用相似三角形证明等积式
《相似三角形的性质与判定》小结
《相似三角形的性质与判定》小结复习教案授课人：蔡俊伟一、教学目标知识技能：掌握相似三角形的性质与判定方法，并会运用相似三角形的性质与判定方法证明有关线段等积式或比例式。
过程与方法：通过引导分析，解答两道典型例题，使学生学会综合运用相似三角形性质与判定解答有关等积式与比例式的问题情感态度与价值观：通过相似三角形性质与判定的综合运用，体现事物之间的相互转化与内在联系。
二、教学重难点重点：熟练掌握相似三角形的性质与判定方法；难点：灵活运用相似三角形性质与判定方法证明线段等积式或比例式。
三、数学思想：化归思想 四、教学过程 （一）复习提问1、判定两三角形相似有什么方法？2、相似三角形的性质有哪些？3、几种常见的相似三角形基本图形：（1）如图DE ∥BC ，则ADE ∆∽ABC ∆，称为“平行线型”的相似三角形。
（2）如图，其中12∠=∠，则ADE ∆∽ABC ∆，称为“相交线型”的相似三角形。
（3）如图，12∠=∠，B D ∠=∠，则ADE ∆∽ABC ∆，称为“旋转型”的相似三角形。
EDCBA EDCBA ED CBA21E DC BA ABC（D ）E 21ABC21E DEDBA21第（3）题图（4）如图，123∠=∠=∠，则ADE ∆∽CBA ∆，称为“三等角型”的相似三角形；（5）如图，如图，90ACB ∠=︒,CD AB ⊥于D ，则A D C ∆∽ACB ∆∽CDB ∆.称为“子母型”的相似三角形。
（二）范例讲解例1、如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，M 为BC 中点，DM BC ⊥于M ，交BA 的延长线于点D ，连接AM .求证： 2MA MD ME =；例2、如图，在ABC ∆中，DE ∥BC ,BE 与CD 相交于点O .求证：AD DOAB CO=.21ME DAB 第（4）题图321E DCBA第（5）题图DCBAEODCBA（三）巩固训练1、如图，若ABC ∆∽DEF ∆，则∠D 的度数为______________．2、ABC △中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点， ADE ∆与ABC ∆的周长之比为 ，面积比为 。
例说证明线段比例式或等积式的方法与技巧
例说证明线段比例式或等积式的方法与技巧何美兰证明线段比例式或等积式的常用方法之一是利用相似三角形，而相似三角形是初中数学中的一个非常重要的知识点，它也是历年中考的热点内容，通常考查以下三个部分：（1）考查相似三角形的判定；（2）考查利用相似三角形的性质解题；（3）考查与相似三角形有关的综合内容。
以上试题的考查既能体现开放探究性，又能加深知识之间的综合性。
但不少学生证题却是不会寻找相似三角形，特别是对比较复杂的图形，感到眼花缭乱，无从下手。
为了帮助学生们扩大解题思路，迅速而正确地解题。
下面以一些例题来说明解答策略及规律。
一三点定形法利用两个三角形相似去解决比例式或等积式证明的方法。
解决问题的基本思想是：先找出与结论中的线段有关的两个三角形，然后根据原题所给条件，对照图形分析，寻找这两个三角形的相似条件，再证明这两个三角形相似，利用“相似三角形对应边成比例”推出结论。
寻找并证明两个三角形相似是解题的关键，寻找相似三角形的基本方法是“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
例1：如图1，ABCD是⊙O的内接四边形，过C作DB的平行线，交AB的延长线于E。
求证BE·AD＝BC·CD。
分析：要证BE·AD＝BC·CD，即＝。
横定：这个比例式的前项中的线段BE、CD共有四个不同的端点，不能确定一个三角形；竖定：这个比例式的比中的线段BE、BC它们有三个不同的端点，可以确定一个△BEC，另一个比中的线段CD、AD的三个不同的端点也可以确定一个△ACD，于是只要证明△BEC∽△DCA，这样，证明所需添加的辅助线AC也就显示在眼前了。
第四章图形的相似——证明比例式或等积式的技巧 同步练习 北师大版数学九年级上册
“十层相似”———相似十大技巧证明比例式或等积式的技巧“三点定型法”是证明线段等积式或比例式以及利用等积式、比例式求线段长时找相似三角形的最常用的方法，即设法找出等积式或比例式（或变化后的式子）中所包含的几个字母，看是否存在可由“三点”确定的两个三角形相似。
通常通过“横看”“竖看”两种方法找相似三角形 ，横看：即看两比例前项、两比例后项是否分别在两个相似三角形中；竖看：即看比例式等号两边各自的前、后项是否分别在两个相似三角形中。
技巧一：三点定型1．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，∠ADE ＝∠C ，求证：AD •AB ＝AE •AC ．技巧二：等线段代换2．如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，且DE ∥BF ，EF ∥BD ，求证：＝FC DE ．技巧三：等比例代换3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，求证：．技巧四：等积代换4．如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，BG⊥AP垂足为G，交CE于D，求证：CE2＝PE•DE．5．如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是△ABC内一点，DE∥BC，过D作AC的平行线交CE的延长线于F，CF与AB交于P，求证：＝．备注：上述技巧不仅用于证明等积式和比例式的题型，还可以灵活使用在其他题型中。
课堂练习1．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠DAE＝120°，求证：BC2＝CE•DB．2．已知，如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E．求证：（1）△ADE∽△FDB；（2）CD2＝DE•DF．3．已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD＝BC•BE．（1）求证：△BDE∽△BCA；（2）如果AE＝AC，求证：AC2＝AD•AB．4．如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，延长DE、CB交于点F，且AE•AB＝AD •AC．（1）求证：∠FEB＝∠C；（2）连接AF，若＝，求证：EF•AB＝AC•FB．5．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，AD ＝AF，AE•CE＝DE•EF．（1）求证：△ADE∽△ACD；（2）如果AE•BD＝EF•AF，求证：AB＝AC．6．已知：如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝AF•AB，∠DAF＝∠EAC．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）求证：＝．7．如图，M是平行四边形ABCD的对角线上的一点，射线AM与BC交于点F，与DC的延长线交于点H．（1）求证：AM2＝MF•MH．（2）若BC2＝BD•DM，求证：∠AMB＝∠ADC．8．△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF＝∠B．（1）如图1，求证：DE•CD＝DF•BE；（2）如图2，若D为BC中点，连接EF．求证：ED平分∠BEF．9．如图，已知正方形ABCD，以AB为边在正方形外作等边△ABE，过点E作EF⊥AB与边AB、CD分别交于点F、点G，点O在线段EG上，且DO＝CD．（1）求证：AE∥DO；（2）联结AO、DE，DE分别交AO、AB于点M、Q，求证：．10．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB 上，且CF＝BE，AE2＝AQ•AB．求证：（1）∠CAE＝∠BAF；（2）CF•FQ＝AF•BQ．11．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD的延长线上，DE＝DC，联结BE，分别交边DC、对角线AC于点F、G，AD＝FD．（1）求证：AC⊥BE；（2）求证：＝．12．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AB、AD上，DE与CF 相交于点G．CD2＝CG•CF，∠AED＝∠CFD．（1）求证：AB＝CD；（2）延长AD至点M，联结CM，当CF＝CM时，求证：EA•AB＝AD•MD．13．如图，已知：△ABC和△ADE都是等边三角形，其中点D在边BC上，点F是AB边上一点，且BF＝CD．（1）求证：DE∥CF；（2）联结DF，设AD、CF的交点为M，如果DF2＝FM•FC，求证：DF∥AC．14．已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F．（1）求证：；（2）如果BE2＝BF•BD，求证：DF＝BE．15．已知：如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，E为对角线BD的中点，点F 在边AD上，CF交BD于点G，CF∥AE，CF＝BD．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）如果∠DCG＝∠DEC，求证：AE2＝AD•DC．16．如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD．（1）若AP＝3，求BD的长；（2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD•BD．17．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AO上一点，BF⊥BD交DE的延长线于点F，且EF＝DE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）DF交AB于点G，若OD2＝OE•OA，求证：DF•AG＝AE•BD．18．如图，将矩形ABCD绕点B旋转，点A落到对角线AC上的点E处，点C、D分别落在点F、G处．（1）联结BG、CG，求证：四边形ABGC是平行四边形；（2）联结GE并延长交边AD于点H，求证：AB2＝AD•AH．19．如图，平行四边形ABCD中，它的两条高DE、BF相交于点H，∠DBC＝45°，BF与AD的延长线相交于点G，连接AH．（1）求证：BH＝AB；（2）求证：AH•BG＝AG•BD．。
相似三角形中的等积式
相似三角形中的等积式说明“等积式”成立的理由是相似三角形中比较常见的题型之一。
解决这类证明题的思想是用数学中的转化思想。
首先，将“等积式”根据比例式的基本性质转化为比例式。
如：将BD AB DC EC ⨯=⨯转化为DC BD AB EC =，只需要说明DC BD AB EC =成立的理由就可以。
一般情况下，可以根据两个三角形相似来说明比例式的成立。
这类题根据难易程度分为三个层次。
下面分别举例介绍。
一、基本形式例题：如图1所示，点E 是四边形ABCD 的对角线BD上一点，并且∠1=∠2=∠3。
试说明BE·AD=CD·AE 的理由。
分析：可以将BE·AD=CD·AE 转化为比例式ADAE CD BE =，通过比例式可以看出只需要判断BE 、AE 所在的△BAE 和AD 、CD 所在的△ACD 相似即可。
解：∵∠1=∠2，∴∠1＋∠4=∠2＋∠4，即∠DAC=∠EAB 。
∵∠1＋∠ADE=∠AEB ，∠3＋∠ADE=∠ADC ，又∵∠1=∠3，∴∠AEB=∠ADC 。
∴△AEB ∽△ADC 。
∴ADAE CD BE =， ∴BE·AD=CD·AE 。
练习：如图2所示,ΔABC 中,∠ABC=2∠C,BD 平分∠ABC 。
试说明AB·BC=AC·CD 的理由。
二、等量代换例题：如图3所示，在□ABCD 中，E 为边AD 延长线上一点，BE 交边CD 于点F ，试说明FC AE BC CD ⋅⋅=的理由。
分析：可以将FC AE BC CD ⋅⋅=转化为比例式BCFC AE CD =，可是找不到三角形。
但是比例式中的CD 和AB 相等，可以进行等量代换，变形为BCFC AE AB =，而要想说明这个比例式成立，只需要说明AB 、AE 所在的△BAE 和FC 、BC 所在的△BFC 相似即可。
解：在□ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，DC=AB∴∠ABF=∠BFC ，∠E=∠CBF ，∴△AEB ∽△CBF 。
相似三角形模型总结2(比例式、等积式的常见证明方法)
相似三角形模型总结2(比例式、等积式的常见证明方法)XXX∠XXX，∴△AEB∽△CEB，∴AE/AC＝EB/EC.又∵△ADB∽△ACB，∴AD/AC＝DB/BC.∴AE/AD＝EB/DB，∴AE/AC＝EB/EC＝EB/(EB+DB)。
ACADAE＝AC·EB/(EB+DB)＝AC·EB/AB.又∵△ABE∽△CDE，∴EB/DE＝AB/CD，∴EB＝AB·DE/CD.∴AE＝AC·AB·DE/(AB·DE+CD·EB)＝AC·AB·DE/(AB·DE+CD·AB·DE/CD)＝AC·AB·DE/(AB+DB)＝AC·DE/AD.又∵△ADE∽△ACB，∴DE/AC＝AD/AB，∴DE＝AC·AD/AB.∴AE＝AC·DE/AD＝AC·AC·AD/(AB·AD)＝AC2/AB，∴AE/AC＝AC/AB＝AC/AD。
AE/AC＝AD/AC，即AE/AC＝AE/AD-∵AC=AD，∴AE/AC＝AE/AE-DE，∴AE/AC＝DE/AE，∴AE2＝AC·DE，∴AE/AC＝DE/AE＝AE2/AC·AE＝AE/AD，即AE＝AC·AD/AB＝AC2/AB。
XXX，∴＝.1.由于文章中没有明显的格式错误，直接删除明显有问题的段落。
2.将原文中的符号改为中文，重新表述如下：已知在三角形ABE和ACB中，∠BAE=∠CAB，因此△ABE∽△ACB。
根据相似三角形的性质，可以得到AE/AB=AC/AE，所以AE²=AB×AC。
又因为AB=AD，所以AE²=AD×AC。
因此，DE²=AE²-BE²=AD×AC-BE²=BE×CE。
相似三角形证明技巧(整理)
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1)三角形相似的条件： ①；②；③.二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似 找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理2 找顶角对应相等判定定理1 找底角对应相等判定定理1 找底和腰对应成比例判定定理3e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
如何确定相似三角形来证比例式或等积式
如何确定相似三角形来证比例式或等积式同学们在证明三角形中线段的比例式或等积式时，常不知道通过证明哪两个三角形相似可得。
通过我的教学体验可得到一基本方法：先找出与比例式线段有关的两个三角形，再证其相似。
怎样找出与比例式或等积式有关的两个相似三角形呢？常见的规律是：在要证的比例式（等积式可转为比例式）中，把表示第一、三两项的线段端点的三个不同字母为一个三角形的三个顶点，而把表示第二、四两项线段端点的三个不同字母为另一个三角形的三个顶点，那么，这两个三角形就是要证的两个相似三角形。
现举例说明如下。
一、当第一、三两项，第二、四两项中的两条线段上的三个不同字母能直接构成三角形时。
例1 在ABC 中，AD 、BE 分别是边BC 、CA 上的高，如图1。
求证：AD ACBE BC=。
分析：如图1，要证ACD A D AC BCE B E BC →⎛⎫= ⎪→⎝⎭。
为此，只要证ACD ∽BCE ，即可。
证明：如图1，在ACD 和BCE 中，9090AD BC ADC BE AC BEC C C⎫⊥⇒∠=⎪⊥⇒∠=⇒⎬⎪∠=∠⎭ACD ∽BCE ⇒AD AC BE BC =。
二、当第一、三两项，第二、四两项中的两条线段上的三个（或四个）不同字母不能直接构成三角形时。
例2 如图2，Rt ABC 中90C ∠=，CD AB ⊥，垂足为D ，F 是AC 的中点，FD 交CB 的延长线于E 。
求证：BE BCDE AC=。
分析：如图2，要证B C E B E BC D E AC A C D E →⎛⎫= ⎪→⎝⎭、、三点一线、、、四点构不成三角形成立，显然不能直接证两个三角形相似。
因而可交换两内项DE 、BC ，得BED B E D E ABC BC AC →⎛⎫= ⎪→⎝⎭，显然BED 与ABC 不相似。
当出现以上情况时，应根据已知条件或图形性质，把比例中的某一比（或一线段）用它图 1DECBA图 2321FD EC B A的等量来代替。
初中数学求证等积式的三个层次学法指导
初中数学求证等积式的三个层次卓立波“等积式化比例，横找直找找相似，相似若是找不到，左右相通必有桥。
”这首打油诗不仅概括证明等积式的基本思路，同时也将证明等积式的题目按思维深度（难易程度）分成三个层次。
一. 直接通过相似三角形证明例1. 如图1所示在△ABC 中，高线AD 、CE 交于点O 。
求证：OC BD AB OD ⋅=⋅。
图1分析：将等积式化比例式OC AB OD BD=，考虑比例式中的四条线能否是两个相似三角形的对应边。
横找：线段OC ，OD 是△OCD 的两边，而线段AB ，BD 是△ABD 的两边，易证△OCD 与△BAD 相似。
证明： AD CE ABC ，是的高线∆ ∴∠+∠=∠+∠∠=∠∴∠=∠∠=∠∴~∴=∴=EAO AOE DCO CODAOE CODEAO DCOADB ODC OCD BADOC AB OD BDOC BD AB OD ∆∆，··评注：由于比例的性质——比例的内项或外项可以交换位置，所以在根据比例式寻找相应的相似三角形时，有时需横找（分别从比例式的分子线段中与分母的线段中找相应的三角形），有时需直找（分别从比例式的左边线段中与右边的线段中找相应的三角形）。
二. 用等量线段代换后，再证通过相似三角形证明例2. 如图2所示，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 的中垂线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：FD FB FC 2=·。
图2分析：要证明FD 是FB 与FC 的比例中项，由于FD ，FB ，FC 三线在同一直线上，不可能直接通过相似三角形证明。
由于题设中AD 的中垂线交BC 的延长线于点F ，则可考虑等线段代换，连结AF ，得FA=FD 。
证明：连结AF 。
∵EF 是AD 的中垂线∴=∴∠+∠=∠∠=∠+∠=∠+∠∴∠=∠∠=∠∴~FD FA B BB AFC BFAAFC BFA，又2344123 ∆∆ ∴=∴==FA FB FC FAFA FB FC FD FB FC22·即·评注：证明同一条直线上的线段成比例，常可用等量线段代换法证明。
相似三角形等积等比证明方法
相似三角形解题方法【基本图形】两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.【方法精讲】一、、“三点定形法”例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC.求证: BA AC AF AE （判断“横定”还是“竖定”？ ）例2、如图，CD 是Rt△ABC 的斜边AB 上的高，△BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC·AE=AF·AB 吗？说明理由。
分析方法：1）先将积式______________2）______________（ “横定”还是“竖定”？ ）练习1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=900，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 延长线于F 。
求证：CD 2=DE·DF 。
二、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．1、等量过渡法（等线段代换法）例1：如图3，△ABC中，AD平分△BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．2、等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。
例2：如图4，在△ABC中，△BAC=90°，AD△BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F．求证：AB DF AC AF．3、等积过渡法（等积代换法）思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。
相似三角形等积等比证明方法
相似三角形解题方法【基本图形】两个三角形相似的六种图形:B C条件DE"BU ^-1421=ZB血型图 只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形， 并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形, 从而使问题得以解决【方法精讲】」、、三点定形法例1 已知：如图，△ ABC 中 ,CE 丄AB,BF 丄AC.求证：AE ACAF 一 BA（判断横定”还是竖定”？） 例2、如图，CD 是Rt △ ABC 的斜边 AB 上的高，/ BAC 的 平分线分别交 BC 、CD 于点E 、F, AC ・AE=A F AB 吗？ 说明理由。
分析方法：1） _____________________________ 先将积式2） _________________ （ 横定”还是竖定”？）练习1已知：如图，△ ABC 中，/ ACB=90°, AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 延长线于F 。
2 求证：CD =DE・DF 。
条件AB “DE 条件ZA-ZD 余件AD 是RtABC 斜边上的高 C二、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用过渡”其主要类型有三种，下面分情况说明.1、等量过渡法（等线段代换法）例1:如图3, △ ABC 中，AD 平分/ BAC , AD 的垂直平分线 FE 交BC 的延长线于 E.求证：DE2 = BE-CE.2、等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。
例2:如图4,在△ ABC 中，/ BAC=90 , AD 丄BC , E 是AC 的中点,3、等积过渡法（等积代换法）思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三 点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法 确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。
相似三角形复习——比例式、等积式的几种常见证明方法(修改)
相似三角形的判定方法
⑴平行于三角形一边的直线和
其他两边相交，所构成的三角
形与原三角形相似.
B
A
E
E
D
C
⑵两角分别相等的两个三角形 相似.
2.如图，每个小正方形边长均为1，则下列图 中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC 相似 的是（ B ）
A
B
C
A．
B．
相似三角形的判定方法
C．
D．
⑶两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
⑷三边成比例的两个三角形相似.
3．在△ABC 和△A1B1C1 中，∠A＝∠A1＝90°，添加下列
条件不能判定两个三角形相似的是( D )
AB AC
C1
A．∠B＝∠B1
B.A1B1＝A1C1
C
AB BC C.A1B1＝B1C1
AB AC D.B1C1＝A1C1
B
A
A1
B1
相似三角形的判定方法
⑸斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.
例3.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点， D为弧AC的中点，DE⊥AB，垂足为E，连 接AC,AD,BD，弦AC、BD交于点F．
(1)求证：△ADF∽△BDA； (2)求证：AE⋅AB=DF⋅DB
★证明等积式时，如果不能 进行等线段替换，还可以 转化一个乘积.
例4.如图，点E是▱ABCD的边CD延长线 上的一点，连接BE交AC于点O,交 AD于点F. 求证：OB2=OF·OE.
O
★证明等积式时，如果不能转化 一个乘积，也可以转化一个比.
课堂小结 返故悟新
证明等积式时，先将等积式改写成比 例式，然后找相似三角形；如果找不到相 似三角形，可以找等线段；等积或等比转 化.
(word完整版)相似三角形证明技巧(整理)
1相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1）三角形相似的条件：① ；② ；③ 。
二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形,从而使问题得以解决。
三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线),因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等,则只考虑三组对应边是否成比例; 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2a ）已知一对b)己知两边对应成c)己知一个2找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e ）相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能,则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”;若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时,往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞,乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知：如图，ΔABC 中，CE ⊥AB ，BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）例2、如图,CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的 平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？ 说明理由。
相似三角形等积式
1B相似三角形中的“等积式”的证明一、一般条件下比例式、等积式的证明：（一）遇到等积式（或比例式）时，先看是否能找到相似三角形。
等积式可根据比例的基本性质改写成比例式，“横找、竖找”找出相似三角形。
例1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=900，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 延长线于F 。
求证：CD 2=DE ·DF 。
（二）若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，则需要进行等线段代换或等比代换。
有时还需添加适当的辅助线，构造平行线或相似三角形。
例2．已知：如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，CF ∥BA ，BF 交AD 于P 点，交AC 于E 点。
求证：BP 2=PE ·PF 。
分析：因为BP 、PE 、PF 三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC ，D 是BC 中点，由等腰三角形的性质知AD 是BC 的垂直平分线，如果我们连结PC ，由线段垂直平分线的性质知PB=PC ，只需证明△PEC ∽△PCF ，问题就能解决了。
例3．已知：已知，在△ABC 中，∠BAC=900，AD ⊥BC ，E 是AC 的中点，ED 交AB 的延长线于F 。
求证： 。
分 析：比例式左边AB ，AC 在△ABC 中，右边DF 、AF 在△ADF 中，这两个三角形不相似，因此本题需经过中间比进行代换。
通过证明两套三角形分别相似证得结论。
例4．已知：如图，在⊿ABC （AB >AC ）的边AB 上取一点，在边AC 上取一点E ，使AD=AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P， 求证：BP ：CP=BD ：CE2二、双垂直条件下的计算与证明问题： “双垂直”指：“Rt △ABC 中，∠BCA=90°，CD ⊥AB 于D ”，（如图）在这样的条件下有下列结论：（1）△ADC ∽△CDB ∽△ACB射影定理：（2）由△ADC ∽△CDB 得CD 2=AD ·BD （3）由△ADC ∽△ACB 得AC 2=AD ·AB （4）由△CDB ∽△ACB 得BC 2=BD ·AB （5）由面积得AC ·BC=AB ·CD （6）勾股定理我们应熟记这些结论，并能灵活运用。
三角形相似---上传版
相似三角形相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△． 2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为D E F △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△． 3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。
这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解．倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之．复合式的证明比较复杂．通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换），等比代换，等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明．一、相似证明中常见辅助线的作法在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论．常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等．如图：AD 平分BAC ∠交BC 于D ，求证：BD ABDC AC=． 321EDCA B证法一：过C 作CE AD ∥，交BA 的延长线于E ． ∴1E ∠=∠，23∠=∠． ∵12∠=∠，∴3E ∠=∠．∴AC AE =．∵AD CE ∥，∴BD BA BADC BE AC==． 点评：做平行线构造成比例线段，利用了“A”型图的基本模型．BA CDE12证法二；过B 作AC 的平行线，交AD 的延长线于E ． ∴12E ∠=∠=∠，∴AB BE =．∵BE AC ∥，∴BD BE ABDC AC AC==． 点评：做平行线构造成比例线段，利用了“X”型图的基本模型．二、相似证明中的面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题． 常用的面积法基本模型如下：图1：“山字”型H DC B A如图：1212ABCACDBC AHSBC S CD CD AH ⋅⋅==⋅⋅△△． 图2：“田字”型G HODCBA如图1212ABC BCDBC AHS AH AO S DG OD BC DG ⋅⋅===⋅⋅△△． 图3：“燕尾”型CDEB A如图：ABD ABD AED ACE AED ACE S S S AB AD AB ADS S S AE AC AE AC⋅=⋅=⋅=⋅△△△△△△．三、相似证明中的基本模型I H G FED CB AGF EDC BAEDCB A ED C BAEFDC BA F ED C BAOD C BAODC BAHE DCBAE DCBAEDCBAODCBAD C BD BA CAEDCB AD C B AG FEDC BAGFEDC BA G FE DCB ADEFCBAH PMNF EDCBAGHG FEDC BAEF DCBAFEDCBA与三角形有关的相似问题【例1】 如图，在ABC △中，AC AB ，点D 在AC 边上，若在增加一个条件就能使ABC ACB △∽△，则这个条件可以是 ．CDBA【例2】 如图，D 、E 是ABC ∆的边AC 、AB 上的点，且AD AC ⋅=AE AB ⋅，求证：ADE B ∠=∠.EDCBA【例3】 如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，ABC ∆的面积是BDE ∆面积的4倍，6AC =，求DE 的长.ED CB A【例4】 直线DE 与ABC △的AB 边相交于点D ，与AC 边相交于点E ，下列条件：①DE BC ∥；②AED B ∠=∠；③AE AC AD AB ⋅=⋅；④AE EDAC BC=中，能使ADE △与ABC △相似的条件有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【例5】 如图，ABC △中，60ABC ∠=︒，点P 是ABC △内一点，使得APB BPC CPA ∠=∠=∠，86PA PC ==，，则PB = ．PCBA【例6】 如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG ∠+∠．HGFED CB A【例7】 如图，已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BC CD =，AD 与CE 相交于F ，则A F E FF C F D+的值为（ ）A DEFCBA.52 B.1 C.32D.2 【例8】 在ABC ∆中，BD CE =，DE 的延长线交BC 的延长线于P ， 求证：AD BP AE CP ⋅=⋅.PED CBA【例9】 如图，在ABC ∆的边AB 上取一点D ，在AC 取一点E ，使A D A E =，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，求证：BP BDCP CE=PEDCBA【例10】 如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且与AB 、DC 、BC 、AD及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P .求证：PM PN PR PS ⋅=⋅lSR PNMO DC BA【例11】 已知：P 为ABC ∆的中位线MN 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交对边AC 、AB 于D 、E ，求证：1AD AEDC EB+=PNME D CBA与平行四边形有关的相似问题【例12】 如图，已知平行四边形ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ，若5BE =，2EF =，则FG 的长是 ．EFGDC AB【例13】 如图，已知DE AB ∥，2OA OC OE =⋅，求证：AD BC ∥.DOECB A【例14】 如图，ABCD 的对角线相交于点O ，在AB 的延长线上任取一点E ，连接OE 交BC 于点F ，若AB a AD c BE b ===，，,求BF 的值．OFE DCBA【例15】 如图：矩形ABCD 的面积是36，在AB AD ，边上分别取点E F ，，使得3AE EB =，2DF AF =，且DE 与CF 的交点为点O ，求FOD ∆的面积。
(完整版)相似三角形证明技巧(整理)
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1)三角形相似的条件：①；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2 找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1 找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
相似三角形解题技巧及口诀
相似三角形解题技巧及口诀常见相似类型：A 字形，斜A 字形，8字形、斜8字形（或称X 型），双垂直（母子型），,旋转形【双垂直结论，即直角三角形射影定理】：【1】直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；【2】 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
（1）ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD2=ADBD⑵ △ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC2=ADAB（3）CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC2=BDAB结论：⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD结论：面积法得ABCD=ACBC →比例式【证明等积式(比例式)策略】:1、直接法：找同一三角形两条边变化：等号同侧两边同一三角形， 三点定形法2、间接法：对线段比例式或等积式的证明：常用等线段替换法、中间比过渡法、面积法等．若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”(必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似三角形来证明．⑴3种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换；⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A ”字型、“8”字型②先证其它三角形相似——创造边、角条件相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比【口诀】： 遇等积，化比例，同侧三点找相似；四共线，无等边，射影平行用等比； 四共线，有等边，必有一条可转换； 两共线，上下比，过端平行条件边；彼相似，我角等，两边成比边代换。
或：遇等积，改等比，横看竖看找关系；遇等积，化比例：横找竖找定相似；不相似，不用急：等线等比来代替；三点定形用相似，三点共线取平截；平行线，转比例，等线等比来代替；遇等积，改等比，横看竖看找关系①△ABC 中，AB=AC ，△DEF 是等边三角形，求证：BDCN=BMCE ．②等边三角形ABC 中，P 为BC 上任一点，AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点。
相似三角形复习——比例式、等积式的几种常见证明方法
图3 例3如图3，△ABC中，DE∥BC,BE与CD交于点O， AO与DE、BC分别交于点N、M，试说明：. 利用等
比式代 换
AN AD DE AM AB BC
AN ON AM OM
图3
ON OE DE OM OB BC
例3．如图，已知：在△ABC中，∠BAC=900， AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F
A
BDEຫໍສະໝຸດ C如上图, ∠BAC=120°, △ADE是 等边三角形,小丽发现图中有些线 段是其他两条线段的比例中项,你 知道小丽说的是哪些线段吗? 它们 分别是哪些线段的比例中项吗?
比例式得：
，由等式左边得
到△CDF，由等式右边得到△EDC，
这样只要证明这两个三角形相似就
可以得到要证的等积式了。因为
∠CDE是公共角，只需证明
∠DCE=∠F就可证明两个三角形相
似。
例2如图2，在△ABC中，AB=AC,直线DF与AB交于D，与
BC交于E，与AC的延长线交于F.图2 试说明：. DE EF
求证：
。
分 析：比例式左边AB，AC 在△ABC中，右边DF、AF在 △ADF中，这两个三角形不相 似，因此本题需经过中间比进 行代换。通过证明两套三角形 分别相似证得结论。
“双垂直”指：
“Rt△ABC中，
∠BCA=900，
CD⊥AB于D”，（如
图）在这样的条件下
有下列结论：
A
C
D
B
（1）△ADC∽△CDB∽△ACB （2）由△ADC∽△CDB得CD2=AD·BD （3）由△ADC∽△ACB得AC2=AD·AB （4）由△CDB∽△ACB得BC2=BD·AB （5）由面积得AC·BC=AB·CD （6）勾股定理 我们应熟记这些结论，并能灵活运用。
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例３ 如图4，梯形ABCD中，AB∥DC，E是AB 的中点，直线DE分别与对角线AC，直线BC相 交于M和N求证：MD· NE=ME· ND.
3. 平行线段转比例， 两端各自拉关系
试一试
• 在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ是ＢＤ上一点， ＡＥ的延长线交ＤＣ于点Ｆ，交ＢＣ的延 长线于点Ｇ，证明:AＥ2=EF•EG
用相似三角形证明等积式
例１.如图.AB是⊙O的直径,弦CD垂直AB,垂足H． （1）求证：AC2=AE，与⊙O 相交于点Ｆ，求证：AC2=AE•AF
１.等积式化比例式， 横找竖找找相似
例2 如图2，平行四边形ABCD中，E为边AD延长 线上的一点，BE交CD于F. 证明：CD·BC=AE·FC. ２.相似若是不好找， 等量代换试一试
在证明等积问题时，首先考虑把等积 问题化为比例式，然后证明相关的三角形 相似.其次，在无法证明三形相似时，可用 问题中所蕴含的与等中某一线段相等的线 段或相等的比值来代替.最后，若无法找到 相应的等线段或等比时则通过平行线成比 例线段这一相关性质找相应的比值