苏科版九年级期末考试复习：二次函数与相似
苏科版九年级 期末复习教案期末复习2二次函数.doc
初中数学一对一教学辅导教案知识归纳一、待定系数法确定二次函数的解析式考点：注：交点式不能作为最终结果。
二、二次函数的图像与性质考点：(1)二次函数y=ax2+bx+c (a/0)图像的画法。
(五个点)(2)比较函数值的大小。
(3)求最值。
例: 1、若二次函数y=ax』bx+c (a<0)的图象经过点(2, 0),且其对称轴为x=-l,则使函数值y>0成立的x的取值范围是( )•A. x< - 4 B K X>2B. -4W X W2C. X W - 4 或X N2D. - 4<x<22、如图，在梯形ABCD中，AB = 4cm, CD=16cm, 60 = 6^3 cm, ZC = 30° ,动点P从点C出发沿CD方向以Icm/s的速度向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.⑴求AD的长：⑵当ZXPDQ的面积为12A/3 cm，时,求运动时间t；(3)当运动时间t为何值时，APDQ的面积S达到最大, 并求出S的最大值.三、二次函数的平移考点：平移法则：上加下减，左加右减例：把抛物线y=-x2-l先向左平移3个单位，再向上平移2个单位所得的抛物线与y轴的交点坐标为四、二次函数y=ax2+bx+c （a, b, c是常数，且a=0）的对称性考点：（1）关于X轴对称（2）关于y轴对称（3）关于原点对称（4）关于顶点对称五、二次函数中a、b、c的意义考点：a：开口方向；b：左同右异；c：与y轴的交点例：1、在同一坐标系内，一次函数y = ax+b与二次函数y = ax'+8x+b的图象可能是2、二次函数y=ax2+bx+c (aNO)的图象如图，给出下列四个结论：%14ac - b=<0；②4a+c<2b；③3b+2c<0；④m (am+b) +b<a (m夭-1), 其中正确结论的是 (只填序号).3、如果函数¥= (a- 1) X J3X+M&的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a的取值范围是a- 14、对于二次函数y=x2-2mx-3,有下列说法：%1它的图象与x轴有两个公共点；%1如果当xWl时y随x的增大而减小，则m=l；%1如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m= - 1；%1如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3.其中正确的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4六、二次函数与一元二次方程的关系考点：二次函数与X轴的交点个数与一元二次方程的根的关系1、抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标x” X2是一元二次方程ax2 +bx+c=O (aNO)的根。
苏教版九年级相似知识点
苏教版九年级相似知识点相似是数学中一个重要的概念，也是学习几何的基础之一。
在几何中，相似指的是两个图形在形状上相似，但是大小不一样。
通过相似性，我们可以利用已知的信息来推导出未知的信息，解决实际问题。
本文将介绍苏教版九年级中与相似相关的知识点。
1. 相似三角形相似三角形是指两个三角形在形状上相似，对应的角度相等，对应的边成比例。
在求解相似三角形的问题时，我们可以利用一些特定的相似性质，如AAA判定相似、SAS判定相似和SSS判定相似等。
这些性质可以帮助我们简化计算过程，得出准确的结果。
2. 相似比在相似三角形中，对应的边成比例。
我们可以利用相似比来表示这种比例关系。
相似比是指已知相似三角形的两个对应边的比值。
例如，如果两个三角形ABC和DEF相似，与角A对应的边和与角D对应的边的比值为a:b，与角B对应的边和与角E对应的边的比值为c:d，那么相似比为a:b=c:d。
通过相似比，我们可以计算出未知边的长度，解决各种实际问题。
3. 相似多边形除了三角形，多边形也可以相似。
相似多边形是指两个多边形在形状上相似，对应的角度相等，对应的边成比例。
在求解相似多边形的问题时，我们可以利用相似比来简化计算过程，得出准确的结果。
4. 比例尺比例尺是指图形在实际尺寸与其缩小或放大后的尺寸之间的比例关系。
在实际问题中，我们经常需要根据图纸上的比例尺来计算实际尺寸，或者根据实际尺寸来绘制图纸。
5. 三角形的应用相似三角形在实际问题中有广泛的应用。
例如，我们可以利用相似三角形的性质来计算高楼大厦的高度、电线杆的高度、塔的高度等。
通过相似三角形的计算，我们可以在不进行实际测量的情况下，得出准确的结果。
6. 相似几何体除了平面图形，立体图形也可以相似。
相似几何体是指两个立体图形在形状上相似，对应的面相似，对应的棱和对应的面的比例成比。
通过相似几何体的性质，我们可以计算出未知的长度、面积和体积，解决实际问题。
总结起来，苏教版九年级中的相似知识点包括相似三角形、相似比、相似多边形、比例尺、三角形的应用和相似几何体等。
九级上数学《相似二次函数》期末复习题及答案解析.doc
九年级数学《二次函数》综合练习题一．解答题（共30小题）1．（2013•雅安）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2013•孝感）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．①AE=EF是否总成立？请给出证明；②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，求此时点F的坐标．3．（2013•铜仁地区）铜仁市某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的1至x月的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+90．（1）设使用回收净化设备后的1至x月的利润和为y，请写出y与x的函数关系式．（2）请问前多少个月的利润和等于1620万元？4．（2013•泰州）已知：关于x的二次函数y=﹣x2+ax（a＞0），点A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在这个二次函数的图象上，其中n为正整数．（1）y1=y2，请说明a必为奇数；（2）设a=11，求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值；（3）对于给定的正实数a，是否存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，求n的值（用含a的代数式表示）；如果不存在，请说明理由．5．（2013•十堰）已知抛物线y=x2﹣2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A 的坐标为（﹣1，0）．（1）求D点的坐标；（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数；（3）如图2，已知点P（﹣4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当∠PMA=∠E时，求点Q的坐标．6．（2013•晋江市）将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（m，0）（m＞0），点D（m，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．（1）当m=3时，点B的坐标为_________，点E的坐标为_________；（2）随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．（3）如图，若点E的纵坐标为﹣1，抛物线（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，求a的取值范围．7．（2013•济南）如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于点A，C，与y轴相交于点B，连接AB，BC，点A的坐标为（2，0），tan∠BAO=2，以线段BC为直径作⊙M交AB与点D，过点B作直线l∥AC，与抛物线和⊙M 的另一个交点分别是E，F．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）求点C的坐标和线段EF的长；（3）如图2，连接CD并延长，交直线l于点N，点P，Q为射线NB上的两个动点（点P在点Q的右侧，且不与N重合），线段PQ与EF的长度相等，连接DP，CQ，四边形CDPQ的周长是否有最小值？若有，请求出此时点P 的坐标并直接写出四边形CDPQ周长的最小值；若没有，请说明理由．8．（2012•湘潭）如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．9．（2012•宁德）如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴的负半轴上，且OD=10，OB=8，将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合（1）直接写出点A、B的坐标：A（_________，_________）、B（_________，_________）；（2）若抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，则这条抛物线的解析式是_________；（3）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N，问是否存在点M，使△AMN与△ACD 相似？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由；（4）当≤x≤7时，在抛物线上存在点P，使△ABP得面积最大，求△ABP面积的最大值．10．（2012•眉山）已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若直线CD∥AB交抛物线于D点，求D点的坐标；（3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．11．（2012•莱芜）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2012•河池）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=﹣x2+x+4经过A、B两点．（1）写出点A、点B的坐标；（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M 和点P，连接PA、PB．设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．13．（2012•贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3的顶点为M（2，﹣1），交x轴于点A、B 两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个点为D，且直线CD和直线CA关于直线CB对称，求直线CD的解析式；（3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2+PB2+PC2=35，求点P的坐标；并直接写出此时直线OP与该抛物线交点的个数．14．（2012•抚顺）如图，抛物线的对称轴是直线x=2，顶点A的纵坐标为1，点B（4，0）在此抛物线上．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线对称轴与x轴交点为C，点D（x，y）为抛物线上一动点，过点D作直线y=2的垂线，垂足为E．①用含y的代数式表示CD2，并猜想CD2与DE2之间的数量关系，请给出证明；②在此抛物线上是否存在点D，使∠EDC=120°？如果存在，请直接写出D点坐标；如果不存在，请说明理由．15．（2012•恩施州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．16．（2012•大连）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，线段BC与抛物线的对称轴相交于D．该抛物线的顶点为P，连接PA、AD、DP，线段AD与y轴相交于点E．（1）求该抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（3）将∠CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴相交于点N，连接PM、DN，若PM=2DN，求点N的坐标（直接写出结果）．17．（2012•朝阳）已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（﹣1，0）．（1）求点C的坐标；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S 最大时点P的坐标；（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得△MPC（P为上述（3）问中使S最大时的点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2013•徐州）如图，二次函数y=x2+bx﹣的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．（1）请直接写出点D的坐标：_________；（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．19．（2013•台州）如图1，已知直线l：y=﹣x+2与y轴交于点A，抛物线y=（x﹣1）2+k经过点A，其顶点为B，另一抛物线y=（x﹣h）2+2﹣h（h＞1）的顶点为D，两抛物线相交于点C．（1）求点B的坐标，并说明点D在直线l上的理由；（2）设交点C的横坐标为m．①交点C的纵坐标可以表示为：_________或_________，由此进一步探究m关于h的函数关系式；②如图2，若∠ACD=90°，求m的值．20．（2013•齐齐哈尔）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣4，0），B（﹣1，3），C（﹣3，3）（1）求此二次函数的解析式；（2）设此二次函数的对称轴为直线l，该图象上的点P（m，n）在第三象限，其关于直线l的对称点为M，点M 关于y轴的对称点为N，若四边形OAPN的面积为20，求m、n的值．21．（2013•宁夏）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线x=（1）求抛物线的解析式；（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．22．（2013•唐山一模）某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与x之间也大致满足z=﹣3x+3000（1）求出政府补贴政策实施后，种植亩数y与政府补贴数额x 之间的函数关系式；（2）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（3）要使全市这种蔬菜的总收益W（元）最大，政府应将每亩补贴数额X定为多少？并求出总收益W的最大值．（4）该市希望这种蔬菜的总收益不低于7200 000元，请你在坐标系中画出3中的函数图象的草图，利用函数图象帮助该市确定每亩补贴数额的范围，在此条件下要使总收益最大，说明每亩补贴数额应定为多少元合适？23．（2013•上海模拟）某产品每千克的成本价为20元，其销售价不低于成本价，当每千克售价为50元时，它的日销售数量为100千克，如果每千克售价每降低（或增加）一元，日销售数量就增加（或减少）10千克，设该产品每千克售价为x（元），日销售量为y（千克），日销售利润为w（元）．（1）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）写出w关于x的函数解析式及函数的定义域；（3）若日销售量为300千克，请直接写出日销售利润的大小．24．（2013•溧水县二模）我区的某公司，用1800万元购得某种产品的生产技术、生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元．经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在100元到200元之间为合理．当单价在100元时，销售量为20万件，当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少1万件；设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利为W（万元）．（年利润=年销售总额﹣生产成本﹣投资成本）（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）求第一年的年获利W与x之间的函数关系式，并请说明不论销售单价定为多少，该公司投资的第一年肯定是亏损的，最小亏损是少？（3）在使第一年亏损最小的前提下，若该公司希望到第二年的年底，弥补第一年的亏损后，两年的总盈利为1490万元，且使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？25．（2013•高淳县二模）某批发商以40元/千克的价格购入了某种水果500千克．据市场预测，该种水果的售价y （元/千克）与保存时间x（天）的函数关系为y=60+2x，但保存这批水果平均每天将损耗10千克，且最多能保存8天．另外，批发商保存该批水果每天还需40元的费用．（1）若批发商保存1天后将该批水果一次性卖出，则卖出时水果的售价为_________（元/千克），获得的总利润为_________（元）；（2）设批发商将这批水果保存x天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润w（元）与保存时间x（天）之间的函数关系式；（3）求批发商经营这批水果所能获得的最大利润．26．（2013•大丰市二模）某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次．在1～12月份中，公司前x个月累计获得的总利润y（万元）与销售时间x（月）之间满足二次函数关系式y=a（x﹣h）2+k，二次函数y=a（x﹣h）2+k的一部分图象如图所示，点A为抛物线的顶点，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12，点A、B的纵坐标分别为﹣16、20．（1）试确定函数关系式y=a（x﹣h）2+k；（2）分别求出前9个月公司累计获得的利润以及10月份一个月内所获得的利润；（3）在前12个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？27．（2013•遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；（3）以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．28．（2013•威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+与直线y=x交于点A，点B在直线y=x+上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．29．（2013•呼和浩特）如图，已知二次函数的图象经过点A（6，0）、B（﹣2，0）和点C（0，﹣8）．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，点K的坐标为_________；（3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S．①请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；③设S0是②中函数S的最大值，直接写出S0的值．30．（2013•鄂州）在平面直角坐标系中，已知M1（3，2），N1（5，﹣1），线段M1N1平移至线段MN处（注：M1与M，N1与N分别为对应点）．（1）若M（﹣2，5），请直接写出N点坐标．（2）在（1）问的条件下，点N在抛物线上，求该抛物线对应的函数解析式．（3）在（2）问条件下，若抛物线顶点为B，与y轴交于点A，点E为线段AB中点，点C（0，m）是y轴负半轴上一动点，线段EC与线段BO相交于F，且OC：OF=2：，求m的值．（4）在（3）问条件下，动点P从B点出发，沿x轴正方向匀速运动，点P运动到什么位置时（即BP长为多少），将△ABP沿边PE折叠，△APE与△PBE重叠部分的面积恰好为此时的△ABP面积的，求此时BP的长度．九年级数学《二次函数》综合练习题参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2013•雅安）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．）由题意可知：，+EF2．（2013•孝感）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．①AE=EF是否总成立？请给出证明；②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，求此时点F的坐标．（负值不合题意，舍去）的坐标为3．（2013•铜仁地区）铜仁市某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的1至x月的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+90．（1）设使用回收净化设备后的1至x月的利润和为y，请写出y与x的函数关系式．（2）请问前多少个月的利润和等于1620万元？4．（2013•泰州）已知：关于x的二次函数y=﹣x2+ax（a＞0），点A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在这个二次函数的图象上，其中n为正整数．（1）y1=y2，请说明a必为奇数；（2）设a=11，求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值；（3）对于给定的正实数a，是否存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，求n的值（用含a的代数式表示）；如果不存在，请说明理由．，从而可以求出，﹣﹣5．（2013•十堰）已知抛物线y=x2﹣2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A 的坐标为（﹣1，0）．（1）求D点的坐标；（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数；（3）如图2，已知点P（﹣4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当∠PMA=∠E时，求点Q的坐标．m==xmm﹣）或（﹣，﹣）6．（2013•晋江市）将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（m，0）（m＞0），点D（m，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．（1）当m=3时，点B的坐标为（3，4），点E的坐标为（0，1）；（2）随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．（3）如图，若点E的纵坐标为﹣1，抛物线（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，求a的取值范围．中，由勾股定理可得上，又∵抛物线的取值范围为7．（2013•济南）如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于点A，C，与y轴相交于点B，连接AB，BC，点A的坐标为（2，0），tan∠BAO=2，以线段BC为直径作⊙M交AB与点D，过点B作直线l∥AC，与抛物线和⊙M 的另一个交点分别是E，F．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）求点C的坐标和线段EF的长；（3）如图2，连接CD并延长，交直线l于点N，点P，Q为射线NB上的两个动点（点P在点Q的右侧，且不与N重合），线段PQ与EF的长度相等，连接DP，CQ，四边形CDPQ的周长是否有最小值？若有，请求出此时点P 的坐标并直接写出四边形CDPQ周长的最小值；若没有，请说明理由．x﹣﹣，的坐标为（﹣，，，，的坐标为（+28．（2012•湘潭）如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．=×a=x x（y=x+bx+b=﹣，即：×y=××﹣9．（2012•宁德）如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴的负半轴上，且OD=10，OB=8，将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合（1）直接写出点A、B的坐标：A（6，0）、B（0，﹣8）；（2）若抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，则这条抛物线的解析式是y=﹣x2+x﹣8；（3）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N，问是否存在点M，使△AMN与△ACD 相似？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由；（4）当≤x≤7时，在抛物线上存在点P，使△ABP得面积最大，求△ABP面积的最大值．OA=x﹣m﹣m上方，=，即下方，=，则，即或，﹣，﹣，﹣p﹣+分为如图，当PH=﹣•p p+8•p p+8≤时，取最大值，且最大值为+p p（﹣p p•（﹣+•PH=p p+8（﹣••p p+8时，取得最大值，最大值为10．（2012•眉山）已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若直线CD∥AB交抛物线于D点，求D点的坐标；（3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．ON+﹣x+）﹣，==（﹣﹣，时，时，+2x+3=，），）11．（2012•莱芜）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．==CD=，×±；时，﹣时，x+3=1+2+﹣﹣1+2+﹣）12．（2012•河池）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=﹣x2+x+4经过A、B两点．（1）写出点A、点B的坐标；（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M 和点P，连接PA、PB．设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．的面积可由（xx x+4x+4×x13．（2012•贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3的顶点为M（2，﹣1），交x轴于点A、B 两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个点为D，且直线CD和直线CA关于直线CB对称，求直线CD的解析式；（3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2+PB2+PC2=35，求点P的坐标；并直接写出此时直线OP与该抛物线交点的个数．．x+3；），14．（2012•抚顺）如图，抛物线的对称轴是直线x=2，顶点A的纵坐标为1，点B（4，0）在此抛物线上．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线对称轴与x轴交点为C，点D（x，y）为抛物线上一动点，过点D作直线y=2的垂线，垂足为E．①用含y的代数式表示CD2，并猜想CD2与DE2之间的数量关系，请给出证明；②在此抛物线上是否存在点D，使∠EDC=120°？如果存在，请直接写出D点坐标；如果不存在，请说明理由．（m，m=﹣，））或（，15．（2012•恩施州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．（﹣+），所以由二次函数的最值的求法可知，，﹣，×=或（）或（（）或（（）∴面积的最大值为×x x+3（）的面积的最大值为．16．（2012•大连）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，线段BC与抛物线的对称轴相交于D．该抛物线的顶点为P，连接PA、AD、DP，线段AD与y轴相交于点E．（1）求该抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（3）将∠CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴相交于点N，连接PM、DN，若PM=2DN，求点N的坐标（直接写出结果）．x+）））﹣（）xx+3（（）x （﹣﹣（﹣﹣的方程组，得：、；，（2（中，，﹣﹣x x=﹣x+4=4×；CM=DN=×﹣，17．（2012•朝阳）已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（﹣1，0）．（1）求点C的坐标；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S 最大时点P的坐标；（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得△MPC（P为上述（3）问中使S最大时的点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．﹣AC=4（x x+2．x+2，﹣m+2[2+m m+2m mPHC=m m﹣=（6b++6b+=b，解得b==13=13±，，（，（，（，﹣18．（2013•徐州）如图，二次函数y=x2+bx﹣的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．（1）请直接写出点D的坐标：（﹣3，4）；（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．﹣=（）t=有最大值；=19．（2013•台州）如图1，已知直线l：y=﹣x+2与y轴交于点A，抛物线y=（x﹣1）2+k经过点A，其顶点为B，另一抛物线y=（x﹣h）2+2﹣h（h＞1）的顶点为D，两抛物线相交于点C．（1）求点B的坐标，并说明点D在直线l上的理由；（2）设交点C的横坐标为m．①交点C的纵坐标可以表示为：（m﹣1）2+1或（m﹣h）2﹣h+2，由此进一步探究m关于h的函数关系式；②如图2，若∠ACD=90°，求m的值．．±+1＞20．（2013•齐齐哈尔）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣4，0），B（﹣1，3），C（﹣3，3）（1）求此二次函数的解析式；。
九年级数学二次函数与相似问题
二次函数与相似问题1、知道相似三角形的性质2、考点类型：是否存在三角形相似求点的坐标一般步骤：1、先找一对相等的角2、在找相等角的夹边对应成比例（分类讨论两类）3、找点的时候要考虑点的所在位置的象限，分清正负4、在抛物线中，探究相似三角形的存在时，可以考虑做垂线，相似三角形对应高成比例，在可以证明两个直角三角形相似即可典型例题解析设抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于两个不同的点A(-1，0)、B(m，0)，与y轴交于点C.且∠ACB=90°(1)求m的值和抛物线的解析式;(2)已知点D(1，n)在抛物线上，过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E.若点P 在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式．（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．如图抛物线的顶点为C（﹣1，﹣1），且经过A、B和坐标原点O，点B的横坐标为﹣3．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为抛物线上的一点，点E为对称轴上的一点，且以点A、O、D、E为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点D的坐标；（3）若点P是抛物线第一象限上的一个动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；考生注意：下面的（3）、（4）、（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记啊！（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．。
中考复习：二次函数和相似三角形问题(含答案)
综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题例题 如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。
⑴求抛物线的解析式；（用顶点式．．．求得抛物线的解析式为x x 41y 2+-=） ⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。
分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。
根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
y xEQ PC B OA 例题2：如图，已知抛物线y=ax 2+4ax+t （a ＞0）交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，点B 的坐标为（-1，0）． （1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标；（2）过点C 作x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P ，你能判断四边形ABCP 是什么四边形？并证明你的结论；（3）连接CA 与抛物线的对称轴交于点D ，当∠APD=∠ACP 时，求抛物线的解析式．练习1、已知抛物线2y ax bx c =++经过5330P E ⎫⎪⎪⎝⎭，，，及原点(00)O ，．（1）求抛物线的解析式．（由一般式．．．得抛物线的解析式为225333y x x =-+） （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？练习2、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D处。
初三中考数学专题复习：二次函数综合题(相似三角形问题)含答案
中考数学专题复习：二次函数综合题（相似三角形问题）1．如图①，二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 是抛物线上一动点．(1)求二次函数的表达式．(2)当点P 不与点A 、B 重合时，作直线AP ，交直线BC 于点Q ，若①ABQ 的面积是①BPQ 面积的4倍，求点P 的横坐标．(3)如图①，当点P 在第一象限时，连接AP ，交线段BC 于点M ，以AM 为斜边向①ABM 外作等腰直角三角形AMN ，连接BN ，①ABN 的面积是否变化？如果不变，请求出①ABN 的面积；如果变化，请说明理由．2．如图，二次函数2314y x bx =++的图像经过点()8,3A ，交x 轴于点B ，C （点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点D ．(1)填空：b = ______；(2)点P 是第一象限内抛物线上一点，直线PO 交直线CD 于点Q ，过点P 作x 轴的垂线交直线CD 于点T ，若PQ QT =，求点P 的坐标；(3)在x 轴的正半轴上找一点E ，过点E 作AE 的垂线EF 交y 轴于F ，若AEF 与EFO △相似，求OE 的长．3．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴的交点()0,6C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点(),P m n 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设PBC 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式(指出自变量m 的取值范围)和S 的最大值；(3)点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点M 、点N 使得①CMN ＝90°，且∆CMN 与OBC ∆相似，如果存在，请求出点M 和点N 的坐标．4．如图，抛物线L 1：y ＝ax 2﹣2x ＋c （a ≠0）与x 轴交于A 、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），抛物线的顶点为D ．抛物线L 2与L 1关于x 轴对称．(1)求抛物线L 1与L 2的函数表达式；(2)已知点E 是抛物线L 2的顶点，点M 是抛物线L 2上的动点，且位于其对称轴的右侧，过M 向其对称轴作垂线交对称轴于P ，是否存在这样的点M ，使得以P 、M 、E 为顶点的三角形与△BCD 相似，若存在请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知直线4y x =+与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点C ，抛物线21y x kx k =++-的图象经过点A 和点C ，与x 轴的另一个交点是点B ．(1)求出此抛物线的解析式； (2)求出点B 的坐标；(3)若在y 轴的负半轴上存在点D ．能使得以A ，C ，D 为顶点的三角形与①ABC 相似，请求出点D 的坐标．6．如图1，已知抛物线23y ax bx =++经过点()1,5D ，且交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，已知点()1,0A -，(),P m n 是抛物线在第一象限内的一个动点，PQ BC ⊥于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)当PQ =m 的值；(3)是否存在点P ，使BPQ 与BOC 相似？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c的对称轴是x＝－32且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；(2)点P为线段AB上的动点，求AP＋2PC的最小值；(3)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与①ABC 相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于A(−1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点为点D，抛物线的对称轴与BC相交于点E，与x轴相交于点F．(1)求抛物线的函数关系式；(2)连结DA，求sin A的值；(3)若点H线段BC上，BOC与BFH△相似，请直接写出点H的坐标．9．如图，抛物线y＝1-2x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ，PC ，当S △PBC ＝720S △ABC 时，求点P 的坐标； (3)点N 是对称轴l 右侧抛物线上的动点，在射线ED 上是否存在点M ，使得以点M ，N ，E 为顶点的三角形与①OBC 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于1,0A 、()3,0B -两点，与y 轴交于点C ，设抛物线的顶点为D ．(1)求该抛物线的表达式与顶点D 的坐标； (2)试判断BCD △的形状，并说明理由；(3)探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与BCD △相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ≠0）与x 轴交于点A ，B ．与y 轴交于点C ．连接AC ，BC ．已知ABC 的面积为2．(1)求抛物线的解析式；(2)平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于P ，Q 两点．过P ，Q 向x 轴作垂线，垂足分别为G ，H ．若四边形PGHQ 为正方形，求正方形的边长；(3)抛物线上是否存在一点N ，使得①BCN ＝①CAB ﹣①CBA ，若存在，请求出满足条件N 点的横坐标，若不存在请说明理由．12．如图，二次函数2y x bx c =-++的图像与x 轴交于点A （－1，0），B （2，0），与y 轴相交于点C ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若点M 在此抛物线上，且在y 轴的右侧．①M 与y 轴相切，过点M 作MD ①y 轴，垂足为点D ．以C ，D ，M 为顶点的三角形与①AOC 相似，求点M 的坐标及①M 的半径长．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2()0y ax bx c ac =++≠与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．若线段OA OB OC 、、的长满足2OC OA OB =⋅，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线22(0)y ax bx a =++≠为“黄金”抛物线，其与x 轴交点为A ，B （其中B 在A 的右侧），与y 轴交于点C ．且4OA OB =(1)求抛物线的解析式；(2)若P 为AC 上方抛物线上的动点，过点P 作PD AC ⊥，垂足为D ． ①求PD 的最大值；①连接PC ，当PCD 与ACO △相似时，求点P 的坐标．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 、B 两点，其中1,0A ，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，过点B 作x 轴垂线，在该垂线上取点P ，使得①PBC 与①ABC 相似，请求出点P 坐标；(3)如图2，在线段OB 上取一点M ，连接CM ，请求出12CM BM +最小值．15．如图，抛物线y ＝ax 2+k （a ＞0，k ＜0）与x 轴交于A ，B 两点（点B 在点A 的右侧），其顶点为C ，点P 为线段OC 上一点，且PC ＝14OC ．过点P 作DE ①AB ，分别交抛物线于D ，E 两点（点E 在点D 的右侧），连接OD ，DC ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标；（用含a ，k 的式子表示） (2)猜想线段DE 与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)若①ODC ＝90°，k ＝﹣4，求a 的值．16．如图，抛物线223y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，连接AC ，已知B (﹣1，0)，且抛物线经过点D (2，﹣2)．(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 是抛物线上第四象限内的一点，且2ABES=，求点E 的坐标；(3)若点P 是y 轴上一点，以P ，A ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P 点的坐标．17．如图，在直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）和B （4，0），与y 轴交于点C ，点P 是抛物线上的动点（不与点A ，B ，C 重合）．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在第一象限时，设①ACP 的面积为S 1，①ABP 的面积为S 2，当S 1＝S 2时，求点P 的坐标； (3)过点O 作直线l ①BC ，点Q 是直线l 上的动点，当BQ ①PQ ，且①BPQ ＝①CAB 时，请直接写出点P 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋3与两坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2＋bx＋c 过点A和点B，并与x轴交于另一点C，顶点为D．点E在对称轴右侧的抛物线上．(1)求抛物线的函数表达式和顶点D的坐标；(2)若点F在抛物线的对称轴上，且EF①x轴，若以点D，E，F为顶点的三角形与①ABD相似，求出此时点E的坐标；(3)若点P为坐标平面内一动点，满足tan①APB＝3，请直接写出①P AB面积最大时点P的坐标及该三角形面积的最大值．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OC＝2OB＝6OA＝6，点P是第一象限内抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC与OP，交于点D，当S△PCD：S△ODC的值最大时，求点P的坐标；(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N．使①CMN＝90°，且①CMN与①BOC 相似，若存在，请求出点M、点N的坐标．20．如图，抛物线y＝x2＋bx＋12（b＜0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），且OB＝3OA．(1)请直接写出b＝，A点的坐标是，B点的坐标是；(2)如图（1），D点从原点出发，向y轴正方向运动，速度为2个单位长度/秒，直线BD交抛物线于点E，若BE＝5DE，求D点运动时间；(3)如图（2），F点是抛物线顶点，过点F作x轴平行线MN，点C是对称轴右侧的抛物线上的一定点，P 点在直线MN上运动．若恰好存在3个P点使得①P AC为直角三角形，请求出C点坐标，并直接写出P点的坐标．答案1．(1)y ＝﹣x 2+2x +3．(2)P 352或 (3)①ABN 的面积不变，为4．2．(1)2-(2)5⎛ ⎝⎭或5⎛ ⎝⎭(3)4或493．(1)2246y x x =-++(2)S 关于m 的函数表达式为239(03)S m m m =-+<<，S 的最大值是274 (3)存在，M （1，8），N （0，172）或M （74，558），N （0，838）或M （94，398），N （0，38）或M （3，0），N （0，﹣32）4．(1)抛物线L 1：223y x x =--，抛物线L 2：2y x 2x 3=-++；(2)435(,)39M 或(4,5)M -．5．(1)254y x x =++(2)点B 的坐标为（－1，0）(3)点D 的坐标是（0，－203） 6．(1)215322y x x =-++ (2)1或5(3)存在；P （53，529）7．(1)抛物线表达式为：213222y x x =--+；(2)AP +2PC 的最小值是4；(3)存在M(0,2)或(-3,2)或(2,-3)或(5,-18)，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与ABC 相似．8．(1)y =-x 2+2x +3(3)点H 的坐标为(1，2)或(2，1)9．(1)21382y x x =++ (2)P 1（1，10.5），P 2（7，4.5）(3)存在，（3，8）或(3,5或（3，11）30．(1)y ＝﹣x 2﹣2x +3，（﹣1，4）；(2)直角三角形，理由见解析；(3)存在，（0，0）或（0，﹣13）或（－9，0）11．(1)y ＝﹣13x 2+23x +1(2)﹣6﹣(3)存在，5或11712．(1)22y x x =-++； (2)M 的坐标为（12，94），（32， 54 ），（3，-4），①M 的半径长为12或32或313．(1)213222y x x =--+(2)①PD ①P 坐标为(3,2)-或325()28，-14．(1)243y x x =-+(2)P 点坐标为()3,9或()3,215．(1)点A 、B 、C 的坐标分别为(、、(0，k ) (2)DE ＝12AB(3)a ＝1316．(1)224233y x x =--(2)E ，-1)(3)P 点的坐标(0，2)或(02)或(0，﹣2或(0，54)17．(1)213222y x x =-++ (2)点P 的坐标为（103，139）(3)点P 的坐标为（32，﹣2）或（32，﹣2）或（173，﹣509）18．(1)y ＝x 2﹣4x +3，（2，﹣1）(2)（5，8）或（73，89-）(3)①P AB ，此时P ）19．(1)y ＝﹣2x 2+4x +6 (2)点P 的坐标为（32，152） (3)存在，M 、N 的坐标分别为（3，0）、（0，﹣32）或（94，398）、（0，38）或（1，8）、（0，172）或（74，558）、（0，838）20．(1)﹣8，（2，0），（6，0）(2)3秒或212秒 (3)C 点坐标为（143，﹣329），P 点的坐标为（103，﹣4）或（﹣103，﹣4）或（11027，﹣4）。
二次函数与相似
分 析
（2）题中要使AC为斜边，在Y轴 上找一点D，使点D为直角顶点，既 可以用勾股定理，也可以用相似建 立方程求解。
（3）题中，要分在对称轴的左右侧：①、当点P在对称轴的 （ 右侧时，利用两点间的距离公式和勾股定理或利用相似建立方 程求解；②、当点P在对称轴的左侧时，要用到相似中的 三 角形内角平分线定理建立方程求解。
A1及C两点的
(3)平行于x轴的一条直线交抛物线 于E、F两点，若以EF为直径的圆恰好与 1 x轴相切，求此圆的半径。
y
l
A
o C
B
x
四、作业《中考精典》P T6和P T18 116 124
内容：二次函数与相似
太好了，我们的老师准备出场了！
他（她）…………是谁？
My god
一、复习与提问
1、函数图象与函数解析式之间的关系是什么？
①函数图象上的点的坐标满足函数的解析式；
②满足函数解析式的点一定在函数图象上。
2、二次函数的表达式有哪些？
（1) 一般式：y=ax²+bx+c(a≠0,a、b、c常数） +k[顶点﹙h, k﹚] （2）顶点式：y=a(x-h) ² (3)两点式：y＝a﹙x－
)
②、当点P△CHA只 有一种情况。
在抛物线上取一点P，使∠PCA=∠ACH, 作PQ⊥AC于 Q， 则△PCQ∽△ACH, 延长CP交x轴于N，设N（n，0） 在△NCH中AC平分∠NCH, ∴有 P
C Q
CN NA CH AH
CN (1 n) 2 42 ∵
小结：本题用到了 ①待定系数法 ②两点间的距离公式 ③勾股定理 ④相似三角形的判定定理 ⑤三角形内角平分线定理
三、巩固与练习
中考复习：二次函数与相似三角形
二次函数与相似三角形突破口：寻找比例关系以及特殊角1 .综合与探究如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在右侧），与轴交于点，点坐标为，连接，点是直线上方抛物线上一动点，且横坐标为．过点分别作直线的垂线段，垂足分别为和，连接．（1）求抛物线及直线的函数关系式；（2）求出四边形是平行四边形时的值；（3）请直接写出与相似时的值．【答案】（1）抛物线的关系式为，直线的关系式为；（2）四边形是平行四边形时的值为或3；（3），，，．【解析】【分析】（1）由题意易得的值，进而得到二次函数的解析式，则点C、B坐标可得，最后求解直线BC解析式即可；（2）由题意易得，则，为等腰直角三角形为等腰直角三角形，过点作轴于点，交于点，进而可证，然后可得，设，最后建立方程进行求解即可；（3）由题意可分以下几种情况进行分类求解：①当点E在点D上方时，存在与相似，②当点E在点D下方时，与相似，然后根据相似三角形的性质进行求解即可．【详解】解:（1）把代入中，得，解得，抛物线的关系式为，当时，得，点的坐标为，当时，得，解得，点在点左侧，点的坐标为，设直线的关系式为，把点和代入上式，得，解得，直线的关系式为；（2）由点坐标可知:，为等腰直角三角形，，，为等腰直角三角形，如答图，过点作轴于点，交于点，在和中，，，为等腰直角三角形，四边形是平行四边形，，，又，，，点为抛物线上的动点，点为直线上的点，点的横坐标为，设，，，解，得，四边形是平行四边形时的值为或3；（3），．由（1）（2）可得△ADB为等腰直角三角形，AB=6，，，，过点D作DE⊥x轴交于点E，DE=3，易得点D坐标为，设直线AC的解析式为，把，代入得：，解得，直线AC的解析式为，由与相似，可得：①当点E在点D上方时，且∠PDE=∠ACD，如图所示：PD∥AC，则有直线AC的斜率与直线PD的斜率相等，设直线PD的解析式为：，把点D代入得：b=-7，设直线PD的解析式为：，联立直线PC与二次函数的解析式得：，解得：（不符合题意，舍去），；②当点E在点D上方时，且∠EPD=∠ACD，取AC的中点F，连接DF，如图所示：由中点坐标公式易得点，AD⊥BC，CF=FD，∠FCD=∠FDC，∠FDP=90°，FD⊥DP，设直线FD的解析式为：，把点，点D代入解得：，即直线FD的解析式为：，设直线DP的解析式为：，把点D代入得：b=13，直线DP的解析式为：，联立直线PD与二次函数解析式得：，解得，；③当当点E在点D下方时，且∠PDE=∠ACD时，延长PD交AC于点F，如图所示：∠PDE=∠FDC，∠FCD=∠FDC，FC=FD，AD⊥BC，易得∠FDA=∠FAD，CF=AF=FD，由②可直接得出直线PD的解析式为，联立直线PD与二次函数的解析式得：，解得：，；④当点E在点D下方，且∠PDE=∠CAD时，延长PD，交AC于点H，如图所示：∠PDE=∠HDC，∠HDC+∠HCD=90°，PH⊥AC，直线AC与直线PD的斜率之积为-1，设直线PD的解析式为：，把点D代入得：，直线PD的解析式为：，联立直线PD与二次函数的解析式得：，解得，；综上所示：当与相似时，，，，．【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．2 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点（点A 在点B的右侧），与轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为点C的坐标为，（1）求抛物线的解析式；（2）M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作轴于点G，交于点H，当线段时，求点M的坐标；（3）在（2）的条件下，将线段绕点G顺时针旋转一个角，在旋转过程中，设线段与抛物线交于点N，在射线上是否存在点P，使得以P，N，G为顶点的三角形与相似?如果存在，请求出点P的坐标（直接写出结果）；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，【解析】【分析】（1）根据点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x＝．带入即可求解抛物线的解析式；（2）由题意，连接CM，过C点作CE⊥MH于点E，求解AC直线方程，M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，表示出M和H的坐标，利用线段CM＝CH相等，即可求出点M的坐标；（3）首先确定△ABC是什么三角形，由题意可知△ABC是直角三角形．根据相似三角形边长的比例关系建立关系式，求解边长是否有解，有解即表示存在P点，解出即为坐标；【详解】（1）设抛物线的解析式为把代入则则所以（2）如图1，连接CM，过C点作CE⊥MH于点E，设直线AC解析式为y＝kx+b（k≠0），把A（4，0）、C（0，2）代入y＝kx+b，可得，解得：，∴直线AC解析式为，∵点M在抛物线上，点H在AC上，MG⊥x轴，∴设则∴MH＝∵CM＝CH，OC＝GE＝2，∴MH＝2EH＝，∴解得（舍），所以（3）存在点P，使以P，N，G为顶点的三角形与△ABC相似，理由为：∵抛物线与x轴交于A、B两点，A（4，0），A、B两点关于直线x＝成轴对称，∴B（﹣1，0），∴AC＝，BC＝，AB＝5，∴AC2+BC2＝25，AB2＝52＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，∴∠ACB＝90°，线段MG绕G点旋转过程中，旋转角∴∴分∠PNG＝90°或∠GPN＝90°两种情况讨论，每种情况下又根据直角边不同再分类讨论①当∠GPN＝90°时即NP⊥x轴设P点坐标为（n，0），则N点坐标为∵P在射线GA上∴此时当△NPG∽△ACB时解得：（不符合题意，舍去），∴的坐标为（3，0）；当△NPG∽△BCA时解得：（不符合题意，舍去），∴的坐标为（，0）；②当∠PNG＝90°时作NP⊥x轴于K，此时由射影定理可得△KPN∽△KNG∽△NGP∴当K分别为、时△KNG与△NG、△NG重合此时△NGP与△ABC相似∵△KPN∽△KNG∴当K与（3，0）重合时KG=1∴此时当K与（，0）重合时KG=∴此时综上所述存在以P，N，G为顶点的三角形与相似的P点，P点坐标为【点睛】题考查了二次函数和三角形的相似的综合运用．熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键，属于难题．3 .已知二次函数（为常数，且）的顶点为，图象与轴交点为，，且点在点左侧．（1）求，两点的坐标．（2）当时，求的值．（3）在（2）的情况下，将轴下方的图象沿x轴向上翻折，与轴交于点，连接，记上方（含点，）的抛物线为．①设点为上一动点，当取最大值时，求点的坐标．②在上是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），；（2）；（3）①；②不存在点，见解析【解析】【分析】（1）令y=0，根据可得出，求解即可；（2）由题意可知：点坐标为，根据三角形的面积计算即可；（3）①先求出直线BC的解析式，设点的坐标为，过点向轴作垂线，交于点，根据三角形的面积计算即可；②分两种情况进行判断，当时，，证明也是等腰直角三角形，根据条件计算即可；当，证得，再根据三角形相似的性质与二次函数的性质计算即可；【详解】解：（1），∵，∴，解得，；∴，；（2）由题意可知：点坐标为，，∵，，∴.∴.（3）①如图2，由（2）可知，点坐标为.∴直线的解析式为.由翻折可知，的解析式为，设点的坐标为，过点向轴作垂线，交于点，.∵∴有最大值.当时，取最大值，此时.②不存在.详细解答过程：第一种情况，如图3，当时，，∵，∴.∵是等腰直角三角形，∴也是等腰直角三角形，∴，∴，∴点纵坐标为6，设，则时，代入的解析式得，，∴不存在点；第二种情况，如图4，当，，∴，∵，∴，∴，若，则，∴，设，则，解得，（舍去），∵的对称轴为，，当时，由图易知，∴舍去，∴不存在点；【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，结合三角形相似和等腰三角形的性质是解题的关键．4 .如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（2，－1），并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于两点A，B．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似．若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2－4x＋3；（2）=2；（3）存在符合条件的点E，且坐标为：、、、．【解析】【分析】（1）根据题意可设函数解析式为，然后把点C代入解析式求解即可；（2）由（1）及题意可设直线BC的解析式为y=kx＋3，然后求解，进而可求证△ACD为直角三角形，然后利用面积计算公式求解即可；（3）由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有当∠DFE=90°，即 DF∥x轴和当∠EDF=90°，然后进行分类讨论求解即可．【详解】解：（1）依题意，设抛物线的解析式为，代入C（0，3）后，得：，解得：a=1，∴抛物线的解析式：；（2）由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；设直线BC的解析式为：y=kx＋3，代入点B的坐标后，得：3k＋3=0，k= －1，∴直线BC：y=－x＋3；由（1）知：抛物线的对称轴：x=2，则 D（2，1）；∴，，，即：，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；∴= AD?CD==2；（3）由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有：①∠DFE=90°，即 DF∥x轴；将点D纵坐标代入抛物线的解析式中，得：，解得当x=2+时，y=－x+3=1－；当x=2－时，y=－x+3=1+；∴、；②∠EDF=90°，易知，直线AD：y=x－1，联立抛物线的解析式有：，解得；当x=1时，y=-x+3=2；当x=4时，y=-x+3=-1；∴、；综上，存在符合条件的点E，且坐标为：、、、．【点睛】本题主要考查二次函数的综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质及相似三角形存在性的讨论是解题的关键．5 .如图①，在平面直角坐标系xOy中，批物线y＝x2﹣4x＋a（a＜0）与y轴交于点A，与x轴交于E、F两点（点E在点F的右侧），顶点为M．直线与x 轴、y轴分别交于B、C两点，与直线AM交于点D．（1）求抛物线的对称轴；（2）在y轴右侧的抛物线上存在点P，使得以P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求a的值；（3）如图②，过抛物线顶点M作MN⊥x轴于N，连接ME，点Q为抛物线上任意一点，过点Q作QG⊥x轴于G，连接QE．当a＝﹣5时，是否存在点Q，使得以Q、E、G为顶点的三角形与△MNE相似（不含全等）？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）直线x＝2；（2）；（3）存在，点Q的坐标为（﹣4，27）或（，）或（，）．【解析】【分析】（1）y＝x2﹣4x＋a＝（x﹣2）2＋a﹣4，即可求解；（2）求出直线AM的解析式为y＝﹣2x＋a，联立方程组可解得点D的坐标（a，－a）；AC是以P、A、C、D为顶点的平行四边形的对角线，则点P与点D关于原点对称，即P（a，－a），将点P（﹣a，a）代入抛物线y＝x2﹣4x＋a，即可求解；（3）分、两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）∵y＝x2﹣4x＋a＝（x﹣2）2＋a﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝2；（2）由y＝（x﹣2）2＋a﹣4得：A（0，a），M（2，a﹣4），由y＝x﹣a得C（0，﹣a），设直线AM的解析式为y＝kx＋a，将M（2，a﹣4）代人y＝kx＋a中，得2k＋a＝a﹣4，解得k＝﹣2，直线AM的解析式为y＝﹣2x＋a，联立方程组得，解得，∴D（a，－a），∵a＜0，∴点D在第二象限，又点A与点C关于原点对称，∴AC是以P、A、C、D为顶点的平行四边形的对角线，则点P与点D关于原点对称，即P（－a，a），将点P（﹣a，a）代入抛物线y＝x2﹣4x＋a，解得a＝或a＝0（舍去），∴a＝；（3）存在，理由如下：当a＝﹣5时，y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，此时M（2，﹣9），令y＝0，即（x﹣2）2﹣9＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，∴点F（﹣1，0）E（5，0），∴EN＝FN＝3 MN＝9，设点Q（m，m2﹣4m﹣5），则G（m，0），∴EG＝|m﹣5|QG＝|m2﹣4m﹣5|，又△QEG与△MNE都是直角三角形，且∠MNE＝∠QGE＝90°，如图所示，需分两种情况进行讨论：i）当时，即＝，解得m＝2或m＝﹣4或m＝5（舍去）；当m＝2时点Q与点M重合，不符合题意，舍去，当m＝﹣4时，此时Q坐标为点Q1（﹣4，27）；ii）当时，即＝，，解得m＝或m＝－或m＝5（舍去），当m＝时，Q坐标为点Q2（，），当m＝－，Q坐标为点Q3（－，），综上所述，点Q的坐标为（﹣4，27）或（，）或（，）．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，平行四边形的性质和判断，相似三角形的判断和性质，综合性强，能力要求高，注意“分类讨论”、“数形结合”数学思想的应用．6 .如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式是y=x2+x+3；（2）|MB﹣MD|取最大值为；（3）存在点P（1，6）．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据对称性，可得MC=MD，根据解方程组，可得B点坐标，根据两边之差小于第三边，可得B，C，M共线，根据勾股定理，可得答案；（3）根据等腰直角三角形的判定，可得∠BCE，∠ACO，根据相似三角形的判定与性质，可得关于x的方程，根据解方程，可得x，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【详解】解：（1）将A（0，3），C（﹣3，0）代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式是y=x2+x+3；（2）由抛物线的对称性可知，点D与点C关于对称轴对称，∴对l上任意一点有MD=MC，联立方程组，解得（不符合题意，舍），，∴B（﹣4，1），当点B，C，M共线时，|MB﹣MD|取最大值，即为BC的长，过点B作BE⊥x轴于点E，，在Rt△BEC中，由勾股定理，得BC=，|MB﹣MD|取最大值为；（3）存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，在Rt△BEC中，∵BE=CE=1，∴∠BCE=45°，在Rt△ACO中，∵AO=CO=3，∴∠ACO=45°，∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，过点P作PG⊥y轴于G点，∠PGA=90°，设P点坐标为（x，x2+x+3）（x＞0）①当∠PAQ=∠BAC时，△PAQ∽△CAB，∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，∴△PGA∽△BCA，∴，即，∴，解得x1=1，x2=0（舍去），∴P点的纵坐标为×12+×1+3=6，∴P（1，6），②当∠PAQ=∠ABC时，△PAQ∽△CBA，∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠ABC，∴△PGA∽△ACB，∴，即=3，∴，解得x1=﹣（舍去），x2=0（舍去）∴此时无符合条件的点P，综上所述，存在点P（1，6）．【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用待定系数法求函数解析式；解（2）的关键是利用两边只差小于第三边得出M，B，C共线；解（3）的关键是利用相似三角形的判定与性质得出关于x的方程，要分类讨论，以防遗漏．7 .如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点右侧），点为抛物线的顶点.点在轴的正半轴上，交轴于点，绕点顺时针旋转得到，点恰好旋转到点，连接.（1）求点、、的坐标；（2）求证：四边形是平行四边形；（3）如图2，过顶点作轴于点，点是抛物线上一动点，过点作轴，点为垂足，使得与相似（不含全等）.①求出一个满足以上条件的点的横坐标；②直接回答这样的点共有几个？【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3）①点P的横坐标为，，，②点P共有3个.【解析】【分析】(1)令y=0，可得关于x的方程，解方程求得x的值即可求得A、B两点的坐标，对解析式配方可得顶点D的坐标；(2)由，CO⊥AF，可得OF=OA=1，如图2，易得，由此可得，继而证明为等边三角形，推导可得，再由，，可得，问题得证；(3)①设点的坐标为，分三种情况：点在点左侧，点在点右侧，点在之间，分别讨论即可得；②由①的结果即可得.【详解】(1)令，解得或，故，，配方得，故；(2)∵，CO⊥AF，∴OF=OA=1，如图，DD1⊥轴，∴DD1//CO，∴，∴，即，∴，∴CF==2，∴，即为等边三角形，∴∠AFC=∠ACF=60°，∵∠ECF=∠ACF，∴，∴，∵CF：DF=OF：FD1=1：2，∴DF=4，∴CD=6，又∵，，∴，∴四边形是平行四边形；(3)①设点的坐标为，(ⅰ)当点在点左侧时，因为与相似，则1)，即，∴(舍)，x2=-11；2)，即，∴(舍)，；(ⅱ)当点在点右侧时，因为与相似，则3)，即，∴(舍)，(舍)；4)，即，∴(舍)，(舍)；(ⅲ)当点在之间时，∵与相似，则5)，即，∴(舍)，(舍)；6)，即，∴(舍)，；综上所述，点的横坐标为，，；②由①可得这样的点P共有3个.【点睛】本题考查的是函数与几何综合题，涉及了等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论并画出符合题意的图形是解题的关键.8 .如图，抛物线与轴交于，两点，点，分别位于原点的左、右两侧，，过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为，，．（1）求，的值；（2）求直线的函数解析式；（3）点在抛物线的对称轴上且在轴下方，点在射线上，当与相似时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．【答案】（1）；（2）（3），，，【解析】【分析】（1）根据，得出，，将A，B代入得出关于b，c的二元一次方程组求解即可；（2）根据二次函数是，，，得出的横坐标为，代入抛物线解析式求出，设得解析式为：，将B，D代入求解即可；（3）由题意得tan∠ABD=，tan∠ADB=1，由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与x轴交点为M，P（1，n）且n<0，Q（x，0）且x<3，分①当△PBQ∽△ABD时，②当△PQB∽△ABD时，③当△PQB∽△DAB时，④当△PQB∽△ABD时四种情况讨论即可．【详解】解：（1）∵，∴，，∴将A，B代入得，解得，∴，；（2）∵二次函数是，，，∴的横坐标为，代入抛物线解析式得∴，设得解析式为：将B，D代入得，解得，∴直线的解析式为；（3）由题意得tan∠ABD=，tan∠ADB=1，由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与x轴交点为M，P（1，n）且n<0，Q（x，0）且x<3，①当△PBQ∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ABD即=，解得n=，tan∠PQB=tan∠ADB即，解得x=1-，此时Q的坐标为（1-，0）；②当△PQB∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ADB即=1，解得n=-2，tan∠QPB=tan∠ABD即=，解得x=1-，此时Q的坐标为（1-，0）；③当△PQB∽△DAB时，tan∠PBQ=tan∠ABD即=，解得n=，tan∠PQB=tan∠DAB即，解得x=-1，此时Q的坐标为（-1，0）；④当△PQB∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ABD即=1，解得n=-2，tan∠PQB=tan∠DAB即，解得x=5-，Q的坐标为（5-，0）；综上：Q的坐标可能为，，，．【点睛】本题考查了二次函数，一次函数，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，掌握知识点灵活运用是解题关键．9 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，其图象与轴交于点和点，与轴交于点．（1）直接写出抛物线的解析式和的度数；（2）动点，同时从点出发，点以每秒3个单位的速度在线段上运动，点以每秒个单位的速度在线段上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，连接，再将线段绕点顺时针旋转，设点落在点的位置，若点恰好落在抛物线上，求的值及此时点的坐标；（3）在（2）的条件下，设为抛物线上一动点，为轴上一动点，当以点，，为顶点的三角形与相似时，请直接写出点及其对应的点的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）【答案】（1），；（2）t=，D点坐标为；（3）；；；；；；；；；；．【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴以及点B坐标可求出抛物线表达式；（2）过点N作于E，过点D作于F，证明，得到，从而得到点D坐标，代入抛物线表达式，求出t值即可；（3）设点P（m，），当点P在y轴右侧，点Q在y轴正半轴，过点P作PR⊥y轴于点R，过点D作DS⊥x轴于点S，根据△CPQ∽△MDB，得到，从而求出m值，再证明△CPQ∽△MDB，求出CQ长度，从而得到点Q坐标，同理可求出其余点P和点Q坐标.【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线，∴，则b=-3a，∵抛物线经过点B（4，0），∴16a+4b+1=0，将b=-3a代入，解得：a=，b=，抛物线的解析式为：，令y=0，解得：x=4或-1，令x=0，则y=1，∴A（-1，0），C（0，1），∴tan∠CAO=,∴；（2）由（1）易知，过点N作于E，过点D作于F，∵∠DMN=90°，∴∠NME+∠DMF=90°，又∠NME+∠ENM=90°，∴∠DMF=∠ENM，，，（AAS），，由题意得：，，，，，，，又，故可解得：t=或0（舍），经检验，当t=时，点均未到达终点，符合题意，此时D点坐标为；（3）由（2）可知：D，t=时，M（，0），B（4，0），C（0，1），设点P（m，），如图，当点P在y轴右侧，点Q在y轴正半轴，过点P作PR⊥y轴于点R，过点D作DS⊥x轴于点S，则PR=m，DS=，若△CPQ∽△MDB，∴，则，，解得：m=0（舍）或1或5（舍），故点P的坐标为：，∵△CPQ∽△MDB，∴，当点P时，，解得：CQ=，，∴点Q坐标为（0，），；同理可得：点P和点Q的坐标为：；；；；；；；；；；.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图像和性质，二次函数表达式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质，难度较大，计算量较大，解题时注意结合函数图像，找出符合条件的情形.10 .如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线及x轴分别交于点D、M．，垂足为N．设．①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；②当点P在直线下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使与相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）-2，，1；（3）存在，（3，-2）【解析】【分析】（1）根据直线经过B、C两点求出B、C两点的坐标，将B、C坐标代入抛物线可得答案；（2）①由题意得P（m，），D（m，）；根据P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点列式计算即可求得m的值；②先证明，得出，再根据与相似得出，则，可得出，求出点P的纵坐标，代入抛物线，即可求得点P的横坐标．【详解】解：（1）由直线经过B、C两点得B（4，0），C（0，-2）将B、C坐标代入抛物线得，解得，∴抛物线的解析式为：；（2）①∵，垂足为N．∴P（m，），D（m，），分以下几种情况：M是PD的中点时，MD=PM，即0-（）=解得，（舍去）；P是MD的中点时，MD=2MP，即=2（）解得，（舍去）；D是MP的中点时，2MD=MP，即=2（）解得，（舍去）；∴符合条件的m的值有-2，，1；②∵抛物线的解析式为：，∴A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）∴AO=1，CO=2，BO=4，∴，又=90°，∴，∴，∵与相似∴，∴，∴，∴点P的纵坐标是-2，代入抛物线，得解得：（舍去），，∴点P的坐标为：（3，-2）【点睛】本题考查二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定和性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会利用分类讨论的思想解决数学问题．11 .如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接，当时，求点P的坐标；（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）在射线上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似，点M的坐标为：，或．【解析】【分析】（1）直接将和点代入，解出a，b的值即可得出答案；（2）先求出点C的坐标及直线BC的解析式，再根据图及题意得出三角形PBC的面积；过点P作PG轴，交轴于点G，交BC于点F，设，根据三角形PBC的面积列关于t的方程，解出t的值，即可得出点P的坐标；（3）由题意得出三角形BOC为等腰直角三角形，然后分MN=EM，MN=NE，NE=EM三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案．【详解】（1）抛物线过点和点抛物线解析式为：（2）当时，直线BC解析式为：过点P作PG轴，交轴于点G，交BC于点F设即（3）为等腰直角三角形抛物线的对称轴为点E的横坐标为3又点E在直线BC上点E的纵坐标为5设①当MN=EM，,时解得或（舍去）此时点M的坐标为②当ME=EN，时解得：或（舍去）此时点M的坐标为③当MN=EN，时连接CM，易知当N为C关于对称轴l的对称点时，，此时四边形CMNE为正方形解得：（舍去）此时点M的坐标为在射线上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似，点M的坐标为：，或．【点睛】本题是一道综合题，涉及到二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识点，综合性比较强，解答类似题的关键是添加合适的辅助线．12 .在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．（1）求抛物线的函数表达式（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；（3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，或【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，则可得△AEK∽△DEF，继而可得，先求出BC的解析式，继而求得AK长，由可得，设点，进而可得，从而可得，再利用二次函数的性质即可求得答案；（3）先确定出∠ACB=90°，再得出直线的表达式为．设点的坐标为，然后分点在直线右侧，点在直线左侧两种情况分别进行讨论即可．【详解】（1）∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．∴，∴，∴抛物线的函数表达式为；（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点．则DG//AK，∴△AEK∽△DEF，∴，设直线BC的解析式为y=kx+n，将、代入则有：，解得，∴直线的表达式为，当x=-1时，，即K（-1，），∴．∵．∴设点，则F点坐标为（m，），∴．∴，当时，有最大值．（3）∵，，．∴AC=，BC=，AB=5，∴AC2+BC2=25=52=AB2，∴∠ACB=90°，∵过点作直线，直线的表达式为，∴直线的表达式为．设点的坐标为．①当点在直线右侧时，如图，∠BPQ=90°，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥PN于点M，∴∠M=∠PNB=90°，∴∠BPN+∠PBN=90°，∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°，∴∠QPM=∠PBN，∴，∴，又∵，∴，∴，∵NB=t-4，PN=，∴，∴QM=，PM=，∴MN=+，，∴点的坐标为．将点的坐标为代入，得，解得：，t2=0（舍去），此时点的坐标为．②当点在直线左侧时．如图，∠BPQ=90°，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥PN于点M，∴∠M=∠PNB=90°，∴∠BPN+∠PBN=90°，∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°，∴∠QPM=∠PBN，∴，∴，又∵，∴，∴，∵NB=4-t，PN=，∴，∴QM=，PM=，∴MN=+，，∴点的坐标为．将点的坐标为代入，得，解得：，<0（舍去），此时点的坐标为．【点睛】本题是二次函数综合题，涉及了待定系数法，二次函数的性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论是解题的关键．13 .如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，其对称轴与线段交于点，垂直于轴的动直线分别交抛物线和线段于点和点，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到点．（1）求出二次函数和所在直线的表达式；（2）在动直线移动的过程中，试求使四边形为平行四边形的点的坐标；（3）连接，，在动直线移动的过程中，抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1），；（2）；（3）存在，点的坐标是．【解析】【分析】（1）将，代入，解出a，b得值即可；求出C点坐标，将C，B代入线段所在直线的表达式，求解即可；（2）根据题意只要，四边形即为平行四边形，先求出点D坐标，然后求出DE，设点的横坐标为，则，，得出，根据，得，求解即可；（3）由（2）知，，根据与有共同的顶点，且在的内部，只有当时，，利用勾股定理，可得，，根据，即，解出t值，即可得出答案．【详解】解：（1）由题意，将，代入，得，解得，∴二次函数的表达式，当时，，得点，又点，设线段所在直线的表达式，∴，解得，∴所在直线的表达式；（2）∵轴，轴，∴，只要，此时四边形即为平行四边形，由二次函数，得点，将代入，即，得点，∴，设点的横坐标为，则，，由，得，。
苏科版九年级数学下册：二次函数与相似三角形、全等三角形及等角的存在性问题
二次函数与相似三角形、全等三角形及等角的存在性问题（一）、相似三角形的存在性问题：1、如图,直线y=−x+3与x轴、y轴分别相交于点B. C,经过B. C两点的抛物线cbxaxy++=2与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x=2.(1)、求该抛物线的解析式；(2)、连接PB、PC，求△PBC的面积；(3)、连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
2、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣4k+4与抛物线y＝x2﹣x交于A、B两点．（1）、直线总经过定点，请直接写出该定点的坐标；（2）、点P在抛物线上，当k＝﹣时，解决下列问题：①、在直线AB下方的抛物线上求点P，使得△PAB的面积等于20；②、连接OA，OB，OP，作PC⊥x轴于点C，若△POC和△ABO相似，请直接写出点P的坐标．3、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x－3与抛物线y＝x2＋mx＋n相交于两个不同的点A、B，其中点A在x轴上．(1)、则A点坐标为▲；(2)、若点B为该抛物线的顶点，求m、n的值；(3)、在(2)条件下，设该抛物线与x轴的另一个交点为C，请你探索在平面内是否存在点D，使得△DAC与△DCO相似？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．4、已知某二次函数的图象与x轴分别相交于点A(−3,0)和点B(1,0),与y轴相交于C(0,−3m)(m>0)，顶点为点D.(1)、求该二次函数的解析式(系数用含m的代数式表示)；(2)、如图①，当m=2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；(3)、如图②，当m取何值时，以A. D. C三点为顶点的三角形与△OBC相似?5、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）、求抛物线的表达式；（2）、D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）、抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．6、如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点．（1）、求抛物线的解析式；（2）、点E是直线BC上方抛物线上的一动点，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，交x轴于点F，设E的横坐标为m，请用含m的代数式表示线段EM的长；（3）、在（2）的条件下，若B，E，M为顶点的三角形与△BOC相似，请直接写出m的值．7、如图所示抛物线2y x bx c =++经过A 、B 两点，A 、B 两点的坐标分别为（-1,0）、（0，-3） （1）、求抛物线的解析式；（2）、点E 为抛物线的顶点，点C 为抛物线与x 轴的另一个交点，点D 为y 轴上一点，且DC=DE ，求出点D 的坐标；（3）、在（2）的条件下，在直线DE 上存在点P ，使得以C 、D 、P 为顶点的三角形与△DOC 相似，请直接写出所有满足条件的点P 的坐标。
苏科版九年级数学下册二次函数期末解答题专项复习【含答案】
苏科版九年级数学下册二次函数期末解答题专项复习1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x …－2 －1 0 1 2 …y … 5 0 －3 －4 －3 …（1）求该二次函数的表达式；（2）该二次函数图像关于x 轴对称的图像所对应的函数表达式；2.已知二次函数y＝(x－m)(x＋m＋4)，其中m为常数．（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图像与x轴有公共点．（2）若A(－1，a)和B(n，b)是该二次函数图像上的两个点，请判断a、b的大小关系．3.如图，已知抛物线与x轴交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3). (1)求抛物线的解析式; (2)设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积;(3)△AOB与△DBE是否相似?如果相似，请给以证明:如果不相似，请说明理由.4.若二次函数21y ax bx =++的图像经过点(1，0)和(2，1) (1)求a ，b 的值; (2)写出该二次函数的对称轴和顶点坐标.5.如图，二次函数y ＝ax 2－8ax ＋c （a ＜0）的图像与x 、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，顶点为D ，一次函数y ＝－mx +c 的图像过 A 、B 两点，且sin ∠OAB ＝35，BD 平分∠ABY （Y 在点B 上方）． （1）求m 的值；（2）求二次函数的表达式．6.二次函数y = ax 2 + bx + c 的图象的一部分如图所示.已知它的顶点M 在第二象限，且经过点A （1，0）和点B （0，1） （1）试求a ，b 所满足的关系式；（2）设此二次函数的图象与x 轴的另一个交点为C ，当△AMC 的面积为△ABC 面积的54倍时，求a 的值:（3）是否存在实数a ，使得△ABC 为直角三角形?若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由.By O ADxY7.（1）已知二次函数2=+的图像经过点（-2，8）和点（-1，5），求该二次函数y ax c表达式．（2）已知某二次函数的图像与x轴交于点（1，0）和点（-3，0），且经过点（0，3），求该二次函数表达式．8.已知二次函数的图像以()2,5B-.A-为顶点，且过点()1,4(1)求该函数的关系式;(2)求该函数图像与坐标轴的交点坐标;(3)将函数图像向左平移几个单位，该函数图像恰好经过原点.9.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴、y轴的交点分别为（1，0）和（0，－3）．（1）求此二次函数的表达式；（2）结合函数图象，直接写出当y＞－3时，x的取值范围．10.有这样一个问题：探究函数1(1)(2)(3)2y x x x x =---+的性质．（1）先从简单情况开始探究： ① 当函数为1(1)2y x x =-+时，y 随x 增大而 （填“增大”或“减小”）； ② 当函数为1(1)(2)2y x x x =--+时，它的图象与直线y x =的交点坐标为 ；（2）当函数为1(1)(2)(3)y x x x x =---+时，下表为其y 与x 的几组对应值．出的点，画出该函数的图象；②根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质： ．11.在平面直角坐标系xOy中，抛物线2443=-++的顶点为A．y mx mx m（1）求点A的坐标；（2）将线段OA沿x轴向右平移2个单位得到线段O A''．①直接写出点O'和A'的坐标；②若抛物线2443=-++与四边形AOO A''有且只有两个公共点，结合函数的图象，y mx mx m求m的取值范围．12.某商品的进价为每个3元、已知该商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系216=++，其图像如图所示.y ax x c(1)求a、c的值;(2)销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大?最大利润为多少元?(3)销售单价在什么范围时，该商品每天的销售利润不低于16元?13.如图，二次函数的图像与x 轴相交于A （－3，0）、B(1，0)两点，与y 轴相交于点C (0，3)，点C 、D 是二次函数图像上的一对对称点，一次函数的图像过点B 、D ． (1)D 点坐标（ ， ）； (2)求二次函数的解析式；(3)若把二次函数向左平移2个单位，再向下平移3个单位， 直接写出平移后的解析式；(4)根据图像直接写出使一次函数值小于二次函数值 的x 的取值范围．14.对于二次函数342+-=x x y 和一次函数1+-=x y ，我们把)1)(1()34(2+--++-=x t x x t y 称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t 是不为零的实数，其图像记作抛物线E ．现有点A （1，0）和抛物线E 上的点B （2，n ），请完成下列任务： 【尝试】⑴判断点A 是否在抛物线E 上；⑵求n 的值．【发现】通过（1）和（2）的演算可知，对于t 取任何不为零的实数，抛物线E 总过定点，请你求出定点的坐标．【应用】二次函数5832-+-=x x y 是二次函数342+-=x x y 和一次函数1+-=x y 的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t 的值；如果不是，说明理由．15.已知：关于x 的一元二次方程：x 2-6x+m=0 （1）当m=0时，求原方程的解：（2）若方程有一个实数根为3-5，求方程另一根及m 的值。
中考总复习专题：二次函数与相似的结合
二次函数与相似的结合题型一：动点在线段上如图，平面直角坐标系xOy 中，已知(1,0)B -，一次函数5y x =-+的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、C 两点，二次函数2y x bx c =-++的图像经过点A 、点B ；（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P 是该二次函数图像的顶点，求△APC 的面积；（3）如果点Q 在线段AC 上，且△ABC 与△AOQ 相似，求点Q 的坐标；如图，抛物线22y ax ax c =++(0)a >与x 轴交于(3,0)A -、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点(0,3)C -，抛物线的顶点为M ；（1）求a 、c 的值； （2）求tan MAC ∠的值；（3）若点P 是线段AC 上一个动点，联结OP ；问是否存在点P ，使得以点O 、C 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由； 如图，已知抛物线2y ax x c =-+的对称轴为直线x =1，与x 轴的一个交点为A （-1，0），顶点为B . 点C （5，m ）在抛物线上，直线BC 交x 轴于点E . （1） 求抛物线的表达式及点E 的坐标； （2） 联结AB ，求∠B 的正切值；（3） 点G 为线段AC 上一点，过点G 作CB 的垂线交x 轴于点M （位于点E 右侧），当△CGM 与△ABE 相似时，求点M 的坐标. 【参考答案】24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）解：（1）∵抛物线2y ax x c =-+的对称轴为直线x =1，∴12a =. ∵抛物线与x 轴的一个交点为A （-1，0），∴32c =-. ∴抛物线的表达式为21322y x x =--.………………………………………………（2分） ∴顶点B （1，-2）.…………………………………………………………………（1分） ∵点C （5，m ）在抛物线上，∴6m =. ∴C 点坐标为（5，6）. 设直线BC 的表达式为y =kx +b （k ≠0），xyAB EC O （第24题图）则652k b k b=+⎧⎨-=+⎩，∴2,4.k b =⎧⎨=-⎩即BC 的表达式为y =2x -4.∴E （2，0）.……………………………………………………………………………（1分）（2）作CH ⊥x 轴，垂足为H ，作BP ⊥x 轴，垂足为P ， ∵C （5，6），A （-1，0），∴CH =6=AH . ∴∠CAH=45°. ∵B （1，-2），A （-1，0），∴BP =2=AP .∴∠BAP=45°. ∴∠CAB=90°. …………………………………………………………………………（1分）∵CH =6=AH ，CH ⊥x 轴，∴AC =∵BP =2=AP ，BP ⊥x 轴，∴AB =∴tan 3.ACB AB∠==…………………………………………………………………（2分） （3）∵∠CAB=90°，∴∠B +∠ACB =90°. ∵GM ⊥BC ，∴∠CGM +∠ACB =90°.∴∠CGM =∠B . ………………………………（1分） ∵△CGM 与△ABE 相似，∴∠BAE =∠CMG 或∠BAE =∠MCG . 情况1：当∠BAE =∠CMG 时， ∵∠BAE =45°，∴∠CMG =45°. ∵GM ⊥BC ，∴∠MCE =45°.∴∠MCE =∠EAB .∵∠AEB =∠CEM ，∴△ABE ∽△CME . ……………………………………………（1分）∴BE AEEM CE =.即EM =∴EM =5. ∴M （7，0）. ……………………………（1分） 情况2：当∠BAE =∠MCG 时，∵∠BAE =∠CAM ，∴∠MCG =∠CAM .∴MC =MA . ………………………………（1分） 设M （x ，0），∵C （5，6），A （-1，0），∴222(1)(5)6.x x +=-+∴x=5.∴M （5，0）. …………………………………………………………………………（1分） 题型二：动点在线段的延长线上如图7，已知抛物线32++-=bx x y 与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OC OB =，点D 是抛物线的顶点，直线AC 和BD 交于点E 。
苏科版九年级下册专题复习二次函数的定义、图像和性质(有答案)
二次函数的定义、图像和性质知识梳理：1、二次函数的定义：c bx ax y ++=2(a ，b ，c 是常数，a ≠0)叫做二次函数的一般式，任何一个二次函数的解析式都可以化成c bx ax y ++=2(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的形式，其中),0(2≠=a ax y),0,(),0,(22≠+=≠+=a c a c ax y a b a bx ax y 为常数，为常数，都是二次函数的特殊形式。
2向上 向下2同步练习：一．选择题：1．二次函数y=x2+2x﹣7的函数值是8，那么对应的x的值是（）A．3 B．5 C．﹣3和5 D．3和﹣52．下列函数不属于二次函数的是（）A．y=（x﹣1）（x+2） B．y=（x+1）2C．y=2（x+3）2﹣2x2D．y=1﹣x23．已知y=ax2+bx+c的图象如图所示，则y=ax+b的图象一定过（）A．第一，二，三象限 B．第一，二，四象限C．第二，三，四象限 D．第一，三，四象限第3题第4题4．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则直线y=bx+c的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A． B． C． D．6．函数y=ax2﹣2x+1和y=ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．7．二次函数y=2（x+2）2﹣1的图象是（）A． B． C． D．8．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a﹣b+c=0；④5a＜b．其中正确结论是（）A．②④ B．①④ C．②③ D．①③第8题第9题9．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象可得a，b，c与0的大小关系是（）A．a＞0，b＜0，c＜0 B．a＞0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＜0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＜010．二次函数y=ax2+bx+c的图象过原点，且与x轴的正半轴相交，则下列各式正确的（）A．a＞0，b＜0，c＜0 B．c=0，ab＜0 C．a≠0，b＜0，c=0 D．a≠0，b≥0，c=011．抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）12．抛物线y=（x﹣2）2+3的对称轴是（）A．直线x=﹣2 B．直线x=2 C．直线x=﹣3 D．直线x=313．关于x的二次函数y=﹣（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（）A．图象的开口向上B．图象的顶点坐标是（﹣1，2）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）14．抛物线y=x2﹣4x﹣7的顶点坐标是（）A．（2，﹣11）B．（﹣2，7）C．（2，11） D．（2，﹣3）15．抛物线y=x2+2x﹣2的图象上最低点的坐标是（）A．（2，﹣2）B．（1，﹣2）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）16．如图，抛物线顶点坐标是P（1，3），则函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＞1 D．x＜117．抛物线y=x2﹣2x+1的对称轴是（）A．直线x=0 B．直线x=1 C．直线x=2 D．直线x=18．若y=（2﹣m）是二次函数，且开口向上，则m的值为（）A．±B．﹣C．D．019．二次函数y=x2﹣（12﹣k）x+12，当x＞1时，y随着x的增大而增大，当x＜1时，y随着x的增大而减小，则k的值应取（）A．12 B．11 C．10 D．9二．填空题：20．若函数y=（m 2+m ）是二次函数，则m= ．21．当m= 时，函数y=（m ﹣1）是关于x 的二次函数．22．当m= 时，抛物线y=mx 2+2（m+2）x+m+3的对称轴是y 轴；当m= 时，图象与y 轴交点的纵坐标是1；当m= 时，函数的最小值是﹣2．23．抛物线y=2x 2+ax+b 的顶点坐标为C （2，﹣6），则ab= ．24．二次函数y=x 2﹣2x+m 的最小值为5时，m= ．25．二次函数y=﹣x 2+2x+3，当x= 时，y 有最 值为 ．26．如果抛物线y=x 2﹣6x+c ﹣2的顶点到x 轴的距离是3，那么c 的值等于 ．27．若抛物线y=x 2+（m ﹣1）x+（m+3）顶点在y 轴上，则m= ．28．抛物线y=ax 2+12x ﹣19顶点横坐标是3，则a= ．三．解答题：29、已知函数y=（k-2）542+-k k x +2x 是关于x 的二次函数．求：（1）满足条件的k 的值；（2）当k 为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x 为何值时，y 随x 的增大而增大？30、某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式．参考答案一．选择题1．D 2．C 3．D 4．B 5．D 6．C 7．C 8．B 9．D 10．B 11．B 12．B 13．C 14．A 15．D 16．C 17．B 18．B 19．C二．填空题20．21．-1 22．-2-24 23．-16 24．6 25．1大4 26．14或8 27．1 28．-2三．解答题29．K=3或K=1，x＜130．Y=（100+x）（600-5x）。
苏科版九年级数学下小专题复习：函数——二次函数
想一想
【热身】 【1】根据图像提供的信息，
你想到什么？
抛物线解析式 …
想一想
【2】已知抛物线y=2 x2 + 4x - 6， y=2(x﹢1) 2﹣8
（1）能否将其平移得到抛物线y=2 x2 ?
画二次函数图
（2）当x取何值时，y＞0，y﹦0，y＜0.
心中有图
二次函数的概念 二次函数的图像 二次函数的性质 二次函数的应用
厘一厘 形如y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做 二次函数.
三种解析式： ①一般式：y=ax2+bx+c (a≠0); ②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，顶点坐标是（h，k）; ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)，
提醒
容易题慎做-必须全对 中等题稳做-保证全对 较难题巧做-多拿分数
悟一悟 回顾提炼 综合题是怎么来的
D
常思悟 课堂反馈
课本P26“学会
函数的性质是是从哪里来的 ?
视察图像 ‘读’二次函数 ”，须多读多悟
如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图像，对于下列说法：①ac＞0，
②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增
可利用的条件?
直线x＝2
解：当x＝2时，分别代入
∴ DE=4
解题小结
得yD＝1，yE＝5
1.审题“读”图 2.数形结合
【问题3】点P从原点O出发，沿x轴正方向以1个单
位/秒的速度运动，设运动时间为t，过点P作x轴的垂 线与直线AB交于点F，与抛物线交于点G，如图3．
苏科版九年级数学(二次函数、相似)综合能力训练考试试卷(无答案)
苏科版九年级数学（二次函数、相似）综合能力训练试卷姓名一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1.下列函数中是二次函数的是（ ）A. y =3x -1B. y =x 3-2x -3C. y=x 2D. y=ax 22.抛物线y =（x -2）2-3的顶点坐标是（ ）A. （2，3）B. （2，-3）C. （-2，3）D. （-2，-3）3.二次函数y =2x 2-3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（ ）A. 抛物线开口向下B. 抛物线经过点（2，3）C. 抛物线的对称轴是直线x =1D. 抛物线与x 轴有两个交点4. 如果两个相似三角形的周长分别是和，那么这两个三角形的面积之比是（ ） A.B.C.D.5.对于二次函数y =-（x -1）2+2的图象与性质，下列说法正确的是（ ）A. 对称轴是直线x =1，最小值是2B. 对称轴是直线x =1，最大值是2C. 对称轴是直线x =-1，最小值是2D. 对称轴是直线x =-1，最大值是26.已知y ＝(m ＋2)x |m |＋2是关于x 的二次函数，那么m 的值为 ( )A. －2B. 2C. ±2D. 07.一抛物线的形状、开口方向与相同，顶点为，则此抛物线的解析式为A. B. C.D.8.如图，△ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC ∽△DBA ，则下列结论一定正确的是（ ） A.AB 2=BC ·BD B. AB 2=AC ·BD C.AB ·AD=BD ·BC D. AB ·AD=AC ·CD二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）9.已知43=y x ,则=-yy x . 10. 如果线段c 是a 、b 的比例中项，且a=4，b=9，则c= .11.在比例尺为1:5000的地图上,量得甲、乙两地的距离25cm,则实际距离是 km. 12．将二次函数 y ＝x 2－4x ＋5 化成 y ＝a(x －h) 2＋k 的形式为 ．13．已知二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，－1)，这个二次函数的解析式可以是 ． 14. 在某一时刻，小明同学测得高2米竹竿的影长为1米，旗杆的影长为7米，则旗杆的高度为 15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,CD 垂直于AB 于D.AD =2cm ，DB =6cm ，则CD = ． 16.如图，线段AB 、CD 相交于E ，AD ∥BC ，若AE ∶EB =1∶2，S △ADE =1，则S △AEC 等于 ．DCBA17．如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O 为位似中心，相似比为12∶，点A 的坐标为(01)，，则点E 的坐标是 ．第15题 第16题 第17题 第18题18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，将△ABC 沿BD 折叠，点C 恰好落在AB 上的点C '处，折痕为BD ，再将其沿DE 折叠，使点A 落在D C '的延长线上的A '处．若△BE D ∽△ABC ，则△BED 与△ABC 的相似比是 ． 三、解答题（本大题共9小题，共96分．）19.（本题满分6分）已知：如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上一点，且∠AED=∠B ．若AE=5，AB=9，CB=6，求ED 的长．20.（本题满分8分）如图，△ABC 在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A （0，4），B （2，2），C （4，6） （1）画出△ABC 向下平移5个单位得到的△A 1B 1C 1，此时点B 1的坐标为（ ， ）；（2）以点O 为位似中心，在第三象限画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为1：2，那么△A 2B 2C 2的面积为 ．21.（本题满分8分）已知二次函数的顶点坐标为A （1，9），且其图象经过点（-1，5） （1）求此二次函数的解析式；（2）若该函数图象与x 轴的交点为B 、C ，求△ABC 的面积．22.（本题满分8分）已知抛物线c bx x y ++-=221经过点（1，0），（0，23） （1）求该抛物线的函数表达式； （2）将抛物线c bx x y ++-=221平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．23.本题满分8分）如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ．他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE ＝40cm ．EF ＝30cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5m ，CD ＝10m ，求树高AB ．24（本题满分10分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =5cm ，∠BAC =60°，动点M 从点B 出发，在BA 边上以每秒2cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以每秒3cm 的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t 秒（0≤t ≤5），连接MN ． （1）若BM =BN ，求t 的值；（2）若△MBN 与△ABC 相似，求t 的值．25.（本题满分12）如图，已知二次函数23y x ax =++的图象经过点()2,3P -.（1）求a 的值和图象的顶点坐标。
苏科版九年级数学期末复习二次函数1
九年级（上）数学期末复习二次函数1a 、b 、c 的正负及图像平移性质：1．将抛物线y 1＝2x 2向右平移2个单位，得到抛物线y 2的图象，则y 2= ；2．把抛物线2y x =向左平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为____________________．3．将抛物线y =x 2 +1向下平移2个单位，•则此时抛物线的解析式是____________________．4,如果直线ｙ＝ａｘ＋ｂ（ａｂ≠０）不经过第三象限，那么抛物线ｙ＝ax 2＋bx 的顶点在（ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限5、把抛物线1422++-=x x y 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是 ____________________．6、二次函数c bx ax y ++=2（ ）A a>0 b<0 c>0B a<0 b<0 c>0C a<0 b>0 c<0D a<0 b>0 c>0 7、若抛物线22y x mx n =-+向上平移3个单位长度得到抛物线2241y x x =-+，则m ＝ ，n ＝ ．8．二次函数y=x 2+bx+c 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的函数解析式是y=x 2－2x+1，则b 与c 的值分别是 ( )A ．－4，1B ．2, －2C ．－6，6D ．－8，149．2y x =+3x-2 关于y 轴对称的抛物线解析式为： ．关于x 轴对称的抛物线解析式为： ．关于原点对称的抛物线解析式为： ．10.如图所示是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过A 点(3，0)，二次函数图象对称轴为直线x=1，给出五个结论：①bc>0；②a+b+c<0；③方程ax 2+bx+c=0的根为x 1= -1，x 2=3；④当x<1时，y 随着x 的增大而增大；⑤4a-2b+c >0其中正确结论是A. ①②③B．①③④C．②③④ D. ③④⑤11．（8分）如图，□ABCD中，AB=4，点D的坐标是（0，8），以点C•为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经过x轴上的点A，B．（1）求点A，B，C的坐标；（2）若抛物线向上平移后恰好过点D，求平移后抛物线的解析式．【测试点五】综合应用题：1．（2010 重庆江津）如图，等腰Rt△ABC（∠ACB＝90º）的直角边与正方形DEFG 的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）2.某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．（1）求y与x之间的函数关系式；（4分）（2）设公司获得的总利润（总利润＝总销售额-总成本）为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，P的值最大？最大值是多少？（6分）3、宏达纺织品有限公司准备投资开发A ，B 两种新产品，通过市场调研发现：如果单独投资A 种产品，则所获利润y A (万元)与投资金额m(万元)之间满足正比例函数关系： A y kx =；如果单独投资B 种产品，则所获利润y B (万元)与投资金额x(万元)之间满足二次函数关系：2B y ax bx =+．根据公司信息部的报告，y A 、y B (万元)与x(万元)的部分对应值(如右表)．(1)填空y A =______________________；y B =______________________。
苏科版九年级期末考试复习：二次函数与相似
知识解读：点的运动既能改变与图形相关的数量关系，又能改变图形的形状及位置，从而造就相似三角形，抛物线与相似三角形的结合时抛物线上几何架构的重要表现形式由相似三角形的性质确定动点位置，从定性到定量（点的坐标的确定），因点的运动或对应关系的不确定性而进行的讨论，是解这类问题的关键审题：审题的关键是在弄清字句含义的基础上，明晰数学意义，挖掘隐含条件，建立条件与结论之间的数学练习。
审题的本质是从问题本身去获取从何处入手，向何方进行的信息与启示，是从问题得到“如何解这道题”的逻辑起点。
“磨刀不误砍柴工”，认真审题，成也审题，败也审题！例题精讲例1：如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（-4,0）B（1,0）C（-2,6）（1）求经过A、B、C三点的抛物线（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE＝CE（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问：以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？例2：如图，y=ax2+bx−3的图像与x轴交于A（-1,0）B（3,0）两点，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为M（1）求该抛物线的解析式（2）判断△BCM的形状，并说明理由（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由例3：抛物线L：y=−x2+bx+c经过点A（0,1），与它的对称轴直线x＝1交于点B （1）直接写出抛物线L的解析式（2）如图①，过顶点的直线y=kx−k+4(k<0)与抛物线L交于点M，N，若△BMN的面积等于1，求k的值（3）如图②，将抛物线L向上平移m(m>0)个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D，F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点，若△PCD与以P、O、F为顶点的三角形相似，并且条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标例4：如图，已知抛物线y=12x2+bx+c与直线y=12x+3相交于A，B两点，交x轴于C，D两点，连接AC、BC，已知A（0,3）C（-3,0）（1）求此抛物线的解析式（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB－MD|的值最大，并求出这个最大值（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P，使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出符合条件的P的坐标，若不存在，请说明理由x+c(a≠0)与x轴交于A、B两点（点例5：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+32A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（4,0），抛物线的对称轴是直线x＝32（1）求抛物线的解析式（2） M为第一象限抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM ＝CH时，求点M的坐标（3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α(0°<α<90°)，在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以点P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由,0）,在第一例6：如图①，经过原点O的抛物线y=ax2+bx(a≠0)与x轴交于另一点A（32象限内与直线y＝x交于点B（2，t）（1）求这条抛物线的解析式（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以点B，O，C为顶点的三角形面积为2，求点C的坐标（3）如图②，若点M在这条抛物线上，且∠MBO＝∠ABO，在（2）的条件下是否存在点P，是的△POC∽△MOB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
2020—2021年新苏科版(新课标)九年级数学下册《二次函数》经典考点归类复习及答案解析.docx
苏科版（新课标）九年级下册《二次函数综合题》归类复习1．图像与性质：例1．(2014年四川资阳，第24题12分)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x 轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M 的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据对称轴可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），根据待定系数法可得抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）分三种情况：①当MA=MB时；②当AB=AM时；③当AB=BM时；三种情况讨论可得点M的坐标．（3）平移后的三角形记为△PEF．根据待定系数法可得直线AB的解析式为y=﹣x+3．易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．根据待定系数法可得直线AC的解析式．连结BE，直线BE交AC于G，则G （，3）．在△AOB沿x 轴向右平移的过程中．分二种情况：①当0＜m ≤时；②当＜m＜3时；讨论可得用m的代数式表示S．解：（1）由题意可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），则，解得．故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）①当MA=MB时，M（0，0）；②当AB=AM时，M（0，﹣3）；③当AB=BM时，M（0，3+3）或M（0，3﹣3）．所以点M的坐标为：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）．（3）平移后的三角形记为△PEF．设直线AB的解析式为y=kx+b，则，解得．则直线AB的解析式为y=﹣x+3．△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△PEF，易得直线EF 的解析式为y=﹣x+3+m．设直线AC的解析式为y=k′x+b′，则，解得．则直线AC的解析式为y=﹣2x+6．连结BE，直线BE交AC于G，则G （，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．①当0＜m ≤时，如图1所示．设PE交AB于K，EF交AC于M．则BE=EK=m，PK=PA=3﹣m，联立，解得，即点M（3﹣m，2m）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
知识解读：
点的运动既能改变与图形相关的数量关系，又能改变图形的形状及位置，从而造就相似三角形，抛物线与相似三角形的结合时抛物线上几何架构的重要表现形式
由相似三角形的性质确定动点位置，从定性到定量（点的坐标的确定），因点的运动或对应关系的不确定性而进行的讨论，是解这类问题的关键
审题：审题的关键是在弄清字句含义的基础上，明晰数学意义，挖掘隐含条件，建立条件与结论之间的数学练习。
审题的本质是从问题本身去获取从何处入手，向何方进行的信息与启示，是从问题得到“如何解这道题”的逻辑起点。
“磨刀不误砍柴工”，认真审题，成也审题，败也审题！
例题精讲
例1：如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（-4,0）B（1,0）C（-2,6）
（1）求经过A、B、C三点的抛物线
（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE＝CE
（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问：以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？
例2：如图，y=ax2+bx−3的图像与x轴交于A（-1,0）B（3,0）两点，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为M
（1）求该抛物线的解析式
（2）判断△BCM的形状，并说明理由
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由
例3：抛物线L：y=−x2+bx+c经过点A（0,1），与它的对称轴直线x＝1交于点B （1）直接写出抛物线L的解析式
（2）如图①，过顶点的直线y=kx−k+4(k<0)与抛物线L交于点M，N，若△BMN的面积等于1，求k的值
（3）如图②，将抛物线L向上平移m(m>0)个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D，F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点，若△PCD与以P、O、F为顶点的三角形相似，并且条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标
例4：如图，已知抛物线y=1
2x2+bx+c与直线y=1
2
x+3相交于A，B两点，交x轴于C，D
两点，连接AC、BC，已知A（0,3）C（-3,0）
（1）求此抛物线的解析式
（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB－MD|的值最大，并求出这个最大值
（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P，使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出符合条件的P的坐标，若不存在，请说明理由
x+c(a≠0)与x轴交于A、B两点（点例5：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3
2
A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（4,0），抛物线的对称轴是直线x＝3
2（1）求抛物线的解析式
（2） M为第一象限抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM ＝CH时，求点M的坐标
（3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α(0°<α<90°)，在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以点P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由
,0）,在第一例6：如图①，经过原点O的抛物线y=ax2+bx(a≠0)与x轴交于另一点A（3
2
象限内与直线y＝x交于点B（2，t）
（1）求这条抛物线的解析式
（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以点B，O，C为顶点的三角形面积为2，求点C的坐标
（3）如图②，若点M在这条抛物线上，且∠MBO＝∠ABO，在（2）的条件下是否存在点P，是的△POC∽△MOB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。