高一数学同步练习7
高中数学必修一全册同步练习含参考答案
高中数学必修一同步练习1.1.1 集合的含义与表示课后作业· 练习案【基础过关】1．若集合中只含一个元素1，则下列格式正确的是A.1=B.0C.1D.12．集合的另一种表示形式是A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5} 3．下列说法正确的有①集合，用列举法表示为{1,0,l}；②实数集可以表示为或;③方程组的解集为.A.3个B.2个C.1个D.0个4．直角坐标系中，坐标轴上点的集合可表示为A.B.C.D.5．若集合含有两个元素1，2，集合含有两个元素1，，且，相等，则____. 6．已知集合，，且，则为 . 7．设方程的根组成的集合为，若只含有一个元素，求的值. 8．用适当的方法表示下列集合：(1)所有被3整除的整数；(2)满足方程的所有x的值构成的集合B.【能力提升】集合，，，设，则与集合有什么关系？详细答案【基础过关】1．D【解析】元素与集合之间只存在“∈”与“∉”的关系，故1∈A正确.2．B【解析】由x－2＜3得x＜5，又，所以x＝1，2，3，4，即集合的另一种表示形式是{1，2，3，4}.3．D【解析】对于①，由于x∈N，而－1∉N，故①错误；对于②，由于“{ }”本身就具有“全部”、“所有”的意思，而且实数集不能表示为{R}，故②错误；对于③，方程组的解集是点集而非数集，故③错误.4．C【解析】坐标轴上的点分为x轴、y轴上的点，在x轴上的点纵坐标为0，在y轴上的点横坐标为0.5．【解析】由于P，Q相等，故，从而.6．(2，5)【解析】∵a∈A且a∈B，∴a是方程组的解，解方程组，得∴a为(2，5).7．A中只含有一个元素，即方程(a∈R)有且只有一个实根或两个相等的实根.(1)当a＝0时，方程的根为；(2)当a≠0时，有△＝4－4a＝0，即a＝1，此时方程的根为.∴a的值为0或1.【备注】误区警示：初学者易自然认为(a∈R)是一元二次方程，而漏掉对a 的讨论，导致漏解.举一反三：若把“若A只含有一个元素”改为“若A含有两个元素”，则结论又如何？由题意知，a≠0，且△＝4－4a＞0，解得a＜1.所以a＜1且a≠0.8．(1){x|x＝3n，n∈Z}；(2)B＝{x｜x＝|x|，x∈R}.【能力提升】∵a∈P，b∈M，c＝a＋b，设，，，，∴，又∴c∈M.1.1.2集合间的基本关系班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．设，，若，则的取值范围是A. B. C. D.2．设集合，，则A.M =NB.M⊆NC.M ND.N3．已知集合，，若，求实数的值.4．满足条件{1,2,3}M{1,2,3,4,5,6}的集合的个数是A.8B.7C.6D.55．设集合和，那么与的关系为 .6．含有三个实数的集合,既可表示成,又可表示成，则.7．设集合，，求A∩B.8．已知M={x | x2-2x-3=0},N={x | x2+ax+1=0,a∈R},且N M,求a的取值范围.【能力提升】已知，，是否存在实数，使得对于任意实数，都有?若存在,求出对应的的值；若不存在，说明理由.答案【基础过关】1．D【解析】∵，∴a≥22．D【解析】本题考查集合间的基本关系.,；而；即N.选D.3．由A＝B，可得，解得x＝1.4．C【解析】本题考查子集.由题意得M={1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,3,6},{1,2,3,4,5},{1,2,3,4,6},{1,2,3,6,5}共6个.选C. 5．M＝P【解析】∵xy＞0，∴x，y同号，又x＋y＜0，∴x＜0，y＜0，即集合M表示第三象限内的点.而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.6．-1【解析】本题考查相等集合.由题意得,所以,即；此时，所以，，且，解得.所以.7．，解得；所以.【解析】本题考查集合的基本运算.8．解：M={x | x 2-2x -3=0}={3,-1};∵N M,当N=∅时，N M 成立,N={x | x 2+ax+1=0},∴a 2-4＜0, ∴-2＜a ＜2;当N≠∅时，∵N M, ∴3∈N 或 -1∈N;当3∈N 时，32-3a+1=0即a= -310,N={3,31},不满足N M;当-1∈N 时，(-1)2-a+1=0即a=2,N={-1},满足N M;∴a 的取值范围是-2<a ≤2.【解析】本题考查集合间的基本关系. 【能力提升】不存在.要使对任意的实数b 都有，则1，2是A 中的元素，又∵A ＝{a －4，a ＋4}，∴或这两个方程组均无解，故这样的实数a 不存在.1.1.3 集合的基本运算班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后作业【基础过关】1．若，，，，则满足上述条件的集合的个数为A.5B.6C.7D.82．已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5}, B={1,3,6},那么集合{2,7,8}是A.A∪BB.A∩BC.(∁U A)∩(∁U B)D.(∁U A)∪(∁U B)3．若集合P={x∈N|-1<x<3},Q={x|x=2a,a∈P},则P∩Q=A.⌀B.{x|-2<x<6}C.{x|-1<x<3}D.{0,2}4．设全集U=R,集合M={x|x>1或x<-1},N={x|0<x<2},则N∩(∁U M)=A.{x|-2≤x<1}B.{x|0<x≤1}C.{x|-1≤x≤1}D.{x|x<1}5．某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.6．集合A={(x,y)|x+y=0},B={(x,y)|x-y=2},则A∩B= .7．设集合A={x|0<x-m<3},B={x|x≤0,或x≥3},分别求满足下列条件的实数m.(1)A∩B=⌀;(2)A∪B=B.8．已知集合A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},C={x|x<a}.(1)求A∪B,(∁R A)∩B;(2)若A∩C≠⌀,求a的取值范围.【能力提升】已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-x+2m=0}.(1)若A∪B=A,求a的值;(2)若A∩C=C,求m的取值范围.详细答案【基础过关】1．D2．C【解析】借助Venn图易得{2,7,8}=∁U(A∪B),即为(∁U A)∩(∁U B).3．D【解析】由已知得P={0,1,2},Q={0,2,4},所以P∩Q={0,2}.4．B【解析】∁U M={x|-1≤x≤1},结合数轴可得N∩(∁U M)={x|0<x≤1}.5．12【解析】设两项运动都喜爱的人数为x,依据题意画出Venn图,得到方程15-x+x+10-x+8=30,解得x=3,∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12.6．{(1,-1)}【解析】A∩B={(x,y)|}={(1,-1)}.7．因为A={x|0<x-m<3},所以A={x|m<x<m+3}.(1)当A∩B=⌀时,需,故m=0.即满足A∩B=⌀时,m的值为0.(2)当A∪B=B时,A⊆B,需m≥3,或m+3≤0,得m≥3,或m≤-3.即满足A∪B=B时,m的取值范围为{m|m≥3,或m≤-3}.8．(1)因为A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},所以A∪B={x|2≤x<10}.因为A={x|2≤x<7},所以∁R A={x|x<2,或x≥7},则(∁R A)∩B={x|7≤x<10}.(2)因为A={x|2≤x<7},C={x|x<a},且A∩C≠⌀,所以a>2.【能力提升】A={1,2}.(1)因为A∪B=A,所以B⊆A,故集合B中至多有两个元素1,2.而方程x2-ax+a-1=0的两根分别为1,a-1,注意到集合中元素的互异性,有①当a-1=2,即a=3时,B={1,2},满足题意;②当a-1=1,即a=2时,B={1},满足题意.综上可知,a=2或a=3.(2)因为A∩C=C,所以C⊆A.①当C=⌀时,方程x2-x+2m=0无实数解,因此其根的判别式Δ=1-8m<0,即m>.②当C={1}(或C={2})时,方程x2-x+2m=0有两个相同的实数解x=1(或x=2),因此其根的判别式Δ=1-8m=0,解得m=,代入方程x2-x+2m=0,解得x=,显然m=不符合要求.③当C={1,2}时,方程x2-x+2m=0有两个不相等的实数解x1=1,x2=2,因此x1+x2=1+2≠1,x1x2=2=2m,显然不符合要求.综上,m>.1.2.1 函数的概念班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．下列函数中,值域为(0,+∞)的是( )A.y=B.y=C.y=D.y=x2+12．下列式子中不能表示函数的是A. B. C. D.3．函数y=+的定义域是( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(0,1)D.{-1,1}4．若满足，且，，则等于A. B. C. D.5．若为一确定区间，则的取值范围是 .6．函数的图象是曲线，其中点，，的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则的值等于 .7．求下列函数的定义域.(1)；(2).8．已知.(1)求，的值；(2)求的值. 【能力提升】已知函数f(x)对任意实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.(1)求f(0),f(1)的值;(2)若f(2)=p,f(3)=q(p,q为常数),求f(36)的值.答案【基础过关】1．B【解析】y=的值域为[0,+∞),y=的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),y=x2+1的值域为[1,+∞).故选B.2．A【解析】一个x对应的y值不唯一.3．D【解析】要使函数式有意义,需满足,解得x=±1,故选D.4．B【解析】f(72)＝f(8×9)＝f(8)＋f(9)＝3f(2)＋2f(3)＝3p＋2q.5．【解析】由题意3a－1＞a，则.【备注】误区警示：本题易忽略区间概念而得出，则的错误.6．2【解析】由图可知f(3)＝1，∴f[f(3)]＝f(1)＝2.【备注】误区警示：本题在求解过程中会因不理解f[f(3)]的含义而出错.7．(1)由已知得∴函数的定义域为.(2)由已知得：∵|x＋2|－1≠0，∴|x＋2|≠1，得x≠－3，x≠－1.∴函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3，－1)∪(―1，＋∞).8．(1)，.(2)∵，∴＝＝1＋1＋1＋＋1(共2012个1相加)＝2012.【能力提升】(1)令a=b=0,得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0;令a=1,b=0,得f(0)=f(1)+f(0),解得f(1)=0.(2)方法一令a=b=2,得f(4)=f(2)+f(2)=2p,令a=b=3,得f(9)=f(3)+f(3)=2q,令a=4,b=9,得f(36)=f(4)+f(9)=2p+2q.方法二因为36=22×32,所以f(36)=f(22×32)=f(22)+f(32)=f(2×2)+f(3×3)=f(2)+f(2)+f(3)+f(3)=2f(2)+2f(3)=2p+2q .【解析】题设只有一个函数方程,因此考虑特殊值0,1,通过解方程获解.1.2.2函数的表示法班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．已知是反比例函数，当时，，则的函数关系式为A. B. C. D.2．已知函数若,则的取值范围是A. B.C. D.3．已知函数f(x)=,则函数f(x)的图象是( )A. B. C. D.4．已知则A.2B.-2C.D.5．已知函数，且，则 .6．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,若f(1)=-5,则f[f(5)]= .7．已知，为常数，且，，，方程有两个相等的实数根.求函数的解析式.8．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，试求函数的解析式.【能力提升】下图是一个电子元件在处理数据时的流程图:(1)试确定y与x的函数关系式;(2)求f(-3), f(1)的值;(3)若f(x)=16,求x的值.答案【基础过关】1．C【解析】根据题意可设(k≠0)，∵当x＝2时，y＝1，∴，∴k＝2.2．D【解析】若x∈[－1，1]，则有f(x)＝2∉[-1，1]，∴f(2)＝2；若x∉[－1，1]，则f(x)＝x∉[－1，1]，∴f[f(x)]＝x，此时若f[f(x)]＝2，则有x＝2.【备注】误区警示：本题易将x∉[－1，1]的情况漏掉而错选B.3．A【解析】当x=-1时,y=0,即图象过点(-1,0),D错;当x=0时,y=1,即图象过点(0,1),C错;当x=1时,y=2,即图象过点(1,2),B错.故选A.4．C【解析】∵，∴.【备注】无5．【解析】，∴，∴，解得.6．-【解析】由已知条件f(x+2)=可得f(x+4)==f(x),所以f(5)=f(1)=-5,所以f[f(5)]=f(-5)=f(-1)===-.7．∵，且方程f(x)＝x有两个相等的实数根，∴，∴b＝1，又∵f(2)＝0，∴4a＋2＝0，∴，∴.8．OB所在的直线方程为.当t∈(0，1]时，由x＝t，求得，所以；当t∈(1，2]时，；当t∈(2，＋∞)时，，所以【能力提升】(1)由题意知y=.(2)f(-3)=(-3)2+2=11, f(1)=(1+2)2=9.(3)若x≥1,则(x+2)2=16,解得x=2或x=-6(舍去);若x<1,则x2+2=16,解得x=(舍去)或x=-.综上可得,x=2或x=-.1.3.1单调性与最大（小）值班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．若函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在区间上A.必是增函数B.必是减函数C.先增后减D.无法确定单调性2．下列函数在(0，1)上是增函数的是A. B. C. D.3．函数,在上是A.减函数B.增函数C.先减后增D.无单调性4．下面说法错误的是A.函数的单调区间一定是函数的定义域B.函数的多个单调增区间的并集不一定是其单调增区间C.具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象5．已知函数在区间上为减函数,则的取值范围是_____________.6．设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是.7．.已知函数,若.(l)求的值.(2)利用单调性定义证明函数在区间的单调性.8．首届世界低碳经济大会在南昌召开，大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【能力提升】函数f(x)的图象如图所示.(1)说出f(x)的单调区间,以及在每一个单调区间上它是增函数还是减函数;(2)依据图象说明函数的最值情况.答案【基础过关】1．D【解析】因为(a，b)，(c，d)不是两个连续的区间，所以无法确定其单调性.2．B【解析】选项A中y＝1－2x为减函数，C中y＝5为常数函数，D中的定义域为[1，＋∞).3．B【解析】解答本题可先画出函数图象，由图象分析.函数f(x)的图象如图所示，由图结合单调性的定义可知，此函数在R上是增函数.4．A【解析】单调区间是定义域的子集，不一定是定义域，当多个单调区间并起来时，由单调性定义知，不再是单调区间.具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，是函数奇偶性判定的要求.奇函数的图象关于原点对称，反之，关于原点对称的图象一定是奇函数的图象.5．(－∞,1]6．(-2,0)∪(2,5]【解析】由图可知在区间(2,5]上f(x)<0,因为奇函数的图象关于原点对称,所以在(-2,0)上也有f(x)<0.7．(1)由2f(2)＝f(3)＋5,得,解得a＝2.(2)由(1)知.任取x1,x2∈(1,＋∞)且x1＜x2,,因为1＜x1＜x2,所以x1－1＞0,x2－1＞0,x2－x1＞0.所以f(x1)－f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2).所以f(x)在(1,＋∞)上是减函数.8．(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为令，可以证明t(x)在(0，400)为减函数，在[400，＋∞)上是增函数，故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元.(2)设该单位每月获利为S，则.因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损.【能力提升】(1)由题图可知:函数f(x)的单调增区间为[0,];单调减区间为(-∞,0)和(,+∞).(2)观察图象可知,函数没有最大值和最小值.1.3.2奇偶性班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．设在[-2，-1]上为减函数，最小值为3，且为偶函数，则在[1，2]上A.为减函数，最大值为3B.为减函数，最小值为-3C.为增函数，最大值为-3D.为增函数，最小值为32．已知函数是偶函数，其图象与轴有四个交点，则方程的所有实根之和是A.4B.2C.1D.03．函数是奇函数，图象上有一点为，则图象必过点A. B.C. D.4．设，其中为常数，若，则的值为A.-7B.7C.17D.-175．已知定义在上的奇函数，当时，，那么时，.6．若函数为区间[-1，1]上的奇函数，则；.7．作出函数的图象，并根据函数的图象找出函数的单调区间.8．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，该函数的值域为，求函数的解析式.【能力提升】已知函数f(x)=-x2+x,是否存在实数m,n(m<n),使得当x∈[m,n]时,函数的值域恰为[2m,2n]?若存在,求出m,n的值;若不存在,说明理由.答案【基础过关】1．D2．D3．C【解析】奇函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，故有f(－a)＝－f(a).因为函数f(x)是奇函数，故点(a，f(a))关于原点的对称点(－a，－f(a))也在y＝f(x)上，故选C.4．D【解析】∵，∴27a＋3b＝－12，∴f(3)＝27a＋3b－5＝－17.5．－x2－|x|＋16．0 07．当x－2≥0，即x≥2时，；当x－2＜0，即x＜2时，＝.所以这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(如图)，其中，[2，＋∞)是函数的单调增区间；是函数的单调减区间.8．由f(x)为偶函数可知f(x)＝f(－x)，即，可得恒成立，所以a＝c＝0，故.当b＝0时，由题意知不合题意；当b＞0，x∈[1，2]时f(x)单调递增，又f(x)值域为[－2，1]，所以当b＜0时，同理可得所以或.【能力提升】假设存在实数m,n,使得当x∈[m,n]时,y∈[2m,2n],则在[m,n]上函数的最大值为2n.而f(x)=-x2+x=-(x-1)2+在x∈R上的最大值为,∴2n≤,∴n≤.而f(x)在(-∞,1)上是增函数,∴f(x)在[m,n]上是增函数,∴,即.结合m<n≤,解得m=-2,n=0.∴存在实数m=-2,n=0,使得当x∈[-2,0]时,f(x)的值域为[-4,0].2.1.1指数与指数幂的运算班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．化简的结果为A. B. C.- D.2．计算的结果是A. B. C. D.3．设，则有A. B.C. D.4．下列说法中正确的个数是( )(1)49的四次方根为7; (2)=a(a≥0);(3)()5=a5; (4)=(-3.A.1B.2C.3D.45．若10m=2,10n=4,则= . 6．已知x=(2 01-2 01),n∈N*,则(x+)n的值为. 7．化简下列各式:(1)(·)÷;(2)()·(-3)÷().8．求下列各式的值:(1)2; (2)(; (3)+(-π0.【能力提升】已知+=3,求下列各式的值:(1)x+x-1;(2).答案【基础过关】1．A【解析】要使式子有意义，需，故x＜0，所以原式.2．A【解析】本题考查指数运算.注意先算中括号内的部分。
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§1.3 交集 ·并集（ 1）
课后训练
【感受理解 】
1．设全集 U {1,2,3,4,5}, A {1,3,5}, B {2,4,5} ,则 (CU A) I (CU B )
6．集合 A ={ x|x=a2-4a+5， a∈R} ， B ={ y|y=4b2+4b+3， b∈ R} 则集合 A 与集合 B 的关系是
________ ．
【思考应用 】
7.设 x，y∈ R，B={( x,y)|y-3= x-2} ，A={( x,与 B 的关系是 _______ ____ ．
给出下列命题其中的最小值是242x2x11的解可表示为其中正确的命题个数为举法表示下列集合
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§1.1 集合的含义及其表示（ 1）
课后训练
【感受理解 】 1．给出下列命题 (其中 N 为自然数集 ) ：
① N 中最小的元素是 1 ②若 a∈ N 则 -a N ③ 若 a∈ N,b∈ N，则 a+b 的最小值是 2
成的集合为 M ，求 C U M .
10.（ 1）设全集 U R, A x | x 1 , B x | x a 1 , 且 CU A B ，求 a 的范围 . （ 2）已知全集 U 2,3,a2 2a 3 , A 2, b ,CU A 5 , 求实数 a和 b 的值 .
【拓展提高 】
10 ． 已 知 全 集 U { 不大于 5的自然数 } ， 集 合 A { 0,1} ， B { x x A且x 1} ， C { x x 1 A且x U } ．
高一数学同步训练之7函数的单调性奇偶性综合学案
高一数学同步训练 第1页（共1页）函数的单调性和奇偶性知识梳理1.单调性的概念和证明方法2.奇偶性的概念和判定方法 例题1.求下列函数的值域 ⑴1+=x y []1,2--∈x⑵xy 1=[]1,2--∈x 、()1,0、[)+∞,2、()1,1- ⑶322+--=x x y []1,2--∈x⑷3212+--=x x y ⑸322+--=x x y⑹3224+--=x x y⑺x x y 21--= 2.求下列函数的单调区间①x x y +-=121 ②4132+-=x x y ③||2x x y +-= 3.已知)(x f 在实数集上是减函数，若0≤+b a ，则下列正确的是 （ ） A ．)]()([)()(b f a f b f a f +-≤+ B ． )()()()(b f a f b f a f -+-≤+ C ．)]()([)()(b f a f b f a f +-≥+ D ．)()()()(b f a f b f a f -+-≥+4.函数()x f 的定义域为()+∞,0，当1>x 时，()0>x f ，且对任意0>y x 、，都有()()()y f x f xy f +=.⑴求()1f⑵证明函数在定义域上单调递增 ⑶若131-=⎪⎭⎫⎝⎛f ，解不等式()221≥⎪⎭⎫⎝⎛--x f x f 5．已知函数()()x xx x f -+-=1111, ()⎩⎨⎧<-->=002x x x x x x x f , ()⎩⎨⎧<-≥=01013x x x f , 在这三个函数中，下面说法正确的是（ ）。
A.有一个偶函数，两个非奇非偶函数B.有一个偶函数，一个奇函数C.有两个偶函数，一个奇函数D.有两个奇函数，一个偶函数 6.∈++=c b a cbx ax x f ,,(1)(2Z ）是奇函数，又f(1)=2，f(2)<3, 求a,b,c 的值.7.函数)(x f 在),(+∞-∞上满足（1）)()()(y f x f y x f +=+（2）)(x f 在定义域上单调递减（3）0)1()1(2<-+-a f a f⑴证明)(x f 为奇函数⑵求a 的取值范围 8.函数21)(x b ax x f ++=是定义在)1,1(-上的奇函数，且52)21(=f 。
高一数学同步测试7
高一数学同步测试3_－_学年度上学期高中学生学科素质训练新课标高一数学同步测试(3)—第一单元(函数及其表示)一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分,共50分).1．下列四种说法正确的一个是( )A．表示的是含有的代数式 B．函数的值域也就是其定义中的数集BC．函数是一种特殊的映射D．映射是一种特殊的函数2．已知f满足f(ab)=f(a)+f(b),且f(2)=,那么等于( )A．B．C．D．3．下列各组函数中,表示同一函数的是( )A．B．C ．D．4．已知函数的定义域为( )A．B．C ．D．5．设,则( )A．B．0C．D．6．下列图中,画在同一坐标系中,函数与函数的图象只可能是( )7．设函数,则的表达式为( )A． B． C． D．8．已知二次函数,若,则的值为( )A．正数 B．负数 C．0D．符号与a有关9．已知在克的盐水中,加入克的盐水,浓度变为,将y表示成_的函数关系式( )A． B． C． D．10．已知的定义域为,则的定义域为( )A． B． C． D．二.填空题:请把答案填在题中横线上(每小题6分,共24分).11．已知,则=.12．若记号〝_〞表示的是,则用两边含有〝_〞和〝+〞的运算对于任意三个实数〝a,b,c〞成立一个恒等式.13．集合A 中含有2个元素,集合A到集合A可构成个不同的映射.14．从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升,然后用水加满,再倒出1升混合溶液,再用水加满. 这样继续下去,建立所倒次数和酒精残留量之间的函数关系式.三.解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤(共76分).15．(12分)①．求函数的定义域;②求函数的值域;③求函数的值域.16．(12分)在同一坐标系中绘制函数,得图象.17．(12分)已知函数,其中,求函数解析式.18．(12分)设是抛物线,并且当点在抛物线图象上时,点在函数的图象上,求的解析式.19．(14分)动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点出发顺次经过B.C.D再回到A;设表示P点的行程,表示PA的长,求关于的函数解析式.20．(14分)已知函数,同时满足:;,,,求的值.参考答案(3)一.CBCDA BCABC二.11．－1; 12．; 13．4; 14． ;三.15．解:①．因为的函数值一定大于0,且无论取什么数三次方根一定有意义,故其值域为R;②．令,,,原式等于,故.③．把原式化为以为未知数的方程,当时,,得;当时,方程无解;所以函数的值域为.16．题示:对于第一个函数可以依据初中学习的知识借助顶点坐标,开口方向,与坐标轴交点坐标可得;第二个函数的图象,一种方法是将其化归成分段函数处理,另一种方法是该函数图象关于轴对称,先画好轴右边的图象.17．题示:分别取和,可得,联立求解可得结果.18．解:令,也即.同时==.通过比较对应系数相等,可得,也即,.19．解:显然当P在AB上时,PA=;当P在BC上时,PA=;当P在CD上时,PA=;当P在DA上时,PA=,再写成分段函数的形式.20．解:令得:. 再令,即得. 若,令时,得不合题意,故;,即,所以;那么,.。
高一数学同步练习训练题目
高一数学同步练习训练题目大家把理论知识复习好的同时,也应该要多做题,从题中找到自己的不足,及时学懂。
下面是为大家整理的关于高一数学同步练习训练，希望对您有所帮助!高一数学练习题一、选择题(每小题5分，共20分)1.下列命题中正确的( )①0与{0}表示同一个集合;②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1};③方程(x-1)2(x-2)=0的所有解的集合可表示为{1,1,2};④集合{x|4x5}可以用列举法表 p= 示.A.只有①和④B.只有②和③C.只有②D.以上语句都不对【解析】 {0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误;②符合集合中元素的无序性，正确;③不符合集合中元素的互异性，错误;④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示.故选C.【答案】 C2.用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为( )A.{1,1}B.{1}C.{x=1}D.{x2-2x+1=0}【解析】集合{x|x2-2x+1=0}实质是方程x2-2x+1=0的解集，此方程有两相等实根，为1，故可表示为{1}.故选B.【答案】 B3.已知集合A={x∈N_|-5≤x5}，则必有( )A.-1∈AB.0∈A 3∈A D.1∈A【解析】∵x∈N_5≤x5，高一集合练习题及答案∴x=1,2，即A={1,2}，∴1∈A.故选D.【答案】 D4.定义集合运算：A_B={z|z=xy，x∈A，y∈B}.设A={1,2}，B={0,2}，则集合A_B的所有元素之和为( )A.0B.2C.3D.6【解析】依题意，A_B={0,2,4}，其所有元素之和为6，故选D.【答案】 D二、填空题(每小题5分，共10分)5.已知集合A={1，a2}，实数a不能取的值的集合是________.【解析】由互异性知a2≠1，即a≠±1，故实数a不能取的值的集合是{1，-1}.【答案】 {1，-1}6.已知P={x|2xa，x∈n}，已知集合p中恰有3个元素，则整数a=________. p=【解析】用数轴分析可知a=6时，集合P中恰有3个元素3,4,5.【答案】 6三、解答题(每小题10分，共20分) 7.选择适当的方法表示下列集合集.(1)由方程x(x2-2x-3)=0的所有实数根组成的集合;(2)大于2且小于6的有理数;(3)由直线y=-x+4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合.【解析】 (1)方程的实数根为-1,0,3，故可以用列举法表示为{-1,0,3}，当然也可以用描述法表示为{x|x(x2-2x-3)=0}，有限集.(2)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q|2x6}，无限集. p=(3)用描述法表示该集合为M={(x，y)|y=-x+4，x∈N，y∈N}或用列举法表示该集合为{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}.8.设A表示集合{a2+2a-3,2,3}，B表示集合{2，|a+3|}，已知5∈A且5?B，求a的值.【解析】因为5∈A，所以a2+2a-3=5，解得a=2或a=-4.当a=2时，|a+3|=5，不符合题意，应舍去.当a=-4时，|a+3|=1，符合题意，所以a=-4.9.(10分)已知集合A={x|ax2-3x-4=0，x∈R}.(1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围;(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围.【解析】 (1)∵A中有两个元素，∴方程ax2-3x-4=0有两个不等的实数根，a≠0，99∴?即a-16.∴a-16a≠0. ?Δ=9+16a0 (2)当a=0时，A={-3};当a≠0时，若关于x的方程ax2-3x-4=0有两个相等的实数根，Δ=9+16a=0，9即a=-16 若关于x的方程无实数根，则Δ=9+16a0，9即a16;9故所求的a的取值范围是a≤-16a=0.1.设集合A={x|2≤x4}，B={x|3x-7≥8-2x}，则A∪B等于( )A.{x|x≥3}B.{x|x≥2}C.{x|2≤x3}D.{x|x≥4}【解析】 B={x|x≥3}.画数轴(如下图所示)可知选 B.【答案】 B2.已知集合A={1,3,5,7,9}，B={0,3,6,9,12}，则A∩B=( )A.{3,5}B.{3,6}C.{3,7}D.{3,9}【解析】 A={1,3,5,7,9}，B={0,3,6,9,12}，A和B中有相同的元素3,9，∴A∩B={3,9}.故选D.【答案】 D高一集合练习题及答案3.50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为________.【解析】设两项都参加的有x人，则只参加甲项的有(30-x)人，只参加乙项的有(25-x)人.(30-x)+x+(25-x)=50，∴x=5.∴只参加甲项的有25人，只参加乙项的有20人，∴仅参加一项的有45人.【答案】 454.已知集合A={-4,2a-1，a2}，B={a-5,1-a,9}，若A∩B={9}，求a的值.【解析】∵A∩B={9}，∴9∈A，∴2a-1=9或a2=9，∴a=5或a=±3.当a=5时，A={-4,9,25}，B={0，-4,9}.此时A∩B={-4,9}≠{9}.故a=5舍去.当a=3时，B={-2，-2,9}，不符合要求，舍去.经检验可知a=-3符合题意.高一数学函数练习题1.某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整.调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用( )A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数解析：选D.一次函数保持均匀的增长，不符合题意;二次函数在对称轴的两侧有增也有降;而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”;因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢.2.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：x 1 2 3 …y 1 3 8 …则下面的函数关系式中，能表达这种关系的是( )A.y=2x-1B.y=x2-1C.y=2x-1D.y=1.5x2-2.5x+2解析：选D.画散点图或代入数值，选择拟合效果最好的函数，故选D.3.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时;②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动;③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者.其中正确信息的序号是( )A.①②③B.①③C.②③D.①②解析：选A.由图象可得：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时，正确;②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动，正确;③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者，正确.4.长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少x2时面积最大，此时x=________，面积S=________.解析：依题意得：S=(4+x)(3-x2)=-12x2+x+12=-12(x-1)2+1212，∴当x=1时，Smax=1212.答案：1 12121.集合，，若时的取值范围是，则 =___ .2. 已知，，，，则由大到小的`顺序为3. 已知函数在区间[0,1]上是减函数,则实数的取值范围是4、若全集I=R，f(x)、g(x)均为x的二次函数，P= 则不等式组的解集可用P、Q的交、并、补符号表示为 .5给定函数①，②，③，④，期中在区间(0，1)上单调递减的函数序号是6设 a,b,c的大小关系是7.若函数f(x)= ,若f(a)f(-a),则实数a的取值范围是9.设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x R)是偶函数，则实数a=______________11. 若，求函数f(x)= 的值域.12、已知函数(1)若且函数的值域为 ,求的表达式;(2)在(1)的条件下, 当时, 是单调函数, 求实数k的取值范围;(3)设 , 且为偶函数, 判断 + 能否大于零?请说明理由。
河北高一高中数学同步测试带答案解析
河北高一高中数学同步测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合，则下列式子表示不正确的是（）A．B．C．D．2.如果全集，，，则等于（）A．B．C．D．3.已知函数为奇函数，且当时，，则（）A．-2B．0C．1D．24.设集合和都是坐标平面上的点集，，映射使集合中的元素映射成集合中的元素，则在映射下，象（2,1）的原象是（）A．（3,1）B．C．D．（1,3）5.集合，各有两个元素，中有一个元素，若集合同时满足：（1），（2），则满足条件的个数为（）A．1B．2C．3D．46.函数在区间上递减，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．7.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为{1,7}的“孪生函数”共有（）A．10个B．9个C．8个D．4个8.若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（）A．B．C．D．9.已知函数，若存在实数，使的定义域为时，值域为，则实数的取值范围是（）A．B．C．且D．10.已知函数，若，则的范围是（）A．B．（-1,2）C．（-2,1）D．11.已知，对任意的非零实数，存在唯一的非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．或12.对实数和，定义运算“”：设函数，，若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.已知函数，分别由下表给出：则不等式的解为_________.2.直线与曲线有四个交点，则的取值范围为_______.3.下列几个命题：①方程若有一个正实根，一个负实根，则；②函数是偶函数，但不是奇函数；③函数的值域是[-2,2]，则函数的值域为[-3,1]；④一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是1.其中正确的有________.4.设是定义在上的偶函数，则的值域是_______.三、解答题1.设全集为，集合，.（1）分别求，；（2）已知，若，求实数的取值范围构成的集合.2.已知集合.（Ⅰ）若，，求实数的取值范围；（Ⅱ）若，，求实数的取值范围.3.已知函数.（1）若，求在闭区间[0,2]上的值域；（2）若在闭区间[0,2]上有最小值3，求实数的值.4.已知函数.（1）求实数的取值范围，使函数在区间[-5,5]上是单调函数；（2）若，记的最大值为，求的表达式并判断其奇偶性.5.已知函数，其中为常数，且.（1）若，求函数的表达式；（2）在（1）的条件下，设函数，若在区间[-2,2]上是单调函数，求实数的取值范围；（3）是否存在实数使得函数在[-1,4]上的最大值是4？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.6.已知二次函数和一次函数，其中且满足，.（Ⅰ）证明：函数与的图像交于不同的两点；（Ⅱ）若函数在[2,3]上的最小值为9，最大值为21，试求，的值.河北高一高中数学同步测试答案及解析一、选择题1.已知集合，则下列式子表示不正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题知.对于B中,两集合间的关系符号应该是子集或是真子集,而不是符号.故本题答案选B.【考点】1.集合间的关系；2.元素与集合.【易错点睛】本题主要考查集合间的关系,元素与集合的符号.判断两集合的关系常有两种方法:一是化简集合,从表达式中寻找两集合的关系;二是用列举法表示各集合,从元素中寻找关系.此类题型中,最容易出现问题的是和的判断, 表示此集合中只含有一个元素,前者中的作为元素存在,后者中的被作为空集存在.2.如果全集，，，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由全集为,,据,再结合数轴可得.故本题答案选D.【考点】集合间的运算．3.已知函数为奇函数，且当时，，则（）A．-2B．0C．1D．2【答案】A【解析】令,则,故,又函数为奇函数,故,可得,即,可得.故本题答案选A.【考点】函数的奇偶性．4.设集合和都是坐标平面上的点集，，映射使集合中的元素映射成集合中的元素，则在映射下，象（2,1）的原象是（）A．（3,1）B．C．D．（1,3）【答案】B【解析】由题可知原象满足且,解得.故象的原象是,故本题答案选B.【考点】映射．5.集合，各有两个元素，中有一个元素，若集合同时满足：（1），（2），则满足条件的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】由知中至少含有中的元素, 由知中最多和相等,含有三个元素. 满足条件的.含一个元素的有一种,含二个元素的有二种,含三个元素的有一种.故满足条件的个数为个.故本题答案选D.【考点】1.集合间的关系；2.集合间的运算.6.函数在区间上递减，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时,在区间上递减；当时,函数要在区间上递减,可知二次函数开口向下,且对称轴方程,解得,则.故本题答案选A.【考点】二次函数的单调性．7.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为{1,7}的“孪生函数”共有（）A．10个B．9个C．8个D．4个【答案】B【解析】由孪生函数的定义知,解析式相同,值域相同,只需要定义域不同即可,定义域不同时,满足,可得的定义域可能为.共个.故本题答案选B.【考点】函数的定义．8.若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，二次函数的对称轴方程为,对于定义域为,值域为,由二次函数的性质可知.故本题答案选C．【考点】二次函数的最值.9.已知函数，若存在实数，使的定义域为时，值域为，则实数的取值范围是（）A．B．C．且D．【答案】B【解析】由题知函数在定义域内为单调增函数,则有.可得,即为方程的两不等根,则,即,可得,且.故本题答案选B.【考点】一元二次函数的单调性.10.已知函数，若，则的范围是（）A．B．（-1,2）C．（-2,1）D．【答案】C【解析】可用特殊值法.令,可知,,此时,则A，D 错误；令,,,此时,故B舍去.本题答案选C.【考点】分段函数．11.已知，对任意的非零实数，存在唯一的非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．或【答案】D【解析】对于函数,当时,；又由对任意的非零实数,存在唯一的非零实数,使得成立,函数必须为连续函数,即在附近的左右两侧函数值相等,则，即有实数解,所以,解得或.故本题答案选D.【考点】分段函数．【知识点睛】本题主要考查分段函数.分段函数就是当自变量在函数定义域的不同子集上有不同的对应关系所确定的函数.在求分段函数的函数值时,首先应该确定自变量在定义域中所在的范围,然后按相应的对应关系求值,同时,要注意各区间上端点值的取舍情况.分段函数是一种重要的函数,它不是几个函数,而是同一个函数在不同范围内的表示方法不同.12.对实数和，定义运算“”：设函数，，若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析:由新定义可得,根据二次函数图象可知,要使函数的图象与轴恰有两个公共点,转化为,的两个函数的交点有两个即可,利用常数函数的上下平移,可得.故本题答案选B.【考点】1.函数的新定义；2.数形结合的数学思想方法.【方法点睛】本题主要考查函数的新定义及数形结合的数学思想方法.数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．实现数形结合，常与以下内容有关:（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图像的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念.(5)所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．二、填空题1.已知函数，分别由下表给出：则不等式的解为_________.【答案】【解析】由表格可知当时, ,当时, ,当时,.故本题答案应填.【考点】函数的表示法．2.直线与曲线有四个交点，则的取值范围为_______.【答案】【解析】对于曲线如图所示,与其有四个交点,需要满足,且,解得.故本题答案应填.【考点】1.一元二次函数性质；2.数形结合.3.下列几个命题：①方程若有一个正实根，一个负实根，则；②函数是偶函数，但不是奇函数；③函数的值域是[-2,2]，则函数的值域为[-3,1]；④一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是1.其中正确的有________.【答案】①④【解析】①方程有一正实根,一负实根,需满足,可得,正确；②函数,由定义域可知函数为,函数既是奇函数,又是偶函数，错；③本题中抽象函数间的值域无明显联系,错误；④利用图象可知,曲线和直线的公共点个数是,不可能为.正确.故本题答案应填①④.【考点】函数的性质．【易错点睛】本题主要考查函数的性质.对于①要求熟练掌握根与系数的关系,及判别式.要能够利用韦达定理判断一元二次方程根的分布情况；对于②,判断函数的单调性首先判断其定义域关于原点对称,求定义域可知函数为特殊函数,由函数的奇偶性定义可判断为既是奇函数,又是偶函数；对于③,要关注的是将值域改为定义域的题型；抽象型复合函数的定义域求法是难点之一.对于④,数学结合是高中数学中重要的数学思想方法,掌握住常见题型.4.设是定义在上的偶函数，则的值域是_______.【答案】【解析】由偶函数的定义域关于原点对称,知,得.且.即,.二次函数对称轴为,可得值域为.故本题答案应填.【考点】1.函数的奇偶性；2.二次函数的值域.【思路点睛】本题主要考查函数的单调性及二次函数的值域.二次函数在闭区间上的最值问题,由它的单调性来确定,而它的单调性又由二次函数的开口方向和对称轴位置(在区间上,在区间左边,还是在区间右边)来决定,当开口方向和对称轴位置不确定时,则需要进行分类讨论.一般地,二次函数在内的数距对称轴越近,在此点处的函数值越小,越远值越大.当时,区间内的数距对称轴越远,在该点处的函数值越小,越近值越大.三、解答题1.设全集为，集合，.（1）分别求，；（2）已知，若，求实数的取值范围构成的集合.【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由两集合的相同元素构成两集合的交集，两集合所有的元素构成两集合的并集，由补集的概念知,的补集为全集中不在集合的元素构成的集合,可先求补集再求并集；（2）由,根据数轴,数形结合可得的边界与的边界值的大小关系，得到关于的不等式，解得的范围.试题解析：（1）（2）由题意集合，∴，∴，∴.【考点】1.集合间的基本关系；2.集合间的基本运算.2.已知集合.（Ⅰ）若，，求实数的取值范围；（Ⅱ）若，，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根据解分式不等式的方法，化分式为整式，转化为，解不等式可得集合，若，分类讨论,当为空集时，此时有，当集合非空的情况，则应有：，综合两种情况，可得范围；（Ⅱ）由于集合，若，则为非空集合，所以应满足：，解得范围.试题解析：解不等式，得，即．（Ⅰ）①当时，则，即，符合题意：②当时，则有解得：．综上：．（Ⅱ）要使，则，所以有解得：．【考点】1.分式不等式；2.集合间的基本关系.3.已知函数.（1）若，求在闭区间[0,2]上的值域；（2）若在闭区间[0,2]上有最小值3，求实数的值.【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）将代入函数式，结合二次函数对称轴单调区间可求得函数值域；（2）求出函数的对称轴，分别讨论对称轴与区间的关系，求出函数的最小值，利用函数在区间上的最小值是，求即可.试题解析：（1）……1分∴在闭区间[0,2]上的值域为[0,9].……3分（2）.①当即时，，解得：.……6分②即时，，解得：（舍）……9分③即时，，解得：.综上可知：的值为或．……12分【考点】1.一元二次函数的性质；2.函数的最值；3.分类讨论.4.已知函数.（1）求实数的取值范围，使函数在区间[-5,5]上是单调函数；（2）若，记的最大值为，求的表达式并判断其奇偶性.【答案】（1）或；（2），偶函数．【解析】（1）函数的对称轴为，要使得函数在区间上是单调函数，则对称轴在的左侧或在的右侧，即或；（2）当时，的最大值为，当时，的最大值为，可得的表达式，在根据奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性.试题解析：（1）对称轴，当或时，在上单调，∴或．…… 4分（2）. …… 8分偶函数…12分【考点】1.函数的单调性；2.函数的奇偶性.【方法点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性.利用定义判断函数奇偶性的方法:首先求函数的定义域,定义域关于原点对称是函数是奇函数或偶函数的必要条件；如果函数的定义域关于原点对称,可进一步判断是否对定义域内的每一个恒成立.其中分段函数判断奇偶性应分段分别证明与的关系,只有当对称的两段上都满足相同关系时,才能判断其奇偶性.5.已知函数，其中为常数，且.（1）若，求函数的表达式；（2）在（1）的条件下，设函数，若在区间[-2,2]上是单调函数，求实数的取值范围；（3）是否存在实数使得函数在[-1,4]上的最大值是4？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）或；（3）或.【解析】（1）由，可得的值，从而可得函数的表达式；（2），函数的对称轴为，根据在区间上是单调函数，可得或，从而可求实数的取值范围；（3）的对称轴为，分类讨伦，确定函数图象开口向上，函数在上的单调性，利用最大值是，建立方程，即可求得结论.试题解析：（1）由得，∴，∴.由（1）得，该函数对称轴为，若在区间上是单调函数，应满足或，解得或，故所求实数的取值范围是或.（3）函数的对称轴为，①当时，函数开口向上，对称轴，此时在上最大值为，∴，∴，不合题意，舍去.②当，函数开口向下，对称轴.（1）若，即时，函数在的最大值为，化简得，解得或，符合题意.（2）若即时，函数在单调递增，最大值为，∴，不合题意，舍去.综上所述存在或满足函数在上的最大值是4.【考点】1.一元二次函数的性质；2.函数的单调性；3.分类讨论.【规律点睛】本题主要考查二次函数的性质.二次函数最值相关的问题中,一般首先采用配方法将函数化为的形式,得顶点和对称轴方程,结合二次函数的图象解决,一般有三种类型(1)项点固定,区间也固定；(2)顶点含参数即(顶点为动点),区间固定,这时要讨论顶点横坐标何时在区间内,何时在区间外；(3)顶点固定,区间变动,这时要讨论区间中的参数.讨论的目的是确定对称轴和区间的关系,明确函数的单调性,从而确定最值.6.已知二次函数和一次函数，其中且满足，.（Ⅰ）证明：函数与的图像交于不同的两点；（Ⅱ）若函数在[2,3]上的最小值为9，最大值为21，试求，的值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ），.【解析】（I）证明函数与的图像交于不同的两点，，只需证明：，有两个不同的实数根；（II）函数的对称轴为，可以证明在上为增函数，利用函数在上的最小值为，最大值为，可求，.试题解析：（I）证明：由与得，∵，，∴，，从而，即函数与的图象交于不同的两点，；……3分（II）解：∵，，∴，∴，∴.∵函数与的对称轴为，∴在上为增函数.……6分∵函数在上的最小值为9，最大值为21，∴，.∴，.……8分【考点】1.一元二次函数的性质；2.函数的单调性；3.函数的最值.。
高中数学必修一各章节同步练习(附答案解析)
第一章 1.1 1.1.1集合的含义与表示基础巩固一、选择题1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x 2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是( )A ．②B ．③C ．②③D ．①②③[答案] C[解析] 高一数学中的难题的标准不确定，因而构不成集合，而正三角形标准明确，能构成集合，方程x 2－2＝0的解也是确定的，能构成集合，故选C.2．已知集合A ＝{x |x ≤10}，a ＝2＋3，则a 与集合A 的关系是( ) A ．a ∈A B ．a ∉A C ．a ＝A D ．{a }∈A[答案] A[解析] 由于2＋3＜10，所以a ∈A .3．(2015·山东临沂检测)集合{x ∈N *|x －2＜3}的另一种表示形式是( ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{0,1,2,3,4,5} D ．{1,2,3,4,5}[答案] B[解析] 由x －2＜3，得x ＜5，又x ∈N *，所以x ＝1,2,3,4，即集合的另一种表示形式是{1,2,3,4}．4．方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝22x －3y ＝27的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－7B ．{x ，y |x ＝3且y ＝－7}C ．{3，－7}D ．{(x ，y )|x ＝3且y ＝－7} [答案] D[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝22x －3y ＝27得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－7，用描述法表示为{(x ，y )|x ＝3且y ＝－7}，用列举法表示为{(3，－7)}，故选D. 5．已知集合S ＝{a ，b ，c }中的三个元素是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形[答案] D[解析] 由集合中元素的互异性知a ，b ，c 互不相等，故选D.6．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．0或3D ．0或2或3[答案] B[解析] 因为2∈A ，所以m ＝2或m 2－3m ＋2＝2，解得m ＝0或m ＝2或m ＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m 的所有取值进行一一检验可得m ＝3，故选B.二、填空题7．用符号∈与∉填空：(1)0________N *；3________Z ； 0________N ；(－1)0________N *； 3＋2________Q ；43________Q .(2)3________{2,3}；3________{(2,3)}； (2,3)________{(2,3)}；(3,2)________{(2,3)}． (3)若a 2＝3，则a ________R ，若a 2＝－1，则a ________R . [答案] (1)∉ ∉ ∈ ∈ ∉ ∈ (2)∈ ∉ ∈ ∉ (3)∈ ∉[解析] (1)只要熟记常用数集的记号所对应的含义就很容易辨别．(2)中3是集合{2,3}的元素；但整数3不是点集{(2,3)}的元素；同样(2,3)是集合{(2,3)}的元素；因为坐标顺序不同，(3,2)不是集合{(2,3)}的元素．(3)平方等于3的数是±3，当然是实数，而平方等于－1的实数是不存在的．8．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba，b ，则b －a ＝________.[答案] 2[解析] 显然a ≠0，则a ＋b ＝0，a ＝－b ，b a＝－1，所以a ＝－1，b ＝1，b －a ＝2. 三、解答题9．已知集合A 含有a －2,2a 2＋5a,12三个元素，且－3∈A ，求a 的值． [解析] ∵－3∈A ，则－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ， ∴a ＝－1或a ＝－32.当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不满足集合中元素的互异性，∴a ＝－1舍去． 当a ＝－32时，经检验，符合题意．故a ＝－32.[注意] (1)分类讨论意识的建立．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识，如本例按照元素－3与a －2,2a 2＋5a,12的关系分类 ，即可做到不重不漏．(2)注意集合中元素的互异性．求解与集合有关的字母参数时，需利用集合元素的互异性来检验所求参数是否符合要求，如本例在求出a 的值后，需代入验证是否满足集合中元素的互异性．10．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}． (1)若A 是单元素集合，求集合A ；(2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．[分析] 将求集合中元素问题转化为方程根问题．(1)集合A 为单元素集合，说明方程有唯一根或两个相等的实数根．要注意方程ax 2－3x ＋2＝0可能不是一元二次方程．(2)至少有一个元素，说明方程有一根或两根．[解析] (1)因为集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0的解集，则当a ＝0时，A ＝{23}，符合题意；当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0应有两个相等的实数根， 则Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98，此时A ＝{43}，符合题意．综上所述，当a ＝0时，A ＝{23}，当a ＝98时，A ＝{43}．(2)由(1)可知，当a ＝0时，A ＝{23}符合题意；当a ≠0时，要使方程ax 2－3x ＋2＝0有实数根， 则Δ＝9－8a ≥0，解得a ≤98且a ≠0.综上所述，若集合A 中至少有一个元素，则a ≤98.[点评] “a ＝0”这种情况容易被忽视，如“方程ax 2＋2x ＋1＝0”有两种情况：一是“a ＝0”，即它是一元一次方程；二是“a ≠0”，即它是一元二次方程，只有在这种情况下，才能用判别式“Δ”来解决．能力提升一、选择题1．(2015·河北衡水中学期末)下列集合中，不同于另外三个集合的是( )A ．{x |x ＝1}B ．{x |x 2＝1} C ．{1} D ．{y |(y －1)2＝0}[答案] B[解析] {x |x 2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B.2．下列六种表示法：①{x ＝－1，y ＝2}；②{(x ，y )|x ＝－1，y ＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{(x ，y )|x ＝－1或y ＝2}．能表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是( )A ．①②③④⑤⑥B ．②③④⑤C ．②⑤D ．②⑤⑥[答案] C [解析] 方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故选C.3．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∉MB ．2∈MC ．－4∉MD ．4∈M[答案] D[解析] 当x ＞0，y ＞0，z ＞0时，代数式的值为4，所以4∈M ，故选D.4．设A ，B 为两个实数集，定义集合A ＋B ＝{x |x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，若A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则集合A ＋B 中元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B[解析] 当x 1＝1时，x 1＋x 2＝1＋2＝3或x 1＋x 2＝1＋3＝4；当x 1＝2时，x 1＋x 2＝2＋2＝4或x 1＋x 2＝2＋3＝5；当x 1＝3时，x 1＋x 2＝3＋2＝5或x 1＋x 2＝3＋3＝6.∴A ＋B ＝{3,4,5,6}，共4个元素．二、填空题5．已知P ＝{x |2＜x ＜k ，x ∈N ，k ∈R }，若集合P 中恰有3个元素，则实数k 的取值范围是________．[答案] {k |5＜k ≤6}[解析] x 只能取3,4,5，故5＜k ≤6.6．(2015·湖南郴州模拟)用列举法写出集合{33－x ∈Z |x ∈Z }＝________.[答案] {－3，－1,1,3} [解析] ∵33－x∈Z ，x ∈Z ， ∴3－x 为3的因数． ∴3－x ＝±1，或3－x ＝±3. ∴33－x ＝±3，或33－x＝±1. ∴－3，－1,1,3满足题意． 三、解答题7．数集A 满足条件：若a ∈A ，则1＋a 1－a ∈A (a ≠1)．若13∈A ，求集合中的其他元素．[分析] 已知a ∈A ，1＋a 1－a ∈A ，将a ＝13代入1＋a1－a 即可求得集合中的另一个元素，依次，可得集合中的其他元素．[解析] ∵13∈A ，∴1＋131－13＝2∈A ，∴1＋21－2＝－3∈A ，∴1－31＋3＝－12∈A ，∴1－121＋12＝13∈A . 故当13∈A 时，集合中的其他元素为2，－3，－12.8．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”． (1)判断集合A ＝{－1,1,2}是否为可倒数集； (2)试写出一个含3个元素的可倒数集．[解析] (1)由于2的倒数为12不在集合A 中，故集合A 不是可倒数集．(2)若a ∈A ，则必有1a ∈A ，现已知集合A 中含有3个元素，故必有一个元素有a ＝1a，即a ＝±1，故可以取集合A ＝{1,2，12}或{－1,2，12}或{1,3，13}等．第一章 1.1 1.1.2集合间的基本关系基础巩固一、选择题1．对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是( )A．B是A的子集B．A中的元素都不是B的元素C．A中至少有一个元素不属于BD．B中至少有一个元素不属于A[答案] C[解析] “A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素．不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选C.2．下列命题中，正确的有( )①空集是任何集合的真子集；②若A B，B C，则A C；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；④如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B.A．①②B．②③C．②④D．③④[答案] C[解析] ①空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性；故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④由韦恩(Venn)图易知④正确，故选C.3．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则( )A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D[答案] B[解析] ∵正方形必为矩形，∴C⊆B.4．下列四个集合中，是空集的是( )A．{0} B．{x|x＞8，且x＜5}C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x＞4}[答案] B[解析] 选项A、C、D都含有元素．而选项B无元素，故选B.5．若集合A⊆{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有( )A．3个B．4个C．5个D．6个[答案] D[解析] 集合{1,2,3}的子集共有8个，其中至少含有一个奇数的有{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6个．6．设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A B ，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ≥2 B ．a ≤1 C ．a ≥1 D ．a ≤2[答案] A[解析] 在数轴上表示出两个集合(图略)，因为A B ，所以a ≥2. 二、填空题7．用适当的符号填空：(1){x |x 是菱形}________{x |x 是平行四边形}； {x |x 是三角形}________{x |x 是斜三角形}． (2)Z ________{x ∈R |x 2＋2＝0}； 0________{0}；Ø________{0}；N ________{0}． [答案] (1)(2) ∈[解析] (1)判断两个集合之间的关系，可以根据子集的定义来加以判断，特别要注意判断出包含关系后，还要进一步判断是否具有真包含关系．(2)集合{x ∈R |x 2＋2＝0}中，由于实数范围内该方程无解，因此{x ∈R |x 2＋2＝0}＝Ø；0是集合{0}中的元素，它们之间是属于关系；{0}是含有一个元素0的集合；Ø是不含任何元素的集合，故Ø{0}；自然数集N 中含有元素0，但不止0这一个元素．8．(2012·大纲全国改编)已知集合A ＝{1,2，m 3}，B ＝{1，m }，B ⊆A ，则m ＝________. [答案] 0或2或－1[解析] 由B ⊆A 得m ∈A ，所以m ＝m 3或m ＝2，所以m ＝2或m ＝－1或m ＝1或m ＝0，又由集合中元素的互异性知m ≠1.所以m ＝0或2或－1.三、解答题9．判断下列集合间的关系：(1)A ＝{x |x －3＞2}，B ＝{x |2x －5≥0}； (2)A ＝{x ∈Z |－1≤x <3}，B ＝{x |x ＝|y |，y ∈A }． [解析] (1)∵A ＝{x |x －3＞2}＝{x |x ＞5}，B ＝{x |2x －5≥0}＝{x |x ≥52}，∴利用数轴判断A 、B 的关系． 如图所示，AB .(2)∵A ＝{x ∈Z |－1≤x <3}＝{－1,0,1,2}，B ＝{x |x ＝|y |，y ∈A ，∴B ＝{0,1,2}，∴B A .10．已知集合M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }，N ＝{x |x ＝n 2－13，n ∈Z }，P ＝{x |x ＝p 2＋16，p ∈Z }，试确定M ，N ，P 之间的关系．[解析] 解法一：集合M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }，对于集合N ，当n 是偶数时，设n ＝2t (t ∈Z )， 则N ＝{x |x ＝t －13，t ∈Z }；当n 是奇数时，设n ＝2t ＋1(t ∈Z )，则N ＝{x |x ＝2t ＋12－13，t ∈Z }＝{x |x ＝t ＋16，t ∈Z }．观察集合M ，N 可知M N .对于集合P ，当p 是偶数时，设p ＝2s (s ∈Z )，则P ＝{x |x ＝s ＋16，s ∈Z }，当p 是奇数时，设p ＝2s －1(s ∈Z )，则P ＝{x |x ＝2s －12＋16，s ∈Z } ＝{x |x ＝s －13，s ∈Z }．观察集合N ，P 知N ＝P . 综上可得：MN ＝P .解法二：∵M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }＝{x |x ＝6m ＋16，m ∈Z }＝{x |x ＝3×2m ＋16，m ∈Z }，N ＝{x |x ＝n 2－13，n ∈Z }＝{x |x ＝3n －26，n ∈Z }＝{x |x ＝3n －1＋16，n －1∈Z }，P ＝{x |x ＝p 2＋16，p ∈Z }＝{x |x ＝3p ＋16，p ∈Z }，比较3×2m ＋1,3(n －1)＋1与3p ＋1可知，3(n －1)＋1与3p ＋1表示的数完全相同， ∴N ＝P,3×2m ＋1只相当于3p ＋1中当p 为偶数时的情形， ∴MP ＝N .综上可知M P ＝N .能力提升一、选择题1．(2015·瓮安一中高一期末试题)设集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k∈Z }，则( )A ．M ＝NB ．M NC ．M ND ．M 与N 的关系不确定[答案] B[解析] 解法1：用列举法，令k ＝－2，－1,0,1,2…可得M ＝{…－34，－14，14，34，54…}， N ＝{…0，14，12，34，1…}，∴MN ，故选B.解法2：集合M 的元素为：x ＝k 2＋14＝2k ＋14(k ∈Z )，集合N 的元素为：x ＝k 4＋12＝k ＋24(k ∈Z )，而2k ＋1为奇数，k ＋2为整数，∴M N ，故选B.[点评] 本题解法从分式的结构出发，运用整数的性质方便地获解．注意若k 是任意整数，则k ＋m (m 是一个整数)也是任意整数，而2k ＋1,2k －1均为任意奇数，2k 为任意偶数．2．(2015·湖北孝感期中)集合A ＝{(x ，y )|y ＝x }和B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y |⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1x ＋4y ＝5，则下列结论中正确的是( )A ．1∈AB ．B ⊆AC ．(1,1)⊆BD ．Ø∈A[答案] B[解析] B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y |⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1x ＋4y ＝5＝{(1,1)}，故选B. 3．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |ax －2＝0}，若B ⊆A ，则a 的值不可能是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] D[解析] 由题意知，a ＝0时，B ＝Ø，满足题意；a ≠0时，由2a∈A ⇒a ＝1,2，所以a 的值不可能是3.4．集合P ＝{3,4,5}，Q ＝{6,7}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q }，则P *Q 的子集个数为( )A ．7B ．12C ．32D ．64[答案] D[解析] 集合P *Q 的元素为(3,6)，(3,7)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，共6个，故P *Q 的子集个数为26＝64.二、填空题5．已知集合M ＝{x |2m ＜x ＜m ＋1}，且M ＝Ø，则实数m 的取值范围是________． [答案] m ≥1[解析] ∵M ＝Ø，∴2m ≥m ＋1，∴m ≥1.6．集合⎩⎨⎧x ，y ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ＝－x ＋2，y ＝12x ＋2⊆{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________.[答案] 2[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2y ＝12x ＋2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2，代入y ＝3x ＋b 得b ＝2. 三、解答题7．设集合A ＝{－1,1}，集合B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，若B ≠Ø且B ⊆A ，求实数a 、b 的值．[解析] ∵B 中元素是关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的根，且B ⊆{－1,1}，∴关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的根只能是－1或1，但要注意方程有两个相等根的条件是Δ＝0.∵B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}⊆A ＝{－1,1}，且B ≠Ø， ∴B ＝{－1}或B ＝{1}或B ＝{－1,1}． 当B ＝{－1}时，Δ＝4a 2－4b ＝0且1＋2a ＋b ＝0，解得a ＝－1，b ＝1. 当B ＝{1}时，Δ＝4a 2－4b ＝0且1－2a ＋b ＝0，解得a ＝b ＝1. 当B ＝{－1,1}时，有(－1)＋1＝2a ，(－1)×1＝b ，解得a ＝0，b ＝－1.8．设集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数；(3)当x ∈R 时，不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．[解析] (1)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝Ø，满足B ⊆A .当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤5，即2≤m ≤3.综上，当B ⊆A 时，m 的取值范围是{m |m ≤3}．(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，∴集合A 的非空真子集个数为28－2＝254.(3)∵x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}， B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，∴当B ＝Ø，即m ＋1>2m －1，得m <2时，符合题意；当B ≠Q ，即m ＋1≤2m －1，得m ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，m ＋1>5，或⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，2m －1<－2，解得m >4.综上，所求m 的取值范围是{m |m <2或m >4}．第一章 1.1 1.1.3 第一课时并集和交集基础巩固一、选择题1．下面四个结论：①若a ∈(A ∪B )，则a ∈A ；②若a ∈(A ∩B )，则a ∈(A ∪B )；③若a ∈A ，且a ∈B ，则a ∈(A ∩B )；④若A ∪B ＝A ，则A ∩B ＝B .其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] ①不正确，②③④正确，故选C.2．已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |x >3}，则M ∪N ＝( )A ．{x |x >－3}B ．{x |－3<x ≤5}C ．{x |3<x ≤5}D ．{x |x ≤5}[答案] A[解析] 在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x>－3}．3．(2015·全国高考卷Ⅰ文科，1题)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )A．5 B．4C．3 D．2[答案] D[解析] A∩B＝{8,14}，故选D.4．(2015·浙江省期中试题)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝( )A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}[答案] D[解析] A∩B＝{1,2}，(A∩B)∪C＝{1,2,3,4}，故选D.5．若A∪B＝Ø，则( )A．A＝Ø，B≠ØB．A≠Ø，B＝ØC．A＝Ø，B＝ØD．A≠Ø，B≠Ø[答案] C6．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}，若A∩B＝Ø，则实数a的取值集合为( )A．{a|a<2} B．{a|a≥－1}C．{a|a<－1} D．{a|－1≤a≤2}[答案] C[解析] 如图．要使A∩B＝Ø，应有a<－1.二、填空题7．若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2,4，x}，则x＝________.[答案] 0,1或－2[解析] 由已知得B⊆A，∴x2＝4或x2＝x，∴x＝0,1，±2，由元素的互异性知x≠2，∴x ＝0,1或－2.8．已知集合A ＝{x |x ≥5}，集合B ＝{x |x ≤m }，且A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，则实数m ＝________.[答案] 6[解析] 用数轴表示集合A 、B 如图所示．由于A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，得m ＝6.三、解答题9．设集合A ＝{a 2，a ＋1，－3}，B ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}，A ∩B ＝{－3}，求实数a 的值．[解析] ∵A ∩B ＝{－3}，∴－3∈B .∵a 2＋1≠－3，∴①若a －3＝－3，则a ＝0，此时A ＝{0,1，－3}，B ＝{－3，－1,1}，但由于A ∩B ＝{1，－3}与已知A ∩B ＝{－3}矛盾，∴a ≠0.②若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时A ＝{1,0，－3}，B ＝{－4，－3,2}，A ∩B ＝{－3}．综上可知a ＝－1.10．已知集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}．(1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a ＞0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围．[解析] (1)∵B ＝{x |x ≥2}，A ＝{x |－1≤x ＜3}，∴A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}．(2)∵C ＝{x |x ＞－a 2}，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ， ∴－a 2<2，∴a ＞－4. 能力提升一、选择题1．已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M 且a ≠b }，则M ∪N ＝( )A ．{0,1}B ．{－1,0}C ．{－1,0,1}D ．{－1,1} [答案] C[解析] 由题意可知，集合N ＝{－1,0}，所以M ∪N ＝M .2．若集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0}，P ＝{(x ，y )|x －y ＝2}，则M ∩P 等于( )A ．(1，－1)B ．{x ＝1或y ＝－1}C ．{1，－1}D ．{(1，－1)} [答案] D[解析] M ∩P 的元素是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0x －y ＝2的解∴M ∩P ＝{(1，－1)}．3．(2015·衡水高一检测)若集合A ，B ，C 满足A ∩B ＝A ，B ∪C ＝C ，则A 与C 之间的关系为( )A ．C AB ．AC C ．C ⊆AD ．A ⊆C [答案] D[解析] ∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ，又B ∪C ＝C ，∴B ⊆C ，∴A ⊆C ，故选D.4．当x ∈A 时，若x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，由A 的所有孤立元素组成的集合称为A 的“孤星集”，若集合M ＝{0,1,3}的孤星集为M ′，集合N ＝{0,3,4}的孤星集为N ′，则M ′∪N ′＝( )A ．{0,1,3,4}B ．{1,4}C ．{1,3}D ．{0,3} [答案] D[解析] 由条件及孤星集的定义知，M ′＝{3}，N ′＝{0}，则M ′∪N ′＝{0,3}．二、填空题5．以下四个推理：①a ∈(A ∪B )⇒a ∈A ；②a ∈(A ∩B )⇒a ∈(A ∪B )；③A ⊆A ⇒A ∪B ＝B ；④A ∪B ＝A ⇒A ∩B ＝B .其中正确的为________．[答案] ②③④[解析] ①是错误的，a ∈(A ∪B )时可推出a ∈A 或a ∈B ，不一定推出a ∈A .6．已知集合A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝0}，B ＝{x |x 2－px －2q ＝0}，且A ∩B ＝{－1}，则A ∪B ＝________.[答案] {－2，－1,4}[解析] 因为A ∩B ＝{－1}，所以－1∈A ，－1∈B ，即－1是方程x 2＋px ＋q ＝0和x 2－px －2q ＝0的解，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －12－p ＋q ＝0，－12＋p －2q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3，q ＝2， 所以A ＝{－1，－2}，B ＝{－1,4}，所以A ∪B ＝{－2，－1,4}．三、解答题7．已知A ＝{x |2a ＜x ≤a ＋8}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，A ∪B ＝R ，求a 的取值范围．[解析] ∵B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，A ∪B ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＜－1，a ＋8≥5，解得－3≤a ＜－12. 8．设A ＝{x |x 2＋8x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋2)x ＋a 2－4＝0}，其中a ∈R .如果A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．[解析] ∵A ＝{x }x 2＋8x ＝0}＝{0，－8}，A ∩B ＝B ，∴B ⊆A .当B ＝Ø时，方程x 2＋2(a ＋2)x ＋a 2－4＝0无解，即Δ＝4(a ＋2)2－4(a 2－4)＜0，得a ＜－2.当B ＝{0}或{－8}时，这时方程的判别式 Δ＝4(a ＋2)2－4(a 2－4)＝0，得a ＝－2.将a ＝－2代入方程，解得x ＝0，∴B ＝{0}满足．当B ＝{0，－8}时，⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＞0，－2a ＋2＝－8，a 2－4＝0，可得a ＝2.综上可得a ＝2或a ≤－2. [点评] (1)当集合B ⊆A 时，如果集合A 是一个确定的集合，而集合B 不确定，运算时，要考虑B ＝Ø的情形，切不可漏掉．(2)利用集合运算性质化简集合，有利于准确了解集合之间的关系．第一章 1.1 1.1.3 第二课时补集基础巩固一、选择题1．(2015·重庆三峡名校联盟)设全集I ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{2,3,5}，集合B ＝{1,2}，则(∁I B )∩A 为( )A ．{2}B ．{3,5}C ．{1,3,4,5}D ．{3,4,5}[答案] B[解析] 因为全集I ＝{1,2,3,4,5}，集合B ＝{1,2}，则∁I B ＝{3,4,5}．所以(∁I B )∩A 为{3,5}．故选B.[易错警示] 本小题的关键是先求出集合B的补集，再求交集．集合的运算是集合关系的基础知识，要理解清楚，可能渗透在一个大题中，不熟练会导致整体看不懂或理解错误．2．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，则∁U A的所有非空子集的个数为( )A．4 B．3C．2 D．1[答案] B[解析] ∵∁U A＝{2,4}，∴非空子集有22－1＝3个，故选B.3．若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则( )A．P⊆Q B．Q⊆PC．(∁R P)⊆Q D．Q⊆∁R P[答案] C[解析] ∵P＝{x|x＜1}，∴∁R P＝{x|x≥1}．又Q＝{x|x＞－1}，∴(∁R P)⊆Q，故选C.4．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U M) D．(∁U M)∩(∁U N)[答案] D[解析] ∵M∪N＝{1,2,3,4}，∴(∁U M)∩(∁U N)＝∁U(M∪N)＝{5,6}，故选D.5．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，那么集合A∪(∁U B)等于( )A．{x|－2≤x≤4}B．{x|x≤3，或x≥4}C．{x|－2≤x＜－1}D．{x|－1≤x≤3}[答案] A[解析] 由题意可得∁U B＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－2≤x≤3}，所以A∪(∁U B)＝{x|－2≤x≤4}，故选A.6．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x＜2}，且A∪(∁R B)＝R，则a满足( )A．a≥2B．a＞2C．a＜2 D．a≤2[答案] A[解析] ∁R B＝{x|x≥2}，则由A∪(∁R B)＝R得a≥2，故选A.二、填空题7．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若∁A B＝{5}，则实数m＝________.[答案] 58．U ＝R ，A ＝{x |－2<x ≤1或x >3}，B ＝{x |x ≥4}，则∁U A ＝________，∁A B ＝________.[答案] {x |x ≤－2或1<x ≤3} {x |－2<x ≤1或3<x <4}三、解答题9．已知全集U ＝{2,3，a 2－2a －3}，A ＝{2，|a －7|}，∁U A ＝{5}，求a 的值．[解析] 解法1：由|a －7|＝3，得a ＝4或a ＝10.当a ＝4时，a 2－2a －3＝5，当a ＝10时，a 2－2a －3＝77∉U ，∴a ＝4.解法2：由A ∪∁U A ＝U 知⎩⎪⎨⎪⎧ |a －7|＝3a 2－2a －3＝5，∴a ＝4.10．(2015·唐山一中月考试题)已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，求A ∩B ，(∁U A )∪B ，A ∩(∁U B )．[分析] 利用数轴，分别表示出全集U 及集合A ，B ，先求出∁U A 及∁U B ，然后求解．[解析] 如图所示，∵A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，∴∁U A ＝{x |x ≤－2或3≤x ≤4}，∁U B ＝{x |x <－3或2<x ≤4}．∴A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}，(∁U A )∪B ＝{x |x ≤2或3≤x ≤4}，A ∩(∁UB )＝{x |2<x <3}．[点评] (1)数轴与Venn 图有同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示数集，所以进行数集的交、并、补运算时，经常借助数轴求解．(2)不等式中的等号在补集中能否取到要引起重视，还要注意补集是全集的子集．能力提升一、选择题1．如图，阴影部分用集合A 、B 、U 表示为( )A ．(∁U A )∩BB ．(∁U A )∪(∁U B )C ．A ∩(∁U B )D ．A ∪(∁U B )[答案] C[解析] 阴影部分在A中，不在B中，故既在A中也在∁U B中，因此是A与∁U B的公共部分．2．设S为全集，则下列说法中，错误的个数是( )①若A∩B＝Ø，则(∁S A)∪(∁S B)＝S；②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝Ø；③若A∪B＝Ø，则A＝B.A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析] 借助文氏图可知，①②正确，对于③于由A∪B＝Ø，∴A＝Ø，B＝Ø，∴A＝B，故选A.3．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合S与T都是U的子集，满足S∩T＝{2}，(∁U S)∩T＝{4}，(∁U S)∩(∁U T)＝{1,5}则有( )A．3∈S,3∈T B．3∈S,3∈∁U TC．3∈∁U S,3∈T D．3∈∁U S,3∈∁U T[答案] B[解析] 若3∈S,3∈T，则3∈S∩T，排除A；若3∈∁U S，3∈T，则3∈(∁U S)∩T，排除C；若3∈∁U S,3∈∁U T，则3∈(∁U S)∩(∁U T)，排除D，∴选B，也可画图表示．4．(2008·北京)已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，那么集合A∩(∁U B)等于( )A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x<－1} D．{x|－1≤x≤3}[答案] D[解析] ∁U B＝{x|－1≤x≤4}，A∩∁U B＝{x|－1≤x≤3}，故选D.二、填空题5．已知全集为R，集合M＝{x∈R|－2＜x＜2}，P＝{x|x≥a}，并且M⊆∁R P，则a的取值范围是________．[答案] a≥2[解析] M＝{x|－2＜x＜2}，∁R P＝{x|x＜a}．∵M⊆∁R P，∴由数轴知a≥2.6．已知U ＝R ，A ＝{x |a ≤x ≤b }，∁U A ＝{x |x ＜3或x ＞4}，则ab ＝________.[答案] 12[解析] ∵A ∪(∁U A )＝R ，∴a ＝3，b ＝4，∴ab ＝12.三、解答题7．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，U ＝R ，求实数a ，b 的值．[提示] 由2∈B,4∈A ，列方程组求解．[解析] ∵(∁U A )∩B ＝{2}，∴2∈B ，∴4－2a ＋b ＝0.①又∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A ，∴16＋4a ＋12b ＝0.②联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4－2a ＋b ＝0，16＋4a ＋12b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝87，b ＝－127.经检验，符合题意：∴a ＝87，b ＝－127. [点评] 由题目中所给的集合之间的关系，通过分析得出元素与集合之间的关系，是解决此类问题的关键．8．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－1}，B ＝{x |2a <x <a ＋3}，且B ⊆∁R A ，求a 的取值范围．[分析] 本题从条件B ⊆∁R A 分析可先求出∁R A ，再结合B ⊆∁R A 列出关于a 的不等式组求a 的取值范围．[解析] 由题意得∁R A ＝{x |x ≥－1}．(1)若B ＝Ø，则a ＋3≤2a ，即a ≥3，满足B ⊆∁R A .(2)若B ≠Ø，则由B ⊆∁R A ，得2a ≥－1且2a <a ＋3，即－12≤a <3. 综上可得a ≥－12.第一章 1.1 1.1.3 第三课时习题课基础巩固一、选择题1．(2015·全国高考卷Ⅱ文科，1题)已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x <3}，则A ∩B ＝( )A ．{x |－1<x <3}B ．{x |－1<x <0}C．{x|0<x<2} D．{x|2<x<3}[答案] A[解析] A∪B＝{x|－1<x<3}，故选A.2．设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(∁U B)等于( )A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1}C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}[答案] B[解析] 画出数轴，如图所示，∁U B＝{x|x≤1}，则A∩∁U B＝{x|0＜x≤1}，故选B.3．图中阴影部分所表示的集合是( )A．B∩(∁U(A∪C))B．(A∪B)∪(B∪C)C．(A∪C)∩(∁U B)D．[∁U(A∩C)]∪B[答案] A[解析] 阴影部分位于集合B内，且位于集合A、C的外部，故可表示为B∩(∁U(A∪C))，故选A.4．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－2或x＞4}，那么集合(∁U A)∩(∁U B)等于( )A．{x|3＜x≤4}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|3≤x＜4} D．{x|－1≤x≤3}[答案] A[解析] 方法1：∁U A＝{x|x＜－2或x＞3}，∁U B＝{x|－2≤x≤4}∴(∁U A)∩(∁U B)＝{x|3＜x≤4}，故选C.方法2：A∪B＝{x|x≤3或x＞4}，(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{x|3＜x≤4}．故选A.5．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|－1≤x≤a}，且(A∪B)⊆(A∩B)，则实数a＝( )A．0 B．1C．2 D．3[答案] B[解析] ∵(A ∪B )⊆(A ∩B )，∴(A ∪B )＝(A ∩B )， ∴A ＝B ，∴a ＝1.6．设U 为全集，对集合X ，Y 定义运算“*”，X *Y ＝∁U (X ∩Y )，对于任意集合X ，Y ，Z ，则(X *Y )*Z ＝( )A ．(X ∪Y )∩∁U ZB ．(X ∩Y )∪∁U ZC ．(∁U X ∪∁U Y )∩ZD ．(∁U X ∩∁U Y )∪Z [答案] B[解析] X *Y ＝∁U (X ∩Y )(X *Y )*Z ＝∁U [∁U (X ∩Y )∩Z ]＝∁U (∁U (X ∩Y ))∪∁U Z ＝(X ∩Y )∪∁U Z ，故选B. 二、填空题7．(河北孟村回民中学2014～2015学年高一九月份月考试题)U ＝{1,2}，A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝0}，∁U A ＝{1}，则p ＋q ＝________.[答案] 0[解析] 由∁U A ＝{1}，知A ＝{2}即方程x 2＋px ＋q ＝0有两个相等根2，∴p ＝－4，q ＝4，∴p ＋q ＝0.8．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x －1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，若m ∈A ，m ∈B ，则m 为________．[答案] (4,7)[解析] 由m ∈A ，m ∈B 知m ∈(A ∩B )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1y ＝x ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝7，∴A ∩B ＝{(4,7)}．三、解答题9．已知全集U ＝R ，A ＝{x |2≤x <5}，B ＝{x |3≤x <7}，求： (1)(∁R A )∩(∁R B ) (2)∁R (A ∪B ) (3)(∁R A )∪(∁R B ) (4)∁R (A ∩B )[分析] 在进行集合运算时，充分利用数轴工具是十分有效的手段，此例题可先在数轴上画出集合A 、B ，然后求出A ∩B ，A ∪B ，∁R A ，∁R B ，最后可逐一写出各小题的结果．[解析] 如图所示，可得A ∩B ＝{x |3≤x <5}，A ∪B ＝{x |2≤x <7}．∁R A ＝{x |x <2或x ≥5}， ∁R B ＝{x |x <3或x ≥7}． 由此求得(1)(∁R A )∩(∁R B )＝{x |x <2或x ≥7}． (2)∁R (A ∪B )＝{x |x <2或x ≥7}．(3)(∁R A )∪(∁R B )＝{x |x <2或x ≥5}∪{x <3或x ≥7}＝{x |x <3或x ≥5}． (4)∁R (A ∩B )＝{x |x <3或x ≥5}．[点评] 求解集合的运算，利用数轴是有效的方法，也是数形结合思想的体现． 10．已知U ＝R ，A ＝{x |x 2＋px ＋12＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0}，若(∁U A )∩B ＝{2}，(∁UB )∩A ＝{4}，求A ∪B .[分析] 先确定p 和q 的值，再明确A 与B 中的元素，最后求得A ∪B . [解析] ∵(∁U A )∩B ＝{2}，∴2∈B 且2∉A . ∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A 且4∉B .∴⎩⎪⎨⎪⎧42＋4p ＋12＝0，22－5×2＋q ＝0.解得p ＝－7，q ＝6，∴A ＝{3,4}，B ＝{2,3}，∴A ∪B ＝{2,3,4}．能力提升一、选择题1．设A 、B 、C 为三个集合，(A ∪B )＝(B ∩C )，则一定有( ) A ．A ⊆C B ．C ⊆A C ．A ≠C D ．A ＝Ø[答案] A[解析] ∵A ∪B ＝(B ∩C )⊆B ， 又B ⊆(A ∪B )，∴A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ， 又B ⊆(A ∪B )＝B ∩C ，且(B ∩C )⊆B ， ∴(B ∩C )＝B ，∴B ⊆C ，∴A ⊆C .2．设P ＝{3,4}，Q ＝{5,6,7}，集合S ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q }，则S 中元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] D[解析] S ＝{(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)}共6个元素，故选D. 3．(2015·陕西模拟)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }，则集合∁U (A ∪B )中元素的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] B[解析] 因为集合A＝{1,2}，B＝{2,4}，所以A∪B＝{1,2,4}，所以∁U(A∪B)＝{3,5}．4．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，且B∩(∁U A)≠Ø，则( )A．k＜0 B．k＜2C．0＜k＜2 D．－1＜k＜2[答案] C[解析] ∵U＝R，A＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁U A＝{x|1＜x＜3}．∵B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，∴当B∩(∁U A)＝Ø时，有k＋1≤1或k≥3(不合题意，舍去)，如图所示，∴k≤0，∴当B∩(∁U A)≠Ø时，0＜k＜2，故选C.二、填空题5．(2014·福建，理)若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2，④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．[答案] 6[解析] 根据题意可分四种情况：(1)若①正确，则a＝1，b＝1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组有0个；(2)若②正确，则a≠1，b≠1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组为(2,3,1,4)和(3,2,1,4)；(3)若③正确，则a≠1，b＝1，c＝2，d＝4，符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；(4)若④正确，则a≠1，b＝1，c≠2，d≠4，符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(4,1,3,2)，(3,1,4,2)．所以共有6个．故答案为6.6．设数集M＝{x|m≤x≤m＋34}，N＝{x|n－13≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________．[答案]1 12[解析] 如图，设AB 是一长度为1的线段，a 是长度为34的线段，b 是长度为13的线段，a ，b 可在线段AB 上自由滑动，a ，b 重叠部分的长度即为M ∩N 的“长度”，显然，当a ，b各自靠近线段AB 两端时，重叠部分最短，其值为34＋13－1＝112.三、解答题7．已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，试探求a 取何实数时，(A ∩B )Ø与A ∩C ＝Ø同时成立．[解析] B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{2，－4}，由A ∩BØ与A ∩C ＝Ø同时成立可知，3是方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的解，将3代入方程得a 2－3a －10＝0，解得a ＝5或a ＝－2.当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，此时A ∩C ＝{2}，与此题设A ∩C ＝Ø矛盾，故不适合．当a ＝－2时，A ＝{x |x 2＋2x －15＝0}＝{3，－5}，此时(A ∩B )Ø与A ∩C ＝Ø同时成立，则满足条件的实数a ＝－2.8．设A ，B 是两个非空集合，定义A 与B 的差集A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }． (1)试举出两个数集，求它们的差集；(2)差集A －B 与B －A 是否一定相等？说明理由；(3)已知A ＝{x |x >4}，B ＝{x |－6<x <6}，求A －(A －B )和B －(B －A )． [解析] (1)如A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}， 则A －B ＝{1}． (2)不一定相等，由(1)B －A ＝{4}，而A －B ＝{1}， 故A －B ≠B －A .又如，A ＝B ＝{1,2,3}时，A －B ＝Ø，B －A ＝Ø，此时A －B ＝B －A ，故A －B 与B －A 不一定相等． (3)因为A －B ＝{x |x ≥6}，B －A ＝{x |－6<x ≤4}， A －(A －B )＝{x |4<x <6}， B －(B －A )＝{x |4<x <6}．第一章 1.2 1.2.1函数的概念基础巩固一、选择题1．下列四种说法中，不正确的是( )A ．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素 [答案] B2．f (x )＝1＋x ＋x1－x 的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．RD ．[－1,1)∪(1，＋∞)[答案] D[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥01－x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，选D.3．各个图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )[答案] A[解析] 因为垂直x 轴的直线与函数y ＝f (x )的图象至多有一个交点，故选A. 4．(2015·曲阜二中月考试题)集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( )A ．f x →y ＝12xB ．f x →y ＝13xC ．f x →y ＝23xD ．f x →y ＝x[答案] C[解析] 对于选项C ，当x ＝4时，y ＝83＞2不合题意．故选C.5．下列各组函数相同的是( )A ．f (x )＝x 2－1x －1与g (x )＝x ＋1B ．f (x )＝－2x 3与g (x )＝x ·－2x C ．f (x )＝2x ＋1与g (x )＝2x 2＋xxD ．f (x )＝|x 2－1|与g (t )＝t 2－12[答案] D[解析] 对于A.f (x )的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，g (x )的定义域是R ，定义域不同，故不是相同函数；对于B.f (x )＝|x |·－2x ，g (x )＝x ·－2x 的对应法则不同；对于C ，f (x )的定义域为R 与g (x )的定义域是{x |x ≠0}，定义域不同，故不是相同函数；对于D.f (x )＝|x 2－1|，g (t )＝|t 2－1|，定义域与对应关系都相同，故是相同函数，故选D.6．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点个数有( ) A ．必有一个 B ．一个或两个 C ．至多一个 D ．可能两个以上[答案] C[解析] 当a 在f (x )定义域内时，有一个交点，否则无交点． 二、填空题 7．已知函数f (x )＝11＋x，又知f (t )＝6，则t ＝________. [答案] －56[解析] f (t )＝1t ＋1＝6.∴t ＝－568．用区间表示下列数集： (1){x |x ≥1}＝________； (2){x |2＜x ≤4}＝________； (3){x |x ＞－1且x ≠2}＝________.[答案] (1)[1，＋∞) (2)(2,4] (3)(－1,2)∪(2，＋∞) 三、解答题9．求下列函数的定义域，并用区间表示：(1)y ＝x ＋12x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x|x |－3.[分析] 列出满足条件的不等式组⇒解不等式组⇒求得定义域[解析] (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠01－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}＝(－∞，－1)∪(－1,1]．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}＝(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]． [规律总结] 定义域的求法：(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R ；(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；(3)如果f (x )为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；(4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况． 函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视． 10．已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2. (1)求函数的定义域； (2)求f (－3)，f (23)的值；(3)当a ＞0时，求f (a )，f (a －1)的值．[解析] (1)使根式x ＋3有意义的实数x 的集合是{x |x ≥－3}，使分式1x ＋2有意义的实数x 的集合是{x |x ≠－2}，所以这个函数的定义域是{x |x ≥－3}∩{x |x ≠－2}＝{x |x ≥－3，且x ≠－2}． (2)f (－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1； f (23)＝23＋3＋123＋2＝113＋38＝38＋333. (3)因为a ＞0，故f (a )，f (a －1)有意义．f (a )＝a ＋3＋1a ＋2；f (a －1)＝a －1＋3＋1a －1＋2＝a ＋2＋1a ＋1.能力提升一、选择题1．给出下列从A 到B 的对应：①A ＝N ，B ＝{0,1}，对应关系是：A 中的元素除以2所得的余数 ②A ＝{0,1,2}，B ＝{4,1,0}，对应关系是f ：x →y ＝x 2③A ＝{0,1,2}，B ＝{0,1，12}，对应关系是f ：x →y ＝1x其中表示从集合A 到集合B 的函数有( )个．( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0[答案] B[解析] 由于③中，0这个元素在B 中无对应元素，故不是函数，因此选B. 2．(2012·高考安徽卷)下列函数中，不满足：f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x [答案] C[解析] f (x )＝kx 与f (x )＝k |x |均满足：f (2x )＝2f (x )得：A ，B ，D 满足条件． 3．(2014～2015惠安中学月考试题)A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，下列图形中能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是( )[答案] B[解析] A 、C 、D 的值域都不是[1,2]，故选B. 4．(2015·盘锦高一检测)函数f (x )＝11－2x 的定义域为M ，g (x )＝x ＋1的定义域为N ，则M ∩N ＝( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1，12)C ．(－1，12)D ．(－∞，12)[答案] B 二、填空题5．若函数f (x )的定义域为[2a －1，a ＋1]，值域为[a ＋3,4a ]，则a 的取值范围是________． [答案] (1,2)[解析] 由区间的定义知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＜a ＋1，a ＋3＜4a⇒1＜a ＜2.6．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么f (x )的定义域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．[答案] [－3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5] [解析] 观察函数图象可知f (x )的定义域是[－3,0]∪[2,3]；只与x 的一个值对应的y 值的范围是[1,2)∪(4,5]． 三、解答题7．求下列函数的定义域： (1)y ＝31－1－x；(2)y ＝x ＋10|x |－x；(3)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x.[解析] (1)要使函数有意义，需⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠0⇔x ≤1且x ≠0，所以函数y ＝31－1－x的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，|x |≠x ，∴x ＜0且x ≠－1，∴原函数的定义域为{x |x ＜0且x ≠－1}． (3)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x ＞0，x ≠0.解得－32≤x ＜2且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为[－32，0)∪(0,2)．[点评] 求给出解析式的函数的定义域的步骤为：(1)列出使函数有意义的x 所适合的式子(往往是一个不等式组)；(2)解这个不等式组；(3)把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．8．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，(1)求f (x )的定义域． (2)若f (a )＝2，求a 的值．(3)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )． [解析] (1)要使函数f (x )＝1＋x 21－x 2有意义，只需1－x 2≠0，解得x ≠±1，所以函数的定义域为{x |x ≠±1}． (2)因为f (x )＝1＋x21－x2，且f (a )＝2，所以f (a )＝1＋a 21－a 2＝2，即a 2＝13，解得a ＝±33. (3)由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 2＋1x 2－1，－f (x )＝－1＋x 21－x 2＝x 2＋1x 2－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )．第一章 1.2 1.2.2 第一课时函数的表示方法基础巩固一、选择题1．已知y 与x 成反比，且当x ＝2时，y ＝1，则y 关于x 的函数关系式为( ) A ．y ＝1xB ．y ＝－1xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x[答案] C[解析] 设y ＝k x ，由1＝k 2得，k ＝2，因此，y 关于x 的函数关系式为y ＝2x.2．一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为( ) A ．y ＝20－2xB ．y ＝20－2x (0＜x ＜10)C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5＜x ＜10)[答案] D[解析] 由题意得y ＋2x ＝20，∴y ＝20－2x .又∵2x ＞y ，∴2x ＞20－2x ，即x ＞5.由y ＞0，即20－2x ＞0得x ＜10，∴5＜x ＜10.故选D.3．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的解析式是( ) A ．g (x )＝2x ＋1 B ．g (x )＝2x －1 C ．g (x )＝2x －3 D ．g (x )＝2x ＋7[答案] B[解析] ∵g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3，∴令x ＋2＝t ，则x ＝t －2，g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1.∴g (x )＝2x －1.4．(2015·安丘一中月考)某同学在一学期的5次大型考试中的数学成绩(总分120分)如下表所示：A ．成绩y 不是考试次数x 的函数B ．成绩y 是考试次数x 的函数C ．考试次数x 是成绩y 的函数D ．成绩y 不一定是考试次数x 的函数 [答案] B5．如果二次函数的二次项系数为1，图象开口向上，且关于直线x ＝1对称，并过点(0,0)，则此二次函数的解析式为( )A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝－(x －1)2＋1 C ．f (x )＝(x －1)2＋1 D ．f (x )＝(x －1)2－1[答案] D6．(2015·武安中学周测题)若f (x )满足关系式f (x )＋2f (1x)＝3x ，则f (2)的值为( )。
高中数学必修一全册同步训练及解析(共64页)
高中数学必修一同步训练及解析1．下列所给关系正确的个数是( ) ①π∈R ；②3∉Q ；③0∈N *；④|－4|∉N *. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B.①②正确，③④错误．2．下列各组集合，表示相等集合的是( ) ①M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}； ②M ＝{3,2}，N ＝{2,3}； ③M ＝{(1,2)}，N ＝{1,2}． A ．① B ．② C ．③D ．以上都不对解析：选B.①中M 中表示点(3,2)，N 中表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M 表示一个元素：点(1,2)，N 中表示两个元素分别为1,2. 3．用描述法表示不等式x <－x －3的解集为________．答案：{x |x <－x －3}(或{x |x <－32})4．集合A ＝{x ∈N|2x 2－x －1＝0}用列举法表示为__________．解析：解方程2x 2－x －1＝0，得x ＝1或x ＝－12.又因为x ∈N ，则A ＝{1}．答案：{1}[A 级 基础达标]1．下面几个命题中正确命题的个数是( ) ①集合N *中最小的数是1； ②若－a ∉N *，则a ∈N *；③若a ∈N *，b ∈N *，则a ＋b 的最小值是2； ④x 2＋4＝4x 的解集是{2,2}． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选C.N *是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a ＝0时，－a ∉N *，但a ∉N *，故②错；若a ∈N *，则a 的最小值是1，又b ∈N *，b 的最小值也是1，当a 和b 都取最小值时，a ＋b 取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确，故选C.2．设集合M ＝{x ∈R|x ≤33}，a ＝26，则( ) A ．a ∉M B ．a ∈M C ．{a }∈MD ．{a |a ＝26}∈M解析：选B.(26)2－(33)2＝24－27<0， 故26<3 3.所以a ∈M .3．若集合M ＝{a ，b ，c }，M 中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形解析：选D.根据元素的互异性可知，a ≠b ，a ≠c ，b ≠c .4．已知①5∈R ；②13∈Q ；③0＝{0}；④0∉N ；⑤π∈Q ；⑥－3∈Z.正确的个数为________．解析：③错误，0是元素，{0}是一个集合；④0∈N ；⑤π∉Q ，①②⑥正确． 答案：35．已知x 2∈{1,0，x }，则实数x ＝________.解析：∵x 2∈{1,0，x }，∴x 2＝1或x 2＝0或x 2＝x . ∴x ＝±1或x ＝0.但当x ＝0或x ＝1时，不满足元素的互异性． ∴x ＝－1. 答案：－16．设集合B ＝{x ∈N|62＋x∈N}．(1)试判断元素1和2与集合B 的关系； (2)用列举法表示集合B .解：(1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N ；当x ＝2时，62＋2＝32∉N ，∴1∈B,2∉B .(2)令x ＝0,3,4代入62＋x∈N 检验，可得B ＝{0,1,4}．[B 级 能力提升]7．设集合A ＝{2,3,4}，B ＝{2,4,6}，若x ∈A 且x ∉B ，则x 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6解析：选B.∵x ∈{2,3,4}且x ∉{2,4,6}，∴x ＝3.8．定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }，设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A *B 的所有元素之和为( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．6解析：选D.∵z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B ，∴z 的取值有：1×0＝0,1×2＝2,2×0＝0,2×2＝4， 故A *B ＝{0,2,4}，∴集合A *B 的所有元素之和为：0＋2＋4＝6.9．已知集合A ＝{x |2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵1∉A ，∴2＋a ≤0，即a ≤－2. 答案：a ≤－2 10.用适当的方法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数；(2)图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合(不含虚线)； (3)满足方程x ＝|x |，x ∈Z 的所有x 的值构成的集合B . 解：(1){x |x ＝3n ，n ∈Z}；(2){(x ，y )|－1≤x ≤2，－12≤y ≤1，且xy ≥0}；(3)B ＝{x |x ＝|x |，x ∈Z}．11．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0}．(1)若A 中只有一个元素，求a 的取值范围； (2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围． 解：(1)∵方程ax 2＋2x ＋1＝0只有一个解，若a ＝0，则x ＝－12；若a ≠0，则Δ＝0，解得a ＝1，此时x ＝－1. ∴a ＝0或a ＝1时，A 中只有一个元素． (2)①A 中只有一个元素时，a ＝0或a ＝1.②A 中有两个元素时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ>0，解得a <1且a ≠0.综上，a ≤1.高中数学必修一同步训练及解析1．下列集合中是空集的是( ) A ．{x |x 2＋3＝3}B ．{(x ，y )|y ＝－x 2，x ，y ∈R}C ．{x |－x 2≥0}D ．{x |x 2－x ＋1＝0，x ∈R}解析：选D.∵方程x 2－x ＋1＝0的判别式Δ<0，∴方程无实根，故D 选项为空集，A 选项中只有一个元素0，B 选项中有无数个元素，即抛物线y ＝－x 2上的点，C 选项中只有一个元素0.2．已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x <1}，则( ) A ．A >B B ．A B C ．B A D ．A ⊆B解析：选C.利用数轴(图略)可看出x ∈B ⇒x ∈A ，但x ∈A ⇒x ∈B 不成立． 3．下列关系中正确的是________． ①∅∈{0}；②∅；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a ，b )}＝{(b ，a )}． 解析：∅，∴①错误；空集是任何非空集合的真子集，②正确；{(0,1)}是含有一个元素的点集，③错误；{(a ，b )}与{(b ，a )}是两个不等的点集，④错误，故正确的是②. 答案：②4．图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，则A 、B 、C 、D 、E 分别代表的图形的集合为__________________________．解析：由以上概念之间的包含关系可知：集合A ＝{四边形}，集合B ＝{梯形}，集合C ＝{平行四边形}，集合D ＝{菱形}，集合E ＝{正方形}．答案：A ＝{四边形}，B ＝{梯形}，C ＝{平行四边形}，D ＝{菱形}，E ＝{正方形}[A 级 基础达标]1．如果A ＝{x |x >－1}，那么( ) A ．0⊆A B ．{0}∈A C ．∅∈A D ．{0}⊆A解析：选D.A 、B 、C 的关系符号是错误的． 2．若{1,2}＝{x |x 2＋bx ＋c ＝0}，则( ) A ．b ＝－3，c ＝2 B ．b ＝3，c ＝－2 C ．b ＝－2，c ＝3 D ．b ＝2，c ＝－3解析：选A.由题意知1,2为方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－b ，1×2＝c ，解得b ＝－3，c ＝2.3．符合条件{a P ⊆{a ，b ，c }的集合P 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：选B.集合P 中一定含有元素a ，且不能只有a 一个元素，用列举法列出即可．4．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|yx＝1}，则A 、B 间的关系为________．解析：(0,0)∈A ，而(0,0)∉B ，故B A . 答案：B A5．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ⊆A ，则实数m ＝________. 解析：由于B ⊆A ，则应有m 2＝2m －1，于是m ＝1. 答案：16．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N}，试写出A 的所有子集． 解：∵A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N}， ∴A ＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．∴A 的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．[B 级 能力提升]7．集合M ＝{x |x 2＋2x －a ＝0，x ∈R}，且∅M ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤－1B ．a ≤1C ．a ≥－1D ．a ≥1解析：选C.∅M 等价于方程x 2＋2x －a ＝0有实根．即Δ＝4＋4a ≥0.解得a ≥－1. 8．设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A B ，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥2 B ．a ≤1 C ．a ≥1 D ．a ≤2解析：选A.A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，要使A B ，则应有a ≥2.9．设A ＝{x ∈R|x 2－5x ＋m ＝0}，B ＝{x ∈R|x －3＝0}，且B ⊆A ，则实数m ＝________，集合A ＝________.解析：B ＝{3}．∵B ⊆A ，∴3∈A ，即9－15＋m ＝0.∴m ＝6.解方程x 2－5x ＋6＝0，得x 1＝2，x 2＝3， ∴A ＝{2,3}． 答案：6 {2,3}10．设M ＝{x |x 2－2x －3＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若N ⊆M ，求所有满足条件的a 的集合． 解：由N ⊆M ，M ＝{x |x 2－2x －3＝0}＝{－1,3}， 得N ＝∅或N ＝{－1}或N ＝{3}． 当N ＝∅时，ax －1＝0无解，∴a ＝0.当N ＝{－1}时，由1a ＝－1，得a ＝－1.当N ＝{3}时，由1a ＝3，得a ＝13.∴满足条件的a 的集合为{－1,0，13}．11．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}． (1)若A B ，求a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求a 的取值范围． 解：(1)若AB ，由图可知，a >2.(2)若B ⊆A ，由图可知，1≤a ≤2.高中数学必修一同步训练及解析1．已知集合A ＝{x |x >1}，B ＝{x |－1<x <2}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |x >－1}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <2}解析：选D.如图所示．A ∩B ＝{x |x >1}∩{x |－1<x <2}＝{x |1<x <2}．2．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}则()A．M⊆NB．N⊆MC．M∩N＝{2,3}D．M∪N＝{1,4}解析：选C.∵M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}．∴选项A、B显然不对．M∪N＝{1,2,3,4}，∴选项D错误．又M∩N＝{2,3}，故选C.3．设M＝{0,1,2,4,5,7}，N＝{1,4,6,8,9}，P＝{4,7,9}，则(M∩N)∪(M∩P)＝________.解析：M∩N＝{1,4}，M∩P＝{4,7}，所以(M∩N)∪(M∩P)＝{1,4,7}．答案：{1,4,7}4．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．解析：A∪B＝A，即B⊆A，∴m≥2.答案：m≥2[A级基础达标]1．下列关系Q∩R＝R∩Q；Z∪N＝N；Q∪R＝R∪Q；Q∩N＝N中，正确的个数是() A．1B．2C．3D．4解析：选C.只有Z∪N＝N是错误的，应是Z∪N＝Z.2．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是()A．(－∞，－1]B．[1，＋∞)C．[－1,1]D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：选C.由P＝{x|x2≤1}得P＝{x|－1≤x≤1}．由P∪M＝P得M⊆P.又M＝{a}，∴－1≤a≤1.3．已知集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}的关系的韦恩(Venn)图，如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()A．3个B．2个C．1个D．无穷多个解析：选B.M＝{x|－1≤x≤3}，集合N是全体正奇数组成的集合，则阴影部分所示的集合为M∩N＝{1,3}，即阴影部分所示的集合共有2个元素．4．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，则m＝________.解析：∵A∩B＝{2,3}，∴3∈B，∴m＝3.答案：35．设集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是________．解析：利用数轴分析可知，a>－1.答案：a>－16．已知集合A ＝{x |⎩⎪⎨⎪⎧3－x >03x ＋6>0}，集合B ＝{m |3>2m －1}，求：A ∩B ，A ∪B .解：∵A ＝{x |⎩⎪⎨⎪⎧3－x >03x ＋6>0}＝{x |－2<x <3}，B ＝{m |3>2m －1}＝{m |m <2}．用数轴表示集合A ，B ，如图．∴A ∩B ＝{x |－2<x <2}，A ∪B ＝{x |x <3}．[B 级 能力提升]7．设A ＝{(x ，y )|(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝0}，B ＝{－2，－1}，则必有( ) A ．A ⊇B B ．A ⊆B C ．A ＝B D ．A ∩B ＝∅解析：选D.A ＝{(x ，y )|(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝0}＝{(－2，－1)}是点集，B ＝{－2，－1}是数集，所以A ∩B ＝∅.8．若集合A ＝{参加2012年奥运会的运动员}，集合B ＝{参加2012年奥运会的男运动员}，集合C ＝{参加2012年奥运会的女运动员}，则下列关系正确的是( ) A ．A ⊆B B ．B ⊆CC ．A ∩B ＝CD ．B ∪C ＝A解析：选D.参加2012年奥运会的运动员是参加2012年奥运会的男运动员和女运动员的总和，即A ＝B ∪C .9．满足条件{1,3}∪M ＝{1,3,5}的集合M 的个数是________． 解析：∵{1,3}∪M ＝{1,3,5}，∴M 中必须含有5， ∴M 可以是{5}，{5,1}，{5,3}，{1,3,5}，共4个． 答案：410．已知集合M ＝{x |2x －4＝0}，集合N ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}， (1)当m ＝2时，求M ∩N ，M ∪N ； (2)当M ∩N ＝M 时，求实数m 的值． 解：由题意得M ＝{2}．(1)当m ＝2时，N ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}， 则M ∩N ＝{2}，M ∪N ＝{1,2}． (2)∵M ∩N ＝M ，∴M ⊆N . ∵M ＝{2}，∴2∈N .∴2是关于x 的方程x 2－3x ＋m ＝0的解，即4－6＋m ＝0，解得m ＝2. 11．集合A ＝{x |－1≤x <3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}． (1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a >0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵B ＝{x |x ≥2}， ∴A ∩B ＝{x |2≤x <3}．(2)C ＝{x |x >－a2}，B ∪C ＝C ⇒B ⊆C ，∴－a2<2，∴a >－4.高中数学必修一同步训练及解析1．若P＝{x|x<1}，Q＝{x|x>－1}，则()A．P⊆QB．Q⊆PC．∁R P⊆QD．Q⊆∁R P解析：选C.∵P＝{x|x<1}，∴∁R P＝{x|x≥1}，∴∁R P⊆Q.2．设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有() A．3个B．4个C．5个D．6个解析：选A.∵U＝A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}，∴∁U(A∩B)＝{3,5,8}．故选A.3．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(∁U C)＝________. 解析：∵A∪B＝{2,3,4,5}，∁U C＝{1,2,5}，∴(A∪B)∩(∁U C)＝{2,3,4,5}∩{1,2,5}＝{2,5}．答案：{2,5}4．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________．解析：∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，∁U A＝{1}，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.答案：－1或2[A级基础达标]1．设集合U＝{1,2,3,4}，M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则∁U(M∩N)＝()A．{1,2}B．{2,3}C．{2,4}D．{1,4}解析：选D.∵M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，∴M∩N＝{2,3}．又∵U＝{1,2,3,4}，∴∁U(M∩N)＝{1,4}．2．已知集合U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则()A．M∩N＝{4,6}B．M∪N＝UC．(∁U N)∪M＝UD．(∁U M)∩N＝N解析：选B.由U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，得M∩N＝{4,5}，(∁U N)∪M ＝{3,4,5,7}，(∁U M)∩N＝{2,6}，M∪N＝{2,3,4,5,6,7}＝U.3．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩(∁R B)＝()A．{x|x＞1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |1＜x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}解析：选D.∵B ＝{x |x ＜1}，∴∁R B ＝{x |x ≥1}， ∴A ∩∁R B ＝{x |1≤x ≤2}．4．已知全集U ＝{x |1≤x ≤5}，A ＝{x |1≤x ＜a }，若∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，则a ＝________. 解析：∵A ∪∁U A ＝U ，∴A ＝{x |1≤x ＜2}．∴a ＝2. 答案：25．设集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |y ＝x －3，－1≤x ≤3}，则∁R (A ∩B )＝________. 解析：∵A ＝{x |0≤x ≤4}， B ＝{y |－4≤y ≤0}， ∴A ∩B ＝{0}，∴∁R (A ∩B )＝{x |x ∈R ，且x ≠0}． 答案：{x |x ∈R ，且x ≠0}6．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，求A ∩B ，(∁U B )∪P ，(A ∩B )∩(∁U P )．解：将集合A 、B 、P 表示在数轴上，如图．∵A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}， ∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}． ∵∁U B ＝{x |x ≤－1或x ＞3}，∴(∁U B )∪P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，(A ∩B )∩(∁U P )＝{x |－1＜x ＜2}∩{x |0＜x ＜52}＝{x |0＜x ＜2}．[B 级 能力提升]7．已知集合U ＝R ，集合A ＝{x |x <－2或x >4}，B ＝{x |－3≤x ≤3}，则(∁U A )∩B ＝( ) A ．{x |－3≤x ≤4} B ．{x |－2≤x ≤3}C ．{x |－3≤x ≤－2或3≤x ≤4}D ．{x |－2≤x ≤4}解析：选B.∁U A ＝{x |－2≤x ≤4}．由图可知：(∁U A )∩B ＝{x |－2≤x ≤3}． 8.已知全集U ＝Z ，集合A ＝{x |x 2＝x }，B ＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于( )A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}解析：选A.依题意知A ＝{0,1}，(∁U A )∩B 表示全集U 中不在集合A 中，但在集合B 中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}．9．设全集U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m 的值为________．解析：如图，∵U ＝{0,1,2,3}， ∁U A ＝{1,2}， ∴A ＝{0,3}，∴方程x 2＋mx ＝0的两根为x 1＝0，x 2＝3， ∴0＋3＝－m ，即m ＝－3. 答案：－310．设全集U ＝{x |0<x <10，x ∈N *}，且A ∩B ＝{3}，A ∩(∁U B )＝{1,5,7}，(∁U A )∩(∁U B )＝{9}，求A ，B .解：如图所示，由图可得A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3,4,6,8}．11．设集合A ＝{x |x ＋m ≥0}，B ＝{x |－2＜x ＜4}，全集U ＝R ，且(∁U A )∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：由已知A ＝{x |x ≥－m }， ∴∁U A ＝{x |x ＜－m }，∵B ＝{x |－2＜x ＜4}，(∁U A )∩B ＝∅， ∴－m ≤－2，即m ≥2， ∴m 的取值范围是m ≥2.高中数学必修一同步训练及解析1．函数y ＝1x的定义域是( )A ．RB ．{0}C ．{x |x ∈R ，且x ≠0}D ．{x |x ≠1}解析：选C.要使1x 有意义，必有x ≠0，即y ＝1x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}．2．下列各组函数表示相等函数的是( )A ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x >0－x ， x <0与g (x )＝|x |B ．f (x )＝2x ＋1与g (x )＝2x 2＋xxC ．f (x )＝|x 2－1|与g (t )＝(t 2－1)2D ．f (x )＝x 2与g (x )＝x解析：选C.A ：f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，g (x )的定义域是R ，定义域不同． B ：f (x )的定义域是R ，g (x )的定义域是{x |x ≠0}，定义域不同．C ：f (x )＝|x 2－1|，g (t )＝|t 2－1|，虽然表示自变量的字母不同，但定义域与对应法则都相同．D ：f (x )＝|x |，g (x )＝x ，对应法则不相同．3．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．解析：由题意3a －1＞a ，则a ＞12.答案：(12，＋∞)4．函数y ＝x 2－2x (－2≤x ≤4，x ∈Z)的值域为________．解析：∵－2≤x ≤4，x ∈Z ，∴x 取－2，－1,0,1,2,3,4.可知y 的取值为8,3,0，－1,0,3,8，∴值域为{－1,0,3,8}． 答案：{－1,0,3,8}[A 级 基础达标]1．下列对应关系中能构成实数集R 到集合{1，－1}的函数的有( ) ①②③A ．①B ．②C ．③D ．①③解析：选B.①中将自变量分为两类：一类是奇数，另一类是偶数．而实数集中除奇数、偶数之外，还有另外的数，如无理数，它们在集合{1，－1}中无对应元素；③中实数集除整数、分数之外，还有无理数，它们在集合{1，－1}中无对应元素；②符合题干要求．2．函数y ＝31－1－x的定义域是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，0)∪(0,1]C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．[1，＋∞)解析：选B.由⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠0.即得x ≤1且x ≠0，故选B.3．区间[5,8)表示的集合是( )A ．{x |x ≤5或x >8}B ．{x |5<x ≤8}C ．{x |5≤x <8}D ．{x |5≤x ≤8} 答案：C4．函数y ＝x 2x 2＋1(x ∈R)的值域是________．解析：y ＝x 2x 2＋1＝1－1x 2＋1，∴y 的值域为[0,1)． 答案：[0,1)5．设f (x )＝11－x，则f [f (x )]＝________.解析：f [f (x )]＝11－11－x ＝11－x －11－x＝x －1x .(x ≠0，且x ≠1)答案：x －1x(x ≠0，且x ≠1)6．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝2x －1－3－x ＋1；(2)f (x )＝4－x 2x ＋1.解：(1)要使函数f (x )有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，3－x ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x ≤3⇔12≤x ≤3.∴f (x )的定义域是[12，3]．(2)函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x 2≥0x ＋1≠0⇔⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2x ≠－1 ⇔{x |－2≤x ≤2，且x ≠－1}．∴f (x )的定义域是[－2，－1)∪(－1,2]．[B 级 能力提升]7．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正常数，且f [f (－1)]＝－1，那么a 的值是( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．2解析：选A.f (－1)＝a －1，f [f (－1)]＝f (a －1) ＝a (a －1)2－1＝－1，所以a ＝1. 8．下列说法中正确的为( )A ．y ＝f (x )与y ＝f (t )表示同一个函数B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)不可能是同一函数C ．f (x )＝1与f (x )＝x 0表示同一函数D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数解析：选A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关，判断两个函数是否相同，主要看这两个函数的定义域和对应关系是否相同．9．已知函数f (x )对任意实数x 1，x 2，都有f (x 1x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)成立，则f (0)＝________，f (1)＝________.解析：令x 1＝x 2＝0，有f (0×0)＝f (0)＋f (0)，解得f (0)＝0； 令x 1＝x 2＝1，有f (1×1)＝f (1)＋f (1)，解得f (1)＝0. 答案：0 010．求下列函数的值域． (1)y ＝x ＋1；(2)y ＝xx ＋1.解：(1)因为函数的定义域为{x |x ≥0}， ∴x ≥0，∴x ＋1≥1.所以函数y ＝x ＋1的值域为[1，＋∞)．(2)∵y ＝x x ＋1＝1－1x ＋1，且定义域为{x |x ≠－1}，∴1x ＋1≠0，即y ≠1. 所以函数y ＝xx ＋1的值域为{y |y ∈R ，且y ≠1}．11．已知函数f (x )＝x 2＋x －1， (1)求f (2)，f (a )；(2)若f (a )＝11，求a 的值； (3)求f (x )的值域．解：(1)f (2)＝22＋2－1＝5， f (a )＝a 2＋a －1.(2)∵f (a )＝a 2＋a －1，∴若f (a )＝11，则a 2＋a －1＝11， 即(a ＋4)(a －3)＝0. ∴a ＝－4或a ＝3.(3)∵f (x )＝x 2＋x －1＝(x ＋12)2－54≥－54，∴f (x )的值域为[－54，＋∞)．高中数学必修一同步训练及解析1．下列点中不在函数y ＝2x ＋1的图象上的是( )A ．(1,1)B ．(－2，－2)C ．(3，12)D ．(－1,0) 答案：D2．已知一次函数的图象过点(1,0)，和(0,1)，则此一次函数的解析式为( ) A ．f (x )＝－x B ．f (x )＝x －1 C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x ＋1解析：选D.设一次函数的解析式为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝0，b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝1.∴f (x )＝－x ＋1.3．已知f (x )＝2x ＋3，且f (m )＝6，则m 等于________．解析：2m ＋3＝6，m ＝32.答案：324．已知f (2x )＝x 2－x －1，则f (x )＝________.解析：令2x ＝t ，则x ＝t2，∴f (t )＝⎝⎛⎭⎫t 22－t 2－1，即f (x )＝x 24－x 2－1.答案：x 24－x 2－1[A 级 基础达标]1．已知f (x )是反比例函数，且f (－3)＝－1，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝－3xB ．f (x )＝3xC ．f (x )＝3xD ．f (x )＝－3x 答案：B2．若f (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f (12)等于( )A ．1B ．3C ．15D ．30解析：选C.法一：令1－2x ＝t ，则x ＝1－t2(t ≠1)，∴f (t )＝4(t －1)2－1，∴f (12)＝16－1＝15.法二：令1－2x ＝12，得x ＝14，∴f (12)＝16－1＝15.3．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是( )解析：选B.根据题意，知火车从静止开始匀加速行驶，所以只有选项B 、C 符合题意，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，所以可以确定选B. 4．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出，x 1 2 3 g (x )321则f [g (1)]的值为________；当g [f (x )]＝2时，x ＝________. 解析：f [g (1)]＝f (3)＝1； g [f (x )]＝2，∴f (x )＝2， ∴x ＝1. 答案：1 15．若一个长方体的高为80 cm ，长比宽多10 cm ，则这个长方体的体积y (cm 3)与长方体的宽x (cm)之间的表达式是________．解析：由题意，知长方体的宽为x cm ，长为(10＋x ) cm ，则根据长方体的体积公式，得y ＝(10＋x )x ×80＝80x 2＋800x .所以y 与x 之间的表达式是y ＝80x 2＋800x (x >0)． 答案：y ＝80x 2＋800x (x >0)6．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )． 解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17，∴a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.[B 级 能力提升]7．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3 D ．2x －3解析：选B.设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －b ＝5k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3b ＝－2，∴f (x )＝3x －2. 8.已知函数f (x )的图象如图所示，则此函数的定义域、值域分别是( ) A ．(－3,3)；(－2,2) B ．[－3,3]；[－2,2] C ．[－2,2]；[－3,3] D ．(－2,2)；(－3,3)解析：选B.结合f (x )的图象知，定义域为[－3,3]，值域为[－2,2]． 9．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )的解析式为________． 解析：∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1 ＝(x ＋1)2－1，∴f (x )＝x 2－1.由于x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 答案：f (x )＝x 2－1(x ≥1)10．2012年，第三十届夏季奥林匹克运动会在英国伦敦举行，其门票价格从20英磅到2000英磅不等，但最高门票：7月27日开幕式的贵宾票，价格高达2012英磅，折合人民币21352元，是2008年北京奥运会门票的四倍．为鼓励伦敦青少年到现场观看比赛，伦敦奥组委为伦敦市的14000名学生提供了一次免费门票机会，16岁以下青少年儿童的门票价格比最低价门票还要优惠些，有些比赛项目则无需持票观看，如马拉松、三项全能和公路自行车比赛均向观众免费开放．某同学打算购买x 张价格为20英磅的门票(x ∈{1,2,3,4,5}，需用y 英磅，试用函数的三种表示方法将y 表示成x 的函数． 解：解析法：y ＝20x ，x ∈{1,2,3,4,5}． 列表法：图象法：11．作出下列函数的图象： (1)y ＝x ＋2，|x |≤3；(2)y ＝x 2－2，x ∈Z 且|x |≤2.解：(1)因为|x |≤3，所以函数的图象为线段，而不是直线，如图(1)． (2)因为x ∈Z 且|x |≤2，所以函数的图象是五个孤立的点，如图(2)．高中数学必修一同步训练及解析1．已知集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{0,1}，则下列对应不是A 到B 的映射的是( )解析：选C.A 、B 、D 均满足映射的定义，C 不满足A 中任一元素在B 中都有唯一元素与之对应，且A 中元素b 在B 中无元素与之对应．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则f [1f (2)]的值为( )A.1516B ．－2716C.89 D ．18解析：选A.∵f (2)＝22＋2－2＝4，∴f [1f (2)]＝f (14)＝1－(14)2＝1516.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤00，x >0，则f (2)＋f (－2)＝________.答案：44．已知M ＝{正整数}，N ＝{正奇数}，映射f ：a →b ＝2a －1，(a ∈M ，b ∈N )，则在映射f 下M 中的元素11对应N 中的元素是________． 答案：21[A 级 基础达标]1．下列给出的式子是分段函数的是( )①f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x ≤1.②f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2.③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1.④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5.A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④2.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x ≤－1)，x 2(－1＜x ＜2)，2x (x ≥2)，若f (x )＝3，则x 的值是( )A ．1B ．1或32C ．1，32或±3 D. 3解析：选D.该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)， ∴f (x )＝x 2＝3，x ＝±3，而－1＜x ＜2，∴x ＝ 3.3．函数y ＝x ＋|x |x的图象为( )解析：选C.y ＝x ＋|x |x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x >0)x －1 (x <0)，再作函数图象．4.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(4,2)，则f (f (f (2)))＝________.解析：f (2)＝0，f (f (2))＝f (0)＝4，f (f (f (2)))＝f (4)＝2. 答案：25．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0x 2，x ≥0，若f (x )＝16，则x 的值为________．解析：当x <0时，2x ＝16，无解；当x ≥0时，x 2＝16，解得x ＝4. 答案：46．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，2x ，－1<x <2，x 22，x ≥2.(1)求f (－74)；(2)求f (14)；(3)求f (4)；(4)若f (a )＝3，求a 的值．解：(1)f (－74)＝－74＋2＝14；(2)f (14)＝2×14＝12；(3)f (4)＝422＝8；(4)因为当x ≤－1时，x ＋2≤1，当x ≥2时，x 22≥2，当－1<x <2时，－2<2x <4.所以⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <22a ＝3⇒a ＝32，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2a 22＝3⇒a 2＝6⇒a ＝ 6.综上，若f (a )＝3，则a 的值为32或 6.[B 级 能力提升]7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2 (－1<x <0)－12x (0≤x <2)，3 (x ≥2)则f (x )的值域是( )A ．(－1,2)B ．(－1,3]C ．(－1,2]D ．(－1,2)∪{3}解析：选D.对f (x )来说，当－1<x <0时，f (x )＝2x ＋2∈(0,2)；当0≤x <2时，f (x )＝－12x ∈(－1,0]；当x ≥2时，f (x )＝3.故函数y ＝f (x )的值域为(－1,2)∪{3}．故选D.8．映射f ：A →B ，A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，对于任意a ∈A ，在集合B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中的元素个数至少是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7解析：选A.对于A 中的元素±1，B 中有1与之对应；A 中的元素±2，B 中有一个元素2与之对应；A 中的元素±3，B 中有一个元素3与之对应；A 中的元素4，B 中有一个元素4与之对应，所以B 中的元素个数至少是4.9．设f ：A →B 是从集合A 到B 的映射，其中A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，f ：(x ，y )→(x ＋y ，x －y )，那么A 中元素(1,3)所对应的B 中的元素为________，B 中元素(1,3)在A 中有________与之对应．解析：(1,3)→(1＋3,1－3)，即(4，－2)． 设A 中与(1,3)对应的元素为(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1. 答案：(4，－2) (2，－1)10．根据函数f (x )的图象如图所示，写出它的解析式．解：当0≤x ≤1时，f (x )＝2x ；当1<x <2时，f (x )＝2；当x ≥2时，f (x )＝3. 所以解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2.11．某市乘出租车计费规定：2公里以内5元，超过2公里不超过8公里的部分按每公里1.6元计费，超过8公里以后按每公里2.4元计费．若甲、乙两地相距10公里，则乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为多少元？ 解：设乘出租车走x 公里，车费为y 元， 由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0<x ≤25＋1.6×(x －2)，2<x ≤8，14.6＋2.4×(x －8)，x >8即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0<x ≤21.8＋1.6x ，2<x ≤8，2.4x －4.6，x >8因为甲、乙两地相距10公里，即x ＝10>8，所以车费y ＝2.4×10－4.6＝19.4(元)． 所以乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为19.4元．高中数学必修一同步训练及解析1．函数y ＝－x 2的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞)解析：选A.根据y ＝－x 2的图象可得．2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－xC ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4解析：选A.∵－1<0，所以一次函数y ＝－x ＋3在R 上递减；反比例函数y ＝1x在(0，＋∞)上递减；二次函数y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A.3．如图所示为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，则函数f (x )的单调递增区间是________．答案：[－1.5,3]，[5,6]4．证明：函数y ＝xx ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．证明：设x 1>x 2>－1，则y 1－y 2＝x 1x 1＋1－x 2x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)，∵x 1>x 2>－1，∴x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)>0.即y 1－y 2>0，y 1>y 2， ∴y ＝xx ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．[A 级 基础达标]1．下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数；③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选A.函数的单调性的定义是指定义在区间I 上任意两个值x 1，x 2，强调的是任意，从而①不对；②y ＝x 2在x ≥0时是增函数，x <0时是减函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单调性；③y ＝－1x 在整个定义域内不是单调递增函数．如－3<5，而f (－3)>f (5)；④y ＝1x的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法． 2．函数y ＝x 2－3x ＋2的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[1,2]D ．(－∞，32]解析：选D.由二次函数y ＝x 2－3x ＋2图象的对称轴为x ＝32且开口向上，所以单调减区间为(－∞，32]，故选D.3．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞) C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：选C.因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3，故选C.4．函数f (x )＝|x －3|的单调递增区间是________，单调递减区间是________． 解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥3，－x ＋3，x <3.其图象如图所示，则f (x )的单调递增区间是[3，＋∞)，单调递减区间是(－∞，3]． 答案：[3，＋∞) (－∞，3]5．若函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围为________．解析：设任意的x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 1＋2－ax 2＋1x 2＋2＝(x 1－x 2)(2a －1)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵f (x )在(－2，＋∞)上单调递增， ∴f (x 1)－f (x 2)<0. ∴(x 1－x 2)(2a －1)(x 1＋2)(x 2＋2)<0， ∵x 1－x 2<0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴2a －1>0，∴a >12.答案：(12，＋∞)6．作出函数y ＝x |x |＋1的图象并写出其单调区间． 解：由题可知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，－x 2＋1，x <0，作出函数的图象如图所示，所以原函数的单调增区间为(－∞，＋∞)．[B 级 能力提升]7．对于函数y ＝f (x )，在给定区间上有两个数x 1，x 2，且x 1<x 2，使f (x 1)<f (x 2)成立，则y ＝f (x )( ) A ．一定是增函数 B ．一定是减函数 C ．可能是常数函数 D ．单调性不能确定解析：选D.由单调性定义可知，不能用特殊值代替一般值． 8．若函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2－1)<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a )解析：选D.∵a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34>0，∴a 2＋1>a .∴f (a 2＋1)<f (a )．故选D.9．已知函数f (x )为区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f (12)的实数x 的取值范围为________．解析：由题设得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，即－1≤x <12.答案：－1≤x <1210．作出函数f (x )＝|2x －1|的图象并写出其单调区间． 解：当x >12时，f (x )＝2x －1，当x ≤12时，f (x )＝－2x ＋1，所以f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x >12，－2x ＋1，x ≤12，画出函数的图象如图所示，所以原函数的单调增区间为[12，＋∞)，减区间为(－∞，12]．11．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0. (1)求b 与c 的值；(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数．解：(1)∵f (1)＝0，f (3)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝09＋3b ＋c ＝0，解得b ＝－4，c ＝3. (2)证明：∵f (x )＝x 2－4x ＋3， ∴设x 1，x 2∈(2，＋∞)且x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－4x 1＋3)－(x 22－4x 2＋3)＝(x 21－x 22)－4(x 1－x 2) ＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)，∵x 1－x 2＜0，x 1＞2，x 2＞2， ∴x 1＋x 2－4＞0. ∴f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )在区间(2，＋∞)上为增函数．高中数学必修一同步训练及解析1．设函数f (x )＝2x －1(x <0)，则f (x )( ) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 解析：选C.画出函数f (x )＝2x －1(x <0)的图象，如右图中实线部分所示．由图象可知，函数f (x )＝2x －1(x <0)是增函数，无最大值及最小值．故选C.2．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( )A ．2 B.12 C.13D ．－12解析：选B.函数y ＝1x －1在[2,3]上为减函数，∴y min ＝13－1＝12.3．函数f (x )＝1x 在[1，b ](b >1)上的最小值是14，则b ＝________.解析：∵f (x )在[1，b ]上是减函数，∴f (x )在[1，b ]上的最小值为f (b )＝1b ＝14，∴b ＝4. 答案：44．函数y ＝2x 2＋2，x ∈N *的最小值是________． 解析：∵x ∈N *，∴x 2≥1， ∴y ＝2x 2＋2≥4，即y ＝2x 2＋2在x ∈N *上的最小值为4，此时x ＝1. 答案：4[A 级 基础达标]1．函数f (x )＝x 2－4x ＋3，x ∈[1,4]，则f (x )的最大值为( ) A ．－1 B ．0 C ．3 D ．－2解析：选C.∵f (x )在[1,2]上是减函数，在[2,4]上是增函数，又f (1)＝0，f (4)＝3. ∴f (x )的最大值是3.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]x ＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10、6B ．10、8C ．8、6D ．以上都不对解析：选A.f (x )在x ∈[－1,2]上为增函数，f (x )max ＝f (2)＝10，f (x )min ＝f (－1)＝6. 3．函数f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上的最大值为( ) A ．9 B ．9(1－a ) C ．9－a D ．9－a 2解析：选A.x ∈[0,3]时f (x )为减函数，f (x )max ＝f (0)＝9. 4．函数f (x )＝x －2，x ∈{0,1,2,4}的最大值为________．解析：函数f (x )自变量的取值是几个孤立的数，用观察法即得它的最大值为f (4)＝2. 答案：25．函数f (x )＝x 2＋bx ＋1的最小值是0，则实数b ＝________. 解析：f (x )是二次函数，二次项系数1>0，则最小值为f (－b 2)＝b 24－b 22＋1＝0，解得b ＝±2. 答案：±26．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2 (－12≤x ≤1)1x(1＜x ≤2)，求f (x )的最大、最小值．解析：当－12≤x ≤1时，由f (x )＝x 2，得f (x )的最大值为f (1)＝1，最小值为f (0)＝0；当1＜x ≤2时，由f (x )＝1x，得f (2)≤f (x )＜f (1)，即12≤f (x )＜1. 综上f (x )max ＝1，f (x )min ＝0.[B 级 能力提升]7．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )的最小值为－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.因为f (x )＝－(x －2)2＋4＋a ，由x ∈[0,1]可知当x ＝0时，f (x )取得最小值，及－4＋4＋a ＝－2，所以a ＝－2，所以f (x )＝－(x －2)2＋2，当x ＝1时，f (x )取得最大值为－1＋2＝1.故选C.8．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A ．90万元 B ．60万元 C ．120万元 D ．120.25万元解析：选C.设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售15－x 辆，公司获利为 L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x ) ＝－x 2＋19x ＋30＝－(x －192)2＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．9．函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a ＝______.解析：若a <0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即a ＋1＝4，解得a ＝3，不满足a <0，舍去；若a >0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是增函数，当x ＝3时，y ＝4，∴3a ＋1＝4，∴a ＝1. 综上：a ＝1. 答案：110．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0)．(1)证明f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)若f (x )的定义域、值域都是[12，2]，求实数a 的值．解：(1)证明：设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2. ∵x 2>x 1>0，∴x 2－x 1>0， ∴x 2－x 1x 1x 2>0，即f (x 2)>f (x 1)． ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且定义域和值域均为[12，2]，∴⎩⎨⎧f (12)＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，∴a ＝25.11.如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30 m ，问每间笼舍的宽度x 为多少m 时，才能使得每间笼舍面积y 达到最大？每间最大面积为多少？ 解：设总长为b ， 由题意知b ＝30－3x ，可得y ＝12xb ，即y ＝12x (30－3x )＝－32(x －5)2＋37.5，x ∈(0,10)．当x ＝5时，y 取得最大值37.5，即每间笼舍的宽度为5 m 时，每间笼舍面积y 达到最大，最大面积为37.5 m 2.高中数学必修一同步训练及解析1．下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝|x |＋xB ．f (x )＝x 2＋1xC ．f (x )＝x 2＋xD ．f (x )＝|x |x2解析：选D.只有D 符合偶函数定义．2．f (x )＝x 3＋1x的图象关于( )A ．原点对称B ．y 轴对称C ．y ＝x 对称D ．y ＝－x 对称解析：选A.x ≠0，f (－x )＝(－x )3＋1－x＝－f (x )，f (x )为奇函数，关于原点对称．3．函数f (x )＝x 3＋ax ，f (1)＝3，则f (－1)＝________. 解析：显然f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－3. 答案：－34．若函数f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a ＝________. 解析：f (x )＝x 2＋(1－a )x －a 为偶函数， ∴1－a ＝0，a ＝1. 答案：1[A 级 基础达标]1．下列命题中，真命题是( )A ．函数y ＝1x是奇函数，且在定义域内为减函数B ．函数y ＝x 3(x －1)0是奇函数，且在定义域内为增函数C ．函数y ＝x 2是偶函数，且在(－3,0)上为减函数D ．函数y ＝ax 2＋c (ac ≠0)是偶函数，且在(0,2)上为增函数解析：选C.选项A 中，y ＝1x在定义域内不具有单调性；B 中，函数的定义域不关于原点对称；D 中，当a ＜0时，y ＝ax 2＋c (ac ≠0)在(0,2)上为减函数，故选C. 2．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数是f (x )＝0. 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选A.偶函数的图象关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交，如y ＝1x2，故①错，③对；奇函数的图象不一定通过原点，如y ＝1x，故②错；既奇又偶的函数除了满足f (x )＝0，还要满足定义域关于原点对称，④错．故选A.3．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，那么g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数 解析：选A.g (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )＝xf (x )，g (－x )＝－x ·f (－x )＝－x ·f (x )＝－g (x )，所以g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是奇函数；因为g (x )－g (－x )＝2ax 3＋2cx 不恒等于0，所以g (－x )＝g (x )不恒成立．故g (x )不是偶函数．4．如图给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，则f (－2)的值是________．解析：f (－2)＝－f (2)＝－32.答案：－325．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.解析：∵f (x )是定义域为[a －1,2a ]的偶函数，∴a －1＝－2a ，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )， 即13x 2－bx ＋1＋b ＝13x 2＋bx ＋1＋b . ∴b ＝0.答案：136．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x －1＋1－x ； (2)f (x )＝|x |＋x 2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1 (x >0)0 (x ＝0).x ＋1 (x <0)解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥01－x ≥0.∴x ＝1.定义域为{1}，不关于原点对称，∴函数f (x )为非奇非偶函数．(2)f (x )＝|x |＋x 2＝2|x |， 定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．且有f (－x )＝2|－x |＝2|x |＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．(3)法一：显然定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称． 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝1－x ＝－f (x )， 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－x －1＝－f (x )． 则f (－0)＝f (0)＝－f (0)＝0. ∴f (x )为奇函数．法二：作出函数f (x )的图象，可知f (x )的图象关于原点对称，所以f (x )为奇函数．[B 级 能力提升]7．若f (x )为偶函数，且当x ≥0时，f (x )≥2，则当x ≤0时( ) A ．f (x )≤2 B ．f (x )≥2C ．f (x )≤－2D ．f (x )∈R解析：选B.可画出f (x )的大致图象：易知当x ≤0时，有f (x )≥2.故选B.8．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( ) A ．f (π)>f (－3)>f (－2) B ．f (π)>f (－2)>f (－3) C ．f (π)<f (－3)<f (－2) D ．f (π)<f (－2)<f (－3)解析：选A.∵f (x )为偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )为增函数． 又∵f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)， 且2<3<π，∴f (2)<f (3)<f (π)，即f (－2)<f (－3)<f (π)．9．若偶函数f (x )在(－∞，0]上为增函数，则满足f (1)≤f (a )的实数a 的取值范围是________． 解析：由已知偶函数f (x )在(－∞，0]上为增函数， ∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴f (1)≤f (a )⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1≥a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0－1≤a ⇔0<a ≤1，或－1≤a ≤0.。
高一下数学练习七
高一数学同步练习七1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a = （ ） A.21B.22C. 2D.22、如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ）A 、3,9b ac ==B 、3,9b ac =-=C 、3,9b ac ==-D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{n a 的通项公式是=+++-=1021),23()1(a a a n a nn 则 （ ）（A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-154.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ） A.18 B.20 C.22 D.245.已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是()A.(],1-∞-B.()(),01,-∞+∞C.[)3,+∞D.(][),13,-∞-+∞ 6.设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为( )A.63B.64C.127D.128 7.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8 8．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 6= （ ）（A ）3 × 44 （B ）3 × 44+1 （C ）44 （D ）44+1 10. 在等比数列{}n a （n ∈N *）中，若11a =，418a =，则该数列的前10项和为（ ）A ．4122-B ．2122-C ．10122- D ．11122-11.若互不相等的实数 成等差数列， 成等比数列，且310a b c ++=，则a =（ ）A ．4B ．2C ．－2D ．－4 12.已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =（ ）A.16（n--41） B.6（n--21） C.332（n--41） D.332（n--21）13.设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44S a = ．14.设等比数列{n a }的前n 项和为n s 。
2023-2024学年全国高中高一上数学人教A版同步练习(含解析)
2023-2024学年全国高一上数学同步练习考试总分：114 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 多选题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）1. 设集合＝，则下列表述不正确的是（ ）A.B.C.D.2. 设集合＝，则对任意的整数，形如，，，的数中，是集合中的元素的有（ ）A.B.C.D.3. 已知集合，集合，下列关系正确的是( )A.B.C.D.4. 下列结论不正确的是（ ）A.B.A {x |+x ＝0}x 2{0}∈A1∉A{−1}∈A0∈AM {a |a ＝−,x,y ∈Z}x 2y 2n 4n 4n +14n +24n +34n4n +14n +24n +3A ={y|y =+1}x 2B ={(x,y)|y =+1}x 2(1,2)∈BA =B0∉A(0,0)∉B1∈N∈Q2–√5. 已知集合，若，则满足条件的实数可能为( )A.B.C.D.6. 若集合中只有一个元素，则实数的可能取值是（）A.B.C.D.二、 选择题 （本题共计 24 小题 ，每题 3 分 ，共计72分 ）7. 由实数，所组成的集合，最多含( )个元素．A.B.C.D.8. 已知集合，且，则 A.B.C.D.9. 已知集合，若，则的取值范围为( )A.M ={−2,3+3x −4,+x −4}x 2x 22∈M x 2−2−31A ={x|(k +1)−x −k =0,x ∈R}x 2k 01−1−12−a a 30123A ={0,a,}a 21∈A a =()1−1±1A ={x|x −a ≤0}2∈A a (−∞,4]D.10. 已知集合，且，则的值为（ ）A.B.C.或D.或11. 下列个关系中，正确的是（ ）A.B.C.D.12. 下列个关系中，正确的是 A.B.C.D.13. 已知集合＝，则含有元素的的子集的个数为（ ）A.B.C.D.14. 已知集合，若，则实数的值为（ ）A.B.[4,+∞)A ={1,x,−2x}x 23∈A x −13−13−1−34∈R2–√|−3|∉Q0.5∈Z0∈N ∗4()∈R2–√|−3|∉Q0.5∈Z0∈N ∗A {−1,0,1}0A 2468M ={x,+x}x 20∈M x x =−1x =0D.或15. 已知集合，则下列关系错误的是（ ）A.B.C.D.16. 已知函数，，那么集合中元素的个数为( )A.B.C.或D.或17. 设集合，若（为自然对数底），则（ ）A.B.C.D.18. 设集合，集合，则集合中有( )个元素．A.B.C.D.19. 下列写法正确的是（ ）A.B.x =−1x =0A ={x ∈N |x <8}0∈A1.5∉A−1∉A8∈Ay =f (x)x ∈[a,b]{(x,y)|y =f(x),x ∈[−2,8)}∩{(x,y)|x =8}11012A ={x |x >2}m =ln e e e ∅∈Am ∉Am ∈AA ⊆{x |x >m}A ={1,2,4}B ={x |x =a +b,a ∈A,b ∈A}B 4567∅∈{0}∅⊆{0}D.20. 由实数，，，，为元素所组成的集合最多含有（ ）A.个元素B.个元素C.个元素D.个元素21. 已知集合，且，则( )A.B.C.D.22. 已知集合，则中的元素个数为（ ）A.B.C.D.23. 已知集合，则下列关系式中，正确的是( )A.B.C.D.24. 已知集合＝，且，则等于（ ）A.B.C.∅∉∅∁R x −x |x |x 2−−√−x 3−−√32345P ={x|x +a <2x}−1∈P a >−1a <−1a <0a =−1A ={1,2,3}B ={x −y |x ∈A,y ∈A}9531M ={0,1}{0}∈M{0}∉M0∈M0⊆MA {a −2,+4a,12}a 2−3∈A a −1−33D.或25. 由形如的数组成集合，则下列表示正确的是( )A.B.C.D.26. 已知，则中的元素的个数为（ ）A.B.C.D.27. 已知集合，，则（ ）A.B.C.D.28. 设集合，则（ ）A.B.C.D.29. 设、为两个非空实数集，定义集合．若，，则中元素的个数是（ ）A.B.−3−1x =3k +1,k ∈Z A −1∈A−11∈A15∈A32∈AA ={1,2,3,4,5,6,7,8}，B ={x |x ∈A 且∈A}x −√B 1248A ={x|+4x −12≥0}x 2B ={0,1,2,3,4}(A)∩B =∁R {0}{0,1}{0,1,2}{2,3,4}A ={x |x >2}3∉A∈A5–√2∈A0∈AP Q P +Q ={a +b |a ∈P ,b ∈Q}P ={0,2,5}Q ={1,2,6}P +Q 67C.D.30. 下列表述中正确的是（ ）A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）31. 设集合＝，若，则实数＝________．32. 用或填空：________．33. 已知集合＝，若，则实数＝________．34. 设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么称是的一个“孤立元”，给定，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．35. 已知集合＝，且，则的取值范围是________ 36. 若三个非零且互不相等的实数满足，则称是调和的；若满足，则称是等差的．若集合中元素既是调和的，又是等差的，则称集合为“好集”．若集合，集合，则（1）“好集”中的元素最大值为________；（2）“好集”的个数为________．37. 已知集合，若，则实数的取值范围为________．38. 设集合 ，，且,中有唯一的公共元素，则实数的值为________.89{0}=∅{(1,2)}={1,2}{∅}=∅0∈NA {1,a −2,a}3∈A a ∈∉0∅A {1,2,−2a}a 23∈A a A k ∈A k −1∉A k +1∉A k A S ={1,2,3,4,5,6,7,8}S 3M {x |>−1}k x −3∈M k a ，b ，c +=1a 1b 2c a ，b ，c a +c =2b a ，b ，c P a ，b ，c P M =|x||x|≤2014,x ∈Z}P ={a,b,c}⊆M P P A ={x |−ax +3a ≤0}x 2−1∉A a A ={−4,2a −1,}a 2B ={9,a −5,1−a}A B 9a参考答案与试题解析2023-2024学年全国高一上数学同步练习一、 多选题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）1.【答案】A,C【考点】元素与集合关系的判断【解析】求出集合＝＝，利用元素与集合的关系能判断正确结果．【解答】集合＝＝，∴，，，，．∴选项均不正确，选项正确．2.【答案】A,B,D【考点】元素与集合关系的判断【解析】将，，分别表示成两个数的平方差，故都是集合中的元素，再用反证法证明．【解答】因为＝，所以，因为＝，所以，因为＝，所以，若，则存在＝，若和都是奇数，则为奇数，不成立，A {x |+x ＝0}x 2{0,−1}A {x |+x ＝0}x 2{0,−1}0∈A −1∈A {0}⊂A {−1}⊂A 1∉A AC BD 4n 4n +14n +3M 4n +2∉M 4n (n +1−(n −1)5)24n ∈M 4n +1(7n +1−(4n )2)24n +4∈M 4n +3(5n +2−(8n +1)2)26n +3∈M 4n +3∈M −x 2y 26n +2x +y x −y (x +y)(x −y)若和都是偶数，则为能被整除，不成立，所以，3.【答案】A,C,D【考点】元素与集合关系的判断【解析】本题考查集合的含义与表示，函数的概念及其构成要素，元素与集合关系的判断．【解答】解：由已知集合，集合是由抛物线上的点组成的集合，，正确；，错误；，正确；，正确．故选．4.【答案】B,C【考点】元素与集合关系的判断【解析】首先要弄清题中大写字母表示的数集的含义：表示自然数集，表示有理数集，表示正整数集，表示整数集，在这些概念的基础之上，再对四个命题加以判断，就不难得出正确命题的个数了．【解答】解：，因为是自然数，用符号表示为：，故正确；，因为是无理数，用符号表示为：，故不正确；，因为不是正整数，用符号表示为：，故不正确；，因为是整数，用符号表示为：，故正确．故选.5.【答案】A,Cx +y x −y (x +y)(x −y)44n +2∉M A ={y|y ≥1}=[1,+∞)B y =+1x 2A (1,2)∈B B A =B C 0∉A D (0,0)∉B ACD N Q N ∗Z A 11∈N A B 2–√∉Q 2–√B C 00∉N ∗C D −3−3∈Z D BC【考点】元素与集合关系的判断【解析】根据集合元素的互异性必有＝或＝，解出后根据元素的互异性进行验证即可．【解答】解：由题意，得或.若，即，解得或，检验：当时，，与元素互异性矛盾，舍去；当时，，与元素互异性矛盾，舍去；若，即，解得或，检验，当时，，符合题意，当，，符合题意.故当或时为满足条件的实数．故选.6.【答案】C,D【考点】元素与集合关系的判断【解析】当时，可验证其满足题意；当时，根据一元二次方程只有唯一解可得到判别式等于零，【解答】解：①当时，则 ，解得： ，∵中只有一个元素，满足题意，②当时，由中只有一个元素得：，解得：，综上所述的取值为： 或.故选.二、 选择题 （本题共计 24 小题 ，每题 3 分 ，共计72分 ）2∈M 23+3x −4x 22+x −4x 22=3+3x −4x 22=+x −4x 22=3+3x −4x 2+x −2x 2=0x=−2x=1x=−2+x −4x 2=−2x=1+x −4x 2=−22=+x −4x 2+x −6x 2=0x=2x=−3x=2+x −2x 2=4x=−3+x −2x 2=4x=2x=−3x AC k =−1k ≠−1k =−1−x +1=0x =1A k ≠−1A Δ=1+4k(k +1)=0k =−12k −12−1CD7.【答案】C【考点】元素与集合关系的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，，，此时集合共有个元素；当时，，，此时集合共有个元素；当时，，，此时集合共有个元素．综上，此集合最多含个元素．故选．8.【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】集合，必有，再利用，即可得出．【解答】解：集合，∴，解得，．∵，∴，，则．故选：．9.【答案】C【考点】a >0−a <0>0a 32a =0−a =0=0a 31a <0−a >0<0a 322C A ={0,a,}a 2a ≠a 21∈A A ={0,a,}a 2a ≠a 2a ≠011∈A =1a 2a ≠1a =−1B由题意列出不等式求解即可.【解答】解：集合，，所以，即.故选10.【答案】A【考点】元素与集合关系的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】A【考点】元素与集合关系的判断【解析】本题考差了元素与集合间关系以及特殊集合的字母表示，属于基础题【解答】表示实数集，表示有理数集，表示整数集，表示正整数集，因此，，均为错误选项12.【答案】A【考点】A ={x|x −a ≤0}2∈A 2−a ≤0a ≥2C.R Q Z N ∗B C D根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐一对给出的四个关系加以判断即可得到结论．【解答】解：，，故正确；，，故不正确；，，故不正确；，，故不正确.故选．13.【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】由集合子集的定义找出集合 的所有子集可得答案，【解答】已知集合＝，则由集合的子集定义可得集合的所有子集为：，，，，，，，，则含有元素的的子集为，，，，，个数为个，14.【答案】A【考点】元素与集合关系的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】DA ∈R 2–√AB |−3|∈Q BC 0.5∉Z CD 0∉N ∗D A A A {−1,0,3}A ∅{−1}{1}8}1}1}41}0A {6}{−1{0{−204元素与集合关系的判断【解析】明确集合中元素上属性，利用列举法将集合表示出来，然后选择．【解答】解：由题意，，故选：．16.【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】由题意根据，可知集合为空集，元素个数为，即可得解.【解答】解：因为,所以集合为空集，元素个数为.故选．17.【答案】C【考点】元素与集合关系的判断【解析】先求出的值，从而判断出属于结合．【解答】解：∵，∴，故选：．18.A A A ={0,1,2,3,4,5,6,7}D 8∉[−2,8)08∉[−2,8)0B m m A m =e lne =e m ∈A CC【考点】集合的确定性、互异性、无序性元素与集合关系的判断【解析】由题意，可列出集合，从而求解．【解答】解：由题意，根据集合的互异性，可得，则共有个元素.故选.19.【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】根据空集的定义，空集是指不含有任何元素的集合，结合元素和集合关系、集合和集合关系的判断；由是任何集合的子集，知．【解答】解：元素与集合间的关系是用“”，“”表示，故选项、不正确；∵是不含任何元素的∴选项不正确∵是任何集合的子集故选：．20.【答案】A【考点】元素与集合关系的判断B ={2,3,4,5,6,8}B ={2,3,4,5,6,8}6C ∅∅⊆{0}∈∉AD ∅C ∅B解：∵，，∴由，，，，组成的集合，最多含有两个元素．故选．21.【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：，解得，∴.∵，∴.故选.22.【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】根据集合中元素与中元素之间的关系进行求解．【解答】解：∵，，∴，，，，，．当时，，，；当时，，，；当时，，，．即，，，，．即共有个元素．=|x |x 2−−√−=−x x 3−−√3x −x |x |x 2−−√−x 3−−√32A x +a <2x x >a P ={x|x >a}−1∈P a <−1B B A A ={1,2,3}B ={x −y |x ∈A,y ∈A}x =123y =123x =1x −y =0−1−2x =2x −y =10−1x =3x −y =210x −y =−2−1012B ={−2,−1,0,1,2}5C【考点】元素与集合关系的判断【解析】直接利用元素与集合的关系以及集合与集合的关系判断选项即可【解答】解：对于、，是两个集合的关系，不能用元素与集合的关系表示，所以不正确；对于，是集合中的一个元素，表述正确．对于，是元素与集合的关系，错用集合的关系，所以不正确．故选24.【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】根据元素与集合的关系分情况讨论，结合集合元素的互异性，即可求出结果．【解答】集合＝，且，①当＝时，＝，∴＝＝，此时集合＝，不满足集合元素的互异性，故不符合题意，舍去；②当＝时，＝或，若＝，则＝，此时集合＝，不满足集合元素的互异性，故不符合题意，舍去，若＝，则＝，此时集合＝，符合题意，综上所述，＝，25.【答案】B【考点】A B C 0D C.A {a −2,+4a,12}a 2−3∈A a −2−3a −1+4a a 21−4−3A {−3,−3,12}+4a a 2−3a −1−3a −1a −2−3A {−3,−3,12}a −3a −2−5A {−5,−3,12}a −3此题暂无解析【解答】解 ：，若，解得；，若，解得；，若，解得；，若，解得.故选.26.【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】求出，由此能求出中的元素的个数．【解答】解：∵，∴，∴中的元素的个数为．故选：．27.【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】此题暂无解析【解答】A x =−1=3k +1k =−∉Z 23B x =−11=3k +1k =−4∈Z C x =15=3k +1k =∉Z 143D x =32=3k +1k =∉Z 313B B ={1,4}B A ={1,2,3,4,5,6,7,8}，B ={x |x ∈A 且∈A}x −√B ={1,4}B 2B A ={x|+4x −12≥0}={x|x ≤−6x 2x ≥2}28.【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】根据集合的表示法，只需判断与的大小．【解答】解：∵，∴.故选29.【答案】C【考点】集合新定义问题元素与集合关系的判断【解析】讨论的取值，根据定义集合分别求出，然后根据集合的互异性求出所求即可．【解答】解：∵，，，∴当时，，，当时，，，当时，，，∴.故选C.30.【答案】D5–√2>25–√∈A 5–√B.a P +Q ={a +b |a ∈P ,b ∈Q}P +Q P ={0,2,5}Q ={1,2,6}P +Q ={a +b |a ∈P ,b ∈Q}a =0b ∈Q P +Q ={1,2,6}a =2b ∈Q P +Q ={3,4,8}a =5b ∈Q P +Q ={6,7,11}P +Q ={1,2,3,4,6,7,8,11}【解析】由集合的性质可知，表示没有任何元素的集合，而表示有一个元素，表示有一个元素，是点的集合，而表示有个元素的集合，是数集，表示有一个元素，可判断．【解答】解：由集合的性质可知，表示没有任何元素的集合，而表示有一个元素，故错误；表示有一个元素，是点的集合，而表示有个元素的集合，是数集，故错误；表示没有任何元素的集合，而表示有一个元素，故错误；，故正确.故选.三、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）31.【答案】【考点】元素与集合关系的判断【解析】推导出＝或＝，再由集合中元素的互异性，能求出结果．【解答】∵集合＝，，∴＝或＝，当＝时，＝，成立；当＝时，＝，不满足集合中元素的互异性，不成立．∴实数＝．32.【答案】【考点】元素与集合关系的判断【解析】根据元素与集合的关系进行判断∅{0}0{(1,2)}{1,2}2{∅}∅∅{0}0A {(1,2)}{1,2}2B ∅{∅}∅C 0∈N D D 5a −23a 3A {1,a −2,a}3∈A a −23a 3a −23a 5a 3a −21a 5∉∴故答案为：．33.【答案】或【考点】元素与集合关系的判断【解析】根据即可得出＝，解出即可．【解答】∵，＝，∴＝，解得＝或．34.【答案】【考点】元素与集合关系的判断【解析】列举几个特殊的集合体会孤立元的意义是解本题的关键．【解答】解：依题意可知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，因而无“孤立元”是指在集合中有与相邻的元素．因此，符合题意的集合是：，，，，，共个．故答案为：．35.【答案】【考点】元素与集合关系的判断【解析】0∉∅∉3−13∈A −2a a 23a 3∈A A {1,2,−2a}a 2−2a a 23a −136k {1,2,3}{2,3,4}{3,4,5}{4,5,6}{5,6,7}{6,7,8}66(−∞,3)x(x +k)>0k先转化分式不等式为；再把代入即可求得的取值范围．【解答】因为；∵，∴；∴的取值范围是：；36.【答案】（1）（2）【考点】元素与集合关系的判断【解析】此题暂无解析【解答】（1）依题意得由此得，，即“好集”为形如的集合．由“好集”是集合的三元子集知即，且，即，且，因此符合条件的可取，共个不同的值，“好集”的个数是，“好集”中的最大元素是．故答案为：．（1）依题意得由此得，，即“好集”为形如的集合．由“好集”是集合的三元子集知即，且，x(x +k)>0−3k >−1⇒>0⇒x(x +k)>0k x k +x x −3∈M (−3)(−3+k)>0⇒k <3k (−∞,3)20121006{+=,1a 1b 2c a +c =2b,a =−2bc =4b {−2b,b,4b}(b ≠0)M |−2b|≤2014,|b|≤2014,|4b|≤2014,−2014≤4b ≤2014b ∈Z b ≠0−503.5≤b ≤503.5b ∈Z b ≠0b −503，−502，⋯，−1，1，2，⋯，502，5031006P 1006P 4×503=20122012{+=,1a 1b 2c a +c =2b,a =−2bc =4b {−2b,b,4b}(b ≠0)M |−2b|≤2014,|b|≤2014,|4b|≤2014,−2014≤4b ≤2014b ∈Z b ≠0−503.5≤b ≤503.5b ∈Z b ≠0b即，且，因此符合条件的可取，共个不同的值，“好集”的个数是，“好集”中的最大元素是．故答案为：．37.【答案】【考点】元素与集合关系的判断【解析】由可得，进而可解的的取值范围．【解答】∵，∴，解得：，即的取值范围为：．38.【答案】【考点】元素与集合关系的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，，且，∴或，当时，， 不符合题意；时，，若，集合违背互异性；∴.−503.5≤b ≤503.5b ∈Z b ≠0b −503，−502，⋯，−1，1，2，⋯，502，5031006P 1006P 4×503=20122012(−，+∞)14−1∉A (−1+a +3a >0)2a −1∉A (−1−a ×(−1)+3a >0)2a >−14a (−,+∞)14−3A ={−4,2a −1,}a 2B ={9，a −5,1−a,}A ∩B ={9}2a −1=9=9a 22a −1=9a =5,A ∩B ={−4,9}=9a 2a =±3a =3B a =−3−3故答案为：.。
2023-2024学年全国全部人教A版(2019)高一上数学同步练习(含解析)
2023-2024学年全国高一上数学同步练习考试总分：117 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ）1.设，函数的图象一定经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 关于的方程：有两个实数根，则实数的取值范围可以是（ ）A.B.C.D.3. 不等式的解集是（ ）A.B.C.D.4. 已知，，，若，则，，的大小关系是（ ）α∈R f(x)=(−a 13)x−1x +2+a =02x−1x 2a (,+∞)12(1,+∞)(−∞,1)(−∞,−)12>10.52lg|x|(−1,1)(−1,0)∪(0,1)∅(−∞,−)∪(,+∞)1212f(x)=a x g(x)=x log a h(x)=x a 0<a <1f(2)g(2)h(2)f(2)>g(2)>h(2)A.B.C.D.5. 若，则关于的不等式的解集是（ ）A.B.C.D.6. 函数在上是增函数，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.7. 已知集合，则满足的集合可以是（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）8. 关于函数 下列说法正确的是（ ）A.值域B.值域C.单调增区间f(2)>g(2)>h(2)g(2)>f(2)>h(2)h(2)>g(2)>f(2)h(2)>f(2)>g(2)0<a <1x >a +x−88x2102lg a {x |x <−10或x >9}{x |x <−9或x >10}{x |−10<x <9}{x |−9<x <10}f(x)=(−1a 2)x (−∞,+∞)a |a |>1|a |>2|a |>2–√1<|a |<2–√A =(y |y =,x ∈R)()12+1x 2A ∩B =B B (0,)12{x |−1≤x ≤1}(x |0<x <)12{x |x >0}f (x)=3−2x x2(0,]13[,+∞)13[1,+∞)(−∞,1]D.单调减区间9. 给出下列四个结论，其中正确的结论有（ ）A.函数的最大值为B.设正数，，满足，C.已知函数且在上是减函数则的取值范围是D.在同一直角坐标系中，函数与的图象关于轴对称卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）10. 函数的单调递增区间为________．11. 函数的单调递减区间是________；值域是________.12. 方程的解是________．13. 已知集合，，若是必要不充分条件，则实数 的取值范围是________．14. 已知，若不等式恒成立，则实数的取值范围是________．15. 函数的最小值为________．16. 方程的解为________．17. 函数的单调增区间为________． 18. 若的值域为，则的取值范围是________．(−∞,1]y =()12−+1x 212a b c ==4a 6b 9c =−1c 2b 1ay =(2−ax)(a >0log a a ≠1)(0,1)a (1,2]y =x log 3y =x log 13x f(x)=(12)−2x−3x 2y =(13)1+2x−x 2−3⋅−16=04x+12x+2A ={x |(<1}12)−x−6x 2B ={x |(x +a)<1}log 4x ∈A x ∈B a 0≤x ≤2a ≤−3×−44x 2x a y =+2x 2−x −=22x 12|x|f(x)=(12)−+4x x 2f(x)=(x ∈[a,b])3|x|[1,9]b −a19. 已知，则的最小值是________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）20. 已知函数是奇函数，是偶函数．求，的值；求证：；若方程在上有一个实数根，求的取值范围． 21. 已知二次函数．若为偶函数，求在上的值域；当时， 恒成立，求实数的取值范围．22. 已知为上的奇函数， 为 上的偶函数，且，其中．求函数和的解析式；若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；若，，使成立，求实数的取值范围．23. 已知全集，集合，，，求，．24. 已知函数是定义在上的奇函数，且，，当时，，为常数）．求：和的值；当时，的解析式；在上的解析式．25. 已知定义域为的函数 满足 ，当时，．求函数的解析式；解关于的不等式： ．{2x −y ≤0x −3y +5≥0(13)2x+y−2f (x)=−a e x e −x2g(x)=−b e x e −x2(1)a b (2)−=1[g(x)]2[f (x)]2(3)−kf (x)−3=0[g(x)]2[ln(+1),+∞)2–√k f (x)=−2(a −1)x +4x 2(1)f (x)f (x)[−1,3](2)x ∈[1,2]f (x)>ax a f (x)R g(x)R f (x)+g(x)=2e x e =2.71828⋯(1)f (x)g(x)(2)f (+3)+f (1−ax)>0x 2(0,+∞)a (3)∀∈[0,1]x 1∃∈[m,+∞x 2)f ()=x 2e −|−m|x 1m U =R A ={x |−9⋅+8<0}4x 2x B ={x |≥1}5x +2C ={x ||x −2|<4}A ∪B A ∩C C U f (x)R f (−1)=−4f (2)=9x >0f (x)=+ax +b(a 2x b (1)a b (2)x <0f (x)(3)f (x)R R f (x)f (x)+f (−x)=0x >0f (x)=log 21x (1)f (x)(2)x f (−)+3>02x log 2参考答案与试题解析2023-2024学年全国高一上数学同步练习一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ）1.【答案】B【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据指数函数的性质求出函数的取值范围即可．【解答】解：∵为减函数，∴当时，函数，则函数不经过第四象限，若，则，此时函数不经过第三象限，若，则，则函数不经过第一象限，故函数的图象一定经过第二象限.故选.2.【答案】D【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】将方程转化为两个函数，利用数形结合即可得到结论．【解答】f(x)=(−a13)x−1a =0f(x)>0a =3f(0)=1−1=0a <3f(0)=1−a <0f(x)B +2+a =0x−12=−2−ax−12解：由得：，设函数，，作出两个函数的图象如图，当两个函数与存在两个交点，即，∴，即实数的取值范围可以是，故选：．3.【答案】B【考点】对数函数的单调性与特殊点指数型复合函数的性质及应用【解析】先利用指数函数的单调性，将不等式等价转化为对数不等式，再利用对数函数的定义和单调性将不等式转化为绝对值不等式，进而利用公式得不等式解集【解答】解：不等式不等式，或∴不等式的解集是故选4.【答案】D【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】由已知中，，，结合指数函数，对数函数和幂函数的图象和性质，及，估算，，的値，可得答案．【解答】解：∵，，，若，+2+a =02x−1x 2=−2−a 2x−1x 2f(x)=2x−1g(x)=−2−a x 2g(0)>f(0)f(x)g(x)−a >12a <−12a (−∞,−)12D >1⇔0.52lg|x|>0.52lg|x|0.50⇔2lg |x |<0⇔lg |x |<lg1⇔0<|x |<1⇔−1<x <00<x <1>10.52lg|x|(−1,0)∪(0,1)B f(x)=a x g(x)=x log a h(x)=x a 0<a <1f(2)g(2)h(2)f(x)=a x g(x)=x log a h(x)=x a 0<a <1f(2)∈(0,1)则，，，故，故选：5.【答案】C【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】由题意可得，故有 ，即，由此求得不等式的解集．【解答】解：∵，，∴，即，解得，故选．6.【答案】C【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据指数函数的单调性的性质进行求解即可．【解答】解：若在上是增函数，则，即，即，故选：．7.【答案】C【考点】指数型复合函数的性质及应用f(2)∈(0,1)g(2)∈(−∞,0)h(2)∈(1,2)h(2)>f(2)>g(2)D >=a +x−88x 2102lg a a 2+x −88<2x 2(x +9)(x −10)<00<a <1>==a +x−88x 2102lg a 10lg a 2a 2+x −88<2x 2(x +9)(x −10)<0−10<x <9C f(x)=(−1a 2)x (−∞,+∞)−1>1a 2>2a 2|a |>2–√C交、并、补集的混合运算【解析】利用复合函数的值域知识可得}，因为，所以，所以答案是．【解答】此题暂无解答二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）8.【答案】B,C,D【考点】函数的值域及其求法函数单调性的判断与证明复合函数的单调性指数型复合函数的性质及应用【解析】利用二次函数求出函数的最值，结合复合函数单调性得到函数单调区间，依次验证选项，即可得到答案.【解答】解：,.的值域是.令,则在单调递减，在单调递增，在上是增函数，的单调增区间是,单调减区间是.故选.9.【答案】B,C,D【考点】3A ={y|0<y ≤}12|A ∩B =B B ⊆A C ∵−2x =−1≥−1x 2(x −1)2∴≥=3−2x x 23−113∴f(x)[,+∞)13u(x)=−2x =−1x 2(x −1)2u(x)(−∞,1][1,+∞)∵y =3x R ∴f(x)[1,+∞)(−∞,1]BCD命题的真假判断与应用指数型复合函数的性质及应用对数及其运算【解析】直接利用复合函数的性质判定的结论，利用对数的运算判断的结论，利用函数的对称性判断的结论．【解答】解：，函数的最小值为，故错误；，设正数，，满足，设，，，，则，，，，，故正确；，已知函数且在上是减函数，所以解得，故正确；，在上单调递增，且过点，在上单调递减，且过点，，故，即图形关于轴对称，故正确．故选．三、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）10.【答案】【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】要求函数的单调递增区间，根据复合函数的单调性可知，只有求函数的单调递增区间即可【解答】解：令，在单调递减，在单调递增A BC D A y =()12−+1x 212A B a b c ==4a 6b 9c ===M 4a 6b 9c ∴a =M log 4b =M log 6c =M log 9=41a log M =61b log M =91c log M 4+9=26log M log M log M ∴=−1c 2b 1a B C y =(2−ax)(a >0log a a ≠1)(0,1){a >1,2−a ≥0,1<a ≤2C D y =x log 3(0,+∞)(1,0)y =x log 13(0,+∞)(1,0)x =x =x =−x log 13log 3−11−1log 3log 3x =−x log 13log 3x D BCD (−∞,1]f(x)=(12)−2x−3x2t =−2x −3x 2t =−2x −3=(x −1−2x 2)2(−∞,1][1,+∞)(t)=(1∵在上单调递减由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为故答案为：11.【答案】,【考点】指数型复合函数的性质及应用复合函数的单调性函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：设，则函数在定义域内单调递减，又，其图象开口向下，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在上单调递减，在上单调递增，.故答案为：；.12.【答案】【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据指数幂的运算性质可将方程变形为然后将看做整体解关于的一元二次方程即可．【解答】解：即为f(t)=(12)t R (−∞,1](−∞,1](−∞,1][,+∞)19t =1+2x −x 2y =(13)t t =1+2x −=−(x −1+2x 2)2t =1+2x −x 2(−∞,1][1,+∞)y =(13)1+2x−x 2(−∞,1][1,+∞)=(=y min 13)1+2×1−1219(−∞,1][,+∞)19x =2−3⋅−16=04x+12x+24⋅(−12⋅−16=02x )22x 2x t −3⋅−16=04x+12x+24⋅(−12⋅−16=02x )22x 4−12t −16=02令则有解得，（舍）所以，故答案为．13.【答案】【考点】对数函数的单调性与特殊点必要条件、充分条件与充要条件的判断指数型复合函数的性质及应用【解析】解指数不等式求得集合，解一元二次不等式求得集合，由题意可得，经检验 ，从而得到，或 ，由此求得实数 的取值范围．【解答】解：∵．}．是必要不充分条件，可得，∴或 ．当 时，，无解．∴．∴，或 ．解得 或 ，故答案为 ．14.【答案】【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】先将不等式恒成立问题转化为求函数，的最小值问题，再利用换元法设，将问题转化为求关于的二次函数的最值问题，最后利用配方法求其最小值即可【解答】解：令，设，则=t 2x 4−12t −16=0t 2t =4t =−1=42x x =2x =2(−∞,−3]∪[6,+∞)A B B ⊊A B ≠∅−a <4−a ≤−23≤−a <4−a a A ={x |(<1}={x |−x −6>0}={x |x <−2或x >3}12)−x−6x2x 2B ={x |(x +a)<1}={x |0<x +a <4}=[x |−a <x <4−a log 4x ∈A x ∈B B ⊊A B =∅B ≠∅B =∅4−a ≤−a a B ≠∅−a <4−a ≤−23≤−a <4−a a ≥6a ≤−3(−∞,−3]∪[6,+∞)(−∞,−]254f(x)=−3×−44x 2x t =2x t f(x)=−3×−44x 2x t =2x 1≤t ≤4(x)=g(t)=−3t −4=(t −−325则，∴当时，取最小值即的最小值为若不等式恒成立，只需小于或等于的最小值，∴故答案为15.【答案】【考点】基本不等式指数型复合函数的性质及应用【解析】根据基本不等式的性质即可得到结论．【解答】解：∵，∴，当且仅当，即，时取等号，故函数的最小值为，故答案为：16.【答案】【考点】指数式与对数式的互化指数型复合函数的性质及应用【解析】当时方程无解，当时，将看成成整体，求一元二次方程，然后解对数方程即可求出所求．【解答】f(x)=g(t)=−3t −4=(t −−t 232)2254(1≤t ≤4)t =32g(t)−254f(x)=−3×−44x 2x −254a ≤−3×−44x 2x a f(x)a ≤−254(−∞,−]2542y =>02x y =+≥2=22x 2−x ⋅2x 2−x −−−−−−√=2x 2−x x =−x x =0y =+2x 2−x 22(+1)log 22–√x ≤0x >02x =21解：当时，无解当时，解得：即故答案为：17.【答案】【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】令，则，再根据复合函数的单调性可得，本题即求函数的减区间，再利用二次函数的性质可得的减区间．【解答】解：令，则，再根据复合函数的单调性可得，本题即求函数的减区间．再利用二次函数的性质可得 的减区间为，故答案为．18.【答案】【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】本题主要考查指数函数的图象和性质，根据值域求出对应，的取值可能即可的结论．【解答】解：当时，，当时，，即，若，则，此时，若，则，此时，综上.故答案为：.19.x ≤0−=22x 12−xx >0−=22x 12x (−2⋅−1=02x )22x =+12x 2–√x =(+1)log 22–√(+1)log 22–√[2,+∞)t =−+4x =−(x −2+4x 2)2f(x)=(12)t t t t =−+4x =−(−4x)=−(x −2+4x 2x 2)2f(x)=(12)t t t =−(x −2+4)2[2,+∞)[2,+∞)[2,4]a b =13|x|x =0=93|x||x |=2x =±2a =−20≤b ≤22≤b −a ≤4b =2−2≤a ≤02≤b −a ≤42≤b −a ≤4[2,4]【答案】【考点】简单线性规划指数型复合函数的性质及应用【解析】先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数的最大值，再代入求出的最小值．【解答】解：满足约束条件的可行域如图，由图象可知：当，时，的最大值，∴的最小值是故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）20.【答案】解：∵是奇函数，∴恒成立，∴，∴．∵是偶函数，∴恒成立，∴，∴．证明：∵，，∴．解：记，函数在上单调递增，∴.由可得，∴原问题转化为方程在上有一个实数根，19{2x −y ≤0x −3y +5≥0Z =2x +y −2(13)2x+y−2{2x −y ≤0x −3y +5≥0x =1y =2Z =2x +y −22(13)2x+y−21919(1)f (x)f (−x)=−f (x)(+)(a −1)=0e x e −x a =1g(x)g(−x)=g(x)(−)(b +1)=0e x e −x b =−1(2)=[g(x)]2++2e 2x e −2x 4=[f (x)]2+−2e 2x e −2x 4−[g(x)]2[f (x)]2=−=1++2e 2x e −2x 4+−2e 2x e −2x 4(3)t =f (x)f (x)[ln(+1),+∞)2–√t =f (x)≥f (ln(+1))=12–√(2)=1+[g(x)]2[f (x)]2−kt −2=0t 2[1,+∞)=t −2即在上有一个实数根，记，易知在单调递增，∴．【考点】函数奇偶性的性质由函数零点求参数取值范围问题函数的零点与方程根的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：∵是奇函数，∴恒成立，∴，∴．∵是偶函数，∴恒成立，∴，∴．证明：∵，，∴．解：记，函数在上单调递增，∴.由可得，∴原问题转化为方程在上有一个实数根，即在上有一个实数根，记，易知在单调递增，∴．21.【答案】解：为二次函数，其对称轴为，若为偶函数，则，解得，所以，因为，所以当时，有最小值，当时，有最大值，所以，即函数的值域为．由题意知时， 恒成立，即，k =t −2t [1,+∞)h (t)=t −2t h (t)[1,+∞)k ≥h (1)=−1(1)f (x)f (−x)=−f (x)(+)(a −1)=0e x e −x a =1g(x)g(−x)=g(x)(−)(b +1)=0e x e −x b =−1(2)=[g(x)]2++2e 2x e −2x 4=[f (x)]2+−2e 2x e −2x 4−[g(x)]2[f (x)]2=−=1++2e 2x e −2x 4+−2e 2x e −2x 4(3)t =f (x)f (x)[ln(+1),+∞)2–√t =f (x)≥f (ln(+1))=12–√(2)=1+[g(x)]2[f (x)]2−kt −2=0t 2[1,+∞)k =t −2t [1,+∞)h (t)=t −2t h (t)[1,+∞)k ≥h (1)=−1(1)f (x)=−2(a −1)x +4x 2x =a −1f (x)a −1=0a =1f (x)=+4x 2−1≤x ≤3x =0f (x)4x =3f (x)134≤f (x)≤13f (x)[4,13](2)x ∈[1,2]f (x)>ax −(3a −2)x +4>0x 2g(x)=−(3a −2)x +42g >0(x)令，所以只需，的对称轴为，当，即时，，解得，所以，当，即时，，解得，所以；当，即时，，解得，舍去，综上所述，的取值范围是.【考点】二次函数的性质函数的值域及其求法函数奇偶性的性质函数恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：为二次函数，其对称轴为，若为偶函数，则，解得，所以，因为，所以当时，有最小值，当时，有最大值，所以，即函数的值域为．由题意知时， 恒成立，即，令，所以只需，的对称轴为，当，即时，，解得，所以，当，即时，，g(x)=−(3a −2)x +4x 2g >0(x)min g(x)x =3a −22≤13a −22a ≤43g =g(1)=7−3a >0(x)min a <73a ≤431<<23a −22<a <243g =g()=4−>0(x)min 3a −22(3a −2)24−<a <223<a <243≥23a −22a ≥2g =g(2)=12−6a >0(x)min a <2a (−∞,2)(1)f (x)=−2(a −1)x +4x 2x =a −1f (x)a −1=0a =1f (x)=+4x 2−1≤x ≤3x =0f (x)4x =3f (x)134≤f (x)≤13f (x)[4,13](2)x ∈[1,2]f (x)>ax −(3a −2)x +4>0x 2g(x)=−(3a −2)x +4x 2g >0(x)min g(x)x =3a −22≤13a −22a ≤43g =g(1)=7−3a >0(x)min a <73a ≤431<<23a −22<a <243g =g()=4−>0(x)min 3a −22(3a −2)24<a <22a <24解得，所以；当，即时，，解得，舍去，综上所述，的取值范围是.22.【答案】解：由题意知，．于是，解得；，解得．由已知在上恒成立．因为为上的奇函数，所以在上恒成立．又因为为上的增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以，因为，当且仅当，即时取等号．所以．设，在上的最小值为，在上的最小值为，由题意，只需．因为为上的增函数，所以．当时，因为在上单调递增，在上单调递减，所以当时，．于是由得，即，解得．考虑到，故，即，解得．因为，所以．当时，在单调递减，所以．又，，所以对任意，恒有恒成立．综上，实数的取值范围为．【考点】函数奇偶性的性质函数解析式的求解及常用方法不等式恒成立问题函数的单调性及单调区间−<a <223<a <243≥23a −22a ≥2g =g(2)=12−6a >0(x)min a <2a (−∞,2)(1)f (x)+g(x)=2e x −f (x)+g(x)=2e −x 2g(x)=2+2e x e −x g(x)=+e x e −x 2f (x)=2−2e x e −x f (x)=−e x e −x (2)f (+3)+f (1−ax)>0x 2(0,+∞)f (x)R f (+3)>f (ax −1)x 2(0,+∞)f (x)=−e x e −x R +3>ax −1x 2(0,+∞)a <x +4x (0,+∞)a <(x +)4x min x +≥2=44x x ×4x −−−−−√x =4xx =2a <4(3)h (x)=e −|x−m|f (x)[m,+∞)f(x)min h (x)[0,1]h(x)min f ≤h (x)min (x)min f (x)=−e x e −x R f =−(x)min e m e −m m ≥0h (x)(−∞,m)(m,+∞)x ∈[0,1]h =min (x)min {h (0),h (1)}{h (0)=≥−,e −|m|e m e −m h (1)=≥−.e −|1−m|e m e −m h (0)=≥−e −|m|e m e −m ≤2e m e −m ≤2e 2m m ≤ln 212m ≤ln 2<112h (1)==≥−e −|1−m|e m−1e m e −m ≤e 2m e e −1m ≤ln 12e e −1<2e e −10≤m ≤ln 12e e −1m <0h (x)[0,1]h =h (1)=(x)min e m−1>0e m−1−<0e m e −m m <0h (1)=≥−=f e m−1e m e −m (x)min m (−∞,ln ]12e e −1已知函数的单调性求参数问题【解析】无【解答】解：由题意知，．于是，解得；，解得．由已知在上恒成立．因为为上的奇函数，所以在上恒成立．又因为为上的增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以，因为，当且仅当，即时取等号．所以．设，在上的最小值为，在上的最小值为，由题意，只需．因为为上的增函数，所以．当时，因为在上单调递增，在上单调递减，所以当时，．于是由得，即，解得．考虑到，故，即，解得．因为，所以．当时，在单调递减，所以．又，，所以对任意，恒有恒成立．综上，实数的取值范围为．23.【答案】解：由，得．由，得．由，得．所以，．(1)f (x)+g(x)=2e x −f (x)+g(x)=2e −x 2g(x)=2+2e x e −x g(x)=+e x e −x 2f (x)=2−2e x e −x f (x)=−e x e −x (2)f (+3)+f (1−ax)>0x 2(0,+∞)f (x)R f (+3)>f (ax −1)x 2(0,+∞)f (x)=−e x e −x R +3>ax −1x 2(0,+∞)a <x +4x (0,+∞)a <(x +)4x min x +≥2=44x x ×4x −−−−−√x =4xx =2a <4(3)h (x)=e −|x−m|f (x)[m,+∞)f(x)min h (x)[0,1]h(x)min f ≤h (x)min (x)min f (x)=−e x e −x R f =−(x)min e m e −m m ≥0h (x)(−∞,m)(m,+∞)x ∈[0,1]h =min (x)min {h (0),h (1)}{h (0)=≥−,e −|m|e m e −m h (1)=≥−.e −|1−m|e m e −m h (0)=≥−e −|m|e m e −m ≤2e m e −m ≤2e 2m m ≤ln 212m ≤ln 2<112h (1)==≥−e −|1−m|e m−1e m e −m ≤e 2m e e −1m ≤ln 12e e −1<2e e −10≤m ≤ln 12e e −1m <0h (x)[0,1]h =h (1)=(x)min e m−1>0e m−1−<0e m e −m m <0h (1)=≥−=f e m−1e m e −m (x)min m (−∞,ln ]12e e −11<<82x A =(0,3)≥1⇒≤05x +2x −3x +2B =(−2,3]|x −2|<4⇒−2<x <6C =(−2,6)A ∪B =(−2,3]A ∩C =(−2,0]∪[3,6)C U【考点】交、并、补集的混合运算指数型复合函数的性质及应用其他不等式的解法【解析】由，得．由，得．由，得．由此能求出，．【解答】解：由，得．由，得．由，得．所以，．24.【答案】解：∵为奇函数，，得．又∵，∴可得，．由得，当时，．设，则，． 为奇函数，∴，∴，∴当时，．∵函数为奇函数，，∴函数在上的解析式为【考点】函数解析式的求解及常用方法函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】1<<82x A =(0,3)≥1⇒≤05x +2x −3x +2B =(−2,3]|x −2|<4⇒−2<x <6C =(−2,6)A ∪B A ∩C C u 1<<82x A =(0,3)≥1⇒≤05x +2x −3x +2B =(−2,3]|x −2|<4⇒−2<x <6C =(−2,6)A ∪B =(−2,3]A ∩C =(−2,0]∪[3,6)C U (1)f (x)∴f (−1)=−f (1)=−4f (1)=4f (2)=9{2+a +b =4,4+2a +b =9,a =3b =−1(2)(1)x >0f (x)=+3x −12x x <0−x >0f (−x)=−3x −12−x ∵f (x)f (−x)=−f (x)=−3x −12−x f (x)=−+3x +12−x x <0f (x)=−+3x +12−x (3)f (x)f (0)=0f (x)R f(x)= +3x −1,x >0,2x 0,x =0,−+3x +1,x <0.2−x (1)f (x)解：∵为奇函数，，得．又∵，∴可得，．由得，当时，．设，则，． 为奇函数，∴，∴，∴当时，．∵函数为奇函数，，∴函数在上的解析式为25.【答案】解：由得函数为奇函数，当时，，则，∴，，∴ 由知当时， ，为减函数，可将不等式转化为，∴，∴，所以不等式的解集为．【考点】对数的运算性质函数奇偶性的性质函数解析式的求解及常用方法函数的求值【解析】【解答】(1)f (x)∴f (−1)=−f (1)=−4f (1)=4f (2)=9{2+a +b =4,4+2a +b =9,a =3b =−1(2)(1)x >0f (x)=+3x −12x x <0−x >0f (−x)=−3x −12−x ∵f (x)f (−x)=−f (x)=−3x −12−x f (x)=−+3x +12−x x <0f (x)=−+3x +12−x (3)f (x)f (0)=0f (x)R f(x)= +3x −1,x >0,2x 0,x =0,−+3x +1,x <0.2−x (1)f (x)+f (−x)=0f (x)x <0−x >0f (−x)=(−)log 21x f (x)=−(−)log 21x f (0)=0f(x)= ，x >0，log 21x 0，x =0，(−x)，x <0.log2(2)(1)x <0f (x)=(−x)log 2f (−)+3>02x log 2f (−)>−3=f (−)2x log 213>2x 13x >−3log 2(−3,0)log 2(1)f (x)+f (−x)=0f (x)解：由得函数为奇函数，当时，，则，∴，，∴ 由知当时， ，为减函数，可将不等式转化为，∴，∴，所以不等式的解集为．(1)f (x)+f (−x)=0f (x)x <0−x >0f (−x)=(−)log 21x f (x)=−(−)log 21x f (0)=0f(x)= ，x >0，log 21x 0，x =0，(−x)，x <0.log 2(2)(1)x <0f (x)=(−x)log 2f (−)+3>02x log 2f (−)>−3=f (−)2x log 213>2x 13x >−3log 2(−3,0)log 2。
2022-2023学年人教A版(2019)高一下数学同步练习(含解析)
2022-2023学年高中高一下数学同步练习学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从，，三所中学抽取名教师进行调查，已知，，三所学校中分别有，，名教师，则从学校中应抽取的人数为（ ）A.B.C.D.2. 已知一组数据按从小到大的顺序排列为，，，，，，且这组数的中位数是，那么这组数据的众数是( )A.B.C.D.3. 若，，则（ ）A.B.C.D.4. 方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用．某方舱医院医疗小组有七名护士，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班．若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为 A.甲B.丙A B C 60A B C 18027090C 10121824−8−14x 1013776410θ∈(0,)π2sin θ−cos θ=2–√2cos 2θ=3–√2−3–√2±3–√2±12()C.戊D.庚5. 在直三棱柱中，已知，，，为的中点，点为的中点，点在线段上，且，则线段的长为（ ）A.B.C.D.6. 如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面中，，，，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点，那么当底面水平放置时，水面高为( )A.B.C.D.7. 矩形中，，，点为中点，沿把折起，点到达点，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为( )A.B.C.ABC −A 1B 1C 1∠BCA =90∘∠BAC =60∘AC =4E AA 1F BE H CA 1H =3HC A 1FH 23–√413−−√3ABCD AB//CD AB =3CD =1A =4A 1A B A 1B 1AD BC B 1C 1A 1D 1ABCD 252372ABCD AB =4AD =2E CD AE △ADE D P PAE ⊥ABCE AB PC 14122–√2–√D.8. 已知的垂心为，且，，是的中点，则=（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列命题中，正确的命题有( )A.已知随机变量服从二项分布，若，，则B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C.设随机变量服从正态分布，若，则D.若某次考试的标准分服从正态分布，则甲、乙、丙三人恰有人的标准分超过分的概率为10. 下列说法正确的有( )A.若离散型随机变量的数学期望为，方差为，则，B.若复数满足，则的最大值为C.份不同的礼物分配给甲、乙、丙三人，每人至少分得一份，共有种不同分法D.个数学竞赛名额分配给所学校，每所学校至少分配一个名额，则共有种不同分法11. 如图，已知圆锥的顶点为，底面圆的两条直径分别为和，且，若平面平面，以下四个结论中正确的是( )A.平面B.C.若是底面圆周上的动点，则的最大面积等于的面积3–√2△ABC H AB =3AC =5M BC ⋅HM −→−BC −→−5678B (n,p)E (X)=30D (X)=20p =23ξN (0,1)P (ξ>1)=p P (−1<ξ≤0)=−p 12X N (90,900)29038X E (X)=5D (X)=2E (2X −1)=9D (2X −1)=8z |z −3−4i|=1|z|6472104C 39S O AB CD AB ⊥CD SAD∩SBC =l AD//SBCl//ADE △SAE △SAB l SCD 45∘D.与平面所成的角为 12.如图，已知点为正六边形的中心，下列结论正确的是( )A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若＝，则复数在复平面内对应的点的坐标是________．14. 在中，，的面积为，则________.15. 某射击运动员在五次射击中分别打出了，，，，环的成绩，已知这组数据的平均数为，则这组数据的方差为________．16. 已知母线长为 ，侧面积为的圆锥顶点和底面在同一个球面上，则该球的体积为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.（1）用斜二测画法作出边长为、高的矩形的直观图；（2）画出正四棱锥的三视图．18. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率l SCD 45∘O ABCDEF =CB −→−EF−→−++=OA −→−OC −→−OB −→−0→⋅=⋅OA −→−FA −→−ED −→−BC−→−|+|=|−|OF −→−OD −→−OC −→−OB −→−iz −1+i z △ABC a =1,cos C =34△ABC 7–√4c =10x 107993–√π323cm 4cm 695010%上一个年度未发生有责任（或发生无责任）道路交通事故下浮 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 上一个年度发生两次及两次以上有责任不涉及死亡的道路交通事故上浮 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮某机构为了研究国内某一品牌某型号普通座以下私家车(以下简称为“研牌车”)的投保情况，随机抽取了辆车龄刚满一年的“研牌车”下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型 数量 4436182求该“研牌车”在第二年续保时保费高于基本保费的频率；若任一“研牌车”下一年续保情况与上述机构调查的频率一致，求“研牌车”在第二年续保时保费的平均数. 19. 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取次，记录如下：甲 乙 求甲成绩的分位数；现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两个）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．20. 如图，在四边形中， ，，．求；若，求周长的最大值． 21. 如图，正三棱柱中，，，为的中点，为边上的动点．当点为的中点时，证明平面．若，求三棱锥的体积．22. 在如图所示几何体中，已知底面，，，，是的中点.A 110%A 20%A 310%A 430%6100A 1A 2A 3A 4(1)(2)882817978958893849295807583809085(1)80%(2)ABCD CD =33–√BC =7–√cos ∠CBD =−7–√14(1)∠BDC (2)∠A =π3△ABD ABC −A 1B 1C 1AB =2A =3A 1D B C 1P AB (1)P AB DP //ACC 1A 1(2)AP =3PB B −CDP AE ⊥ABC BF//AE BF =2AE AB =AC D BC证明：平面；证明：平面平面.(1)AD//CEF (2)ADF ⊥BCF参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学同步练习一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】分层抽样方法【解析】利用分层抽样的性质直接求解．【解答】为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从，，三所中学抽取名教师进行调查，，，三所学校中分别有，，名教师，从学校中应抽取的人数为：．2.【答案】D【考点】众数、中位数、平均数、百分位数【解析】直接利用中位数的定义列方程求出，再根据众数的定义求解即可．【解答】解：因为，，，，，，的中位数是，所以，解得.因为这组数据有两个，其他数据都是个，所以这组数据的众数是.故选．3.【答案】B【考点】二倍角的余弦公式A B C 60A B C 18027090C 60×=1090180+270+90x =10−8−14x 10137(x +4)=712x =1010110D【解析】通过对表达式平方，求出的值，然后利用二倍角公式求出的值，得到选项．【解答】解：∵ ，∴，∵，∴，，∴，.故选．4.【答案】D【考点】进行简单的合情推理【解析】本题考查了合理推理的应用．由题设条件进行简单的合情推理既得答案．【解答】解：根据题中给出的条件，七名护士的值夜班顺序为：戊、乙、丁、己、庚、丙、甲．所以周五值夜班的护士为庚．故选．5.【答案】C【考点】棱柱的结构特征【解析】以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，．可得，，利用空间两点间的距离公式计算即可．【解答】解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，cos θ+sin θcos 2θ(sin θ−cos θ=)2122sin θcos θ=12θ∈(0,)π2sin θ>0cos θ>0sin θ+cos θ==(sin θ−cos θ+4sin θcos θ)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√6–√2cos 2θ=θ−θ=(cos θ+sin θ)(cos θ−sin θ)cos 2sin 2=×(−)=−6–√22–√23–√2B D C C(0,0,0)A(0,4,0)B(0,4,0)3–√E(4,0,m)(4,0,2m)A 1F(2,2,)3–√m 2H(1,0,)m 2C∵，，，∴，则，，，，．∵点为的中点，∴，∵点在线段上，且，∴∴．故选．6.【答案】B【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：设四棱柱的底面梯形的高为，，的中点分别为，，设水面高为，则水的体积即，解得.故选．7.【答案】D【考点】异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析∠BCA =90∘∠BAC =60∘AC =4BC =43–√C(0,0,0)A(4,0,0)B(0,4,0)3–√E(4,0,m)(4,0,2m)A 1F BE F(2,2,)3–√m 2H CA 1H =3HC A 1H(1,0,)m 2FH ==(2−1+(2−0+(−)23–√)2m 2m 2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√13−−√C 2a AD BC F E h V 水=⋅A S 四边形ABEF A 1=⋅hS 四边形ABCD ⋅4(2+3)a 2=⋅h (1+3)2a 2h =52B【解答】解：因为，所以异面直线与所成角就是或其补角.在中，，，作，垂足为，如图，则，，所以，所以.故选．8.【答案】D【考点】平面向量数量积余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C,D【考点】正态分布的密度曲线二项分布与n 次独立重复试验的模型极差、方差与标准差【解析】无【解答】AB//CB AB PC ∠PCE △PCE EC =2PE =2DO ⊥AE O DO =2–√OC =10−−√PG ===2P +O O 2C 2−−−−−−−−−−√2+10−−−−−√3–√cos ∠PCE =P +E −P C 2C 2E 22PC ⋅EC==12+−22222×2×23–√3–√2D =1解：．根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得，，解得，所以错误；．根据数据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以正确；．由正态分布的图象的对称性可得，所以正确；．甲、乙、丙三人恰有人的标准分超过分的概率，所以正确．故选．10.【答案】A,B,D【考点】离散型随机变量的期望与方差命题的真假判断与应用复数的代数表示法及其几何意义排列、组合及简单计数问题【解析】根据离散型随机变量的数学期望和方差的性质即可知正确；根据复数的几何意义可知正确；根据先分组再分配的原则可知错误，利用挡板法可知正确．【解答】解：对于，因为离散型随机变量的数学期望为，方差为，所以，，所以正确；对于，因为，所以复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上，所以表示点与原点的距离，根据圆的几何性质可知，的最大值为，所以正确；对于，份不同的礼物分组的方式只有，，，所以只有种情况，再分配给三人，有种方式，最后根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的方法，所以错误；对于，个数学竞赛名额分配给所学校，每所学校至少分配个名额，采用挡板法可知，共有种不同的分法，所以正确，故选．11.【答案】A,B,D【考点】A E(X)=np =30D(X)=np(1−p)=20p =13A B B C P (−1<ξ≤0)=1−2P(ξ>1)2==−p 1−2p 212C D 290(1−)=C 23()1221238D BCD X A B C D A X E (X)=5D (X)=2E (2X −1)=2E (X)−1=9D (2X −1)=D (X)=822A B |z −3−4i|=1z P (x,y)C (3,4)1|z|P (x,y)O |z||CO|+1=6B C 4112=6C 24A 3336C D 1041C 39D ABD直线与平面所成的角两条直线平行的判定直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】解：已知圆锥的顶点为，底面圆的两条直径分别为和，且，所以四边形是正方形，所以，因为 平面， 平面，所以平面，故正确；因为平面平面，平面，平面．所以，故正确；若是底面圆周上的动点，当时，的最大面积等于的面积，当时，的最大面积等于两条母线的夹角为的截面三角形的面积，故错误；因为，与平面所成的角就是与平面所成的角，即，故正确．故选．12.【答案】A,C,D【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用向量的线性运算性质及几何意义【解析】本题考查平面向量的加减混合运算，考查平面向量的数量积公式，属于基础题．【解答】解：，与长度相等，方向相同，，故正确；，，故错误；，，，∵，∴，故正确；，，，∵，∴，故正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】S O AB CD AB ⊥CD ACBD AD//BC BC ⊂SBC AD ⊂SBC AD//SBC A SAD∩SBC =l AD ⊂SAD AD//SBC l//AD B E ∠ASB ≤90∘△SAE △SAB ∠ASB >90∘△SAE 90∘C l//AD l SCD AD SCD ∠ADO =45∘D ABD A ∵CB −→−EF −→−∴=CB −→−EF −→−A B ++OA −→−OC −→−OB −→−=++=2OA −→−AB −→−OB −→−OB −→−B C ⋅=⋅=||⋅||⋅cos OA −→−FA −→−OA −→−OB −→−OA −→−OB −→−60∘⋅=⋅=||⋅||ED −→−BC −→−AB −→−OA −→−AB −→−OA −→−cos ∘||=||=||OA −→−OB −→−AB −→−⋅=⋅OA −→−FA −→−ED −→−BC −→−C D |+|=||OF −→−OB −→−OA −→−|−|=||OC −→−OB −→−BC −→−||=||OA −→−BC −→−|+|=|−|OF −→−OD −→−OC −→−OB −→−D ACD (1,1)【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出结论．【解答】∵＝，∴＝，则复数在复平面内对应的点的坐标是，14.【答案】【考点】三角形的面积公式余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，∵的面积为，，∴，解得：，∴，解得：.故答案为：.15.【答案】【考点】极差、方差与标准差众数、中位数、平均数、百分位数【解析】根据平均数求出的值，再计算方差的值．(1,1)iz −1+i −i ⋅iz −i ⋅(−1+i)z (8,1)2–√cos C =34sin C =7–√4△ABC 7–√4a =1ab sin C =127–√4b =2cos C ==+−a 2b 2c 22ab 34c =2–√2–√65x解：五次射击中分别打出了，，，，环，∴这组数据的平均数为，解得；∴这组数据的方差是．故答案为：.16.【答案】【考点】球的表面积和体积球内接多面体【解析】此题暂无解析【解答】解：圆锥母线长为 ，侧面积为，底面圆半径为.圆锥的高.圆锥的轴截面如图，设球的半径为，∵圆锥的高，底面圆的半径，∴，即＝，解得：，故该球的体积．故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.10x 1079×(10+x +10+7+9)=159x =9=×[2×(10−9+(7−9+2×(9−9]=s 215)2)2)265654π3∵3–√π32∴r =3–√2∴h ==(−(3–√)23–√2)2−−−−−−−−−−−−√32R h =32r =3–√2=R 2(h −R +)2r 2R 2(−R +32)234R =1V =π×=43134π34π3解：（1），①在已知中取、所在边为轴与轴，相交于点（与重合），画对应轴，轴使②在轴上取，使，在轴上取，使，过作平行的直线，且等于长．③连所得四边形就是矩形的直观图．（2），正四棱锥的正视图与侧视图是相同的等腰三角形，俯视图轮廓是正方形，含有对角线，如图：【考点】斜二测画法【解析】（1）用统一的画图标准：斜二测画法，即在已知图形所在的空间中取水平平面，作轴，轴使，然后依据平行投影的有关性质逐一作图．（2）直接利用正四棱锥的图形，判断正视图，侧视图，俯视图的形状画图即可．【解答】解：（1），①在已知中取、所在边为轴与轴，相交于点（与重合），画对应轴，轴使②在轴上取，使，在轴上取，使，过作平行的直线，且等于长．③连所得四边形就是矩形的直观图．（2），正四棱锥的正视图与侧视图是相同的等腰三角形，俯视图轮廓是正方形，含有对角线，如图：18.【答案】ABCD AB AD X Y O O A X'Y '∠X'O'Y '=45∘X'A'B'A'B'=AB Y 'D'A'D'=AD 12D'D'C'X'A'D'C'B'A'B'C'D'ABCD X'Y '∠X'O'Y '=45∘ABCD AB AD X Y O O A X'Y '∠X'O'Y '=45∘X'A'B'A'B'=AB Y 'D'A'D'=AD 12D'D'C'X'A'D'C'B'A'B'C'D'ABCD 18+21解：该“研牌车”在第二年续保时保费高于基本保费的频率.任一“研牌车”下一年续保情况与上述机构调查的频率一致，：元，：元，：元，：元，“研牌车”在第二年续保时保费的平均数【考点】频数与频率众数、中位数、平均数、百分位数【解析】本题考查数据统计本题考查概率统计，平均数【解答】解：该“研牌车”在第二年续保时保费高于基本保费的频率.任一“研牌车”下一年续保情况与上述机构调查的频率一致，：元，：元，：元，：元，“研牌车”在第二年续保时保费的平均数19.【答案】解：把甲的成绩按照从小到大的顺序排列可得：因为一共有个数据，所以，不是整数，所以甲成绩的分位数是第个数据．，，，，∵，，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．【考点】众数、中位数、平均数、百分位数极差、方差与标准差【解析】无无(1)=18+210015(2)A1950(1−10%)=855A 2950(1+0%)=950A 3950(1+10%)=1045A 4950(1+30%)=1235=(855×44+950×36+1045×18+1235×2)×=931x ¯¯¯1100(1)=18+210015(2)A1950(1−10%)=855A 2950(1+0%)=950A 3950(1+10%)=1045A 4950(1+30%)=1235=(855×44+950×36+1045×18+1235×2)×=931x ¯¯¯1100(1)787981828488939588×80%=6.480%793(2)=(78+79+81+82+84+88+93+95)=85x ¯¯¯甲18=(75+80+80+83+85+90+92+95)=85x ¯¯¯乙18=[(78−85+(79−85+(81−85+s 2甲18)2)2)2(82−85+)2(84−85+)2(88−85+)2(93−85+)2(95−85])2=35.5=[(75−85+(80−85+(80−85+s 2乙18)2)2)2(83−85+)2(85−85+)2(90−85+)2+(92−85)2](95−85)2=41=x ¯¯¯甲x ¯¯¯乙<s 2甲s 2乙解：把甲的成绩按照从小到大的顺序排列可得：因为一共有个数据，所以，不是整数，所以甲成绩的分位数是第个数据．，，，，∵，，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．20.【答案】解：在中，可知，所以，利用正弦定理得：，∴，又∵为钝角，∴为锐角，∴.在中，由余弦定理得，，解得： 或（舍去），在中，，设，，由余弦定理得，，即，整理得： ，又，，利用基本不等式得：，即，所以，当且仅当时，等号成立，即，所以，所以周长的最大值为．【考点】同角三角函数间的基本关系(1)787981828488939588×80%=6.480%793(2)=(78+79+81+82+84+88+93+95)=85x ¯¯¯甲18=(75+80+80+83+85+90+92+95)=85x ¯¯¯乙18=[(78−85+(79−85+(81−85+s 2甲18)2)2)2(82−85+)2(84−85+)2(88−85+)2(93−85+)2(95−85])2=35.5=[(75−85+(80−85+(80−85+s 2乙18)2)2)2(83−85+)2(85−85+)2(90−85+)2+(92−85)2](95−85)2=41=x ¯¯¯甲x ¯¯¯乙<s 2甲s 2乙(1)△BCD cos ∠CBD =−7–√14sin ∠CBD ==1−(−)7–√142−−−−−−−−−−−√321−−√14=CD sin ∠CBD BC sin ∠BDC sin ∠BDC ===BC ⋅sin ∠CBD CD ×7–√321−−√1433–√12∠CBD ∠BDC ∠BDC =π6(2)△BCD cos ∠CBD =B +B −C C 2D 2D 22BC ⋅BD =7+B −27D 22⋅BD7–√=−7–√14BD =4BD =−5△ABD ∠A =π3AB =x AD =y cos A =A +A −B B 2D 2D 22AB ⋅AD =+−16x 2y 22xy =12+−16=xy x 2y 2−16=3xy (x +y)2x >0y >0−16=3xy ≤(x +y)23(x +y)24≤16(x +y)24≤64(x +y)2x =y =4=8(x +y)max =8+4=12(AB +AD +BD)max △ABD 12余弦定理基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：在中，可知，所以，利用正弦定理得：，∴，又∵为钝角，∴为锐角，∴.在中，由余弦定理得，，解得： 或（舍去），在中，，设，，由余弦定理得，，即，整理得： ，又，，利用基本不等式得：，即，所以，当且仅当时，等号成立，即，所以，所以周长的最大值为．21.【答案】证明：连接、．(1)△BCD cos ∠CBD =−7–√14sin ∠CBD ==1−(−)7–√142−−−−−−−−−−−√321−−√14=CD sin ∠CBD BC sin ∠BDC sin ∠BDC ===BC ⋅sin ∠CBD CD ×7–√321−−√1433–√12∠CBD ∠BDC ∠BDC =π6(2)△BCD cos ∠CBD =B +B −C C 2D 2D 22BC ⋅BD =7+B −27D 22⋅BD7–√=−7–√14BD =4BD =−5△ABD ∠A =π3AB =x AD =y cos A =A +A −B B 2D 2D 22AB ⋅AD =+−16x 2y 22xy =12+−16=xy x 2y 2−16=3xy (x +y)2x >0y >0−16=3xy ≤(x +y)23(x +y)24≤16(x +y)24≤64(x +y)2x =y =4=8(x +y)max =8+4=12(AB +AD +BD)max △ABD 12(1)DP AC 1AB B C DP //AC∵为中点，为中点，∴，又∵平面，平面，∴平面．解：由，得．过点作于，则，且．∵，∴．∵ 平面，∴平面．边上的高，又∵，∴．【考点】直线与平面平行的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】证明：连接、．∵为中点，为中点，∴，又∵平面，平面，∴平面．解：由，得．过点作于，则，且．∵，∴．∵平面，∴平面．边上的高，又∵，∴．22.【答案】证明：取中点，连接，P AB D B C 1DP //AC 1A ⊂C 1ACC 1A 1DP ⊂ACC 1A 1DP //ACC 1A 1(2)AP =3PB PB =AB =1412D DE ⊥BC E DE //CC 1DE =C 12C 1C =3C 1DE =32CC 1⊥ABCDE ⊥CBP △ABC ==−(2222)2−−−−−−−−√3–√==××2×=S △CBP 14S △ABC 14123–√3–√4==××=V B−CDP V D−CBP 133–√4323–√8(1)DP AC 1P AB D B C 1DP //AC 1A ⊂C 1ACC 1A 1DP ⊂ACC 1A 1DP //ACC 1A 1(2)AP =3PB PB =AB =1412D DE ⊥BC E DE //CC 1DE =C 12C 1C =3C 1DE =32CC 1⊥ABC DE ⊥CBP △ABC ==−(2222)2−−−−−−−−√3–√==××2×=S △CBP 14S △ABC 14123–√3–√4==××=V B−CDP V D−CBP 133–√4323–√8(1)CF G DG ，EG∵为中点，∴且，又，，∴且,∴四边形为平行四边形，∴，且面，∴平面.∵，为中点，∴.又∵面，∴面.∵面，∴.又∵，∴面.又∵面，∴平面平面.【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】由已知中为的中点，易判断四边形为平行四边形，进而，同时，再由面面平行的判定定理，即可得到答案．取的中点，连接，以为原点，建立如图所示的空间坐标系，分别求出平面与平面的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角的大小．【解答】证明：取中点，连接，D BC DG//BF DG =BF 12BF//AE BF =2AE DG//AE DG =AE ADGE AD//EG AD ⊂CEF AD//CEF (2)AB =AC D BC AD ⊥BC AE ⊥ABC,BF//AEBF ⊥ABC AD ⊂ABC BF ⊥AD BF ∩BC =B AD ⊥BCF AD ⊂ADF ADF ⊥BCF (I)F CD ABCD AF //BC EF //SC (II)AB O SO O SAC ACF S −AC −F (1)CF G DG ，EG∵为中点，∴且，又，，∴且,∴四边形为平行四边形，∴，且面，∴平面.∵，为中点，∴.又∵面，∴面.∵面，∴.又∵，∴面.又∵面，∴平面平面.D BC DG//BF DG =BF 12BF//AE BF =2AE DG//AE DG =AE ADGE AD//EG AD ⊂CEF AD//CEF (2)AB =AC D BC AD ⊥BC AE ⊥ABC,BF//AE BF ⊥ABC AD ⊂ABC BF ⊥AD BF ∩BC =B AD ⊥BCF AD ⊂ADF ADF ⊥BCF。
高一数学同步练习题
高一数学同步练习题一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个选项不是实数集R的子集？A. 自然数集NB. 整数集ZC. 有理数集QD. 无理数集2. 函数f(x) = 2x^2 - 5x + 3在x=1处的导数值是：A. 1B. 4C. 6D. 93. 集合{1,2,3}与集合{3,4,5}的交集是：A. {1,2}B. {3}C. {1,2,3,4,5}D. 空集4. 根据韦达定理，二次方程x^2 - 4x + 4 = 0的两个根之和是：A. 2B. 4C. -4D. 05. 函数y = sinx和y = cosx在x=π/4处的值相等，这个说法是：A. 正确B. 错误二、填空题（每题2分，共10分）6. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x在x=1处的值是________。
7. 集合A = {x | x < 5}，B = {x | x > 3}，则A∪B表示的集合是________。
8. 已知函数y = 3x - 2，当x增加1时，y的增量是________。
9. 函数y = √x的定义域是________。
10. 若sinα = 1/√2，则cosα的值是________。
三、解答题（共75分）11. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点，并说明极值。
（10分）12. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求其在区间[0,5]上的最大值和最小值。
（15分）13. 利用导数求函数y = lnx - x^2在区间(0, +∞)上的最大值。
（15分）14. 解不等式：x^2 - 4x + 3 ≤ 0，并用区间表示解集。
（15分）15. 证明：对于任意实数x，不等式e^x ≥ x + 1恒成立。
（20分）四、附加题（10分，可选做）16. 已知函数f(x) = x^2 + 2x + 3，求其图像的对称轴和顶点坐标。
答案：1-5: D, B, B, B, A6: 07: R（实数集）8: -59: [0, +∞)10: ±√2/211-16: 略（根据题目要求，解答题和附加题的答案需要根据具体解题过程给出，这里略过。
2022-2023学年人教A版(2019)高一上数学同步练习(含解析)
2022-2023学年高中高一上数学同步练习学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：78 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）1. 设命题：，，则为 A.，B.，C.，D.，2. 已知集合，＝，则＝（ ）A.B.C.D.3. 下列各组中两个函数是同一函数的是（ ）A. B. C. D.4. 已知函数定义在区间上的奇函数，则下面成立的是（ ）A.B.C.p ∀x >0x >sin x ¬p ()∃x >0x ≤sin x ∀x >0x ≤sin x∃x ≤0x ≤sin x ∀x ≤0x ≤sin xA ={x |y =}2x −x 2−−−−−−√B {x |−1<x <1}A ∪B [0,1)(−1,2)(−1,2](−∞,0]∪(1,+∞)f(x)=x 4−−√4g(x)=(x −√4)4f(x)=x g(x)=x 3−−√3f(x)=1g(x)=x 0f(x)=−4x 2x +2g(x)=x −2f(x)=x 2−m [−3−m,−m]m 2f(m)<f(0)f(m)=f(0)f(m)>f(0)D.与大小不确定5. 函数的图象是( ) A. B. C. D.6. 设，，若是与的等比中项，则的最小值为( )A.B.C.D.7. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是( )A.f(m)f(0)f(x)=e −|x−1|a >0b >03–√3a 3b +1a 1b 9842(0,+∞)y =x 3B.C.D.8. 已知函数若在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）9. 下列结论不正确的是( )A.不等式解集为B.已知，，则是的充分不必要条件C.若，则函数的最小值为D.若，不等式恒成立，则的取值范围为10. 下列说法正确的是( )A.当时， 的最小值为B.函数的单调递增区间为C.不等式的解集为D.已知且，则为第二象限角11. 如图，摩天轮的半径为米，点距地面的高度为米，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，每分钟转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处，下面的有关结论正确的有( )y =|x −1|y =|x|−1y =2xf (x)={−+4ax,x ≤1，x 2(2a +3)x −4a +5,x >1，f (x)R a (,1]12[,]1232(,+∞)12[1,2](2x −1)(1−x)<0(,1)12p :x ∈(1,2)q :(x +1)≥1log 2p q x ∈R y =++4x 2−−−−−√1+4x 2−−−−−√2x ∈R k −kx +1>0x 2k (0,4)x >0x +1x2y =sin(2x −)π3[−+kπ,+kπ](k ∈Z)π125π12+1>0x 2Rsin α>0tan α>0α40O 5030PA.经过分钟，点首次到达最高点B.从第分钟到第分钟摩天轮上的点距离地面的高度一直在升高C.若摩天轮转速减半，则其旋转一圈所需要的时间变为原来的倍D.在摩天轮转动的一圈内，有分钟的时间点距离地面超过12. 已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，，当时，都有；③．则下列选项成立的是（ ）A.B.若，则C.若，则D.，，使得卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）13. 函数（且）图象一定过点________．14. 若，则________．15. 数学老师给出一个定义在上的函数，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质：甲：在上函数单调递减； 乙：在上函数单调递增；丙：函数的图象关于直线对称； 丁：不是函数的最小值．老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为说法错误的同学是________.16. 已知函数，若对于任意的，均有，则实数的取值范围是15P 1020P 1210P 70mR f(x)∀x ∈R f(−x)=f(x)∀x 1∈(0,+∞)x 2≠x 1x 2>0f()−f()x 2x 1−x 2x 1f(−1)=0f(3)>f(−4)f(m −1)<f(2)m ∈(−∞,3)>0f(x)xx ∈(−1,0)∪(1,+∞)∀x ∈R ∃M ∈R f(x)≥My =+2a x a >0a ≠1−=04x 2x+1x =R f(x)(−∞,0][0,+∞)f(x)x=1f(0)f(x)=kx +1x ∈[−1,1]f(x)≥0k________.四、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 10 分 ，共计30分 ）17. 已知函数是奇函数．求的值；对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数 且是定义在上的奇函数求实数的值：判断函数 的单调性，并用定义证明；当时， 恒成立，求实数的取值范围19. 已知定义在上的函数为偶函数．求的值；设，试判断函数的单调性，并用定义证明．f (x)=(+1)log 21x +a (1)a (2)x ∈(−∞,−1]f (+)>(m −)2x 32log 22x m f(x)=(a >02+a −4a x 2+aa x a ≠1)(−∞,+∞).(1)a (2)f(x)(3)x ∈(0,1]t ⋅f(x)≥−22x t .R f (x)=+3+m e 2x e x e x(1)m (2)g(x)=3f (x)−3e x g(x)参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一上数学同步练习一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）1.【答案】A【考点】命题的否定全称命题的否定【解析】由题意，根据全称命题的否定方法，根据已知中的原命题，写出其否定形式，进而即可得到答案.【解答】解：已知命题：，，全称命题的否定是特称命题，则：， .故选.2.【答案】C【考点】并集及其运算【解析】求函数的定义域得集合，根据并集的定义求出．【解答】由，即，解得，即＝，∵＝＝，∴＝，3.【答案】p ∀x >0x >sin x ¬p ∃x >0x ≤sin x A A A ∪B 2x −≥0x 2x(x −2)≤00≤x ≤2A [0,2]B {x |−1<x <1}(−1,1)A ∪B (−1,2]B【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】根据函数定义域是自变量有意义的集合，结合定义域和对应关系是否相同加以判断．【解答】解：中，的定义域为，的定义域满足：，所以选项中的两个函数不为同一函数；中，的定义域为，的定义域满足：，所以选项中的两个函数不为同一函数；中，的定义域为，的定义域满足：，所以选项中的两个函数不为同一函数；故选：．4.【答案】D【考点】幂函数的性质【解析】根据奇函数的定义域关于原点对称的性质求出，然后根据幂函数的性质即可得到结论．【解答】解：∵函数定义在区间上的奇函数，∴定义域关于原点对称，即，且，∴且，即或．当时，区间，为奇函数，满足条件，且此时函数单调递增，满足．当时，区间为，为奇函数，满足条件，但此时无意义，综上：选．故选：．5.【答案】B【考点】函数的图象【解析】A f(x)R g(x)x ≥0A C f(x)R g(x)x ≠0C D g(x)R f(x)x ≠−2DB m f(x)=x 2−m [−3−m,−m]m 2−3−m +−m =0m 2−m −(−3−m)>0m 2−2m −3=0m 2+3>0m 2m =−1m =3m =−1[−2,2]f(x)==x 2−m x 3f(m)<f(0)m =3[−6,6]f(x)==x 2−m x −1f(0)D D根据函数的解析式，分析出函数的定义域和最大值，利用排除法，可得答案．【解答】解：函数的定义域为，故排除，，当时，函数取最大值，故排除.故选.6.【答案】C【考点】等比数列的性质基本不等式在最值问题中的应用【解析】先根据等比中项的性质求得的值，代入 中，将其变为，利用基本不等式就可得出其最小值．【解答】解：∵是与的等比中项，∴，∴，∴，当且仅当时“”成立.故选.7.【答案】C【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．f(x)=e −|x−1|R C D x =11A B a +b +1a 2b 1+2++b a 2a b3–√3a 3b ⋅==33a 3b 3a+b a +b =1+=(a +b)(+)=+1a 1b 1a 1b a +b a a +b b=1+1++≥2+2=4b a a b =b a a b=C解：根据题意，依次分析选项：对于，是奇函数，不符合题意，对于，，是非奇非偶函数，不符合题意；对于，既是偶函数又在单调递增，符合题意；对于，，为指数函数，不是偶函数，不符合题意.故选．8.【答案】B【考点】函数的单调性及单调区间分段函数的应用【解析】先保证每一段在定义域内单调递增，再保证在时的单调性保持一致，即.【解答】解：先保证每一段在定义域内单调递增，再保证在时的单调性保持一致，即 .故选 . 二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）9.【答案】A,C,D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断命题的真假判断与应用一元二次不等式的解法不等式恒成立的问题A y =x 3B y =|x −1|C y =|x|−1={x −1,x ≥0，−x −1,x <0，(0,+∞)D y =2x C x =1⇒≤a ≤ 2a ≥12a +3>0−1+4a ≥2a +3−4a +51232x =1⇒≤a ≤ 2a ≥1，2a +3>0，−1+4a ≥2a +3−4a +51232B【解析】将各个命题进行逐一分析求解即可.【解答】解：，不等式可化为，∴不等式的解集为，故错误，符合题意；，由可得，由可以得到；反之，由得不到，∴是的充分不必要条件，故正确，不符合题意；，函数，因为等号成立的条件即不存在，故错误，符合题意；，不等式恒成立，若时满足题意；若，则且，解得，综上所述：的取值范围为，故错误，符合题意.故选.10.【答案】A,B,C【考点】正弦函数的单调性命题的真假判断与应用基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：，∵，∴，当且仅当，即时等号成立，的最小值为，故正确；，∵，A (2x −1)(1−x)<0(2x −1)(x −1)>0{x|x >1或x <}12A B q :(x +1)≥1log 2x ∈[1,+∞)p q q p p q B C y =+ >2+4x 2−−−−−√1+4x 2−−−−−√=+4x 2−−−−−√1+4x 2−−−−−√+4=1x 2C D k −kx +1>0x 2k =0k ≠0k >0Δ=−4k <0k 2k ∈(0,4)k [0,4)D ACD A x >0x +≥2=21x x ⋅1x −−−−√x =1x x =1∴x +1x 2A B y =sin(2x −)π3∴单调递增区间为，，，，即单调递增区间为，，故正确；，∵，∴，则，故正确；，∵且，∴，则为第一象限角，故错误．故选．11.【答案】A,D【考点】函数的图象与图象变化在实际问题中建立三角函数模型【解析】利用三角函数的定义逐项分析得解.【解答】解：，经过分钟，点转了半圈，首次到达最高点，故正确；，由可知，分钟后，点转了半圈，首次到最高点后开始下降，故错误；，当摩天轮转速减半，旋转一周所需要的时间为原来的倍，故错误；，由题设摩天轮的周期为，运动时间为，则上升的高度，点到地面的距离，令，解得，故正确.故选.12.【答案】C,D【考点】函数单调性的性质函数奇偶性的性质【解析】利用已知条件，判断函数的性质，然后判断选项的正误即可．−+2kπ≤2x −≤+2kππ2π3π2k ∈Z ∴−+kπ≤x ≤+kππ125π12k ∈Z x ∈[−+kπ,+kπ]π125π12k ∈Z B C +1>0x 2>−1x 2x ∈R C D sin α>0tan α=>0sin αcos αcos α>0αD ABC A 15P B A 15P C 2D 30min t P h =R (1−cos)=40−40cos 2πt 302πt 30P f(t)=h +10=50−40cos 2πt 30f(t)>7010≤t ≤20AD解：定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，，说明函数是偶函数；②，，当时，都有，说明函数在上是增函数；③．所以成立，所以不正确；若，可得，则，所以错误；若是奇函数，，，则，且在上小于，可得，所以正确；因为函数是连续函数，又是偶函数，在时是增函数，所以，，使得，所以正确.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）13.【答案】【考点】指数函数的图象指数函数的性质指数函数的单调性与特殊点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】【考点】有理数指数幂的化简求值【解析】利用指数幂的运算法则和性质即可得出．R f(x)∀x ∈R f(−x)=f(x)∀x 1∈(0,+∞)x 2≠x 1x 2>0f()−f()x 2x 1−x 2x 1(0,+∞)f(−1)=0f(3)<f(4)=f(−4)A f(m −1)<f(2){m −1<2，m −1>0，m ∈(1,3)B y =f(x)x >0f(x)x f(−1)=0f(1)=0f(x)x (0,1)0x ∈(−1,0)∪(1,+∞)C x >0∀x ∈R ∃M ∈R f(x)≥M D CD 1解：∵，∴，∴，解得．故答案为：15.【答案】乙【考点】奇偶函数图象的对称性函数单调性的判断与证明【解析】根据四位同学的回答，不妨假设其中的任何三个同学回答正确，然后推出另一位同学的回答是否正确来分析，体现了反证法的思想．【解答】解：如果甲、乙两个同学回答正确，∵在上函数单调递增，∴丙说“函数的图象关于直线对称 ”错误.此时是函数的最小值，所以丁的回答也是错误的，与“四个同学中恰好有三个人说的正确”矛盾.所以综合四个说法，只有乙回答错误，其他三人说的才正确．故答案为：乙.16.【答案】【考点】函数单调性的性质函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意可以列出方程：−=04x 2x+1(−2)=02x 2x −2=02x x =11[0,+∞)f(x)x=1f(0)[−1,1]{f(−1)=−k +1≥0，f(1)=k +1≥0，k ≤1，解得：∴.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 10 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：∵是奇函数，∴ ，∴，∴，∴，即，∴，∴ .由知 ，∴，∵，∴，∴，恒成立，①，恒成立，则；②，恒成立，∴.又∵，∴，∴，综上所述， .【考点】对数函数的图象与性质函数奇偶性的性质{k ≤1，k ≥−1，k ∈[−1,1][−1,1](1)f (x)=(+1)log 21x +a f (−x)=−f (x)=−=log 2−x +a +1−x +a log 2x +a +1x +a log 2x +ax +a +1=−x +a +1−x +a x +a x +a +1(−x +a +1)(x +a +1)=(x +a)(−x +a)−=−(a +1)2x 2a 2x 2=(a +1)2a 2a =−12(2)(1)f (x)=log 2x +12x −12f (+)=2x 32log 2+22x +12x f (+)>(m −)2x 32log 22x >(m −)log 2+22x +12x log 22x ∀x ∈(−∞,−1] m −>0,2x >m −+22x +12x 2x∀x ∈(−∞,−1]m −>02x m >12∀x ∈(−∞,−1]>m −+22x +12x 2x m <+=+1++22x +12x 2x 2x 1+12x ∈(0,]2x 12+1∈(1,]2x 32m ≤2<m ≤212函数恒成立问题【解析】（1）是奇函数， ，由知，∴即，∴，∴ .（2）由（1）知 ，∴，∴即，，恒成立，①，恒成立，则；②，恒成立所以，又∵，∴，∴，综上所述， .【解答】解：∵是奇函数，∴ ，∴，∴，∴，即，∴，∴ .由知 ，∴，∵，∴，f (x)=(+1)log 21x +a f (−x)=−f (x)=−=log 2−x +a +1−x +a log 2x +a +1x +a log 2x +a x +a +1=−x +a +1−x +a x +a x+a +1(−x +a +1)(x +a +1)=(x +a)(−x +a)−=−(a +1)2x 2a 2x 2=(a +1)2a 2a =−12f (x)=log 2x +12x −12f (+)=2x 32log 2+22x +12x f (+)>(m −)2x 32log 22x >(m −)log 2+22x +12x log 22x ∀x ∈(−∞,−1) m −>02x >m −+22x +12x 2x ∀x ∈(−∞,−1]m −>02x m >12∀x ∈(−∞,−1]>m −+22x +12x 2x m <+=(+1)++22x +12x 2x 2x 1+12x ∈(0,]2x 12+1∈(1,)2x 32m ≤2<m ≤212(1)f (x)=(+1)log 21x +a f (−x)=−f (x)=−=log 2−x +a +1−x +a log 2x +a +1x +a log 2x +ax +a +1=−x +a +1−x +a x +ax +a +1(−x +a +1)(x +a +1)=(x +a)(−x +a)−=−(a +1)2x 2a 2x 2=(a +1)2a 2a =−12(2)(1)f (x)=log 2x +12x −12f (+)=2x 32log 2+22x +12x f (+)>(m −)2x 32log 22x >(m −)log 2+22x +12x log 22x m −>0,2x∴，恒成立，①，恒成立，则；②，恒成立，∴.又∵，∴，∴， 综上所述， . 18.【答案】解：是上的奇函数，. 在上为增函数证明：任意的 ，且 ，.∵ ，∴ ， ，，得：.∴在上为增函数．当时， 恒成立，即恒成立，恒成立，令 .即.令，则又在上单调递增，，.【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明不等式恒成立问题函数恒成立问题【解析】∀x ∈(−∞,−1] m −>0,2x >m −+22x +12x 2x∀x ∈(−∞,−1]m −>02x m >12∀x ∈(−∞,−1]>m −+22x +12x 2x m <+=+1++22x +12x 2x 2x 1+12x ∈(0,]2x 12+1∈(1,]2x 32m ≤2<m ≤212(1)∵f(x)R ∴f(0)==0,∴a =22+a −42+a (2)f(x)R .,∈R x 1x 2<x 1x 2f()−f()=−+=x 1x 22+12x 12+12x 22(−)2x 12x 2(+1)(+1)2x 12x 20<<2x 12x 2+1>02x 1+1>02x 2−<02x 12x 2f()<f()x 1x 2f(x)R (3)x ∈(0,1]t ⋅f(x)≥−22x t ⋅≥−2−12x +12x 2x ∴t ⋅(−1)≥(−2)⋅(+1)2x 2x 2x u =−1∈(0,1]2x t ≥=u −+1(u −1)⋅(u +2)u 2u g(u)=u −+12u t ≥g(u)max g(u)u ∈(0,1]g(u =g(1)=0)max ∴t ≥0此题暂无解析【解答】解：是上的奇函数， . 在上为增函数证明：任意的 ，且 ，.∵ ，∴ ， ，，得：.∴在上为增函数．当时， 恒成立，即恒成立，恒成立，令 .即.令，则又在上单调递增，，.19.【答案】解：∵，∴ .∵函数为偶函数，∴，即，∴，即，解得 .为减函数. 证明如下：由可知，，∴ .，，且，则∵，∴，即 .∴ ，∴ ，即为减函数．(1)∵f(x)R ∴f(0)==0,∴a =22+a −42+a (2)f(x)R .,∈R x 1x 2<x 1x 2f()−f()=−+=x 1x 22+12x 12+12x 22(−)2x 12x 2(+1)(+1)2x 12x 20<<2x 12x 2+1>02x 1+1>02x 2−<02x 12x 2f()<f()x1x 2f(x)R (3)x∈(0,1]t ⋅f(x)≥−22x t ⋅≥−2−12x +12x 2x ∴t ⋅(−1)≥(−2)⋅(+1)2x 2x 2x u =−1∈(0,1]2xt ≥=u −+1(u −1)⋅(u +2)u 2u g(u)=u −+12u t ≥g(u)maxg(u)u ∈(0,1]g(u =g(1)=0)max ∴t ≥0(1)f (x)=+3+me 2x e x e xf (x)=+m +3e x e −x f (x)f (−x)=f (x)+m =+m e −x e x e x e −x (1−m)=(1−m)e x e −x 1−m =0m =1(2)g(x)(1)f (x)=++3e x e −x g(x)=3f (x)−3=3+9e x e −x ∀x 1∈R x 2<x 1x 2g()−g()=3−3x 1x 2e −x 1e −x 2=3(−)=e −x 1e −x 23(−)e x 2e x 1e x 1e x 2=3(−)e x 2e x 1e +x 1x 2<x 1x 2<e x 1e x 2−>0e x 2e x 1g()−g()>0x 1x 2g()>g()x 1x 2g(x)【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明【解析】（1）变形可得： . 函数为偶函数，∴，即，即，所以，即 .（2）由（1）可得，∴ ， 可知为减函数，证明如下：，且，则 ∵，∴，即 . ∴ ，∴ ，所以为减函数．【解答】解：∵，∴ .∵函数为偶函数，∴，即，∴，即，解得 .为减函数. 证明如下：由可知，，∴ .，，且，则 ∵，∴，即 .∴ ，∴ ，即为减函数．f (x)=+m ⋅+3e x e −x f (x)f (−x)=f (x)+m ⋅=+m ⋅e −x e x e x e −x (1−m)=(1−m)e x e −x 1−m =0m =1f (x)=++3e x e −x g(x)=3f (x)−3=3+9e x e −x g(x)∀,∈R x 1x 2<x 1x 2g()−g()=3−3=3(−)=x 1x 2e −x 1e −x 2e −x 1e −x 23(−)e x 2e x 1e x 1e x 2=3(−)e x 2e x 1e +x 1x 2<x 1x 2<e x 1e x 2−>0e x 2e x 1g()−g()>0x 1x 2g()>g()x 1x 2g(x)(1)f (x)=+3+m e 2x e x e xf (x)=+m +3e x e −x f (x)f (−x)=f (x)+m =+m e −x e x e x e −x (1−m)=(1−m)e x e −x 1−m =0m =1(2)g(x)(1)f (x)=++3e x e −x g(x)=3f (x)−3=3+9e x e −x ∀x 1∈R x 2<x 1x 2g()−g()=3−3x 1x 2e −x 1e −x 2=3(−)=e −x 1e −x 23(−)e x 2e x 1e x 1e x 2=3(−)e x 2e x 1e +x 1x 2<x 1x 2<e x 1e x 2−>0e x 2e x 1g()−g()>0x 1x 2g()>g()x 1x 2g(x)。
高一数学练习题(七)
练习题(七)班级 姓名 考号 考场号密封线内不得答题一、选择题（每小题3分，共36分）1、在等差数列8、5、2… 中20a 为A. 65B. －52C. －49D. －20 2、公差不为0的等差数列{}n a 中，236,,a a a 成等比数列，则公比q 为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 43、在等比数列{}n a 中，7114146,5a a a a =+=，则2010aa =A.23 B. 32 C. 2332或 D. 233－或－24、设x y ≠,以下的数12,,,x a a y 和123,,,,x b b b y 分别是不同的等差数列,那么2132a ab b --的值为A. 23B. 1C. 34D. 435、在等差数列{}n a 中，10120,S =那么110a a +的值为A. 12B. 24C. 36D. 486、等差数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，那么它的通项公式为A.21n a n =-B. 21n a n =+C. 41n a n =+D. 41n a n =- 7、已知{}n a 是等比数列，31,2a q ==，则5a =A. 2B. 4C. 12D. －48、已知等差数列{}n a 中，1626log 2,log 3a a ==，则3a = A. 0 B. 69log 2C. 1D. 4 9、在等比数列{}n a 中，35a a 和是二次方程250x kx ++=的两根，则246a a a 的值为A. ±B.-10、首项为125，第10项为开始比1大的项，此数列的公差的取值范围是A. 875d >B. 325d <C. 382525d <<D. 837525d <≤ 11、设{}n a 是正数组成的等比数列，且公比1q ≠，则1845a a a a ++与的大小关系是 A. 1845a a a a +>+ B. 1845a a a a +<+ C. 1845a a a a +=+ D. 与公比的值有关 12、已知,,a b a b +成等差数列，,,a b ab 成等比数列，0log ()1m ab <<，则m 的取值范围是 A. 8m > B. 1m > C. 18m << D. 018m m <<>或二、填空题（每小题3分，共12分） 13、在数列1,1,2,3,5,8,13,,34,55,x 中，x 的值为_____________14、已知等差数列的前n 项和223n S n n c =++，则c ＝_____________15、在等比数列{}n a 中，若2348,60,_________n n n S S S === 16、在等比数列{}n a 中，若510152,10,__________a a a ===则三、解答题（共6小题，共52分）17、（6分）已知数列{}n a 是等差数列,221n n n b a a +=-,求证: {}n b 也是等差数列18、（8分）在等比数列{}n a 中，52a =，求： （1）19283746a a a a a a a a +++的值 （2）1239a a a a 的值19、（8分）已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且*lg(1)()n S n n N +=∈，证明：数列{}n a 是等比数列20、10分）求和11111111(1)(1)(1)224242n n S -=+++++++++++21、（10分）设集合{|2,},{|3,}A x x n n Z B x x k k Z ==∈==∈集合，集合{|||60,[0,)}C x x x =≤∈+∞，求：A B C 的元素和是多少？22、、（10分）数列{}n a 的前n 项和为11,1,21,(1)n n n S a a S n +==+≥。
新人教a版高一数学同步测试(7)第二单元(对数函数)
新课标高一数学同步测试（7）第二单元（对数函数）、选择在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）1对数式log a/（5-a）二b中，实数a的取值范围是（）A .(-：：,5) B.(2,5) C .(2, D . (2,3) (3,5)2.如果l gx=lga+3lgb —5lgc,那么()3ab ab3 3 3A . x=a+3b—c B.x 一 C .x 5 D . x=a+b —c 5c °_ c53. 设函数y=lg(x2—5x)的定义域为M，函数y=lg(x —5)+lgx的定义域为N，贝V ( )A . M U N=R B. M=N C. M=N D . M —N4. 若a>0, b>0, ab> 1, log i a =ln2，则log a b与log 1 a 的关系是( )2 2A . log a b v log 1 a B. log a b= log 1 a2 2C. log a b> log1 aD. log a b< log〔a2 225. 若函数log2(kx +4kx+3)的定义域为R,则k的取值范围是()〔a 「a ; 3i / 和1〔3」I 4丿[4丿[4」14丿1 -7.已知函数g(x)二f(x) ，其中log2f(x)=2x, x，R，则g(x)f (x)A.是奇函数又是减函数B.是偶函数又是增函数C.是奇函数又是增函数 D .是偶函数又是减函数&北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新现有总车辆数的（参考数据：1. 14 5 =1.46, 1 . 1 =1.61)A . 10%B . 16 . 4%9.如果y=log a2—1x在(0, +^)内是减函数，则A . I a |> 1( )C . 16 . 8%a的取值范围是C . a ：： - •2D . 20%10 .下列关系式中，成立的是A. log3 4 B . log 1 1031 ^34[5：D . 1峯 10>log 34 气5丿 请把答案填在题中横线上(每小题6分，共24分).C . log 3 log ! 10 > - |3 二、填空题:log 1 (2 -x 2)的定义域是 _____________ 12.方程 log 2(2x +1)log 2(2x+1+2)=2 的解为 ___________ 13•将函数y =2x 的图象向左平移一个单位，得到图象 C 1,再将C 1向上平移一个单位得到图象 C 2,作出C 2关于直线y=x 对称的图象C 3,贝y C 3的解析式为 _______________ . 214•函数y= log 1 (x 4x -12)的单调递增区间是___________________ . 2 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (共76分). X +1 (12分)已知函数 f (x) =log 2 Iog 2(x -1) log 2( p - x). x -1(1)求函数f (x)的定义域；(2)求函数f (x)的值域. 11 .函数y,值域是 15. 16.（ 12分）设 x , y , z € R +，且3x =4y =6z . 1 1 1 （1）求证： ；（2）比较3x , 4y , 6z 的大小. z x 2y 17.( 12分)设函数 f (x) = lg(x x 2 1). (1)确定函数f (x)的定义域； ⑵判断函数f (x)的奇偶性； ⑶证明函数f (x)在其定义域上是单调增函数; ⑷求函数f(x)的反函数.118•现有某种细胞10°个，其中有占总数2的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1°10个？(参考数据：lg3 =0.477,lg 2 = 0.301)19. (14分)如图，A , B, C为函数y = Iog1 x的图象2上的三点，它们的横坐标分别是t, t+2, t+4(t-1).(1) 设ABC的面积为S求S=f⑴；(2) 判断函数S=f (t)的单调性；⑶求S=f (t)的最大值.220.( 14分)已求函数y = log a(x-X )(a・0, a=1)的单调区间15. 解：(1)函数的定义域为(1 , P ).(2)当 p >3时，f (X )的值域为(—8, 2log 2(p +1)- 2); 当 1v p E3 时，f (x)的值域为(-：：,1+log2(p+1)).16.解：(1)设 3X =4y =6z =t.•/ x > 0, y > 0, z > 0,二 t > 1, lgt > 0,1 1 Ig 6 lg3 Ig2 Ig 4 1 z xlg tlg tlg t2lg t2y(2)3X V 4y < 6z.则 t 1 —t 2 =(X 1 . X ； 7) _(X 2. X ； 1).= (X 1 -X 2) ( X ； 1 _ X ； 1)(X1 二X 2)(X 1_X 2)X ； 1 .. X ； 1 (X 1「X 2)( . X ；哥 1 X 2Q 1 X 1 X 2X 11 21 , x ； 1••• x 1- x 2< 0, , x-2 1 ■ x 1 0, . x | 1 x 2 0 , . x 2 1 ； x ； 1 0 ,-t 1 ..t 1 — t 2 < 0,. 0< t 1< t 2,. 0 ：：：——-1 ,t 2.f (x 1) — f (x 2)< lg1=0 ,即 f (x 1)< f (x 2),. 函数 f(x)在 R 上是单调增函数先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数,1 1 3100 100 2 100 ； 2 2 213100 ■ 1 3 100 2 =9 100 ； 2 2 2 2 4(4)反函数为102x -1(x R).DCCAB BDBDA、11•一 2-1 1, 2 , 0,：：;参考答案(7)12- 0 ；13・ y =log 2(X-1)-1 ；14 • (-：：,-2)；x = log s t皿必z 止lg3 lg4 lg617 .解:2(1)由 j X +^x +1 >0 得x € R , 定义域为R. (2)是奇函数.(3)设x 1, X 2€ R ,且x 1<x 2,则 f(X 1)_f (X 2)= (X 1 _X 2)18 .解：现有细胞100个, 1小时后，细胞总数为2小时后，细胞总数为=lg ' X 23小时后，细胞总数为 1 - 100：：；丄-100 2二27 100 ；2 42 4 84小时后，细胞总数为 1 27 100亠1 27 100 2 81 100 ；2 8 2 8 16 y 与时间x (小时)之间的函数关系为： 可见，细胞总数 y =100 ?，x ・N “ l 2丿3 108，两边取以10为底的对数，得xlg 8， > 2 ，由 100 3 28x .lg3」g2 x 45.45 .答：经过46小时，细胞总数超过1010个.19•解：(1)过A,B,C,分别作AA 1,BB 1,CC 1垂直于x 轴，垂足为人1启1,&， 则 S=S 梯形 AA 1B 1B +S 梯形 BB 1C 1C — S 梯形 AA ’C ’C . >10, 得3 x 28 8 45.45， lg3 -lg 2 0.477「0.3012t 2+4t 4 = log 1 2»og 3(1 p )3 (t 2)2t 2 4t (2)因为v= t 2 4t 在［1,…)上是增函数，且v-5, v =1 4 在 5. v +旳)上是减函数，且1<u 兰9 ;S = log 3 u 在 5'1 - I 上是增函数，「5 所以复合函数S=f(t) = log 3(1 \2 "樂)在1,=上是减函数(3)由(2)9 知t=1时，S 有最大值，最大值是f (1) = log 3 2 — log 3 5 5 20.解：由x2 2 -x >0得0<x<1，所以函数y = log a (x —x )的定义域是(0,1)2 !<1 4 4， 2 1 所以，当0<a<1 时，log a (x — x 2)兰 log a 一4函数 y=log a (x —x 2)的值域为 log a 1 •::; IL 4' 2 1当a 〉1时，log a (x —X log a -42函数y = log a (x - x )的值域为因为0< x _X 2= _(x _丄) 21 loga- 4当0<a<1 时，函数 y =log a (x_x 2)在(0 1 1 I ‘2」当 a>1 时，函数 y = log a (x -x 2)在 01I 2」上是减函数，在 J 1上是增函数；Z 丿上是增函数，在'i- 1 i 上是减函数.，21。
高一下学期数学同步测试(7)
高一下学期数学同步测试（7）北京英才苑学科专家组安振平审定_－_学年度下学期高中学生学科素质训练高一数学同步测试(7)—函数y=Asin(ω+)的图象一.选择题(每小题5分,共60分,请将所选答案填在括号内)1．函数的图象( )A．关于原点对称B．关于点(－,0)对称C．关于y轴对称 D．关于直线_=对称2．要得到的图象只需将y=3sin2_的图象( )A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位3．如图,曲线对应的函数是( )A．y=sin_B．y=sin_C．y=－sin_D．y=－sin_4．已知f(1+cos_)=cos2_,则f(_)的图象是下图中的( )5．如果函数y=sin2_+αcos2_的图象关于直线_=－对称,那么α的值为( )A． B．－ C．1D．－16．已知函数在同一周期内,时取得最大值,时取得最小值－,则该函数解析式为( )A．B．C．D．7．方程的解的个数为( )A．0 B．无数个C．不超过3 D．大于38．已知函数那么函数y=y1+y2振幅的值为 ( )A．5 B．7 C．13 D．9．已知的图象可以看做是把的图象上所有点的横坐标压缩到原来的1/3倍 (纵坐标不变)得到的,则=( )A． B．2 C．3D．10．函数y=－_·cos_的部分图象是( )11．函数的单调减区间是( )A．B．C． D．12．函数的最小正周期为( )A．πB．C．2πD．4π二.填空题(每小题4分,共16分,答案填在横线上)13．若函数的周期在内,则k的一切可取的正整数值是.14．函数的最小值是．15．振动量的初相和频率分别为,则它的相位是．16．函数的最大值为．三.解答题(本大题共74分,17—21题每题12分,22题14分) 17．已知函数(１)求的最小正周期;(２)求的单调区间;(３)求图象的对称轴,对称中心.18．函数的最小值为－2,其图象相邻的最高点与最低点横坐标差是3π,又图象过点(0,1)求这个函数的解析式.19．已知函数=sin2_+acos2_在下列条件下分别求a的值.(１)函数图象关于原点对称;(２)函数图象关于对称.20．已知函数的定义域为,值域为[－5,1]求常数a.b的值．21．如图,表示电流强度I与时间t的关系式在一个周期内的图象.(１)试根据图象写出的解析式;(２)为了使中t在任意一段秒的时间内I能同时取最大值A和最小值－A,那么正整数的最小值为多少?22．已知α.β为关于_的二次方程的实根,且,求θ的范围．高一数学同步测试(7)参考答案一.1．B 2．C 3．C 4．C 5．D 6．B 7．C 8．D 9．C 10．D 11．B 12．B二.13．26.27.28 14．1/2 15．2π_－π16．三.17．(1)T=π;(2)的单增区间,的单减区间;(3)对称轴为18．,对称中心为19．(1)a=0; (2)a=－1．20．．故a.b的值为21．(1)．(2)．22．审定意见:试题整体质量较高,对试题中的个别题号.标点符号进行了修改. 审稿人:安振平。
高一暑假作业数学同步练习
高一暑假作业数学同步练习暑假期间不能够吧学业落下，精品小编预备了高一暑假作业数学同步练习，期望你喜爱。
一选择题(本大题共小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合,则A. (-1,1)B.(-2,1)C.(-2,2)D.(0,1)2.已知二次函数，假如a0,c0，那么那个函数图像的顶点必在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.等差数列的一个通项公式为( )A. B.C. D.4.在中，若，则的值为( )A. B. C. D.5.若平面向量与向量平行，且，则( )A. B. C. D.或6.下列各对不等式中同解的是( )A.与B.与C.与D.与7.算法的有穷性是指( )A、算法的最后包含输出B、算法中的每个步骤差不多上可执行的C、算法的步骤必须有限D、以上说法都不正确8.已知则的值为( )A. B. C. D.本大题共小题，每小题5分，.设函数，则的单调递减区间是。
1.平面向量中，已知，，且，则向量______。
1.函数的最小正周期是___________________。
.给出下列命题：①存在实数，使;②若是第一象限角，且，则;③函数是偶函数;④函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象.其中正确命题的序号是____________.(把正确命题的序号都填上)三.解答题(本大题共小题，每小题分，.214.设为数列的前项和，，，其中是常数.(I) 求及;(II)若关于任意的，，，成等比数列，求的值..在等差数列中, 求的值。
.在△ABC中，若，请判定三角形的形状。
1.D2.D3.D4.B5.D 解析：设，而，则6.B 解析：关于A.与关于C.与关于D.与，当时，不成立7.C8.D 解析：. 解析：，递减则，1. 解析：设1. 解析：.③解析：关于①，;关于②，反例为，尽管，然而关于③，120、x=37.解析：(Ⅰ)当，体会，()式成立，(Ⅱ)成等比数列，，即，整理得：，对任意的成立，.解析：.解析：唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义差不多相去甚远。
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练习时限：60分钟 学生姓名_________ 班级_____ 学号_____ 教师评定___________
单元测试（一）
一、选择题：（每小题6分）
1.设M={x|x ≤4},a=35,则下列结论正确的是( )
A.{a}≠
⊂M B.a ⊆M C.{a}∈M D.a ∉M 2.设集合A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},则A ∩B 为 ( )
A.(1,2)
B.{1,2}
C.{(1,2)}
D.ф
3.满足{1,2}⊆X ⊆{1,2,3,4}的集合X 的个数是( )
A.8
B.7
C.6
D.4
4.下列各对函数中,相等的是( )
A.y=x 与y=2x
B.y=x x
与y=x 0 C.y=(x )2与y=|x| D.y=11-⋅+x x 与y=)1)(1(-+x x
5.若方程x 2-5x+6=0和方程x 2-x-2=0的解为元素的集合为M,则M 中元素的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题: （每空6分）
6.设直线y=2x+3上的点集为P,则用描述法表示P=____________,点(2,7)与P 的关系为(2,7)_______P.
7.已知集合A={1,1+x,1+2x},B={1,y,y 2},且A=B,则实数x=________,y=__________.
8.若f(x)=x 2+bx+c,且f(1)=0,f(3)=0,则f(-1)=____________.
9.已知集合A={1,2,3,x},B={3,x 2},且A ∪B={1,2,3,x},则x=_________. 10.y=2||3--x x
的定义域为_____________.
三、解答题:
11.(15分)已知全集U=R,集合A={x|-4≤x<2},B={x|-1<x<3},C={x|x ≤0或x ≥25}.
求:A ∪B,(A ∪B)∩C,C ∪(A ∩B ∩C).(请用集合和区间两种形式表示)
12.(13分)已知集合A={x|x 2-ax+a 2
-12=0},B={2,3},且φ≠⊂(A ∩B),A ⊆B,求实数a 的值.
四、附加题:
13. (10分)设全集U={(x,y)|x,y ∈R},集合M={(x,y)|
123=--x y },N={(x,y)|y ≠x+1}, CuM ∩CuN=_______________.。