勾股定理(基础)
勾股定理数学优秀ppt课件
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。
勾股定理知识总结三篇
勾股定理知识总结三篇篇一：勾股定理知识总结一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC 为锐角三角形）。
（定理中a，b，c及222+=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若a b c三角形三边长a，b，c满足222+=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角a c b三角形，但是b为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
第15讲 勾股定理--基础班
第15讲勾股定理知识点1 勾股定理的图形计算问题勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.a2+b2=c21.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN 的值.【答案】【解析】解：连接AM ， ∵AB=AC ，点M 为BC 中点， ∴AM ⊥CM （三线合一），BM=CM ， ∵AB=AC=5，BC=6， ∴BM=CM=3，在Rt △ABM 中，AB=5，BM=3，∴根据勾股定理得：AM=√AB 2−BM 2=√52−33=4， 又S △AMC =12MN•AC=12AM•MC，AM CM 4312AM .AC 55⋅⨯∴===【方法总结】连接AM ，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM ⊥BC ，根据勾股定理求得AM 的长，再根据三角形的面积公式即可求得MN 的长．特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．【随堂练习】1.如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点D 在BC 上，且AD 平分∠BAC ，则AD 的长为_______【答案】12【解析】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，CB=5，AD⊥BC，∴DB=DC=12在Rt△ABD中，∵AD2+BD2=AB2，∴AD=√AB2−BD2=√132−52=12，【典例】1.观察下列图形，回答问题：问题（1）：若图①中的△DEF为直角三角形，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为____．问题（2）：如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，这三个半圆的面积之间的关系是__________________（用图中字母表示）问题（3）：如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利用上面中的结论求出阴影部分的面积．【答案】【解析】解：（1）由题意得，P的面积=DE2=9，Q的面积=EF2=15，故可得M的面积=DF2=DE2+EF2=24．（2）S1=π2(AC2)2=π8AC2，同理S2=π8BC2，S3=π8AB2，∵AC2+BC2=AB2，∴S1+S2=S3．（3）设直角三角形的边从小到大分别是a，b，c，则a2+b2=c2，两边同乘以π8，即得：两小半圆的面积和等于大半圆的面积，从而可得S阴影部分的面积=S直角三角形的面积=12×3×4=6．【方法总结】（1）根据正方形的面积公式结合勾股定理可得大正方形的面积是两个小正方形的面积和；（2）分别表示出S1、S2、S3，结合勾股定理即可得出关系式．（3）根据半圆的面积公式以及勾股定理可得：两个小半圆的面积和等于大半圆的面积，从而得出阴影部分的面积=直角三角形的面积．本题考查了勾股定理及圆的面积公式，解答此类题目关键是仔细观察所给图形的特点，不要盲目作答．【随堂练习】1.如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为_____【答案】64【解析】解：如图，∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2=225，∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2=289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2=PQ2+QR2，∴QR2=PR2﹣PQ2=289﹣225=64，则正方形QMNR的面积为64．知识点2 勾股定理的应用解勾股定理实际问题的一般步骤：①仔细审题，读懂题意；②找出或构造出与问题有关的直角三角形；③在直角三角形中根据勾股定理列算式或列方程；④求解所列算式或方程，直接或间接得到答案；⑤作答.解有关勾股定理的实际问题的关键是将实际问题转化为数学模型.【典例】1.如图，在一棵树上10m高的B处有两只猴子，其中一只猴子沿树爬下，走到离树20m 处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D处直跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，则这颗树有多高（设树与地面垂直）？【答案】【解析】解：设BD高为x，则从B点爬到D点再沿直线DA到A点，走的总路程为x+AD，其中AD=√(10+x)2+202，而从B点到A点经过路程（20+10）m=30m，根据路程相同列出方程x+√(10+x)2+202=30，可得√(10+x)2+202=30﹣x，两边平方得：（10+x）2+400=（30﹣x）2，整理得：80x=400，解得：x=5，所以这棵树的高度为10+5=15（m）．【方法总结】要求树的高度，就要求BD的长度.在直角三角形ACD中运用勾股定理可以用BD表示出AD，根据路程相同即可列出关于BD的方程，求解即可得出BD的长度，最后由CD=CB+BD 得出答案．本题考查的是勾股定理的灵活运用，要求在变通中熟练掌握勾股定理．【随堂练习】1.国家八纵八横高铁网络规划中“京昆通道”的重要组成部分──西成高铁于2017年12月6日开通运营，西安至成都列车运行时间由14小时缩短为3.5小时．张明和王强相约从成都坐高铁到西安旅游．如图，张明家（记作A）在成都东站（记作B）南偏西30°的方向且相距4000米，王强家（记作C）在成都东站南偏东60°的方向且相距3000米，则张明家与王强家的距离为_____【答案】5000米【解析】解：如图，连接AC.依题意得：∠ABC=90°，AB=4000米，BC=3000米，则由勾股定理，得AC=√AB2+BC2=√40002+30002=5000（米）．2.如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B 的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为_______【答案】18m【解析】解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC=5m，AB=12m，∴AC=√AB2+BC2=√122+52=13（m），∴这棵树原来的高度=BC+AC=5+13=18（m）．∴这棵大树在折断前的高度为18m．【典例】1.如图，一只小蚂蚁要从A点沿长方体木块表面爬到B点处吃蜜糖．已知长方体木块的长、宽、高分别为10cm、8cm、6cm，试计算小蚂蚁爬行的最短距离．【答案】【解析】解：展开后有三种不同的情况如图，如图1，AB=√(10+8)2+62=√360，如图2，AB=√102+(6+8)2=√296，如图3，AB=√82+(10+6)2=√320，∵√296＜√320＜√360，∴小蚂蚁爬行的最短路线为√296cm．【方法总结】根据题意画出长方体按不同方式展开后的三种情况，根据勾股定理求出每种情况的AB，再比较即可．本题考查了平面展开﹣最短路线问题，勾股定理的应用，能找出符合条件的所有情况是解题的关键．【随堂练习】1.如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A，B在围成的正方体上的距离是____【答案】1【解析】解：将图1折成正方体后点A和点B为同一条棱的两个端点，故此AB=1．知识点3 勾股定理的逆定理勾股数：满足关系a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.【典例】1.观察下列各组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c. 根据你发现的规律，请写出（1）当a=19时，求b、c的值；（2）当a=2n+1时，求b、c的值；（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．【答案】【解析】解：（1）观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b=1∵a=19，a2+b2=c2，∴192+b2=（b+1）2，∴b=180，∴c=181；（2）通过观察知c﹣b=1，∵（2n+1）2+b2=c2，∴c2﹣b2=（2n+1）2，即（b+c）（c﹣b）=（2n+1）2，∴b+c=（2n+1）2，又c=b+1，∴2b+1=（2n+1）2，∴b=2n2+2n，c=2n2+2n+1；（3）由（2）知，2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1为一组勾股数，当n=7时，2n+1=15，112﹣111=1，但2n2+2n=112≠111，∴15，111，112不是一组勾股数．【方法总结】（1）仔细观察可发现给出的勾股数中，斜边与较大的直角边的差是1，根据此规律及勾股定理公式不难求得b和c的值．（2）根据第一问发现的规律，代入勾股定理公式中即可求得b 、c 的值．（3）将第二问得出的结论代入第三问中看是否符合规律，符合则说明是一组勾股数，否则不是．本题属于规律型问题，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、验证即可．【随堂练习】1.下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）A. a=4，b=3，c=5B. a=9，b=﹣12，c=15C. a=32，b=2，c=2.5 D. a=8，b=40，c=41【答案】A.【解析】解：A 、∵32+42=52，且4，3，5都是正整数，∴此选项符合题意； B 、∵﹣12不是正整数，∴此选项不符合题意； C 、∵32不是正整数，∴此选项符合题意；D 、∵82+402≠412，∴此选项不符合题意． 故选A.2.下列各组数是勾股数的是（ ） A.13，14，15B. 1，√2，√3C. 0.3，0.4，0.5D. 5，12，13【答案】D.【解析】解：A 、∵（13）2+（14）2≠（15）2，且三数不是正整数，∴不是勾股数；故此选项错误；B 、∵√2，√3不是正整数数，∴不是勾股数；故此选项错误；C 、∵0.32+0.42=0.52，但三数不是正整数，∴不是勾股数；故此选项错误；D 、∵52+122=132，且三数是正整数，∴是勾股数．故此选项正确．故选D.【典例】1.如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AB=2，BC=4，CD=AD=√6．求∠BAD的度数.【答案】【解析】解：连接AC，如图所示：∵CD=AD=√6，∠D=90°，∴∠DAC=∠ACD=45°，AC2=AD2+CD2=6+6=12．在△ABC中，∵AB2+AC2=22+12=16=BC2，∴∠BAC=90°．∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=90°+45°=135°；【方法总结】连接AC，则∠BAD=∠BAC+∠DAC.由等腰直角三角形的性质得出∠DAC=45°，AC2=AD2+CD2=2×6=12．由勾股定理的逆定理证出∠BAC=90°，从而得出∠BAD的度数. 此题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和逆定理是解本题的关键．【随堂练习】1.若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|=0，则△ABC是____三角形【答案】等腰直角三角形【解析】解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|=0，∴a﹣b=0，a2+b2﹣c2=0，解得：a=b，a2+b2=c2，∴△ABC的形状为等腰直角三角形；2.小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小丽走直线用了10分钟，小芳先去家拿了钱去图书馆，小芳到家用了6分，从家到图书馆用了8分，小芳从公园到图书馆拐了个（）A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 不能确定【答案】B.【解析】解：根据题意，所走的三条路程分别为500米，300米，400米，而3002+4002=5002，根据勾股定理的逆定理，三条路程组成的是直角三角形，故小芳从公园到图书馆拐了直角．故选B.综合运用1.如图：在△ABC中，AB=5cm，AC=4cm，BC=3cm，CD是AB边上的高，则CD=____________.【答案】12cm5【解析】解：在△ABC 中，∵AB=5cm ，AC=4cm ，BC=3cm ， ∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，且∠ACB=90°． 根据三角形面积相等可知，12BC•AC=12AB•CD，∴CD=4×35=125cm ．故答案为125cm.2.如图，正方形中的数表示该正方形的面积，则字母B 所代表的正方形的面积是___________.【答案】144【解析】解：如图所示： ∵△DEF 为直角三角形， ∴EF 2=DE 2+DF 2，根据题意得：EF 2=169，DE 2=25， ∴正方形B 的面积=DF 2=169﹣25=144； 故答案为144.3.如图，一个圆柱的高为10cm ，底面半径为2cm ，一只蚂蚁从圆柱高的中点A 处到B 点的最短爬行距离是________ cm.【答案】√25+4π2【解析】解：在Rt△ABC中，AC=5，BC=2π，∴一只蚂蚁从圆柱高的中点A处到点B处的最短爬行距离是AB=√25+4π2cm，故答案为√25+4π24.如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为____________平方米．【答案】24【解析】解：如图，连接AC,在△ACD中，∵AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，∴AC=5米.又∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴这块地的面积=△ABC 的面积﹣△ACD 的面积=12×5×12﹣12×3×4=24（平方米）．5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，设AC=b ，BC=a ，AB=c ，CD=h ，有下列四种说法：①a•b=c•h；②a+b ＜c+h ；③以a+b 、h 、c+h 为边的三角形，是直角三角形；④1a2+1b2=1ℎ2．其中正确的有________________.【答案】①②③④【解析】解：①∵Rt △ABC 的面积为：12ab 或12ch ，∴ab=ch ，故①正确； ②∵c 2＜c 2+h 2，a 2+b 2=c 2， ∴a 2+b 2＜c 2+h 2， ∵ab=ch ，∴a 2+b 2+2ab ＜c 2+h 2+2ch ， ∴（a+b ）2＜（c+h ）2， ∴a+b ＜c+h ，故②正确； ③∵（c+h ）2=c 2+2ch+h 2， h 2+（a+b ）2=h 2+a 2+2ab+b 2， ∵a 2+b 2=c 2，（勾股定理） ab=ch （面积公式推导）∴c2+2ch+h2=h2+a2+2ab+b2，∴（c+h）2=h2+（a+b）2，∴根据勾股定理的逆定理得以h，c+h，a+b为边构成的三角形是直角三角形，③正确；④∵ab=ch，∴（ab）2=（ch）2，即a2b2=c2h2，∵a2+b2=c2，∴a2b2=（a2+b2）h2，∴a 2b2a2+b2=h2，∴a 2+b2a2b2=1h2，∴a 2a2b2+b2a2b2=1ℎ2，∴1 a2+1b2=1ℎ2，故④正确．故答案为①②③④.6.如图，四边形ABCD中，AB=10，BC=13，CD=12，AD=5，AD⊥CD，求四边形ABCD 的面积．【答案】【解析】解：连接AC，过点C作CE⊥AB于点E．∵AD⊥CD，∴∠D=90°．在Rt △ACD 中，AD=5，CD=12， AC=√AD 2+CD 2=√52+122=13． ∵BC=13， ∴AC=BC.∵CE ⊥AB ，AB=10， ∴AE=BE=12AB=12×10=5． 在Rt △CAE 中，CE=√AC 2−AE 2=√132−52=12．∴S 四边形ABCD =S △DAC +S △ABC =12×5×12+12×10×12=30+60=90．7.如图，已知在四边形ABCD 中，∠A=90°，AB=2cm ，AD=√5cm ，CD=5cm ，BC=4cm ，求四边形ABCD 的面积．【答案】【解析】解：连接BD.∵∠A=90°，AB=2cm ，AD=√5，∴根据勾股定理可得又∵CD=5，BC=4， ∴CD 2=BC 2+BD 2，∴△BCD 是直角三角形， ∴∠CBD=90°，∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD =12AB•AD +12BC•BD=12×2×√5+12×4×3=（√5+6）（cm 2）．8.如图所示，侧面是高为2、宽为1的长方形．上下两底面为正方形的纸盒．一小虫由A 点沿外表面爬行到B 点．（1）找出所有可能的最短路径，画图说明； （2）指出按（1）中哪种方式爬行路径最短.【答案】【解析】解：（1）将长方体的侧面展开，有两种展开方法， 如图所示：（2）∵由（1）可知，第一种展开方法路径AB=√22+22=√8．由（2）可知，第二种展开方法路径AB=√12+32=√10．√8<√10,∴按（1）中第一种方式爬行路径最短.。
勾股定理基础知识点
知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。
（2） 勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边（3）理解勾股定理的一些变式（在三角形ABC 中，∠C=90°）： c 2=a 2+b 2，a2=c 2-b 2， b 2=c 2-a 2 ， c 2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。
图（1）中，所以。
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。
图（2）中，所以。
方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。
c a b =+22a cb =-22b c a =-22在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
，所以。
知识点三：勾股定理的作用1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3．用于证明平方关系的问题；知识点四：勾股数满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么当k＞0时，ka，kb，kc同样也是勾股数组）常见勾股数：①3、4、5；②5、12、13；口诀：5月12记一生（13）③8、15、17；口诀：八月十五在一起（17）④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41；⑦6、8、10；⑧9；12；15；⑨15、20、25.知识点五：勾股树知识点六：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长分别为：a、b、c，且满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
初二数学经典讲义勾股定理(基础)知识讲解
勾股定理全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2. 理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3. 能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题【知识网络】【要点梳理】【高清课堂勾股定理全章复习知识要点】要点一、勾股定理1. 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.（即：a2 b2 c2）2. 勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为的线段.要点二、勾股定理的逆定理1. 原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2. 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c ，满足a2 b2 c 2，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为 c ；（2）验证c2与a2 b2是否具有相等关系，若a2 b2 c2，则△ ABC是以∠ C 为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.3. 勾股数222满足不定方程x y z 的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x、y、z 为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：① 3、4、5；②5、12、13；③ 8、15、17；④ 7、24、25；⑤9、40、41. 如果（a、b、c ）是勾股数，当t 为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1. 较小的直角边为连续奇数；2. 较长的直角边与对应斜边相差1.23.假设三个数分别为a、b、c ，且a b c ，那么存在a2 b c成立. （例如④中存在72＝24＋25、9 2＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、已知直角三角形的两边长分别为6 和8，求第三边的长．【答案与解析】解：设第三边为x ．当x 为斜边时，由勾股定理得x26282．所以x 628236 64 100 10 ．当x 为直角边时，由勾股定理，得x2 62 82．所以x 826264 36 28 2 7 ．所以这个三角形的第三边为10或2 7 ．【总结升华】题中未说明第三边是直角边还是斜边，应分类讨论，本题容易误认为所求的第三边为斜边．举一反三：【变式】在△ ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．求△ ABC的周长．【答案】解：在Rt△ ABD和Rt△ACD中，由勾股定理，得BD 2 AB2 AD2 152 122 81．∴ BD 81 9 ．同理CD2 AC 2 AD2 132 122 25．∴ CD 25 5 ．①当∠ ACB >90°时， BC ＝BD － CD ＝9－ 5＝4．∴ △ ABC 的周长为： AB ＋BC ＋CA ＝15＋4＋13＝32．②当∠ ACB <90°时， BC ＝BD ＋ CD ＝9＋ 5＝14．∴ △ ABC 的周长为： AB ＋BC ＋CA ＝15＋14＋13＝ 42． 综上所述：△ABC 的周长为 32 或 42．2、如图所示，△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝ CB ，M 为 AB 上一点． 求证：2 2 2 AM 2 BM 2 2CM 2 ．222(AD 2 DM 2)【总结升华】 欲证明线段平方关系问题， 首先联想勾股定理， 从图中寻找或作垂线构造包含 所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证．举一反三：变式】已知，△ ABC 中， AB ＝AC ， D 为 BC 上任一点，求证： AB 2 AD 2 BD CD .【思路点拨】 欲证的等式中出现了 AM 2 、 作 CD ⊥ AB ．【答案与解析】证明：过点 C 作 CD ⊥AB 于 D ． ∵ AC ＝BC ， CD ⊥AB ，∴ AD ＝ BD ．∵ ∠ACB ＝ 90°，∴ CD ＝ AD ＝ DB ．BM 2、 CM 2，自然想到了用勾股定理证明，因此需要 22 AM 2 BM 2 2 AD DM 2AD DM AD 2 2AD DMDM 2 AD 2 2AD DM DM 2(CD 2 DM 2)在 Rt △ CDM 中， CD 22 DM 2 CM AM 2BM 2CM【答案】解：如图，作 AM ⊥BC 于 M ，∵ AB ＝AC ，∴ BM ＝ CM, 则在 Rt △ABM 中：AB 2 AM 2 BM 2 ⋯⋯①在 Rt △ ADM 中：222AD 2 AM 2 DM 2⋯⋯②由①－②得： AB 2 AD 2 BM 2 DM 2 BM DM BM DM＝ （MC ＋DM ）?BD ＝ CD ·BD 类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、已知如图所示，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝20，BC ＝32，D 是 BC 上的一点，且 AD ⊥AC ， 求 BD 的长．【思路点拨】 由于 BD 所在的△ ABD 不是直角三角形，不易直接求出 BD 的长，且△ ACD 尽管是直角三角形，但 AD 的长是未知的，因而不能确定CD 的长.过点 A 作AE ⊥BC 于 E ，这时可 以从 Rt △ ABE 与 Rt △ ADE 、 Rt △ADC 中，运用勾股定理可求得 AE 、 DE 的长，从而求出 BD 的长．【答案与解析】 解：过点 A 作 AE ⊥ BC 于 E ．∵ AB ＝ AC ， 11∴ BE ＝ EC ＝ BC ＝ 32 16．22 在 Rt △ ABE 中， AB ＝20，BE ＝16，2 2 2 2 2∴ AE 2 AB 2 BE 2 202 162 144 ，AE ＝ 12，在 Rt △ADE 中，设 DE ＝ x ，则 AD 2 AE 2 DE 2 144 x 2 ，∵ AD ⊥ AC ，2 2 2 2 2 2∴ AD 2 AC 2 CD 2 ，而 144 x 2 202 (16 x)2 ．解得： x ＝ 9．∴ BD ＝BE － DE ＝16－9＝7．【总结升华】 勾股定理的作用是： 已知直角三角形的两边可以求第三边， 所以求直角三角形 的边长时应该联想到勾股定理．举一反三：【变式】如图所示，已知△ ABC 中，∠B ＝22.5°，AB 的垂直平分线交 BC 于 D ，BD ＝ 6 2， AE ⊥ BC 于 E ，求 AE 的长．S 1、 S 2、S 3表示，则不难证明 S 1 S 2 S 3 ．S 1、 S 2、S 3表示，那么 S 1、 S 2、 S 3 之间有什么关系 ?( 不必证明 )(2) 如图③，分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1、 S 2、S 3表示，请你确定 S 1、 S 2、 S 3 之间的关系并加以证明．解：连接 AD ．∵ DF 是线段 AB 的垂直平分线，∴ AD ＝BD ＝ 6 2 ，∴ ∠ BAD ＝∠ B ＝ 22.5又∵∠ ADE ＝∠ B ＋∠ BAD ＝45°， AE ⊥BC ，∴ ∠DAE ＝ 45°，∴ AE ＝ DE由勾股定理得： AE 2 DE 2 AD 2 ，2AE 2 (6 2) 2， AE 62 26． 4、如图①所示，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用(1) 如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用(1)S 1 S 2 S 3 ； (2) S 1 S 2 S 3 ．证明如下：显然， S 1 3c 2，S 23 a 2，S 3 3b 2， 444所以 S 2 S 3 3 (a 2 b 2) 3 c 2 S 1．2 3 4 4 1 【总结升华】 本题可以在直角三角形外作的三个图形推及为等腰直角三角形、5、如果Δ ABC 的三边分别为 a 、b 、c ，且满足 a 2 b 2 c 2 50 断Δ ABC 的形状 .【答案与解析】解：由 a 2 b 22 c 50 6a 8b 10c ，得 ： 2 a 6a9 2 b 2 8b 16 2 c 10c 25 0 ∴ (a 3)2 2 (b 4)2(c 5)2 0 ∵ (a3)2 0，(b 4)20，(c 5)2 0 ∴a3, b 4, c 5. 2 2 2∵ 3242 52, 2 2 2∴a b c .由勾股定理的逆定理得：△ ABC 是直角三角形 .【总结升华】 勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的 用到.答案与解析】解：设 Rt △ ABC 的三边 BC 、 CA 、 AB 的长分别为 a 、 b、 c ，则 a 2 b 2 2 c ． 正五边形等．6a 8b 10c ，判 , 在证明中经常要类型三、勾股定理的实际应用的顶点 B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从 A 处爬到 B 处的最短路线长为多少 ?【思路点拨】 将长方体表面展开， 由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行， 且长方体木块底面 是正方形，故它爬行的路径有两种情况．答案与解析】解：如图②③所示．在图②中，由勾股定理，得 AB 2 32 112 130 ．在图③中，由勾股定理，得 AB 2 62 82 100 ． 因为 130>100，所以图③中的 AB 的长度最短，为 10cm ，即蚂蚁需要爬行的最短路线 长为10cm ．【总结升华】 解本题的关键是正确画出立体图形的展开图， 把立体图形上的折线转化为平面 图形上的直线，再运用勾股定理求解．举一反三：【高清课堂 勾股定理全章复习 例 10 】【变式】如图，有一个圆柱体，它的高为 20，底面半径为 5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底 面的 A 点，沿圆柱表面爬到与 A 相对的上底面 B .（ π取3）答案】 25；提示：蚂蚁爬的最短路线长 202 (5 )2 25. 、如图①， 一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点 A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB 的长度．。
勾股定理的知识点总结
勾股定理的知识点总结勾股定理的应用是非常广泛的，它可以帮助我们解决很多与直角三角形相关的问题。
在实际生活中，勾股定理被广泛应用于建筑、工程、地理测量、导航系统等领域。
在数学教育中，勾股定理也是基础知识之一，学生可以通过学习勾股定理来提高对几何学和三角学的理解和应用能力。
除了勾股定理本身，还有一些与之相关的知识点，比如勾股定理的逆定理、特殊直角三角形的性质、勾股数的概念等。
接下来，我们将系统地介绍勾股定理及相关知识点的内容，以便读者能够更全面地了解这一重要定理。
一、勾股定理勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪提出的。
据说，毕达哥拉斯是在观察三角形时发现了这一定理。
他发现，对于一个直角三角形来说，直角边的长度的平方和等于斜边的长度的平方。
这一发现被称为勾股定理，成为了数学中的一项重要定理。
勾股定理的数学表述如下：如果一个三角形的两条直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，那么a的平方加上b的平方等于c的平方，即a^2 + b^2 = c^2。
这一定理适用于所有直角三角形，无论其大小或者比例如何，只要是直角三角形，勾股定理都成立。
勾股定理的应用非常广泛。
在几何学中，我们可以通过勾股定理来解决直角三角形的各种问题，比如求边长、求角度、求面积等。
在三角学中，勾股定理可以帮助我们计算三角函数的值，从而解决各种三角函数的计算问题。
在实际生活中，勾股定理被广泛应用于建筑、工程、地理测量、导航系统等领域。
二、勾股定理的逆定理除了勾股定理本身，勾股定理的逆定理也是很重要的一个概念。
勾股定理的逆定理是指，如果一个三角形的三条边满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形。
也就是说，如果三角形的三条边满足勾股定理的条件，那么这个三角形一定是直角三角形。
勾股定理的逆定理可以帮助我们判断一个三角形是否为直角三角形。
只要我们知道了三角形的三条边的长度，就可以根据勾股定理的逆定理来判断这个三角形是否为直角三角形。
勾股定理公式大全
勾股定理公式大全勾股定理是数学中的一条重要定理，它是古希腊数学家毕达哥拉斯所发现的。
这条定理在几何学中有着广泛的应用，也是数学中的基础知识之一。
勾股定理的公式形式简单，但却有着丰富的推论和应用，下面将为大家介绍勾股定理的公式大全。
1. 勾股定理的基本公式。
在直角三角形中，设直角边长分别为a、b，斜边长为c，则勾股定理的基本公式为，a² + b² = c²。
这是勾股定理最基本的形式，也是大家最熟悉的形式。
2. 勾股定理的推论公式。
在勾股定理的基础上，还可以得到一些有趣的推论公式。
例如，如果一个直角三角形的两条直角边长度分别为3和4，则斜边的长度可以通过勾股定理计算得到，3² + 4² = 5²，即9 + 16 = 25，所以斜边的长度为5。
这就是勾股定理的一个推论。
3. 勾股定理的应用公式。
在实际问题中，勾股定理也有着丰富的应用。
例如，我们可以利用勾股定理来计算建筑物的高度、距离等。
又如，在导弹发射过程中，勾股定理也可以用来计算导弹的飞行轨迹和距离。
总之，勾股定理的应用是非常广泛的。
4. 勾股定理的证明公式。
勾股定理的证明有很多种方法，最常见的是利用几何图形和代数方法进行证明。
其中，利用平行四边形和相似三角形的方法是比较常见的。
通过这些方法，可以很容易地证明勾股定理的正确性。
5. 勾股定理的拓展公式。
除了直角三角形外，勾股定理还可以拓展到其他类型的三角形中。
例如，等腰直角三角形、钝角三角形等，都可以利用勾股定理进行求解。
在拓展时，需要注意对角的选择和应用条件的变化。
6. 勾股定理的实际案例。
在日常生活和工作中，我们经常会遇到需要用到勾股定理的实际案例。
比如，地质勘探中的测量、建筑工程中的设计、导航系统中的定位等，都需要用到勾股定理来进行计算和分析。
总结，勾股定理是数学中的一条重要定理，它的公式形式简单，但却有着丰富的推论和应用。
在实际问题中，勾股定理可以帮助我们解决很多复杂的计算和分析问题，因此，掌握勾股定理是非常重要的。
勾股定理知识点总结
勾股定理知识点总结勾股定理是数学中的一条重要定理，是数学中的基础知识之一。
它表明在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理最早是在中国古代的《周髀算经》中出现的，距今已有几千年的历史。
在数学中，它有着广泛的应用，尤其在几何学中，被广泛运用于直角三角形的问题中。
勾股定理的表达式为：a² + b² = c²，其中a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边。
这个定理可以用于计算直角三角形的边长，也可以用于判断一个三角形是否为直角三角形。
在勾股定理的应用中，我们可以通过已知的两个边长来计算第三个边长。
例如，如果已知一个直角三角形的两个直角边的长度分别为3和4，我们可以使用勾股定理计算斜边的长度，即c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，所以斜边的长度c为5。
除了用于计算直角三角形边长以外，勾股定理还可以用于判断一个三角形是否为直角三角形。
如果一个三角形的边长满足勾股定理的条件，即a² + b² = c²，那么这个三角形就是直角三角形。
这是因为只有直角三角形的边长满足这个等式。
勾股定理在其他学科中也有着广泛的应用。
在工程学中，勾股定理被用于计算建筑物或者其他结构物的斜坡长度。
在物理学中，勾股定理被用于计算力的分解和合成。
在计算机图形学中，勾股定理被用于计算图形的形状和位置。
除了勾股定理本身，还有很多与之相关的知识点。
例如，勾股定理的逆定理是毕达哥拉斯三线定理，它表明如果一个三角形的边长满足a² + b² = c²，那么这个三角形一定是直角三角形。
此外，勾股定理和三角函数的关系也是一个重要的知识点。
由于三角函数和勾股定理之间的关系，我们可以通过已知两个边的长度和一个夹角的大小来计算其他边和角的大小。
总而言之，勾股定理是一条在数学中有着广泛应用的定理。
它以简单的数学关系描述了直角三角形的性质，是数学中的基础知识之一。
勾股定理知识点总结
勾股定理全章知识点归纳总结一.基础知识点：1:勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
（即：a22 = c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在.IABC中，./C=90，则c =加b2，b = . c2 a2，a = c2 b2）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2:勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c,则有关系a22= c2,那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a22是否具有相等关系，若c2 = a22，则△是以/C为直角的直角三角形（若c2>a22，则△是以/C为钝角的钝角三角形；若c2<a22,则△为锐角三角形）。
（定理中a , b , c及a2 b^c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a , b , c满足a2 c2二b2，那么以a , b , c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边）3:勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
1 / 84:互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这 样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一 个叫做它的逆命题。
规律方法指导1 •勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转 化证明的。
2•勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系， 可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
勾股定理基础
勾股定理（基础）【学习目标】1.掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．2.掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．3.熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．【知识点】要点一、直角三角形直角边与斜边之间的大小关系定理：在直角三角形中，斜边大于直角边.要点二、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c .要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b ，222b c a ， 222c a b ab .要点三、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.要点四、勾股定理的作用1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段.【典型例题】类型一、勾股定理的直接应用1、在△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若a ＝5，b ＝12，求c ；（2）若c ＝26，b ＝24，求a ．【答案与解析】解：（1）因为△ABC 中，∠C＝90°，222a b c ，a ＝5，b ＝12，所以2222251225144169c a b ．所以c ＝13．（2）因为△ABC 中，∠C＝90°，222a b c ，c ＝26，b ＝24，所以222222624676576100a c b ．所以a ＝10．【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式．举一反三：【变式1】在△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）已知b ＝2，c ＝3，求a ；（2）已知:3:5a c ，b ＝32，求a 、c ．【答案】解：（1）∵∠C＝90°，b ＝2，c ＝3，∴a ；（2）设3a k ，5c k ．∵∠C＝90°，b ＝32，∴222a b c ．即222(3)32(5)k k ．解得k ＝8．∴33824a k ，55840c k ．类型二、利用勾股定理解决实际问题2、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A 处的正前方30m 的C 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）【思路点拨】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC 的距离，直角三角形ABC 中，有斜边AB 的长，有直角边AC 的长，那么BC 的长就很容易求得，根据小汽车用2s 行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．【答案与解析】解：在Rt△ABC 中，AC=30m，AB=50m；据勾股定理可得：（m）∴小汽车的速度为v==20（m/s）=20×3.6（km/h）=72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．举一反三：【变式】有两棵树，一课高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小年至少飞行多少米？【答案】解：如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，过点C 作CE⊥AB 于E，则四边形EBDC 是矩形，连接AC，∴EB=4m，CE=8m，AE=AB-EB=10-4=6m，在Rt△AEC 中，22226810AC AE CE(m )．故小鸟至少飞行10m ．3、如图所示，在多边形ABCD 中，AB＝2，CD＝1，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，求多边形ABCD 的面积．【答案与解析】解：延长AD、BC 相交于点E∵∠B＝90°，∠A＝45°∴∠E＝45°，∴AB＝BE＝2∵∠ADC＝90°，∴∠DCE＝45°，∴CD＝DE＝1∴12222ABE S △，111122DCE S △．∴13222ABE DCE ABCD S S S △△四边形．【总结升华】求不规则图形的面积，关键是将其转化为规则的图形（如直角三角形、正方形、等腰三角形等），转化的方法主要是割补法，然后运用勾股定理求出相应的线段，解决面积问题．举一反三：【变式】已知：如图，在△ABC，BC=2，S △ABC =3，∠ABC=135°，求AC、AB 的长．【答案】解：如图，过点A 作AD⊥BC 交CB 的延长线于D，在△ABC 中，∵S △ABC =3，BC=2，∴AD===3，∵∠ABC=135°，∴∠ABD=180°﹣135°=45°，∴AB=AD=3，BD=AD=3，在Rt△ADC 中，CD=2+3=5，由勾股定理得，AC===．4、已知直角三角形斜边长为2，周长为2 ，求此三角形的面积．【答案与解析】解：设这个直角三角形的两直角边长分别为a b 、，则222222a b a b即224a b a b ①②将①两边平方，得2226a ab b ③③－②，得22ab ，所以1122ab 因此这个直角三角形的面积为12．【总结升华】此题通过间接未知数a b 、，通过变形直接得出12ab 的值，而不需要分别求出a b 、的值．本题运用了方程思想解决问题．【巩固练习】一.选择题1.在△ABC 中，AB＝12，AC＝9，BC＝15，则△ABC 的面积等于（）A.108B.90C.180D.542．在△ABC中，AB=10，AC=，BC 边上的高AD=6，则另一边BC 等于（）A．10B．8C．6或10D．8或103.小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是()A．12米B．10米C．8米D．6米4．Rt△ABC 中，斜边BC＝2，则222AB AC BC 的值为()A.8B.4C.6D.无法计算5．如图，△ABC 中，AB＝AC＝10，BD 是AC 边上的高线，DC＝2，则BD 等于()A.4 B.6 C.8 D.1026．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，若AB＝15cm ，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为()A.1502cmB.2002cmC.2252cmD.无法计算二.填空题7.在直角坐标系中，点P（－2，3）到原点的距离是_______．8.（2016·烟台）如图，O 为数轴原点，A,B 两点分别对应-3,3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O 为圆心，CO 长为半径画弧交数轴于点M，则点M 对应的实数为_____．9．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m 路，却踩伤了花草．10．如图，有两棵树，一棵高8m ，另一棵高2m ，两树相距8m ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m ．11．如图，直线l 经过正方形ABCD 的顶点B，点A、C 到直线l 的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．12.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点'B重合，则AC＝cm.三.解答题13.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2．求BC边上的高及△ABC的面积．14.已知在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC的长．15.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．【答案与解析】一.选择题1.【答案】D；【解析】△ABC为直角三角形，面积＝112954 2.2.【答案】C；【解析】解：当AD在△ABC8 ，CD=2 ∴BC=BD+DC=8+2=10；当AD在△ABC的外部时，8 ，CD=2∴BC=BD-DC=8-2=6；综上所述，BC 的长为6或10．故选C．3.【答案】A；【解析】设旗杆的高度为x 米，则 22215x x ，解得12x 米.4.【答案】A；【解析】2222AB AC BC 2BC 8 ＋＋.5.【答案】B；6 .6.【答案】C；【解析】面积和等于222225AC BC AB .二.填空题；【解析】解：由勾股定理可知，，∴点M ，．9.【答案】2；5 米，少走了7－5＝2米.10.【答案】10；10 .11．.12.【答案】4；【解析】90AB E ABE ，又因为AE＝CE，所以BE 为△AEC 的垂直平分线，AC＝2AB＝4cm .三.解答题13.【解析】解：∵AD⊥BC，∠C=45°，∴△ACD 是等腰直角三角形，∵AD=CD．∵AC=2，∴2AD 2=AC 2，即2AD 2=8，解得AD=CD=2．∵∠B=30°，∴AB=2AD=4，∴BD===2，∴BC=BD+CD=2+2，∴S △ABC =BC •AD=（2+2）×2=2+2．14.【解析】解：过D 点作DE⊥AB 于E，∵AD 平分∠BAC，∠C＝90°，∴DE＝CD＝3，易证△ACD≌△AED，∴AE＝AC，在Rt△DBE 中，∵BD＝5，DE＝3，∴BE＝4在Rt△ACB 中，∠C＝90°设AE＝AC＝x ，则AB＝4x ∵222ABAC BC ∴ 22248x x 解得6x ，∴AC＝6.15．【解析】解：设BE＝x ，则DE＝BE＝x ，AE＝AD－DE＝9－x ．在Rt△ABE 中，222AB AE BE ＋＝，∴ 22239x x ．解得5x ．。
勾股定理公式大全
勾股定理公式大全勾股定理是初中数学中的重要定理，它是数学中的基础知识，也是几何学中的重要内容。
勾股定理是指直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。
这个定理在解决直角三角形的问题时非常有用，可以帮助我们求解直角三角形的边长、角度等问题。
下面将介绍一些常见的勾股定理公式，希望对大家有所帮助。
1. 基本的勾股定理公式。
在直角三角形ABC中，设∠C=90°，AB为直角边，AC和BC为两条斜边。
根据勾股定理，可以得到以下公式：AB² = AC² + BC²。
2. 勾股定理的逆定理公式。
勾股定理的逆定理是指，如果在一个三角形中，三条边的平方满足a² + b² = c ²，那么这个三角形是直角三角形。
这个定理也非常重要，可以帮助我们判断一个三角形是否为直角三角形。
3. 勾股定理的应用公式。
在解决实际问题中，勾股定理也有很多应用。
比如在测量中，可以利用勾股定理求解两点之间的距离；在建筑设计中，可以利用勾股定理计算建筑物的高度；在航海中，可以利用勾股定理确定船只的航行方向等等。
4. 勾股定理的证明公式。
勾股定理最早是由古希腊数学家毕达哥拉斯提出的，他给出了勾股定理的几何证明。
后来人们又提出了很多种不同的证明方法，其中包括代数证明、几何证明、三角函数证明等。
这些证明方法都可以帮助我们更好地理解和掌握勾股定理。
5. 勾股定理的推广公式。
除了直角三角形外，勾股定理还可以推广到其他类型的三角形中。
比如等腰直角三角形、等边直角三角形等，它们都可以利用勾股定理进行求解。
在推广中，我们可以得到更多有趣的数学结论和定理。
总结，勾股定理是数学中的基础知识，它在解决直角三角形问题中非常有用。
通过掌握勾股定理的公式、逆定理、应用、证明和推广，可以更好地理解和运用这个定理，提高数学解题的能力。
希望本文介绍的勾股定理公式能够帮助大家更好地学习和掌握这一重要的数学知识。
勾股定理(基础篇)(有答案)
勾股定理 基础题1．已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是_________________ 2．Rt △一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt △的周长为_________________ 3．如果Rt △两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为_________________4．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是_________________ 5．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为_________________6．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ）7．已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为_________________8．已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且BC = 8cm ，CA = 6cm ，则点O 到三边AB ，AC 和BC 的距离分别等于 cm 9．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处。
另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_________________________米。
10．如图，在边长为c 的正方形中，有四个斜边为c 的全等直角三角形，已知其直角边长为a ，b.利用这个图试说明勾股定理?150°20m30m第6题图COA BD EF第8题图A第9题图第26题图11．如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为BC 上任意一点，请用学过的知识说明：AB 2－AP 2=PB ×PC 。
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第1节 《勾股定理》【知识要点】1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么 ，公式的变形：a 2 = ，b 2= 2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且满足a 2 + b 2= c 2，那么三角形ABC 是 ，这个定理叫做勾股定理的逆定理. 3、勾股数满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
常见勾股数有：（1） 222543=+ （2） 22213125=+ （3） 22225247=+ （4） 22217158=+ （5）22241409=+类型1：【利用勾股定理求直角三角形的边长】 （1） ABC8ABC20（3） （4）（5）ABC 912 ABC28ABCABC69AC5ABC25ABC36ABC52（7）（8）（9）ABC36A BC84ABC45108ABC60144AC6ABC2.4AC724AC2172（11）（12）（13）AC48AC3.512AC2896AC144ACACAC815AC2445（11）（12）（13）AC47.5AC2037.5AC75AC60AC16AC48AC940AC27120（14）（15）（16）类型2：【求长度】1.如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°， AB=BC=CD=1，OA=2，则OD 2=____________.DCBAOAC3 AC120AC200AC18AC4.5 20AC1.882、如图， 等腰△ABC 的底边BC 为16, 底边上的高AD 为6，则腰AB 的长为____________.3、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达点B200m ，结果他在水中实际游了520m ，求该河流的宽度为___________m.ABC200m520m4、 如图， 在△ABC 中， AD ⊥BC 于D ，AB=3，BD=2，DC=1， 求AC 2的值.B D C5、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，AC=4cm ，BC=3cm ，则CD= ．6、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少？芦苇长为多少？（2题图）ABD7、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米．8、在直角三角形中, 若两直角边的长分别为1、2，则斜边长的平方为9、已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长的平方为10、已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是 5或1311、已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 则斜边上的高为 136012、如果直角三角形的两直角边长分别为12-n ，2n （n >1），那么它的斜边长是 12+n13、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a +b =14cm ，c =10cm ，则Rt △ABC 的面积是 242c m14、一等腰三角形底边长为10cm ，腰长为13cm ，则腰上的高的平方为15、在△ABC中，∠C=90°，若AB＝5，则2AB+2BC=__________.AC+216、小华和小红都从同一点O出发，小华向北走了9米到A点，小红向东走了12米到了B点，则________AB米．17、一个三角形三边满足(a+b)2－c2＝2ab, 则这个三角形是三角形.18、木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，这个桌面__________ (填“合格”或“不合格”).19、直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，则它的面积为．20、有六根细木棒，它们的长分别是2，4，6，8，10，12（单位：cm），首尾连结能搭成直角三角形的三根细木棒分别是．21、正方形的面积为18cm2, 则正方形对角线长为__________ cm.22、一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（）.A. 4B. 8C. 10D. 1223、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是（）.A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D. 等腰三角形24、一直角三角形的一条直角边长是7cm , 另一条直角边与斜边长的和是49cm , 则斜边的长( ).A. 18cmB. 20 cmC. 24 cmD. 25cm25、如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为7米26、小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是12米.27、如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米？（先画出示意图，然后再求解）28、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米处，过了2秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了 吗？观测点 小汽车29、如图，AC ⊥CE ，AD=BE=13，BC=5，DE=7，则AC =12 .ABC D E 30、若直角三角形的两条直角边长分别为3cm 、4cm ，则斜边上的高为512cm31、在Rt △ABC 中，∠C =90°，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边中最大边长是 2632、小明准备测量一段河水的深度,他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m 远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,则河水的深度为 2m33、已知一直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则第三边的长为．34、已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是35、一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里．36、如图，铁路上A、B两点相距25km, C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，若DA=10km,CB=15km，现要在AB上建一个周转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则周转站E应建在距A点多远处？37、如图，从电线杆离地面8m的C处向地面拉一条电缆拉线，测得地面电缆固定点A到电线杆底部AB 的距离是6m，则电缆拉线AC的长是10m．【解】Rt△ABC中，AB=6m，BC=8m；根据勾股定理，得：AC===10（m ）； 即电缆拉线AC 的长是10m ．故答案为：10．38、在Rt ABC △中，90C ∠=︒，若11a =，61c =，则b = 6039、若直角三角形中，有两边长是12和5，则第三边长的平方为 169或11940、已知，三角形的三边长为6810，，，则这个三角形最长边上的高是 4.841、在ABC △中，15AB =，20AC =，BC 边上的高12AD =，则BC 的长为 25或742、已知一直角三角形的木板，三边的平方和为21800cm ，则斜边长为 30cm43、一直角三角形的两边长是3和5，则第三边边长的平方是______34或1644、在ABC △中，15AB =，13AC =，高12AD =，则三角形的周长是______32或42。
勾股定理判定条件
勾股定理判定条件勾股定理是初中数学中比较基础的知识点之一，其应用广泛，被广泛地运用于各个领域。
勾股定理给出了一个直角三角形边长之间的关系，它可以通过勾股定理判定条件来判断一个三角形是否为直角三角形，从而判断出三角形的性质。
本文将详细介绍勾股定理及其判定条件。
一、勾股定理简介勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是指在一个直角三角形中，三条边满足勾股定理的条件：斜边的平方等于直角边的平方和。
具体而言，设三角形的三条边分别为a,b,c，且c 为斜边，若满足a²+b²=c²，则该三角形为直角三角形，且直角所对应的边为斜边。
该定理得名于古希腊哲学家毕达哥拉斯。
二、勾股定理的证明勾股定理得名于古希腊哲学家毕达哥拉斯，但自公元前两千年左右起，许多文化都已经独立地发现过这一定理。
勾股定理的证明，可以使用不同的方法，下面介绍其中的两种：1.图形法证明将正方形按照对角线断开，将原正方形分成四个直角三角形，其中三个直角三角形的三边分别为a,b,c，而第四个直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c的平方，此时，c²由直角三角形的两个直角边的长度计算得到，而a²+b²则是三个直角三角形的面积之和，因此有c²=a²+b²。
2.代数法证明首先假设a²+b²=c²成立，令x=c/a，则b²=a²(1-x²)，由此可以推导出b²的值。
然后，假设不成立，即a²+b²>c²或a²+b²<c²，如果a²+b²>c²，则假设存在一个数e，使得c²=(a+e)²+b²，代入a²+b²=c²中得到a²+2ae+e²+c²-b²=c²，化简后可得2ae+e²>c²-b²，因此e²>(c-b)(c+b-2a)，由于c>b>a，因此(e/a)² > 2，与x=c/a < 1矛盾。
解析勾股定理
解析勾股定理勾股定理是中学数学中的基础定理，也被广泛应用于实际生活和科学研究中。
本文将以解析的方式对勾股定理进行深入分析，揭示其背后的数学原理和应用场景。
1. 勾股定理的数学原理勾股定理以公式的形式表达为：c² = a² + b²。
其中，c为直角三角形的斜边（即最长边），而a和b则为直角三角形的两条直角边。
通过几何证明或代数推导，我们可以得到勾股定理的数学原理。
在直角三角形中，以斜边为直径作圆，则直角所对的两条直角边所对的弧长分别为a和b，而斜边所对的弧长为c。
根据圆周角的性质，我们可以得出两个弧长之间的关系：a² + b² = c²，即勾股定理成立。
2. 勾股定理的应用场景2.1 测量直角三角形的边长勾股定理最常用的应用场景就是测量直角三角形的边长。
通过已知两条边的长度，可以利用勾股定理计算出第三条边的长度。
例如，如果已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，我们可以使用勾股定理计算斜边的长度：c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，因此c = 5。
这样，我们就能得出该三角形的所有边长。
2.2 解决几何问题勾股定理在几何问题中也有广泛的应用。
例如，在解决平面几何问题时，我们常常需要利用勾股定理证明两个三角形是否全等或相似。
通过比较两条直角边的平方和，我们可以判断两个三角形是否满足勾股定理，从而推导出它们的关系。
2.3 三维空间中的几何问题勾股定理不仅适用于平面几何，也可以应用于三维空间中的几何问题。
在空间中，三角形的边长变为线段的长度，而勾股定理仍然成立。
利用勾股定理，我们可以计算三维空间中的两点之间的距离，或求解三棱柱、三棱锥等几何体的体积和表面积。
3. 勾股定理的拓展除了基本形式的勾股定理，还存在一些拓展形式，扩展了其应用范围。
3.1 多边形的勾股定理除了直角三角形外，勾股定理也可以推广到其他类型的多边形。
第2讲 勾股定理--基础班(教案教学设计导学案)
第2讲 勾股定理知识点1 勾股定理的证明勾股定理：直角三角形两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方.a 2+b 2=c 2勾股定理的证明主要是通过用两种方式表示同一个图形的面积来实现的.常见的用来证明勾股定理的图形有：【典例】如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′．设AB=a ，BC=b ，AC=c ，这样可以用来说明我们学习过的定理或者公式是（ ）A. 勾股定理B. 平方差公式C. 完全平方公式D. 以上3个答案都可以【答案】A【解析】证明：四边形BCC′D′为直角梯形，∴S 梯形BCC′D′=12（BC+C′D′）•BD′=(a+b)22，又∵∠AB′C′=90°，Rt △ABC ≌Rt △AB′C′，∴∠BAC=∠B′AC′．∴∠CAC′=∠CAB′+∠B′AC′=∠CAB′+∠BAC=90°；∴S 梯形BCC′D′=S △ABC +S △CAC′+S △D′AC′=12ab+12c 2+12ab=c 2+2ab 2； ∴(a+b)22=c 2+2ab 2；∴a2+b2=c2，【方法总结】此题考查了用数形结合来证明勾股定理，需注意：组成的图形S梯形BCC′D′的面积有两种表示方法：①用梯形的面积公式表示；②用组成该梯形的3个小三角的面积和表示．【随堂练习】1．（2018春•呼和浩特期末）如图图中，不能用来证明勾股定理的是（）A．B．C．D．【解答】解：A，B，C都可以利用图形面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C选项不符合题意；D、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确．故选：D．2．（2018春•朔州期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、∵+c2+ab=（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×+c2=（a+b）2，∴整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵4×+（b﹣a）2=c2，∴整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．知识点2 勾股定理的实际应用解勾股定理实际问题的一般步骤：①仔细审题，读懂题意；②找出或构造出与问题有关的直角三角形；③在直角三角形中根据勾股定理列算式或列方程；④求解所列算式或方程，直接或间接得到答案；⑤作答.解有关勾股定理的实际问题的关键是将实际问题转化为数学模型.【典例】1.如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米，求梯子顶端A下落了多少米.【答案】【解析】解：在Rt△ACB中，AC2=AB2﹣BC2=2.52﹣1.52=4，∴AC=2，∵BD=0.9，∴CD=1.5+0.9=2.4．在Rt△ECD中，EC2=ED2﹣CD2=2.52﹣2.42=0.49，∴EC=0.7，∴AE=AC﹣EC=2﹣0.7=1.3．∴梯子顶端A下落了1.3米【方法总结】要求下滑的距离，显然需要求得AC和CE的长.由图知AC和CE分别在两个直角三角形中，且两个直角三角形斜边相等，运用勾股定理即可求出AC和CE的长，从而得解．本题考查了勾股定理的实际应用，找到边所对应的直角三角形是解题的关键.【随堂练习】1．（2018春•邹城市期中）如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是（）A．13米B．12米C．5米D．米【解答】解：如图所示，过D点作DE⊥AB，垂足为E，∵AB=13，CD=8，又∵BE=CD，DE=BC，∴AE=AB﹣BE=AB﹣CD=13﹣8=5，∴在Rt△ADE中，DE=BC=12，∴AD2=AE2+DE2=122+52=144+25=169，∴AD=13（负值舍去），答：小鸟飞行的最短路程为13m．故选：A．2．（2018春•昆明期末）一木杆在离地面5m处析断，木杆顶端落在木杆底端12m 处，则木杆析断前高为（）A．18m B．13m C．17m D．12m【解答】解：∵一木杆在离地面5米处折断，木杆顶端落在木杆底端12m处，∴折断的部分长为=13，∴折断前高度为5+13=18（米）．故选：A．3．（2018春•保定期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面．然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m．则旗杆高度为（）（滑轮上方的部分忽略不计）A．12m B．13m C．16m D．17m【解答】解：设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，解得：x=17，即旗杆的高度为17米．故选：D．知识点3 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.【典例】1.已知三角形的三边分别是9，12，15，则这个三角形的面积为___________．【答案】54【解析】解：∵92+122=152，∴此三角形是直角三角形，×9×12=54．∴此直角三角形的面积为：12故答案为：54．【方法总结】先利用勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再利用三角形的面积公式即可求出其面积．本题考查了勾股定理的逆定理，能够根据具体数据运用勾股定理的逆定理判定该三角形是一个直角三角形是解决此类问题的关键．【随堂练习】1．（2018春•香坊区校级期中）以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（）A．a=2，b=3，c=4B．a=3，b=3，c=3C．a=，b=，c=2D．a=5，b=12，c=13【解答】解：A、32+22≠42，故不是直角三角形，故错误；B、32+32≠（3）2，故不是直角三角形，故错误；C、22+（）2≠（）2，故不是直角三角形，故错误；D、52+122=169=132，故是直角三角形，故正确．故选：D．2．（2018秋•靖边县期中）下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（）A．1、、B．9、40、41C．7、9、12D．、、1【解答】解：A、12+（）2=（）2，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；B、92+402=412，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；C、72+92≠122，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；D、（）2+（）2=12，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．故选：C．知识点4 勾股数勾股数：满足关系a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．【典例】1.阅读理解并解答问题如果a、b、c为正整数，且满足a2+b2=c2，那么，a、b、c叫做一组勾股数．（1）请你根据勾股数的意思，说明为什么3、4、5是一组勾股数；（2）写出一组不同于3、4、5的勾股数；（3）如果m表示大于1的整数，且a=2m，b=m2﹣1，c=m2+1，请你根据勾股数的定义，说明a、b、c为勾股数．【解析】解：（1）∵3、4、5是正整数，且32+42=52，∴3、4、5是一组勾股数；（2）∵122+162=202，且12，16，20都是正整数，∴一组勾股数可以是12，16，20．答案不唯一；（3）∵m表示大于1的整数，∴由a=2m，b=m2﹣1，c=m2+1得到a、b、c均为正整数；又∵a2+b2=（2m）2+（m2﹣1）2=4m2+m4﹣2m2+1=m4+2m2+1，而c2=（m2+1）2=m4+2m2+1，∴a2+b2=c2，∴a、b、c为勾股数．【方法总结】常见的几组勾股数有：①3、4、5；②6、8、10；③9、12、15；④12，15，20 ；⑤5，12，13；⑥7,24,25.本题考查了勾股数，熟练掌握勾股数的特点是解本题的关键.特别注意：勾股数是正整数，一组勾股数中决不能出现小数、分数、负数、带根号的无理数等.【随堂练习】1．（2018秋•平度市期中）下列各组数中，是勾股数的是（）A．1，2，3B．1，，C．2，3，4D．5，12，13【解答】解：A、∵12+22=5≠32=9，∴不是勾股数；B、∵12+（）2=3≠（）2=3，但和不是正整数，∴不是勾股数；C、∵22+32=13≠42=16，∴不是勾股数；D、∵52+122=169=132=169，∴是勾股数．故选：D．2．（2018秋•罗湖区期中）如果3，a，5是勾股数，则a的值是（）A．4B．C．4或D．4或34【解答】解：∵3，a，5是勾股数，∴a=4，故选：A．综合运用1．（2018春•遵义期中）如图：在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠C=90°，∠D=90°，AC=BD=a，BC=DE=b，AB=BE=c，试利用图形证明勾股定理．【解答】证明：∵∠C=90°，∠D=90°，AC=BD=a，BC=DE=b，AB=BE=c，∵Rt△ACB≌Rt△BDE，∴∠ABC=∠BED，∠BAC=∠EBD，∵∠ABC+∠DBE=90°，∴∠ABE=90°，三个Rt△其面积分别为ab，ab和c2．直角梯形的面积为（a+b）（a+b）．由图形可知：（a+b）（a+b）=ab+ab+c2，整理得（a+b）2=2ab+c2，a2+b2+2ab=2ab+c2，∴a2+b2=c2．2．（2017秋•兴化市期末）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明a2+b2=c2；（2）如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求（a+b）2的值．【解答】解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2，∴c2=4×ab+（a﹣b）2=2ab+a2﹣2ab+b2即c2=a2+b2．；（2）由图可知，（b﹣a）2=2，4×ab=10﹣2=8，∴2ab=8，∴（a+b）2=（b﹣a）2+4ab=2+2×8=18．3．（2018春•永清县期末）如图，一架梯子斜靠在墙上，设梯子AB的中点为O，AB=6米，BC=2米，若梯子B端沿地面向右滑行1米，则点O到点C的距离（）A．减小1米B．增大1米C．始终是2米D．始终是3米【解答】解：∵O为直角三角形ACB斜边上的中点，斜边AB=6米，∴CO=AB=3米，故选：D．4．（2017秋•醴陵市期末）如果梯子的底端离建筑物5 米，13 米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（）A．12 米B．13 米C．14 米D．15 米【解答】解：如图，∵梯子的底端离建筑物5 米，梯子长为13米，∴AC==12（米）．故选：A．5．（2018春•杜尔伯特县期中）已知两线段的长分别是5cm、3cm，则第三条线段长是_______时，这三条线段构成直角三角形【解答】解：当第三条线段为直角边时，5cm为斜边，根据勾股定理得，第三条线段长为=4cm；当第三条线段为斜边时，根据勾股定理得，第三条线段长为=cm．故答案为4或cm．6．（2018秋•叶县期中）如图，正方形网格中有△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识解答下列问题：（1）判断△ABC是什么形状？并说明理由．（2）求△ABC中BC边上的高．【解答】解：（1）△ABC是直角三角形．理由如下：在Rt△ABC中，AB=；在Rt△AEC中，AC=；在Rt△BDC中，BC=；∴AB2+BC2=AC2，∴∠B=90°，△ABC是直角三角形；（2）设AC边上的高为h．=AC•h=AB•BC，∵S△ABC∴h=．7．（2018秋•商河县校级月考）下列各组数中，是勾股数的是（）A．6，9，12B．﹣9，40，41C．9，12，13D．7，24，25【解答】解：A、不是，因62+92≠122；B、不是，因为﹣9不是正整数；C、不是，因为92+122≠132；D、是，因为72+242=252．且7、24、25是正整数．故选：D．。
勾股定理(基础)知识讲解
勾股定理（基础）【学习目标】1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．【要点梳理】【高清课堂 勾股定理 知识要点】要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=．要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．（3）理解勾股定理的一些变式： 222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-．要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以． 要点三、勾股定理的作用1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2. 用于解决带有平方关系的证明问题；3． 与勾股定理有关的面积计算；4．勾股定理在实际生活中的应用．【典型例题】类型一、勾股定理的直接应用1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若a ＝5，b ＝12，求c ；（2）若c ＝26，b ＝24，求a ．【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长．【答案与解析】解：（1）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，a ＝5，b ＝12，所以2222251225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13．（2）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，c ＝26，b ＝24，所以222222624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10．【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式．举一反三：【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）已知b ＝6，c ＝10，求a ；（2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ．【答案】解：（1）∵ ∠C ＝90°，b ＝6，c ＝10，∴ 2222210664a c b =-=-=，∴ a ＝8．（2）设3a k =，5c k =，∵ ∠C ＝90°，b ＝32，∴ 222a b c +=．即222(3)32(5)k k +=．解得k ＝8．∴ 33824a k ==⨯=，55840c k ==⨯=．类型二、与勾股定理有关的证明2、（2015•丰台区一模）阅读下面的材料勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形．由图1可以得到（a+b）2=4×，整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2．所以a2+b2=c2．如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：由图2可以得到，整理，得，所以．【答案与解析】证明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b﹣a）2，∴c2=4×ab+（b﹣a）2，整理，得2ab+b2﹣2ab+a2=c2，∴c2=a2+b2．故答案是：；2ab+b2﹣2ab+a2=c2；a2+b2=c2．【总结升华】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE2-BE2等于（）A．AC2B．BD2C．BC2D．DE2【答案】连接AD 构造直角三角形，得，选A ．类型三、与勾股定理有关的线段长【高清课堂 勾股定理 例3】3、如图，长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D ；【解析】解：设AB ＝x ，则AF ＝x ，∵ △ABE 折叠后的图形为△AFE ，∴ △ABE ≌△AFE ．BE ＝EF ，EC ＝BC －BE ＝8－3＝5，在Rt △EFC 中，由勾股定理解得FC ＝4，在Rt △ABC 中，()22284x x +=+，解得6x =． 【总结升华】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解． 类型四、与勾股定理有关的面积计算4、如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）A ．6B ．5C ．11D ．16【思路点拨】本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用，由b 是正方形，可求△ABC ≌△CDE ．由勾股定理可求b 的面积=a 的面积+c 的面积．【答案】D【解析】解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠DEC ， 在△ABC 和△CDE 中，∵ABC CDE ACB DEC AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△CDE∴BC=DE∵222AB BC AC +=∴222AB DE AC +=∴b 的面积为5+11=16，故选D ．【总结升华】此题巧妙的运用了勾股定理解决了面积问题，考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．举一反三：【变式】（2015•东莞模拟）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S 1=4，S 2=9，S 3=8，S 4=10，则S=（ ）A.25B.31C.32D.40【答案】解：如图，由题意得：AB 2=S 1+S 2=13，AC 2=S 3+S 4=18，∴BC 2=AB 2+AC 2=31，∴S=BC 2=31，故选B ．类型五、利用勾股定理解决实际问题5、一圆形饭盒，底面半径为8cm ，高为12cm ，若往里面放双筷子（精细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？【答案与解析】解：如图所示，因为饭盒底面半径为8cm ，所以底面直径DC 长为16cm ．则在Rt △BCD 中，22222=16+12=400BD DC BC =+，所以20BD = (cm )．答：筷子最长不超过20cm ，可正好盖上盒盖．【总结升华】本题实质是求饭盒中任意两点间的最大距离，其最大距离是以饭盒两底面的一对平行直径和相应的两条高组成的长方形的对角线长．举一反三：【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m 处断裂，旗杆顶部落在离底部12m 处，则旗杆折断前有多高？【答案】解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C ＝90°，BC ＝5m ，AC ＝12m ，∴ 22222512169AB BC AC =+=+=．∴ 13AB =(m )．∴ BC ＋AB ＝5＋13＝18(m )．∴ 旗杆折断前的高度为18m ．。
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勾股定理（基础）
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
●
掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想； ●
能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）； ● 通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．
学习策略：
●
体验勾股定理的探索过程，掌握方程思想； ●
牢记直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.
二、学习与应用
1. 正数的平方根有 ，它们互为 ，其中正的那个叫它的____；负数 ，0的平方根是 .
2. 324的算术平方根是 ，
256的平方根是 . 3.196= ,144 = .
要点一、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长
分别为a b ，，斜边长为c ，那么 .
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的
线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目
的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
“凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记．
要点梳理——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听
课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．
知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
2______a =，2______b =， ()2
2____c a b =+-
要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中，所以.
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中，所以.
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以. 要点三、勾股定理的作用
1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2. 用于解决带有平方关系的证明问题；
3. 与勾股定理有关的面积计算；
4. 勾股定理在实际生活中的应用．
类型一、勾股定理的直接应用
例1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．
（1）若a ＝5，b ＝12，求c ；
（2）若c ＝26，b ＝24，求a ．
典型例题——自主学习 认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完
成举一反三．课堂笔记或者其它补充填在右栏．
【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长．
【总结升华】 举一反三：
【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．
（1）已知b ＝6，c ＝10，求a ；
（2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ．
类型二、勾股定理的证明
例2、（2015•丰台区一模）阅读下面的材料
勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定
理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ，然
后按图1的方法将它们摆成正方形．
由图1可以得到（a+b ）2=4×，
整理，得a 2+2ab+b 2=2ab+c 2．
所以a 2+b 2=c 2．
如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述证明勾股定
理的方法，完成下面的填空：
由图2可以得到 ，
整理，得 ，
所以 ．
【总结升华】
举一反三：
【变式】如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 边的中点，DE ⊥AB 于E ，则
AE 2-BE 2等于（ ）
A ．AC 2
B ．BD 2
C ．BC 2
D ．D
E 2
类型三、与勾股定理有关的线段长
例3、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，
点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【总结升华】
类型四、与勾股定理有关的面积计算
例4、如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的
面积为（）
A．6 B．5 C．11 D．16
【思路点拨】本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用，由b是正方形，可求△ABC≌△CDE．由勾股定理可求b的面积=a的面积+c的面积．
【总结升华】
举一反三：
【变式】（2015•东莞模拟）如图3，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，
已知S
1=4，S
2
=9，S
3
=8，S
4
=10，则S=（）
图3 例5图
A.25
B.31
C.32
D.40
类型五、利用勾股定理解决实际问题
例5、（2016春•淄博期中）有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果
把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与
门高．
【思路点拨】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门
的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高．
【总结升华】
举一反三：
【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m处断裂，旗杆顶部落在离底部12m处，则旗
杆折断前有多高？
三、总结与反思
要想学习成绩好，总结少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力．
自我反馈
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理．如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流．
我的收获
重点习题题号：
错题题号（方便整理错题本）：
家长如何检查学案导学的落实情况？
1.做没做完？
2.是否对照答案修改？
3.是否有总结？。