安徽省高级中学人教版高中数学选修1-1教案：3.3.3函数的最大(小)值与导数
人教课标版高中数学选修1-1《函数的最大(小)值与导数》教案-新版
3.3.3 函数的最大（小）值与导数一、教学目标 1．核心素养通过学习函数的最大（小）值与导数，形成基本的逻辑推理和数学运算能力，能围绕讨论问题的主题，观点明确，论述有理有据，并依据运算法则解决数学问题． 2．学习目标（1）借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值的概念。
（2）弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉)(x f 必有最大值和最小值的充分条件。
（3）掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤。
3．学习重点利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 4．学习难点函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务1结合函数2)(x x f =在]2,1[-上的图像，想一想：函数2)(x x f =在]2,1[-上的极小值是多少？函数2)(x x f =在]2,1[-上的最大值、最小值分别是多少？ 任务2预习教材P96—P98，完成P98相应练习题，并找出疑惑之处.2．预习自测1．下列说法正确的是( )A ．函数的极大值就是函数的最大值B ．函数的极小值就是函数的最小值C ．函数的最值一定是极值D ．在闭区间上的连续函数一定存在最值 解：D 最值是极值与闭区间端点处的函数值比较之后得到的．2．函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值是M ，最小值是m ，若M=m ，则)(x f '( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0 D ．以上都有可能 解：A 由题意知函数在闭区间上所有函数值相等,故其导数为0． 3．函数x xe y -=在]4,2[∈x 上的最小值为 ．解：44e xx x x e x e xe e y -=-='1)(2，当]4,2[∈x 时，0<'y ，即函数xxe y -=在]4,2[∈x 上单调递减，故当4=x 时，函数有最小值为44e． 4．设b ax ax x f +-=236)(在区间]2,1[-上的最大值为3，最小值为29-，且0>a ，求a ，b 的值 ． 解：2=a)4(3123)(2-=-='x ax ax ax x f ，令0)(='x f ，得0=x 或4=x ，则函数)(x f 在]2,1[-上的单调性及极值情况如下表所示： ∴3)0(==b f ，又∵3736)1(+-=+--=-a a a f ，3163248)2(+-=+-=a a a f)1(-<f ，∴29316)2(-=+-=a f ，∴2=a ．（二）课堂设计 1．知识回顾⑴常见函数的导数公式及导数的四则运算法则.⑵求函数极值的方法和求解步骤. 2．问题探究问题探究一 函数最大（小）值与导数 ●活动一观察与思考：极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小，观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象，你能找出函数)(x f y =在闭区间],[b a 上的最大值、最小值吗？一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：⑴如果在某一区间上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，则称函数()y f x =在这个区间上连续．⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值； ⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，⑷函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件． ●活动二想一想：函数的极值与最值有怎样的关系？函数极值与最值的区别与联系：⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一．⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．（5）对于在闭区间上图像连续不断的函数，函数的最大（小）值必在极大（小）值点或区间端点处取得．问题探究二 函数的最大值与最小值的求解●活动一阅读教材P97的例5，根据例5及最值与极值的关系归纳出求函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上的最值的步骤．利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．●活动二 初步运用 求函数的最值例 1 已知函数4431)(3+-=x x x f ，⑴求曲线)(x f y =在点)4,0(处的切线方程；⑵若]3,3[-∈x ，求函数)(x f 的最大值与最小值．【知识点：导数的几何意义、函数的最值；数学思想：数形结合】详解：⑴4)(2-='x x f ，所以曲线)(x f y =在点)4,0(处的切线的斜率4)0(-='=f k ，故曲线)(x f y =在点)4,0(处的切线方程为44+-=x y ．⑵令0)(='x f 得2=x 或2-，列表如下：3)2()(=-=f x f 极大值，3)2()(-==f x f 极小值，又7)3(=-f ，1)3(=f ，∴)(x f 在]3,3[-的最大值是328，最小值是34-．点拨：⑴求函数最值时，若函数)(x f 的定义域是闭区间，则需比较极值点处函数值与端点函数值的大小才能确定函数的最值．⑵若)(x f 的定义域是开区间且只有一个极值点，则该极值点就是最值点． ⑶若)(x f 为单调函数，则端点就是最值点． ●活动三 对比提升 由函数的最值求参数例2 已知函数()ln f x ax x =-，当(]0,e x ∈（e 为自然常数）,函数()f x 的最小值为3，求实数a 的值．【知识点：根据函数最值求参数值；数学思想：分类讨论】详解：由()ln f x ax x =-得()1f x a x '=-,因为(]0,e x ∈，所以当1ea ≤时，()f x 在(]0,e x ∈是减函数，最小值为()e e 10f a =-≤，不满足题意；当1a e >时， ()f x 在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦是减函数，1,e a ⎛⎤⎥⎝⎦是增函数，所以最小值为211ln 3e f a a a ⎛⎫=+=⇒= ⎪⎝⎭，∴实数a 的值为2e .问题探究三 利用最值解不等式恒成立问题函数恒成立问题是高中数学里非常具有探讨价值的问题，下列是一些常见结论：（1）不等式0)(≥x f 在定义域内恒成立⇔0)(min ≥x f ； （2）不等式0)(≤x f 在定义域内恒成立⇔0)(max ≤x f ；（3）不等式)()(x g x f >，),(b a x ∈恒成立⇔0)()()(>-=x g x f x F ，),(b a x ∈恒成立． ●活动一 初步运用例 3 已知函数x x x f ln )(=．⑴ 求()f x 的最小值；⑵若对所有1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围．【知识点：求函数的最小值、不等式恒成立；数学思想：转化与化归】详解：⑴)(x f 的定义域为),0(+∞，x x f ln 1)(+='，令0)(>'x f ，解得ex 1>；令0)(<'x f ，解得e x 10<<，从而)(x f 在)1,0(e 上单调递减，在),1(+∞e 上单调递增，∴当e x 1=时，)(x f 取得最小值e1-．⑵依题意，得1)(-≥ax x f 在),1[+∞上恒成立，即不等式xx a 1ln +≤对于),1[+∞∈x 恒成立．令x x x g 1ln )(+=，则)11(111)(2xx x x x g -=-='，当1>x 时，0)(>'x g ，故)(x g 在),1(+∞上是增函数，∴1)1()(min ==g x g ，∴实数a 的取值范围是]1,(-∞． ●活动二 对比提升例4 已知函数()()()()21ln ,22f x a x x g x f x ax a R ⎛⎫=-+=-∈ ⎪⎝⎭．（1）当0a =时，求()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）若对()()1,,0x g x ∀∈+∞<恒成立，求a 的取值范围．【知识点：求函数最值、不等式恒成立；数学思想：转化与化归、分类讨论】详解：（1）函数21()()ln 2f x a x x =-+的定义域为(0,)+∞，当0=a 时，21()ln 2f x x x =-+，211(1)(1)()x x x f x x x x x -+-+-'=-+==；当11<<x e时，有()0f x '>；当e x <<1时，有()0f x '<，∴()f x 在区间[1e ，1]上是增函数，在[1，e]上为减函数，又211()12f e e=--，2()12e f e =-，1(1),2f =- ∴2min ()()12e f x f e ==-，max 1()(1)2f x f ==-.（2）21()()2()2ln 2g x f x ax a x ax x =-=--+，则()g x 的定义域为(0,)+∞.21(21)21(1)[(21)1]()(21)2a x ax x a x g x a x a x x x --+---'=--+==. ①若12a >，令()0g x '=，得极值点11x =，2121x a =-，当211x x >=，即112a <<时，在)1,0(上有0)(>'x g ，在),1(2x 上有0)(<'x g ，在),(2+∞x 上有0)(>'x g ，此时)(x g 在区间),(2+∞x 上是增函数，并且在该区间上有),),(()(2+∞∈x g x g 不合题意；当112=≤x x ，即1≥a 时，同理可知，)(x g 在区间),1(+∞上，有()((1),),g x g ∈+∞也不合题意；②若12a ≤，则有012≤-a ，此时在区间),1(+∞上恒有0)(<'x g ，从而)(x g 在区间),1(+∞上是减函数；要使()0g x <在此区间上恒成立，只须满足1(1)02g a =--≤12a ⇒≥-，由此求得a 的范围是11[,]22-.综合①②可知，当11[,]22a ∈-时，对x ∀∈(1,)+∞，()0g x <恒成立.点拨：恒成立问题总是要化为求函数的最值问题来解决，常用分类讨论（求最值）法或分离参数法.在不等式或方程中，参数只出现一次，或在几个项中出现的参数只是一次的形式，可以对不等式或方程进行变形，把参数分离到一边去，而另一边则是x 的表达式. 3．课堂总结 【知识梳理】 数学知识：⑴最值的存在性定理． ⑵最值的求解步骤．一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ①求)(x f 在(,)a b 内的极值；②将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值． ⑶恒成立问题． 常见结论：（1）不等式0)(≥x f 在定义域内恒成立⇔0)(min ≥x f ； （2）不等式0)(≤x f 在定义域内恒成立⇔0)(max ≤x f ；（3）不等式)()(x g x f >，),(b a x ∈恒成立⇔0)()()(>-=x g x f x F ，),(b a x ∈恒成立． 数学思想：分类讨论、化归与转化等思想． 【重难点突破】 求函数最值的注意点（1）我们讨论的函数是在闭区间[]b a ,上图像连续不断，在开区间),(b a 上可导的函数．在闭区间[]b a ,上图像连续不断，保证函数有最大值和最小值；在开区间),(b a 上可导，才能用导数求解．（2）求函数的最大值和最小值需要先确定函数的极大值和极小值．因此，函数的极大值和极小值的判定是关键．（3）如果仅仅是求最值，可以将上面的方法简化，因为函数)(x f 在),(b a 内的全部极值，只能在)(x f 的导数为零的点或导数不存在的点处取得（以下称这两种点为可疑点），所以只要将这些可疑点求出来，然后将函数)(x f 在可疑点处的函数值与区间端点处的函数值进行比较，就能得到函数的最大值和最小值．（4）当图像连续不断的函数)(x f 在),(b a 内只有一个可疑点时，若在这一点处函数)(x f 有极大（小）值，则可以判定函数)(x f 在该点处取到最大（小）值，这里),(b a 也可以是无穷区间． （5）当图像连续不断的函数)(x f 在[]b a ,上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得． 4．随堂检测1．函数)(x f y =在],[b a 上（ ）A ．极大值一定比极小值大B ．极大值一定是最大值C ．最大值一定是极大值D ．最大值一定大于极小值 【知识点：极值与最值的关系】 解：D2．函数x x x f cos 2)(-=在),(+∞-∞上（ ）A ．无最值B ．有极值C ．有最大值D ．有最小值【知识点：单调函数的最值】 解：A3．函数343)(x x x f -=在]1,0[上的最大值是（ ）A ．1B ．21C ．0D ．1- 【知识点：函数的最大值】解：A4．函数x x y -=sin 在区间]2,0[π上的最小值为（ ） A ．π- B ．21π-C ．0D ．π2- 【知识点：函数的最小值】 解：D5．设5221)(23+--=x x x x f ，当]2,1[-∈x 时，m x f <)(恒成立，则实数m 的取值范围为 ．【知识点：不等式恒成立问题】 解：),7(+∞ （三）课后作业 基础型 自主突破1．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(0,1)C ．(－1,1)D ．1(0,)2【知识点：函数最值与极值的关系；数学思想：转化与化归】解：B ∵f '(x )＝3x 2－3a ，令f '(x )＝0，可得a ＝x 2，又∵x ∈(0,1)，∴0<a <1，故选B ． 2．函数ln xy x=的最大值为( ) A ．1-e B ．e C ．e 2 D ．103【知识点：函数最大值】 解：A 令22(ln )'ln '1ln 'x x x x xy x x ⋅-⋅-==＝0(x ＞0)．解得x ＝e ．当x >e 时，y ′<0；当0＜x <e时，y ′>0．y 极大值＝f (e)＝1e ，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e．3．函数241xy x =+在定义域内( )A ．有最大值2，无最小值B ．无最大值，有最小值－2C ．有最大值2，最小值－2D ．无最值 【知识点：函数的最值；数学思想：数形结合】解：C 令2222224(1)4244'(1)(1)x x x x y x x +-⋅-+==++＝0，得x ＝±1．2． 4．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________． 【知识点：函数最值与零点关系；数学思想：转化与化归】 解：(－∞，2ln2－2]函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有实根，即函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，而g '(x )＝2－e x ，易知函数g (x )＝2x －e x 在(－∞，ln 2)上递增，在(ln2，＋∞)上递减，因而g (x )＝2x －e x 的值域为(－∞，2ln2－2]，所以要使函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，只需a ≤2ln 2－2即可．5．函数y ＝x ＋2cos x 在区间[0,]2π上的最大值是________．【知识点：函数最大值】解：6π+y ′＝1－2sin x ＝0，x ＝6π，比较0，6π，2π处的函数值，得y max ＝6π+6．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2,2]上有最小值－37，求a 的值及f (x )在[－2,2]上的最大值．【知识点：函数的最值；数学思想：数形结合】 解：a ＝3；f (x )的最大值为3．f '(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，令f '(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，当x 变化时，f '(x )，f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝－2时，f (x )min ＝－40＋a ＝－37，得a ＝3． ∴当x ＝0时，f (x )的最大值为3． 能力型 师生共研7. 若函数3()3f x x x =-在区间2(,6)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A．( B．[ C ．[2,1)- D．(2]- 【知识点：函数的最值；数学思想：数形结合】解：C 由于函数()f x 在开区间2(,6)a a -有最小值，则函数()f x 的极小值点在2(,6)a a -内，且在2(,6)a a -内的单调性是先减再增. 2'()333(1)(1)f x x x x =-=+-,当11x -<<时，'()0f x <，当1x >，'()0f x >，所以()f x 得最小值为(1)f . ∴只需{216()(1)a a f a f <<-≥，得到21a -≤<，故选C.8. 设01a <≤，函数2(),()ln a f x x g x x x x =+=-，若对任意的[]12,1,x x e ∈，都有12()()f xg x ≥成立，则实数a 的取值范围是 ．【知识点：不等式恒成立、函数的最值；数学思想：转化与化归】解：]1,2[-e 22222()1a x a f x x x-'=-=，当01a <≤，且[]1,x e ∈时，()0f x '≥，∴()f x 在[]1,e 上是增函数，21min ()(1)1f x f a ==+，又1()1(0)g x x x'=->，∴()g x 在[]1,e 上是增函数，2max ()()1g x g e e ==-．由条件知只需1min 2max ()()f x g x ≥．即211a e +≥-．∴22a e ≥-．即1a ≤≤．9. 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )，求f (x )在区间[－1,0]上的最大值． 【知识点：函数的最大值；数学思想：分类讨论】解：3max31,243(),02720,0.a a f x a a a ⎧---⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪⎪⎩≤，＜＜，≥解析：令f '(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝23a ，①当2323a ≥0，即a ≥0时，f (x )在[－1,0]上单调递增，从而f (x )max ＝f (0)＝0；②当23a ≤－1，即a ≤－32时，f (x )在[－1,0]上单调递减，从而f (x )max ＝f (－1)＝－1－a ； ③当－1<23a <0，即－32<a <0时，f (x )在2[1,]3a -上单调递增；在2[,0]3a 上单调递减，则f (x )max ＝324()327f a a =-．综上所述：3max31,243(),02720,0.a a f x a a a ⎧---⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪⎪⎩≤，＜＜，≥10. 设函数12)(22-++=t x t tx x f (x ∈R ，t ＞0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )＜－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围．【知识点：不等式恒成立、函数的最值；数学思想：转化与化归、数形结合】 解：(1) h (t ) ＝－3t ＋t －1；(2) (1，＋∞) ．解析：(1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－3t ＋t －1(x ∈R ，t ＞0)，∴当x ＝－t 时，f (x )取最小值f (－t )＝－t 3＋t －1，即h (t )＝－3t ＋t －1．(2)令g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )＝－3t ＋3t －1－m ，由g '(t )＝－3t 2＋3＝0得t ＝1，t ＝－1(不合题意，舍去)．当t 变化时g '(t )、g (t )的变化情况如下表：∴对t ∈(0,2)，当t ＝1时，g (t )max 恒成立，也就是g (t )<0，对t ∈(0,2)恒成立，只需g (t )max ＝1－m <0，∴m >1. 故实数m 的取值范围是(1，＋∞) ． 探究型 多维突破 11. 已知函数()()2ln 2=-∈a f x x x x a R . (Ⅰ)若不等式()0>f x 有解，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)研究函数的极值点个数情况.【知识点：不等式有解与函数的最值的关系、函数的极值；数学思想：转化与化归、分类讨论】 解：（Ⅰ）2<a e；(Ⅱ)()1,∈+∞a 时，有0个极值点；1a =时，有0个极值点；()0,1a ∈时，有两个极值点；(],0∈-∞a 时，有一个极值点解析：（Ⅰ）()0>f x 有解等价于2ln <x a x 有解，即max 2ln ⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x a x ，设()2ln =xg x x ，则()()22ln 1'-=x g x x ，当()0,∈x e 时，()'0>g x ；当(),∈+∞x e 时，()'0<g x ，所以当x e =时，()max 2=g x e ，即2<a e. (2)令()'0=f x 得到ln 10x ax +-=，得到ln 1x a x +=，()()2ln 1ln ,'+-==x xh x h x x x,当()0,1x ∈时，()'0>h x ；当()1,∈+∞x 时，()'0<h x ，又()()0,,,0→→-∞→+∞→x h x x h x ，所以()1,∈+∞a 时，ln 1+=x a x无解，有0个极值点； 1a =时，ln 1+=x a x有一解，但不是极值点；()0,1∈a 时，ln 1+=x a x 有二解，有两个极值点；(],0∈-∞a 时，ln 1+=x a x有一解，有一个极值点.12. 已知函数()ln 2x m f x e x -=-. （1）若1m =，求函数()f x 的极小值； （2）设2m ≤，证明：()ln 20f x +>.【知识点：函数的极值、不等式的证明、函数的最值；数学思想：转化与化归】 解：（1）()11ln 2f =-；（2）证明见解析.解析：（1）()11ln 2ln 2ln x x f x e x e x e -=-=⋅--，所以()1111x x f x e e e x x-'=⋅-=-，观察得()111101f e e '=⋅-=，而()1111x x f x e e e x x-'=⋅-=-在(0,)+∞上单调递增，所以当(0,1)x ∈时()0f x '<，当()1+∞，时()0f x '>；所以()f x 在()0,1单调递减，()f x 在()1+∞，单调递增，故()f x 有极小值()11ln 2f =-．证明：（2）因为2m ≤，所以()2ln 2ln 2x m x f x e x e x --=-≥-， 令221()ln 2ln 2ln x x g x e x e x e -=-=⋅--，则21()x g x e x-'=-，易知()g x '在(0,)+∞单调递增，1(1)10g e '=-<，1(2)102g '=->，所以设02001()0x g x e x -'=-=，则0(1,2)x ∈；当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>；所以()g x 在()00,x 上单调递减，()0,x +∞上单调递增， 所以02min 00()()ln 2x g x g x e x -==-，又因为02001()0x g x e x -'=-=，故0201x e x -=，所以02000001ln ln2ln 2ln x e x x x x x -=⇒-=-⇒-=，所以0022min 000()()ln 2ln 2ln x x g x g x e x e x --==-=--001ln 22x x =--+ 0012ln 2ln 2x x =+--≥-当且仅当001x x =，即01x =时等号成立，而0(1,2)x ∈，所以min ()ln 2g x >-，即()ln 2g x >-，所以()ln 2f x >-，即()ln 20f x +>． （四）自助餐1. 函数()ln f x x x =-在区间(0,e]（e 为自然对数的底）上的最大值为（ ） A.1- B.0 C.1 D.1e - 【知识点：函数的最大值】解：A ()()''1110x f x f x x x-=-=∴>得1x <，所以增区间为()0,1，减区间为()1,+∞，所以函数最大值为()11f =-． 2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值【知识点：函数的最值】解：D )(x f '＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，)(x f '<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D ． 3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1B ．π2－1 C ．π D ．π＋1 【知识点：函数的最大值】解：C 因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′>0，则函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π，故选C ．4．已知函数4)(23-+-=ax x x f 在2=x 处取得极值，若]1,1[,-∈n m ，则)()(n f m f '+的最小值是（ ）A ．13-B ．15-C ．10D ．15 【知识点：函数的极值、最小值】解：A 求导得ax x x f 23)(2+-='，由函数)(x f 在2=x 处取得极值知0)2(='f ，即02243=⨯+⨯-a ，∴3=a ．由此可得43)(23-+-=x x x f ，x x x f 63)(2+-='，已知)(x f 在)0,1(-上单调递减，在)1,0(上单调递增，∴当]1,1[-∈m 时，4)0()(min -==f m f ．又x x x f 63)(2+-='的图像开口向下，且对称轴为1=x ，∴当]1,1[-∈n 时，9)1()(min -=-'='f n f ，故)()(n f m f '+的最小值是13-．故选A ．5． 已知函数)(x f ，)(x g 均为],[b a 上连续且)()(x g x f '<'，则)()(x g x f -的最大值为（ ） A ．)()(a g a f - B ．)()(b g b f - C ．)()(b g a f - D ．)()(a g b f - 【知识点：单调函数的最大值】解：A ='-])()([x g x f 0)()(<'-'x g x f ，∴函数)()(x g x f -在],[b a 上单调递减，∴)()(x g x f -的最大值为)()(a g a f -．6．当]1,2[-∈x 时，不等式03423≥++-x x ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]3,5[--B ．]89,6[-- C ．]2,6[-- D ．]3,4[--【知识点：不等式恒成立；数学思想：转化与化归】解：C 当]1,0(∈x 时，得x x x a 1)1(4)1(323+--≥，令xt 1=，则),1[+∞∈t ，令t t t t g +--=2343)(，),1[+∞∈t ，则)19)(1(189)(2-+-=+--='t t t t t g ，显然在),1[+∞∈t 上，0)(<'t g ，)(t g 单调递减，∴6)1()(max -==g t g ，因此6-≥a ；同理，当)0,2[-∈x 时，的2-≤a ，当0=x 时对任意实数a 不等式也成立，故实数a 的取值范围是26-≤≤-a ． 7．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xax y +=22（a 为常数）过点1(-P ，)30-，则函数xax y +=22在区间]4,1[的最大值与最小值的和为________． 【知识点：函数的最值】解：64 曲线过点1(-P ，)30-，∴a -=-230，∴32=a ，∴xx y 3222+=，232324324xx x x y -=-='，令0='y 得2=x ，当1=x 时，34322=+=y ；当2=x 时，24168=+=y ；当4=x 时，40832=+=y ，∴最大值与最小值的和为64．8．函数x x x f cos sin )(+=在]2,2[ππ-∈x 时的最大、最小值分别是 ． 【知识点：函数的最值】解：2，1-． 0sin cos )(=-='x x x f ，即1tan =x ，)(4Z k k x ∈+=ππ．而]2,2[ππ-∈x ，当2π-＜x ＜4π时，0)(>'x f ，当4π＜x ＜2π时，)(x f '，∴)4(πf 是极小值．又)4(πf=，1)2(-=-πf ，∴1)2(=πf ．∴函数的最大值为2，最小值为1-．9．函数x exy =在[0，2]上的最大值为 ．【知识点：函数的最值】解：e 1． 函数x f y ==)(函数)(x f 单调递增；当x ∈（1，2]时，)(x f '＜0，此时函数)(x f 单调递减．∴当x =1时，函数)(x f 取得最大值，f )1(=10．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋a ，b ，c ∈R )．(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围． 【知识点：函数的极值、不等式恒成立；数学思想：转化与化归】解：(1)39a b =⎧⎨=-⎩；(2)(－∞，－18)∪(54，＋∞)．解析：(1)f '(x )＝3x 2－2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根．∴2133133a b⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，∴39a b =⎧⎨=-⎩．(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ，f '(x )＝3x 2－6x －9.当x 变化时，f '(x )，f (x )随x 的变化如下表：而f (－2)＝c －2，f (6)＝c ＋54，∴当x ∈[－2,6]时，f (x )的最大值为c ＋54，要使f (x )<2|c |恒成立，只要c ＋54<2|c |即可，当c ≥0时，c ＋54<2c ，∴c >54；当c <0时，c ＋54<－2c ，∴c <－18． ∴c ∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c 的取值范围．11．已知函数)(ln )(R a x ax x f ∈+=，(1)若2=a ，求曲线)(x f y =在1=x 处切线的斜率；(2)求)(x f 的单调区间；(3)设22)(2+-=x x x g ，若对任意∈1x (0，+∞)，均存在∈2x [0，1]，使得)()(21x g x f <，求a 的取值范围．【知识点：导数的几何意义、函数的单调性、不等式有解与最值的关系；数学思想：转化与化归、分类讨论】解：(1) 3；(2)当0≥a 时，)(x f 的单调递增区间为(0，+∞)；当0<a 时，函数)(x f 的单调递为3；的单调递增区间为(0，+∞)；(3)由题意知，转化为max max )()(x g x f < (其中∈1x (0，+∞)，∈2x [0，1])，由(2)知，当0≥a 时，12．已知函数()xf x e=（e 是自然对数的底数），()1ln h x x x x =--. （1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()h x 的最大值；（3）设()'()g x xf x =，其中'()f x 为()f x 的导函数.证明：对任意0x >，2()1g x e -<+. 【知识点：导数的几何意义、函数的最值、不等式证明；数学思想：转化与化归】解：（1）1y e=；（2）()h x 的最大值为22()1h e e --=+；（3）证明见解析．解析：（1）由ln 1()x x f x e +=，得1(1)f e =，1ln '()xx x xf x xe --=，所以'(1)0k f ==，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y e=.（2）()1ln h x x x x =--，(0,)x ∈+∞.所以'()ln 2h x x =--.令'()0h x =得，2x e -=.因此当2(0,)x e -∈时，'()0h x >，()h x 单调递增；当2(,)x e -∈+∞时，'()0h x <，()h x 单调递减.所以()h x 在2x e -=处取得极大值，也是最大值.()h x 的最大值为22()1h e e --=+. （3）证明：因为()'()g x xf x =，所以1ln ()xx x xg x e--=,0x >，2()1g x e -<+等价于21ln (1)x x x x e e ---<+.由（2）知()h x 的最大值为22()1h e e --=+，故21ln 1.x x x e ---≤+只需证明0x >时，1x e >成立，这显然成立.所以221ln 1(1)x x x x e e e ----≤+<+，因此对任意0x >，2()1g x e -<+.。
高中数学人教版选修1-1 3.3.3函数的最值与导数 教案(系列三)
3.3.3 函数的最大(小)值与导数教学教法分析(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能了解函数在某点取得极值，会利用导数求函数的极大值和极小值，以及闭区间上函数的最大(小)值．2．过程与方法培养学生数形结合、化归的数学思想和运用基础理论研究解决具体问题的能力．3．情感、态度与价值观经历和体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的作用，激发学生学习数学知识的积极性，树立学好数学的信心．●重点、难点重点：会求闭区间上连续函数可导的函数的最值．难点：理解确定函数最值的方法．本节课突破难点的关键是：理解方程f′(x)＝0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点．教学方案设计(教师用书独具)●教学建议本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后，引导学生通过观察闭区间内的连续函数的图象，自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置，进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤，并优化解题过程，让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输．为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学．对于求函数的最值，高中学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用．在本堂课学习中，学生发挥主体作用，主动地思考探究求解最值的最优策略，并归纳出自己的解题方法，将知识主动纳入已建构好的知识体系，真正做到“学会学习”．●教学流程创设问题情境，引出问题；极值是不是最值？⇒引导学生观察具体图象，对比、分析，揭示最值与极值的关系.⇒通过分析最值的特点总结出求函数在闭区间上最值的步骤.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握求已知函数在闭区间上最值的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握求含义参数的函数的最值的方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握利用最值解决恒成立问题的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学(对应学生用书第61页)【问题导思】1．如图，观察区间[a ，b ]上函数f (x )的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？【提示】 f (x 1)、f (x 3)、f (x 5)是极小值，f (x 2)、f (x 4)是极大值． 2．在上图中，你能找出f (x )在区间[a ，b ]上的最大值与最小值吗？ 【提示】 函数f (x )在[a ，b ]上的最小值是f (x 3)，最大值是f (b )．如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a ，b ]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得．最值的步骤1．求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；2．将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．课堂互动探究 (对应学生用书第61页)例题(1)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]；(2)f (x )＝e －x －e x ，x ∈[0，a ]，a 为正常数．【思路探究】求导――→令fx ＝0求极值与端值――→比较得出最值【自主解答】 (1)f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝23π或x ＝43π.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π. (2)f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1e x ′－(e x )′＝－1e x －e x＝－1＋e 2xe x . 当x ∈[0，a ]时，f ′(x )＜0恒成立， 即f (x )在[0，a ]上是减函数．故当x ＝a 时，f (x )有最小值f (a )＝e －a －e a ； 当x ＝0时，f (x )有最大值f (0)＝e －0－e 0＝0. 规律方法1．熟练掌握求函数在闭区间上最值的步骤，其中准确求出函数的极值是解题的关键． 2．求函数的最值应注意以下两点：(1)注意定义域，要在定义域(给定区间)内列表；(2)极值不一定是最值，一定要将极值与区间端点值比较，必要时需进行分类讨论． 变式训练求下列函数的最值．(1)f (x )＝－x 3＋3x (x ∈[－3，3]) (2)f (x )＝－x 3＋2x 2＋3.(x ∈[－3,2])． 【解】 (1)f ′(x )＝－3x 2＋3. 令f ′(x )＝－3(x 2－1)＝0，得x ＝±1， f (1)＝2，f (－1)＝－2，f (－3)＝0，f (3)＝0. 故f (x )的最大值为2，最小值为－2. (2)f ′(x )＝－3x 2＋4x ，由f′(x)＝x(4－3x)＝0，得x＝0，43.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：当x＝0或x＝2时，f(x)取最小值3.例题1,2]上取得最大值3，最小值－29，若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由．【思路探究】(1)f(x)在[－1,2]上的最大、最小值是怎样求得的？(2)在求解最值的过程中要不要对参数进行讨论？【自主解答】显然a≠0.f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)当a＞0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以当x＝0又f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(－1)＞f(2)．所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即－16a＋3＝－29，a＝2.(2)当a＜0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以当x＝0又f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，f(2)＞f(－1)．所以当x＝2时，f(x)取得最大值，即－16a－29＝3，a＝－2.综上所述，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.规律方法本题运用求解函数最值的方法确定参数a，b的值，解题的关键在于对函数中参数a的讨论，确定函数的最值在哪一点处取得．变式训练已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．【解】(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)＞f(－2)．于是有22＋a＝20，解得a＝－2.∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.∵在(－1,3)上f′(x)＞0，∴f(x)在[－1,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值．∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.与x＝1处都取得极值．例题3已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－23(1)求a、b的值及函数f(x)的单调区间；(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)＜c2恒成立，求c的取值范围．【思路探究】 (1)由已知条件如何求a 、b 的值并确定函数f (x )的单调区间？(2)对x ∈[－1,2]，不等式f (x )＜c 2恒成立应如何进行转化？【自主解答】 (1)f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， ∵f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， f ′(－23)＝129－43a ＋b ＝0，解得a ＝－12，b ＝－2，∴f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴函数f (x )的递增区间为(－∞，－23)和(1，＋∞)；递减区间为(－23，1)．(2)由(1)知，f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f (－23)＝2227＋c 为极大值，∵f (2)＝2＋c ，∴f (2)＝2＋c 为最大值． 要使f (x )＜c 2，(x ∈[－1,2])恒成立， 只须c 2＞f (2)＝2＋c ，解得c ＜－1或c ＞2. 规律方法利用函数的最值解决不等式恒成立问题是函数最值的重要应用．要使不等式f (x )＜h 在区间[m ，n ]上恒成立，可先在区间[m ，n ]上求出函数的最大值f (x )max ，只要h ＞f (x )max ，则上面的不等式恒成立．同理，要使不等式f (x )＞h 在区间[m ，n ]上恒成立，可先在区间[m ，n ]上求出函数f (x )的最小值f (x )min ，只要f (x )min ＞h ，则不等式f (x )＞h 恒成立．变式训练已知f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，当x ∈[－1,2]时，f (x )＜a 恒成立，求实数a 的取值范围．【解】 ∵f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0， ∴x ＝1或x ＝－23.当x 变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝－23时，f (x )取得极大值f (－23)＝15727；当x ＝1时，f (x )取得极小值f (1)＝72.又f (－1)＝112，f (2)＝7.∴f (x )在x ∈[－1,2]上的最大值为f (2)＝7. ∴要使f (x )＜a 恒成立，需f (x )max ＜a ，即a ＞7. ∴所求实数a 的取值范围是(7，＋∞)．易错易误辨析 (对应学生用书第63页)因忽略区间导致所求最值错误典例 求函数y ＝5－36x ＋3x 2＋4x 3在区间(－2,2)上的最大值和最小值． 【错解】 y ′＝－36＋6x ＋12x 2，令y ′＝0，即12x 2＋6x －36＝0，解得x 1＝－2，x 2＝32，∴f (－2)＝57，f (32)＝－2834，f (2)＝－23，∴函数的最大值为57，最小值为－2834.【错因分析】 所求最大值57是在x ＝－2时取得的，不在所给区间(－2,2)上，故求解错误．【防范措施】 在求解函数的最值时，一定要弄清所给区间的范围，解题时，常会出现某些极值点不在所给区间中，而误把该极值充当了最值的错误．【正解】 y ′＝－36＋6x ＋12x 2，令y ′＝0，即12x 2＋6x －36＝0，解得x 1＝32，x 2＝－2(舍去)．当x ∈(－2，32)时，f ′(x )＜0，函数单调递减；当x ∈(32，2)时，f ′(x )＞0，函数单调递增．∴函数f (x )在x ＝32时取得极小值f (32)＝－2834，无极大值，即在(－2,2)上函数f (x )的最小值为－2834，无最大值．课堂小结1．函数f (x )在区间[a ，b ]上连续是f (x )在区间[a ，b ]上有最值的充分不必要条件； 如果f (x )在[a ，b ]上连续，那么f (x )在[a ，b ]上必有最大值和最小值，但在(a ，b )内不一定有最大值和最小值．2．函数的最值是比较某个闭区间内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的；函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．3．利用导数法求最值，实质是通过比较某些特殊的函数值得到最值，因此，我们可以在导数法求最值的思路的基础上进行变通．令f′(x)＝0得到方程的根x1，x2，…，直接求得函数值f(x1)，f(x2)…等，然后与端点的函数值比较就可以了，省略了判断极值的过程．当然把导数法与函数的单调性相结合，也可以求最值．当堂双击达标(对应学生用书第63页)1．下列是函数f(x)在[a，b]上的图象，则f(x)在(a，b)上无最大值的是()【解析】在开区间(a，b)上，只有D选项所示函数f(x)无最大值．【答案】 D2．给出下列四个命题：①若函数f(x)在[a，b]上有最大值，则这个最大值一定是[a，b]上的极大值；②若函数f(x)在[a，b]上有最小值，则这个最小值一定是[a，b]上的极小值；③若函数f(x)在[a，b]上有最值，则最值一定在x＝a或x＝b处取得；④若函数f(x)在(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内必有最大值与最小值．其中真命题共有()A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】当函数在闭区间上的最值在端点处取得时，其最值一定不是极值，①②不正确；函数在闭区间上的最值可以在端点处取得，也可以在内部取得，③不正确；单调函数在开区间(a，b)内无最值，④不正确．【答案】 A3．f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()A．－2 B．0 C．2【解析】f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝0得x＝0或x＝2(舍去)．∴f(x)在[－1,0)上递增，在(0,1]上递减，f(0)既为极大值也是最大值，f(0)＝2.【答案】 C4．求函数y＝x3＋3x2－2，x∈[－2,3]的值域．【解】令y′＝3x2＋6x＝0得x＝0或x＝－2，x＝0时，y＝－2；x＝－2时，y＝2；x＝3时，y＝52，∴函数的值域为[－2,52].课后知能检测(对应学生用书第113页)一、选择题1．(2013·郑州高二检测)函数f(x)＝ln x－x在(0，e)上的最大值为()A．1－e B．－1C．－e D．0【解析】f′(x)＝1x－1，令f′(x)＞0，得0＜x＜1；令f′(x)＜0，得1＜x＜e，∴f(x)在(0,1)上递增，在(1，e)上递减，∴f(x)max＝f(1)＝－1.【答案】 B2．函数y＝4xx2＋1() A．有最大值2，无最小值B．无最大值，有最小值－2 C．最大值为2，最小值为－2 D．无最值【解析】 y ′＝x 2＋－4x x ＋x 2＋2＝x ＋－xx 2＋2.令y ′＝0，得x 1＝1，x 2＝－1，∴当－1＜x ＜1时，y ′＞0；当x ＜－1或x ＞1时，y ′＜0. 因此，y ＝4xx 2＋1的最大值为f (1)＝2；最小值f (－1)＝－2. 【答案】 C3．(2013·临沂高二检测)函数y ＝x ＋2cos x 在[0，π2]上取最大值时，x 的值为( )A ．0 B.π6C.π3D.π2【解析】 y ′＝1－2sin x ，令y ′＞0得sin x ＜12，故0≤x ＜π6，令y ′＜0得sin x ＞12，故π6＜x ≤π2，∴原函数在[0，π6)上递增，在(π6，π2]上递减，当x ＝π6时，函数取得最大值． 【答案】 B4．已知函数f (x )、g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )＜g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )【解析】 设F (x )＝f (x )－g (x )，F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＜0，∴F (x )在[a ，b ]上是减函数． ∴F (x )在[a ，b ]上的最大值为F (a )＝f (a )－g (a )． 【答案】 A5．(2013·吉林高二检测)已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m ＞32C ．m ≤32D ．m ＜32【解析】 f ′(x )＝2x 3－6x ，令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝3，验证可知x ＝3是函数的最小值点，故f x min ＝f (3)＝3m －272，由f (x )＋9≥0恒成立得f (x )≥－9恒成立，即：3m －272≥－9，∴m ≥32.【答案】 A 二、填空题6．函数y ＝x ·e －x ，x ∈[0,4]的最小值为________．【解析】 ∵y ′＝e －x －x e －x ＝e －x (1－x )，令y ′＝0，得x ＝1，而f (0)＝0，f (1)＝1e ，f (4)＝4e4，∴y min ＝0. 【答案】 07．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________．【解析】 f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0得x ＝m 2，由题设得：－2＜m2＜－1，故m ∈(－4，－2)．【答案】 (－4，－2)8．对于定义在区间[a ，b ]上的函数f (x )，给出下列命题：①若f (x )在多处取得极大值，那么f (x )的最大值一定是所有极大值中最大的一个值； ②若f (x )有极大值m ，极小值n ，那么m ＞n ；③若x 0∈(a ，b )，在x 0左侧附近f ′(x )＞0，在x 0右侧附近f ′(x )＜0，且f ′(x 0)＝0，则x 0是f (x )的极大值点；④若f ′(x )在[a ，b ]上恒为正，则f (x )在[a ，b ]上为增函数．其中正确命题的序号为________． 【答案】 ③④ 三、解答题9．已知函数f (x )＝(x 2－4)(x －a )(常数a ∈R )． (1)求f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求f (x )在[－2,4]上的最大值． 【解】 (1)f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ， ∴f ′(x )＝3x 2－2ax －4.(2)由f ′(－1)＝0，得3＋2a －4＝0，∴a ＝12.则f (x )＝x 3－12x 2－4x ＋2，∴f ′(x )＝3x 2－x －4＝3(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －43.当x ∈[－2，－1)∪⎝⎛⎦⎤43，4时，f ′(x )＞0， 所以f (x )的单调递增区间是[－2，－1)与⎝⎛⎦⎤43，4； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－1，43，f ′(x )＜0， 所以f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－1，43. 又f (－1)＝92，f (4)＝42，f (－2)＝0，f ⎝⎛⎭⎫43＝－4427. ∴f (x )在[－2,4]上的最大值f (x )max ＝f (4)＝42.10．设23＜a ＜1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62，求常数a ，b 的值．【解】 令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝a . 由题意可知当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：而f (0)＞f (a )，f (1)＞f (－1)，故需比较f (0)与f (1)的大小． 因为f (0)－f (1)＝32a －1＞0，所以f (x )的最大值为f (0)＝b ，所以b ＝1， 又f (－1)－f (a )＝12(a ＋1)2(a －2)＜0，所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－32a ，所以－32a ＝－62，所以a ＝63.综上，a ＝63，b ＝1. 11．(2013·邢台高二检测)已知函数f (x )＝ax 4ln x ＋bx 4－c (x ＞0)在x ＝1处取得极值－3－c ，其中a ，b ，c 为常数．若对任意x ＞0，不等式f (x )≥－2c 2恒成立，求c 的取值范围．【解】 f ′(x )＝4ax 3ln x ＋ax 4×1x ＋4bx 3＝x 3(4a ln x ＋a ＋4b )． ∵在x ＝1处取得极值－3－c ，∴⎩⎨⎧f ＝－3－c ，f＝0，即⎩⎨⎧b －c ＝－3－c ，a ＋4b ＝0，解得a ＝12，b ＝－3. ∴f ′(x )＝48x 3ln x (x ＞0)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1. ∵x ＞0，∴x ＝1.当x 变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如表：∴x ＝1时，f ∴要使对任意x ＞0，不等式f (x )≥－2c 2恒成立，只需－3－c ≥－2c 2即可． 整理得2c 2－c －3≥0. 解得c ≥32或c ≤－1.∴c 的取值范围为(－∞，－1]∪[32，＋∞)．教师备课资源 (教师用书独具)备选例题已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )．(1)当f ′(1)＝3时，求a 的值及曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )在区间[0,2]上的最大值．【解】 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax .因为f ′(1)＝3－2a ＝3，所以a ＝0. 当a ＝0时，f (1)＝1，f ′(1)＝3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为3x －y －2＝0. (2)令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a3.当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上是增加的，从而[f (x )]max ＝f (2)＝8－4a . 当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上是减少的，从而[f (x )]max ＝f (0)＝0. 当0＜2a 3＜2，即0＜a ＜3时，f (x )在[0，2a 3]上是减少的，在[2a 3，2]上是增加的，从而[f (x )]max＝⎩⎨⎧8－4a ， 0＜a ≤2，0， 2＜a ＜3.综上所述，[f (x )]max ＝⎩⎨⎧8－4a ， a ≤2.0， a ＞2.备选变式已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x .(1)若f (x )在[1，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在[1，a ]上的最小值和最大值．【解】 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3，要使f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则有3x 2－2ax ＋3≥0在[1，＋∞)内恒成立，即a ≤32x ＋32x在[1，＋∞)内恒成立．又在[1，＋∞)上3x 2＋32x≥3(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≤3.(2)由题意知f′(x)＝3x2－2ax＋3＝0的一个根为x＝3，可得a＝5，所以f′(x)＝3x2－10x＋3＝0的根为x＝3或x＝13(舍去)，又f(1)＝－1，f(3)＝－9，f(5)＝15，所以f(x)在[1,5]上的最小值是f(3)＝－9，最大值是f(5)＝15.。
人教高中数学选修1-1第三章第三节-3.3.3函数的最大(小)值与导数教学设计
§1.3.3 函数的最大（小）值与导数一、教学内容分析1.在教材中的位置：本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1》人教A版，第三章、第三节“导数在研究函数中的应用”2.学习的主要工具：基本初等函数的识图能力与函数的极值与导数知识。
3.学习本节课的主要目的：本节内容是在学生学习完导数基本概念与基本初等函数求导公式后的应用性知识，强调在应用中进一步理解导数，并为以后“生活中的优化问题”打好基础。
4.本节课在教材中的地位：函数的最值是基本初等函数的重要性质，是历年高考的热点问题，也是解决实际问题，如成本最低，产量最高，效益最大等的重要工具。
学好本节内容对学生的可持续发展具有重要意义，可进一步完善学生知识结构，培养学生应用数学的意识。
二、学情分析学生已经在高一阶段必修一的学习中，学习了函数基础知识，并初步具备应用函数单调性求最值的基础，但是对于运用刚刚学习的导数工具研究函数性质，还不熟练，应用导数在思维上有很大的局限性。
三、课堂设计思想培养学生学会学习、学会探究、学会合作是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。
而问题驱动，问题引导，主动观察，主动发现又是帮助学生学会学习的重要好手段。
本节教学，将遵循这个原则而进行设计，让学生领会到知识的产生过程。
四、教学目标1．知识和技能目标（1）弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数)(x f 必有最大值和最小值的充分条件。
（2）掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的方法和步骤。
2．过程和方法目标（1）问题驱动，自主探究，合作交流。
（2）培养学生在生活中学习数学的方法。
3．情感和价值目标（1）通过观察认识到事物的表象与本质的区别与联系．（2）培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题．（3）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神． （4）通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
人教版高中数学优质教案1：3.3.3 函数的最大(小)值与导数 教学设计
3.3.3 函数的最大（小）值与导数教学目标：
知识与技能：1、使学生理解函数的最大值和最小值的概念；
2、使学生掌握用导数求函数的最值的方法和步骤；
过程与方法：学会应用导数判断函数的单调性及最值，分析函数图象；
情感与态度：培养学生类比推理的思维能力。
教学重点：
利用导数求函数的最大值和最小值的方法．
教学难点：
函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的关系．
教学方法：
类比+探究式教学
教学工具：
多媒体辅助教学+常规工具
教学流程：
通过师生共同小结使学生更进一
步理解函数最值的求法
教学过程 用多媒体展示图形，
提问1：观察如图在闭区间[]
b a ,上的函数)(x f y =的图
象，你能找出它的极大值，极小值吗？ 提问2：你能找出在闭区间[]
b a ,上的函数)(x f y =的最大
值，最小值吗？
3、探究：
在图2，图3中观察[]b a ,上的函数()y f x =图象，它们
在
[]b a ,上有最大值，最小值吗？如果有分别是什么？
如果在开区间
()b a ,上呢？
（2）
（3）。
人教A版高中数学选修1-1第三章3、3、3函数的最大(小)值与导数教学设计
3.3.3函数的最大（小）值与导数（一）教学设计一、教学目标：1、知识与技能：会利用导数求函数的极大值和极小值.以及闭区间上连续函数的最大(小)值.，培养学生数形结合、化归的数学思想和运用基础理论研究解决具体问题的能力。
2、过程与方法：通过课堂学习活动培养学生相互间的合作交流，且在相互交流的过程中养成学生表述、抽象、总结的思维习惯，进而获得成功的体验。
3、情感态度与价值观：经历和体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的作用，激发学生学习数学知识的积极性，树立学好数学的信心。
二、教学重点与难点重点：会求闭区间上连续函数的最值．难点：本节课突破难点的关键是：理解方程f′(x)=0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点．所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法三、教学方法：问题解决法、类比发现法、研究发现法四、教学过程：教学环节教学内容设计意图师生互动复习回顾1、单调性与导数2、极值的判定3、极值的求解步骤回顾旧知，为最值的推导作准备生：回答问题师：屏幕展示问题探究观察上图定义在上的函数的图象，我们可以发现图中：_____________是极小值，通过观察与比较发现规律师：引导学生观察图象，提出问题生：回答问题师：屏幕展示，引导学生寻找规律()y f x2x3x1x3.1.2椭圆的综合应用一、教学内容椭圆的综合应用二、教学目标1.能通过将关于椭圆的实际问题转化为关于椭圆的数学问题，解决数学问题，从而解决关于椭圆的实际问题，发展数学建模素养.2.熟练掌握椭圆的几何性质，能够根据条件求曲线的轨迹方程，并简单了解椭圆第二定义为三种圆锥曲线的统一定义打下基础。
3.能类比用直线的方程与圆的方程研究直线与圆的位置关系，用直线的方程与椭圆的标准方程研究直线与椭圆的位置关系，进一步体会坐标法在解析几何中的威力。
三、教学重难点重点：根据几何特征求轨迹方程和探索直线与椭圆的位置关系难点：探索直线与椭圆的位置关系四、教学过程设计师：同学们先对只是再现题的答案，然后思考，再现了哪些关于椭圆的知识。
人教新课标A版高二数学《选修1-1》3.3.3 函数的最大(小)值与导数
(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得.有极值
的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值， 最值不在端点处取得时必定是极值.
题目类型一、求已知函数的最值 【技法点拨】
导数法求可导函数最值的两要点
(1)求f′(x)，令f′(x)=0，求出在(a，b)内使导数为0的点.
(2)比较两类点处的函数值：导数为0的点及区间端点的函数值，
2.在区间(a,b)上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一 想，在(a,b)上一定存在最值吗？ 提示：不一定.函数有最值的条件有两个：一是给定函数的区 间必须是闭区间，二是函数的图象在闭区间上必须是一条连续
不断的曲线，二者缺一不可.
3.函数y=
ln x x 的最大值为_________. 1 ln x x2
【解析】1.解题流程 求导，解 方程 ∵f′(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1),
1 令f′(x)=0，得x1= 3 ，x2=1
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化 列表 情况如下表：
求导，解 方程
∴极大值为f（ 值为f（1）=0
1 32 ）= ，极小 3 27
又∵f(-1)=0,f(2)=3
1.在区间［a,b］上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线， 想一想，在［a,b］上一定存在最值和极值吗？
提示：一定有最值，但不一定有极值.如果函数y=f(x)在［a,
b］上是单调函数，此时y=f(x)在［a,b］上无极值；如果y=f(x)
在［a,b］上不是单调函数，则y=f(x)在［a,b］上有极值.
作图可知f(x)无最小值.
2.函数极值与最值的内在联系
(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值 和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函 数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最 小值.
人教版高中数学选修1-1第三章3.3.3函数的最大(小)值与导数
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课前 自主学习 课堂 核心探究
本节小结
课时作业
[梳理] 求函数y＝f(x)在闭区间[a, b]上最值的步骤 1．求函数y＝f(x)在(a，b)内的__极__值____. 2 ． 将 函 数 y ＝ f(x) 的 __各__极__值____ 与 端 点 处 的 函 数 值 ______f_(a_)_，__f_(b_)_____ 进 行 比 较 ， 其 中 最 大 的 一 个 是 ___最__大__值____，最小的一个是__最__小__值____.
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课时作业
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
x
0 0，23π 23π 23π，43π
43π
43π，2π 2π
f′(x)
＋
0
－
0
＋
极大值
极小值
f(x)
0
递增
π3＋
3 2
递减
23π－
3 2
递增
π
∴当 x＝0 时，f(x)有最小值 f(0)＝0；
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课时作业
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课时作业
探究一 求函数在闭区间上的最值
求下列函数的最值： (1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1,3]； (2)f(x)＝12x＋sin x，x∈[0,2π]． [思路探究] 要求区间[a，b]上函数的最值，只需求出函 数在(a，b)内的极值，最后与端点处函数值比较大小即可．
数学 选修1-1
课前 自主学习 课堂 核心探究
高中数学人教A版选修1-1第三章《3.3.3函数的最大(小)值与导数》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
高中数学人教A版选修1-1第三章《3.3.3函数的最大（小）值与导数》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1.知识和技能目标
(1)弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别,理解和熟悉函数必有最大值和最小值的充分条件。
(2)掌握求在闭区间上连续的函数的最大值和最小值的方法和步骤,会利用导数求函数在[a,b]上的最值。
2.过程和方法目标
结合学生的知识,理解从特殊到一般的数学思想和归纳的数学方法。
3.情感和价值目标
通过教学活动,培养学生仔细观察、善于思考、勇于创新的科学素养。
2学情分析
函数的最值是基本初等函数的重要性质,是历年高考的热点问题,是在学生学习完导数基本
概念与基本初等函数求导公式后的应用性知识,培养学生应用数学的意识。
强调在应用中进一步理解导数,也是解决实际问题:如成本最低,产量最高,效益最大等的重要工具,为以后内容“生活中的优化问题”打好基础。
学生已经在高一阶段必修一的学习中,学习了函数基础知识,并初步具备应用函数单调性求最值的基础,但是对于运用刚刚学习的导数工具研究函
数性质,还不熟练,应用导数在思维上有很大的局限性。
3重点难点
重点:求闭区间上连续可导的函数的最值的求解,理解确定函数最值的方法,并联系函数单调性的应用。
难点:求函数的最值的方法的提炼,同时让有余力的学生了解函数的最值与极值的区别与联系。
4教学过程
4.1第一学时
教学活动。
人教版高中数学选修1-1第三章3.3.3函数的最大(小)值与导数
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本节小结
课时作业
[达标自评] 1．判断下列说法是否正确．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1) 闭区间上的函数一定有最值．( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值．( ) (3) 极值只能在区间内取得，最值则可以在区间端点处取 得．( ) (4)函数的最大值一定是极大值，函数的最小值也一定是极 小值．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
f′(x)<0⇒x>1，∴f(x)＝4x－x4在x＝1时取得极大值，且f(1)＝3，
而f(－1)＝－5，f(2)＝－8，∴f(x)＝4x－x4在[－1,2]上的最大值
为f(1)，最小值为f(2)．
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本节小结
课时作业
3．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( )
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本节小结
课时作业
2．函数f(x)＝4x－x4在x∈[－1,2]上的最大值、最小值分别
是( )
A．f(1)与f(－1)
B．f(1)与f(2)
B．f(－1)与f(2)
D．f(2)与f(－1)
答案 B
解 析 f′(x) ＝ 4 － 4x3 ， f′(x)>0 ， 即 4 － 4x3>0⇒x<1 ，
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本节小结
课时作业
思考2 在上图中，你能找出f(x)在区间[a，b]上的最大值 与最小值吗？
提示 函数f(x)在[a，b]上的最小值是f(x3)，最大值是f(b)．
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安徽省长丰县实验高级中学人教版高中数学选修1-1教案：3.3.3函数的最大(小)值与导数
4．利用导数求函数的最值方法．
布置作业：
P99 A组6
板书设计
§3.3.3函数的最大（小）值与导数
1．一般地，在闭区间 上函数 的图像是一条连续不断的曲线，那么函数 在 上必有最大值与最小值。
⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间 内连续的函数 不一定有最大值与最小值．如函数 在 内连续，但没有最大值与最小值；
⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，
⑷函数 在闭区间 上连续，是 在闭区间 上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（可以不给学生讲）
2．“最值”与“极值”的区别和联系
⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．
⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；
⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
3．利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
一般地，求函数 在 上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求 在 内的极值；
⑵将 的各极值与端点处的函数值 、 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数 在 上的最值
教学反思
这里求最值，仅仅只对在闭区间且图像是一条连续不断的函数，所以求解较为简单。鉴于课标的要求，教学时，对不满足条件的函数求最值，不做补充。但是，对在开区间，且函数只有一个极值点的，可举例分析其最值的情况，及求解。函数只有一个极（大）小值，则该极（大）小值也是最（大）小值。这一点，学生不难理解。
人教高中数学选修1-1：3.3.3函数的最大(小)值与导数课件
视察下面函数 y = f (x) 在区间 [ a , b ] 上的图象, 回答: (1) 在哪一点处函数 y = f (x) 有极大值和极小值?
极大: x = x1 x = x3 x = x5 极小: x = x2 x = x4 (2) 函数 y = f (x) 在[a,b]上有最大值和最小值吗?如果有,
最大值和最小值分别是什么?
y
x1
aO
x2
x
x3
b
正确区分极值和最值
(1)函数的最值是比较整个定义区间的函数值得 出的，函数的最大值和最小值可以在极值点、 不可导点、区间的端点取得，函数的极值是比 较极值点附近的函数值得出的，最值具有绝对 性，极值具有相对性．
(2)函数的最值是一个整体性概念，最大值必须 是整个区间上所有函数值中的最大的值，最小 值是所有函数值中的最小的值；极值只能在区 间内取得；但最值可以在端点处取得；极值有 可能成为最值．
(3)若连续函数在区间(a，b)内值只有一个极值， 那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．
正确理解“在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)必有最值．” 此性质包括两个条件：
(1)给定的区间必须是闭区间，f(x)在开区间上虽然连续 但不能保证有最大值或最小值．如 f(x)＝1x，x∈(0,1)，f(x) 在区间(0,1)连续，但没有最大值和最小值(如图)．
最大值和最小值分别是什么?
x1 x2 x3
x4 x5
视察下面函数 y = f (x) 在区间 [ a , b ] 上的图象, 回答:
(1) 在哪一点处函数 y = f (x) 有极大值和极小值?
极大: x = x2 极小: x = x1
x = x3
(2) 函数 y = f (x) 在[a,b]上有最大值和最小值吗?如果有,
高中数学选修1-1优质学案：3.3.3 函数的最大(小)值与导数
3.3.3 函数的最大(小)值与导数学习目标1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．知识点一函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．思考1观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．[答案]极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)．思考2结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？[答案]存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．思考3函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？[答案]不一定，也可能是区间端点的函数值．梳理函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．知识点二求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．知识点三最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点．(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得．如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象，显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值．最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得．1．函数的最大值一定是函数的极大值．(×)2．开区间上的单调连续函数无最值．(√)3．函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．(×)类型一求函数的最值命题角度1不含参数的函数求最值例1求下列各函数的最值．(1)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2，＋∞)；(2)f(x)＝12x＋sin x，x∈[0，2π]．考点利用导数求函数的最值题点 不含参数的函数求最值 解 (1)f ′(x )＝12x 2＋6x －36， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝32.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由于当x >32时，f ′(x )>0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上为增函数．因此，函数f (x )在[－2，＋∞)上只有最小值－1154，无最大值．(2)f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，又x ∈[0，2π]，解得x ＝2π3或x ＝4π3.计算得f (0)＝0，f (2π)＝π，f ⎝⎛⎭⎫2π3＝π3＋32， f ⎝⎛⎭⎫4π3＝2π3－32.所以当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0； 当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π.反思与感悟 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点： (1)对函数进行准确求导，并检验f ′(x )＝0的根是否在给定区间内． (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值． (3)比较极值与端点函数值大小，确定最值．跟踪训练1 求函数f (x )＝e x (3－x 2)，x ∈[2，5]的最值． 考点 利用导数求函数的最值 题点 不含参数的函数求最值解∵f(x)＝3e x－e x x2，∴f′(x)＝3e x－(e x x2＋2e x x)＝－e x(x2＋2x－3)＝－e x(x＋3)(x－1)．∵在区间[2，5]上，f′(x)＝－e x(x＋3)(x－1)<0，∴函数f(x)在区间[2，5]上单调递减，∴当x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；当x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.命题角度2含参数的函数求最值例2已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．考点含参数的函数最值问题题点含参数的函数求最值解(1)由f(x)＝(x－k)e x，得f′(x)＝(x－k＋1)e x，令f′(x)＝0，得x＝k－1.当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增．所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k，当0<k－1<1，即1<k<2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1. 当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减． 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 综上可知，当k ≤1时，f (x )min ＝－k ； 当1<k <2时，f (x )min ＝－e k －1； 当k ≥2时，f (x )min ＝(1－k )e.反思与感悟 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 跟踪训练2 已知函数f (x )＝ln x x－x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设m >0，求f (x )在[m,2m ]上的最大值． 考点 含参数的函数最值问题 题点 含参数的函数求最值 解 (1)f ′(x )＝1－ln xx 2－1，令f ′(x )＝0，得x 2＝1－ln x . 显然x ＝1是上面方程的解． 令g (x )＝x 2＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)， 则g ′(x )＝2x ＋1x>0，∴函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴x ＝1是方程f ′(x )＝0的唯一解．∵当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． (2)由(1)知函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ①当0<2m ≤1，即0<m ≤12时，f (x )在[m,2m ]上单调递增，∴f (x )max ＝f (2m )＝ln (2m )2m－2m . ②当m ≥1时，f (x )在[m,2m ]上单调递减， ∴f (x )max ＝f (m )＝ln mm－m .③当m <1<2m ，即12<m <1时，f (x )max ＝f (1)＝－1.类型二 由函数的最值求参数例3 已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值． 考点 含参数的函数最值问题 题点 知最值求参数解 由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾． 求导得f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)． ①当a >0时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值b ，也是函数f (x )在[－1,2]上的最大值，∴f (0)＝b ＝3. 又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)， ∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.②当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取得极小值b ，也是函数在[－1,2]上的最小值，∴f (0)＝b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29>f (－1)， ∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.反思与感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．跟踪训练3 设23<a <1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62，求a ，b 的值．考点 含参数的函数最值问题 题点 知最值求参数解 令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝a . 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：b－a 32＋b由表可知，f (x )的极大值为f (0)＝b ，极小值为f (a )＝b －a 32，而f (0)>f (a )，f (1)>f (－1)，故需比较f (0)与f (1)及f (－1)与f (a )的大小． 因为f (0)－f (1)＝32a －1>0，所以f (x )的最大值为f (0)＝b ＝1. 又f (－1)－f (a )＝12(a ＋1)2(a －2)<0，所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－32a ，所以－32a ＝－62，a ＝63.所以a ＝63，b ＝1. 类型三 与最值有关的恒成立问题例4 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1处都取得极值．(1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间．(2)若对任意x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围． 考点 函数最值的应用 题点 恒成立中参数的取值范围 解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f ′⎝⎛⎭⎫－23＝43－43a ＋b ＝0，解得a ＝－12，b ＝－2， 所以f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)由(1)知，f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值， 因为f (2)＝2＋c ，所以f (2)＝2＋c 为最大值． 要使f (x )<c 2(x ∈[－1,2])恒成立，只需c 2>f (2)＝2＋c ， 解得c <－1或c >2.故c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．反思与感悟不等式恒成立问题常用的解题方法跟踪训练4已知函数f(x)＝x ln x．若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围．题点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ln x，令f′(x)>0，解得x>1e；令f′(x)<0，解得0<x<1e，所以当x＝1e 时f(x)取得最小值－1e.(2)由题意，得f(x)≥ax－1在[1，＋∞)上恒成立，即不等式a≤ln x＋1x在x∈[1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝ln x＋1x ，则g′(x)＝1x－1x2＝x－1x2，当x>1时，g′(x)>0，故g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)的最小值是g(1)＝1.因此a≤g(x)min＝g(1)＝1，故a的取值范围为(－∞，1].1．函数f (x )＝e x －x 在区间[－1,1]上的最大值是( )A ．1＋1eB ．1C ．e －1D ．e ＋1考点 利用导数求函数的最值题点 不含参数的函数求最值[答案] C[解析] 由题意得f ′(x )＝e x －1.令f ′(x )＝0，得x ＝0.当x ∈[－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0,1]时，f ′(x )>0.所以f (x )在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增．又因为f (－1)＝1e＋1，f (1)＝e －1， 所以f (－1)－f (1)＝2＋1e－e<0， 所以f (－1)<f (1)．所以f (x )max ＝f (1)＝e －1.2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( )A ．有最大值，但无最小值B ．有最大值，也有最小值C ．无最大值，但有最小值D ．既无最大值，也无最小值考点 函数最值的应用题点 最值存在性问题[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.3．若函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在[－2,1]上的最大值为92，则m 等于( ) A ．0B ．2C.52D ．1 考点 含参数的函数最值问题题点 知最值求参数[答案] B[解析] y ′＝⎝⎛⎭⎫x 3＋32x 2＋m ′＝3x 2＋3x ＝3x (x ＋1)， 由y ′＝0，得x ＝0或x ＝－1.f (0)＝m ，f (－1)＝m ＋12. 又因为f (1)＝m ＋52，f (－2)＝－8＋6＋m ＝m －2， 所以f (1)＝m ＋52最大，所以m ＋52＝92， 所以m ＝2.4．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为________________． 考点 函数最值的应用题点 恒成立中参数的取值范围[答案] ⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ [解析] f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1，由f ′(x )＝0有两个不同的根，可得Δ＝(－4c )2－12>0，∴c >32或c <－32. 5．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，当x ＝－2时，f (x )有极值13.(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在[－3,0]上的最值．考点 利用导数求函数的最值题点 不含参数的函数求最值解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .∵y ＝f (x )在x ＝－2处取得极值13，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝－8＋4a －2b ＋5＝13，f ′(－2)＝12－4a ＋b ＝0，解得a ＝2，b ＝－4. (2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，解得x ＝23或x ＝－2.∴f (x )在[－3，－2)上单调递增，在(－2,0]上单调递减，∴f (x )的最大值是f (－2)，最小值是f (－3)或f (0)，而f (－2)＝－8＋8＋8＋5＝13，f (0)＝5，f (－3)＝－27＋18＋12＋5＝8，∴f (x )在[－3,0]上的最大值为13，最小值为5.1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值．2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论．3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题.。
高中数学选修1-1优质学案1：3.3.3函数的最大(小)值与导数
3.3.3 函数的最大(小)值与导数问题导学 一、求函数的最值探究1：(1)函数y ＝x －sin x ，则当x ∈[0，π]时，函数的最大值为__________． (2)求函数f (x )＝－x 4＋2x 2＋3，x ∈[－3,2]的最值．巩固1：已知函数f (x )＝1－x x＋ln x ，求f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值和最小值．二、含参数的最值问题探究2：1．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax ．(1)若f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； (2)当0＜a ＜2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值． 2．已知函数f (x )＝(x －k )e x ． (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．巩固2：已知f(x)＝x ln x，求函数f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值．三、函数最值的应用探究3：设函数f(x)＝x＋ax2＋b ln x，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2．(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)≤2x－2．巩固3：求方程x3－6x2＋9x－4＝0的根的个数．当堂检测1．下列说法正确的是()A．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D．若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值2．函数f(x)＝e x－x在区间[－1,1]上的最大值是()A．1＋1eB．1 C．e＋1 D．e－13．若函数y＝x3＋32x2＋m在[－2,1]上的最大值为92，则m等于()A．0 B．1 C．2 D．5 24．函数f(x)＝3x＋sin x在x∈[0，π]上的最小值为__________．5．函数f(x)＝x3－12x2－2x＋5，若对于任意x∈[－1,2]，都有f(x)＜m，则实数m的取值范围是__________．[答案]【问题导学】探究1：(1)思路分析：先对函数求导，判断函数的单调性，再求最值．π[解析]y′＝1－cos x．∵x∈[0，π]，∴－1≤cos x≤1．∴y′＝1－cos x≥0．∴y＝x－sin x在x∈[0，π]上单调递增．∴x＝π时，y取最大值为π．(2)思路分析：方法一：求f′(x)→令f′(x)＝0得到相应的x的值→列表→确定极值点→求极值与端点处的函数值→比较大小确定最值方法二：求f′(x)→求极值点→比较极值与端点值的大小确定最值解：方法一：f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1．当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：当x ＝－1或x ＝1时，f (x )取最大值4． 方法二：∵f (x )＝－x 4＋2x 2＋3， ∴f ′(x )＝－4x 3＋4x ．令f ′(x )＝0，即－4x 3＋4x ＝0． 解得x ＝－1或x ＝0或x ＝1．又f (－3)＝－60，f (－1)＝4，f (0)＝3，f (1)＝4，f (2)＝－5， ∴当x ＝－3时，f (x )有最小值－60． 当x ＝±1时，f (x )有最大值4．巩固1：解：f ′(x )＝－x －(1－x )x 2＋1x ＝x －1x 2．由f ′(x )＝0，得x ＝1．∴在⎣⎡⎦⎤12，2上，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∵f ⎝⎛⎭⎫12－f (2)＝32－2ln 2＝12(ln e 3－ln 16)，而e 3＞16，∴f ⎝⎛⎭⎫12＞f (2)＞0． ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫12＝1－ln 2，最小值为0． 探究2： 1．思路分析：(1)根据函数的单调性与导数的关系确定a 的取值范围；(2)求f ′(x )＝0的根，确定根的范围，从而可判断f (x )在[1,4]上的单调性情况，求出最小值，得a 的值，进而求出最大值．解：(1)由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a ， 当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a ； 令29＋2a ＞0，得a ＞－19， 所以，当a ＞－19时，f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间．(2)令f ′(x )＝0，得两根x 1＝1－1＋8a 2，x 2＝1＋1＋8a2． 所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增． 当0＜a ＜2时，有x 1＜1＜x 2＜4， 所以f (x )在[1,4]上的最大值为f (x 2)． 又f (4)－f (1)＝－272＋6a ＜0，即f (4)＜f (1)， 所以f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163， 得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1,4]上的最大值为f (2)＝103． 2．思路分析：(1)求f ′(x )＝0的根，判断各分区间内的f ′(x )的符号即可；(2)讨论f ′(x )＝0的根与区间[0,1]的关系，确定f (x )在[0,1]上的单调性情况，进而求最小值．解：(1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x ． 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1． f (x )与f ′(x )的情况如下：(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当0＜k －1＜1，即1＜k ＜2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0, 1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e ． 巩固2： 解：f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e ．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． ①当0＜t ＜t ＋2≤1e 时，此种情况不成立；②当0＜t ＜1e＜t ＋2时，即0＜t ＜1e时，则在x ∈⎣⎡⎦⎤t ，1e 上f (x )递减；在x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，t ＋2上，f (x )递增，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e． ③当1e ≤t ＜t ＋2，即t ≥1e 时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t ．综上所述，当0＜t ＜1e 时，f (x )min ＝－1e ；当t ≥1e时，f (x )min ＝t ln t ．探究3： 思路分析：(1)利用f (1)＝0和f ′(1)＝2建立方程组求a ，b ；(2)构造函数g (x )＝f (x )－2x ＋2，求g (x )的最大值小于等于零．解：(1)f ′(x )＝1＋2ax ＋bx．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝0，f ′(1)＝2得⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝3．(2)证明：f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x ．设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x ， 则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－(x －1) (2x ＋3)x ．令g ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－32(舍去)．当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0，当x ＞1时，g ′(x )＜0． ∴g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∴g (x )max ＝g (1)＝0，∴f (x )－(2x －2)≤0． ∴f (x )≤2x －2．巩固3： 解：方法一：转化为求f (x )＝x 3－6x 2＋9x －4的零点的个数问题． f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，令f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝1． 当x 变化时，f ′(x )，f (x )随x 变化情况如下表：当x →－∞时，f (x )→－∞， 故f (x )的图象大致如图所示．∴方程x3－6x2＋9x－4＝0的根的个数为2．方法二：转化为求f1(x)＝x3－6x2＋9x与f2(x)＝4图象交点的个数问题．∵f1(x)＝x3－6x2＋9x，∴f′1(x)＝3x2－12x＋9．令f′1(x)＝0得x＝3或x＝1．当x变化时，f′1(x)，f1(x)随x变化情况如下表：1当x→－∞时，f1(x)→－∞，故f1(x)与f2(x)的图象大致如图所示．由此知y＝f1(x)与y＝f2(x)图象有两个交点，故方程x3－6x2＋9x－4＝0的根的个数为2．当堂检测1．[答案]D[解析]由极值与最值的区别知选D．2．[答案]D[解析]f′(x)＝e x－1．令f′(x)＝0，得x＝0．当x∈[－1,0]时，f′(x)≤0；当x∈[0,1]时，f′(x)≥0．∴f(x)在[－1,0]上递减，在[0,1]上递增．又∵f(－1)＝1e＋1，f(1)＝e－1，∴f (－1)－f (1)＝2＋1e－e ＜0，∴f (－1)＜f (1)． ∴f (x )max ＝f (1)＝e －1． 3．[答案]C [解析]323'='2y x x m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝3x 2＋3x ＝3x (x ＋1)． 由y ′＝0，得x ＝0或x ＝－1． ∴f (0)＝m ，f (－1)＝m ＋12． 又∵f (1)＝m ＋52，f (－2)＝－8＋6＋m ＝m －2， ∴f (1)＝m ＋52最大． ∴m ＋52＝92．∴m ＝2． 4．[答案]1 [解析]f ′(x )＝3x ln 3＋cos x ． ∵x ∈[0，π]时，3x ln 3＞1，－1≤cos x ≤1， ∴f ′(x )＞0．∴f (x )递增，∴f (x )min ＝f (0)＝1．5．[答案]m ＞7 [解析]f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0，得2=3x -或x ＝1． 可求得f (x )max ＝f (2)＝7．∴对于任意x ∈[－1,2]，f (x )＜m 恒成立时，m ＞7．。
高中数学选修1-1优质学案4：3.3.3 函数的最大(小)值与导数
3.3.3 函数的最大（小）值与导数一、学习目标1．借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值概念.2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数)(x f 必有最大值和最小值的充分条件.3．掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤. 二、复习引入1． 极大值、极小值的概念：2．求函数极值的方法：三、新知探究例1：设函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a >0)为奇函数，其图象在点(1，f (1))处的切线与 直线x －6y －7＝0垂直，导函数f ′(x )的最小值为－12. (1)求a ，b ，c 的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间，并求函数f (x )在[－1,3]上的最大值和最小值．例2：若f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值是－29，求a 、b 的值．四、巩固练习1．下列命题中真命题是( )A ．函数的最大值一定不是该函数的极大值B ．函数的极大值可以小于该函数的极小值C ．函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值D ．函数在开区间内不存在最大值和最小值2．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是( ) A ．0≤a <1 B ．0<a <1 C ．－1<a <1D ．0<a <123．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是( )A ．－13B ．－15C ．10D ．154．已知f (x )＝12x 2－cos x ，x ∈[－1,1]，则导函数f ′(x )是( )A ．仅有最小值的奇函数B ．既有最大值又有最小值的偶函数C ．仅有最大值的偶函数D ．既有最大值又有最小值的奇函数5．定义在闭区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )有唯一的极值点x ＝x 0，且y 极小值＝f (x 0)，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )有最小值f (x 0)B ．函数f (x )有最小值，但不一定是f (x 0)C ．函数f (x )的最大值也可能是f (x 0)D ．函数f (x )不一定有最小值6．当x ∈[0,5]时，函数f (x )＝3x 2－4x ＋c 的值域为( ) A ．[f (0)，f (5)]B.⎣⎡⎦⎤f (0)，f ⎝⎛⎭⎫23 C.⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫23，f (5) D ．[c ，f (5)]7．函数f (x )＝－x 3＋3x 在区间[－3,3]上的最小值是________．8．函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在[0,1]上的最小值为f (1)，则a 的取值范围为________． 9．函数f (x )＝ax 4－4ax 3＋b (a >0)，x ∈[1,4]，f (x )的最大值为3，最小值为－6，则a ＋b ＝________.10．已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x (a ∈R )．(1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝－13是函数f (x )的极值点，求函数f (x )在区间[1，a ]上的最大值．11．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数． (1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值．——★ 参 考 答 案 ★——：三、新知探究例1：解：(1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 即－ax 3－bx ＋c ＝－ax 3－bx －c ，∴c ＝0. ∵f ′(x )＝3ax 2＋b 的最小值为－12，∴b ＝－12. 又直线x －6y －7＝0的斜率为16，因此f ′(1)＝3a ＋b ＝－6，解得a ＝2. 故a ＝2，b ＝－12，c ＝0. (2)f (x )＝2x 3－12x ，f ′(x )＝6x 2－12＝6(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝ 2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↘∵f (－1)＝10，f (3)＝18，f (2)＝－82； ∴当x ＝2时，f (x )取得最小值为－82； 当x ＝3时，f (x )取得最大值为18.例2：解 ∵f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ， ∴f ′(x )＝3ax 2－12ax . 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或4. ∵4∉ [－1,2]，故舍去，∴f (x )取最大值，最小值的点在x ＝－1、0、2上取得， f (－1)＝－7a ＋b ，f (0)＝b ， f (2)＝－16a ＋b .当a >0时，最大值为b ＝3，最小值为－16a ＋b ＝－29，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，当a <0时，最大值为－16a ＋b ＝3，b ＝－29，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－29，综上所述：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－29.四、巩固练习1．[答案]B2．[解析]设f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )， 若a ＝0，则f ′(x )＝3x 2，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )在(0,1)是增函数， ∴无最小值，排除A 、C. 当a ＝12时，f ′(x )＝3(x 2－12)，令f ′(x )＝0，x ＝±22，∴当x ∈(0，22)时，f ′(x )<0，f (x )是减函数； 当x ∈(22，1)时，f ′(x )>0，f (x )是增函数． ∴当x ＝22时，f (x )有最小值， 排除D ，故选B. [答案]B3．[解析]求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， 由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0， 即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3. 由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4， f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增， ∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.又f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下，且对称轴为 x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9. 故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.故选A. [答案]A4．[解析]求导可得f ′(x )＝x ＋sin x ， 显然f ′(x )是奇函数，令h (x )＝f ′(x )， 则h (x )＝x ＋sin x ，求导得h ′(x )＝1＋cos x ， 当x ∈[－1,1]时，h ′(x )>0，所以h (x )在[－1,1]上单调递增，有最大值和最小值． 所以f ′(x )是既有最大值又有最小值的奇函数． [答案]D5．[解析]函数f (x )在闭区间[a ，b ]上一定存在最大值和最小值，又f (x )有唯一的极小值f (x 0)，则f (x 0)一定是最小值．[答案]A6．[解析]令f ′(x )＝6x －4＝0，x ＝23，当0<x <23时，f ′(x )<0；当x >23时，f ′(x )>0，得f ⎝⎛⎭⎫23为极小值，也是最小值．由选项知应选C. [答案]C7．[解析]f ′(x )＝－3x 2＋3，令f ′(x )＝0，∴x ＝±1. f (1)＝2，f (－1)＝－2，f (3)＝－18，f (－3)＝18， ∴f (x )的最小值为－18. [答案]－188．[解析]f ′(x )＝2x ＋2a .令f ′(x )＝0，x ＝－a ， ∴若f (1)为最小值，只需－a ≥1，∴a ≤－1. [答案](－∞，－1]9．[解析]f ′(x )＝4ax 3－12ax 2. 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3. 当1<x <3时，f ′(x )<0；当3<x <4时，f ′(x )>0，故x ＝3是极小值点． ∵f (3)＝b －27a ，f (1)＝b －3a ，f (4)＝b ，又a >0， ∴f (x )的最小值为f (3)＝b －27a ， 最大值为f (4)＝b .∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，b －27a ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝3∴a ＋b ＝103.[答案]10310．解：(1)f ′(x )＝3x 2－2ax －3，由f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数， 则当x ∈[1，＋∞)时，恒有f ′(x )≥0，即3x 2－2ax －3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立． 由Δ＝4a 2＋36>0，a3≤1且f ′(1)＝－2a ≥0，解得a ≤0.(2)依题意得f ′(－13)＝0，即13＋23a －3＝0，a ＝4，则f (x )＝x 3－4x 2－3x ， 令f ′(x )＝3x 2－8x －3＝0， 解得x 1＝－13，或x 2＝3，而f (1)＝－6，f (3)＝－18，f (4)＝－12， 故f (x )在区间[1,4]上的最大值是f (1)＝－6. 11．解：(1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ， 因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . ∵函数g (x )是奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]， 从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，∴f (x )的[解析]式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知，g (x )＝－13x 3＋2x ，∴g ′(x )＝－x 2＋2.令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，或x 2＝ 2.则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－2]，[2，＋∞)上是减函数； 当－2<x <2时，g ′(x )>0，从而g (x )在[－2，2]上是增函数． ∴g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43.∴g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43.。
高中数学人教版选修1-1 3.3.3函数的最值与导数 教案(系列二)
3.3.3函数的最值与导数一、教学目标知识与技能：1．借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值概念。
2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数)(x f 必有最大值和最小值的充分条件。
3．掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤。
过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点难点教学重点：利用导数研究函数最大值、最小值的问题教学难点：利用导数研究函数最大值、最小值的问题三、教学过程：函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．我们以导数为工具，对研究函数的增减及极值和最值带来很大方便．四、学情分析我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。
需要教师指导并借助动画给予直观的认识。
五、教学方法发现式、启发式新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1．学生的学习准备：2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
提问1.极大值： 一般地，设函数f (x )在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x0)，就说f (x0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x0)，x0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f (x )在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x0).就说f (x0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x0)，x0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值4. 判别f (x0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值5. 求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )(2)求方程f ′(x )=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值（二）情景导入、展示目标。
安徽省长丰县实验高级中学人教版高中数学选修1-1教案：3.3.3函数的最大(小)值与导数
§ 3.3.3 函数的最大（小）值与导数（ 2 课时）项目内容2 课时）改正与课题（共创新⒈使学生理解函数的最大值和最小值的观点，掌握可导函数 f ( x) 在闭区教课间a, b 上所有点（包括端点a,b）处的函数中的最大（或最小）值必有目标的充足条件；⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤教课重、教课要点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．难点教课难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的差别与联系．教课多媒体课件准备一、导入新课：我们知道，极值反应的是函数在某一点邻近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，假如x0是函数y f x 的极大（小）值点，那么在点x0邻近找不到比f x0更大（小）的值．可是，在解决实质问题或研究函数的性质时，我们更关怀函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．假如x0是教课过程函数的最大（小）值，那么 f x0不小（大）于函数y f x 在相应区间上的全部函数值．二、讲解新课：y察看图中一个定义在闭区间a,b上的函数 f ( x) 的图象．图中 f ( x1 ) 与f ( x3 ) 是极小值， f ( x2 ) 是极大值．函数 a x 1 O x 2 x 3 b xf ( x) 在a,b上的最大值是 f (b) ，最小值是 f (x3 ) ．1．结论：一般地，在闭区间a,b 上函数y f (x) 的图像是一条连续不停的曲线，那么函数y f (x) 在a,b上必有最大值与最小值．说明：⑴假如在某一区间上函数y f ( x) 的图像是一条连续不停的曲线，则称函数 y f ( x) 在这个区间上连续．（能够不给学生讲）⑵给定函数的区间一定是闭区间，在开区间(a, b) 内连续的函数 f (x) 不必定1有最大值与最小值．如函数 f (x)在(0,) 内连续，但没有最大值与最小值；x⑶在闭区间上的每一点一定连续，即函数图像没有中断，⑷函数 f ( x) 在闭区间a,b 上连续，是f (x)在闭区间a, b 上有最大值与最小值的充足条件而非必需条件．（能够不给学生讲）2．“最值”与“极值”的差别和联系⑴最值” 是整体观点，是比较整个定义域内的函数值得出的，拥有绝对性；而“极值”是个局部观点，是比较极值点邻近函数值得出的，拥有相对性．⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是独一的；而极值不独一；⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不只一个，也可能没有一个⑷极值只好在定义域内部获得，而最值能够在区间的端点处获得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只需不在端点必然是极值．3．利用导数求函数的最值步骤:由上边函数 f ( x) 的图象能够看出，只需把连续函数全部的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就能够得出函数的最值了．一般地，求函数 f ( x) 在a,b上的最大值与最小值的步骤以下：⑴求 f ( x) 在 (a, b) 内的极值；⑵将 f ( x) 的各极值与端点处的函数值 f (a) 、 f (b) 比较，此中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数 f ( x) 在a, b上的最值三．典例剖析例 1．（课本例5）求f x 1 x3 4x 4 在0, 3的最大值与最小值3解：由例 4 可知，在0 , 3 上，当 x 2 时， f ( x)有极小值，而且极小值为 f (2) 40 4 ， f 3 1，又因为 f31 4所以，函数 f x x3 4x 4在0,3 的最大值是 4，最小值是．31 3上述结论能够从函数 f x x3 4x 4 在 0 ,3 上的图象获得直观验3证．例 2．求函数y x4 2x 2 5在区间2,2 上的最大值与最小值解：先求导数，得y / 4x 3 4x令 y /＝0即 4x3 4x 0 解得 x1 1, x2 0, x3 1导数y/ 的正负以及 f ( 2) ， f (2) 以下表从上表知，当 x 2 时，函数有最大值13，当x 1 时，函数有最小值 4例 3．已知f (x) log 3x2axb, x∈ (0,+ ∞ ). 能否存在实数a、b ,使xf ( x) 同时知足以下两个条件：（1） f ( x) )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞ ) 上是增函数；（ 2）f ( x)的最小值是 1，若存在，求出a、b ，若不存在，说明理由 .解：设 g(x)= x2ax bx∵f(x)在（ 0， 1）上是减函数，在［ 1，+∞ )上是增函数∴ g(x)在（ 0， 1）上是减函数，在［ 1， +∞)上是增函数 .g' (1) 0 b 1 0 a 1 ∴3∴b 1 3解得1g(1)a b经查验， a=1,b=1 时， f(x)知足题设的两个条件.四．讲堂练习1 ．以下说法正确的选项是 ( )A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值必定是极值D.在闭区间上的连续函数必定存在最值2．函数 y=f(x)在区间［ a,b ］上的最大值是 M ，最小值是 m,若 M=m,则 f ′ (x) ( )A.等于 0B.大于 0C.小于 0D.以上都有y12可能1 x 41 x 3 1x 2，在［－ 1，1］上的最小值为 () 10 3．函数 y= 843213A.0B.－ 2C.－1D.1264 y=x 4-2x 2+5 24 ．求函数 y x 42x 2 5在区间2,2 上的最大值与Ox-4-224最小值．5．课本练习讲堂小结：1．函数在闭区间上的最值点必在以下各样点之中：导数等于零的点，导数不 存在的点，区间端点；2．函数f ( x) 在闭区间 a, b 上连续，是 f ( x) 在闭区间 a, b 上有最大值与最小值的充足条件而非必需条件；3．闭区 间 a, b 上 的连续函数一 定有 最值 ；开 区间 ( a,b) 内 的 可导 函数不必定有最值，如有独一的极值，则此极值必是函数的最值4．利用导数求函数的最值方法．部署作业 ：P99 A 组6§ 3.3.3 函数的最大（小）值与导数板书设计教课反1 ．一般地，在闭区间a,b 上函数y f ( x) 的图像是一条连续不停的曲线，那么函数y f ( x) 在a, b上必有最大值与最小值。
2019-2020学年高中人教A版数学选修1-1学案：3.3.3 函数的最大(小)值与导数 含解析
3。
3.3函数的最大(小)值与导数Q错误!错误!城市街道路灯是一道亮丽的风景线，路灯的设计既要考虑景观效果，又要实用和节能,因此路灯的高度、路灯之间的距离与道路的宽度等等要有合适的比例，才能取得最好效果．若要取得良好效果，则设计人员需要一定的数学知识．X错误!错误!1．函数y＝f（x）在闭区间［a，b]上取得最值的条件如果在区间［a，b]上函数y＝f(x）的图象是__一条连续不断__的曲线，那么它必有最大值和最小值．2．求函数y＝f（x）在［a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数y＝f(x）在__（a，b)__内的极值．（2）将函数y＝f(x)的__各极值__与端点处的__函数值f(a)、_f(b）__比较，其中__最大__的一个是最大值，__最小__的一个是最小值．Y错误!错误!1．若函数f（x)＝－x4＋2x2＋3，则f(x）（ B ）A．最大值为4，最小值为－4 B．最大值为4，无最小值C．最小值为－4，无最大值D．既无最大值，也无最小值[解析］f′(x）＝－4x3＋4x,由f′（x）＝0得x＝±1或x＝0.易知f(－1)＝f(1)＝4为极大值也是最大值，故应选B。
2．函数y＝x＋2cos x在[0，错误!]上取最大值时，x的值为( B ）A．0 B．错误!C．错误!D．错误![解析] y′＝1－2sin x，由y′>0可知0〈x<错误!，由y′〈0可知错误!〈x<错误!,所以函数在（0，错误!)上单调递增，在(错误!,错误!)上单调递减，故y＝x＋2cos x在x＝错误!时取得最大值．3．函数f(x）＝x3－3x2＋2在区间[－1，1］上的最大值是（ C )A．－2 B．0C．2 D．4［解析] 对函数求导f′(x)＝3x2－6x＝3x（x－2）,则f(x）在区间[－1,0］上递增，在［0，1]上递减，因此最大值是f（0)＝2，故选C．4．函数y＝x4－2x2＋5在区间[－2,2］上的最大值为__13__.[解析] y′＝4x3－4x,令y′＝0,即4x3－4x＝0,解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1，又f(－2)＝13，f（－1)＝4，f（0）＝5，f（1）＝4，f(2)＝13，故最大值为13。
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例3．已知 , ∈(0,+∞).是否存在实数 ,使 同时满足下列两个条件：（1） )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2） 的最小值是1，若存在，求出 ，若不存在，说明理由.
解：设g(x)=
∵f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数
⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间 内连续的函数 不一定有最大值与最小值．如函数 在 内连续，但没有最大值与最小值；
⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，
⑷函数 在闭区间 上连续，是 在闭区间 上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（可以不给学生讲）
2．“最值”与“极值”的区别和联系
∴g(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.
∴ ∴ 解得
经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件.
四．课堂练习
1．下列说法正确的是( )
A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
2．函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x) ( )
2．利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
一般地，求函数 在 上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求 在 内的极值；
⑵将 的各极值与端点处的函数值 、 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数 在 上的最值。
3．利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
一般地，求函数 在 上的最大值与最小值的值与端点处的函数值 、 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数 在 上的最值
教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．
教学
准备
多媒体课件
教学过程
一、导入新课：
我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果 是函数 的极大（小）值点，那么在点 附近找不到比 更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．如果 是函数的最大（小）值，那么 不小（大）于函数 在相应区间上的所有函数值．
§3.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时）
项目
内容
课题
（共2课时）
修改与创新
教学
目标
⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数 在闭区间 上所有点（包括端点 ）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；
⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤
教学重、
难点
教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．
教学反思
这里求最值，仅仅只对在闭区间且图像是一条连续不断的函数，所以求解较为简单。鉴于课标的要求，教学时，对不满足条件的函数求最值，不做补充。但是，对在开区间，且函数只有一个极值点的，可举例分析其最值的情况，及求解。函数只有一个极（大）小值，则该极（大）小值也是最（大）小值。这一点，学生不难理解。
三．典例分析
例1．（课本例5）求 在 的最大值与最小值
解：由例4可知，在 上，当 时， 有极小值，并且极小值为 ，又由于 ，
因此，函数 在 的最大值是4，最小值是 ．
上述结论可以从函数 在 上的图象得到直观验证．
例2．求函数 在区间 上的最大值与最小值
解：先求导数，得
令 ＝0即 解得
导数 的正负以及 ， 如下表
二、讲授新课：
观察图中一个定义在闭区间 上的函数 的图象．图中 与 是极小值， 是极大值．函数 在 上的最大值是 ，最小值是 ．
1．结论：一般地，在闭区间 上函数 的图像是一条连续不断的曲线，那么函数 在 上必有最大值与最小值．
说明：⑴如果在某一区间上函数 的图像是一条连续不断的曲线，则称函数 在这个区间上连续．（可以不给学生讲）
3．闭区间 上的连续函数一定有最值；开区间 内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值
4．利用导数求函数的最值方法．
布置作业：
P99 A组6
板书设计
§3.3.3函数的最大（小）值与导数
1．一般地，在闭区间 上函数 的图像是一条连续不断的曲线，那么函数 在 上必有最大值与最小值。
A.等于0B.大于0 C.小于0D.以上都有可能
3．函数y= ，在［－1，1］上的最小值为( )
A.0B.－2 C.－1D.
4．求函数 在区间 上的最大值与最小值．
5．课本练习
课堂小结：
1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；
2．函数 在闭区间 上连续，是 在闭区间 上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；
⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．
⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；
⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．