2019_2020学年高中数学课时分层作业6直线的参数方程含解析北师大版选修4_4

课时分层作业(六)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( ) A ．(2,3)
B ．(1,5) C.⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2
D ．(2,0)
[解析] 即x 24＋y 2
9＝1，通过结论知选D ．
[答案] D
2．若点P (4，a )在曲线⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝t 2，
y ＝2t
(t 为参数)上，则a 等于( )
A ．4
B ．4 2
C ．8
D ．1
[解析] 由4＝t
2知t ＝8，∴a ＝28＝4 2.
[答案] B
3．以t 为参数的方程⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝1－1
2
t ，
y ＝－2＋3
2
t 表示( )
A ．过点(1，－2)且倾斜角为π
3
的直线 B ．过点(－1,2)且倾斜角为
π
3
的直线 C ．过点(1，－2)且倾斜角为2π
3
的直线 D ．过点(－1,2)且倾斜角为2π
3
的直线 [解析] 参数方程 ⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1－12t ，y ＝－2＋32
t 为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋cos 2π
3t ，y ＝－2＋sin 2π
3
t .
故直线过点(1，－2)，倾斜角为2π
3.
[答案] C
4．直线⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋12t ，y ＝－33＋3
2t (t 为参数)和圆x 2＋y 2
＝16交于A ，B 两点，则AB 的中
点坐标为( )
A ．(3，－3)
B ．(－3，3)
C ．(3，－3)
D ．(3，－3)
[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16， 得t 2
－8t ＋12＝0，
设方程的两根分别为t 1，t 2，∴t 1＋t 2＝8，
t 1＋t 2
2
＝4，
中点为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋12
×4，
y ＝－3
3＋3
2
×4
⇒⎩⎨
⎧
x ＝3，y ＝－ 3.
[答案] D
5．参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝t ＋1t ，y ＝2(t 是参数)，表示的曲线是( )
A ．一条直线
B ．两条直线
C ．一条射线
D ．两条射线
[解析] y ＝2表示一条平行于x 轴的直线． ①当t ＞0时，x ＝t ＋1
t ≥2
t ·1
t ＝2； ②当t ＜0时，x ＝t ＋1
t
≤－2t ·1
t
＝－2， 即x ≥2或x ≤－2， 所以表示两条射线． [答案] D 二、填空题
6．若曲线⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋cos θ，
y ＝2sin θ(θ为参数)经过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，a ，则a ＝________.
[解析] 由32＝1＋cos θ，得cos θ＝12，∴sin θ＝±3
2.
∴a ＝2sin θ＝± 3. [答案] ± 3 7．若直线⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝1－2t ，y ＝2＋3t
(t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.
[解析] 直线⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1－2t ，
y ＝2＋3t
的斜率为－3
2
，
∴－4k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－32＝－1，k ＝－6.
[答案] －6 8．已知直线l
过点P (1,2)，其参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1－t ，
y ＝2＋t (t 是参数)，直线l 与直线2x
＋y －2＝0交于点Q ，求|PQ |＝________.
[解析] 将l 的参数方程化为x ＋y ＝3， 与2x ＋y －2＝0联立，得x ＝－1且y ＝4， 则Q (－1,4)，
∴|PQ |2
＝(－1－1)2
＋(4－2)2
＝8，|PQ |＝2 2. [答案] 2 2 三、解答题
9．已知曲线C ：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝cos θ，
y ＝－1＋sin θ(θ为参数)，如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共
点，求实数a 的取值范围．
[解] ∵⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝cos θ，
y ＝－1＋sin θ，
∴x 2＋(y ＋1)2
＝1.
∵圆与直线有公共点，则d ＝|0－1＋a |
2≤1，
解得1－2≤a ≤1＋ 2.
10．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝a cos θ(a >0)，直线l 的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋2
2t ，y ＝22t
(t 为参数)，且直线l 与曲线C 相切，求a 的值．
[解] 将曲线C 的极坐标方程化成直角坐标方程为x 2＋y 2
＝ax . 将直线l 的参数方程化成普通方程为y ＝x －1，
联立方程，得⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 2＋y 2
＝ax ，y ＝x －1，
消去y 可得2x 2
－(2＋a )x ＋1＝0.
∵直线l 与曲线C 相切，∴Δ＝(2＋a )2
－8＝0. 又a >0，∴a ＝2(2－1)．
[能力提升练]
1．直线l 经过点M 0(1,5)，倾斜角为π
3，且交直线x －y －2＝0于点M ，则|MM 0|等于( )
A.3＋1 B ．6(3＋1) C ．6＋ 3
D ．63＋1
[解析] 由题意可得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝1＋12t ，y ＝5＋3
2
t (t 为参数)，代入直线方程
x －y －2＝0，得1＋1
2
t －⎝ ⎛⎭
⎪⎫
5＋
32t －2＝0，解得t ＝－6(3＋1)． 根据参数t 的几何意义可知|MM 0|＝6(3＋1)． [答案] B
2．直线⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝x 0＋at ，
y ＝y 0＋bt (t 为参数)上两点A ，B 对应的参数分别为t 1和t 2，则|AB |等于
( )
A ．|t 1－t 2|
B ．a 2
＋b 2
|t 1－t 2| C.
|t 1－t 2|a 2＋b 2
D ．|t 1－t 2|a 2＋b
2
[解析] 原参数方程可化为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋a a 2
＋b 2
(a 2＋b 2
t )＝x 0＋t ′cos θ，
y ＝y 0
＋
b a 2＋b
2
(a 2
＋b 2
t )＝y 0＋t ′sin θ，
(其中sin θ＝
b a 2
＋b
2
，cos θ＝a a 2
＋b
2
，t ′＝a 2＋b 2
t 且t ′是参数)，
则|AB |＝|t 1′－t 2′|＝|a 2
＋b 2
t 1－a 2＋b 2
t 2| ＝a 2
＋b 2
|t 1－t 2|.故应选B ． [答案] B
3．直线⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1＋2
2
t ，y ＝2－2
2t (t 为参数)上到点A (－1,2)距离为2，且在点A 上方的
点的坐标是________．
[解析] 由已知得，直线的斜率为－1， tan α＝－1，sin α＝
22，cos α＝－2
2
， 故直线参数方程的标准式为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1－22
t ′，y ＝2＋2
2
t ′(t ′为参数)．
∵所求点在A (－1,2)上方，且到A 点的距离为2， ∴将t ′＝2代入上述方程得x ＝－1－
2
2
×2＝－2， y ＝2＋
2
2
×2＝3，故所求坐标是(－2,3)． [答案] (－2,3)
4．已知抛物线y 2
＝8x 的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)求|AB |；
(2)求AB 的中点M 的坐标及|FM |. [解] 抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)， 依题意，设直线AB 的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋1
5t ，y ＝25t
(t 为参数)，
其中tan α＝2，cos α＝15
，sin α＝
25
，α为直线AB 的倾斜角，代入y 2
＝8x 整理
得t 2
－25t －20＝0.
设F A →＝t 1e ，F B →＝t 2e ，其中e ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
5，25，
则t 1＋t 2＝25，t 1t 2＝－20.
(1)|A B →|＝|F B →－F A →|
＝|t 2e －t 1e |＝|t 2－t 1||e | ＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2
－4t 1t 2 ＝(25)2
＋80 ＝10， 即|AB |＝10.
(2)由于AB 的中点为M ，则A M →＝M B →
， ∴F M →－F A →＝F B →－F M →， 即F M →＝1
2
(F A →＋F B →
)．
又F M →＝12
(F A →＋F B →
)＝t 1＋t 2
2
e .
故点M 对应的参数为
t 1＋t 2
2
＝5，
∴M 点的坐标为(3,2)， |FM |＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪t 1＋t 22＝ 5.。