勾股定理(基础)

勾股定理（基础）

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

●

掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想； ●

能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）； ● 通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．

学习策略：

●

体验勾股定理的探索过程，掌握方程思想； ●

牢记直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.

二、学习与应用

1. 正数的平方根有 ，它们互为 ，其中正的那个叫它的____；负数 ，0的平方根是 .

2. 324的算术平方根是 ，

256的平方根是 . 3.196= ,144 = .

要点一、勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长

分别为a b ，，斜边长为c ，那么 .

要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的

线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目

的.

（3）理解勾股定理的一些变式：

“凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记．

要点梳理——预习和课堂学习

认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听

课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．

知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

2______a =，2______b =， ()2

2____c a b =+-

要点二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图（1）中，所以.

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图（2）中，所以.

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

，所以. 要点三、勾股定理的作用

1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；

2. 用于解决带有平方关系的证明问题；

3. 与勾股定理有关的面积计算；

4. 勾股定理在实际生活中的应用．

类型一、勾股定理的直接应用

例1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．

（1）若a ＝5，b ＝12，求c ；

（2）若c ＝26，b ＝24，求a ．

典型例题——自主学习 认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完

成举一反三．课堂笔记或者其它补充填在右栏．

【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长．

【总结升华】 举一反三：

【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．

（1）已知b ＝6，c ＝10，求a ；

（2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ．

类型二、勾股定理的证明

例2、（2015•丰台区一模）阅读下面的材料

勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定

理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ，然

后按图1的方法将它们摆成正方形．

由图1可以得到（a+b ）2=4×，

整理，得a 2+2ab+b 2=2ab+c 2．

所以a 2+b 2=c 2．

如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述证明勾股定

理的方法，完成下面的填空：

由图2可以得到 ，

整理，得 ，

所以 ．

【总结升华】

举一反三：

【变式】如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 边的中点，DE ⊥AB 于E ，则

AE 2-BE 2等于（ ）

A ．AC 2

B ．BD 2

C ．BC 2

D ．D

E 2

类型三、与勾股定理有关的线段长

例3、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，

点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【总结升华】

类型四、与勾股定理有关的面积计算

例4、如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的

面积为（）

A．6 B．5 C．11 D．16

【思路点拨】本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用，由b是正方形，可求△ABC≌△CDE．由勾股定理可求b的面积=a的面积+c的面积．

【总结升华】

举一反三：

【变式】（2015•东莞模拟）如图3，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，

已知S

1=4，S

2

=9，S

3

=8，S

4

=10，则S=（）

图3 例5图

A.25

B.31

C.32

D.40

类型五、利用勾股定理解决实际问题

例5、（2016春•淄博期中）有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果

把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与

门高．

【思路点拨】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门

的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高．

【总结升华】

举一反三：

【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m处断裂，旗杆顶部落在离底部12m处，则旗

杆折断前有多高？

三、总结与反思

要想学习成绩好，总结少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力．

自我反馈

学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整

理．如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流．

我的收获

重点习题题号：

错题题号（方便整理错题本）：

家长如何检查学案导学的落实情况？

1.做没做完？

2.是否对照答案修改？

3.是否有总结？