高中数学北师大版选修2-2课件：第二章 导数的几何意义
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北师大版高中数学选修2-2课件2.2.2导数的几何意义课件
(1,1)
y 3x 4
小结
＊导数的几何意义： 函数在处的导数，即是曲线 y f ( x ) x0 在点处的切线斜率。 ( x0 , f ( x0 ) ) ＊导数法求曲线的切线方程：
y f ( x)
y f ( x ) x0 （1）求出在处的导数；
f ( x0 )
（2）利用点斜式求得切线方程为：
由题知，
( 2,4) x 2 时割线过点和；
(0,0)
( 2,4) ( 1,1) x 1 时割线过点和； ( 2,4) ( 1.5,2.25) 图略。 x 0.5 时割线过点和，
（2） f ( 2 ) ∴ k f ( 2) 4 又切线过点 ( 2,4) ∴切线方程为：
2
yx
2
x0 , x0 x
yx
2
的平均变化率，并画出过点的相应割线； ( x0 , f ( x0 ) ) 在点处的切线。 ( 2,4)
解析
y f ( x) 2 x x 1 例2求函数在处的切线方程。
3
解析
总结概括
利用导数求曲线的切线方程：
y f ( x ) x0 （1）求出在处的导数；
y 4 x 4
图略。 例2
分析： 要求切线斜率，即导数。
解：
f (1)
∴ k切线 f (1) 6 ∴切线方程为：
( y 2) 6( x 1)
即 y 6x 4 概括
f ( 0) f ( 2) 0 2： x 1 , 0.5
f ( 1) f ( 2) ( 1)2 ( 2)2 3 1 1
f (1.5) f ( 2) ( 1.5)2 ( 2)2 3.5 0.5 0.5
2.2 导数的概念及其几何意义 课件(北师大版选修2-2)
ℎ →0
������������������
������ (������ 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) ℎ
=-4 ������������������
������ (������ 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) - 4ℎ
ℎ →0
=-4 ������������������
导.学. 固. 思
问题1 根据创设的情境,割线PP 的变化趋势是 n
点Pn趋近于
点P时,割线PPn趋近于确定的位置PT,PT为曲线的切线 .
问题2
导数的概念与求法: 我们将函数 f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率
f (x 0 +Δ x )-f (x 0 ) Δx Δy
Δ x →0
lim
称为 f(x)在 x=x0 处的导数,即有
ℎ →0
=2.
[问题]上面的解答遵循导数的定义吗?
导.学. 固. 思
[结论]没有,在导数的定义形式中,增量 Δ x 的形式多种多样, 但是无论增量 Δ x 选择哪种形式,Δ y 必须保持相应的形式. 即:f'(x0)= ������������������
������������ ℎ →0 ������������ ℎ →0
������ (������ 0 +ℎ )-������ (������ 0 ) ℎ
ℎ →0
=-
4f'(x0)=-8.
求切线方程 已知曲线 y=������-������ 上两点 P(2,-1),Q(-1,2 ). (1)求曲线在点 P,Q 处的切线的斜率; (2)求曲线在 P,Q 处的切线方程.
1 1
x=x 0 Δ x → 0 Δ x
������������������
������ (������ 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) ℎ
=-4 ������������������
������ (������ 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) - 4ℎ
ℎ →0
=-4 ������������������
导.学. 固. 思
问题1 根据创设的情境,割线PP 的变化趋势是 n
点Pn趋近于
点P时,割线PPn趋近于确定的位置PT,PT为曲线的切线 .
问题2
导数的概念与求法: 我们将函数 f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率
f (x 0 +Δ x )-f (x 0 ) Δx Δy
Δ x →0
lim
称为 f(x)在 x=x0 处的导数,即有
ℎ →0
=2.
[问题]上面的解答遵循导数的定义吗?
导.学. 固. 思
[结论]没有,在导数的定义形式中,增量 Δ x 的形式多种多样, 但是无论增量 Δ x 选择哪种形式,Δ y 必须保持相应的形式. 即:f'(x0)= ������������������
������������ ℎ →0 ������������ ℎ →0
������ (������ 0 +ℎ )-������ (������ 0 ) ℎ
ℎ →0
=-
4f'(x0)=-8.
求切线方程 已知曲线 y=������-������ 上两点 P(2,-1),Q(-1,2 ). (1)求曲线在点 P,Q 处的切线的斜率; (2)求曲线在 P,Q 处的切线方程.
1 1
x=x 0 Δ x → 0 Δ x
2018-2019学年北师大版选修2-2 2.2.2导数的几何意义 课件 (15张)
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四、课堂练习，巩固新知
1 、 求f ( x) x 2在x 2处的切线斜率， 并求出 过该点的切线方程 。 1 2、 求f ( x) 在x 2处的切线方程。 x 3、 根据导数的几何意义 ， 求函数y 4 x 2 在x 1处的导数。
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五、反思与评价
1、导数的几何意义是什么？ 2、学习导数的几何意义可以处理哪 些问题？ 3、如何求曲线的切线方程？
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二、合作探究，形成概念
如图，点A(x0,f(x0))是曲线y=f(x)上一点，点B(x0+Δx,f(x0+Δx)) 是曲线上与点A邻近的任一点，函数y=f(x)在[x0,x0+Δx]的平均变
y 化率为 x
,它是过A、B两点的直线的斜率，直线AB称为曲线
y=f(x)在点A处的一条割线。
y
令Δx趋于零，可知y=2x3在x=1处的导数为 f'(1)=6.这样，函数y=2x3在点(1,f(1))=(1,2)处 的切线斜率为6.即该切线经过点(1,2)，斜率6. 因此切线方程为(y-2)=6(x-1).即 y=6x-4. 切线如图所示.
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三、例题学习，应用新知
思考与交流：
y=2x3在点（1，2）处的 切线y=6x-4与y=2x3有几 个公共点？
一、课题引入，类比探讨 导数的本质是什么？写出它的表达式。
导数的本质是函数f(x)在x=x0处的瞬时变化 率，即：
f x0 x f ( x0 ) f x0 lim x 0 x
/
如何求函数 f(x)在x=x0处的导数？
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一、课题引入，类比探讨 导数的本质仅是从代数（数）的角度 来诠释导数，那么我们能不能类比求导 数的方法和过程，从图形（形）的角度 来探究导数的几何意义呢？
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.1 导数的概念 2.2.2 导数的几何意义课件 北师大版选
提示：在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lx im 0f(x0－ 或－ xf )′－ x (xf0)=x0
lim
f
x
f
x0
.
xx0 x－x0
28
【类题·通】
求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤
(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
(2)求平均变化率 yf(x0x)fx0.
47
(1)求直线l1，l2的方程. (2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.
48
【思维·引】1.设出切点的坐标，利用导数在切点处的 导数值即为切线的斜率求解. 2.(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出 两直线的方程；(2)解方程组求出两直线的交点坐标， 利用三角形的面积公式求解.
36
【解析】将x=1代入曲线C的方程得y=1，即切点
P(1，1).
因为f′(1)=
limy＝ lim(1x)313
x x 0
x 0
x
＝ lim3x3(x)2(x)3
x 0
x
=
l
xi[m30 +3Δx+(Δx)2]=3，
37
所以切线方程为y-1=3(x-1)， 即3x-y-2=0.
38
【素养·探】 求曲线在某点处的切线方程通常应用的数学核心素养 是数学运算，一般要根据导数的定义求出函数的导数， 即所求切线的斜率，然后利用直线的点斜式方程求切 线的方程. 本典例中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
59
2.面积问题三类型 (1)曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积.此类 问题，只要求出切线方程与两坐标轴的交点，即可计 算.
高中数学 2.2 导数的概念及其几何意义课件 北师大版选修2-2
������ ������
=
Δ x 趋于 0 时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数 y=f(x)在 x0 点的瞬时变化率,在数学中,称瞬时变化率为函数 y=f(x)在 x0 点 的导数.通常用符号 f'(x0)表示,记作 f'(x0)= lim
f(x1 )-f(x0 ) ������(������0 +Δ������)-������(������0 ) = ������������������ . Δ������ ������ 1 →������ 0 x1 -x0 ������x →0
2
,
∴ =Δ������ ∴lim
������+4
(������+2)
������y Δ������+4 =- ������������������ 2=-1. Δ������ →0 ������x ������x →0 (Δ������+2)
答案:-1
-4-
§2 导数的概念及其几何意义
首 页
f(x0 +������x)-f(x0 ) =切线 ������x Δ������ →0 Δ������ Δ������
=
������(������0 +Δ������)-������(������0 ) ,可知 Δ������
AD 的斜率.
函数 y=f(x)在 x0 处的导数,是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率. 函数 y=f(x)在 x0 处切线的斜率反映了导数的几何意义.
-2-
§2 导数的概念及其几何意义
首 页
X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
=
Δ x 趋于 0 时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数 y=f(x)在 x0 点的瞬时变化率,在数学中,称瞬时变化率为函数 y=f(x)在 x0 点 的导数.通常用符号 f'(x0)表示,记作 f'(x0)= lim
f(x1 )-f(x0 ) ������(������0 +Δ������)-������(������0 ) = ������������������ . Δ������ ������ 1 →������ 0 x1 -x0 ������x →0
2
,
∴ =Δ������ ∴lim
������+4
(������+2)
������y Δ������+4 =- ������������������ 2=-1. Δ������ →0 ������x ������x →0 (Δ������+2)
答案:-1
-4-
§2 导数的概念及其几何意义
首 页
f(x0 +������x)-f(x0 ) =切线 ������x Δ������ →0 Δ������ Δ������
=
������(������0 +Δ������)-������(������0 ) ,可知 Δ������
AD 的斜率.
函数 y=f(x)在 x0 处的导数,是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率. 函数 y=f(x)在 x0 处切线的斜率反映了导数的几何意义.
-2-
§2 导数的概念及其几何意义
首 页
X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
2.2《导数的概念及其几何意义》课件(北师大版选修2-2)
T=f(t)表示. (1)f′(t)的含义是什么？f′(t)的符号是什么？为什么？
（2）f′(3)=-4的实际意义是什么？如果f(3)=60(℃)，你能
画出函数在点t=3时图象的大致形状吗？
2.已知曲线C:y=x2与定点A（2，3），过定点A与曲线相切的直 线方程为________.
3.求曲线f(x)=x2-x+3在点（1,3)处的切线方程.
∴切线方程为y-1=3(x-1) 即3x-y-2=0. 如图所示 易求得直线x=2与直线3x-y-2=0 的交点为（2，4）
1 2 4 8 (2- ) 4=2 = . 2 3 3 3 8 答案： 3
∴S△=
4.（15分）已知抛物线C1：y1=x2+2x和C2：y2=-x2+a.如果直线l
(A)4
(B) - 1 (C)2 (D) 1 4 2 【解题提示】求y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率即
求f′(1),可借助g′(1)求解.
【解析】
2.（5分）垂直于2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-1相切的直线方 程一般形式为_______.
【解析】直线2x-6y+1=0的斜率为 1 , 3 ∴所求直线的斜率为-3.
课程目标设置
主题探究导学
1.“函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是Δ x=0时的平均变化率”.
这种说法对吗？
提示：这种说法不对，y=f(x)在x=x0处的导数值是Δx趋向于
y 0时，平均变化率 无限接近的一个常数值，而不是Δx=0时 x y 的值，实际上，在平均变化率的表达式 中，Δx≠0. x
2.能否认为函数在x=x0处导数越大，其函数值变化就越快? 提示：这种说法不正确.导数的正、负号确定函数值变化的趋 势，其绝对值大小确定变化的快慢.应说导数的绝对值越大， 函数值变化越快，即切线“越陡”.
（2）f′(3)=-4的实际意义是什么？如果f(3)=60(℃)，你能
画出函数在点t=3时图象的大致形状吗？
2.已知曲线C:y=x2与定点A（2，3），过定点A与曲线相切的直 线方程为________.
3.求曲线f(x)=x2-x+3在点（1,3)处的切线方程.
∴切线方程为y-1=3(x-1) 即3x-y-2=0. 如图所示 易求得直线x=2与直线3x-y-2=0 的交点为（2，4）
1 2 4 8 (2- ) 4=2 = . 2 3 3 3 8 答案： 3
∴S△=
4.（15分）已知抛物线C1：y1=x2+2x和C2：y2=-x2+a.如果直线l
(A)4
(B) - 1 (C)2 (D) 1 4 2 【解题提示】求y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率即
求f′(1),可借助g′(1)求解.
【解析】
2.（5分）垂直于2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-1相切的直线方 程一般形式为_______.
【解析】直线2x-6y+1=0的斜率为 1 , 3 ∴所求直线的斜率为-3.
课程目标设置
主题探究导学
1.“函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是Δ x=0时的平均变化率”.
这种说法对吗？
提示：这种说法不对，y=f(x)在x=x0处的导数值是Δx趋向于
y 0时，平均变化率 无限接近的一个常数值，而不是Δx=0时 x y 的值，实际上，在平均变化率的表达式 中，Δx≠0. x
2.能否认为函数在x=x0处导数越大，其函数值变化就越快? 提示：这种说法不正确.导数的正、负号确定函数值变化的趋 势，其绝对值大小确定变化的快慢.应说导数的绝对值越大， 函数值变化越快，即切线“越陡”.
高中数学北师大版选修2-2第2章《疑难解读：导数的概念及其几何意义》ppt课件
1．导数的定义 f(x)在 x＝x0 处的导数：当 Δx→0 时，函数平均变化率的极限 等于函数在 x0 的瞬时变化率 l，记作Δlti→m0 fx0＋ΔΔxx－fx0＝l.函 数在 x0 的瞬时变化率，通常就定义为 f(x)在 x＝x0 处的导数，并 记作 f′(x0)或 y′|x＝x0. 即 f′(x0)＝Δlti→m0 ΔΔyx＝Δlti→m0 fx0＋ΔΔxx－fx0.
• 得f(2)＝22－1＝3.
• 故f′(2)＝(3)′＝0. • 【错因】 f(x)＝x2－1，得f′(2)是导函数的一个函 数值，而不是函数f(2)的导数．
【正解】
f′(x)＝Δlti→m 0
fx＋Δx－fx Δx
＝Δlti→m0 x＋ΔΔxx2－x2＝2x.
故 f′(2)＝2×2＝4.
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29Fra bibliotek最新中小学教学课件
10
谢谢欣赏！
2019/8/29
最新中小学教学课件
11
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
• 得f(2)＝22－1＝3.
• 故f′(2)＝(3)′＝0. • 【错因】 f(x)＝x2－1，得f′(2)是导函数的一个函 数值，而不是函数f(2)的导数．
【正解】
f′(x)＝Δlti→m 0
fx＋Δx－fx Δx
＝Δlti→m0 x＋ΔΔxx2－x2＝2x.
故 f′(2)＝2×2＝4.
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
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④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
2018-2019学年北师大版选修2-2 2.2 导数的几何意义 课件(19张)
������x→0
������������������ (4x0 +2Δx)=4x0 , 即 f'(x0 )=4x0 .
������y Δ ������ →0 ������x
=
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为 45°, ∴斜率为 tan 45°=1, 即
1 9 1 9 2 f'(x0 )=4x0 =1, 得 x0 = , 将其代入 y=2x +1, 得 y0 = , 故切点坐标为 , 4 8 4 8
所以切线的斜率为 -4.又因为切线过点(-2,4), 所以切线方程为 y-4=-4(x+2), 即 4x+y+4=0.
题型一
题型二
题型三
反思解此类问题的步骤为: (1)先设切点坐标(x0,y0); (2)求切线的斜率f'(x0); (3)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0; (4)由y0=f(x0),求得切点坐标.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 已知曲线y=f(x)=2x2-a在点P处的切线方程为 12x-y-35=0,求切点P的坐标及a的值.
当Δx趋于0时,点B将沿着曲线y=f(x)趋于点A,割线AB将绕点A转 动,最后趋于直线l.直线l和曲线在点A处“相切”,称直线l为曲线y=f(x) 在点A处的切线.该切线的斜率就是函数y=f(x)在x0处的导数f'(x0).
2.导数的几何意义 函数y=f(x)在x0处的导数,是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜 率.函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义. f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在切点(x0,f(x0))处的切线的斜率.
1
2
������������������ (4x0 +2Δx)=4x0 , 即 f'(x0 )=4x0 .
������y Δ ������ →0 ������x
=
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为 45°, ∴斜率为 tan 45°=1, 即
1 9 1 9 2 f'(x0 )=4x0 =1, 得 x0 = , 将其代入 y=2x +1, 得 y0 = , 故切点坐标为 , 4 8 4 8
所以切线的斜率为 -4.又因为切线过点(-2,4), 所以切线方程为 y-4=-4(x+2), 即 4x+y+4=0.
题型一
题型二
题型三
反思解此类问题的步骤为: (1)先设切点坐标(x0,y0); (2)求切线的斜率f'(x0); (3)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0; (4)由y0=f(x0),求得切点坐标.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 已知曲线y=f(x)=2x2-a在点P处的切线方程为 12x-y-35=0,求切点P的坐标及a的值.
当Δx趋于0时,点B将沿着曲线y=f(x)趋于点A,割线AB将绕点A转 动,最后趋于直线l.直线l和曲线在点A处“相切”,称直线l为曲线y=f(x) 在点A处的切线.该切线的斜率就是函数y=f(x)在x0处的导数f'(x0).
2.导数的几何意义 函数y=f(x)在x0处的导数,是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜 率.函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义. f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在切点(x0,f(x0))处的切线的斜率.
1
2
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.2 导数的几何意义课件6 北师大版选修2-2
2.2 导数的几何意义
K12课件
1
什么叫函数的导数?
在数学中，称瞬时变化率为函数y=f(x)在x0 点的导数，通常用符号fˊ(x0)表示，记作：
f
(x0 )
lim
x1 x0
f (x1) f (x0 ) x1 x0
lim f (x0 x) f (x0 ) .
x0
x
的正切值
C.曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率
D.点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率
K12课件
13
2.如图已知曲线 y 1 x3上一点P(2, 8 ) ,
3
3
y
求:(1)点P处的切线的斜率; 4
4
y 1 x3 3
(2)点P处的切线方程.
3
P
2
12x-3y-16=0
x0
x
y
2x (x)2
lim
2.
x0
x
因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x.
P
M
x
1j
x
-1 O 1
K12课件
12
1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何 意义是( C)
A.在点x0处的函数值 B.在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角
K12课件
3
学习目标：
1.理解曲线的切线的概念，通过函数的图 像直观的理解导数的几何意义； 2.会用导数的几何意义解题。
K12课件
4
割线的斜率
y f(x2)
f(x1)
O
y=f(x)
B
f(x2)-f(x1)=△y
A
K12课件
1
什么叫函数的导数?
在数学中，称瞬时变化率为函数y=f(x)在x0 点的导数，通常用符号fˊ(x0)表示，记作：
f
(x0 )
lim
x1 x0
f (x1) f (x0 ) x1 x0
lim f (x0 x) f (x0 ) .
x0
x
的正切值
C.曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率
D.点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率
K12课件
13
2.如图已知曲线 y 1 x3上一点P(2, 8 ) ,
3
3
y
求:(1)点P处的切线的斜率; 4
4
y 1 x3 3
(2)点P处的切线方程.
3
P
2
12x-3y-16=0
x0
x
y
2x (x)2
lim
2.
x0
x
因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x.
P
M
x
1j
x
-1 O 1
K12课件
12
1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何 意义是( C)
A.在点x0处的函数值 B.在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角
K12课件
3
学习目标：
1.理解曲线的切线的概念，通过函数的图 像直观的理解导数的几何意义； 2.会用导数的几何意义解题。
K12课件
4
割线的斜率
y f(x2)
f(x1)
O
y=f(x)
B
f(x2)-f(x1)=△y
A
高中数学选修2-2-导数的几何意义-课件.ppt
2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数
3）函数在点 x0 处的导数 f (x0) 就是导函数f (x)
在 x x0 处的函数值，这也是 求函数在点x0
处的导数的方法之一。
课堂练习: 如图（见课本P10.6）已知函数的图像，试画 出其导函数图像的大致形状。
P11.2：根据下面的文字叙述，画出相应的路程 关于时间的函数图像的大致形状。 （1）汽车在笔直的公路上匀速行驶； （2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶； （3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶；
0.1
0 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1.0 1.1 t m in
图1.1 4
解 血管中某一时刻药物浓 度的瞬时变化率 ,就是
药物浓度 f t在此时刻的导数 .从图象上看 ,它表示
例3 如图1.1 4,它 cmg/ml 1.1
表示人体血管中药 1.0
直观本质。
例1.求曲线y=x2 -1在点（-2，3）处的切线的斜率,
并写出切线方程。
解 : y f (2 x) f (2)
[(2 x)2 1] [(2)2 1]
x2 4x
y x2 4x x 4
x
x
f (1)= lim y lim (x 4) 4
x x0
x 0
k 4
f (x) y lim y lim f (x x) f (x)
x x0
x0
x
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
函数y f (x)在点x0处的导数f (x0 ) 等于函数f (x)的导(函)数f (x)在点x0处的 函数值.
函数在点 x0 处的导数f (x0) 、导函数 f (x) 、导数 之间的区别与联系。 1）函数在一点 x0 处的导数f (x0) ，就是在该点的 函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它 是一个常数，不是变数。
3）函数在点 x0 处的导数 f (x0) 就是导函数f (x)
在 x x0 处的函数值，这也是 求函数在点x0
处的导数的方法之一。
课堂练习: 如图（见课本P10.6）已知函数的图像，试画 出其导函数图像的大致形状。
P11.2：根据下面的文字叙述，画出相应的路程 关于时间的函数图像的大致形状。 （1）汽车在笔直的公路上匀速行驶； （2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶； （3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶；
0.1
0 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1.0 1.1 t m in
图1.1 4
解 血管中某一时刻药物浓 度的瞬时变化率 ,就是
药物浓度 f t在此时刻的导数 .从图象上看 ,它表示
例3 如图1.1 4,它 cmg/ml 1.1
表示人体血管中药 1.0
直观本质。
例1.求曲线y=x2 -1在点（-2，3）处的切线的斜率,
并写出切线方程。
解 : y f (2 x) f (2)
[(2 x)2 1] [(2)2 1]
x2 4x
y x2 4x x 4
x
x
f (1)= lim y lim (x 4) 4
x x0
x 0
k 4
f (x) y lim y lim f (x x) f (x)
x x0
x0
x
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
函数y f (x)在点x0处的导数f (x0 ) 等于函数f (x)的导(函)数f (x)在点x0处的 函数值.
函数在点 x0 处的导数f (x0) 、导函数 f (x) 、导数 之间的区别与联系。 1）函数在一点 x0 处的导数f (x0) ，就是在该点的 函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它 是一个常数，不是变数。
2019-2020学年北师大版高中数学选修2-2同步配套课件：2.2 导数的几何意义2.2.1 .pdf
与起跳后的时间 t(单位:s)之间的关系式为 h(t)=-4.9t2+6.5t+10,求在
t=
65 98
s
时, ℎ(������)的导数, 并解释此时的运动状况.
分析:根据导数的定义求出导数,并根据导数就是瞬时速度说明
运动状况.
目标导航
Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
Δ������→0
1 + ������(1 +
1 + Δ������) = − 2.
答案:
−
1 2
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典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
12345
4
若
f(x)在点
x=x0
处可导,且
f'(x0)=-2,则 lim
Δ ������ →0
������(������0+4Δ���2���)Δ-������������(������0+5Δ������).
解:(1)原式=3 lim
Δ������→0
f(x0-3������x)-f(x0) -(-3������x)
=
−3 ������������������
������x →0
������(������0-3������)-������(������0) -3������
当 Δx 趋于 0 时,Δx+4+
3 1+������+1
趋于
121.
故函数在 x=1 处的导数等于 121.
题型一 题型二 题型三
数学北师大版高中选修2-2导数的几何意义
§2.2导数的几何意义学习目标1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系； 2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题； 学习重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 学习难点：导数的几何意义． 一．自主学习（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.问题：⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ ⑵切线PT 的斜率k 为多少？ 容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近图3.1-2于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点处的切线的斜率， 即 0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程. ．二．典例分析例1:（1）求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程.（2）求函数y =3x 2在点(1,3)处的导数.解：（1）222100[(1)1](11)2|limlim 2x x x x x x y x x=∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆, 所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为22(1)y x -=-即20x y -=（2）因为222211113313(1)|limlim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- 所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为36(1)y x -=-即630x y --= （2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim (3)3x x y x x f x x x→→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆例2．如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请根据导数的几何意义描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况． 解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况．（1） 当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴，所以，在0t t =附近曲线比较平坦，几乎没有升降．（2） 当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，所以，在1t t =附近曲线下降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减．（3） 当2t t =时，曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<，所以，在2t t =附近曲线下降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减．从图3.1-3可以看出，直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度，这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢．例3．如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位：/mg mL )随时间t （单位：min ）变化的图象．根据图像，估计0.2,0.4,0.6,0.8t =时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．。
北师版高中同步学考数学选修2-2精品课件 第二章 §2 导数的概念及其几何意义
1
3 1
3
(2+x)
×2
3
3
x
1
22 Δ+2(Δ)2 +3(Δ)3
Δ→0
=
Δ
1
= lim [4+2Δx+3(Δx)2]=4,
Δ→0
1
∴曲线 y=3x3 在点 P 处切线的斜率为 4.
1
8
(2)由曲线 y=3x3 的切线过点 P 2, 3 ,斜率为
8
y- =4(x-2),即 12x-3y-16=0.
易错分析求切线方程时,一般先判断该点是否在曲线上,本题中求
过点P的切线方程,且点P不在曲线上,所以求出切点坐标是解决此
分析因为线段OA是固定的,点B在曲线段OA上运动,当点B到OA的
距离最大时,△AOB面积最大,要使点B到OA的距离最大,需要过点B
作平行于OA的切线,进而求得点B坐标,再求面积.
-18-
§2 导数的概念及其几何意义
探究一
探究二
探究三
首页
自主预习
探究学习
探究学习
当堂检测
思维辨析
解:由 f(x)=√,得 f(4)=2,∴A(4,2).
两条切线与 x 轴围成的三角形如图所示,所以
3
所求三角形的面积为 .
4
1
S=2×1×
1
2- 2
=
3
,即
4
-23-
§2 导数的概念及其几何意义探究一Fra bibliotek探究二
探究三
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探究学习
当堂检测
思维辨析
求切线方程时,忽略“过”与“在”的差异
【典例】 求曲线y=2x2-7过点P(3,9)的切线方程.
《2.2.2 导数的几何意义》课件 3-优质公开课-北师大选修2-2精品
• [点评] 用导数定义求函数在某一点处的导 数的过程：一差、二比、三极限．
• 求y＝f(x)＝x3＋2x＋1在x＝1处的导数．
[ 解析] Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3＋2(1＋Δx)＋1－(13 ＋2×1＋1)＝5Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3，
2 3 Δy 5Δx＋3Δx ＋Δx 2 ＝ ＝ 5 ＋ 3Δ x ＋ (Δ x ) ， Δx Δx
3Δx，当 Δx 趋于 0 时，5＋3Δx 趋于 5，所以曲线 y＝3x2－x 在 点 A(1,2)处的切线斜率是 5. 所以切线方程为 y－2＝5(x－1)， 即 5x－y－3＝0.
• [点评] 求曲线在点(x0，f(x0))处的切线方 程的步骤： • (1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)； • (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －f(x0)＝f′(x0)· (x－x0)．
学习方法指导
• 1．函数在某点的导数即为函数在该点的瞬时变化 率，就是在该点的函数改变量与自变量的改变量 的比值的极限，它是一个数值，不是变数． • 2．导数的几何意义 • 如图所示，设函数y＝f(x)的图像是一条光滑的曲 线，从图像上可以看出：当Δx取不同的值时，可 以得到不同的割线；当Δx趋于零时，点B将沿着 曲线y＝f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动最后 趋于直线l.直线l和曲线y＝f(x)在点A处“相切”， 称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线．该切线的 斜率就是函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)．
1 将 A(1,0)代入①式，得 a＝2.所以所求的切线方程为 y＝－ 4x＋4.
1 (2)设切点坐标为 P(x0，x )，由(1)知，切线的斜率为 k＝－ 0 1 1 1 3 3 ， 则－x2＝－3， x0＝± 3.那么切点为( 3，3 )或(－ 3， － 3 )． x2 0 0 1 2 3 1 2 3 所以所求的切线方程为 y＝－3x＋ 3 或 y＝－3x－ 3 .
北师版高中数学选择性必修第二册精品课件 第二章 2.2 导数的几何意义
答案:B
=1,所以切线的
4.已知曲线y=f(x)=2x2+4x在点P处的切线的斜率为16,则点P的坐标
为
.
解析:设点 P(x0,202 +4x0),
f(x0 +x)-f(x0 )
则 f'(x0)= lim
x
Δ→0
2
2(Δ) +40 ·Δ+4Δ
=
=4x0+4.
Δ
x→0
由题意知4x0+4=16,解得x0=3,
2
B.3
2
C.-3
1
D.-3
1 2
3
3.已知曲线 y=f(x)= x -2 上一点 P(1,- ),则曲线在点 P 处的切线的倾斜角为
2
2
(
).
A.30° B.45° C.135°
D.165°
f(1 + x)-f(1)
lim
解析:曲线y在点P处的切线的斜率k=f'(1) = Δ→0
x
倾斜角为45°.
4
解:(1)设P0(x0,y0)是满足条件的点,则曲线在点P0处的切线的斜率
2
(0 +Δ) -20
f(x0 +x)-f(x0 )
k0= lim
=
=2x0.
x
Δ
Δ→0
x→0
因为切线与直线y=4x-5平行,
所以2x0=4,即x0=2.
当x0=2时,y0=4,即点P0的坐标为(2,4).
即y=2x-1,y=10x-25.
随堂练习
1
1
1.曲线 y=- 在点 ,-2 处的切线方程是(
2
A.y=x-2
=1,所以切线的
4.已知曲线y=f(x)=2x2+4x在点P处的切线的斜率为16,则点P的坐标
为
.
解析:设点 P(x0,202 +4x0),
f(x0 +x)-f(x0 )
则 f'(x0)= lim
x
Δ→0
2
2(Δ) +40 ·Δ+4Δ
=
=4x0+4.
Δ
x→0
由题意知4x0+4=16,解得x0=3,
2
B.3
2
C.-3
1
D.-3
1 2
3
3.已知曲线 y=f(x)= x -2 上一点 P(1,- ),则曲线在点 P 处的切线的倾斜角为
2
2
(
).
A.30° B.45° C.135°
D.165°
f(1 + x)-f(1)
lim
解析:曲线y在点P处的切线的斜率k=f'(1) = Δ→0
x
倾斜角为45°.
4
解:(1)设P0(x0,y0)是满足条件的点,则曲线在点P0处的切线的斜率
2
(0 +Δ) -20
f(x0 +x)-f(x0 )
k0= lim
=
=2x0.
x
Δ
Δ→0
x→0
因为切线与直线y=4x-5平行,
所以2x0=4,即x0=2.
当x0=2时,y0=4,即点P0的坐标为(2,4).
即y=2x-1,y=10x-25.
随堂练习
1
1
1.曲线 y=- 在点 ,-2 处的切线方程是(
2
A.y=x-2
北师大版高中数学选修2-2课件2.2.2导数的几何意义课件
的平均变化率：
y y1 y0 x x1 x0 f (x0 x) f ( x0 )
x
容易看出，它是过 P、Q 两 点的直线斜率。
观察当x 0时，Q点及割线PQ的变化情况。
y
y = f (x) 割
线 Q
P
T 切线
o
x
概括
当x 0时， Q P PQ 切线PT
lim
x0
y x
tan
k PT
＊ 导数的几何意义：
函数 y f (x)在 x0处的导数，即是曲线 y f (x)
在点 ( x0 , f ( x0 ) )处的切线斜率。
＊ 导数法求曲线的切线方程：
(1)求出 y f (x)在 x0处的导数 f (x0 )；
(2)利用点斜式求得切线方程为：
y y0 f ( x0 )( x x0 )
(2) f (2)
∴ k f (2) 4
又切线过点 (2,4)
∴切线方程为：
y 4x 4
图略。
分析：要求切线斜率，即导数 f (1。)
解：
∴ k切线 f (1) 6
∴切线方程为：
( y 2) 6(x 1) 即 y 6x 4
的平均变化率，并画出过点(x0 , f (x0 ) )的相应割线；
(2)求y x2 在x0 2 处的导数，画出曲线 y x2
在点(2,4)处的切线。
例2 求函数y f (x) 2x在3 x 1处的切线方程。
总结概括
利用导数求曲线的切线方程：
(1)求出 y f (x)在 x0处的导数 f (x0 )；
导数 f (x0 )即过点 P 的切线 PT 的斜率。
导数的几何意义：
函数 y f (x)在 x0处的导数，即是曲线 y f (x)
y y1 y0 x x1 x0 f (x0 x) f ( x0 )
x
容易看出，它是过 P、Q 两 点的直线斜率。
观察当x 0时，Q点及割线PQ的变化情况。
y
y = f (x) 割
线 Q
P
T 切线
o
x
概括
当x 0时， Q P PQ 切线PT
lim
x0
y x
tan
k PT
＊ 导数的几何意义：
函数 y f (x)在 x0处的导数，即是曲线 y f (x)
在点 ( x0 , f ( x0 ) )处的切线斜率。
＊ 导数法求曲线的切线方程：
(1)求出 y f (x)在 x0处的导数 f (x0 )；
(2)利用点斜式求得切线方程为：
y y0 f ( x0 )( x x0 )
(2) f (2)
∴ k f (2) 4
又切线过点 (2,4)
∴切线方程为：
y 4x 4
图略。
分析：要求切线斜率，即导数 f (1。)
解：
∴ k切线 f (1) 6
∴切线方程为：
( y 2) 6(x 1) 即 y 6x 4
的平均变化率，并画出过点(x0 , f (x0 ) )的相应割线；
(2)求y x2 在x0 2 处的导数，画出曲线 y x2
在点(2,4)处的切线。
例2 求函数y f (x) 2x在3 x 1处的切线方程。
总结概括
利用导数求曲线的切线方程：
(1)求出 y f (x)在 x0处的导数 f (x0 )；
导数 f (x0 )即过点 P 的切线 PT 的斜率。
导数的几何意义：
函数 y f (x)在 x0处的导数，即是曲线 y f (x)
相关主题
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3
P
y |x2 22 4.
即点P处的切线的斜率等于4.
x
-2 -1
O -1 -2
1
2
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
12
归纳:求切线方程的步骤
（1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求 函数的导数的 基本思想，丢掉极限思想就无法理解 导 数概念。
13
2.
1 作业: 1.求函数y 在x 1处的导数。 x
小结：函数 y f (x) 在x0处的导数，是曲线
x0
lim
1 1 1 x 1 2
1 y ' x1 2
5
下面来看导数的几何意义:
如图,曲线C是函数y=f(x)
的图象,P(x0,y0)是曲线C上的
y y=f(x) Q
任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)
为P邻近一点,PQ为C的割线, PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的 倾斜角.
f ' (1)＝f ' ( x) x1 2 (1) 2 f ' (2) f ' ( x) x2 2 2 4
4
例2：求函数y x在x 1处的导数。
解：y 1 x 1 y 1 x 1 1 x x 1 x 1
0
3
例1：设f ( x) x 2 , 求f ' ( x), f ' (1), f ' (2)
思路：先根据导数的定义求f ' ( x), 再将自变量 的值代入求得导数值。 解：由导数的定义有
f ( x x) f ( x) ( x x) 2 x 2 f ' ( x)＝ lim lim x0 x0 x x x(2 x x) lim 2x x0 x
y f (x)在点（x0， ( x0 ) ）处的切线的斜率。 f
函数 y f (x) 在x0处切线的斜率反映了导数的 几何意义。
五、教后反思：
14
1
y
M
求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤:先利用切线斜率 的定义求出切线的斜率,然后 利用点斜式求切线方程.
j
x
-1 O
1
10
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1 3 8 y x 上 一 点 ( 2, ) P 练习:如图已知曲线 3 3 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
1 1 3 3 ( x x ) x 1 3 y 3 解 ： ) y x , y lim (1 lim 3 x 0 x x 0 3 x y 1 y x 3 4 1 3 x 2 x 3 x ( x ) 2 ( x ) 3 lim 3 3 x 0 x 2 1 2 2 2 lim[3 x 3 xx ( x ) ] x . 1 3 x 0
北师大版高中数学选修2-2第 二章《变化率与导数》
法门高中姚连省制作
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一、教学目标： 1、通过函数的图像直观地理解导数的几何 意义； 2、理解曲线在一点的切线的概念； 3、会求简单函数在某点处的切线方程。 二、教学重点：了解导数的几何意义 教学难点：求简单函数在某点出的切线方 程 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
则 : MP x , MQ y, y tan . x y 请问： 是割线PQ的什么? x
O P
β
Δy M x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱΔx
斜 率!
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请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着 点P逐渐转动的情况. y
y=f(x) Q
割 线 T 切线
P
x
o
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我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ 有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.
初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时， 叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点 叫做切点。
割线趋近于确定的位置的直线定义为切线. 曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点。
设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称 为曲线在点P处的切线的斜率.
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim 即: k切线 f ( x0 ) lim x 0 x x 0 x
'
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;② 8 切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
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例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 解 : k lim y x 0 Q x (1 x ) 2 1 (1 1) lim 2 x 0 x y = x +1 2 x ( x ) 2 lim 2. x 0 x P 因此,切线方程为y-2=2(x-1), x 即y=2x.
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先来复习导数的概念
定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当 自变量x在点x0处有改变量Δ x时函数有相应的改变量 Δ y=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx0 时,Δy/Δx的极限存在, 这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记 f ( x0 )或y 即: , |x x 作 f ( x0 x) f ( x0 ) y f ( x0 ) lim lim . x 0 x x 0 x