高二数学二面角2
高二数学二面角2
半平面及二面角的定义 1、半平面： 、半平面： 平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每 平面内的一条直线，把这个平面分成两部分， 一部分都叫做半平面 半平面。 一部分都叫做半平面。 2、二面角： 、二面角： 从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做 从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做 半平面 二面角。这条直线叫做二面角的棱 二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平 面叫做二面角的面 面叫做二面角的面。
(3)垂面法 (3)垂面法——通过做二面角的棱的垂 垂面法 通过做二面角的棱的垂 两条交线所成的角即为平面角. 面，两条交线所成的角即为平面角.
4)射影面积法 射影面积法——若多边形的面积是 ，它在 若多边形的面积是S， (4)射影面积法 若多边形的面积是
一个平面上的射影小为COSθ ＝ S’÷ S 大小为 ÷
面α
半 半 平 面 平 面
l
面 棱
β
l
二面角的 画法与记法 1、二面角的画法： 、二面角的画法：
）、平卧式 （1）、平卧式 ）、
）、直立式 （2）、直立式 ）、
•
二面角的 画法与记法 2、二面角的记法： 、二面角的记法： 面1－棱－面2 － （1）、以直线l 为棱，以 α , β 为半平面的二面角记为： α −l − β
A
B
E
O
D
C
α （2）、以直线AB 为棱，以 , β 为半平面的二面角记为： α − AB − β β
B
α
l
β
α
A
平面角的定义、 二面角的 平面角的定义、范围及作法 1、二面角的平面角： 、二面角的平面角： 以二面角的棱上任意一点为端点， 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引 垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的 垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的 平面角。 平面角。 ? ∠AOB == ∠A′O′B′ α 注:（1）二面角的平面角与点的位置 （ ） 等角定理：如果一个角的两边和另 等角定理 ′ 无关，只与二面角的张角大小有关。 无关，只与二面角的张角大小有关。 β A 一个角的两边分别平行，并且方向相 O′ （2）二面角是用它的平面角来度 ） 同，那么这两个角相等。） B′ l 量的，一个二面角的平面角多大， 量的，一个二面角的平面角多大，就 说这个二面角是多少度的二面角。 说这个二面角是多少度的二面角。 B O （3）平面角是直角的二面角叫做 ） A 直二面角。 直二面角。 （4）二面角的取值范围一般规定 ） 为（0,π）。 π
2022-2023学年上海高二数学上学期同步知识点讲练重难点01线线角、线面角、二面角问题带讲解
重难点01线线角、线面角、二面角问题（重难点突破解题技巧与方法）1.求异面直线所成的角的三步曲2.求直线和平面所成角的关键作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值。
3.找二面角的平面角的常用方法 （1）由定义做出二面角的平面角 （2）用三垂线定理找二面角的平面角 （3）找公垂面（4）划归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角求异面直线所成的角一、填空题1．（2021·上海·复旦附中高二期中）已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，异面直线11A C 与DB 所成角为3π，且11111,AC D B O ACDB O ==，1OA OB ==，则AB 的长为_________．【答案】1或3【分析】根据题意得出AOB ∠为异面直线11A C 与DB 所成角或所成角的补角，从而在AOB 中，应用余弦定理即可求出答案.【详解】因为11//AC AC ，所以AOB ∠为异面直线11A C 与DB 所成角或所成角的补角，即3AOB π∠=或23π， 当3AOB π∠=时，因为1OA OB ==，所以AOB 为等边三角形，所以1AB =；能力拓展技巧方法当23AOB π∠=时，因为1OA OB ==， 在AOB 中，由余弦定理，得22222cos33AB OA OB OA OB π,所以3AB =.故答案为：1或3.2．（2021·上海·格致中学高二期中）设E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1CC 的中点，在棱1AA 上任取一点P ，在线段1A E 上任取一点Q ，则异面直线PQ 与BD 所成角的大小为______．【答案】2π【分析】连接BD ，利用线面垂直的判定定理证得BD ⊥平面1A ECA ，再利用线面垂直的性质定理可知BD PQ ⊥，即可得解.【详解】连接BD ，由底面ABCD 为正方形，可知BD AC ⊥，由正方体的性质，可知1AA ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，则1AA ⊥BD 又1AA AC A =，则BD ⊥平面1A ECA ，由已知可知PQ ⊂平面1A ECA ，则BD PQ ⊥所以异面直线PQ 与BD 所成角的大小为2π 故答案为：2π3．（2021·上海中学高二期中）正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AB 与BD所成角大小为______ 【答案】3π【分析】连接1AD 、11B D ，，证明11//B D BD ，可得11AB D ∠即为异面直线1AB 与BD 所成角，在11AB D 求11AB D ∠即可求解.【详解】如图，连接1AD 、11B D ， 因为11//BB DD ，11BB DD =, 所以四边形11BB D D 是平行四边形， 所以11//B D BD ，所以11AB D ∠即为异面直线1AB 与BD 所成角， 设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ， 在11AB D 中，11112AD AB B D a ===， 所以11AB D 是等边三角形， 所以113AB D π∠=，即异面直线1AB 与BD 所成角为3π， 故答案为：3π二、解答题4．（2022·上海浦东新·高二期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中.(1)求异面直线1A B 和1CC 所成的角的余弦值；(2)求证：直线1//A B 平面11DCC D . 【答案】(1)22(2)证明见解析 【分析】（1）根据已知11//CC BB ，可将异面直线1A B 和1CC 所成的角转化为直线1A B 和1BB 所成的角，再根据题目的边长关系，即可完成求解；（2）可通过连接1D C ，证明四边形11A BCD 为平行四边形，从而得到11//A B D C ，再利用线面平行的判定定理即可完成证明.(1)因为11//CC BB ，所以11A BB ∠就是异面直线1A B 和1CC 所成的角.又因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以异面直线1A B 和1CC 所成的角为45o ，所以异面直线1A B 和1CC 所成的角的余弦值为22. (2)连接1D C ，因为11//A D BC 且11A D BC =，所以四边形11A BCD 为平行四边形，所以11//A B D C ；1A B ⊄平面11DCC D ，1D C ⊂平面11DCC D ；所以直线1//A B 平面11DCC D .即得证.线面角一、单选题1．（2022·上海市控江中学高二期末）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，点P 是棱1CC 的中点，设直线AB 为a ，直线11A D 为b ．对于下列两个命题：①过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都相交；②过点P 有且只有两条直线l 与a 、b 都成75︒角．以下判断正确的是（ ）A ．①为真命题，②为真命题B ．①为真命题，②为假命题C ．①为假命题，②为真命题D ．①为假命题，②为假命题【答案】A【分析】①由正方形的性质，可以延伸正方形，再利用两条平行线确定一个平面即可；②一组邻边与对角面的夹角相等，在平面内绕P 转动，可以得到二条直线与a 、b 的夹角都等于75. 【详解】如下图所示，在侧面正方形11A B BA 和11A D DA 再延伸一个正方形11B E EB 和11D F FD ，则平面1E C 和1C F 在同一个平面内，所以过点P ，有且只有一条直线l ，即1EF 与a 、b 相交，故①为真命题；取1A A 中点N ，连PN ，由于a 、b 为异面直线，a 、b 的夹角等于11A B 与b 的夹角.由于11A C ⊂ 平面11A C ，NP ⊄平面11A C ，11NP AC ，所以NP 平面11A C ，所以NP 与11A B 与b 的夹角都为45 .又因为1C C ⊥平面11A C ，所以1C C 与11A B 与b 的夹角都为90，而457590<<，所以过点P ，在平面1A C 内存在一条直线，使得与11A B与b 的夹角都为75，同理可得，过点P ，在平面1A C 内存在一条直线，使得与a 与AD 的夹角都为75；故②为真命题. 故选：A二、填空题2．（2021·上海市行知中学高二阶段练习）6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的全面积等于_________． 【答案】10【分析】结合已知条件分别求出正四棱柱的底面边长和高即可求解. 【详解】由题意，正四棱柱1111ABCD A B C D -如下图：不妨设正四棱柱1111ABCD A B C D -底面边长为a ，1||AA h =，由已知条件可得，2222221||2(6)6BD a a h a h =++=+==，又因为1DD ⊥底面ABCD ，所以对角线1BD 与底面ABCD 所成角为1DBD ∠，因为对角线与底面所成角的余弦值为33，||2BD a =， 所以11||23cos ||36BD a DBD BD ∠===，解得1a =，从而2h =， 故该正四棱柱的表面积12411210S =⨯⨯+⨯⨯=. 故答案为：10. 三、解答题3．（2021·上海市大同中学高二阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=︒，PA 垂直于底面ABCD ，22PA AD AB BC ====，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.（1）求证：PB DM ⊥；（2）求BD 与平面ADMN 所成的角. 【答案】（1）证明见解析；（2）6π.【分析】（1）由题设易得BC AB ⊥，由已知及线面垂直的性质有BC ⊥面PAB ，根据线面垂直的判定可证BC PB ⊥、PA AB ⊥，再由线面垂直的判定及平行的推论可得PB ⊥面ADMN ，最后由线面垂直的性质证结论.（2）若BD 与平面ADMN 所成角为θ，由线面垂直易知sin BNBDθ=，即可求线面角的大小. 【详解】（1）由90BAD ∠=︒即AD AB ⊥，又//AD BC ，有BC AB ⊥， ∵PA ⊥面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，∴PA BC ⊥，而PA AB A =，则有BC ⊥面PAB ， 又PB ⊂面PAB ，则BC PB ⊥， 由AB面ABCD ，有PA AB ⊥，且PA AB =，N 为PB 的中点，则AN PB ⊥，又M 为PC 的中点，有//BC MN ，即MN PB ⊥，而AN MN N =，又//AD BC ，则//AD MN ，即,,,A N D M 共面，∴PB ⊥面ADMN ，而DM ⊂面ADMN ，故PB DM ⊥.（2）由（1）知：PB ⊥面ADMN ，若BD 与平面ADMN 所成角为[0,]2πθ∈，且1BC =，∴2,22BN BD == ，则1sin 2BN BD θ==，故6πθ=.二面角一、单选题1．（2020·上海·曹杨二中高二期末）设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则 A ．,βγαγ<< B ．,βαβγ<< C ．,βαγα<< D ．,αβγβ<<【答案】B【解析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBα===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B. 方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ）由最大角定理β<γ'=γ，故选B.方法3：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得 333222cos sin sin α=α=β=γ=B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法. 二、填空题2．（2021·上海·西外高二期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1A BC A --的大小是___________. 【答案】4π 【分析】根据二面角的定义判断二面角1A BC A --的大小. 【详解】画出图象如下图所示， 由于1,BC A B BC AB ⊥⊥，所以1A BA ∠是二面角1A BC A --的平面角， 根据正方体的性质可知14A BA π∠=.故答案为：4π三、解答题3．（2022·上海·复旦附中高二期中）如图所示，某农户拟在院子的墙角处搭建一个谷仓，墙角可以看作如图所示的图形，其中OA 、OB 、1OO 两两垂直（OA 、OB 、1OO 均大于2米）．该农户找了一块长、宽分别为2米和1米的矩形木板．将木板的一边紧贴地面，另外一组对边紧贴墙面，围出一个三棱柱（无盖）形的谷仓．(1)若木板较长的一边紧贴地面，3问：此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为多少？(2)应怎样摆放木板，才能使得围成的谷仓容积最大？并求出该最大值． 【答案】(1)6π和3π (2)体积最大值为1立方米，此时木板长边贴地，与两个墙面所成锐二面角均为45° 【分析】（1）利用设二面角为θ或三棱柱底面的一条直角边长为x 两种方法进行求解即可； （2）用（1）中的θ或x 表示谷仓容积，再利用三角函数和基本不等式，进行求最值即可得解. (1)法一：设其中一个锐二面角的大小为θ，则三棱柱底面的两条直角边长分别为2cos θ、2sin θ，高为1，体积132cos 2sin 1sin 22V Sh θθθ==⋅⋅⋅==6πθ=或3π，所以此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为6π和3π．法二：设三棱柱底面的一条直角边长为()02x x <<，则另一条直角边长为24-x ，高为1，体积2134122V Sh x x ==⋅⋅-⋅=，解得x ＝1或3，所以此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为6π和3π． （2）法一：同（1）中法一所设，若长边紧贴底面，体积12cos 2sin 1sin 212V Sh θθθ==⋅⋅⋅=≤，等号当且仅当4πθ=时成立；若短边紧贴底面，体积111cos sin 2sin 2222V Sh θθθ==⋅⋅⋅=≤，等号当且仅当4πθ=时成立；显然112>，所以体积最大值为1立方米，此时木板长边贴地， 与两个墙面所成锐二面角均为45°． 法二：同（1）中法二所设，若长边紧贴底面，体积2221441124x x V Sh x x +-==⋅⋅-⋅≤=， 等号当且仅当2x =时成立；若短边紧贴底面，体积22211112222x x V Sh x x +-==⋅⋅-⋅≤=，等号当且仅当22x =时成立； 显然112>，所以体积最大值为1立方米， 此时木板长边贴地，与两个墙面所成锐二面角均为45°（也可描述底面两条直角边长）．4．（2021·上海·格致中学高二期中）在四棱锥P ABCD -中，底面为梯形，AB CD ∕∕，PAD △为正三角形，且2PA AB ==，90BAP CDP ∠=∠=︒，四棱锥P ABCD -的体积为23．(1)求证：AB ⊥平面PAD ；(2)求PC 与平面ABCD 所成角的正弦值；(3)设平面PAB ⋂平面PCD l =，求证：l AB ∕∕，并求二面角B l C --的大小．【答案】(1)证明见解析；(2)1510；(3)3π 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合题意，即可得证.（2）根据面面垂直的判定、性质定理，结合正三角形的性质，可证PQ ⊥平面ABCD ，则PCQ ∠即为PC 与平面ABCD 所成角，据四棱锥的体积，可求得CD 长，在Rt PCQ 中，求得各个边长，即可得答案. （3）根据线面平行的判定和性质定理，可证AB l ∕∕，结合题意，可得PA l ⊥，同理PD l ⊥，则APD ∠即为二面角B l C --所成的平面角，根据三角形性质，即可得答案.(1)证明：因为90CDP ∠=︒，所以CD DP ⊥，因为AB CD ∕∕，所以AB DP ⊥，又因为90BAP ∠=︒，即AB AP ⊥，且,AP DP ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ；(2)因为AB ⊥平面PAD ，AB平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，取AD 中点Q ，连接PQ ，CQ ， 因为PAD △为正三角形，Q 为AD 中点，所以PQ AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD=AD ， 所以PQ ⊥平面ABCD ，所以PCQ ∠即为PC 与平面ABCD 所成角，在Rt PDQ 中，223PQ PD DQ -设CD 长为x ，则四棱锥P ABCD -的体积()1112+2323332ABCD V S PQ x =⨯=⨯⨯⨯= 求得CD 长4x =，在Rt CDQ △中，2217CQ CD DQ +=在Rt PCQ 中，2225PC CQ PQ =+所以315sin 1025PQ PCQ PC ∠===， 所以PC 与平面ABCD 所成角的正弦值为1510 (3)证明：因为AB CD ∕∕，CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ，所以AB ∕∕平面PCD ，又AB 平面PAB ，且平PAB ⋂平面PCD l =，所以AB l ∕∕.因为PA AB ⊥，AB l ∕∕，所以PA l ⊥，同理PD l ⊥，所以APD ∠即为二面角B l C --所成的平面角，因为PAD △为正三角形，所以3APD π∠=，即二面角B l C --的大小为3π. 一、填空题1．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二期中）若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则异面直线AB 与11D B 之间的距离为___________.【答案】1【分析】作出正方体图像，观察即可得到答案﹒【详解】如图：巩固练习∵1BB 与AB 、11B D 均垂直，∴1BB 即为两异面直线的距离，故答案为：1二、解答题2．（2021·上海中学高二阶段练习）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点．(1)求证：直线1BD ∥平面P AC ；(2)求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.【答案】(1)证明见解析；(2)30°. 【分析】(1)AC 和BD 交于点O ，由1PO BD ∥即能证明直线1BD ∥平面PAC ．(2)由1PO BD ∥，得APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角．由此能求出异面直线1BD 与AP 所成角的大小．(1)设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点，连结PO ，又∵P 是1DD 的中点，∴1PO BD ∥，又∵PO ⊂平面PAC ，1BD ⊂平面PAC ，∴直线1BD ∥平面PAC ； (2)由(1)知，1PO BD ∥，∴APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角， ∵2PA PC ==122AO AC =PO AO ⊥，∴212sin 22AO APO AP ∠===．又(0APO ∠∈︒，90]︒，∴30APO ∠=︒ 故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30．3．（2021·上海市进才中学高二期中）已知正四棱锥P ABCD -中，1AB =，2PA =；(1)求侧棱与底面所成角的正弦值；(2)求正四棱锥P ABCD -的体积【答案】(1)144(2)146【分析】（1）由于正四棱锥P ABCD -，故顶点在底面的投影在底面的中心O ，连结,PO AO 分析可得PAO ∠即为侧棱与底面所成角，利用题干长度关系求解即可（2）由于PO ⊥平面ABCD ，故13P ABCD ABCD V PO S -=⨯⨯，计算即可 (1)由于正四棱锥P ABCD -，故顶点在底面的投影在底面的中心O ，连结,PO AO故PO ⊥平面ABCD ，PAO ∠即为侧棱与底面所成角由1AB =，2PA =，故2222AO AB ==又PO ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，故PO AO ⊥22114422PO PA AO ∴=-=-= 故14sin 4PO PAO PA ∠== 即侧棱与底面所成角的正弦值为144 (2)由（1）PO ⊥平面ABCD ，且142PO = 故11141413326P ABCD ABCD V PO S -=⨯⨯=⨯⨯= 即正四棱锥P ABCD -的体积为1464．（2021·上海中学高二期中）如图，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是线段AB 、CD 的中点，2AD =，4AB =，将ADM △沿DM 翻折，在翻折过程中A 点记为P 点．(1)从ADM △翻折至NDM 的过程中，求点P 运动的轨迹长度；(2)翻折过程中，二面角P −BC −D 的平面角为θ，求tan θ的最大值.【答案】2π(2)12【分析】（1）取DM 的中点E ，则从ADM △翻折至NDM 的过程中，点P 运动的轨迹是以点E 为圆心，AE 为半径的半圆，由此可求得点P 运动的轨迹长度.（2）由（1）得，连接AN ，并延长交BC 延长线于F ，过P 作PO EF ⊥，再过点O 作OG BC ⊥，则PGO ∠就是二面角P −BC −D 的平面角θ，设(),0PEO ααπ∠=≤≤，sin 2PO PE αα==，322,3cos OF OG αα==-，可得2sin tan PO PGO OG α∠==2sin k α=，运用辅助角公式和正弦函数的性质可求得最大值.(1)解：取DM 的中点E ，则从ADM △翻折至NDM 的过程中，点P 运动的轨迹是以点E 为圆心，AE 为半径的半圆，因为2AD =，4AB =，所以2AE =，所以点P 运动的轨迹长度为2π.(2)解：由（1）得，连接AN ，并延长交BC 延长线于F ，AN DM ⊥，折起后，有DM ⊥面PEN ，过P 作PO EF ⊥，则PO ⊥面DMBC ，再过点O 作OG BC ⊥，则PGO ∠就是二面角P −BC −D 的平面角θ， 设(),0PEO ααπ∠=≤≤， sin 2sin PO PE αα==，4222cos 322cos ,3cos OF AF AE OE OG ααα=--=--=-=-，2sin tan 3cos PO PGO OG αα∠==-， 令2sin 2sin cos 33cos k k k αααα=⇒+=-，所以22sin()3k k αβ++=，所以23112k k -≤≤+，解得1122k -≤≤. 所以tan θ的最大值为12.。
高二数学 空间角——二面角
03《空间角——二面角》课后练习一、选择题1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( ) A.12B.23C.33D.222．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A －BD －C 的正弦值为( ) A.55B.33 C.255D.63二、填空题 3． 若已知两平面的法向量分别为m ＝(0，1，0)，n ＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为__________． 4． P 是二面角α－AB －β棱上的一点，分别在平面α，β上引射线PM ，PN ，如果∠BPM ＝∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么二面角α－AB －β的大小为__________．三、解答题5．如图，在四棱锥A －BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC ＝ 2.(1)证明：DE ⊥平面ACD ； (2)求二面角B －AD －E 的大小．6．如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点． (1)证明：BE ⊥DC ；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F －AB －P 的余弦值．03《空间角——二面角》课后练习答案一、选择题1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( ) A.12B.23C.33D.22解析 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，设棱长为1，则A 1(0，0，1)， E ⎝⎛⎭⎫1，0，12，D (0，1，0)， ∴A 1D →＝(0，1，－1)，A 1E →＝⎝⎛⎭⎫1，0，－12， 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，所以有⎩⎪⎨⎪⎧A 1D →·n 1＝0，A 1E →·n 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2，z ＝2.∴n 1＝(1，2，2)．∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)， ∴ cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23.即所成的锐二面角的余弦值为23.答案 B2．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A －BD －C 的正弦值为( ) A.55B.33C.255D.63解析 取BC 中点O ，连接AO ，DO .建立如图所示坐标系，设BC ＝1，则A ⎝⎛⎭⎫0，0，32，B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0， D ⎝⎛⎭⎫32，0，0.∴OA →＝⎝⎛⎭⎫0，0，32，BA →＝⎝⎛⎭⎫0，12，32，BD →＝⎝⎛⎭⎫32，12，0.由于OA →＝⎝⎛⎭⎫0，0，32为平面BCD 的一个法向量，可进一步求出平面ABD 的一个法向量n ＝(1，－3，1)，∴ cos 〈n ，OA →〉＝55，∴ sin 〈n ，OA →〉＝255. 答案 C二、填空题3． 若已知两平面的法向量分别为m ＝(0，1，0)，n ＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为__________．解析 cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝22，∴〈m ，n 〉＝π4.∴两平面所成二面角的大小为π4或3π4.答案π4或3π44． P 是二面角α－AB －β棱上的一点，分别在平面α，β上引射线PM ，PN ，如果∠BPM ＝∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么二面角α－AB －β的大小为__________．解析 不妨设PM ＝ a ，PN ＝b ，如图，作ME ⊥AB 于E ，NF ⊥AB 于F ， ∵∠EPM ＝∠FPN ＝45°， ∴PE ＝22a ，PF ＝22b ， ∴EM →·FN →＝(PM →－PE →)·(PN →－PF →)＝PM →·PN →－PM →·PF →－PE →·PN →＋PE →·PF →＝ab cos 60°－a ×22b cos 45°－22a ×b cos 45°＋22a ×22b ＝ab 2－ab 2－ab 2＋ab2＝0. ∴EM →⊥FN →，∴二面角α－AB －β的大小为90°. 答案 90° 三、解答题5． 如图，在四棱锥A －BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC ＝ 2. (1)证明：DE ⊥平面ACD ； (2)求二面角B －AD －E 的大小．解析 (1)证明 在直角梯形BCDE 中，由DE ＝BE ＝1，CD ＝2，得BD ＝BC ＝2，由AC ＝2，AB ＝2，得AB 2＝AC 2＋BC 2，即AC ⊥BC ， 又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE ，所以AC ⊥DE .又DE ⊥DC ，DC ∩AC ＝C ，从而DE ⊥平面ACD .(2)解 以D 为原点，分别以射线DE ，DC 为x 轴，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，如图所示．由题意知各点坐标如下：D (0，0，0)，E (1，0，0)，C (0，2，0)，A (0，2，2)，B (1，1，0)． 设平面ADE 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面ABD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，可算得AD →＝(0，－2，－2)，AE →＝(1，－2，－2)，DB →＝(1，1，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AD →＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎨⎧－2y 1－2z 1＝0，x 1－2y 1－2z 1＝0，可取m ＝(0，1，－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎨⎧－2y 2－2z 2＝0，x 2＋y 2＝0，可取n ＝(1，－1，2)．于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝33·2＝32，由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B －AD －E 的大小是π6.6．如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点． (1)证明：BE ⊥DC ；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F －AB －P 的余弦值．解析 (1)证明 依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)， 可得B (1，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)． 由E 为棱PC 的中点，得E (1，1，1)．向量BE →＝(0，1，1)，DC →＝(2，0，0)，故BE →·DC →＝0.所以BE ⊥DC .(2)解 向量BD →＝(－1，2，0)，PB →＝(1，0，－2)，设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，x －2z ＝0.不妨令y ＝1，可得n ＝(2，1，1)为平面PBD 的一个法向量，于是有 cos 〈n ，BE →〉＝n ·BE →|n |·|BE →|＝26×2＝33.所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)解 向量BC →＝(1，2，0)，CP →＝(－2，－2，2)，AC →＝(2，2，0)，AB →＝(1，0，0)．由点F 在棱PC 上，设CF → ＝λCP →，0≤λ≤1.故BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋λ CP →＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由 BF ⊥AC ，得BF →·AC →＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34.即BF →＝（23,21,21-）.设n 1＝(x ，y ，z )为平面F AB 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－12x ＋12y ＋32z ＝0.不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3，1)为平面F AB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量n 2＝(0，1，0)，则： cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－310×1＝－31010.易知，二面角F －AB －P 是锐角， 所以其余弦值为31010.。
高二数学选修课件：3-2-4二面角及其度量
第三章
空间向量与立体几何
[说明]
利用法向量求二面角
设 m1⊥α，m2⊥β，则〈m1，m2〉与该二面角相等或互 补．此方法的解题步骤如下： 依据几何条件建立适当的空间直角坐标系，在建立的坐 标系下求两个面的法向量 m1，m2，求 m1 与 m2 所成锐角 θ， |m1· 2| m cosθ＝|m ||m |，若二面角为锐角，则为 θ；若二面角为钝角， 1 2 则为 π－θ.
第三章
空间向量与立体几何
[分析] 由于不易建立空间直角坐标系，故可借助于 向量所成的角，求二面角大小． [解析] 如图，过A1作A1E⊥BA交BA的延长线于点E， ∵ABCD为正方形，
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第三章
空间向量与立体几何
→ → ∴AD⊥AB， 则向量A1E与DA所成的角的大小即为二 面角 A1—AB—D 的大小． → → → ∵A1E＝A1A＋AE， → DA → ∴A1E· ＝(A1→＋AE)DA A → → → ＝|A1A||DA→cos → ，→ 〉 → ||DA|cos → ，→ 〉 | 〈A1A DA ＋|AE → 〈AE DA 1 ＝nmcos120° ＋0＝－ mn. 2
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第三章
空间向量与立体几何
如图所示，甲站在水库底面上的点A，乙站在水坝斜 面上的点B.从A、B到直线l(库底与水坝CD的交线)的距离 AC和BD分别是a和b，CD长度为c，甲乙之间拉紧的绳长为 d.求库底水坝所成二面角的余弦值．
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第三章
空间向量与立体几何
[解析] 量问题)．
第三章
空间向量与立体几何
1．二面角平面角的作法
(1)定义法 由二面角平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体 题目选择棱上一个特殊点．求解用到的解三角形知识． (2)垂面法
高二数学二面角专项练习题及参考答案(精品)
高二数学二面角专项练习题及参考答案班级_____________姓名_____________一、定义法：直接在二面角的棱上取一点，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角. 例1 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。
二、垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例2 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的正切。
三、垂面法：作棱的垂直平面，则这个垂面与二面角两个面的交线所夹的角就是二面角的平面角 例3 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，求B-PC-D 的大小。
四、投影面积法:一个平面α上的图形面积为S ，它在另一个平面β上的投影面积为S'，这两个平面的夹角为θ，则S'=Scos θ或cos θ=/SS .例4 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。
五、补形法：对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。
例5、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。
方法归纳：二面角的类型和求法可用框图展现如下： [基础练习]1． 二面角是指 （ ） A 两个平面相交所组成的图形B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形C 从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形D 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形2．平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能有 （ ） A 1条或2条交线 B 2条或3条交线C 仅2条交线D 1条或2条或3条交线3．在300的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是( )A 5B 20C 210 D225 4．在直二面角α-l-β中，RtΔABC 在平面α内，斜边BC 在棱l 上，若AB 与面β所成的角为600，则AC 与平面β所成的角为 （ ） A 300 B 450 C 600 D 1200 5．如图，射线BD 、BA 、BC 两两互相垂直，AB=BC=1，BD=26， 则弧度数为3的二面角是（ ） A D-AC-B B A-CD-BC A-BC-D D A-BD-C6．△ABC 在平面α的射影是△A 1B 1C 1，如果△ABC 所在平面和平面α成θ，则有（ ） A S △A1B1C1=S △ABC ·sinθ B S △A1B1C1= S △ABC ·cosθC S △ABC =S △A1B1C1·sinθD S △ABC =S △A1B1C1·cosθ7．如图，若P 为二面角M-l-N 的面N 内一点，PB ⊥l ，B 为垂足，A 为l 上一点，且∠PAB=α，PA 与平面M 所成角为β，二面角M-l-N 的 大小为γ，则有 （ ）A.sinα=sinβsinγB.sinβ=sinαsinγC.sinγ=sinαsinβ D 以上都不对AB C DAB M NP l C1A1B1D8．在600的二面角的棱上有两点A 、B ，AC 、BD 分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，已知：AB=6，AC=3，BD=4，则CD= 。
高二数学二面角、两平面垂直的判定和性质例题解析 人教版
高二数学二面角、两平面垂直的判定和性质例题解析人教版一. 本周教学内容：二面角、两平面垂直的判定和性质二. 重点、难点：重点：1. 二面角的有关概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫二面角的棱。
二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
平面角是直角的二面角叫直二面角。
2. 作二面角的平面角常有以下方法：①若构成二面角的两个面有特殊性（如等腰三角形或直角三角形），可根据特殊图形的性质作出平面角。
②若已知二面角内一点到两面的垂线，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角就是二面角的平面角，称为垂面法。
③若已知二面角一面内一点到另一面的垂线，用三垂线定理或它的逆定理作出平面角，称为三垂线法。
④由定义找到棱上有关点，分别在两个面内作出（或找出）垂直于棱的射线，得到二面角的平面角。
⑤当直观图上只给出两个平面的一个交点而没给出交线时，要先延展平面找到棱，用上述方法之一作出平面角。
3. 两个平面垂直的定义：两个平面相交，所成二面角是直二面角。
作用：①用于证明两个平面垂直，证明二面角的平面角是直角。
②两平面垂直，二面角为直二面角，平面角的二直线互相垂直。
4. （1）两个平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
两个平面垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据。
由判定定理的内容可知，证明面面垂直，可以转化为证线面垂直。
（2）性质定理如果两个平面垂直，那么一个平面内的垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
简言为：“面面垂直，则线面垂直”。
难点：1. 二面角平面角的作法与计算。
2. 判定定理和性质定理的应用。
【典型例题】例1. 如图。
AC为圆O的直径，B，D为圆上在AC两侧的两个点，SA⊥平面ABCD，连SB，SC，SD，试写出图中所有互相垂直的各对平面并说明理由。
高二数学 空间角——二面角
01 知识梳理
3.二面角的求法：
（1）找到或作出二面角的平面角
A
B
A`
D
M
C
01 知识梳理
3.二面角的求法： （3）向量法
B
CA l
D
01 知识梳理
3.二面角的求法： ① 垂直于棱的两个向量的夹角； （3）向量法 ② 求两个平面法向量的夹角.
22 2
小试牛刀
分析：（折叠问题）找二面角的平面角
22 2
小试牛刀
练习2
，
22 2
感受高考
课堂小结
二面角的求法： (1)构造二面角的平面角； (2)阴影面积法； (3)向量法：转化为与棱垂直两向量的夹角问题； 转化为两平面法向量的夹角的问题.
ห้องสมุดไป่ตู้
P
D
D E
F
g
E
F
B
C
C
22 2
小试牛刀
分析：找二面角的平面角
A
B
D
A
D
CB
C
22 2
小试牛刀
例2 正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2:3， 求这个三棱锥的侧面与底面所成二面角的度数？
分析：阴影面积法
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小试牛刀
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小试牛刀
例4：如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧 CD所在平 面垂直，M 是弧CD 上异于 C、D 的点．当三棱锥 M-ABC体积最大时， 求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．
高中数学 高二年级
空间角——二面角
01 知识梳理
1.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二 面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作
高中数学二面角
高中数学二面角在数学的世界里，二面角是一个重要的概念，尤其在高中数学中占据着举足轻重的地位。
二面角，顾名思义，指的是两个平面之间的夹角。
这个概念在解决许多实际问题，如建筑设计、工程测量和物理学等领域都有广泛的应用。
首先，我们来深入理解一下二面角的定义。
简单来说，二面角就是两个平面在三维空间中相交时所形成的夹角。
这个夹角的大小可以用角度来衡量，也可以用弧度来衡量。
角度和弧度是两种不同的度量单位，用于描述角的大小，它们之间可以相互转换。
那么，如何计算二面角的大小呢？一种常见的方法是利用向量的知识。
具体来说，我们可以先找到两个平面的法向量，然后计算这两个法向量之间的夹角。
这个夹角的大小就是二面角的大小。
这种方法不仅简单易懂，而且在实际应用中也十分有效。
当然，二面角的应用远不止于此。
在解决一些几何问题时，我们常常需要用到二面角的知识。
例如，在计算立体几何中的表面积和体积时，我们往往需要先找到相关的二面角，然后利用这些二面角来推导出所需的公式。
此外，在解析几何中，二面角也是描述空间关系的一个重要工具。
为了更好地理解二面角的概念，我们可以结合一些具体的例子来进行说明。
比如，在建筑设计领域，设计师需要根据建筑物的功能和美学要求来确定各个房间的布局和角度。
在这个过程中，他们就需要利用二面角的知识来计算出最佳的角度和布局。
综上所述，二面角是高中数学中一个非常重要的概念，它不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在其他领域也有着不可忽视的作用。
通过深入学习和理解二面角的概念、计算方法以及应用场景，我们可以更好地掌握这个工具，为解决实际问题提供有力的支持。
二面角教案
二面角教学设计备课人：新绛中学贺春永教学目标1、使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的概念，并能初步运用它解决实际问题；2、引导学生探索和研究“二面角的平面角”应该如何定义，在概念形成的过程中，发展学生的思维能力．教学重点和难点本节课的重点是“二面角”和“二面角的平面角”的概念；本节课的难点是“二面角的平面角”概念形成的过程．找二面角的平面角。
教学方法由实例诱导学生思考二面角的形成；由模型引出二面角的平面角；总结找二面角的平面角要领。
教具准备二面角模型，课件,多媒体。
教学设计过程一、引入新课通过课件（1、开门；2、卫星轨道面与赤道面）及模型演示，使学生首先对二面角有个感性认识。
引入二面角。
二、二面角的定义数学上我们该如何给二面角下定义呢？请同学们阅读教材第34页2，3自然段并回答自学指导问题1。
教师提问问题1，结合大屏幕点评。
半平面定义：平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面。
二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱。
这AB α β 两个半平面叫做二面角的面。
二面角定义与平面角定义对比：二面角是由两个半平面和一条二面角的棱组成。
而平面角是由两条射线和一个顶点组成。
二面角的图示常用直立式和平卧式两种:直立式 平卧式符号表示:记作二面角α-l-β或,二面角α-AB-β，有时，为了方便也可在α，β内（棱以外的半平面部分）分别取点P ,Q ，将二面角记作二面角P -AB-Q 或P -l-Q .教师：在实际生活中我们常需确定二面角的大小，二面角的大小如何度量呢？教师：同学们想一想，前面对于异面直线所成的角、斜线与平面所成的角是如何度量的呢？学生：是将它们转化为平面角来度量的．教师：那么对于二面角我们是否也能转化为一个平面角来度量呢？教师做二面角的投影演示，通过演示引入二面角的平面角。
三、 二面角的平面角教师：阅读教材第34页第4段，第35页第1～4段回答自学指导问题2，3。
人教版高二数学二面角 教案
高二数学二面角教学目标1．使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的概念，并能初步运用它解决实际问题；2．引导学生探索和研究“二面角的平面角”应该如何定义，在概念形成的过程中，发展学生的思维能力．教学重点和难点本课的重点是“二面角”和“二面角的平面角”的概念；本课的难点是“二面角的平面角”概念形成的过程．教学设计过程教师：在平面几何中“角”是怎样定义的？学生：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角．教师：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？学生；直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．它们的共同特征是都是将三维空间的角转化为二维空间的角．教师：请同学们观察下面的几个问题．（当教师说完上述话后，利用多媒体技术，让学生通过计算机看两个例子）例子之一：镜头一：淡蓝色的地球．（图片）镜头二：火箭发射人造地球卫星．（录相）镜头三：人造地球卫星绕地球旋转，最后画出卫星的轨道平面和地球赤道平面．让学生观察这两个平面相交成一定的角度．例子之二：镜头一：人走在坡度不太大的桥上．（录相）镜头二：人在爬山．（录相）镜头三：攀岩运动．（录相）镜头四：演示下面动态图象．（让水平面静止不动，坡面在不断变化，目的是让学生看到，在生活实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形）（注意：四个镜头要连续编排在一起进行演示，时间一分钟）教师：如何给二面角下定义呢？下面我们用类比的办法，与角的概念对比，探讨二面角的定义．这一段教学采用计算机辅助手段，每一个问题分三步完成，首先给出平面角的问题，然后请学生思考并回答二面角的问题，最后计算机显示正确结果．这部分共有四个问题，全部研究完毕后，将整个过程列成一个总表，显示在屏幕上．教师：请看角的图形，思考二面角的图形．学生可以将自己画的图展示给大家．计算机显示：二面角的图形．教师：（给出平面角的定义）请同学们给二面角下定义．显示：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形．学生：（口答）计算机显示：从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形．教师：平面角由射线—点—射线构成．二面角呢？学生：二面角由半平面—线—半平面构成．教师：平面角表示法：∠AOB．二面角表示法α-a-β或α-AB-β．最后计算机显示整个过程．教师：经过上面的研究我们已经看到，平面上的角，可以看作是一条射线绕其端点旋转形成的图形；类似地，一个半平面绕其界线旋转到一定位置所得到的图形，就是二面角．教师：二面角与平面内的角一样，是可以比较大小的，其比较方法，与平面内的角的大小的比较方法类似．（教师让学生打开书本）打开书本的过程，给我们一种二面角的大小连续变化的形象．（前面看到的爬山问题也是如此）教师：用量角器可以量出平面内的角的大小，能否也能用量角器直接去量出二面角的大小呢？比如，这里有一个对顶量角器和一个三角木块（直三棱柱）模型，你们能用我们自制的对顶量角器来量出三角木块模型的某两面角的大小吗？比如平面α与β的夹角？教师：一般地说，量角器只能测量“平面角”（指两条相交直线所成的角．相应地，我们把异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，均称为空间角）那么，如何去度量二面角的大小呢？我们以往是如何度量某些角的？学生：分别通过“取点、平移（相交）”（对异面直线所成的角）与“斜线的射影（相交）”（对斜线与平面所成的角）去度量的．教师：这些做法的共同点是什么？学生：都是将空间角化为平面角．教师：对！再回到刚才的量角操作，你是怎样用对顶量角器去量二面角α-l-β的大小呢？学生：将对顶量角器的一个角的两边靠紧二面角的两个面，角的顶点则在二面角的棱上．教师：大家注意，实际上同学们量的是一个平面内的角：∠BAC．这个角的顶点在二面角的棱上，它的两边分别在二面角的两个面内且与棱垂直．而且对于确定的二面角，这样的角的大小是唯一的，确定的，我们把它叫做二面角的平面角．（对于训练有素，肯于思考的学生可能会提出下面的问题）学生：若以棱a上任意一点O为端点，在两个面内作与棱成等角θ′（0°＜θ′＜90°）的两条射线OA′，OB′，由空间等角定理知，∠A′OB′也是存在且唯一的，为什么不用这样的角定义二面角的平面角？教师：记∠AOB=θ，∠A′OB′= ．当OA′，OB′在平面AOB同侧时θ＞；当OA′，OB′在平面AOB异侧时θ＜．请看图6：设 A′P′=a，A′P=b，A′B′=x由余弦定理，得：x2=b2+b2-2b2cos=2b2（1-cos），x2=a2+a2-2a2cosθ=2a2（1-cosθ），当OA′，OB′在平面AOB的同侧时，若用∠A′OB′=表示二面角的大小，由（*）知，与θ之间会有常数关系，这将给表示，尤其是计算、应用带来诸多不便；另外，若用∠A′OB′=表示二面角的大小，当平面α⊥平面β时；≠90°，当半平面α与半平面β在同一平面时，=2θ′≠180°，都与已有知识和经验不符，不能直观反映出空间两个相交平面的相对位置关系。
《二面角》教学设计
教材版本：人教大纲版高二年级上学期（第三册）第九章《二面角》教学设计江西省宜春市万载中学（336100）授课人：郭炜甘淑清教学目标1、知识与技能：使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的概念，并能初步运用它解决实际问题；引导学生探索和研究“二面角的平面角”应该如何定义，在概念形成的过程中，发展学生的思维能力．2、过程与方法：以培养学生的创新能力和动手能力为重点。
(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。
（2）通过对图形的作图、观察、分析和比较来强化学生的动手操作和动脑的能力。
3、情感与态度三维目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。
(2)通过揭示面面之间的内在联系，进一步使学生建立“联系”的辩证唯物主义观点。
教学重点和难点本课的重点是“二面角”和“二面角的平面角”的概念；本课的难点是“二面角的平面角”概念形成的过程及如何作出二面角的平面角。
教学设计过程一：引入镜头一：学生观察开关门时门所在平面和墙面所在的平面的张合程度有何变化？（动画）镜头二：学生观察翻书时翻开的书面与书本所在平面的张合程度有何变化？（动画）（目的：使学生在观看动画的时候能够感觉到平面与平面之间存在着变化的位置关系，为引入二面角的概念作出铺垫）二：新课讲解1．二面角概念及表示法首先复习在平面几何中“角”是怎样定义的？对比平面角的定义给二面角下定义．并解释二面角的表示法。
平面角表示法：∠AOB．二面角表示法α-a-β或α-AB-β．2．二面角的大小如何度量在翻书和开门过程中，都给人一种二面角大小会连续变化的的印象，节下来应该解决的是如何度量二面角的大小。
先复习异面直线所成的角是如何作出平面角的。
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．若以棱a上任意一点O为端点，在两个面内作两条射线OA′，OB′，由空间等角定理知，∠A′OB′并不是存在且唯一的，所以不能用这样的角定义二面角的平面角。
高三数学《二面角》说课稿
高三数学《二面角》说课稿高三数学《二面角》说课稿「篇一」一、教材简析:1．地位与作用:本节是高二数学下册第九章《直线、平面、简单几何体》中相关§96二面角的求解问题。
是在立体几何知识学习完毕，学生已具有了一定的空间想象能力，掌握了一定的立体几何的研究方法的基础之上，对二面角求解方法进行的一个补充。
二面角的求解是立体几何部分的一个重点也是一个难点，本节内容为学生提供一个新的`视角。
2．教学内容及目标教学内容:将异面直线两点间距离公式变形应用于求二面角，变形所得公式就是本节所学主要内容，暂且称这个公式为二面角余弦公式。
教学目标：知识目标：异面直线两点间距离公式在求二面角中的应用；能力目标：（1）.推广引申不但能加深对原题的理解，而且对于扩大解题效果，提高解题能力，培养发散思维，激发创新意识，都有不可忽视的积极作用。
（2）.通过转化问题探究公式条件的过程，培养学生探索问题的精神，提高学生化归的意识和转化的能力。
情感目标：通过问题的转化过程，让学生认识万物都处于联系之中，我们要用联系的观点看待问题。
3．教学重点和教学难点重点：二面角余弦公式条件的发现，结构的确定；难点：二面角余弦公式条件的发现，结构的确定；二、学情分析：1．起点能力分析立体几何知识学习完毕，学生已具有了一定的空间想象能力，掌握了一定的立体几何的研究方法，并成为本节的学习基础。
2．一般特点分析高二学生观察力已具有一定的目的性、精细性、持久性，有意识记占主导地位、意义识记以占重要地位，同时概念理解能力、推理能力有所提高，具有一定的掌握和运用逻辑法则的能力，但由于认知水平的不同，学生掌握和运用逻辑法则的能力存在不平衡性。
三、教法分析：本节采用启导法，以质疑启发、直观启发为主，通过一系列带有启发性、思考性的问题，创设问题情境，引导学生思考，教师适时演示，利用多媒体的直观性，激发学生的学习兴趣，化静为动，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养学生的思维能力。
数学北师大版高中必修2《二面角及其平面角》教学设计
《二面角及其平面角》教学设计匡萃校课题：二面角及其平面角学科：数学版本：人民教育出版社2006版年级：高二年级册别：第二册下（A）课时：1课时一、教学目的1、知识目的：①理解二面角的概念②能正确画出二面角及二面角的平面角③会求简单二面角的平面角的大小2、能力目的：①通过二面角的教学，培养学生的空间想象能力②通过将研究二面角的大小转化为研究其平面角的大小，培养学生的转化能力。
3、情感目的①通过实际问题的引入，激发学生学习数学的兴趣，让学生明白数学与生活是密不可分的。
②培养学生认真参与，积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神。
二、教学重点、难点1、教学重点①二面角及二面角平面角的定义②作二面角平面角的三种方法2、教学难点：理解二面角的平面角定义的科学性，解决的办法是：让学生打开书的过程，书的两页之间形成了二面角，引导学生动手测量其大小，从而解决本节课的教学难点。
三、教具准备：三角板、纸板和多媒体四、教学过程1、复习引入（5分钟）通过下列一组问题的设计，经启发引导，提出今天的学习课题①问题一：在平面几何中“角”是怎样定义的？（引导学生从两种不同的角度回答）是这样定义的：（1）从平面内一点出发的两条射线所组成的图形，叫做角。
（2）一条射线绕它的端点旋转所形成的图形，叫做角。
②问题二：在立体几何中，我们还学习了哪些角？（学生能容易地回答）异面直线所成的角，直线与平面所成的角。
③问题三：在空间和日常生活中，我们还会遇到一些角（1）（动画演示）修水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面与水平面成一定的角度。
（2）（动画演示）人造地球卫星绕地球飞行的轨道平面与地球的赤道平面成一定的角度。
（3）（师生动手演示）打开数学课本的过程，书的两页之间形成了一定的角。
④上面问题三中所说的角就是我们今天要学习的另一个空间的角——二面角（板书课题）2、新课探究（22分钟）①问题一：如何给二面角下定义？（让学生充分思考，讨论并展示打开书的过程，通过角的定义用类比的方法给二面角下定义）。
高二数学高效课堂资料选修2-1-32二面角及其度量(2)
高二数学高效课堂资料山东省昌乐一中2017级高二数学翻转课堂课时学案课题二面角及其度量（2）编制潘新敬修改审核李志刚审批常乐平目标导学1．掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义2．掌握求二面角大小的基本方法、步骤。
重点难点重点：二面角的平面角定义及其度量.难点：二面角大小的求法.自学质疑学案阅读记录学案内容班级小组姓名________ 使用时间______年______月______日编号 2-1-32第 1页学案内容阅读记录说明：先做学案再看微课，再根据微课完善学案.一、复习回顾：1.二面角平面角的定义，并在右图中画出二面角平面角2.二面角大小的范围：3.二面角的求法：（1）几何法：作出平面角，转化为求平面角；（2）向量法：先求两个平面的法向量，再求21,cos n n ，最后由图确定是锐角还是钝角。
二、基础练习1.等边三角形ABC 的边长为1，BC 边上的高是AD ，若沿高AD 将它折成直二面角B-AD-C ，则二面角A-BC-D 的正切值是。
2.过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP ⊥平面ABCD,且AP=AB,则平面ABP 与平面CDP 所成二面角的度数是。
3．已知正三棱锥ABC S -的棱长都为1，则侧面与底面ABC 夹角的余弦值为4．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝1，AD ＝DC ＝3，在线段A 1C 1上有一点Q ，且11131A C QC ，求平面QDC 与平面A 1DC 所成锐二面角的大小．合作互学：请同学们相互讨论，解决自学过程中的疑问．小组长汇总，将合作讨论中没有解决的问题和新生成的问题提交课代表.在线测学：完成在线测学题目，检验自学效果，请注意不要重复提交．自我评价：内容是否解决问题1 问题2 问题3 应用1 应用2教师评价：第 2 页训练展示学案知识点识记理解应用求二面角大小的基本方法、步骤。
1、2、3 4 5 学生笔记学案内容第 3页学案内容学生笔记学案使用要求：先自己完成，小组合作，小组展示，最后进行自我评价.A 组1.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，则二面角A-BD-C1的余弦值为.2.空间的点P 到二面角l的面、及棱l 的距离分别为4、3、3392，求二面角l的大小.3.ABC 是边长为1的正三角形，CD平面ABC ，且1CD ，求二面角C AD B 的余弦值。
高二数学二面角
思考：异面直线所成的角、直线和平面所成的角与有 什么共同的特征？ 它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间 的角,即平面角。
一、二面角的定义
一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每 一部分都叫做射线。 一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的 每一部分都叫做半平面。
l
A
构成
表示法
三、二面角的平面角
1、定义 以二面角的棱上任意一点为端 点, 在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线, 这两条射线所成的角叫 做二面角的平面B1
A1
∠APB= ∠A1P1B1 二面角的大小用它的平面角的大小来度量 二面角的平面角必须满足： 注意: 1）角的顶点在棱上 (与顶点位置无关) 2）角的两边分别在两个面内 3）角的两边都要垂直于二面角的棱
D
C
例1 已知锐二面角－ l－ ，A为面内一点，A到 的 距离为 2 3 ，到 l 的距离为 4，求二面角 － l－ 的 大小。 ① 解： 过 A作 AO⊥于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连AD 则由三垂线定理得 AD⊥ l ② ∴∠ADO就是二面角 － l－ 的平面角 ③∵ AO为 A到的距离 ， AD为 A到 l 的距离
A
∴AO=2
3
，AD=4
在Rt △ADO中，
D
O
AO ∵sin∠ADO= AD ∴ ∠ADO=60°
2 3 3 2 4
l
∴二面角 － l－ 的大小为60 °
二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角
2、证明 1中的角就是所求的角 3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
练习 1已知棱长为1正方体ABCD-A1B1C1D1,求二面 D’ C’ 角B--B’C--A的大小。
高二数学教案(线面角和二面角)(最新人教版优质教案)( 含解析 )
1.斜线、斜足、射影的概念斜线：与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线P A ；斜足：斜线和平面的交点，图中点A ：线面角问题定位1求下列直线与平面所成角的大小。
答案解答根据规定，一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°.原因分析线面角精准突破射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线P A在平面α上的射影为直线AO.2.直线与平面所成的角：(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，如图中∠P AO规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°.(2)取值范围：设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90°3.求直线与平面所成角的步骤：(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影；(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角；(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．常用方法：直接法（定义法）平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
等积法（利用公式sinθ=h／l）其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
2判断正误：(1)如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行.( )(2)如果两条直线平行，那么这两条直线与同一个面所成的角相同.( )答案(1)错误；(2)正确解答(1)不一定平行，可能是相交，平行，异面。
(2)正确.3线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为( ) A．30° B．45° C．60° D．120°答案C。
2023学年上海高二上学期数学同步精讲练重难点01线线角、线面角、二面角问题
重难点01线线角、线面角、二面角问题（重难点突破解题技巧与方法） 1.求异面直线所成的角的三步曲 2.求直线和平面所成角的关键 作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值。
3.找二面角的平面角的常用方法（1）由定义做出二面角的平面角（2）用三垂线定理找二面角的平面角（3）找公垂面（4）划归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角求异面直线所成的角一、填空题1．（2021·上海·复旦附中高二期中）已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，异面直线11A C 与DB 所成角为3π，且11111,AC D B O AC DB O ==，1OA OB ==，则AB 的长为_________． 2．（2021·上海·格致中学高二期中）设E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1CC 的中点，在棱1AA 上任取一点P ，能力拓展技巧方法在线段1A E 上任取一点Q ，则异面直线PQ 与BD 所成角的大小为______． 3．（2021·上海中学高二期中）正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AB 与BD 所成角大小为______二、解答题4．（2022·上海浦东新·高二期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中.(1)求异面直线1A B 和1CC 所成的角的余弦值；(2)求证：直线1//A B 平面11DCC D .线面角一、单选题1．（2022·上海市控江中学高二期末）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，点P 是棱1CC 的中点，设直线AB 为a ，直线11A D 为b ．对于下列两个命题：①过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都相交；②过点P 有且只有两条直线l 与a 、b 都成75︒角．以下判断正确的是（ ）A ．①为真命题，②为真命题B ．①为真命题，②为假命题C ．①为假命题，②为真命题D ．①为假命题，②为假命题二、填空题2．（2021·上海市行知中学高二阶段练习）已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的全面积等于_________． 三、解答题 3．（2021·上海市大同中学高二阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=︒，PA 垂直于底面ABCD ，22PA AD AB BC ====，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.（1）求证：PB DM ⊥；（2）求BD 与平面ADMN 所成的角.二面角一、单选题 1．（2020·上海·曹杨二中高二期末）设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则A ．,βγαγ<<B ．,βαβγ<<C ．,βαγα<<D ．,αβγβ<<二、填空题2．（2021·上海·西外高二期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1A BC A --的大小是___________.三、解答题3．（2022·上海·复旦附中高二期中）如图所示，某农户拟在院子的墙角处搭建一个谷仓，墙角可以看作如图所示的图形，其中OA 、OB 、1OO 两两垂直（OA 、OB 、1OO 均大于2米）．该农户找了一块长、宽分别为2米和1米的矩形木板．将木板的一边紧贴地面，另外一组对边紧贴墙面，围出一个三棱柱（无盖）形的谷仓．(1)若木板较长的一边紧贴地面，且围成的谷仓体积为32立方米，问：此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为多少？ (2)应怎样摆放木板，才能使得围成的谷仓容积最大？并求出该最大值．4．（2021·上海·格致中学高二期中）在四棱锥P ABCD -中，底面为梯形，AB CD ∕∕，PAD △为正三角形，且2PA AB ==，90BAP CDP ∠=∠=︒，四棱锥P ABCD -的体积为23．(1)求证：AB ⊥平面PAD ；(2)求PC 与平面ABCD 所成角的正弦值；(3)设平面PAB ⋂平面PCD l =，求证：l AB ∕∕，并求二面角B l C --的大小．一、填空题1．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二期中）若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则异面直线AB 与11D B 之间的距离为___________.二、解答题2．（2021·上海中学高二阶段练习）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点．巩固练习BD∥平面P AC；(1)求证：直线1BD与AP所成角的大小.(2)求异面直线13．（2021·上海市进才中学高二期中）已知正四棱锥P ABCD-中，1PA=；AB=，2(1)求侧棱与底面所成角的正弦值；(2)求正四棱锥P ABCD-的体积4．（2021·上海中学高二期中）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是线段AB、CD的中点，2AB=，AD=，4将ADM△沿DM翻折，在翻折过程中A点记为P点．(1)从ADM△翻折至NDM的过程中，求点P运动的轨迹长度；(2)翻折过程中，二面角P−BC−D的平面角为θ，求tanθ的最大值.。
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l
n1
n2
个面，的法向量，则二面
n1 , n2 或其补角
l
n2
作业
1、P46 习题 4 （三垂线法）
1
2、《名师》P79 变式探究（面积射影法） D1 C1 3、如图：正方体AC
中，求二面角 B-A1C-A的大小 （法向量法）
A1 D A
B1 C B
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83
A相等 ， B互补 C相等或互补 ， D大小关系不确定
(3)已知P为二面角 l 内一点， 且P到两个半平面的距离都等于P 到棱的距离的一半，则这个二面 角的度数是多少？ 60º
β
B
P
O
l
A
例2、如图, 二面角 l 的大小为θ(锐角)
△ABC的面积为S，AA’ ⊥ β于A’, △A’BC的面 S' 积为S’ 证明： cos A
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我那时的第一个老师——陈教师，缘于】给女性们们拿书，所骑轮椅与一辆货车相碰撞，没有以后继而不要在那所高二教书了。 感到高兴的是，陈教师如今已无大碍。平时，对咱们一帮小鬼不了解顽皮到随意地步，给陈教师起的外号是“小李”。到如今， 我还是照样我还记得尤其清楚分明，但对咱们实际上未去口碑不等量的事了，讲起“小李”，有特别多说不出的跟高二的幸福 记忆。在路过三四年级的最近，又来了一位教师，他姓何，因此对咱们给何教师的外号为“老何“。 销售村，缘于刚下过几天的雨，路并非是好走。虽然说如此，也干预不上我那时的活动。使用的时候，经过了好多块麦地，麦 子平时始出泛黄，收割的时节行将到达。对我来讲，那一条路再熟习不过了。上高二的最近，遗憾整天来回走。走在那一条熟 习的学校，非常多的种种的点滴涌上了我那时的心头，我那时的思绪始出感觉会有些没序。但我很明显，如今不是认真思考不 等量的事的最近，接着我又立马很快苏醒了过来。我了解，我也坚信，在将来的某一日，我就该每月去想一下和回想那么多的 平时与种种，我就该让我本人有富足的精力和时间去回味和感受。
z
C1 B1 C
y
x
小结
求二面角的平面角的方法
①、定义法 ∠APB PA, QC
②、三垂线(逆)定理法 ③、垂面法
l P
Q
B C
A
P
B
B
P A
A
l
l
O
④面积射影法 cos （为二面角的大小） ⑤法向量求二面角
S投影面
S被投影面
n1
设n1 , n2是二面角 l 的两 角的大小为
n1
l
n1
n2
n1 , n2
或其补角
l
n2
例3、如图：ABCD是边长为2的正方形，MA
和PB都与平面ABCD垂直，且PB=2MA=2，求 平面PMD与平面ABCD所成二面角的大小
《名师》Ｐ83 6
Z
P
B
C
M
A
D
X
Y
练习3、如图：正方体AC1中，
求二面角B-A1C-A的大小 D1 A1 D A B
证明: 作AD⊥L于Ｄ点，
连结 A' D ∵ AA’⊥β ∴ A' D⊥BC
S
B
D
C
l
课本P81 B组 2 ∴∠A’DA为二面角 l 的平面角 即为θ
A'
1 A' D 2 BC A' D S ' Ｒt⊿AA’D中 cos AD 1 BC AD S 2
④面积射影法 cos （为二面角的大小）
83
MPD中 MD 5 MP
2 2
M
DP (2 2 ) 2 2 3 A 1 S MPD 2 3 ( 5 ) 2 ( 3 ) 2 6 2 D C SABD 2 6 3 cos SMPD 3 sin 6
B
3
⑤法向量求二面角
设n1 , n2是二面角 l 的两 个面，的法向量，则二面 角的大小为
S投影面
S被投影面
B
B'
C
C'
l
பைடு நூலகம்
BB' 平面ABB'，CC ' 平面ABB'
A
S A'B 'C 'D ' cos S ABCD
S AB'C ' cos S ABC
练习2、如图：ABCD是边长为2的正方形，MA
和PB都与平面ABCD垂直，且PB=2MA=2，设 平面PMD与平面ABCD所成二面角大小为 ， 则 sin P 《名师》Ｐ 6
二面角(2)
复习提问:
作二面角的平面角的常用方法
①、定义法 ∠APB PA, QC
②、三垂线(逆)定理法 ③、垂面法
l P
Q
B C
A
P
B
B
P A
A
l
l
O
例1.如图P 为二面角 l 内一点，
P
PA⊥,PB⊥, 且 PA=5 ， PB=8 ， AB =7 ， 求这个二面角的度数。
B
A
l
O
评：注意垂线OB,OA是如何出现的！！
练习1、(1)自空间一点分别向二面角的两个面
引垂线，它们所成的角与二面角的平面角的关系
A相等 ， C互余，
B
B互补 D相等或互补
P P
Q
B
l
A
Q
l
A
（2）若一个二面角的两个半平面分别 垂直 平行 于 另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的 大小关系是（ ） 《名师》P 3