高明一中高三数学(文科)两周一练测试题(6)

高明一中高三数学（文科）两周一练测试题（6）参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合{}2,4,8M =的真子集的个数为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 2．不等式2320x x -+<的解集是A ．{}21x x x <->-或B ．{}12x x x <>或C ．{}21x x -<<-D ．{}12x x <<3．函数cos y x =的一个单调递增区间为A ．,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．()0,π C ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),2ππ 4．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a =A ．342n⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭ B ．243n⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭ C ．1342n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭ D ．1243n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭5．抛物线24y x =上一点M 到焦点的距离为3，则点M 的横坐标x =A ．1B ．2C ．3D ．4 6．设复数z 满足i 2i z =-，则z =A ．12i --B ．12i -+C ．12i -D ．12i + 7．已知向量()1,1=a ，()2,n =b ，若+= a b a b ， 则n =A ．3-B ．1-C ．1D ．3 8．如图1所示，是关于闰年的流程，则以下年份是 闰年的为A ．1996年B ．1998年C ．2010年D ．2100年 9．已知α，β是平面，m ，n 是直线，给出下 列命题①若α⊥m ，β⊂m ，则βα⊥． ②若α⊂m ，α⊂n ，m β ，n β ， 则αβ ．③如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线， 那么α与n 相交．④若m αβ= ，n ∥m ，且βα⊄⊄n n ,，图1则n ∥α且n ∥β． 其中正确命题的个数是A ．4B ．3C ．2D ．1 10．函数()22log 1log 1x f x x -=+，若()()1221f x f x +=（其中1x 、2x 均大于２），则()12f x x 的最小值为 A ．35 B ．23 C ．45 D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分． 11．已知b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数，定义域为]2,1[a a -，则b a += 。

12．已知双曲线2214x y m-=的离心率为2，则实数m = ． 13．函数x x y cos sin +=的最小正周期是14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点()1,0到直线()cos sin 2ρθθ+=的距离为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图所示，AB 与CD 是O 的直径，AB ⊥CD ，P 是AB 延长线上一点，连PC 交O 于点E ，连DE 交AB 于点F ，若42==BP AB ，则=PF ．C高明一中高三数学（文科）两周一练测试题（6）答题卡班级 姓名 学号 成绩一．选择题二．填空题11． 12． 13． 14． 15．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知射手甲射击一次，命中9环（含9环）以上的概率为0.56，命中8环的概率为0.22，命中7环的概率为0.12．（1）求甲射击一次，命中不足8环的概率；（2）求甲射击一次，至少命中7环的概率.17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，1cos 4B =．（1）求b 的值；（2）求sin C 的值．18．（本小题满分14分） 如图4所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，E ，F ，G 分 别为PC 、PD 、BC 的中点．（1）求证：PA 平面EFG ；（2）求三棱锥P EFG -19．（本小题满分14分） 已知曲线L 上任意一点P 到两个定点()1F 和)2F 的距离之和为4．（1）求曲线L 的方程；（2）设过()0,2-的直线l 与曲线L 交于C 、D两点，且0OC OD ⋅=（O 为坐标原点），求直线l 的方程．20．（本小题满分14分）设函数3221()231,0 1.3f x x ax a x a =-+-+<< （1）求函数)(x f 的极大值；（2）若[]1,1x a a ∈-+时，恒有()a f x a '-≤≤成立（其中()f x '是函数()f x 的导函数），试确定实数a 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，*n ∈N ）．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设14(1)2(n a n n n b λλ-=+-⋅为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n b b >+1成立．高明一中高三数学（文科）两周一练测试题（6）参考答案5分，满分50分．10．方法1：由()()1221f x f x +=，得()22212122log 11log 1log 21x x x -+=++，即22214log log 1x x =-．于是()212212221214log log log log 5log 1x x x x x x =+=+≥-，所以()()()()21212212212log 1221log 1log 13x x f x x x x x x -==-≥++．方法2：由()()1221f x f x +=，得()()22212122log 21log 11log 1log 21x x x x --+=++，即22214log log 1x x =-．于是()221212122122212121log log 44log log log log log 1log 1x x xx x x x x x -+=+=+=--， 则()()()2212122212log 125log 13x x t t f x x x x t --+==++（其中21log 1t x =>），再利用导数的方法求解．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共5小题，每小题5分，满分20分．11．13 12．12 13．π 14 15．3 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）解：记“甲射击一次，命中7环以下”为事件A ，“甲射击一次，命中7环”为事件B ，由于在一次射击中，A 与B 不可能同时发生，故A 与B 是互斥事件， （1）“甲射击一次，命中不足8环”的事件为A B +，由互斥事件的概率加法公式，()()()0.120.10.22P A B P A P B +=+=+=．答：甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22．…………………………………6分 （2）方法1：记“甲射击一次，命中8环”为事件C ，“甲射击一次，命中9环（含9环）以上”为事件D ，则“甲射击一次，至少命中7环”的事件为A C D ++， ∴()()()()0.120.220.560.9P A C D P A P C P D ++=++=++=．答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．…………………………………12分 方法2：∵“甲射击一次，至少命中7环”为事件A ， ∴)(1)(A P A P -==1－0.1＝0.9．答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．…………………………………12分 17．（本小题满分12分） 解：（1）由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，………………………………………2分得222123223104b =+-⨯⨯⨯=，…………………………………………………4分∴b =……………………………………………………………………………6分（2）方法1：由余弦定理，得222cos 2a b c C ab +-=，……………………………8分=，……………………10分 ∵C 是ABC ∆的内角，∴sin C ==12分 方法2：∵1cos 4B =，且B 是ABC ∆的内角，∴sin B =8分 根据正弦定理，sinb cC=，……………………………………………………10分得3sin sin c B C b ===． ……………………………………………12分 18．（本小题满分14分）（1）证法1：如图，取AD 的中点H ，连接,GH FH ， ∵,E F 分别为,PC PD 的中点，∴EF CD ．∵,G H 分别为,BC AD 的中点，∴GH CD ．∴EF GH ． ∴,,,E F H G 四点共面．……………………………………………………………2分 ∵,F H 分别为,D P D A 的中点，∴P A F ．…………………………………4分∵PA ⊄平面EFG ，FH ⊂平面EFG ，∴PA 平面EFG ．…………………………………………………………………6分 证法2：∵,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点，∴EF CD ，EG PB ．…………………………………………………………2分 ∵CD AB ，∴EF AB ．∵PB AB B = ，EF EG E = ，∴平面EFG 平面PAB ． ………………5分 ∵PA ⊂平面PAB ，∴PA 平面EFG ． ………………………………………6分 （2）解：∵PD ⊥平面ABCD ，GC ⊂平面ABCD ，∴GC PD ⊥．∵ABCD 为正方形，∴GC CD ⊥．∵PD CD D = ，∴GC ⊥平面PCD ．…………………………………………8分∵112PF PD ==，112EF CD ==，∴1122PEF S EF PF ∆=⨯=．…………10分∵112GC BC ==，∴111113326P EFG G PEF PEF V V S GC --∆==⋅=⨯⨯=．…………14分19．（本小题满分14分） 解：（1）根据椭圆的定义，可知动点M 的轨迹为椭圆，………………………………1分 其中2a =，c =1b =．………………………………………2分所以动点M 的轨迹方程为2214x y +=．……………………………………………4分（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．……………………………………5分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =-，设11(,)C x y ，22(,)D x y ，∵0OC OD ⋅=，∴12120x x y y +=．……………………………………………7分 ∵112y kx =-，222y kx =-，∴21212122()4y y k x x k x x =⋅-++．∴ 21212(1)2()40k x x k x x +-++=．………… ① …………………………9分由方程组221,4 2.x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()221416120k x kx +-+=．…………………………………………………11分 则1221614kx x k +=+，1221214x x k⋅=+， 代入①，得()222121612401414kk k kk+⋅-⋅+=++． 即24k =，解得，2k =或2k =-．……………………………………………13分 所以，直线l 的方程是22y x =-或22y x =--．……………………………14分 20．（本小题满分14分） 解：（1）∵2234)(a ax x x f -+-='，且01a <<，…………………………………1分当0)(>'x f 时，得a x a 3<<；当0)(<'x f 时，得a x a x 3><或； ∴)(x f 的单调递增区间为(,3)a a ；)(x f 的单调递减区间为),(a -∞和),3(+∞a ．…………………………………3分故当3x a =时，)(x f 有极大值，其极大值为()31f a =． …………………4分（2）∵()()2222432f x x ax a x a a '=-+-=--+，当103a <<时，12a a ->， ∴()f x '在区间[]1,1a a -+内是单调递减．…………………………………………6分∴[]()[]()2max min 861,21f x f a a a f x f a a ''''==-+-==-（）1-（）1+．∵()a f x a '-≤≤，∴2861,21.a a a a a ⎧-+-≤⎨-≥-⎩此时，a ∈∅．…………………………………………………………………………9分 当113a ≤<时，[]()2max 2f x f a a ''==（）． ∵()a f x a '-≤≤，∴22,21,861.a a a a a a a ⎧≤⎪-≥-⎨⎪-+-≥-⎩即01,1,3a a a ⎧⎪≤≤⎪⎪≥⎨≤≤ ……11分此时，13a ≤13分综上可知，实数a的取值范围为13⎡⎢⎣⎦．…………………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）由已知，()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ）， ………………2分即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），且211a a -=．∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．∴1n a n =+．…………………………………………………………………………4分 （2）∵1n a n =+，∴114(1)2n n n n b λ-+=+-⋅，要使n n b b >+1恒成立，∴()()112114412120nn n n n n n n b b λλ-++++-=-+-⋅--⋅>恒成立，∴()11343120n nn λ-+⋅-⋅->恒成立，∴()1112n n λ---<恒成立．…………………………………………………………6分（ⅰ）当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立，…………………………………………7分 当且仅当1n =时，12n -有最小值为1，∴1λ<．………………………………9分（ⅱ）当n 为偶数时，即12n λ->-恒成立，………………………………………10分当且仅当2n =时，12n --有最大值2-， ∴2λ>-．………………………12分 即21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-．综上所述，存在1λ=-，使得对任意*n ∈N ，都有1n n b b +>．………………14分。