2020年北师大版九年级数学上册 特殊平行四边形 单元测试卷二 学生版
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元模拟试题(含答案)(5)
第一章：特殊的平行四边形单元测试卷（典型题汇总）（100分钟，120分）一、选择题1．下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠C，∠B=∠D C．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC 2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（）A．6cm B．9cm C．3cm D．12cm3．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）A．50° B．55° C．60° D．65°4．给出以下三个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④菱形对角线的平方和等于边长平方的4倍．其中真命题的是（）A．③B．①② C．②③D．③④5．如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（）A．3B．4 C．5 D．76．已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）A．6 cm和9 cm B．5 cm和10 cm C．4 cm和11 cm D．7 cm和8 cm7．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD8．如图为菱形ABCD与△ABE的重叠情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何？（）A．8 B．9 C．11 D．129．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）A．2B．3 C．D．1+10．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．2B．3 C．D．二、填空题11．等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是矩形、正方形．12．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是3cm2．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，∴它的面积是：×2×3=3（cm2）．13．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是45°．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于 3.5 ．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵AB+BC+CD+DA=28，∴AD=7，∵H为AD边中点，∴OH=AD=3.5；15．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为5．【解答】解：过E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，∵△ABE的面积为8，∴×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE===5，三、解答题（15题12分，16题12分，17题16分）16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，求△AEF的周长。
北师大版2020九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元综合基础过关测试题(附答案详解)
北师大版2020九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元综合基础过关测试题（附答案详解）1．给出下列命题：(1)平行四边形的对角线互相平分；(2)矩形的对角线相等；(3)菱形的对角线互相垂直平分；(4)正方形的对角线相等且互相垂直平分．其中，真命题的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．12．平面直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点坐标分别是A(－3，0)，B(0，2)，C(3，0)，D(0，－2)，则四边形ABCD 是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形 3．如图所示，已知四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，则下列能判断它是正方形的条件是（ ）A ．AO BO CO DO ===，AC BD ⊥B ．AB BC CD DA === C ．AO CO =，BO DO =，AC BD ⊥ D ．AB BC =，CD DA ⊥4．如图，△ABC 中，∠ C ＝900，∠CAB ＝600，AD 平分∠BAC ，点D 到AB 的距离DE ＝3cm ，则BC 等于（ ）A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm5．下列说法中，不正确的是( )A ．一组邻边相等的矩形是正方形B ．一组邻边相等的平行四边形是菱形C ．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形D ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形6．如图，矩形ABCD 的面积为10cm 2，它的两条对角线交于点O 1，以AB 、AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交于点O 2，同样以AB 、AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2，…，依此类推，则平行四边形ABC n O n 的面积为( )A ．210n cm 2B ．1102n -cm 2C ．12n cm 2D ．102n cm 2 7．如图，把正方形ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为,MN 再过点B 折叠纸片，使点A 格在MN 上的点F 处，折痕为,BE 若AB 长为2,则EN 的长为(（ ）A ．233-B ．322-C ．22D ．238．如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 上，且EC 平分∠BED ，AB =1，∠ABE =45°，则BC 的长为（ ）A ．2B ．1．5C ．3D ．29．如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠ADB ＝30°，E 为BC 边上一点，∠AEB ＝45°，CF ⊥BD 于F ．下列结论：①BE ＝CD ，②BF ＝3DF ，③AE ＝2AO ，④CE ＝CF ．正确的结论有（ ）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．①②③10．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且DE ∥AC ，CE ∥BD ，若AC ＝2，则四边形OCED 的周长为（ ）A ．16B ．8C ．4D ．211．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为点E ，若56OCD ︒∠=，则EAO ∠=____．12．如下左图，菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，若OD =12AD ，则四个内角为________.13．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 为斜边AB 的中点，AC =6cm ，BC =8cm 则CD 的长为_____cm ．14．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则AB 边上的中线CD ＝____．15．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，若CD =2，则线段EF 的长是______．16．如图在菱形ABCD 中，AB = 10，∠DAB= 60°，P 是对角线AC 上一动点，E 、F 分别是线段AB 和BC 上的动点，则PE +PF 的最小值是 ．17．如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点，EF ＝2EH ，则AB 与EH 的数量关系是AB ＝_____EH ．18．已知菱形的周长为20cm ，一条对角线长为6cm ，则这个菱形的面积是_____cm 2． 19．如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为16，则BE 等于 _________20．如图，平行四边形ABCD 中，60B ∠=，=12BC ，10AB =，点E 在AD 上，且AE=4，点F 是AB 上一点，连接EF ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转120°得到EG ，连接DG ，则线段DG 的最小值为____________________．21．如图，四边形ABCD 是正方形，EFC ∆是等腰直角三角形，点E 在AB 上，且90CEF ∠=︒，FG AD ⊥，垂足为点G .（1）试判断AG 与FG 是否相等？并给出证明.（2）若点H 为CF 的中点，GH 与DH 垂直吗？若垂直，给出证明；若不存在，说明理由.22．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ， BC 的中点，且2BC AF =. （1）求证：四边形ADFE 为矩形；（2）若30C ∠=︒，2AF =，写出矩形ADFE 的周长.23．如图，在菱形ABCD 中，P 是AB 上的一个动点（不与A 、B 重合）．连接DP 交对角线AC 于E ，连接BE ．()1证明：APD CBE ∠=∠；()2试问P 点运动到什么位置时，ADP △的面积等于菱形ABCD 面积的14？请说明理由．24．如图，已知E 为ABCD 外一点，AE EC ⊥，BE ED ⊥，AC ，BD 相交于点O ．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（提示：连接OE ）（2）若3AE =，60EAC ∠=︒，求BD 的长．25．已知：如图，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，E 、F 分别是线段BM 、CM 的中点（1）求证：△ABM ≌△DCM（2）判断四边形MENF 是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD ：AB= _时，四边形MENF 是正方形（只写结论，不需证明）26．已知：如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，30B ∠=︒，45ACB ∠=︒，CE 是AB 边上的中线．（1）12CD AB =； （2）若CG EG ，求证：DG CE ．27．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＞BC ，BC ＝6cm ，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，P 以1cm/s 的速度由A 向D 运动，Q 以2cm/s 的速度由C 出发向B 运动，几秒后四边形ABQP 是平行四边形？28．如图，在平面直角坐标系中，点F 的坐标为(0,20)．点E 的坐标为(40,0)，直线1l 经过点F 和点E ，直线1l 与直线23:4l y x =相交于点P ．（1）求直线1l 的表达式和点P 的坐标；（2）矩形ABCD 的边AB 在y 轴的正半轴上，点A 与点F 重合，点B 在线段OF 上，边AD 平行于x 轴，且12AB =，18AD =，将矩形ABCD 沿射线FE 的方向以一定的速度平移，边BC 始终与x 轴平行．①矩形ABCD 在移动过程中，当点A 与点P 重合时，求矩形ABCD 与OEF 重合的面积②矩形ABCD在移动过程中，B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线1l或2l上，求此时点A的坐标29．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE＝CF．(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)连接DE、BF，若BD⊥EF，试探究四边形EBFD的形状，并对结论给予证明．30．在正方形ABCD中，BD为对角线，点P从A出发，沿射线AB运动，连接PD，过点D作DE⊥PD，交直线BC于点E．（1）当点P在线段AB上时（如图1），求证：BP+CE=BD；（2）当点P在线段AB的延长线上时（如图2），猜想线段BP、CE、BD之间满足的关系式，并加以证明；（3）若直线PE分别交直线BD、CD于点M、N，PM=3，EN=4，求PD的长．参考答案1．C【解析】【分析】利用平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质及正方形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】（1）平行四边形的对角线互相平分，正确，是真命题；（2）矩形的对角线相等，正确，是真命题；（3）菱形的对角线互相垂直平分，正确，是真命题；（4）正方形的对角线相等且互相垂直平分，正确，是真命题，故选C．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质及正方形的性质，属于基础题，难度不大．2．B【解析】【分析】在平面直角坐标系中，根据点的坐标画出四边形ABCD，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形ABCD是菱形.【详解】解：如图所示：∵A（-3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，-2），∴OA=OC ，OB=OD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵BD ⊥AC ，∴四边形ABCD 为菱形，故选B.【点睛】本题考查了菱形的判定，坐标与图形性质，掌握菱形的判定方法利用数形结合是解题的关键. 3．A【解析】【分析】根据正方形的判定定理即可求解.【详解】A ∵AO BO CO DO ===，∴四边形ABCD 为矩形，由AC BD ⊥，所以矩形ABCD 为正方形，B. AB BC CD DA ===，四边形ABCD 为菱形；C. AO CO =，BO DO =，AC BD ⊥，四边形ABCD 为菱形；D. AB BC =，CD DA ⊥，不能判定四边形ABCD 为正方形,故选A.【点睛】此题主要考查正方形的判定，解题的关键是熟知正方形的判定定理.4．C【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠B=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE ，然后根据BC=BD+CD 计算即可得解．【详解】解：∵∠C=90°，∠CAB=60°，∴∠B=90°-60°=30°，∵DE ⊥AB ，∴BD=2DE=2×3=6cm，∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥B，∴CD=DE=3cm，∴BC=BD+CD=6+3=9cm．故选：C．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质以及直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．5．C【解析】【分析】根据正方形、菱形、平行四边形的定义或判定即可得到答案.【详解】解：根据正方形、菱形、平行四边形的定义知A、B、D正确；一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，此说法错误.考点：1.正方形；2.菱形；3.平行四边形；4.矩形.6．D【解析】【分析】根据矩形的性质对角线互相平分可知O1是AC与DB的中点，根据等底同高得到S△ABO1＝1 4 S矩形，又ABC1O1为平行四边形，根据平行四边形的性质对角线互相平分，得到O1O2＝BO2，所以S△ABO2＝18S矩形，…，以此类推得到S△ABO5＝132S矩形，而S△ABO5等于平行四边形ABC5O5的面积的一半，根据矩形的面积即可求出平行四边形ABC5O5和平行四边形AB∁n O n的面积．【详解】解：∵设平行四边形ABC1O1的面积为S1，∴S△ABO1＝12S1，又∵S△ABO1＝14S矩形，∴S 1＝12S 矩形＝5＝052； 设ABC 2O 2为平行四边形为S 2，∴S △ABO 2＝12S 2， 又∵S △ABO 2＝18S 矩形， ∴S 2＝14S 矩形＝15522=； ，…，∴平行四边形AB ∁n O n 的面积为1511022n n -=⨯（cm 2）． 故选D ．【点睛】此题考查了矩形及平行四边形的性质，要求学生审清题意，找出面积之间的关系，归纳总结出一般性的结论．考查了学生观察、猜想、验证及归纳总结的能力．7．A【解析】【分析】根据翻转变换的性质求出BM 、BF ，根据勾股定理计算求出FM 的值；再在Rt △NEF 中，运用勾股定理列方程求解，即可得到EN 的长．【详解】∵四边形ABCD 为正方形，AB=2，过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处， ∴FB=AB=2，BM=12BC=1，BF=BA=2，∠BMF=90°， 则在Rt △BMF 中，FM ===∴2FN MN FM =-=设AE=FE=x ，则EN=1x -，∵Rt △EFN 中，222NE NF EF +=，∴()(22212x x -+=，解得：4x =-∴EN=13x -=．故选：A ．【点睛】本题考查了翻转变换的性质、勾股定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．8．A【解析】【分析】由矩形的性质和角平分线的定义得出∠DEC=∠ECB=∠BEC ，推出BE=BC ，求得AE=AB=1，然后依据勾股定理可求得BE 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ．∴∠DEC=∠BCE ，∵EC 平分∠DEB ，∴∠DEC=∠BEC ．∴∠BEC=∠ECB ．∴BE=BC ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°，∵∠ABE=45°，∴∠ABE=AEB=45°，∴AB=AE=1，∵由勾股定理得：==，∴故选：A ．本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用；熟练掌握矩形的性质，证出BE=BC是解题的关键．9．D【解析】【分析】根据矩形的性质，由∠ADB=30°可得，△AOB和△COD都是等边三角形，再由∠AEB=45°，可得△ABE是正确的，①BE=CD是正确的，在正△COD中，CF⊥BD，可得DF=12CD，再利用等量代换可得②BF=3DF是正确的，利用选项的排除法确定选项D是正确的．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，AC=BD，AO=CO=BO=DO，∠ABC=∠ADC=∠BAD=∠BCD=90°，∵∠AEB=45°，∴∠BAE=∠AEB=45°∴AB=BE=CD，CD，故①正确，∵∠ADB=30°，∴∠ABO=60°且AO=BO，∴△ABO是等边三角形，∴AB=AO，，故③正确，∵△OCD是等边三角形，CF⊥BD，∴DF=FO=12OD=12CD=14BD，∴BF=3DF，故②正确，根据排除法，可得选项D正确，【点睛】考查矩形的性质，含有30°角的直角三角形的特殊的边角关系、等边三角形的性质和判定等知识，排除法可以减少对④的判断，从而节省时间．10．C【解析】【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等，得到OD=OC=1AC2，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形OCED为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形OCED为菱形，即可求出其周长．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD=2，∴OA=OB=OC=OD=1AC2=1，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形OCED为平行四边形，∵OD=OC，∴四边形OCED为菱形，∴OD=DE=EC=OC=1，则四边形OCED的周长为1+1+1+1=4．故选：C．【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．11．22°【解析】【分析】根据矩形的性质及等腰三角形的性质得到∠OCD=∠ODC=56°，根据三角形内角和及对顶角相等得到∠AOE=∠DOC=68°，再由AE BD即可得到∠EAO的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴∠OCD=∠ODC=56°，∴∠DOC=180°-56°-56°=68°，∴∠AOE=∠DOC=68°，∵AE BD⊥，∴∠AED=90°，∴∠EAO=90°-68°=22°，故答案为：22°．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解题的关键是熟知矩形的对角线相等且互相平分．12．60°，120°，60°，120°【解析】因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD, ∠ADB=∠CDO=∠ABD=∠CBD,因为OA=AD,所以∠ADO=30°,所以∠ADC=∠ABC=60°, ∠DAB=∠DCB=120°.故答案为: 60°, 120°, 60°, 120°.点睛:本题主要考查了菱形的性质以及直角三角形的性质,熟练利用菱形的性质求出解题关键.13．5【解析】【分析】利用勾股定理列式求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【详解】由勾股定理得，10AB===(cm)，∵∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，∴1110522CD AB==⨯=(cm)，故答案为：5．本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．14．.【解析】【分析】根据勾股定理求出AB，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．【详解】如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=5，BC=3，由勾股定理得：AB==，∵CD是直角三角形ACB的斜边AB上中线，∴CD=AB=，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．15．2【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，AB=2CD，因为EF是三角形ABC的中位线，所以AB=2EF，所以EF=CD=5．故答案是：516．3；【解析】作点F 关于AC 的对称点'F ,连接E 'F ,则PE +PF='EF , 因为E 、F 分别是线段AB 和BC 上的动点，所以当'EF AB ⊥时，'EF 的值最小，即等于边AB 上的高，过点D 作DQ AB ⊥,因为在菱形ABCD 中， AB =AD= 10，∠DAB= 60°，所以AQ=12AB =5，所以DQ =53，即PE +PF 的最小值是53考点：1．菱形的性质；2．勾股定理；3．轴对称的性质．17．5【解析】【分析】连接AC 、BD 交于O ，根据菱形的性质得到AC ⊥BD ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形EFGH 是矩形，根据勾股定理计算即可．【详解】解：连接AC 、BD 交于O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，∵点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 和DA 的中点，∴EH ＝12BD ，EH ∥BD ，GH ＝12AC ，GH ∥AC ， ∵EF ＝2EH ，∴OA ＝2OD ，∴AB ＝22OA OD +＝5OD ，∴AB ＝5EH ，故答案为：5．【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的性质、三角形中位线定理是解题的关键．18．24【解析】【分析】根据菱形的性质，先求另一条对角线的长度，再运用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解．【详解】解：如图，在菱形ABCD中，BD＝6．∵菱形的周长为20，BD＝6，∴AB＝5，BO＝3，∴22534AO=-=，AC＝8．∴面积168242S=⨯⨯=．故答案为24．【点睛】此题考查了菱形的性质及面积求法，难度不大．19．4【解析】【分析】过B点作BF⊥CD，与DC的延长线交于F点，运用割补法把原四边形转化为正方形，即可求出BE的长．【详解】解：如图，过B点作BF⊥CD，与DC的延长线交于F点，∵∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD，∴四边形EDFB是矩形，∠EBF=90°，∴∠ABE=∠CBF，在△BCF和△BAE中，∵∠F=∠BEA,∠CBF=∠ABE,AB=BC,∴△BCF≌△BAE（ASA），∴BE=BF，∴四边形EDFB是正方形，∴S四边形ABCD=S正方形BEDF=16，∴16．故答案为：4．【点睛】此题考查三角形全等的判定与性质，正方形的判定与性质，运用割补法把原四边形转化为正方形，其面积保持不变，所求BE就是正方形的边长了；也可以看作将三角形ABE绕B点逆时针旋转90°后的图形．20．23【解析】【分析】结合已知条件，作出辅助线，通过全等得出ME=GN，且随着点F的移动，ME的长度不变，从而确定当点N与点D重合时，使线段DG最小．【详解】解：如图所示，过点E做EM⊥AB交BA延长线于点M，过点G作GN⊥AD交AD于点N，∴∠EMF=∠GNE=90° ∵四边形ABCD 是平行四边形，BC=12∴AD ∥BC ，AD=BC=12，∴∠BAD=120°，∴∠AFE+∠AEF=60°又∵EG 为EF 逆时针旋转120°所得，∴∠FEG=120°，EF=EG ，∴∠AEF+∠GEN=60°，∴∠AFE=∠GEN ，∴在△EMF 与△GNE 中，∠AFE=∠GEN ，∠EMF=∠GNE=90°，EF=EG ，∴△EMF ≌△GNE （AAS ）∴ME=GN又∵∠EAM=∠B=60°，AE=4，∴∠AEM=30°，122AM AE ==，2223ME AE AM =-=， ∴23ME GN ==，∴当点N 与点D 重合时，使线段DG 最小，如图所示，此时23DG GN ==， 故答案为：23．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、全等三角形的构造、几何中的动点问题，解题的关键是作出辅助线，得到全等三角形，并发现当点N 与点D 重合时，使线段DG 最小． 21．（l ）AG FG =，见解析；（2）DH GH ⊥，见解析.【解析】【分析】（1）首先假设AG FG =，在BC 边上取BM BE =，连接EM 、AF ，进而证明AEF MCE ∆≅∆，可得45DAF ∠=︒，即可证明AG FG =.（2）假设垂直，延长GH 交CD 于点Q ，证明FGH CQH ∆≅∆,进而证明DCQ ∆是等腰三角形，即可证明DH GH ⊥.【详解】（l ）AG FG =证明如下：在BC 边上取BM BE =，连接EM 、AF∵四边形ABCD 是正方形∴AB BC =∴AE CM =∵90CEF ∠=︒∴90AEF BEC ∠+∠=︒又∵90BEC BCE ∠+∠=︒∴AEF BCE ∠=∠又∵CE EF =∴AEF MCE ∆≅∆∴135EAF EMC ∠=∠=︒又∵90BAD ∠=︒∴1359045DAF ︒-︒∠==︒又∵FG AD ⊥∴AG FG =.（2）DH GH ⊥证明如下：延长GH交CD于点Q∵四边形ABCD是正方形⊥∴AD CD⊥又∵FG AD∴FG CD∠=∠∴GFH DCH∠=∠又∵GHF CHQ=FH CH∆≅∆∴FGH CQH=∴GH HQ=FG CQ=∴AG CQ=∴DG DQ∆是等腰三角形∴DCQ⊥.∴DH GH【点睛】本题主要考查正方形的性质，关键在于结合三角形的全等来证明，这是几何的重要考点，应当熟练地掌握.22．（1）证明见解析；（2）232+【解析】（1）证明：连接DE.∵E，F分别是边AC，BC的中点，∴EF AB ，12EF AB =. ∵点D 是边AB 的中点， ∴12AD AB =. ∴AD EF =.∴四边形ADFE 为平行四边形.由点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，可得：12DE BC =. ∵2BC AF =，∴22DE AF =，即DE AF =.∴四边形ADFE 为矩形.（2）2.23．()1证明见解析；()2P 点运动到AB 中点时，ADP △的面积等于菱形ABCD 面积的14；理由见解析．【解析】【分析】（1）由四边形ABCD 是菱形，即可证得∠CDE=∠APD ，△CDE ≌△CBE ，继而证得结论； （2）首先连接BE ，由等高三角形的面积比等于对应底的比，可证得S △ADP =12S △ABD ，继而证得结论．【详解】解：()1证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴CD CB =，DCE BCE ∠=∠，//AB CD ，∴CDE APD ∠=∠，在CDE △和CBE △中， CD CB DCE BCE CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()CDE CBE SAS ≅，∴CBE CDE ∠=∠，∴APD CBE ∠=∠；()2P点运动到AB中点时，ADP△的面积等于菱形ABCD面积的14．理由：连接BD，∵P是AB的中点，∴12ADP ABDS S=，∵12ABD ABCDS S=菱形，∴14ADP ABCDS S=菱形．【点睛】此题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．24．（1）证明见解析；（2）6．【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质，得到EO=12AC，EO=12BD，所以AC=BD，由此即可证明；（2）根据直角三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OE．∵AE EC ⊥，BE ED ⊥，∴AEC ∆与BED ∆都为直角三角形．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA OC =，OB OD =．∴OE 是直角三角形AEC ∆与BED ∆斜边上的中线． ∴12OE AC =，12OE BD =． ∴AC BD =．∴平行四边形ABCD 是矩形．（2）解：∵OA OE =，60EAC ∠=︒，∴△AOE 是等边三角形．∴OA AE =∵3AE =，∴26AC AE ==．∵BD AC =，∴6BD =．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是记住斜边中线等于斜边一半，所以中考常考题型．25．（1）证明见解析；（2）证明见解析;（3）2：1.【解析】【分析】（1）求出AB=DC ，∠A=∠D=90°，AM=DM ，根据全等三角形的判定定理推出即可． （2）根据三角形中位线定理求出NE ∥MF ，NE=MF ，得出平行四边形，求出BM=CM ，推出ME=MF ，根据菱形的判定推出即可.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠D ＝90°，AB ＝DC ．又∵MA ＝MD ，∴△ABM ≌△DCM （SAS ）．（2）四边形MENF是菱形．证明如下：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，∴NE∥CM，NE=12CM，MF=12CM．∴NE=FM，NE∥FM．∴四边形MENF是平行四边形．∵△ABM≌△DCM，∴BM=CM．∵E、F分别是BM、CM的中点，∴ME=MF．∴平行四边形MENF是菱形．（3）当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形，理由如下：∵M为AD中点，∴AD=2AM．∵AD：AB=2：1，∴AM=AB．∵∠A=90°，∴∠ABM=∠AMB=45°．同理∠DMC=45°．∴∠EMF=180°-45°-45°=90°．∵四边形MENF是菱形，∴菱形MENF是正方形．26．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质得出AD＝12AB，证得△ACD是等腰直角三角形，得出CD＝AD，即可得出结论；（2）连接DE，根据DE是Rt△ABD斜边AB上的中线，得出DE＝12AB，证得DE＝CD，根据等腰三角形三线合一即可得出结论．【详解】证明：（1）∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC，∵∠B＝30°，∴AD＝12 AB，∵∠ACB＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴CD＝AD，∴CD＝12 AB；（2）连接DE，∵CE是AB边上的中线，AD⊥BC，∴DE是Rt△ABD斜边AB上的中线，∴DE＝12 AB，∵CD＝12 AB，∴DE＝CD，∵CG＝EG，∴DG⊥CE．【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线定理等知识；熟练掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解决问题的关键．27．2秒后四边形ABQP是平行四边形．【解析】【分析】由运动时间为t秒，则AP＝t，QC＝2t，而四边形ABQP是平行四边形，所以AP＝BQ，则得方程t＝6﹣2t求解．【详解】解：设t秒后，四边形APQB为平行四边形，则AP＝t，QC＝2t，BQ＝6﹣2t，∵AD∥BC所以AP∥BQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，知：AP＝BQ即可，即：t＝6﹣2t，∴t＝2，当t＝2时，AP＝BQ＝2＜BC＜AD，符合，综上所述，2秒后四边形ABQP是平行四边形．【点睛】此题主要考查的是平行四边形的性质，难度不大，注意一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．28．（1）y=-12x+20；P（16，12）；（2）①135；②（265，875）或（325，845）【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解析式，函数关系式联立方程求交点；（2）①先画出矩形ABCD所在的位置，再根据梯形的面积公式求解即可；②分析矩形运动规律，找到点D和点B分别在直线l2上或在直线l1上时的情况，利用AD、AB分别可以看成图象横坐标、纵坐标之差构造方程求点A坐标，进而求出AF距离；【详解】解：（1）设直线l1的表达式为y=kx+b,∵直线l1过点F（0，20），E（40，0）,∴20400bk b=⎧⎨+=⎩,解得1220kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴直线l1的表达式为y=-12x+20,解120234y xy x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得1612xy=⎧⎨=⎩∴点P 坐标为（16，12）； （2）①∵12AB =，18AD =，P （16，12）,∴OC=16+18=34,∴当点A 与点P 重合时，矩形ABCD 的位置如图，CD 交l 1与点F ， 当x=34时，y=-12x+20=3，即 ∴形ABCD 与OEF 重合的面积=()1312181352⨯+⨯=；②如图，当点D 在直线上l 2时，∵AD=18，∴点D 与点A 的横坐标之差为18，∴将直线l 1与直线l 2 的解析式变为，x=40-2y ，x=43y, ∴43y-（40-2y ）=18, 解得y=875， ∴x=40-2×875=265， 则点A 的坐标为：（265，875）； 如图，当点B 在l 2 直线上时，∵AB=12,∴点A的纵坐标比点B的纵坐标高12个单位, ∴直线l1的解析式减去直线l2 的解析式得,-12x+20-34x=12,解得x=325，∴y=-12×325+20=845,则点A坐标为（325，845）.综上可知，点A的坐标为：（265，875）或（325，845）.【点睛】本题是代数几何综合题，考查了待定系数法求函数解析式，根据函数关系式来表示点的坐标，图形与坐标的性质，矩形的性质，涉及到了分类讨论思想和数形结合思想．29．（1）详见解析；（2）四边形EBFD为菱形.【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质可得BO=DO，AO=CO，再利用等式的性质可得EO=FO，然后再利用SAS定理判定△BOE≌△DOF即可；(2)根据BO=DO，FO=EO可得四边形BEDF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形EBDF为菱形．【详解】证明：(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO，AO=CO，∵AE=CF，∴AO ﹣AE=CO ﹣FO ， ∴EO=FO ，在△BOE 和△DOF 中BO DO BOE DOF EO FO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOE ≌△DOF （SAS ）；(2) 四边形EBDF 为菱形理由：∵BO=DO ，FO=EO ，∴四边形BEDF 是平行四边形，∵BD ⊥EF ，∴四边形EBDF 为菱形．【点睛】考查了平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分．对角线互相平分的四边形是平行四边形．30．（1）证明见解析（2）CE ﹣BP=BD ，理由见解析（3）3或6【解析】试题分析：（1）根据已知和图形证明△PAD ≌△ECD ，得到AP=CE ，根据AB=BD ，得到答案； （2）与（1）的方法类似，求出结论；（3）分P 在线段AB 上和P 在AB 延长线上两种情况进行讨论，根据三角形全等和勾股定理证明结论．证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A=∠ADC=∠BCD=∠DCE=90°，AD=CD ，∵DE ⊥PD ，∴∠ADC=∠PDE=90°，∴∠ADP=90°﹣∠PDC=∠CDE ，∴△PAD ≌△ECD ，∴AP=CE ，∴BP+CE=BP+AP=AB=BD ；（2）CE﹣BP=BD；理由：△PAD≌△ECD，∴CE=AP，∴CE﹣BP=AP﹣BP=AB=BD；（3）①当P在线段AB上时，如图1所示，在BC上取一点G使得BG=BP，连接MG、NG，∵△APD≌△CED，∵AP=CE，PD=ED，∴△PED是等腰直角三角形，∴AB=BC=AP+BP=BG+CG，∴CG=CE，∴可证△NCG≌△NCE，∴NG=NE，∠NGC=∠NEC，∵∠PBM=∠GBM=45°，BP=BG，BM=BM，∴△BPM≌△BGM∴PM=GM，∠MGB=∠MPB，又∠NEC+∠MPB=90°，∴∠NGC+∠MGB=90°，∴∠MGN=90°，∴MN==5，∴PE=PM+MN+EN=3+5+4=12，∴PD=PE=6；②当P在AB延长线上时，如图2所示，延长CB至G，使得CG=CE，连接MG、NG，∵AP=CE，∴CE﹣BC=CG﹣BC=AP﹣AB=BP=BG，同①可证△△BMG≌△BMP，△CNG≌△CNE，∴PM=GM，GN=EN，∠BGM=∠BPM=90°+∠CEN=90°+CGN，∴∠CGN=∠BGM﹣90°=∠BGM﹣∠MGN，∴∠M GN=90°，∴MN==5，∴PN=MN﹣PM=5﹣3=2，∴PE=PN+EN=2+4=6，∴PD=PE=3，∴PD的长为3或6．考点：四边形综合题．。
北师大版九年级数学上册《特殊平行四边形》单元测试卷及答案解析
北师大版九年级数学上册《特殊平行四边形》单元测试卷一、选择题1、若菱形两条对角线的长分别为4和6，则此菱形面积为（）A．10 B．12C．18 D．242、顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形3、折叠一张正方形纸片，按如下折法不一定能折出45°角的是（）A．B．C．D．4、矩形ABCD的面积是16，它的长与宽的比为4：1，则该矩形的宽为（）A．1 B．2C．3 D．45、如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=3，则此正方形的面积为（）A．3 B．12C．18 D．366、如图，正方形ABCD中，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，且 BE=CF.连接 AE、BF.下列结论错误的是（） A. AE=BF B. AE⊥BFC. ∠DAE=∠BFCD. ∠AEB+∠BFC=12007、如图，P为正方形ABCD的对角线AC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，若AC＝，则四边形PEBF的周长为( )A．B．2C．2 D．18、从正方形铁片上截去2cm宽的一个长方形，剩余矩形的面积为80cm2，•则原来正方形的面积为（）A．100cm2B．121cm2C．144cm2D．169cm2二、填空题9、方形边长为1，则它其中一角线长为________10、如图，正方形ABCD的对角线长为8，E为AB上一点，若EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，则EF+EG=______．11、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB="10" cm，点D为AB的中点，则CD=__________cm．（第10题图）（第11题图）（第13题图）12、直角三角形斜边上的中线长为4，则斜边为______________。
13、如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E，若PE=5，则点P 到AD的距离为________________．14、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连结EF.若EF＝，BD＝4，则菱形ABCD的周长为_____________．15、若菱形的两条对角线长分别为6cm，8cm，则其周长为_________cm.16、如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为________．三、解答题17、在▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE=CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若DF=BF，求证：四边形DEBF为菱形．18、如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D是AB的中点，分别过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、F．求证：四边形CEDF是正方形．19、如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG. (1)求证：△ABG≌△AFG；(2)求BG的长.20、如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：AM=EF．21、如图，正方形ABCD中，点E、F分别是AB和AD上的点。
2020-2021学年最新北师大版九年级数学上册《特殊的平行四边形》单元测试题及答案-精品试题
第一章特殊平行四边形测试题（时间：分钟满分：120分）一、选择题(每小题3分,共30分)1.已知下列命题：①矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个2.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60°D．∠ACB=60°3.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，则∠CDF等于（）A50° B.60° C.70° D.80°4.相邻两边长分别为2和3的平行四边形，若边长保持不变，其内角大小变化，则它可以变为（）A．矩形B．菱形C．正方形D．矩形或菱形5.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF，则四边形AECF是（）A．矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 无法确定6.如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接DE，BF，CE，AF，正方形ABCD的面积为1，则阴影部分的面积为（）A.12B.13C.14D.15、第2题图第5题图第3题图第6题图第7题图第8题图7.如图，正方形ABCD 的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为点F，则EF的长为（）A.1B. 2C.4-2 2D.32-48.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（）A．邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．两个全等的直角三角形构成正方形D．轴对称图形是正方形9.如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD 并延长，交EG于点T，交FG于点P，则GT等于（）A. 2B.2 2C.2D.110.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C.12 3 D. 16 3二、选择题(每小题3分,共24分)11.如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且OB=OD，请你添加一个适当的条件______，使四边形ABCD成为菱形（只需添加一个即可）.12.如图，矩形ABCD内有一点E，连接AE，DE，CE，使AD=ED=EC，若∠ADE=20°，则∠AEC=____.13.如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A，B，D.已知AB=BC=CD=DA=5 km，村庄C到公路l1的距离为4 km，则第10题图第9题图第11题图第12题图第13题图村庄C到公路l2的距离是______km.14如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连接DE，则DE的最小值为______.第16题图第15题图第14题图15.如图，已知四边形ABCD是菱形，∠A=72°，将它分割成如图所示的四个等腰三角形，那么∠1+∠2+∠3=______度．16.如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为______度时，两条对角线长度相等．17.如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.若点O运动到AC的中点，则∠ACB=_____°时，四边形AECF是正方形．第17题图第18题图18.如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连接AD1,BC1．若∠ACB=30°，AB=1，CC1=x，则下列结论：①△A1AD1≌△CC1B；②当x=1时，四边形ABC1D1是菱形；③当x=2时，△BDD1为等边三角形.其中正确的是（填序号）．三、解答题(共66分)19.(6分)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点P是AC的中点.求证：∠BDP=∠DBP．第19题图20.(6分)如图，在直线MN上和直线MN外分别取点A,B，过线段AB的中点作CD∥MN，分别与∠MAB与∠NAB的平分线相交于点C,D．求证：四边形ACBD是矩形．21.(8分)如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC．（1）求证：AE=EC；（2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．22.(8分)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是点E,F，并且DE=DF．求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）四边形ABCD是菱形．第20题图第21题图第22题图23.(8分)如图，Rt△ABE与Rt△DCF关于直线m对称，已知∠B=90°，∠C=90°，连接EF，AD，点B，E，F，C 在同一条直线上．求证：四边形ABCD是矩形．第23题图24.(8分)如图, 在△ACD中，∠ADC=90°，∠ADC的平分线交AC于点E，EF⊥AD交AD于点F，EG⊥DC交DC于点G，请你说明四边形EFDG是正方形．第24题图25.(10分)如图，正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，且AF=AE．（1）求证：BF=DE；（2）当点E运动到AC的中点时（其他条件都保持不变），四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．第25题图26.(12分)如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于O点，点P是线段AD上一动点（不与点D重合），PO的延长线交BC于Q点．（1）求证：四边形PBQD为平行四边形.（2）若AB=3cm，AD=4cm，P从点A出发．以1cm/s的速度向点D匀速运动．设点P的运动时间为ts，问：四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．参考答案一、1．C 2.B 3.B 4.A 5.B 6.C 7.C 8.A 9.B 10.D二、11. 不唯一，如OA=OC 12. 120°13.4 14. 4.8 15.90 16.90 17.9018.①②③三、19.证明：∵∠ABC=∠ADC=90°，P是AC的中点，∴BP=12AC，PD=12AC.∴BP=PD.∴∠BDP=∠DBP．20.证明：∵AD平分∠BAN，∴∠DAN=∠BAD.∵CD∥MN，∴∠CDA=∠DAN.∴∠BAD=∠CDA.∴OD=OA.同理CO=OA. ∴CO=OD.∵AO=BO，∴四边形ACBD是平行四边形.21. (1)提示：证△ADE≌△CDE即可.(2)解：点F是线段BC的中点．理由：连接AC.在菱形ABCD中，AB=BC.又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形.∴∠BAC=60°.∵AE=EC，∠CEF=60°，∴∠EAC=12∠BAC=30°.∴AF是△ABC的角平分线.∴点F是线段BC的中点．22.证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC,∴∠AED=∠CFD=90°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C.又DE＝DF,∴△AED≌△CFD.（2）∵△AED≌△CFD，∴AD=CD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形．23.解：∵Rt△ABE与Rt△DCF关于直线m对称，∴AB=DC.∵∠B=90°，∠C=90°，点B，E，F，C在同一条直线上，∴AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.第26题图∵∠B=90°，∴平行四边形ABCD是矩形．24.解：∵∠ADC=90°，EF⊥AD，EG⊥CD，∴四边形EFDG是矩形. 又∵DE平分∠ADE，∴EF=EG.∴四边形EFDG是菱形.∴四边形EFDG是正方形25.（1）提示：由SAS证△ABF≌△ADE即可得BF=DE.(2)解：当点E运动到AC的中点时，四边形AFBE是正方形.理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，∴BE⊥AC，BE=AE=12 AC.∵AF=AE，∴BE=AF=AE. 又∠FAE=90°，∴BE∥AF.。
北师大版数学九年级上册《特殊的平行四边形》单元测试卷(含答案)
《特殊的平行四边形》单元测试卷一．选择题（每小题3分，满分36分）1．下列说法正确的是（）A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度2．下列说法中不正确的是（）A．四边相等的四边形是菱形B．对角线垂直的平行四边形是菱形C．菱形的对角线互相垂直且相等D．菱形的邻边相等3．如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是（）A．2.5B．3C．4D．54．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED为（）A．15°B．35°C．45°D．55°5．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC 于点F，则DE的长是（）A．1B．C．2D．6．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE ＝AF＝1，则GF的长为（）A．B．C．D．7．一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（）A．8B．12C．16D．328．把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置．则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．9．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为（）A．（2，）B．（，2）C．（，3）D．（3，）10．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，且AE 平分∠BAO，则AB的长为（）A．3B．4C．D．11．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC与BD相交于点O，且AC：BD＝3：4，AE⊥CD 于点E，则AE的长是（）A．4B．C．5D．12．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE＝AF，AC与EF相交于点G．下列结论：①AC垂直平分EF；②BE+DF＝EF；③当∠DAF＝15°时，△AEF为等边三角形；④当∠EAF＝60°时，S△ABE ＝S△CEF．其中正确的是（）A．①③B．②④C．①③④D．②③④二．填空题（每小题3分，满分12分）13．如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若MN＝4，则AC 的长为．14．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为．15．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF 的周长是．16．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为．三．解答题（17题—20题，每题7分，21题—23题，每题8分，满分52分）17．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠AOB：∠ODC＝4：3，求∠ADO的度数．18．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的点，且AE＝CF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形吗？请说明理由．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．M、N在对角线AC上，且AM＝CN，E、F分别是AD、BC的中点．（1）求证：△ABM≌△CDN；（2）点G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长．20．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当DE＝DF时，求EF的长．21．如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．（1）求线段CE的长；（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．22．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD 的对角线BD上．（1）求证：BG＝DE；（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．23．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，证明：AB＝FB．参考答案一．选择题（共12小题）1．下列说法正确的是（）A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度【解答】解：A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等；不正确；B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形；不正确；C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°；不正确；D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度；正确；故选：D．2．下列说法中不正确的是（）A．四边相等的四边形是菱形B．对角线垂直的平行四边形是菱形C．菱形的对角线互相垂直且相等D．菱形的邻边相等【解答】解：A．四边相等的四边形是菱形；正确；B．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；C．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；D．菱形的邻边相等；正确；故选：C．3．如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是（）A．2.5B．3C．4D．5【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴CD＝BC＝＝5，且O为BD的中点，∵E为CD的中点，∴OE为△BCD的中位线，∴OE＝CB＝2.5，故选：A．4．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED为（）A．15°B．35°C．45°D．55°【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，在等边△ABE中，AB＝AE，∠BAE＝∠AEB＝60°，在△AD E中，AD＝AE，∠DAE＝∠BAD+∠BAE＝90°+60°＝150°，所以，∠AED＝（180°﹣150°）＝15°，所以∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°．故选：C．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC 于点F，则DE的长是（）A．1B．C．2D．【解答】解：连接CE，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，OA＝OC，∵EF⊥AC，∴AE＝CE，设DE＝x，则CE＝AE＝8﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+62＝（8﹣x）2，解得：x＝，即DE＝；故选：B．6．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE ＝AF＝1，则GF的长为（）A．B．C．D．【解答】解：正方形ABCD中，∵BC＝4，∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，∵AF＝DE＝1，∴DF＝CE＝3，∴BE＝CF＝5，在△BCE和△CDF中，，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴∠CBE＝∠DCF，∵∠CBE+∠CEB＝∠ECG+∠CEB＝90°＝∠CGE，cos∠CBE＝cos∠ECG＝，∴，CG＝，∴GF＝CF﹣CG＝5﹣＝，故选：A．7．一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（）A．8B．12C．16D．32【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝AC，DO＝BO＝BD，AC⊥BD，∵面积为28，∴AC•BD＝2OD•AO＝28①∵菱形的边长为6，∴OD2+OA2＝36②，由①②两式可得：（OD+AO）2＝OD2+OA2+2OD•AO＝36+28＝64．∴OD+AO＝8，∴2（OD+AO）＝16，即该菱形的两条对角线的长度之和为16．故选：C．8．把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置．则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设BC＝x，则CE＝1﹣x易证△ABC∽△FEC∴＝＝＝解得x＝＝××1＝∴阴影部分面积为：S△ABC故选：A．9．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为（）A．（2，）B．（，2）C．（，3）D．（3，）【解答】解：过点E作EF⊥x轴于点F，∵四边形OABC为菱形，∠AOC＝60°，∴＝30°，∠FAE＝60°，∵A（4，0），∴OA＝4，∴＝2，∴，EF＝＝＝，∴OF＝AO﹣AF＝4﹣1＝3，∴．故选：D．10．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，且AE 平分∠BAO，则AB的长为（）A．3B．4C．D．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形∴AO＝CO＝BO＝DO，∵AE平分∠BAO∴∠B AE＝∠EAO，且AE＝AE，∠AEB＝∠AEO，∴△ABE≌△AOE（ASA）∴AO＝AB，且AO＝OB∴AO＝AB＝BO＝DO，∴BD＝2AB，∵AD2+AB2＝BD2，∴36+AB2＝4AB2，∴AB＝2故选：C．11．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC与BD相交于点O，且AC：BD＝3：4，AE⊥CD于点E，则AE的长是（）A．4B．C．5D．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝AC，OB＝BD，AC⊥BD，∵AC：BD＝3：4，∴AO：OB＝3：4，设AO＝3x，OB＝4x，则AB＝5x，∵AB＝5，∴5x＝5，x＝1，∴AC＝6，BD＝8，S菱形ABCD＝，∴，AE＝，故选：B．12．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE＝AF，AC与EF相交于点G．下列结论：①AC垂直平分EF；②BE+DF＝EF；③当∠DAF＝15°时，△AEF为等边三角形；④当∠EAF＝60°时，S△ABE ＝S△CEF．其中正确的是（）A．①③B．②④C．①③④D．②③④【解答】解：①四边形ABCD是正方形，∴AB═AD，∠B＝∠D＝90°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF∵BC＝CD，∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF，∵AE ＝AF ，∴AC 垂直平分EF ．（故①正确）．②设BC ＝a ，CE ＝y ，∴BE +DF ＝2（a ﹣y ）EF ＝，∴BE +DF 与EF 关系不确定，只有当y ＝（）a 时成立，（故②错误）．③当∠DAF ＝15°时，∵Rt△ABE ≌Rt△ADF ，∴∠DAF ＝∠BAE ＝15°，∴∠EAF ＝90°﹣2×15°＝60°，又∵AE ＝AF∴△AEF 为等边三角形．（故③正确）．④当∠EAF ＝60°时，设EC ＝x ，BE ＝y ，由勾股定理就可以得出：∴x 2＝2y （x +y ）∵S △CEF ＝x 2，S △ABE ＝，∴S △ABE ＝S △CEF ．（故④正确）．综上所述，正确的有①③④，故选：C ．二．填空题（共4小题）13．如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，M 、N 分别为BC 、OC 的中点．若MN ＝4，则AC 的长为16．【解答】解：∵M 、N 分别为BC 、OC 的中点，∴BO ＝2MN ＝8．∵四边形ABCD 是矩形，∴AC＝BD＝2BO＝16．故答案为16．14．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为24．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴CD＝2OE＝2×3＝6，∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24；故答案为：24．15．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是8．【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，∵AE＝CF＝2，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形，∴DE＝DF＝BE＝BF，∵AC＝BD＝8，OE＝OF＝＝2，由勾股定理得：DE＝＝＝2，∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4×＝8，故答案为：8．16．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为（8，4）或（，7）．【解答】解：∵四边形OABC是矩形，B（8，7），∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝7，∵D（5，0），∴OD＝5，∵点P是边AB或边BC上的一点，∴当点P在AB边时，OD＝DP＝5，∵AD＝3，∴PA＝＝4，∴P（8，4）．当点P在边BC上时，只有PO＝PD，此时P（，7）．综上所述，满足条件的点P坐标为（8，4）或（，7）．故答案为（8，4）或（，7）．三．解答题（共7小题）17．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠AOB：∠ODC＝4：3，求∠ADO的度数．【解答】（1）证明：∵AO＝OC，BO＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠AOB＝∠DAO+∠ADO＝2∠OAD，∴∠DAO＝∠ADO，∴AO＝DO，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∵∠AOB：∠ODC＝4：3，∴∠AOB：∠ABO＝4：3，∴∠BAO：∠AOB：∠ABO＝3：4：3，∴∠ABO＝54°，∵∠BAD＝90°，∴∠ADO＝90°﹣54°＝36°．18．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的点，且AE＝CF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形吗？请说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，在Rt△ABE和Rt△CDF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；（2）解：当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形，理由如下：∵△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，∵BC＝AD，∴CE＝AF，∵CE∥AF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．M、N在对角线AC上，且AM＝CN，E、F分别是AD、BC的中点．（1）求证：△ABM≌△CDN；（2）点G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长．【解答】（1）证明∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠MAB＝∠NCD．在△ABM和△CDN中，，∴△ABM≌△CDN（SAS）；（2）解：如图，连接EF，交AC于点O．在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴EO＝FO，AO＝CO，∴O为EF、AC中点．∵∠EGF＝90°，OG＝EF＝，∴AG＝OA﹣OG＝1或AG＝OA+OG＝4，∴AG的长为1或4．20．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当DE＝DF时，求EF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DFO＝∠BEO，又因为∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，∴△DOF≌△BOE（ASA），∴DF＝BE，又因为DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：∵DE＝DF，四边形BEDF是平行四边形∴四边形BEDF是菱形，∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x在Rt△ADE中，根据勾股定理，有AE2+AD2＝DE2∴x2+62＝（8﹣x）2，解之得：x＝，∴DE＝8﹣＝，在Rt△ABD中，根据勾股定理，有AB2+AD2＝BD2∴BD＝，∴OD＝BD＝5，在Rt△DOE中，根据勾股定理，有DE2﹣OD2＝OE2，∴OE＝，∴EF＝2OE＝．21．如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．（1）求线段CE的长；（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．【解答】解：（1）设正方形CEFG的边长为a，∵正方形ABCD的边长为1，∴DE＝1﹣a，∵S1＝S2，∴a2＝1×（1﹣a），解得，（舍去），，即线段CE的长是；（2）证明：∵点H为BC边的中点，BC＝1，∴CH＝0.5，∴DH＝＝，∵CH＝0.5，CG＝，∴HG＝，∴HD＝HG．22．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD 的对角线BD上．（1）求证：BG＝DE；（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．【解答】解：（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EH＝FG，EH∥FG，∴∠GFH＝∠EHF，∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，∴∠BFG＝∠DHE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH，∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG＝DE；（2）连接EG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E为AD中点，∴AE＝ED，∵BG＝DE，∴AE＝BG，AE∥BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB＝EG，∵EG＝FH＝2，∴AB＝2，∴菱形ABCD的周长＝8．23．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，证明：AB＝FB．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）；（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH＝90°，∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．。
2020秋北师大版九年级数学上第一、二章检测题含答案
单元测试(一) 特殊平行四边形(满分：150分，考试用时120分钟)一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分)1.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝8，则CD的长是( )A．6 B．5 C．4 D．32．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠OAD＝40°，则∠COD＝( )A．20° B．40° C．80° D．100°3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列说法错误的是( )A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为( )A．4 B．3 C．2 D．15．如果要证明ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明( )A．AB＝AD且AC⊥BD B．AB＝AD且AC＝BDC．∠A＝∠B且AC＝BD D．AC和BD互相垂直平分6．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是( )A．10 B．8 C．6 D．57．在正方形ABCD中，AB＝12，对角线AC，BD相交于点O，则△ABO的周长是( )A．12＋12 2 B．2＋6 2C．12＋ 2 D．24＋6 28．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为( ) A．16a B．12aC．8a D．4a9．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形面积是( )A．8 B．4 2C．8 2 D．1610．下列命题中，错误的是( )A．平行四边形的对角线互相平分B．菱形的对角线互相垂直平分C．矩形的对角线相等且互相垂直平分D．角平分线上的点到角两边的距离相等11．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是( )A．AB＝BC B．AC＝BCC．∠B＝60° D．∠ACB＝60°12．如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB＝55°，则∠DAF＝( )A．40° B．35°C．20° D．15°13．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为( )A．75° B．60° C．55° D．45°14．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图2，AC＝( )A. 2 B．2 C. 6 D．2 215．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )A．AB＝BE B．DE⊥DCC．∠ADB＝90° D．CE⊥DE二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)16．如图，菱形ABCD的一条对角线的中点O到AB的距离为2，那么O点到另一边的距离为________．17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为________度．18．如图所示，已知ABCD，下列条件：①AC＝BD，②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能说明ABCD是矩形的有________(填写序号)．19．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是________________．20．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝________度．三、解答题(本大题共7个小题，各题分值见题号后，共80分)21．(8分)如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86 cm，对角线长是13 cm，那么矩形的周长是多少？22．(8分)如图，四边形ABCD中，AB＝CD，∠BAD＋∠ADC＝180°，AC与BD相交于点O，△AOB是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形．23．(10分)如图，已知正方形ABCD，延长AB到E，使AE＝AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为92，求正方形的边长．24.(12分)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E.(1)求∠ABD的度数；(2)求线段BE的长．25．(12分)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF＝DE，AF和DE相交于点G.(1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角；(2)选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明．26．(14分)以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，求线段AB的最小值．27．(16分)已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．(1)求证：△ABM≌△DCM；(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；(3)当AD∶AB＝________时，四边形MENF是正方形．参考答案1.C2.C3.B4.A5.B6.D7.A8.C9.A 10.C 11.B 12.C 13.B 14.A 15.B 16.2 17.60 18.①④ 19.AC ＝BD 或AB ⊥BC 20.22.521.∵△AOB 、△BOC 、△COD 和△AOD 四个小三角形的周长和为86 cm ，且AC ＝BD ＝13 cm ， ∴AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝86－2(AC ＋BD)＝86－4×13＝34(cm)， 即矩形ABCD 的周长是34 cm.22.证明：∵∠BAD ＋∠ADC ＝180°， ∴AB ∥CD.又∵AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵△AOB 是等边三角形， ∴AO ＝BO.∴2AO ＝2BO ，即AC ＝BD. ∴四边形ABCD 是矩形． 2 23.设正方形的边长为x ，∵AC 为正方形ABCD 的对角线，∴AC ＝2x.∴S 菱形AEFC ＝AE ·CB ＝2x ·x ＝2x 2.∴2x 2＝9 2. ∴x 2＝9.∴x ＝±3.舍去x ＝－3. ∴正方形边长为3.24.(1)在菱形ABCD 中，AB ＝AD ，∠A ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形． ∴∠ABD ＝60°.(2)由(1)可知BD ＝AB ＝4， 又∵O 为BD 的中点， ∴OB ＝2.又∵OE ⊥AB ，∠ABD ＝60°， ∴∠BOE ＝30°. ∴BE ＝12OB ＝1.25.(1)由图可知，∠DAG ，∠AFB ，∠CDE 与∠AED 相等． (2)选择∠AFB ＝∠AED ，证明如下： ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAB ＝∠B ＝90°，AB ＝AD.在Rt △BAF 和Rt △ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝AD ，AF ＝DE ，∴Rt △BAF ≌Rt △ADE(HL)．∴∠AFB ＝∠AED.26.∵四边形CDEF 是正方形，∴∠OCD ＝∠ODB ＝45°，∠COD ＝90°，OC ＝OD. ∵AO ⊥OB ， ∴∠AOB ＝90°.∴∠AOC ＋∠AOD ＝90°，∠AOD ＋∠BOD ＝90°. ∴∠AOC ＝∠BOD.∵在△COA 和△DOB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OCA ＝∠ODB ，OC ＝OD ，∠AOC ＝∠BOD ，∴△COA ≌△DOB.∴OA ＝OB.∵∠AOB ＝90°，∴△AOB 是等腰直角三角形．由勾股定理得AB ＝OA 2＋OB 2＝2OA ， 要使AB 最小，只要OA 取最小值即可， 根据垂线段最短，OA ⊥CD 时，OA 最小， ∵四边形CDEF 是正方形， ∴FC ⊥CD ，OD ＝OF ＝OC. ∴CA ＝DA. ∴OA ＝12CF ＝1.∴AB ＝ 2.∴AB 的最小值为 2.27.(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，∠A ＝∠D ＝90°. 又∵M 是AD 的中点， ∴AM ＝DM.在△ABM 和△DCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠A ＝∠D ，AM ＝DM ，∴△ABM ≌△DCM(SAS)．（2）四边形MENF 是菱形．证明：∵E ，F ，N 分别是BM ，CM ，CB 的中点， ∴NE ∥MF ，NE ＝MF.∴四边形MENF 是平行四边形． 由(1)，得BM ＝CM ， ∴ME ＝MF.∴四边形MENF 是菱形．（3）当AD ∶AB ＝2∶1时，四边形MENF 是正方形．理由： ∵M 为AD 中点， ∴AD ＝2AM.∵AD ∶AB ＝2∶1， ∴AM ＝AB. ∵∠A ＝90°，∴∠ABM ＝∠AMB ＝45°. 同理：∠DMC ＝45°.∴∠EMF ＝180°－45°－45°＝90°. ∵四边形MENF 是菱形， ∴四边形MENF 是正方形． 故答案为2∶1.单元测试(二) 一元二次方程(满分：150分，考试用时120分钟)一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分) 1.下列方程中，关于x 的一元二次方程是( )A ．x 2＋2y ＝1 B.1x 2＋1x－2＝0C ．ax 2＋bx ＋c ＝0 D ．x 2＋2x ＝12．用公式法解一元二次方程3x 2－2x ＋3＝0时，首先要确定a ，b ，c 的值，下列叙述正确的是( )A ．a ＝3，b ＝2，c ＝3B ．a ＝－3，b ＝2，c ＝3C ．a ＝3，b ＝2，c ＝－3D ．a ＝3，b ＝－2，c ＝33．若关于x 的方程2x m －1＋x －m ＝0是一元二次方程，则m 为( )A ．1B ．2C ．3D ．04．一元二次方程x 2－2x －1＝0的根的情况是( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根5．一元二次方程x 2＋4x －3＝0的两根为x 1，x 2，则x 1·x 2的值是( )A ．4B ．－4C ．3D ．－3 6．方程x(x ＋2)＝0的根是( )A ．x ＝2B ．x ＝0C ．x 1＝0，x 2＝－2D ．x 1＝0，x 2＝27．用配方法解方程x 2－2x －5＝0时，原方程应变形为( )A ．(x ＋1)2＝6B ．(x －1)2＝6C ．(x ＋2)2＝9D ．(x －2)2＝9 8．根据下面表格中的对应值：判断方程ax 2＋bx ＋c ＝A ．3＜x ＜3.23 B ．3.23＜x ＜3.24 C ．3.24＜x ＜3.25 D ．3.25＜x ＜3.26 9．解方程(x ＋1)(x ＋3)＝5较为合适的方法是( )A ．直接开平方法B ．配方法C ．公式法或配方法D ．分解因式法10．已知x ＝1是一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的一个根，则m 2＋2mn ＋n 2的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．411．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x 2－6x ＋8＝0的根，则三角形的周长为( )A ．11B ．13C ．15D ．11或13 12．下列说法不正确的是( )A ．方程x 2＝x 有一根为0B ．方程x 2－1＝0的两根互为相反数C ．方程(x －1)2－1＝0的两根互为相反数D ．方程x 2－x ＋2＝0无实数根13．对二次三项式x 2－10x ＋36，小聪同学认为：无论x 取什么实数，它的值都不可能等于11；小颖同学认为：可以取两个不同的值，使它的值等于11.你认为( )A．小聪对，小颖错 B．小聪错，小颖对C．他们两人都对 D．他们两人都错14．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7 644平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为( )A．100×80－100x－80x＝7 644B．(100－x)(80－x)＋x2＝7 644C．(100－x)(80－x)＝7 644D．100x＋80x＝35615．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( )二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)16．将方程3x(x－1)＝5化为ax2＋bx＋c＝0的形式为____________．17．若x＝1是一元二次方程x2＋2x＋m＝0的一个根，则m的值为________．18．若(m＋n)(m＋n＋5)＝6，则m＋n的值是________．19．一件工艺品进价100元，标价135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得的利润为3 596，每件工艺品需降价________元．20．已知关于x的方程x2－(a＋b)x＋ab－1＝0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2<ab；③x21＋x22<a2＋b2.则正确结论的序号是________．(填上你认为正确的所有序号)三、解答题(本大题共7个小题，各题分值见题号后，共80分)21．(8分)选择适当的方法解下列方程：(1)(x－3)2＝4；(2)x2－5x＋1＝0.22．(8分)已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若mn＋m＋n＝2，求a的值．23．(10分)随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．咸宁市2013年销售烟花爆竹20万箱，到2015年烟花爆竹销售量为9.8万箱．求咸宁市2013年到2015年烟花爆竹年销售量的平均下降率．24.(12分)小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗？请说明理由．25．(12分)已知：关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判别方程的根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．26.(14分)观察下列一元二次方程，并回答问题：第1个方程：x2＋x＝0；第2个方程：x2－1＝0；第3个方程：x2－x－2＝0；第4个方程：x2－2x－3＝0；…(1)第2 016个方程是____________________；(2)直接写出第n个方程，并求出第n个方程的解；(3)说出这列一元二次方程的解的一个共同特点．27．(16分)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．参考答案1．D 2.D 3.C 4.B 5.D 6.C 7.B 8.C 9.C 10.B 11.B 12.C 13.D 14.C 15.B 16.3x 2－3x －5＝0 17.－3 18.－6或1 19.6 20.①② 21.(1)x 1＝1，x 2＝5. (2)x 1＝5＋212，x 2＝5－212.22.∵m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋a ＝0的两个解，∴m ＋n ＝3，mn ＝a. ∵mn ＋m ＋n ＝2，∴a ＋3＝2.解得a ＝－1.23.设年销售量的平均下降率为x ，依题意，得20(1－x)2＝9.8. 解这个方程，得x 1＝0.3，x 2＝1.7. ∵x 2＝1.7不符合题意， ∴x ＝0.3＝30%.答：咸宁市2013年到2015年烟花爆竹年销售量的平均下降率为30%.24.(1)设其中一个正方形的边长为x cm ，则另一个正方形的边长为(10－x)cm.由题意，得x 2＋(10－x)2＝58.解得x 1＝3，x 2＝7.4×3＝12，4×7＝28.答：小林把绳子剪成12 cm 和28 cm 的两段．(2)假设能围成．由(1)得x 2＋(10－x)2＝48.化简得x 2－10x ＋26＝0. ∵b 2－4ac ＝(－10)2－4×1×26＝－4<0， ∴此方程没有实数根． ∴小峰的说法是对的．25.(1)∵b 2－4ac ＝(2m)2－4×1×(m 2－1)＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．(2)将x ＝3代入原方程，得9＋6m ＋m 2－1＝0.解得m 1＝－2，m 2＝－4.26.(1)x 2－2 014x －2 015＝0(2)第n 个方程是x 2－(n －2)x －(n －1)＝0，解得x 1＝－1，x 2＝n －1.(3)这列一元二次方程的解的一个共同特点：有一根是－1. 27.(1)△ABC 是等腰三角形．理由： ∵x ＝－1是方程的根，∴(a ＋c)×(－1)2－2b ＋(a －c)＝0. ∴a ＋c －2b ＋a －c ＝0. ∴a －b ＝0. ∴a ＝b.∴△ABC 是等腰三角形．(2)∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a ＋c)(a －c)＝0.∴4b 2－4a 2＋4c 2＝0. ∴a 2＝b 2＋c 2.∴△ABC 是直角三角形． (3)∵△ABC 是等边三角形，∴(a ＋c)x 2＋2bx ＋(a －c)＝0可整理为2ax 2＋2ax ＝0. ∴x 2＋x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－1.。
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试卷-(含答案及解析)
北师大版九年级数学上册单元测试卷第一章 特殊平行四边形1．下列说法正确的是A ．对角线垂直的四边形是菱形B ．对角线互相平分的四边形是菱形C ．菱形的对角线相等且互相平分D ．菱形的对角线互相垂直且平分 2．下列说法中，你认为正确的是（ ）A ．四边形具有稳定性B ．等边三角形是中心对称图形C ．任意多边形的外角和是360D ．矩形的对角线一定互相垂直 3．已知下列命题：①矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；①两条对角线相等的四边形是矩形；①有两个角相等的平行四边形是矩形；①两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 4．如图，下列条件中①AC BD ⊥①BAD 90∠=①AB BC =①AC BD =，能使平行四边形ABCD 是菱形的是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①① 5．已知菱形ABCD ，对角线5AC =，12BD =，则菱形的面积为（ ）A ．60B ．50C ．40D ．30 6．在数学活动课上，为探究四边形瓷砖是否为菱形，以下拟定的测量方案，正确的是（ ）A ．测量一组对边是否平行且相等B ．测量四个内角是否相等C ．测量两条对角线是否互相垂直D ．测量四条边是否相等一、单选题（共30分，每小题3分）7．如图，把长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，下列结论：①①ABD 与△EDB 全等；①①ABF 与△EDF 全等；①AF EF =；①①BDF 是等腰三角形．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．如图，在正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，CE 交AD 于点F ，连接AE ．若①AEC=140︒，则①DFC 等于（ ）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°9．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，,AO CO BO DO ==.添加下列条件，可以判定四边形ABCD 是矩形的是（ ）A ．AB AD =B ．AC BD =C ．AC BD ⊥ D ．ABO CBO ∠=∠ 10．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）A ．当AB BC =时，它是菱形 B ．当AC BD ⊥时，它是菱形C ．当90ABC ∠=︒时，它是矩形D ．当AC BD =时，它是正方形二、填空题（共30分，每小题3分） 11．矩形的两条对角线的夹角为60，较短的边长为12cm ，则对角线长为________cm ． 12．已知菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为________．13．如图所示，已知ABCD 中，下列条件：①AC =BD ；①AB =AD ；①①1=①2；①AB ①BC 中，能说明ABCD 是矩形的有______________（填写序号）14．如图，已知菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6，4，则AB 长为__．15．如图，平行四边形ABCD 是对角线互相垂直的四边形，请你添加一个适当的条件________，使ABCD 成为正方形（只需添加一个即可）．16．如图，在矩形ABCD 中，边AB 的长为3，点E ，F 分别在AD ，BC 上，连接BE ，DF ，EF ，BD ．若四边形BEDF 是菱形，且EF =AE +FC ，则边BC 的长为____________．17．如图，将两张长为16cm ，宽为4cm 的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，那么菱形周长的最大值与最小值的和是________．18．如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ①AC ，CE ①BD ，已知AB =6cm ，BC =8cm ，则四边形ODEC 的周长为______cm ．19．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O 点，E ，F 分别是AB ，BC 边上的中点，连接EF ，若EF =4BD =，则菱形ABCD 的面积为________．20．如图，将平行四边形ABCD 的边DC 延长到E ，使CE CD =，连接AE 交BC 于F ，AFC n D ∠∠=，当n =______时，四边形ABEC 是矩形．三、解答题（共60分） 21．矩形ABCD 中68AB cm BC cm AE ==，，平分BAC ∠交BC 于E CF ，平分ACD ∠交AD 于F ．（共8分）（1）说明四边形AECF 为平行四边形；（2）求四边形AECF 的面积．22．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且①ADO为等边三角形，过点A 作AE①BD于点E.（共8分）(1)求①ABD的度数；(2)若BD＝10，求AE的长．23．已知如图，两个长为8，宽为2的矩形纸条倾斜地重叠着．（共10分）()1求证：两矩形重叠部分为菱形；()2求菱形面积最大和最小值．24．如图，在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，AD 为BC 边上的高，过点A 作//AE BC ，过点D 作//DE AC ，AE 与DE 交于点E ，AB 与DE 交于点F ，连结BE ．（共10分）()1求证：四边形AEBD 是矩形；()2求四边形AEBD 的面积．25．如图，正方形ABCD中，E、F分别在BC、DC上，且45.∠=试说明：EAF+=．（共12分）BE DF EF26．如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA 上，连接CF．（共12分）()1求证：HEA CGF∠=∠；()2当AH DG=时，求证：菱形EFGH为正方形．参考答案：1．D 2．C 3．C 4．A 5．D 6．D 7．D 8．C 9．B 10．D11．24 12．24 13．①① 1415．90ABC∠=16．17．4018．20 19．20．221．（1）见解析；（2）30cm2（1）①四边形ABCD是矩形，①AD①BC（即AF①CE），AB①CD，①①BAC=①ACD，又①AE平分①BAC，CF平分①ACD，①①EAC=①FCA，①AE①CF，①四边形AECF是平行四边形；（2）过点E作EO①AC于点O，①①B=90°，AE平分①BAC，①EO=BO，①AE=AE，①Rt①ABE①Rt①AOE，①AO=AB=6，①在Rt①ABC，10,①OC=AC-AO=4（cm）,设CE=x，则EO=BE=BC-CE=8-x，①在Rt①OEC中由勾股定理可得：222-+=，解得：58(x x4)x=，①EC=5，①S四边形AECF=CE·AB=5×6=30（cm2）.22．(1)①ABD＝30°；(2)AE(1)①四边形ABCD是矩形，①①DAB＝90°，①①ADO为等边三角形，①①ADB＝60°，①①ABD＝180°－①DAB－①ADB＝30°；(2)①BD＝10，①BAD＝90°，①ABD＝30°，①AD＝12BD＝5，①①ADO为等边三角形，①AD＝AO＝DO＝5，①AE①DO，①DE＝EO＝12DO＝2.5，在Rt①AED中，由勾股定理得AE23．（1）详见解析；（2）菱形面积最大和最小值分别是172、4．()1根据题意得：AD//BC，AB//CD，①四边形ABCD是平行四边形．如图1，分别作CD，BC边上的高为AE，AF，①两纸条宽度相同，①AE AF=．①平行四边形ABCD的面积为AE CD BC AF⨯=⨯，①CD BC=．①平行四边形ABCD为菱形；()2如图2，此时菱形ABCD的面积最大．设AB x =，EB 8x =-，AE 2=，则由勾股定理得到：2222(8x)x +-=， 解得 17x 4=， 1717S 242=⨯=最大； 如图3，此时菱形ABCD 的面积最小．S 224=⨯=最小． 综上所述，菱形面积最大和最小值分别是172、4． 24．（1）详见解析；（2）12. ()1①AE //BC ，BE //AC ，①四边形AEDC 是平行四边形． ①AE CD =．在ABC 中，AB AC =，AD 为BC 边上的高， ①ADB 90∠=，BD CD =．①BD AE =．①四边形AEBD 是矩形．()2在Rt ADC 中，ADB 90∠=，AC 5=，1BD CD BC 32===，①AD 4=．①四边形AEBD 的面积BD AD 3412=⋅=⨯=． 25．证明见解析.①四边形ABCD 为正方形①AB=AD,①BAD=①B=①ADF=90°如图，把△ABE 逆时针旋转90°得到△ADG ，①BE =GD ，AE =AG ．①ADG=①ABE=90°，①GAD=①BAE ①①ADG+①ADF=180°①G 、D 、F 在同一条直线上.①①EAF =45°，①①F AG =①GAD+①DAF=①BAE+①DAF=①BAD-①EAF=90°﹣45°=45°， ①①EAF =①F AG ．在△AEF 和△AGF 中，①AE AG EAF FAG AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①AEF ①①AGF （SAS ），①EF =GF ，即EF =GD +DF ，①BE +DF =EF ．26．（1）详见解析；（2）详见解析.（1）连接GE ，①AB//CD ，①AEG CGE ∠∠=，①GF//HE ，①HEG FGE ∠∠=，①HEA CGF ∠∠=；()2①四边形ABCD 是正方形， ①D A 90∠∠==， ①四边形EFGH 是菱形， ①HG HE =，在Rt HAE 和Rt GDH 中， AH DG HE HG =⎧⎨=⎩， ①()Rt HAE Rt GDH HL ≅， ①AHE DGH ∠∠=，又DHG DGH 90∠∠+=， ①DHG AHE 90∠∠+=， ①GHE 90∠=， ①菱形EFGH 为正方形；。
北师大版九年级数学上册《特殊平行四边形》 单元测试卷
第一章特殊平行四边形单元测试卷1. 菱形与矩形都具有的性质是（）A.对角相等B.四边相等C.对角线互相垂直D.四角相等2. 若正方形的对角线长为8，则这个正方形的面积为（）A.16B.24C.32D.643. 能判定一个四边形是菱形的是（）A.对角线相等的四边形是菱形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形D.对角线相等且互相平分的四边形是菱形4. 如图所示，已知四边形ABCD为平行四边形，下列结论不正确的是()A.当AB=BC时，它是菱形B.当AC⊥BD时，它是菱形C.当∠ABC=90∘时，它是矩形D.当AC=BD时，它是正方形5. 如图，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度数是()A.90∘B.80∘C.70∘D.60∘6. 下列条件中，不能判定一个平行四边形是正方形的是（ ） A.对角线相等且互相垂直 B.一组邻边相等且有一个角是直角 C.对角线相等且一组邻边相等 D.对角线互相平分且有一个角是直角7. 菱形具有而矩形不具有的性质是( ) A.对角相等 B.四个角相等C.对角线相等D.四条边相等8. 四边形ABCD 的对角线AC =BD ，AC ⊥BD ，分别过A 、B 、C 、D 作对角线的平行线，所成的四边形EFMN 是（ ） A.正方形 B.菱形C.矩形D.任意四边形9. 下列条件：①四边相等的四边形，②对角线互相垂直且平分的四边形，③一组邻边相等的四边形，④一条对角线平分一组对角的平行四边形， 其中能判断四边形是菱形的有（ ） A.1个 B.2个C.3个D.4个10. 如图，正方形ABCD 的边长为4，它的两条对角线交于点O ，过点0作边BC 的垂线，垂足为M 1，△OBM 1的面积为S 1，过点M 1作OC 的垂线，垂足为M 2，△△OM 1M 2的面积为S 2，过点M 2作BC 的垂线，垂足为M 3，△M 1M 2M 3的面积为S 3，…△M n−2M n−1M n 的面积为S n ，则S 1+S 2+S 3+...+S n =( )A.4B.4−(12)n−1C.4−(12)n−2D.4−(12)n−3二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ） 11. ▱ABCD 中，加一个条件________它就是矩形．12. 一个正方形的面积是5，那么这个正方形的对角线的长度为________．13. 如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是________．FC，则四14. 如图，矩形ABCD中，AB=8cm，BC=3cm，E是DC的中点，BF=12边形DBFE的面积为________cm2．15. 菱形ABCD中，∠A:∠B=1:5，高是8cm，则菱形的周长是________cm．16. 如图，将边长为8的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则EF的长是________．17. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=2√2，点E是AB的中点，点F是AD 边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，连接A′C，A′D，则当△A′DC是以A′D为腰的等腰三角形时，AF的上长是________．18. 四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD // BC，AC=BD．试添加一个条件________，使四边形ABCD为矩形．19. 如图，正方形ABCD的边长是4cm，点G在边AB上，以BG为边向外作正方形GBFE，连结AE、AC、CE，则△AEC的面积是________cm2．20. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，其中AC=8，BD=6，以OC、OB 为边作矩形OBEC，矩形OBEC的对角线OE、BC交于点F，再以CF、FE为边作第一个菱形CFEG，菱形CFEG的对角线FG、CE交于点H，如此继续，得到第n个菱形的周长等于________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 如图，在△ABC中，D是AB上一点，且BD=BC，BF⊥CD于点E，交AC于点F，M为线段BE上任意一点，请探究，当ME与EF满足什么数量关系时四边DMCF是菱形？22. 如图：已知：AD是△ABC的角平分线，DE // AC交AB于E，DF // AB交AC于F．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？23. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AE⊥BD，垂足为E，若OE:OD=1:2，AE=√3cm，则DE长为多少？24. 如图，已知EF // GH，AB、BC分别平分∠EAC、∠GCA，且交于点B，AD、CD分别平分∠FAC、∠HCA，且交于点D．求证：四边形ABCD是矩形．25. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D分别作DE // AC、DF // AB，分别交AB、AC于点E、F．求证：四边形AEDF是菱形．26. 如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O是AB的中点，连接DO并延长到E，使DO=EO，连接AE，BE．（1）判断四边形AEBD是何特殊的四边形，并证明；（2）当∠BAC为多少度时，四边形AEBD是正方形？并证明．。
北师大版九年级上学期第1章《特殊的平行四边形》单元测练习(含答案)
《特殊的平行四边形》单元测试卷一．选择题1．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是（）A．8 B．7 C．4 D．32．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（）A．24 B．18 C．12 D．93．菱形不具备的性质是（）A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形4．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（）A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠25．矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（）A ．1B ．C ．D ．6．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A ．对边相等 B ．对角相等C ．对角线相等D ．对角线互相平分7．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB 、CD 交于点E 、F ，连结BF 交AC 于点M ，连结DE 、BO ．若∠COB ＝60°，FO ＝FC ，则下列结论：①FB 垂直平分OC ；②△EOB ≌△CMB ；③DE ＝EF ；④S △AOE ：S △BCM ＝2：3．其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个8．已知平行四边形ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ） A ．∠A ＝∠BB ．∠A ＝∠CC ．AC ＝BDD ．AB ⊥BC9．在△ABC 中，点D 是边BC 上的点（与B ，C 两点不重合），过点D 作DE ∥AC ，DF ∥AB ，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，下列说法正确的是（ ）A ．若AD ⊥BC ，则四边形AEDF 是矩形B ．若AD 垂直平分BC ，则四边形AEDF 是矩形 C ．若BD ＝CD ，则四边形AE DF 是菱形 D ．若AD 平分∠BAC ，则四边形AEDF 是菱形10．如图，平行四边形ABCD 中，∠B ＝60°．G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连结CE ，DF ，下列说法不正确的是（ ）A ．四边形CEDF 是平行四边形B ．当CE ⊥AD 时，四边形CEDF 是矩形C ．当∠AEC ＝120°时，四边形CEDF 是菱形D ．当AE ＝ED 时，四边形CEDF 是菱形11．如图，正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别是对角线AC 上的两点，EG ⊥AB ．EI ⊥AD ，FH ⊥AB ，FJ ⊥AD ，垂足分别为G ，I ，H ，J ．则图中阴影部分的面积等于 （ ）A ．1B ．C ．D ．12．如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作EF ∥AD ，与AC 、DC 分别交于点G ，F ，H 为CG 的中点，连接DE ，EH ，DH ，FH ．下列结论：①EG ＝DF ；②∠AEH +∠ADH ＝180°；③△EHF ≌△DHC ；④若＝，则3S △EDH ＝13S △DHC ，其中结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3、A 3B 3C 3D 3…按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是（ ）A ．（）2014B ．（）2015C ．（）2015D ．（）201414．关于▱ABCD 的叙述，正确的是（ ）A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF16．如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法判断二．填空题17．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝16，DB＝12，DH⊥AB于H，则DH等于．18．在菱形ABCD中，∠A＝60°，其所对的对角线长为4，则菱形ABCD的面积是．19．顺次连接四边形ABCD各边中点形成一个菱形，则原四边形对角线AC、BD的关系是．20．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为cm．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P为AD上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为．22．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若BD＝5，则四边形DOCE的周长为．23．如图，矩形ABCD中， AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下列结论：①△ODC是等边三角形；②BC＝2AB；③∠AOE＝135°；④S△AOE ＝S△COE，其中正确的结论的序号是．24．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形．25．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC 于F，连接EF，则EF的最小值为cm．26．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快s后，四边形ABPQ成为矩形．27．如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为3，4，H为线段DF的中点，则BH＝．28．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去第n个正方形的边长为．29．▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：，使得▱ABCD 为正方形．30．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，∠ABE＝45°，BC＝CD，若AE＝5，CE＝2，则BC的长度为．31．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD 的面积是18，则DP的长是．三．解答题32．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE 的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．33．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．34．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC 的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，DE＝2，则菱形ABCD的面积是．35．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE 是矩形．36．在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．37．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．38．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．（1）四边形ABEF是；（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）（2）AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF＝10，则AE的长为，∠ABC＝°．（直接填写结果）39．如图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE＝6厘米．（1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD 上由C点向D点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？40．如图，△ABC的中线AD、BE、CF相交于点G，H、I分别是BG、CG的中点．（1）求证：四边形EFHI是平行四边形；（2）①当AD与BC满足条件时，四边形EFHI是矩形；②当AG与BC满足条件时，四边形EFHI是菱形．参考答案1．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，根据勾股定理，得：OB＝＝＝4，∴BD＝2OB＝8，故选：A．2．解：∵E是AC中点，∵EF∥BC，交AB于点F，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝BC，∴BC＝6，∴菱形ABCD的周长是4×6＝24．故选：A．3．解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，故选：B．4．解：A、正确．对角线垂直的平行四边形的菱形．B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．D、正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．故选：C．5．解：如图，延长GH交AD于点P，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝2、GF＝CE＝1，∴AD∥GF，∴∠GFH＝∠PAH，又∵H是AF的中点，∴AH＝FH，在△APH和△FGH中，∵，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG，∴PD＝AD﹣AP＝1，∵C G＝2、CD＝1，∴DG＝1，则GH＝PG＝×＝，故选：C．6．解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选：C．7．解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB＝OC，∵∠COB＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC，∵FO＝FC，∴FB垂直平分OC，故①正确；②∵△BOC为等边三角形，FO＝FC，∴BO⊥EF，BF⊥OC，∴∠CMB＝∠EOB＝90°，∴BO≠BM，∴△EOB与△CMB不全等；故②错误；③易知△ADE≌△CBF，∠1＝∠2＝∠3＝30°，∴∠ADE＝∠CBF＝30°，∠BEO＝60°，∴∠CDE＝60°，∠DFE＝∠BEO＝60°，∴∠CDE＝∠DFE，∴DE＝EF，故③正确；④易知△AOE≌△COF，∴S△AOE ＝S△COF，∵S△COF ＝2S△CMF，∴S△AOE ：S△BCM＝2S△CMF：S△BCM＝，∵∠FCO＝30°，∴FM＝，BM＝CM，∴＝，∴S△AOE ：S△BCM＝2：3，故④正确；所以其中正确结论的个数为3个；故选：B．8．解：A、∠A＝∠B，∠A+∠B＝180°，所以∠A＝∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B、∠A＝∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C、AC＝BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；D、AB⊥BC，所以∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：B．9．解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；若BD＝CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．10．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCG＝∠EDG，∵G是CD的中点，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中，，∴△FCG≌△EDG（ASA）∴FG＝EG，∵CG＝DG，∴四边形CEDF是平行四边形，正确；B、∵四边形CEDF是平行四边形，∵CE⊥AD，∴四边形CEDF是矩形，正确；C 、∵四边形CEDF 是平行四边形，∵∠AEC ＝120°，∴∠CED ＝60°，∴△CDE 是等边三角形，∴CE ＝DE ，∵四边形CEDF 是平行四边形，∴四边形CEDF 是菱形，正确；D 、当AE ＝ED 时，不能得出四边形CEDF 是菱形，错误；故选：D ．11．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴直线AC 是正方形ABCD 的对称轴，∵EG ⊥AB ．EI ⊥AD ，FH ⊥AB ，FJ ⊥AD ，垂足分别为G ，I ，H ，J ．∴根据对称性可知：四边形EFHG 的面积与四边形EFJI 的面积相等，△AIE 的面积＝△AEG 的面积，∴S 阴＝S 正方形ABCD ＝，故选：B ．12．解：①∵四边形ABCD 为正方形，EF ∥AD ，∴EF ＝AD ＝CD ，∠ACD ＝45°，∠GFC ＝90°，∴△CFG 为等腰直角三角形，∴GF ＝FC ，∵EG ＝EF ﹣GF ，DF ＝CD ﹣FC ，∴EG ＝DF ，故①正确；②∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为CG 的中点，∴FH ＝CH ，∠GFH ＝∠GFC ＝45°＝∠HCD ，在△EHF 和△DHC 中，，∴△EHF ≌△DHC （SAS ），∴∠HEF ＝∠HDC ， ∴∠AEH +∠ADH ＝∠AEF +∠HEF +∠ADF ﹣∠HDC ＝∠AEF +∠ADF ＝180°，故②正确；③∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为CG 的中点，∴FH ＝CH ，∠GFH ＝∠GFC ＝45°＝∠HCD ，在△EHF 和△DHC 中，，∴△EHF ≌△DHC （SAS ），故③正确；④∵＝， ∴AE ＝2BE ，∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为CG 的中点，∴FH ＝GH ，∠FHG ＝90°，∵∠EGH ＝∠FHG +∠HFG ＝90°+∠HFG ＝∠HFD ，在△EGH 和△DFH 中，， ∴△EGH ≌△DFH （SAS ），∴∠EHG ＝∠DHF ，EH ＝DH ，∠DHE ＝∠EHG +∠DHG ＝∠DHF +∠DHG ＝∠FHG ＝90°， ∴△EHD 为等腰直角三角形，过H 点作HM 垂直于CD 于M 点，如图所示：设HM ＝x ，则DM ＝5x ，DH ＝x ，CD ＝6x ，则S △DHC ＝×HM ×CD ＝3x 2，S △EDH ＝×DH 2＝13x 2，∴3S △EDH ＝13S △DHC ，故④正确；故选：D ．13．方法一：解：如图所示：∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3… ∴D 1E 1＝B 2E 2，D 2E 3＝B 3E 4，∠D 1C 1E 1＝∠C 2B 2E 2＝∠C 3B 3E 4＝30°，∴D 1E 1＝C 1D 1sin30°＝，则B 2C 2＝（）1，同理可得：B 3C 3＝＝（）2，故正方形A n B n ∁n D n 的边长是：（）n ﹣1．则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是：（）2014． 故选：D ．方法二：∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，∴D 1E 1＝B 2E 2＝，∵B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…∴∠E 2B 2C 2＝60°，∴B 2C 2＝，同理：B 3C 3＝×＝…∴a 1＝1，q ＝，∴正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长＝1×． 14．解：∵▱ABCD 中，AB ⊥BC ，∴四边形ABCD 是矩形，不一定是菱形，选项A 错误；∵▱ABCD 中，AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形，不一定是正方形，选项B 错误；∵▱ABCD 中，AC ＝BD ，∴四边形ABCD 是矩形，选项C 正确；∵▱ABCD 中，AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形，不一定是正方形，选项D 错误．故选：C ．15．解：∵EF 垂直平分BC ，∴BE＝EC，BF＝CF，∵BF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形；当BC＝AC时，∵∠ACB＝90°，则∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝45°∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°∴菱形BECF是正方形．故选项A正确，但不符合题意；当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意；当BD＝DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C正确，但不符合题意；当AC＝BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D错误，符合题意．故选：D．16．解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．∵两张长方形纸条的宽度相等，∴DE＝DF．又∵平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝BC•DF，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD为菱形．故选：B．二．填空题（共15小题）17．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝8，OB＝OD＝6，AC⊥BD，在Rt△AOB中，AB＝＝10，＝•AC•BD，∵S菱形ABCDS＝DH•AB，菱形ABCD∴DH•10＝×12×16，∴DH＝．故答案为：．18．解：如图所示：∵在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，其所对的对角线长为4，∴可得AD＝AB，故△ABD是等边三角形，则AB＝AD＝4，故BO＝DO＝2，则AO＝＝2，故AC＝4，则菱形ABCD的面积是：×4×4＝8．故答案为：8．19．解：∵EFGH为菱形∴EH＝EF又∵E、F、G、H为四边中点∴AC＝2EH，BD＝2FE∴AC＝BD．故答案为AC＝BD．20．解：根据作图，AC ＝BC ＝OA ， ∵OA ＝OB ，∴OA ＝OB ＝BC ＝AC ，∴四边形OACB 是菱形，∵AB ＝2cm ，四边形OACB 的面积为4cm 2，∴AB •OC ＝×2×OC ＝4，解得OC ＝4cm ．故答案为：4．21．解：连接OP ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°，AC ＝BD ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，∴OA ＝OD ＝BD ，S △AOD ＝S △AOB ，∵AB ＝3，AD ＝4，∴S 矩形ABCD ＝3×4＝12，BD ＝5，∴S △AOD ＝S 矩形ABCD ＝3，OA ＝OC ＝，∵S △AOD ＝S △AOP +S △DOP ＝OA •PE +OD •PF ＝××PE +××PF ＝（PE +PF ）＝3， ∴PE +PF ＝．故答案为．22．解：∵CE ∥BD ，DE ∥AC ，∴四边形CODE 是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝4，OA＝OC，OB＝OD，∴OC＝OD＝BD＝，∴四边形CODE是菱形，∴四边形CODE的周长为：4OC＝4×＝10．故答案为：10．23．解：∵矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝45°，∵∠CAE＝15°，∴∠BAO＝∠BAE+∠CAE＝45°+15°＝60°，又∵矩形中OA＝OB＝OC＝OD，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝∠COD＝60°，∴△ODC是等边三角形，故①正确；由等边三角形的性质，AB＝OA，∴AC＝2AB，由垂线段最短BC＜AC，∴BC＜2AB，故②错误；∵∠BAE＝45°，∠ABE＝90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∴BO＝BE，∵∠COB＝180°﹣60°＝120°，∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°，故③正确；∵△AOE和△COE的底边AO＝CO，点E到AC的距离相等，∴S△AOE ＝S△COE，故④正确；综上所述，正确的结论是①③④．故答案为：①③④．24．解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG＝∠1，∠1＝∠2，∴∠2＝∠EHG，∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG＝90°，∴∠2＝90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．25．解：∵AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEPF为矩形，连接AP，如图，EF＝AP，当AP的值最小时，EF的值最小，当AP⊥BC时，AP的值最，此时AP＝＝，∴EF的最小值为．故答案为．26．解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得3x＝20﹣2x．解得x＝4，故答案为：4．27．解：连接BD、BF，∵四边形ABCD，BEFG是正方形，且边长分别为3和4，∴∠DBC＝∠GBF＝45°，BD＝3，BF＝4，∴∠DBF＝90°，由勾股定理得：DF＝＝5，∵H为线段DF的中点，∴BH＝DF＝．故答案为：．28．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝1，∠B＝90°，∴AC2＝12+12，AC＝同理可得：AE＝（）2，AG＝（）3…，∴第n个正方形的边长a n＝（）n﹣1．故答案为（）n﹣1．29．解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，当∠BAD＝90°时，▱ABCD为正方形．故答案为：∠BAD＝90°．30．解：过点B作BF⊥AD于点F，延长DF使FG＝EC，∵AD∥BC，∠D＝90°，∴∠C＝∠D＝90°，BF⊥AD∴四边形CDFB是矩形∵BC＝CD∴四边形CDFB是正方形∴CD＝BC＝DF＝BF，∠CBF＝90°＝∠C＝∠BFG，∵BC＝BF，∠BFG＝∠C＝90°，CE＝FG∴△BCE≌△BFG（SAS）∴BE＝BG，∠CBE＝∠FBG∵∠ABE＝45°，∴∠CBE+∠ABF＝45°，∴∠ABF+∠FBG＝45°＝∠ABG∴∠ABG＝∠ABE，且AB＝AB，BE＝BG∴△ABE≌△ABG（SAS）∴AE＝AG＝5，∴A F＝AG﹣FG＝5﹣2＝3在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，∴25＝（DF﹣3）2+（DF﹣2）2，∴DF＝6∴BC＝6故答案为：631．解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴四边形DPBE是矩形，∵∠CDE+∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ADP+∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠CDE，∵DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∴∠APD＝∠E＝90°，在△ADP和△CDE中，，∴△ADP≌△CDE（AAS），∴DE＝DP，四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18，∴矩形DPBE是正方形，∴DP＝＝3．故答案为：3．三．解答题（共9小题）32．（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，在△AFE和△DBE中，∴△AFE≌△DBE（AAS）；（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．∵AD为BC边上的中线∴DB＝DC，∴AF＝CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（3）连接DF，∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5，∵四边形ADCF是菱形，＝AC▪DF＝×4×5＝10．∴S菱形ADCF33．解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝2，∴OB＝BD＝1，在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，∴OA＝＝2，∴OE＝OA＝2．34．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE＝OD＝1，DE＝OC＝2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，∴菱形ABCD的面积为： AC•BD＝×4×2＝4．故答案是：4．35．证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形，∴四边形AODE是矩形．36．证明：（1）∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABE＝∠ADF，在△ABE与△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）连接AC，四边形AECF是菱形．理由：∵正方形ABCD，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥EF，∴OB+BE＝OD+DF，即OE＝OF，∵OA＝OC，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．37．（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF＝180°，∴∠ECF＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF＝＝10，∴OC＝OE＝EF＝5；（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：连接AE、AF，如图所示：当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．38．解：（1）在△AEB和△AEF中，，∴△AEB≌△AEF，∴∠EAB＝∠EAF，∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEB＝∠EAB，∴BE＝AB＝AF．∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形．故答案为菱形．（2）∵四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，BO＝OF＝5，∠ABO＝∠EBO，∵AB＝10，∴AB＝2BO，∵∠AOB＝90°∴∠BA0＝30°，∠ABO＝60°，∴AO＝BO＝5，∠ABC＝2∠ABO＝120°．故答案为，120．39．解：（1）①∵t＝1秒，∴BP＝CQ＝4×1＝4厘米，（1分）∵正方形ABCD中，边长为10厘米∴PC＝BE＝6厘米，（1分）又∵正方形ABCD，∴∠B＝∠C，（1分）∴△BPE≌△CQP（1分）②∵V P≠V Q，∴BP≠CQ，又∵△BPE≌△CQP，∠B＝∠C，则BP＝PC，而BP＝4t，CP＝10﹣4t，∴4t＝10﹣4t（2分）∴点P，点Q运动的时间秒，（1分）∴厘米/秒．（1分）（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得4.8x﹣4x＝30，（1分）解得秒．（1分）∴点P共运动了厘米（1分）∴点P、点Q在A点相遇，∴经过秒点P与点Q第一次在A点相遇．（1分）40．（1）证明：∵BE，CF是△ABC的中线，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC且EF＝BC．∵H、I分别是BG、CG的中点．，∴HI是△BCG的中位线，∴HI∥BC且HI＝BC，∴EF∥HI且EF＝HI．∴四边形EFHI是平行四边形．（2）解：①当AD与BC满足条件AD⊥BC时，四边形EFHI是矩形；理由如下：同（1）得：FH是△ABG的中位线，∴FH∥AG，FH＝AG，∴FH∥AD，∵EF∥BC，AD⊥BC，∴EF⊥FH，∴∠EFH＝90°，∵四边形EFHI是平行四边形，∴四边形EFHI是矩形；故答案为：AD⊥BC；②当AG＝BC时，四边形DEFI是菱形．理由：∵△ABC的两条中线BE与CF交于点G、H、I分别是BG、CG的中点，∴FH＝AG，∵EF＝BC，∴当AG＝BC时，FH＝EF，∵四边形EFHI为平行四边形，∴▱EFHI为菱形；故答案为：AG＝BC．。
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元综合测试题及答案
第一章：特殊的平行四边形单元测试卷（典型题汇总）一、选择题(本大题共6小题，共24分)1．下列关于▱ABCD的叙述中，正确的是( )A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形2．如图1，在△ABC中，D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF ∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( )A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形123．如图2，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，作OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC ＝130°，则∠AOE的度数为( )A．75° B．65° C．55° D．50°4．如图3，P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB，BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )A.125B.65C.245 D．不确定345．如图4，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是( )A．2.5 B.5 C.322 D．26．如图5，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是(4，0)，P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形OABC，折叠后，点B落在平面内的点B′处，则点B′的坐标为( )图5A．(2，2 3) B．(32，2－3)C．(2，4－2 3) D．(32，4－2 3)二、填空题(本大题共6小题，共30分)7．已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形的较短对角线的长是________．8．如图6所示，在矩形纸片ABCD中，AB＝2 cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B′重合，则AC＝________ cm.679．如图7所示，若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为________．10．如图8，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED的度数是________．8911．如图9所示，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，E，F，G，H分别为AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为________．图1012．如图10，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△BOF的面积为________．三、解答题(共46分)13．(10分)如图11，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)若正方形ABCD的边长为4，AE＝2，求菱形BEDF的面积．图1114．(10分)如图12，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝20 cm，BD＝12 cm，两动点E，F同时以2 cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，点E到点C，点F到点A时停止运动．(1)求证：当点E，F在运动过程中不与点O重合时，以点B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形；(2)当点E，F的运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？图1215．(12分)如图13，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，E，F分别是AB，AC的中点．(1)求证：四边形AEDF是菱形；(2)如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S.图1316．(14分)如图14，四边形ABCD是正方形，E是直线CD上的点，将△ADE沿AE对折得到△AFE，直线EF交边BC于点G，连接AG.(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)当DE是线段CD的一半时，请你在备用图中利用尺规作图画出符合题意的图形(保留作图痕迹，不写作法)；(3)在(2)的条件下，求∠EAG的度数．图141．C 2.D 3.B 4.A5．B ．6．C7．6 .8．49．(2＋2，2)10．45°.11．12 12.75813．解：(1)证明：连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC.∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形．(2)∵正方形ABCD的边长为4，∴BD＝AC＝4 2.∵AE＝CF＝2，∴EF＝AC－2 2＝2 2，∴S菱形BEDF＝12BD·EF＝12×4 2×2 2＝8.14．解：(1)证明：连接DE，EB，BF，FD.∵两动点E，F同时以2 cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，∴AE＝CF.∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OD＝OB，OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，∴OA－AE＝OC－CF或AE－OA＝CF－OC，即OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，即以点B，E，D，F为顶点的四边形是平行四边形．(2)当点E在OA上，点F在OC上，EF＝BD＝12 cm时，四边形BEDF为矩形．∵运动时间为t，∴AE＝CF＝2t，∴EF＝20－4t＝12，∴t＝2；当点E在OC上，点F在OA上时，EF＝BD＝12 cm，EF＝4t－20＝12，∴t＝8.因此，当点E，F的运动时间t为2 s或8 s时，四边形BEDF为矩形．15．解：(1)证明：∵AD⊥BC，E，F分别是AB，AC的中点，∴在Rt△ABD中，DE＝12AB＝AE，在Rt△ACD中，DF＝12AC＝AF.又∵AB＝AC，∴AE＝AF＝DE＝DF，∴四边形AEDF是菱形．(2)如图，∵菱形AEDF的周长为12，∴AE＝3.设EF＝x，AD＝y，则x＋y＝7，∴x2＋2xy＋y2＝49.①由四边形AEDF是菱形得AD⊥EF，∴在Rt△AOE中，AO2＋EO2＝AE2，∴(12y)2＋(12x)2＝32，即x2＋y2＝36.②把②代入①，可得2xy＝13，∴xy＝132，∴菱形AEDF的面积S＝12xy＝134.16．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°.∵将△ADE沿AE对折得到△AFE，∴AF＝AD＝AB，∠AFE＝∠D＝90°.在Rt△ABG和Rt△AFG中，AB＝AF，AG＝AG，)∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)．(2)如图所示：(3)∵△AFE≌△ADE，△ABG≌△AFG，∴∠EAF＝∠EAD，∠GAF＝∠GAB.∵在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠EAG＝∠EAF＋∠GAF＝12×90°＝45°.第一章：特殊的平行四边形单元测试卷（典型题汇总）（100分钟，120分）一、选择题1．下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠C，∠B=∠D C．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC 2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（）A．6cm B．9cm C．3cm D．12cm3．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）A．50° B．55° C．60° D．65°4．给出以下三个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④菱形对角线的平方和等于边长平方的4倍．其中真命题的是（）A．③B．①② C．②③D．③④5．如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（）A．3B．4 C．5 D．76．已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）A．6 cm和9 cm B．5 cm和10 cm C．4 cm和11 cm D．7 cm和8 cm7．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD8．如图为菱形ABCD与△ABE的重叠情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何？（）A．8 B．9 C．11 D．129．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）A．2B．3 C．D．1+10．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．2B．3 C．D．二、填空题11．等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是矩形、正方形．12．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是3cm2．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，∴它的面积是：×2×3=3（cm2）．13．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是45°．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于 3.5 ．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵AB+BC+CD+DA=28，∴AD=7，∵H为AD边中点，∴OH=AD=3.5；15．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为5．【解答】解：过E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，∵△ABE的面积为8，∴×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE===5，三、解答题（15题12分，16题12分，17题16分）16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，求△AEF的周长。
第一章 特殊平行四边形 单元测试卷(含答案) 北师大版九年级上册数学
共有（ ）
A．1 对
B．2 对
C．3 对
D．4 对
3．如图，AC、BD 是四边形 ABCD 的两条对角线，顺次连接四边形 ABCD 各边中点得到四边形 EFGH，要使四边
形 EFGH 为矩形，应添加的条件是（ ）
A．AC⊥BD
B．AB＝CD
C．AB∥CD
D．AC＝BD
4．如图，在正方形 ABCD 中， CE MN ， MCE 36 ，那么 ANM 等于（ ）
的最小值为
．
三、解答题（共 6 小题，每题 8 分，满分 48 分） 19．如图，小亮将升旗的绳子拉到杆底端，绳子末刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆 8m 处，发现此时 绳子末端距离地面 2m ．请你求出杆的高度（滑轮上方的高度忽略不计，解题时请在图中标注字母）
20．如图，将一张长方形纸片 ABCD 沿 CE 折叠，使点 B 与 AD 边上的点 B′重合．过点 B′作 B′F//EB 交 CE 于点 F， 连接 EB′与 BF．
24．(1)
y1
2t 0
16 2t
t 4 4 t
8
；
y2
t
0
t
8
(2)①当 0 t 4 时， y1 随时间 t 的增大而增大，当 4 t 8 时， y1 随时间 t 的增大而减小；② 0 t 16
3
周长多 4，则 AC 的长是（
A．2 3
B．4 3
C．2 7
D． 4 7
8．如图，边长为 4 和 10 的两个正方形 ABCD 与 CEFG 并排在一起，连接 BD 并延长交 EF 于 H，交 EG 于 I，则 GI 的长为（ ）
A．3
B．7
C．3 2
北师大版九年级数学上册《第一章特殊平行四边形》单元测试卷(带答案)
北师大版九年级数学上册《第一章特殊平行四边形》单元测试卷(带答案)一、选择题1．菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为（）2cm．A．48B．24C．12D．202．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角相等D．对边平行3．要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（）A．测量四边形画框的两个角是否为90︒B．测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分C．测量四边形画框的一组对边是否平行且相等D．测量四边形画框的四边是否相等4．如图，在矩形ABCD中，已知AE BD⊥于E，∠BDC=60°，BE=1，则AB的长为（）A．3B．2C．3D35．下列条件中，能判定四边形是正方形的是（）A．对角线相等的平行四边形B．对角线互相平分且垂直的四边形C．对角线互相垂直且相等的四边形D．对角线相等且互相垂直的平行四边形6．如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则ba=（）A 51-B 53+C 51+D 217．如图，在菱形ABCD 中 50ABC ∠=︒ ，对角线AC ，BD 交于点O ，E 为CD 的中点，连接OE ，则 AOE ∠ 的度数是（ ）A ．110°B ．112°C ．115°D ．120°8．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝4，CD ＝6，∠A ＝90°，∠B ＝∠C ＝120°，则AD 的长度为（ ）A ．3B ．3C ．3D ．3+39．如图，点E 、F 在矩形ABCD 的对角线BD 所在的直线上，BE =DF ，则四边形AECF 是( )A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形10．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC ，CD 上的动点，且BE CF =，连接BF ，DE ，则BF DE +的最小值为（ ）A 3B 5C ．3D ．512．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD ，∠A ＝120°，则A ．13．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上一点90AED ∠=︒，∠EAD=30°，F 是AD 边的中点2cm EF =则BE = cm ．14．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 是AB 边上的一点，且AE=3，点Q 为对角线AC 上的动点，则∠BEQ 周长的最小值为 ．三、解答题15．如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，AE//BD ，BE//AC ．（1）求证：四边形AEBO 是菱形；（2）若2AB =，OB=3，求AD 的长及四边形AEBO 的面积．16．如图，平行四边形ABCD 中，AC=6，BD=8，点P 从点A 出发以每秒1cm 的速度沿射线AC 移动，点Q 从点C 出发以每秒1cm 的速度沿射线CA 移动．（1）经过几秒，以P ，Q ，B ，D 为顶点的四边形为矩形？（2）若BC∠AC 垂足为C ，求（1）中矩形边BQ 的长．17． 如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且∠EAF =45°，分别连接EF 、BD ，BD 与AF 、AE 分别相交于点M 、N.（1）求证：EF =BE +DF .为了证明“EF =BE +DF ”，小明延长CB 至点G ，使BG =DF ，连接AG ，请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程. （2）若正方形ABCD 的边长为6，BE =2，求DF 的长.18．已知：如图，在 Rt ABC 中 90ACB ∠=︒ ， CD 是 ABC 的角平分线，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，垂足分別为E 、F.求证：四边形 CEDF 是正方形.四、综合题19．如图，在ABC 中，AB=AC=2，∠BAC=45°，AEF 是由ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到的，连接BE ，CF 相交于点D .（1）求证：BE CF =；（2）当四边形ABDF 为菱形时，求CD 的长.20．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DE∠AC ，且12DE AC =，连接CE（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）连接AE，若DB=6，AC=8，求AE的长.21．已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上.（1）如图1，连接DF、BF，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，判断∠“在旋转的过程中线段DF与BF的长始终相等.”是否正确，若正确请说明理由，若不正确请举反例说明；（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连结DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等.并以图2为例说明理由.22．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图（1），连接AF、CE．①四边形AFCE是什么特殊四边形？说明理由；②求AF的长；（2）如图（2），动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿∠AFB和∠CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q 的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：∵菱形周长为20cm∴一条边的边长a=5cm又∵一条对角线长为8cm根据勾股定理可得另一条对角线长的一半22543 b-=∴另一条对角线长为6cm∴2186242m=⨯⨯=菱形的面积故答案为：B.【分析】本题考查菱形的性质、菱形的面积公式以及勾股定理，首先根据菱形的四边相等可知边长为5，又因为菱形的对角线垂直，所以结合一条已知的对角线求出另一条对角线的长度为6，两条对角线长度已知即可求出菱形的面积.2．【答案】B【解析】【解答】矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，故A不符合题意；矩形的对角线互相不垂直，菱形的对角线互相垂直，故B符合题意；因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形，所以矩形与菱形的对角都相等，故C不符合题意；因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形，所以矩形与菱形的对边都平行，故D不符合题意；故答案为：B．【分析】菱形和矩形具有平行四边形的一切性质，菱形特有：四条边都相等，对角线互相垂直且平分一组对角，矩形特有：四个角都是直角，对角线相等，据此逐一判断即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：A、测量四边形画框的两个角是否为90°，不能判定为矩形，故选项A不符合题意；B、测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分，能判定为矩形，故选项B符合题意；C、测量四边形画框的一组对边是否平行且相等，能判定为平行四边形，不能判定是否为矩形，故选项C 不符合题意；D、测量四边形画框的四边是否相等，能判断四边形是菱形，故选项D不符合题意.【分析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，据此一 一判断得出答案.4．【答案】B【解析】【解答】解：四边形ABCD 为矩形60BDC ∠=︒=60ABD ∴∠︒AE BD ⊥30BAE ∴∠=︒AB 2∴=故答案为：B ．【分析】由矩形的性质求出∠ABD=90°，利用三角形内角和求出∠BAE=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质即可求解.5．【答案】D【解析】【解答】解：A 、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项不符合题意；B 、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故此选项不符合题意；C 、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故C 选项不符合题意，D 选项符合题意.故答案为：D.【分析】利用对角线互相平分，垂直且相等的四边形是正方形；对角线相等且互相垂直的平行四边形 是正方形，一一判断可得答案.6．【答案】C【解析】【解答】解：依题意得()2()a b b b a b +=++整理得：22222a b ab b ab ++=+则220a b ab -+= 方程两边同时除以2a 2()10b b a a --=152b a +∴=（负值已经舍去）【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为（a＋b），右图是一个长方形，长宽分别为（b＋a＋b）、b，并且它们的面积相等，由此即可列出等式（a＋b）2＝b（b＋a＋b），解方程即可求出ba的值.7．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形∴AC∠BD，∠CDO= 12∠ADC=12∠ABC=25°∴∠DOC=90°∵点E是CD的中点∴OE=DE= 12CD∴∠DOE=∠CDO=25°∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=90°+25°=115°故答案为：C.【分析】根据菱形的性质得出AC∠BD，∠CDO=25°，然后根据直角三角形斜边中线的性质求出OE=DE，则由等腰三角形的性质求出∠DOE=25°，最后根据角的和差关系求∠AOE的度数即可. 8．【答案】A【解析】【解答】解：延长DC、AB，DC、AB的延长线相交于点E∵∠ABC=∠BCD=120°∴∠EBC=∠ECB=60°∴∠BCE是等边三角形∵BC=4，∴EC=BE=BC=4∵AB=1，CD=6∴AE=1+4=5，DE=CD+CE=4+6=10∵∠A=90°∴22221057553DE AE-=-=故答案为：53.【分析】延长DC、AB，DC、AB的延长线相交于点E，结合已知易得∠BCE是等边三角形，由等边三角形的性质可得EC=BE=BC，由线段的构成可求出AE、DE的值，然后在直角三角形ADE中，用勾股定理可求得AD的值.9．【答案】A∴AO=CO BO=DO又BE=DF∴ BO+BE=DO+DF即EO=FO∴ 四边形AECF 是平行四边（对角线互相平分的四边形是平行四边形）故选：A【分析】根据矩形性质得到平行四边形的判定条件。
2019-2020学年北师大版九年级上册数学 第一章 特殊平行四边形 单元达标测试题(含答案)
第一章特殊平行四边形一、选择题1.已知菱形的边长为，较短的一条对角线的长为，则该菱形较长的一条对角线的长为（）A. B. C. D.2.下列说法中不正确的是（）A. 四边相等的四边形是菱形B. 对角线垂直的平行四边形是菱形C. 菱形的对角线互相垂直且相等D. 菱形的邻边相等3.一个菱形的边长是方程的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（）A. 48B. 24C. 24或40D. 48或804.如图，四边形的两条对角线相交于点，且互相平分.添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是（）A. B. C. D.5.对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（）A. 对角线垂直且相等B. 四边都互相垂直C. 四个角都相等D. 是轴对称图形，但不是中心对称图形6.如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是( )A. B. C. D.7.已知四边形的ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，则这个四边形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形8.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，CE垂直平分DO，，则BE等于A. B. C. D. 29.正方形具有而菱形不一定具有的特征是（）A. 对角线互相垂直平分B. 内角和为360°C. 对角线相等D. 对角线平分内角10.在四边形中，是对角线、的交点，能判定这个四边形为正方形的是（）A. ，B. ，，C. ，，D. ，11.如图，四张大小不一的正方形纸片分别放置于矩形的四个角落,其中，①和②纸片既不重叠也无空隙．在矩形ABCD的周长己知的情况下，知道下列哪个正方形的边长，就可以求得阴影部分的周长（）A. ①B. ②C. ③D. ④12.如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（）A. 2B. 4C. 4D. 2二、填空题13.若菱形两条对角线的长分别是6cm和8cm，则其面积为________cm2．14.已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比为1：2，则较短的对角线长为________，面积为________.15.如图，在菱形ABCD中，若AC=6，BD=8，则菱形ABCD的面积是________.16.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝________.17.如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是________（添加一个条件即可）．18.在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，若点E为边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，则BF长为________.19.四边形ABCD中，AC⊥BD，顺次连接它的各边中点所得的四边形是________.20.如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是________（只需添加一个即可）21.如图，正方形ABCD的边长为1，点E是BC边上一动点（点E不与点B、C重合），以线段DE为边长，作正方形DEFG，使得点F、G落在直线DE的下方，连接AF、BF.当△ABF为等腰三角形时，BE的长为________.22.如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，BG⊥EF，点G为垂足，AB=5，AE=1，CF=2，则BG=________．三、解答题23.已知：在菱形ABCD中，E，F是BD上的两点，且AE∥CF.求证：四边形AECF是菱形.24.如图,△ABC≌△ABD,点E在边AB上,并且CE∥BD,连接DE.求证:四边形BCED是菱形.25.如图，在矩形ABCD，AD=AE，DF⊥AE于点F．求证：AB=DF．26.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，且DE∥AC，AE∥BD．求OE的长．27.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且AB=FC，E为AD上一点，EC交AF于点G，EA=EG．求证：ED=EC．28.如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=EF=FD，连接AF，AE，CE，CF，请你判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．29.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．（1）已知BD= ，求正方形ABCD的边长；（2）猜想线段CM与CN的数量关系并加以证明．参考答案一、选择题1. C2. C3. B4. C5. C6. A7. B8. A9. C 10. D 11. B 12.A二、填空题13. 24 14. 10cm；50 cm215. 24 16. 17. ∠ABC=90°或AC=BD．18.19.矩形20. ∠ABC=90°或AC=BD 21. 或1- 22.三、解答题23. 证明：∵四边形ABCD是菱形∴AB∥CD，AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，∵AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，DF＝DF∴△ADF≌△CDF（SAS）∴AF＝CF，∵AB∥CD，AE∥CF∴∠ABE＝∠CDF，∠AEF＝∠CFE∴∠AEB＝∠CFD，∠ABE＝∠CDF，AB＝CD∴△ABE≌△CDF（AAS）∴AE＝CF，且AE∥CF∴四边形AECF是平行四边形又∵AF＝CF，∴四边形AECF是菱形24.证明：∵≌，∴，在和中,∴≌，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴四边形BCED是菱形.25.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B=90°，∴∠AEB=∠DAE．∵DF⊥AE，∴∠AFD=∠B=90°．在△ABE和△DFA中，∵∴△ABE≌△DFA，∴AB=DF26.解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA= AC=3，OD= BD=4，∴∠AOD=90°，∴AD= = =5．∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形，∴四边形AODE是矩形，∴OE=AD=527.解：证明：∵AB∥DC，FC=AB，∴四边形ABCF是平行四边形．∵∠B=90°，∴四边形ABCF是矩形．∴∠AFC=90°，∴∠D=90°﹣∠DAF，∠ECD=90°﹣∠CGF．∵EA=EG，∴∠EAG=∠EGA．∵∠EGA=∠CGF，∴∠DAF=∠CGF．∴∠D=∠ECD．∴ED=EC28.解：四边形AECF是菱形．∵在正方形ABCD中，AB=AD，∴∠ABE=∠ADF，又∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，同理可得，CE=CF，∵在正方形ABCD中，CD=AD，∠CDE=∠ADF，DF=DF，∴△ADF≌△CDF，∴AF=CF，∴AE=AF=CF=CE，∴四边形AECF是菱形．29.（1）解：∵四边形ABCD 是正方形，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴2AB2=BD2，∵BD= ，∴AB=1，∴正方形ABCD的边长为1．（2）解：CN= CM.证明如下：∵CF=CA，CE是∠ACF的平分线，∴CE⊥AF，∴∠AEN=∠CBN=90°，∵∠ANE=∠CNB，∴∠BAF=∠BCN，在△ABF 和△CBN 中，∴△ABF≌△CBN（ASA），∴AF=CN，∵∠BAF=∠BCN，∠ACN=∠BCN，∴∠BAF=∠OCM，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠ABF=∠COM=90°，∴△ABF~△COM，∴，∴，即CN= CM.。
2020-2021学年北师大版九年级上册第1章《特殊的平行四边形》单元测试卷 (解析版)
北师大版2020年九年级上册第1章《特殊的平行四边形》单元测试卷满分：120分姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．菱形具有而一般矩形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个拟定方案中，正确的方案是（）A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量对角线是否互相垂直D．测量其中三个角是否是直角3．已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，补充下列四个条件，能使平行四边形ABCD 成为菱形的是（）A．AB＝BD B．AC＝BD C．∠DAB＝90°D．∠AOB＝90°4．四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝2，则菱形ABCD的面积为（）A．2B．4C．4D．85．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（）A．4B．8C．D．66．E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠AEB的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．75°7．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AB于点E，若AC＝8cm，BD＝6cm，则DE＝（）A．5cm B．2cm C．cm D．cm8．在长方形MNPQ中，三点的坐标分别是M（0，0），N（4，0），P（4，2），则Q点的坐标为（）A．（2，0）B．（0，2）C．（0，4）D．（4，0）9．如图，四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，边长分别为a，b，c；A，B，N，E，F五点在同一直线上，则c＝（）A．a+b B．C．D．a2+b210．矩形ABCD中，AD＝3，AB＝9，点E、F同时分别从点A、C出发沿AB、CD方向以每秒1个单位的速度运动，当四边形EBFD为菱形时，两点运动的时间为（）A．4秒B．5秒C．6秒D．6秒二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是．12．已知菱形ABCD的周长为12，则边BC＝．13．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，请你添加一个适当的条件，使ABCD成为正方形．14．如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝8m，∠ABC＝60°，则DE＝m．15．如图所示，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（6，10），则点C的坐标为．16．如图，在Rt△CDE中，∠DCE＝90°，分别以CD，DE为边在Rt△CDE外部作正方形ABCD和正方形DEFG，若S△ADG＝，S正方形ABCD＝6，则S正方形DEFG＝．三．解答题（共8小题，满分66分）17．（7分）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，DG＝2．求证：四边形EFGH为正方形．18．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB，CD边上的点，且∠ADE＝∠CBF．当BD⊥EF时，求证：四边形EBFD是菱形．19．（8分）如图，在正方形ABCD中，AE，DF相交于点O且AF＝BE．（1）求证：∠BAE＝∠ADF；（2）若∠BAE＝30°，AF＝2，求OD的长．20．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，菱形ABCD的周长是4，求菱形ABCD的面积．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，直线l经过对角线AC的中点O（直线l不与线段AC 重合），与AB、CD交于点E、F．（1）求证：BE＝DF；（2）当直线l⊥AC时，若AD＝4，AB＝6，求CF的长．22．（8分）如图（1），正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）如图（2）若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM交DB的延长线于点F，其他条件不变，结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q 的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．24．（10分）已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合）．连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH．在EF上取一点G，使∠ECG＝∠DAH．（1）若点F在边CD上，如图1，①求证：CH⊥CG．②求证：△GFC是等腰三角形．（2）取DF中点M，连接MG．若MG＝3，正方形边长为4，则BE＝．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：菱形具有的性质：四边相等，对边平行，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；矩形具有的性质：四个角都是直角，对边平行且相等，对角线互相平分且相等．∴菱形具有而一般矩形不具有的性质是对角线互相垂直；故选：D．2．解：∵三个角是直角的四边形是矩形，∴在下面四个拟定方案中，正确的方案是D，故选：D．3．解：A、AB＝BD，不能判定平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、AC＝BD，则平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项B不符合题意；C、∠DAB＝90°，则平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项B不符合题意；D、∠AOB＝90°，则AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．4．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD＝1，AC⊥BD，在Rt△OCD中，∵∠ACD＝30°，∴CD＝2OD＝2，∴OC＝＝＝，∴AC＝2OC＝2，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×2×2＝2．故选：A．5．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，∴AC＝12，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴OH＝BD，∵菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝×12×BD＝48，∴BD＝8，∴OH＝BD＝4；故选：A．6．解：∵E为正方形ABCD内一点，且△EDC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∠EBC＝60°，AB＝BE＝BC，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝30°，∴∠AEB＝∠BAE＝（180°﹣30°）＝75°，故选：D．7．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8cm，BD＝6cm，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×6×8＝24，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4cm，OB＝OD＝3cm，∴在直角三角形AOB中，AB＝＝＝5cm，∴DH＝＝cm．故选：C．8．解：如图，根据图形易知Q点的坐标是（0，2）．故选：B．9．解：∵四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，∴∠CNH＝90°，BC＝a，NE＝c，HE＝b．∵∠BCN+∠CNB＝90°，∠CNB+∠HNE＝90°，∴∠BCN＝HNE．又∵∠CBN＝∠HEN＝90°，CN＝NH＝c∴△CBN≌△NEH．∴NE＝CB＝a．在Rt△NEH中，∵NH＝，∴c＝．故选：C．10．解：设t秒时四边形EBFD为菱形，此时DE＝DF＝FB＝BE，则AE＝t，DF＝9﹣t，根据勾股定理得：32+t2＝（9﹣t）2，解得：t＝4，故选：A．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．解：因为矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相平分且垂直且平分每一组对角，正方形的对角线具有矩形和菱形所有的性质，所有矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是对角线互相平分．故答案为：对角线互相平分．12．解：∵菱形ABCD的周长为12，∴AB＝BC＝CD＝AD＝3；故答案为：3．13．解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，当∠BAD＝90°时，▱ABCD为正方形．故答案为：∠BAD＝90°．14．解：∵立柱BC、DE垂直于横梁AC，∴BC∥DE，∴AE：CE＝AD：BD，∵D是AB中点，∴AD＝BD，∴AE＝CE，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，在Rt△ABC中，BC＝AB＝4，∴DE＝2．故答案为：2．15．解：∵四边形OABC是菱形，∴A、C关于直线OB对称，∵A（6，10），∴C（6，﹣10），故答案为：（6，﹣10）．16．解：如图所示，过G作GH⊥AD，交AD的延长线于H，则∠H＝90°，又∵∠DCE＝90°，∴∠H＝∠DCE，∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，∴∠ADC＝∠CDH＝∠EDG＝90°，DG＝DE，∴∠GDH＝∠EDC，∴△DGH≌△DEC（AAS），∴GH＝CE，∵S正方形ABCD＝6，∴CD＝，∵S△ADG＝，∴AD×GH＝，又∵AD＝CD，∴CD×CE＝，即×CE＝，∴CE＝2，∴Rt△CDE中，DE＝＝＝，∴S正方形DEFG＝DE2＝10，故答案为：10．三．解答题（共8小题，满分66分）17．解：∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，∴∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，又AH＝DG＝2，∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），∴∠DHG＝∠HEA，∵∠AHE+∠HEA＝90°，∴∠AHE+∠DHG＝90°，∴∠EHG＝90°，∴四边形HEFG为正方形．18．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∠A＝∠C，AB∥CD，AB＝CD，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF，即BE＝DF，又∵BE∥DF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BD⊥EF，∴四边形EBFD是菱形．19．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DAB＝90°，AB＝AD，又∵AF＝BE，在△ABE与△DAF中，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠BAE＝∠ADF；（2）解：∵△ABE≌△DAF，∴∠BAE＝∠ODA，∴∠DAO+∠ODA＝90°，∴∠AOD＝90°，∵∠BAE＝30°，AF＝2，∴OF＝AF＝1，DF＝2AF＝4，∴OD＝DF﹣OF＝3．20．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，∵菱形ABCD的周长是4，∴CD＝，∴OC＝＝2，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD＝×4×2＝4．21．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠EAO＝∠FCO，∵对角线AC的中点为O，∴OA＝OC，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴EA＝FC，∴AB﹣AE＝CD﹣CF，∴BE＝DF；（2）解：连接AF、CE，如图所示：∵EA＝FC，EA∥FC，∴四边形AFCE为平行四边形，∵EF⊥AC，∴▱AFCE为菱形，∴AF＝CF，设AF＝CF＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，在Rt△ADF中，由勾股定理得：x2＝42+（6﹣x）2，解得：x＝，即CF＝．22．解：（1）∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，∴∠MEA＝∠AFO．在△BOE和△AOF中，∵，∴△BOE≌△AOF．∴OE＝OF．（2）OE＝OF成立．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠F+∠MBF＝90°，∠E+∠OBE＝90°，又∵∠MBF＝∠OBE，∴∠F＝∠E．在△BOE和△AOF中，∵，∴△BOE≌△AOF．∴OE＝OF．23．解：（1）由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝6﹣t 在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝6﹣t，得t＝3故当t＝3s时，四边形ABQP为矩形．（2）由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形即时，四边形AQCP为菱形，解得t＝，故当t＝s时，四边形AQCP为菱形．（3）当t＝时，AQ＝，CQ＝，则周长为：4AQ＝4×＝15cm面积为：．24．（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，DA＝DC，在△DAH和△DCH中，，∴△DAH≌△DCH（SAS），∴∠DAH＝∠DCH．∵∠ECG＝∠DAH，∴∠ECG＝∠DCH．∵∠ECG+∠FCG＝∠FCE＝90°，∴∠DCH+∠FCG＝90°，∴CH⊥CG；②∵在Rt△ADF中，∠DF A+∠DAF＝90°，由①得∠DCH+∠FCG＝90°，∠DAH＝∠DCH；∴∠DF A＝∠FCG，又∵∠DF A＝∠CFG，∴∠CFG＝∠FCG，∴GF＝GC，∴△GFC是等腰三角形；（2））①如图，当点F在线段CD上时，连接DE．∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，∴∠GCE＝∠GEC，∴EG＝GC＝FG，∵FG＝GE，FM＝MD，∴DE＝2MG＝6，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，∴BE＝BC+CE＝4+2．②如图，当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．同法可知GM是△DEC的中位线，∴DE＝2GM＝6，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，∴BE＝BC﹣CE＝4﹣3＝1．综上所述，BE的长为4+或1．。
北师大版2020九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元综合能力达标测试题2(附答案详解)
北师大版2020九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元综合能力达标测试题2（附答案详解）1．如图所示，在长方形纸片ABCD中，AB=32cm，把长方形纸片沿AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，AF=25cm，则AD的长为（）A．16cm B．20cm C．24cm D．28cm2．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，过A作AE的垂线交ED于点P，若AE=AP=1，PB=5，下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③PD=5，其中正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③3．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示顶点A（5,0），OB=45，P是对角线OB上的一个动点，D（0,1），当CP+DP的值最小时，点P的坐标为（）A．(35，345) B．（107，57）C．（1，12）D．（65，35）4．正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A．四个角为直角B．对角线互相垂直C．对角线互相平分D．对边平行且相等5．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则EF的长为（）6．如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连结CE、AF交于点H，连结DH交AC于点O.则下列结论：①∠B＝60°；②△ABF≌△CAE；③∠AHC＝120°；其中正确的是( )A．①②B．①②③C．②③D．以上都不对7．如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD 为菱形的是（）A．BA＝BC B．AC、BD互相平分 C．AC＝BD D．AB∥CD 8．下面四个定义中不正确的是（）A．数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值B．有一组邻边相等的四边形叫菱形C．有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫正方形D．两腰相等的梯形叫等腰梯形9．一个大矩形按如图方式分割成6个小矩形，且只有标号为②，④的两个小矩形为正方形，若要求出△ABC的面积，则需要知道下列哪个条件？（）A．⑥的面积B．③的面积C．⑤的面积D．⑤的周长10．下面是“利用直角三角形作矩形”尺规作图的过程．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．小明的作法如下：如图2，（1）分别以点A、C为圆心，大于12AC同样长为半径作弧，两弧交于点E、F；（2）作直线EF，直线EF交AC于点O；（3）作射线BO，在BO上截取OD，使得OD=OB；（4）连接AD，CD．∴四边形ABCD就是所求作的矩形．老师说，“小明的作法正确．”请回答，小明作图的依据是：__________________________________________________.11．如图，一块形如“Z”字形的铁皮，每个角都是直角，且AB=BC=EF=GF=1，CD=DE=GH=AH=3，现将铁片裁剪并拼接成一个和它等面积的正方形，则正方形的边长是_____．12．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C点的坐标为．13．如图，在矩形ABCD中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH．若AB=8，AD=6，则四边形EFGH的周长等于__________．14．如图,已知正方形ABCD的对角线交于O点,点E,F分别是AO,CO的中点,连接BE,BF,DE,DF,则下列结论中一定成立的是________.(把所有正确结论的序号都填在横线上)①BF=DE;②∠ABO=2∠ABE;③S△AED=14S△ACD;④四边形BFDE是菱形.15．矩形ABCD中,AB=5,BC=4,将矩形折叠,使得点B落在线段CD的点F处,则线段BE 的长为_____________.16．在正方形ABCD中，AB=252+，E是边BC的中点，F是AB上一点，线段AE、CF 交于点G，且CE=EG，将∆ABF沿CF翻折，使得点B落在点M，连接GM并延长交AD于点N，则∆AGN的面积为_________________．17．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，ACB∠的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若4AM=，则线段ON的长为________．18．如图，菱形ABC的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=12AC，连接CE、OE、AE，AE交OD于点F，若AB=2，∠ABC=60°，则AE的长_____．19．AD是直角三角形ABC的中线，那么AD就等于它斜边BC的一半．（）20．如图，在OAB 中，OA OB =，以点O 为圆心的O 经过AB 的中点C ，连接OC ，直线AO 与O 相交于点E ，D ，OB 交O 于点F ，P 是DF 的中点，连接CE ，CF ，BP ． ()1求证：AB 是O 的切线；()2若OA 4=，则①当AC =______时，四边形OECF 是菱形；②当AC =______时，四边形OCBP 是正方形21．已知：二次函数的图象过点()23A -，，且顶点坐标为()14C -，． ()1求此二次函数的表达式；()2画出此函数图象，并根据函数图象写出：当12x -<<时，y 的取值范围．22．如图，在矩形ABCD 中，两条对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AC 上的一点，且BO ＝2AE ，∠AOD＝120°，求证：BE⊥AC．23．如图所示，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，CE ⊥BD 于E ，OF ⊥AB 于F ，BE ：DE=1：3，OF=2cm ，求AC 的长．24．如图，点P 是正方形ABCD 对角线AC 上一动点，点E 在射线BC 上，且PE ＝PB ，连接PD ，O 为AC 中点．（1）如图1，当点P 在线段AO 上时，试猜想PE 与PD 的数量关系和位置关系，请说明理由；（2）①如图2，当点P 在线段OC 上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；②如图2，试用等式来表示PB,BC,CE 之间的数量关系，并证明．（3）如图3，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当120BAD ∠=︒时，连接DE ，试探究线段PB 与线段DE 的数量关系，并说明理由．25．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD 为AC 边上的中线．（1）按如下要求尺规作图，保留作图痕迹，标注相应的字母：过点C 作直线CE ，使CE ⊥BC 于点C ，交BD 的延长线于点E ，连接AE ；（2）求证：四边形ABCE 是矩形．26．如图，在矩形ABCD 中，两条对角线AC 、BD 相交于O ，ACD 30∠=，AD 2=．()1判断AOD 的形状；()2求对角线AC 的长．27．如图，在正方形ABCD 中，A′在对角线BD 上，A′B=AB ，D′在BC 延长线上，BD=BD′，求∠D′．28．如图1，在长方形纸片ABCD 中，AB=mAD ，其中m ⩾1，将它沿EF 折叠(点E. F 分别在边AB 、CD 上)，使点B 落在AD 边上的点M 处，点C 落在点N 处，MN 与CD相交于点P，连接EP.设AMnAD=，其中0<n⩽1.(1)如图2，当n=1(即M点与D点重合)，求证：四边形BEDF为菱形；(2)如图3，当12n=(M为AD的中点)，m的值发生变化时，求证：EP=AE+DP；(3)如图1，当m=2(即AB=2AD)，n的值发生变化时，BE CFAM-的值是否发生变化?说明理由.29．如图，点O为平面直角坐标系的原点，在长方形OABC中，OC∥AB，OA∥BC，两边OC、OA分别在x轴和y轴上，且点B（a，b）满足：4a-+（2b+6）2=0．（1）求点B的坐标；（2）如图1，若过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P，且将长方形OABC的面积分为1：3两部分，求点P的坐标；（3）如图2，M为线段OC一点，且∠ABM=∠AMB，N是x轴负半轴上一动点，∠MAN 的平分线AD交BM的延长线于点D，在点N运动的过程中，试判断∠ANM与∠D的数量关系，并说明理由．参考答案1．C【解析】【分析】首先根据平行线的性质以及折叠的性质证明∠EAC=∠DCA，根据等角对等边证明FC=AF，则DF即可求得，然后在直角△ADF中利用勾股定理求解．【详解】∵长方形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，又∵∠BAC=∠EAC，∴∠EAC=∠DCA，∴FC=AF=25cm，又∵长方形ABCD中，DC=AB=32cm，∴DF=DC-FC=32-25=7cm，在直角△ADF中，（cm）．故选C．【点睛】本题考查了折叠的性质以及勾股定理，在折叠的过程中注意到相等的角以及相等的线段是关键．2．A【解析】【分析】①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；②利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证；③在Rt△AEP中，利用勾股定理，可求得EP、BE的长，再依据△APD≌△AEB，即可得出PD=BE，据此即可判断.【详解】①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，∴∠EAB=∠PAD，又∵AE=AP，AB=AD，∴△APD≌△AEB，故①正确；②∵△APD≌△AEB，∴∠APD=∠AEB，又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，∴∠BEP=∠PAE=90°，∴EB⊥ED，故②正确；③在Rt△AEP中，∵AE=AP=1，∴EP=2，又∵PB=5，∴BE=3，∵△APD≌△AEB，∴PD=BE=3，故③错误，故选A.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形面积、勾股定理等，综合性质较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.3．B【解析】分析：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．首先说明点P就是所求的点，再求出点B坐标，求出直线OB、DA，列方程组即可解决问题．详解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．∵四边形OABC是菱形，∴AC⊥OB，GC=AG，5∵A、C关于直线OB对称，∴PC+PD=PA+PD=DA，∴此时PC+PD最短，在RT△AOG中，=，∴∵OA•BK=12•AC•OB，∴BK=4，，∴点B坐标（8，4），∴直线OB解析式为y=12x，直线AD解析式为y=-15x+1，由12115y xy x＝＝⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩，解得10757xy⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝，∴点P坐标（107，57）．故选B．点睛：本题考查菱形的性质、轴对称-最短问题、坐标与图象的性质等知识，解题的关键是正确找到点P位置，构建一次函数，列出方程组求交点坐标．4．A【解析】【分析】根据正方形和菱形的对角线的性质进行判断即可.【详解】解：正方形的对角线互相垂直平分且相等，四个角都是直角，菱形的对角线互相垂直平分，它们都是平行四边形，因此对边平行且相等，因此可知A答案正确.故选A.【点睛】解答本题的关键是熟练掌握正方形的对角线互相垂直，但矩形的对角线不一定互相垂直. 5．C【解析】【分析】过D作DK平行EF交CF于K，得出平行四边形DEFK，推出EF=DK，证△DCK∽△CBA，求出CK，根据勾股定理求出DK即可．【详解】过D作DK平行EF交CF于K，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC,∠ABC=∠DCB=90°，AD=BC=4，AB=CD=2，∵AD∥BC,EF∥DK，∴DEFK为平行四边形，∴EF=DK，∵EF⊥AC，∴DK⊥AC，∴∠DPC=90°，∵∠DCB=90°，∴∠CDK+∠DCP=90°,∠DCP+∠ACB=90°，∴∠CDK=∠ACB，∵∠DCK=∠ABC=90°，∴△CDK∽△BCA，∴CD BC=CK AB，即24=CK2，CK=1，根据勾股定理得：故选C.【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是证△DCK ∽△CBA ，再求出CK.6．B【解析】【分析】由菱形ABCD 中，AB=AC ，易证得△ABC 是等边三角形，则可得∠B=∠EAC=60°，由SAS 即可证得△ABF ≌△CAE ；则可得∠BAF=∠ACE ，利用三角形外角的性质，即可求得∠AHC=120°. 【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC ，∵AB=AC ，∴AB=BC=AC ，即△ABC 是等边三角形，同理：△ADC 是等边三角形∴∠B=∠EAC=60°，故①正确； 在△ABF 和△CAE 中，BF AE B EAC BC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF ≌△CAE （SAS ）；故②正确；∴∠BAF=∠ACE ，∵∠AEH=∠B+∠BCE ，∴∠AHC=∠BAF+∠AEH=∠BAF+∠B+∠BCE=∠B+∠ACE+∠BCE=∠B+∠ACB=60°+60°=120°；故③正确，故选B.【点睛】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大.7．B【解析】【分析】【详解】解：对角线互相垂直平分的四边形为菱形．已知对角线AC、BD互相垂直，则需添加条件：AC、BD互相平分故选：B8．B【解析】【分析】有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.【详解】根据菱形的定义可知B选项错误.【点睛】正确理解概念是解题的关键.9．A【解析】【分析】根据11-S-S-S-S22ABCS大矩形④①②③=S列式化简计算，即可得△ABC的面积等于⑥的面积.【详解】设矩形的各边长分别为a, b，x如图，则∵ABC S =12(a+b+x)(a+b)-12a²-ab-12b(b+x)= 12(a²+2ab+b²+ax+bx)-12a²-ab-12b²-12bx =12ax ∴只要知道⑥的面积即可.故选A.【点睛】本题考查了推论与论证的知识，根据题意结合正方形的性质得出只有表示出矩形的各边长才可以求出面积，这也是解答本题的关键．10．到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个角为90°的平行四边形为矩形【解析】【分析】先利用作法判定OA=OC ，OD=OB ，则根据平行四边形的判定方法判断四边形ABCD 为平行四边形，然后根据矩形的判定方法判断四边形ABCD 为矩形．【详解】解：由作法得EF 垂直平分AC ，则OA=OC ，而OD=OB ，所以四边形ABCD 为平行四边形，而∠ABC=90°， 所以四边形ABCD 为矩形．故答案为到线段两段点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个内角为90°的平行四边形为矩形．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．11【解析】【分析】延长BC 交HG 于点M，延长HG 交DE 于点N，根据“Z”字形的铁皮的面积=S矩形ABMH+S矩形CDNM +S正方形GFEN计算出不规则铁皮的面积，即可得面积相等的正方形的面积，由此求得正方形的边长即可．【详解】如图所示，延长BC 交HG 于点M，延长HG 交DE 于点N，则四边形ABMH、CDNM 为矩形，四边形GFEN 为正方形．∴“Z”字形的铁皮的面积=S矩形ABMH+S矩形CDNM+S正方形GFEN=AH•AB+CD•DN+GF•EF=3×1+3×2+1×1=10．∴正方形的边长=10.故答案为：10．【点睛】本题考查了矩形、正方形的判定和面积及算术平方根的应用，解决本题的关键是利用割补的办法计算出不规则铁皮的面积．12．（3，4）【解析】过点B作BD⊥OA于D，∵四边形ABCD是菱形，∴OC=OA=AB=BC，BC∥OA，设AB=x，则OA=x，AD=8﹣x，在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，即x2=（8﹣x）2+16，解得：x=5，∴BC=5，∴C点的坐标为（3，4）．故答案为（3，4）．13．20.【解析】分析：连接AC,BD,根据勾股定理求出BD,根据三角形中位线定理，菱形的判定定理得到四边形EHGF为菱形，根据菱形的性质计算．解答:连接AC,BD在Rt△ABD中，10,=∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=10, ∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH∥BD,EF=12BD=5,同理，FG∥BD,FG=12BD=5,GH∥AC,GH=12AC=5, ∴四边形EHGF为菱形，∴四边形EFGH的周长=5×4=20，故答案为20.点睛：本题考查了中点四边形，掌握三角形的中位线定理、菱形的判定定理是解答本题的关键.14．①③④【解析】试题解析：∵点E,F分别是AO,CO的中点,∴OE=OF,∵四边形ABCD是正方形,∴OD=OB,AC⊥BD,∴四边形BEDF是平行四边形,∴BF=DE,故①正确;∵四边形BEDF是平行四边形,AC⊥BD,∴四边形BFDE是菱形,故④正确;∵△AED的一边AE是△ACD的边AC的14,且此边的高相等,∴S△AED=14S△ACD,故③正确,∵AB>BO,BE 不垂直于AO,AE ∶EO ∶1,∴BE 不是∠ABO 的平分线,∴∠ABO≠2∠ABE,故②没有足够的条件证明成立.故答案为：:①③④15．2.5【解析】【分析】首先根据折叠的性质与矩形的性质，得到AF =AB =5，EF =BE ，AD =BC =4；然后在Rt △ADF 中，利用勾股定理，求得DF 的长，进而得到CF 的长；再设CE =x ，则EF =BE =4-x ，在Rt △CEF 中，利用勾股定理列出关于x 的方程，求得x 的值，最后由BE =BC -CE ，即可得到结果.【详解】解：由题意可得AF =AB =5，AD =BC =4，EF =BE ，在Rt △ADF 中，由勾股定理，得DF 在矩形ABCD 中，DC =AB =5，∴CF =DC -DF =2.设CE =x ，则EF =BE =4-x ，在Rt △CEF 中，CE 2+CF 2=EF 2，即x 2+22=(4-x )2，解得x =1.5，则BE =4-x =2.5.故答案为2.5.点睛：本题考查翻折变换、矩形的性质，找出线段间的关系，利用勾股定理列出等量关系式是解题的关键.16【解析】分析：先作GH ⊥BC 于H ，交AN 于J ，则GH ∥AB ，即可得到HG ：HE=AB ：BE=2：1，设HE=m ，则HG=2m ，，进而得到，，根据，可得，再根据GH BE GJ NA=,可得AN=（m ，最后根据△AGN的面积=12AN×GJ，进行计算即可．详解：如图所示，作GH⊥BC于H，交AN于J，连接BG，则GH∥AB，∴HG：HE=AB：BE=2：1，设HE=m，则HG=2m，5，∵E是边BC的中点，CE=EG，∴5，5，∵5，∴55，解得5，∵EG=CE=BE，∴∠BGC=12×180°=90°，即BG⊥CF，又∵BM⊥CF，∴B，G，M在同一直线上，又∵BE∥AN，∴△GBE∽△GNA，∴GH BEGJ NA=5252mm m=-，解得AN=（5m，∴△AGN的面积=12AN×GJ=12（5-5）m×（25m-2m）=5（5-1）2m2=5（5-1）2（1+5）2=165，故答案为：165．点睛：本题主要考查了折叠问题，正方形的性质以及相似三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是依据相似三角形的对应边成比例列式计算，求出△ANG的底边与高．17．2【解析】【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，再求出AH，MH，MB，CH/CO，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON．【详解】作MH⊥AC于H,如图,∵四边形ABCD为正方形，∴∠MAH=45°，∴△AMH为等腰直角三角形，∴AH=MH=22，AM=22×2，∵CM平分∠ACB，∴2，∴AB=4+22，∴AC=2AB=42+4，∴OC=12AC=2+2,CH=AC−AH=42+4−22=22+4，∵BD⊥AC，∴ON∥MH，∴△CON∽△CHM，∴ONMH=OCCH,即22=2+222+4，∴ON=2，故答案为2【点睛】本题考查了正方形的性质，解题的关键是熟练的掌握正方形的性质. 18．7【解析】在菱形ABCD中，OC=AC，AC⊥BD，∴DE=OC，∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形，∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AD=AB=AC=2，OA=AC=1，在矩形OCED中，由勾股定理得：CE=OD===，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE===；故答案是：．19．×【解析】直角三角形斜边中线等于斜边的一半，已知中只知道三角形ABC 是直角三角形，但是没有说明哪个角是直角，只有当∠BAC 是直角时，原语句才正确，如果不是，则原语句错误，所以原语句是错误的.20．（1）证明见解析（2）①当AC =OECF 是菱形②当AC =边形OCBP 是正方形【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质得OC AB ⊥，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）①根据菱形的判定方法，当OE CE CF OF ===时，四边形OECF 为菱形，则可判断OCE 为等边三角形，所以60COE ∠=，然后根据含30°的直角三角形三边的关系可计算出此时AC 的长；②利用正方形的判定方法，当//OP BC ，PB AB ⊥时，四边形OCBP 为正方形，则根据正方形的性质计算出此时BC 的长，从而得到AC 的长．【详解】（1）证明：OA OB =，点C 为AB 的中点，OC AB ∴⊥，AB ∴是O 的切线；（2）①当OE CE CF OF ===时，四边形OECF 为菱形，此时OCE 为等边三角形，60COE ∴∠=，sin 60AC OA ∴=︒=即当AC =OECF 是菱形；②当//OP BC ，PB AB ⊥时，四边形OCBP 为正方形，此时BC OC ===即当AC =OCBP 是正方形．故答案为23，22．21．见解析【解析】试题分析：（1）由题意设二次函数的解析式为顶点式，代入点A 的坐标即可求得解析式；（2）由（1）中所得解析式，可求得该二次函数图象与x 轴的交点坐标，和顶点坐标及对称轴，由此即可画出该二次函数的图象，根据图象即可得到当12x -<<时，y 的取值范围. 试题解析：（1）由已知条件可设二次函数解析式为：2(1)4y a x =--，∵该二次函数的图象过点A （2，-3），∴2(21)43a --=-，解得：1a =，∴二次函数的解析式为：2(1)4y x =--，即223y x x =--；（2）在223y x x =--中，当0y =时，2230x x --=，解得：1231x x ==-，，∴该二次函数的图象与x 轴相交于点（-1，0）和（3，0），其顶点坐标为（1，-4），对称轴为：直线1x =，由此可画出其图象，如下图所示：由图可知，当12x -<<时，40y -≤<.22．见解析【解析】【分析】由矩形的性质得OA=OB，由∠AOD＝120°，可知∠AOB=60°,从而△AOB为等边三角形，然后根据三线合一可得结论.【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB.∵∠AOD＝120°，∴∠AOB=60°,∴△AOB为等边三角形，∵BO＝2AE，∴AO=2AE,∴AE＝OE，∴BE⊥AC【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，证明△AOB为等边三角形是解答本题的关键.23．AC=8cm【解析】试题分析：根据矩形对角线互相平分且相等，再根据BE：DE=1：3，CE⊥BD，可判断出OC=BC，再根据OF要中位线，从而可得BC的长，从而得OC的长，继而可得AC的长.试题解析：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，AC=BD，∴OB=OC=OA=OD，∵CE⊥BD，DE：BE=3：1，∴OE=BE，∴OC=BC，∵OF⊥AB，∴AF=BF，∴OF是△ABC的中位线，∴BC=2OF=4cm，∴OC=4cm ，∴AC=2OC=8cm ．24．（1）PE=PD,PE⊥PD，证明详见解析；（2）①成立PE=PD,PE⊥PD,证明详见解析；②2222BC CE PB +=，证明详见解析；(3)PB=DE,证明详见解析.【解析】试题分析：（1）如图1，过点P 分别作PM ⊥BC 于点M ，PN ⊥CD 于点N ，则由已知条件可得PM=PN ，∠MPN=90°，由正方形关于对角线对称可得PB=PD ，结合PB=PE 可得PE=PD ，从而可得△PME ≌△PND ，由此可得∠EPM=∠DPN ，从而可证得∠DPE=90°，得到PD ⊥PE ；（2）①如图2，过点P 分别作PM ⊥BC 于点M ，PN ⊥CD 于点N ，同（1）可证得PD=PE ，PD ⊥PE 仍然成立；②如图2，连接DE ，在Rt △DCE 中，由勾股定理可得DC 2+CE 2=DE 2，结合在等腰Rt △DPE 中，DE 2=2PE 2及PE=PB ，BC=DC 即可得到BC 2+CE 2=2PB 2；（3）如图3，由已知条件易得∠DCE=∠ACD=∠ACB=60°，由菱形关于对角线对称可得PB=PE ，∠OBC=∠PDC ，结合PB=PE 可得∠PEC=∠PBC=∠PDC 及PE=PD ，再结合∠PHD=∠CHE 可得∠DPE=∠DCE=60°，从而可得△PDE 是等边三角形，由此即可得到DE=PE=PB.试题解析：（1）PD=PE 且PD ⊥PE ，理由如下：如图1，过点P 分别作PM ⊥BC 于点M ，PN ⊥CD 于点N ，∴∠PME=∠PND=90°，∵四边形ABCD 是正方形，点P 在AC 上，∴∠BCD=90°，PM=PN ，PB=PD ，∴四边形PMCN 是正方形，∴∠MPN=90°，∵PB=PE ，∴PE=PD ，∴Rt △PME ≌Rt △PND ，∴∠DPN=∠EPM，∴∠DPN+∠NPE=∠NPE+∠EPM=∠MPN=90°，∴PD⊥PE，∴PE与PE关系是：PD=PE且PD⊥PE；（2）①如图2，过点P分别作PM⊥BC于点M，PN⊥CD于点N，和（1）同法可证得PD=PE，PD⊥PE仍然成立；②如图2，连接DE，由①可得PE=PD，PE⊥PD，∴DE2=PD2+PE2=2PE2，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCD=∠DCE=90°，∴在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，∴BC2+CE2=DE2=2PE2，又∵PE=PB，∴BC2+CE2=2PB2.（3）如图3，∵四边形ABCD是菱形，且∠BAD=120°，∴∠ACB=∠ACD=60°，∴∠DCE=180°-60°-60°=60°，∵点P在对称性AC上，∴由菱形是关于对角线对称的轴对称图形可得：PD=PB，∠PDC=∠PBC，∵PB=PE，∴PD=PE，∠PBC=∠PEC，∴∠PEC=∠PDC，又∵∠PHD=∠CHE，∴∠DPE=∠DCE=60°，∴△PED是等边三角形，∴DE=PE，∴DE=PB.点睛：解第2题第②小问的要点是连接DE，这样即可构造出以DE为斜边的等腰Rt△DPE 和Rt△DCE，结合PD=PE=PB及BC=CD即可使问题得到解决；25．(1)见解析;(2)见解析.【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；（2）先根据BD为AC边上的中线，AD=DC，再证明△ABD≌△CED（AAS）得AB=EC，已知∠ABC=90°即可得四边形ABCE是矩形．【详解】（1）解：如图所示：E点即为所求；（2）证明：∵CE ⊥BC ，∴∠BCE=90°， ∵∠ABC=90°， ∴∠BCE+∠ABC=180°， ∴AB ∥CE ，∴∠ABE=∠CEB ，∠BAC=∠ECA ， ∵BD 为AC 边上的中线，∴AD=DC ，在△ABD 和△CED 中，∴△ABD ≌△CED （AAS ），∴AB=EC ，∴四边形ABCE 是平行四边形，∵∠ABC=90°， ∴平行四边形ABCE 是矩形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质与矩形的性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质与矩形的性质.26．() 1 AOD 为等边三角形，理由见解析；()2AC 4=．【解析】【分析】（1）利用矩形的性质得∠ADC=90°，AO=OD=OC=OB ，则∠DAC=90°-∠ACD=60°，于是可判断△AOD 为等边三角形；（2）根据等边三角形的性质得AO=AD=2，然后根据矩形的性质得AC=BD=2AO=4．【详解】()1∵四边形ABCD 为矩形，∴ADC 90∠=，AO OD OC OB ===，∵ACD 30∠=，∴DAC 903060∠=-=，而OA OD =，∴AOD 为等边三角形；()2∵AOD 为等边三角形，∴AO AD 2==，∴AC BD 2AO 4===．【点睛】考查矩形的性质，等边三角形的判定，主要用到的知识点是：矩形的对角线相等且互相平分. 27．∠D′=45°；【解析】【分析】根据正方形的性质得到AB=BC ，∠BDC=45°，然后根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】在正方形ABCD 中，∵AB=BC ，∠BDC=45°， ∵A′B=AB ，∴A′B=BC ，在△BDC 与△BD′A′中，A B CB A BC CBA BD BD '⎧⎪∠'∠'⎨⎪'⎩＝＝＝，∴△BDC ≌△BD′A′，∴∠D′=∠BDC=45°． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 28．(1)证明见解析；（2）证明见解析；(3)值不变，理由见解析.【解析】试题分析：（1）由条件可知，当n=1（即M 点与D 点重合），m=2时，AB=2AD ，设AD=a ，则AB=2a ，由矩形的性质可以得出△ADE ≌△NDF ，就可以得出AE=NF ，DE=DF ，在Rt △AED 中，由勾股定理就可以表示出AE 的值，再求出BE 的值就可以得出结论.（2）延长PM 交EA 延长线于G ，由条件可以得出△PDM ≌△GAM ，△EMP ≌△EMG 由全等三角形的性质就可以得出结论.（3）如图1，连接BM 交EF 于点Q ，过点F 作FK ⊥AB 于点K ，交BM 于点O ，通过证明△ABM ∽△KFE ，就可以得出EK KF AM AB =，即BE BK BC AM AB-=，由AB=2AD=2BC ，BK=CF 就可以得出BE CF AM -的值是12为定值． （1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD ，AD=BC ，∠A=∠B=∠C=∠D=90°． ∵AB=mAD ，且n=2，∴AB=2AD ．∵∠ADE+∠EDF=90°，∠EDF+∠NDF=90°，∴∠ADE=∠NDF ．在△ADE 和△NDF 中，∠A ＝∠N ，AD ＝ND ，∠ADE ＝∠NDF ，∴△ADE ≌△NDF （ASA ）.∴AE=NF ，DE=DF ．∵FN=FC ，∴AE=FC ．∵AB=CD ，∴AB-AE="CD-CF." ∴BE="DF." ∴BE=DE ．Rt △AED 中，由勾股定理，得222AE DE AD =-，即2222AE AD AE AD （）=--，∴AE=34AD. ∴BE=2AD-34AD=54. ∴554334AD BE AE AD ==. （2）如图3，延长PM 交EA 延长线于G ，∴∠GAM=90°．∵M 为AD 的中点，∴AM=DM ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD ，AD=BC ，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB ∥CD. ∴∠GAM=∠PDM ．在△GAM 和△PDM 中，∠GAM ＝∠PDM ，AM ＝DM ，∠AMG ＝∠DMP ，∴△GAM ≌△PDM （ASA ）.∴MG=MP.在△EMP和△EMG中，PM＝GM，∠PME＝∠GME，ME＝ME，∴△EMP≌△EMG（SAS）.∴EG=EP.∴AG+AE=EP.∴PD+AE=EP，即EP=AE+DP.（3）12BE CFAM-=，值不变，理由如下：如图1，连接BM交EF于点Q，过点F作FK⊥AB于点K，交BM于点O，∵EM=EB，∠MEF=∠BEF，∴EF⊥MB，即∠FQO=90°.∵四边形FKBC是矩形，∴KF=BC，FC=KB.∵∠FKB=90°，∴∠KBO+∠KOB=90°.∵∠QOF+∠QFO=90°，∠QOF=∠KOB，∴∠KBO=∠OFQ.∵∠A=∠EKF=90°，∴△ABM∽△KFE.∴EK KFAM AB=即BE BK BCAM AB-=.∵AB=2AD=2BC，BK=CF，∴12 BE CFAM-=.∴BE CFAM-的值不变．考点：1.折叠问题；2.矩形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.相似三角形的判定和性质．29．（1）B（4，﹣3）（2）（2，0）或（0，﹣32）（3）∠ANM=2∠D【解析】【分析】（1）利用非负数的性质即可解决问题；（2）分两种情形分别讨论求解即可；（3）结论：∠ANM=2∠D．作ME∥AD交AB于E．延长BA到F．利用平行线的性质，角平分线的定义即可解决问题；【详解】（1）由题意：4﹣a=0，2b+6=0，∴a=4，b=﹣3，∴B（4，﹣3）．（2）①当点P在OC上时，由题意：S△BCP：S四边形OABC=1：4，∴12•CP•3=14×3×4，∴PC=2．∴OP=4﹣2=2，∴P（2，0）．②当点P中OA上时，S△ABP=14S四边形OABC，∴12•PA•4=14×3×4∴PA=32，∴OP=3﹣32=32，∴P（0，﹣32），综上所述，满足条件的点P坐标为（2，0）或（0，﹣32）．（3）结论：∠ANM=2∠D．理由：作ME∥AD交AB于E．延长BA到F．∵ME∥AD，∴∠1=∠D，∠2=∠3，∵AD平分∠MAN，∴∠MAN=2∠3，∵OC∥AB，∴∠ABM=∠CMB，∵∠AMB=∠CMB，∴∠AMC=2∠AMB，∵OC∥AB，∴∠FAM=∠AMC=2∠AMB，∴∠ANM=2∠AMB﹣2∠3=2∠AMB﹣2∠2=2（∠AMB﹣∠2）=2∠1=2∠D．【点睛】考查矩形的性质、非负数的性质，平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题.。
北师大版2020九年级数学上册第一章特殊的平行四边形单元综合优生测试题2(附答案详解)
北师大版2020九年级数学上册第一章特殊的平行四边形单元综合优生测试题2（附答案详解）1．如图，正方形ABCD中，点E在CD边上，将△ADE沿AE对折得到△AFE，延长EF交BC边于点G，连结AG.给出结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG＝45°；③∠AGB+∠AED＝135°．其中正确的结论有（）A．只有①B．①②C．②③D．①②③2．如图，依次连接一个边长为1的正方形各边的中点，得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点，得到第三个正方形，按此方法继续下去，则第四个正方形的面积是（）A．18B．116C．132D．1643．如图，把矩形ABCD沿对角线BD折叠，重叠部分为△EBD，则下列说法可能错误的是()A．AB＝CD B．∠BAE＝∠DCEC．EB＝ED D．∠ABE=30°4．如图，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（）A．60 B．80 C．100 D．905．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于A．40°B．37°C．36°D．32°6．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形7．下列四个命题中不正确的是( )A．对角互补的平行四边形是矩形B．有两边相等的平行四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．一组邻边相等的矩形是正方形8．如图，将两张长为5，宽为1的矩形纸条交叉，让两个矩形对角线交点重合，且使重叠部分成为一个菱形．当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，把一个矩形绕两个矩形重合的对角线交点旋转一定角度，在旋转过程中，得出所有重叠部分为菱形的四边形中，周长的最大值是( )A．8 B．10 C．10.4 D．129．在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC上一点，且与B、C不重合，若AE是整数，则AE等于（）10．下列说法不正确的是（）A．矩形的四个内角都是直角B．矩形的对角线相等且互相平分C．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形D．矩形的对角线互相垂直11．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，交点为O，在不添加任何辅助线的前提下，要使它变为矩形，还需要添加一个条件是______．12．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝5，BD ＝12，则菱形ABCD的面积为_____．13．将一张长与宽之比为2的矩形纸片ABCD进行如下操作：对折并沿折痕剪开，发现每一次所得到的两个矩形纸片长与宽之比都是2（每一次的折痕如下图中的虚线所示）．已知AB=1，则第3次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是；第2016次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是．14．如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点B的坐标为(10，6)，点P为BC边上的动点，当△POA为等腰三角形时，点P的坐标为_________．15．菱形的周长为40，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________________. 16．在直角坐标系中，直线与y轴交于点，按如图方式作正方形、、，、、在直线上，点、、在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为、、、，则的值为______用含n 的代数式表示，n 为正整数．17．工人师傅常常通过测量平行四边形零件的对角线是否相等来检验零件是否为矩形，请问工人师傅此种检验方法依据的道理是__________．18．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 是AC 的中点．若DE=4, 则AB 长为_____．19．如图，将长方形ABCD 绕点A 顺时针旋转到长方形AB ′C ′D ′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1＝125°，则∠α的大小是_______度．20．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，//DE AC ，//CE BD ，若10BD ，则四边形DOCE 的周长为________.21．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ⊥CD ，AD=6cm ，BC=10cm ，点E 从A 出发以1cm/s 的速度向D 运动，点F 从点B 出发，以2cm/s 的速度向点C 运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t.（1）t 取何值时，四边形EFCD 为矩形？（2）M 是BC 上一点，且BM=4，t 取何值时，以A 、M 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？22．如图,在□ABCD 中,AC 与BD 相交于O 点,且AO=4,BO=3,AB=5.(1)求证: 四边形ABCD 是菱形; (2)求四边形ABCD 的面积.23．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC 的垂直平分线EF 交AC 于点D ，交AB 于点F ，且CE=BF.（1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）当∠BAC 的度数为多少时，四边形AECF 是正方形.24．已知：在ABCD 中，AD DC =，ADC 60∠=，对角线AC ，BD 相交于点O .点E 是线段BD 上一动点（不与B 、D 重合），连接AE ，以AE 为边在AE 的右侧作AEFG ，且AE EF =，60AEF ∠=.（1）如图①，若点F落在线段BD上，则线段EF与线段DF的数量关系是______；（2）如图②，若点F不在线段BD上，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.25．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，点M，N分别是对角线BD，AC 的中点．求证：直线MN是线段AC的垂直平分线．26．如图1，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，BM⊥直线AC于M，DN⊥直线AC于N．()1线段OM、ON有什么样的数量关系？直接写出结论；()2若直线AC绕点A旋转到图2的位置时，其它条件不变，线段OM、ON有什么样的数量关系？请给予证明；()3若直线AC绕点A继续旋转，通过前面问题的解决你会发现什么规律？在备用图中画出一个与图2不同位置的图形，并给予证明．27．如图，在矩形ABCD中，点E是边AD的中点，连接BE、CE，(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)当BC＝2AB，求∠BEC的大小．28．如图，在四边形ABCD 中，，E 为边BC 上一点，且EC =AD ，连接AC .（1）求证：四边形AECD 是矩形；（2）若AC 平分∠DAB ，AB =5，EC =2，求AE 的长，29．如图,已知平面直角坐标系中,1,0A 、()0,2C ,现将线段CA 绕A 点顺时针旋转90︒得到点B ,连接AB .(1)求出直线BC 的解析式；(2)若动点M 从点C 出发,沿线段CB 以每分钟10个单位的速度运动,过M 作//MN AB 交y 轴于N ,连接AN .设运动时间为t 分钟,当四边形ABMN 为平行四边形时,求t 的值.(3)P 为直线BC 上一点,在坐标平面内是否存在一点Q ,使得以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形,若存在,求出此时Q 的坐标；若不存在,请说明理由.30．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，延长CD 到点F ，使DF=CE ，连接AF.(1)求证:四边形ABEF是矩形；(2)连接OF，若AB=6，DE=2，∠ADF=45°，求OF的长度.参考答案1．D【解析】【分析】根据折叠的性质得到AB＝AD＝AF，AG＝AG，∠B＝∠AFG＝90°，根据全等三角形的判定定理得到Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故①正确；由折叠的性质得到△DAE≌△FAE，求得∠DAE＝∠FAE，根据全等三角形的性质得到∠BAG＝∠FAG，于是得到∠EAG＝∠EAF＋∠GAF＝12×90°＝45°，故②正确；根据五边形的内角和结合全等三角形的性质可得③正确．【详解】解：∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，∴AB＝AD＝AF，AG＝AG，∠B＝∠AFG＝90°，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故①正确；∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，∴△DAE≌△FAE，∴∠DAE＝∠FAE，∵△ABG≌△AFG，∴∠BAG＝∠FAG，∵∠BAD＝90°，∴∠EAG＝∠EAF＋∠GAF＝12×90°＝45°，故②正确；在五边形ABGED中，∠BGE＋∠GED＝540°−90°−90°−90°＝270°，∵△DAE≌△FAE，△ABG≌△AFG，∴∠AED＝∠AEF，∠AGF＝∠AGB，∴2∠AGB＋2∠AED＝270°，∴∠AGB＋∠AED＝135°，故③正确，故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，综合性较强，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法． 2．A 【解析】 【分析】由题可以发现，后面新得到的正方形是刚得到的正方形的面积的一半，因而得到第n 个正方形的面积表达式112n -即可解答． 【详解】解：可以发现，后面新得到的正方形是刚得到的正方形的面积的一半，所以第n 个正方形的面积可表示为112n - ，第4个为312＝18． 故选A. 【点睛】本题是一道找规律的题目，得到第n 个正方形的表达式112n -是解题的关键． 3．D 【解析】 【分析】根据ABCD 为矩形，所以∠BAE=∠DCE ，AB=CD ，再由对顶角相等可得∠AEB=∠CED ，所以△AEB ≌△CED ，就可以得出BE=DE ，由此判断即可． 【详解】∵四边形ABCD 为矩形∴∠BAE=∠DCE ，AB=CD ，故A. B 选项正确； 在△AEB 和△CED 中，，∴△AEB ≌△CED(AAS)， ∴BE=DE ，故C 正确； ∵得不出∠ABE=∠EBD ，∴∠ABE 不一定等于30°，故D 错误. 故选：D. 【点睛】此题考查翻折变换（折叠问题），解题关键在于利用全等三角形的性质进行解答.4．D【解析】【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF ＝D′F，设D′F＝x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，于是得到AF＝AB﹣BF，即可得到结果．【详解】易证△AFD′≌△CFB，∴D′F＝BF，设D′F＝x，则AF＝824﹣x，在Rt△AFD′中，（24﹣x）2＝x2+122，解之得：x＝9，∴AF＝AB﹣FB＝24﹣9＝15，∴S△AFC＝12•AF•BC＝90．故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设D′F＝x，根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键．5．B【解析】【分析】如图，连接AO、BO．由题意EA=EB=EO，推出∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，由DO=DA，FO=FB，推出∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，推出∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，由∠CDO+∠CFO=106°，推出2∠DAO+2∠FBO=106°，推出∠DAO+∠FBO=53°，由此即可解决问题．【详解】如图，连接AO、BO．由题意EA=EB=EO，∴∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，∵DO=DA，FO=FB，∴∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，∴∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，∵∠CDO+∠CFO=106°，∴2∠DAO+2∠FBO=106°，∴∠DAO+∠FBO=53°，∴∠CAB+∠CBA=∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO=143°，∴∠C=180°-（∠CAB+∠CBA）=180°-143°=37°，故选B．【点睛】考查三角形内角和定理、直角三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会把条件转化的思想.6．D【解析】【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．【详解】A. 根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，故本选项不符合题意；B. 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；C. 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；D. 根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故本选项符合题意；故选：D.【点睛】此题考查平行四边形的性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，解题关键在于掌握判定定理.7．B【解析】【分析】分别根据矩形、菱形、正方形的判定方法逐一进行判断即可．【详解】A、由平行四边形可知对角相等，再由对角互补可得有一个角为直角，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故A选项正确，不符合题意；B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B选项错误，符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意；D、一组邻边相等的矩形是正方形，故D选项正确，不符合题意，故选B．【点睛】本题考查了矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握相关的判定方法是解题的关键.8．C【解析】【分析】作出图形，确定当两矩形纸条有一条对角线互相重合时，菱形的周长最大，设菱形的边长为x，表示出AB，然后利用勾股定理列式进行计算求出x，再根据菱形的四条边都相等解答．【详解】如图，菱形的周长最大，设菱形的边长AC=x，则AB=5-x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即x2=（5-x）2+12，解得x=2.6，所以，菱形的最大周长=2.6×4=10.4．故选C．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，确定出菱形的周长最大时的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．9．B【解析】【分析】由勾股定理可求AC的长，即可得AE的范围，则可求解．【详解】解：连接AC，∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4∴22=5AB BC∴E是BC上一点，且与B、C不重合∴3＜AE＜5，且AE为整数∴AE=4故选B．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练运用矩形的性质是本题的关键．10．D【解析】【分析】根据矩形的性质得出A、B、C正确，D不正确；即可得出结果．【详解】解：∵矩形的四个角都是直角，∴A正确；∵矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，∴C正确；∵矩形的对角线互相平分且相等，∴D不正确、B正确；故选：D．【点睛】本题考查矩形的性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．11．AC=BD【解析】【分析】由四边形ABCD的对角线互相平分，可得出四边形ABCD为平行四边形，对比平行四边形与矩形的性质可找出结论．【详解】∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD为平行四边形．若要▱ABCD为矩形，只需AC=BD即可．故答案为：AC=BD．【点睛】本题考查矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定方法.12．96【解析】【分析】根据菱形的性质和已知条件可得OE是Rt△DOC斜边上的中线，由此可求出DC的长，再根据勾股定理可求出OC的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．【详解】∵菱形ABCD对角线AC与BD交于点O，∴DO ⊥CO ，DO ＝BO ＝12BD ＝6， ∵E 是DC 边上的中点，∴OE ＝12DC ， ∴DC ＝10，∴OC＝8，∴AC ＝2OC ＝16， ∴则菱形的面积＝12×16×12＝96， 故答案为96．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质、菱形的面积的计算等知识点．易错易混点：学生在求菱形面积时，易把对角线乘积当成菱形的面积，或是错误判断对角线的长而误选．13．第3第2016次操作后所得到标准纸的周长为：10072. 【解析】【分析】 分别求出每一次对折后的周长，从而得出变化规律求出即可：观察变化规律，得第n 次对开后所得标准纸的周长=))2n 12n 2n 2-⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩为奇数为偶数. 【详解】对开次数：第一次，周长为：2⎛⎝第二次，周长为：122⎛ ⎝第三次，周长为：122⎛ ⎝第四次，周长为：12=42⎛ ⎝，第五次，周长为：12=44⎛⎝，第六次，周长为：12=84⎛ ⎝， …∴第3第2016次操作后所得到标准纸的周长为：10072. 【点睛】本题结合规律和矩形的性质进行考察，题目新颖，解题的关键是分别求出每一次对折后的周长，从而得出变化规律.14．(2，6)、(5，6)、(8，6)【解析】【分析】当PA=PO 时，根据P 在OA 的垂直平分线上，得到P 的坐标；当OP=OA=10时，由勾股定理求出CP 即可；当AP=AO=10时，同理求出BP 、CP ，即可得出P 的坐标．【详解】当PA=PO 时，P 在OA 的垂直平分线上，P 的坐标是（5，6）；当OP=OA=10时，由勾股定理得：，P 的坐标是（8，6）；当AP=AO=10时，同理BP=8，CP=10-8=2，P 的坐标是（2，6）．故答案为（2，6），（5，6），（8，6）．【点睛】本题主要考查对矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与图形的性质等知识点的理解和掌握，能求出所有符合条件的P的坐标是解此题的关键．15．96【解析】【分析】根据已知可分别求得两条对角线的长，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可得到其面积．【详解】设两条对角线长分别为3x，4x，根据勾股定理可得（32x）2＋（42x）2＝102，解之得，x＝4，则两条对角线长分别为12、16，∴菱形的面积＝12×16÷2＝96．故答案为96．【点睛】此题主要考查菱形的面积公式：两条对角线的积的一半，综合利用了菱形的性质和勾股定理16．【解析】【分析】结合正方形的性质结合直线的解析式可得出：，，，，结合三角形的面积公式即可得出：，，，，根据面积的变化可找出变化规律“为正整数”，依此规律即可得出结论．【详解】解：令一次函数中，则，点的坐标为，．四边形为正整数均为正方形，，，，．令一次函数中，则，即，，．轴，．，，，．，，，，为正整数．故答案为：．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、三角形的面积公式的知识，解题关键在于找到规律，此题属规律性题目，比较复杂．17．对角线相等的平行四边形是矩形．【解析】【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为对角线相等的平行四边形是矩形．【点睛】本题考查对矩形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用矩形的判定解决实际问题是解题的关键．18．8【解析】【分析】根据垂线的性质可知△ADC是直角三角形，再Rt△ADC中，利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得AC=8；由AB=AC即可得AB=8．【详解】∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∴△ADC是直角三角形；∵E是AC的中点．∴DE=AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）；又∵DE=4，AB=AC，∴AB=8；故答案为：8．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质．熟知直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半是解决问题的关键．19．35.【解析】【分析】利用四边形内角和得到∠BAD’，从而得到∠α【详解】如图，由矩形性质得到∠BAD’+∠α=90°；因为∠2=∠1=125°，所以∠BAD’=180°-∠2=55°，所以∠α=90°-55°=35°，故填35【点睛】本题主要考查矩形性质和四边形内角和性质等知识点，本题关键在于找到∠2与∠BAD互补20．20【解析】【分析】首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．【详解】解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，∴OC=OD=12BD=5，∴四边形CODE是菱形，∴四边形CODE的周长为：4OC=4×5=20．故答案为：20．【点睛】本题考查菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解题关键．21．（1）t＝4s；（2）t＝4s或s.【解析】【分析】（1）当DE＝CF时，四边形EFCD为矩形，列出方程即可解决问题；（2）分两种情形列出方程即可解决问题；【详解】解：（1）当DE＝CF时，四边形EFCD为矩形，则有6−t＝10−2t，解得t＝4，答：t＝4s时，四边形EFCD为矩形；（2）①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝4−2t，解得t＝，②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝2t−4，解得t＝4，综上所述，t＝4s或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．22．（1）见解析；（2）24.【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理可得∠AOB=90°，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得结论；（2）首先根据菱形的性质可得AC=8，BD=6，然后再根据菱形的面积公式求面积即可. 【详解】解：（1）∵AO=4，BO=3，AB=5，∴AB2=AO2+BO2，∴∠AOB=90°，即AC⊥BD，∴□ABCD是菱形；（2）∵AO=4，BO=3，∴AC=2AO=8，BD=2BO=6，∴菱形ABCD的面积为：16824 2⨯⨯=.【点睛】本题考查了菱形的判定和性质以及勾股定理逆定理，熟练掌握相关性质定理是解题关键. 23．(1)证明见详解；（2）∠BAC=45o.【解析】【分析】(1) 根据中垂线的性质:中垂线上的点到线段两个端点的距离相等, 有BE=EC, BF=FC, 根据四边相等的四边形是菱形即可判断;(2)由菱形的性质知,对角线平分一组对角,即当∠BAC=45o时,∠EAF=90o,则菱形AECF为正方形.【详解】证明: (1)AC的垂直平分线EF交AC于点D∴CD=AD,∠ADF=90o，EC=AE,CF=AF,又∠ACB=90°，∴EF∥BC,∴△ADF∽△ACB,∴AF:AB=AD:AC,CD=AD,D为AC的中点，∴AF:AB=AD:AC=1：2，∴F为AB中点,∴BF=AF,在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∴CF=AF,又CE=BF, CF=AF, EC=AE,CF=AF∴CE= CF= AF= AE∴四边形BECF是菱形.（2）当∠BAC=45o时,四边形AECF是正方形.证明:∠BAC=45o,四边形AECF是菱形,∴∠EAC=∠BAC=45o,∴∠EAF =∠EAC+∠BAC =90o,∴菱形AECF是正方形.【点睛】本题主要考查垂直平分线、菱形与正方形的性质及三角形相似的判定与性质，综合性大，需综合运用所学知识求解.24．（1）AE=BE；（2）成立，理由见解析【解析】【分析】（1）先根据题意判断AEFG是菱形，再利用菱形的性质得出∠ABO=∠ADO=30°，AC⊥BD，即可求出∠FAD=30°即可得出结论；（2）先判断出△ACD和△AEF是等边三角形，进而得出∠CAE=∠DAF，即可判断出△ACE≌△ADF，即可得出结论.【详解】(1)如图,连接AF，∵AEFG，且AE EF，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,∠ABO=12∠ABC=30°，∴∠OAE=∠OAF=30°，∴∠DAF=30°=∠ADO，∴AF=FD，∵AF=EF，∴EF=FD；∵∠AEF=60°，∴∠BAE=30°=∠ABO，∴AE=BE.(2)成立，如图，连接CE，AF，∵四边形ABCD是菱形，四边形AEFG是菱形，∴AD=CD,AE=EF,BD垂直平分AC,∠ABC=∠ADC=60°，∴∠ADC=∠AEF=60°，∴△ACD和△AEF是等边三角形，∴AC=AD,AE=AF=EF,∠CAD=∠EAF=60°，∴∠CAE=∠DAF，在△ACE和△ADF中,AC ADCAE DAF AE AF=∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，△ACE≌△ADF（SAS），∴EC=DF，∵BD垂直平分AC，∴EC=AE，∴DF=AE=EF【点睛】本题考查四边形综合，解题的关键是掌握棱形的判定和性质、全等三角形的判定（SAS）和性质.25．证明见解析.【解析】【分析】连接AM，CM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AM=12BD，CM=12BD，那么AM=CM，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明MN⊥AC．【详解】如图，连接AM，CM，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，点M是BD的中点，∴AM＝12BD，CM＝12BD，∴AM＝CM，又∵点N是AC的中点，∴直线MN是线段AC的垂直平分线. 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．26．（1）OM ON =；（2）OM ON =；（3）AC 绕A 旋转到任意位置均有OM ON =.【解析】【分析】(1)根据平行四边形性质得出OD=OB,证△DON 和△BOM 全等即可推出答案;(2)ON 交BM 于E,证△DNO 和△BOE 全等,推出OE=ON,根据直角三角形斜边上的中线性质求出结论;(3)根据平行四边形性质推出OD=OB,根据平行线分线段成比例定理求出NE=MN,根据线段垂直平分线定理求出结论.【详解】解：（1）根据平行四边形性质可轻易证得△DON ≌△BOM ，所以OM=ON ．()2OM ON =，理由是：ON 交BM 于E ，∵BM AC ⊥，DN AC ⊥，∴BM //DN ，∴DNO BEO ∠∠=，NDB MBD ∠∠=∵平行四边形ABCD ，∴OD OB =，在DNO 和BEO 中DNO BEO ∠∠=，NDB MBD ∠∠=，OD OB =，∴DNO BEO ≅，∴ON OE =，∵BMN 90∠=，∴OM ON =（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．()3规律：AC 绕A 旋转到任意位置均有OM ON =，如图所示：AC 旋转到AC'，延长MO 交DN 于点F,在平行四边形ABCD 中，OD OB =，∵DN AC'⊥，BM AC'⊥，∴DN //BM ，∴∠ODF=∠OBM,又∵∠DOF=∠BOM,OD=OB,∴△DOF ≌△BOM,∴OF=OM,在Rt △MNF 中,点O 为MF 中点,∴ON OM =．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理,全等三角形的性质和判定,平行四边形性质,旋转的性质,线段垂直平分线性质等知识点的应用,主要是通过证明△DOF ≌△BOM 得ON OM =,熟悉图形的性质和全等三角形的判定是解题关键.27．(1)见解析；(2)∠BEC ＝90°.【解析】【分析】（1）根据SAS 即可证明；（2）只要证明△ABE ，△DEC 都是等腰直角三角形即可解决问题；【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝DC ，∠A ＝∠D ＝90°.∵点E 是边AD 的中点，∴AE ＝DE ，∴△ABE ≌DCE(SAS)．(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD＝BC，∠A＝90°.∵BC＝2AB，∴AD＝2AB．∵AD＝2AE，∴AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE＝45°.同理可得∠DEC＝45°，∴∠BEC＝180°－∠AEB－∠DEC＝180°－45°－45°＝90°.【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法.28．（1）证明见详解；（2）4【解析】【分析】（1）首先判定该四边形为平行四边形，然后得到∠D=90°，从而判定矩形；（2）求得BE的长，在直角三角形ABE中利用勾股定理求得AE的长即可．【详解】解：（1）证明：∵AD∥BC，EC=AD，∴四边形AECD是平行四边形．又∵∠D=90°，∴四边形AECD是矩形．（2）∵AC平分∠DAB．∴∠BAC=∠DAC．∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB．∴∠BAC=∠ACB．∴BA=BC=5．∵EC=2，∴BE=3．∴在Rt△ABE中，AE=．【点睛】本题考查了矩形的判定及勾股定理的知识，解题的关键是利用矩形的判定定理判定四边形是矩形，难度不大．29．（1）123y x=-+；（2）t=23s时，四边形ABMN是平行四边形；（3）存在，点Q坐标为：618,55⎛⎫⎪⎝⎭或(3,1)-或(3,1)-或155,88⎛⎫-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）如图1中，作BH⊥x轴于H．证明△COA≌△AHB（AAS），可得BH=OA=1，AH=OC=2，求出点B坐标，再利用待定系数法即可解决问题．（2）利用平行四边形的性质求出点N的坐标，再求出AN，BM，CM即可解决问题．（3）如图3中，当OB为菱形的边时，可得菱形OBQP，菱形OBP1Q1．菱形OBP3Q3，当OB为菱形的对角线时，可得菱形OP2BQ2，点Q2在线段OB的垂直平分线上，分别求解即可解决问题．【详解】（1）如图1中，作BH⊥x轴于H．∵A（1，0）、C（0，2），∴OA=1，OC=2，∵∠COA=∠CAB=∠AHB=90°，∴∠ACO+∠OAC=90°，∠CAO+∠BAH=90°，∴∠ACO=∠BAH，∵AC=AB，∴△COA≌△AHB（AAS），∴BH=OA=1，AH=OC=2，∴OH=3，∴B（3，1），设直线BC的解析式为y=kx+b，则有231bk b=⎧⎨+=⎩，解得：132kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴123y x=-+；（2）如图2中，∵四边形ABMN是平行四边形，∴AN∥BM，∴直线AN的解析式为：1133y x=-+，∴10,3N⎛⎫⎪⎝⎭，∴103BM AN==，∵B（3，1），C（0，2），∴10，∴210CM BC BM=-=∴2102103t==，∴t=23s时，四边形ABMN是平行四边形；（3）如图3中，如图3中，当OB为菱形的边时，可得菱形OBQP，菱形OBP1Q1．菱形OBP3Q3，连接OQ交BC于E，∵OE⊥BC，∴直线OE的解析式为y=3x，由3123y xy x=⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：3595xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴E（35，95），∵OE=OQ，∴Q（65，185），∵OQ1∥BC，∴直线OQ1的解析式为y=-13 x，∵OQ110，设Q1（m，-1m3），∴m2+19m2=10，∴m=±3，可得Q1（3，-1），Q3（-3，1），当OB为菱形的对角线时，可得菱形OP2BQ2，点Q2在线段OB的垂直平分线上，易知线段OB的垂直平分线的解析式为y=-3x+5，由3513y xy x=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得：15858xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴Q2（158，58-）．综上所述，满足条件的点Q坐标为：618,55⎛⎫⎪⎝⎭或(3,1)-或(3,1)-或155,88⎛⎫-⎪⎝⎭.【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．30．(1)见解析；(2) OF =.【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD 是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据直角三角形斜边中线可得：OF=AC，利用勾股定理计算AC的长，可得结论．【详解】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，AB∥CD.∵DF=CE，∴DF+DE=CE+ED，即:FE=CD.∵点F、E在直线CD上∴AB=FE，AB∥FE.∴四边形ABEF是平行四边形又∵BE⊥CD，垂足是E，∴∠BEF=90°.∴四边形ABEF是矩形.(2)解:∵四边形ABEF是矩形O，∴∠AFC=90°，AB=FE.∵AB=6，DE=2，∴FD=4.∵FD=CE，∴CE=4.∴FC=10.在Rt△AFD中，∠AFD=90°.∵∠ADF=45°，∴AF=FD=4.在Rt△AFC中，∠AFC=90°.∴.∵点O是平行四边形ABCD对角线的交点，∴O为AC中点在Rt△AFC中，∠AFC=90°.O为AC中点.∴OF=AC=.【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．。
北师大版2020九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元综合基础过关测试题2(附答案详解)
北师大版2020九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元综合基础过关测试题2（附答案详解）1．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若沿折痕EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（）A．158B．154C．152D．152．如图，把矩形纸片ABCD沿EF翻折，点A恰好落在BC边的A′处，若AB=3，∠EFA=60°，则四边形A′B′EF的周长是（）A．1+33B．3+3C．4+3D．5+33．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为(3，2)，OB 与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG 的周长为( )A．8 B．7C．6 D．54．在平面直角坐标系中，称横．纵坐标均为整数的点为整点，如下图所示的正方形内（包括边界）整点的个数是（）A．13 B．21 C．17 D．255．菱形一个内角是120°，一边长是8，那么它较短的对角线长是（ ）A ．3B ．4C ．8D ．83 6．如图，在正方形ABCD 中，△ABE 和△CDF 为直角三角形，∠AEB ＝∠CFD ＝90°，AE ＝CF ＝5，BE ＝DF ＝12，则EF 的长是( )A ．72B ．8C ．7D ．737．如图，在菱形ABCD 中，∠BCD=110°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连接DF ，则∠CDF 等于（ ）A ．15°B ．25°C ．45°D ．55°8．如图，在正方形ABCD 中，AB=4，P 是线段AD 上的动点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE+PF 的值为（ ）A ．22B ．4C ．42D ．29．矩形ABCD 中，4AB =，8BC =，矩形CEFG 上的点G 在CD 边，EF a =，2CE a =，连接BD 、BF 、DF ，则BDF 的面积是（ ）A ．32B ．16C ．8D ．16+2a10.如图，矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，M 是CD 的中点，点P 在矩形的边上沿A B C M →→→运动，则APM △的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）A．B．C．D．11．如图，长方形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C’处，BC’交AD于点E，则线段DE的长为____.12．如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH 的长为_____．13．如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．若AB=8，AC=6，则四边形AEDF的周长为．14．如图，已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，连接BD与AM，AN分别交于E，F 点，则下列结论正确的有_____．①MN=BM+DN②△CMN的周长等于正方形ABCD的边长的两倍；③EF2=BE2+DF2；④点A到MN的距离等于正方形的边长⑤△AEN、△AFM都为等腰直角三角形．⑥S△AMN=2S△AEF⑦S正方形ABCD：S△AMN=2AB：MN⑧设AB=a，MN=b，则ba≥22﹣2．15．在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=22.5°，E在AB上，且∠DCE=67.5°，DE⊥AB于E，若AE=1，线段BE的长为____________．16．如图，在矩形ABCD中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH．若AB=8，AD=6，则四边形EFGH的周长等于__________．17．顺次连接任意四边形的中点所得的四边形一定是________；图形在平移、旋转变换过程中，图形的________和________不变．18．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是边AD的中点，N是AB上一动点（不与A、B重合），将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A1MN，连接A1C，画出点N从A到B的过程中A1的运动轨迹，A1C的最小值为_____．19．如图，M 、N 是正方形ABCD 的边CD 上的两个动点，满足AM BN =，连接AC 交BN 于点E ，连接DE 交AM 于点F ，连接CF ，若正方形的边长为6，则线段CF 的最小值是______．20．把一张长方形纸片按图中那样折叠后，若得到∠BGD ′=40°，则∠C ′FE =__________°．21．如图，已知AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，E 为AB 的中点，（1）如图1，求证：△ECD 是等腰三角形；（2）如图2，CD 与AB 交点为F ，若AD=BD ，EF=3，DE=4，求CD 的长．22．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，30ACB ∠=，3BC =，分别过点B ，C 作//BE AC ，//CE BD ，且BE ，CE 相交于点E ．()1求AB ，AC 的长；()2判断四边形BOCE 的形状．23．如图，点E 是菱形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AE 为边作一个菱形AEFG ，且菱形AEFG ∽菱形ABCD ，连接EB ，GD ．()1求证：EB GD =；()2若60DAB ∠=，2AB =，3AG =，求GD 的长．24．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是BC 边上的中线，ED ⊥BC 于D ，交BA 延长线于点E ，若∠E=35°，求∠BDA 的度数．25．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 的直线EF 分别与边AD 、BC 相交于点E 和F ，ABC ∠与BAD ∠的度数比为1:2，菱形ABCD 的周长为32cm ．()1求菱形ABCD 的两条对角线的长度；()2求四边形ABFE 的面积．26．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的中线，过点D 作DE⊥BC 于E ，过点C 作AB 的平行线与DE 的延长线交于点F ，连接BF ，AF ．(1)求证：四边形BDCF 为菱形：(2)若四边形BDCF 的面积为24，CE ：AC=2：3，求AF 的长．27．已知：在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，点E 是直角边AC 上一点，连接DE 、BE ．（1）若DE ⊥AB 且BC =3，AC =4，如图1，求△CDE 的面积；（2）∠AED =∠BEC ，如图2，求证：F 是CD 的中点．28．如图，等腰三角形ABC 中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，在线段AD 上任取一点P （点A 除外），过点P 作//EF AB ，分别交AC ，BC 于点E 和点F ，作//PQ AC ，交AB 于点Q ，连接QE ．（1）求证：四边形AEPQ 为菱形；（2）当点P 在何处时，菱形AEPQ 的面积为四边形EFBQ 面积的一半？29．阅读下面材料，再回答问题：有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如：圆的直径所在的直线是圆的“二分线”，正方形的对角线所在的直线是正方形的“二分线”．解决下列问题：（1）菱形的“二分线”可以是____________________________________．（2）三角形的“二分线”可以是__________________________________．（3）在下图中，试用两种不同的方法分别画出等腰梯形ABCD的“二分线”.30．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，AC∥BE，CE∥BD．(1)求∠DBC的度数；(2)求证：四边形OBEC是矩形．参考答案 1．B【解析】试题解析：连接AF ． 根据折叠的性质，得EF 垂直平分AC ，则AF CF ．= 设AF x ，= 则4BF x ．=- 在Rt ABF 中，根据勾股定理，得()2294x x =+-，解得258x =． 在Rt ABC △中，根据勾股定理，得AC =5，则AO =2.5． 在Rt AOF 中，根据勾股定理，得158OF =， 根据全等三角形的性质，可以证明OE OF ，= 则154EF =． 故选B ．2．D【解析】试题分析：如图，过点E 作EG ⊥AD ，∴∠AGE ＝∠FGE ＝90°∵矩形纸片ABCD ，∴∠A ＝∠B ＝∠AGE ＝90°，∴四边形ABEG 是矩形，∴BE ＝AG ，EG ＝AB 3，在Rt△EFG中，∠EFG＝60°，EG，∴FG＝1，EF＝2，由折叠有，A'F＝AF，A'B'＝AB BE＝B'E，∠A'FE＝∠AFE＝60°，∵BC∥AD，∴∠A'EF＝∠AFE＝60°，∴△A'EF是等边三角形，∴A'F＝EF＝2，∴AF＝A'F＝2，∴BE＝AG＝AF－FG＝2－1＝1∴B'E＝1∴四边形A′B′EF的周长是A'B'＋B'E＋EF＋A'F1＋2＋2＝5故答案为53．D【解析】【分析】根据题意,由B点坐标知OA=BC=3,AB=OC=2;根据三角形中位线定理可求四边形DEFG的各边长度,从而求周长.【详解】解:∵四边形OABC是矩形,OA=BC,AB=OC;BA⊥OA,BC⊥OC.∵B点坐标为（3.2）,∴OA=3,AB=2.∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点,∴DE=GF=1.5;EF=DG=1.∴四边形DEFG的周长为2（1.5+1）=5.故答案为5.【点睛】此题主要考查矩形的性质和三角形中位线定理,理清坐标系内点的坐标与对应相等的长度之间的关系很关键.难度不大.4．D【解析】如下图所示，符合条件的点整点有25个.故选D.5．C【解析】解：∵较长的对角线所对的角为120°，∴较短的对角线所对的角为60°，较短的对角线与菱形的一组邻边构成的是等边三角形，那么较短的对角线长为8．故选C．6．A【解析】【分析】由正方形的性质得出∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD，由SSS证明△ABE≌△CDF，得出∠ABE=∠CDF，证出∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH，由AAS证明△ABE≌△ADG，得出AE=DG，BE=AG，同理：AE=DG=CF=BH=5，BE=AG=DF=CH=12，得出EG=GF=FH=EF=7，证出四边形EGFH是正方形，即可得出结果．【详解】如图所示：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD ，∴∠BAE+∠DAG=90°，在△ABE 和△CDF 中，{?AB CDAE CFBE DF ===， ∴△ABE≌△CDF（SSS ），∴∠ABE=∠CDF，∵∠AEB=∠CFD=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∴∠ABE=∠DAG=∠CDF，同理：∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH，∴∠DAG+∠ADG=∠CDF+∠ADG=90°，即∠DGA=90°，同理：∠CHB=90°，在△ABE 和△ADG 中，{90ABE DAGAEB DGA AB DA∠=∠∠=∠=︒= ，∴△ABE≌△ADG（AAS ），∴AE=DG，BE=AG ，同理：AE=DG=CF=BH=5，BE=AG=DF=CH=12，∴EG=GF=FH=EF=12-5=7，∵∠GEH=180°-90°=90°，∴四边形EGFH 是正方形，；故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．7．A【解析】【分析】如图，连接BF，根据菱形的性质可得∠CAB=∠CAD=55°，∠ADC=∠ABC=70°，再根据线段垂直平分线的性质可得FB=FA，从而可得∠FBA=∠FAB=55°，根据轴对称性继而可得∠ADF=∠ABF=55°，再根据∠CDF=∠CDA﹣∠ADF即可求得答案.【详解】如图，连接BF，∵四边形是菱形，∴∠BCD=∠BAD=110°，∴∠CAB=∠CAD=55°，∠ADC=∠ABC=70°，∵EF垂直平分线段AB，∴FB=FA，∴∠FBA=∠FAB=55°，∴B、D关于直线AC对称，∴∠ADF=∠ABF=55°，∴∠CDF=∠CDA﹣∠ADF=70°﹣55°=15°，故选A．【点睛】本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关性质是解题的关键.8．A【解析】【分析】试题分析：根据正方形的对角线互相垂直可得：OA ⊥OD ，对角线平分一组对角可得∠OAD=45°，然后求出四边形OEPF 为矩形，△APE 是等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等可得PF=OE ，根据等腰直角三角形的性质可得PE=AE ，从而得出PE+PF=OA ，然后根据正方形的性质得出OA 的长度，故选A ．9．B【解析】【分析】根据两个矩形面积之和加上三角形DGF 面积，减去△ABD 面积与△BEF 面积，求出△BDF 面积即可．【详解】根据题意得：△BDF 的面积2221118422(4)84(28)322416416222a a a a a a a a a a a ，=⨯+⋅+⨯--⨯⨯-+=++----=故选B.【点睛】考查矩形的性质，掌握矩形以及三角形的面积公式是解题的关键.10．A【解析】试题分析：当点P 在AB 上运动时(0x 1<<)，△APM 的面积从0增加到1；当点P 在BC 上运动时(1x 3<<)，△APM 的面积从1减小到0.5；当点P 在CM 上运动时(3x 3.5<<)，△APM 的面积从0.5减小到0，故本题选A ．点睛：本题主要考查的是动点问题与一次函数的图像结合题，难度中等．在解决有关动点问题的时候，我们一定要注意进行分类讨论，即点在哪一条线段上，根据点在哪一条线段上时，求出每条线段与未知数之间的关系，然后利用面积的求法得出函数解析式，必须要注意自变量的取值范围．11．3.75【解析】首先根据题意得到BE=DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题．【详解】设ED=x，则AE=6﹣x．∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB=∠DBC．由题意得：∠EBD=∠DBC，∴∠EDB=∠EBD，∴EB=ED=x．由勾股定理得：BE2=AB2+AE2，即x2=9+（6﹣x）2，解得：x=3.75，∴ED=3.75．故答案为3.75．【点睛】本题考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．12．【解析】【分析】【详解】解：如图，延长BG交CH于点E，∵AG=CH=8，BG=DH=6，AB=CD=10，∴AG2+BG2=AB2，CH2+DH2=DC2，△ABG≌△CDH，∴∠AGB=∠CHD=90°，∠1=∠5，∠2=∠6，∴∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°，又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，∴∠1=∠3，∠2=∠4，又∵AB=BC，∴△ABG≌△BCE，∴BE=AG=8，CE=BG=6，∴GE=BE-BG=8-6=2，HE=CH-CE=8-6=2，BE2+CE2=CD2，∴∠BEC=90°，∴==故答案为：2213．14【解析】 试题解析：∵AD 是高，90ADB ADC ∴∠=∠=， ∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点，11,22ED EB AB DF FC AC ∴====， ∵AB =8，AC =6，∴AE +ED =8，AF +DF =6，∴四边形AEDF 的周长为8+6=14，故答案为：14.14．①②③④⑤⑥⑦．【解析】【分析】将△ABM 绕点A 逆时针旋转，使AB 与AD 重合，得到△ADH ．证明△MAN ≌△HAN ，得到MN=NH ，根据三角形周长公式计算判断①；判断出BM=DN 时，MN 最小，即可判断出⑧；根据全等三角形的性质判断②④；将△ADF 绕点A 顺时针性质90°得到△ABH ，连接HE ．证明△EAH ≌△EAF ，得到∠HBE=90°，根据勾股定理计算判断③；根据等腰直角三角形的判定定理判断⑤；根据等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式计算，判断⑥，根据点A 到MN 的距离等于正方形ABCD 的边长、三角形的面积公式计算，判断⑦．【详解】将△ABM 绕点A 逆时针旋转，使AB 与AD 重合，得到△ADH ．则∠DAH=∠BAM ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD=90°，∵∠MAN=45°，∴∠BAN+∠DAN=45°，∴∠NAH=45°，在△MAN 和△HAN 中，AM AH MAN HAN AN AN ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△MAN ≌△HAN ，∴MN=NH=BM+DN ，①正确；∵BM+DN≥（当且仅当BM=DN 时，取等号）∴BM=DN 时，MN 最小，∴BM=12b ， ∵DH=BM=12b ， ∴DH=DN ，∵AD ⊥HN ，∴∠DAH=12∠HAN=22.5°， 在DA 上取一点G ，使DG=DH=12b ， ∴∠DGH=45°，DH=2b ， ∵∠DGH=45°，∠DAH=22.5°，∴∠AHG=∠HAD ，∴b ， ∴AB=AD=AG+DG=2b+12b=12b=a ，∴2b a ==，∴222b a≥-， 当点M 和点B 重合时，点N 和点C 重合，此时，MN 最大=AB ，即：1b a=， ∴222-≤b a ≤1，⑧错误； ∵MN=NH=BM+DN∴△CMN 的周长=CM+CN+MN=CM+BM+CN+DN=CB+CD ，∴△CMN 的周长等于正方形ABCD 的边长的两倍，②结论正确；∵△MAN ≌△HAN ，∴点A 到MN 的距离等于正方形ABCD 的边长AD ，④结论正确；如图2，将△ADF 绕点A 顺时针性质90°得到△ABH ，连接HE ．∵∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，∠DAF=∠BAE ，∴∠EAH=∠EAF=45°，∵EA=EA ，AH=AD ，∴△EAH ≌△EAF ，∴EF=HE ，∵∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD ，∴∠HBE=90°，在Rt △BHE 中，HE 2=BH 2+BE 2，∵BH=DF ，EF=HE ，∵EF 2=BE 2+DF 2，③结论正确；∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADC=90°，∠BDC=∠ADB=45°，∵∠MAN=45°，∴∠EAN=∠EDN，∴A、E、N、D四点共圆，∴∠ADN+∠AEN=180°，∴∠AEN=90°∴△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形；⑤结论正确；∵△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形，∴AF，AE，如图3，过点M作MP⊥AN于P，在Rt△APM中，∠MAN=45°，∴MP=AMsin45°，∵S△AMN=12AN•MP=12AM•AN•sin45°，S△AEF=12AE•AF•sin45°，∴S△AMN：S△AEF=2，∴S△AMN=2S△AEF，⑥正确；∵点A到MN的距离等于正方形ABCD的边长，∴S正方形ABCD ：S△AMN=212ABMN AB=2AB：MN，⑦结论正确．即：正确的有①②③④⑤⑥⑦，故答案为①②③④⑤⑥⑦．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解本题的关键是构造全等三角形．15．2.【解析】分析：由∠CAB=∠CAD=22.5°可得∠DAE=45°，DE⊥AB，所以DE=AE=1．根据勾股定理可求得AD=6，由∠CAB=∠CAD=22.5°，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，可证得BC=CF ，然后证得△CBG ≌△CFD ，再证得△CGE ≌△CED ，求得∠3=∠4=45°，从而求得CE=AE=1，在△CBE 中根据勾股定理求得BE 的长．详解：∵∠CAB=∠CAD=22.5°， ∴∠DAE=45°， 又∵∠AED=90°， ∴DE=AE=1，∴AD=22=2DE AE +．延长AD ，过点C 作CF 垂直AD 于F ，由∠CAB=∠CAD 可知AC 为∠BAD 的角平分线，∴CB=CF ，把三角形CDF 绕点C 旋转到CF 与CB 重合，则DF 与GB 重合，如图：．∴CG=CD ，∠GCB=∠DCF ；∵CB ⊥AB ，CF ⊥AD ，∠CAB=∠CAD=22.5°； ∴∠ACB=∠ACF=67.5°=∠DCE ∴∠DCA=∠2=∠3，∠DCA+∠DCF=∠2+∠GCB=∠DCE=67.5°， 在△DCE 与△GCE 中CG CD GCE DCE CE CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△DCE ≌△GCE （SAS ），∴∠3=∠4=45°， ∵∠CAB=∠CAD=22.5°，∠4=∠CAB+∠ACE ， ∴∠ACE=∠CAB=22.5°， ∴CE=AE=1，在Rt △CBE 中，BE 2+BC 2=CE 2，即BE=21222CE =． 故答案为：22. 点睛：本题综合考查用旋转法证明全等三角形、同时考查了正方形和四边形的有关知识．注意对三角形全等和解直角三角形的综合应用．16．20.【解析】分析：连接AC,BD,根据勾股定理求出BD,根据三角形中位线定理，菱形的判定定理得到四边形EHGF 为菱形，根据菱形的性质计算．解答:连接AC,BD 在Rt △ABD 中，BD=2210,AB AD += ∵四边形ABCD 是矩形，∴AC=BD=10, ∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点，∴EH ∥BD,EF=12BD=5,同理，FG ∥BD, FG=12BD=5,GH ∥AC,GH=12AC=5, ∴四边形EHGF 为菱形，∴四边形EFGH 的周长=5×4=20，故答案为20.点睛：本题考查了中点四边形，掌握三角形的中位线定理、菱形的判定定理是解答本题的关键.17．平行四边形, 大小, 形状.【解析】【分析】作出图形，通过证明来解答；根据平移、旋转的性质，可得平移、旋转前后，两个图形完全相等.【详解】如图，连接AC ，∵E、F. G、H分别是四边形ABCD边的中点，∴HG∥AC,HG=12AC,EF∥AC,EF=12AC；∴EF=HG且EF∥HG；∴四边形EFGH是平行四边形；根据平移、旋转的性质可得，图形在平移、旋转变换过程中，图形的大小和形状不变.故答案为平行四边形；大小；形状.【点睛】本题主要考查了几何变换的类型，三角形中位线定理，平行四边形的判定，熟悉掌握是关键. 18．71-【解析】试题解析：如图，连接CM，过点M向CD的延长线作垂线，垂足为点H，由折叠可得，若点N与点B重合，则点A1与点D重合，故点N从A到B的过程中，A1的运动轨迹为以M为圆心，MA为半径的半圆，由翻折的性质可得：A1M=AM，∵M是AD边的中点，四边形ABCD为菱形，边长为2，∴AM=A1M=1，∵∠A=60°，四边形ABCD为菱形，∴∠HDM=60°，∵在Rt△MHD中，DH=DM•cos∠HDM=12，MH=DM•sin∠HDM=32，∴CH=CD+DH=2+12=52，∴在Rt△CHM中，227CH HM+∵A1C+A1M≥CM，∴A1C≥CM﹣A17﹣1，即当点A1在线段CM上时，A1C7﹣1．7﹣1．19．353-【解析】【分析】先判断出Rt ADM ≌()Rt BCN HL ，得出DAM CBN ∠∠=，进而判断出DCE ≌()BCE SAS ，得出CDE CBE ∠∠=，即可判断出AFD 90∠=，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得1OF AD 32==，利用勾股定理列式求出OC ，然后根据三角形的三边关系可知当O 、F 、C 三点共线时，CF 的长度最小．【详解】如图，在正方形ABCD 中，AD BC CD ==，ADC BCD ∠∠=，DCE BCE ∠∠=， 在Rt ADM 和Rt BCN 中，{AD BCAM BN ==， Rt ADM ∴≌()Rt BCN HL ，DAM CBN ∠∠∴=，在DCE 和BCE 中，BC CD DCE BCE CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DCE ∴≌()BCE SAS ，CDE CBE ∠∠∴=，DAM CDE ∠∠∴=，ADF CDE ADC 90∠∠∠+==，DAM ADF 90∠∠∴+=，AFD 1809090∠∴=-=，取AD 的中点O ，连接OF 、OC ， 则1OF DO AD 32===， 在Rt ODC中，OC ==根据三角形的三边关系，OF CF OC +>，∴当O 、F 、C 三点共线时，CF 的长度最小，最小值OC OF 3=-=，故答案为3．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系等，综合性较强，有一定的难度，确定出CF 最小时点F 的位置是解题关键．20．110【解析】因为∠BGD′=∠EGF,∠BGD′=40°，所以∠EGF=40°,因为AD ∥BC,所以∠DEF+∠CFE=180°,∠AEG=∠EGF=40°,所以∠DEG=180°-40°=140°,由折叠可知,∠DEF=∠GEF,∠CFE=∠C′FE,所以∠DEF=12×140°=70°,所以∠CFE=110°,所以∠C′FE=110°,故答案为110.21．（1）详见解析；（2）32 5.【解析】【分析】(1) 求出∠ACB=90°，∠ADB=90°，根据直角三角形定点和底边中点的连线等于底边的一半即可求解.(2)求出DE⊥AB，再根据相关关系求出△ECD是等腰三角形，可得CD的长.【详解】（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，又∵E为AB的中点，∴CE=AB，DE=AB∴CE=DE，即△ECD是等腰三角形；（2）∵AD=BD，E为AB的中点，∴DE⊥AB，已知DE=4，EF=3，∴DF=5，过点E作EH⊥CD，∵∠FED=90°，EH⊥DF，∴EH==，∴DH==，∵△ECD是等腰三角形，∴CD=2DH=．【点睛】本题考查三角形垂直，线段转化等相关知识，学会合理转化是关键.22．()1 AB =AC =()2四边形BOCE 是菱形，理由见解析【解析】【分析】（1）由矩形的性质可△ABC 为直角三角形，由条件结合勾股定理可求得AB 、AC 的长； （2）由条件可先判定四边形BOCE 为平行四边形，再结合矩形的性质可判定其为菱形．【详解】()1∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC ∠=，且30ACB ∠=，∴2AC AB =，设AB x =，则2AC x =，在Rt ABCD 中，由勾股定理可得2223(2)x x +=，解得x =或x =，∴AB =AC = ()2四边形BOCE 是菱形，理由如下：∵//BE AC ，//CE BD ，∴四边形BOCE 是平行四边形，∵四边形ABCD 是矩形，∴AO CO =，BO DO =，AC BD =，∴BO CO =，∴四边形BOCE 是菱形．【点睛】考查矩形的性质以及菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键.23．（1）见解析；（2）GD =【解析】【分析】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；（2）连接BD 交AC 于点P ，则BP ⊥AC ，根据∠DAB ＝60°得到BP ＝12AB ＝1，然后求得EP ＝23，最后利用勾股定理求得EB 的长即可求得线段GD 的长即可．【详解】()1∵菱形AEFG ∽菱形ABCD ，∴EAG BAD ∠∠=，∴EAG GAB BAD GAB ∠∠∠∠+=+，∴EAB GAD ∠∠=，∵AE AG =，AB AD =，∴AEB AGD ≅，∴EB GD =；()2解：连接BD 交AC 于点P ，则BP AC ⊥，∵DAB 60∠=，∴PAB 30∠=，∴1BP AB 12==， 22AP AB BP 3-AE AG 3==∴EP 23=，∴22EB EP BP 12113=+=+=∴GD 13=【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．24．70°．【解析】【分析】在直角△EBD 中，利用直角三角形两锐角互余求得∠B 的度数，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得AD=BD ，从而得∠BAD=∠B=55°，再根据三角形内角和定理即可求得.【详解】∵ED ⊥BC ，∴∠BDE=90°， 又∵∠E=35°， ∴∠B=90°-∠E=55°， ∵在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是BC 边上的中线， ∴AD=BD ，∴∠BAD=∠B=55°， ∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=70°． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是解题的关键.25．（1）8AC cm =，BD =；（2）四边形ABFE 的面积为2．【解析】【分析】（1）利用菱形的性质得出其边长，再利用菱形对角线平分每组对角，进而由锐角三角函数关系得出对角线的长；（2）利用中心对称图形的性质得出EF 平分菱形ABCD 的面积，进而得出答案．【详解】解：()1∵在菱形ABCD 中，ABC ∠与BAD ∠的度数比为1:2，∴60ABC ∠=，120BAD ∠=，∵菱形ABCD 的对角线AC BD ⊥，∴90AOB ∠=，则30ABO ∠=，60BAO ∠=，∵菱形ABCD 的周长为32cm ，∴8AB BC CD AD cm ====， ∴142AO AB cm ==，BO =，故8AC cm =，BD =；()2∵过点O 的直线EF 分别与边AD 、相交于点E 和F ，∴EF 平分菱形ABCD 的面积，∴四边形ABFE 的面积为：)21118222ABCD S cm =⨯⨯⨯=菱形 【点睛】考查了菱形的性质以及菱形的面积公式，关键是掌握菱形的四条边都相等，菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.26．(1) 见解析；【解析】（1）求出四边形ADFC 是平行四边形，推出CF =AD =BD ，根据平行四边形的判定得出四边形BDCF 是平行四边形，再证CD =BD 即可；（2）设CE =2x ，AC =3x ，求出BC =4x ，DF =AC =3x ，根据菱形的面积公式求出x ，再根据勾股定理求出AF 即可．解：(1)证明：DE ⊥BC ,∠ACB =90°， ∴∠BED =∠ACB ，∴DF ∥AC ，∵CF ∥AB ，∴四边形ADFC 是平行四边形，∴AD =CF ，∵D 为AB 的中点，∴AD =BD ，∴BD =CF ，∵BD ∥CF ，∴四边形BDCF 是平行四边形，∵∠ACB =90°，D 为AB 的中点， ∴DC =BD ，∴四边形BDCF 是菱形；(2)∵CE：AC=2：3，∴设CE=2x，AC=3x，∵四边形BDCF是菱形，∴BE=CE=2x，∴BC=4x，∵四边形ADFC是平行四边形，∴DF=AC=3x，∵四边形BDCF的面积为24，∴12×BC×DF=24，∴12⋅4x⋅3x=24，解得：x=±2(负数舍去)，∴CE=4，DF=6，∴AC=6，EF=12DF=3作FG⊥AC交AC的延长线于点G，可得矩形ECGF,∴FG=CE=4，AG=AC+CG=6+3=9,在Rt△AFG中，由勾股定理得，AF22229497AG FG+=+.27．21 32【解析】【试题分析】【试题解析】在直角三角形ABC 中，由勾股定理得：5AB === ,因为CD 是斜边AB 上的中线， 1 2.52CD AB AD BD ∴==== . DE ⊥AB ，则90,,ADE ACB A A ADE ACB ∠=︒=∠∠=∠∴∆~∆5 2.525,48AE AD AB AD AE AB AC AC ⋅⨯∴=∴=== , 78CE AC AE ∴=-= 过点D 作DM AC ⊥,如图，则DM BC ,从而M 为AC 的中点，所以，DM 是ABC ∆ 的中位线，1322DM BC ∴== . 117321228232CDE S CE DM ∆∴=⋅=⨯⨯= ,即△CDE 的面积为2132. (2) CD 是AB 上的中线，1,,2CD AB AD BD A ACD A ECD ∴===∴∠=∠∠=∠即 ,,AED BEC AEB CED ABE CDE ∠=∠∴∠=∠∴∆~∆ ,22AE AB AE CE CE CD∴===，即 在CEF ∆ 和AED ∆ 中，,,ECF A CEF AED CEF ED ∴∠=∠∠=∠∴∆~∆ ，1111,2222CF CE CF AD CF AD CD AD AE ∴===∴==，即 F CD ∴是 的折中点. 28．（1）证明见解析（2）P 为EF 中点时，12EFBQ AEPQ S S =四边形菱形 【解析】【分析】(1) 先证出四边形AEPQ 为平行四边形, 关键是找一组邻边相等, 由AD 平分∠BAC 和PE//AQ 可证∠EAP=∠EPA, 得出AE=EP, 即可得出结论;(2)AEPQ S 菱形=EP h,EFBQ S =EF h,若菱形AEPQ 的面积为四边形EFBQ 面积的一半,则EP=12EF,因此P 为EF 中点时, AEPQ S 菱形=12EFBQ S .【详解】（1）证明：∵//EF AB ，//PQ AC ，∴四边形AEPQ 为平行四边形．∵AB AC =，AD 平分CAB ∠，∴CAD BAD ∠=∠，∵BAD EPA ∠=∠，∴CAD EPA ∠=∠，∴EA EP =，∴四边形AEPQ 为菱形．（2）解：P 为EF 中点时，12EFBQ AEPQ S S =四边形菱形 ∵四边形AEPQ 为菱形，∴AD EQ ⊥，∵AD BC ⊥，∴//EQ BC ，又∵//EF AB ，∴四边形EFBQ 为平行四边形．作EN AB ⊥于N ，如图所示：则1122EFBQ AEPQ S EP EN EF EN S =⋅=⋅=四边形菱形． 【点睛】本题主要考查菱形的判定与性质. 29．菱形的一条对角线所在的直线 三角形一边中线所在的直线【解析】解：（1）菱形的一条对角线所在的直线．（或菱形的一组对边的中点所在的直线或菱形对角线交点的任意一条直线）．（2）三角形一边中线所在的直线．（3）方法一：取上、下底的中点，过两点作直线得梯形的二分线（如图1）方法二：过A、D作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足E、F，连接AF、DE相交于O，过点O任意作直线即为梯形的二分线（如图2）（1）利用菱形的轴对称性（2）三角形的中线把原三角形的面积分相等的两部分（等底同高）（3）方法一：利用等腰梯形是轴对称图形，二分线就是它的对称轴方法二：二分线一定过等腰梯形的对称中心30．（1）30°（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，得到对边平行，且BD为角平分线，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出∠BDC度数；（2）由四边形ABCD是菱形，得到对角线互相垂直，利用两组对边平行的四边形是平行四边形，再利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证．【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠DBC=12∠ABC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠ABC：∠BAD=1：2，∴∠ABC=60°，∴∠BDC=12∠ABC=30°;（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠BOC=90°，∵BE∥AC，CE∥BD，∴BE∥OC，CE∥OB，∴四边形OBEC是平行四边形，则四边形OBEC是矩形．【点睛】此题考查了矩形的判定，菱形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．。
2020九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形检测卷 (新版)北师大版
第一章特殊平行四边形一、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.四边形的对角线、相交于点，，，为使四边形为正方形，还需要满足下列条件中：①；②；③；④中的哪两个________（填代号）．2.木工师傅做了一张桌面，要求为长方形，现量得桌面的长为，宽为，对角线为，这个桌面________（填“合格”或“不合格”）．3.如图，矩形中，，，点从开始沿折线以的速度运动，点从开始沿边以的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，当________时，四边形也为矩形．4.如图，菱形的对角线的长分别为和，是对角线上任一点（点不与点、重合），且交于，交于于，则阴影部分的面积为________．5.如图，正方形边长为，动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为时，点所在位置为________；当点所在位置为点时，点的运动路程为________（用含自然数的式子表示）．6.如图，矩形中，，，点从开始沿折线以的速度运动，点从开始沿边以的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，当________时，四边形也为矩形．7.如图将两张长为，宽为的矩形纸条交叉，重叠部分是一个特殊四边形，则这个特殊四边形周长的最小值为________．8.如图，已知正方形的周长为，为边上任一点，于，于，则________．10.现有一张边长等于的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点处，沿角画线，将正方形纸片分成部分，则阴影部分是________（填写图形的形状）（如图），它的一边长是________．二、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.一个菱形的周长为，高为，这个菱形两邻角度数之比为（）A. B. C. D.12.下列说法中，不正确的是（）A.有三个角是直角的四边形是矩形B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形13.四边形的两条对角线互相垂直，且相等，则这个四边形是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.不能确定14.对角线相等且互相平分的四边形是（）A.一般四边形B.平行四边形C.矩形D.菱形15.如图，四边形的四边相等，且面积为，对角线，则四边形的周长为（）A. B. C. D.16.如图，用块相同的长方形地砖拼成一个矩形，已知地砖的宽为，则每块长方形地砖的面积是（）A. B. C. D.17.菱形的周长等于高的倍，则此菱形的较大内角是（）A. B. C. D.③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有（）A.个B.个C.个D.个19.下列说法正确的有（）①两条对角线相等的四边形是矩形；②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③一个角为直角，两条对角线相等的四边形是矩形；④四个角都相等的四边形是矩形；⑤对角线相等且垂直的四边形是矩形；⑥有一个角是直角的平行四边形是矩形．A.个B.个C.个D.个20.小明和小亮在做一道习题，若四边形是平行四边形，请补充条件，使得四边形是菱形．小明补充的条件是；小亮补充的条件是，你认为下列说法正确的是（）A.小明、小亮都正确B.小明正确，小亮错误C.小明错误，小亮正确D.小明、小亮都错误三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.如图，四边形为平行四边形，，分别交，于点，，交，的延长线于，，且，求证：；四边形是菱形．22.如图，在矩形中，两条对角线、相交于，，．判断的形状；求对角线的长．23.已知四边形是矩形，对角线和相交于点，若在矩形的上方加一个，且使，，试说明四边形是菱形．24.如图，在中，，为的中点，且，．证明：四边形是菱形；若，，求菱形的高．（计算结果保留根号）25.如图，是矩形的对角线的交点，、、、分别是、、、上的点，且．求证：四边形是矩形；若、、、分别是、、、的中点，且，，求矩形的面积．26.如图，在长方形中，，线段上有动点，过作直线交边于点，并使得．当与重合时，求的长；在直线上是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．答案1.①②或①④2.不合格3.4.5.点6.7.8.9.10.正方形11.C12.B13.D14.C15.A16.B17.D18.A19.C20.B21.证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴；∵，∴，又∵四边形为平行四边形，∴四边形是菱形．22.解：∵四边形为矩形，∴，，∵，∴，而，∴为等边三角形；∵为等边三角形，∴，∴．23.证明：∵，是矩形的对角线，∴，，∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形．24.证明：∵，，∴四边形是平行四边形，又∵，是的中点，∴，∴平行四边形是菱形；解：过点作，垂足为点，如图所示：即为菱形的高，∵，，∴是等边三角形，∴，，∵，∴，又∵，∴在中，．25.证明：∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴四边形是矩形；解：∵是的中点，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵是中点，，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，，∴，∴矩形的面积．26.解：与重合时，，∴；①时，如图，易得，在和中，，∴，∴，，∵，∴，解得，∴；②时，如图，过点作于，易得，在和中，，∴，∴，，∴；③时，如图，过点作于，易得，在和中，，∴，∴，综上所述，或或时，是等腰直角三角形．。
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22．如图，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 A 落在平面上的 F 点处，DF 交 BC 于点 E. (1)求证：△DCE≌△BFE； (2)若 CD=2，∠ADB=30°，求 BE 的长．
12．如图，四边形 ABC D 是菱形，O 是两条对角线的交点，过 O 点的三条 直线将菱形分成阴影部分和空白 部分．当菱形的两条对角线的长分别为 6 和 8 时，则阴影部分的面积为________．
13．如图是根据四边形的不稳定性制作的边长为 15 cm 的可活动衣架，若墙上钉子间的距离 AB=BC=15 cm，则∠1=________.
24．如图，在△ABC 中，点 O 是边 AC 上一个动点，过 O 作直线 MN∥BC，设 MN 交∠ACB 的平分线于点 E， 交△ABC 的外角∠ACD 的平分线于点 F. (1)探究线段 OE 与 OF 的数量关系并说明理由． (2)当点 O 运动到何处，且△ABC 满足什么条件时，四边形 AECF 是正方形？请说明理由． (3)当点 O 在边 AC 上运动时，四边形 BCFE________是菱形(填“可能”或“不可能”)．请说明理由．
下列结论：①△APE≌△AME；②PM＋PN=BD；③PE2＋PF2=PO2.其中正确的有( ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 二、填空题 11．如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化， 两条对角线长度也在发生改变．当∠α的度数为________时，两条对角线长度相等．
2020 年北师大版九年级数学上册 特殊平行四边形 单元测试卷二
一、选择题 1．如图，已知菱形 ABCD 的边长为 3，∠ABC=60°，则对角线 AC 的长是( )
A．12 B．9 C．6 D．3 2．下列命题为真命题的是( ) A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．四边相等的四边形是正方形 3．若顺次连接四边形 ABCD 四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形 ABCD 一定是( ) A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形 4．如图，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别交 AB，CD 于点 E，F，那么阴影部分的面积是矩形 ABCD 面积的( )
1
1
1
A.
B.
C.
5
4
3
3 D.
10
5．已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中错误的有( )
①当 AB=BC 时，它是菱形；
②当 AC⊥BD 时，它是菱形；
③当∠AB C=90°时，它是矩形；
④当 AC=BD 时，它是正方形．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
6．如图，已知正方形 ABCD 的对角线长为 2 2，将正方形 ABCD 沿直线 EF 折叠，则图中阴影部分的周长为
A．28° B． 52° C．62° D．72° 9．如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=4，BC=8，将纸片沿 EF 折叠，使点 C 与点 A 重合，则下列结论错误的 是( )
A．AF=AE B．△ABE≌△AGF C．EF=2 5 D．AF=EF 10．如图，在正方形 ABCD 中，点 P 是 AB 上一动点(点 P 不与 A，B 重合)，对角线 AC，BD 相交于点 O，过 点 P 分别作 AC，BD 的垂线，分别交 AC，BD 于点 E，F，交 AD，BC 于点 M，N.
三、解答题 19．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AC 的垂直平分线交 AD，BC 于点 E，F.求证：四边形 AECF 是菱 形．
20．如图，O 为矩形 ABCD 对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD. (1)求证：四边形 OCED 是菱形； (2)若 AB=3，BC=4，求四边形 OCED 的面积．
14．已知 E 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上一点，AE=AD，过点 E 作 AC 的垂线，交边 CD 于点 F， 那么∠FAD=________. 15．如图，矩形 OBCD 的顶点 C 的坐标为(1，3)，则对角线 BD 的长等于________．
16．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1，连接 AC，BD，CE 平分∠ACD 交 BD 于点 E，则 DE=________.
23．如图，在菱形 ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，以点 A 为顶点的一个 60°的角∠EAF 绕点 A 旋转，∠ EAF 的两边分别交 BC，CD 于点 E，F，且 E，F 不与 B，C，D 重合，连接 EF. (1)求证：BE=CF. (2)在∠EAF 绕点 A 旋转的过程中，四边形 AECF 的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变 化，请说明理由．
17．如图，在矩形 ABCD 中，M，N 分别是 AD，BC 的中点，E，F 分别是线段 BM，CM 的中点．若 AB=8， AD=12，则四边形 ENFM 的周长为________．
18．如图，在边长为 1 的菱形 ABCD 中，∠DAB=60°.连接对角线 AC，以 AC 为边作第二个菱形 ACEF，使∠ FAC=60°.连接 AE，再以 AE 为边作第三个菱形 AEGH，使∠HAE=60°，…，按此规律所作的第 n 个菱形的 边长是________．
( )
A．8 2 B．4 2 C．8 D．6
7．如图，每个小正方形的边长为 1，A，B，C 是正方形的顶点，则∠ABC 的度数为( )
A．90° B．60° C．45° D．30° 8．如图，在菱形 ABCD 中，点 M，N 分别在 AB，CD 上，且 AM=CN，MN 与 AC 交于点 O，连接 OB.若∠DAC=28 °，则∠OBC 的度数为( )