对数的运算
对数 运算 法则
对数运算法则是一套用于简化和计算包含对数的表达式的规则。
这些法则可以总结为以下几点：
1. 乘法法则：`log_a(M) + log_a(N) = log_a(MN)`，表示两个数的对数相加等于这两个数相乘的对数。
2. 除法法则：`log_a(M) - log_a(N) = log_a(M/N)`，表示两个数的对数相减等于这两个数相除的对数。
3. 幂的法则：`log_a(M^n) = n * log_a(M)`，表示一个数的幂的对数等于这个数的对数乘以该幂。
4. 方根法则：`log_a(M^(1/n)) = log_a(M)/n`，表示一个数的方根的对数等于这个数的对数除以根号的指数。
5. 特殊值：`log_a(a) = 1`，任何数的对数以其自身为底都是1。
6. 自然对数和常用对数：在没有指定底数的情况下，`ln`通常指自然对数（以e为底），而常用对数（以10为底）通常不写底数，直接写作`log`。
7. 对数恒等式：例如，`ln(e) = 1`，因为任何数的对数以其自身为底都是1。
这些法则是对数运算的基础，并且广泛应用于代数、微积分以及其他数学分支中。
掌握这些法则对于解决涉及指数和对数的数学问题至关重要。
对数函数的运算法则
对数函数的运算法则对数函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域，具有许多重要的运算法则。
在本文中，将详细介绍对数函数的运算法则，包括对数的乘法法则、对数的除法法则、对数的幂法法则以及对数的换底法则。
1.对数的乘法法则：对数的乘法法则是指，在相同底数下，两个数的对数的和等于这两个数的乘积的对数。
具体表达式为：log_a(x * y) = log_a(x) + log_a(y)。
例如，log_2(4 * 8) = log_2(4) + log_2(8) = 2 + 3 = 52.对数的除法法则：对数的除法法则是指，在相同底数下，两个数的对数的差等于这两个数的商的对数。
具体表达式为：log_a(x / y) = log_a(x) - log_a(y)。
例如，log_2(16 / 4) = log_2(16) - log_2(4) = 4 - 2 = 23.对数的幂法法则：对数的幂法法则是指，在相同底数下，一个数的对数与这个数的幂之间存在关系。
具体表达式为：log_a(x^b) = b * log_a(x)。
例如，log_3(4^2) = 2 * log_3(4)。
4.对数的换底法则：对数的换底法则是指，可以通过换底公式将一个底数为a的对数转化为底数为b的对数。
具体表达式为：log_a(x) = log_b(x) / log_b(a)。
例如，log_2(16) = log_10(16) / log_10(2)。
通过运用以上的对数函数的运算法则，可以简化对数函数的运算和求解过程。
对数函数的运算法则在数学的各个领域中都有广泛的应用，特别是在解决指数增长、复利计算、数据压缩等问题中具有重要作用。
此外，还有一些其他的对数函数的运算法则值得注意，包括：- 对数的对数法则：log_a(log_a(x)) = 1，即对数的反函数是指数函数。
-对数函数的性质：对数函数的图像为一条增长缓慢的曲线，且在定义域内满足单调性和有界性。
对数的运算法则及公式
对数的四则运算法则
总结词
对数的四则运算法则是 log(M)+log(N)=log(MN)，log(M)log(N)=log(M/N)， log(M)*log(N)=log(M)+log(N)， log(M)/log(N)=log(M)-log(N)，其中M和 N都为正数。
详细描述
对数的四则运算法则包括加法、减法、乘法 和除法。在加法中，
例题二：对数的换底公式应用题
要点一
总结词
要点二
详细描述
换底公式是解决对数应用题的重要工具。
换底公式是log_b(a) = log_c(a) / log_c(b)，其中c可以是 任何正实数，但通常取为10或自然对数e。利用换底公式 可以将不同底数的对数转化为同底的对数，从而简化计算 。
例题三：对数的四则运算法则应用题
对数的运算性质
换底公式
log(a)b=log(c)a/log(c)b，其 中c为任意正实数，但通常取e
或10。
对数的乘法法则
log(a)b+log(a)c=log(a)b×c。
对数的除法法则
log(a)b/c=log(a)b-log(a)c。
复合对数
对于形如log(a)(b)×log(a)(c)的 式子，可以转化为
对数的书写规范
01
在数学符号中，对数的书写要 规范，如log_b(N)中，底数b 不能省略不写。
02
对数的书写顺序一般为先写底 数，后写真数，如log_a(N)。
03
当底数为10时，常用lg表示， 当底数为e时，常用ln表示。
对数的单位转换
对数的单位转换是指将不同底的对数转换为同一底 的对数。
对数的单位转换可以通过换底公式实现，换底公式 为：log_b(N) = log_c(N) / log_c(b)，其中c为任意 正实数。
对数函数的运算法则
a
a
aloga N N
(2)公式的作用:
化简；求值；证明。
(3)作业：习题2.7 3, 4, 6.
知识回顾 Knowledge Review
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解：（1）log (47 25） log 47 log 25
2
2
2
7log 4 5log 2 14 5 19
2
2
(2) lg 5 100
1
lg 5 100 lg(100)5 1 lg102 2
5
5
练习：2 logog3 27
(3)
log 2
2
log 5
对数运算法则
一、对数的定义：
真数
ab N logaN b 对数
底数
loga 1 0
log a a 1
aloga N N (N>0)
注： 负数和零没有对数
二、对数运算法则 1、运算公式：a>0, a≠1, M>0;N>0 则：
① log(M • N ) logM logN
a
a
a
②
N
logM logN
a
a
2、应用举例：
例1、用
log
x a
,
log表ay ,示lo下g az列各式：
xy
x2 y
(1) log z a
(2) log 3 z a
解：
xy
(1) log z log( xy) log z
a
a
a
logx log y logz
a
a
a
x2 y
(2) log 3 z
logM a
N
logM logN
对数的基本性质和运算公式
对数的基本性质和运算公式对数是数学中非常重要和常用的概念，它在许多领域都有广泛的应用。
对数的基本性质和运算公式包括对数的定义、对数的性质、对数的运算规则以及一些常用的对数公式等。
本文将详细介绍这些基本性质和运算公式。
一、对数的定义：对数是指数运算的逆运算。
设a为一个正实数，b为一个正实数且不等于1，若满足b^x = a，其中x为实数，则称x为以b为底a的对数，记作x = log_b a。
其中，a称为真数，b称为底数，x称为对数。
在对数的定义中，底数和真数的位置可以互换，即x = log_b a等价于 a = b^x。
二、对数的性质：1.对数的定义保证了对数的唯一性，即对于给定的底数和真数，对数是唯一的。
2.对于不同的底数，同一个真数的对数是不同的。
3.当底数为1时，对数不存在，因为1的任何次幂都等于14. 当真数为1时，对数等于0，即log_b 1 = 0。
5.当底数为0时，对数不存在，因为0无法作为一个数的底数。
6.当0<b<1时，对数是负数；当b>1时，对数是正数；当b=1时，对数等于0。
三、对数的运算规则：1.对数的乘法法则：log_b (a * c) = log_b a + log_b c2.对数的除法法则：log_b (a / c) = log_b a - log_b c3.对数的幂法法则：log_b (a^p) = p * log_b a，其中p是任意实数。
这些运算规则可以用来简化对数运算或者将对数转化成乘法和除法的形式。
四、常用的对数公式：1.自然对数和常用对数之间的换底公式：log_b a = log_c a / log_c b，其中b和c是底数。
2.e为底的自然对数：自然对数是以e (自然常数)为底的对数，记作ln(x)。
3.常用对数：常用对数是以10为底的对数，记作log(x)。
4.对数性质的推广：log_b a^n = n * log_b alog_b √(a) = 1/2 * log_b a这些对数公式在计算和解决问题时都有常用的作用。
对数及运算法则
对数及运算法则1.对数源于指数，是指数函数反函数因为：y = ax所以：x = logay2. 对数的定义【定义】如果 N=ax（a>0,a≠1），即a的x次方等于N （a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作：x=logaN其中，a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做“以a为底N的对数”。
2.1对数的表示及性质：1.以a为底N的对数记作：logaN2.以10为底的常用对数：lg N = log10N3.以无理数e（e=2.71828...）为底的自然对数记作：ln N = logeN4.零没有对数.5.在实数范围内，负数无对数。
[3]在虚数范围内，负数是有对数的。
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------注：自然对数的底数 e ：细胞分裂是不间断的，连续的。
每一分钟都有新的细胞产生，它们会像母体一样继续分裂。
单位时间内(24小时)最多能得到多少个细胞？答案是:当增长率为100%保持不变时，在单位时间内细胞种群最多只能扩大2.71828倍。
数学家把这个数就称为e，它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3.对数函数【3.1定义】函数叫做对数函数（logarithmic function），其中x是自变量。
对数函数的定义域是。
【3.2函数基本性质】1、过定点，即x=1时，y=0。
对数计算公式
性质①loga(1)=0；②loga(a)=1；③负数与零无对数.2对数恒等式a^logaN=N (a>0 ，a≠1）3运算法则①loga(MN)=l ogaM+l ogaN；②loga(M/N)=l ogaM－logaN；③对logaM中M的n次方有=nlogaM；如果a=e^m，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.718281828…为自然对数的底。
定义：若a^n=b(a>0且a≠1) 则n=log(a)(b)基本性质：1、a^(log(a)(b))=b2、log(a)(MN)=l og(a)(M)+l og(a)(N);3、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);4、log(a)(M^n)=nl og(a)(M)5、log(a^n)M=1/nl og(a)(M)推导：1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。
2、MN=M×N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)]由指数的性质a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)3、与（2）类似处理 M/N=M÷N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]由指数的性质a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)4、与（2）类似处理M^n=M^n 由基本性质1(换掉M) a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n由指数的性质a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M^n)=nlog(a)(M)基本性质4推广log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]推导如下：由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底] log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)换底公式的推导：设e^x=b^m,e^y=a^n 则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y x=ln(b^m),y=ln(a^n) 得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)由基本性质4可得 log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}再由换底公式 log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]4换底公式设b=a^m，a=c^n，则b=(c^n)^m=c^(mn)………………………………①对①取以a为底的对数，有：log(a)(b)=m……………………………..②对①取以c为底的对数，有：log(c)(b)=mn……………………………③③/②，得：log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)注：log(a)(b)表示以a为底x的对数。
对数函数运算法则公式
对数函数运算法则公式一、什么是对数函数对数函数，又称为指数函数，是一类常见的数学函数，它可以用来表达不同系数的多次方之间的关系。
它的基本形式为y=loga x (a>0, a≠1)，其中 a 为底数，x 为真数，y 为对数。
二、对数函数运算法则1. 同底数相加/减法则：若 y1=loga x，y2=loga m，则有：y1+y2=loga x+loga m =loga (xm)y1-y2=loga x-loga m =loga (x/m)2. 同底数乘/除法则：若 y1=loga x，y2=loga m，则有：y1*y2=loga x*loga m =loga (x^m)y1/y2=loga x/loga m =loga (x^(1/m))3. 相乘/除法则：若 y1=loga x，y2=logb m，则有：y1*y2=loga x*logb m =loga (x^b)y1/y2=loga x/logb m =loga (x^(1/b))4. 幂函数的对数运算法则：若 y=ax，则有：loga y=x*loga a5. 指数函数的对数运算法则：若 y=a^x，则有：loga y=x*loga a6. 反函数的对数运算法则：若 y=f-1(x)，则有：loga y=loga f-1(x)=loga x7. 同余式的对数运算法则：若y=a^x ≡ b^x mod c，则有：loga y=x*loga a ≡ x*loga b mod c三、总结以上就是关于“对数函数运算法则公式” 的详细介绍，它是一类常见的数学函数，可以用来表达不同系数的多次方之间的关系，它有 7 种运算法则，即同底数相加/减法、同底数乘/除法、相乘/除法、幂函数的对数运算法则、指数函数的对数运算法则、反函数的对数运算法则以及同余式的对数运算法则。
对数函数的运算
对数函数的运算1. 什么是对数函数对数函数是指以一个常数为底数的幂函数的反函数。
常见的对数函数有自然对数（以e为底数的对数）和常用对数（以10为底数的对数）。
对数函数通常表示为log_x(y)，其中x为底数，y为真数，结果表示为x的多少次方等于y，即 log_x(y) = x^a = y。
对数函数的一些性质： - 若x > 1，则log_x(1) = 0； - 若x > 1，则log_x(x) = 1； - 若x > 1，则log_x(xy) = log_x(x) +log_x(y)； - 若x > 1，则log_x(a^m) = m * log_x(a)；2. 对数函数的运算规则2.1. 对数的乘法规则若log_x(a) + log_x(b) = log_x(ab)。
例如： log_2(4) + log_2(8) = log_2(4 * 8) = log_2(32) = 5.2.2. 对数的除法规则若log_x(a) - log_x(b) = log_x(a/b)。
例如： log_2(8) - log_2(4) = log_2(8/4) = log_2(2) = 1.2.3. 对数的幂规则若log_x(a^m) = m * log_x(a)。
例如： log_2(4^3) = 3 * log_2(4) = 3 * 2 = 6.2.4. 对数的换底公式若log_a(x) = log_b(x) / log_b(a)。
通过换底公式，可以将一个对数转换为以不同底数的对数。
例如： log_2(16) = log_10(16) / log_10(2)。
3. 对数函数的应用对数函数在实际问题中有广泛的应用，以下介绍一些常见的应用场景：3.1. 财务管理在财务管理中，对数函数经常用于计算复利问题。
由于复利增长是指数增长，所以对数函数可以用来计算复利增长的速度和数量。
3.2. 动力学和科学实验对数函数在描述动力学和科学实验方程中起着重要的作用。
对数函数的运算法则及公式
对数函数的运算法则及公式对数函数是数学中常见的一种函数类型，它在许多领域中都有着重要的应用。
本文将介绍对数函数的运算法则及公式，以及其在实际问题中的应用。
一、对数函数的定义对数函数是指以某个正数为底数的幂函数的反函数，即函数f(x) = loga(x)，其中a为正数且a≠1，x为正实数。
对数函数的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
二、对数函数的运算法则1. 对数函数的乘法法则loga(MN) = logaM + logaN这个法则表明，两个数的乘积的对数等于这两个数的对数之和。
例如，log10(1000) = log10(10×10×10) = log1010 + log1010 + log1010 = 3。
2. 对数函数的除法法则loga(M/N) = logaM - logaN这个法则表明，两个数的商的对数等于这两个数的对数之差。
例如，log10(100/10) = log10(100) - log10(10) = 2 - 1 = 1。
3. 对数函数的幂次法则loga(Mp) = plogaM这个法则表明，一个数的幂的对数等于该数的对数乘以这个幂。
例如，log10(1000²) = 2log101000 = 6。
4. 对数函数的换底公式logaM = logbM / logba这个公式表明，一个数在不同底数下的对数之间存在一个比例关系。
例如，log10(1000) = log2(1000) / log210 = 3log22/ log210 = 3/ log210。
三、对数函数的公式1. 常用对数函数常用对数函数是以10为底数的对数函数，记作log(x)。
它的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
2. 自然对数函数自然对数函数是以e为底数的对数函数，记作ln(x)。
它的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
3. 对数函数的反函数对数函数的反函数是指底数为a的指数函数，记作f(x) = a^x。
对数的基本性质和运算公式
对数的运算性质
复习重要公式
⑴ 负数与零没有对数
⑵ loga 1 0 ， loga a 1
a loga N N ⑶对数恒等式
对数四则运算公式
loga (MN ) loga M loga N
对数实际上就是指数，把真数化 成指数幂的形式就明显啦！乘积 与加法运算联系起来了（降级）。 注意既能从左到右，又能从右到 左。 除法与减法联系起来了（降级）。
计算
(1)lg14-2lg
7 +lg7-lg18 3
32 ×2) lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(
lg 243 (2) lg 9
=lg2+lg7-2(lg7-lg3)+lg7-(2lg 3 +lg2)
=0 lg 27 lg 8 3 lg 10 (3) lg1.2
lg 243 lg 35 5 lg 3 5 2 lg 9 lg 3 2 lg 3 2
log2 8 3
1 log 3 9
-2
23 8
定义 一般地，如果a 的b次幂等于N, 就是: ab=N 那么数 b叫做 a为底 N的对数
记作： loga N b 对数符号 底数 以a为底N的对数 真数
对数的值 和底数，真数有关。
常用对数： 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 记作 lgN 自然对数 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 为底的对数，以e为底的对数叫自然对数 记作 lnN
对数的基本性质和运算公式对数运算公式对数函数运算公式对数的运算公式对数的运算性质对数运算性质对数的性质与运算法则对数函数运算性质对数基本公式对数运算法则
对
数
对数定义公式
对数函数的运算公式大全
对数函数的运算公式大全对数函数是一种常见的数学函数，可以用于解决许多问题。
下面是对数函数的一些常用运算公式。
1.对数函数的定义：y = logₐ(x),其中，y是以a为底的x的对数。
2.换底公式：如果我们需要计算以不同底的对数，可以使用换底公式：logₐ(x) = log_b(x) / log_b(a)其中，b是我们想要换成的底。
3.对数函数的性质：对数函数具有以下性质：a. log_a(1) = 0,b. log_a(a) = 1,c. log_a(x * y) = log_a(x) + log_a(y),d. log_a(x / y) = log_a(x) - log_a(y),e. log_a(x^k) = k * log_a(x),其中，x,y是正实数，a是大于0且不等于1的实常数，k是任意实数。
4.对数函数的基本公式：a. log_a(1) = 0,b. log_a(a) = 1,c. log_a(a^x) = x,d. a^log_a(x) = x其中，a是大于0且不等于1的实常数，x是正实数。
5.常用对数和自然对数：6.对数函数的反函数：y=a^x其中，a和x的关系可以表示为：x = log_a(y)。
7.对数函数的图像：8.对数函数的应用：对数函数可以用于解决各种问题，例如：a.在复利计算中，可以使用对数函数计算收益率；b.在实际问题中，可以使用对数函数解决指数增长或衰减问题；c.在科学和工程领域，对数函数可以用于测量物理量的幅度范围。
以上是对数函数的一些常用运算公式，它们在数学和实际问题中都有广泛的应用。
对数的运算性质
对数的运算性质对数的运算性质是解决各种计算问题的基础，它是数学中的一个重要分支。
对数的运算性质包括：加法公式、减法公式、乘法公式、除法公式、幂运算、指数运算等。
下面，我们将详细介绍这些内容。
一、加法公式对数的加法公式是对数学中两个数的和进行求解的公式。
对数的加法公式是：logab + logac = loga(bc)其中，a、b、c分别代表底数、被加数、加数，bc为和。
加法公式的解释：如果幂运算a^{x}=b，那么对数运算是x=log_{a}(b)。
如果对a^{x}和a^{y}取对数，那么可以得到：x=log_{a}(b)y=log_{a}(c)将两式相加可以得到：x+y=log_{a}(b)+log_{a}(c)将b和c用求和的形式表示可以得到：a^{x+y}=a^{log_{a}{(b+c)}}移项可以得到：log_{a}(b)+log_{a}(c)=log_{a}(bc)因此上述公式就是加法公式。
二、减法公式减法公式是对数学中两个数的差进行求解的公式。
对数的减法公式是：logab - logac = loga(b/c)其中，a、b、c分别代表底数、被减数、减数，b/c为差。
减法公式的解释：如果幂运算a^{x}=b，那么对数运算是x=log_{a}(b)。
如果对a^{x}和a^{y}求差，那么可以得到：x=log_{a}(b)y=log_{a}(c)将两式相减可以得到：x-y=log_{a}\\frac{b}{c}因此，上述公式就是减法公式。
三、乘法公式乘法公式是对数学中两个数的乘积进行求解的公式。
对数的乘法公式是：logab * logac = loga(b * c)其中，a、b、c分别代表底数、被乘数、乘数，bc为积。
乘法公式的解释：如果幂运算a^{x}=b，那么对数运算是x=log_{a}(b)。
如果对a^{x}和a^{y}取对数，那么可以得到：x=log_{a}(b)y=log_{a}(c)将两式相乘可以得到：xy=(log_{a}(b))*(log_{a}(c))展开可以得到：log_{a}(b*c)=(log_{a}(b))*(log_{a}(c))因此，上述公式就是乘法公式。
对数四则运算公式
对数四则运算公式
1.对数加法：logaM+logaN=loga(MN)。
即同底数下对数相加，等于对数所代表的数的乘积的对数。
2. 对数减法：logaM - logaN = loga(M/N)。
即同底数下对数相减，等于对数所代表的数的商的对数。
3. 对数乘法：logaM × logaN = loga(MN)。
即不同底数下对数相乘，等于对数所代表的数的乘积的对数，底数取其中任意一个。
4. 对数除法：logaM / logaN = loga(M/N)。
即不同底数下对数相除，等于对数所代表的数的商的对数，底数取其中任意一个。
对数四则运算可以简化计算，也能够将对数运算转化为数字运算，使得对数运算变得更加方便和高效。
- 1 -。
对数函数的运算公式大全
对数函数的运算公式大全一、对数函数的基本定义和性质1. 定义：对数函数是以一些正数为底数的幂函数的反函数。
设 a>0, a≠1，x>0，定义 a^x = y ，则 y 是以 a 为底 x 的对数，记作 y = logₐx。
2.基本性质：（1）定义域：对数函数 logₐx 的定义域为(0,+∞)。
（2）值域：对数函数的值域为(-∞,+∞)。
（3）一一对应性质：对数函数是一个一一对应函数。
（4）基本对数：log₁₀x ，即以10为底的对数函数，通常简写为logx。
二、对数函数的运算公式1.指数转换公式：（1）指数转换公式1：a^logₐx = x（2）指数转换公式2：logₐa^x = x2.对数运算公式：（1）对数的乘法公式：logₐ(xy) = logₐx + logₐy（2）对数的除法公式：logₐ(x/y) = logₐx - logₐy（3）对数的幂运算公式：logₐx^k = klogₐx（4）对数的开方公式：logₐx^(1/n) = 1/nlogₐx3.换底公式：对数函数之间可以相互转化，通过换底公式可以将一些底数的对数转换成其他底数的对数。
换底公式有两种形式：（1）换底公式1：logₐb = (logcb)/(logca)（2）换底公式2：logₐb = logcb/logca4.对数与指数的关系：（1）如果 a^x = b ，则 logₐ b = x（2）如果 logₐ b = x ，则 a^x = b三、对数函数的常用性质和公式1. log1 = 02. loga 1 = 03. logaa = 14. logab = logba5. loga(ax) = x6. loga(a^x) = x7. logaa^x = x8. loga(x^r) = rlogax四、对数函数的图像和性质1.对数函数的图像特点：（1）对数函数 y = loga x （a>1）的图像在 x 轴的右侧是递增的，图像在 (0,1) 之间与 x 轴 X轴交于 x = 1，y=0点，与 y 轴平行。
对数及对数的运算
对数及对数运算一．对数的定义：一般地，如果a x＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数。
记做：x＝log a N。
其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。
二．两种特殊的对数1.常用对数：我们将以10为底的对数log10N叫做常用对数，并记做lg N。
2.自然对数：无理数e=2,71828...，以e为底的对数log e N称为自然对数，并记做ln N。
三．对数式与指数式的互化3.由对数的定义知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式，其关系如下表：2．若log 16x ＝－14，则x ＝________；若(2)x ＝12，则x ＝________.四．对数的性质（1）log a 1＝0 ; log a a ＝1 （2）对数恒等式：=N ; Naalog =N （a ＞0，且a ≠1）【典型例题】3.求下列各式中的x ：（1）log x ＝；（2）log x 5＝；（3）l og （x-1）（x 2-8x ＋7）＝1.（4）若log 3(lg x )＝1，则x ＝__________；五．对数的运算法则（1）加法：（2）减法：（3）数乘：（4）（5）换底公式：特殊情形：，推广【典型例题】4.化简下列各式：Na alog 5421-23M NaNa Ma log log log =+NMaNa Ma log log log =-nMaM a n log log =M aM am n nmlog log =abNb Na log log log =ab ba log 1log =d a d c c b b a log log log log =⋅⋅(1)4＝__________.(2)4lg2＋3lg5－lg ；；(4)2log 32－log 3＋log 38－5. 【典型例题】5.已知log 189=a ，18b =5，则log 3645=_______.（用a,b 表示）6.已知f （x 5）=lgx ，则f （2）等于( )A.lg2B.lg32C.lgD.lg2221(log 9log 5)2－153295log 332151。
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对数的运算性质
教学目的：
1．掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；
2．能较熟练地运用法则解决问题；
教学重点：对数运算性质
教学难点：对数运算性质的证明方法.
一、复习引入：
1．对数的定义 b N a =log 其中 a ∈),1()1,0(+∞ 与 N ∈),0(+∞ 2
．指数式与对数式的互化
3.重要公式：
⑴负数与零没有对数；
⑵01log =a ，1log =a a
⑶对数恒等式N a N a =log
3．指数运算法则 )
()(),()()
,(R n b a ab R n m a a R n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+
二、新授内容：
一、对数的运算性质
如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有：
)
()()
(3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= 证明：①设a log M=p, a log N=q
由对数的定义可以得：M=p a ，N=q
a ∴MN= p a q a =q p a + ∴a log MN=p+q ，
即证得a log MN=a log M + a log N ，即积的对数等于对数的和。
②设a log M=p ，a log N=q
由对数的定义可以得M=p a ，N=q
a ∴q p q p
a a
a N M -== ∴q p N M a -=log
即证得N M N
M a a a log log log -=，商的对数等于对数的差。
③设a log M=P 由对数定义可以得M=p a ,
∴n M ＝np a ∴a log n M =np ， 即证得a log n
M =n a log M ，n 次幂的对数等于幂底数的对数的n 倍。
说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式
①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”……
②有时逆向运用公式：如110log 2log 5log 101010==+
③真数的取值范围必须是),0(+∞：
)5(log )3(log )5)(3(log 222-+-=-- 是不成立的
)10(log 2)10(log 10210-=-是不成立的
④对公式容易错误记忆，要特别注意：
N M MN a a a log log )(log ⋅≠ ，N M N M a a a log log )(log ±≠±
二、对数换底公式
1、 ()0,1,0,1,0log log log >≠>≠>=b c c a a a b b c
c
a
2.两个常用的推论:
①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a
② b m n b a n a m log log =（ a, b > 0且均不为1）
换底公式的作用：
（1）换底公式是进行对数运算的重要基础，利用它可以将对数转化为我们所需要的对数来计算。
（2）对数的运算性质都是在同底数之下成立的，对数的换底公式把异底的对数化成同底的对数，在不同底的对数之间建起了一座桥梁。
例1 对数运算性质的应用
1、用z y x a
a a log ,log ,log 表示下列各式 （1）z xy a log （2）3
2
log z y x a
2、求下列各式的值
（1）()57
2
24log ∙ （2）;8.1log 7log 3
7log 235log 5555-+- （3）();
222lg 20lg 5lg 8lg 325lg +∙++；
（4）;58log 932log 2log 23
log 3
335-+- （5）();8.974lg 25lg 27log 0
2log 37-++++
例2、换底公式的应用
（1）已知,3643==b
a 求
b a 12+的值。
（2）求值
①
;16log 5log 3log 532∙∙ ②
()()3log 3log 2log 2log 8
493++
规律方法：换底公式的应用技巧
（1）换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然数对数式或常用对数式来运算，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用。
（2）题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式。
例3 对数运算的综合应用
（1）一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计
约经过 年，该物质的剩余量是原来的4
1（结果保留1位有效数字）？（4771.03lg ,3030.02lg ≈≈）
（2）解下列关于x 的方程 ①
()()；2log 12log 2
55-=+x x ②
()010lg lg 32=-+x x
变式：（1）科学家以里氏震级来度量地震的强度。
若设
I 为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级
r 可定义为I r lg =，试比较6.9级和7.8级地震的相对能量程度。
（2）解方程
()()x x 3log 10log 323=-。