2013届高考数学闯关特训专项检测
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训《4-7解三角形应用举例》试题 新人教A版 2
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训《4-7解三角形应用举例》试题 新人教A 版1.已知两座灯塔A 、B 与C 的距离都是a ，灯塔A 在C 的北偏东20°，灯塔B 在C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a B.3a C.2a D ．2a[答案] B[解析] 由余弦定理可知，AB 2＝a 2＋a 2－2a ·a ·cos120°＝3a 2，得AB ＝3a ，故选B.2．为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼顶D 处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，那么塔AB 的高度是( )A ．20⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋33m B ．20⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32m C ．20(1＋3)m D ．30m[答案] A[解析] 如图所示，四边形CBMD 为正方形，而CB ＝20m ，所以BM ＝20m. 又在Rt △AMD 中，DM ＝20m ，∠ADM ＝30°，∴AM ＝DM tan30°＝2033(m)，∴AB ＝AM ＋MB ＝2033＋20＝20⎝⎛⎭⎪⎫1＋33m.3．(2012·东北三校模拟)一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mile 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南60°西，另一灯塔在船的南75°西，则这艘船的速度是每小时( )A ．5n mileB ．53n mileC ．10n mileD ．103n mile[答案] C[解析] 如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在Rt △ABC 中，求得AB ＝5，∴这艘船的速度是50.5＝10(n mile/h)．4．一艘海轮从A 处出发，以每小时40n mile 的速度沿东偏南50°方向直线航行，30min后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B 、C 两点间的距离是( )A ．102n mileB ．103n mileC ．202n mileD ．203n mile[答案] A[解析] 如图，由条件可知△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°，AB ＝20，∠ACB ＝45°，由正弦定理得BC sin30°＝20sin45°，∴BC ＝102，故选A.5.(2012·厦门质检)如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝( )A.32B ．2－ 3 C.3－1 D.22[答案] C[解析] 在△ABC 中，由正弦定理可知，BC ＝AB ·sin∠BAC sin ∠ACB ＝100s in15°－＝50(6－2)，在△BCD 中，sin ∠BDC ＝BC ·sin∠CBDCD＝6－250＝3－1.由题图知，cos θ＝sin ∠ADE ＝sin ∠BDC ＝3－1.6.如图，海岸线上有相距5n mile 的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°方向，与A 相距32n mile 的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5n mile 的C 处，则两艘轮船之间的距离为( )A ．5n mileB ．23n mile C.13n mile D ．32n mile[答案] C[解析] 连接AC ，∠ABC ＝60°，BC ＝AB ＝5，则AC ＝5.在△ACD 中，AD ＝32，AC ＝5，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD ＝13.7．在地面上一点D 测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100m ，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为________m ．( )A ．237B ．227C ．247D ．257 [答案] A [解析]如图，∠D ＝45°，∠ACB ＝60°，DC ＝100，∠DAC ＝15°， ∵AC ＝DC ·sin45°sin15°，∴AB ＝AC ·sin60° ＝100·sin45°·sin60°sin15°＝100×22×326－24≈237.∴选A.8．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.[答案] 30 2[解析] 如图，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在三角形AMB 中，由正弦定理得60sin45°＝BM sin30°，解得BM ＝302(km)．9．(文)如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A 处沿正北方向行进x m 到达B 处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m 到达C 处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x ＝________.[答案]1063[解析] 由题知，∠CBA ＝75°，∠BCA ＝45°，∴∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°，∴xsin45°＝10sin60°，∴x ＝1063.(理)(2011·洛阳部分重点中学教学检测)在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q 点，且∠POQ ＝90°，再过一分钟，该物体位于R 点，且∠QOR ＝30°，则tan ∠OPQ 的值为________．[答案]32[解析] 由于物体做匀速直线运动，根据题意，PQ ＝QR ，不妨设其长度为1.在Rt △POQ 中，OQ ＝sin ∠OPQ ，OP ＝cos ∠OPQ ，在△OPR 中，由正弦定理得2sin120°＝OPsin ∠ORP ，在△ORQ中，1sin30°＝OQ sin ∠ORQ ，两式两边同时相除得OQ OP ＝tan ∠OPQ ＝32.10．(文)(2011·广东江门市模拟)如图，一架飞机原计划从空中A 处直飞相距680km 的空中B 处，为避开直飞途中的雷雨云层，飞机在A 处沿与原飞行方向成θ角的方向飞行，在中途C 处转向与原方向线成45°角的方向直飞到达B 处．已知sin θ＝513.(1)求tan C ；(2)求新的飞行路程比原路程多多少km.(参考数据：2＝1.414，3＝1.732) [解析] (1)因为sin θ＝513，θ是锐角，所以cos θ＝1213，所以tan θ＝512，tan C ＝tan[π－(θ＋45°)]＝－tan(θ＋45°) ＝－tan θ＋tan45°1－tan θ·tan45°＝－512＋11－512×1＝－177.(2)sin C ＝sin(θ＋45°)＝17226， 由正弦定理AB sin C ＝AC sin45°＝BCsin θ得，AC ＝ABsin C×sin45°＝520，BC ＝2002， 新的飞行路程比原路程多AC ＋BC －AB ＝520＋2002－680＝122.8(km)．(理)某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°、距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．[分析] 本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t ，找出等量关系，然后解三角形．[解析] 如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC2＋BC 2－2AC ·BC ·cos120°，所以212t 2＝102＋81t 2＋2×10×9t ×12，即36t 2－9t －10＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23h.此时AB ＝14，BC ＝6.在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin120°，所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314，即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)． 即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°. 所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮.能力拓展提升11.设F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 在双曲线上，若PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac (c 为半焦距)，则双曲线的离心率为( )A.3－12B.3＋12 C ．2 D.5＋12[答案] D[解析] 由条件知，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，根据双曲线定义得：4a 2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2－4ac ＝4c 2－4ac ，∴a 2＋ac －c 2＝0，∴1＋e －e 2＝0， ∵e >1，∴e ＝5＋12. 12．如图，在△ABC 中，tan C 2＝12，AH →·BC →＝0，AB →·(CA →＋CB →)＝0，经过点B 以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为( )A.5＋12B.5－1C.5＋1D.5－12[答案] A[解析] ∵AH →·BC →＝0，∴AH ⊥BC ，∵tan C 2＝12，∴tan C ＝2tanC21－tan2C 2＝43＝AH CH ，又∵AB →·(CA →＋CB →)＝0，∴CA ＝CB ， ∴tan B ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫180°－C 2＝cot C 2＝2＝AH BH ，设BH ＝x ，则AH ＝2x ，∴CH ＝32x ，AB ＝5x ，由条件知双曲线中2c ＝AH ＝2x,2a ＝AB －BH＝(5－1)x ，∴e ＝c a＝25－1＝5＋12，故选A. 13．△ABC 的周长是20，面积是103，A ＝60°，则BC 边的长等于________． [答案] 7[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝20， ①12bc sin60°＝103， ②cos60°＝b 2＋c 2－a22bc， ③由③得b 2＋c 2－a 2＝bc ，结合①知 (20－a )2－2cb －a 2＝bc ④又由②得bc ＝40，代入④得a ＝7.14.如图所示，海中小岛A 周围38n mile 内有暗礁，一轮船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30n mile 后，在C 处测得小岛在船的南偏东45°.如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？[解析] 在△ABC 中，BC ＝30，B ＝30°，∠ACB ＝135°，∴∠BAC ＝15°.由正弦定理知BC sin A ＝ACsin B ，即30sin15°＝ACsin30°.AC ＝30sin30°sin15°＝60cos15°＝60cos(45°－30°)＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(6＋2)(n mile)． 于是，A 到BC 所在直线的距离为：AC sin45°＝15(6＋2)×22＝15(3＋1)≈40.98(n mile)． 它大于38n mile ，所以船继续向南航行，没有触礁的危险．15．(2011·辽宁文，17)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求ba；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .[解析] (1)由正弦定理得，sin 2A sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sinB (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ，所以b a＝ 2.(2)由余弦定理知c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝＋3a2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22，所以B ＝45°. 16.货轮在海上自B 点以40 km/h 的速度沿方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后，船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，问货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离．[解析] 在△ABC 中，BC ＝40×0.5＝20(km)，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝65°＋(180°－140°)＝105°，∠BAC ＝45°，根据正弦定理，AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC ， AC ＝BC ·sin∠ABC sin ∠BAC ＝20·sin30°sin45°＝102， 货轮到达C 点时与灯塔的距离是102km.1．(2011·辽宁铁岭六校联考)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )且在[－3，－2]上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，则f (sin α)与f (cos β)的大小关系是( )A ．f (sin α)>f (cos β)B ．f (sin α)<f (cos β)C ．f (sin α)＝f (cos β)D ．f (sin α)与f (cos β)的大小关系不确定[答案] A[解析] ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为2，∵f (x )在[－3，－2]上是减函数，∴f (x )在[－1,0]上是减函数，∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[0,1]上是增函数，∵α、β是锐角三角形内角，∴π2<α＋β<π，∴π2>α>π2－β>0，∴1>sin α>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β>0， ∴f (sin α)>f (cos β)．2.如图，为了解某海塔海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量．已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，则∠DEF 的余弦值为________．[答案] 1665[解析] 作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M .DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298，DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130，EF ＝BE －FC 2＋BC 2＝902＋1202＝150. 在△DEF 中，由余弦定理，cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ×EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665. 3．(2011·广东肇庆模拟)在△ABC 中，B ＝π3，且BA →·BC →＝43，则△ABC 的面积是________．[答案] 6[解析] 由已知得BA →·BC →＝ac cos π3＝43， 所以ac ＝83，所以△ABC 的面积 S ＝12ac sin B ＝12×83×32＝6. 4．(2011·温州五校联考)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知点D是BC 边的中点，且AD →·BC →＝12(a 2－3ac )，则角B ＝________. [答案] 30° [解析] ∵AD →·BC →＝(BD →－BA →)·BC →＝BD →·BC →－BA →·BC → ＝a 2·a －a ·c ·cos B ＝12a 2－ac ·cos B ， 又AD →·BC →＝12(a 2－3ac )， ∴cos B ＝32，∴B ＝30°. 5．(2011·茂名期末)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin2A ，试判断△ABC 的形状．[解析] (1)∵c ＝2，C ＝π3， ∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4.又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin2A ，得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0，∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，当cos A ＝0时，∵0<A <π，∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形； 当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．6.如图A 、B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)n mile 的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203n mile 的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30n mile/h ，该救援船到达D 点需要多长时间？[解析]由题意知AB ＝5(3＋3)n mile ，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB 中，由正弦定理得，DBsin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB∴DB ＝AB ·sin∠DAB sin ∠ADB ＝＋3sin105° ＝＋3sin45°·cos60°＋sin60°·cos45° ＝533＋3＋12＝103(n mile)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC ＝203(n mile)，在△DBC 中，由余弦定理得，CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(n mile)，则需要的时间t ＝3030＝1(h)．答：救援船到达D 点需要1h.。
2013届高考数学知能演练轻松闯关专题训练：专题二第1
1．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选B.∵f (x )＝sin(2x －π2)＝－cos2x ，∴f (x )是最小正周期为π的偶函数．2．(2012·山东济南一模)将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π6C ．x ＝πD ．x ＝π2解析：选D.y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3――――――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12x －π3――→向左平移π6个单位y ＝cos ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π3， 即y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12x －π4.因为当x ＝π2时，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12×π2－π4＝1，故选D. 3．已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f (π7)，b ＝f (π6)，c ＝f (π3)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析：选B.f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)，因为函数f (x )在[0，π6]上单调递增，所以f (π7)<f (π6)，而c ＝f (π3)＝2sin 2π3＝2sin π3＝f (0)<f (π7)，所以c <a <b .4．(2012·福州市质检)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－7π12，5π12B.⎣⎡⎦⎤－7π12，－π12C.⎣⎡⎦⎤－π12，7π12D.⎣⎡⎦⎤－π12，5π12 解析：选 D.由函数的图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2.又图象过点⎝⎛⎭⎫512π，2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2×512π＋φ＝2，∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，取k ＝0，即得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，其单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π，k ∈Z ，取k ＝0，即得选项D. 5．(2012·长春市调研)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0且|φ|<π2)在区间[π6，2π3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( ) A.12 B.22C.32 D.6＋24解析：选A.函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最大值为1，最小值为－1，由该函数在区间[π6，2π3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，可知2π3－π6＝π2为半周期，则周期为π，ω＝2πT ＝2ππ＝2，此时原函数式为y ＝sin(2x ＋φ)，又由函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象过点(π6，1)，代入可得φ＝π6，因此函数为y ＝sin(2x ＋π6)，令x ＝0，可得y ＝12，故选A.6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)(ω>0)，若函数f (x )图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为π3，则ω的值为________．解析：函数f (x )图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为T 4，由题意可知T 4＝π3，∴T＝4π3，∴ω＝32. 答案：327．函数f (x )＝(12)|cos x |在[－π，π]上的单调递减区间为________．解析：在[－π，π]上，y ＝|cos x |的单调递增区间是[－π2，0]和[π2，π]，而f (x )随|cos x |取值的递增而递减．故[－π2，0]和[π2，π]为f (x )的单调递减区间．答案：[－π2，0]和[π2，π]8．①存在α∈(0，π2)使sin α＋cos α＝13；②存在区间(a ，b )使y ＝cos x 为减函数且sin x <0； ③y ＝tan x 在其定义域内为增函数；④y ＝cos2x ＋sin(π2－x )既有最大、最小值，又是偶函数；⑤y ＝|sin2x ＋π6|的最小正周期为π，以上命题错误的为________(填序号)．解析：①当α∈(0，π2)时，sin α＋cos α>1，故①错；②若y ＝cos x 为减函数，则x ∈[2k π，π＋2k π]，k ∈Z ，此时sin x >0，故②错；③当x 分别取π，2π时，y 都是0，故③错；④∵y ＝cos2x ＋sin(π2－x )＝2cos 2x ＋cos x －1，∴该函数既有最大、最小值，又是偶函数，故④对；⑤y ＝|sin2x ＋π6|的最小正周期为π2，故⑤错．答案：①②③⑤9．已知定义在区间[－π，3π2]上的函数y ＝f (x )图象关于直线x ＝π4对称，当x ≥π4时，f (x )＝－sin x .(1)作出y ＝f (x )的图象； (2)求y ＝f (x )的解析式．解：(1)y ＝f (x )的图象如图所示．(2)任取x ∈[－π，π4]，则π2－x ∈[π4，3π2]，因函数y ＝f (x )图象关于直线x ＝π4对称，则f (x )＝f (π2－x )．又当x ≥π4时，f (x )＝－sin x ，则f (x )＝f (π2－x )＝－sin(π2－x )＝－cos x ，即f (x )＝⎩⎨⎧－cos x ，x ∈[－π，π4]，－sin x ，x ∈[π4，3π2].10．已知向量a ＝(sin(ωx ＋φ)，2)，b ＝(1，cos(ωx ＋φ))，(ω>0,0<φ<π4)．函数f (x )＝(a ＋b )·(a －b )的图象过点M (1，72)，且相邻两对称轴之间的距离为2.(1)求f (x )的表达式；(2)求f (x )在[－23，2]上的最大值，并求出此时x 的值．解：(1)∵f (x )＝(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝sin 2(ωx ＋φ)－cos 2(ωx ＋φ)＋3＝3－cos(2ωx ＋2φ)．由题可知f (x )的周期T ＝4，∴ω＝π4.又函数图象过点M (1，72)，得sin2φ＝12.∵φ∈(0，π4)，∴2φ＝π6.∴f (x )＝3－cos(π2x ＋π6)．(2)∵x ∈[－23，2]，∴π2x ＋π6∈[－π6，7π6]，∴当π2x ＋π6＝π，即x ＝53时，函数取到最大值4.11．(2012·济南市模拟)已知向量m ＝(2cos ωx ，－1)，n ＝(sin ωx －cos ωx,2)，函数f (x )＝m ·n ＋3的周期为π. (1)求正数ω；(2)若函数f (x )的图象向左平移π8个单位，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的单调递增区间． 解：(1)依题意，得f (x )＝(2cos ωx ，－1)·(sin ωx －cos ωx,2)＋3 ＝2cos ωx (sin ωx －cos ωx )＋1 ＝2sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1 ＝sin2ωx －cos2ωx＝2sin(2ωx －π4)，又f (x )的周期为π，且ω>0，∴ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝2sin(2x －π4)，又由题意知，g (x )＝2×2sin[2(x ＋π8)－π4]＝2sin2x ，令2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z.∴函数g (x )的单调递增区间为[k π－π4，k π＋π4]，k ∈Z.。
2013高考数学总复习闯关密训卷专题3 导数以及运用 文
选题表：将试题题号按照知识点填到下表 难、、说明：试题选择回归基础，典型试题，体现了新课改的思想，侧重于能力的运用,需要用心来体会和掌握实质。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1、设函数x x x f 6)(2-=，则)(x f 在0=x 处的切线斜率为（ ） （A ）0（B ）-1（C ）3（D ）-64．若对任意x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数为( )A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 4－2C ．f (x )＝x 4＋1D ．f (x )＝x 4＋27、已知函数a a bx ax x x f 7)(223--++=在1=x 处取得极大值10，则ba的值为（ ）A.32-B.2-C.2-或32-D. 不存在10．设函数f (x )＝x m＋ax 的导数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f n n ∈(N *)的前n 项和( ) A.nn －1 B.n ＋1n C.n n ＋1 D.n ＋2n ＋111、定义方程()'()f x f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()1),()1g x x x ϕ=-3,()ln(1),()1x h x x x x ϕ==+=-的“新驻点”分别为,,αβγ，则,,αβγ的大小关系为（ ）A ．αβγ>>B ．βαγ>>C ．γαβ>>D ．βγα>>15.已知函数2()4ln 6f x x ax x b =+-+（a ，b 为常数），且2x =为()f x 的一个极值点．则求a 的值为＿＿＿＿16、函数()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ．18．(本题满分12分) 已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值为16c - (1)求a 、b 的值;(2)若()f x 有极大值28,求()f x 在[3,3]-上的最大值.20.已知函数().ln x x x f = （1）求函数()x f 的极值点；（2）若直线l 过点（0，—1），并且与曲线()x f y =相切，求直线l 的方程；（3）设函数()()()1--=x a x f x g ，其中R a ∈，求函数()x g 在[]e ,1上的最小值.（其中e 为自然对数的底数）21．(本题满分12分)已知函数3()sin (),2f x ax x a R =-∈且在]2,0[π上的最大值为32π-, (1)求函数()f x 的解析式;(2)判断函数()f x 在(0,)π内的零点个数,并加以证明.22．(本题满分12分)已知函数f (x )＝ax ＋b x＋c (a >0)的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1.(1)用a 表示出b ，c ；(2)若f (x )≥ln x 在[1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．。
2013届高考数学知能演练轻松闯关专题训练：专题一第1讲知能演练轻松闯关含答案
1．（2012·高考福建卷)已知集合M＝｛1，2,3，4}，N＝{－2，2｝，下列结论成立的是（）A．N⊆M B．M∪N＝MC．M∩N＝N D．M∩N＝{2｝解析:选D。
∵集合M＝｛1,2,3，4｝,N＝｛－2，2｝，－2∉M，∴N M，∴选项A不正确；M∪N＝{1，2,3，4，－2｝,∴选项B不正确;而M∩N＝｛2｝≠N，∴选项C不正确,故选项D正确．2．(2011·高考北京卷)已知集合P＝｛x|x2≤1｝，M＝{a}．若P∪M ＝P，则a的取值范围是( )A．(－∞，－1］B．［1，＋∞）C．[－1，1］D．（－∞,－1]∪[1,＋∞）解析:选C.由P∪M＝P，有M⊆P，∴a2≤1,∴－1≤a≤1，故选C. 3．已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1））（x2－x1)≥0，则綈p是( ）A．∃x1，x2∈R,(f（x2)－f(x1））（x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，（f(x2)－f(x1)）（x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，(f（x2)－f(x1）)（x2－x1)<0D．∀x1，x2∈R,(f（x2）－f（x1)）(x2－x1)<0解析：选C。
由全称命题的否定是特称命题知綈p:∃x1，x2∈R，(f(x2）－f(x1)）(x2－x1)<0。
4．(2012·杭州模拟)已知直线l过定点(－1，1），则“直线l的斜率为0”是“直线l与圆x2＋y2＝1相切"的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A。
当直线l的斜率为0时,直线l与圆x2＋y2＝1相切;反之当直线l与圆x2＋y2＝1相切时，直线l的斜率可能为0，也可能不存在，故选A。
5．(2012·高考江西卷)若全集U＝｛x∈R｜x2≤4}，则集合A＝{x ∈R|｜x＋1|≤1｝的补集∁U A为（）A．{x∈R｜0＜x＜2｝B．｛x∈R|0≤x＜2｝C．{x∈R|0＜x≤2｝D．{x∈R|0≤x≤2}解析：选C。
2013届高考数学知能演练轻松闯关专题训练：专题一第3讲知能演练轻松闯关含答案
1．(2012·四川绵阳高三诊断）已知曲线y＝x3在点(a，b）处的切线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则a的值是（) A．－1 B．±1C．1 D．±3解析：选B.由y＝x3知y′＝3x2，∴切线斜率k＝y′|x＝a＝3a2.又切线与直线x＋3y＋1＝0垂直,∴3a2·错误!＝－1,即a2＝1,a＝±1，故选B。
2．(2012·高考辽宁卷)函数y＝错误!x2－ln x的单调递减区间为( ) A．（－1，1］B．(0,1］C．[1,＋∞) D．(0,＋∞）解析:选B.由题意知，函数的定义域为(0,＋∞)，又由y′＝x－错误!≤0，解得0＜x≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1］．3．（2012·高考湖北卷)已知二次函数y＝f（x）的图象如图所示,则它与x轴所围图形的面积为( )A。
错误!B。
错误!C。
32D.错误!解析：选B.根据f（x）的图象可设f(x)＝a（x＋1)(x－1）(a〈0）．因为f（x)的图象过（0,1)点,所以－a＝1,即a＝－1。
所以f（x）＝－(x＋1）（x－1）＝1－x2.所以S＝错误!－1（1－x2)d x＝2错误!（1－x2)d x＝2错误!错误!＝2错误!＝错误!.4．（2012·高考大纲全国卷）已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝( )A．－2或2 B．－9或3C．－1或1 D．－3或1解析：选A。
∵y′＝3x2－3，∴当y′＝0时,x＝±1.则x,y′，y的变化情况如下表：0或c－2＝0，∴c＝－2或c＝2.5．若函数y＝f（x）在R上可导，且满足不等式xf′(x)>－f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是（) A．af(b)〉bf（a）B．af(a）〉bf（b）C．af（a）<bf(b）D．af（b)<bf（a）解析:选B。
2013高考数学总复习闯关密训地卷专题1 集合与简易逻辑 理
2013高考总复习闯关密训地数学（理）卷专题1 集合与简易逻辑选题表：将试题题号按照知识点填到下表基础中档稍难1.（填知识点）集合的概念以及运算1、2、3、4、7、8,1311 122.（填知识点）命题及其逻辑连接词，充分条件5、6、9、10、14、16 18、193.（填知识点）集合的关系和运算综合运用15、17、20、21 22说明：试题选择回归基础，典型试题，体现了新课改的思想，侧重于能力的运用,需要用心来体会和掌握实质。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．设全集为R，集合A＝{x|1x≤1}，则∁R A＝( )A．{x|0≤x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|0<x<1} D．{x|x≥1或x<0}2.已知全集U＝Z，集合A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于( )A．{－1,2} B．{－1,0}C．{0,1} D．{1,2}2.【答案】 A【解析】依题意知A＝{0,1}，(∁U A)∩B表示全集U中不在集合A中，但在集合B中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}，选A.3．集合A＝{y∈R|y＝2x}，B＝{－1,0,1}，则下列结论正确的是( )A．A∩B＝{0,1} B．A∪B＝(0，＋∞)C．(∁R A)∪B＝(－∞，0) D．(∁R A)∩B＝{－1,0}4．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩∁N B等于( )A．{1,5,7} B．{3,5,7}C．{1,3,9} D．{1,2,3}4.【答案】 A【解析】即在A中把B中有的元素去掉．5．已知集合A为数集，则“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．下列命题中是假命题的是( )A．存在α，β∈R，有tan(α＋β)＝tanα＋tanβB．对任意x>0，有lg2x＋lg x＋1>0C．△ABC中，A>B的充要条件是sin A>sin BD．对任意φ∈R，函数y＝sin(2x＋φ)都不是偶函数7.已知全集U＝R，集合M＝{x||x－1|<2}和N＝{y|log3y<1，y∈N*}的关系韦恩(Veen)图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有( )A．3个 B．2个C．1个 D．无穷多个8．设集合A＝{(x，y)|y＝2sin2x}，集合B＝{(x，y)|y＝x}，则( )A．A∩B中有3个元素 B．A∩B中有1个元素C．A∩B中有2个元素 D．A∪B＝R8.【答案】 A【解析】由图可知答案选A.9．已知命题p：∀x∈R，x2－2x＋1>0；命题q：∃x∈R，sin x＝1.则下列判断正确的是( ) A．q是假命题 B．q是假命题C．p是假命题 D．p是真命题9.【答案】 A【解析】由题意可知，p假q真．10．设M为实数区间，a>0且a≠1，若“a∈M”是“函数f(x)＝log a|x－1|在(0,1)上单调递增”的一个充分不必要条件，则区间M可以是( )A．(1，＋∞) B．(1,2)C ．(0,1)D ．(0，12)10.【答案】 D【解析】 因为y ＝|x －1|在(0,1)上是减函数，则f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上单调递增的充要条件是0<a <1.据题意，M (0,1)，故选D.11．已知集合A ＝{x |y ＝x ＋1x －2}，B ＝{x |x >a }，则下列关系不可能成立的是( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．AB D ．A ⊆∁R B12．定义：设A 是非空实数集，若∃a ∈A ，使得对于∀x ∈A ，都有x ≤a (x ≥a )，则称a 是A 的最大(小)值 .若B 是一个不含零的非空实数集，且a 0是B 的最大值，则( )A ．当a 0＞0时，a －10是集合{x －1|x ∈B }的最小值B ．当a 0＞0时，a －10是集合{x －1|x ∈B }的最大值C ．当a 0＜0时，－a －10是集合{－x －1|x ∈B }的最小值D ．当a 0＜0时，－a －10是集合{－x －1|x ∈B }的最大值二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 13．满足条件：M ∪{a ，b }＝{a ，b ，c }的集合M 的个数是________． 13.【答案】 4个14．命题“∃x ∈R ，x 2＋ax －4a <0”为假命题，是“－16≤a ≤0”的________条件． 14.【答案】 充要【解析】∵“∃x ∈R ，x 2＋ax －4a <0”为假命题，∴“∀x ∈R ，x 2＋ax －4a ≥0”为真命题，∴Δ＝a 2＋16a ≤0，即－16≤a ≤0.故为充要条件．15．设全集U ＝R ，A ＝{x |x －2x ＋1<0}，B ＝{x |sin x ≥32}，则A ∩B ＝________.15.【答案】 [π3，2]【解析】∵A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3}，∴A ∩B ＝[π3，2]．16．已知命题p ：α＝β是tan α＝tan β的充要条件． 命题q ：∅⊆A .下列命题中为真命题的有________． ①p 或q ②p 且q ③┐p ④┐q 16.【答案】①③三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且A ∪B ＝A ，某某数m 的值组成的集合．18．(本小题满分12分)判断下列命题是否是全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假．(1)有一个实数α，sin2α＋cos2α≠1；(2)任何一条直线都存在斜率；(3)所有的实数a，b，方程ax＋b＝0恰有唯一的解；(4)存在实数x0，使得1x20－x0＋1＝2.19．(本小题满分12分)已知命题p：对∀m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥m2＋8；命题q：∃x，使不等式x2＋ax＋2<0.若p是真命题，q是假命题，求a的取值X围．20．(本小题满分12分)已知命题p：A＝{x|a－1<x<a＋1，x∈R}，命题q：B＝{x|x2－4x＋3≥0}．(1)若A∩B＝∅，A∪B＝R，某某数a；(2)若q是p的必要条件，某某数a.∴q 是p 的必要条件，即p ⇒q ， ∴A ⊆∁R B ＝(1,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤3a －1≥1，∴2≤a ≤2，∴a ＝2. 21．(本小题满分12分)已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x为减函数，命题q ：当x ∈[12，2]时，函数f (x )＝x ＋1x ＞1c恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求c 的取值X 围．22．(本小题满分14分)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x ||x －1|≤m }． (1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．若存在，求m 的X 围． (2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件．若存在，求出m 的X 围．。
2013届高考数学知能演练轻松闯关专题训练：专题一第4讲知能演练轻松闯关含答案
1．已知a<b,则下列不等式正确的是（）A。
错误!>错误!B．a2〉b2C．2－a>2－b D．2a>2b解析：选C.∵a<b,∴－a〉－b,∴2－a〉2－b。
2．在R上定义运算a＊b＝a(1－b），则满足（x－2）＊(x＋2）>0的实数x的取值范围为( )A．（0，2）B．(－2，1)C．（－∞,－2)∪（1，＋∞) D．（－1，2）解析：选D.根据定义：（x－2)*（x＋2)＝(x－2）[1－（x＋2）］＝－（x－2）(x＋1)〉0，即（x－2)（x＋1）〈0.解得－1〈x〈2,所以所求实数x的取值范围为(－1,2）．3．(2012·北京海淀区一模）若满足条件错误!的整点(x,y)恰有9个,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则整数a的值为（）A．－3 B．－2C．－1 D．0解析：选C。
可行域如图所示．当a＝－1时,整点的个数为1＋3＋5＝9。
4．（2012·山东青岛一模）已知a〉0,b〉0,且2a＋b＝4，则错误!的最小值为( )A。
错误!B．4C.错误!D．2解析：选C.由2a＋b＝4，得22ab≤4，即ab≤2，又a>0，b〉0，所以1ab≥12，当且仅当2a＝b，即b＝2，a＝1时，1ab取得最小值错误!.故选C. 5．(2012·高考山东卷)设变量x，y满足约束条件错误!，则目标函数z ＝3x－y的取值范围是( )A．［－错误!,6] B．[－错误!，－1］C．［－1,6] D．［－6，错误!]解析：选A。
作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x－y＝0,并向上、下平移，由图可得,当直线过点A时，z＝3x－y取最大值；当直线过点B时,z ＝3x－y取最小值．由错误!,解得A(2,0）；由错误!，解得B(错误!，3）．∴z max＝3×2－0＝6，z min＝3×错误!－3＝－错误!.∴z＝3x－y的取值范围是［－错误!，6］．6．(2012·上海交大附中月考)不等式(x＋2）错误!≤0的解集为________．解析:错误!或x2－9＝0即错误!或x＝±3，即x≤－3或x＝3.答案：｛x｜x≤－3或x＝3}7．已知x〉0，y>0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．解析:∵xy＝x＋2y≥2错误!,∴(xy）2－22错误!≥0，∴错误!≥2错误!或错误!≤0(舍去)，∴xy≥8,当且仅当x＝4，y＝2时取等号．由题意知m－2≤8，即m≤10.答案:108．(2012·高考江苏卷）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b（a，b∈R)的值域为[0，＋∞),若关于x的不等式f(x)＜c的解集为（m，m＋6)，则实数c的值为________．解析:由题意知f(x）＝x2＋ax＋b＝错误!2＋b－错误!.∵f(x)的值域为［0，＋∞)，∴b－错误!＝0，即b＝错误!.∴f（x)＝错误!2。
2013届高考数学知能演练轻松闯关专题训练：专题四第1讲知能演练轻松闯关含答案
1．(2012·高考湖南卷)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是(）解析：选C.由于该几何体的正视图和侧视图相同,且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是C。
2．（2012·高考湖北卷）已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A。
错误!B．3πC.错误!D．6π解析:选B.由三视图可知，此几何体（如图所示)是底面半径为1,高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的错误!,所以V＝错误!×π×12×4＝3π.3．(2012·高考浙江卷)设l是直线，α，β是两个不同的平面( ) A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β, l∥α，则l⊥β解析：选B。
设α∩β＝a，若直线l∥a，且l⊄α，l⊄β,则l∥α,l∥β，因此α不一定平行于β,故A错误；由于l∥α，故在α内存在直线l′∥l，又因为l⊥β,所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正确；若α⊥β,在β内作交线的垂线l，则l⊥α，此时l在平面β内,因此C错误；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β内，则l∥α且l∥β，因此D错误．4．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2错误!,它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是（)A．4 B．2错误!C．2 D。
错误!解析：选B.由题意可设棱柱的底面边长为a，则其体积为错误!a2·a＝2错误!，得a＝2。
由俯视图易知，三棱柱的左视图是以2为长,错误!为宽的矩形．∴其面积为23。
故选B。
5。
如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB,∠BCD＝45°,∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD,则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：选D。
2013届高考数学知能演练轻松闯关专题训练：专题四第2讲知能演练轻松闯关含答案
1．(2012·山西四校联考）如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD ＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa（0<λ≤1）．(1）求证：对任意的λ∈（0，1］，都有AC⊥BE；(2）若二面角C－AE－D的大小为60°，求λ的值．解：(1）证明：如图，建立空间直角坐标系D－xyz,则A（a,0，0),B(a，a,0），C(0，a,0）,D（0，0，0），E（0,0，λa），∴错误!＝(－a，a，0），错误!＝(－a，－a,λa）,∴错误!·错误!＝0对任意λ∈（0，1］都成立,即对任意的λ∈(0，1]，都有AC⊥BE。
(2)显然n＝(0，1，0）是平面ADE的一个法向量，设平面ACE的法向量为m＝(x，y，z），∵AC，→＝(－a，a，0），错误!＝（－a,0,λa),∴错误!,即错误!,∴错误!，令z＝1，则x＝y＝λ,∴m＝（λ，λ，1),∵二面角C－AE－D的大小为60°,∴cos<n，m〉＝错误!＝错误!＝错误!，∵λ∈（0,1],∴λ＝错误!.2．（2012·长春调研)如图,在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC,∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝错误!，BC＝4。
（1）求证：BD⊥PC;(2)求直线AB与平面PDC所成的角的大小；（3)设点E在棱PC上，错误!＝λ错误!，若DE∥平面PAB，求λ的值．解:如图，在平面ABCD内过点D作直线DF∥AB，交BC于点F,以D为坐标原点，DA、DF、DP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D－xyz，则A（1,0,0),B（1，3，0),D（0，0，0)，C（－3，错误!,0)．(1）证明:设PD＝a，则P(0，0，a)，错误!＝(－1，－错误!，0)，错误!＝(－3，错误!，－a），∵BD→·错误!＝3－3＝0，∴BD⊥PC.(2)由(1）及PD⊥平面ABCD易知BD⊥平面PDC，则DB→就是平面PDC的一个法向量．AB→＝(0，错误!,0)，错误!＝(1，错误!，0）．设AB与平面PDC所成的角的大小为θ，则sinθ＝错误!＝错误!＝错误!.∵0°〈θ<90°,∴θ＝60°，即直线AB与平面PDC所成的角的大小为60°。
2013高考总复习闯关密训数学 文 卷专题5 平面向量含答案
说明：试题选择回归基础，典型试题，体现了新课改的思想，侧重于能力的运用,需要用心来体会和掌握实质.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．) 1 ．设x R ∈ ,向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ，则||a b += （ )A B C ．D ．104、已知平面向量a，b满足||1,||2,==a与b的夹角为60︒,则“m=1”是a b“()a mb a-⊥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．若O为平面内任一点且（错误!＋错误!－2错误!）·(错误!－错误!）＝0，则△ABC是（)A．直角三角形或等腰三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形但不一定是直角三角形D．直角三角形但不一定是等腰三角形8、【答案】 C10、在边长为1的正三角形ABC 中，13BD BA =，E 是CA 的中点，则CD BE⋅= （ ）2A 3- 1B 2-1C 3-1D 6-[学12 ． （向量、创新)对任意两个非零的平面向量α和β,定义⋅⋅=⋅αβαβββ,若平面向量a、b满足0≥>a b,a与b的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b和b a都在集合2nn Z⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则=a b（）A．12B．1 C．32D．5216．如图4,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,3AP=且AP AC= _____.三、解答题(本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、(本小题满分10分）已知||4,||8,a b == a 与b 的夹角120θ=︒，求||a b +。
19、(本小题满分12分)、已知向量a ＝)sin ,(cos θθ，],0[πθ∈，向量b ＝(3，－1）(1)若a b ⊥，求θ的值？;（2)若2a b m -<恒成立，求实数m 的取值范围。
21．(本小题满分12分)已知向量a＝（错误!，错误!),b＝(2，cos2x）．（1）若x∈（0，错误!]，试判断a与b能否平行？(2）若x∈(0,错误!]，求函数f（x)＝a·b的最小值．。
2013届高考数学知能演练轻松闯关专题训练：专题六第1讲知能演练轻松闯关含答案
1．现有6名同学收听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（）A．56B．65C。
错误!D．6×5×4×3×2解析：选A.每名同学有5种选法,根据分步乘法原理,6名同学有56种选法．2．（2012·高考重庆卷）（1－3x）5的展开式中x3的系数为（) A．－270 B．－90C．90 D．270解析:选A.∵通项T r＋1＝C错误!(－3x）r，∴令r＝3得x3的系数为C3，5（－3)3＝－270.3。
如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有（)A．11种B．20种C．21种D．12种解析：选C.左边两个开关的开闭方式有22－1＝3(种），右边三个开关的开闭方式有23－1＝7（种），故使电路接通的情况有3×7＝21（种）．4．从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有( )A．70种B．112种C．140种D．168种解析：选C。
∵从10名同学中挑选4名参加某项公益活动有C错误!种不同方法；从甲、乙之外的8名同学中挑选4名参加某项公益活动有C错误!种不同方法;∴所求的不同挑选方法共有C错误!－C错误!＝140（种）．5．(2012·浙江金华十校高考模拟）若（2＋x)10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x ＋1）2＋…＋a10(x＋1）10，则a9＝( ）A．9 B．10C．20 D．120解析：选B.由题意得,a9＝C错误!＝10，故选B。
6．(2012·高考大纲全国卷）将字母a，a,b,b，c，c，排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（)A．12种B．18种C．24种D．36种解析：选A。
先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A33种不同的排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A错误!种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A错误!·A错误!·1＝12(种）不同的排列方法．7．（2012·高考陕西卷）两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有( )A．10种B．15种C．20种D．30种解析：选C。
河南省洛阳市2013届高三高考数学闯关密练特训《7-3简单的线性规划问题新人教A版》试题
1.(文)在平面直角坐标系中，若点(3t－2，t)在直线x－2y＋4＝0的下方，则t的取值范围是( )A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(－2，＋∞) D．(0,2)[答案] C[解析]∵点O(0,0)使x－2y＋4>0成立，且点O在直线下方，故点(3t－2，t)在直线x－2y＋4＝0的下方⇔3t－2－2t＋4>0，∴t>－2.[点评] 可用B值判断法来求解，令d＝B(Ax0＋By0＋C)，则d>0⇔点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0的上方；d<0⇔点P在直线下方．(理)若2x＋4y<4，则点(x，y)必在( )A．直线x＋y－2＝0的左下方B．直线x＋y－2＝0的右上方C．直线x＋2y－2＝0的右上方D．直线x＋2y－2＝0的左下方[答案] D[解析]∵2x＋4y≥22x＋2y，由条件2x＋4y<4知，22x＋2y<4，∴x＋2y<2，即x＋2y－2<0，故选D.2．在直角坐标系xOy中，已知△AOB的三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0,2x＋3y ＝30，则△AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为( )A．95 B．91 C．88 D． 75[答案] B[解析]由2x＋3y＝30知，y＝0时，0≤x≤15，有16个；y＝1时，0≤x≤13；y＝2时，0≤x≤12；y ＝3时，0≤x ≤10；y ＝4时，0≤x ≤9； y ＝5时，0≤x ≤7；y ＝6时，0≤x ≤6； y ＝7时，0≤x ≤4；y ＝8时，0≤x ≤3； y ＝9时，0≤x ≤1，y ＝10时，x ＝0.∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个．3．(2011·天津文，2)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43 D ．4[答案] D [解析]该线性约束条件所代表的平面区域如图，易解得A (1,3)，B (1，53)，C (2,2)，由z ＝3x－y 得y ＝3x －z ，由图可知当x ＝2，y ＝2时，z 取得最大值，即z 最大＝3×2－2＝4.故选D.4．(文)(2011·安徽示范高中皖北协作区联考)已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y －x ≥0，x ≥0.目标函数z ＝ax ＋y 只在点(1,1)处取最小值，则有( )A ．a >1B ．a >－1C ．a <1D ．a <－1[答案] D[解析] 作出可行域如图阴影部分所示．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .只在点(1,1)处z 取得最小值，则斜率－a >1， 故a <－1，故选D.(理)(2011·宝鸡质检)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为( )A ．0<a <13B ．a ≥13C ．a >13D ．0<a <12[答案] C[解析] 作出可行域如图，∵目标函数z ＝x ＋ay 恰好在点A (2,2)处取得最大值，故－1a >－3，∴a >13.5．(文)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤3，x ＋2y －2≥0，所表示的平面区域为S ，若A 、B 为区域S 内的两个动点，则|AB |的最大值为( )A ．2 5 B.13 C ．3 D. 5[答案] B[解析] 在直角坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形观察不难得知，位于该平面区域内的两个动点中，其间的距离最远的两个点是(0,3)与(2,0)，因此|AB |的最大值是13，选B.(理)(2012·内蒙古包头模拟)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，y ≥1，则z ＝2x－y 的最大值为( )A ．－1B ．0C ．3D ．4 [答案] C[解析] 作出可行域如图，作直线l 0：2x －y ＝0，平移l 0当平移到经过点A (2,1)时，z max ＝3.6．(2011·兰州模拟)设O 为坐标原点，点M 的坐标为(2,1)，若点N (x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，2x ＋y －12≤0，x ≥1，则使OM →·ON →取得最大值的点N 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个[答案] D[分析] 点N (x ，y )在不等式表示的平面区域之内，U ＝OM →·ON →为x ，y 的一次表达式，则问题即是当点N 在平面区域内变化时，求U 取到最大值时，点N 的个数．[解析] 如图所示，可行域为图中阴影部分，而OM →·ON →＝2x ＋y ，所以目标函数为z ＝2x ＋y ，作出直线l ：2x ＋y ＝0，显然它与直线2x ＋y －12＝0平行，平移直线l 到直线2x ＋y －12＝0的位置时目标函数取得最大值，故2x ＋y －12＝0上每一点都能使目标函数取得最大值，故选D.7．(文)(2012·内蒙包头模拟)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，x ≤a ，表示的平面区域S 的面积为4，点P (x ，y )∈S ，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．[答案] 6[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧12aa ＝4，a >0，∴a ＝2，易得z ＝2x ＋y 的最大值为6.(理)若由不等式组⎩⎨⎧x ≤my ＋n ，x －3y ≥0，y ≥0，(n >0)确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x 轴上，则实数m ＝________.[答案] －33[解析] 根据题意，三角形的外接圆圆心在x 轴上， ∴OA 为外接圆的直径，∴直线x ＝my ＋n 与x －3y ＝0垂直， ∴1m ×13＝－1，即m ＝－33.8．(2011·浏阳模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则目标函数z ＝4x＋y 的最大值为________．[答案] 11 [解析]如图，满足条件的可行域为三角形区域(图中阴影部分)，故z ＝4x ＋y 在P (2,3)处取得最大值，最大值为11.9．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：2石的最少费用为________(百万元)．[答案] 15[解析] 设需购买A 矿石x 万吨，B 矿石y 万吨，则根据题意得到约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，目标函数为z ＝3x ＋6y ，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取得最小值，最小值为：z min ＝3×1＋6×2＝15.10．某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资每份由金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资每份由金融投资40万元，房地产投资30万元组成．已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元．若可作投资用的资金中，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过180万元，那么这两种组合投资各应注入多少份，才能使一年获利总额最多？[解析] 设稳健型投资x 份，进取型投资y 份，利润总额为z (单位：10万元，则目标函数为z ＝x ＋1.5y (单位：10万元)，线性约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋40y ≤160，30x ＋30y ≤180，x ≥0，yx ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，x ＋y ≤6，x ≥0，yx ∈N ，y ∈N ，作出可行域如图，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，x ＋y ＝6，得交点M (4,2)，作直线l 0：x ＋1.5y ＝0，平移l 0，当平移后的直线过点M 时，z 取最大值：z max ＝(4＋3)×10万元＝70万元．答：稳健型投资4份，进取型投资2份，才能使一年获利总额最多.能力拓展提升11.(文)(2012·福建文，10)若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1 C.32 D ．2[答案] B[解析] 本题考查了不等式组所表示的平面区域及数形结合思想解决问题的能力． 由约束条件作出其可行域，如图由图可知当直线x ＝m 过点P 时，m 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y －3＝0，得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴P (1,2)，此时x ＝m ＝1.[点评] 对于可行域中含有参数的情形，不妨先取特殊值来帮助分析思路． (理)(2011·重庆一诊)设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －10≤0，x －2y ＋8≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为( )A.256B.83C.113D ．4[答案] A[解析] 由可行域可得，当x ＝4，y ＝6时，目标函数z ＝ax ＋by 取得最大值，∴4a ＋6b ＝12，即a 3＋b2＝1，∴2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·(a 3＋b 2)＝136＋b a ＋a b ≥136＋2＝256，故选A. 12．(文)(2012·石家庄二检)已知动点P (x ，y )在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形边长为2，若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 值为 ( )A. 3B.32 C. 2 D ．4[答案] A[解析] 由题可知，当x ＝0时，z ＝kx ＋y ＝y ，因此要使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值，则相应直线经过题中的平面区域内的点时，相应直线在y 轴上的截距最大．由目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kx ＋y ＝0的倾斜角为120°，于是有－k ＝tan120°＝－3，k ＝3，选A.(理)( 2012·辽宁文，9)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55[答案] D[解析] 本题考查线性规划的知识． 作出可行域如图所示：令z ＝2x ＋3y ，则y ＝－23x ＋13z .要使z 取得最大值，需直线y ＝－23x ＋13z 在y 轴上的截距最大，移动l 0：y ＝－23x当l 0过点C (5,15)时，z 取最大值z max ＝55.解线性规划问题，准确作出可行域是关键，同时还要注意目标函数z ＝2x ＋3y 与z ＝2x －3y 最优解是不同的．13．(文)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3t ，B 原料2t ；生产每吨乙产品要用A 原料1t ，B 原料3t ，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13t ，B 原料不超过18t.那么该企业可获得最大利润是( )A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元[答案] D[解析] 设生产甲、乙两种产品分别为x t ，y t ， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，获利润ω＝5x ＋3y ，画出可行域如图，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝13，2x ＋3y ＝18，解得A (3,4)．∵－3<－53<－23，∴当直线5x ＋3y ＝ω经过A 点时，ωmax ＝27.(理)(2011·四川文，10)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10t 的甲型卡车和7辆载重量为6t 的乙型卡车，某天需送往A 地至少72t 的货物，派用的每辆车需载满且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )A ．4650元B ．4700元C ．4900元D ．5000元[答案] C[解析] 设该公司派甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋6y ≥72，2x ＋y ≤19，x ＋y ≤12，0≤x ≤8，x ∈N 0≤y ≤7，y ∈N利润z ＝450x ＋350y ，可行域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝19，x ＋y ＝12，得A (7,5)．当直线350y ＋450x ＝z 过A (7,5)时z 取最大值， ∴z max ＝450×7＋350×5＝4900(元)．故选C.14．(2012·乌鲁木齐二诊)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥0，y ≤4.表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．[2,4]D ．[2，＋∞)[答案] D[解析] 作出可行区域，如图，由题可知点(2，a 2)应在点(2,4)的上方或与其重合，故a 2≥4，∴a ≥2或a ≤－2，又a >0且a ≠1，∴a ≥2.15．(文)某单位投资生产A 产品时，每生产1百吨需要资金2百万元，需场地2百平方米，可获利润3百万元；投资生产B 产品时，每生产1百米需要资金3百万元，需场地1百平方米，可获利润2百万元．现该单位有可使用资金14百万元，场地9百平方米，如果利用这些资金和场地用来生产A 、B 两种产品，那么分别生产A 、B 两种产品各多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？[解析] 设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百米，共获得利润S 百万元，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤14，2x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0，目标函数为S ＝3x ＋2y.作出可行域如图，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝9，2x ＋3y ＝14，解得直线2x ＋y ＝9和2x ＋3y ＝14的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫134，52，平移直线y＝－32x ＋S 2，当它经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫134，52时，直线y ＝－32x ＋S 2在y 轴上截距S 2最大，S 也最大．此时，S ＝3×134＋2×52＝14.75.因此，生产A 产品3.25百吨，生产B 产品2.5百米，可获得最大利润，最大利润为1475万元．(理)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x ，y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x ，y 为何值时，z ＝xP 甲＋yP 乙最大，最大值是多少？[解析] (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧P 甲－P 乙＝0.251－P 甲＝P 乙－0.05，解得⎩⎪⎨⎪⎧P 甲＝0.65，P 乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P 甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P 乙＝0.4. (2)依题意得x 、y 应满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤32，20x ＋5y ≤55，x ≥0，y ≥0，且z ＝0.65x ＋0.4y .作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．作直线l ：0.65x ＋0.4y ＝0即13x ＋8y ＝0，把直线l 向上方平移到l 1的位置时，直线经过可行域内的点M ，且l 1与原点的距离最大，此时z 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，4x ＋y ＝11，得x ＝2，y ＝3.故M 的坐标为(2,3)，所以z 的最大值为z max ＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.16．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5min ，生产一个骑兵需7min ，生产一个伞兵需4min ，已知总生产时间不超过10h.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ [解析] (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润W ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋－x －y ，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z .目标函数为W ＝2x ＋3y ＋300， 如图所示，作出可行域．初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，W 有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以W max ＝550(元)．答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．1．在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1，所表示的平面区域的面积为( )A. 2B.32C.322D ．2[答案] B [解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1，的图形如图．解得：A (0,1) D (0，－1) B (－1，－2) C (12，－12)S △ABC ＝12×|AD |×|x C －x B |＝12×2×(12＋1)＝32，故选B. 2．已知a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，M ＝2a ＋2b，则M 的整数部分是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] B[解析] ∵a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，∴0<a <1，设t ＝2a ，则t ∈(1,2)，M ＝2a ＋2b ＝2a ＋21－a＝t ＋2t≥22，等号在t ＝2时成立，又t ＝1或2时，M ＝3，∴22≤M <3，故选B.3．(2011·湖北高考)直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个[答案] B[解析] 直线2x ＋y －10＝0与不等式组表示的平面区域的位置关系如图所示，故直线与此区域的公共点只有1个，选B.4．(2011·黄山期末)设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0，所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9][答案] C[解析] 作出不等式表示的平面区域如图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19＝0，x －y ＋8＝0，得A (1,9)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19＝0，2x ＋y －14＝0，得B (3,8)，当函数y ＝a x过点A 时，a ＝9，过点B 时，a ＝2，∴要使y＝a x的图象经过区域M ，应有2≤a ≤9.5．(2012·河南洛阳市模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥3x ，x ＋ay ≤7，其中a >1，若目标函数z ＝x ＋y 的最大值为4，则a 的值为________．[答案] 2 [解析]作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．∵y ＝－x ＋z ，∴欲使z 最大，只需使直线y ＝－x ＋z 的纵截距最大，∵a >1，∴直线x ＋ay ＝7的斜率大于－1，故当直线y ＝－x ＋z 经过直线y ＝3x 与直线x ＋ay ＝7的交点(71＋3a ，211＋3a )时，目标函数z 取得最大值，最大值为281＋3a .由题意得281＋3a＝4，解得a ＝2.6．(2012·太原部分重点中学联考)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≥0，2x －y －6≤0，x ＋y －k －2≥0，且x 2＋y 2的最小值为m ，当9≤m ≤25时，实数k 的取值范围是( )A ．(17－2,5)B ．[17－2,5]C ．(17－2,5]D ．(0,5][答案] B [解析]不等式组表示的可行域如图中的阴影部分，x 2＋y 2的最小值m 即为|OA |2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0x ＋y －k －2＝0，得A (k ＋32，k ＋12)．由题知9≤(k ＋32)2＋(k ＋12)2≤25，解得17－2≤k ≤5.7．(2012·山西大同调研)设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，则z ＝2x ＋y的最大值为( )A ．－2B ．4C ．6D ．8[答案] C [解析]作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当平移到经过平面区域内的点(3,0)时，相应的直线在x 轴上的截距最大，此时z ＝2x ＋y 取得最大值，最大值是6，故选C.8．某人有楼房一幢，室内面积共计180m 2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积18m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积15m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？[解析] 设隔出大房间x 间，小房间y 间时收益为z 元，则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 18x ＋15y ≤180，1000x ＋600y ≤8000，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈Z ，且z ＝200x ＋150y . 约束条件可化简为：⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋5y ≤60，5x ＋3y ≤40，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈Z .可行域为如图所示的阴影部分(含边界)作直线l ：200x ＋150y ＝0，即直线l ：4x ＋3y ＝0把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过点B ，且与原点的距离最大，此时z ＝200x ＋150y 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋5y ＝60，5x ＋3y ＝40，得到B (207，607)． 由于点B 的坐标不是整数，而最优解(x ，y )中的x ，y 必须都是整数，所以，可行域内的点B (207，607)不是最优解，通过检验，当经过的整点是(0,12)和(3,8)时，z 取最大值1800元．于是，隔出小房间12间，或大房间3间、小房间8间，可以获得最大收益．[点评] 当所求解问题的结果是整数，而最优解不是整数时，可取最优解附近的整点检验，找出符合题意的整数最优解．。
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随机变量的数字特征与正态分布（理）1.(2011·烟台模拟)设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，若P (ξ>1)＝p ，则P (－1<ξ<0)＝( )A.12＋p B.12－p C ．1－2p D ．1－p[答案] B[解析] ∵ξ～N (0,1)， ∴P (ξ<－1)＝P (ξ>1)＝p ，∴P (－1<ξ<0)＝12[1－2p (ξ>1)]＝12－p .2．(2012·浙江嘉兴模拟)甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生考试，若甲、乙能通过面试的概率都是23，则面试结束后通过的人数X 的数学期望是( )A.43B.119 C ．1 D.89 [答案] A[解析] 依题意，X 的取值为0、1、2. 且P (X ＝0)＝(1－23)×(1－23)＝19，P (X ＝1)＝23×(1－23)＋(1－23)×23＝49，P (X ＝2)＝23×23＝49.故X 的数学期望E (X )＝0×19＋1×49＋2×49＝129＝43，选A.3．(2011·盐城模拟)某人射击一次击中的概率为35，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为( )A.81125B.54125C.36125D.27125[答案] A[解析] 该人3次射击，恰有两次击中目标的概率是 P 1＝C 23·(35)2·25，三次全部击中目标的概率是P 2＝C 33·(35)3， 所以此人至少有两次击中目标的概率是 P ＝P 1＋P 2＝C 23·(35)2·25＋C 33·(35)3＝81125.4．(2011·福州调研)已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E (ξ)＝6.3，则a 的值为( )A.5 C ．7 D ．8[答案] C[解析] 由0.5＋0.1＋b ＝1知，b ＝0.4，由E (ξ)＝4×0.5＋a ×0.1＋9×0.4＝6.3知，a ＝7，故选C. 5．(2012·杭州质检)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是( )A ．(0，712)B ．(712，1)C ．(0，12)D ．(12，1)[答案] C[解析] 由已知条件可得P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2，则E (X )＝P (X ＝1)＋2P (X ＝2)＋3P (X ＝3)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>1.75，解得p >52或p <12，又由p ∈(0,1)，可得p ∈(0，12)，故应选C.6．已知随机变量ξ，η满足ξ＝2η－1，且ξ～B (10，p )，若E (ξ)＝8，则D (η)＝( )A ．0.5B ．0.8C ．0.2D ．0.4[答案] D[解析] ∵E (ξ)＝10p ＝8，∴p ＝0.8，∴D (ξ)＝10p (1－p )＝10×0.8×0.2＝1.6，又D (ξ)＝D (2η－1)＝4D (η)，∴D (η)＝0.4.7．(2011·滨州模拟)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的件数，则E (ξ)＝________.[答案] 34[解析] 分布列如下：∴E (ξ)＝0×12C 316＋1×412C 316＋2×412C 316＋3×4C 316＝4.8．如果ξ～B (100， 12)，当P (ξ＝k )取得最大值时，k ＝________.[答案] 50[解析] P (ξ＝k )＝C k100⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－k＝C k100⎝ ⎛⎭⎪⎫12100，由组合数的性质知，当k ＝50时取到最大值．9．(2011·龙岩月考)袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望E (ξ)＝________.[答案] 1[解析] P (ξ＝0)＝C 23C 24＝12，P (ξ＝2)＝C 13·C 11C 24＝12，∴E (ξ)＝0×12＋2×12＝1.10．(2012·聊城市模拟)某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女学生；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法，从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动．(1)求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数； (2)求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率； (3)记ξ表示抽取的3名学生中男学生数，求ξ的分布列及数学期望．[解析] (1)因为数学兴趣小组人数：英语兴趣小组人数＝10:5＝2:1，从数学兴趣小组和英语兴趣小组中抽取3人，则抽取数学小组的人数为2人，英语小组的人数为1人．(2)从数学兴趣小组中抽取2人恰有一名女生的概率P ＝C 16·C 14C 210＝815.(3)随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3. P (ξ＝0)＝C 24C 210·35＝225；P (ξ＝1)＝C 16·C 14C 210·35＋C 24C 210·25＝2875；P (ξ＝2)＝C 26C 210·35＋C 16·C 14C 210·25＝3175；P (ξ＝3)＝C 26C 210·25＝215，所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×25＋1×75＋2×75＋3×15＝5.能力拓展提升11.(2011·温州十校联考)已知随机变量X～N(3,22)，若X＝2η＋3，则D(η)等于( )A．0 B．1 C．2 D．4[答案] B[解析]由X＝2η＋3，得D(X)＝4D(η)，而D(X)＝22＝4，∴D(η)＝1.12．(2011·广州模拟)一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，射击停止后尚余子弹的数目X的期望值为( )A．2.44 B．3.376C．2.376 D．2.4[答案] C[解析]X的取值为3、2、1、0，P(X＝3)＝0.6；P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24；P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096；P(X＝0)＝0.43×0.6＋0.44＝0.064.∴E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.13．(2012·河北石家庄市模拟)有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表：B 只能在约定日期的前12天出发．(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径．(2)若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元(其他费用忽略不计)，此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，销售商将少支付给生产商2万元．如果汽车A、B长期按(1)中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．(注：毛利润＝销售商支付给生产商的费用－一次性费用)[解析](1)频率分布表，如下：设A12将货物运往城市乙；B1、B2分别表示汽车B在前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙．P(A1)＝0.2＋0.4＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∴汽车A应选择公路1.P(B1)＝0.2＋0.4＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∴汽车B应选择公路2.(2)设X表示汽车A选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则X＝42,40,38,36.X的分布列如下：E(X)∴汽车A选择公路1时的毛利润为39.2－3.2＝36.0(万元)设Y表示汽车B选择公路2时的毛利润，Y＝42.4，40.4，38.4,36.4.则分布列如下：E(Y)39.4，∴汽车B选择公路2时的毛利润为39.4万元，∵36.0<39.4，∴汽车B为生产商获得毛利润更大．14．(2012·陕西理，20)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：(1)估计第三个顾客恰好等待4min开始办理业务的概率；(2)X表示至第2min末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．[分析] (1)由表中所给出的数值，第三个顾客恰好等待4min开始办理业务应分三种情况，逐一列出后求出其概率．(2)从已知条件知，X的值为0人，1人，2人三种情况，特别当x＝1时要注意再进行分类讨论．[解析]设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：(1)A事件A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1min，且第二个顾客办理业务所需的时间为3min；②第一个顾客办理业务所需的时间为3min，且第二个顾客办理业务所需的时间为1min；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2min.所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2min，所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5；X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1min且第二个顾客办理业务所需的时间超过1min，或第一个顾客办理业务所需的时间为2min，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y>1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；X ＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1min ，所以P (X ＝2)＝P (Y ＝1)P (Y ＝1)＝0.1×0.1＝0.01； 所以X 的分布列为E (X )15．设两球队A 、B 进行友谊比赛，在每局比赛中A 队获胜的概率都是p (0≤p ≤1)．(1)若比赛6局，且p ＝23，求其中A 队至多获胜4局的概率是多少？(2)若比赛6局，求A 队恰好获胜3局的概率的最大值是多少？ (3)若采用“五局三胜”制，求A 队获胜时的比赛局数ξ的分布列和数学期望．[解析] (1)设“比赛6局，A 队至多获胜4局”为事件A ， 则P (A )＝1－[P 6(5)＋P 6(6)]＝1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤C 56⎝ ⎛⎭⎪⎫235⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋C 66⎝ ⎛⎭⎪⎫236＝1－256729＝473729.∴A 队至多获胜4局的概率为473729.(2)设“若比赛6局，A 队恰好获胜3局”为事件B ，则P (B )＝C 36p 3(1－p )3.当p ＝0或p ＝1时，显然有P (B )＝0. 当0<p <1时，P (B )＝C36p 3(1－p )3＝20·[p (1－p )]3≤20·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫p ＋1－p 223＝20·⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝516， 当且仅当p ＝1－p ，即p ＝12时取等号．故A 队恰好获胜3局的概率的最大值是516. (3)若采用“五局三胜”制，A 队获胜时的比赛局数ξ＝3,4,5.P (ξ＝3)＝p 3；P (ξ＝4)＝C 23p 3(1－p )＝3p 3(1－p )； P (ξ＝5)＝C 24p 3(1－p )2＝6p 3(1－p )2，所以ξ的分布列为：E (ξ)＝3p 3[点评] 本题第(3)问容易出错，“五局三胜制”不一定比满五局，不是“五局中胜三局”．A 队获胜包括：比赛三局，A 队全胜；比赛四局，A 队前三局中胜两局，第四局胜；比赛五局，前四局中胜两局，第五局胜，共三种情况．1．设随机变量ξ服从分布P (ξ＝k )＝k15，(k ＝1、2、3、4、5)，E (3ξ－1)＝m ，E (ξ2)＝n ，则m －n ＝( )A ．－319B ．7 C.83 D ．－5[答案] D[解析] E (ξ)＝1×115＋2×215＋3×315＋4×415＋5×515＝113，∴E (3ξ－1)＝3E (ξ)－1＝10，又E (ξ2)＝12×115＋22×215＋32×315＋42×415＋52×515＝15，∴m－n ＝－5.2．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( )A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.977[答案] C[分析] 若ξ～N (μ，σ2)，则μ为其均值，图象关于x ＝μ对称，σ为其标准差．[解析] ∵P (ξ>2)＝0.023，∴P (ξ<－2)＝0.023， 故P (－2≤ξ≤2)＝1－P (ξ>2)－P (ξ<－2)＝0.954.故选C. [点评] 考查其对称性是考查正态分布的主要方式．3．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a ，平局的概率为b ，负的概率为c (a ，b ，c ∈[0,1))，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab 的最大值为( )A.13 B.12 C.112 D.16 [答案] C[解析] 由条件知，3a ＋b ＝1，∴ab ＝13(3a )·b ≤13·⎝⎛⎭⎪⎫3a ＋b 22＝112，等号在3a ＝b ＝12，即a ＝16，b ＝12时成立． 4．(2012·重庆理，17)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望．[分析] (1)“甲获胜”的含义是：第一次甲中，或者第一次甲、乙都不中、第二次甲中，或者第一、二次甲、乙都不中，第三次甲中．(2) “甲投球次数”ξ的取值为1、2、3，ξ＝1表示第一次甲中；ξ＝2表示第一次甲、乙都未中，第二次甲中；ξ＝3表示第一、二次甲、乙都不中，第三次甲中．[解析] 设A k ，B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则 P (A k )＝13，P (B k )＝12，(k ＝1,2,3)．(1)记“甲获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (C )＝P (A 1)＋P (A 1B 1A 2)＋P (A 1B 1A 2B 2A 3)＝P (A 1)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3) ＝13＋23×12×13＋(23)2×(12)2×13 ＝1327. (2)ξ的所有可能值为1,2,3.由独立性知P (ξ＝1)＝P (A 1)＋P (A 1B 1)＝13＋23×12＝23，P (ξ＝2)＝P (A 1B 1A 2)＋P (A 1B 1A 2B 2)＝23×12×13＋(23)2(12)2＝29， P (ξ＝3)＝P (A 1B 1A 2B 2)＝(23)2×(12)2＝19. 综上知，ξ的分布列为：从而，E (ξ)＝1×3＋2×9＋3×9＝9(次)．[点评] 求事件发生的概率与分布列、期望是高考中的常见题型，求解时要弄清事件的性质以及可能性．。