20.2 一次函数的图象(1)
一次函数的图象
一次函数的图象介绍一次函数，又称线性函数，是形如y = ax + b的函数，其中a和b是常数。
一次函数是数学中的基本概念之一，具有高度的实用性和广泛的应用范围。
在本文档中，我们将探讨一次函数的图象、性质和画图方法。
一次函数的图象特点一次函数的图象呈直线，其特点包括： - 直线斜率：斜率a决定了直线的倾斜程度。
当a为正数时，直线向右上方倾斜；当a为负数时，直线向右下方倾斜；当a为0时，直线为水平线。
- y截距：常数b决定了直线与y轴的交点位置。
当b为正数时，直线在y轴上方与之交叉；当b为负数时，直线在y轴下方与之交叉；当b为0时，直线通过原点。
- 斜率变化：当a的绝对值增大时，直线斜率的绝对值也增大，表示直线的倾斜程度增大；当a的绝对值减小时，直线斜率的绝对值也减小，表示直线的倾斜程度减小。
一次函数的图象示例下面以几个示例说明一次函数的图象：示例1: y = 2x + 3考虑函数y = 2x + 3，我们绘制其图象。
根据图象特点，我们知道该函数的斜率为2，y截距为3。
通过选择2个点，并确定直线，我们可以轻松画出图象。
选择x = 0时，得到y = 2 * 0 + 3 = 3，因此第一个点为(0, 3)。
选择x = 1时，得到y = 2 * 1 + 3 = 5，因此第二个点为(1, 5)。
连接这两个点，我们得到直线的图象。
示例2: y = -0.5x - 2考虑函数y = -0.5x - 2，同样我们绘制其图象。
根据图象特点，我们知道该函数的斜率为-0.5，y截距为-2。
选择x = 0时，得到y = -0.5 * 0 - 2 = -2，因此第一个点为(0, -2)。
选择x = 4时，得到y = -0.5 * 4 - 2 = -4，因此第二个点为(4, -4)。
通过连接这两个点，我们得到直线的图象。
画一次函数图象的方法通过上述示例，我们可以总结出画一次函数图象的方法： 1. 确定斜率a和y 截距b。
20.2一次函数的图像课件
-6 -55 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 55 6
2
想一想：直线 相对于x轴正方 向的倾斜程度与
什么有关？
k的值不同，则直 线相对于x轴正方 x 10 向的倾斜15 程度不 同。
4
新课学习
例题1：在同一直角坐标系中画出直线
y 1 x2 2
与直线 y ，1 并x 判断这两条直线之间的位置关系.
令y=0，得4x+14=0，解得x=72 .
直线y=4x+14与x轴的交点B（ ，70）.
2
OB 7 ,OC 14.
2
SAOB
1 2
OB OC
1 2
7 14 2
49 . 2
课堂小结
这节课你有什么收获和体会？
2.如何确定直线与坐标轴围成的三角形面积？
读、算、代入三角形面积公式（坐标加绝对值）.
（2）直线y 5x 1; （4）直线 y 5x 3; （6）直线y 5x 5.
如何判断两条 直线平行？
解：（1）和（4）平行； （2）和（6）平行； （3）和（5）平行。
知识运用
例2 已知一次函数的图像经过点A(2,-1),且与直线y=
x+112平行.
设一次函数解析为
（1）求这个函数的解析式.
解： 直线y=(m-1)x+m与直线y=2x+1平行,
m-1=2.
解得 m=3.
（2）求直线y=(m-1)x+m与x轴的交点坐标；
把m=3代入解析式，得 y=2x+3.
令y=0,得0=2x+3,
解得x 3 .
2
直线与x轴交点坐标为
3 2
,
0
.
沪教版数学八年级下册20.2《一次函数的图象与性质》教学设计1
沪教版数学八年级下册20.2《一次函数的图象与性质》教学设计1一. 教材分析沪教版数学八年级下册20.2《一次函数的图象与性质》是学生在学习了函数概念、一次函数表达式的基础上，进一步研究一次函数的图象与性质。
本节内容主要包括一次函数的图象、一次函数的性质、一次函数的应用等。
通过本节的学习，使学生进一步理解函数与方程的关系，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了函数概念、一次函数表达式，对于一次函数的图象与性质有一定的了解。
但部分学生对于一次函数的性质理解不够深入，对于一次函数在实际问题中的应用还不够熟练。
因此，在教学过程中，要注意引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，深入理解一次函数的性质，提高解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.理解一次函数的图象与性质；2.学会如何运用一次函数解决实际问题；3.提高学生的数学思维能力、合作交流能力和动手操作能力。
四. 教学重难点1.一次函数的图象与性质；2.一次函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等多种教学方法，引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，深入理解一次函数的图象与性质，提高解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的一次函数图象与性质的PPT；2.准备一些实际问题，用于引导学生运用一次函数解决；3.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生回顾一次函数表达式，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）利用PPT展示一次函数的图象与性质，引导学生观察、思考，理解一次函数的图象与性质。
3.操练（15分钟）让学生通过动手操作，绘制一次函数的图象，进一步理解一次函数的性质。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固所学的一次函数的图象与性质知识。
5.拓展（10分钟）引导学生运用一次函数解决实际问题，提高学生的应用能力。
6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行小结，加深学生对一次函数图象与性质的理解。
专题20.2 一次函数的图像与性质(第1课时)(解析版)
第二十章一次函数专题20.2 一次函数的图像与性质（第1课时）基础巩固一、单选题（共6小题）1.直线y＝kx沿y轴向下平移4个单位长度后与x轴的交点坐标是（﹣3，0），以下各点在直线y＝kx上的是（）A．（﹣4，0）B．（0，3）C．（3，﹣4）D．（﹣4，3）【答案】C【分析】根据“上加下减”的原则求解即可．【解答】解：直线y＝kx沿y轴向下平移4个单位长度后的解析式为y＝kx﹣4，把x＝﹣3，y＝0代入y＝kx﹣4中，﹣3k﹣4＝0，解得：k＝﹣，所以直线y＝kx的解析式为：y＝﹣x，当x＝3时，y＝﹣4，当x＝﹣4时，y＝，当x＝0时，y＝0，故选：C．【知识点】一次函数图象与几何变换、一次函数图象上点的坐标特征2.一个正比例函数的图象经过点（1，﹣2），它的表达式为（）A．B．C．y＝﹣2x D．y＝2x【答案】C【分析】利用待定系数法求正比例函数解析式即可．【解答】解：设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），把（1，﹣2）代入得﹣2＝k×1，解得k＝﹣2，所以正比例函数解析式为y＝﹣2x．故选：C．【知识点】一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求正比例函数解析式3.已知一次函数y＝（1+2m）x﹣3中，函数值y随自变量x的增大而减小，那么m的取值范围是（）A．m≤﹣B．m≥﹣C．m＜﹣D．m＞【答案】C【分析】根据一次函数的性质解题，若函数值y随自变量x的增大而减小，那么k＜0．【解答】解：函数值y随自变量x的增大而减小，那么1+2m＜0，解得m＜﹣．故选：C．【知识点】一次函数图象与系数的关系4.下列四点中，在函数y＝3x+2的图象上的点是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（2，0）D．（0，﹣1.5）【答案】B【分析】只要把点的坐标代入一次函数的解析式，若左边＝右边，则点在函数的图象上，反之就不在函数的图象上，代入检验即可．【解答】解：A、把（﹣1，1）代入y＝3x+2得：左边＝1，右边＝3×（﹣1）+2＝﹣1，左边≠右边，故A 选项错误；B、把（﹣1，﹣1）代入y＝3x+2得：左边＝﹣1，右边＝3×（﹣1）+2＝﹣1，左边＝右边，故B选项正确；C、把（2，0）代入y＝3x+2得：左边＝0，右边＝3×2+2＝8，左边≠右边，故C选项错误；D、把（0，﹣1.5）代入y＝3x+2得：左边＝﹣1.5，右边＝3×0+2＝2，左边≠右边，故D选项错误．故选：B．【知识点】一次函数图象上点的坐标特征5.小王同学类比研究一次函数性质的方法，研究并得出函数y＝|x|﹣2的四条性质，其中错误的是（）A．当x＝0时y具有最小值为﹣2B．如果y＝|x|﹣2的图象与直线y＝k有两个交点，则k＞0C．当﹣2＜x＜2时，y＜0D．y＝|x|﹣2的图象与x轴围成的几何图形的面积是4【答案】B【分析】画出函数y═|x|﹣2的大致图象，即可求解．【解答】解：函数y═|x|﹣2的大致图象如下：A．当x＝0时y具有最小值为﹣2，正确；B．如果y＝|x|﹣2的图象与直线y＝k有两个交点，则k＞﹣2，故B错误；C．当﹣2＜x＜2时，y＜0，正确；D．y＝|x|﹣2的图象与x轴围成的几何图形的面积＝×4×2＝4，正确，故选：B．【知识点】一次函数的性质、两条直线相交或平行问题6.如图，直线y＝kx+b与x轴，y轴分别相交于点A（﹣3，0），B（0，2），则不等式kx+b＞2的解集是（）A．x＞﹣3B．x＜2C．x＞0D．x＜2【答案】C【分析】根据图象和B的坐标得出即可．【解答】解：∵直线y＝kx+b和y轴的交点是B（0，2），∴不等式kx+b＞2的解集是x＞0，故选：C．【知识点】一次函数的性质、一次函数与一元一次不等式二、填空题（共8小题）7.已知一次函数y＝2x+b的图象经过点A（2，y1）和B（﹣1，y2），则y1y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．【答案】＞【分析】由k＝2＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合2＞﹣1即可得出y1＞y2．【解答】解：∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大，又∵2＞﹣1，∴y1＞y2．故答案为：＞．【知识点】一次函数的性质8.已知一次函数y＝﹣x+3，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是．【分析】由﹣＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣1≤x≤4，即可求出y的最大值．【解答】解：∵﹣＜0，∴y随x的增大而减小，又∵﹣1≤x≤4，∴当x＝﹣1时，y取得最大值，最大值＝﹣×（﹣1）+3＝．故答案为：．【知识点】一次函数的性质9.如图直线a，b交于点A，则以点A的坐标为解的方程组是．【分析】先利用待定系数法求出直线a、b的解析式，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．【解答】解：直线a的解析式为y＝kx+m，把（0，1）和（1，2）代入得，解得，∴直线a的解析式为y＝x+1，易得直线b的解析式为y＝﹣x+3，∵直线a与直线b相交于点A，∴以点A的坐标为解的方程组为．故答案为（答案不唯一）．【知识点】一次函数与二元一次方程（组）10.一次函数y1＝﹣x﹣1与y2＝x+4的图象如图，则﹣x﹣1＞x+4的解集是．【答案】x＜-2【分析】结合函数图象，写出一次函数y1＝﹣x﹣1图象在函数y2＝x+4的图象上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：∵一次函数y1＝﹣x﹣1与y2＝x+4的图象的交点的横坐标为﹣2，∴当x＜﹣2时，y1＞y2，∴﹣x﹣1＞x+4的解集为x＜﹣2．故答案为x＜﹣2．【知识点】一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式11.一次函数y＝kx+3的图象过点A（1，4），则这个一次函数的解析式．【答案】y=x+3【分析】把点A的坐标代入一次函数解析式，列出关于系数k的方程k+3＝4，通过解该方程可以求得k的值．【解答】解：由题意，得k+3＝4，解得，k＝1，所以，该一次函数的解析式是：y＝x+3，故答案为y＝x+3【知识点】待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征12.已知一次函数y1＝kx﹣2和y2＝2x+3，当自变量x＞﹣1时，y1＜y2，则k的取值范围为．【答案】-3≤k≤2且k≠0【分析】解不等式kx﹣2＜2x+3，根据题意得出k﹣2＜0且≤﹣1且k≠0，解此不等式即可．【解答】解：∵一次函数y1＝kx﹣2和y2＝2x+3，当自变量x＞﹣1时，y1＜y2，∴kx﹣2＜2x+3，∴kx﹣2x＜5，∴k﹣2＜0且≤﹣1且k≠0，解得﹣3≤k＜2且k≠0；当k＝2时，也成立，故k的取值范围是：﹣3≤k≤2且k≠0．故答案为：﹣3≤k≤2且k≠0．【知识点】一次函数与一元一次不等式13.在一次函数y＝（k﹣5）x+2中，y随x的增大而减小，则k的取值范围为．【答案】k＜5【分析】根据已知条件“一次函数y＝（k﹣5）x+2中y随x的增大而减小”知，k﹣5＜0，然后解关于k 的不等式即可．【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣5）x+2中y随x的增大而减小，∴k﹣5＜0，解得，k＜5；故答案是：k＜5．【知识点】一次函数图象与系数的关系14.一次函数的图象过点（0，3）且与直线y＝﹣x平行，那么一次函数表达式是．【答案】y=-x+3【分析】一次函数的图象过点（0，3）且与直线y＝﹣x平行，则一次项系数相等，设一次函数的表达式是y＝﹣x+b，代入（0，3）即可求得函数解析式．【解答】解：设一次函数的表达式是y＝﹣x+b．则3把（0，3）代入得b＝3，则一次函数的解析式是y＝﹣x+3．故答案是：y＝﹣x+3．【知识点】待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题拓展提升三、解答题（共6小题）15.正比例函数y＝kx的图象经过点A（﹣1，3），B（a，a+1），求a的值．【分析】由点A，B的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k，a的方程组，解之即可求出a的值．【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点A（﹣1，3），B（a，a+1），∴，∴．答：a的值为﹣．【知识点】一次函数图象上点的坐标特征16.已知y与x+2成正比例，且当x＝1时，y＝6；（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）当x＝﹣3时，求y的值．【分析】（1）根据正比例函数的定义，设y＝k（x+2），然后把已知的对应值代入求出k即可；（2）把x＝﹣3代入（1）中的解析式中可计算出对应的函数值．【解答】解：（1）设y＝k（x+2），把x＝1，y＝6代入得6＝3k，解得k＝2，∴y＝2（x+2）＝2x+4，即y与x之间的函数关系式为y＝2x+4；（2）当x＝﹣3时，y＝2×（﹣3）+4＝﹣2．【知识点】一次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式17.已知一次函数y＝kx+5的图象经过点A（2，﹣1）．（1）求k的值；（2）在图中画出这个函数的图象；（3）若该图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，试确定△OBC的面积．【分析】（1）将点A的坐标代入一次函数解析式中，即可求出k的值；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B，C的坐标，连接点A，C并双向延长，即可画出一次函数y＝kx+5的图象；（3）由点B，C的坐标可得出OB，OC的长，再利用三角形的面积公式即可求出△OBC的面积．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+5的图象经过点A（2，﹣1），∴2k+5＝﹣1，∴k＝﹣3．（2）当x＝0时，y＝﹣3x+5＝5，∴点C的坐标为（0，5）；当y＝0时，﹣3x+5＝0，解得：x＝，∴点B的坐标为（，0）．由点A，C可画出一次函数y＝kx+5的图象，如图所示．（3）∵点B的坐标为（，0），点C的坐标为（0，5），∴OB＝，OC＝5，∴S△OBC＝OB•OC＝．【知识点】一次函数的图象、一次函数图象上点的坐标特征18.已知：如图，直线y＝x+3与x轴，y轴分别交于点A和点B．（1）点A坐标是，点B的坐标是；（2）△AOB的面积＝；（3）当y＞0时，x的取值范围是．【答案】【第1空】（-6，0）【第2空】（0，3）【第3空】9【第4空】x＞-6【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征求A点和B点坐标；（2）根据三角形面积公式求解；（3）根据图象直接求解．【解答】解：（1）当y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣6，则A（﹣6，0）；当x＝0时，y＝x+3＝3，则B（0，3）；故答案为（﹣6，0），（0，3）；（2）△AOB的面积＝×6×3＝9，故答案为9；（3）由图象得：当y＞0时，x的取值范围是x＞﹣6，故答案为x＞﹣6．【知识点】一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质19.如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B．（1）求该一次函数的解析式；（2）判定点C（4，﹣2）是否在该函数图象上？说明理由；（3）若该一次函数的图象与x轴交于D点，求△BOD的面积．【分析】（1）首先求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）把C的坐标代入一次函数的解析式进行检验即可；（3）首先求得D的坐标，然后利用三角形的面积公式求解．【解答】解：（1）在y＝2x中，令x＝1，解得y＝2，则B的坐标是（1，2），设一次函数的解析式是y＝kx+b，则，解得：．则一次函数的解析式是y＝﹣x+3；（2）当a＝4时，y＝﹣1，则C（4，﹣2）不在函数的图象上；（3）一次函数的解析式y＝﹣x+3中令y＝0，解得：x＝3，则D的坐标是（3，0）．则S△BOD＝OD×2＝×3×2＝3．【知识点】待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征20.已知一次函数y＝﹣2x﹣2．（1）根据关系式画出函数的图象．（2）求出图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标，（3）求A、B两点间的距离．（4）在坐标轴上有点C，使得AB＝AC，写出C的坐标．【分析】（1）根据函数解析式，可以画出相应的函数图象；（2）令x＝0求出y的值，再令y＝0求出x的值，即可得到点A和点B的坐标；（3）根据（2）中点A和点B的坐标，即可得到A、B两点间的距离；（4）根据题意，可以得到点C的坐标．【解答】解：（1）函数图象如右图所示；（2）∵y＝﹣2x﹣2，∴当x＝0时，y＝﹣2，当y＝0时，x＝﹣1，∴图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣2）；（3）∵点A（﹣1，0），点B（0，﹣2），∴OA＝1，OB＝2，∴AB＝＝，即A、B两点间的距离是；（4）由（3）知，AB＝，∵点C在坐标轴上，AB＝AC，∴当C在x轴上时，点C的坐标为（﹣1﹣，0）或（﹣1+，0），当点C在y轴上时，点C的坐标为（0，2），由上可得，点C的坐标为：（﹣1﹣，0）、（﹣1+，0）或（0，2）．【知识点】一次函数的性质、一次函数的图象。
20.2 一次函数的图像(1)
20.2 一次函数的图像（1）[图像的截距及与坐标轴的交点]第一组20-31、已知一次函数y=(n−2)x+(n2−4)的图像经过原点，那么n的值为（）A、n=4B、n=2C、n=−2D、n=±22、如果函数y=2x+3与y=3x−2m的图像相交于x轴上，那么（）A、m=−3B、m=−32C、m=−9D、m=−943、下列说法中错误的个数是（）①一次函数y=kx+b中，截距b可以为0；②y=kx+b与y轴的交点在y轴的正半轴上；③函数y=2x−1是一次函数，它在y轴上的截距是—1；④函数y−1=12x是一次函数，它在y轴上的截距是—1；⑤函数y=2(13x+1)是一次函数，它在y轴上没有截距；⑥函数y=2(13x+1)是一次函数，它在y轴上的截距是2.A、2B、3C、4D、54、函数y=ax−2与函数y=bx+3的图像交于x轴上同一点，则ab的值是（）A、32B、23C、−32D、−235、直线y=2x−3在y轴上的截距为。
6、直线y=−9x−1与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为。
7、已知直线经过点（2，—1），截距是—3，则这条直线表达式为。
8、已知直线y=−2x−1上有点P（1，m），则点P到x轴的距离为。
9、已知一次函数y=x−(a−2)，当a 时，函数图像与y轴的交点在x轴下方。
10、已知一次函数y1=(m2−4)x+1−m与y2=(m2−2)x+m2−3的图像在y轴上的截距互为相反数，则这两个函数的解析式分别为y1=()，y2=( )11、已知直线y=kx+b经过点（3，—2）、（—2，3），求该直线的解析式及与两坐标轴的交点。
12、已知一次函数的图像经过点（4，—2），并且在y轴上的截距为5，求这个一次函数的解析式，并画出其图像。
x−1上的点A到两个坐标轴的距离相等，求点A的坐标。
13、已知直线y=1214、已知直线l1：y=−2x+6上点A的横坐标为2，直线l2：y=kx+b经过点A且与x轴，0)，求直线l2的表达式。
20.2一次函数的图像
20.2 一次函数的图像（1）教学目标：1. 了解一次函数的图像是直线，会用描点法画一次函数的图像；2. 理解直线的截距的意义，根据一次函数解析式写出截距；3. 掌握求一次函数图象与坐标轴交点的方法；4. 会根据已知条件，求出一次函数的解析式教学重点难点：重点：根据两点画出一次函数的图象. 难点：求直线与坐标轴的交点.教学过程：一．复习回顾画出函数y x =的图像，它的图像是过 和 的 .提问：1y x =+的图像是怎样的呢？二． 新课讲授动手来做（1）列表：取自变量x 的一些值，计算相应的y 值. （2）描点： （3）连线结论：1y x =+的图像是一条直线.一般地，一次函数y =kx +b （k 、b 是常数，且0k ≠）的图像是一条直线.一次函数y =kx +b 的图像也称为直线y =kx +b .这时，我们把一次函数的解析式y =kx +b 称为这条直线的表达式.两点画直线例题1 在平面直角坐标系中，画一次函数223y x =-的图像截距：一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距. 一般地，直线y =kx +b （0k ≠）与y 轴的交点坐标是（0，b ），截距是b .例题2 写出下列直线的截距：（1）42y x =--；（2）8y x =；（3）31y x a =-+；（4）()24(2)y a x a =++≠-.例题3 已知直线y=kx+b经过点A（-20,5）、点B（10,20）两点，求：（1）k、b的值；（2）这条直线与坐标轴的交点的坐标.练习：课后练习第4题已知直线y=kx+b经过点A（-1,2）、点B（12,3），求这条直线的截距.三．课堂小结四．布置作业测一测1、一次函数y=2x+6的图象与y轴相交，则交点坐标为＿.2、已知一次函数y=kx+b的图象经过（-1，1）、（2，3）两点，则这个一次函数的关系式为＿.3、已知点A（1，a）在直线y=-2x+3上，则a=＿.4．一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（）A．一、二、三B．二、三、四C．一、二、四D．一、三、四20.2 一次函数的图像（2）教学目标：1. 知道两条平行直线的表达式之间的关系，能用这种关系确定直线表达式；.2. 通过直线相对于x轴正方向的倾斜程度及两条平行直线表达式的关系的研究，经历观察、分析与探索的思维过程，提高一运动变化的观点处理问题的能力;3. 利用直线的表达式来讨论两条直线的平行，体会数学结合思想.教学重点难点：重点：根据两平行线表达式的关系，求函数解析式.难点：对直线平移的理解..教学过程：一．复习引入在同一直角坐标系中画出下列直线：（1）直线123y x=+；（2）直线32y x=+；（3）直线22y x=-+；(4) 直线123y x=-+.这四条直线的共同点：（1）截距是；（2）都过点. 不同点：（从直线相对于x轴正方向的倾斜程度思考）二．新课讲授例题4 在同一直角坐标系中画出直线122y x =-+与直线12y x =-，并判断这两条直线之间的位置关系.学生活动：在练习本上画出图像思考：这两条直线有什么位置关系？怎样由12y x =-得到122y x =-+的图像？ 得出结论：教师活动：对证明予以说明由特殊到一般得出：1. 一般地，一次函数y=kx+b （0b ≠）的图象可由正比例函数y=kx 的图像平移得到：当吧b>0时，向上平移b 个单位；当b<0时，向下平移b 个单位., 2. （1）如果12b b ≠，那么直线1y kx b =+与直线2y kx b =+平行； （2）如果直线11y k x b =+与直线22y k x b =+平行，那么1212,k k b b =≠ 思考：在2（1）中，为什么要求12b b ≠？例题5. 已知一次函数的图象经过点A （2，-1），且与直线112y x =+平行，求这个函数的解析式.练习：课后第2、3题2. 已知直线y=（m-1）x+m 与直线y=2x+1平行，求： （1） 求m 的值；（2） 求直线y=（m-1）x+m 与x 轴的交点. 3. 已知一次函数的图像经过点M （-3,2），且平行于直线y=4x-1. （1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图像与坐标轴围成的三角形面积.三．课堂小结1. 两条平行直线之间的表达式之间的关系.2. 利用平行关系求直线的解析式.四．布置作业20.2 一次函数的图像（3）教学目标：1. 知道一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的关系，能以函数的观点来认识一元一次方程的解与一元一次不等式的解集.2. 通过研究一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的关系，体会数形结合的数学思想，初步领略用函数知识分析问题的方法.教学重点难点：重点：从数和形两个角度，探讨一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的关系. 难点：从一次函数图像的角度理解一元一次方程的根与一元一次不等式的解集.教学过程：一．问题引入1. （1）求直线112y x =-与x 轴的交点坐标； （2）解一元一次方程1102x -=.思考：交点与方程的解有什么关系？ 得出结论：直线112y x =-与x 轴的交点的横坐标就是方程1102x -=的解。
一次函数的图像(作业)解析版
20.2 一次函数的图像（作业）一、单选题1．（2019·上海金山区·八年级期中）一次函数的图像不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限．【答案】B【分析】先根据一次函数的解析式判断出k、b的符号，再根据一次函数的性质进行解答即可．【详解】解：∵解析式y＝2x﹣1中，k＝2＞0，b＝﹣1＜0，∴图象过第一、三、四象限，∴图象不经过第二象限．故选：B．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y＝kx＋b（k≠0）中，当k＞0时，函数图象经过第一、三象限，当b＜0时，函数图象与y轴相交于负半轴．2．（2018·上海闵行区·）一次函数y=-2(x-3)在y轴上的截距是( )A．2 B．-3 C．6 D．6【答案】D【分析】令x＝0，则y＝6，即一次函数与y轴交点为（0，6），即可得出答案．【详解】解：令x＝0，则y＝6，即一次函数与y轴交点为（0，6），∴一次函数y=-2(x-3)在y轴上的截距为6．故选D.【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，属于基础题，关键是令x＝0求出与y轴的交点坐标．3．（2019·上海市西延安中学八年级期中）在同一真角坐标平面中表示两个一次函数，，正确的图像为（）A．B．C． D．【答案】D【分析】根据的图像判断k、b的符号，再判断的图像所在的象限，即可得出正确答案．【详解】解：A.由的图像得k>0，b<0，所以的图像应在一、二、三象限，故A错误；B、由的图像得k>0，b>0，所以的图像应在一、二、四象限，故B错误；C、由的图像得k<0，b>0，所以的图像应在二、三、四象限，故C错误；D、由的图像得k>0，b>0，所以的图像应在一、二、四象限，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查一次函数的图象，熟悉一次函数的性质是解题的关键．4．（2018·上海金山区·八年级期末）直线不经过点（）A．（-2,3）；B．（0,0）；C．（3,-2）；D．（-3,2）．【答案】A【分析】直接把各点代入直线进行检验即可．【详解】A. 当x=−2时，y==≠3，故此点不在直线上，故本选项正确；B. 当x=0时，y==0，故此点在直线上，故本选项错误；C. 当x=3时，y==−2，故此点在直线上，故本选项错误；D. 当x=−3时，y==2，故此点在直线上，故本选项错误故选A.【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握直接代入的方法. 5．（2020·上海松江区·八年级期末）一次函数的图像经过（）A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限【答案】A【分析】根据一次函数的图象与性质解答即可．【详解】解：一次函数中，k=2＞0，b=3＞0，所以一次函数的图象经过第一、二、三象限．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握一次函数的基本知识是解题的关键．6．（2020·上海八年级期中）如果直线y＝2x+3和y轴相交于点M，那么M的坐标为（）A．M（2，3）B．M（0，2）C．M（0，）D．M（0，3）【答案】D【分析】代入x＝0求出与之对应的y值，进而可得出点M的坐标．【详解】当x＝0时，y＝2x+3＝3，∴点M的坐标为（0，3）．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．7．（2019·上海市闵行区明星学校八年级月考）若bk<0，则直线y=kx+b一定通过（）A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限【答案】D【分析】根据题意讨论k和b的正负情况，然后可得出直线y＝kx＋b一定通过哪两个象限．【详解】解：由bk＜0，知①b＞0，k＜0；②b＜0，k＞0，①当b＞0，k＜0时，直线经过第一、二、四象限，②b＜0，k＞0时，直线经过第一、三、四象限．综上可得，函数图象一定经过一、四象限．故选：D．【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx＋b所在的位置与k、b的符号有直接的关系：k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．8．（2018·上海民办浦东交中初级中学八年级月考）无论k取何值，一次函数的图像必经过点( )A．B．C．D．无法确定【答案】C【分析】先对一次函数进行整理，然后根据图象过定点，得到关于x,y的一个方程组，解方程组即可．【详解】由得∵一次函数过定点，∴解得，∴一次函数过点故选：C．【点睛】本题主要考查一次函数过定点问题，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．9．（2018·上海闵行区·八年级期末）已知直线y＝kx+b与直线y＝﹣2x+5平行，那么下列结论正确的是（）A．k＝﹣2，b＝5 B．k≠﹣2，b＝5 C．k＝﹣2，b≠5 D．k≠﹣2，b＝5【答案】C【分析】利用两直线平行问题得到k=-2，b≠5即可求解．【详解】∵直线y＝kx+b与直线y＝﹣2x+5平行，∴k＝﹣2，b≠5．故选C．【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．10．（2019·上海·八年级期末）如图，直线交坐标轴于两点，则关于的不等式的解集是A．B．C．D．【答案】A试题分析：kx+b＞0可看作是函数y=kx+b的函数值大于0，然后观察图象得到图象在x轴上方，对应的自变量的取值范围为x＞-2，这样即可得到不等式kx+b＞0的解集．kx+b＞0即函数y=kx+b的函数值大于0，图象在x轴上方，对应的自变量的取值范围为x＞-2，所以不等式kx+b＞0的解集是x＞-2．故选A．考点：本题考查了一次函数与一元一次不等式点评：对于一次函数y=kx+b，当y＞0时对应的自变量的取值范围为不等式kx+b＞0的解集．二、填空题11．（2021·上海市仙霞第二中学八年级期末）直线经过第_________象限．【答案】一、三【分析】根据k的正负性确定图像的增减性，根据b的正负性确定图像与y轴的交点位置即可．【详解】解：∵＞0，∴y随着x的增大而增大，∴图像经过第一、三象限，∵b=0，∴图像过原点，∴直线经过第一、三象限，故答案为：一、三．【点睛】本题考查了一次函数图像的性质，熟练掌握一次函数图像的性质是解决本题的关键．12．（2018·上海崇明区·八年级期中）直线向上平移3个单位后，所得直线的表达式是___________．【答案】【分析】根据一次函数图象的平移规律即可得．【详解】由一次函数的平移规律得：所得直线的表达式是，即故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数图象的平移规律，熟记平移规律是解题关键．13．（2019·上海市市西初级中学八年级期中）将直线向下平移5个单位后，所得直线的表达式为________．【答案】y=-x-3【分析】根据一次函数平移的特点即可求解．【详解】将直线向下平移5个单位后，所得直线的表达式为-5=-x-3故答案为：y=-x-3．【点睛】此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是熟知一次函数平移的特点．14．（2019·上海普陀区·八年级期末）已知直线与直线平行，那么_______．【答案】5【分析】两直线平行，则两比例系数相等，据此可以求解．【详解】解：直线与直线平行，，故答案为：5．【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，解题的关键是熟知两直线平行时两比例系数相等．15．（2019·上海市闵行区七宝第二中学八年级期中）直线与坐标轴围成的三角形的面积为________.【答案】【分析】求出直线与坐标轴的交点坐标即可解决问题.【详解】解：由题意可知直线与坐标轴的交点为和，∴三角形的底为高为，∴三角形的面积为，故答案为.【点睛】本题考查一次函数的应用、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．（2018·上海崇明区·八年级期中）直线与轴和轴的交点分别为、，那么线段的长为_________．【答案】5【分析】先根据一次函数的表达式求出点A、B的坐标，再利用勾股定理即可得．【详解】如图，当时，，解得则点A的坐标为，当时，，则点B的坐标为，，故答案为：5．【点睛】本题考查了一次函数的图象、勾股定理，掌握一次函数的图象是解题关键．三、解答题17．（2018·上海虹口区·八年级期中）如图，是甲、乙两种机器人根据电脑程序工作时各自工作量y关于工作时间x的函数图像，线段OA表示甲机器人的工作量（吨）关于时间x（时）的函数图像，线段BC表示乙机器人的工作量（吨）关于时间x（时）的函数图像．根据图像信息回答下列填空题．（1）甲种机器人比乙种机器人早开始工作小时；甲种机器人每小时的工作量是吨；（2）直线BC的表达式为；当乙种机器人工作5小时后，它完成的工作量是吨．【答案】（1）3，； (2) ， 5【分析】（1）由图像可以得到甲机器人比乙机器人早开始工作的时间，甲机器人的每小时的工作量．（2）利用甲机器人求得交点的坐标，再用待定系数法求BC的解析式．【详解】解：（1）由图像可知：甲机器人比乙机器人早工作3小时，甲机器人每小时的工作量吨，（2）设直线OA为，把代入得：，所以：，因为函数的交点的纵坐标为3，所以：横坐标为，设BC为：，又因为BC过，所以：，所以：，所以直线BC的解析式为；，当乙机器人工作5小时，即，所以：工作量．【点睛】本题考查的是一次函数的图像与图像信息问题，同时考查求一次函数的解析式，弄清楚关键点的坐标含义是解题关键．18．（2018·上海市行知实验中学八年级期中）一次函数图像经过(0,-4),与两坐标轴围成的三角形面积是6，求这个函数解析式.【答案】y=x-4或y=-x-4．【分析】设一次函数与x轴的交点是（a，0），根据三角形的面积公式即可求得a的值，然后利用待定系数法即可求得函数解析式．【详解】∵一次函数y=kx+b（k≠0）图象过点（0，-4），∴b=-4，设一次函数与x轴的交点是（a，0），则×4×|a|=6，解得：a=3或-3．把（3，0）代入y=kx-4，解得：k=，则函数的解析式是y=x-4；把（-3，0）代入y=kx-4，得k=-，则函数的解析式是y=-x-4．故这个函数解析式为y=x-4或y=-x-4．【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确求得与x轴的交点坐标是关键．19．（2019·上海市田林第三中学八年级月考）已知一次函数图像经过点A（2，2）、B（-2，-4）.（1）求这个一次函数的解析式；（2）求这个一次函数图像与两坐标轴所围成的图形的面积.【答案】（1）y= x−1；（2）【分析】（1）运用待定系数设出函数解析式y=kx+b，再将两点代入可得出k和b的值．（2）求出函数解析式与x轴及y轴的交点坐标，根据s= |x||y|可计算出面积．【详解】(1)设这个函数解析式为y=kx+b，已知一次函数图像经过点A（2，2）、B（-2，-4），可得：，解得：，∴函数解析式为y= x−1.(2)直线y=x−1与x轴的交点坐标为( ,0)，与y轴的交点坐标为(0,−1)所以S=××|−1|=.【点睛】此题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象，解题关键在于把已知点代入解析式.20．（2019·上海松江区·八年级期中）已知一次函数y=kx+b（k、b是常数）的图像平行于直线，且经过点（2，-3）.（1）求这个一次函数的解析式；（2）求这个一次函数与两坐标轴所围成的图形面积.【答案】(1) y=-3x+3；(2).【分析】（1）根据题意可得k=﹣3，将点（2，-3）代入求解即可得到答案；（2）先求得该一次函数与坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式求解即可.【详解】解：（1）∵y=kx+b平行于直线，∴k=-3，∵一次函数经过点（2，-3），∴代入得b=3，∴y=-3x+3；（2）一次函数与x轴交于点（1，0），与y轴交于点（0，3），∴面积.【点睛】本题主要考查一次函数的性质，解此题的关键在于根据题意准确求得一次函数的解析式.21．（2018·上海全国·八年级期中）已知y＋2与3x成正比例，当x＝1时，y的值为4.(1)求y与x之间的函数表达式；(2)若点(－1，a)，(2，b)是该函数图象上的两点，请利用一次函数的性质比较a，b的大小．【答案】（1）y＝6x－2；（2）a<b.试题分析：（1）由y+2与3x成正比例，设y+2=3kx（k≠0）．将x=1，y=4代入求出k的值，确定出y与x的函数关系式；（2）由函数图象的性质来比较a、b的大小．试题解析：(1)根据题意设y+2=3kx(k≠0).将x=1，y=4代入，得4+2=3k，解得：k=2.所以，y+2=6x，所以y=6x−2；(2)a<b.理由如下：由(1)知，y与x的函数关系式为y=6x−2.∴该函数图象是直线，且y随x的增大而增大，∵−1<2，∴a<b.22．（2019·上海全国·八年级期末）已知一次函数的图象经过(2，5)和(-1，-1)两点，(1)在给定坐标系中画出这个函数图象，(2)求这个一次函数解析式.【答案】(1)如图所示：(2)试题分析：（1）先在平面直角系内找到(2，5)和(-1，-1)两点，即可作出图象；（2）根据待定系数法列方程组求解即可。
20.2一次函数的图像(第1课时)(课件)八年级数学下册(沪教版)
− + = 2
1
+ =3
2
2
=
3
8
=
3
2
8
∴ 该直线的解析式为 = +
3
3
8
∴ 直线的截距为
3
随堂检测
1.在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图像
1
1
(1)y＝ x；(2)y＝ x＋2；
2
2
(3)y＝3x；(4)y＝3x＋2.
的交点，即交点的横坐标
x=0.
解: 由y=x-2可知，当x=0时，y=-2；
当y=0时， x=3.
所以函数y=x-2的图像与与x轴的交点是
(3,0)；与y轴的交点是(0,-2).
观察：直线与y
轴交点的纵坐
标的特征？
4．已知 y 是 x 的一次函数，当 x＝3 时，y＝1；当 x＝－2 时，y＝－4，求
2 2
4
2
2
4
27 9
的面积为 或 .
4 4
课堂小结
1.一次函数的图象是什么?
一次函数的图象是一条直线.
2.如何画一次函数y=kx+b (k≠0)的图像?
画一次函数的图像的方法
1. 先读出直线与y轴的交点；
2. 再算出与x轴的交点；
3. 画出图像.
3.什么叫做直线在y轴上的截距?
1、一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距.
3
2
该函数 = − + 2与轴的交点为 3，0 ，与轴的交点为 0，2
3
3.已知直线经过点M(3,1)，截距是-5，求这条直线的表达式.
20.2一次函数的图像(1)
20.2一次函数的图像（1）知识梳理+九大题型分析+经典同步练习知识梳理1、一次函数（、为常数，且≠0）的图象：解析式（为常数，且）自变量取值范围全体实数形状过（0，）和（，0）点的一条直线、的取值示意图位置经过一、二、三象限经过一、三、四象限经过一、二、四象限经过二、三、四象限图象趋势从左向右上升从左向右下降函数变化规律随的增大而增大随的增大而减小y kx b =+k b k y kx b =+k 0k ¹b bk-k >0k <k b 0b >0b <0b >0b <y x y x2、 、对一次函数的图象和性质的影响：①一条直线与轴的交点的纵坐标叫做这条直线在轴上的截距，直线的截距是.②由于值的不同，则直线相对于轴正方向的倾斜程度不同，这个常数称为直线的斜率.③决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．3、函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ：①当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；②当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.4.、两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：①与相交； ②，且与平行；典型例题题型一：由k ，b 的符号判断一次函数图像例题1一次函数y ＝－3x －2的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】根据一次函数的性质，当k ＜0，b ＜0时，图象经过第二、三、四象限解答．解：∵k=-3＜0，∴函数经过第二、四象限，k b y kx b =+y y y kx b =+b k x k k y kx b =+b y k b y kx b =+y kx b =+k b k b y kx b =+y kx =b b y kx b =+y kx =b 1l 11y k x b =+2l 22y k x b =+12k k ¹Û1l 2l 12k k =12b b ¹Û1l 2l∵b=﹣2＜0，∴函数与y 轴负半轴相交，∴图象不经过第一象限．故选A题型二：利用一次函数的图像判断k ，b 的符号例题2已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，则k ，b 的符号是（ ）A ．0k >，0b >B ．0k >，0b <C ．k 0<，0b >D ．k 0<，0b <【答案】D 【解析】由图可知，一次函数y=kx+b 的图象经过二、三、四象限，根据一次函数图象在坐标平面内的位置与k 、b 的关系作答．解：由一次函数y ＝kx+b 的图象经过二、三、四象限，又有k ＜0时，直线必经过二、四象限，故知k ＜0，再由图象过三、四象限，即直线与y 轴负半轴相交，所以b ＜0．故答案为：D ．题型三：k ，b 的符号与一次函数图像的综合问题例题3若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+kb+1＝0没有实数根，则一次函数y ＝kx+b 的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由根的判别式△＜0，即可得出k 、b 同号，再利用一次函数图象与系数的关系找出k ＞0、b ＞0或k ＜0、b ＜0时，一次函数y ＝kx+b 的图象经过的象限，此题得解．解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+kb+1＝0没有实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（kb+1）＝﹣4kb ＜0，∴k 、b 同号．当k ＞0、b ＞0时，一次函数y ＝kx+b 的图象经过第一、二、三象限；当k ＜0、b ＜0时，一次函数y ＝kx+b 的图象经过第二、三、四象限．故选：A题型四：一次函数图像平移问题（要点：左加右减（在x 上），上加下减（在y 上））例题4将一次函数23y x =-+的图像沿x 轴向左平移4个单位长度后，得到的新的图像对应的函数关系式为（ ）A ．25y x =--B ．211y x =-+C ．27y x =-+D ．21y x =--【答案】A直接利用一次函数平移规律“上加下减”、“左加右减”即可得到答案．将一次函数y ＝﹣2x +3的图像沿x 轴向左平移4个单位长度，平移后所得图像对应的函数关系式为：2(4)3y x =-++，即y ＝﹣2x -5．故选：A ．题型五：一次函数的图像与坐标轴交点问题（利用坐标轴上点的坐标特点可解）例题5已知方程ax ＋b ＝0的解为x ＝32-，则一次函数y ＝ax ＋b 图象与x 轴交点的横坐标为（ ）A ．3B ．23-C ．﹣2D ．32-【答案】D 【解析】关于x 的一元一次方程ax ＋b ＝0的根是x ＝32-，即x ＝32-时，函数值为0，所以直线过点（32-，0），于是得到一次函数y ＝ax ＋b 的图象与x 轴交点的坐标．解：方程ax ＋b ＝0的解为x ＝32-，则一次函数y ＝ax ＋b 的图象与x 轴交点的坐标为（32-，0），即一次函数y ＝ax ＋b 图象与x 轴交点的横坐标为32-．故选：D ．拓展题：在平面直角坐标系中，点O 为原点，点(1,0)A ，直线3y kx =-交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，若ABC D 的面积6，则k =（ ）A ．±1B ．35±C ．1或35-D ．1-或35【答案】D利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点B ，C 的坐标，进而可得出OC ，AB 的长，利用三角形的面积公式结合ABC D 的面积为6，即可得出关于k 的方程，解之即可得出结论．解：当0x =时，033y k =´-=-，\点C 的坐标为(0,3)-，3OC =；当0y =时，30kx -=，解得：3x k=，\点B 的坐标为3(k，0)，3|1|AB k=-．162ABC S AB OC D ==Q g ，即133|1|62k´-=，解得：1k =-或35k =．故选：D ．题型六：利用一次函数图像或者解不等式求自变量或函数值的范围关键词：数形结合、几何法、代数法、一次函数与不等式例题6一次函数2y kx =+与x 轴交于点(4,0)A ，则不等式21kx +<的解是（ ）A ．2x >B ．2x <C ．2x >-D ．2x <-【答案】A 【解析】先由题意求出一次函数表达式，然后再求解不等式的解集即可．解：由题意得：把点A 坐标代入解析式得：042k =+，解得1k=2-；\一次函数解析式为：122y x =-+，\1212x -+<，解得2x ＞；故选A ．题型七：直线的倾斜程度与k 的大小关系例题7 帮练习第7题题型八：一次函数与其他函数相交问题例题8如图在平面直角坐标系中，直线y 6x =-+分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，与()y 0kx x=>的图象交于点C 、D ．若CD =13AB ，则k 的值为（ ）A ．4．B ．6．C ．8．D ．10．【答案】C 【解析】先求出点A 、B 的坐标，于是可得AB 的长，进而可得CD 的长，设C 、D 的横坐标分别为a ，b ，则a ，b 是联立y ＝﹣x +6和y ＝kx并整理后的方程的解，由CD b -并结合根与系数的关系可得关于k 的方程，解方程即可求出k ，从而可得答案．解：对直线y ＝﹣x +6，令x ＝0，则y ＝6，令y ＝0，则x ＝6，∴点A 、B 的坐标分别为（6，0）、（0，6），∴OB ＝OA ＝6，∴AB＝＝3CD，∠BAO=45°，∴CD=，联立y＝﹣x+6和y＝kx并整理得：x2﹣6x+k＝0，设点C、D的横坐标分别为a，b，则a+b＝6，ab＝k，∵∠BAO=45°，∴CD b-，∴CD2＝2（a﹣b）2＝2[(a+b)2﹣4ab]＝2（36﹣4k）＝（）2，解得：k＝8．故选：C．题型九：一次函数的几何综合问题例题9已知直线y=x轴，y轴分别交于,A B两点，在x轴上取一点P，使得PABD是等腰三角形，则符合条件的点P有（）个A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】根据等腰三角形的性质进行分类讨论：以AB为腰和底进行讨论即可求解．解：由题意，如图：Q 直线y =x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，\()(1,0,A B ，\1,OA OB ==在Rt AOB V 中，2AB =，\∠ABO=30°，∠OAB=60°，又Q 在x 轴上取一点P ，使得PAB D 是等腰三角形，\①当AB=AP=2时，在x 轴上有()()123,0,1,0P P -；②当BP=AP 时，易得△ABP 为等边三角形，则有AB=BP=AP=2，所以()31,0P -；综上所述：符合条件的点P 有2个；故选A ．一、单选题1．一次函数3y x =-+的图像经过的象限是（ ）A ．一、二、三象限B ．一、二、四象限C ．一、三、四象限D ．二、三、四象限【答案】B 【解析】根据一次函数解析式k 和b 的符号，即可判定该函数图像经过的象限，即可解决．解：∵k ＜0∴一次函数图像y 随x 的增大而减小∵b ＞0∴图像交y 轴正半轴∴函数经过一、二、四象限故选B ．【点睛】本题主要考查了一次函数图形的性质，熟练k 和b 决定图像位置是解决本题的关键．2．直线1y x =+与y 轴的交点是（ ）A ．()1,0-B ．()1,0C ．()0,1D ．()1,1--【答案】C 【解析】根据y 轴上点的坐标特征：横坐标为0，将x=0代入直线解析式中即可求出结论．解：当x=0时，011y =+=∴直线1y x =+与y 轴的交点是()0,1故选C ．【点睛】此题考查的是求直线与y 轴的交点坐标，掌握y 轴上点的坐标特征：横坐标为0，是解决此题的关键．3．一次函数0y kx b kb =+，＜，且y 随x 的增大而增大，则其图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先根据一次函数y kx b =+中，y 随x 的增大而增大，且0kb ＜，判断出k 与b 的符号，再根据一次函数的图象与系数的关系进行解答．∵一次函数y kx b =+中，y 随x 的增大而增大，∴0k >，∵0kb ＜，∴0b ＜，∴一次函数y kx b =+的图象过一、三、四象限．故答案为：A ．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与性质、一次函数的性质及不等式的基本性质，解决本题的关键是熟练掌握一次函数图像和系数的关系．4．如图，若一次函数y ＝﹣2x ＋b 的图象与两坐标轴分别交于A ，B 两点，点A 的坐标为(0，4)，则不等式﹣2x ＋b ＜0的解集为（ ）A．x＞2B．x＜2C．x＜4D．x＞4【答案】A【解析】首先把A点坐标代入一次函数解析式，算出b的值，进而可求出B点坐标，再结合图象可得不等式﹣2x＋b ＜0的解集．∵一次函数y＝﹣2x＋b的图象过A(0，4)，∴b＝4，∴函数解析式为y＝﹣2x＋4，当y＝0时，x＝2，∴B(2，0)，∴不等式﹣2x＋b＜0的解集为x＞2，故选：A．【点睛】此题主要考查一次函数与不等式的综合运用，熟练掌握，即可解题.5．某个一次函数的图象与直线162y x=+平行，并且经过点()2,4--，则这个一次函数的解析式为（）A．152y x=--B．132y x=+C．132y x=-D．28y x=--【答案】C 【解析】根据两直线平行时k 的值相等，设出所求解析式，把已知点坐标代入计算即可．由一次函数的图象与直线y ═12x ＋6平行，设直线解析式为y ＝12x ＋b ，把（−2，−4）代入得：−4＝−1＋b ，即b ＝−3，则这个一次函数解析式为y ＝12x−3．故选：C ．【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的图象，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．6．如图，已知一次函数y kx b =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点（2，0），点（0，3）．有下列结论：①关于x 的方程0kx b +=的解为2x =;②当2x >时，0y <；③当0x <时，3y <． 其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①③②【答案】A【解析】根据一次函数图象的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解．由图象得：①关于x 的方程kx+b=0的解为x=2，故①正确；②当x>2时，y<0，故②正确；③当x<0时，y>3，故③错误；故选：A 【点睛】本题考查了一次函数图象的性质及一次函数与一元一次方程的关系，对于任意一个以x 为未知数的一元一次方程，它都可以转化为kx+b=0(k ≠0)的形式，解一元一次方程相当于在某个一次函数的函数y=kx+b 值为0时，求自变量的值．7．已知一次函数(3)1y a x b =+++的图象经过过一、二、四象限，那么a ，b 的取值范围是（ ）A ．3a >-，1b >-B ．3a <-，1b <-C ．3a >-，1b <-D ．3a <-，1b >-【答案】D【解析】由一次函数的图像经过过一、二、四象限可得：3a +＜0且1b +＞0,从而可得答案．解：因为一次函数(3)1y a x b =+++的图象经过过一、二、四象限，所以：3a +＜0且1b +＞0,所以：3a <-，1b >-，故选D ．【点睛】本题考查的是一次函数的图像的性质，同时考查一元一次不等式的解法，掌握一次函数的图像的性质是解题的关键．8．如图，四个一次函数y ax =，y bx =，1y cx =+，3y dx =-的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（ ）A ．b a d c>>>B ．a b c d >>>C ．a b d c >>>D ．b a c d>>>【答案】B【解析】根据一次函数和正比例函数的图象与性质可得．解：∵y ax =，y bx =经过第一、三象限，且y ax =更靠近y 轴，∴0a b >>，由∵ 1y cx =+，3y dx =-从左往右呈下降趋势，∴0,0c d <<，又∵3y dx =-更靠近y 轴，∴d c <，∴a b c d>>>故答案为：B ．【点睛】本题考查了一次函数及正比例函数的图象与性质，解题的关键是熟记一次函数及正比例函数的图象与性质．9．将直线y=3x 向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，平移后所得新直线的表达式为（ ）A ．()3-25y x =+B ．()325y x =++C ．()3-2-5y x =D ．()325y x =+-【答案】B【解析】根据直线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．解：将直线y=3x 向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，平移后所得新直线的表达式为()325y x =++．故选：B ．【点睛】本题考查了直线的平移，属于基本题型，熟练掌握一次函数的平移规律是解题关键．10．如图，点(,3)M m 在直线27y x =-+与直线21y x =-+之间（不在这两条直线上），则m 的取值范围是（ ）A ．12m -<<B ．02m <<C ．51m -<<D ．11m -<<【答案】A【解析】分别求出点M 在两条直线上时对应的m 的值，进而可得答案．解：当点(,3)M m 在直线27y x =-+上时，273m -+=，解得2m =，当点(,3)M m 在直线21y x =-+上时，213m -+=，解得1m =-；∵点(,3)M m 在直线27y x =-+与直线21y x =-+之间（不在这两条直线上），∴m 的取值范围为12m -<<．故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．二、填空题11．若一次函数()121y k x k =++- 的图象不经过第一象限，则k 的取值范围是_____【答案】k ＜-12【解析】根据一次函数图像所在的象限，得到关于k 的不等式组，进而即可求解．∵一次函数()121y k x k =++- 的图象不经过第一象限，∴1+2k ＜0，且k-1＜0，∴k ＜-12，且k ＜1，∴k ＜-12故答案是：k ＜-12【点睛】本题主要考查一次函数的系数与图像的关系，熟练掌握y=kx+b （k ≠0，k ，b 为常数）中，常数k ，b 的几何意义，是解题的关键．12．直线1:24l y x =+沿x 轴向右移动4个单位长度得到直线2l ，则直线2l 的解析式为______．【答案】24y x =-【解析】根据函数图象平移的方法：左加右减判断即可；直线1:24l y x =+沿x 轴向右移动4个单位长度得到：()2:24424=-+=-l y x x ；故答案是：24y x =-．【点睛】本题主要考查了一次函数图象的平移，准确分析判断是解题的关键．13．直线3y x =-+与x 轴，y 轴分别交与点,M N ，则点,M N 的坐标分别__________和__________【答案】()3,0 ()0,3【解析】分别把y=0或x=0代入解析式计算出对应的自变量和函数值，则可确定直线与x 轴、y 轴的交点坐标解：把y=0代入得-x+3=0，解得x=3；把x=0代入得y=3所以直线3y x =-+与x 轴、y 轴的交点坐标分别为()3,0，()0,3故答案为()3,0，()0,3【点睛】本题考查一元一次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握知识点是解此题的关键14．如图，直线y kx b =+分别交坐标轴于()5,0-，()0,3两点，则不等式0kx b +<的解集是__________．【答案】5x <-【解析】求0kx b +<的解集，就是求使一次函数y kx b =+的值小于0的自变量x 的取值范围．解：求0kx b +<的解集，从图象上可以看出当0y <时，5x <-．故答案为：5x <-．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y kx b =+的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y kx b =+在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．15．在一次函数y=kx+2中，若y 随x 的增大而增大，则它的图象不经过第 象限．【答案】四．【解析】一次函数y=kx+b 的图象有两种情况：①当k 0>，b 0>时，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限，y 的值随x 的值增大而增大；②当k 0>，b 0<时，函数y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限，y 的值随x 的值增大而增大；③当k 0<，b 0>时，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限，y 的值随x 的值增大而减小；④当k 0<，b 0<时，函数y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限，y 的值随x 的值增大而减小．由题意得，函数y=kx+2的y 的值随x 的值增大而增大，因此，k 0>．由k 0>，b 0>，知它的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．16．已知一次函数y ＝kx+b 的图象经过一，二，四象限，且当2≤x ≤4时，4≤y ≤6，则b k的值是_____．【答案】-8【解析】利用一次函数的性质得到k＜0，则判断x＝2时，y＝6；x＝4时，y＝4，然后根据待定系数法求得k、b的值，即可求得bk的值．解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，∴k＜0，∴函数y随x的增大而减小，∵当2≤x≤4时，4≤y≤6，∴当x＝2时，y＝6；当x＝4时，y＝4，∴26 44 k bk b+=ìí+=î，解得：18kb=-ìí=î，∴bk＝﹣8，故答案为：﹣8．【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数的解析式，根据题意得出当x=2时，y=6；当x=4时，y=4是解题的关键．17．已知：一次函数y＝（2﹣m）x+m﹣3．（1）如果此函数图象经过原点，那么m应满足的条件为__；（2）如果此函数图象经过第二、三、四象限，那么m应满足的条件为__；（3）如果此函数图象与y轴交点在x轴下方，那么m应满足的条件为__；（4）如果此函数图象与y轴交点到x轴的距离为2，那么m应满足的条件为__．【答案】m＝3 2＜m＜3 m＜3且m≠2 m＝5或m＝1【解析】（1）将点（0，0）代入一次函数解析式，即可求出m的值；（2）根据一次函数的性质知，当该函数的图象经过第二、三、四象限时，2-m＜0，且m-3＜0，即可求出m 的范围；（3）先求出一次函数y=（2-m）x+m-3与y轴的交点坐标，再根据图象与y轴交点在x轴下方得到2-m≠0且m-3＜0，即可求出m的范围；（4）先求出一次函数y=（2-m）x+m-3与y轴的交点坐标，再根据图象与y轴交点到x轴的距离为2，得出交点的纵坐标的绝对值等于2，即可求出m的值．（1）∵一次函数y=（2﹣m）x+m﹣3的图象过原点，∴m﹣3=0，解得m=3．故答案为：m=3；（2）∵该函数的图象经过第二、三、四象限，∴2﹣m＜0，且m﹣3＜0，解得2＜m＜3．故答案为：2＜m＜3；（3）∵y=（2﹣m）x+m﹣3，∴当x=0时，y=m﹣3，由题意，得2﹣m≠0且m﹣3＜0，∴m＜3且m≠2．故答案为：m＜3且m≠2；（4）∵y=（2﹣m）x+m﹣3，∴当x =0时，y =m ﹣3，由题意，得2﹣m ≠0且|m ﹣3|=2，∴m =5或m =1．故答案为：m =5或m =1．【点睛】本题考查了一次函数与系数的关系：由于y=kx+b 与y 轴交于（0，b ），当b ＞0时，（0，b ）在y 轴的正半轴上，直线与y 轴交于正半轴；当b ＜0时，（0，b ）在y 轴的负半轴，直线与y 轴交于负半轴．k ＞0，b ＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、三象限；k ＞0，b ＜0⇔y=kx+b 的图象在一、三、四象限；k ＜0，b ＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、四象限；k ＜0，b ＜0⇔y=kx+b 的图象在二、三、四象限．也考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的定义．18．已知一次函数y 1＝x ＋2与y 2＝－x ＋b （b 为常数），当x ＜1时，y 1＜y 2．则b 的取值范围是___________．【答案】b≥4【解析】由12y y <，求出b 2x 2-<根据x<1时，12y y <，列出b 212-³，解出不等式即可求出答案．∵12y y <，y 1＝x ＋2，y 2＝－x ＋b∴x+2<-x+b∴2x<b-2∴b 2x 2-< 又∵x<1时，12y y < ∴b 212-³∴b ≥4故答案为：b ≥4【点睛】本题考查了一次函数与不等式的关系，掌握函数与不等式的关系是解题的关键．19．已知直线4y kx =-与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则k 的值为________．【答案】±2【解析】求出直线与坐标轴的交点坐标或坐标表达式，根据三角形的面积公式建立关系式，即可求出k 的值．直线与y 轴的交点坐标为（0，﹣4），与x 轴的交点坐标为（4k，0），则与坐标轴围成的三角形的面积为14442k´´=，解得k=±2，经检验，k=±2是方程的解且符合题意，故答案为：±2．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点与相关三角形的面积问题，要熟悉函数与坐标轴的交点的求法．20．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：1(0)y kx k =-¹与直线x k y k =-=-，分别交于点A B ，．直线x k =-与y =k -交于点C ．记线段AB ，BC AC ，围成的区域（不含边界）为W ．横，纵坐标都是整数的点叫做整点．（1）当2k =-时，区域W 内的整点个数为_____；（2）若区域W 内没有整点，则k 的取值范围是_______．【答案】6 01k <…或k=2【解析】（1）当2k =-时，直线21y x =--与直线22x y ，==的交点A B ，的坐标为：322æö÷ç-÷ç÷çèø， ，()2，-5，作出函数图像即可得出答案.（2）将k=1与k=2的函数图像作出，得出线段AB ，BC AC ，围成的区域（不含边界）无整点，即区域W 内没有整点.（1）解：如图示，当2k =-时，直线21y x =--与直线22x y ，==的交点A B ，的坐标为：322æö÷ç-÷ç÷çèø ，()2，-5，则，区域W 内的整点有（0，0），（0，1），（1，-2），（1，-1），（1，0），（1，1）共6个.（2）当1k =时，图像如下图示线段AB ，BC AC ，围成的区域（不含边界）无整点，当2k =时，图像如下图示线段AB ，BC AC ，围成的区域（不含边界）无整点，综上所述，由（1）的图像可知，当01k <…或k=2时，区域W 内没有整点.【点睛】本题考查的是一次函数图像的性质特点，解题的关键是要懂得根据题目的条件，画出相对应的函数图像.三、解答题21．已知一次函数122y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，求A ，B 两点的坐标并在如图的坐标系中画出此函数的图象．【答案】()4,0A -；()0,2B ；图象见解析．【解析】根据一次函数的解析式求出点A 、B 的坐标，然后利用五点作图法，最好使用列表-描点-连线的作图步骤作出图象．解：当x=0时，则有：2y =；当y=0时，则有：4x =-；∴点()4,0A -，点()0,2B ，∴函数图像如图所示：【点睛】本题主要考查一次函数的图像，熟练掌握一次函数图像的画法是解题的关键．22．画出函数y=-2x+2的图象，结合图象回答下列问题：（1）这个函数中，随着自变量x的增大，函数值y是增大还是减小？它的图象从左到右怎样变化？（2）当x取何值时，y=0？（3）当x取何值时，y＜0？【答案】（1）见详解；（2）x=1；（3）x＞1【解析】（1）画出函数图像，由图像可得；y随着x的增大而减小，图像从左至右下降；（2）由图像可得，当x=1时，y=0；（3）由图像可得，当x＞1时，y＜0.（1）函数y=－2x+2的图象为：由图象知：这个函数中，随着x的增大，y将减小，图象从左向右下降；（2）由图象知：当x=1时，y=0；（3）由图象知：当x＞1时，y＜0.23．一次函数y＝kx+b的图象如图所示：（1）求出该一次函数的表达式；（2）当x＝10时，y的值是多少？（3）当y＝12时，x的值是多少？【答案】（1）y＝x﹣2．（2）8；(3)14【解析】【解析】（1）观察函数的图象，得出一次函数经过点（2，0）（0，﹣2），代入函数解析式即得出一次函数的表达式．（2）（3）再分别令x＝10和y＝12，即可得出对应的y，x的值．解：（1）观察图象可得一次函数的图象经过点（2，0），（0，﹣2）代入函数的解析式y＝kx+b中，得202k bb+=ìí=-î，解得k1b2=ìí=-î，∴一次函数的表达式为y＝x﹣2．（2）令x＝10，得y＝10﹣2＝8（3）令y＝12，得x＝12+2＝14．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，比较简单，同学们要熟练掌握．24．已知一次函数的图像经过()1,5A --和()1,1B 两点.（1）求这个一次函数的解析式；（2）若点(),1C a a -+在这个一次函数的图象上，求a 的值.【答案】(1)函数的解析式是：y=3x−2；(2) a=0.75.【解析】（1）设函数的解析式是y=kx+b ，把A （-1，-5）和B （1，1）代入函数的解析式，然后解方程组即可求解；（2）把点C 代入一次函数的解析式中，列方程可得a 的值．(1)设函数的解析式是y=kx+b ，根据题意得：53k b k b -+=-ìí+=î，解得：32k b =ìí=-î，则函数的解析式是：y=3x−2；(2)∵点C(a,−a+1)在这个一次函数的图象上，∴−a+1=3a −2a=0.75.【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征和待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式.25．如图，已知直线123y x =-+和21y mx =-分别交y 轴于点A ，B ，两直线交于点()1,C n ．（1）求m ，n 的值；（2）求ABC V 的面积．【答案】（1）2m =，1n =；（2）△ABC 的面积为2．【解析】（1）先利用直线1y 求出点C 坐标，再利用直线2y 求出m 的值．（2）两个函数图象与y 轴的交点为A 、B ，即x=0时，可以求出A 、B 坐标，即可得出三角形面积．解：（1）∵两直线交于点()1,C n ∴将()1,C n 代入123y x =-+得：n=-2+3=1即：C 点坐标为：（1,1）将C （1,1）代入21y mx =-得：m-1=1即：m=2故：m=2，n=1．（2）∵当x=0时，13y =∴A （0,3）当x=0时，2-1y =∴B （0，-1）∴11141222ABC S AB D =´=´´= 故：△ABC 的面积为2．【点睛】本题属于一次函数的基础题型，根据已知点求出函数解析式，然后利用解析式求出点坐标，并求出三角形面积．26．直线2y x =--与x 轴相交于A 点，与y 轴相交于B 点，直线24(0)y kx k k =+->与直线2y x =--相交于C 点．（1）请说明24(0)y kx k k =+->经过点（4，2）；（2）1k =时，点D 是直线24(0)y kx k k =+->上一点且在y 轴的右侧，若2DOB DOA S S =V V ，求点D 的坐标；（3）若点C 在第三象限，求k 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(4,2)D 或42,33D æö-ç÷èø；（3）113k <<【解析】（1）把x=4代入函数关系求出y 的值即可；（2）先求出A ，B 的坐标，进而求出OA ，OB 的值，再设点D 的坐标为(,2)a a -，根根据2DOB DOA S S =V V ，列出方程求解即可；（3）分别求出当直线24(0)y kx k k =+->经过点A ，B 时k 的值即可．解：（1）当4x =时，244242y kx k k k =+-=+-=∴点（4，2）在直线24(0)y kx k k =+->上．（2）∵直线2y x =--与x 轴相交于A 点，与y 轴相交于B 点∴(2,0)A -，(0,2)B -∴2OA OB==设D 的坐标为(,2)a a -∵2DOB DOA S S =V V ，∴2|2|a a =-，∴4a =或43a =，∴(4,2)D 或42,33D æö-ç÷èø（3）当直线24(0)y kx k k =+->经过点A 时，0224k k =-+-，解之得，13k =当直线24(0)y kx k k =+->经过点B 时，有224k -=-，解之得，1k =∴若点C 在第三象限，则113k <<．【点晴】本题考查了一次函数与一元一次方程，是一次函数的综合题，利用数形结合进行分析是解题的关键．27．如图，已知直线:4AB y x =+与直线AC 交于点A ，与x 轴交于点B ，且直线AC 过点(2,0)C 和点(0,1)D ，连接BD ．（1）求直线AC 的解析式．（2）求交点A 的坐标，并求出ABD △的面积．（3）在x 轴上是否存在一点P ，使得APD △周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）112y x =-+；（2）(2,2)A -，3ABD S =V ；（3）存在点P 使APD △周长最小2,03P æö-ç÷èø．【解析】（1）设直线AC 解析式y kx b =+，代入(2,0)C ，(0,1)D ，用待定系数法解题即可；（2）将直线AB 与直线AC 两个解析式联立成方程组，转化成解二元一次方程组，再结合三角形面积公式解题；（3）作D 、E 关于x 轴对称，利用轴对称性质、两点之间线段最短解决最短路径问题，再用待定系数法解直线AE 的解析式，进而令0y =，解得直线与x 轴的交点即可．（1）设直线AC 解析式y kx b =+，把(2,0)C ，(0,1)D 代入y kx b =+中，得201k b b +=ìí=î，解得121k b ì=-ïíï=î，\直线AC 解析式112y x =-+．（2）联立1124y x y x ì=-+ïíï=+î，解得22x y =-ìí=î．(2,2)A \-，把0y =代入4y x =+中，得4x =-，(4,0)B \-，(2,0)C Q ，6BC \=，1162622ABC A S BC y \=×=´´=V ，1161322DBC D S BC y =×=´´=V ，633ABD ABC DBC S S S \=-=-=V V V ．故答案为：(2,2)A -，3ABD S =V ．（3）作D 、E 关于x 轴对称，PD PE \=，APD QV 周长AP PD AD =++，AD Q 是定值，AP PD \+最小时，APD △周长最小，AP PD AP PE AE +=+³Q ，\A 、P 、B 共线时，AP PE +最小，即AP PD +最小，连接AE 交x 轴于点P ，点P 即所求，(0,1)D Q ，D 、E 关于x 轴对称，(0,1)E \-，设直线AE 解析式y mx n =+，把(2,2)A -，(0,1)E -代入y mx n =+中，221m n n -+=ìí=-î，解得321m n ì=-ïíï=-î，312y x \=--，令0y =得3102x --=，23x =-，2,03P æö\-ç÷èø，即存在点P 使APD △周长最小2,03P æö-ç÷èø．【点睛】本题考查一次函数、二元一次方程组、轴对称最短路径问题、与x 轴交点等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．。
20.2(1)一次函数的图像
(图略).
说明(1)画直线y=kx+b时,通常先描出直线与x轴、y轴的交点,如果直线与x轴、y轴的交点坐标不是整数,为了画图方便、准确, 通常是描出直线上的整数点.
(2)本例讲述了求直线与坐标轴交点的方法,同时,为引出直线的截距概念作好铺垫.
由点A的横坐标x=0，可知点A在y轴上；由点B的纵坐标y=0，可知点B在x轴上.又点A、B在直线y= x-2上，所以点A、B是直线y= x-2分别与y轴、x轴的交点.
解:由y=mx+2,令y=0，得mx+2=0，解得x=- ,得点A坐标(- ,0)；令x=0，得y=2.得点B坐标为(0,2)
所以OA=│- │, OB=2
由OA= OB, 得│- │=1, 所以m=±2
所以直线的表达式为y=2x+2 或 y=-2x+2
说明本题要求出直线的表达式，只要求出待定系数m的值即可，解决问题的关键是正确运用点的坐标表示线段的长度.本题谨防漏解.
由y= x+15,令y=0，得 x+15=0，解得x=-30；令x=0，得y=15.
所以这条直线与x轴的交点的坐标为(-30,0),与y轴的交点的坐标为(0,15).
说明本例进一步讲述了求直线与坐标轴交点的方法.强化重难点.
5．问题拓展
已知直线y=mx+2与x轴、y轴的交点分别为A、B,点O为坐标原点，如果OA= OB,求直线的表达式.
(1)k、b的值；
(2)这条直线与坐标轴的交点的坐标.
分析直线经过点,即点在图像上,所以点的坐标满足直线解析式,根据条件,建立k、b的方程组,解方程组,就可求得k、b的值.
解 (1)因为直线y=kx+b经过点A(-20,5)、B(10,20)，所以
一次函数的图象课件
欢迎来到一次函数的图象ppt课件！在这个课件中，我们会探讨一次函数的定 义和特点、标准式和一般式、图像特征、平移和伸缩、应用场景、解一次方 程以及一些练习题和总结。
一次函数的定义和特点
一次函数是一个线性函数，它的图像是一条直线。它的特点是斜率恒定，代 表着增长的速度或减少的速度。
一次函数可以用来描述速度、位移和时间之间的 关系。
3 工程学
4 统计学
Байду номын сангаас一次函数可以用来解决线性规划问题和最优化问 题。
一次函数可以用来拟合和预测数据。
解一次方程及应用
1
步骤二
2
计算斜率和截距的值。
3
步骤四
4
找到方程的解或应用特定的值。
步骤一
将方程转化为标准式。
步骤三
画出一次函数的图像。
练习题与总结
一次函数的标准式和一般式
一次函数的标准式为y = ax + b，其中a是斜率，b是截距。一般式为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是常数。
一次函数的图像特征
斜率
斜率决定了直线的倾斜程度，正斜率表示向上增长，负斜率表示向下减小。
截距
截距表示直线与y轴的相交点，可以用来推测函数的起点或截距。
练习题
1. 求解方程 y = 2x + 3 的解。 2. 画出方程 y = -0.5x + 2 的图像。
总结
一次函数是数学中重要的概念，它具有线性的特点， 可以用来描述许多实际问题。通过学习一次函数，你 可以更好地理解数学和应用它们。
平行于坐标轴
一次函数的图像平行于坐标轴，这意味着x坐标和y坐标只有一个值会变化。
一次函数的图象(一)课件
示例
如f(x) = 2x + 3是一个一次函 数，它表示一个斜率为2、截 距为3的直线。
一次函数的斜率和截距
斜率
斜率代表函数图像的倾斜程度，可以通过计算任意 两个点之间的纵坐标差与横坐标差的比值来求得。
截距
截距是函数图像与纵坐标轴的交点，表示在横坐标 值为0时，函数的值。
一次函数的解析式
一次函数的解析式是指它的数学表达式，通常是形如y = ax + b的形式。
一次函数的实际应用
一次函数在实际生活中有许多应用，例如：
1 物体在匀速直线运动中的位置与时间关系
2 销售额与广告投入之间的关系
3 水平距离与时间的关系
一次函数的求解题型
一次函数的求解题型多种多样，包括：
1 求解函数的零点
一次函数的图像的斜率与截距关系
斜率 正数 负数 正数 负数 零
截距 正数 正数 负数 负数 正数或负数
一次函数的图像的导数与斜率关系
一次函数的导数就是它的次函数的图像的性质
一次函数的图像呈现直线特征，具有以下性质：
1 单调性
一次函数在整个定义域上都是单调递增或单调递减的。
2 求解函数的定义域和 3 求解函数在某个区间
值域
上的最值
一次函数的应用题型
一次函数的应用题型可以与实际生活中的问题相联系，例如：
1 汽车加速度问题
2 水桶注满水的时间问题
3 走远近路所需时间问题
一次函数的错解分析
一次函数的错解指的是对一次函数的定义、特点或解法等方面存在误解。
一次函数的题型解法技巧
下或左右平移。
对直线上的每个横坐标x进行缩放，可以
改变斜率以实现上下或左右伸缩。
20.2 一次函数的图像(6种题型基础练+提升练)(原卷版)
20.2 一次函数的图像（6种题型基础练+提升练）题型一：判断一次函数的图象题型二：根据一次函数解析式判断其经过的象限．．2023下·上海宝山·八年级校考期中）如果0，0ac<，则直线yA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限题型三：已知函数经过的象限求参数范围题型四：一次函数图象与坐标轴的交点问题题型五：一次函数图象平移问题题型六：求直线围成的图形面积一、单选题1．（2023下·上海杨浦·八年级校考期中）一次函数1y mx n =+与2y mnx =（m 、n 为常数，且0mn ¹）在同一平面直角坐标内的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2023下·上海杨浦·八年级校考期中）下列命题中，正确的是（ ）A ．一次函数()412y x =--在y 轴上的截距是2-B ．一次函数1y x =-的图像与x 轴交于点()1,0-4．（2022秋·上海·八年级期中）如图，直线y kx b =+交坐标轴于A （a ，0），B （0，b ）两点．则不等式0kx b +<的解集为（ ）A ．x b >B ．x a >C ．x b <D ．x a<5．（2022秋·上海静安·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，函数1y x =-+的图象经过（ ）A ．一、二、三象限B ．一、二、四象限C ．一、三、四象限D ．二、三、四象限二、填空题8．（2022秋·上海浦东新·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线4y x =-+与坐标轴交于A ，B 两点，OC AB ^于点C ，P 是线段OC 上的一个动点，连接AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转45°，得到线段'AP ，连接'CP ，则线段'CP 的最小值为______．9．（2022秋·上海长宁·八年级校考期中）一次函数y ＝2x ﹣8与x 轴的交点是 __．10．（2022秋·上海·八年级上海市张江集团中学校考期中）已知一次函数y ＝2x ＋4的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，在直线右侧以AB 为边作正方形ABCD ，则点D 的坐标是________．11．（2022秋·上海·八年级期末）一次函数y ＝﹣x ﹣1不经过第 __象限．12．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）已知一次函数(0)y kx b k =+¹的图像如图所示，那么不等式0kx b +>的解集是__________．13．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）直线443y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将线段AB 绕A 点逆时针旋转90o ，使B 点落在M 点上，则M 点的坐标为__________________．14．（2022秋·上海·八年级期中）一次函数()0y kx b b =+¹图象与坐标轴围成的三角形称为该一次函数的坐标三角形．已知一次函数y x m =+的坐标三角形的面积为3，则该一次函数的解析式为___________．15．（2022秋·上海·八年级上海田家炳中学校考期中）在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则关于x 的不等式21k x k x b <+的解为____________．16．（2022秋·上海嘉定·八年级校考期中）已知，一次函数y kx b =+的图像经过点A （2,1）（如下图所示），当1y ³时，x 的取值范围是______17．（2022秋·上海长宁·八年级校考期中）一个一次函数的图像经过点（0,2），且与两坐标轴围成的三角形面积为4，则一次函数解析式是__________________．三、解答题18．（2022秋·上海·八年级期中）已知关于x的方程mx－2＝3x＋n有无数个解．(1)求出m、n的值．(2)求一次函数y＝mx＋n与坐标轴围成的三角形的面积．19．（2022秋·上海·八年级期中）已知正比例函数图象经过（﹣2，4）．（1）如果点（a，1）和（﹣1，b）在函数图象上，求a，b的值；（2）过图象上一点P作y轴的垂线，垂足为Q，S△OPQ＝154，求Q的坐标．。
一次函数图像及性质总结(表格)zhyane
目 录
• 一次函数图像 • 一次函数的性质 • 一次函数的实际应用 • 一次函数与其他数学知识的联系 • 一次函数的应用题解析
01 一次函数图像
图像形状
直线
一次函数的标准形式为y=kx+b，其 中k为斜率，b为截距。当k≠0时，图 像为一条直线；当k=0时，图像为y轴。
斜率决定方向
02
二次函数的最值问题可以通过求 导找到一阶导数等于0的点，这些 点就是函数的极值点，从而转化 为一次函数的问题。
与线性方程的联系
一次函数与一元一次方程紧密相关， 因为一元一次方程的解就是函数的零 点。
线性方程组的解可以通过消元法或代 入法得到，这些方法在解决一次函数 问题时也经常用到。
与三角函数的联系
详细描述
在日常生活中，我们经常面临各种选择和决策，其中最优化问题是最常见的。例如，在 购物时，我们希望找到价格和质量的最佳平衡点，这可以通过比较不同产品的价格和质
量（即一次函数的斜率和y轴上的截距）来实现。
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斜率k决定了直线的倾斜方向。当k>0 时，直线从左下到右上倾斜；当k<0 时，直线从左上到右下倾斜。
图像与坐标轴的交点
与x轴交点
令y=0，解得x的值即为与x轴的交 点。
与y轴交点
令x=0，解得y的值即为与y轴的交 点。
图像的增减性
单调性
根据斜率k的正负判断。k>0时，函数为增函数；k<0时，函数为减函数。
高度与时间的关系
总结词
高度与时间的关系也是一次函数的应用之一。
详细描述
在航空学中，高度和时间的关系通常用一次函数来表示。例如，一个物体从静止开始自由落体运动时，其高度与 时间的关系就是一次函数。
20.2 一次函数的图像(1)
20.2 一次函数的图像（1）一、知识归纳：1、 一次函数的图像：一般地，一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的图像是一条直线．一次函数y kx b =+的图像也称为直线y kx b =+，这时，我们把一次函数的解析式y kx b =+称为这一直线的表达式．画一次函数y kx b =+的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线．2、 一次函数的截距：一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距， 一般地，直线y kx b =+（0k ≠）与y 轴的交点坐标是(0)b ，，直线y kx b =+（0k ≠）的截距是b ．二、练习A1．一次函数74+-=x y 的图象经过的象限是 （）A ．一、二、三B ．二、三、四C ．一、二、四D ．一、三、四2. 已知一次函数m mx y +=，其在直角坐标系中的图象大体是 （）A. B. C. D.3. 一条直线过点)3,1(-A 和点(3,2)B -，则该直线的解析式为______ ______；该直线的截距为 。
4.直线y =－x +2与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ，直线的截距是 。
5.直线y =－2x －1与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ，直线的截距是 。
6. 一次函数y ＝k x ＋b 的图象经过A （-1,3），B （2，-5）两点（1）求这个一次函数的解析式； （2）该一次函数图像与坐标轴的交点的坐标。
三、练习B1. 无论a 为何实数，直线a x y 3+=与直线5+-=x y 的交点都不可能在 （）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 两个一次函数①b kx y +=1与②k bx y +=2在同一坐标系中的大致图象是 （）A. B. C. D.3. 若点(1,3)A 、)0,1(-B 、(2,)C a 在一条直线上，则a =_____________；4. 直线4y x =+和直线42+-=x y 与x 轴所围成的三角形的面积为____________；5.求函数643-=x y 与x 轴、y 轴的交点坐标，并求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积.6.一次函数y ＝3x ＋b 的图象与两坐标轴围成的三角形面积是54，求b .7. 已知正比例函数y=k 1x 的图像与一次函数y=k 2x-9的图像交于点P （3，-6）。
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课题：20.2 一次函数的图像（1）
教学目标
1、了解一次函数图像是一条直线，会用描点法画一次函数图像；
2、掌握直线的截距的概念，并能根据解析式写出直线的截距；
3、理解一次函数图像与x轴、y轴交点含义，并会求出交点坐标．教学重点及难点
1、画出一次函数图像，写出直线的截距；
2、会求直线与坐标轴交点坐标．
教学过程
一、情景引入
1、操作
按照下列步骤画正比例函数y=1
2
x和一次函数y=
1
2
x+3的图像，并进行比较
（1）列表：取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y
（2）描点：分别以所取x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的点．
（3）连线：用光滑的曲线（包括直线）把描出的的这些点联结起来．（图略）
2、观察
观察表格和图像，对于x的每一个相同值，函数y=1
2
x+3的对应值比函数
y=1
2
x的对应值都大多少?
【说明】不论从表中或图像上都可以看出，对于x的每一个相同值，函数
y=1
2
x+3的对应值比函数y=
1
2
x的对应值都大3个单位．因此，函数y=
1
2
x+3的
图像是由函数y=1
2
x的图像向上平移3个单位得到的．
3、思考
我们知道，正比例函数是特殊的一次函数，而正比例函数的图像是一条直线，那么一次函数的图像是直线吗?
二、学习新课
1、概念辨析
一般来说，一次函数y =kx +b （其中k 、b 是常数，且k ≠0）的图像是一条直线．一次函数y =kx +b 的图像也称为直线y =kx +b ．一次函数解析式y =kx +b 称为直线的表达式．
2、例题分析
【例1】在平面直角坐标系xoy 中，画一次函数y =32
x -2的图像．
【分析】因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图像时，只要先描出直线上的两点，再过两点画直线就可以了．
解：由y =
3
2x -2可知：当x =0时，y =-2；当y =0时，x =3．
所以A(0，-2)、B(3，0)是函数y =3
2x -2的图像上的两点．
过点A 、B 画直线，则直线AB 就是函数y =3
2x -2的图像．（图略）
【说明】（1）画直线y =kx +b 时，通常先描出直线与x 轴、y 轴的交点，如果直线与x 轴、y 轴的交点坐标不是整数，为了画图方便、准确，通常是描出直线上的整数点．（2）本例讲述了求直线与坐标轴交点的方法，同时，为引出直线的截距概念作好铺垫．
由点A 的横坐标x =0，可知点A 在y 轴上；由点B 的纵坐标y =0，可知点B 在x 轴上．又点A 、B 在直线y =3
2x -2上，所以点A 、B 是直线y =
3
2x -2分别与
y 轴、x 轴的交点．
3、概念辨析
一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距．
一般地，直线y =kx +b (k ≠0)与y 轴的交点坐标是(0，b)．直线y =kx +b (k≠0)的截距是b ．
4．例题分析
【例2】写出下列直线的截距：
（1）y =-4x -2； （2）y =8x ；
（3）y =3x -a +1； （4）y =(a +2)x +4(a ≠-2)．
解：（1）直线y =-4x -2的截距是-2；
（2）直线y =8x 的截距是0； （3）直线y =3x -a +1的截距是-a +1； （4）直线y =(a +2)x +4(a ≠-2)的截距是4．
【说明】本例是巩固对直线截距概念的理解，直线的截距是由x =0，求得对应的y 值，同时，注意截距与距离的区别．
【例3】已知直线y =kx +b 经过A(-20，5)、B(10，20)两点．
求：（1）k 、b 的值；（2）这条直线与坐标轴的交点的坐标．
【分析】直线经过点，即点在图像上，所以点的坐标满足直线解析式，根据条件，建立k 、b 的方程组，解这个方程组，就可求得k 、b 的值．
解：（1）因为直线y =kx +b 经过点A(-20，5)、B(10，20)
所以
⎩
⎨
⎧=+=+20b 10k 5
b 20k - 解之得：k=
2
1, b=15．
（2）这条直线的表达式为：y=
2
1x+15．
在y =2
1x +15中，令y =0，得2
1x+15=0，解得x =-30；令x =0，得y =15．所
以这条直线与x 轴的交点的坐标为(-30，0)，与y 轴的交点的坐标为(0，15)．
【说明】本例进一步讲述了求直线与坐标轴交点的方法，强化重难点． 5、问题拓展
已知直线y =mx +2与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，点O 为坐标原点，如果OA=
2
1OB ，求直线的表达式．
解：在y =mx +2中，
令y =0，得mx +2=0，解得x =-m
2，得点A 坐标(-
m
2，0)；
令x =0，得y =2．得点B 坐标为(0，2)． 所以OA=│-m
2│，OB=2
由OA=2
1OB ，得│-m
2│=1，所以m =±2．
所以直线的表达式为：y =2x +2或y =-2x +2．
【说明】本题要求出直线的表达式，只要求出待定系数m 的值即可，解决问题的关键是正确运用点的坐标表示线段的长度，注意点是本题谨防漏解．
三、巩固练习
1、书上P 6第1题
（口答）说出下列直线的截距：
（1）直线y =3x +2； （2）直线y =-2x -5； （3）直线y =3x +1-2． 2、练习部分P 2第1题．
在平面直角坐标系xoy 中，画出函数y =-32
x +2的图像，并求这个图像与坐
标轴的交点的坐标．
3、已知直线经过点M(3，1)，截距是-5，求这条直线的表达式．
4、已知直线y =kx +b 经过点A(-1，2)和B(
2
1，3)，求这条直线的截距．
四、课堂小结（学生归纳，教师引导）
1、一次函数y =kx +b (k ≠0)的图像是什么样的形状? 如何画一次函数的图像?
2、什么叫直线的截距? 如何求直线的截距?
3、用什么方法求直线解析式? 如何求直线与坐标轴交点的坐标?
五、作业布置
1、练习本：书上P6第
2、
3、4题，练习部分P2第2、3、4题．
2、课课练：P3—4习题20.2（1）．
教学设计说明
通过列表、描点、连线三个步骤的操作活动，学习画一次函数的图像，并和正比例函数图像进行比较；在此基础上归纳得到一次函数的图像是直线，通过例题1的学习，使学生明白画一次函数图像时，一般是先确定图像上两个点，再作经过这两个点的直线．并由此给出直线的截距概念.通过例题2和例题3的分析与解决，帮助学生学会如何求直线的截距及如何求直线与坐标轴的交点坐标．通过拓展，学习如何用点的坐标表示线段的长，进而求出直线的解析式．。