第三节 格林公式

− y2
其中D 其中 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . ,则
y
B(0,1) A(1,1)
D
利用格林公式 , 有
y= x
= ∫ xe
∂D
− y2
dy
o
x
=∫
OA
xe
− y2
dy = ∫ ye
0
1
− y2
dy = 1(1 − e−1 ) 2
16
3. 计算平面图形的面积
y
由于 ∫OA xdy = 0,
∫BO xdy = 0,
A
D
1 2 ∴ ∫ xdy = − ∫∫ dxdy = − πr . AB 4 D
o
L
B
x
8
ydx − xdy L为以(1,0) , , 例2 计算第二型曲线积分 ∫ L x+ y
(0,1) , ( −1,0) , (0,−1)为顶点的正方形闭路， 取逆时针方向. 为顶点的正方形闭路，
推论: 推论 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 1 A = ∫ xdy − ydx 2 L x = acosθ , 0 ≤ θ ≤ 2π 所围面积 例如, 例如, 椭圆 L : y = bsinθ
1 2π = ∫ (abcos2 θ + absin2 θ )dθ = π ab 20
6
二、简单应用
∂Q ∂P ∫∫ ∂x − ∂ y dxdy = ∫ Pdx + Qdy ( 格林公式 ) D L
或
∫∫ P D
∂ ∂x
∂ ∂y
Q
dxdy = ∫ Pdx + Qdy
L
2
ψ2 ( y) ∂Q d ∂Q 则 ∫∫ dxdy = ∫ dy ∫ dx D ∂x ψ1 ( y) ∂ x c
cos 2x − 2 sin 2 x
∫ (cos2x)e dx
∴
+ ex −4cos 2x
− +
ex + e
x
= e x (cos 2 x + 2sin 2 x ) −4∫ (cos2x)exdx (cos 2 x )e x dx = 1 e x (cos 2 x + 2sin 2 x ) ∫ 5
13
取 P = − y , Q = 0, 得
L
A = ∫（− y）dx
17
例 8 计算抛物线( x + y ) = ax ( a > 0)与 围成的面积. 围成的面 为直线 y = 0 .
M
A(a,0)
N
曲线 AMO 由函数
y = ax − x , x ∈ [0, a ]表示 表示,
2 2 OA
= 4∫∫
D
+ ∫ x2 dx dxdy 0
4
y
D
L
Ax
10
64 = 8π + 3
o
是一条分段光滑的闭曲线, 例4. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线 证明 . 2x ydx + x2 dy = 0 ∫
L
2 证: 令 P = 2x y, Q = x , 则
利用格林公式 , 得
∫L
2x ydx + x2 dy = ∫∫ 0dxdy = 0
y
xdy − ydx −∫ l x2 + y2 xdy − ydx = ∫∫ 0d xdy = 0 =∫ − 2 2 D L+l 1 x +y
l
o
L
x
D 1
=∫
2π 0
r cos θ + r sin θ dθ = 2π 2 r
2 2 2 2
15
2. 简化二重积分
例7. 计算 解: 令 P = 0, Q = xe
∂Q ∂P )dxdy = ∑∫∫ ( − Dk ∂ x ∂y k=1
n
1 D2 D
L
Dn
o
x
= ∑∫
k=1
n
∂Dk
Pdx + Qdy
(∂Dk表示Dk的正向边界 )
证毕
= ∫ Pdx + Qdy
L
5
∂Q ∂P − dxdy = ∫ Pdx + Qdy 格林公式 ∫∫ ∂x ∂ y D L
第三节 格林公式及其应用
一、格林公式
第十章
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
1
一、 格林公式
单连通区域 ( 无“洞”区 区域 D 分类 域 ) 多连通区域 ( 有“洞”区 域) 边界L 的正向: 域 D 边界 的正向 域的内部靠左
L D
定理1. 围成, 定理 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成 函数 上具有连续一阶偏导数, 在 D 上具有连续一阶偏导数 则有
3
即 同理可证
①
② ①、②两式相加得 两式相加得:
∂Q ∂P ∫∫D( ∂x − ∂ y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy
4
2) 若D不满足以上条件 则可通过加辅助线将其分割 不满足以上条件, 不满足以上条件 为有限个上述形式的区域 , 如图
y
∂Q ∂P ∫∫D( ∂x − ∂ y ) dxdy
2) 求曲线积分时 可利用格林公式简化计算 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线; 若积分路径不是闭曲线 可添加辅助线 3) 可用积分法求 u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数 可用积分法求d 在域 内的原函数: 取定点 ( x0 , y0 ) ∈ D 及动点 ( x , y ) ∈ D, 则原函数为
∂P ∂Q ≡ ∂ y ∂x
利用格林公式 , 得
D D′ L
∂Q ∂Q ∫L Pd x + Qd y = ∫∫D′ ( ∂x − ∂x )dxdy
=0
证毕
23
∂P ∂Q 说明: 根据定理2 说明 根据定理 , 若在某区域内 , 则 = ∂ y ∂x 1) 计算曲线积分时 可选择方便的积分路径 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;
解 L的方程为 : x + y = 1 , 故所计算的第二型曲线 积分为
I = ∫ ydx − xdy
L
是时, P = y , Q = − x ,
于是 有
y
L
∂Q ∂ P − = −2 , 又 D为L内的区域 . ∂ x ∂y 则所求的曲线积分为
x
0
I = ∫∫ ( −2)dσ = −2 ⋅ ( 2 )2 = −4
∂Q ∂P = − e x ( y − sin y ) = e x sin y ∂x ∂y ⌠⌠ ∂ Q ∂ P x dxdy = − ∫∫ ye dxdy 原式 = − ⌡⌡ ∂ x ∂ y D
D
1 π x = ∫ e (cos 2 x − 1) dx 4 0 π 1 1 x = e (cos 2 x + 2 sin 2 x ) − e x = − 1 e π − 1 5 4 5 0
=∫
L1 +L− 2
Pdx + Qdy
L2
(根据条件 根据条件(1)) 根据条件
= ∫ Pdx + Qdy
说明: 积分与路径无关时, 说明 积分与路径无关时 曲线积分可记为
∫AB Pdx + Qdy= ∫A Pdx + Qdy
20
B
(3) 证明 (2) 在D内取定点 内取定点 与路径无关, 与路径无关 有函数
D
9
例3. 计算 圆周 从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
其中L 其中 为上半
它与L 为了使用格林公式, 解: 为了使用格林公式 添加辅助线段 AO,它与 所围 区域为D 区域为 , 则 原式 = ∫
L+ AO
( x2 + 3 y) dx + ( y2 − x) dy + ∫ ( x + 3 y) dx + ( y − x) dy
du = P dx + Qdy
则
∂u = P( x, y), ∂x
∂u = Q( x, y) ∂y
P, Q 在 D 内具有连续的偏导数 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有 从而在 内每一点都有 ∂P ∂Q = ∂ y ∂x
22
证明 (4)
(1)
中任一分段光滑闭曲线, 设L为D中任一分段光滑闭曲线 所围区域为 D′ ⊂ D 为 中任一分段光滑闭曲线 (如图 , 因此在 ′上 如图) 如图 因此在D
D
11
例5
∫
其中 L 是域 D = { 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ sin x }的正向边界 . x x 解 P ( x , y ) = e (1 − cos y ) Q( x , y ) = − e ( y − sin y )
L
e x [ (1 − cos y )dx − ( y − sin y )dy ]
u( x, y) = ∫
( x, y )
( x0 , y0 ) x
P( x, y)dx + Q( x, y)dy
1. 简化曲线积分
例 1 计算 ∫ xdy ,其中曲 其中曲
AB
y
A
D
线 AB 是半径为 r 的圆 在第一象限部分. 在第一象限部分
o
L
B
x
解
引入辅助曲线 L , L = OA + AB + BO
P = 0, Q = x 有
7
应用格林公式, 应用格林公式
− ∫∫ dxdy = ∫ xdy
L D
= ∫OA xdy + ∫AB xdy + ∫BO xdy ,