第7章 机电系统的建模

磁盘旋转速度在1800rpm到7200rpm，相当于磁头在磁盘上方 不到100nm的地方“飞行”，位置精度指标初步定为1μm，要求做 到使磁头由一个磁道移到另一个磁道所花的时间小于10ms。 至此，我们可以给出如下图所示的初步的系统结构，该闭环系 统利用电机驱动磁头臂到达预期的位置。
由上图可以确定系统的执行机构、传感器和控制器，然后建立 控制对象和传感器等元件的模型。 磁盘驱动器读取系统采用永磁直流电机驱动读取手臂的摆动。 磁头安装在一个与手臂相连的簧片上，它读取磁盘上各点处不同的 磁通量并将信号提供给放大器，簧片（弹性金属制成）保证磁头以 100nm的间隙悬浮于磁盘上方。
第7章
机电系统的数学建模
机电系统主要是由机械系统和电气系统构成的。通常 数学建模可分为电气和机械两部分进行。在数学建模中要 分别考虑各自系统的特点及其建模方法，再综合建立系统 模型。 本节的知识将通过实例讨论建模问题。
例7.1
建立如图所示的电枢控制式直流电动机运动模型。
Ra
La
解 （1）系统工作原理分析：
该系统由一个电动机和一套由 转动惯量I 及旋转阻尼 C 组成。 ei (t ) 电动机电枢电阻和电感不可忽 略，考虑串联在电回路中。机 械系统中转动惯量与阻尼具有 相同的运动速度，按并联处理。

em
I
C
（2）系统输入变量为
ei (t ，输出变量为 )
。设中间变量
ia 通过电枢绕组的电流；em 电动机感应电动势； T 电机转矩； 电动机与机械轴耦合： K T ia T em K e
J Jm J L / i2 负载（折算至电机轴上 的总转动惯量 J 和总粘性摩擦系数 f，忽略负载力矩） f f m f L / i 2
i Z1 / Z 2
对上述各式进行拉氏变换，并消去中间变量，可得到系统的 开环传递函数为 K s K aCm C ( s ) i G( s ) r ( s ) s[(La s Ra )(Js f ) C m K b ]
例7.4 打印机皮带驱动器
常用低价位打印机通常配有皮带驱动器，用于打印头沿打印页 面横向移动，下图给出一个装有直流电机的皮带驱动式打印机的实 例。在该系统中，光传感器用来测定打印头的位置，皮带张力变化 用于调节皮带的实际弹性状态。本例的目的是建立系统状态空间数 学模型。
打印机皮带驱动器系统
下图给出了皮带轮驱动系统的基本模型。模型中皮带弹性系数 为k，滑轮半径为r，电机轴转动角为θp，打印头质量为m，位移为 y(t)。光传感器用于测量位移y，其输出电压为v1,且v1 =k1y。控制 器输出电压为v2，它是v1的函数。假设v2与v1具有线性关系： dv1 v 2 k2 k3v1 dt
对直流伺服电动机数学模型的物理认识
a.在稳态情况下，加在电枢上的电压主要被什么平衡？ b.在过渡过程中，电枢电流如何变化呢？ c.在稳态过程中电枢电流与负载电流是什么关系？ d.在过渡过程中哪部分电流产生了加速度？
e.电动机转速又是如何建立起来的呢？
IL
Ud
+ -
1 R jwL
Id +
-
Cm Ce J S
接下来推导描述电机旋转运动的微分方程。当L=0时，电机绕 组电流 i v2 / R ，而电机转矩为 Tm K m i ，于是有： Km Tm v2 R 电机输出转矩包括驱动皮带所需的有效转矩T 和克服扰动或无 负载所需的转矩Td，因此又有： 有效转矩T 驱动电机轴带动滑轮运动，因此应有： d 2 d T J 2 b r (T1 T2 ) dt dt dx 3 d 2 再注意到： 2 dt dt dx 3 Tm Td b 2kr 故有： x3 x1 dt J J J Km dy 其中Tm v 2 , v 2 k1k 2 k1k 2 x2。于是最后可得到： R dt dx3 K m k1k 2 Td b 2kr (7.5.3) x2 x3 x1 dt JR J J J
.
（3）根据各部分工作原理列出运动方程 dia 电气回路： ei ia Ra La em dt 耦合关系： T K T ia
(1) (2) (3)
em K e 机械系统： T I C
.. . 1 （2 ）带入（）得： ia 4 ( I C ) KT .. .
由于系统只有速度反馈 ，则k3 0。
打印机皮带驱动器模型
电机和滑轮的转动惯量之和为J =J 电机+J 滑轮，电机的绕组磁场 电感忽略不计L≈0，绕组电阻为R，电机系数为Km。 下面我们来推导系统的运动方程。注意到 y = rθp，可知皮带张 力T1、T2分别为：
T1 k (r rp ) k (r y ) T2 k ( y r )
图7.6.2中的偏差信号是在磁头读取磁盘上预先录制的索引磁道 时产生的。 建立图7.6.3所示框图模型。我们假定磁头足够精确，传感器环 节的传递函数为H(s)=1；同时，作为足够精确的近似，我们用例7.3 给出的直流电机驱动模型来对激励电机和臂建模（式7.6.1）；图中 也给出了线性放大器的模型。
和齿轮2的角速度分别是ω1和ω2 。 齿轮2的转动惯量和粘性组尼系数 分别用J1、C1和J2、C2表示。 通过牛顿定律，得以下方程
输入轴(1)
齿轮1( Z1 )
输入 扭矩Tm
1
输出轴( 2)
J 1 1 C11 T1 Tm
J 2 2 C 2 2 TL T2
式中：T1是由齿轮传动引起的齿轮1 上的负载转矩， T2是传递到齿轮2的 转矩。
.
方程可简化为
例7.3 建立如图所示位置随动系统的数学模型
r
1
Ks
2
Ra
La
C
m
M
fL
Z2 Z1 JL
E
us
Ka
ua i a Eb
i f 常数
解 （1）系统工作原理分析：该系统是一个由综合检测元件（自 整角机）、放大器、执行电动机、减速装置和负载等部分构成的负 反馈闭环位置随动系统； （2）输入变量为 r (1 )，输出变量为C ( 2 ) ； （3）根据各部分工作原理列出各机电元件的运动方程；
.
(4) (5)
（3 ）（ ）带入（）得： 5 1 La I ( La C Ra I ) ( Ra C K T K e ) K T ei
... .. .
传递函数为： G( s )
( s)
e( s )
KT G( s ) La Is 3 ( La C Ra I )s 2 ( Ra C K T K e )s
E
n
1 Ce
直流电动机的动态结构图 设一台直流伺服电动机拖动一个转动惯量为1kgm2的 负载，设其额定电压为220V，额定电流为40A，电枢回路 的电阻为1，电枢回路电感为800mH，额定转矩为 20Nm，额定转速为1200rpm，转矩系数为0.5，反电动 势系数为0.18，摩擦力矩等常值负载转矩为1Nm，试仿真 一下在突加220V直流电压情况下该伺服电动机各参数的变 化过程。
如果忽略电枢电感 La , 又令K 1 K s K a C m / iRa , F f C m K b / Ra , K 上述开环传递函数可简化为G ( s ) , s(TM s 1) 其中，K K 1 / F , TM J / F。相应的闭环传递函数是 c ( s) K Φ( s ) r ( s ) TM s 2 s K 其对应的微分方程为 d 2 c ( t ) d c ( t ) TM K c ( t ) K r ( t ) 2 dt dt
自整角机： u s K s [1 (t ) 2 (t )] K s [ r (t ) c (t )] 放大器： ua (t ) Ka u s (t ) 式中，K a为放大器增益。
dia ua ia Ra La dt Eb E K d m b b 伺服电机： dt d 2 m d m f Tm J 2 dt dt Tm Cmia 式中：La 和Ra 分别为电动机电枢绕组 的电感和电阻， Cm为转矩系数, K b为反电动势系数。
.

.
2
负载 扭矩TL 齿轮2( Z2 )
由于齿轮传动的功率不变，有 T11 T2 2 或
2 Z1 T1 T2 T2 1 Z2
. Z1 J 1 1 C11 ( J 1 1 C 2 2 TL ) Tm Z2 .
消去前面两式中的T1和T2 得下式
Z 因为 2 1 （
KT / La I G( s ) V ( s ) s((Is C )(La s Ra ) KT K e / La I )
( s)
（式7.6.1）
图7.6.3所示框图模型简化为图7.6.4所示闭环系统框图 模型，将框图模型简化为如下模型：
建立仿真 模型文件
转速过渡过程
电枢电流过渡过程
反电动势过渡过程
例7.2
建立机械传动（齿轮传动）系统数学模型
如图所示系统，由电动机通过齿轮传动驱动负载。忽略齿轮轴 柔性、齿轮侧隙、齿侧弹性变形。每个齿轮的齿数与齿轮半径成比 例，求关于输入轴的等效惯量和等效阻尼以及关于输出轴的等效惯 量和等效阻尼。齿轮1的齿数和齿轮2的齿数分别为Z1和Z2，齿轮1
Tm T Td
式（7.5.1）、 （7.5.2）、 （7.5.3）构成了描述系统运动的一 阶微分方程组，其矩阵形式为：
0 . 2k X m 2kr J
x1 X x2 x3
1 0 K m k1 k 2 JR
对轴2，齿轮传动的等效惯量 和等效粘性阻尼系数为 J 2eq Z2 J2 Z J1 , 1 Z2 C 2 eq C 2 Z C1 1 . 1 J 2eq 2 C 2 eq 2 TL Tm n