徐州市六县(区)2013-2014学年度第一学期期中考试高一数学试题

徐州市六县（区）
2013—2014 学年度第一学期期中考试
高一数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题纸相应位．．．．．．．．．．．．．置上．．
. 1.},1,0,1{-=A },3,2,1,0{=B 求=B A ▲ .
2.函数x x y -+-=2)1lg(的定义域为 ▲ .
3.计算：=+25log 20lg 100 ▲ .
4.函数)(11
33)(*N x x x f ∈-=的最大值为 ▲ . 5.若,13log 2=x 则x 3的值为 ▲ .
6.已知,3
2log ,)23(,)32(24343===c b a 则c b a ,,从小到大的排列为 ▲ . 7.函数b a y x +=的图象如图所示，则=ab ▲ . 8.幂函数的图象过点)41
,2(，则该函数的单调递增区间是 ▲ . 9.函数x y lg =与1+=kx y 图象有公共点,A 若A 点纵坐标为1-，则
=k ▲
.
10.已知,)9)(4()9(,3)(⎩
⎨⎧<+≥-=x x f x x x f 则)1(f 的值为 ▲ . 11.已知,3)1(2x x x f -=-则函数)(x f 的解析式=)(x f ▲ .
12.已知函数3lg )(-+=x x x f 在区间),(b a 上有一个零点b a ,(为连续整数），则=+b a ▲ .
13.设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当x 0≥时，,22)(a x x f x ++=则=-)1(f ▲ .
14.已知x x f 2log )(=，正实数n m ,满足,n m <且),()(n f m f =若)(x f 在区间],[2n m 上的最大值为2，则=+n m ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本题满分14分)求下列各式的值：
（1）3log 233
3558log 932log 2log 2-+- （2）2143343031
01.016])2[()1(064
.0++-+-----π
16. (本题满分14分) 已知：函数)93lg(4)(-+-=x x x f 的定义域为,A 集合}.,0{R a a x x B ∈<-=
（1）求集合;A
（2）求：.B A
17. (本题满分14分)
已知二次函数)(x f 的图象顶点为),16,1(A 且图象在x 轴上截得线段长为8.
（1）求函数)(x f 的解析式；
（2）当]2,0[∈x 时，关于x 的函数3)()()(---=x x t x f x g 的图象始终在x 轴上方，求实数的取值范围.
18. (本题满分16分) 已知函数).,1[,2)(2+∞∈++=x x
a x x x f （1）当1-=a 时，判断并证明函数的单调性并求)(x f 的最小值；
（2）若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 都成立，试求实数a 的取值范围.
19. (本题满分16分)
某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元，根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆.
规定： 每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x 元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y 表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费用后的所得）.
20. (本题满分16分)
设a 为实数，函数.,1)(2R x a x x x f ∈+-+=
（1）若)(x f 是偶函数，试求a 的值；
（2）在（1）的条件下，求)(x f 的最小值；
（3）孙涛涛同学认为：无论a 取何实数，函数)(x f 都不可能是奇函数；你同意她的观点吗？请说明理由.
高一数学试题参考答案与评分标准
1． {0,1} 2. (1，2] 3．2 4．3 5．2 6．c<a<b 7．-33
8．（-∞，0） 9．-20 10．6 11．22x x --． 12．5 １3．-3 １4．
2
5 １5．（1）原式=-7 ……… 7分
（2）原式=80133 ……… 14分 １6．解：（1）423
34093042≤<⇒⎩⎨⎧>≤⇒⎩⎨⎧>-≥-x x x x x ，定义域A ＝(]4,2； ……… 6分 （2）B ＝{}
Ｒa a x x ∈<-,0＝（－∞，a ） ……… 8分
①当a ≤2时，A ∩B=φ …………… 10分
②当2＜a ≤4时，A ∩B=（2，a ） ………………… 12分
③当a ＞ 4时，A ∩B=(]4,2 。

…………………14分
１7．解：（1）∵二次函数图象顶点为(1,16)，在x 轴上截得线段长为8，所以抛物线与x 轴的交点坐标为(-3,0)，(5，0)， …………………2分
又∵开口向下，设原函数为()(3)(5)(0)f x a x x a =+-<， …………………4分 将(1,16)代入得1a =-， …………………6分 ∴所求函数()f x 的解析式为2()215f x x x =-++． …………………7分
（2）()(2)12,[0,2]g x t x x =-+∈ …………………9分
的图象在x 轴上方，有(0)0(2)0
g g >⎧⎨>⎩ ， …………………12分 解得8t <即为所求t 的取值范围． …………………14分
18．解：（1）当a ＝－1时f （x ）＝21122+-=-+x
x x x x ， ………………… 2分 对任意211x x <≤，
2
12121212121221121)1)(()(2121)()(x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f +-=-+-=-+-+-=- …………………4分
∵211x x <≤，
∴,1,02121><-x x x x
∴,0121>+x x
∴f （x ）－f （x ）<0，f （x ）<f （x ）
所以f （x ）在[)+∞,1上单调递增 ………………… 6分 所以x ＝1时f （x ）取最小值，最小值为2 ………………… 8分
（2）若对任意x [)+∞∈,1，f （x ）>0恒成立，则x
a x x ++22>0 对任意x [)+∞∈,1恒成立，所以x ＋2x ＋a>0对任意x [)+∞∈,1恒成立，………10分 令g （x ）＝x ＋2x ＋a ， x [)+∞∈,1
因为g （x ）＝ x ＋2x ＋a 在[)+∞,1上单调递增， ………………… 12分 所以x ＝1时g （x ）取最小值，最小值为3＋a ， ………………… 14分 ∵ 3＋a>0，∴ a>－3. …………………… 16分 １9．解：（1）当x ≤6时，11550-=x y ，令011550>-x ，解得3.2>x ．
∵∈x N ，∴x ≥3，∴3≤x ≤6，且∈x N ． …………………… 3分 当x <6≤20时，115)]6(350[---=x x y 1156832-+-=x x ．
且y=1156832-+-=x x ,在6＜x ≤20上大于0 ……………… 6分
综上可知 ⎩⎨⎧∈≤<-+-∈≤≤-=).,206(,115683),,63(,115502N N x x x x x x x y …………………… 8分
（2）当3≤x ≤6，且∈x N 时，∵11550-=x y 是增函数，
∴当6=x 时，185max =y 元． …………………… 11分 当x <6≤20，∈x N 时，1156832-+-=x x y 3
811)334(32+--=x ， ∴当11=时，270max =y 元． …………………… 15分 综上所述，
当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元． ……… 16分
２０．解：（1）∵()f x 是偶函数，∴()()f x f x -=在R 上恒成立，
即22()||1||1x x a x x a -+--+=+-+，
化简整理，得 0ax =在R 上恒成立， ……………3分 ∴0a =． ……………5分 （另解 ：由()f x 是偶函数知，(1)(1)f f -=
即 22(1)|1|11|1|1a a -+--+=+-+
整理得|1||1|a a +=-，解得 0a =
再证明2()||1f x x x =++是偶函数，所以 0a = ）
（2）由（1）知0a =，∴2()||1f x x x =++，
∵20x ≥，||0x ≥，∴()1f x ≥，当且仅当0x =时，()1f x =， ………8分 ∴当0x =时，()f x 的最小值为1． …………10分
（3）孙涛涛同学的观点是正确的． …………11分 若()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-在R 上恒成立，
∴(0)(0)f f =-，∴(0)0f =， …………14分 但无论a 取何实数，(0)||10f a =+>，
∴()f x 不可能是奇函数． …………16分。