2016-2017学年高中数学第三章不等式3.4基本不等式高效测评新人教A版必修5资料

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高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式练习(含解析)新人教A版必修5

高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式练习（含解析）新人教A版必修5知识点一利用基本不等式比较大小1．下列不等式中正确的是( ) A ．a ＋4a≥4 B．a 2＋b 2≥4abC ．ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3答案 D解析当a ＜0时，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2＜4ab ，故B 错；a＝4，b ＝16，则ab ＜a ＋b2，故C 错；由基本不等式可知D 正确．2．已知两个不相等的正数a ，b ，设P ＝a ＋b2，Q ＝ab ，M ＝a 2＋b 22，则有( )A ．P ＞Q ＞MB ．Q ＞P ＞MC ．P ＞M ＞QD ．M ＞P ＞Q 答案 D解析由基本不等式得P ＞Q ，又M 2－P 2＝a －b24＞0，得M ＞P ，故M ＞P ＞Q ．故选D ．3．已知正数x ，y 满足xy ＝36，则x ＋y 与12的大小关系是________．答案 x ＋y ≥12解析由x ，y 为正数，得x ＋y ≥2xy ＝12．知识点二利用基本不等式证明不等式4．(1)已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c ．(2)已知a ，b ，c 为不全相等的正实数．求证：a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca ．证明 (1)∵a ，b ，c ∈R ＋，a 2b ，b 2c ，c 2a均大于0，又a 2b ＋b ≥2a 2b ·b ＝2a ， b 2c ＋c ≥2b 2c·c ＝2b ， c 2a＋a ≥2c 2a·a ＝2c ，三式相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c 2a ＋a ≥2a ＋2b ＋2c ，∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c ． (2)∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴a ＋b ≥2ab ＞0，b ＋c ≥2bc ＞0，c ＋a ≥2ca ＞0． ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca ．由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故三个等号不能同时成立． ∴a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca ．5．已知a ，b ，c ∈R ，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )．证明 ∵a ＋b2≤a 2＋b 22，∴a 2＋b 2≥a ＋b2＝22(a ＋b )(a ，b ∈R ，等号在a ＝b 时成立)．同理，b 2＋c 2≥22(b ＋c )(等号在b ＝c 时成立)． a 2＋c 2≥22(a ＋c )(等号在a ＝c 时成立)．三式相加得a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2≥22(a ＋b )＋22(b ＋c )＋22(a ＋c ) ＝2(a ＋b ＋c )(等号在a ＝b ＝c 时成立)．易错点一忽视基本不等式适用条件6．给出下列结论： (1)若a ＞0，则a 2＋1＞a ．(2)若a ＞0，b ＞0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＋a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4．(3)若a ＞0，b ＞0，则(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4．(4)若a ∈R 且a ≠0，则9a＋a ≥6．其中恒成立的是________．易错分析易忽略不等式成立的前提是为正数而误认为(4)也正确．答案 (1)(2)(3)解析因为a >0，所以a 2＋1≥2a 2＝2a >a ，故(1)恒成立．因为a ＞0，所以a ＋1a ≥2，因为b ＞0，所以b ＋1b≥2，所以当a ＞0，b ＞0时，⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4，故(2)恒成立．因为(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2＋b a ＋a b，又因为a ，b ∈(0，＋∞)，所以b a ＋a b≥2，所以(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，故(3)恒成立．因为a ∈R 且a ≠0，不符合基本不等式的条件，故9a＋a ≥6是错误的．易错点二忽视定值的条件7．求函数f (x )＝2x (5－3x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53的最大值．易错分析 x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，∴2x ＞0，5－3x ＞0， ∴f (x )＝2x (5－3x ) ＝2[x 5－3x ]2≤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5－3x 22＝5－2x 22．当且仅当x ＝5－3x ，即x ＝54∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53时，等号成立，此时5－2x22＝258．故f (x )的最大值为258．不符合基本不等式求最值的条件：和或积为定值．解 x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，∴2x ＞0，5－3x ＞0， f (x )＝2x (5－3x )＝23[3x ·5－3x ]2≤23⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋5－3x 22＝256．当且仅当3x ＝5－3x ，即x ＝56∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53时，等号成立，故所求函数的最大值为256．一、选择题1．设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( ) A ．12 B ．b C ．2ab D ．a 2＋b 2答案 B 解析 ∵ab ＜a ＋b 22，∴ab ＜14，∴2ab ＜12．∵a 2＋b 22＞a ＋b2＞0，∴a 2＋b 22＞12，∴a 2＋b 2＞12．∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )＞0，∴b ＞a 2＋b 2，∴b 最大．2．下列不等式一定成立的是( ) A ．x ＋1x ≥2(x ≠0) B．x 2＋1x 2＋1≥1(x ∈R )C ．x 2＋1≤2x (x ∈R ) D ．x 2＋5x ＋6≥0(x ∈R ) 答案 B解析对于A ，当x ＞0时成立；对于B ，x 2＋1＋1x 2＋1≥2，当且仅当x ＝0时等号成立；对于C ，应为x 2＋1≥2x (x ∈R )；对于D ，x 2＋5x ＋6＝x ＋522－14≥－14；综上所述，故选B ．3．若a ＞b ＞0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a －b ＞1b －1a B ．c 2a ＜c2bC ．ab >2ab a ＋b D ．3a ＋b a ＋3b ＞ab答案 C解析逐一考查所给的选项：当a ＝2，b ＝13时，a －b ＝123，1b －1a ＝212，不满足a －b ＞1b －1a ，A 错误；当c ＝0时，c2a＝c 2b ＝0，不满足c 2a ＜c 2b ，B 错误；当a ＝2，b ＝1时，3a ＋b a ＋3b ＝75，a b ＝2，不满足3a ＋b a ＋3b ＞ab，D 错误；若a ＞b ＞0，则a ＋b >2ab ，即a ＋b >2abab，整理可得ab >2aba ＋b，C 正确．故选C ． 4．设a ，b 是两个实数，且a ≠b ，①a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3，②a 2＋b 2≥2(a －b －1)，③a b ＋b a＞2．上述三个式子恒成立的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 B解析 ①a 5＋b 5－(a 3b 2＋a 2b 3)＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2)＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a －b )2(a ＋b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )2(a 3＋b 3)＞0不恒成立；(a 2＋b 2)－2(a －b －1)＝a 2－2a ＋b 2＋2b ＋2＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0恒成立；a b ＋b a ＞2或a b ＋b a＜－2．故选B ．5．如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( ) A ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一 B ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一 C ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一 D ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一答案 A解析因为a ＋b ＝cd ＝4，所以由基本不等式得a ＋b ≥2ab ，故ab ≤4．又因为cd ≤c ＋d24，所以c ＋d ≥4，所以ab ≤c ＋d ，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝2时，等号成立．故选A ．二、填空题6．若a ＞b ＞c ，则a －c2与a －b b －c 的大小关系是________．答案a －c2≥a －bb －c解析因为a ＞b ＞c ，所以a －c2＝a －b ＋b －c2≥a －b b －c ，当且仅当a －b ＝b －c ，即2b ＝a ＋c 时，等号成立．7．若四个正数a ，b ，c ，d 成等差数列，x 是a 和d 的等差中项，y 是b 和c 的等比中项，则x 和y 的大小关系是________．答案 x ≥y 解析 ∵x ＝a ＋d 2＝b ＋c2，y ＝bc ，又∵b ，c 都是正数， ∴b ＋c2≥bc (当且仅当b ＝c 时取“＝”)，∴x ≥y ．8．设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．答案 3 2解析 (a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1·b ＋3≤9＋a ＋1＋b ＋3＝9＋a ＋b ＋4＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3且a ＋b ＝5，即a ＝72，b ＝32时等号成立，所以a ＋1＋b ＋3≤32．三、解答题9．已知a ，b ，c 均为正数，a ，b ，c 不全相等．求证：bc a ＋ac b ＋abc＞a ＋b ＋c ．证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ac b ≥2abc 2ab ＝2c ，ac b ＋abc ≥2a 2bcbc＝2a ， bc a ＋ab c≥2acb 2ac＝2b ．又a ，b ，c 不全相等，故上述等号至少有一个不成立． ∴bc a ＋ac b ＋abc＞a ＋b ＋c ． 10．(1)已知m ，n >0，且m ＋n ＝16，求12mn 的最大值；(2)已知x >3，求f (x )＝x ＋4x －3的最小值．解 (1)∵m ，n >0且m ＋n ＝16， ∴由基本不等式可得mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1622＝64，当且仅当m ＝n ＝8时，mn 取到最大值64． ∴12mn 的最大值为32． (2)∵x >3，∴x －3>0，4x －3>0，于是f (x )＝x ＋4x －3＝x －3＋4x －3＋3 ≥2x －3·4x －3＋3＝7，当且仅当x －3＝4x －3，即x ＝5时，f (x )取到最小值7．。

高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式练习含解析新人教A版必修50819315

高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式练习含解析新人教A 版必修50819315知识点一利用基本不等式比较大小1．下列不等式中正确的是( ) A ．a ＋4a≥4 B．a 2＋b 2≥4abC ．ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3答案 D解析当a ＜0时，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2＜4ab ，故B 错；a＝4，b ＝16，则ab ＜a ＋b2，故C 错；由基本不等式可知D 正确．2．已知两个不相等的正数a ，b ，设P ＝a ＋b2，Q ＝ab ，M ＝a 2＋b 22，则有( )A ．P ＞Q ＞MB ．Q ＞P ＞MC ．P ＞M ＞QD ．M ＞P ＞Q 答案 D解析由基本不等式得P ＞Q ，又M 2－P 2＝a －b24＞0，得M ＞P ，故M ＞P ＞Q ．故选D ．3．已知正数x ，y 满足xy ＝36，则x ＋y 与12的大小关系是________．答案 x ＋y ≥12解析由x ，y 为正数，得x ＋y ≥2xy ＝12．知识点二利用基本不等式证明不等式4．(1)已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c ．(2)已知a ，b ，c 为不全相等的正实数．求证：a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca ．证明 (1)∵a ，b ，c ∈R ＋，a 2b ，b 2c ，c 2a均大于0，又a 2b ＋b ≥2a 2b ·b ＝2a ， b 2c ＋c ≥2b 2c·c ＝2b ， c 2a＋a ≥2c 2a·a ＝2c ，三式相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c 2a ＋a ≥2a ＋2b ＋2c ，∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c ． (2)∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴a ＋b ≥2ab ＞0，b ＋c ≥2bc ＞0，c ＋a ≥2ca ＞0． ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca ．由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故三个等号不能同时成立． ∴a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca ．5．已知a ，b ，c ∈R ，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )．证明 ∵a ＋b2≤a 2＋b 22，∴a 2＋b 2≥a ＋b2＝22(a ＋b )(a ，b ∈R ，等号在a ＝b 时成立)．同理，b 2＋c 2≥22(b ＋c )(等号在b ＝c 时成立)． a 2＋c 2≥22(a ＋c )(等号在a ＝c 时成立)．三式相加得a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2≥22(a ＋b )＋22(b ＋c )＋22(a ＋c ) ＝2(a ＋b ＋c )(等号在a ＝b ＝c 时成立)．易错点一忽视基本不等式适用条件6．给出下列结论： (1)若a ＞0，则a 2＋1＞a ．(2)若a ＞0，b ＞0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＋a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4．(3)若a ＞0，b ＞0，则(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4．(4)若a ∈R 且a ≠0，则9a＋a ≥6．其中恒成立的是________．易错分析易忽略不等式成立的前提是为正数而误认为(4)也正确．答案 (1)(2)(3)解析因为a >0，所以a 2＋1≥2a 2＝2a >a ，故(1)恒成立．因为a ＞0，所以a ＋1a ≥2，因为b ＞0，所以b ＋1b≥2，所以当a ＞0，b ＞0时，⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4，故(2)恒成立．因为(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2＋b a ＋a b，又因为a ，b ∈(0，＋∞)，所以b a ＋a b≥2，所以(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，故(3)恒成立．因为a ∈R 且a ≠0，不符合基本不等式的条件，故9a＋a ≥6是错误的．易错点二忽视定值的条件7．求函数f (x )＝2x (5－3x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53的最大值．易错分析 x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，∴2x ＞0，5－3x ＞0， ∴f (x )＝2x (5－3x ) ＝2[x 5－3x ]2≤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5－3x 22＝5－2x 22．当且仅当x ＝5－3x ，即x ＝54∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53时，等号成立，此时5－2x22＝258．故f (x )的最大值为258．不符合基本不等式求最值的条件：和或积为定值．解 x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，∴2x ＞0，5－3x ＞0， f (x )＝2x (5－3x )＝23[3x ·5－3x ]2≤23⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋5－3x 22＝256．当且仅当3x ＝5－3x ，即x ＝56∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53时，等号成立，故所求函数的最大值为256．一、选择题1．设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( ) A ．12 B ．b C ．2ab D ．a 2＋b 2答案 B 解析 ∵ab ＜a ＋b 22，∴ab ＜14，∴2ab ＜12．∵a 2＋b 22＞a ＋b2＞0，∴a 2＋b 22＞12，∴a 2＋b 2＞12．∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )＞0，∴b ＞a 2＋b 2，∴b 最大．2．下列不等式一定成立的是( ) A ．x ＋1x ≥2(x ≠0) B．x 2＋1x 2＋1≥1(x ∈R )C ．x 2＋1≤2x (x ∈R ) D ．x 2＋5x ＋6≥0(x ∈R ) 答案 B解析对于A ，当x ＞0时成立；对于B ，x 2＋1＋1x 2＋1≥2，当且仅当x ＝0时等号成立；对于C ，应为x 2＋1≥2x (x ∈R )；对于D ，x 2＋5x ＋6＝x ＋522－14≥－14；综上所述，故选B ．3．若a ＞b ＞0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a －b ＞1b －1a B ．c 2a ＜c2bC ．ab >2ab a ＋b D ．3a ＋b a ＋3b ＞ab答案 C解析逐一考查所给的选项：当a ＝2，b ＝13时，a －b ＝123，1b －1a ＝212，不满足a －b ＞1b －1a ，A 错误；当c ＝0时，c2a＝c 2b ＝0，不满足c 2a ＜c 2b ，B 错误；当a ＝2，b ＝1时，3a ＋b a ＋3b ＝75，a b ＝2，不满足3a ＋b a ＋3b ＞ab，D 错误；若a ＞b ＞0，则a ＋b >2ab ，即a ＋b >2abab，整理可得ab >2aba ＋b，C 正确．故选C ． 4．设a ，b 是两个实数，且a ≠b ，①a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3，②a 2＋b 2≥2(a －b －1)，③a b ＋b a＞2．上述三个式子恒成立的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 B解析 ①a 5＋b 5－(a 3b 2＋a 2b 3)＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2)＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a －b )2(a ＋b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )2(a 3＋b 3)＞0不恒成立；(a 2＋b 2)－2(a －b －1)＝a 2－2a ＋b 2＋2b ＋2＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0恒成立；a b ＋b a ＞2或a b ＋b a＜－2．故选B ．5．如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( ) A ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一 B ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一 C ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一 D ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一答案 A解析因为a ＋b ＝cd ＝4，所以由基本不等式得a ＋b ≥2ab ，故ab ≤4．又因为cd ≤c ＋d24，所以c ＋d ≥4，所以ab ≤c ＋d ，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝2时，等号成立．故选A ．二、填空题 6．若a ＞b ＞c ，则a －c2与a －b b －c 的大小关系是________．答案a －c2≥a －b b －c解析因为a ＞b ＞c ，所以a －c2＝a －b ＋b －c2≥a －b b －c ，当且仅当a －b ＝b －c ，即2b ＝a ＋c 时，等号成立．7．若四个正数a ，b ，c ，d 成等差数列，x 是a 和d 的等差中项，y 是b 和c 的等比中项，则x 和y 的大小关系是________．答案 x ≥y 解析 ∵x ＝a ＋d 2＝b ＋c2，y ＝bc ，又∵b ，c 都是正数， ∴b ＋c2≥bc (当且仅当b ＝c 时取“＝”)，∴x ≥y ．8．设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．答案 3 2解析 (a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1·b ＋3≤9＋a ＋1＋b ＋3＝9＋a ＋b ＋4＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3且a ＋b ＝5，即a ＝72，b ＝32时等号成立，所以a ＋1＋b ＋3≤32．三、解答题9．已知a ，b ，c 均为正数，a ，b ，c 不全相等．求证：bc a ＋ac b ＋abc＞a ＋b ＋c ．证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ac b ≥2abc 2ab ＝2c ，ac b ＋abc ≥2a 2bcbc＝2a ， bc a ＋ab c≥2acb 2ac＝2b ．又a ，b ，c 不全相等，故上述等号至少有一个不成立． ∴bc a ＋ac b ＋abc＞a ＋b ＋c ． 10．(1)已知m ，n >0，且m ＋n ＝16，求12mn 的最大值；(2)已知x >3，求f (x )＝x ＋4x －3的最小值．解 (1)∵m ，n >0且m ＋n ＝16， ∴由基本不等式可得mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1622＝64，当且仅当m ＝n ＝8时，mn 取到最大值64． ∴12mn 的最大值为32． (2)∵x >3，∴x －3>0，4x －3>0，于是f (x )＝x ＋4x －3＝x －3＋4x －3＋3 ≥2x －3·4x －3＋3＝7，当且仅当x －3＝4x －3，即x ＝5时，f (x )取到最小值7．。

高中数学第三章不等式3.4.2基本不等式的应用练习含解析新人教A版必修50819314

高中数学第三章不等式3.4.2基本不等式的应用练习含解析新人教A 版必修50819314知识点一用基本不等式求最值1．若点(a ，b )在直线x ＋2y ＝3上移动，则2a ＋4b的最小值是( ) A ．8 B ．6 C ．4 2 D ．3 2 答案 C解析点(a ，b )在直线x ＋2y ＝3上，则a ＋2b ＝3，所以2a＋4b＝2a＋22b≥22a ＋2b＝223＝42，当且仅当a ＝2b ＝32时等号成立．故选C ．2．下列各式中最小值等于2的是( )A ．x 2a ＋2a xB ．x ＋1x(x ≥4) C ．x 2＋x ＋3 D ．3x ＋3－x答案 D解析 A 不正确，例如x ，a 的符号相反时，式子的最小值不可能等于2．B 不正确，∵y ＝x ＋1x 在[4，＋∞)上递增，它的最小值是4＋14＝174．C 不正确，∵x 2＋x ＋3＝x ＋122＋114≥114，故最小值不是2．3x＋3－x≥23x ×3－x ＝2(当且仅当3x ＝3－x，即x ＝0时等号成立)．故选D ．3．已知m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1且x ＝m ＋1m ，y ＝n ＋1n，则x ＋y 的最小值是( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案 B解析依题意有x ＋y ＝m ＋n ＋1m ＋1n ＝1＋m ＋n m ＋m ＋n n ＝3＋n m ＋mn≥3＋2＝5，当且仅当m＝n ＝12时取等号．故选B ．4．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A ．13 B ．12 C ．34 D ．23 答案 B解析由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．5．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9 D ．36 答案 B解析 (1＋x )(1＋y )≤1＋x ＋1＋y22＝2＋x ＋y22＝2＋822＝25，因此当且仅当1＋x ＝1＋y 即x ＝y ＝4时，(1＋x )(1＋y )取最大值25．故选B ．知识点二基本不等式的实际应用6．某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为( )A ．200件B ．5000件C ．2500件D ．1000件答案 D解析设进货n 次，则每次的进货量为10000n，一年的运费和租金为y 元．根据题意得y ＝100n ＋10000n≥2000，当且仅当n ＝10时取等号，此时每次进货量应为1000件．故选D ．7．如图，公园想建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x 米墙，(1)求x 的取值范围；(2)求最少需要多少米铁丝网(精确到0．1米)．解 (1)由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x 米，则另一边长为144x米，则矩形草地所需铁丝网长度为y ＝x ＋2×144x．令y ＝x ＋2×144x≤44(x ＞0)，解得8≤x ≤36．则x 的取值范围是[8，36]．(2)由基本不等式，得y ＝x ＋288x≥242．当且仅当x ＝288x，即x ≈17．0时，等号成立，则y 最小值＝242≈34．0．即最少需要约34．0米铁丝网．易错点忽略等号成立的一致性8．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋2y ＝1，求1x ＋1y的最小值．易错分析易错解为1x ＋1y＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥22xy ·21xy＝42．在求解过程中使用了两次基本不等式：x ＋2y ≥22xy ，1x ＋1y ≥21xy，但这两次取“＝”需满足x ＝2y 与x ＝y ，自相矛盾，所以“＝”取不到．解 x ＋2y ＝1，x ＞0，y ＞0，∴1x ＋1y＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝3＋x y ＋2y x ≥3＋22当且仅当x y ＝2y x，即x ＝2y 时，取“＝”．∵x ＋2y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－1，y ＝1－22.∴当且仅当x ＝2－1，y ＝1－22时，1x ＋1y有最小值，为3＋22．一、选择题1．已知x ，y 是正数，且xy ＝4，则y x ＋xy取得最小值时，x 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．2 2 D ． 2 答案 B 解析 y x ＋xy≥2xy ＝244＝22，当且仅当y x ＝xy，即x ＝y ＝2时取得最小值．故选B ．2．下列函数中，最小值为2的是( )A ．y ＝x 2＋2＋1x 2＋2B ．y ＝lg x ＋1lg x (1＜x ＜10)C ．y ＝2x ＋2－x(x ∈R ) D ．y ＝sin x ＋1sin x 0＜x ＜π2答案 C解析利用基本不等式，注意“一正、二定、三相等”．x 2＋2＋1x 2＋2≥2，当且仅当x 2＋2＝1x 2＋2，即x 2＋2＝1时，等号成立，但x 2＋2≥2＞1显然不成立，∴A 不正确；lg x＋1lg x ≥2，当且仅当lg x ＝1lg x，即x ＝10或110时，等号成立，而1＜x ＜10，故等号不成立，∴B 不正确；2x ＋2－x≥2，当且仅当2x ＝2－x，即x ＝0时取等号，∴C 正确；sin x ＋1sin x ≥2，当且仅当sin x ＝±1时取等号，而0＜x ＜π2，等号不成立，∴D 不正确． 3．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为( )A ．25B ．12C ．22 D ．1 答案 B解析令t ＝x (t ≥0)，则x ＝t 2，∴f (x )＝x x ＋1＝tt 2＋1．当t ＝0时，f (x )＝0；当t ＞0时，f (x )＝1t 2＋1t ＝1t ＋1t． ∵t ＋1t ≥2，∴0＜1t ＋1t≤12．∴f (x )的最大值为12．4．设M 是△ABC 内一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y的最小值为( )A ．8B ．9C ．16D ．18答案 D解析由条件可得|AB →||AC →|＝4，设△ABC 的面积为S ，则S ＝12|AB →||AC →|sin ∠BAC ＝1，∵S △MBC ＝12，∴x ＋y ＝12，故1x ＋4y ＝2(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ≥18，当且仅当x ＝16，y ＝13时等号成立．故选D ．5．设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a a －b的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D 解析 a 2＋1ab＋1aa －b＝a 2－ab ＋ab ＋1ab＋1aa －b＝a (a －b )＋ab ＋1ab＋1a a －b≥2a a －b ·1a a －b＋2ab ·1ab ＝4，当且仅当a (a －b )＝1a a －b 且ab ＝1ab即a ＝2b ＝2时，等号成立．故选D ．二、填空题6．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．答案 1760解析设水池池底的一边长为x m ，则另一边长为4xm ，则总造价为：y ＝480＋80×2x ＋2×4x ×2＝480＋320x ＋4x≥480＋320×2x ×4x＝1760．当且仅当x ＝4x即x ＝2时，y 取最小值1760．所以水池的最低总造价为1760元．7．已知x ＜54，则函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值是________．答案 1解析 ∵x ＜54，∴4x －5＜0，y ＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3＝3－(5－4x )＋15－4x≤3－2＝1，等号在5－4x ＝15－4x，即x ＝1时成立． 8．已知m ＞0，n ＞0，则当81m 2＋n 2＋7298mn 取得最小值时，m －n 的值为________．答案－4解析依题意，81m 2＋n 2＋7298mn ≥18mn ＋7298mn ≥81，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧9m ＝n ，18mn ＝7298mn ⇒⎩⎪⎨⎪⎧9m ＝n ，mn ＝94⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝92时等号成立，此时m －n ＝－4．三、解答题9．已知a ，b 为正数，求证：1a ＋4b≥22＋122a ＋b．证明因为a ＞0，b ＞0，所以(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b＝6＋b a ＋8a b≥6＋2b a ·8ab＝6＋42＝2(2＋1)2，即得1a ＋4b≥22＋122a ＋b．10．某厂家拟在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(也是该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．预计2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1．5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)设2018年该产品的利润为y 万元，将y 表示为m 的函数； (2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时获得的利润最大？解 (1)由题意，知当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ，即k ＝2．∴x ＝3－2m ＋1．又每件产品的销售价格为1．5×8＋16xx元，∴y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝28－16m ＋1－m(m≥0)．(2)y＝28－16m＋1－m＝29－⎣⎢⎡⎦⎥⎤m＋1＋16m＋1，∵m≥0，∴(m＋1)＋16m＋1≥216＝8，当且仅当16m＋1＝m＋1，即m＝3时等号成立，∴y≤29－8＝21，即当m＝3时，y max＝21．∴该厂家2018年的促销费用投入为3万元时获得的利润最大，最大利润为21万元．。

2016-2017学年高一数学人教a版必修3章末综合测评(第3章)_word版含解析AKMPwP

章末综合测评(三) 概率(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件中，随机事件的个数为( )①在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军； ②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签； ④在标准大气压下，水在4℃时结冰． A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 ①在明年运动会上，可能获冠军，也可能不获冠军．②李凯不一定被抽到．③任取一张不一定为1号签．④在标准大气压下水在4℃时不可能结冰，故①②③是随机事件，④是不可能事件．【答案】 C2．下列说法正确的是( )A ．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场B ．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C ．随机试验的频率与概率相等D ．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90% 【解析】概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性．故选D.【答案】 D3．(2016·开封高一检测)给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是( )A.16 B ．13 C.12D ．23【解析】给三人打电话的不同顺序有6种可能，其中第一个给甲打电话的可能有2种，故所求概率为P ＝26＝13.故选B.【答案】 B4．在区间[－2，1]上随机取一个数x ，则x ∈[0，1]的概率为( ) A.13 B ．14 C.12D ．23【解析】由几何概型的概率计算公式可知x ∈[0，1]的概率P ＝1－01－（－2）＝13.故选A.【答案】 A5．1升水中有1只微生物，任取0.1升化验，则有微生物的概率为( ) A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3D ．0.4【解析】本题考查的是体积型几何概型．【答案】 A6．(2016·天水高一检测)从一批产品中取出三件产品，设A ＝“三件产品全不是次品”，B ＝“三件产品全是次品”，C ＝“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是( )A ．A 与C 互斥B ．B 与C 互斥 C ．任何两个均互斥D ．任何两个均不互斥【解析】互斥事件是不可能同时发生的事件，所以B 与C 互斥．【答案】 B7．某人从甲地去乙地共走了500 m ，途中要过一条宽为x m 的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概率为45，则河宽为( )A ．100 mB ．80 mC ．50 mD ．40 m【解析】设河宽为x m ，则1－x 500＝45，所以x ＝100. 【答案】 A8．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g 的概率是0.3，质量不小于4.85 g 的概率是0.32，那么质量在[4.8，4.85)范围内的概率是( )A ．0.62B ．0.38C ．0.70D ．0.68【解析】记“取到质量小于4.8 g ”为事件A ，“取到质量不小于4.85 g ”为事件B ，“取到质量在[4.8，4.85)范围内”为事件C .易知事件A ，B ，C 互斥，且A ∪B ∪C 为必然事件．所以P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.3＋0.32＋P (C )＝1，即P (C )＝1－0.3－0.32＝0.38.【答案】 B9．如图1，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( ) 【导学号：28750071】图1A.14 B ．13 C.12D ．23【解析】点E为边CD的中点，故所求的概率P＝△ABE的面积矩形ABCD的面积＝1 2.【答案】 C10．将区间[0，1]内的均匀随机数x1转化为区间[－2，2]内的均匀随机数x，需要实施的变换为()A．x＝x1*2 B．x＝x1*4C．x＝x1*2－2 D．x＝x1*4－2【解析】由题意可知x＝x1*(2＋2)－2＝4x1－2.【答案】 D11．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是P1，P2，P3，则()A．P1＝P2＜P3B．P1＜P2＜P3C．P1＜P2＝P3D．P3＝P2＜P1【解析】先后抛掷两颗骰子的点数共有36个基本事件：(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)，并且每个基本事件都是等可能发生的．而点数之和为12的只有1个：(6，6)；点数之和为11的有2个：(5，6)，(6，5)；点数之和为10的有3个：(4，6)，(5，5)，(6，4)，故P1＜P2＜P3.【答案】 B12．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，则下列选项中以710为概率的事件是()A．恰有1件一等品B．至少有一件一等品C．至多有一件一等品D．都不是一等品【解析】将3件一等品编号为1，2，3，2件二等品编号为4，5，从中任取2件有10种取法：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，恰有1件一等品的概率为P1＝610，恰有2件一等品的取法有：(1，2)，(1，3)，(2，3)．故恰有2件一等品的概率为P 2＝310，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P 3＝1－P 2＝1－310＝710.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)．13．一个袋子中有5个红球，3个白球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记A ＝{摸出黑球}，B ＝{摸出白球}，C ＝{摸出绿球}，D ＝{摸出红球}，则P (A )＝________；P (B )＝________；P (C ∪D )＝________．【解析】由古典概型的算法可得P (A )＝820＝25，P (B )＝320，P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝420＋520＝920.【答案】 25 320 92014．在区间(0，1)内任取一个数a ，能使方程x 2＋2ax ＋12＝0有两个相异实根的概率为________．【解析】方程有两个相异实根的条件是Δ＝(2a )2－4×1×12＝4a 2－2>0，解得|a |>22，又a ∈(0，1)，所以22<a <1，区间⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1的长度为1－22，而区间(0，1)的长度为1，所以方程有两个相异实根的概率为1－221＝2－22.【答案】2－2215．甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图2所示，如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩相同的概率是________．图2【解析】由题意可知从甲、乙两组中各随机选取一名同学，共有9种选法，其中这两名同学的成绩相同的选法只有1种，故所求概率P＝1 9.【答案】1 916．(2016·合肥高一检测)甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a、b∈{0，1，2，…，9}．若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为________．【解析】此题可化为任意从0～9中取两数(可重复)共有10×10＝100种取法．若|a－b|≤1分两类，当甲取0或9时，乙只能猜0、1或8、9共4种，当甲取2～8中的任一数字时，分别有3种选择，共3×8＝24种，所以P＝24＋4 10×10＝7 25.【答案】7 25三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2015·陕西高考)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：日期12345678910天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴日期11121314151617181920．．．(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天．．开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨．．．的概率．【解】 (1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为2630＝1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78.以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.18．(本小题满分12分)对某班一次测验成绩进行统计，如下表所示：(2)求该班成绩在[60，100]内的概率．【解】记该班的测试成绩在[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]内依次为事件A ，B ，C ，D ，由题意知事件A ，B ，C ，D 是彼此互斥的．(1)该班成绩在[80，100]内的概率是P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝0.25＋0.15＝0.4. (2)该班成绩在[60，100]内的概率是P (A ∪B ∪C ∪D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝0.17＋0.36＋0.25＋0.15＝0.93.19．(本小题满分12分)小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x ；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y .(1)在直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点共有几个？(2)规定：若x ＋y ≥10，则小王赢；若x ＋y ≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个游戏规则公平吗？请说明理由. 【导学号：28750072】【解】 (1)由于x ，y 取值为1，2，3，4，5，6，则以(x ，y )为坐标的点有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共有36个，即以(x ，y )为坐标的点共有36个．(2)满足x ＋y ≥10的点有：(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6个，所以小王赢的概率是636＝16，满足x ＋y ≤4的点有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共6个，所以小李赢的概率是636＝16，则小王赢的概率等于小李赢的概率，所以这个游戏规则公平．20．(本小题满分12分)(2014·天津高考)某校夏令营有3名男同学A ，B ，C 和3名女同学X ，Y ，Z ，其年级情况如下表：现从这6)． (1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．【解】 (1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，X }，{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，C }，{B ，X }，{B ，Y }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，{C ，Z }，{X ，Y }，{X ，Z }，{Y ，Z }，共15种．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，X }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，共6种．因此，事件M 发生的概率P (M )＝615＝25.21．(本小题满分12分)(2014·四川高考)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．【解】 (1)由题意知，(a ，b ，c )所有的可能为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种．所以P (A )＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝89.因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.22．(本小题满分12分)把参加某次铅球投掷的同学的成绩(单位：米)进行整理，分成以下6个小组：[5.25，6.15)，[6.15，7.05)，[7.05，7.95)，[7.95，8.85)，[8.85，9.75)，[9.75，10.65]，并绘制出频率分布直方图，如图3所示是这个频率分布直方图的一部分．已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7.规定：投掷成绩不小于7.95米的为合格．图3(1)求这次铅球投掷成绩合格的人数；(2)你认为这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在第几组？请说明理由； (3)若参加这次铅球投掷的学生中，有5人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加相关部门组织的经验交流会，已知a 、b 两位同学的成绩均为优秀，求a 、b 两位同学中至少有1人被选到的概率．【解】 (1)∵第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14. ∴参加这次铅球投掷的总人数为70.14＝50. 根据规定，第4、5、6组的成绩均为合格，人数为 (0.28＋0.30＋0.14)×50＝36.(2)∵成绩在第1、2、3组的人数为(0.04＋0.10＋0.14)×50＝14，成绩在第5、6组的人数为(0.30＋0.14)×50＝22，参加这次铅球投掷的总人数为50，∴这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在[7.95，8.85)内，即第4组． (3)设这次铅球投掷成绩优秀的5人分别为a 、b 、c 、d 、e ，则选出2人的所有可能的情况为：ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共10种，其中a 、b 至少有1人的情况为：ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，共有7种，7∴a、b两位同学中至少有1人被选到的概率为P＝10.。

学年高中数学第三章不等式.基本不等式作业含解析新人教A版必修

3.4 基本不等式基础巩固一、选择题1．若a 、b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C ．1a ＋1b>2abD ．b a ＋ab≥2[答案] D[解析] ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误．对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2. 2．设0<a 0，即ab >a ，故选B ． 3．设x 、y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x＋3y的最小值为( ) A ．10 B ．6 3 C ．4 6 D ．18 3[答案] D[解析] x ＋y ＝5,3x＋3y≥23x·3y＝23x ＋y＝235＝18 3.4．已知正项等差数列{a n }中，a 5＋a 16＝10则a 5a 16的最大值为( ) A ．100 B ．75 C ．50 D ．25[答案] D[解析] ∵a 5>0，a 16>0，a 5＋a 16＝10， ∴a 5·a 16≤(a 5＋a 162)2＝(102)2＝25，当且仅当a 5＝a 16＝5时，等号成立．5．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D ．14[答案] B[解析] 根据题意得3a·3b＝3，∴a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b≥4.当a ＝b ＝12时“＝”成立．故选B ．6．若0<a <1,02ab ，a ＋b >2ab ，a >a 2，b >b 2， ∴a ＋b >a 2＋b 2，故选D ．解法二：取a ＝12，b ＝13，则a 2＋b 2＝1336，2ab ＝63，2ab ＝13，a ＋b ＝56，显然56最大．二、填空题7．设实数a 使a 2＋a －2>0成立，t >0，比较12log a t 与log a t ＋12的大小，结果为________________．[答案] 12log a t ≤log a t ＋12[解析] ∵a 2＋a －2＞0，∴a ＜－2或a ＞1，又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1， ∵t ＞0，∴t ＋12≥t ，∴log at ＋12≥log a t ＝12log a t ， ∴12log a t ≤log a t ＋12. 8．函数y ＝x ·(3－2x ) (0≤x ≤1)的最大值为______________． [答案] 98[解析] ∵0≤x ≤1，∴3－2x ＞0，∴y ＝122x ·(3－2x )≤12[2x ＋3－2x 2]2＝98，。

学年高中数学第三章不等式.基本不等式作业含解析新人教A版必修3

3.4 基本不等式基础巩固一、选择题1．若x ＞0，y ＞0，且x ＋y ≤4，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．1x ＋y ≤14B ．1x ＋1y ≥1C ．xy ≥2D ．1xy≥1[答案] B[解析] 取x ＝1，y ＝2满足x ＋y ≤4排除A 、C 、D 选B ．具体比较如下：∵0<x ＋y ≤4∴1x ＋y ≥14故A 不对；∵4≥x ＋y ≥2xy ，∴xy ≤2，∴C 不对；又0＜xy ≤4，∴1xy ≥14∴D 不对；1x ＋1y ＝x ＋y xy ≥2xy xy ＝2xy ，∵1xy ≥12，∴1x ＋1y ≥1.2．已知m 、n ∈R ，m 2＋n 2＝100，则mn 的最大值是( ) A ．100 B ．50 C ．20 D ．10[答案] B [解析] 由m 2＋n 2≥2mn得，mn ≤m 2＋n 22＝50，等号在m ＝n ＝52时成立，故选B ．3．若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A ．1ab >12B ．1a ＋1b ≤1C ．ab ≥2D ．1a 2＋b 2≤18[答案] D[解析] ∵a >0，b >0，a ＋b ＝4，∴ab ≤a ＋b2＝2，∴ab ≤4，∴1ab ≥14，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1，故A 、B 、C 均错，选D ．[点评] 对于D 有，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝16－2ab ≥16－2×4＝8，∴1a 2＋b 2≤18. 4．实数x 、y 满足x ＋2y ＝4，则3x ＋9y 的最小值为( ) A ．18 B ．12 C ．23D ．43[答案] A[解析] ∵x ＋2y ＝4，∴3x ＋9y ＝3x ＋32y ≥23x ·32y ＝23x ＋2y ＝234＝18，等号在3x ＝32y 即x ＝2y 时成立．∵x ＋2y ＝4，∴x ＝2，y ＝1时取到最小值18.5．(2016·云南师大附中高三月考)已知a ＋b ＝t (a >0，b >0)，t 为常数，且ab 的最大值为2，则t 等于( ) A ．2 B ．4 C ．22 D ．2 5[答案] C[解析] 当a >0，b >0时，ab ≤a ＋b 24＝t 24，当且仅当a ＝b ＝t2时取等号．因为ab 的最大值为2，所以t 24＝2，t 2＝8，所以t ＝8＝2 2.故选C ．6．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2][答案] D[解析] ∵2x ＋2y ≥22x ＋y ，∴22x ＋y ≤1， ∴2x ＋y ≤14＝2－2，∴x ＋y ≤－2，故选D ．二、填空题7．已知x 、y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．[答案] 3[解析] ∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12， ∴xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4，即x ＝32，y ＝2时取等号．8．已知a 、b 为实常数，函数y ＝(x －a )2＋(x －b )2的最小值为__________ [答案]12(a －b )2 [解析] 从函数解析式的特点看，本题可化为关于x 的二次函数，再通过配方求其最小值(留给读者完成)．但若注意到(x －a )＋(b －x )为定值，则用变形不等式a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2更简捷．。

高中数学第三章不等式3 4 2基本不等式的应用素养评价检测含解析新人教A版必修5

基本不等式的应用(20分钟35分)1.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( ) A.60件 B.80件 C.100件 D.120件〖解析〗选B.设每件产品的平均费用为y元,由题意得y=+≥2=20.当且仅当=(x>0),即x=80时“=”成立.2.若xy是正数,则+的最小值是( )A.3B.C.4D.〖解析〗选C.+=x2+y2+++=+++≥1+1+2=4.当且仅当x=y=或x=y=-时取等号.3.已知m>0,n>0,+=1,若不等式m+n≥-x2+2x+a对已知的m,n及任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.〖8,+∞) B.〖3,+∞)C.(-∞,3〗D.(-∞,8〗〖解析〗选D.因为m+n=(m+n)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即m=3,n=6时等号成立,所以-x2+2x+a≤9,即a≤x2-2x+9=(x-1)2+8,所以a≤8.4.已知x>0,y>0,且+=1,则3x+4y的最小值是.〖解析〗因为x>0,y>0,+=1,所以3x+4y=(3x+4y)=13++≥13+3×2=25(当且仅当x=2y=5时取等号),所以(3x+4y)min=25.答案:255.若a,b均为正实数,且满足a+2b=1,则的最小值为.〖解析〗a+2b=1,则===+,则(a+2b)=4+3++≥7+2=7+4,当且仅当=,即a=b时取等号.答案:4+76.共享单车给市民出行带来了诸多便利,某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用.据市场分析,每辆单车的营运累计收入f(x)(单位:元)与营运天数x(x∈N*)满足f(x)=-x2+60x-800.(1)要使营运累计收入高于800元,求营运天数的取值范围;(2)每辆单车营运多少天时,才能使每天的平均营运收入最大?〖解析〗(1)要使营运累计收入高于800元,则f(x)>800⇒-x2+60x-800>800⇒(x-40)(x-80)<0⇒40<x<80,所以要使营运累计收入高于800元,营运天数应该在(40,80)内取值.(2)每辆单车每天的平均营运收入为y===-x-+60≤-2+60=20,当且仅当x=时等号成立,解得x=40,即每辆单车营运40天,可使每天的平均营运收入最大.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知x,y∈(0,+∞),xy=2x+y,则x+y取得最小值时,x= ( )A. B.+1 C.1 D.-1〖解析〗选B.因为x,y∈(0,+∞),xy=2x+y,所以+=1,则x+y=(x+y)=3++≥3+2=3+2,当且仅当=时取等号,又xy=2x+y,解得x=+1.2.用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型,则这个模型的最大面积为( )A.9 cm2B.16 cm2C.4 cm2D.5 cm2〖解析〗选C.设矩形模型的长和宽分别为x,y,则x>0,y>0,由题意可得2(x+y)=8,所以x+y=4,所以矩形的面积S=xy≤==4,当且仅当x=y=2时取等号,所以当矩形的长和宽都为2 cm时,面积最大,为4 cm2.3.若正实数x,y满足x+y=1,则+的最小值为( )A. B. C. D.〖解析〗选D.因为x>0,y>0,x+y=1,所以x+1+y=2,+=·=≥×(5+2)=,当且仅当x=,y=时取等号.〖补偿训练〗已知lg a+lg b=lg 2,+的最大值是( ) A.2 B.2 C. D.〖解析〗选D.因为lg a+lg b=lg 2,所以lg(ab)=lg 2,所以正数a,b满足ab=2,所以b=,所以+=+=+==≤=.当且仅当a=,即a=时取等号.4.函数y=的最小值为( )A.2B.C.1D.不存在〖解析〗选B.y==+,因为≥2,而≤,所以不能用基本不等式求最小值,用函数的单调性求最值,函数y=x+在(1,+∞)上是增函数,所以在〖2,+∞)上也是增函数.所以当=2即x=0时,y min=.5.函数y=log a(x+4)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中m,n均大于0,则+的最小值为( ) A.8 B.6 C.12 D.10〖解析〗选C.设A点坐标为(x,y),依题意x+4=1,即x=-3,所以y=-1,即A点坐标为(-3,-1),又知道A点在直线mx+ny+1=0上,所以-3m-n+1=0,即3m+n=1,所以+=(3m+n)=6++≥6+2=12,当且仅当m=,n=时,等号成立.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分),上下空白各宽2 dm,左右空白各宽1 dm,则四周空白部分面积的最小值是dm2.〖解析〗设阴影部分的高为x dm,则宽为dm,四周空白部分的面积是y dm2.由题意,得y=(x+4)-72=8+2≥8+2×2=56(dm2).当且仅当x=,即x=12时等号成立.答案:56〖补偿训练〗建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为元.〖解析〗设水池的造价为y元,长方形底的一边长为x m,由于底面积为4 m2,所以另一边长为m.那么y=120×4+2×80×=480+320≥480+320×2=1 760(元).当x=2即底为边长为2 m的正方形时,水池的造价最低,为1 760元.答案:1 7607.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,则xy的最小值为,取得最小值时的x= . 〖解析〗因为x>0,y>0,2x+8y-xy=0,所以xy=2x+8y≥2=8,所以≥8,所以xy≥64.当且仅当x=4y=16时取等号.故xy的最小值为64.答案:64 16〖补偿训练〗已知正实数x,y满足xy+x+2y=4,则xy的最大值为.〖解析〗根据题意,x+2y≥2(当且仅当x=2y时取等号),则xy+x+2y=4⇒xy+2-4≤0,令t=,t>0,则有t2+2t-4≤0,解可得--≤t≤-+,又由t>0,则0<t≤-+,即0<≤-+,变形可得:0<xy≤8-4(当且仅当x=2y时取等号),即xy的最大值为8-4.答案:8-48.已知正数x,y满足x+y=1,则+的最小值是. 〖解析〗正数x,y满足x+y=1,则x+1+y+2=4,则+=〖(x+1)+(y+2)〗=≥×(13+12)=,当且仅当=时,即x=,y=时取等号.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知不等式x2-5ax+b>0的解集为{x|x>4或x<1}.(1)求实数a,b的值;(2)若0<x<1,f(x)=+,求函数f(x)的最小值.〖解析〗(1)依题意,方程x2-5ax+b=0的根为4和1,所以即(2)由(1)知f(x)=+,因为0<x<1,所以0<1-x<1,>0,>0,所以+=〖x+(1-x)〗=++5≥2+5=9,当且仅当=,即x=时,等号成立,所以f(x)的最小值为9.10.闽越水镇是闽侯县打造闽都水乡文化特色小镇核心区,该小镇有一块1 800平方米的矩形地块,开发商准备在中间挖出三个矩形池塘养闽侯特色金鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植柳树,形成柳中观鱼特色景观.假设池塘周围的基围宽均为2米,如图,设池塘所占的总面积为S平方米.(1)试用x表示a及S;(2)当x取何值时,才能使得S最大?并求出S的最大值.〖解析〗(1)由题图知,3a+6=x,所以a=,则总面积S=·a+2a,=a==1 832-,即S=1 832-(x>6).(2)由S=1 832-,得S≤1 832-2=1 832-2×240=1 352(平方米).当且仅当=,此时,x=45. 即当x为45米时,S最大,且S最大值为1 352平方米.1.已知a>0,b>0,c>0,若点P(a,b)在直线x+y+c=2上,则+的最小值是. 〖解析〗点P(a,b)在直线x+y+c=2上,所以a+b+c=2,所以2a+2b+2c=4,因为a>0,b>0,c>0,所以+=+=2++≥2+2=2+2,当且仅当=时,即a+b=c时取等号,故+的最小值是2+2.答案:2+22.某厂家拟举行大型的促销活动,经测算某产品当促销费用为x万元时,销售量t万件满足t=5-(其中0≤x≤k,k为正常数).现假定产量与销售量相等,已知生产该产品t万件还需投入成本(10+2t)万元(不含促销费用),产品的销售价格定为元/件.(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数;(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大.〖解析〗(1)由题意得y=×t-10-2t-x,代入化简,得y=20-(0≤x≤k).(2)y=21-≤21-2=17,当且仅当=x+1,即x=1时,上式取等号.当k≥1时,促销费用投入1万元时,厂家的利润最大,当0<k<1时,令f(x)=20-x-,任取x1,x2∈(0,1)且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x2-x1+-=(x2-x1)<0,所以f(x)在(0,1)是增函数,故在0≤x≤k上也是增函数,所以在x=k时,函数有最大值,促销费用投入x=k万元时,厂家的利润最大.综上,当k≥1时,促销费用投入1万元时,厂家的利润最大;当0<k<1时促销费用投入x=k万元时厂家的利润最大.。

近年-近年学年高中数学第三章不等式3.4基本不等式课后作业(含解析)新人教A版必修5(最新整理)

3。

4 基本不等式1。

设x,y满足x+y=40,且x，y都是正数,则xy的最大值是( ）A。

400 B。

100C。

40 D。

20解析:xy≤=400,当且仅当x=y=20时等号成立。

答案：A2.在下列函数中,最小值为2的是( ）A.y=x+B.y=3x+3—xC.y=lg x+(0<x〈1)D.y=sin x+解析：选项A中，由于x可能为负,因此y=x+最小值不是2;选项B中,3x,3—x都大于零，且3x+3-x≥2=2，当且仅当3x=3-x,即x=0时取等号,故B正确；选项C中,lg x〈0，因此最小值不是2;选项D中,由于sin x∈(0，1)，故sin x+取不到最小值2.答案:B3。

若a>b〉1，P=,Q=,R=lg,则下列结论正确的是( ) A.R〈P 〈QB.P<Q〈RC.Q〈P〈RD。

P<R<Q解析:∵a>b〉1，∴lg a>lg b〉0。

∴R=lg〉lg lg（ab)==Q〉=P.答案：B4.建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为180元和80元，那么水池的最低总造价为（)A.1 000元B。

2 000元C.2 720元D.4 720元解析：设水池底面一边长为x m,则另一边为m，总造价y=4×180+×80=320+720≥1 280+720=2 000，当且仅当x=，即x=2时取等号。

答案:B5.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( )A。

B.C。

5 D.6解析：∵x+3y=5xy，∴=1.∴3x+4y=（3x+4y)+2=5.当且仅当,即x=2y时取“=".答案：C6.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.解析：ab=a+b+3≥2+3，∴≥3,即ab≥9.答案:［9,+∞）7.若对任意x〉0，≤a恒成立，则a的取值范围是。

高中数学第三章不等式3.4基本不等式新人教A版必修24

3.4 基本不等式： ab ≤a ＋b2[新知初探]1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时等号成立)．[点睛] 基本不等式成立的条件：a ＞0且b ＞0；其中等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号，即若a ≠b 时，则ab ≠a ＋b2，即只能有ab ＜a ＋b2.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立( ) (2)若a ≠0，则a ＋4a≥2a ·4a＝4( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22( )解析：(1)错误．任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．(2)错误．只有当a >0时，根据基本不等式，才有不等式a ＋4a≥2a ·4a＝4成立． (3)正确．因为ab ≤a ＋b2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.答案：(1)× (2)× (3)√2．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＞b ＞a ＋b2＞abB ．a ＞a ＋b2＞ab ＞b C ．a ＞a ＋b2＞b ＞abD ．a ＞ab ＞a ＋b2＞b 解析：选B a ＝a ＋a 2＞a ＋b2＞ab ＞b ·b ＝b ，因此B 项正确．3．若x >0，则x ＋9x＋2有( )A ．最小值6B ．最小值8C ．最大值8D ．最大值3解析：选B 由x ＋9x＋2≥2x ·9x ＋2＝8(当且仅当x ＝9x，即x ＝3时，取等号)，故选B.4．利用基本不等式求最值，下列运用正确的是( )A ．y ＝|x |2＋4|x |≥2|x |2·4|x |＝4|x |≥0B ．y ＝sin x ＋4sin x ≥2sin x ·4sin x＝4(x 为锐角)C ．已知ab ≠0，a b ＋b a ≥2a b ·b a＝2 D ．y ＝3x＋43x ≥23x·43x ＝4解析：选D 在A 中，4|x |不是常数，故A 选项错误；在B 中，sin x ＝4sin x时无解，y 取不到最小值4，故B 选项错误；在C 中，a b ，b a 未必为正，故C 选项错误；在D 中，3x ，43x均为正，且3x＝43x 时，y 取最小值4，故D 选项正确．[典例] (1)已知m ＝a ＋a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定(2)若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．[解析] (1)因为a >2，所以a －2>0，又因为m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2，所以m ≥2a －1a －2＋2＝4，由b ≠0，得b 2≠0，所以2－b 2<2，n ＝22－b 2<4，综上可知m >n .(2)因为a >b >1，所以lg a >lg b >0，所以Q ＝12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ＝P ；Q ＝12(lg a ＋lg b )＝lg a ＋lg b ＝lg ab <lg a ＋b 2＝R . 所以P <Q <R .[答案] (1)A (2)P <Q <R已知a ，b ，c 都是非负实数，试比较a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2与2(a ＋b ＋c )的大小．解：因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，所以 a 2＋b 2≥22(a ＋b )，同理 b 2＋c 2≥22(b ＋c ), c 2＋a 2≥22(c ＋a )，所以 a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]，即a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.[典例] 已知a ，b ，c 均为正实数，求证：a ＋2b ＋＋2b －3c3c ≥3.[证明] ∵a ，b ，c 均为正实数，∴2b a ＋a2b ≥2(当且仅当a ＝2b 时等号成立)， 3ca ＋a3c≥2(当且仅当a ＝3c 时等号成立)， 3c 2b ＋2b3c≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8. 证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a.同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c.上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.[典例] (1)已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值． (2)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值． (3)已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．[解] (1)由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2，即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20，当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. (2)∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.(3)∵1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x＋9xy＋10，又∵x ＞0，y ＞0，∴y x＋9xy＋10≥2y x ·9xy＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy，即y ＝3x 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.1．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎪⎫5＋2a b＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2ba时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.2．设a >b >0，则a 2＋1ab＋1a a －b的最小值是( )A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D 因为a>b>0，所以a－b>0，所以a2＋1ab ＋1 a a －b＝a(a－b)＋1a a －b ＋ab＋1ab≥2a a－b1a a －b＋2ab·1ab＝4，当且仅当a(a－b)＝1a a －b且ab＝1ab，即a＝2，b＝22时等号成立.[典例]不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？[解] (1)设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，而顶部面积为S＝xy，依题意得，40x ＋2×45y＋20xy＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x×90y＋20xy＝120xy＋20xy，＝120S＋20S.所以S＋6S－160≤0，即(S－10)(S＋16)≤0，故S≤10，从而S≤100，所以S的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，求得x＝15，即铁栅的长是15米．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，求当每台机器运转多少年时，年平均利润最大，最大值是多少．解：每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x >0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．故当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元．层级一学业水平达标1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2B ．当x >0时，x ＋1x≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x的最小值为2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x≥2解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C.3．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1B.1a ＋1b ≥1C.1a ＋1b<2D.1a ＋1b≥2解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab≥214＝1. 4．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bc B.a ＋d2<bc C.a ＋d 2＝bcD.a ＋d2≤bc解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5．若x >0，y >0，且2x ＋8y＝1，则xy 有( )A ．最大值64B ．最小值164C ．最小值12D ．最小值64解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6．若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab ，则a 3＋b 3的最小值为________．解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2ab3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.答案：4 27．已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________．解析：由题意得，y ＝3－x22x，∴2x ＋y ＝2x ＋3－x 22x ＝3x 2＋32x ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≥3，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．答案：38．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：因为x >0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞9．(1)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y的最小值．解：(1)∵x <3， ∴x －3<0， ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x＋－x ＋3≤－243－x－x ＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y≥4＋2 3. 当且仅当y x ＝3xy，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32.10．设a ，b ，c 都是正数，试证明不等式：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc≥6. 证明：因为a >0，b >0，c >0，所以b a ＋ab ≥2，c a ＋a c ≥2，b c ＋c b≥2，所以⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎪⎫b c ＋cb≥6，当且仅当b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝b c，即a ＝b ＝c 时，等号成立．所以b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc≥6. 层级二应试能力达标1．a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( ) A ．a 2＋b 2≥2|ab | B ．a 2＋b 2＝2|ab | C ．a 2＋b 2≤2|ab |D ．a 2＋b 2>2|ab |解析：选 A ∵a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，∴a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立)．2．已知实数a ，b ，c 满足条件a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1c的值( )A ．一定是正数B ．一定是负数C ．可能是0D ．正负不确定解析：选B 因为a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，abc >0，所以a >0，b <0，c <0，且a ＝－(b ＋c )，所以1a ＋1b ＋1c ＝－1b ＋c ＋1b ＋1c ，因为b <0，c <0，所以b ＋c ≤－2bc ，所以－1b ＋c ≤12bc ，又1b ＋1c ≤－21bc，所以－1b ＋c ＋1b ＋1c ≤12bc－21bc ＝－32bc<0，故选B. 3．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则a ＋b2cd的最小值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选 D 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，所以a ＋b2cd＝x ＋y 2xy＝x 2＋y 2＋2xy xy＝x 2＋y 2xy＋2≥2＋2＝4，当且仅当x ＝y 时，等号成立． 4．若实数x ，y 满足xy >0，则xx ＋y ＋2yx ＋2y的最大值为( )A ．2－ 2B ．2＋ 2C ．4＋2 2D ．4－2 2解析：选Dxx ＋y＋2y x ＋2y ＝11＋y x ＋2·yx1＋2·yx，设t ＝y x>0，∴原式＝11＋t ＋2t 2t ＋1＝1t ＋1＋2t ＋1－12t ＋1＝1＋t t ＋t ＋＝1＋12t ＋1 t＋3. ∵2t ＋1t≥22，∴最大值为1＋122＋3＝4－2 2.5．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是________．解析：因为不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min <m 2－3m ，因为x >0，y >0，且1x ＋4y ＝1，所以x ＋y 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝4x y ＋y4x＋2≥24xy ·y 4x ＋2＝4，当且仅当4x y ＝y4x，即x ＝2，y ＝8时，等号是成立的，所以⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min ＝4，所以m 2－3m >4，即(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4.答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)6．若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2的最小值为________．解析：由a ＋b ＝1，知13a ＋2＋13b ＋2＝3b ＋2＋3a ＋2a ＋b ＋＝79ab ＋10，又ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)，∴9ab ＋10≤494，∴79ab ＋10≥47.77．某厂家拟在2016年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)将2016年该产品的利润y (单位：万元)表示为年促销费用m 的函数； (2)该厂家2016年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意，可知当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1，又每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx元，∴y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x－(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时等号成立， ∴y ≤－8＋29＝21，∴y max ＝21.故该厂家2016年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．8．已知k >16，若对任意正数x ，y ，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －12x ＋ky ≥2xy 恒成立，求实数k 的最小值．解：∵x >0，y >0，∴不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －12x ＋ky ≥2xy 恒成立等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －12xy ＋k yx≥2恒成立．又k >16，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －12x y＋k y x≥2k ⎝⎛⎭⎪⎫3k －12，∴2k ⎝⎛⎭⎪⎫3k －12≥2，解得k ≤－13(舍去)或k ≥12，2。

2016-2017学年高中数学第三章不等式单元评估验收新人教A版必修5

单元评估验收(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式x 2≥2x 的解集是( ) A ．{x |x ≥2} B ．{x |x ≤2} C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |x ≤0或x ≥2}解析：由x 2≥2x 解得：x (x －2)≥0，所以x ≤0或x ≥2. 答案：D2．不等式(x ＋3)2＜1的解集是( ) A ．{x |x ＞－2} B ．{x |x ＜－4} C ．{x |－4＜x ＜－2}D ．{x |－4≤x ≤－2}解析：原不等式可化为x 2＋6x ＋8＜0，解得－4＜x ＜－2. 答案：C3．已知点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0表示的平面区域上运动，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1 解析：画出可行域：z ＝x －y ⇒y ＝x －z ，由图形知最优解为(0，1)，所以z min ＝－1. 答案：C4．原点和点(1，1)在直线x ＋y －a ＝0两侧，则a 的取值范围是( ) A ．a ＜0或a ＞2 B ．a ＝2或a ＝0 C ．0＜a ＜2D ．0≤a ≤2解析：把(0，0)，(1，1)代入x ＋y ＝a 后异号．所以－a (1＋1－a )＜0，所以0＜a ＜2.5．二次不等式ax2＋bx ＋1＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜13，则ab 的值为( )A ．－6B ．6C ．－5D ．5解析：由题意知a ＜0，－1与13是方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根，所以－1＋13＝－b a ，(－1)×13＝1a ，解得a ＝－3，b ＝－2，所以ab ＝6.答案：B6．若x ＞y ，m ＞n ，下列不等式正确的是( ) A ．x －m ＞y －n B ．xm ＞yn C.x n ＞ymD ．m －y ＞n －x解析：将x ＞y 变为－y ＞－x ，将其与m ＞n 相加，即得结论．答案：D7．若1a ＜1b＜0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C.b a ＋a b＞2D ．|a |－|b |＝|a －b |解析：由1a ＜1b＜0，所以a ＜0，b ＜0，所以0＞a ＞b ，由不等式基本性质知A ，B ，C 对．答案：D8．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧（x －y ＋5）（x ＋y ）≥0，0≤x ≤3表示的平面区域的面积是( )A ．12B ．24C ．36D ．48 解析：平面区域图形如图所示：S ＝（5＋11）×32＝24.9．下列结论正确的是( )A ．当x ＞0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2B ．当x ＞0时，x ＋1x≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x的最小值为2D ．当0＜x ≤2时，x －1x无最大值解析：由基本不等式知：因为x ＞0，所以x ＞0，由x ＋1x≥2 x ·1x，即x ＋1x≥2，所以x ＝1x，x ＝1 时“＝”成立．答案：B10．已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b .则α＋β的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：因为α＋β＝a ＋1a ＋b ＋1b＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·(a ＋b )＝1＋1＋1＋b a ＋a b≥5.答案：C11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y －1≤0，x ＋y ≥0，x －y －2≤0.则z ＝2x ·4y的最大值为( )A ．16B ．32C ．4D ．2解析：作出二元一次不等式组所表示的平面区域(如图所示)，即可行域．考虑z ＝2x·4y，将它变形为z ＝2x ＋2y，设z ′＝x ＋2y ，则y ＝－x 2＋z ′2，这是斜率为－12，随z ′变化的一簇平行直线.z ′2是直线z 在y 轴上的截距．直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z ′＝x ＋2y 取得最大值．结合图形可知，当直线y ＝－x 2＋z ′2经过点A (3，1)时，截距z ′2最大，即z ′最大，所以z ′max＝x ＋2y ＝5.所以z ＝2x·4y＝2x ＋2y的最大值为32.答案：B12．定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则当x ∈R 时，不等式x ＋2＞(2x －1)sgn x的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3＋334＜x ＜－3＋334 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞－3＋334 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－3＋334 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3＋334＜x ＜3解析：当x ＞0时，不等式化为x ＋2＞2x －1，解得x ＜3，即0＜x ＜3；当x ＝0时，不等式恒成立；当x ＜0时，不等式化为x ＋2＞(2x －1)－1，即2x 2＋3x －3＜0，解得－3＋334＜x ＜－3＋334，即－3＋334＜x ＜0.综上可知，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3＋334＜x ＜3.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．|x |2－2|x |－15＞0的解集是________．解析：因为|x |2－2|x |－15＞0，所以|x |＞5或|x |＜－3(舍去)．所以x ＜－5或x ＞5.答案：(－∞，－5)∪(5，＋∞) 14．若关于x 的不等式x －ax ＋1＞0的解集为(－∞，－1)∪(5，＋∞)，则实数a ＝________．解析：由题意知：a ＞－1，故其不等式解为 (－∞，－1)∪(9，＋∞)，所以a ＝5. 答案：515．设a ，b 为正数，且a ＋b ＝1，则12a ＋1b 的最小值是________．解析：因为12a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋1b (a ＋b )＝12＋1＋a b ＋b 2a ≥32＋ 2.答案：32＋ 216．已知不等式axx －1＜1的解集为{x |x ＜1或x ＞2}，则a ＝________．解析：因为解集为{x |x ＜1或x ＞2}，由axx －1－x －1x －1＜0，ax －x ＋1x －1＜0，（a －1）x ＋1x －1＜0，所以2(a －1)＋1＝0，所以a ＝12.答案：12三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2x －6≤1，2x 2－x －1＞0.解：3x －2x －6≤1⇒2x ＋4x －6≤0⇒x ∈[－2，6)，2x 2－x －1＞0⇒(2x ＋1)(x －1)＞0⇒x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)，所以原不等式组的解为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－12∪(1，6)．18．(本小题满分12分)已知lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．解：由lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，3xy ＝x ＋y ＋1.(1)因为x ＞0，y ＞0，所以3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1.所以3xy －2xy －1≥0. 即3(xy )2－2xy －1≥0. 所以(3xy ＋1)(xy －1)≥0. 所以xy ≥1，所以xy ≥1. 当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．所以xy 的最小值为1. (2)因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋y ＋1＝3xy ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22.所以3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0. 所以[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0. 所以x ＋y ≥2.当且仅当x ＝y ＝1时取等号．所以x ＋y 的最小值为2.19．(本小题满分12分)徐州、苏州两地相距500千米，一辆货车从徐州行驶到苏州，规定速度不得超过100千米/时．已知货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a 元(a ＞0)．(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解：(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为500v，则全程运输成本为y ＝a ·500v ＋0.01v 2·500v ＝500a v＋5v ，则y ＝500av＋5v, v ∈(0，100]． (2)依题意知a ，v 都为正数，则500a v ＋5v ≥2500av·5v ＝100a ，当且仅当500a v＝5a ，即v ＝10a 时取等号．若10a ≤100，即0＜a ≤100，当v ＝10a 时，全程运输成本y 最小．若10a ＞100，即a ＞100时，则当v ∈(0，100]时，可以证明函数y ＝500a v＋5v 是减函数，即此时当v ＝100时，全程运输成本y 最小．综上所得，当0＜a ≤100时，行驶速度应为v ＝10a 千米/时，全程运输成本最小；当a ＞100时，行驶速度应为v ＝100千米/时，全程运输成本最小．20．(本小题满分12分)制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝x ＋0.5y .上述不等式组表示的平面区域如下图所示，阴影部分(含边界)即可行域．作直线l ：x ＋0.5y ＝z .并作平行移动. 当直线与可行域相交，且经过可行域上的M 点，此时与直线x ＋0.5y ＝0的距离最大，这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6.此时z ＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．所以当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值．即投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．21．(本小题满分12分)某个集团公司下属的甲、乙两个企业在2014年1月的产值都为a 万元，甲企业每个月的产值与前一个月相比增加的产值相等，乙企业每个月的产值与前一个月相比增加的百分数相等，到2015年1月两个企业的产值再次相等．(1)试比较2014年7月甲、乙两个企业产值的大小，并说明理由．(2)甲企业为了提高产能，决定投入3.2万元买台仪器，并且从2015年2月1日起投入使用．从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910元(n ∈N *)，求前n 天这台仪器的日平均耗资(含仪器的购置费)，并求日平均耗资最小时使用的天数？解：(1)设从2014年1月到2015年1月甲企业每个月的产值分别为a 1，a 2，a 3，…，a 13，乙企业每个月的产值分别为b 1，b 2，…，b 13.由题意{a n }成等差数列，{b n }成等比数列，所以a 7＝12(a 1＋a 13)，b 7＝b 1·b 13，因为a 1＝b 1，a 13＝b 13，从而a 7＝12(a 1＋a 13)＞a 1·a 13＝b 1·b 13＝b 7，所以到7月份甲企业的产值比乙企业的产值要大． (2)设一共使用了n 天，n 天的平均耗资P (n )＝32 000＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4910＋2＋4910＋3＋4910＋…＋n ＋4910n＝32 000＋49n 10＋n （n ＋1）20n＝32 000n ＋n 20＋9920≥2 32 000n ·n 20＋9920＝1 69920(元)，当且仅当32 000n ＝n20时，取得最小值，此时n ＝800，即日平均耗资最小时使用了800天．22．(本小题满分12分)已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R)，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1；②当a ∈[－1，＋∞，)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为－3≤a ≤1. 法二：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，a ＜－1，g （－1）≥0.解得－3≤a ≤1.。

高中数学第三章不等式 3.4 基本不等式第1课时基本不等式练习(含解析)新人教A版必修5-新

第1课时基本不等式A 级基础巩固一、选择题1．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1＞2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x≥2解析：对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x ＜0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，所以1x 2＋1≤1成立．答案：C2．若a ≥0，b ≥0且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3解析：因为a 2＋b 2≥2ab ，所以(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)≥(a 2＋b 2)＋2ab ，即2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2＝4，所以a 2＋b 2≥2. 答案：C3．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2＞bc B.a ＋d2＜bc C.a ＋d 2＝bcD.a ＋d2≤bc解析：因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d ＞0且不相等，所以b ＋c ＞2bc ，故a ＋d2＞bc .答案：A4．a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( ) A ．a 2＋b 2≥2|ab | B ．a 2＋b 2＝2|ab |C ．a 2＋b 2≤2|ab | D ．a 2＋b 2＞2|ab |解析：因为a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，所以a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立)．答案：A5．若a >b >0，则下列不等式中总成立的是( ) A.2ab a ＋b <a ＋b2<ab B.a ＋b2≥2aba ＋b≥ab C.a ＋b2>ab >2aba ＋bD.ab <2ab a ＋b <a ＋b2解析：a >b >0，a ＋b2>ab ，2ab a ＋b <2ab2ab＝ab . 从而a ＋b2>ab >2aba ＋b. 答案：C 二、填空题6．设正数a ，使a 2＋a －2>0成立，若t >0，则12log a t ____log a t ＋12(填“>”“≥”“≤”或“<”)．解析：因为a 2＋a －2>0，所以a >1或a <－2(舍)，所以y ＝log a x 是增函数，又t ＋12≥t ，所以log at ＋12≥log a t ＝12log a t . 答案：≤7．设a >0，b >0，给出下列不等式：①a 2＋1>a ；②⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4；③(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9>6a .其中恒成立的是________(填序号)．答案：①②③8．若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1，试判断12、a 、b 、2ab 、a 2＋b 2的大小顺序：_________________________________________________.解析：因为0＜a ＜b ，a ＋b ＝1，所以a ＜12＜b ， ①2ab ＜a 2＋b 2， ② 下面寻找②中数值在①中的位置．因为a 2＋b 2＞2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12， a 2＋b 2＝a ·a ＋b 2＜a ·b ＋b 2＝(1－b )b ＋b 2＝b ，所以12＜a 2＋b 2＜b .又2ab ＜2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12，2ab ＞2×12a ＝a ，所以a ＜2ab ＜12.所以a ＜2ab ＜12＜a 2＋b 2＜b .答案：a ＜2ab ＜12＜a 2＋b 2＜b三、解答题9．已知a ，b ，c 都是非负实数，试比较a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2与2(a ＋b ＋c )的大小．解：对a 2＋b 2，b 2＋c 2，c 2＋a 2分别利用不等式2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，即可比较出二者的大小．因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．又因为a ，b 都是非负实数，所以a 2＋b 2≥22(a ＋b )，当且仅当a ＝b 时，等号成立. 同理b 2＋c 2≥22(b ＋c )，当且仅当b ＝c 时，等号成立，c 2＋a 2≥22(c ＋a )，当且仅当a ＝c 时，等号成立．所以a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]＝2(a ＋b ＋c )，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．故a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )． 10．已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，则abc ＝1. 求证：a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c.证明：因为 a ，b ，c 都是正实数，且abc ＝1，所以1a ＋1b ≥21ab＝2c ，1b ＋1c ≥21bc＝2a ， 1a ＋1c≥21ac＝2b ，以上三个不等式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c )，因为a ，b ，c 为不全相等实数，所以a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c.B 级能力提升1．设f (x )＝ln x ，0<a pC ．p ＝r <qD ．p ＝r >q解析：因为0<a ab ，又因为f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>f (ab )，即q >p .又r ＝12(f (a )＋(b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln ab . ＝f (ab )＝p . 故p ＝r <q . 答案：C2．有下列不等式：①a 2＋1>2a ；②⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2；③a ＋b ab≥2；④x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的是________(填序号)．解析：因为a 2－2a ＋1＝(a －1)2≥0，所以a 2＋1≥2a ，故①不正确．对于②，当x >0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取“＝”)；当x <0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝－x －1x ≥2(当且仅当x＝－1时取“＝”)，所以②正确．对于③，若a ＝b ＝－1，则a ＋bab＝－2<2，故③不正确．对于④，x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1－1≥1(当且仅当x ＝0时取“＝”)，故④正确．答案：②④3．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c .故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.。

高中数学第三章不等式3.4基本不等式：ab≤a+b2优化练习新人教A版

3.4 基本不等式[课时作业] [A 组基础巩固]1．下列不等式正确的是( ) A ．a ＋1a≥2B ．(－a )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ≤－2C ．a 2＋1a2≥2D ．(－a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a 2≤－2解析：因为a 2＋1a2中a 2>0，所以a 2＋1a22≥a 2·1a2，即12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥1，所以a 2＋1a 2≥2.答案：C2．已知m ＝a ＋1a＋1(a >0)，n ＝3x(x <1)，则m ，n 之间的大小关系是( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．m ≤n解析：因为a >0，所以m ＝a ＋1a＋1≥2a ·1a＋1＝3，当且仅当a ＝1时等号成立．又因为x <1，所以n ＝3x <31＝3，所以m >n .答案：A3．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34D.23解析：由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．答案：B4．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：∵x <0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋1－x －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号．答案：C5．下列不等式中正确的是( ) A ．a ＋4a≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3解析：a <0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错，a ＝4，b ＝16，则ab <a ＋b2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．答案：D6．已知a >b >c ，则a －bb －c 与a －c2的大小关系是________．解析：因为a －b >0，b －c >0，a －c >0. 所以a －b b －c ≤a －b ＋b －c2＝a －c2.当且仅当a －b ＝b －c ，即2b ＝a ＋c 时取等号．所以a －b b －c ≤a －c2.答案：a －bb －c ≤a －c27．当x >12时，函数y ＝x ＋82x －1的最小值为________．解析：设t ＝2x －1，∵x >12，∴2x －1>0，即t >0，∴y ＝t ＋12＋8t ＝t 2＋8t ＋12≥2t 2·8t ＋12＝92. 当且仅当t 2＝8t ，即t ＝4， x ＝52时，取等号．答案：928．若x ，y 均为正实数，且x ＋4y ＝1，则x ·y 的最大值为________．解析：1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ， ∴xy ≤116，当且仅当x ＝4y 时等号成立．答案：1169．已知不等式ax 2－3x ＋2<0的解集为A ＝{x |1<x 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －3＋2＝0，ab 2－3b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)由(1)得f (x )＝(2×1＋2)x ＋25－x ＋1＝4x ＋25x ＋1＝4(x ＋1)＋25x ＋1－4≥2x ＋25x ＋1－4＝16. 当且仅当4(x ＋1)＝25x ＋1，即x ＝32∈A 时等号成立． ∴函数f (x )的最小值为16.10．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x (x ∈N *)的函数关系式； (2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？解析：(1)依题意，每辆车x 年总收入为100x 万元，总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x ) ＝200＋12x (x ＋1)·16(万元)．∴y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤100x －200－12x x ＋1·16＝16(－2x 2＋23x －50)． (2)年平均利润为y x ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2x －50x ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x . 又x ∈N *， ∴x ＋25x≥2x ·25x＝10，当且仅当x ＝5时，等号成立，此时y x≤16×(23－20)＝48.∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元．[B 组能力提升]1．若－4<x <1，则f (x )＝x 2－2x ＋22x －2( )A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－1解析：f (x )＝x 2－2x ＋22x －2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －＋1x －1，又∵－4<x <1，∴x －1<0.∴－(x －1)>0. ∴f (x )＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x －＋1－x －≤－1. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝0时等号成立．答案：D2．设f (x )＝ln x,0<a p C ．p ＝r <qD ．p ＝r >q解析：p ＝f (ab )＝ln ab ，q ＝f (a ＋b2)＝lna ＋b2，r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12ln ab ＝ln ab ，函数f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，因为a ＋b2>ab ，所以f (a ＋b2)>f (ab )，所以q >p ＝r .答案：C3．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：因为x ＞a ，所以2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥2x －a2x －a＋2a ＝2a ＋4，即2a ＋4≥7，所以a ≥32.即a 的最小值为32.答案：324．若正数a ，b 满足ab －(a ＋b )＝1，则a ＋b 的最小值是________．解析：由于ab －(a ＋b )＝1，所以ab ＝a ＋b ＋1，而ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，所以a ＋b ＋1≤14(a ＋b )2.令a ＋b ＝t (t >0)，所以t ＋1≤14t 2，解得t ≥2＋22，即a ＋b ≥22＋2.当且仅当a ＝b ＝1＋2时取等号．答案：22＋25．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n >0，则1m ＋2n的最小值为________．解析：函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (－2，－1)，且点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上， ∴2m ＋n ＝1，m ，n >0， ∴1m ＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n ·(2m ＋n )＝4＋n m＋4mn≥4＋2n m ·4mn＝8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝1，n m ＝4mn ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝12时等号成立．答案：86．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．。

高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式练习新人教A版必修5

第 1 课时基本不等式课后篇稳固研究A 组1 .若≥0,≥0, 且2, 则以下不等式正确的选项是()a b a+b=A. ab≤1B. ab≥1C.a2+b2≥4D. a2+b2≤4分析由已知可得ab≤=1,而 a2+b2=( a+b)2- 2ab=4- 2ab≥2,故只有A正确 .答案 A2.若x>0, y>0, 且x+y=, 则xy的最大值为 ()A. B.2 C. D.分析由基本不等式可得xy ≤, 当且仅当时 ,xy取最大值.x=y=答案 D3 .若实数,b知足2, 则 3a3b的最小值是 ()a a+b=+A.18B.6C.2D.2分析 3a+3b≥2=2=2=6,当且仅当 a=b=1时,取等号 . 故3a+3b的最小值是6.答案 B4. 已知 a, b 均为正实数,则以下不等式不必定建立的是()A. a+b+≥2B.()≥4a+bC.≥ a+bD.分析 A 项 , a+b+≥2≥2, 当且仅当a=b=时等号同时建立;B项,()2≥4, 当且仅当a=b 时取等号 ;C 项,, 当a+b= +=a+b 且仅当 a=b 时取等号 . 应选D.答案 D5 .若 lg lgy=2, 则的最小值为 () x+A. B. C. D.2分析由 lg x+lg y=2 可知x>0, y>0, 且xy=100, 于是( x+y) ≥·2,当且仅当 x=y=10时,取等号 . 故的最小值为.答案 B6.已知a>1, 且m=log a( a2+1), n=log a( a+1), p=log a(2 a), 则m, n, p的大小关系是. (用“>”连结)分析∵a>1,∴a2+1>2a>a+1,∴log a( a2+1) >log a(2 a) >log a( a+1), ∴m>p>n.答案 m>p>n7.已知t> 0, 则y=的最小值为.分析 y==t+- 3≥2- 3=- 1,当且仅当 t= 1时,取等号 . 故函数的最小值为- 1.答案 -18.已知a>b>c, 则的大小关系是.分析∵a>b>c,∴a-b> 0, b-c>0,∴.当且仅当 b=时取等号.答案9 .已知,b均为正实数 , 求证 :≥2 a+ab.证明因为,均为正实数 , 所以≥2, 当且仅当, 即a=b 时 , 等号建立.a b又因为+ab≥2=2, 当且仅当=ab 时等号建立,所以+ab≥+ab≥2, 当且仅当即 a=b=时取等号.10.导学号04994085已知不等式ax2- 3x+2<0的解集为 A={ x| 1<x<b} .(1)求 a, b 的值;(2) 求函数f ( x) =(2 a+b) x-( x∈A) 的最小值.解 (1) 由题意知解得(2) 由 (1) 知a=1, b=2, A={ x| 1<x<2},所以 f ( x) =4x+ (1 <x<2),而当 x>0时,4 x+≥2=2×6=12. 当且仅当4x=,即 x=时取等号 .而 x= ∈ A,故 f ( x)的最小值为12.B组1 .已知2(0,0), 则ab的最小值是 ()=a>b>A.4B.5C.6D.7分析∵=2( a>0, b>0),∴2≥2, 化为≥6, 当且仅当3, 2 时取等号. ∴ab的最小值是 6.应选 C ab a=b=.答案 C2.若a, b, c∈R, 且ab+bc+ca=1, 则以下不等式建立的是()A. a2+b2+c2≥2B. a+b+c≤C.≤2D.( a+b+c) 2≥3分析因为 2 2≥2,2 2≥2,2 2≥2,于是222≥1,故 A错;而a +b ab b +cbc a +cac a +b +c ab+bc+ca=( a+b+c) 2=a2+b2+c2+2( ab+bc+ca) ≥3( ab+bc+ca) =3, 应选项D正确; 进而选项 B错误 ;令a=b=c=, 则ab+bc+ca=1, 但=3>2, 应选项 C 错误.答案 D3.已知x, y均为正数 , 且x≠y, 则以下四个数中最大的一个是()A. B.C. D.分析取 x=1, y=2,可得, 所以最大的是.答案 A4.函数f ( x) =的最小值等于.分析由基本不等式可知 f ( x) =≥2=4,当且仅当, 即x=4 时取最小值.答案 45.已知a>0, b>0, 若 lg a 和lg b 的等差中项是0, 则的最小值是.分析由已知得lg a+lg b=0,即 ab=1,于是=a+b≥2=2,当且仅当 a=b=1时,取等号 . 故的最小值是2.答案 26.已知函数 f ( x) =4x+ ( x>0, a>0)在 x=3处获得最小值,则 a=.分析由基本不等式 , 得 4x+≥2=4, 当且仅当 4x=, 即x=时,等号建立,即=3, a=36.答案 367.若x, y∈R, 且知足 ( x2+y2+2)( x2+y2- 1) - 18≤0.(1)求 x2+y2的取值范围;(2)求证: xy≤2.(1)解由 ( x2+y2) 2+( x2+y2 ) - 20≤0, 得 ( x2+y2+5) ·(x2+y2- 4) ≤0,因为 x2+y2+5>0,所以有0≤ x2+y2≤4. 故 x2+y2的取值范围是[0,4].(2) 证明由 (1) 知x2+y2≤4, 所以xy≤=2,当且仅当 x=y 时,取等号 . 故 xy≤2.8 .导学号 04994086 已知,b为正实数 , 且2a= .(1)求 a2+b2的最小值;(2)若 ( a-b ) 2≥4( ab) 3, 求ab的值.解 (1) ∵a, b为正实数 , 且=2, ∴=2≥2, 即ab≥ ( 当且仅当a=b 时等号成立) .22∵a +b ≥2ab≥2×=1(当且仅当 a=b 时等号建立),22∴a +b 的最小值为1.(2) ∵=2, ∴a+b=2ab. ∵( a-b)2≥4( ab)3,∴( a+b)2- 4ab≥4( ab)3,即(2ab)2- 4ab≥4( ab)3,即( ab)2- 2ab+1≤0,( ab- 1)2≤0. ∵a, b 为正实数,∴ab=1.。

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2016-2017学年高中数学第三章不等式 3.4 基本不等式高效测评
新人教A 版必修5
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知x ，y 为正实数，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为( )
A.14 B ．18
C ．116
D ．132
解析： ∵x ，y 为正实数，
∴x ·y ＝14x ·4y ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4y 22＝116，
当且仅当x ＝4y 即x ＝12，y ＝18时取等号．
答案： C
2．已知m ＝a ＋1
a －2(a >2)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2
(x <0)，则m ，n 之间的大小关系是(
)
A ．m >n
B ．m <n
C ．m ＝n
D ．m ≤n
解析： ∵m ＝(a －2)＋1
a －2＋2 ≥2 a －2 ·1
a －2＋2＝4， n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2<⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2－2
＝4.
∴m >n .
答案： A
3．下列结论正确的是( )
A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1
lg x ≥2
B ．当x >0时，x ＋1
x ≥2
C ．当x ≥2时，x ＋1
x ≥2
D ．当0<x ≤2时，x －1x
无最大值解析： A 中lg x 不一定为正；C 中等号不成立；D 中函数为增函数，区间(0,2]上有最大值．故选B.
答案： B
4．函数f (x )＝x
x ＋1的最大值为( )
A.12 B ．2
5
C ．2
2 D ．1
解析：令t ＝x (t ≥0)，则x ＝t 2，
∴f (x )＝x
x ＋1＝t
t 2＋1.
当t ＝0时，f (x )＝0；
当t >0时，f (x )＝1t 2＋1t ＝1t ＋1
t
. ∵t ＋1t ≥2，∴0<1t ＋1t
≤1
2，
∴f (x )的最大值为1
2.
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知2x ＋3
y ＝2(x >0，y >0)，则x ·y 的最小值是________．
解析： ∵2＝2x ＋3
y ≥2 6
xy ，
∴ 6xy ≤1，∴6
xy ≤1，∴xy ≥6，
当且仅当2x ＝3
y ，
即x ＝2，y ＝3时取等号．
答案： 6
6．已知x >1，y >1，且lg x ＋lg y ＝4，那么lg x ·lg y 的最大值是________．解析： ∵x >1，y >1，∴lg x >0，lg y >0，
∴lg x ·lg y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x ＋lg y 22＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫422＝4. 当且仅当x ＝y ＝100时取等号．
答案： 4
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．若对任意x >0，x x 2
＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围．解析：因为x >0，
所以x ＋1x
≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x
＋3≤12＋3＝15，即x x 2
＋3x ＋1的最大值为15，∴a ≥15. 8．已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c
≥9. 证明： 1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c
＝1＋b a ＋c a ＋a b ＋1＋c b ＋a c ＋b c
＋1 ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫c b ＋b c ∵a >0，b >0，c >0，∴b a ＋a b ≥2 b a ·a b
＝2. c a ＋a c ≥2 c a ·a c ＝2. c b ＋b c ≥2 c b ·b c
＝2. ∴b a ＋a b ＋c a ＋a c ＋c b ＋b c ≥6， ∴1a ＋1b ＋1c ≥9. 尖子生题库
☆☆☆ 9.(10分)某工厂拟建一座平面图为矩形，面积为200 m 2，高度一定的三段污水处理池(如
图)，由于受地形限制，其长、宽都不能超过16 m ，如果池的外壁的建造费单价为400元/m ，池中两道隔墙的建造费单价为248元/m ，池底的建造费单价为80元/m 2
，试设计水池的长x 和宽y (x >y )，使总造价最低，并求出这个最低造价．
解析：设污水池长为x m ，则宽为200x m ，且0<x ≤16,0<200x
≤16，两道隔墙与宽边平行时，造价较省，设总价为Q (x )，
则Q (x )＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×200x ＋248×2×200x ＋80×200
＝800⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋324x ＋16 000 ≥1 600 x ·324
x ＋16 000＝44 800. 当且仅当x ＝324
x (x >0)，
即x ＝18时取等号，
∴44 800不是最小值．
又∵0<x ≤16,0<200
x ≤16，
∴12.5≤x ≤16，而Q (x )在[12.5,16]上单调递减，
∴Q (x )≥Q (16)＝800⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋324
16＋16 000＝45 000(元)．
故水池长为16 m ，宽为12.5 m 时，其总造价最低，最低造价为45 000元．。