
后的相对位移.
4a
0
y
x
u(M,t)
=
u ( x,
y, z,t)
=
∂ ∂t
⎡t
⎢⎣ 4π a2t2
第三章波动方程
0
wt (t, x; τ )dτ,
于是，再利用(1.4)可知 ut |t=0 = w(0, x; 0) = 0. (1.7)和(1.8)两式表明初始条件(1.2)式成立。 下面我们证明由(1.6)式定义的函数u = u(t, x)满足方程(1.1)。 由(1.6)及(1.4)易知
0
wxx (t, x; τ )dτ.
t
(1.10)
于是， utt − c2 uxx =
0
t
wtt (t, x; τ )dτ + f (t, x) − c2
0
wxx (t, x; τ )dτ (1.11)
t
=
0
wtt (t, x; τ ) − c2 wxx (t, x; τ ) dτ + f (t, x)
(1.1) (1.2)
其中c > 0是一常数，表示波的传播速度，f (t, x)是一给定的函数，表示 t 时刻在 x 处单 位质点所受的外力。方程(1.1) 可用来描述强迫振动的弹性弦的微小振动。 为了求解Cauchy问题(1.1)-(1.2)，我们引入 wtt − c2 wxx = 0, t = τ : w = 0, wt = f (τ, x). 记Cauchy问题(1.3)-(1.4)的解为 w = w(t, x; τ ), 则我们有 定理 1.1 如果w = w(t, x; τ )是Cauchy问题(1.3)-(1.4)的解（其中τ 是参数），则Cauchy问 题(1.1)-(1.2) 的解可以表示为
0
[f (τ, x + c(t − τ )) − f (τ, x − c(t − τ ))] dτ, [fx (τ, x + c(t − τ )) − fx (τ, x − c(t − τ ))] dτ.
泊松方程的推导公式
泊松方程的推导公式泊松方程（Poisson’s equation）是描述二维或三维空间中电场、重力场、温度场等场的分布的一种微分方程。
它源于法国数学家西蒙·泊松（Siméon-Denis Poisson）的研究工作，因此得名。
∇²φ=f(x,y,z)其中，∇²是拉普拉斯算子（Laplace Operator），定义为二阶偏导数的和：∇²=∂²/∂x²+∂²/∂y²+∂²/∂z²φ是待求解的标量场（例如电势、位势等），f(x,y,z)是给定的源项函数。
为了简洁起见，我们在以下推导中仅考虑二维空间的情况。
1.定义相关概念：- 梯度（Gradient）：标量场φ的梯度表示为∇φ，它是一个向量，指向标量场在每个坐标轴方向上的变化率最大的方向。
- 散度（Divergence）：向量场F的散度表示为∇·F，它是一个标量，描述向量场在每个坐标轴方向上的流动性。
- 斯托克斯定理（Stokes' theorem）：它表示对一个具有光滑边界Ω的区域进行曲面积分，等于该区域的边界曲线的环量积分，即∮∇×F·dS = ∬∇·FdA。
2.假设φ是一个具有连续二阶偏导数的标量场，可用泰勒级数展开：φ(x + h, y + k) = φ(x, y) + h∂φ/∂x + k∂φ/∂y +(1/2)h²∂²φ/∂x² + (1/2)k²∂²φ/∂y² + hk∂²φ/∂x∂y + O(h³, k³, hk², h²k)3. 考虑一个二维面积元素dA = dx dy，由斯托克斯定理可得：∮∇φ·dS=∬∇·∇φdA4.将标量场φ在上一步展开的泰勒级数中对面积元素dA求散度：∇·(∇φ)=∂²φ/∂x²+∂²φ/∂y²+O(h,k)5.根据泊松方程的定义可得：f(x,y)=∇·(∇φ)=∂²φ/∂x²+∂²φ/∂y²6.将泊松方程改写为：∇²φ=f(x,y)至此，我们得到了泊松方程的推导公式。
第二章波动方程
第二章 波动方程一、小结本章主要提供了波动方程初值问题与混合问题的求解方法。
对于不同的方程或同一类方程，由于维数的不同，定解条件的不同，它的定解问题的求解方法往往也是不同的。
1．波动方程的初值问题20(0,)(I)(,0)(),(,0)()tt xx t u a u t x u x x u x x ϕψ⎧-=>-∞<<∞⎪⎨==⎪⎩可用达朗贝尔方法求解，得到解的表达式为11(,)[()()]()22x atx atu x t x at x at d a ϕϕψξξ+-=++-+⎰当21(,),(,)C C ϕψ∈-∞+∞∈-∞+∞，利用上面公式可直接验证问题（I ）是适定的。
（2）半无弦自由振动的混合问题20(0,0)(II)(,0)(),(,0)()(0,)0tt xx t u a u t x u x x u x x u t ϕψ⎧-=>>⎪==⎨⎪=⎩可将初始函数(),()0x x x ∞∞=在(-,+)上关于j y 作奇延拓，把问题（II ）化为问题（I ）。
对于第二边值的混合问题20(0,0)(II)(,0)(),(,0)()(0,)0tt xx t xu a u t x u x x u x x u t ϕψ⎧-=>>⎪'==⎨⎪=⎩可将初始函数(),()0x x x ∞∞=在(-,+)上关于j y 作偶延拓，也可把问题化为问题（I ）。
（3）三维齐次波动方程的初值问题2312312312300(0,(,,))(III)(,,),(,,),tt t t t u a u t x x x R u x x x u x x x ϕψ==⎧=∆>∈⎪⎨==⎪⎩用球平均法求解，得到解的表达式（泊松公式）为：1232211(,,,)[]44x xatatat at S S u x x x t dS dS t a t a t ϕψππ∂=+∂⎰⎰⎰⎰ 当32(,),(,)C C ϕψ∈-∞+∞∈-∞+∞,由上式确定的123(,,,)u x x x t 是问题(III)的解。
泊松方程的基本解
泊松方程的基本解
泊松方程是一种方程，它可以描述物理系统中常见几何形状的动力学行为。
它最初由著名物理学家伽利略在17世纪提出，但直到20世纪30年代，他才获得了真正的承认。
它使物理学家能够更加具体地解释物理过程。
泊松方程的基本解是它的空间和时间的解法。
它的空间解决方案描述了物理系统中的形态变化，并且可以做出准确的预测。
此外，它的时间解决方案可以描述弹性系统的运动，以及其他一些动力学行为。
它还给出了有关物体在恒定色温下的热传导的物理解决方案。
基本解可以用来获得物理系统中可能存在的其他详细解决方案。
例如，通过解析物理系统的非线性方程，��们可以较容易地获得天文系统中行星运动的准确估计。
基本解的另一个重要用途是它可以给出关于每个物理系统中参与形态变化的参量的有关信息。
这样，我们就可以用这些参数来分析物理系统中其他不同行为。
此外，它们还可以用于设计工程，可以为不同的结构和空间实现有效的结构构建。
总之，泊松方程的基本解是一种强大而有效的工具，可以帮助我们更好地理解物理系统。
它可以帮助我们以一种精确、更有效的方式来描述物体的变化和物理行为，从而使我们能够更好地理解和运用物理知识。
《数学物理方程》第3章 行波法与积分变换法
2 2 dS 1 dd
M Cat : ( x ) 2 ( y) 2 ( at ) 2 at dd
(at ) 2 ( x ) 2 ( y ) 2
sin( x at ) sin( x at ) 1 x at cos d sin( x at ) 解 u( x , t ) 2 2 x at
u( x ,0) f ( x ) g ( x ) 3 x 2 u ( x ,0) 1 f ( x ) g ( x ) 0 1 f ( x ) g ( x ) C y 3 3 9 2 3 2 解 出f ( x ) x C , g( x ) x C 4 4
2 2
2a t
wtt a 2 w xx ( t , x ) 设w( x , t , )是 的解 w( x , , ) 0, wt ( x , , ) f ( x , ) t x a( t ) 1 t f (,)d 则 u( x, t ) w( x, t , )d d 0 x a ( t ) 2a 0 2
x at uxx u 2u u 变换 u 0 2 x at utt a (u 2u u ) u h( )d g() f ( ) g() 方程通解 u( x , t ) f ( x at ) g( x at )
M Sat
0
0
积分中x y z是常数
2 ( x at sin cos ) ( y at sin sin ) ( z at cos ) 2 d ( at ) sin d 0 t 0 4a at
经典波动方程推导
经典波动方程推导
经典波动方程是描述波动现象的重要方程之一，它在物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。
以下是关于经典波动方程的一些列举，以展示其重要性和应用范围：
1. 波动方程的定义：经典波动方程是描述波动在空间和时间上的变化规律的数学表达式。
2. 波动的基本特征：波动是一种能量传递的过程，它可以传播能量而不传播物质。
3. 波动方程的一般形式：经典波动方程的一般形式是二阶偏微分方程，可以用来描述波动在空间和时间上的变化。
4. 声波方程：声波是一种机械波，它的传播可以用声波方程描述，声波方程是经典波动方程的一种特殊形式。
5. 光波方程：光波是一种电磁波，它的传播可以用光波方程描述，光波方程是经典波动方程的另一种特殊形式。
6. 波动方程的解：波动方程可以通过数学方法求解，得到波动的传播速度、波长、频率等信息。
7. 波动方程的应用：波动方程广泛应用于声学、光学、电磁学、地震学等领域，用于解释和预测波动现象。
8. 波动方程的数值模拟：由于波动方程的求解困难，人们通常采用数值方法对波动方程进行模拟和计算。
9. 波动方程的近似解法：对于复杂的波动问题，人们通常采用近似解法来求解波动方程，以简化计算过程。
10. 波动方程的发展：随着科学技术的不断发展，人们对波动方程的研究也在不断深入，涌现出了各种波动方程的变体和扩展。
通过以上列举，我们可以看到经典波动方程在科学研究和工程应用中的重要性和广泛性。
它不仅为我们理解和解释波动现象提供了重要的工具，还为我们设计和优化波动相关设备和系统提供了理论基础。
因此，深入研究和应用经典波动方程对于推动科学技术的发展具有重要意义。
波动方程求解方法
常用的波动方程求解方法主要有以下几种:有限差分法、有限元法和伪谱法、积分方程法等。
1、有限差分方法由于适应性强，计算快速，因此是最先发展起来而且使用范围最广的数值方法，有限差分方法最大的弱点之一就是会产生数值频散。
有限差分法采用差分算式近似逼近偏导数运算，从而使波动方程的偏导数运算问题转化成差分代数问题，最后通过求解差分代数方程组得到近似解结果。
有限差分法的差分算式本身就是一种局部点运算，不需要考虑原函数中所求点值在邻域范围上的函数的变化情况，而只需要用到所求点值附近点上的值，所以能够很好的适用于复杂情况, 但是难保模拟精度。
有限差分方法有较高的空间域分辨率，而在频率域上分辨率反而会极低，稳定性同时还受到网格间距和时间步长的影响。
同时，虽然有限差分法还伴随有数值频散的问题，但是计算速度较快。
有限差分法目前主要有以下三大类:规则网格方程、弹性方程和交错网格方程。
有限差分法的具体操作可以分为两个部分:(1)用差分代替微分方程中的微分，将连续变化的变量离散化，从而得到差分方程组的数学形式:(2)求解差分方程组。
在第一步中，通过网格剖分法，将函数定义域分成大量相邻而不重合的子区域。
通常采用的是规则的剖分方式，最常用的是正方形网格。
这样可以便于计算机自动实现和减少计算的复杂性。
网格线划分的交点称为节点。
若与某个节点P 相邻的节点都是定义在场域内的节点，则P 点称为正则节点;反之，若节点P 有处在定义域外的相邻节点，则P 点称为非正则节点。
在第二步中，数值求解的关键就是要应用适当的计算方法，求得特定问题在 所有这些节点上的离散近似值。
目前最常用的两种有限差分方法包括:基于位移 波动方程的二阶中心差分法和基于一阶速度-应力波动方程的高阶交错网格法， 前者算法简单，易于实现，但差分精度具有局限性，最后得到的是节点上z x ,分量的位移离散近似值，后者算法稍复杂，但可以提高差分精度，最终得到的是节点上的位移速度离散近似值。
偏微分方程期末复习笔记
《偏微分方程》期末考试复习一、波动方程（双曲型方程）),(2t x f u a u xx tt =-（一）初值问题（柯西问题）1、一维情形⎪⎩⎪⎨⎧===-==)()(),(002x u x u t x f u a u t t t xx tt ψϕ（1）解法（传播波法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I ）⎪⎩⎪⎨⎧===-==)()(0002x u x u u a u t t t xx tt ψϕ （Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧===-==00),(002t t t xx tt u u t x f u a u其中，问题（I ）的解由达朗贝尔公式给出：ξξψϕϕd a at x at x t x u at x atx ⎰+-+++-=)(212)()(),(由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：ττd t x W t x u t⎰=);,(),(其中，);,,,(τt z y x W 是下述初值问题的解：⎪⎩⎪⎨⎧===-==),(002τττx f W W W a W t t t xx tt ，利用达朗贝尔公式得ξτξτττd f at x W t a x t a x ⎰-+--=)()(),(21);,(从而问题（Ⅱ）的解为：τξτξττd d f a t x u t t a x t a x ⎰⎰-+--=0)()(),(21),(综上所述，原初值问题的解为：τξτξξξψϕϕττd d f ad a at x at x t x u t t a x t a x at x at x ⎰⎰⎰-+--+-++++-=0)()(),(21)(212)()(),(（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征线：①依赖区间：点(x , t )的依赖区间为：[x-at , x+at ];②决定区域：区间],[21x x 的决定区域为：{(x,t )|at x x at x -≤≤+21}③影响区域：区间],[21x x 的影响区域为：{(x,t )|at x x at x +≤≤-21} ④特征线：at x x ±=0 （3）解的验证：见课本P10, P142、三维情形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==),,(),,(),,,()(002z y x u z y x u t z y x f u u u a u t t t zz yy xx tt ψϕ（1）解法（球面平均法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==),,(),,(0)(002z y x u z y x u u u u a u t t t zz yy xx tt ψϕ （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==00),,,()(002t t t zz yy xx tt u u t z y x f u u u a u其中，问题（I ）的解由泊松公式给出：⎰⎰⎰⎰+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂=M at M at S S dS t a dS t a t t z y x u ψπϕπ224141),,,(由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：ττd t z y x W t z y x u t⎰=0);,,,(),,,(其中，);,,,(τt z y x W 是下述初值问题的解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==),,,(00)(2τττz y x f W W W W W a W t t t zz yy xx tt ，利用泊松公式得⎰⎰--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=M t a S t a r dS r f a t z y x W )()(),,,(41);,,,(τττζηξπτ 从而问题（Ⅱ）的解为：dV ra rt f a t z y x u atr ⎰⎰⎰≤-=),,,(41),,,(2ζηξπ综上所述，原初值问题的解为：dV ra rt f a dS t a dS t a t t z y x u atr S S M at M at ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤-++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂=),,,(414141),,,(222ζηξπψπϕπ（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、惠更斯原理（无后效现象）：①依赖区域（球面）：点),,,(000t z y x 的依赖区域为202202020)()()(t a z z y y x x =-+-+-；②决定区域（锥体）：球面202202020)()()(t a z z y y x x =-+-+-决定区域为：202202020)()()()(t t a z z y y x x -≤-+-+- )(0t t ≤；③影响区域（锥面）：点)0,,,(000z y x 的影响区域为：22202020)()()(t a z z y y x x =-+-+- )0(>t④特征锥：202202020)()()()(t t a z z y y x x -=-+-+-惠更斯原理（无后效现象）见课本P35（3）解的验证：见课本P29, P323、二维情形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==),(),(),,()(002y x u y x u t y x f u u a u t t t yy xx tt ψϕ（1）解法（降维法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==),(),(0)(002y x u y x u u u a u t t t yy xx tt ψϕ （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==00),,()(002t t t yy xx tt u u t y x f u u a u其中，问题（I ）的解由二维泊松公式给出：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----+----∂∂=⎰⎰⎰⎰∑∑M at M at d d y x at d d y x at t a t y x u ηξηξηξψηξηξηξϕπ222222)()()(),()()()(),(21),,( 由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：ττd t y x W t y x u t⎰=);,,(),,(其中，);,,(τt y x W 是下述初值问题的解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==),,(00)(2τττy x f W W W W a W t t t yy xx tt ，利用泊松公式得⎰⎰∑-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=M r d d y x r a r t f a t y x W t a r ηξηξηξπττ)(222)()(),,(21);,,( 从而问题（Ⅱ）的解为：⎰⎰⎰∑-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=at t a r M r d d y x r a r t f a t y x u 0)(2222)()(),,(21),,(ηξηξηξπτ综上所述，原初值问题的解为：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑-=∑∑⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----+----∂∂=at t a r Mr M at M at d d y x r a r t f a d d y x at d d y x at t a t y x u 0)(2222222222)()(),,(21)()()(),()()()(),(21),,(ηξηξηξπηξηξηξψηξηξηξϕπτ（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、后效现象：①依赖区域（圆饼）：点),,(00t y x 的依赖区域为2022020)()(t a y y x x ≤-+-；②决定区域（锥体）：圆饼2022020)()(t a y y x x ≤-+-决定区域为：2022020)()()(t t a y y x x -≤-+- )(0t t ≤；③影响区域（锥体）：点)0,,(00y x 的影响区域为：222020)()(t a y y x x ≤-+- )0(>t④特征锥：2022020)()()(t t a y y x x -=-+-后效现象见课本P35、36（3）解的验证：课本没有，有兴趣的童鞋自己动手丰衣足食。
泊松积分在波动方程中的应用
泊松积分在波动方程中的应用作者：曹洪锋来源：《价值工程》2011年第11期摘要：本文通过对泊松方程和波动方程有关知识的简单介绍，利用二维及三维波动方程的求解的过程，详尽地介绍并证明了泊松积分在波动方程中的应用。
在介绍应用时，我们主要采用了一些比较典型的例题，理论联系实际地探讨泊松积分在波动方程中的应用。
Abstract： The application of poisson integral in the wave equation is introduced and proved detailedly by simple introduction of poisson integral and wave equation and by processing of two-dimensional sional and three-dimensional wave equation. In the introduction of application, we mainly used some of typical examples to discuss the application of poisson integral in the wave equation by linking theory with practice.关键词：泊松积分；波动方程；初值问题；调和函数Key words： poisson points；Wave Equation；Initial Value Problems；Harmonic Function中图分类号：G31 文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）11-0220-030引言自17世纪，牛顿，莱布尼兹发明微积分后，科学家在利用微积分处理力学，物理学中各种问题的过程中导出大量的微分方程。
在这些微分方程中，有些是常微分方程，比如力学中质点的运动方程m=f，但更多的是偏微分方程。
§32三维波动方程的泊松公式
3.2.1 三维波动方程的球对称解 如果将波函数u用空间球坐标(r,q,)表示, 所 谓球对称就是指u与q,都无关. 在球坐标系中, 波动方程(3.22)为
2 1 2 u 1 1 u u r 2 sin q 2 2 2 2 r r r r sin q q q r sin q
1
2 u (r , t ) 4 a r r r
2
14
或
u (r , t ) a 2 u (r , t ) 2 r 2 t r r r
2 2 2
1 2 u (r , t ) 1 (ru (r , t )) 但 r 2 2 r r r r r 2 2 (ru (r , t )) 2 ( ru ( r , t )) a 故得 2 2 t r 这是关于 ru (r , t ) 的一维波动方程 , 它的通解 为 ru (r , t ) f1 (r at ) f 2 (r at ), (3.27)
2 2
这是关于ru的一维波动方程, 其通解为 ru=f1(r+at)+f2(rat). 或 f1 (r at ) f 2 (r at ) u (r , t ) r
5
f1 (r at ) f 2 (r at ) u (r , t ) r
这就是三维波动方程的关于原点为球对称的 解, 其中f1,f2是两个任意二次连续可微的函数, 这两个函数可以用指定的初始条件来确定.
18
令r0, 并利用洛必达(L'Hospital)法则得到
(at ) t1 (at ) u (0, t ) 0 (at ) at0 1 2 0 ( x at sin q cos , y at sin q sin , z at cos q ) a t 0 0 at (at ) 2 sin q d d q t 4
poisson公式降维
poisson公式降维Poisson公式降维Poisson公式降维是一种常用的数据降维方法，可以将高维数据映射到低维空间中，以减少特征的维度，同时保留数据的信息。
本文将介绍Poisson公式降维的原理和应用。
一、Poisson公式降维的原理Poisson公式降维是基于泊松方程的原理，通过求解泊松方程，得到数据在低维空间中的表示。
具体而言，给定一个高维数据集，我们希望将其映射到一个低维空间中，使得映射后的数据尽可能地保持原始数据的结构和信息。
Poisson公式降维的核心思想是将高维数据的特征映射为一个标量函数，通过求解泊松方程，得到低维数据的表示。
泊松方程是一个偏微分方程，可以用来描述物理学中的许多现象。
在这里，我们将其应用于降维问题中。
具体而言，假设我们有一个高维数据集X={x1, x2, ..., xn}，其中每个xi是一个d维向量。
我们希望将其映射到一个低维空间Y={y1, y2, ..., yn}，其中每个yi是一个k维向量。
我们的目标是找到一个映射函数f：X→Y，使得映射后的数据能够尽可能地保持原始数据的结构和信息。
为了达到这个目标，我们可以通过求解泊松方程来得到映射函数f。
具体而言，我们可以将高维数据集X看作一个离散场，其中每个数据点xi对应一个函数值。
然后，我们可以定义一个离散拉普拉斯算子Δ，它可以测量数据点之间的相似性。
通过求解泊松方程Δf=ΔX，我们可以得到低维数据集Y的函数值，从而得到降维后的数据表示。
二、Poisson公式降维的应用Poisson公式降维在许多领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 图像处理：在图像处理中，Poisson公式降维可以用于图像的去噪和图像的补全。
通过将图像映射到低维空间，可以在保持图像结构和信息的同时，去除图像中的噪声或填补图像中的缺失部分。
2. 数据可视化：在数据可视化中，Poisson公式降维可以用于将高维数据映射到二维或三维空间中，以便进行可视化展示。
泊松方程和波动方程论文——泊松积分在波动方程中的应用
动的能量代谢主要是依靠无氧代谢的乳酸能供能， 工作能力比较强 的少年儿童是优良选材的对象，所以从运动生物化学的角度来看， 除了抑制型以外的其他强型， 特别是具有稳定工作能力的稳定型比 较占优势。 2 结论与建议 2.1 神经类型是才能形成与发展的基础，一个有着好的神经类 型的人不一定能成为一名优秀的运动员，但一个优秀的栋梁之才， 则一定具备有好的神经类型。同理， 优秀武术套路运动员也应具备 适合本项目的神经类型。 因此， 教练员在选招套路运动员是， 应注重 神经类型的优劣。 2.2 神经类型遗传成分占很大比例是可以肯定的，但并不是一 生出来就表现出来的， 往往要到一定阶段才会表现出来， 即在 “敏感 发展期” 或 “最佳发展期” 遗传的作用显著， 在相对缓慢期遗传因素 的作用就不太明显， 选材时要充分考虑遗传的阶段性。 2.3 人的高级神经活动类型， 是一个复杂而困难的任务， 同样， 武术套路运动员选材也是一个复杂的任务， 应依据武术套路运动的 特点， 从运动员的身体形态、 机能、 身体素质、 心理素质、 遗传因素等 多方面综合考虑。神经类型在很大程度上是由先天因素决定的， 是 不易改造的。 当然我们并不否认， 在后天的环境的重大影响下， 神经 类型具有可变性， 但， 遗传是主要的， 后者是次要的， 而且需要在特 定的条件下， 长期作用， 才能获得改造的可能。 2.4 选材的成功， 意味着训练成功的一半， 另一半应加强后天的 培养， 只有系统的高水平的科学训练， 才能把一名 “天才 ” 培养成为 优秀的运动员。
Value Engineering
1.1 泊松方程与泊松积分的简介 1.1.1 泊松方程的定义 方程 - △u=f （x， y， z ） 与方程 △u=0 分别
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方程或二维齐次波动方程。 1.2.2 波动方程的初值问题 2 2 波动方程的初值问题要讨论的主要是它的求解的过程与方法。 称为泊松方程和调和方程 （或拉普拉斯方程 ） ， 其中△u= 鄣 u +鄣 u 2 2 对于不同的方程或同一类方程， 由于维数的不同， 定解条件的不同， 鄣x 鄣y 它的定解问题的求解方法也是不同的。 我们对波动方程的初值问题 2 +鄣 u ， 符号△= 鄣2 + 鄣2 + 鄣2 称为拉普拉斯算子。 的求解方法简单总结如下： ①无界弦自由振动的初值问题， 可以用 2 鄣z 鄣x 鄣y 鄣z 达朗贝尔方法求解， 带入达朗贝尔公式直接求解即可。②三维齐次 特别的， 当我们把这些偏微分方程与实际生活中的物理知识联 波动方程的初值问题， 用求平均法求解， 得到解的表达式即泊松公 系起来时， 三维的泊松方程式非常常见的。如果经过相当长的时间 式， 然后将泊松公式带入求解即可。③二维齐次波动方程的初值问 后，区域 G 内各点的温度随时间的改变所发生的变化已不显著， 在 题， 可以用降维法， 先降维再带入泊松公式求解即可。 数学上可近似看做 ut=0 （即温度函数 u 与时间 t 无关， 仅为 x， y， z的 当然， 波动方程初值问题的求解方法远不止这些， 在这里我只 函数 ） 。这时， 我们说温度分布趋于定常， 方程可写为 是把几个比较简单的常用的并且在我们需要讨论的泊松积分在波 uxx +uyy +uzz =0 （1 ） 动方程中的应用涉及到的方法列举出来了。 ） 通常称为三维拉普拉斯方程 （laplace 方程 ） 。在有热源 方程 （1 2 泊松积分在波动方程中的应用 （与时间无关 ） 而且温度分布定常的情况下， 方程可写为 在泊松积分在波动方程中的应用这部分， 我们主要分两部分内 uxx +uyy +uzz +f （x， y， z ） =0 （2 ） 容进行讨论， 一是泊松积分在波动方程中的形式及其推广， 二是通 它也可以写成 过几个具体的例题演示一下泊松积分在波动方程中的应用。 uxx +uyy +uzz =f （x， y， z ） 2.1 波动方程中的形式及其推广 其中 一维弦振动方程的初值问题 （x， y， z ）， 2 f （ f x， y， z ） =- 軇 （x， y， z ） =- F F （x， y， z ） ， utt -a uxx =f （x， t ） ， x∈R′， T>0， k 是热源强度， 通常称方程 （2 ） 为三维泊松方程 （Poisson 方程） 。 U （x， 0 ） =φ （x ） ， u（ 0 ） =φ （x ） ， x∈R′， t x， 三维的拉普拉斯方程经常写作△u=0， 这个方程我们刚刚也提到过。 的求解公式是 x+at 2t x+a （t-τ ） 类似地我们也可以写出二维的拉普拉斯方程： uxx +uyy =0 和二维的泊 u （x， t ） = 1 [φ （x+at ） +φ （x-at ） ]+ 1 φ （ξ ） dξ+ 1 松方程： uxx +uyy =f （x， y ） 。 至此， 我们就结合物理知识导出了一类典型 （t-τ ） 2 2a x-at 2a 0 x-a 的数学物理方程。由于拉普拉斯方程和泊松方程的关系密切， 在一 （ f ξ， r ） dξdτ 定的程度上可以相互转化， 所以在这里我们同时把这两个方程拿出 当 f≡0 时， 该公式就是一维齐次弦振动方程 d′Alembert 的公式。 来对比着介绍一下， 一是便于记忆， 二是为下面泊松积分在波动方 三维波动方程的初值问题 2 2 程中的应用的叙述奠定基础。 utt -a △u=f （x， t ） ， x∈R ， t>0， 1.1.2 泊松积分的定义及其相关定理 在介绍泊松积分的基本 3 u （x， 0 ） =φ （x ） ， u（ 0 ） =φ （x ） ， x ∈R ， 知识时， 我们主要给出一个基本定理， 这个基本定理掌握了， 泊松积 t x， 分也就随之理解了。 的求解公式是 定理 1： 设 B 是以 A 为中心， R 为半径的球， 鄣B 是它的边界， （ f p ） 鄣 φ （x+ξ ）ds + ψ （x+ξ ）ds 1 u （x， t ） = 1 2 ξ ξ + 2 t t t 鄣 s s 4πa 4πa r燮at 在鄣B 连续， 则泊松积分： u （P0） = （ f P ） H （P， P0） dsp ， （ f x+ξ， t-r/a ）dv 鄣 B 2 2 r P0） R -r （A， 其中 H ， （P， P0） = 利用球坐标， 该公式又可以写成 3 2π π 4πRr （P， P0） 1 鄣 u （ x ， t ） = tφ （x1 +atsinθcosφ， x2 +atcosθ ） sinθdθdφ △u=0， （在 B 内 ） 4π 鄣t 0 0 是问题： 的解。 2 π π u=f， （在鄣B 上 ） + 1 tφ （x1 +atsinθcosφ， x2 +atcosθ， x3 +atcosθ ） sinθdθdφ 这个定理说明了当边值上的函数值 f 满足一定的条件时， 我们 4π 0 0 at 2 π π 所得出的球， 半空间等区域上的泊松积分， 就是相应的调和方程第 x2 +rsinθsinφ， x3 +rcosθ， t- r + 1 2 f x1 +rsinθcosφ， 一边值问题上的解。我们在这里只是对球的泊松积分， 说明了定理 0 0 0 a 4π a 的正确性， 当然我们也可以验证其他区域上的泊松积分也是一些方 rsinθdθdφdr 程在某些问题的解， 在接下来的例题中， 我们会对它进行详细的证 当 f≡0 时， 称该解公式为齐次方程的 Poisson 公式或 Kirchhoff 公式。 明， 并给出了一些实用的解题方法。 2.2 例题 1.2 波动方程的简介 例1 ： 求解下列初值问题 1.2.1 波动方程的定义
基本波动方程的求解方法
基本波动方程的求解方法 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020关于弦振动的求解方法李航一、无界弦振动1、一维齐次波动方程达朗贝尔方程解无界的定解问题⎰+-+-++=at x atx d a at x at x t x u ξξϕφϕ)(21)]()([21),( <达朗贝尔公式> 在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。
考虑无界的定解问题一般方程为 由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 的依赖区域，在t x -平面上，它可看作是过点),(t x ，斜率分别a 1± 为的两条直线在x 轴上截得的区间。
2、一维非齐次波动方程的柯西问题达朗贝尔方程解非齐次定解问题令),(),(),(t x V t x U t x u +=，可将此定解分解成下面两个定解问题： (I) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂== ， )(|),(|0,0022222x t u x u t x x u a t u t x φϕ(II) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-+∂∂=∂∂== ， 0|,0|0,),(0022222t x t u u t x t x f x u a t u 其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出：⎰+-+-++=at x atx d a at x at x t x U ξξϕϕϕ)(21)]()([21),(。
对于问题(II)，有下面重要的定理。
定理（齐次化原理）设),,(τωt x 是柯西问题的解)0(≥τ，则⎰=t d t x t x V 0),,(),(ττω是问题(II)的解。
樊洪明泊松方程
樊洪明泊松方程
樊洪明泊松方程是一个在物理学和工程学中非常重要的数学方程，它描述了物体内部的应力分布。
泊松方程的数学形式为：div(σ) = -p，其中σ是应力张量，p是压力场，div表示散度算子。
樊洪明泊松方程的提出，对于解决一系列实际问题具有重要的意义。
例如，在固体力学中，泊松方程可以用于描述弹性体的应力分布；在流体力学中，它可以用于描述不可压缩流体的压力场分布。
通过求解泊松方程，可以获得物体内部的应力分布情况，从而进一步分析物体的稳定性、变形和破裂等问题。
在应用樊洪明泊松方程时，需要特别注意其适用范围和边界条件。
例如，在处理非均匀介质或考虑惯性力时，需要采用更复杂的数学模型。
此外，泊松方程的求解过程通常涉及到数值计算方法，如有限元分析、有限差分法等。
这些方法需要根据具体问题选择合适的网格划分、边界条件和求解算法，以保证求解精度和稳定性。
除了在物理学和工程学中的应用，樊洪明泊松方程还在其他领域有所应用。
例如，在生物学中，它可以用于描述细胞或组织的应力分布；在经济学中，它可以用于分析市场压力和竞争态势。
在这些领域中，樊洪明泊松方程的适用性和重要性可能会因具体问题的不同而有所差异，但其在数学建模和科学分析中的基础作用是相似的。
总之，樊洪明泊松方程是一个重要的数学方程，它在物理学、工程学和其他领域中都有广泛的应用。
通过理解和掌握这个方程，我们可以更好地分析物体的应力分布和解决一系列实际问题。