HP12C正态分布密度曲线,(正态曲线)的编程
正态分布ppt课件统计学
人类的身高和体重分布情况符合正态分布的特征。这是因为个体的生长发育受到多种因 素的影响，导致身高和体重的差异。根据正态分布规律，大部分人的身高和体重值会集 中在平均值附近，而偏离平均值越远的人数逐渐减少。这种分布形态有助于评估个体的
生长发育状况，并识别出异常身高和体重的个体。
股票价格波动
总结词
卡方检验
总结词
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。
详细描述
卡方检验通过计算卡方值和对应的P值来判断实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。卡方值越大，P值越小，说明差 异越显著。
05
正态分布的实例分析
考试分数分布
总结词
考试分数分布通常呈现正态分布的特点，即大部分考生成绩集中在平均分附近，高分和低分均呈下降趋势。
03
正态分布的性质
钟形曲线
钟形曲线
正态分布的图形呈现钟形 ，中间高，两侧逐渐降低 ，对称轴为均值所在直线 。
概率密度函数
描述正态分布中取任意值 的概率大小，函数曲线下 的面积代表概率。
曲线下面积
正态分布曲线下的面积为1 ，表示随机变量取值在一 定范围内的概率。
平均数与标准差
平均数
正态分布的均值，表示数据的中 心位置，所有数据值加起来除以 数据个数得到。
概率密度函数
正态分布的概率密度函数公式为： $f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$
其中，$mu$表示平均值，$sigma$ 表示标准差，该公式描述了正态分布 曲线的形状和高度。
02
正态分布的应用
自然现象
excel 正态分布曲线
excel 正态分布曲线
Excel中如何绘制正态分布曲线？正态分布是一种重要的概率分布，广泛应用于统计学、金融学、经济学、医学等领域。
Excel 作为强大的数据处理工具，可以方便地绘制正态分布曲线。
首先，在Excel中输入数据，可以使用NORM.DIST函数计算随机变量X的概率密度函数值。
NORM.DIST函数的语法为：
NORM.DIST(x, mean, standard_dev, cumulative)，其中x表示要计算概率密度函数值的随机变量，mean表示随机变量X的均值，standard_dev表示随机变量X的标准差，cumulative表示是否计算累积分布函数值。
例如，在单元格A1中输入
=NORM.DIST(0,1,1,FALSE)，即可计算X=0处的概率密度函数值。
然后，在Excel中绘制正态分布曲线，可以使用折线图或散点图。
具体步骤如下：
1.将随机变量X的取值范围输入到Excel的一个列中，例如，在A列中输入-3,-
2.9,-2.8,...,2.8,2.9,3，表示X的取值范围为-3到3，步长为0.1。
2.在另一个列中输入随机变量X对应的概率密度函数值，例如，在B列中输入=NORM.DIST(A1,1,1,FALSE)，并将此公式复制到下面的单元格中，直到填满整个列。
3.选中A列和B列中的所有数据，点击插入菜单中的折线图或散点图，即可绘制出正态分布曲线。
4.可以根据需要对图表进行格式调整，例如，调整坐标轴范围
和标签，添加标题和图例等。
绘制正态分布曲线是Excel中常见的数据可视化任务之一，掌握这一技能可以帮助我们更好地理解和分析数据。
excel正态分布图标曲线的制作过程介绍
excel有个数据分析工具，里面可以做直方图，但是正态分布图不能直接做。
若要两种图都显示，那么就需要用到函数了。
方法如下：
假若你的数据在A1:A10
1.统计数据个数；任意选个单元格，如B1，输入count(A1:A10)；
2.求最大值；如B2中输入：max(A1:A10)
3.求最小值；如B3中输入：min(A1:A10)
4.求平均值；如B4中输入：average(A1:A10)
5.求标准偏差：如B5中输入：stdev(A1:A10)
6.获得数据区间；用最大值减最小值；如B6中输入：B3-B2
7.获得直方图个数；个数的开放加1，如B7中输入：sqrt（B1）+1
8.获得直方图组距；用区间除以(直方图个数-1)，如B8中输入B7/(B7-1)
下面就开始作图了：
1.任选个空单元格：如C列第一个单元格C1，令C1等于最小值，即输入=B3
2.在C2中输入=C1+$B$8 (最小值逐渐累加，绝对引用)
3.选中C2，然后向下拉，直到数据大于最大值就可以了；比如你拉到C5了。
4.统计频数，如在D1中输入frequency（A1:A10，C1:C5）确定，然后将选中D1到D5，将光标定位到公式栏，同时按住ALT+Shift+Enter
5.统计正态分布的数据，E1中输入normdist（C1，$B$4,$B$5,0）回车；然后选中E1，下拉到E5
选择数据区域-二维堆积柱形图-确定完成，点击二维堆积柱形图的上数据图-右键-更改系列图标类型-选择折线图-图标空白处-右键-设置数据系列格式,看图吧：
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excel正态分布图标曲线的制作过程介绍
excel 有个数据剖析工具，里面能够做直方图，可是正态散布图不可以直接做。
若要两种图都显示，那么就需要用到函数了。
方法以下：倘若你的数据在A1:A101.统计数据个数；随意选个单元格，如B1，输入 count(A1:A10) ；2.求最大值；如B2 中输入： max(A1:A10)3.求最小值；如B3 中输入： min(A1:A10)4.求均匀值；如B4 中输入： average(A1:A10)5.求标准误差：如B5 中输入： stdev(A1:A10)6. 获取数据区间；用最大值减最小值；如B6 中输入： B3-B27. 获取直方图个数；个数的开放加1，如 B7 中输入： sqrt （B1 ） +18.获取直方图组距；用区间除以(直方图个数 -1) ，如 B8 中输入 B7/(B7-1)下边就开始作图了：1. 任选个空单元格：如 C 列第一个单元格 C1 ，令 C1 等于最小值，即输入 =B32. 在 C2 中输入 =C1+$B$8 ( 最小值渐渐累加，绝对引用 )3. 选中 C2 ，而后向下拉，直到数据大于最大值就能够了；比方你拉到C5 了。
4. 统计频数，如在D1 中输入 frequency （A1:A10 ， C1:C5 ）确立，而后将选中 D1 到 D5，将光标定位到公式栏，同时按住ALT+Shift+Enter5. 统计正态散布的数据， E1 中输入 normdist （ C1 ，$B$4,$B$5,0 ）回车；而后选中E1，下拉到 E5选择数据地区 - 二维聚积柱形图 - 确立达成，点击二维聚积柱形图的上数据图- 右键 - 改正系列图标种类 - 选择折线图 - 图标空白处 - 右键 - 设置数据系列格式 , 看图吧：--------------- ------。
用Excel制作直方图和正态分布曲线图
用Excel2007制作直方图和正态分布曲线图••|•浏览：4284•|•更新：2014-04-15 02:39•|•标签：excel2007•••••••分步阅读在学习工作中总会有一些用到直方图、正态分布曲线图的地方，下面手把手教大家在Excel2007中制作直方图和正态分布曲线图工具/原料•Excel(2007)1. 1数据录入新建Excel文档，录入待分析数据（本例中将数据录入A列，则在后面引用中所有的数据记为A:A）；2. 2计算“最大值”、“最小值”、“极差”、“分组数”、“分组组距”，公式如图：3. 3分组“分组”就是确定直方图的横轴坐标起止范围和每个小组的起止位置。
选一个比最小值小的一个恰当的值作为第一个组的起始坐标，然后依次加上“分组组距”，直到最后一个数据值比“最大值”大为止。
这时的实际分组数量可能与计算的“分组数”有一点正常的差别。
类似如下图。
4. 4统计频率“频率”就是去统计每个分组中所包含的数据的个数。
最简单的方法就是直接在所有的数据中直接去统计，但当数据量很大的时候，这种方法不但费时，而且容易出错。
一般来说有两种方法来统计每个小组的数据个数：1.采用“FREQUENCY”函数；2.采用“COUNT IF”让后再去相减。
这里介绍的是“FREQUENCY”函数方法：“Date_array”：是选取要统计的数据源，就是选择原始数据的范围；“Bins_array”：是选取直方图分组的数据源，就是选择分组数据的范围；5. 5生成“FREQUENCY”函数公式组，步骤如下：1. 先选中将要统计直方图每个子组中数据数量的区域6. 62. 再按“F2”健，进入到“编辑”状态7.73. 再同时按住“Ctrl”和“Shift”两个键，再按“回车Enter”键，最后三键同时松开，大功告成！8.8制作直方图选中统计好的直方图每个小组的分布个数的数据源（就是“频率”），用“柱形图”来完成直方图：选中频率列下所有数据（G1:G21),插入→柱形图→二维柱形图9.9修整柱形图选中柱形图中的“柱子”→右键→设置数据系列格式：1、系列选项，分类间距设置为0%；2、边框颜色：实线，白色（你喜欢的就好）3、关闭“设置数据系列格式”窗口10.10直方图大功造成！END制作正态分布图1.获取正态分布概念密度正态分布概率密度正态分布函数“NORMDIST”获取。
excel生成正态曲线
excel生成正态曲线
在Excel中生成正态曲线可以通过以下步骤实现。
首先，打开Excel并创建一个新的工作表。
然后按照以下步骤操作：
1. 在一个列中输入一系列代表正态分布的X值。
例如，可以输
入-3、-2.5、-2、-1.5、-1、-0.5、0、0.5、1、1.5、2、2.5、3
等数值。
2. 在另一列中，使用正态分布函数NORM.DIST来计算对应X值
的Y值。
该函数的语法为
=NORM.DIST(x,mean,standard_dev,cumulative)，其中x是要计算
的值，mean是正态分布的均值，standard_dev是正态分布的标准差，cumulative是一个逻辑值，用于指定计算累积分布函数还是概率密
度函数。
例如，可以使用=NORM.DIST(A2,0,1,FALSE)来计算X值为
A2的概率密度函数值。
3. 将上述公式拖动或填充到下面的单元格，以计算所有X值对
应的Y值。
4. 选择X和Y值的数据范围，然后插入散点图。
在Excel中，
选择“插入”选项卡，然后选择“散点图”图标。
选择适当的散点图类型，确保X轴是你输入的X值，Y轴是计算得到的Y值。
5. 在生成的散点图上，右键单击数据点，然后选择“添加趋势线”。
在弹出的对话框中，选择“正态分布”作为趋势线类型。
通过上述步骤，你就可以在Excel中生成一个代表正态分布的曲线图表。
这样可以直观地展示正态分布的特征，对于数据分析和可视化非常有帮助。
希望这些步骤能帮助到你。
正态分布密度曲线(简称正态曲线)
正态分布密度函数是连续的，且在整个实数域上 都是非负的。
可微性
正态分布密度函数是可微的，这意味着其导数存 在，可以用于计算概率密度函数的积分。
概率性质
概率密度函数
正态分布的概率密度函数表示随机变量取某个值的概率，其值等 于该点处的曲线下的面积。
概率计算
通过正态分布的概率密度函数，可以计算随机变量取任意区间的概 率。
正态分布密度曲线(简称正态 曲线)
目录
• 正态分布的简介 • 正态分布密度曲线的绘制 • 正态分布的性质 • 正态分布的应用 • 正态分布与其他分布的关系 • 正态分布的假设检验
01
正态分布的简介
正态分布的定义
01
正态分布是一种概率分布，描述 了许多自然现象的概率分布形态 ，其概率密度函数呈钟形曲线， 又称为正态曲线。
非参数检验
通过检验样本数据的某些统计量（如 偏度、峰度）是否符合正态分布的特 征，来判断总体是否服从正态分布。
假设检验的应用场景
金融领域
用于检验投资组合收益率、股票 价格等是否服从正态分布，以评 估风险和制定投资策略。
生物医学领域
用于检验生理指标、遗传变异等 是否符合正态分布，以评估治疗 效果和制定治疗方案。
在统计学中的应用
1 2 3
描述数据分布
正态分布是描述数据分布形态的重要工具，尤其 在统计分析中，正态分布用于描述数据的集中趋 势和离散程度。
参数估计
正态分布的参数估计在统计学中具有重要意义， 如均值和方差等参数的估计有助于了解数据分布 的特征。
假设检验
在许多统计假设检验中，正态分布用于检验数据 的分布是否符合预期，如正态性检验等。
05
正态分布与其他分布的关系
正态分布密度曲线(简称正态曲线)
取值概率 68.26% 95.44% 99.74%
发生概率一般不超过5％的事件，即在一次试验中几乎不
可能发生的事件．
小概率事件
某镇农民的年平均收入服从正态
分布N(5000,2002),试求该镇农
民年平均收入在(4800,5200]范
体的分布越集中，σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分
散。
想 若 X ~ N(, 2 ) ,如何用正态曲线求 一 随机变量X 在一定区间内的概率? 想
Y
x=μ
用面积去表示概率
μ -a
μ+a
X
O
X落在区间 ( a, a] 为:
P( a X a]
a
a ,
(x)dx
特别地有“3σ原则” 区间
1
( x )2
e 2 2 , x (,)
2
(1)曲线在x轴上方,与x轴不相交； (2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称； Y
x=μ
1 (3)曲线在x=μ处达到峰值 2 ；
(4)曲线与x轴之间的面积为１；
O
X
(5)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定. σ越小,曲线越“瘦高”,表示总
记为 N (, 2 )，称X 服从
正态分布为 X ~ N (, 2 )
O
a
b
X
正态分布密度曲线(简称正态曲线)
, (x)
1
( x )2
e 2 2 , x (,)
2
Y
O
X
想 一 想
结合 , (x) 的解析式及概率的性质,
正态分布密度函数及其性质
个偶函数，所以其图象关于 y 轴对称，即 μ＝
0.由
1＝ 2πσ
1 ，得 2π·4
σ＝4，
故该正态分布的概率密度函数的解析式是
φμ，σ(x)＝4
1
e
x2 32
，x∈(－∞，＋∞)．
2π
(2)P(－4<X≤4)＝P(0－4<X≤0＋4)
＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6.
探究提高 解决此类问题的关键是正确理解 函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析 式中参数的取值变化对曲线的影响．
(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ 0.6826； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ 0.9544 ； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝ 0.9974 .
正态分布密度函数及其性质
正态分布密度函数及其性质
正态分布密度函数及难其点性正质本 疑点清源
正态分布密度函数及其性质 正态分布密度函数及正其态性曲质线的对称性
解析
正态密度函数为 φμ，σ(x)＝
1
xu 2
e ， 2 2
2πσ
正态曲线对称轴为 x＝μ，曲线最高点的纵坐标 为 φ(μ)＝ 21πσ.所以曲线 C1 向右平移 2 个单位
后，曲线形状没变，仍为正态曲线，且最高点
的纵坐标 φ(μ)没变，从而 σ 没变，所以方差没
变，而平移前后对称轴变了，即 μ 变了，因为
0.8 ________．
解析 P(0<X<2)＝2P(0<X<1)＝0.8.
2．(2009·安徽)若随机变量 X～N(μ，σ2)，则
1
P(X≤μ)＝___2 _____.
正态分布曲线模板
正态分布曲线模板
在word文档输出的考试成绩分布直方图的上层，复制本曲线，点击曲线出现边框线，随意变更曲线大小，并移动曲线位置，
使水平轴线与直方图横轴重合，且中值、最大值以及覆盖区域尽量接
近，便完成了“拟合”，可直观地比较考试成绩分布于正态分布的符
合程度。
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python正态密度函数
Python正态密度函数目录•概述•定义•用途•工作方式•代码示例•总结概述在统计学中，正态分布（也称为高斯分布）是一种常见的概率分布。
在Python中，可以使用正态密度函数来表示正态分布。
正态密度函数可以用来计算给定均值和标准差的正态分布的概率密度。
本文将详细解释Python正态密度函数的定义、用途和工作方式，并提供一个代码示例。
定义正态密度函数（也称为高斯密度函数）是一个连续的概率密度函数，用于描述正态分布。
其数学表达式如下：其中，μ表示均值，σ表示标准差，x表示随机变量。
正态密度函数的图像呈钟形曲线，以均值为中心，标准差决定曲线的宽度。
曲线在均值处取得最大值，随着距离均值的增加，曲线逐渐减小。
用途正态分布在统计学和自然科学中应用广泛。
正态密度函数可以用于以下几个方面：1.描述和分析数据：正态分布在描述和分析数据时非常有用。
许多自然现象和测量数据都近似服从正态分布，因此可以使用正态密度函数来分析数据的分布特征和概率。
2.假设检验：在统计假设检验中，正态密度函数可以用来计算给定均值和标准差的正态分布下的概率。
这对于判断样本是否符合某个理论分布或两个样本是否来自同一分布非常重要。
3.随机数生成：正态密度函数可以用来生成服从正态分布的随机数。
这在模拟实验和随机抽样中非常有用。
4.数据转换：正态分布在一些统计方法中是前提条件，但某些数据可能不服从正态分布。
可以使用正态密度函数进行数据转换，将数据转换为服从正态分布的形式，以便进行进一步的分析。
工作方式Python中的正态密度函数通常使用scipy.stats.norm模块来实现。
该模块提供了一系列与正态分布相关的函数和方法。
要使用正态密度函数，首先需要导入scipy.stats模块中的norm类。
然后可以使用该类的方法和属性来计算正态分布的概率密度、累积分布、分位数等。
下面是一些常用的norm类方法和属性：•pdf(x, loc=0, scale=1)：计算给定随机变量x的概率密度函数值。
正态分布函数绘制
正态分布函数绘制正态分布函数是统计学中的一个重要概念，也是应用最广泛的概率分布之一。
正态分布函数可以用于描述许多自然现象，例如人口分布、智力分布、体重分布等。
本文将介绍如何使用Python绘制正态分布函数。
1. 导入必要的库首先，需要导入matplotlib和numpy库，并使用“%matplotlib inline”命令来使图形在Notebook中显示。
```pythonimport matplotlib.pyplot as pltimport numpy as np%matplotlib inline```2. 定义正态分布函数使用numpy库中的“np.exp”函数和“np.pi”常量来定义正态分布函数。
其中，μ表示均值，σ表示标准差。
```pythondef normal_distribution(x, μ, σ):return 1/(σ*np.sqrt(2*np.pi))*np.exp(-(x-μ)**2/(2*σ**2))```3. 绘制正态分布函数图像使用matplotlib库的“plt.plot”函数来绘制正态分布函数图像。
可以通过修改μ和σ的值来观察正态分布函数图像的变化。
```pythonx = np.linspace(-5, 5, 1000)μ, σ = 0, 1plt.plot(x, normal_distribution(x, μ, σ))plt.xlabel('x')plt.ylabel('Probability density')plt.title('Normal Distribution Function')plt.show()```4. 绘制多个正态分布函数图像可以使用matplotlib库的“plt.subplots”函数来绘制多个正态分布函数图像。
例如，可以绘制两个均值分别为0和2的正态分布函数。
```pythonfig, ax = plt.subplots()x = np.linspace(-5, 5, 1000)μs, σ = [0, 2], 1for μ in μs:ax.plot(x, normal_distribution(x, μ, σ), label='μ={}'.format(μ))ax.legend()plt.xlabel('x')plt.ylabel('Probability density')plt.title('Normal Distribution Function')plt.show()```通过以上步骤，就可以绘制正态分布函数图像了。
正态分布图程序
正态分布图程序操作步骤及说明：1. 在Excel 、Word 等电⼦⽂档的表格内复制源数据，不限排列⽅式，但不得含有其它⽆关数据；然后点击本页⾯的“更新数据”按钮，源数据即被调⼊本⽂件；2. 在本页⾯黄⾊区域内填写相关信息和测试标准，然后点击“重新绘图”按钮，⽣成相关图⽚；3. 本图表可以⾃定义图形的组距和组界，其中组界是通过设定 X 起点的⽅式实现；4. 挪动单元格位置或者改变图表的设置可能会导致本⽂件⽆法使⽤。
⼏个重要的⼩技巧：1. 更新数据之前，先填写规格和⽬标值，再复制、更新数据可直接得到漂亮的图形；由默认图形改变为⾃定义图形之前，先填写⾃定义参数，再点选“⾃定义”按钮，可⽴即⽣成⾃定义图形。
否则，在改变相应的参数后，需要点击“重新绘图”才可以看到更新设定后的图形。
2. 图形实际显⽰的范围⽐ X 起点和 X 终点都要多出半个组距，如例图，如果起点设定为2.63，组距设定为0.05，那么当把下限设定为2.61时，红⾊的规格线2.61也将出现在图形上。
3. ⼀般情况下，在⾃定义时宜先填写组距，接着填写 X 终点，最后填写 X 起点。
设定组距时，宜参照默认组距，或者⽐默认组距略⼩。
当复制的所有数据完全相等时，本程式⽆法绘图。
4. 填写 X 起点时有⼀个很重要的技巧：⼀般来说，平均值在图形正中的图是最漂亮的。
如何让平均值出现在图形的正中呢？最佳⽅案是变更 X 起点值，可以使⾃定义“正中组”的值等于默认“正中组”的数值，另⼀种⽅式是变更 X 起点值，使“正中组”的值等于“平均值”±半个组距。
5. ⾸次使⽤VBA 程序时，应⾸先将EXCEL 中的安全性设定为“中” (具体设定位置在“⼯具” → “宏” →“安全性”)，然后关闭本⽂件，再次打开这个⽂件，在打开⽂件时遇到的第⼀个对话框上选择“启⽤宏”。
正态分布图6. 其中图⽚的复制⽅法如下：如果希望将图⽚复制到Word⽂档中，请先⽤⿏标选定图表，然后点击“复制”，打开相应的Word⽂档，如果希望将图⽚复制到其它Excel⽂档中，请先将图⽚粘贴到Word中，然后再复制、粘贴到Excel中即可如果您觉得这个⼩程序⾮常好⽤，别忘了转发给需要的朋友，谢谢！下载地址：http://222.73.15.32/downloads/download.aspLijiuqinn@/doc/11e8c8d76529647d26285245.html版本号：V061110A2006-11-1Test Item = 组界上限LSL = -7组界下限Target = 极差UCL = 7数据精度Max = -2.53数据精度Min = -7.79每组宽幅Ave = -5.712Std = 0.91⽬标Ave+3σ = -2.981下限-7Ave-3σ = -8.442上限7Sample Size = 200-8.44243Defect Ratio = 7.9%-2.98127Ca = 81.6%CpU = 4.66CpL = 0.47Cp = 2.56Cpk = 0.47Skewness = 0.224Kurtosis = 0.069图形设定TRUE FALSE Programmer: Lijiuqinn@/doc/11e8c8d76529647d26285245.html 起点-9⽅式实现；漂亮的图形；由默认图，可⽴即⽣成⾃定义图新设定后的图形。
r语言画正态分布密度函数
r语言画正态分布密度函数正态分布是统计学中一种常见的概率分布，也被称为高斯分布。
它在自然界和社会现象中广泛存在，被广泛应用于各个领域的数据分析和建模中。
正态分布的密度函数是一个钟形曲线，呈现出对称性。
在曲线中间的峰值处，数据出现的概率最大，随着距离峰值的增加，概率逐渐减小。
正态分布的均值和方差决定了曲线的位置和形状。
在R语言中，我们可以使用一些函数来画正态分布的密度函数。
首先，我们需要使用dnorm函数来生成正态分布的密度值。
该函数需要输入一个向量作为输入值，并返回对应的密度值。
例如，我们可以使用以下代码生成一个包含100个从正态分布中抽取的随机数的向量：```{r}x <- rnorm(100)```接下来，我们可以使用hist函数来绘制直方图，以观察生成的随机数的分布情况。
直方图将数据分成若干个区间，并统计每个区间内的数据个数。
以下是一个简单的绘制直方图的例子：```{r}hist(x, breaks = 10, freq = FALSE)```在上述代码中，breaks参数指定了直方图的区间个数，freq参数设置为FALSE表示绘制的是密度图而不是频数图。
除了直方图，我们还可以使用curve函数来绘制正态分布的密度曲线。
以下是一个简单的例子：```{r}curve(dnorm(x, mean = 0, sd = 1), from = -3, to = 3)```在上述代码中，dnorm函数的参数mean和sd分别指定了正态分布的均值和标准差。
from和to参数指定了曲线的范围。
除了基本的绘图函数，R语言还提供了许多其他函数和包来进行正态分布的分析和可视化。
例如，ggplot2包提供了更灵活和美观的绘图方式，可以绘制出更多样化的图形，如散点图、箱线图等。
总结一下，正态分布是一种常见的概率分布，可以用来描述许多自然和社会现象。
在R语言中，我们可以使用一些函数来生成正态分布的随机数，并通过绘制直方图和密度曲线来可视化分布情况。
正态分布密度函数及其性质
探究提高
解决此类问题的关键是正确理解
函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析 式中参数的取值变化对曲线的影响．
变式训练 1 把一正态曲线 C1 沿着横轴方向向右 移动 2 个单位，得到一条新的曲线 C2，下列说 法不正确的是( ) A．曲线 C2 仍是正态曲线 B．曲线 C1，C2 的最高点的纵坐标相等 C． 以曲线 C2 为概率密度曲线的总体的方差比 以曲线 C1 为概率密度曲线的总体的方差大 2 D． 以曲线 C2 为概率密度曲线的总体的均值比 以曲线 C1 为概率密度曲线的总体的均值大 2
答案 C
点评
正态曲线的左右平移只改变其均值的
大小，不改变方差的大小，也就是平移变换不 改变随机变量的方差，只有沿 x 轴方向的伸缩 变换才改变其方差．
基础自测 1．在某项测量中，测量结果 X 服从正态分布 N(1，σ2) (σ>0)．若 X 在(0,1)内取值的概率 为 0.4 ， 则 X 在 (0,2) 内 取 值 的 概 率 为
§12.7 基础知识
要点梳理 1．正态曲线及性质
正态分布 自主学习
(1)正态曲线的定义 1 - x2u 函数 φμ，σ(x)＝ e ， 2πσ
2 2
x∈(－∞，＋∞)，其中实数 μ 和 σ (σ>0)为参数，我们称 φμ，σ(x)的 图象(如图)为正态分布密度曲线， 简称正态曲线．
(2)正态曲线的性质： ①曲线位于 x 轴 上方 ，与 x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线 x＝ 对称； μ 1 ③曲线在 x＝ μ 处达到峰值σ 2π； ④曲线与 x 轴之间的面积为 ⑤当 σ 一定时，曲线随着 轴平移，如图甲所示；
0.8 ________．
解析 P(0<X<2)＝2P(0<X<1)＝0.8.
标准正态分布曲线
标准正态分布曲线标准正态分布曲线是统计学中一个非常重要的概念，它描述了许多自然现象和人类行为的分布规律。
标准正态分布曲线又称为正态分布曲线，是以高斯函数为基础的一种连续概率分布。
在实际应用中，标准正态分布曲线有着广泛的应用，可以用来描述各种随机变量的分布情况，为我们提供了重要的统计学工具。
标准正态分布曲线的形状是一个钟形曲线，两头低，中间高，呈对称分布。
它的横轴是随机变量的取值，纵轴是对应的概率密度。
标准正态分布曲线的均值为0，标准差为1。
这个特殊的性质使得标准正态分布曲线在统计学中有着重要的地位，许多统计学方法都是基于对正态分布的假设进行推导和应用的。
标准正态分布曲线在实际应用中有着广泛的用途。
首先，在自然科学领域，许多自然现象和实验数据都服从正态分布。
例如，身高、体重、智力水平等人类特征，以及温度、压力、光强等物理量，都可能服从正态分布。
其次，在社会科学领域，许多人类行为和心理特征也可以用正态分布来描述。
比如，考试成绩、收入水平、心理测试得分等都可能服从正态分布。
因此，对于这些数据的分析和处理，常常需要用到正态分布的理论和方法。
在统计学中，标准正态分布曲线也是许多重要统计方法的基础。
比如，假设检验、参数估计、方差分析等方法都是基于对正态分布的假设进行推导和应用的。
因此，对于这些方法的正确理解和应用，需要对正态分布曲线有着深入的认识。
在实际应用中，我们常常需要对标准正态分布曲线进行一些计算和推断。
比如，给定一个数值，我们需要求出它在标准正态分布曲线下的累积概率，或者给定一个概率，我们需要求出对应的数值。
这些计算通常需要使用正态分布表或者统计软件来进行。
对于这些计算方法的正确掌握，可以帮助我们更好地理解和应用标准正态分布曲线。
总之，标准正态分布曲线是统计学中一个非常重要的概念，它描述了许多自然现象和人类行为的分布规律。
在实际应用中，标准正态分布曲线有着广泛的应用，可以用来描述各种随机变量的分布情况，为我们提供了重要的统计学工具。
正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【知识点的知识】1．正态曲线及性质（1）正态曲线的定义函数φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．（2）正态曲线的解析式①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为﹣．2．正态分布（1）正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）＝φμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，σ2）．（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ（x）＝，x∈R有以下性质：（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；（3）曲线在x＝μ处达到峰值；（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．三个邻域会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．【典型例题分析】题型一：概率密度曲线基础考察典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）＝，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（）A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10解析：由＝，可知σ＝2，μ＝10．答案：B．典例2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故选C．典例3：已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.682 6，则P（X＞4）等于（）A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣P（2≤X≤4）＝0.5﹣×0.682 6＝0.1587．故选B．题型二：正态曲线的性质典例1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为．（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．解（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0．由＝，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞）．（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．典例2：设两个正态分布N（μ1，）（σ1＞0）和N（μ2，）（σ2＞0）的密度函数图象如图所示，则有（）A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A．答案：A．题型三：服从正态分布的概率计算典例1：设X～N（1，22），试求（1）P（﹣1＜X≤3）；（2）P（3＜X≤5）；（3）P（X≥5）．分析：将所求概率转化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解．解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.682 6．（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），∴P（3＜X≤5）＝[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3）]＝[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2）]＝[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]＝×（0.954 4﹣0.682 6）＝0.1359．（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），∴P（X≥5）＝[1﹣P（﹣3＜X≤5）]＝[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4）]＝[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]＝×（1﹣0.954 4）＝0.0228．求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．典例2：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝．解析：由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．答案：0.7．题型4：正态分布的应用典例1：2011年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有辆．解析：由题意可知ξ～N（8，σ2），故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1 200×0.15＝180辆．点评：服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和x 轴之间的曲边梯形的面积，根据正态密度曲线的对称性，当P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）时必然有＝μ，这是解决正态分布类试题的一个重要结论．典例2：工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N（4，），问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？解∵X～N（4，），∴μ＝4，σ＝．∴不属于区间（3，5]的概率为P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，∴1 000×0.003＝3（个），即不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有3个．【解题方法点拨】正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．。
excel有关正态分布函数和曲线图
正态分布函数的语法是NORMDIST(x，mean，standard_dev，cumulative)cumulative为一逻辑值，如果为0则是密度函数，如果为1则是累积分布函数。
如果画正态分布图，则为0。
例如均值10%，标准值为20%的正态分布，先在A1中敲入一个变量，假定－50，选中A列，点编辑－填充－序列，选择列，等差序列，步长值10，终止值70。
然后在B1中敲入NORMDIST（A1，10，20，0），返回值为0.000222，选中B1，当鼠标在右下角变成黑十字时，下拉至B13，选中A1B13区域，点击工具栏上的图表向导－散点图，选中第一排第二个图，点下一步，默认设置，下一步，标题自己写，网格线中的勾去掉，图例中的勾去掉，点下一步，完成。
图就初步完成了。
下面是微调把鼠标在图的坐标轴上点右键，选坐标轴格式，在刻度中填入你想要的最小值，最大值，主要刻度单位（x轴上的数值间隔），y轴交叉于（y为0时，x多少）等等。
确定后，正态分布图就大功告成了。
PS：标准正态分布的语法为NORMSDIST(z)，正态分布（一）NORMDIST函数利用Excel计算正态分布，可以使用函数。
格式如下：变量，均值，标准差，累积，其中：变量：为分布要计算的值；均值：分布的均值；标准差：分布的标准差；累积：若1，则为分布函数；若0，则为概率密度函数。
当均值为0，标准差为1时，正态分布函数即为标准正态分布函数。
例3已知考试成绩服从正态分布，，，求考试成绩低于500分的概率。
解在Excel中单击任意单元格，输入公式：“ 500，600，100，1 ”，得到的结果为0.158655，即，表示成绩低于500分者占总人数的15.8655%。
例4假设参加某次考试的考生共有2000人，考试科目为5门，现已知考生总分的算术平均值为360，标准差为40分，试估计总分在400分以上的学生人数。
假设5门成绩总分近似服从正态分布。
解设表示学生成绩的总分，根据题意，，。
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• 程序中的π 消耗了11个程序行，但腾出了一 个寄存器（相当于7个程序行）。
0.975。从这一行水平往左得到1.9，往上对得到 0.06，把两个数加起来就是1.96。
• 也有分析性（更容易计算）的近似值。
二、如果检验的显著性水平a=0.05，在0.05就是让 标准正态分布的概率等于1-0.05的时候z的取值。
1.9 0.97128 0.97193 0.97257 0.97320 0.97381 0.97441 0.97500 0.97558
2.0 0.97725 0.97778 0.97831 0.97882 0.97932 0.97982 0.98030 0.98077
2.1 0.98214 0.98257 0.98300 0.98341 0.98382 0.98422 0.98461 0.98500
3.4 0.99966 0.99968 0.99969 0.99970 0.99971 0.99972 0.99973 0.99974
3.5 0.99977 0.99978 0.99978 0.99979 0.99980 0.99981 0.99981 0.99982
3.6 0.99984 0.99985 0.99985 0.99986 0.99986 0.99987 0.99987 0.99988
3.1 0.99903 0.99906 0.99910 0.99913 0.99916 0.99918 0.99921 0.99924
3.2 0.99931 0.99934 0.99936 0.99938 0.99940 0.99942 0.99944 0.99946
3.3 0.99952 0.99953 0.99955 0.99957 0.99958 0.99960 0.99961 0.99962
loop point increment n by one and store
recall z
recall n
2n + 1 z2n+1
−1
n (−1)n z2n+1 (−1)n
n
பைடு நூலகம்
n! z2n+1 (−1)n /n!
n
2n + 1 z2n+1 (−1)n / (2n + 1) /n!
push up into stack for later use (tol.)
或大于1的值！
Z值是指从中间均值所在的位置往右计算的长
• 其他系列可能更容易求和。
度。所以当Z=0时，中间的面积=0.50就是这个道 理。现在我们要的是从右边尾部面积查Z值。当
• 这个程序并不是越短越好，它是为了方便演 右边尾部面积是0.025时，左边的面积应是
示而写的（试着写一个更短或更快的程序？ 1-0.025=0.975。所以我们查表时要在表中间找到
2.2 0.98610 0.98645 0.98679 0.98713 0.98745 0.98778 0.98809 0.98840
2.3 0.98928 0.98956 0.98983 0.99010 0.99036 0.99061 0.99086 0.99111
2.4 0.99180 0.99202 0.99224 0.99245 0.99266 0.99286 0.99305 0.99324
0.1 0.53983 0.54380 0.54776 0.55172 0.55567 0.55962 0.56356 0.56749
0.2 0.57926 0.58317 0.58706 0.59095 0.59483 0.59871 0.60257 0.60642
0.3 0.61791 0.62172 0.62552 0.62930 0.63307 0.63683 0.64058 0.64431
1.6 0.94520 0.94630 0.94738 0.94845 0.94950 0.95053 0.95154 0.95254
1.7 0.95543 0.95637 0.95728 0.95818 0.95907 0.95994 0.96080 0.96164
1.8 0.96407 0.96485 0.96562 0.96638 0.96712 0.96784 0.96856 0.96926
2.8 0.99744 0.99752 0.99760 0.99767 0.99774 0.99781 0.99788 0.99795
2.9 0.99813 0.99819 0.99825 0.99831 0.99836 0.99841 0.99846 0.99851
3.0 0.99865 0.99869 0.99874 0.99878 0.99882 0.99886 0.99889 0.99893
1
Lines 00 01 02 03 04 05 06 07 08
09—10 11 12 13
14—17 18
19—20 21 22 23 24 25 26 27
28—31 32 33 34 35 36 37 38
39—40 41 42 43 44 45
46—56 57
58
59—62
Codes
2 43 21
0.4 0.65542 0.65910 0.66276 0.66640 0.67003 0.67364 0.67724 0.68082
0.5 0.69146 0.69497 0.69847 0.70194 0.70540 0.70884 0.71226 0.71566
0.6 0.72575 0.72907 0.73237 0.73565 0.73891 0.74215 0.74537 0.74857
recall total sum from 3
π√ in11 steps (could be in memory for 7)
π
N√1π(dP) n(=t=ol00).5(−n+1!()2n√nz1+π2n1P+) 1 n(t=ol0)
(−1)nz2n+1 n!(2n+1)
Table 1: HP12C programme summing the series erf (z) =
RCL 0
g x ≷ y (x 6 y) g R↓ 08 (GTO 08)
RCL 3
3 g
.y1x4(1√5x9)2
6
5
4
÷
0.5 +
Function and action
空白起跑线 √take d and conv. to erf z
2√ z = d/ 2 store z in 1 also store z in cumulative sum 3 reset n (summation index) to zero
1.4 累计正态分布表
翻开正态分布表，直接找到0.95，与这个0.95相对 应时的z值就是你要求的。但是我们在表中没有查
See Table 2.
到0.95，只找到0.9495和0.9505，对应的z值是1.64
和1.65。取两者均值，得到1.645。
N (d) = √1
Zd
e−
1 2
s2
ds
2π −∞
10 44 1 44 3
0 44 2 45 2 1 40 44 2 45 1 45 2 2 20 1 40
21 1 16 45 2
21 20 45 2 43 3 10 45 2 2 20 1 40 10 36 36 45 3 40 44 3 33 2 21 43 21 45 0 43 34 43 33 08 45 3 3 48 1 4 1 5 9 2 6 5 4 43 21
• 使用大约0.001的公差（STO 0），较低的值 检验时要检验是否相等，就是双侧检验，允许左
会产生更多的迭代。
右各有误差，即a/2=0.025。此时要查尾部面积是
0.025时的Z值。但是我们参考书中说明表中间的
• 根据公差的不同，可以产生（略微）小于0 数字是指从最左面一直到右侧某一点的面积，而
1.3 0.90320 0.90490 0.90658 0.90824 0.90988 0.91149 0.91308 0.91466
1.4 0.91924 0.92073 0.92220 0.92364 0.92507 0.92647 0.92785 0.92922
1.5 0.93319 0.93448 0.93574 0.93699 0.93822 0.93943 0.94062 0.94179
2.5 0.99379 0.99396 0.99413 0.99430 0.99446 0.99461 0.99477 0.99492
2.6 0.99534 0.99547 0.99560 0.99573 0.99585 0.99598 0.99609 0.99621
2.7 0.99653 0.99664 0.99674 0.99683 0.99693 0.99702 0.99711 0.99720
1 HP12C正态分布密度曲线（正态曲线）的编程
1.1 The numerical problem
erf (z)
=
√2
Z
z
e−s2 ds
=
√2
X ∞ (−1)n z2n+1
π0
π n! (2n + 1)
n=0
= 2e√−z2 X ∞
2nz2n+1
π
1 × 3 × ... × (2n + 1)
n=0
erf (−z) = − erf (z) ; erf (−∞) = −1; erf (0) = 0; erf (∞) = 1
push up into stack for later use (sum)