【新教材】新人教A版 高中数学必修二 平面向量的数量积 课件(26张)
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人教A版 必修(第二册)上课用PPT平面向量数量积
【知识应用】 一、数量积的基本运算 a
人教A版 必修（第二册）优秀课件平面向量 数量积
例1．已知|a |=5，|b |=4，a与b的夹角
120
求: (1) a ·b
（2）a在b上的a· 投影
b
（3）b在a上的投影
人教A版 必修（第二册）优秀课件平面向量 数量积
数量积的性质： 人教A版必修（第二册）优秀课件平面向量数量积
B
B
B
b
b
b
O
B1 a A
θ为锐角时，
| b | cosθ＞0
B1 O a A
θ为钝角时， | b | cosθ＜0
O aA
θ为直角时， | b | cosθ=0
a ·b的几何意义：数量积a ·b等于a的长度 |a|与b在a的方向上投影|b|cos的乘积。
人教A版 必修（第二册）优秀课件平面向量 数量积
小结
1、一个意义 2、两个定义（数量积、投影) 3、三个运算律 4、四条性质
山 人东 教省 A版莱州必市修第（一第中二学册人）教优A秀版课（件20平19面）向量必数修量（积第二册）课件：6.2.4平面向量 数量积 (共20 张PPT)
·b|≤源自|a|·|
b
|
人教A版 必修（第二册）优秀课件平面向量 数量积
数量积的运算律 人教A版必修（第二册）优秀课件平面向量数量积
类比数量积得运算律:
在实数中 交换律: ab=ba
在向量运算中
a•bb•a ( √ )
结合律： (ab)c=a(bc) (a•b)ca(b•c) (×)
(a ) • b ( a • b ) a • (b )( √ )
人教A版 必修（第二册）优秀课件平面向量 数量积
人教高中数学A版必修二 (向量的数量积)平面向量及其应用新课件
新知探究
5.向量数量积的运算律有哪些？
已知向量 a，b, c 和实数λ，则： （1）.交换律：a b b a （2）.数乘结合律： (a) b (a b) a (b) （3）.分配律： (a b) c a c b c
新知探究
例1：若 | a | 2，| b | 4， （1）当 a//b ，求 a b
注意： a b 不能写成 a b 或 ab 的形式。
新知探究
ba （1）b cos 叫作向量 b在a 方向上的射影。 注意：射影也是一个数量，不是向量。
（2）数量积的几何意义：a b是 a 的模与 b在a 方向上的投影的乘积 ，也 等于 b 的模与 a在b 方向上的投影的乘积，a在b 与b在a 方向上的投影是不 同的
（2）向量 a 与向量 b 的夹角的夹角120度，求 a b
（3）当 ab ，求 a b
（2）向量 a 与向量 b 的夹角的夹角60度，求向量 a
在向量 b 方向上的投影
新知探究
例1：若 | a | 2，| b | 4，
（1）当 a//b ，求 a b 解：（1）当a//b，若 a, b 同向，则a与b的夹角为0度
所以 a b | a || b | cos 00 2 4 1 8
新知探究
解：（1）当a//b，若 a, b 同向，则a与b的夹角为0度
所以 a b | a || b | cos 00 2 4 1 8
若 a, b反向，则 a与b 的夹角为180度
所以 a b | a || b | cos1800 2 4 （1） 8
（4）若x2 1 ，x则1 x；2 1 x 1或x 1.
（5）若a b ，则ac bc ； （6）若 都为无理数，则 为无理数；
人教A版新课标高中数学必修二 《向量的数量积》课件
(1) a b (2) a2 b2 (3) 2a ba 3b (4) a b
(5) a b
课堂小结
【问题3】你能够回答一下本节课我们都学习了哪些新的知识？
再见
a bc a c bc
怎么证明呢？
思考探究
那么结合律呢？
a bc abc
很好，大家的类比还是很强。但是我说这个等式不成立，你们知道为什么吗？
等式的两边我们可以看成向量与实数的数乘运算，结果是向量. 而向量的相等需要模相等并且方向相同，而等式的左边的向量 与向量 c 共线，右边的向量与向量 a 共线，所以一般情况下这个 等式不成立.
已知两个非零向量向量 a 与 b ，我们把数量 a b cos 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)， 记作 a b，即 a b a b cos ， 其中 是 a 与 b 的夹角， a cos ( b cos )叫做向量 a 在 b 方向上( b 在a 方向上)的投影.
我们规定：零向量与任一向量的数量积为 0 .
例 2. 已知 a 1 ， b 2 . (1)若 a いb ，求 a b ；
(2)若 a 与 b 的夹角 3 π ，求 a b .
4
思考探究
【问题 3】向量的数量积有什么性质？
【即时提问】
a b a b 0 ，对吗？
能不能用向量的数量积表示向量的模？
思考探究
【问题 4】我们说向量本身兼具“数”和“形”，你能够说一说数量积的几何意义吗？
由向量投影的定义，我们可以得到 a b 的几何意义：
数量积 a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos 的乘积.
思考探究
uuur uuur
思考题：在圆 C 中，已知弦 AB 的长为 l ，那么 AB AC 的值为多少？
(5) a b
课堂小结
【问题3】你能够回答一下本节课我们都学习了哪些新的知识？
再见
a bc a c bc
怎么证明呢？
思考探究
那么结合律呢？
a bc abc
很好，大家的类比还是很强。但是我说这个等式不成立，你们知道为什么吗？
等式的两边我们可以看成向量与实数的数乘运算，结果是向量. 而向量的相等需要模相等并且方向相同，而等式的左边的向量 与向量 c 共线，右边的向量与向量 a 共线，所以一般情况下这个 等式不成立.
已知两个非零向量向量 a 与 b ，我们把数量 a b cos 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)， 记作 a b，即 a b a b cos ， 其中 是 a 与 b 的夹角， a cos ( b cos )叫做向量 a 在 b 方向上( b 在a 方向上)的投影.
我们规定：零向量与任一向量的数量积为 0 .
例 2. 已知 a 1 ， b 2 . (1)若 a いb ，求 a b ；
(2)若 a 与 b 的夹角 3 π ，求 a b .
4
思考探究
【问题 3】向量的数量积有什么性质？
【即时提问】
a b a b 0 ，对吗？
能不能用向量的数量积表示向量的模？
思考探究
【问题 4】我们说向量本身兼具“数”和“形”，你能够说一说数量积的几何意义吗？
由向量投影的定义，我们可以得到 a b 的几何意义：
数量积 a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos 的乘积.
思考探究
uuur uuur
思考题：在圆 C 中，已知弦 AB 的长为 l ，那么 AB AC 的值为多少？
人教A版(2019)高中数学必修二(第二册)第六章第1节《向量的数量积》课件(共24张PPT)
二、知识梳理
2.明晰数量积的定义
（1）定义 ：a b＝｜a｜｜b｜cos
（2）定义的简单说明：
问题5：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响 数量积大小的因素有哪些？并完成下表：
夹角α的范围 0°≤α<90° a b的正负
α=90°
90°<α≤180°
二、知识梳理
3.研究数量积的几何意义
（1）给出向量投影的概念 B
b
O
α
A
|b|cos α B1
（2）问题6：数量积的几何意义是什么？
二、知识梳理
4.研究数量积的物理意义
问题7:（1）功的数学本质是什么？ （2）尝试练习
一物体质量是10千克，分别做以下运动，求重力做功 的大小。 ①在水平面上位移为10米； ②竖直下降10米； ③竖直向上提升10米 ④沿倾角为30度的斜面向上运动10米；
三、课堂小结
1.本节课我们学习的主要内容是什么？ 2.平面向量数量积的两个基本应用是什么？ 3.我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究？ 在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？ 4.类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积？
谢谢观看
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上，要不断反思、关 照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大事者，不惟有超世 之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已，不亦远乎?心中有 理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭疏食，饮水，曲肱 而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策，有包藏宇宙之机， 吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐民之乐者，民亦乐 其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与不学同；知而不能 行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不信者行不果。立志 越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友 交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担当。为天地立心， 为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德 载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立志，难成！海纳百 川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。”真正努力精进 者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学技术，都需要无数次 的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁击溃过你，都不重要。 重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。最深的孤独不是长久的 一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一个人的价值，应该看他 贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程，最难的是相知，最苦的是等待，最幸福 的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。人若软 弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便是黑暗中的那一盏明灯， 可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说我只爱你一个。生命太过短暂，今天放弃了明天 不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、相信自己，坚信自己的目标，去承受常人承受不了 的磨难与挫折，不断去努力、去奋斗，成功最终就会是你的！既然爱，为什么不说出口，有些东西失去了，就在也回不来了！对于人来说，问心无愧是最舒服的枕头。嫉妒他人，表明 他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人当人；在人之下，要把自己当人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待阳光，人就会从卑微中站起来，带着封存梦 想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。人只要不失去方向，就不会失去自己。过去的习惯，决定今天的你，所以，过去的懒惰，决定你 今天的一败涂地。让我记起容易，但让我忘记我怕我是做不到。不要跟一个人和他议论同一个圈子里的人，不管你认为他有多可靠。想象困难做出的反应，不是逃避或绕开它们，而是 面对它们，同它们打交道，以一种进取的和明智的方式同它们奋斗。他不爱你，你为他挡一百颗子弹也没用。坐在电脑前，不知道做什么，却又不想关掉它。做不了决定的时候，让时 间帮你决定。如果还是无法决定，做了再说。宁愿犯错，不留遗憾。发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自己发现的意志，并 把研究继续下去。我的本质不是我的意志的结果，相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。公共的利益，人类 的福利，可以使可憎的工作变为可贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶，叶而后花。意志的 出现不是对愿望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。即使遇到了不幸的灾 难，已经开始了的事情决不放弃。最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。意志若是屈从，不论程度如何， 它都帮助了暴力。有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。意志坚强，只有刚强的人，才有神圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。卓越的人的一大优点是：在不利和艰难 的遭遇里百折不挠。疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。能够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什 么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。
高二下学期数学人教A版必修第二册6.2.4向量的数量积课件
6.2.4平面向量的数量积
学习重点
平面向量数量积的概念与物理意义;
数量积的几何性质和代数性质;
向量投影的概念;
投影向量的意义
教学难点
平面向量数量积的概念及几何性质，投影向量的意义
情景引入
向量可以进行加、减运算，以及数乘运算，这三种运算称为向量的线性运算。
• 问题1：类比数的运算，你认为接下来还可以研究向量的什么运算？你认为应按怎
已知乘积求夹角cos =
⋅
探究二
问题4：接下来我们要研究数量积运算的性质，根据已有的研究经验，你认为可以从哪些
角度研究数量积的性质？
(1) a ·e =|a|cosθ
(2) a ⊥b ⟺ a · b =0
(3)当a与b同向时， a · b =| a || b |；
当a与b反向时， a · b =-| a || b |
• 向量数量积的定义：非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与
b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ
• 规定：零向量与任一向量的数量积等于0
• 追问1：向量的数量积运算与向量的数乘运算的结果有什么不同？
• 追问2：影响数量积大小的因素有哪些？
• 追问3：若≠0，且
又因为 ·( ＋2 )＝| |2＋2 · ＝1－ = ，所以 ＝
又θ∈[0，π]，故θ＝
(+)
||+|
=
例题讲解
【例3】已知||=6，||=4，与的夹角为60º，求(+2)·(-3)
解：( +2 )·( -3 ) = · -3 · +2 · -6 ·
学习重点
平面向量数量积的概念与物理意义;
数量积的几何性质和代数性质;
向量投影的概念;
投影向量的意义
教学难点
平面向量数量积的概念及几何性质，投影向量的意义
情景引入
向量可以进行加、减运算，以及数乘运算，这三种运算称为向量的线性运算。
• 问题1：类比数的运算，你认为接下来还可以研究向量的什么运算？你认为应按怎
已知乘积求夹角cos =
⋅
探究二
问题4：接下来我们要研究数量积运算的性质，根据已有的研究经验，你认为可以从哪些
角度研究数量积的性质？
(1) a ·e =|a|cosθ
(2) a ⊥b ⟺ a · b =0
(3)当a与b同向时， a · b =| a || b |；
当a与b反向时， a · b =-| a || b |
• 向量数量积的定义：非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与
b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ
• 规定：零向量与任一向量的数量积等于0
• 追问1：向量的数量积运算与向量的数乘运算的结果有什么不同？
• 追问2：影响数量积大小的因素有哪些？
• 追问3：若≠0，且
又因为 ·( ＋2 )＝| |2＋2 · ＝1－ = ，所以 ＝
又θ∈[0，π]，故θ＝
(+)
||+|
=
例题讲解
【例3】已知||=6，||=4，与的夹角为60º，求(+2)·(-3)
解：( +2 )·( -3 ) = · -3 · +2 · -6 ·
高一下学期数学人教A版必修第二册6.2.4向量的数量积课件
6.2.4 向量的数量积（1）
思考 前面我们学习了向量的加法、减法运算. 类比数的运算，出现了一个 自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？
一个物体在力F的作用下产生位移s，那么F所做的功为
F
W=|F||s|cosθ (其中θ是F与s的夹角)
s
功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定. 这给我们一种启示，能 否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启示，我们引入向量“数 量积”的概念.
3. 投影向量
如图示,设a, b是两个非零向量，AB a，CD b，过 AB 的起点A和终点B 分别
作CD 所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向
向量b投影, A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量.
B
a
A
M
a
C A1
b
B1 D
O
b M1 N
若在平面内任取一点O,作OM a,ON b.过点M 作直线ON 的垂线,垂足为 M1,则 OM1就是向量a 在向量b上的投影向量.
探究如图,设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为 ,
那么OM1与e ,a , 之间有何关系？
O
显然，OM1与e共线,于是OM1 e.
M
a
b M1 N
如图(1),当为锐角时 如图(2),当为直角时
如图(3),当为钝角时
M
a
O
b M1
N
பைடு நூலகம்
图(1)
M
a
O
M1
b
N
图(2)
M
a
b
M1
O
N
图(3)
| OM1 || a | cos ∴ OM1 | a | cos e
思考 前面我们学习了向量的加法、减法运算. 类比数的运算，出现了一个 自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？
一个物体在力F的作用下产生位移s，那么F所做的功为
F
W=|F||s|cosθ (其中θ是F与s的夹角)
s
功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定. 这给我们一种启示，能 否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启示，我们引入向量“数 量积”的概念.
3. 投影向量
如图示,设a, b是两个非零向量，AB a，CD b，过 AB 的起点A和终点B 分别
作CD 所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向
向量b投影, A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量.
B
a
A
M
a
C A1
b
B1 D
O
b M1 N
若在平面内任取一点O,作OM a,ON b.过点M 作直线ON 的垂线,垂足为 M1,则 OM1就是向量a 在向量b上的投影向量.
探究如图,设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为 ,
那么OM1与e ,a , 之间有何关系？
O
显然，OM1与e共线,于是OM1 e.
M
a
b M1 N
如图(1),当为锐角时 如图(2),当为直角时
如图(3),当为钝角时
M
a
O
b M1
N
பைடு நூலகம்
图(1)
M
a
O
M1
b
N
图(2)
M
a
b
M1
O
N
图(3)
| OM1 || a | cos ∴ OM1 | a | cos e
2019-2020学年新人教A版必修二 平面向量的数量积 课件(35张)
A所以∠ABC=30°,故选 A.
关闭 关闭
解析 答案
知识梳理 双基自测
12345
4.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=
-13-
.
因为|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4×|a|×|b|×cos 60°+4|b|2=22+4×2×1×1+4×1=12,
2
-19-
考点1
考点2
考点3
(2)因为在△ABC 中,D 是 BC 的中点,
所以������������ + ������������=2������������.
又因为������������ − ������������ = ������������,
所以������������
=
2������������ +������������ 2
(6)若������������ ∥ ������������,则 A,B,C 三点共线. ( )
(7)在△ABC 中,若������������ ·������������<0,则△ABC 为钝角三角形. ( )
关闭
(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√
答案
-11-
知识梳理 双基自测
所以|a+2b|= 12=2 3.
23
关闭
关闭
解析 答案
知识梳理 双基自测
12345
5.在△ABC 中,AB=2,BC=3,∠ABC=π,则������������ ·������������=
4
-14-
.
������������ ·������������=|������������||������������|cos
2019-2020学年度新人教A版必修第二册6.2.4、向量的数量积课件
栏目导航
思考：a·(b·c)＝(a·b)·c 成立吗？ [提示] (a·b)·c≠a·(b·c)，因为 a·b，b·c 是数量积，是实数，不 是向量，所以(a·b)·c 与向量 c 共线，a·(b·c)与向量 a 共线．因此，(a·b)·c ＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
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1．已知单位向量 a，b，夹角为 60°，则 a·b＝( )
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[思路探究] 根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解 答．
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3 (1)2
[设 a 与 e1 的夹角为 θ，则 a 在 e1 上的投影为|a|cos θ＝a|e·e1|1
＝a·e1＝(2e1－e2)·e1
＝2e21－e1·e2
＝2－1×1×cosπ3＝32.]
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(2)[解] ①(a＋b)·(a－b) ＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝100－9＝91. ②因为|a|＝10，|b|＝3，且向量 a 与 b 的夹角为 120°， 所以 a·b＝10×3×cos 120°＝－15， 所以(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2 ＝200＋15－9＝206.
法的区别．(易混点)
数学运算和数据分析的核心素养.
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自主预习 探新知
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1．两向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作 O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
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(2)特例：①当θ＝0时，向量a，b同向 ． ②当θ＝π时，向量a，b 反向 ． ③当θ＝π2时，向量a，b 垂直 ，记作a⊥b. 2．平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做 向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.特别地，零 向量与任何向量的数量积等于0 .
新人教A版必修二 向量的数量积 课件(29张)
归纳升华 1．此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联 系． 2．利用 a·a＝a2＝|a|2 或|a|＝ a2，可以实现实数运算 与向量运算的相互转化．
[变式训练] 设向量 a，b，c 满足 a＋b＋c＝0，(a－
b)⊥c，|a|＝1，则|b|＝________． 解析：因为 a＋b＋c＝0，所以 c＝－(a＋b)． 因为(a－b)⊥c，所以 c·(a－b)＝0， 所以－(a＋b)·(a－b)＝0，所以 a2－b2＝0， 所以|b|＝|a|＝1. 答案：1
新知讲解与以往运算法则的区别及注意点新知讲解新知讲解abcda1b1omnm1新知讲解omnm1新知讲解omnm1nm1nm1omom图6221新知讲解从上面的讨论可知新知讲解由向量数量积的定义可以得到向量数量积的如下重要性质
[学习目标] 1.通过物理中“功”理解平面向量数量 积的含义(重点、难点)． 2.体会平面向量的数量积与向 量投影的关系，掌握平面向量数量积的运算律(易错点、 易混点)． 3.会用两个向量的数量积解决向量的垂直问 题． 4.理解向量的数量积的几何意义(难点)． 5.会用 向量的数量积解决夹角、模等问题(重点、难点)．
则 c＝32，－ 23. 把 a、b、c 的坐标代入 c＝ta＋(1－t)b，得 t＝2. 答案：(1)D (2)2
归纳升华 向量数量积的求法
1．求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及 向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积 的关键．
2．根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的 混合运算类似于多项式的乘法运算．
(3)因为A→B与A→D的夹角为 60°，所以A→B与D→A的夹角 为 120°，
所以A→B·D→A＝|A→B||D→A|cos 120°＝4×3×－12＝－6. (4)因为A→B与A→D的夹角为 60°，而C→B与A→D方向相反， 所以A→B与C→B的夹角为 120°， 所以A→B在C→B方向上的投影为|A→B|cos 120°＝4×－12 ＝－2.
向量的数量积【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件2
投影向量
1.如图,设a,b是两个非零向量, =a, =b,考虑如下的变换:过 的起点A和
终点B,分别作 所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到
,则称上述变换为向
量a向向量b⑤ 投影 ,
叫做向量⑥ a 在向量⑦ b 上的投影向量.
2.设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的投影向 量是⑧ |a|cos θ e .
由题意得 ⊥ ,| |=| |=1,
设非零向量a与b的夹角为θ,则cos θ>0⇔a·b>0.
用 , 表示 , ,然后利用平面向量的运算律及数量积的定义求解.
∴(a+b)2=(c+d)2,即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2.
两向量的数量积仍是一个向量.
理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.
,得(
+
)· =0,
对数于量任 积意的向定即量义2中a,b要,总注有意·(两a·b向)2=量=0a的,2故起·b2点A. 重M合⊥时所BC对.应的角才是两个向量的夹
角,两向量夹角的范围是[0,π].
2. 由 - - =2 · ,得( + )2= ,
示),则② ∠AOB=θ (0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
3.数量积的定义中要注意两向量的起点重合时所对应的角才是两个向量的夹 角,两向量夹角的范围是[0,π].
4.向量数量积的性质: 设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,则 (1)(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2; (2)(a±b)2=|a±b|2=|a|2±2a·b+|b|2=a2±2a·b+b2;
向量的数量积课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
新知探究
二、向量的数量积：
已知两个非零向量 a与b ，它们的夹角为θ，把数量 | a || b | cos 做
向量 a与b 的数量积(或内积)，记作 a b ，即
B
a b | a || b | cos
b
规定，零向量与任何向量的数量积等于0.
强调: ①“·”不能省略不写，也不能写成“×”.
( + )( − ) = 2 − 2 .对任意向量，，是否也有下面类似的结论？
(1)( + ) = + 2 ∙ + ；(2)( + ) ∙ ( − ) = − .
解：(1)( + ) = ( + ) ∙ ( + )
完全平方公式、平方差公式
∙
=
=
所以向量在向量上的投影向量为：
为向量的单位向量，即 =
所以向量在向量上的投影向量为：
= ×
= ×
=
(3)( + ) ∙ = ∙ + ∙ .
思考1
若 ∙ = ∙ 成立，那么 = 成立吗？为什么.
思考2
设，，是向量，( ∙ ) = ( ∙ )一定成立吗？为什么？
学以致用
例11
我们知道，对任意， ∈ ，恒有( + )2 = 2 + 2 + 2 ，
| a |2或|a|＝
aa .
(4)| a·b|≤| a||b|.
学以致用
例9 已知||
Ԧ = 5，|| = 4，与的夹角
Ԧ
=
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(3)cos θ＝__________. (4)|a·b|___≤____|a||b|.
5．向量数量积的运算律
(1)a·b＝____b_·a___(交换律)． (2)(λa)·b＝___λ_(_a_·b__)__＝___a__(λ_·_b_)__ (λ∈R)． (3)(a＋b)·c＝__a__·c_＋___b_·c____.
4．向量数量积的性质 a、b 是两个非零向量，它们的夹角为 θ.
(1)当 a 与 b 同向时，a·b＝_|a__||b__| __；当 a 与 b 反向时，a·b＝－__|_a_|_|b_|_； 特别地，a·a＝_a__2＝___|a_|_2__或|a|＝_________.
(2)a·b＝0⇒__a_⊥___b____.
【变式探究】
1．(1) (经典真题)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的
中点，则 AE ·BD ＝______. (2) (经典真题)设向量 a，b 满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6，则
a·b ＝( )
A．1
B．2
C．3
D．5
考点二·向量的夹角
【例 2】(2017·山东卷)已知 e1，e2 是互相垂直的单位向量． 若 3e1－e2 与 e1＋λe2 的夹角为 60°，则实数 λ 的值是________．
则 AF ·BC 的值为( )
A.－58
1 B.8
1
11
C.4
D. 8
Thank you for watching !
1．两向量的夹角与垂直
已知两个非零向量 a、b，作 OA ＝a， OB ＝b，则 _∠__A_O__B_＝__θ_(_0_°_≤_θ_≤_1_8_0_°_) ______叫做向量 a、b 的夹角，特别地，当 a 与 b 夹角为 90°时，我们说 a 与 b 垂直，记作__a_⊥__b_____.
2．向量数量积的定义 已知两个非零向量 a、b，它们的夹角为 θ，我们把数量 __|a_|_·_|b_|c_o_s__θ_叫做 a 与 b 的数量积，记作 a·b，即 a·b＝__|a_|·_|b_|_c_o_s_θ__. 规定 0 与任一向量的数量积为___0___.
【变式探究】
2．(2018·石家庄二模)若两个非零向量 a，b 满足|a＋b|＝|a－
b|＝2|b|，则向量 a＋b 与 a 的夹角为( )
π
π
A.6
B.3
2π
5π
C. 3
D. 6
考点三·向量数量积的综合应用
【例 3】 (2016·天津卷)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点
D,E 分别是边 AB,BC 的中点,连接 DE 并延长到点 F,使得 DE＝2EF,
两个向量 a，b 的夹角为钝角⇔a·b<0 且 a，b 不共线． 2．平面向量数量积的常用公式 (1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. (3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
1．在边长为 1 的等边△ABC 中，设 BC ＝a， CA ＝b， AB ＝c， 则 a·b＋b·c＋c·a 等于( )
6．向量数量积的坐标表示
(1)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝__x_1_x_2＋___y_1y_2. (2)若 a＝(x，y)，则 a·a＝a2＝|a|2＝__x_2_＋__y_2_，|a|＝___________.
(3)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则| AB |＝_________________，此时为两点 间的距离公式．
A．－32
B．0
3 C.2
D．3
解：因为<a，b>＝120°，所以 a·b＝1×1×cos 120°＝－12，
1
3
同理，b·c＝c·a＝－2，所以 a·b＋b·c＋c·a＝－2.
答案：A
求向量的数量积、模 向量的夹角 向量数量积的综合应用
考点一·求向量的数量积、模
【例 1】 已知|a|＝2，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120°，则： (1)(2a－b)·(a＋3b)＝____________； (2)|a＋b|＝__________.
(4)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔__x_1_x_2_＋__y_1_y_2_＝__0_.
(5)a、b 是两个非零向量，它们的夹角为 θ，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则 cos θ＝_______________ .
1．两个向量 a，b 的夹角为锐角⇔a·b>0 且 a，b 不共 线；
3．a·b 的几何意义向量 a 与 b 的夹角，则_|_a_|c_o_s__θ__叫作 a 在 b 方向上的投影， __|_b_|c_o_s__θ__作 b 在 a 方向上的投影．
(2)a·b 的几何意义：a·b 等于 a 的长度__|a_|__与 b 在 a 方向上的投影 __|b__|c_o_s__θ_的乘积．
5．向量数量积的运算律
(1)a·b＝____b_·a___(交换律)． (2)(λa)·b＝___λ_(_a_·b__)__＝___a__(λ_·_b_)__ (λ∈R)． (3)(a＋b)·c＝__a__·c_＋___b_·c____.
4．向量数量积的性质 a、b 是两个非零向量，它们的夹角为 θ.
(1)当 a 与 b 同向时，a·b＝_|a__||b__| __；当 a 与 b 反向时，a·b＝－__|_a_|_|b_|_； 特别地，a·a＝_a__2＝___|a_|_2__或|a|＝_________.
(2)a·b＝0⇒__a_⊥___b____.
【变式探究】
1．(1) (经典真题)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的
中点，则 AE ·BD ＝______. (2) (经典真题)设向量 a，b 满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6，则
a·b ＝( )
A．1
B．2
C．3
D．5
考点二·向量的夹角
【例 2】(2017·山东卷)已知 e1，e2 是互相垂直的单位向量． 若 3e1－e2 与 e1＋λe2 的夹角为 60°，则实数 λ 的值是________．
则 AF ·BC 的值为( )
A.－58
1 B.8
1
11
C.4
D. 8
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1．两向量的夹角与垂直
已知两个非零向量 a、b，作 OA ＝a， OB ＝b，则 _∠__A_O__B_＝__θ_(_0_°_≤_θ_≤_1_8_0_°_) ______叫做向量 a、b 的夹角，特别地，当 a 与 b 夹角为 90°时，我们说 a 与 b 垂直，记作__a_⊥__b_____.
2．向量数量积的定义 已知两个非零向量 a、b，它们的夹角为 θ，我们把数量 __|a_|_·_|b_|c_o_s__θ_叫做 a 与 b 的数量积，记作 a·b，即 a·b＝__|a_|·_|b_|_c_o_s_θ__. 规定 0 与任一向量的数量积为___0___.
【变式探究】
2．(2018·石家庄二模)若两个非零向量 a，b 满足|a＋b|＝|a－
b|＝2|b|，则向量 a＋b 与 a 的夹角为( )
π
π
A.6
B.3
2π
5π
C. 3
D. 6
考点三·向量数量积的综合应用
【例 3】 (2016·天津卷)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点
D,E 分别是边 AB,BC 的中点,连接 DE 并延长到点 F,使得 DE＝2EF,
两个向量 a，b 的夹角为钝角⇔a·b<0 且 a，b 不共线． 2．平面向量数量积的常用公式 (1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. (3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
1．在边长为 1 的等边△ABC 中，设 BC ＝a， CA ＝b， AB ＝c， 则 a·b＋b·c＋c·a 等于( )
6．向量数量积的坐标表示
(1)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝__x_1_x_2＋___y_1y_2. (2)若 a＝(x，y)，则 a·a＝a2＝|a|2＝__x_2_＋__y_2_，|a|＝___________.
(3)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则| AB |＝_________________，此时为两点 间的距离公式．
A．－32
B．0
3 C.2
D．3
解：因为<a，b>＝120°，所以 a·b＝1×1×cos 120°＝－12，
1
3
同理，b·c＝c·a＝－2，所以 a·b＋b·c＋c·a＝－2.
答案：A
求向量的数量积、模 向量的夹角 向量数量积的综合应用
考点一·求向量的数量积、模
【例 1】 已知|a|＝2，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120°，则： (1)(2a－b)·(a＋3b)＝____________； (2)|a＋b|＝__________.
(4)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔__x_1_x_2_＋__y_1_y_2_＝__0_.
(5)a、b 是两个非零向量，它们的夹角为 θ，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则 cos θ＝_______________ .
1．两个向量 a，b 的夹角为锐角⇔a·b>0 且 a，b 不共 线；
3．a·b 的几何意义向量 a 与 b 的夹角，则_|_a_|c_o_s__θ__叫作 a 在 b 方向上的投影， __|_b_|c_o_s__θ__作 b 在 a 方向上的投影．
(2)a·b 的几何意义：a·b 等于 a 的长度__|a_|__与 b 在 a 方向上的投影 __|b__|c_o_s__θ_的乘积．