2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练：第2讲 排列与组合
2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练：阶段自测卷(五) Word版含解析
阶段自测卷(五)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2019·贵州遵义航天中学月考)下列说法正确的是( )A ．空间中，两不重合的平面若有公共点，则这些点一定在一条直线上B ．空间中，三角形、四边形都一定是平面图形C ．空间中，正方体、长方体、四面体都是四棱柱D ．用一平面去截棱锥，底面与截面之间的部分所形成的多面体叫棱台 答案 A解析 空间四边形不是平面图形，故B 错；四面体不是四棱柱，故C 错；平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分所形成的多面体才叫棱台，故D 错；根据公理2可知A 正确，故选A.2．(2019·湛江调研)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．α∩β＝n ，m ⊂α，m ∥β ⇒m ∥nB ．α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ⇒n ⊥βC ．m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β ⇒α⊥βD ．m ∥α，n ⊂α⇒m ∥n 答案 A解析 对于A ，根据线面平行的性质定理可得A 选项正确；对于B ，当α⊥β，α∩β＝m 时，若n ⊥m ，n ⊂α，则n ⊥β，但题目中无条件n ⊂α，故B 不一定成立；对于C ，若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α与β相交或平行，故C 错误；对于D ，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，则D 错误，故选A.3．(2019·重庆万州三中月考)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是CC 1的中点，F 是A 1B 的中点，且DF →＝αAB →＋βAC →，则( )A ．α＝12，β＝－1B ．α＝－12，β＝1C ．α＝1，β＝－12D ．α＝－1，β＝12答案 A解析 根据向量加法的多边形法则以及已知可得， DF →＝DC →＋CB →＋BF →＝12C 1C →＋CB →＋12BA →1＝12A 1A →＋AB →－AC →＋12BA →＋12AA →1＝12AB →－AC →， ∴α＝12，β＝－1，故选A.4．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＝(1， 2， 0)，AD →＝(2， 1， 0)，CC →1＝(0， 1， 5)，则对角线AC 1的边长为( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．5 2 D ．12 答案 C解析 因为AC →1＝AA →1＋A 1B 1→＋B 1C 1→＝CC →1＋AB →＋AD →＝(0， 1， 5)＋(1， 2， 0)＋(2， 1， 0)＝(3， 4， 5)， 所以|AC →1|＝32＋42＋52＝52，故选C.5.(2019·凉山诊断)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 1，BC 1的中点，下列结论中，正确的是( )A ．EF ⊥BB 1 B ．EF ⊥平面BCC 1B 1 C ．EF ∥平面D 1BC D ．EF ∥平面ACC 1A 1 答案 D解析 连接B 1C 交BC 1于F ，由于四边形BCC 1B 1是平行四边形，对角线互相平分，故F 是B 1C 的中点．因为E 是AB 1的中点，所以EF 是△B 1AC 的中位线，故EF ∥AC ，所以EF ∥平面ACC 1A 1.故选D.6．(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径”．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求球的直径d 的公式d ＝13169V ⎛⎫⎪⎝⎭.若球的半径为r ＝1，根据“开立圆术”的方法计算该球的体积为( ) A.43π B.916 C.94 D.92 答案 D解析 根据公式d ＝13169V ⎛⎫⎪⎝⎭得，2＝13169V ⎛⎫⎪⎝⎭，解得V ＝92.故选D. 7．已知棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，球O 与该正方体的各个面相切，则平面ACB 1截此球所得的截面的面积为( ) A.8π3 B.5π3 C.4π3 D.2π3 答案 D解析 因为球与各面相切，所以直径为2，且AC ，AB 1，CB 1的中点在所求的切面圆上，所以所求截面为此三点构成的边长为2的正三角形的外接圆，由正弦定理知，R ＝63，所以截面的面积S ＝2π3，故选D. 8．已知向量n ＝(2， 0， 1)为平面α的法向量，点A (－1， 2， 1)在α内，则 P (1， 2，－2)到α的距离为( ) A.55 B. 5 C ．2 5 D.510答案 A解析 ∵P A →＝(－2， 0， 3)，∴点P 到平面α的距离为d ＝|P A ， →·n ||n |＝|－4＋3|5＝55.∴P (1， 2，－2)到α的距离为55. 故选A.9．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在A 1C 上运动(包括端点)，则BP 与AD 1所成角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π4，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π2 C.⎣⎡⎦⎤π6，π2 D.⎣⎡⎦⎤π6，π3 答案 D解析 以点D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，设点P 坐标为()x ，1－x ，x (0≤x ≤1)，则BP →＝()x －1，－x ，x ， BC 1→＝()－1，0，1，设BP →，BC 1→的夹角为α， 所以cos α＝BP ， →·BC 1→||BP →||BC 1→＝1()x －12＋2x 2×2＝13⎝⎛⎭⎫x －132＋23·2，所以当x ＝13时，cosα取得最大值32，α＝π6.当x ＝1时， cos α取得最小值12，α＝π3. 因为BC 1∥AD 1.故选D.10．(2019·淄博期中)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝4，AB ＝27，CC 1＝25，E ，F 分别为AC ，CC 1的中点，则直线EF 与平面AA 1B 1B 所成的角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 答案 A 解析连接AC 1，则EF ∥AC 1，直线EF 与平面AA 1B 1B 所成的角，就是直线EF 与平面AA 1B 1B 所成的角，AC 1与平面AA 1B 1B 所成的角；作C 1D ⊥A 1B 1于D ，连接AD ，因为直三棱柱ABC－A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝4，所以底面是等腰三角形，则C 1D ⊥平面AA 1B 1B ，可知∠C 1AD 就是直线EF 与平面AA 1B 1B 所成的角，CA ＝CB ＝4，AB ＝27，CC 1＝25，可得C 1D ＝42－(7)2＝3，AD ＝(7)2＋(25)2＝33，所以tan ∠C 1AD ＝C 1D AD ＝33，所以∠C 1AD ＝30°.故选A.11．(2019·陕西汉中中学月考)点A ，B ，C ，D ，E 是半径为5的球面上五点，A ，B ，C ，D 四点组成边长为42的正方形，则四棱锥E －ABCD 体积的最大值为( ) A.2563 B ．256 C.643 D ．64 答案 A解析 正方形ABCD 对角线长为(42)2＋(42)2＝8.则球心到正方形中心的距离d ＝52－42＝3.则E 到正方形ABCD 的最大距离为h ＝d ＋5＝8.则V E －ABCD ＝13×42×42×8＝2563.故选A. 12．(2019·四省联考诊断)如图所示，四边形ABCD 为边长为2的菱形，∠B ＝60°，点E ，F 分别在边BC ，AB 上运动(不含端点)，且EF ∥AC ，沿EF 把平面BEF 折起，使平面BEF ⊥底面ECDAF ，当五棱锥B －ECDAF 的体积最大时，EF 的长为( )A ．1 B.263 C. 3 D. 2答案 B解析 由EF ∥AC 可知△BEF 为等边三角形，设EF ＝x ，等边△BEF 的高为32x ，面积为34x 2，所以五边形ECDAF 的面积为2×34×22－34x 2＝23－34x 2，故五棱锥的体积为13×⎝⎛⎭⎫23－34x 2×32x ＝x －18x 3(0<x <2)．令f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －18x 3′＝1－38x 2＝0，解得x ＝263，且当0<x <263时，f (x )单调递增，当263<x <2时，f (x )单调递减，故在x ＝263时取得极大值也即最大值．故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设m ，n 为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ②若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β； ③若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α； ④若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β. 其中正确的命题序号是________． 答案 ②④解析 对于①，若m ∥α，m ∥β，则α与β可能相交，故①错误；对于②，若m ⊥α，m ∥β，根据线面垂直和线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理得到α⊥β，故②正确；对于③，若m ∥α，m ∥n ，则n 可能在α内，故③错误，对于④，若m ⊥α，α∥β，则根据线面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理得到m ⊥β，故④正确．故答案为②④.14．如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，已知D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥A －FED 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2的值为________．答案124解析 设三棱柱的高为h ，∵F 是AA 1的中点，则三棱锥F －ADE 的高为h2，∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴S △ADE ＝14S △ABC ，∵V 1＝13S △ADE ·h2，V 2＝S △ABC ·h ，∴V 1V 2＝16S △ADE ·h S △ABC ·h ＝124. 15.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB ＝AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB 1A 1的面积为________．答案2解析 由题意知，球心在正方形的中心上，球的半径为1，则正方形的边长为 2.∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱，∴平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，∴BC 为截面圆的直径，∴∠BAC ＝90°.∵AB ＝AC ，∴AB ＝1， ∴侧面ABB 1A 1的面积为2×1＝ 2.16．(2019·陕西四校联考)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为32π3，则该三棱柱体积的最大值为____________．答案 4 2解析 设三棱柱底面直角三角形的直角边为a ，b ，则棱柱的高h ＝a 2＋b 2，设外接球的半径为r ，则43πr 3＝32π3，解得r ＝2，∵上、下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，∴2h ＝2r ＝4.∴h ＝22，∴a 2＋b 2＝h 2＝8≥2ab ，∴ab ≤4.当且仅当a ＝b ＝2时“＝”成立． ∴三棱柱的体积V ＝Sh ＝12abh ＝2ab ≤4 2.三、解答题(本大题共70分)17.(10分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，PC ⊥底面ABCD ， 点E 为侧棱PB 的中点．求证：(1)PD ∥平面ACE ； (2)平面P AC ⊥平面PBD .证明(1) 连接OE.因为O为正方形ABCD对角线的交点，所以O为BD的中点．因为E为PB的中点，所以PD∥OE.又因为OE⊂平面ACE，PD⊄平面ACE，所以PD∥平面ACE.(2) 在四棱锥P－ABCD中，因为PC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以BD⊥PC.因为O为正方形ABCD对角线的交点，所以BD⊥AC.又PC，AC⊂平面P AC，PC∩AC＝C，所以BD⊥平面P AC.因为BD⊂平面PBD，所以平面P AC⊥平面PBD.18．(12分)(2019·广州执信中学测试)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥DC，△P AD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5.(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面P AD；(2)求四棱锥P －ABCD 的体积．(1)证明 在△ABD 中，由于AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45， 所以AD 2＋BD 2＝AB 2.故AD ⊥BD . 又平面P AD ⊥平面ABCD ， 平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥平面P AD ， 又BD ⊂平面MBD ， 故平面MBD ⊥平面P AD .(2)解 如图，过P 作PO ⊥AD 交AD 于O ，由于平面P AD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD .因此PO 为四棱锥P －ABCD 的高，又△P AD 是边长为4的等边三角形． 因此PO ＝32×4＝2 3. 在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ，所以四边形ABCD 是梯形，在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855，此即为梯形ABCD 的高，所以四边形ABCD 的面积为S ＝25＋452×855＝24.故V P －ABCD ＝13×24×23＝16 3.19．(12分)(2019·化州模拟)如图所示，在四棱锥E －ABCD 中，ED ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝12CD ＝2.(1)求证：BC ⊥BE ；(2)当几何体ABCE 的体积等于43时，求四棱锥E －ABCD 的侧面积．(1)证明 连接BD ，取CD 的中点F ，连接BF ，则直角梯形ABCD 中，BF ⊥CD ，BF ＝CF ＝DF ，∴∠CBD ＝90°，即BC ⊥BD . ∵DE ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥DE ， 又BD ∩DE ＝D ，∴BC ⊥平面BDE . 由BE ⊂平面BDE 得，BC ⊥BE .(2)解 ∵V ABCE ＝V E －ABC ＝13×DE ×S △ABC＝13×DE ×12×AB ×AD ＝23DE ＝43， ∴DE ＝2， ∴EA ＝DE 2＋AD 2＝22，BE ＝DE 2＋BD 2＝23，又AB ＝2，∴BE 2＝AB 2＋AE 2， ∴AB ⊥AE ，∴四棱锥E －ABCD 的侧面积为12×DE ×AD ＋12×AE ×AB ＋12×BC ×BE ＋12×DE ×CD ＝6＋22＋2 6. 20．(12分)(2019·青岛调研)如图，在长方形ABCD 中，AB ＝π，AD ＝2，E ，F 为线段AB 的三等分点，G ，H 为线段DC 的三等分点．将长方形ABCD 卷成以AD 为母线的圆柱W 的半个侧面，AB ，CD 分别为圆柱W 上、下底面的直径．(1)证明：平面ADHF ⊥平面BCHF ；(2)求二面角A －BH －D 的余弦值．(1)证明 因为H 在下底面圆周上，且CD 为下底面半圆的直径，所以DH ⊥CH ，又因为DH ⊥FH ，且CH ∩FH ＝H ，所以DH ⊥平面BCHF .又因为DH ⊂平面ADHF ，所以平面 ADHF ⊥平面BCHF .(2)解 以H 为坐标原点，分别以HD ，HC ，HF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 设下底面半径为r ，由题意得πr ＝π，所以r ＝1，CD ＝2.因为G ，H 为DC 的三等分点，所以∠HDC ＝30°，所以在Rt △DHC 中，HD ＝3，HC ＝1，所以A (3，0， 2)，B (0， 1， 2)，D (3，0， 0)，设平面ABH 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，因为n ·HA →＝(x ，y ，z )·(3，0， 2)＝0，n ·HB →＝(x ，y ，z )·(0， 1， 2)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0，所以平面ABH 的法向量n ＝(－2，－23，3)．设平面BHD 的法向量m ＝(x ，y ，z )．因为m ·HD →＝(x ，y ，z )·(3，0， 0)＝0，m ·HB →＝(x ，y ，z )·(0， 1， 2)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＋2z ＝0， 所以平面BHD 的法向量m ＝(0，－2， 1)，由图形可知，二面角A —BH —D 的平面角为锐角，设为θ，所以二面角A －BH －D 的余弦值为cos θ＝|m ·n ||m ||n |＝28519. 21．(12分)(2019·成都七中诊断)如图，在多面体ABCDE 中，AC 和BD 交于一点，除EC 以外的其余各棱长均为2.(1)作平面CDE 与平面ABE 的交线l ，并写出作法及理由；(2)求证：平面BDE ⊥平面ACE ；(3)若多面体的体积为2，求直线DE 与平面BCE 所成角的正弦值．(1)解 过点E 作AB (或CD )的平行线，即为所求直线l .∵AC 和BD 交于一点，∴A ，B ，C ，D 四点共面．又∵四边形ABCD 边长均相等，∴四边形ABCD 为菱形，从而AB ∥DC .又AB ⊄平面CDE ，且CD ⊂平面CDE ，∴AB ∥平面CDE .∵AB ⊂平面ABE ，且平面ABE ∩平面CDE ＝l ，∴AB ∥l .(2)证明 取AE 的中点O ，连接OB ，OD .∵AB ＝BE ，DA ＝DE ，∴OB ⊥AE ，OD ⊥AE .又OB ∩OD ＝O ，∴AE ⊥平面OBD ，∵BD ⊂平面OBD ，故AE ⊥BD .又四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD .又AE ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面ACE .又BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ACE .(3)解 由V E －ABCD ＝2V E －ABD ＝2V D －ABE ＝2，即V D －ABE ＝1.设三棱锥D －ABE 的高为h ，则13⎝⎛⎭⎫12·2·3·h ＝1， 解得h ＝ 3.又∵DO ＝ 3.∴DO ⊥平面ABE .以点O 为坐标原点，OB ，OE ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1， 0)，B (3，0， 0)，D (0， 0，3)，E (0， 1， 0)．∴BC →＝AD →＝(0， 1，3)，BE →＝(－3，1， 0)．设平面BCE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋3z ＝0，3x －y ＝0得，平面BCE的一个法向量为n＝(1，3，－1)．又DE→＝(0，1，－3)，于是cos〈DE→，n〉＝235·2＝155.故直线DE与平面BCE所成角的正弦值为155.22．(12分)如图，△ABC的外接圆⊙O的半径为5，CD⊥⊙O所在的平面，BE∥CD，CD ＝4，BC＝2，且BE＝1，tan∠AEB＝2 5.(1)求证：平面ADC⊥平面BCDE；(2)试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为27？若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由．(1)证明∵CD⊥平面ABC，BE∥CD，∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AB.∵BE＝1，tan∠AEB＝25，∴AE＝21，从而AB＝AE2－BE2＝2 5.∵⊙O的半径为5，∴AB是直径，∴AC⊥BC，又∵CD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CD⊥BC，故BC⊥平面ACD.∵BC⊂平面BCDE，∴平面ADC⊥平面BCDE.(2)解方法一假设点M存在，过点M作MN⊥CD于N，连接AN，作MF⊥CB于F，连接AF.∵平面ADC⊥平面BCDE，平面ADC∩平面BCDE＝DC，MN⊂平面BCDE，∴MN⊥平面ACD，∴∠MAN 为MA 与平面ACD 所成的角．设MN ＝x ，计算易得，DN ＝32x ，MF ＝4－32x ， 故AM ＝AF 2＋MF 2＝AC 2＋CF 2＋MF 2 ＝ 16＋x 2＋⎝⎛⎭⎫4－32x 2， sin ∠MAN ＝MN AM ＝x 16＋x 2＋⎝⎛⎭⎫4－32x 2＝27， 解得x ＝－83(舍去)，x ＝43， 故MN ＝23CB ，从而满足条件的点M 存在，且DM ＝23DE . 方法二 以点C 为坐标原点，CA ，CB ，CD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A (4， 0， 0)，B (0， 2， 0)，D (0， 0， 4)，E (0， 2， 1)，C (0， 0， 0)， 则DE →＝(0， 2，－3)．易知平面ACD 的法向量为BC →＝(0，－2， 0)，假设M 点存在，设M (a ，b ，c )，则DM →＝(a ，b ，c －4)，再设DM →＝λDE →，λ∈(0， 1] ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝2λ，c －4＝－3λ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝2λ，c ＝4－3λ，即M (0， 2λ，4－3λ)，从而AM →＝(－4， 2λ，4－3λ)．设直线AM 与平面ACD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AM →，BC →〉|＝|2λ×(－2)|216＋4λ2＋(4－3λ)2＝27， 解得λ＝－43或λ＝23，其中λ＝－43应舍去，而λ＝23∈(0， 1]，故满足条件的点M 存在，且点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，43，2.。
2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练：第二章 阶段自测卷(一)
阶段自测卷(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2019·太原期中)函数y ＝ln x ＋1－x 的定义域是( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1] 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1－x ≥0，解得0＜x ≤1，所以函数f (x )的定义域为(0,1]．故选C.2．(2019·凉山诊断)下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)上递减的函数是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |C ．y ＝tan xD ．y ＝x －3答案 D解析 由于y ＝cos x 是偶函数，故A 不是正确选项．由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |是偶函数，故B 不是正确选项．由于y ＝tan x 在(0,1)上为增函数，故C 不是正确选项．D 选项中y ＝x －3既是奇函数，又在(0,1)上递减，符合题意．故选D.3．(2019·晋江四校期中)设函数y ＝log 3x 与y ＝3－x 的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 答案 C解析 因为方程log 3x ＝－x ＋3的解，就是m (x )＝log 3x ＋x －3的零点， 因为m (x )＝log 3x ＋x －3单调递增且连续，m (x )＝log 3x ＋x －3在(1,2)上满足m (1)m (2)>0， m (x )＝log 3x ＋x －3在(2,3)上满足m (2)m (3)<0，所以m (x )＝log 3x ＋x －3的零点在(2,3)内， 可得方程log 3x ＋x －3＝0的解所在的区间是(2,3)， 即则x 0所在的区间是(2,3)，故选C.4．(2019·福建闽侯五校期中联考)若a ＝π82，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝1πlog b ，c ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫sin π3，则( )A ．b >c >aB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >a >c答案 B解析 a ＝π82＞20＝1，∵0<1π<1，1πlog b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b>0，∴0<b <1，c ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫sin π3＝log 232＜log 21＝0, ∴a >b >c . 故选B.5．(2019·山师大附中模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a (x <1)，ln x (x ≥1) 的值域为R ，则实数a的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 答案 C解析 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a (x <1)ln x (x ≥1)，的值域为R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，(1－2a )＋3a ≥0，解得－1≤a <12，故选C.6．函数y ＝2xln|x |的图象大致为( )答案 B解析 采用排除法，函数定义域为{x |x ≠0且x ≠±1}，排除A ；当x >1时，ln|x |>0，y ＝2xln|x |>0，排除D ； 当x <－1时，ln|x |>0，y ＝2xln|x |<0，排除C ，故选B.7．(2019·山师大附中模拟)函数f (x )是R 上的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上单调递减，则函数f(x)在[3,5]上是( )A．增函数B．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数答案 D解析已知f(x＋1)＝－f(x)，则函数周期T＝2，因为函数f(x)是R上的偶函数，在[－1,0]上单调递减，所以函数f(x)在[0,1]上单调递增，即函数在[3,5]上是先减后增的函数．故选D.8．(2019·新乡模拟)设函数f(x)＝e－x－e x－5x，则不等式f(x2)＋f(－x－6)<0的解集为( )A．(－3,2) B．(－∞，－3)∪(2，＋∞)C．(－2,3) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)答案 D解析由f(x)＝e－x－e x－5x，得f(－x)＝e x－e－x＋5x＝－f(x)，则f(x)是奇函数，故f(x2)＋f(－x－6)<0⇔f(x2)<－f(－x－6)＝f(x＋6)．又f(x)是减函数，所以f(x2)<f(x＋6)⇔x2>x＋6，解得x<－2或x>3，故不等式f(x2)＋f(－x－6)<0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，故选D.9．(2019·广东六校模拟)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)等于( )A．－2 018 B．2 C．0 D．50答案 C解析f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，可得f(－x)＝－f(x)，f(1－x)＝f(1＋x)即有f(x＋2)＝f(－x)，即f(x＋2)＝－f(x)，进而得到f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，f(x)为周期为4的函数，若f(1)＝2，可得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，f(2)＝f(0)＝0，f(4)＝f(0)＝0，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，可得f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝504×0＋2＋0－2＝0.故选C.10．(2019·衡水中学摸底)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－e x，x ≤0，ln x ，x >0(e 为自然对数的底数)，若关于x 的方程f (x )＋a ＝0有两个不相等的实根，则a 的取值范围是( ) A ．a >－1 B ．－1＜a ＜1 C ．0＜a ≤1 D ．a ＜1答案 C解析 画出函数f (x )的图象如图所示，若关于x 的方程f (x )＋a ＝0有两个不相等的实根，则函数f (x )与直线y ＝－a 有两个不同交点，由图可知－1≤－a <0，所以0<a ≤1.故选C.11．(2019·新疆昌吉教育共同体月考)若关于x 的不等式1＋a cos x ≥23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x 在R 上恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．－13 B.13 C.23 D ．1答案 B解析 1＋a cos x ≥23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝23cos 2x ＝23(2cos 2x －1)，令cos x ＝t ∈[－1,1]，并代入不等式，则问题转化为不等式4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1,1]上恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋3a －5≤0，4－3a －5≤0，所以－13≤a ≤13.所以实数a 的最大值为13.12．(2019·沈阳东北育才学校模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ≤0，|log 4x |，x >0，若关于x 的方程f (x )＝a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则x 3(x 1＋x 2)＋1x 23x 4的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－1，72B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，72C ．(－1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，72 答案 A解析 画出函数f (x )的图象如图所示，根据对称性可知，x 1和x 2关于x ＝－1对称，故x 1＋x 2＝－2.由于|log 4x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 41x ，故1x 3＝x 4，x 3·x 4＝1.令log 41x ＝1，解得x ＝14，所以x 3∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1.x 3(x 1＋x 2)＋1x 23x 4＝－2x 3＋1x 3，由于函数y ＝－2x ＋1x 在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1上为减函数，故－2x 3＋1x 3∈⎝⎛⎦⎥⎤－1，72，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．函数f (x )＝ln x －2的定义域为________． 答案 [e 2，＋∞)解析 ∵函数f (x )＝ln x －2，∴ln x －2≥0， 即ln x ≥ln e 2，∴x ≥e 2，∴函数f (x )＝ln x －2的定义域为[e 2，＋∞)．14．(2019·浏阳六校联考)f (x )是定义在R 上的周期为3的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＋f (6)＝________.答案 －2解析 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＋3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－124＝－2， 又f (6)＝f (0)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＋f (6)＝－2. 15．(2019·青岛调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x ＋1)，x >0，3－x，x ≤0，f (m )>1，则m 的取值范围是____________．答案 (－∞，0)∪(2，＋∞)解析 若f (m )＞1，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，log 3(1＋m )>log 33或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤0，3－m>1，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m ＋1>3或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤0，－m >0，解得m ＞2或m ＜0.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3a ，x <0，log a (x ＋1)＋1，x ≥0(a >0且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34解析 画出函数y ＝|f (x )|的图象如图，由函数y ＝f (x )是单调递减函数可知，0＋3a ≥log a (0＋1)＋1，即a ≥13，由log a (x 0＋1)＋1＝0得，x 0＝1a －1≤2，所以当x ≥0时，y ＝2－x 与y＝|f (x )|图象有且仅且一个交点．所以当2≥3a ，即13≤a ≤23时，函数y ＝|f (x )|与函数y ＝2－x 图象恰有两个不同的交点，即方程|f (x )|＝2－x 恰好有两个不相等的实数解，结合图象可知当直线y ＝2－x 与函数y ＝x 2＋3a 相切时，得x 2＋x ＋3a －2＝0. 由Δ＝1－4(3a －2)＝0，解得a ＝34，此时也满足题意．综上，所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.三、解答题(本大题共70分)17．(10分)(2019·酒泉敦煌中学诊断)求下列函数的解析式： (1)已知2f (x －1)－f (1－x )＝2x 2－1，求二次函数f (x )的解析式； (2)已知f (x －1)＝x ，求f (x )的解析式． 解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f (x －1)＝a (x －1)2＋b (x －1)＋c ，f (1－x )＝a (1－x )2＋b (1－x )＋c ，所以2f (x －1)－f (1－x )＝2ax 2－4ax ＋2a ＋2bx －2b ＋2c －(ax 2－2ax ＋a ＋b －bx ＋c ) ＝ax 2－(2a －3b )x ＋a －3b ＋c ＝2x 2－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，2a －3b ＝0，a －3b ＋c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝43，c ＝1，所以f (x )＝2x 2＋43x ＋1.(2)令t ＝x －1，t ≥－1，则x ＝(t ＋1)2， ∴f (t )＝(t ＋1)2(t ≥－1)．∴f (x )的解析式为f (x )＝(x ＋1)2，x ≥－1.18．(12分)(2019·廊坊省级示范高中联考)已知函数f (x )＝log 3(ax 2－x ＋3)． (1)若函数f (x )的定义域为R ，求a 的取值范围；(2)已知集合M ＝[1,3]，方程f (x )＝2的解集为N ，若M ∩N ≠∅，求a 的取值范围． 解 (1)因为函数的定义域为R ，所以ax 2－x ＋3>0恒成立， 当a ＝0时，－x ＋3>0不恒成立，不符合题意；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－12a <0，解得a >112.综上所述a >112.(2)由题意可知，ax 2－x ＋3＝9在[1,3]上有解． 即a ＝6x 2＋1x在[1,3]上有解，设t ＝1x ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1，则a ＝6t 2＋t ，因为y ＝6t 2＋t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上单调递增，所以y ∈[1,7]．所以a ∈[1,7]．19．(12分)函数f (x )对任意的a ，b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x ＞0时，f (x )>1 .(1)判断函数f (x )是否为奇函数； (2)证明：f (x )在R 上是增函数； (3)解不等式f (3m 2－m －2)＜1.(1)解 当a ＝b ＝0时，解得f (0)＝1，显然函数不可能是奇函数． (2)证明 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)－1，∵x 2－x 1>0, ∴f (x 2－x 1)>1，∴f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x )在R 上是增函数． (3)∵f (0)＝1，∴f (3m 2－m －2)<1＝f (0)，又f (x )在R 上递增，所以3m 2－m －2<0， 解得－23<m <1，∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1. 20．(12分)已知定义在R 上的函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ＋1. (1)求函数f (x )在R 上的解析式；(2)若方程m ＝f (x )有4个根x 1，x 2，x 3，x 4，求m 的取值范围及x 1＋x 2＋x 3＋x 4的值． 解 (1)设x <0⇒－x >0⇒f (－x )＝(－x )2－4(－x )＋1＝x 2＋4x ＋1， 由函数f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x )＝x 2＋4x ＋1，综上f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋1，x ≥0，x 2＋4x ＋1，x <0或f (x )＝x 2－4|x |＋1.(2)作出函数f (x )的图象如图所示，由图可知，当－3<m <1时，方程m ＝f (x )有4个根． 令x 1<x 2<x 3<x 4，由x 1＋x 22＝－2，x 3＋x 42＝2，得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 4＝4， 则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝0.21．(12分)(2019·荆州质检)为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为5万元，每年生产x 万件，需另投入流动成本为C (x )万元，且C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋4x ，0<x <8，11x ＋49x －35，x ≥8，每件产品售价为10元．经市场分析，生产的产品当年能全部售完．(1)写出年利润P (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式； (注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 解 (1)因为每件产品售价为10元，则x 万件产品销售收入为10x 万元， 依题意得，当0<x <8时，P (x )＝10x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋4x －5 ＝－12x 2＋6x －5，当x ≥8时，P (x )＝10x －⎝ ⎛⎭⎪⎫11x ＋49x －35－5＝30－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋49x ，所以P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋6x －5，0<x <8，30－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋49x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，P (x )＝－12(x －6)2＋13，当x ＝6时，P (x )取得最大值P (6)＝13， 当x ≥8时，P ′(x )＝－1＋49x 2<0，所以P (x )为减函数，当x ＝8时，P (x )取得最大值P (8)＝1278，因为13<1278，故当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为1278万元． 22．(12分)(2019·佛山禅城区调研)已知f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在(－1,1)上的解析式；(2)若g (x )是周期为2的函数，且x ∈(－1,1)时g (x )＝f (x )，求x ∈(2n ，2n ＋1)，n ∈N 时函数g (x )的解析式．解 (1)当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1), 因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x1＋4x .因为f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，所以f (0)＝0， 故当x ∈(－1,1)时，f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈(0，1)，0，x ＝0，－2x 1＋4x，x ∈(－1，0).(2)设x∈(2n，2n＋1)，则x－2n∈(0,1) ，g(x－2n)＝2x－2n4x－2n＋1.因为g(x)周期为2，n∈N，所以2n也是周期，g(x－2n)＝g(x)，所以x∈(2n,2n＋1)时，g(x)＝2x－2n4x－2n＋1.。
2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练第九章第2讲 两直线的位置关系 Word版含解析
第讲两直线的位置关系一、选择题.直线＋＋＝和＋＋＝的位置关系是( ).平行 .垂直.相交但不垂直 .不能确定解析直线＋＋＝的斜率＝－，直线＋＋＝的斜率为＝－，则≠，且≠－.故选.答案.(·刑台模拟)“＝－”是“直线＋＋＝和直线＋(－)＋＝平行”的( ).充分不必要条件 .必要不充分条件.充要条件 .既不充分也不必要条件解析依题意得，直线＋＋＝和直线＋(－)＋＝平行的充要条件是解得＝－，因此选.答案.过两直线：－＋＝和：＋＋＝的交点和原点的直线方程为( )－＝＋＝－＝＋＝解析法一由得则所求直线方程为：＝＝－，即＋＝.法二设直线方程为－＋＋λ(＋＋)＝，即(＋λ)－(－λ)＋＋λ＝，又直线过点(，)，所以(＋λ)·－(－λ)·＋＋λ＝，解得λ＝－，故所求直线方程为＋＝.答案.直线－＋＝关于直线＝对称的直线方程是( )＋－＝＋－＝＋＋＝＋－＝解析设所求直线上任一点(，)，则它关于直线＝的对称点(－，)在直线－＋＝上，即－－＋＝，化简得＋－＝.答案.(·安庆模拟)若直线：＋＋＝(＞)与直线：＋－＝的距离为，则＝( )解析直线：＋＋＝(＞)，即＋＋＝，因为它与直线：＋－＝的距离为，所以＝，求得＝，故选.答案.(·石家庄模拟)已知倾斜角为α的直线与直线＋－＝垂直，则π)－α))的值为( ).－ .－解析依题设，直线的斜率＝，∴α＝，且α∈[，π)，则α＝，α＝，则)π－α))＝＝α＝αα＝.答案.(·成都调研)已知直线过点(－，)且倾斜角为°，直线过点(，)且与直线垂直，则直线与直线的交点坐标为( ).(，) .(，).(，)解析直线的斜率为＝°＝，因为直线与直线垂直，所以＝－＝－，所以直线的方程为＝(＋)，直线的方程为＝－(－).两式联立，解得即直线与直线的交点坐标为(，).故选.答案.从点(，)射出的光线沿与向量＝(，)平行的直线射到轴上，则反射光线所在的直线方程为( )＋－＝＋－＝＋－＝＋－＝解析由直线与向量＝(，)平行知：过点(，)的直线的斜率＝，所以直线的方程为－＝(－)，其与轴的交点坐标为(，)，又点(，)关于轴的对称点为(－，)，所以反射光线过点(－，)与(，)，由两点式知正确.答案二、填空题.若三条直线＝，＋＝，＋＋＝相交于同一点，则的值为.解析由得∴点(，)满足方程＋＋＝，即×＋×＋＝，∴＝－.。
2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用课件：第二章 2.3 函数的奇偶性与周期性
解析 因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0， 若函数f(x)为R上的减函数，则满足当x>0时，函数为减函数，且－1－a≤0，
此时－－a2＝2a≤0，
－1－a≤0，
a≤0，
即
即－1≤a≤0.
a≥－1，
命题点3 利用函数的性质解不等式
例4 (1)(2018·聊城模拟)已知函数f(x)＝|x|(10x－10－x)，则不等式f(1－2x)＋
B.减函数且f(x)<0
C.增函数且f(x)>0
√D.增函数且f(x)<0
(2)(2018·烟台模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝－1，f(3)
命题点1 求函数值或函数解析式
例2 (1)设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，
f(x)＝
ax＋b，－2≤x<0，
则f(2
021)＝_－__12__.
ax－1，0<x≤2，
e－x－1－x，x≤0，
(2)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则f(x)＝__e_x_－_1_＋_x_，__x_>_0______.
则 f(2 020)＝_－__2_－___3_.
解析 由 f(x＋2)＝ 1 ，得 f(x＋4)＝ 1 ＝f(x)，
－fx
－fx＋2
所以函数 f(x)的周期为 4，所以 f(2 020)＝f(4).因为 f(2＋2)＝ 1 ， －f2
所以 f(4)＝－f12＝－2－1
＝－2－ 3
3.
故 f(2 020)＝－2－ 3.
123456
6.偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝__3__. 解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1). 又f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(1)＝f(3). ∴f(－1)＝3.
2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练：第二章 阶段强化练(二) Word版含解析
阶段强化练(二)一、选择题1．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln x D ．y ＝x 2＋1答案 A解析 y ＝cos x 是偶函数且有无数多个零点，y ＝sin x 为奇函数，y ＝ln x 既不是奇函数也不是偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点．故选A. 2．方程log 3x ＋2x ＝6的解所在区间是( ) A ．(1,2) B ．(3,4) C ．(2,3) D ．(5,6) 答案 C解析 令f (x )＝log 3x ＋2x －6， 则函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 且函数在(0，＋∞)上连续，因为f (2)<0，f (3)>0，故有f (2)·f (3)<0，所以函数f (x )＝log 3x ＋2x －6的零点所在的区间为(2,3)， 即方程log 3x ＋2x ＝6的解所在区间是(2,3)．故选C. 3．(2018·咸阳模拟)函数f ()x ＝2x －1x 零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 在同一平面直角坐标系下，作出函数y ＝2x 和y ＝1x的图象，如图所示．函数f (x )＝2x －1x 的零点个数等价于方程2x ＝1x 的根的个数，等价于函数y ＝2x 和y ＝1x 的交点个数．由图可知，有一个交点，所以有一个零点．故选B.4．若函数f (x )＝x 2＋mx ＋1有两个不同零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 C解析 依题意，知Δ＝m 2－4＞0，∴m ＞2或m ＜－2.5．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点有( ) A ．多于4个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 答案 B解析 因为偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，故函数的周期为2.当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，故当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x .函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点的个数等于函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象，如图所示．显然函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象有4个交点，故选B.6．(2019·山西大学附中诊断)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x >0，2x ＋1，x ≤0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 D解析 对于求函数f (x )＝ln x －x 2＋2x 的零点个数，可以转化为方程ln x ＝x 2－2x 的根的个数问题，分别画出y ＝ln x ，y ＝x 2－2x 的图象如图．由图象可得两个函数有两个交点．又方程2x ＋1＝0的根为x ＝－12<0，个数是1.故函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x >0，2x ＋1，x ≤0的零点个数为3.故选D.7．(2019·珠海摸底)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ≤1，ln (x －1)，x >1，若函数g (x )＝f (x )－x ＋a 只有一个零点，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞， 0]∪{2} B ．[0, ＋∞)∪{－2} C ．(－∞， 0] D ．[0, ＋∞)答案 A解析 因为g (x )＝f (x )－x ＋a 只有一个零点， 所以y ＝f (x )与y ＝x －a 只有一个交点， 作出函数y ＝f (x )与y ＝x －a 的图象，y ＝x －a 与y ＝e x －1(x ≤1)只有一个交点，则－a ≥0，即a ≤0，y ＝ln(x －1)，x >1与y ＝x －a 只有一个交点， 则它们相切，因为y ′＝1x －1，令1x －1＝1，则x ＝2， 故切点为(2,0)，所以0＝2－a ，即a ＝2， 综上所述，a 的取值范围为(－∞ , 0]∪{2}． 故选A.8．(2019·淄博期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a(a >0)，若存在实数b 使函数g (x )＝f (x )－b有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(1,2 019) D ．[1，＋∞)答案 B解析 由题设有f (x )为(－∞，a ]上的增函数， 也是(a ，＋∞)上的增函数，当a 3>a 2时，f (x )不是R 上的增函数，故必定存在b ，使得直线y ＝b 与f (x )的图象有两个交点，即g (x )＝f (x )－b 有两个零点，此时a >1.故选B.9．已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[0,2]时，f (x )＝(x －1)2，如果g (x )＝f (x )－log 5|x －1|，则方程g (x )＝0的所有根之和为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 D解析 在平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )及y ＝log 5|x －1|的图象，结合函数的图象可以看出函数共有8个零点，且关于x ＝1对称，故所有零点的和为2×4＝8，故选D.10．(2019·长春质检)已知函数f (x )＝x －1x －2与g (x )＝1－sin πx ，则函数 F (x )＝f (x )－g (x )在区间[－2,6]上所有零点的和为( ) A ．4 B ．8 C ．12 D ．16 答案 D解析 F (x )＝f (x )－g (x )在区间[－2,6]上所有零点的和，等价于函数g (x )，f (x )的图象交点横坐标的和，画出函数g (x )，f (x )在区间[－2,6]上的图象，函数g (x )，f (x )的图象关于点(2,1)对称，则F (x )＝0在区间[－2,6]上共有8个零点，其和为16.故选D.11．(2019·河北衡水中学模拟)对于函数y ＝f (x )，若存在x 0，使f (x 0)＋f (－x 0)＝0，则称点(x 0，f (x 0))是曲线f (x )的“优美点”．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，－x ＋2，x ≥0，则曲线f (x )的“优美点”的个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．6 答案 B解析 曲线f (x )的“优美点”个数，就是x <0的函数f (x )关于原点对称的函数图象， 与y ＝2－x (x ≥0)的图象的交点个数， 由当x <0时，f (x )＝x 2＋2x ，得关于原点对称的函数y ＝－x 2＋2x ，x >0， 联立y ＝－x ＋2和y ＝－x 2＋2x ，解得x ＝1或x ＝2， 则存在点(1,1)和(2,0)为“优美点”， 曲线f (x )的“优美点”个数为2，故选B.12．(2019·惠州调研)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x 2，0≤x <2，2－x e x ，x ≥2，若函数F (x )＝f (x )－m 有 6 个零点，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－1e 3，14 B.⎝⎛⎭⎫－1e 3，0∪⎝⎛⎭⎫0，14 C.⎝⎛⎦⎤－1e 3，0 D.⎝⎛⎭⎫－1e 3，0 答案 C解析 函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 函数F (x )＝f (x )－m 有六个零点，则当x ≥0时，函数F (x )＝f (x )－m 有三个零点， 令F (x )＝f (x )－m ＝0， 即m ＝f (x )，①当0≤x ＜2时，f (x )＝x －x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14， 当x ＝12时有最大值，即为f ⎝⎛⎭⎫12＝14， 且f (x )＞2－4＝－2，故f (x )在[0,2)上的值域为⎝⎛⎦⎤－2，14. ②当x ≥2时，f (x )＝2－xex ≤0，且当x →＋∞时，f (x )→0， ∵f ′(x )＝x －3ex ，令f ′(x )＝x －3e x ＝0，解得x ＝3，当2≤x ＜3时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ≥3时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增， ∴f (x )min ＝f (3)＝－1e3，故f (x )在[2，＋∞)上的值域为⎣⎡⎦⎤－1e 3，0， ∵－1e3＞－2，∴当－1e 3＜m ≤0，x ≥0时，函数F (x )＝f (x )－m 有三个零点，故当－1e 3＜m ≤0时，函数F (x )＝f (x )－m 有六个零点，故选C. 二、填空题13．(2019·西安一中月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤0，x 2－3x ＋1，x >0，则f (x )零点的个数是________．答案 3解析 令2x －1＝0，解得x ＝0， 令x 2－3x ＋1＝0，解得x ＝3±52，所以函数零点的个数为3.14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln (x －1)|，x >1，2x －1＋1，x ≤1，若函数g (x )＝f (x )－a 有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______________． 答案 (1,2]解析 函数g (x )＝f (x )－a 有三个不同的零点等价于y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有三个不同交点，作出函数y ＝f (x )的图象：由图易得a ∈(1,2]．15．(2019·山东胶州一中模拟)已知函数f (x )满足f (1－x )＝f (x ＋1)＝f (x －1)(x ∈R )，且当0≤x ≤1时f (x )＝2x －1，则方程|cos πx |－f (x )＝0在[－1,3]上的所有根之和为________． 答案 11解析 由题意知，函数满足f (1－x )＝f (x ＋1)，可得函数f (x )的图象关于x ＝1对称，又f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )是以2为周期的周期函数，方程|cos πx |－f (x )＝0在[－1,3]上的零点个数，即函数y ＝|cos πx |和y ＝f (x )在[－1,3]上图象的交点的个数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1， 在同一坐标系内，作出两个函数在[－1,3]的图象的草图，如图所示， 结合图象可知，两个函数共有11个交点，即方程|cos πx |－f (x )＝0在[－1,3]上有11个根，所有根的和为2×5＋1＝11.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2mx －1，0≤x ≤1，mx ＋2，x >1，若f (x )在区间[0，＋∞)上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－12，0 解析 当0≤x ≤1时，2x 2＋2mx －1＝0， 易知x ＝0不是方程2x 2＋2mx －1＝0的解， 故m ＝12x －x .又g (x )＝12x －x 在(0,1]上是减函数，故m ≥12－1＝－12.即m ≥－12时，方程f (x )＝0在[0,1]上有且只有一个解，当x >1时，令mx ＋2＝0得，m ＝－2x ，故－2<m <0，即当－2<m <0时，方程f (x )＝0在(1，＋∞)上有且只有一个解， 综上所述，若f (x )在区间[0，＋∞)上有且只有2个零点， 则实数m 的取值范围是－12≤m <0.三、解答题17．(2019·湖南岳阳一中质检)已知f (x )＝|2x －3|＋ax －6(a 是常数，a ∈R )． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)如果函数y ＝f (x )恰有两个不同的零点，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －3|＋x －6＝⎩⎨⎧3x －9，x ≥32，－3－x ，x <32，则原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥32，3x －9≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x <32，－3－x ≥0，解得x ≥3或x ≤－3，则原不等式的解集为{x |x ≥3或x ≤－3}． (2)由f (x )＝0，得|2x －3|＝－ax ＋6，令y ＝|2x －3|，y ＝－ax ＋6，作出它们的图象(图略)，可以知道，当－2<a <2时，这两个函数的图象有两个不同的交点， 所以函数y ＝f (x )恰有两个不同的零点时， a 的取值范围是(－2,2)．18．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，x ＋2，x ≤0，若存在实数x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，使f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)．(1)画出函数f (x )的图象； (2)求x 1f (x 2)的取值范围．解 (1)由函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，x ＋2，x ≤0，可得函数f (x )的图象如图所示．(2)由存在实数x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3， 设f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝m ，m ∈(0,2]， 且x 1∈(－2,0]，x 2∈(0,1)，则f (x 1)＝m ，即x 1＋2＝m ，解得x 1＝m －2， 所以x 1f (x 2)＝(m －2)×m ＝m 2－2m ＝(m －1)2－1， m ∈(0,2]，当m ＝1时，x 1f (x 2)取得最小值－1， 当m ＝2时，x 1f (x 2)取得最大值0， 所以x 1f (x 2)的取值范围是[－1,0]．。
2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用讲义：第二章 2.7 函数的图象 Word版含解析
§2.7 函数的图象最新考纲 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．2．图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )y ＝－f (x )；――――――→关于x 轴对称②y ＝f (x )y ＝f (－x )；――――――→关于y 轴对称 ③y ＝f (x )y ＝－f (－x )；―――――→关于原点对称 ④y ＝a x (a >0且a ≠1)y ＝log a x (a >0且a ≠1)．――――――→关于y ＝x 对称(3)伸缩变换①y ＝f (x )y ＝f (ax )．―――――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a 倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a 倍，纵坐标不变②y ＝f (x )y ＝af (x )．――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变(4)翻折变换①y ＝f (x )y ＝|f (x )|.――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去②y ＝f (x )y ＝f (|x |)．―――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其 关于y 轴对称的图象概念方法微思考1．函数f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，你能得到f (x )解析式满足什么条件？提示 f (a ＋x )＝f (a －x )或f (x )＝f (2a －x )．2．若函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象关于点(a ，b )对称，求f (x )，g (x )的关系．提示 g (x )＝2b －f (2a －x)题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝f (1－x )的图象，可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到．( × )(2)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( × )(3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．( × )(4)函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称．( × )题组二 教材改编2．[P35例5(3)]函数f (x )＝x ＋的图象关于( )1x A ．y 轴对称 B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称答案 C解析 函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，故选C.3．[P32T2]小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是．(填序号)答案 ③解析 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除①.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除④.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除②.故③正确．4．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是．答案 (－1,1]解析 在同一坐标系内作出y＝f(x)和y＝log2(x＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1,1]．题组三 易错自纠5．下列图象是函数y ＝Error!的图象的是( )答案 C6．把函数f (x )＝ln x 的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是________________．答案 y ＝ln (12x)解析 根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为y ＝ln .(12x )7．(2018·太原调研)若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是__________．答案 (0，＋∞)解析 在同一个坐标系中画出函数y ＝|x |与y ＝a －x 的图象，如图所示．由图象知，当a >0时，方程|x |＝a －x 只有一个解．题型一 作函数的图象分别画出下列函数的图象：(1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1－1；(3)y ＝x 2－|x |－2；(4)y ＝.2x －1x －1解 (1)首先作出y ＝lg x 的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象，再把所得图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即得所求函数y ＝|lg(x －1)|的图象，如图①所示(实线部分)．(2)将y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得到y ＝2x ＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y ＝2x ＋1－1的图象，如图②所示．(3)y ＝x 2－|x |－2＝Error!其图象如图③所示．(4)∵y ＝2＋，故函数的图象可由y ＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得1x －11x 到，如图④所示．思维升华 图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋的函数．1x(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．题型二 函数图象的辨识例1 (1)函数y ＝的图象大致是( )x 2ln|x ||x |答案 D解析 从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数，x ≠0，且当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝1＋ln x ，可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．由此可知应选D.(0，1e )(1e，＋∞)(2)设函数f (x )＝2x ，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝－|f (x )|C ．y ＝－f (－|x |)D ．y ＝f (－|x |)答案 C解析 题图中是函数y ＝－2－|x |的图象，即函数y ＝－f (－|x |)的图象，故选C.思维升华 函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．跟踪训练1 (1)函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝x在同一直角坐标系下的图象大致是( )(12)答案 B解析 因为函数g (x )＝x为减函数，且其图象必过点(0,1)，故排除A ，D.因为f (x )＝1＋log 2x (12)的图象是由y ＝log 2x 的图象上移1个单位得到的，所以f (x )为增函数，且图象必过点(1,1)，故可排除C ，故选B.(2)函数y ＝的部分图象大致为( )1ln|e x －e －x |答案 D解析 令f (x )＝，则f (－x )＝＝＝f (x )，∴f (x )是偶函数，图象关1ln|e x －e －x |1ln|e －x －e x |1ln|e x －e －x |于y 轴对称，排除B ，C.当x >1时，y ＝＝，显然y >0且函数单调递减，1ln|e x －e －x |1ln (e x －e －x )故D 正确．题型三 函数图象的应用命题点1 研究函数的性质例2 (1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，单调递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)答案 C解析 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值，得f (x )＝Error!画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．(2)设f (x )＝|lg(x －1)|，若0<a <b 且f (a )＝f (b )，则ab 的取值范围是________．答案 (4，＋∞)解析 画出函数f (x )＝|lg(x －1)|的图象如图所示．由f (a )＝f (b )可得－lg(a －1)＝lg(b －1)，解得ab ＝a ＋b >2(由于a <b ，故取不到等号)，所以ab ab >4.命题点2 解不等式例3 函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式<0f (x )cos x 的解集为．答案 ∪(－π2，－1)(1，π2)解析 当x ∈时，y ＝cos x >0.(0，π2)当x ∈时，y ＝cos x <0.(π2，4)结合y ＝f (x )，x ∈[0,4]上的图象知，当1<x <时，<0.又函数y ＝为偶函数，π2f (x )cos x f (x )cos x 所以在[－4,0]上，<0的解集为，f (x )cos x(－π2，－1)所以<0的解集为∪.f (x )cos x (－π2，－1)(1，π2)命题点3 求参数的取值范围例4 (1)已知函数f (x )＝Error!若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．答案 (0,1]解析 作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示，由图可知k ∈(0,1]．(2)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是 ．答案 (12，1)解析 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围12为.(12，1)思维升华 (1)注意函数图象特征与性质的对应关系．(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．跟踪训练2 (1)(2018·昆明检测)已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值答案 C解析 画出y ＝|f (x )|＝|2x －1|与y ＝g (x )＝1－x 2的图象，它们交于A ，B 两点．由“规定”，在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，|f (x )|<g (x )，故h (x )＝－g (x )．综上可知，y ＝h (x )的图象是图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无最大值．(2)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是．答案 [－1，＋∞)解析 如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．高考中的函数图象及应用问题高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别，函数图象的变换及函数图象的应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决．熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提．一、函数的图象和解析式问题例1 (1)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA 运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )答案 B解析 当x ∈时，f (x )＝tan x ＋，图象不会是直线段，从而排除A ，C ；[0，π4]4＋tan 2x 当x ∈时，f ＝f ＝1＋，[π4，3π4](π4)(3π4)5f ＝2.∵2<1＋，(π2)225∴f<f ＝f ，从而排除D ，故选B.(π2)(π4)(3π4)(2)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |x B ．f (x )＝e xx C ．f (x )＝－11x 2D ．f (x )＝x －1x 答案 A解析 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C.若函数为f (x )＝x －，则x →＋∞时，1x f (x )→＋∞，排除D ，故选A.(3)(2018·全国Ⅱ)函数f (x )＝的图象大致为( )e x －e －xx 2答案 B解析 ∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴f (x )＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．e x －e －xx 2当x ＝1时，f (1)＝＝e －>0，排除D 选项．e －e －111e 又e>2，∴<，∴e －>，排除C 选项．1e 121e 32故选B.二、函数图象的变换问题例2 已知定义在区间[0,4]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )答案 D解析 方法一 先作出函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图象，得到y ＝f (－x )的图象；然后将y ＝f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝f (2－x )的图象；再作y ＝f (2－x )的图象关于x 轴的对称图象，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.方法二 先作出函数y ＝f (x )的图象关于原点的对称图象，得到y ＝－f (－x )的图象；然后将y ＝－f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.方法三 当x ＝0时，y ＝－f (2－0)＝－f (2)＝－4.故选D.三、函数图象的应用例3 (1)已知函数f (x )＝Error!其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是 ．答案 (3，＋∞)解析 在同一坐标系中，作y ＝f (x )与y ＝b 的图象．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，所以要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.(2)不等式3sin －x <0的整数解的个数为．(π2x )12log 答案 2解析 不等式3sin －x <0，即3sin <x .设f (x )＝3sin ，g (x )＝x ，在(π2x )12log (π2x )12log (π2x )12log 同一坐标系中分别作出函数f (x )与g (x )的图象，由图象可知，当x 为整数3或7时，有f (x )<g (x )，所以不等式3sin －x <0的整数解的个数为2.(π2x )12log(3)已知函数f (x )＝Error!若实数a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是 ．答案 (2,2 021)解析 函数f (x )＝Error!的图象如图所示，不妨令a <b <c ，由正弦曲线的对称性可知a ＋b ＝1，而1<c <2 020，所以2<a ＋b ＋c <2 021.1．(2018·浙江)函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( )答案 D解析 由y ＝2|x |sin 2x 知函数的定义域为R ，令f (x )＝2|x |sin 2x ，则f (－x )＝2|－x |sin(－2x )＝－2|x |sin 2x .∵f (x )＝－f (－x )，∴f (x )为奇函数．∴f (x )的图象关于原点对称，故排除A ，B.令f (x )＝2|x |sin 2x ＝0，解得x ＝(k ∈Z )，k π2∴当k ＝1时，x ＝，故排除C.π2故选D.2.如图，不规则四边形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 交AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分的面积为y ，则y 关于x 的图象大致是( )答案 C解析 当l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D 点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C 点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.3．已知函数f (x )＝log a x (0<a <1)，则函数y ＝f (|x |＋1)的图象大致为( )答案 A解析 先作出函数f (x )＝log a x (0<a <1)的图象，当x >0时，y ＝f (|x |＋1)＝f (x ＋1)，其图象由函数f (x )的图象向左平移1个单位得到，又函数y ＝f (|x |＋1)为偶函数，所以再将函数y ＝f (x ＋1)(x >0)的图象关于y 轴对称翻折到y 轴左边，得到x <0时的图象，故选A.4.若函数f (x )＝Error! 的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－B ．－1254C ．－1 D ．－2答案 C解析 由图象可得－a ＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，得a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝Error!故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.5．函数f (x )的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝e x ＋1 B ．f (x )＝e x －1C ．f (x )＝e －x ＋1D ．f (x )＝e －x －1答案 D解析 与y＝e x的图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)的图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象．∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到．∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.6．(2018·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝Error!若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则实数a的取值范围为( )A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(0,1) D．(－∞，＋∞)答案 A解析 当x≤0时，f(x)＝2－x－1，当0<x≤1时，－1<x－1≤0，f(x)＝f(x－1)＝2－(x－1)－1.类推有f(x)＝f(x－1)＝22－x－1，x∈(1,2]，…，也就是说，x>0的部分是将x∈(－1,0]的部分周期性向右平移1个单位得到的，其部分图象如图所示．若方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，故a<1，即a的取值范围是(－∞，1)．7．设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为．答案 {x|x≤0或1<x≤2}解析 画出f(x)的大致图象如图所示．不等式(x－1)f(x)≤0可化为Error!或Error!由图可知符合条件的解集为{x|x≤0或1<x≤2}．8．设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x －a 的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则实数a ＝ .答案 －2解析 由函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x －a 的图象关于直线y ＝－x 对称，可得f (x )＝－a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，可得－a －log 22－a －log 24＝1，解得a ＝－2.9．已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个实数根，则k 的取值范围是 ．答案 (－13，0)解析 由题意作出f (x )在[－1,3]上的示意图如图所示，记y ＝k (x ＋1)＋1，∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)．记B (2,0)，由图象知，方程有四个实数根，即函数f (x )与y ＝kx ＋k ＋1的图象有四个交点，故k AB <k <0，k AB ＝＝－，∴－<k <0.0－12－(－1)131310．给定min{a ，b }＝Error!已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为 ．答案 (4,5)解析 作出函数f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．11．已知函数f (x )＝Error!的值域为[0,2]，则实数a 的取值范围是 ．答案 [1，]3解析 先作出函数f (x )＝log 2(1－x )＋1，－1≤x <0的图象，再研究f (x )＝x 3－3x ＋2,0≤x ≤a 的图象．令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝1(x ＝－1舍去)，由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1.又f (0)＝f ()＝2，f (1)＝0.所以1≤a ≤.3312．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当实数m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示．由图象可知，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个实数解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个实数解．(2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，t >0，因为H (t )＝2－在区间(0，＋∞)上是增函数，(t ＋12)14所以H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．。
2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用讲义：第二章 2.6 对数与对数函数 Word版含解析
.
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答案 6 解析 ∵函数 f(x)＝3x＋9x，
∴f(log32)＝ 3log3 2＋9log3 2＝2＋9log9 4 ＝2＋4＝6.
3．对数函数的图象与性质
y＝logax
a>1
图象
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0<a<1
定义域
(1)(0，＋∞)
值域
(2)R
(3)过定点(1,0)，即 x＝1 时，y＝0
性质
(4)当 x>1 时，y>0；当 0<x<1 时， (5)当 x>1 时，y<0；当 0<x<1
y<0
时，y>0
(6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)互为反函数，它们的图象关于 直线 y＝x 对称．
概念方法微思考
1．根据对数换底公式：①说出 logab，logba 的关系？
②化简
log a
m
bn
.
提示 ①logab·logba＝1；②
logam
bn
n ＝mlogab.
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题型一 对数的运算
11 1．设 2a＝5b＝m，且 ＋ ＝2，则 m 等于( )
ab
A. 10 B．10 C．20 D．100
答案 A
解析 由已知，得 a＝log2m，b＝log5m，
11 1
1
则a＋b＝log2m＋log5m＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用讲义：第三章 高考专题突破一 第2课时 Word版含解析
第 2 课时 导数与方程
题型一 求函数零点个数 1
例 1 设函数 f(x)＝ x2－mln x，g(x)＝x2－(m＋1)x， 2
当 m≥1 时，讨论 f(x)与 g(x)图象的交点个数．
解 令 F(x)＝f(x)－g(x)
1 ＝－ x2＋(m＋1)x－mln x，x>0，
2 问题等价于求函数 F(x)的零点个数．
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x2
1 ln x
跟踪训练 1 设函数 f(x)＝ － ，g(x)＝－ － ＋m，试讨论函数 f(x)与 g(x)在(0，＋∞)上
ex e
xx
的交点个数．
解 令 h(x)＝f(x)－g(x)
x 2 1 ln x ＝ － ＋ ＋ －m(x>0)，
ex e x x
e
e
e
2
2
若－ －m≥0，即 m≤－ ，函数 h(x)有一个零点，即函数 f(x)与 g(x)的图象在(0，＋∞)上有
e
e
2
2
1
一个交点，当－ －m<0，即－ <m<1－ 时，函数 h(x)有 2 个零点，即函数 f(x)与 g(x)的图象
e
e
e
在(0，＋∞)上有两个交点．
1 综上，当 m>1－ 时，f(x)与 g(x)在(0，＋∞)上没有交点；
( )1
1
又 g ＝m－2－ ，g(e)＝m＋2－e2，
e
e2
( ) ( ) 1
1
1
g(e)－g e ＝4－e2＋e2<0，则 g(e)<g e ，
[ ]1
所以 g(x)在 ，e 上的最小值是 g(e)． e
2020版新高考数学新增分大一轮(鲁京津琼)专用课件：第二章 阶段强化练(一)
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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17
18
8. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，且在 ( － ∞ ， 0) 上单调递减，若 a ＝
f(log25)，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系是
A.a<b<c C.b<a<c 解析
√
B.c<b<a D.c<a<b
A.是偶函数，且在R上是增函数 B.是奇函数，且在R上是增函数 √
C.是偶函数，且在R上是减函数
D.是奇函数，且在R上是减函数
1
2
3
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5
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18
2 x ＋1，x≥0 3.(2019· 平顶山联考)已知函数f(x)＝ 2－x，x<0，
则下列结论正确的是
A.f(x)是偶函数
C.f(x)的最小值是1 √
B.f(x)是增函数
D.f(x)的值域为(0，＋∞)
解析
故选C.
结合函数的图象(图略)可得，函数是非奇非偶函数，函数在定义域内没
有单调性，函数的最小值为1，函数的值域为[1，＋∞).
1
2
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4.已知函数f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2＋x.若不等式f(x)－x≤2logax(a>0 且a≠1)对∀x∈
2020版新高考数学新增分大一轮(鲁京津琼)专用课件：第二章 阶段强化练(二)
图象可以看出函数共有8个零点，且关于x＝1对称，故所有零点的和为2×4＝8，
1
2
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10.(2019· 长春质检)已知函数f(x)＝
x－1 x－2
与g(x)＝1－sin πx，则函数F(x)＝f(x)
－g(x)在区间[－2,6]上所有零点的和为 A.4 B.8 C.12 D.16 √ 解析 F(x)＝f(x)－g(x)在区间[－2,6]上所有零点的和，等价于函数g(x)，f(x)的
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1 x x 3.(2018· 咸阳模拟)函数 f ＝2 － 零点的个数为 x A.0 B.1 C.2
解析
1 在同一平面直角坐标系下，作出函数 y＝2 和 y＝x的
x
√
D.3
图象，如图所示.
5
6
7
8
9
10
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17
18
2 ln x － x ＋2x，x>0， 6.(2019· 山西大学附中诊断)函数f(x)＝ 的零点个数为 2x＋1，x≤0
A.0
B.1
C.2
D.3 √
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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x－1 e ，x≤1， 7.(2019· 珠海摸底)函数f(x)＝ 若函数g(x)＝f(x)－x＋a只有一个 lnx－1，x>1，
2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练：第三章 阶段自测卷(二)
2019年4月阶段自测卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2019·沈阳东北育才学校联考)已知曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线方程是y ＝－x ＋5，则f (5)与f ′(5)分别为( )A ．5，－1B ．－1,5C ．－1,0D ．0，－1 答案 D解+析 由题意可得f (5)＝－5＋5＝0，f ′(5)＝－1，故选D. 2．已知函数f (x )＝x sin x ＋ax ，且f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案 A解+析 ∵f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＋a ，且f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1， ∴sin π2＋π2cos π2＋a ＝1，即a ＝0.3．(2019·淄博期中)若曲线y ＝mx ＋ln x 在点(1，m )处的切线垂直于y 轴，则实数m 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 A解+析 f (x )的导数为f ′(x )＝m ＋1x ，曲线y ＝f (x )在点(1，m )处的切线斜率为k ＝m ＋1＝0，可得m ＝－1.故选A.4．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 020(x )等于( ) A ．－sin x －cos x B ．sin x －cos x C ．－sin x ＋cos x D ．sin x ＋cos x答案 B解+析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， ∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ＝f 1(x )，∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 020(x )＝f 4(x )＝sin x －cos x ，故选B.5．(2019·四川诊断)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x (其中e 为自然对数的底数)，则f ′(e)等于( )A ．1B ．－1C ．－eD ．－e －1答案 D解+析 已知f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ， 其导数f ′(x )＝2f ′(e)＋1x，令x ＝e ，可得f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，变形可得f ′(e)＝－1e ，故选D.6．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞) 答案 B解+析 由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y ′＝x －1x ≤0，解得0<x ≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．7．(2019·沈阳东北育才学校模拟)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝x 2＋m ，g (x )＝6ln x －4x ，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在公共点处的切线相同，则m 值等于( ) A ．5 B ．3 C ．－3 D ．－5 答案 D解+析 f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝6x －4，令2x ＝6x －4，解得x ＝1，这就是切点的横坐标，代入g (x )求得切点的纵坐标为－4，将(1，－4)代入f (x )得1＋m ＝－4，m ＝－5.故选D.8．(2019·新乡模拟)若函数f (x )＝a e x ＋sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，0上单调递增，则a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22π4e ，＋∞ B ．[－1,1] C ．[－1，＋∞) D ．[0，＋∞)答案 D解+析 依题意得，f ′(x )＝a e x ＋cos x ≥0， 即a ≥－cos xe x 对x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0恒成立， 设g (x )＝－cos xex ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0， g ′(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4ex，令g ′(x )＝0，则x ＝－π4，当x ∈⎣⎡⎭⎫－π2，－π4时，g ′(x )<0； 当x ∈⎝⎛⎦⎤－π4，0时，g ′(x )>0，故g (x )max ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫g ⎝⎛⎭⎫－π2，g (0)＝0，则a ≥0. 故选D.9.(2019·河北衡水中学调研)如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为( )A.2 000π9B.4 000π27 C ．81π D ．128π答案 B解+析 小圆柱的高分为上下两部分，上部分同大圆柱一样为5，下部分深入底部半球内设为h (0<h <5)，小圆柱的底面半径设为r (0<r <5)，由于r ，h 和球的半径5满足勾股定理，即r 2＋h 2＝52，所以小圆柱体积V ＝πr 2(h ＋5)＝π(25－h 2)(h ＋5)(0<h <5)，求导V ′＝－π(3h －5)·(h ＋5)，当0<h ≤53时，体积V 单调递增，当53<h <5时，体积V 单调递减．所以当h ＝53时，小圆柱体积取得最大值，V max ＝π⎝⎛⎭⎫25－259⎝⎛⎭⎫53＋5＝4 000π27，故选B. 10．(2019·凉山诊断)若对任意的0<x 1<x 2<a 都有x 2ln x 1－x 1ln x 2<x 1－x 2成立，则a 的最大值为( )A.12 B ．1 C ．e D ．2e 答案 B解+析 原不等式可转化为1＋ln x 1x 1<1＋ln x 2x 2，构造函数f (x )＝1＋ln x x ，f ′(x )＝－ln xx 2，故函数在(0,1)上导数大于零，单调递增，在(1，＋∞)上导数小于零，单调递减．由于x 1<x 2且f (x 1)<f (x 2)，故x 1，x 2在区间(0,1)上，故a 的最大值为1，故选B.11．(2019·洛阳、许昌质检)设函数y ＝f (x )，x ∈R 的导函数为f ′(x )，且f (x )＝f (－x ), f ′(x )<f (x )，则下列不等式成立的是(注：e 为自然对数的底数)( ) A ．f (0)<e －1f (1)<e 2f (2)B ．e －1f (1)<f (0)<e 2f (2)C ．e 2f (2)<e －1f (1)<f (0)D ．e 2f (2)<f (0)<e －1f (1)答案 B解+析 设g (x )＝e －x f (x )，∴g ′(x )＝－e －x f (x )＋e －x f ′(x )＝e －x (f ′(x )－f (x ))，∵f ′(x )<f (x )，∴g ′(x )<0，∴g (x )为减函数． ∵g (0)＝e 0f (0)＝ f (0)，g (1)＝e －1f (1),g (－2)＝e 2f (－2)＝e 2f (2)， 且g (－2)>g (0)>g (1)， ∴e －1f (1)< f (0)<e 2f (2)，故选B.12．(2019·廊坊省级示范高中联考)已知函数f (x )＝－13x 3－12x 2＋ax －b 的图象在x ＝0处的切线方程为2x －y －a ＝0，若关于x 的方程f (x 2)＝m 有四个不同的实数解，则m 的取值范围为( ) A.⎣⎡⎭⎫－323，－56 B.⎣⎡⎭⎫－2，－56 C.⎝⎛⎭⎫－323，－56 D.⎝⎛⎭⎫－2，－56 答案 D解+析 由函数f (x )＝－13x 3－12x 2＋ax －b ，可得f ′(x )＝－x 2－x ＋a ，则f (0)＝－b ＝－a ，f ′(0)＝a ＝2，则b ＝2 ， 即f (x )＝－13x 3－12x 2＋2x －2，f ′(x )＝－x 2－x ＋2＝－(x －1)(x ＋2)，所以函数f (x )在(－2,1)上单调递增，在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，又由关于x 的方程f (x 2)＝m 有四个不同的实数解，等价于函数f (x )的图象与直线y ＝m 在x ∈(0，＋∞)，上有两个交点，又f (0)＝－2，f (1)＝－56，所以－2<m <－56，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·陕西四校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋2x 2－4x ，则函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为________________． 答案 x －y －3＝0解+析 ∵f (x )＝ln x ＋2x 2－4x ，∴f ′(x )＝1x ＋4x －4，∴f ′(1)＝1，又f (1)＝－2，∴所求切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.14．已知函数f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R )，若函数f (x )存在三个单调区间，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－1e 2，0 解+析f ′(x )＝ln x ＋1x (x －a )＝ln x ＋1－ax，函数f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R )，若函数f (x )存在三个单调区间，则f ′(x )有两个变号零点， 即f ′(x )＝0有两个不等实根，即a ＝x (ln x ＋1)有两个不等实根，转化为y ＝a 与y ＝x (ln x ＋1)的图象有两个不同的交点．令g (x )＝x (ln x ＋1)， 则g ′(x )＝ln x ＋2，令ln x ＋2＝0，则x ＝1e 2，即g (x )＝x (ln x ＋1)在⎝⎛⎭⎫0，1e 2上单调递减， 在⎝⎛⎭⎫1e 2，＋∞上单调递增．[g (x )]min ＝－1e 2，当x →0时，g (x )→0，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，所以结合f (x )的图象(图略)可知a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1e 2，0. 15．(2019·山师大附中模拟)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，f (a －1)＋f (2a 2) ≤0，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－1，12 解+析 由函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，得f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥－2＋e x ＋1e x ≥－2＋2e x ·1ex＝0，当且仅当x ＝0时等号成立，可得f (x )在R 上递增，又f (－x )＋f (x )＝(－x )3＋2x ＋e －x －e x ＋x 3－2x ＋e x －1e x ＝0，可得f (x )为奇函数，则f (a －1)＋f (2a 2)≤0 ，即有f (2a 2)≤0－f (a －1)＝f (1－a )，即有2a 2≤1－a ，解得－1≤a ≤12.16．(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，且对任意的不相等的实数x 1，x 2∈[0，＋∞)有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，若关于x 的不等式f (2mx －ln x－3)≥ 2f (3)－f (－2mx ＋ln x ＋3)在x ∈[1,3]上恒成立，则实数m 的取值范围是______________． 答案 ⎣⎡⎦⎤12e，1＋ln 36 解+析 ∵函数f (x )满足f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数．又f (2mx －ln x －3)≥2f (3)－f (－2mx ＋ln x ＋3) ＝2f (3)－f (2mx －ln x －3)， ∴f (2mx －ln x －3)≥f (3)．由题意可得函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减． ∴|2mx －ln x －3|≤3对x ∈[1,3]恒成立， ∴－3≤2mx －ln x －3≤3对x ∈[1,3]恒成立， 即ln x2x ≤m ≤ln x ＋62x对x ∈[1,3]恒成立． 令g (x )＝ln x2x ，x ∈[1,3]，则g ′(x )＝1－ln x 2x 2，∴g (x )在[1，e ]上单调递增，在(e,3]上单调递减， ∴g (x )max ＝g (e)＝12e.令h (x )＝ln x ＋62x ，x ∈[1,3]，则h ′(x )＝－5－ln x2x 2<0，∴h (x )在[1,3]上单调递减， ∴h (x )min ＝h (3)＝6＋ln 36＝1＋ln 36. 综上可得实数m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12e ，1＋ln 36. 三、解答题(本大题共70分)17．(10分)(2019·辽宁重点高中联考)已知函数f (x )＝x 3＋mx 2－m 2x ＋1(m 为常数，且m >0)有极大值9. (1)求m 的值；(2)若斜率为－5的直线是曲线y ＝f (x )的切线，求此直线方程． 解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2mx －m 2＝(x ＋m )(3x －m )＝0， 令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝13m ，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：从而可知，当x ＝－m 时，函数f (x )取得极大值9， 即f (－m )＝－m 3＋m 3＋m 3＋1＝9，∴m ＝2. (2)由(1)知，f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋1， 依题意知f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝－5， ∴x ＝－1或x ＝－13，又f (－1)＝6，f ⎝⎛⎭⎫－13＝6827， 所以切线方程为y －6＝－5(x ＋1)或 y －6827＝－5⎝⎛⎭⎫x ＋13， 即5x ＋y －1＝0或135x ＋27y －23＝0.18．(12分)(2019·成都七中诊断)已知函数f (x )＝x sin x ＋2cos x ＋ax ＋2，其中a 为常数． (1)若曲线y ＝f (x )在x ＝π2处的切线斜率为－2，求该切线的方程；(2)求函数f (x )在x ∈[0，π]上的最小值． 解 (1)求导得f ′(x )＝x cos x －sin x ＋a ， 由f ′⎝⎛⎭⎫π2＝a －1＝－2，解得a ＝－1. 此时f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，所以该切线的方程为 y －2＝－2⎝⎛⎭⎫x －π2，即2x ＋y －2－π＝0. (2)对任意x ∈[0，π]，f ″(x )＝－x sin x ≤0， 所以f ′(x )在[0，π]内单调递减． 当a ≤0时，f ′(x )≤f ′(0)＝a ≤0，∴f (x )在区间[0，π]上单调递减，故f (x )min ＝f (π)＝a π. 当a ≥π时，f ′(x )≥f ′(π)＝a －π≥0，∴f (x )在区间[0，π]上单调递增，故f (x )min ＝f (0)＝4.当0<a <π时，因为f ′(0)＝a >0，f ′(π)＝a －π<0，且f ′(x )在区间[0，π]上单调递减，结合零点存在定理可知，存在唯一x 0∈(0，π)，使得f ′(x 0)＝0，且f (x )在[0，x 0]上单调递增，在[x 0，π]上单调递减．故f (x )的最小值等于f (0)＝4和f (π)＝a π中较小的一个值． ①当4π≤a <π时，f (0)≤f (π)，故f (x )的最小值为f (0)＝4.②当0<a <4π时，f (π)≤f (0)，故f (x )的最小值为f (π)＝a π.综上所述，函数f (x )的最小值f (x )min＝⎩⎨⎧4，a ≥4π，a π，a <4π.19．(12分)(2019·武汉示范高中联考)已知函数f (x )＝4ln x －mx 2＋1(m ∈R )． (1)若函数f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y －1＝0平行，求实数m 的值； (2)若对于任意x ∈[1，e ]，f (x )≤0恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)∵f (x )＝4ln x －mx 2＋1， ∴f ′(x )＝4x －2mx ，∴f ′(1)＝4－2m ，∵函数f (x )在(1，f (1))处的切线与直线2x －y －1＝0平行，∴f ′(1)＝4－2m ＝2， ∴m ＝1.(2)∵对于任意x ∈[1，e ]，f (x )≤0恒成立， ∴4ln x －mx 2＋1≤0，在x ∈[1，e ]上恒成立， 即对于任意x ∈[1，e ]，m ≥4ln x ＋1x 2恒成立， 令g (x )＝4ln x ＋1x 2，x ∈[1，e ]，g ′(x )＝2(1－4ln x )x 3，令g ′(x )>0，得1<x <14e ， 令g ′(x )<0，得14e <x <e ，当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化如下表：∴函数g (x )在区间[1，e ]上的最大值g (x )max ＝g (14e )＝141244ln e 1(e )+＝2e e ，∴m ≥2e e，即实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2e e ，＋∞.20．(12分)已知函数f (x )＝ln x －ax (ax ＋1)，其中a ∈R . (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在(0,1]内至少有1个零点，求实数a 的取值范围． 解 (1)依题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝1x －2a 2x －a ＝2a 2x 2＋ax －1－x＝(2ax －1)(ax ＋1)－x，当a ＝0时，f (x )＝ln x ，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a >0时，由f ′(x )>0，得0<x <12a ，由f ′(x )<0，得x >12a，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递减． 当a <0时，由f ′(x )>0，得0<x <－1a ，由f ′(x )<0，得x >－1a，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减. (2)①当a ＝0时，函数f (x )在(]0，1内有1个零点x 0＝1;②当a >0时，由(1)知函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递减． 若12a ≥1，即0<a ≤12时，f (x )在(0,1]上单调递增，由于当x →0时，f (x )→－∞且f (1)＝－a 2－a <0知，函数f (x )在(0,1]内无零点；若0<12a <1，即当a >12时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎦⎤12a ，1上单调递减，要使函数f (x )在(0,1]内至少有1个零点，只需满足f ⎝⎛⎭⎫12a ≥0，即ln 12a ≥34， 又∵a >12，∴ln 12a <0，∴不等式不成立．∴f (x )在(0,1]内无零点；③当a <0时，由(1)知函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减． 若－1a ≥1，即－1≤a <0时，f (x )在(0,1]上单调递增，由于当x →0时，f (x )→－∞，且f (1)＝－a 2－a >0，知函数f (x )在(0,1]内有1个零点；若0<－1a<1，即a <－1时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增，在⎝⎛⎦⎤－1a ，1上单调递减，由于当x →0时，f (x )→－∞，且当a <－1时，f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝ln ⎝⎛⎭⎫－1a <0，知函数f (x )在(0,1]内无零点． 综上可得a 的取值范围是[－1,0]．21．(12分)(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)在工业生产中，对一正三角形薄钢板(厚度不计)进行裁剪可以得到一种梯形钢板零件，现有一边长为3(单位：米)的正三角形钢板(如图)，沿平行于边BC 的直线DE 将△ADE 剪去，得到所需的梯形钢板BCED ，记这个梯形钢板的周长为x (单位：米)，面积为S (单位：平方米)．(1)求梯形BCED 的面积S 关于它的周长x 的函数关系式；(2)若在生产中，梯形BCED 的面积与周长之比⎝⎛⎭⎫即Sx 达到最大值时，零件才能符合使用要求，试确定这个梯形的周长x 为多少时，该零件才可以在生产中使用？ 解 (1)∵DE ∥BC ，△ABC 是正三角形，∴△ADE 是正三角形，AD ＝DE ＝AE ，BD ＝CE ＝3－AD ， 则DE ＋2(3－AD )＋3＝9－AD ＝x ， S ＝(3＋AD )·(3－AD )·sin 60°2＝3(12－x )(x －6)4(6<x <9)，化简得S ＝34(－x 2＋18x －72)(6<x <9)． 故梯形BCED 的面积S 关于它的周长x 的函数关系式为 S ＝34(－x 2＋18x －72)(6<x <9)． (2)∵由(1)得S ＝34(－x 2＋18x －72)(6<x <9)， 令f (x )＝S x ＝34⎝⎛⎭⎫－x －72x ＋18(6<x <9)， ∴f ′(x )＝34⎝⎛⎭⎫－1＋72x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝62或x ＝－62(舍去)， f (x )，f ′(x )随x 的变化如下表：∴当x ＝62时，函数f (x )＝S x有最大值， 为f (62)＝923－3 6. ∴当x ＝62米时，该零件才可以在生产中使用．22．(12分)(2019·衡水中学调研)已知函数f (x )＝k e x －x 2(其中k ∈R ，e 是自然对数的底数)．(1)若k ＝2，当x ∈(0，＋∞)时，试比较f (x )与2的大小；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，求k 的取值范围，并证明：0<f (x 1)<1.解 (1)当k ＝2时，f (x )＝2e x －x 2，则f ′(x )＝2e x －2x ，令h (x )＝2e x －2x ，h ′(x )＝2e x －2， 由于x ∈(0，＋∞)，故h ′(x )＝2e x －2>0，于是h (x )＝2e x －2x 在(0，＋∞)上为增函数， 所以h (x )＝2e x －2x >h (0)＝2>0，即f ′(x )＝2e x －2x >0在(0，＋∞)上恒成立，从而f (x )＝2e x －x 2在(0，＋∞)上为增函数，故f (x )＝2e x －x 2>f (0)＝2.(2)函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是f ′(x )＝k e x －2x ＝0的两个根，即方程k ＝2x ex 有两个根，设φ(x )＝2x e x ，则φ′(x )＝2－2x ex ， 当x <0时，φ′(x )>0，函数φ(x )单调递增且φ(x )<0；当0<x <1时，φ′(x )>0，函数φ(x )单调递增且φ(x )>0；当x >1时，φ′(x )<0，函数φ(x )单调递减且φ(x )>0.作出函数φ(x )的图象如图所示，要使方程k ＝2x e x 有两个根，只需0<k <φ(1)＝2e， 故实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，2e ，又可知函数f (x )的两个极值点x 1，x 2满足0<x 1<1<x 2， 由f ′(x 1)＝1e x k －2x 1＝0得k ＝112e x x ， 所以f (x 1)＝1e x k －x 21＝112ex x 1e x －x 21＝－x 21＋2x 1＝－(x1－1)2＋1，由于x1∈(0,1)，所以0<－(x1－1)2＋1<1，所以0<f(x1)<1.。
2020版新高考数学新增分大一轮(鲁京津琼)专用课件：第三章 高考专题突破一 第2课时
数的性质画出大致图象，充分利用导数工具和数形结合思想.
跟踪训练2 已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3(a为实数)，若方程g(x)
＝2f(x)在区间
1 ， e e
上有两个不等实根，求实数a的取值范围.
PART TWO
2
课时作业
基础保分练
1.已知函数 f(x)＝a＋ x· ln x(a∈R)，试求 f(x)的零点个数.
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
拓展冲刺练
5.已知函数f(x)＝(3－a)x－2ln x＋a－3在
1 0 ， 上无零点，求实数a的取值范围. 4
1
2
3
4
5
6
6.已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点.
(1)求a的取值范围；
1
2
3
4
5
6
(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<2.
在(1，＋∞)上单调递增.
1
2
3
4
5
6
(2)判断函数F(x)在(0，＋∞)上零点的个数.
1
2
3
4
5
6
1 3 1 2 3.已知函数 f(x)＝3x －2x －2x＋c 有三个零点，求实数 c 的取值范围.
1
2
3
4
5
6
技能提升练
4.已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点.求a的取值范围.
大一轮复习讲义
第三章 高考专题突破一
高考中的导数应用问题
2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练：第2讲 用样本估计总体 Word版含解析
第2讲用样本估计总体一、选择题1.(2015·重庆卷)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是()A.19B.20C.21.5D.23解析从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B.答案 B2.学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n位同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10，50](单位：元)内，其中支出在[30，50](单位：元)内的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n的值为()A.100B.120C.130D.390解析支出在[30，50]内的同学的频率为1－(0.01＋0.023)×10＝0.67，n＝67 0.67＝100.答案 A3.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.1 365石解析254粒和1 534石中夹谷的百分比含量是大致相同的，可据此估计这批米内夹谷的数量.设1 534石米内夹谷x石，则由题意知x1 534＝28 254，解得x≈169.故这批米内夹谷约为169石.答案 B4.(2016·全国Ⅲ卷)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为 5 ℃.下面叙述不正确的是()A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个解析对于选项A，由图易知各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；对于选项B，七月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；对于选项C，三月和十一月的平均最高气温均为10 ℃，所以C 正确；对于选项D，平均最高气温高于20 ℃的月份有七月、八月、共2个月份，故D错误.答案 D5.(2015·安徽卷)若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( )A.8B.15C.16D.32解析 已知样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为s ＝8，则s 2＝64，数据2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的方差为22s 2＝22×64，所以其标准差为22×64＝2×8＝16，故选C.答案 C二、填空题6.(2015·广东卷)已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数x ＝5，则样本数据2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n ＋1的平均数为________.解析 由条件知x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n＝5，则所求平均数 x 0＝2x 1＋1＋2x 2＋1＋…＋2x n ＋1n ＝2（x 1＋x 2＋…＋x n ）＋n n＝2x ＋1＝2×5＋1＝11.答案 117.某校女子篮球队7名运动员身高(单位：cm)分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175 cm ，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数字记为x ，那么x 的值为________.解析 170＋17×(1＋2＋x ＋4＋5＋10＋11)＝175，17×(33＋x )＝5，即33＋x ＝35，解得x ＝2.答案 28.为了了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.解析底部周长在[80，90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90，100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm的株数为(0.15＋0.25)×60＝24.答案24三、解答题9.某车间20名工人年龄数据如下表：(1)求这20名工人年龄的众数与极差；(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；(3)求这20名工人年龄的方差.解(1)这20名工人年龄的众数为30；这20名工人年龄的极差为40－19＝21.(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图如下：(3)这20名工人年龄的平均数为(19＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40)÷20＝30；所以这20名工人年龄的方差为120(30－19)2＋320(30－28)2＋320(30－29)2＋520(30－30)2＋420(30－31)2＋320(30－32)2＋120(30－40)2＝12.6.10.(2016·北京卷)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：(1)如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w ＝3时，估计该市居民该月的人均水费.解 (1)由用水量的频率分布直方图，知该市居民该月用水量在区间[0.5，1]，(1，1.5]，(1.5，2]，(2，2.5]，(2.5，3]内的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，w 至少定为3.(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表如下：4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元).11.如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是( )A.12.5，12.5B.13，13C.13.5，12.5D.13.5，13解析 第1组的频率为0.04×5＝0.2，第2组的频率为0.1×5＝0.5，则第3组的频率为1－0.2－0.5＝0.3，估计总体平均数为7.5×0.2＋12.5×0.5＋17.5×0.3＝13.由题意知，中位数在第2组内，设为10＋x ，则有0.1x ＝0.3，解得x ＝3，从而中位数是13.答案 B12.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( )A.1169B.367C.36D.677解析由题意知87＋94＋90＋91＋90＋90＋x＋917＝91，解得x＝4.所以s2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝17(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝36 7.答案 B13.(2015·湖北卷)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示.(1)直方图中的a＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________. 解析(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.(2)区间[0.3，0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5，0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.答案(1)3(2)6 00014.(2014·全国Ⅰ卷)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？解(1)样本数据的频率分布直方图如图所示：(2)质量指标值的样本平均数为x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104. (3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.。
2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练：第二章 阶段强化练(一) Word版含解析
阶段强化练(一)一、选择题1．(2019·四川诊断)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝cos xC ．y ＝－x 2D ．y ＝x 2答案 D解析 根据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝－1x ，为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意；对于C ，y ＝－x 2，为偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意；对于D ，y ＝x 2，为偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；故选D.2．已知函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x ，则f (x )( )A ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数答案 B解析 ∵函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝3－x －⎝⎛⎭⎫13－x ＝⎝⎛⎭⎫13x －3x ＝－f (x )，∴函数f (x )是奇函数．∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是减函数，∴函数y ＝－⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是增函数．又∵y ＝3x 在R 上是增函数，∴函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是增函数．故选B.3．(2019·平顶山联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥02－x ，x <0，则下列结论正确的是() A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )是增函数C ．f (x )的最小值是1D ．f (x )的值域为(0，＋∞)答案 C 解析 结合函数的图象(图略)可得，函数是非奇非偶函数，函数在定义域内没有单调性，函数的最小值为1，函数的值域为[1，＋∞)．故选C.4．已知函数f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝－x 2＋x .若不等式f (x )－x ≤2log a x (a >0且a ≠1)对∀x ∈⎝⎛⎦⎤0，22恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，14 B.⎣⎡⎭⎫14，1C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎦⎤14，12∪(1，＋∞) 答案 B解析 由已知得当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，故x 2≤2log a x 对∀x ∈⎝⎛⎦⎤0，22恒成立，即当x ∈⎝⎛⎦⎤0，22时，函数y ＝x 2的图象不在y ＝2log a x 图象的上方，由图(图略)知0<a <1且2log a 22≥12，解得14≤a <1.故选B. 5．(2019·安徽皖中名校联考)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，当0<x <1时，f (x )＝2x －1，则f (log 29)等于( )A ．－79B ．8C ．－10D ．－259答案 A解析 由f (x ＋2)＝－f (x )，可得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )的最小正周期为4. 又3<log 29<4，所以－1<log 29－4<0.又f (x )为奇函数，令－1<x <0，则0<－x <1，所以f (x )＝－f (－x )＝－[2－x －1]＝1－2－x .所以f (log 29－4)＝1－24log 92－＝1－24log 922＝1－169＝－79. 故f (log 29)＝－79. 6．(2019·云南曲靖一中质检)已知奇函数f (x )满足f (x )＝f (2－x )，若当x ∈(－1,1)时，f (x )＝log 2(1＋x 2＋x )，且f (2 018－a )＝1，则实数a 的值可以是( )A.34 B ．－34 C ．－54 D.45答案 A解析 ∵f (x )＝f (2－x )，f (－x )＝－f (x )，∴f (2－x )＝－f (－x )，即f (2＋x )＝－f (x )，∴f (4＋x )＝f (x )，∴函数f (x )的周期为4，∴f (2 018－a )＝f (2－a )＝f (a )，当－1<a <1时，由f (a )＝log 2(1＋a 2＋a )＝1， 可得1＋a 2＋a ＝2，解得a ＝34.故选A. 7．(2019·河北武邑中学调研)已知函数f (x )＝x 2－ln|x |x，则函数y ＝f (x )的大致图象为( )答案 A解析 由题意可知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵函数f (x )＝x 2－ln|x |x， ∴f (－x )＝x 2＋ln|x |x，即f (－x )≠±f (x )， ∴函数f (x )为非奇非偶函数，排除B 和C ，当x ＝－1e时，f ⎝⎛⎭⎫－1e ＝e －2－e<0，排除D ， 故选A.8．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，若 a ＝f (log 25)，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．c <a <b答案 B解析 由于函数为偶函数且在y 轴左侧单调递减，那么在y 轴右侧单调递增，由于0<20.8<21＝log 24<log 24.1<log 25，所以c <b <a .故选B.9．下列函数：①y ＝sin 3x ＋3sin x ；②y ＝1e x ＋1－12； ③y ＝lg 1－x 1＋x； ④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x －1，x >0， 其中是奇函数且在(0,1)上是减函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 易知①中函数在(0,1)上为增函数；④中函数不是奇函数；满足条件的函数为②③.10．(2019·辽宁部分重点高中联考)已知函数f (x )为定义在[－3，t －2]上的偶函数，且在[－3,0]上单调递减，则满足f (－x 2＋2x －3)<f ⎝⎛⎭⎫x 2＋t 5的x 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B ．(0,1]C ．(1，2]D ．[0，2]答案 C解析 因为函数f (x )为定义在[－3，t －2]上的偶函数，所以－3＋t －2＝0，t ＝5，所以函数f (x )为定义在[－3,3]上的偶函数，且在[－3,0]上单调递减，所以f (－x 2＋2x －3)<f ⎝⎛⎭⎫x 2＋t 5等价于 f (－x 2＋2x －3)<f (－x 2－1)，即0≥－x 2＋2x －3>－x 2－1≥－3,1<x ≤2，故选C.11．(2019·广东执信中学测试)若f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－3)＝0，且在(0，＋∞)上是增函数，则x ·[f (x )－f (－x )]<0的解集为( )A ．{x |－3<x <0 或x >3}B ．{x |x <－3 或0<x <3}C ．{x |x <－3 或x >3}D ．{x |－3<x <0或0<x <3}解析因为函数f(x)为奇函数，所以x·[f(x)－f(－x)] <0等价于2x·f(x)<0，由题设知f(x)在R上是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，所以f(3)＝0，且f(x)在(－∞，0)上是增函数，即f(x)在(－∞，－3)上小于零，在(－3,0)上大于零，在(0,3)上小于零，在(3，＋∞)上大于零，又x·[f(x)－f(－x)]<0，即x与f(x)的符号相反，由x>0可得x∈(0,3)；由x<0可得x∈(－3,0)，所以x·[f(x)－f(－x)]<0的解集是{x|－3<x<0或0<x<3}，故选D.12．(2019·惠州调研)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2－x)＝f(x), 若f(1)＝3，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)等于()A．－3 B．0 C．3 D．2 018答案 C解析∵f(x)为R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)且f(0)＝0，又由f(2－x)＝f(x)，∴f(x)＝－f(x－2)＝－[－f(x－4)]＝f(x－4)，∴f(x)是周期为4的函数，又f(1)＝3，f(2)＝f(2－2)＝f(0)＝0，∴f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－f(1)＝－3，f(4)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝f(1)＋f(2)＝3.故选C.13．(2019·四川诊断)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －2，x ≤0，f (x －2)＋1，x >0， 则f (2 019)＝________. 答案 1 010解析 当x >0时，f (x )＝f (x －2)＋1，则f (2 019)＝f (2 017)＋1＝f (2 015)＋2＝…＝f (1)＋1 009＝f (－1)＋1 010,而f (－1)＝0，故f (2 019)＝1 010.14．(2019·广东六校联考)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x －3，则f (x )的解析式为________________．答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －3，x >0，0，x ＝0，－x 2＋2x ＋3，x <0解析 令x ＜0，则－x ＞0，∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2＋2(－x )－3]＝－x 2＋2x ＋3，又当x ＝0时，f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －3，x >0，0，x ＝0，－x 2＋2x ＋3，x <0.15．(2019·青岛调研)已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝e x －1，则f (2 018)＋f (－2 019)＝________.答案 e －1解析 ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (－2 019)＝f (2 019)，f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )的周期为2，又x ∈[0,1]时，f (x )＝e x －1；∴f (2 018)＝f (0)＝0，f (－2 019)＝f (2 019)＝f (1)＝e －1.∴f (－2 019)＋f (2 018)＝e －1.16．(2019·云南曲靖一中质检)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x ∈[0，1)，3－x 2，x ∈[－1，0)，且f (x ＋2)＝f (x )，g (x )＝3x ＋7x ＋2，则方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为________． 答案 －7解析 ∵f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )的周期为2.又g (x )＝3x ＋7x ＋2＝3＋1x ＋2， ∴函数g (x )图象的对称中心为(－2,3)．在同一个坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图象，如图所示．由图象可得两函数的图象交于A ，B ，C 三点，且点A ，C 关于点(－2,3)对称，∴点A ，C 的横坐标之和为－4.又由图象可得点B 的横坐标为－3，∴方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为－4－3＝－7.三、解答题17．(2019·云南曲靖一中质检)已知函数f (x )＝10x ＋m ·10－x10x ＋10－x 为R 上的奇函数． (1)求m 的值；(2)求使不等式f (1－a )＋f (1－2a )>0成立的a 的取值范围．解 (1)由题意知f (x )为奇函数，∴f (0)＝1＋m 2＝0，即1＋m ＝0，m ＝－1. 经检验，m ＝－1符合题意．(2)由(1)知f (x )＝10x －10－x 10x ＋10－x ＝102x －1102x ＋1＝1－2102x ＋1， ∴函数f (x )在R 上为增函数．∵f (1－a )＋f (1－2a )>0，∴f (1－a )>－f (1－2a )，又f (x )为奇函数，∴f (1－a )>f (2a －1)，∴ 1－a >2a －1，解得a <23. ∴实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，23. 18．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋ f (y )＝f (x ＋y )，且x >0时，f (x )<0.(1)求证：f (x )在R 上是奇函数；(2)求证：f (x )在R 上是减函数；(3)若f (1)＝－23，求f (x )在区间[－3,3] 上的最大值和最小值． (1)证明 ∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，令x ＝y ＝0得f (0)＝0，令y ＝－x 得f (－x )＝－f (x )，∴f (x )在R 上是奇函数．(2)证明 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f(x1－x2)，∵x>0时，f(x)<0，∴f(x1－x2)<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上是减函数．(3)解∵f(x)是R上的减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)和f(3)，而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2，∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.。
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第2讲排列与组合
一、选择题
1.从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是()
A.9
B.10
C.18
D.20
解析由于lg a－lg b＝lg a
b(a＞0，b＞0)，
∴lg a
b 有多少个不同的值，只需看a
b
不同值的个数.
从1，3，5，7，9中任取两个作为a
b 有A25种，又1
3
与3
9
相同，3
1
与9
3
相同，∴lg a
－lg b的不同值的个数有A25－2＝18.
答案 C
2.(2016·四川卷)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()
A.24
B.48
C.60
D.72
解析由题意，可知个位可以从1，3，5中任选一个，有A13种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A44种方法，所以奇数的个数为A13A44＝3×4×3×2×1＝72，故选D.
答案 D
3.有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次.A，B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名.请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为() A.6 B.18 C.20 D.24
解析由题意知，名次排列的种数为C13A33＝18.
答案 B
4.10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为()
A.C27A55
B.C27A22
C.C27A25
D.C27A35
解析首先从后排的7人中抽2人，有C27种方法；再把2个人在5个位置中选2个位置进行排列有A25种.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是C27A25. 答案 C
5.某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()
A.36种
B.42种
C.48种
D.54种
解析分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A44种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C13种排法，其他3个节目有A33种排法，故有C13A33种排法.依分类加法计数原理，知共有A44＋C13A33＝42种编排方案.
答案 B
6.(2016·东北三省四市联考)甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则有多少种坐法()
A.10
B.16
C.20
D.24
解析一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座.∵要求每人左右均有空座，∴在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A25＝20种坐法.
答案 C
7.(2017·本溪模拟)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()
A.72
B.120
C.144
D.168
解析法一先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“□小品1歌
舞1小品中2□相声□”，有A22C13A23＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个人，其形式为“□小品1□相声□小品2□”.有A22A34＝48种安排方法，故共有36＋36＋48＝120种安排方法.
法二先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有A33·A34＝144(种)，再剔除小品类节目相邻的情况，共有A33·A22·A22＝24(种)，于是符合题意的排法共有144－24＝120(种).
答案 B
8.(2017·青岛模拟)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()
A.18种
B.24种
C.36种
D.72种
解析一个路口有3人的分配方法有C13C22A33(种)；两个路口各有2人的分配方法有C23C22A33(种).
∴由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为C13C22A33＋C23C22A33＝36(种).
答案 C
二、填空题
9.7位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐降低，共有________种排法(用数字作答).
解析先排最中间位置有一种排法，再排左边3个位置，由于顺序一定，共有C36种排法，再排剩下右边三个位置，共一种排法，所以排法种数为C36＝20(种). 答案20
10.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种(用数字作答).
解析把g、o、o、d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A24种排法；第二步：排两个o，共一种排法，所以总的排法种数为A24＝12(种).其中正确的有一种，所以错误的共A24－1＝12－1＝11(种).
答案11
11.(2016·呼和浩特二模)从5台甲型和4台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有________种(用数字作答). 解析甲型2台乙型1台或甲型1台乙型2台，故共有C25C14＋C15C24＝70种方法.
答案70
12.(2017·淮北一模)寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有________种(用数字作答).
解析设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有：BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA 共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相等座位的坐法有9×5＝45种坐法. 答案45
13.甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有()
A.12种
B.24种
C.48种
D.120种
解析甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有A44A22种排法，甲乙相邻且在两端有C12A33A22种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的排法有A44A22－C12A33A22＝24(种).
答案 B
14.设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|x i∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为() A.60 B.90
C.120
D.130
解析因为x i∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5，且1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3，
所以x i中至少两个为0，至多四个为0.
①x i(i＝1，2，3，4，5)中4个0，1个为－1或1，A有2C15个元素；
②x i中3个0，2个为－1或1，A有C25×2×2＝40个元素；
③x i中2个0，3个为－1或1，A有C35×2×2×2＝80个元素；
从而，集合A中共有2C15＋40＋80＝130个元素.
答案 D
15.(2017·黄冈模拟)在某班进行的演进比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为________(用数字作答).
解析若第一个出场是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有C12C13A33＝36种；若第一个出场的是女生(不是女生甲)，则剩余的2个女生排列好，2个男生插空，方法有C12A22A23＝24种.故所有出场顺序的排法种数为36＋24＝60.
答案60
16.(1)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？
(2)已知集合A＝{5}，B＝{1，2}，C＝{1，3，4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，那么最多可确定多少个不同的点？
解(1)法一每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学
校的方法种数就是要求的分配方法种数.
分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；
若分配到2所学校有C27×2＝42(种)；
若分配到3所学校有C37＝35(种).
∴共有7＋42＋35＝84(种)方法.
法二10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C69＝84种不同方法.
所以名额分配的方法共有84种.
(2)①从集合B中取元素2时，确定C13A33个点.
②当从集合B中取元素1，且从C中取元素1，则确定的不同点有C13×1＝C13.
③当从B中取元素1，且从C中取出元素3或4，则确定的不同点有C12A33个. ∴由分类加法计数原理，共确定C13A33＋C13＋C12A33＝33(个)不同点.。