ch4-4

B
⊕6
也是半群
得证
A ∗ 是半群 B⊆A 定理4.4.1 的, 则 B ∗ 是 A ∗ 的子半群
如果运算∗对于B是封闭
证明 由于运算∗对于B是封闭的, 因此在B中∗自然满足结合律 所以 B ∗ 是半群 由定义得证 B ∗ 是 A ∗ 的子半群 有限半群的一些结果 定理4.4.2 设 A ∗ 幂元 证明 方法一 任取a∈A 观察a, a2=a∗a ,a3 ,… 由于运算∗对于A是封闭的以及A是有限集 i≠j 不妨设i<j 使得 ai=aj 02-9-6 令 p=j−i 显然 p ≥1 是有限半群 则 A ∗ 中必存在等
所以存在正整数i, j,
6
ai=aj=ai+p=ai ∗ap 对于q≥i 也有 aq=aq ∗ap (这是因为对上式两边左乘aq-i 的结果) 由于p≥1 ∴ 对于i ∃k∈Z+
i 可取k= 使得 kp≥i p
akp = akp∗ap
= (akp∗ap) ∗ap = akp ∗(ap ∗ap) = akp∗a2p =… = akp∗ akp 所以akp为
1 2 3 4
02-9-6 是半群 由于无幺元
∗的运算
1 1 4 4 4
所以
A
∗
不是含幺半群
10
5 (Z+, ∗), 其中∗ 定义为: a∗b=gcd{a,b} 是半群 所以(Z+, ∗)不是含幺半群
由于无幺元
定义4.4.4 设 A ∗ 是独异点 幺元为e B⊆A 如果 B ∗ 是独异点 且e∈B则称 B ∗ 是 A ∗ 的子独异点 例4.4.4 设 A ∗ 是代数系统 其中A={1 2 3 4 5} 二元运算 ∗定义为 a∗b=max{a b} 1 证明 A ∗ 是独异点 证明 显然 A ∗ 是半群 幺元为1 ∴ A ∗ 是独异点 得证 2)设B={1 3 5},试问 B ∗ 是否是 A ∗ 的子独异点 的幺元
02-9-6
A
∗
的等幂元, 得证
7
证法二 观察序列 a (A, ∗) 是有限半群 ∴∃i j i≠j 不妨设i<j
其中 k=2 j− 2 i=2 i(2 j-i− 1)
1 式两边左乘 a 有
k −2i
20
a
21
…
i
a
2n
…
i
使得
a 2 = a 2 = a 2 ∗ak
j
(1)
有 j− i≥ 1
k −2i 2i
作业
P80 1 2 3 5 6 7
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12
02-9-6 4
定义4.4.2 设 A ∗ 是半群 B⊆A ,且 则称 B ∗ 是 A ∗ 的子半群 是 例4.4.2 N6 ⊕6
B
∗
也是半群 ⊕6
N6 ⊕6 是半群 令A={0 2 4}, 证明 A 的子半群. 见下表
⊕ 6 0 2 4 0 0 2 4 2 2 4 0 4 4 0 2
证明 QA⊆ N6, 运算“⊕6”对于A是封闭的
4.4
半 其中A是非空集合
定义4.4.1 设 A ∗ 是一个代数系统 *是A上的二元运算且满足 1 *对于A是封闭的 2 *是可结合运算 则称 A ∗ 是半群 Semigroup
半群的性质 设 A, ∗ 是半群 对A中的每个元素a, 可以定义它的幂 a1=a, a2=a∗a, …,an+1= an∗a, …由结合律 an∗ am= am∗an=an+m, (an)m=anm, 其中n, m 为正整数 例4.4.1 (1) (Nk ,⊕k), (Nk ,⊗k) 是半群. (2) 设 A, ∗ 是一个代数系统 其中 A={1,2,3,4,5} , a∗b=max{a,b} , 则 ( A, ∗ 是半群.
02-9-6
1
(3) 设 S, + 是一个代数系统 其中 S={2,4,6,…}, +是通常的 加法运算 则 S + 是半群 (4) 设S是集合 则 ρ(S), ∪ , ρ(S) , ∩ 是半群 (5) 设S是集合 SS={f | 函数f S→S} °是函数的复合运算 则 SS , ° 是半群 (6) 设A={a,b,c} ∗ 是A上的二元运算 定义如下,证明 (A, ∗)是 半群 a b c ∗ a a b c b a b c c a b c 证明 运算表给出的运算 实际上是 ∀x,y∈A, x∗y=y =x∗z=z
b+c−bc
∴ a∗b ∗c= a∗ 得证(Z , ∗)是半群
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3
(9)设 (A, ∗) 是半群且 ∀x y∈A, 如果x≠y 则x∗y≠y∗x, 证明 ∀x∈A 有x∗x=x, 即A中每个元素是等幂元 证明 方法一 若不然 ∃x∈A 使得x∗x≠x 根据已知有 x∗x ∗x≠x∗ x∗x 与(A, ∗) 是半群 运算∗满足结合律 x∗x ∗x=x∗ x∗x 矛盾 得证 方法二 已知条件 如果x≠y 则x∗y≠y∗x 等价于 如果x∗y=y∗x 则x=y ∀x∈A Q(A, ∗) 是半群 ∴x∗x∈A且 x∗x ∗x=x∗ x∗x ∴ x∗x=x (10) 设(Z+ , ∗)是代数系统 其中Z+上的二元运算∗定义为: a∗b=gcd(a,b) 即a和b的最大公因数 证明(Z+ , ∗)是半群 证明 显然二元运算∗对Z+是封闭的且满足结合律 (a∗b) ∗c= gcd (gcd(a,b),c)= gcd(a, b, c)= gcd(a,gcd(b,c))=a∗(b ∗c) 所以(Z+ , ∗)是半群
设 A ∗ 是有限半群 b∗b=c, a) ∗是可交换运算 b) c∗c=c
证明 a) Qb=a2 c=b2=a4 根据半群的性质 a∗b = a∗a2 = a2∗a =b∗a a∗c = a∗a4 =a4∗a = c∗a b∗c =a2∗a4 =a4∗a2 =c∗b 得证∗是可交换运算 b 由定理4.4.2: 有限半群中必存在等幂元 2≠a b2≠b ∴ c为等幂元 有等幂元 Q a 02-9-6 知 A ∗
9
定义4.4.3 设 A ∗ 是代数系统 满足 1 A ∗ 是半群 2 A ∗ 中含有幺元 则称 A ∗ 是独异点 含幺半群 Semigroup Containing a Unit 例4.4.3 (1) Z + ℜ + 是含幺半群 0为幺元 (2) Z × ℜ × 是含幺半群 1为幺元 (3) (Nk ,⊕k)是含幺半群 幺元为0 (4) (Nk ,⊗k), k≥2, 是含幺半群 幺元为1 (5) 设 A ∗ 是代数系统 其中A={1 2 3 4} 表如下 ∗ 1 2 3 4
2
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(1) 运算封闭 x∗y (2) ∀x y z∈A 有 x∗y ∗z = x∗ y∗z ∴(A, ∗)是半群
∗z=y∗z=z x∗ y∗z 运算∗满足结合律
(7) (Z, −)不是半群
这是因为运算 − 不满足结合律
(8) 设(Z, ∗)是一个代数系统, 其中∗定义为a∗b=a+b−ab 证明 (Z, ∗)是半群 证明 由于∀a b∈Z 有a ∗b∈ Z, 运算∗对于Z是封闭的 a+b−ab −a c ∀a b c∈ Z a∗b ∗c= a+b−ab ∗c= a+b−ab+c)− = a +b+c−ab−bc−ac+abc a∗ b∗c = a∗ b+c−bc = a+b+c−bc = a +b+c−ab−bc−ac+abc b∗c
解 显然 B ∗ 是独异点 1是 B ∗ 又由于 A ∗ 中的幺元 1∈B ∴ B ∗ 是 A ∗ 的子独异点.
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11
3
设B′={2 5}
试问
B′
∗
是否是
A ∗ 的子独异点 ∗ 的幺元
解 显然 B′ ∗ 是独异点 2是 B′ A ∗ 的幺元1∉ B′ ∴ B′ ∗ 不是 A ∗ 的子独异点
另外 运算⊕6显然满足结合律 ∴ B ⊕6 得证 A ⊕6 是 N6 ,⊕6 的子半群.
也是半群
令B′={0,3} 证明 B′, ⊕6 是 N6 ⊕6 的子半群 证明 QB⊆ N6, 运算“⊕6”对于B是封闭的 见下表
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⊕ 6 0 0 0 3 3
3 3 0
5
另外 运算⊕6显然满足结合律 ∴ B ⊕6 是 N6 ,⊕6 的子半群.
∴ 2 j-i− 1 ≥ 1
∴ k≥ 2 i
∴ k− 2 i≥ 0
a
k −2i
∗a =a
2i
∗ a ∗ak
所以ak为(A, ∗)的等幂元 得证 例 1 寻找半群 N5 ,⊕5 的等幂元 解 取a=2, 观察序列 21, 22, 23, 24, 25, 26,… 即序列 2, 4, 1, 3, 0, 2 … 21= 26, i=1, j=6 ∴p=j-i=6-1=5 方法一
i ∴ k= =1 ∴2kp=25=0 ∴0为等幂元 p
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8
(方法二
取a=2, 观察序列 21, 22, 24, 28, 216, … 即序列2, 4, 3, 1, 2,…
0 4
21 =216 即22 = 22 ∴0为等幂元 例 证明 2
取i=0 j=4
∴k=24−20=15 ∴215为等幂元 其中A={a b c}且有a∗a=b