巧求幻方三阶幻方
三阶、四阶、六阶幻方解题口诀
三阶、四阶、六阶幻⽅解题⼝诀⼤家听过⼤禹治⽔的故事吗？相传在那个年代，陕西的洛⽔常常泛滥成灾，每当河⽔泛滥之时，会有⼀直乌龟浮出⽔⾯，当时⼈们也不知道为什么，只是觉得很好奇，于是⼈们开始研究这个规律。
经过⼀段时间的观察，发现后来发现乌龟背上的龟壳分为9块，横着有三⾏，竖着有三⾏，⽽且每⼀块⾥边都有⼀些⼩点，每块龟壳⾥⾯的点数刚好凑成1-9这9个数字，可是，谁也弄不清楚这些点数到底有什么含义。
直到有⼀年，河⽔还是泛滥成灾，乌龟⼜浮上了⽔⾯，这时有个⼩孩在岸边⼤喊⼤叫起来：“⼤家快来看啊，这些⼩点⾮常有趣，横着看加起来是15，竖着看，加起来也是15，斜着看加起来还是15！”这个数字之谜竟然被⼀个⼩孩⼦给想明⽩了。
后来⼤⼈们觉得⼤概河神想要每样祭品的数量是15份吧，于是赶紧抬来15头猪、15头⽜和15只⽺献给河神，果然，从此以后河⽔再也不泛滥了…当然了，这只是⼀个传说，这个乌龟上的图案就是我们要学习的内容“幻⽅”，也叫“洛书”、“纵横图”、“魔阵”等等。
接下来我们就来揭开“幻⽅”的神秘⾯纱，⼀起来学习⼀下吧！幻⽅是把1⾄n^2的⾃然数排列成正⽅形，使它的纵横均有n个数，⽽把每⾏、每列、两条对⾓线的数加起来，它们的和都是相等的，这个和叫做幻和。
幻⽅的特征是横、竖、斜相加的得数都相等，幻⽅的幻和会等于n（n^2+1）÷2。
幻⽅按照纵横各有数字的个数可分为三阶幻⽅、四阶幻⽅、五阶幻⽅、六阶幻⽅…按照纵横数字数量为奇数、偶数可分为奇阶幻⽅、偶阶幻⽅。
三阶幻⽅我们⾸先简单介绍⼀下三阶幻⽅：把1-9填⼊⽅格，使幻⽅成⽴。
它也是⼀个奇阶幻⽅，幻和是3×（3^2+1）÷2=15。
那么这⾥⾯的数字我们是怎么得来的呢？第⼀种⽅法⼝诀是：九⼦斜排，上下对易，左右更替，四维挺出。
实际就分为四个步骤：第⼀个步骤是九⼦斜排，意思呢就是按照图中的形状斜着排列1-9的9个数字；第⼆个步骤是上下对易，也就是最顶端的数字和最底端的数字1和9对换；第三个步骤是左右更替，即将最左端和最右端的两个数字7和3对换；第四个步骤是四维挺出，如图所⽰把这四个数字向四个⽅向分别挺出。
三阶幻方最简单的口诀
三阶幻方最简单的口诀1. 幻方的魅力你有没有听说过三阶幻方？这东西可有意思了，简单来说，就是一个3×3的方阵，里面填上1到9的数字，要求每一行、每一列和两个对角线的数字加起来都得是同一个数。
听起来是不是有点复杂？别着急，咱们慢慢聊。
首先，咱们得知道，这个“同一个数”其实是15。
因为1+2+3+4+5+6+7+8+9加起来是45，而这个45再分成三组，每组15。
想想看，真的挺神奇的吧！这就像是数学里的魔法，既简单又有趣。
说到这，谁还没被这样的魔法吸引呢？2. 如何排列2.1 排列步骤要想轻松搞定三阶幻方，我们得有个简单的口诀。
听好了，首先，把数字1放在中间上方的格子里。
然后，接下来放的数字要遵循一个“左上右下”的原则。
具体点说，就是当你放了一个数字之后，接下来的数字应该在它的右上方，如果那个位置已经有数字了，那就往下移动一格，继续放。
2.2 举个例子比如说，第一步你放上1，然后接下来的数字2，你就要放在1的右上方，结果发现位置空着，就放上去。
接着放3，你会发现3的右上方位置又空着，继续放。
如果不小心越过了边界，别担心，直接从对面的边界进来就行。
记住，永远都不能让数字重叠。
这样排下去，慢慢的，你会发现所有的数字都能填满，最后的结果可真是让人眼前一亮。
虽然看起来好像有点绕，但其实只要试几次，你就能熟能生巧，像老手一样轻松掌握。
3. 幻方的乐趣3.1 朋友聚会的小把戏你可以想象一下，在朋友聚会的时候，突然用这个三阶幻方给大家来一段小表演，肯定能吸引眼球。
大家围过来，啊呀，怎么做到的呀！你就可以得意洋洋地跟他们说：“这可是我最近学会的绝活！”多么拉风啊，简直就像是从魔术师的手中变出来的一样。
3.2 学习中的好帮手而且，这三阶幻方还不仅仅是个游戏。
它还可以锻炼我们的逻辑思维，特别适合那些喜欢挑战自己的朋友们。
就像古人说的“开卷有益”，我们在玩乐中学习，顺便培养我们的耐心和专注力，真是一举两得。
在这个快节奏的生活中，抽出一点时间，和家人朋友一起围坐，动动脑筋，不仅能拉近彼此的距离，也能享受那种解谜后的成就感。
小学奥数三阶幻方讲解归纳(1)
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三阶幻方中的规律：
规律3:与中间数对应的上下Hale Waihona Puke 左 右、对角两个数字的和=中间 数×2
4 92
三
阶 3 57
幻
方 81 6
规律4：角上的数字=对角相 邻的两数字和的一半
492 3 57 816
提高：
?2
2a-1 2
a
a
?
1
2a-2 1
练一练：
完成下列三阶幻方：
3 4 -1
① -2 2 6
小学奥数三阶幻方讲 解归纳(1)
三阶幻方中的规律：
1、每行、每列、每条对角线上三个数 的和都相等，都等于幻和。 2、9个数的中位数在幻方的最中心。 3、幻和等于中间数的3倍。 4、每“对”数的连线都过“中心” 。
（ 9个数从小到大排列，1,9位为“一对”，2,8位为“一对”， 3,7位
为“一对”，4,6 位为“一对”，）
生活中的幻方
谢谢！
5 01
10
②4 8
③
7
12 11 18
大数学家杨辉的构造方法：
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方 进行了系统的研究。他称这种图为“纵 横图”，他提出了一个构造三阶幻方的 秘诀：
九子斜排，上下对易，
左右相更，四维挺出
杨辉构造法
试一试
• 把2、3、4、5、6、7、8、9、10 分别填入三阶方格中,每个数只用 一次,使每一横行、竖列、对角线 上三个数的和都相等.
三阶幻方的公式
三阶幻方的公式三阶幻方，又称“独一无二”，是人类最强大的数学游戏之一。
它被认为是世界上第一个数学游戏，因为它蕴含着各种解题技巧和深奥的数学原理。
三阶幻方的原理在欧洲最早由泰勒斯在1600年代提出，但他的原理不完整，所以无法用来解决此问题。
直到19世纪，在各个国家的探索和研究下，终于有了完整的解题公式。
三阶幻方的公式是其基本原理，也是整个游戏中最重要的部分。
三阶幻方用其特有的解题方法来求解，它是一种制定一定原则，通过利用计数、算法、图论等数学原理来求解问题的方法。
其关键在于要求填入每一个“盒子”中的数字符合一定的原则。
首先，每个盒子中应填入1至9的数字，每一行、每一列和每一个斜角方向的数字总和都必须相等，并且每个盒子中填入的数字都不能重复。
止匕外，还必须符合排布顺序的要求，即必须在上一个盒子中填入的数字按照设定的规则排列，以确保每一行、每一列和每一个斜角方向的数字总和相等。
有了公式,三阶幻方的游戏就变得容易多了，因为可以根据公式,快速算出每个盒子填入的数字，从而完成游戏。
公式可以分成几种方法，最典型的是“分解法”。
该法要求将一个三阶的幻方分解为三个二阶的幻方，然后分别求出每一个二阶的幻方的解。
止匕外，还有“重组法”、“树形法”、“枚举法”等，它们分别从不同的角度来研究三阶幻方，都有其独特的优势。
不同的方法会有不同的步骤，但它们的最终目的都是一致的：给定一系列数字，需要按照一定的规则来填入每个盒子，以得出图形最终结果。
数学家们的研究伴随着三阶幻方的公式的不断发展，使我们对其解题原理有了更深刻的理解。
从古代中国到当今的西方社会，三阶幻方都被人们所推崇，三阶幻方的公式成为研究者共同推展的一部分，也是我们认识数学原理的重要途径。
三阶幻方被称为“独一无二”，其本质就是要求结果独一无二，因此一定要认真按照一定的原则来完成每一个步骤，以确保游戏结果是唯一的。
三阶幻方的公式和原理，既可以用来解决数学问题，也可以用来训练人们的逻辑、思维能力。
巧求幻方—三阶幻方
规律1： 幻和=中间数×3
三 阶 幻 方
4
3 8
9
2
7 6
5
1
规律2:与中间数对应的上下、左右、 对角两个数字的和=中间数×2
三 阶 幻 方
4
3 8
9
2
7 6
5
1
练习1.
补全这个幻方。
9 4 11
10 8 6
5
12 7
练习2.
补全这个幻方。
7
4
12
16 11 6 10 18 15
三阶幻方怎么求呢？
ห้องสมุดไป่ตู้那我们就来一个“数字大换位”的游戏吧！ 把1，2，3…9这9个数填入3×3的方格里,变成三阶幻方
1 4 7 5 2 3 3 4
9
2 5
8 1 三阶幻方有技巧,
8
9
6 换位
7 3数斜着先排好 7 , 8 6 上下左右要交换, 9 然后各自归位了 ! 1
归位
幻和=4+5+6=15
试一试（1）
• 把2、3、4、5、6、7、8、9、10 分别填入三阶方格中,每个数只用 一次,使每一横行、竖列、对角线 上三个数的和都相等.
试一试（1）
3 8 7
10
6 2
5
4
9
试一试（2）
• 把3、5、7、8、10、12、13、15、 17分别填入三阶方格中,每个数只 用一次,使每一横行、竖列、对角 线上三个数的和都相等.
试一试（2）
8 7 15
17
5
10 13 3 12
三阶幻方
如何把1、2、3、4、5、6、7、8、 9这9个不重复的数字填入下图，使每 一横行、竖列、对角线上的三个数字 的和都相等？
三阶幻方问题的代数解法
三阶幻方问题的代数解法
三阶幻方是有趣的数学难题，也可以用代数的方法来解题。
代数解法更加简便，有助于省
去计算细节，同时也会使解题过程更加有趣。
首先，我们可以先创建一个空三阶方阵，这样，我们可以将其看做一个接受未知数的数学
模型。
接下来，我们可以用等式和未知数来填充这个空矩阵。
这里，三四个未知数即为这
个空方阵中所有元素的值，这里可以使用九个等式来定义他们，比如行和列之和为n的等式。
然后，我们可以用解方程的方法来求解三阶矩阵的所有解。
我们可以使用三元一次方程组，也就是九个等式，和我们提前定义的未知数的关系。
通过求解方程组，即可解出所有的解，如此也就简化了三阶迷宫问题的解法。
最后，我们可以利用代数手段轻松解决三元幻方问题。
这种方法减少了大量无谓的计算，
可以使解决三阶迷宫问题变得更加轻松。
加上高中学过的数学知识，就可以很轻易地解决
这样一个有趣的数学难题了。
第五讲 三阶幻方
第五讲、三阶幻方幻方起源于中国。
传说在大禹治水时,有只神龟在洛水中浮起,龟背上有奇特的图案，如右图。
人们称之为洛书。
如果将龟背上的数字翻译出来,如下图。
观察，你发现了什么？ 观察发现,上图的每行每列，斜着的三个数之和都是15. 像这样，将九个不同的自然数填在3×3(三行三列）的正方形内,使每行、每列以及每条对角线上的三个数和都相等，这样的图形就叫三阶幻方. 三阶幻方是一种特殊的数阵图。
上面的三阶幻方中，15是这个幻方的和，简称幻和. 5是幻方最中心的数字,简称中心数。
三阶幻方的规律:（1）幻和= 九个数之和 ÷3; （2）中间数=幻和÷3(3)四个角上的数字 2=（3+1）÷2，8=（9+7）÷2例题1 在图中填上合适的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
巩固练习：在下图的方格中填上适合的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都等于21.例题2 在下图中填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等.73 84 63 二、例题讲解 672159834巩固练习：根据三阶幻方的特点，完成下列幻方。
例题3 在下图的每个空格中填入小于12且互不相同的九个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于21。
巩固练习：在下列右图空着的方格内填上合适的数，使得每一横行、每一竖列和对角 线上的三个数之和都等于27。
例题4 将1～9这九个自然数填在下面图中的九个方格里,使每行、每列、两条对角线上的三个数的和都相等。
介绍杨辉法： 介绍公式法：19 1410 18 812口诀:九子斜列，上下对易，左右相更,四维挺出。
想一想还有没有其他填法:第一种：816 357 492第二种：618 753 294第三种:492357816第四种：294753618第五种:672159834第六种:834159672第七种：276951438第八种:438951276巩固练习：用3-11构造一个三阶幻方课堂练习1、把4～12九个数填入方格中，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
三阶幻方公式简易口诀
三阶幻方公式简易口诀三阶幻方是指由1到9的九个数字组成的一个3x3的方阵，使得方阵中的每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。
下面是一个简单的口诀来求解三阶幻方的公式：首先，我们需要把9个数字按照一定的规律填入到3x3的方阵中。
设置一个3x3的方阵如下：abcdefghi第一步：选取任意一个数字填入中间的位置，比如选取数字5，填入方阵的中心位置e：abcd5fghi第二步：根据魔方的特性，可以得出以下规律：1.真正的幻方中心位置的值将会是(n^2+1)/2，对于三阶幻方来说，中心位置的值为(3^2+1)/2=52.方阵的每个角的位置必须是n的倍数，对于三阶幻方来说，四个角的值即为1、3、7、9根据以上两个规律，我们可以进行以下步骤填充幻方：第三步：将数字1填入到方阵的上一个位置g（此处的上指的是在方阵中“上方”相对于中心位置e的方向）：abc15fghi第四步：根据规律2，将数字9填入到方阵的下一个位置f（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：abc159ghi第五步：根据规律2，将数字3填入到方阵的下一个位置h（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：abc159g3i第六步：根据规律2，将数字7填入到方阵的下一个位置d（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：abc15973i第七步：根据规律1，将数字8填入到方阵的下一个位置b（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：a8c15973i第八步：根据规律1，将数字4填入到方阵的下一个位置f（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：a8c159734最终得到了一个三阶幻方。
利用以上口诀和规律，我们可以通过简单的步骤来构造三阶幻方。
通过这个口诀，我们可以快速而准确地创建出一个三阶幻方，仅需一些简单的数字填充操作。
幻方、三阶幻方、罗伯法
1 居上行正中央，
依次斜填切莫忘，
罗
上出框界往下写，
伯
法
右出框时左边放，
重复便在下格填，
出角重复一个样。
观察三阶幻方，我们有一些巧妙的方法：
1.算出三个数之和，即幻和，即九个数的和除以3； 2.填“三阶幻方”的数如果是一个等差数列，中间格 子应填第五个数，而且也是可以用罗伯法的哦！ 3.中间数的3倍等于幻和，中间数的2倍等于两边数的 和； 三角特征：下图中三角形中（9+3）÷2＝6，这样的 三角形有4个。
将9个连续的自然数填入下图的的方格中，使得到的 三阶幻方的幻和是60。
在下面图形中填入不大于20的偶数，使得幻方中每一 行，每一列以及每条对角线的数字之和都为36。
将图中的数重新排列，构成一个三阶幻方。
22 30 26 22 30 26 22 30 26
在3×3的方格内已填好了两个数15和27，在其余的空 格中填上适当的数，使得每一行，每一列以及每条对 角线的数25这25个数填入下图中的方格里，使每行、每 列及两条对角线上五个数字的和都相等。
将1—49中所有奇数填入下图的方格中，使每行、每 列及两条对角线上五个数字的和都相等。
将1－16这16个数填入下图中的方格里，使每行、每 列及两条对角线上的四个数字的和都相等。
将15，16，17……29，30这16个数填入下图中的方格 里，使每行、每列及两条对角线上的四个数字的和都 相等。
8 5
11
如下图的三阶幻方，已经 填出了37，50，19这三个数， 请把余下部分补充完整。
50 19 37
在下图的方格中填写不大于12且互不相同的9个自然 数，使得任一行、任一列及对角线上的三个数之和都 等于21。（幻和是21）
小学奥数三阶幻方
小学奥数三阶幻方三阶幻方三阶幻方就是将九个自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等。
三阶幻方是一种特殊的数阵图。
例1将1-9这九个数填入方格，使它成为一个三阶幻方。
分析：1+2+3+4+。
+9=45所以，每行、每列、每条对角线的三个数的和是45÷3=15 9+5+1，9+4+28+6+1，8+5+2，8+4+37+6+2，7+5+36+5+4这8个式子中5出现四次，所以5一定在中心。
8、6、4、2这四个数出现三次，所以在四个角上。
816357492随堂练习1、用0-8这9个数构造一个三阶幻方。
2、将2，4，6.18填入3×3方格中，使它成为一个三阶幻方。
公式：三阶幻方中央的数=行（列）和÷3和=中央数×33、假如2、6、10、11、15、19、20、24、28能够构成一个三阶幻方，那么每行、每列、每条对角线的和是几何？中央数是几何？4、如图，这是一个三阶幻方，请填出其它数。
xxxxxxxx2324）（5）5、已知图中，每行、每列、每条对角线上3个数的乘积都相等，请填出其它的数。
6、把下图三阶幻方补充完整。
447？894练习题1、用3、6、9、12、15、18、21、24、27这9个数作一个三阶幻方。
2、用、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数作一个三阶幻方。
第1题）（第2题）3、在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和是30.58第3题）（第4题）（第5题）4、在空格中填数，使每行、每列、每条对角线的和是30.5、用9个连续自然数构成三阶幻方，使每行、每列、每条对角线的和是60.6、下列图是一个三阶幻方，求？是几何。
1913第6题）（第7题）7、从1-13这13个数中选12个数填到下图，使每一横行的4个数的和相等，每一竖列的3个数的和也相等。
这时所选的12个数是哪12个数？每一行的和是多少？每一列的和是多少？。
-三阶幻方的规律和求法
三阶幻方的规律和求法
嘿，今天咱来聊聊三阶幻方的规律和求法哈。
你知道不，有一次我和几个朋友玩游戏，就用到了三阶幻方呢。
那是在一个周末，我们聚在一起，想着找点好玩的。
突然有人提议玩个数字游戏，然后就拿出纸和笔来。
我们就开始画起了三阶幻方，哎呀呀，一开始那可真是有点摸不着头脑呀。
我们就在那琢磨，这每行、每列还有对角线上的数字加起来得一样才行呢。
然后就开始各种试，一会儿这个数字放这儿，一会儿那个数字放那儿，弄得我们手忙脚乱的。
我就盯着那几个空格，脑袋里不停地转呀转，想着怎么能让它们平衡起来。
慢慢地，我们好像找到了点门道。
比如说，先确定中间那个数字很重要呢，然后再根据其他数字来调整。
我们就像侦探一样，一点点地去探索这个三阶幻方的秘密。
经过一番折腾，哇塞，终于让我们给弄出来啦！那一刻，我们可高兴了，就像解开了一个大难题一样。
你看，这就是三阶幻方，虽然一开始觉得挺难搞的，但只要我们用心去研究，还是能发现它的规律和找到求法的嘛。
以后再遇到三阶幻方，咱可就不怕啦，哈哈！
所以呀，不管啥东西，只要咱有耐心，多去尝试，就都能搞明白滴！这就是我对三阶幻方的体会啦。
三阶幻方知识点
三阶幻方知识点
三阶幻方是指一个3×3的方阵，其中填有从1到9的不重复整数，使得每行、每列和对角线上的数字之和都相等。
以下是三阶幻方的一些知识点：
1. 构造方法：三阶幻方的构造方法有多种，其中最著名的方法是"Siamese Method"，该方法由Thabet bin Qurra在9世纪发现。
该方法通过从方阵中的中间行的第一列开始，依次填入数字1
到9，按照特定的规则进行填充，最后得到一个幻方。
另外还
有其他的构造方法，如"奇偶法"、"杨辉法"等。
2. 幻方的特性：三阶幻方的特点是每行、每列和对角线上的数字之和都相等，这个和被称为魔数。
魔数可以通过任意一行、一列或对角线上的数字之和来计算。
3. 幻方的性质：三阶幻方有一些特殊的性质。
例如，三阶幻方的中央数字必定为魔数的一半；对角线上的数字之和必定等于魔数。
4. 幻方的变种：除了三阶幻方，还存在其他阶数的幻方，如四阶幻方、五阶幻方等。
每种阶数的幻方有不同的构造方法和特性。
5. 幻方的历史：幻方的研究可以追溯到古代。
中国在公元650
年前后就开始研究幻方，出现了一些三阶和四阶幻方。
此后，幻方的研究逐渐传到了西方，成为了一个数学上的热门问题。
这些是三阶幻方的一些基本知识点，通过研究和了解幻方，我们可以更深入地探索数字的特性和数学规律。
三阶幻方的解法公式
三阶幻方的解法公式
三阶幻方,幻和为15
是最简单的幻方由1,2,3,4,5,6,7,8,9
九个数字组成的一个三行三列的矩阵
其对角线横行纵向的数字的和都为为15
想：1+9=10,2+8=10,3+7=10,4+6=10.这每对数的和再加上5都等于15,可确定中心格应填5,这四组数应分别填在横、竖和对角线的位置上.先填四个角,若填两对奇数,那么因三个奇数的和才可能得奇数,四边上的格里已不可再填奇数,不行.若四个角分别填一对偶数,一对奇数,也行不通.因此,判定四个角上必须填两对偶数.对角线上的数填好后,其余格里再填奇数就很容易了.
上面是最简单的幻方,也叫三阶幻方.相传,大禹治水时,洛水中出现了一个“神龟”背上有美妙的图案,史称“洛书”,用现在的数字翻译出来,就是三阶幻方.
南宋数学家杨辉概括其构造方法为：“九子斜排.上下对易,左右相更.四维突出.”
公式
S=n(n+1) /2
其中n为幻方的阶数,所求的数为S。
三阶幻方的解法最简单的口诀
三阶幻方
三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横行、竖列的和都为15，称这个最简单的幻方的幻和为15。
中心数为5。
口诀：
1 居上行正中央，
依次斜填切莫忘，
上出框界往下写，
右出框时左边放，
重复便在下格填，
出角重复一个样。
解释：
1)在第一行居中的方格内放1，依次向右上方填入2、3、4…；
2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；
3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；
4)如果右上方已有数字和出了对角线，则向下移一格继续填写。
5)也可将所填数在幻方中所对应的数填在幻方中对应的位置。
例如：1为第一行中间数，则将对应的9填在最后一行的中间。
2以次类推。
按照这种方式，做镜像或旋转对称，可得到实际相同的其他填法：
只要将1放于四个变格的正中，向幻方外侧依次斜填其余数字；若出边，将数字调到另一侧；若目标格已有数字或出角，回一步填写数字，再继续按一开始的相同方向依次斜填其余数字。
三阶幻方
三阶幻方（二）同学们：我们今天继续学习三阶幻方，通过上次学习，同学们初步掌握了求三阶幻方的方法。
下面我们就利用这些方法求三阶、四阶等幻方。
（一）学习指导与解答例1. 在下图的的阵列中填入了1～9的自然数，构成了大家熟悉的三阶幻方。
现在另有一个的阵列，请选择九个不同的自然数填入九个方格中，使其中最大者为20，最小者大于5，且每一横行，每一竖行及每条对角线上三个数的和都相等。
分析：所给的三阶幻方中填入的是1～9这九个不同的自然数，其中最大的为9，最小的为1，要使新编制的幻方中最大数为20，而，因此，如果在所给幻方中各数都增加11，就能构成一个新幻方，并且满足最大数为20，最小数大于5。
见图。
例2. 在的阵列中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列的位置上填6，如图3，请你在其它方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和为36。
分析：为了叙述方便，我们将其余空格的数字用字母表示，如图4。
因为幻和为36，所以可求出中心数为：，即从第二行可求出从对角线中可求出从第一列可求出从第一行可求出从第二列可求出从第三列可求出得到三阶幻方如下：从上面的例题我们不难看出：要填出一个三阶幻方，中心数起着至关重要的作用。
利用幻和＝中心数×3这个关系式，在已知幻和的情况下，可先求出中心数，在已知中心数的情况下，可求出幻和，以便其它数的求出。
例3. 将1～9这九个数字分别填入图1中所示的空格中，使得前两行所构成的两个三位数之和等于第三行的三个数，并且相邻（上下或左右）的两个数奇偶性不同。
分析：由于1、5已填好，按照奇偶相间的要求，五个奇数应在四个角及中心，如图2。
例4. 写出一个三阶幻方，使其幻和为24。
因为三阶幻方，幻和为24，所以其9个数的和为，假设这9个数为，所以，这9个数为4、5、6、7、8、9、10、11、12用这9个数排成一个三阶幻方，如图：例5. 从1～13这13个数中挑出12个数，填入图1中的方格中，使每一横行，四数之和相等，每一竖列三个数之和相等。
三阶幻方解题技巧
三阶幻方解题技巧
1. 嘿，三阶幻方解题啊，有个超有用的技巧就是先找“中心数”啊！就像盖房子得先打牢地基一样。
你看这个三阶幻方，中间这个数不就是关键嘛！比如在这个幻方里，一下子就能发现中心数啦。
2. 还有哦，注意每行每列的数字之和啊！这就好比是有个目标在那，你得努力朝着它去呀。
像是这个幻方，一算就能知道每行每列的和应该是多少啦。
“哎呀，原来这么简单！”
3. 要善于观察数字之间的关系呀！这就跟交朋友似的，要找到它们的特点。
比如说有些数字总是一起出现。
就像这个例子里，这几个数字老是凑一块儿，这不就有线索了嘛！
4. 然后呢，大胆去试错呀！别怕犯错，就像走路偶尔会摔跟头，但爬起来就更厉害啦。
比如这里，试一试不同的数字组合，总会找到对的。
“哇，我试出来啦！”
5. 把幻方想象成一个好玩的游戏呀！别把它想得那么难。
就如同玩拼图一样，一块块去凑。
这个三阶幻方，不就是咱们的益智小拼图嘛。
6. 记得多练练呀！熟能生巧嘛。
就像打篮球，打得多了自然就厉害啦。
你多做几个三阶幻方，肯定就越来越得心应手喽。
我的观点结论就是：三阶幻方解题没那么可怕，掌握这些技巧，多练习，你就能轻松搞定它！。
三级幻方公式和口诀
三级幻方公式和口诀好的，以下是为您生成的文章：幻方这玩意儿，听起来好像挺神秘挺高大上的，其实啊，只要掌握了三级幻方的公式和口诀，那就是小菜一碟！咱们先来说说三级幻方是啥。
想象一下，一个 3×3 的方格，就像咱们玩的九宫格游戏那样，要把 1 到 9 这几个数字填进去，让每行、每列以及两条对角线上的数字之和都相等，这就是三级幻方啦。
那这个相等的和是多少呢？这就得用到咱们的公式啦。
对于三级幻方，这个和就是 15 。
你可能会问，这 15 是咋来的？其实很简单，1 到9 这 9 个数字相加，也就是 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 ，而这45 要平均分配到三行或者三列中，那每行或者每列的和自然就是 45÷3 = 15 啦。
接下来，就是神奇的口诀登场的时候啦！“二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。
”这口诀听起来有点像绕口令，是吧？但其实理解了就特别好用。
我给您讲讲我当初教小朋友这个口诀的事儿。
有一次上课，我就给小朋友们讲三级幻方。
我先把口诀写在黑板上，小朋友们一脸懵地看着我，那小眼神好像在说：“老师，这啥呀？”我笑着跟他们说：“别着急，咱们一起来玩个游戏。
”我先在黑板上画了一个 3×3 的方格，然后按照口诀，把数字一个个填进去。
“二四为肩”，我就在最上面一行的左右两角填上 2 和 4 ；“六八为足”，就在最下面一行的左右两角填上 6 和 8 ；“左七右三”，在左边一列的中间和右边一列的中间分别填上 7 和 3 ；“戴九履一”，最上面一行中间是 9 ，最下面一行中间是 1 ；最后，“五居中央”，正中间的格子填上 5 。
填完之后，我让小朋友们算算每行每列和对角线的和，他们一算，嘿，都是 15 ，一个个眼睛都亮了，兴奋得不行。
然后我就让他们自己试着填一填，一开始有的小朋友还会出错，不是把数字位置放错了，就是算错了和。
我就一个个去指导，告诉他们要记住口诀，多练几遍。
三阶幻方的规律及经典应用题！
三阶幻方的规律及经典应用题！三阶幻方的规律：幻和与中心数幻和=3×中心数证明：通过中心数有4条线。
将这4条线全部加起来，可以得到：幻和×4=全体数的和+中心数×3而我们知道三阶幻方中，全体数的和=3×幻和（三行或三列）因此有：幻和×4=幻和×3+中心数×3化简得到：幻和=3×中心数过中心的线过中心的线上的三个数，依次成等差数列。
或者说，关于中心位置对称的两数，平均数是中心数。
证明：过中心线的三个数之和为幻和。
性质1已经说明，幻和=3×中心数。
因此中心数是这三个数的平均数。
从这之中去掉中心数不改变平均数。
因此中心数是关于中心位置对称的两数。
也就是一个数比中心数多多少，另一个数就比中心数少多少。
即他们成等差数列边角关系：2倍角格的数=不相邻的2个边格数之和。
如：基本幻方中：2*8=9+7，2*4=1+7，2*6=3+9，2*2=1+3 证明：过a有3条线。
计算这三条线的和：幻和×3=全体数的和+2×a-b-c而全体数的和=幻和×3因此2×a-b-c=02×a=b+c。
扩展资料：拆填方式想：1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10。
这每对数的和再加上5都等于15，可确定中心格应填5，这四组数应分别填在横、竖和对角线的位置上。
先填四个角，若填两对奇数，那么因三个奇数的和才可能得奇数，四边上的格里已不可再填奇数，不行。
若四个角分别填一对偶数，一对奇数，也行不通。
因此，判定四个角上必须填两对偶数。
对角线上的数填好后，其余格里再填奇数就很容易了。
古代方式→南宋数学家杨辉概括的构造方法为：“九子斜排。
上下对易，左右相更。
四维突出。
”中国古代九宫格的填法口诀是：九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。
也有把这两者综合起来说的：九子斜排，上下对易。
三阶幻方的N种构造方法
三阶幻方的N种构造方法说起幻方，许多人见惯不怪了。
最简单的莫过于三阶幻方或者说四阶幻方，三阶幻方是由1到9这9个数填进3×3的九宫图中，使每行，每列和对角线的三个数之和相等（3阶，幻和为15）。
三阶幻方最早起源于我国，古代人们将三阶幻方称之为“河图”和“洛书”我国宋代数学家杨辉称之为“纵横图”。
好了，其他的不多说了，让我们直奔主题吧。
第一种：变形法将1~9数依顺序填入下框；2和6对调，4和6对调；将2、4、6、8向四个角外移。
这样就快速完成3阶幻方了。
第二种：楼梯法在第一行的中间填上1.，然后依次在“右上角”填上2（下一个数），再在2的“右上角”（相对的）填上3，依次类推。
当遇到“右上角”已经有数的时候，就填在原地的下一个格，再运用楼梯法继续填，知道填到最后一个数。
由于3的右上角已经有数了，所以4要填在3的下一个格。
再填5在4的右上角，就这样以此类推。
就这样就完成了。
还有，这种方法适用于所有的奇数幻方。
第三种：推理法①1～9个数填入九宫图，容易推出幻和为15，而用1～9个数有以下的算式组合。
1+5+9=152+5+8=153+5+7=154+5+6=152+6+7=152+5+8=152+4+9=154+3+8=158+1+6=15观察上面9条算式容易知道，5出现了4次，1、3、7、9出现了2次，2、4、6、8出现了3次。
再回来想想九宫格的位置特性，中间的格一定要满足4条算式（中间行，中间列，2对角线）成立，故中间应该填的是5；四个角的格也要各满足3条算式成立，故四个角的格应该填的是2、4、6、8。
（其实不用下面步骤都可以构造出来了，因为幻和为15，可以推算出。
）同理，1、3、7、9应该填在前行前列的中间。
这样的话，就很容易构造出3阶幻方。
所以得出的3阶幻方如下：第四种：推理法②前提条件：已知幻和=15，中间是5。
分析：三个数构成幻和为15的等式，这三个数必定是“3个奇数”或者“2个偶数和一个奇数”。
第四篇三阶幻方
第四篇三阶幻方
三阶幻方就是将九个连续的自然数填在3 X 3 (三行三列)的正方形内，使每一行，每一列以及每一条对角线上的三个数的和
都相等。
一．将1 ~ 9这九个数填入下图，使它成为一个三阶幻方。
二．把1 ~ 6这六个数字填入下图中的六个圈内，使得每个正方形顶点上的数的和都为13。
三．将 1 ~ 6 这六个数字填入下图的六个圈内，使得每条边上的三个数的和相等。
四．将 1 ~ 7 这七个数，填入下图中，使得每条线上的三个数的和相等。
五．将 1 ~ 9 这九个数填入下图，使得从中心出发的每条线上的三个数的和相等。
六．将1到5这五个数填入下图，使得圆周上四个数的和与每条直线上的三个数的和都相等。
七．将0 ~ 8这九个数填入下图，使它成为一个三阶幻方。
八．将2 ~ 10这九个数填入下图，使它成为一个三阶幻方。
九．将1 ~ 8这八个数填入下图，使得每条线上的三个数的和相等。
十．将1 ~ 9这九个数填入下图，使得每条边上的四个数的和相等。
十一、将1到12填入下图，使得每条边上的三个数的和相等。
十二、将1到11填入下图圈内，使得每条线段上的三个数之和相等。
十三．将1 ~ 10填入下图，使得每条线上的四个数的和相等。
十四、将1到10填入下图，使每条线
段上的四个数的和相等，每个三角形三个顶点上的数的和也相等(三角形顶点上的数的和不必与线段上的数的和相等)
十五、将1到8填入下图，使每一圆周
上的四个数、每条线上的四个数的和相等。
十六、在下图中圆圈内填上7,8，10,12,使得每个圆内的四个数的和
相等。
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规律1： 幻和=中间数×3
三
492
阶
幻
35 7
方
816
规律2:与中间数对应的上下、左右、 对角两个数字的和=中间数×2
三
492
阶
幻 方
35 7
816
练习1. 补全这个幻方。
9 10 5 4 8 12 11 6 7
练习2. 补全这个幻方。
7 4 12 16 11 6 10 18 15
三阶幻方怎么求呢？
试一试（1）
3 10 5 864 7 29
试一试（2）
• 把3、5、7、8、10、12、13、15、 17分别填入三阶方格中,每个数只 用一次,使每一横行、竖列、对角 线上三个数的和都相等.
试一试（2）
8 17 5 7 10 13 15 3 12
Байду номын сангаас
那我们就来一个“数字大换位”的游戏吧！ 把1，2，3…9这9个数填入3×3的方格里,变成三阶幻方
1 42 7 53 86
9
换位
4 9 2 三阶8 幻1方有技巧,
3 5 7 3数斜着先排7 好,
8 6 上下左右要交换,
1
然后各自9 归位了!
归位 幻和=4+5+6=15
试一试（1）
• 把2、3、4、5、6、7、8、9、10 分别填入三阶方格中,每个数只用 一次,使每一横行、竖列、对角线 上三个数的和都相等.
如何把1、2、3、4、5、6、7、8、 9这9个不重复的数字填入下图，使每 一横行、竖列、对角线上的三个数字 的和都相等？
关于幻方
• 幻方，又称纵横图、奇方或方阵、魔阵等。 • 是把1至n2的自然数排列成正方形，使它的
纵横均有n个数，而把每行、每列、有时还 包括两条对角线的数加起来，它们的和都 是相等的，这个和叫做幻和。 • 这种排列方式的纵横图称为n 阶纵横图， 或n阶幻方。