9-5曲面与曲线方程

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【注】此表达式中，缺z。 同理： ( x, z ) 0 ( y, z ) 0 为准线，母线分别平行 以 , y 0 x 0 于y，z轴的柱面方程分别为： ( x, z) 0, ( y, z) 0 其中：y 2 z 2 2 代表母线平行于x轴的圆柱面； x2 z 2 0 代表母线平行于y轴的圆柱面；
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x2 y2 2 2 1 例7 把曲线 a b z 0 绕x轴旋转，所形成的旋转曲面的方程：
x2 y 2 z 2 1 2 2 a c 绕z轴旋转，所形成的旋转曲面的方程： x y z 2 1 2 a c
2 2 2
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§5
曲面及其方程
在前面，我们已知，空间平面对应于一 个三 元一次方程. Ax By Cz D 0 (1) 反之，任意一个三元一次方程也对应于空间 中的一个平面. 如果平面 的方程是(1)，其含义是平面 上任意动点(x, y, z)都是(1)的解. 而(1)的每一组解 也对应于 上某一点.
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2.锥面 下面介绍一般锥面定义： 一直线通过一定点P0与一条不经过P0的定曲线
相交而移动所产生的曲面为锥面.
其中定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准 线，构成准线的直线称为锥面的母线.(见下图) P
P0
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(xx 0) 2(yy 0) 2(zz 0) 2R 2．
的形式， 它的图形就是一个球面．
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空间曲线可以视为两区面的交线，设两曲面的 方程分别为： 则空间曲线L的一般方程：
（*）
有如下关系： （1）曲线L上所有点的坐标都满足（*） （2）坐标满足（*）的所有点都在曲线L上。 则称方程（*）为曲面L的一般方程，而曲线L 称为方程组（*）对应的曲线。 例如： 表示空间中的一个圆
（1）与L在yoz平面，其方程为f ( y, z ) 0 则绕y旋转得方程为：f ( y, x 2 z 2 ) 0 绕z旋转得方程为：f ( x 2 y 2 , z ) 0 （2）设与L在xoy平面，其方程为 ( x, y ) 0 则绕x旋转一周所得方程为： ( x, y z ) 0
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3.旋转曲面
一条曲线绕一条直线l旋转所产生的曲面称为 旋转曲面.
l
直线 曲线称为母线， l称为轴.
母线上的点旋转所得的圆称为纬圆，
过l的半平面与旋转曲面的交线称为经线.

圆柱面、圆锥面都是旋转曲面.
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x2 z 2 2 2 1 例6 把椭圆 a c y 0 绕x轴旋转，所形成的旋转曲面的方程：
x2 y 2 z 2 1 2 2 a c 绕z轴旋转，所形成的旋转曲面的方程： x2 y 2 z 2 2 1 2 a c 这两种曲面均称为旋转椭球面。
4.椭球面
x2 y 2 z 2 方程 2 2 2 1(a, b, c为正的常数) a b c 所表示的曲面称为椭球面. 特别地，当a b c时为球面. 下面讨论椭球面地性质 (1)对称性：椭球面关于三个坐标平面、三个坐标轴、
及原点都是对称.
(2)有界性:
x a, y b, z c,因此椭球面在六个面 x a, y b, z c, 所围的长方体内.
（iii）当 h c时椭圆缩成两点(0,0, c) z
0
y
x
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5、双曲面
(1)单叶双曲面 x2 y 2 z 2 方程 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c 所确定的曲面称为单叶双曲面.
z
y
x
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(3)与坐标轴的交点
显然椭球面与三坐标轴的交点分别为( a, 0, 0)、 (0, b, 0),(0,0, c).
(4)平截线
用平行与xy坐标平面的z h截椭球面，所得截线
方程为
x2 y 2 h2 2 2 1 2 , b c a z h
特别，当准线为圆时就是我们常见的圆锥面. z
l
0
y
x
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例5 求以坐标原点为顶点， x2 y 2 2 2 1 椭圆 ： a ,为准线的锥面方程. b z c(c 0)
解 设P( x, y, z )是该锥面上任意一点， 过P的母线交准线于点P ( x1 , y1 , z1 ), 1 则有OP1 tOP,即 x1 tx, y1 ty, z1 tz. 代入的方程得
| M 0M| ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 ， 由于 所以
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R，
) 2(yy ) 2(zz
2R 2．z )
或 (xx 0 0 0 这就是建立球心在点M 0(x 0，y 0，z 0) 半径为R的球面的方程． 特殊地，球心在原点O(0，0，0)、 O 半径为R的球面的方程为 x x 2y 2z 2R 2．
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z F(x，y，z )0 M(x，y，z ) S O x y
研究曲面的两个基本问题： （1）已知曲面，如何求曲面的方程？ （2）已知方程，如何描绘其曲面？
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例1 求以在M 0(x 0,y 0,z 0)球心, R为半径的球面的方程． 那么 解 设M(x，y，z)是球面上的任一点， |M 0M|R．
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( x, y ) 0 例4 设 ： ，求以作为准线，母线平行于 z 0 z轴的柱面方程。 解：在柱面上任意取一点M(x,y,z),则M必在某条母 线上，它与 的交点为M1(x,y,0),从而有 ( x, y) 0 ，故曲面上任一点都满足 ( x, y) 0 另一方面：若M(x,y,z)满足 ( x, y) 0 ，则M 必在经过M(x,y,0)的母线上，且z=0，故所求 柱面方程为 ( x, y) 0
(tx)2 (ty ) 2 2 1, 2 a b 及tz c,
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消去参数t , 得到锥面方程
cx 2 cy ( ) ( ) z z 1, a2 b2 .
即 x2 y 2 z 2 2 2 0 2 a b c
称上述锥面为二次锥面，a b时为圆锥面.
2 2
总结：
绕y旋转一周所得方程为： ( x 2 z 2 , y ) 0 （3）设与L在xoz平面，其方程为 ( x, z ) 0
则绕x旋转一周所得方程为： ( x, y 2 z 2 ) 0 绕z旋转一周所得方程为： ( x 2 y 2 , z ) 0
显然由类似的讨论可知单叶双曲面对于三个 坐标轴、三个坐标平面和原点都是对称的.
平截线：用一组平行与xy平面的平面去截单叶 双曲面，可得一族半轴各不相同的椭圆平面z k
x2 y 2 z2 2 2 1 2 , 和曲面的交线为 a b c z k.
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二、常见曲面方程
1、柱面
解 在xoy面上，x y R 表示圆C ,
2 2 2
z
M
C
M1
y
在圆C上任取一点M 1 ( x, y, 0) , 过此点作平行 x 与Z 轴的直线l , 对任意z , 点M ( x, y, z )的坐
l
标也满足方程x 2 y 2 R 2
( z 3) 2 ( x 2) 2 ( y 1) 2 ( z 4) 2 ．
2
等式两边平方，然后化简得 O 2x6y2z70． 这就是线段AB的垂直平分面的 x 方程．
A
B
y
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例3 方程x 2y 2z 22x4y0表示怎样的曲面？ 解 通过配方，原方程可以改写成 (x1) 2(y2) 2z 25． 这是一个球面方程，球心在点M 0(1，2，0)、
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（i）当 h c时，截线是平面h上的一个中心在 (0,0,h)的一个椭圆， 显然椭圆随着 h 的增大而不断减小； x2 y 2 2 2 1, （ii）当h 0时截线为在xy平面的椭圆 a b z 0, 此时交线椭圆最大.
R
M
M0
y
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例2 设有点A(1,2,3)和B(2,1,4)，求线段AB的垂直平 分面的方程． 解 由题意知道，所求的平面就是与A和B等距离的 点的几何轨迹． 由于 设M(x，y，z)为所求平面上的任一点， | AM||BM|，
M
所以 ( x 1) 2 ( y 2) 2 ( z 3) 2 z x 2) 2 ( y 1) 2 ( z (
o
沿曲线C平行于z轴的一切直线所形ห้องสมุดไป่ตู้的曲面称 为圆柱面，其上所有点的坐标都满足此方程,故在空 间上： 2 2 2
x y R 表示圆柱面
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类似圆柱面给出一般柱面的定义: 但总和某一条 一条直线l在空间平行于固定方向运动， 固定的曲线相交，这样所产生的曲面叫做柱面，
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一 曲面方程
1、曲面方程的概念 定义1 设空间曲面S,及三元方程 F(x, y, z)=0有如 下关系： （1）曲面 S 上任一点 M(x, y, z)，其坐标 x, y, z 都满足F(x, y, z)=0； （2）不在曲面S 上任一点 M(x, y, z) 的坐标不满 足方程F(x, y, z)=0； 则说明方程F(x, y, z)=0为曲面S的方程. 而曲面 S 为 F(x, y, z)=0的图形.