三角函数的定义域、值域和最值

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三角函数的定义域、值域

23
要使y 1 sin z有最小值- 1，
必须
2
z
2
2k ,k z
2
要使y 1 sin z有最大值 1，
1 x 2k
必须
2
z
2
2k ,k z
1
x
2
2k
x
4k
2 x
35
2
4k
3
使原函数取得最小值的集合是
2 32
3
y sin x
x
|
x
5
3
4k ,k
Z
y sin x
角
练习求函数 y＝cos2x＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值时的 x 的集合．
解 y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x ＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5.
∴当 sin x＝1，即 x＝2kπ＋2π，k∈Z 时，ymax＝4；当 sin x＝－1 时，即 x＝2kπ－2π，k∈Z 时，ymin＝－4. 所以 ymax＝4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ＋π2，k∈Z}； ymin＝－4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ－π2，k∈Z}.
2
所以结论要相反 y sin z 最小
3.二次函数的某些知识点
例求函数 y＝sin2x－sin x＋1，x∈R 的值域．
解设 t＝sin x，t∈[－1,1]，f(t)＝t2－t＋1. ∵f(t)＝t2－t＋1＝t－122＋34. ∵－1≤t≤1， ∴当 t＝－1，即 sin x＝－1 时，ymax＝f(t)max＝3；
x x sinx
忘掉的同学再去看看课本，后面的老师还会讲到
课堂小结

第7章三角函数(课件)高一数学单元复习(沪教版2020必修第二册)

1)求
2π
f 3 的值；

解析：

－2

由题意，f(x)＝－cos 2x－ 3sin 2x＝

π
3
1

sin 2x＋ cos 2x＝－2sin2x＋6 ，
2
2

故
2π
4π π
f 3 ＝－2sin 3 ＋6 ＝－2sin

3π
＝2.
2
考点2、三角函数的奇偶性与单调性
π
π

π，且在4，2 上单调递增的奇函数是

3π

A．y＝sin2x＋ 2

π

B．y＝cos2x－ 2

π

C．y＝cos2x＋ 2

π

D．y＝sin2－x

3π

2x＋
解析：y＝sin
2 ＝－cos

π
y＝cos2x－2 ＝sin
在_________________________
_______上是递增函数，在
[2kπ，2kπ
单调性
____________
π
3π
上是递增函数
＋2kπ，＋2kπ
____
在2
2
____________
(k∈Z)上是递减函数
_______
上是递减函数

在__________________

2x 为偶函数，排除 A；

常见函数定义域和值域

常见函数定义域和值域1. 线性函数 f(x) = mx + b定义域: 实数集 R值域: 实数集 R2. 二次函数f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)定义域: 实数集 R值域: 当 a > 0 时, 值域为 [c - b^2 / (4a), +∞)当 a < 0 时, 值域为 (-∞, c - b^2 / (4a)]3. 平方根函数f(x) = √x定义域: [0, +∞)值域: [0, +∞)4. 绝对值函数 f(x) = |x|定义域: 实数集 R值域: [0, +∞)5. 分数函数 f(x) = 1 / x定义域: 实数集 R 除去 0值域: 实数集 R 除去 06. 指数函数f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1)定义域: 实数集 R值域: 当 a > 1 时, 值域为(0, +∞)当 0 < a < 1 时, 值域为(0, +∞)7. 对数函数f(x) = log_a(x) (a > 0, a ≠ 1)定义域: (0, +∞)值域: 实数集 R8. 三角函数正弦函数 f(x) = sin(x)定义域: 实数集 R值域: [-1, 1]余弦函数 f(x) = cos(x)定义域: 实数集 R值域: [-1, 1]正切函数 f(x) = tan(x)定义域: 实数集 R 除去(2n + 1)π/2, n 为整数值域: 实数集 R以上是一些常见函数的定义域和值域的介绍。

需要注意的是,一些函数的定义域和值域可能会受到其他条件的限制,因此在实际应用中需要进一步分析。

高中数学《三角函数》详解+公式+精题(附讲解)

高中数学《三角函数》详解+公式+精题（附讲解）引言三角函数是中学数学的基本重要容之一，三角函数的定义及性质有许多独特的表现，是高考中对基础知识和基本技能进行考查的一个容。

其考查容包括：三角函数的定义、图象和性质，同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切。

两倍角的正弦、余弦、正切。

、正弦定理、余弦定理，解斜三角形、反正弦、反余弦、反正切函数。

要求掌握三角函数的定义，图象和性质，同角三角函数的基本关系，诱导公式，会用“五点法”作正余弦函数及的简图；掌握基本三角变换公式进行求值、化简、证明。

了解反三角函数的概念，会由已知三角函数值求角并能用反三角函数符号表示。

由于新教材删去了半角公式，和差化积，积化和差公式等容，近年的高考基本上围绕三角函数的图象和三角函数的性质，以及简单的三角变换来进行考查，目的是考查考生对三角函数基础知识、基本技能、基本运算能力掌握情况。

2．近年来高考对三角部分的考查多集中在三角函数的图象和性质，重视对三角函数基础知识和技能的考查。

每年有 2 — 3 道选择题或填空题，或 1 — 2 道选择、填空题和 1 道解答题。

总的分值为 15 分左右，占全卷总分的约 10 左右。

（ 1 ）关于三角函数的图象立足于正弦余弦的图象，重点是函数的图象与 y=sinx 的图象关系。

根据图象求函数的表达式，以及三角函数图象的对称性。

如 2000 年第（ 5 ）题、（ 17 ）题的第二问。

（ 2 ）求值题这类问题在选择题、填空题、解答题中出现较多，主要是考查三角的恒等变换。

如 2002 年（ 15 ）题。

（ 3 ）关于三角函数的定义域、值域和最值问题（ 4 ）关于三角函数的性质（包括奇偶性、单调性、周期性）。

一般要先对已知的函数式变形，化为一角一函数处理。

如 2001 年（ 7 ）题。

（ 5 ）关于反三角函数， 2000 — 2002 年已连续三年不出现。

（ 6 ）三角与其他知识的结合（如 1999 年第 18 题复数与三角结合）今后有关三角函数仍将以选择题、填空题和解答题三种题型出现，难度不会太大，会控制在中等偏易的程度；三角函数如果在解答题出现的话，应放在前两题的位置，放在第一题的可能性最大，难度不会太大。

(完整版)最全三角函数的图像与性质知识点总结

i ng si nt he i rb ei n ga re g三角函数的图像与性质一、正弦函数、余弦函数的图像与性质二、正切函数的图象与性质函数y ＝sin x y ＝cos x图象定义域RR 值域[－1,1][－1,1]单调性递增区间：2,2()22k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦递减区间：32,2()22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦递增区间：[2k π－π，2k π] (k ∈Z )递减区间：[2k π，2k π＋π] (k ∈Z )最　值x ＝2k π＋(k ∈Z )时，y max ＝1；π2x ＝2k π－(k ∈Z )时，y min ＝－1π2x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝2k π＋π(k ∈Z ) 时，y min ＝－1奇偶性奇函数偶函数对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )（含原点）对称轴：x ＝k π＋，k ∈Zπ2对称中心：(k π＋，0)(k ∈Z )π2对称轴：x ＝k π，k ∈Z （含y 轴）最小正周期2π2π定义域{|,}2x x k k Z ππ≠+∈值域R单调性递增区间(,)()22k k k Z ππππ-+∈奇偶性奇函数对称性对称中心：（含原点）(,0)()2k k Z π∈最小正周期π三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换1. 由的图象得到()的图象x y sin =)sin(ϕω+=x A y 0,0A ω>>xy sin =方法一：先平移后伸缩方法二：先伸缩后平移操作向左平移φ个单位横坐标变为原来的倍1ω结果)sin(ϕ+=x y xy ωsin =操作横坐标变为原来的倍1ω向左平移个单位ϕω结果)sin(ϕω+=x y 操作纵坐标变为原来的A 倍结果)sin(ϕω+=x A y 注意：平移变换或伸缩变换都是针对自变量x 而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。

高三高考文科数学《三角函数》题型归纳与汇总

高三高考文科数学《三角函数》题型归纳与汇总高考文科数学题型分类汇总：三角函数篇本文旨在汇总高考文科数学中的三角函数题型，包括定义法求三角函数值、诱导公式的使用、三角函数的定义域或值域、三角函数的单调区间、三角函数的周期性、三角函数的图象变换和三角函数的恒等变换。

题型一：定义法求三角函数值这类题目要求根据三角函数的定义，求出给定角度的正弦、余弦、正切等函数值。

这类题目的难点在于熟练掌握三角函数的定义，以及对角度的准确度量。

题型二：诱导公式的使用诱导公式是指通过对已知的三角函数进行代数变形，得到新的三角函数值的公式。

这类题目需要熟练掌握各种诱导公式，以及灵活应用。

题型三：三角函数的定义域或值域这类题目要求确定三角函数的定义域或值域。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数的定义域和值域的概念和计算方法。

题型四：三角函数的单调区间这类题目要求确定三角函数的单调区间，即函数在哪些区间上单调递增或单调递减。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数单调性的判定方法。

题型五：三角函数的周期性这类题目要求确定三角函数的周期。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数周期的计算方法。

题型六：三角函数的图象变换这类题目要求根据给定的变换规律，确定三角函数图象的变化。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对图象变换的计算方法。

题型七：三角函数的恒等变换这类题目要求根据已知的三角函数恒等式，进行变形和推导。

需要掌握各种三角函数的恒等式，以及灵活应用。

2）已知角α的终边经过一点P，则可利用点P在单位圆上的性质，结合三角函数的定义求解．在求解过程中，需注意对角终边位置进行讨论，避免忽略或重复计算．例2已知sinα=0.8，且α∈[0,π2]，则cosα=．答案】0.6解析】∵sinα=0.8，∴cosα=±√1-sin²α=±0.6XXXα∈[0,π2]，∴cosα>0，故cosα=0.6易错点】忘记对cosα的正负进行讨论思维点拨】在求解三角函数值时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．同时，需根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型二诱导公式的使用例3已知tanα=√3，且α∈(0,π2)，则sin2α=．答案】34解析】∵ta nα=√3，∴α=π/30<α<π/2，∴0<2α<πsin2α=sin(π-2α)=sinπcos2α-cosπsin2α=-sin2α2sin2α=0，∴sin2α=0sin2α=3/4易错点】忘记利用诱导公式将sin2α转化为sin(π-2α)思维点拨】在解决三角函数的复合问题时，可利用诱导公式将一个三角函数转化为其他三角函数的形式，从而简化计算．同时，需注意根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型三三角函数的定义域或值域例4已知f(x)=2sinx+cosx，则f(x)的值域为．答案】[−√5,√5]解析】∵f(x)=2sinx+cosx=√5(sin(x+α)+sin(α-x))，其中tanα=-121≤sin(x+α)≤1，-1≤sin(α-x)≤15≤f(x)≤√5f(x)的值域为[−√5,√5]易错点】忘记利用三角函数的性质将f(x)转化为含有同一三角函数的形式思维点拨】在确定三角函数的定义域或值域时，可利用三角函数的性质将其转化为含有同一三角函数的形式，从而方便计算．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其定义域或值域．题型四三角函数的单调区间例5已知f(x)=sin2x，则f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为．答案】[0,π/4]∪[3π/4,π]解析】∵f'(x)=2cos2x=2(2cos²x-1)=4cos²x-2f'(x)>0的充要条件为cosx12f(x)在[0,π/4]∪[3π/4,π]上单调递增易错点】忘记将f'(x)化简为含有同一三角函数的形式，或对于三角函数的单调性判断不熟练思维点拨】在求解三角函数的单调区间时，需先求出其导数，并将其化简为含有同一三角函数的形式．然后，利用三角函数的单调性进行判断，得出函数的单调区间．题型五三角函数的周期性例6已知f(x)=sin(2x+π)，则f(x)的周期为．答案】π解析】∵sin(2x+π)=sin2xcosπ+cos2xsinπ=-sin2xf(x)的周期为π易错点】忘记利用三角函数的周期性质思维点拨】在求解三角函数的周期时，需利用三角函数的周期性质，即f(x+T)=f(x)，其中T为函数的周期．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其周期．题型六三角函数的图象变换例7已知f(x)=sinx，g(x)=sin(x-π4)，则g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移了．答案】π4解析】∵g(x)=sin(x-π4)=sinxcosπ4-cosxsinπ4g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移π4易错点】忘记利用三角函数的图象变换公式，或对于三角函数的图象不熟悉思维点拨】在求解三角函数的图象变换时，需利用三角函数的图象变换公式，即y=f(x±a)的图象相对于y=f(x)的图象向左（右）平移a个单位．同时，需对于各种三角函数的图象有一定的了解，以便准确判断图象的变化情况．题型七三角函数的恒等变换例8已知cosα=12，且α∈(0,π2)，则sin2α的值为．答案】34解析】∵cosα=12，∴sinα=√3/2sin2α=2sinαcosα=√3/2×1/2=3/4易错点】忘记利用三角函数的恒等变换公式思维点拨】在求解三角函数的恒等变换时，需熟练掌握三角函数的基本恒等式和常用恒等式，从而简化计算．同时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．已知角α的终边所在的直线方程，可以通过设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义来解决相关问题。

三角函数的图象与性质(自制)

x
R 最大值与最小值点恰好都在x 2 y 2 R 2上, 则f ( x ) 的最小正周期为 A.1 B.2 C .3 D.4
的图象上, 相邻的一个
析 : 本题主要考查三角函数的图象的性质 : 对称中心与对称轴及最大值与最小值之间的关系.
依题意知 : 函数f ( x )的周期T f ( x )的最大值为 3.
f ( x )max 0
当x 0时分子为 1, 分母为1, 最小值为 1.
析 : f ( x) =-
sin x 1 3 2cos x 2sin x 1 1( 1 cos x 2 ) 1 sin x .

sin x 1 (1 sin x )2 (1 cos x )2
1 cos x 2 ) 表示点(1, 1)与单位圆上的点连线的斜率 1 sin x 的平方,为(0, ) (
故f ( x ) [1,0]
例4 : 对于函数f ( x ) a sin x bx c(其中a , b R, c z ), 选取a , b, c的一组值计算f (1)与f ( 1), 所得出的正确结果一定不正确的是( 2011福建) A.4, 6 B.3,1 C .2, 4 D.1, 2
| t | 2
必须的哟!
故f ( t )在[ 2, 2]上为减函数, f ( x )min
9 9 2 2; f ( x )max 2 2. 2 2
练1.(2011上海理8)函数y sin(

2

2
x )cos(

6
x )的最大值为
.
析 : y sin(
x )cos(
1 积化和差 : sin sin [sin( ) sin( )] 2

第四章专题研究三角函数的值域与最值

2＝1
授人以渔
1＋k 4± 7 解之得 k＝ 3
课时作业
4－ 7 4＋ 7 ∴函数 f(x)的值域为[ ， ] 3 3
高考调研· 新课标高考总复习
高三数学（理）
第四章
专题研究
课前自助餐
sinx (2)f(x)＝ cosx
sinx≤cosx sinx>cosx
作出图象 2 由图象知，－1≤y≤ 2
授人以渔
探究3 借助一些代数式的几何意义或三角函数的图象可直观地求出函数的值域，从而减少运算量．
课时作业
高考调研· 新课标高考总复习
高三数学（理）
第四章
专题研究
课前自助餐
专题训练
授人以渔课时作业
高考调研· 新课标高考总复习
课时作业
高考调研· 新课标高考总复习
高三数学（理）
第四章
专题研究
题型三数形结合求三角函数的值域
课前自助餐
授人以渔
2－sinx 例 3 (1)求函数 f(x)＝的值域． 2＋cosx 1 1 (2) 已知 f(x) ＝ (sinx ＋ cosx) － |sinx － 2 2 cosx|，求 f(x)的值域． 2－sinx 【解析】 (1)函数 f(x)＝，可看作 2＋cosx 点(2,2)(－cosx，sinx)两点连线的斜率．点(－cosx，sinx)的轨迹为 x2＋y2＝1.
高三数学（理）
第四章
专题研究
专题研究
课前自助餐
三角函数的值域与最值
专题要点
1.
函数定义域值域 y＝sinx R [－1,1] cosx R [－1,1] tanx π {x|x≠kπ＋，k∈Z} 2 R

三角函数的图象、定义域、最值(值域)、单调性

三角函数的图象、定义域、最值(值域)、单调性
[学习要求] 1.能画出 y ＝ sin x ， y ＝ cos x ， y ＝tan x 的图象. 2.理解
正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小
值、图象与 x 轴的交点等). 3.理解正切函数在区间
π
π
− ，
2
2
上的性质.
π
π
− ＜＜
2
2
由题意得 y ＝ cos x ·｜tan x ｜＝ቐ
的大致图象是(
sin，0 ≤
π
＜，
2
π
−sin, − ＜
2
所以其图象的大致形状如选项C所示.
< 0，
C )
2. 已知函数 f ( x )＝ sin x ＋2｜ sin x ｜， x ∈[0，2π]，若直线 y ＝ k
与其仅有两个不同的交点，则 k 的取值范围为
， k ∈Z，
2
2
π
π
π
＋ ≥ + 2π，
4
2
所以ቐ 2
k ∈Z，
π
3π
π＋ ≤ + 2π，
4
2
1
5
解得4 k ＋ ≤ω≤2 k ＋， k ∈Z.
2
4
1
5
5
又由4 k ＋－ 2＋ ≤0， k ∈Z，且2 k ＋＞0， k ∈Z，解得 k ＝0，
2
4
4
1
5
所以ω∈ ， .
2
4
方法总结
A. [－1，1]
令 sin x ＝ t ， t ∈[－1，1]，
则 y ＝ t 2＋ t －1＝
1 2

三角函数

2.同角三角函数的基本关系式(B) sin2x+cos2x=1
sin x = tan x cos x
例2．（07全国Ⅰ卷（理）1）α
5 是第四象限角，tanα＝－， 12
则sinα ＝ _____________．
5 解：因为tanα＝－，所以cosα 12 12 ＝－ 5 sinα，又sin2α＋cos2α＝1， 25 所以代入得sin2α＝ 169
sin(α－β)＝
3 3 14
．
1 sinβ＝ sin [α －(α－β)]＝ . 2 π π
又0＜β ＜
2
,所以 β ＝
3
.
例17. 已知sin( ＋3α)sin( －3α)＝
1 − cos 2α α∈(0， ) ，求( － 3) sin 2α 4
π
π
π
4
4
1 4
，
sin4α的值．
解:Q sin( + 3α ) sin( − 3α ) = sin( + 3α ) cos( + 3α ), 4 4 4 4 1 π 1 1 = sin(6α + ) = cos 6α = , 又 Q 6α ∈ (0, 3π ), 2 π 2 2 4 4 ∴α = = 10°. 18 sin α − 3 cos α sin10° − 3 cos10° 原式 = ⋅ sin 4α = ⋅ sin 40° cos α cos10° −2(sin 60° cos10° − cos 60° sin10°) = ⋅ sin 40° cos10° −2sin 50° − sin 80° = ⋅ sin 40° = = −1. cos10° cos10°
2π |ω |

三角函数是几年级的知识内容-概述说明以及解释

三角函数是几年级的知识内容-概述说明以及解释1.引言1.1 概述三角函数是数学中的重要内容之一，广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。

它主要研究在单位圆上各点的坐标与它们所夹角的关系，是描述角度大小和角度关系的一种有效工具。

三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，通过对三角函数的定义和性质的学习，可以帮助我们理解角度的概念，掌握角度的计算方法，以及解决与角度相关的问题。

在教育体系中，三角函数的学习通常安排在高中数学课程中。

具体来说，正弦函数和余弦函数的学习常常在高一下学期进行，而正切函数的学习则安排在高二的下学期。

三角函数的学习需要基本的代数和几何知识作为前提，所以在掌握了初等代数和平面几何的基础上，学生才能比较顺利地理解和应用三角函数的相关知识。

通过学习和应用三角函数，学生可以进一步理解三角形的性质、比例关系以及相关的计算方法。

在物理学中，三角函数还能帮助学生理解力学、波动、电磁波等课程中的各种现象和问题。

总之，三角函数作为数学的一个重要分支，对于学生的发展和学习具有重要的影响和作用。

掌握三角函数的基本概念和应用方法，有助于培养学生的逻辑思维能力、解决问题的能力，以及拓宽他们的科学视野。

在未来的教育中，我们应不断改进和创新三角函数的教学方法，使学生更好地理解和应用这一知识内容，为他们的未来学习和发展打下坚实的基础。

1.2文章结构文章结构部分应该包括以下内容：在文章结构部分，我们将会详细讨论本文的组织架构和内容安排。

通过清晰的文章结构，读者可以更好地理解和掌握本文的主旨。

本文共分为三个主要部分，分别是引言、正文和结论。

下面将对每个部分的内容进行简要介绍。

引言部分是文章的开端，通过引言，我们会给读者一个整体的概述。

首先，我们将简要介绍三角函数的概念和背景，包括定义、性质和应用等方面的基本知识。

然后，我们将展示整篇文章的结构，列举各个部分的主要内容。

正文部分是文章的主体，也是最重要的部分。

在这一部分，我们将围绕三角函数的定义、性质和应用展开详细的讨论。

三角函数的定义与性质

有界性
三角函数的有界性是指它们在一定范围内取值有限
有界性的证明通常需要利用三角函数的定义和性质，如周期性、对称性等
有界性是三角函数在解决实际问题中非常重要的性质之一，例如在信号处理、控制系统等领域
有界性还可以帮助我们理解三角函数的其他性质，如单调性、周期性等
图像与性质
PART 05
三角函数的和差化积公式
和差化积公式的基本形式
正弦和差化积公式： sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB
余弦和差化积公式： cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB
正切和差化积公式：tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1tanAtanB)
性质：余弦函数是一个周期函数，其周期为2π。
图像：余弦函数的图像是一个正弦曲线，其最大值为1，最小值为-1。
正切函数
定义：正切函数是三角函数之一，表示单位圆上某点与x轴正方向的夹角。公式：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) 性质：正切函数在定义域内是连续的，但在某些点处不可导。应用：正切函数在解析几何、微积分等领域有着广泛的应用。
THANK YOU
汇报人：
数学竞赛：诱导公式是数学竞赛中常见的题型，掌握诱导公式有助于提高解题能力
特殊角度的三角函数值
0 °： s i n ( 0 °) = 0 , co s ( 0 °) = 1 , ta n ( 0 °) = 0
4 5 °： s i n ( 4 5 °) = √ 2 / 2 , co s ( 4 5 °) = √ 2 / 2 , ta n ( 4 5 °) = 1

三角函数的定义域、值域和最值讲解

三角函数的定义域、值域和最值一知识点精讲：1 三角函数的定义域（1）sinα=yryxxr定义域为R. （2）cosα=⎧⎩定义域为R.（3）tanα=定义域为⎨α|α≠πx⎫定义域为+kπ,k∈Z⎬. （4）cotα=2y⎭{α|α≠kπ,k∈Z}.2 三角函数的值域① y=asinx+b,(a≠0) 型当a>0时，y∈[-a+b,a+b] ；当a<0时 y∈[a+b,-a+b] ② y=asin2x+bsinx+c型此类型的三角函数可以转化成关于sinx的二次函数形式。

通过配方，结合sinx的取值范围，得到函数的值域。

sinx换为cosx也可以。

③ y=asinx+bcosx型利用公式asinx+bcosx=的情形。

④y=a(sinx+cosx)+bsinxcosx型利用换元法，设t=sinx+cosx, t∈[-2,2]，则sinxcosx=t-122a+bsin(x+φ),tanφ=22ba，可以转化为一个三角函数22,转化为关于t 的二次函数y=at+b22=b2t+at-2b2.⑤y=asinx+bcosx+csinxcosx型这是关于sinx,cosx的二次齐次式，通过正余弦的降幂公式以及正弦的倍角公式，sin2x=1-cos2x2,cos2x=1+cos2x2,sinxcosx=sin2x2，可转化为y=msin2x+ncos2x+p的形式。

⑥ y=⑦y=asinx+bcsinx+dsinx+a型可以分离常数，利用正弦函数的有界性。

cosx+b型可以利用反解的思想方法，把分母乘过去，整理得，sinx-ycosx=by-a，sin(x-φ)=by-a+y,by-a+y≤1, 通过解此不等式可得到y的取值范围。

或者转化成两点连线的斜率。

以上七种类型是从表达的形式上进行分类的，如果x有具体的角度范围，则再进行限制。

二典例解析：例1．求下列函数的定义域（1）y=3-3sinx-2cos2x；（2）y例2．求下列函数的值域(1) y=-2sinx+3 （2）y=2cos2x+5sinx-4；（3）y=5sin2x-4sinxcosx+2cos2x； (4)y=sinx+cosx+sinxcosx （5）yπ6=3sinx+13sinx+2=logsinx(cosx+12). （3） y=25-x+lgcosx；；（6）y=sinx+2cosx+21-tan()cosx.π4-x)（7）y=sin(x-（8）y=1+tan(π4-x)（9）求函数y=sin2x1-sinx-cosx+sin2x的值域.三课堂练习：1．若cosα⋅cscαsec2α-1=-1,则α所在的象限是A．第二象限限2．不解等式：（1）sinx<-3．已知f(x)的定义域为(-4．求下列函数的定义域（1）y=1tanx-112 （） B．第四象限 C．第二象限或第四象限 D．第一或第三象（2）cosx>12 12,32),则f(cosx)的定义域为____________. （2）y=sinx+125-x2.5．求下列函数的值域（1）y=2cosx-1（3）y=1+sinx+cosx+（5）y=12+sinx12sin2xx∈[-π,π]. （4）y=-cos3 （2）y=2sinxcos1+sinx2x. xsinx. （6）y=tan2x+4cot+1 26．有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都半径或弧在扇形的上，求这个内接矩形的最大面积．。

三角函数的值域和最值

y=cosx定义域是R，值域是[-1，1]，在x=2kπ(k∈Z)时，取最大值1，在x=2kπ+π(k∈Z)时，取最小值-1
3.正切函数
y=tanx定义域是(kπ-π/2，kπ+π/2)(k∈Z)，值域是R，无最
值.
4. asinx+bcosx型函数
asin x bcosx a2 b2 sinx (其中φ由 tan b
6
【解题回顾】形如y=acos2x+bcosxsinx+csin2x+d(a、b、c、
d为常数)的式子，都能仿照上例变形为形如y=Acos(2x+φ)
+B的式子，
，
求最值时不能忽视对定义域的思考
2. 试求函数 y=sinx+cosx+2sinxcosx+2 的最大值和最小值 . 又若x∈[0，π/2]呢?
第5课时三角函数的值域和最值
要点·疑点·考点课前热身能力·思维·方法延伸·拓展误解分析
要点·疑点·考点
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1.正弦函数
y=sinx定义域是R，值域是[-1,1]，在x=2kπ-π/2(k∈Z)时取最小值-1，在x=2kπ+π/2(k∈Z)时，取最大值1 .
2.余弦函数
【解题回顾】上述两题为y=asin2x+bsinx+c型的三角函数. 此类函数求最值，可转化为二次函数y=at2+bt+c在闭区间 [-1，1]上的最值问题解决.
延伸·拓展
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5.在Rt△ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC
上．
(1)设AB=a,∠ABC=θ，求△ABC的面积P与正方形面积Q

三角函数和反三角函数的定义域和值域

三角函数和反三角函数的定义域和值域文章标题：深入理解三角函数和反三角函数的定义域和值域一、引言三角函数和反三角函数是数学中重要的概念，它们在数学和物理等领域有着广泛的应用。

理解三角函数和反三角函数的定义域和值域对于深入理解它们的性质和应用至关重要。

本文将从简单到复杂，由浅入深地探讨三角函数和反三角函数的定义域和值域，帮助读者更深入地理解这一主题。

二、三角函数的定义域和值域1. 正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数之一，它们的定义域是整个实数集，即(-∞, +∞)，而值域是闭区间[-1, 1]。

这意味着正弦函数和余弦函数的取值范围在-1到1之间。

2. 正切函数正切函数的定义域是所有实数，但它的值域是整个实数集，即(-∞, +∞)。

正切函数的取值范围是整个实数集。

3. 反正弦、反余弦和反正切函数反三角函数是三角函数的反函数，它们的定义域和值域与相应的三角函数相反。

反正弦函数的定义域是闭区间[-1, 1]，而值域是闭区间[-π/2, π/2]。

这意味着反正弦函数的取值范围在-π/2到π/2之间。

三、深入理解三角函数和反三角函数的定义域和值域1. 定义域和值域的意义三角函数的定义域和值域决定了函数的取值范围和性质，它们对于解决三角函数的问题和应用具有重要的指导意义。

在求解三角方程和证明三角不等式时，对三角函数的定义域和值域有清晰的认识能够帮助我们更好地理解和处理问题。

2. 图形和性质三角函数的定义域和值域也反映在其图形和性质上。

通过分析三角函数的图形，我们可以直观地感受到其定义域和值域对函数图像的影响，从而更深入地理解三角函数的性质和特点。

四、总结与展望通过本文的探讨，我们对三角函数和反三角函数的定义域和值域有了更深入的理解。

理解三角函数和反三角函数的定义域和值域不仅有助于掌握它们的性质和特点，还能对解决实际问题和应用提供有力的支持。

未来，我们可以进一步探讨三角函数和反三角函数的性质以及它们在不同领域的具体应用，以丰富我们对这一主题的理解。

第四章第5讲三角函数的图象与性质-2025年高考数学备考

第四章三角函数第5讲三角函数的图象与性质课标要求命题点五年考情命题分析预测1.借助单位圆能画出三角函数（正弦、余弦、正切）的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值.2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在（－π2，π2）上的性质.三角函数的定义域本讲每年必考，主要考查三角函数的定义域、值域（最值）、周期性、单调性、对称性和奇偶性，有时与函数零点和极值点综合命题，题型以选择题和填空题为主，难度中等.预计2025年高考命题趋势变化不大，备考时要注意区分正弦函数和余弦函数的图象与性质，不要混淆，另应关注新角度、新综合问题.三角函数的值域（最值）2021全国卷乙T4三角函数的性质及应用2023新高考卷ⅠT15；2023全国卷乙T6；2023天津T5；2022新高考卷ⅠT6；2022全国卷乙T15；2022全国卷甲T11；2022北京T5；2021新高考卷ⅠT4；2020全国卷ⅢT16；2019全国卷ⅠT11；2019全国卷ⅡT9学生用书P0801.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象上，起关键作用的五个点是（0，0），（π2，1），①（π，0），（3π2，－1），②（2π，0）.在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象上，起关键作用的五个点是（0，1），（π2，0），③（π，－1），（3π2，0），④（2π，1）.五点法作图有三步：列表、描点、连线（注意光滑）.2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质三角y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x函数图象定义域R R ⑤{x ｜x ≠k π＋2，k ∈Z}值域⑥[－1，1]⑦[－1，1]R周期性周期是2k π（k ∈Z 且k ≠0），最小正周期是⑧2π.周期是2k π（k ∈Z 且k ≠0），最小正周期是⑨2π.周期是k π（k ∈Z 且k ≠0），最小正周期是⑩π.对称性对称轴方程是⑪x ＝k π＋2（k ∈Z ），对称中心是⑫（k π，0）（k ∈Z ）.对称轴方程是⑬x ＝k π（k ∈Z ），对称中心是⑭（k π＋2，0）（k ∈Z ）.无对称轴，对称中心是⑮（2，0）（k ∈Z ）.奇偶性⑯奇函数⑰偶函数⑱奇函数单调性在⑲[－2＋2k π，2＋2k π]（k ∈Z ）上单调递增，在⑳[2＋2k π，32＋2k π]（k ∈Z ）上单调递减.在㉑[2k π－π，2k π]（k ∈Z ）上单调递增，在㉒[2k π，2k π＋π]（k ∈Z ）上单调递减.在㉓（－2＋k π，2＋k π）（k ∈Z ）上单调递增.注意y ＝tan x 在其定义域内不单调.常用结论1.三角函数的对称性与周期T 的关系（1）相邻的两条对称轴（或两个对称中心）之间的距离为2；（2）相邻的对称中心与对称轴之间的距离为4；（3）相邻的两个最低点（或最高点）之间的距离为T .2.与三角函数奇偶性有关的结论（1）若函数y ＝A sin （ωx ＋φ）（x ∈R ）是奇函数，则φ＝k π（k ∈Z ）；若为偶函数，则φ＝k π＋π2（k ∈Z ）.（2）若函数y ＝A cos （ωx ＋φ）（x ∈R ）是奇函数，则φ＝k π＋π2（k ∈Z ）；若为偶函数，则φ＝k π（k ∈Z ）.（3）若y＝A tan（ωx＋φ）为奇函数，则φ＝kπ（k∈Z）.1.设A是△ABC最小的内角，则sin A＋cos A的取值范围是（D）A.（－2，2）B.[－2，2]C.（1，2）D.（1，2]解析∵A是△ABC最小的内角，∴0＜A≤π3，∴π4＜A＋π4≤7π12，sin（A＋π4）≤1，则sin A＋cos A＝2sin（A＋π4）∈（1，2]，故选D.2.函数f（x）＝tan（－4x＋π6）的最小正周期为（A）A.π4B.π2C.πD.2π解析函数f（x）＝tan（－4x＋π6）的最小正周期T＝π｜｜＝π｜－4｜＝π4.3.[全国卷Ⅱ]若x1＝π4，x2＝3π4是函数f（x）＝sinωx（ω＞0）两个相邻的极值点，则ω＝（A）A.2B.32C.1D.12解析依题意得函数f（x）的最小正周期T＝2π＝2×（3π4－π4）＝π，解得ω＝2，选A.4.函数f（x）＝sin（x－π4）的图象的一条对称轴的方程是（C）A.x＝π4B.x＝π2C.x＝－π4D.x＝－π2解析函数y＝sin x的图象的对称轴方程为x＝kπ＋π2（k∈Z），令x－π4＝kπ＋π2（k∈Z），得x＝kπ＋3π4（k∈Z），故函数f（x）＝sin（x－π4）的图象的对称轴方程为x＝kπ＋3π4（k∈Z）.令k＝－1，得x＝－π4.故选C.5.[易错题]函数y＝2sin（－x＋π3）（x∈[－π，0]）的单调递增区间是（A）A.[－π，－π6]B.[－5π6，－π6]C.[－π3，0]D.[－π6，0]解析令π2＋2kπ≤－x＋π3≤3π2＋2kπ，k∈Z，则－7π6－2kπ≤x≤－π6－2kπ，k∈Z.又x∈[－π，0]，所以所求单调递增区间为[－π，－π6].6.函数f（x）＝tan（3x＋π6）的图象的对称中心为（χ6－π18，0）（k∈Z）.解析令3x ＋π6＝χ2，k ∈Z ，解得x ＝χ6－π18，k ∈Z ，所以f （x ）的图象的对称中心为（χ6－π18，0），k ∈Z.学生用书P082命题点1三角函数的定义域例1函数y ＝lg （sin x 的定义域为{x ｜2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z}.解析要使函数有意义，则sin >0，Hs －12≥0，解得2χ＜＜π+2χ（Ap,－π3+2χ≤≤π3+2χ（Ap,所以2k π＜x ≤π3＋2k π（k ∈Z ），所以函数的定义域为{x ｜2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z}.方法技巧求三角函数的定义域实质上是解不等式或不等式组，常借助于三角函数的图象解决.训练1函数f （x ）＝tanbtan2tan2－tan 的定义域为{x ｜x ≠χ4，k ∈Z}.解析tan 2x ，tan x 有意义，则≠π2＋χ，2≠π2＋χ，k ∈Z ，又tan 2x －tan x ≠0，即2tan1－tan 2－tan x ≠0，则tan x ≠0，即x ≠k π，k ∈Z ，综上可得，x ≠χ4，k ∈Z ，则函数f （x ）的定义域为{x ｜x ≠χ4，k ∈Z}.命题点2三角函数的值域（最值）例2（1）[2021全国卷乙]函数f （x ）＝sin3＋cos3的最小正周期和最大值分别是（C）A.3π和2B.3π和2C.6π和2D.6π和2解析因为函数f （x ）＝sin3＋cos 3＝2（sin 3cos π4＋cos3sin π4）＝2sin （3＋π4），所以函数f （x ）的最小正周期T ＝2π13＝6π，最大值为2.故选C.（2）已知函数f （x ）＝cos （2x ＋π3）＋2的定义域为[α，π]，值域为[52，3]，则α的取值范围是（C ）A.[2π3，π]B.[0，2π3]C.[2π3，5π6]D.[π2，5π6]解析由题意知，2x＋π3∈[2α＋π3，7π3]，且y＝cos（2x＋π3）在[α，π]上的值域为[12，1]，∴2α＋π3≥5π3，且2α＋π3≤2π，解得2π3≤α≤5π6，∴α的取值范围是[2π3，5π6]，故选C.方法技巧三角函数值域的不同求法1.把所给的三角函数式变换成y＝A sin（ωx＋φ）＋b的形式求值域.2.把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域.3.利用sin x±cos x和sin x cos x的关系转换成二次函数求值域.训练2（1）[2023四川省模拟]已知函数f（x）＝cos2x＋sin x－14的定义域为[0，m]，值域为[34，1]，则实数m的最大值为（A）A.πB.7π6C.4π3D.3π2解析由已知，得f（x）＝cos2x＋sin x－14＝1－sin2x＋sin x－14＝－sin2x＋sin x＋34，令t＝sin x，函数f（x）可转换为y＝－t2＋t＋34＝－（t－12）2＋1，因为y∈[34，1]，所以根据二次函数的图象与性质可得t∈[0，1]，即sin x∈[0，1]，又x∈[0，m]，所以根据三角函数的图象与性质可得m∈[π2，π]，所以实数m的最大值为π，故选A.（2）函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x12解析令sin x－cos x＝t，则t＝2sin（x－π4），t∈[－2，2]，t2＝sin2x＋cos2x－2sin x cos x，故sin x cos x＝1－22，所以y＝t＋1－22＝－12（t－1）2＋1，所以当t＝1时，函数有最大值1；当t＝－2时，函数有最小值－2－12，即值域为[－2－12，1].命题点3三角函数的性质及应用角度1三角函数的周期性例3（1）[2023天津高考]已知函数f（x）图象的一条对称轴为直线x＝2，f（x）的一个周期为4，则f（x）的解析式可能为（B）A.f（x）＝sin（π2x）B.f（x）＝cos（π2x）C.f（x）＝sin（π4x）D.f（x）＝cos（π4x）解析对于A，f（x）＝sin（π2x），其最小正周期为2ππ2＝4，因为f（2）＝sinπ＝0，所以函数f（x）＝sin（π2x）的图象不关于直线x＝2对称，故排除A；对于B，f（x）＝cos（π2x），其最小正周期为2ππ2＝4，因为f（2）＝cosπ＝－1，所以函数f（x）＝cos（π2x）的图象关于直线x＝2对称，故选项B符合题意；对于C，D，函数y＝sin（π4x）和y＝cos（π4x）的最小正周期均为2ππ4＝8，均不符合题意，故排除C，D.综上，选B.（2）[全国卷Ⅲ]函数f（x）＝tG1+B2的最小正周期为（C）A.π4B.π2C.πD.2π解析f（x）＝tan1+tan2＝sin cos1+sin2cos2＝sinvoscos2＋sin2＝sin x cos x＝12sin2x，所以f（x）的最小正周期T＝2π2＝π.故选C.方法技巧1.求三角函数周期的基本方法（1）定义法.（2）公式法：函数y＝A sin（ωx＋φ）（或y＝A cos（ωx＋φ））的最小正周期T＝2π｜｜，函数y＝A tan（ωx＋φ）的最小正周期T＝π｜｜.（3）图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期.2.有关周期的2个结论（1）函数y＝｜A sin（ωx＋φ）｜，y＝｜A cos（ωx＋φ）｜，y＝｜A tan（ωx＋φ）｜的最小正周期T均为π｜｜.（2）函数y＝｜A sin（ωx＋φ）＋b｜（b≠0），y＝｜A cos（ωx＋φ）＋b｜（b≠0）的最小正周期T均为2π｜｜.角度2三角函数的单调性例4（1）[2022北京高考]已知函数f（x）＝cos2x－sin2x，则（C）A.f（x）在（－π2，－π6）上单调递减B.f（x）在（－π4，π12）上单调递增C.f（x）在（0，π3）上单调递减D.f（x）在（π4，7π12）上单调递增解析依题意可知f（x）＝cos2x－sin2x＝cos2x，对于A，因为x∈（－π2，－π6），所以2x∈（－π，－π3），函数f（x）＝cos2x在（－π2，－π6）上单调递增，所以A不正确；对于B，因为x∈（－π4，π12），所以2x∈（－π2，π6），函数f（x）＝cos2x在（－π4，π12）上不单调，所以B不正确；对于C，因为x∈（0，π3），所以2x∈（0，2π3），函数f（x）＝cos2x在（0，π3）上单调递减，所以C正确；对于D，因为x∈（π4，7π12），所以2x∈（π2，7π6），函数f（x）＝cos2x在（π4，7π12）上不单调，所以D不正确.故选C.（2）[全国卷Ⅱ]若f（x）＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是（A）A.π4B.π2C.3π4D.π解析f（x）＝cos x－sin x＝2cos（x＋π4），因为函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋π4≤π，得－π4≤x≤3π4.因为f（x）在[－a，a]上是减函数，｜－π4｜＜3π4，所以－a≥－π4，解得a≤π4.又区间[－a，a]有意义时，a＞0，所以0＜a≤π4，所以a的最大值是π4.方法技巧三角函数单调性问题的常见类型及求解策略常见类型求解策略已知三角函数解析式求单调区间（1）将函数化简为“一角一函数”的形式，如y＝A sin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）；（2）利用整体思想，视“ωx＋φ”为一个整体，根据y＝sin x的单调区间列不等式求解.对于y＝A cos（ωx＋φ），y＝A tan（ωx＋φ），可以利用类似方法求解.注意求函数y＝A sin（ωx＋φ）＋b的单调区间时要先看A和ω的符号，尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆.已知三角函数的单调性求参数（1）求出原函数的相应单调区间，由已知区间是求出的单调区间的子集，列不等式（组）求解.（2）由所给区间求出“ωx＋φ”的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解.角度3三角函数的奇偶性与对称性例5（1）[2022全国卷甲]将函数f（x）＝sin（ωx＋π3）（ω＞0）的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（C）A.16B.14C.13D.12解析记曲线C的函数解析式为g（x），则g（x）＝sin[ω（x＋π2）＋π3]＝sin[ωx＋（π2ω＋π3）].因为函数g（x）的图象关于y轴对称，所以π2ω＋π3＝kπ＋π2（k∈Z），得ω＝2k＋13（k∈Z）.因为ω＞0，所以ωmin＝13.故选C.（2）[2022新高考卷Ⅰ]记函数f（x）＝sin（ωx＋π4）＋b（ω＞0）的最小正周期为T.若2π3＜T ＜π，且y＝f（x）的图象关于点（3π2，2）中心对称，则f（π2）＝（A）A.1B.32C.52D.3解析因为2π3＜T＜π，所以2π3＜2π＜π，解得2＜ω＜3.因为y＝f（x）的图象关于点（3π2，2）中心对称，所以b＝2，且sin（3π2ω＋π4）＋b＝2，即sin（3π2ω＋π4）＝0，所以3π2ω＋π4＝kπ（k∈Z），又2＜ω＜3，所以13π4＜3π2ω＋π4＜19π4，所以3π2ω＋π4＝4π，解得ω＝52，所以f（x）＝sin（52x＋π4）＋2，所以f（π2）＝sin（52×π2＋π4）＋2＝sin3π2＋2＝1.故选A.方法技巧1.三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法：对于函数f（x）＝A sin（ωx＋φ）（ω≠0），令ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，求出对称轴方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，求出对称中心的横坐标（纵坐标为0）.对于y＝A cos（ωx＋φ），y＝A tan（ωx＋φ），可以利用类似方法求解（注意y＝A tan（ωx＋φ）的图象无对称轴）.说明选择题可以通过验证f（x0）的值进行判断，即f（x0）＝±A⇔x＝x0是函数f（x）图象的对称轴方程；f（x0）＝0⇔点（x0，0）是函数f（x）图象的对称中心.2.三角函数中奇函数一般可化为y＝A sinωx或y＝A tanωx的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cosωx＋b的形式.训练3（1）[2023全国卷乙]已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）在区间（π6，2π3）单调递增，直线x＝π6和x＝2π3为函数y＝f（x）的图象的两条相邻对称轴，则f（－5π12）＝（D）A. B.－12 C.12解析由题意得12×2π｜｜＝2π3－π6＝π2，解得｜ω｜＝2，易知x＝π6是f（x）的最小值点.若ω＝2，则π6×2＋φ＝－π2＋2kπ（k∈Z），得φ＝－5π6＋2kπ（k∈Z），于是f（x）＝sin（2x－6π5＋2kπ）＝sin（2x－5π6），f（－5π12）＝sin（－5π12×2－5π6）＝sin（－5π3）＝sinπ3＝ω＝－2，则π6×（－2）＋φ＝－π2＋2kπ（k∈Z），得φ＝－π6＋2kπ（k∈Z），于是f（x）＝sin（－2x－π6＋2kπ）＝sin（－2x－π6）＝sin（2x－56π），所以f（－5π12）故选D.（2）在函数①y＝cos｜2x｜，②y＝｜cos x｜，③y＝cos（2x＋π6），④y＝tan（2x－π4）中，最小正周期为π的所有函数为（A）A.①②③B.①③④C.②④D.①③解析对于①，y＝cos｜2x｜＝cos2x，其最小正周期为2π2＝π；对于②，y＝｜cos x｜的最小正周期为π；对于③，y＝cos（2x＋π6）的最小正周期为2π2＝π；对于④，y＝tan（2x－π4）的最小正周期为π2.所以最小正周期为π的所有函数为①②③.（3）函数f（x）＝3sin（2x－π3＋φ）＋1，φ∈（0，π），且f（x）为偶函数，则φ＝5π6，f（x）图象的对称中心为（π4＋χ2，1），k∈Z.解析∵f（x）＝3sin（2x－π3＋φ）＋1为偶函数，∴－π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，即φ＝5π6＋kπ，k∈Z.又φ∈（0，π），∴φ＝5π6，∴f（x）＝3sin（2x＋π2）＋1＝3cos2x＋1.由2x＝π2＋kπ，k∈Z，得x＝π4＋χ2，k∈Z，∴f（x）图象的对称中心为（π4＋χ2，1），k∈Z.1.[命题点2/2023福建模拟]若对任意x∈R都有f（sin x）＝－cos2x＋cos2x＋2sin x－3，则f（x）的值域为[－4，0].解析易知f（sin x）＝2sin2x－1＋1－sin2x＋2sin x－3＝sin2x＋2sin x－3，所以f（x）＝x2＋2x－3（－1≤x≤1），曲线y＝x2＋2x－3的对称轴为直线x＝－1，所以函数f（x）在区间[－1，1]上单调递增，所以f（－1）≤f（x）≤f（1），即－4≤f（x）≤0，所以f（x）的值域为[－4，0].2.[命题点2/2023潍坊市高三统考]已知函数f（x）＝3sin x＋4cos x，且f（x）≤f（θ）对任意x∈R恒成立，若角θ的终边经过点P（4，m），则m＝3.解析因为f（x）＝3sin x＋4cos x＝5sin（x＋φ），其中cosφ＝35，sinφ＝45，则sin（θ＋φ）＝1，所以θ＋φ＝π2＋2kπ（k∈Z），所以θ＝π2－φ＋2kπ（k∈Z），所以sinθ＝sin（π2－φ）＝cosφ＝35，同理cosθ＝45，所以tanθ＝4＝sin cos＝34，所以m＝3.3.[命题点3角度1/多选/2023福建省福州市联考]如图所示，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每3s转一圈.该质点到x轴的距离关于时间t的函数记为f（t）.下列说法正确的是（AC）A.f（t）＝｜2sin（2π3t－π4）｜B.f（t）＝2sin（2π3t－π4）C.f（t）的最小正周期为32D.f（t）的最小正周期为3解析由题可知，质点的角速度为2π3rad/s，因为点P为起始点，沿逆时针方向运动，设经过t s之后所成角为φ，则φ＝2π3－π4，根据任意角的三角函数定义有y P＝2sin（2π3－π4），所以该质点到x轴的距离为f（t）＝｜2sin（2π3t－π4）｜，故A正确，B错误；因为f（t）＝｜2sin（2π3t－π4）｜，所以f（t）的最小正周期为π2π3＝32，故C正确，D错误.故选AC.4.[命题点3/多选/2023河北名校联考]已知函数f（x）＝2sin（ωx＋π4）＋b（ω＞0）的最小正周期T满足π2＜T＜3π2，且P（－π8，1）是f（x）图象的一个对称中心，则（AC）A.ω＝2B.f（x）的值域是[－2，2]C.直线x＝π8是f（x）图象的一条对称轴D.f（x＋π4）是偶函数解析对于A，因为P（－π8，1）是函数f（x）图象的一个对称中心，所以－π8ω＋π4＝kπ（k∈Z），且b＝1，得ω＝2－8k（k∈Z）.又π2＜T＜3π2，且ω＞0，即π2＜2π＜3π2，所以43＜ω＜4，所以ω＝2，故A正确.对于B，由对A的分析得f（x）＝2sin（2x＋π4）＋1，因为－1≤sin（2x＋π4）≤1，所以f（x）∈[－1，3]，故B不正确.对于C，解法一由2x＋π4＝kπ＋π2（k∈Z），得x＝χ2＋π8（k∈Z），当k＝0时，x＝π8，所以直线x＝π8是函数f（x）图象的一条对称轴，故C正确.解法二将x＝π8代入f（x），可得f（π8）＝3（f（x）的最大值），所以直线x＝π8是f（x）图象的一条对称轴，故C正确.对于D，因为f（x＋π4）＝2sin[2（x＋π4）＋π4]＋1＝2sin（2x＋π2＋π4）＋1＝2cos（2x＋π4）＋1，显然该函数不是偶函数，故D不正确.综上所述，选AC.学生用书·练习帮P2961.函数f（x）＝tan（2x＋π4）的定义域为（C）A.{x｜x≠kπ＋π2，k∈Z}B.{x｜x≠2kπ＋π2，k∈Z}C.{x｜x≠χ2＋π8，k∈Z}D.{x｜x≠kπ＋π8，k∈Z}解析由2x＋π4≠kπ＋π2，k∈Z，得2x≠kπ＋π4，k∈Z，∴x≠χ2＋π8，k∈Z，∴函数y＝tan（2x＋π4）的定义域为{x｜x≠χ2＋π8，k∈Z}.2.[2023天津新华中学统练]下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（D）A.y＝sin（2x＋π2）B.y＝tan2xC.y＝2sin（π－x）D.y＝tan（x＋π）解析对于函数y＝sin（2x＋π2）＝cos2x，最小正周期为π，是偶函数，排除A；对于函数y＝tan2x，最小正周期为π2，是奇函数，排除B；对于函数y＝2sin（π－x）＝2sin x，最小正周期为2π，是奇函数，排除C；对于函数y＝tan（π＋x）＝tan x，最小正周期为π，是奇函数，故选D.3.下列函数中，以π2为周期且在区间（π4，π2）单调递增的是（A）A.f（x）＝｜cos2x｜B.f（x）＝｜sin2x｜C.f（x）＝cos｜x｜D.f（x）＝sin｜x｜解析A中，函数f（x）＝｜cos2x｜的最小正周期为π2，当x∈（π4，π2）时，2x∈（π2，π），函数f（x）单调递增，故A正确；B中，函数f（x）＝｜sin2x｜的最小正周期为π2，当x∈（π4，π2）时，2x∈（π2，π），函数f（x）单调递减，故B不正确；C中，函数f（x）＝cos｜x｜＝cos x的最小正周期为2π，故C不正确；D中，f（x）＝sin｜x｜＝sin，≥0，由正弦函数图象知，在x≥0和x＜0时，f（x）均以2π为周期，但在整个－sin，<0，定义域上f（x）不是周期函数，故D不正确.故选A.4.已知函数f（x）＝sin（ωx＋θ）＋3cos（ωx＋θ）（θ∈[－π2，π2]）是偶函数，则θ的值为（B）A.0B.π6C.π4D.π3解析由已知可得f（x）＝2sin（ωx＋θ＋π3），若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝kπ＋π2（k∈Z），又由于θ∈[－π2，π2]，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意.故选B.5.[2023江西月考]已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的两个相邻的零点为－13，23，则f（x）的图象的一条对称轴方程是（B）A.x＝－16B.x＝－56C.x＝13D.x＝23解析设f（x）的最小正周期为T，则2＝23－（－13）＝1，得T＝2π＝2，所以ω＝π，又因为－π3＋φ＝kπ（k∈Z），且0＜φ＜π2，所以φ＝π3，则f（x）＝sin（πx＋π3），由πx＋π3＝kπ＋π2（k∈Z），解得x＝k＋16（k∈Z），取k＝－1，得一条对称轴方程为x＝－56.6.已知函数f（x）＝－2tan（2x＋φ）（0＜φ＜π2）的图象的一个对称中心是点（π12，0），则该函数的一个单调递减区间是（D）A.（－5π6，π6）B.（－π6，π3）C.（－π3，π6）D.（－5π12，π12）解析因为函数f（x）＝－2tan（2x＋φ）的图象的一个对称中心是点（π12，0），所以2×π12＋φ＝χ2，k∈Z，解得φ＝χ2－π6，k∈Z.又0＜φ＜π2，所以φ＝π3，所以f（x）＝－2tan（2x＋π3）.令－π2＋kπ＜2x＋π3＜π2＋kπ，k∈Z，解得－5π12＋χ2＜x＜π12＋χ2，k∈Z，所以函数f（x）的单调递减区间为（－5π12＋χ2，π12＋χ2），k∈Z.当k＝0时，得f（x）的一个单调递减区间为（－5π12，π12）.7.[全国卷Ⅰ]设函数f（x）＝cos（ωx＋π6）在[－π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（C）A.10π9B.7π6C.4π3D.3π2解析解法一由题图知，f（－4π9）＝0，∴－4π9ω＋π6＝π2＋kπ（k∈Z），解得ω＝－3+94（k∈Z）.设f（x）的最小正周期为T，易知T＜2π＜2T，∴2π｜｜＜2π＜4π｜｜，∴1＜｜ω｜＜2，当且仅当k＝－1时，符合题意，此时ω＝32，∴T＝2π＝4π3.故选C.解法二由题图知，f（－4π9）＝0且f（－π）＜0，f（0）＞0，∴－4π9ω＋π6＝－π2（ω＞0），解得ω＝32，经验证符合题意，∴f（x）的最小正周期T＝2π＝4π3.故选C.8.[2024安徽铜陵模拟]已知函数f（x）＝a sin4x＋cos4x的图象关于直线x＝π12对称，则f（π24）＝（A）A.3 C.－12 D.－1解析由题设f（x）＝2+1sin（4x＋φ）（a≠0）且tanφ＝1，又函数图象关于直线x＝π12对称，所以π3＋φ＝π2＋kπ，k∈Z⇒φ＝π6＋kπ，k∈Z，则tanφ＝tan（π6＋kπ）＝tanπ6＝1⇒a＝3，综上，f（x）＝3sin4x＋cos4x＝2sin（4x＋π6），故f（π24）＝2sinπ3＝3.故选A.9.[多选/2023江苏南京模拟]已知x1，x2是函数f（x）＝2sin（ωx－π6）（ω＞0）的两个不同零点，且｜x1－x2｜的最小值是π2，则下列说法正确的是（ABD）A.函数f（x）在[0，π3]上单调递增B.函数f（x）的图象关于直线x＝－π6对称C.函数f（x）的图象关于点（π，0）中心对称D.当x∈[π2，π]时，函数f（x）的值域是[－2，1]解析由题意可知，最小正周期T＝2π＝π，所以ω＝2，f（x）＝2sin（2x－π6）.对于选项A，当x∈[0，π3]时，2x－π6∈[－π6，π2]，所以f（x）在[0，π3]上单调递增，故A正确；对于选项B，f（－π6）＝2sin[2×（－π6）－π6]＝2sin（－π2）＝－2，所以f（x）的图象关于直线x ＝－π6对称，故B正确；对于选项C，f（π）＝2sin（2π－π6）＝－1≠0，所以f（x）的图象不关于点（π，0）中心对称，故C错误；对于选项D，当x∈[π2，π]时，2x－π6∈[5π6，11π6]，sin（2x－π6）∈[－1，12]，f（x）∈[－2，1]，故D正确.故选ABD.10.定义运算a*b为：a*b＝（≤p,（＞p,例如，1*2＝1，则函数f（x）＝sin x*cos x的值域为[－1，22].解析f（x）＝sin x*cos x，当x∈[π＋2kπ，5π4＋2kπ]，k∈Z，这时sin x≥cos x，所以f（x）＝cos x，这时函数的值域为[－1；当x∈[－3π4＋2kπ，π4＋2kπ]，k∈Z，这时sin x≤cos x，所以f（x）＝sin x，这时函数的值域为[－1综上，函数的值域为[－1 11.[2023上海松江二中模拟]若函数y＝sin（πx－π6）在[0，m]上单调递增，则m的最大值为23.解析由x∈[0，m]，知πx－π6∈[－π6，mπ－π6]，因为函数在[0，m]上单调递增，所以－π6＜mπ－π6≤π2，即0＜m≤23，所以m的最大值为23.12.[2024安徽合肥一中模拟]已知函数f（x）＝sin x cos x－3cos2x（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间[－π6，π4]上的值域.解析（1）因为f（x）＝sin x cos x－3cos2x＝12sin2x＝12sin2x－2x＝sin（2x－π3），所以函数f（x）的最小正周期为T＝2π2＝π.由2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π2（k∈Z）可得kπ＋5π12≤x≤kπ＋11π12（k∈Z），所以函数f（x）的单调递减区间为[kπ＋5π12，kπ＋11π12]（k∈Z）.（2）当－π6≤x≤π4时，－2π3≤2x－π3≤π6，则－1≤sin（2x－π3）≤12，因此，函数f（x）在区间[－π6，π4]上的值域为[－1，12].13.设函数f（x）＝2cos（12x－π3），若对于任意的x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则｜x1－x2｜的最小值为（C）A.π2B.πC.2πD.4π解析函数f（x）＝2cos（12x－π3），若对于任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则f（x1）是函数的最小值，f（x2）是函数的最大值，｜x1－x2｜的最小值就是函数的半个周期，故2＝12×2π12＝2π，故选C.14.[2023湘潭模拟]若函数f（x）＝cos2x＋sin（2x＋π6）在（0，α）上恰有2个零点，则α的取值范围为（B）A.[5π6，4π3）B.（5π6，4π3]C.[5π3，8π3）D.（5π3，8π3]解析由题意得，函数f（x）＝cos2x＋sin（2x＋π6）＝3sin（2x＋π3），因为0＜x＜α，所以π3＜2x＋π3＜2α＋π3，又由f（x）在（0，α）上恰有2个零点，可得2π＜2α＋π3≤3π，解得5π6＜α≤4π3，所以α的取值范围为（5π6，4π3].15.[2023福建龙岩模拟]已知函数f（x）＝2｜sin x｜＋cos x，则f（x）的最小值为（C）A.－5B.－2C.－1D.0解析解法一f（x）＝2｜sin x｜＋cos x，分别作出y＝2｜sin x｜（图1）与y＝cos x （图2）的部分图象，如图所示.图1图2从图中可以看出，当x＝π时，两个函数同时取得最小值，此时f（π）＝2｜sinπ｜＋cosπ＝－1最小.解法二因为f（－x）＝2｜sin（－x）｜＋cos（－x）＝2｜sin x｜＋cos x＝f（x），所以f（x）＝2｜sin x｜＋cos x为偶函数，又f（x＋2π）＝2｜sin（x＋2π）｜＋cos（x＋2π）＝2｜sin x｜＋cos x＝f（x），所以f（x）的一个周期为2π.当x∈[0，π]时，f（x）＝2sin x＋cos x，f'（x）＝2cos x－sin x，令f'（x）＝0，则tan x＝2，故存在x0∈（0，π2），使得f'（x0）＝0，当x∈[0，x0）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（x0，π]时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，又f（0）＝1，f（π）＝－1，结合f（x）为偶函数，周期为2π，作出f（x）＝2｜sin x｜＋cos x的图象如图，由图可知，函数的最小值为－1.故选C.16.[多选/2022新高考卷Ⅱ]已知函数f（x）＝sin（2x＋φ）（0＜φ＜π）的图象关于点（2π3，0）中心对称，则（AD）A.f（x）在区间（0，5π12）单调递减B.f（x）在区间（－π12，11π12）有两个极值点C.直线x＝7π是曲线y＝f（x）的对称轴D.直线y x是曲线y＝f（x）的切线解析因为函数f（x）的图象关于点（2π3，0）中心对称，所以sin（2×2π3＋φ）＝0，可得4π3＋φ＝kπ（k∈Z），结合0＜φ＜π，得φ＝2π3，所以f（x）＝sin（2x＋2π3）.对于A，解法一由2kπ＋π2≤2x＋2π3≤2kπ＋3π2（k∈Z），得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12（k∈Z）；当k ＝0时，－π12≤x≤5π12.因为（0，5π12）⊆（－π12，5π12），所以函数f（x）在区间（0，5π12）单调递减，故A正确.解法二当x∈（0，5π12）时，2x＋2π3∈（2π3，3π2），所以函数f（x）在区间（0，5π12）单调递减，故A正确.对于B，解法一由2x＋2π3＝kπ＋π2（k∈Z），得x＝χ2－π12（k∈Z），当k＝0时，x＝－π12；当k＝1时，x＝5π12；当k＝2时，x＝11π12.所以函数f（x）在区间（－π12，11π12）只有一个极值点，故B不正确.解法二当x∈（－π12，11π12）时，2x＋2π3∈（π2，5π2），所以函数f（x）在区间（－π12，11π12）只有一个极值点，故B不正确.对于C，解法一由选项B解法一的分析知，函数f（x）图象的对称轴方程为x＝χ2－π12（k∈Z），而方程χ2－π12＝7π6（k∈Z）无解，故C不正确.解法二因为f（7π6）＝sin（2×7π6＋2π3）＝sin3π＝0，所以x＝7π6不是曲线y＝f（x）的对称轴，故C不正确.对于D，因为f'（x）＝2cos（2x＋2π3），若直线y x为曲线y＝f（x）的切线，则由2cos（2x＋2π3）＝－1，得2x＋2π3＝2kπ＋2π3或2x＋2π3＝2kπ＋4π（k∈Z），所以x＝kπ或x＝kπ＋π3（k∈Z）.当x＝kπ（k∈Z）时，f（x）kπ（k∈Z），解得k＝0；当x＝kπ＋π3（k∈Z）时，f（x）kπ－π3（k∈Z）无解.综上所述，直线y x为曲线y＝f（x）的切线，故D正确.综上所述，选AD.17.[条件创新]已知函数f（x）＝2sinωx（ω＞0）在区间[－3π4，π4]上单调递增，且直线y＝－2与函数f（x）的图象在[－2π，0]上有且仅有一个交点，则实数ω的取值范围是[14，23].解析易知f（x）的图象关于点（0，0）对称，则由函数f（x）在[－3π4，π4]上单调递增可得4≥3π4（T为f（x）的最小正周期），即2π4≥3π4，结合ω＞0，解得0＜ω≤23.因为直线y＝－2与函数f（x）的图象在[－2π，0]×2π≤2π，×2π>2π，解得14≤ω＜54.综上，ω∈[14，23].18.[2023湖北省部分重点中学联考]已知函数f（x）＝4sin2（π4＋2）sin x＋（cos x＋sin x）·（cos x－sin x）－1.（1）求f（x）的解析式及其图象的对称中心；（2）若函数g（x）＝12[f（2x）＋af（x）－af（π2－x）－a]－1在区间[－π4，π2]上的最大值为2，求实数a的值.解析（1）f（x）＝2[1－cos（π2＋x）]·sin x＋cos2x－sin2x－1＝sin x·（2＋2sin x）＋1－2sin2x－1＝2sin x.对称中心为（kπ，0），k∈Z.（2）g（x）＝sin2x＋a sin x－a cos x－2－1，令sin x－cos x＝t，则sin2x＝1－t2，（小技巧：函数式中既含正余弦的和或差（sin x－cos x或sin x＋cos x），又含二者的乘积（即sin x·cos x），可令sin x－cos x＝t或sin x＋cos x＝t，然后转化为关于t的二次函数求最值）∴y＝1－t2＋at－2－1＝－（t－2）2＋2 4－2.∵t＝sin x－cos x＝2sin（x－π4），x∈[－π4，π2]，∴x－π4∈[－π2，π4]，∴－2≤t≤1.①当2＜－2，即a ＜－22时，y max ＝－（－2－2）2＋24－2＝－2a －2－2.令－2a －2－2＝2，解得a .②当－2≤2≤1，即－22≤a ≤2时，y max ＝24－2，令24－2＝2，解得a ＝－2或a ＝4（舍去）.③当2＞1，即a ＞2时，y max ＝－（1－2）2＋24－2＝2－1，由2－1＝2，得a ＝6.综上，a ＝－2或6.19.[条件创新/多选]已知函数f （x ）＝cos （2x ＋φ）（｜φ｜＜π2），F （x ）＝f （x ）＋'（x ）为奇函数，则下述四个结论正确的是（BC ）A.tan φ＝3B.若f （x ）在[－a ，a ]上存在零点，则a 的最小值为π6C.F （x ）在（π4，3π4）上单调递增D.f （x ）在（0，π2）上有且仅有一个极大值点解析由f （x ）＝cos （2x ＋φ），得f '（x ）＝－2sin （2x ＋φ），则F （x ）＝f （x ）＋'（x ）＝cos （2x ＋φ）－3sin （2x ＋φ）＝－2sin （2x ＋φ－π6）.因为F （x ）为奇函数，所以φ－π6＝k π（k ∈Z ），所以φ＝k π＋π6（k ∈Z ）.因为｜φ｜＜π2，所以φ＝π6.对于A ，由以上可得tan φA 错误；对于B ，令f （x ）＝cos （2x ＋π6）＝0，得2x ＋π6＝k π＋π2（k ∈Z ），则x ＝χ2＋π6（k ∈Z ），即函数f （x ）的零点为x ＝χ2＋π6（k ∈Z ），且该函数零点的绝对值的最小值为π6，所以a 的最小值为π6，故B 正确；对于C ，F （x ）＝－2sin 2x ，当x ∈（π4，3π4）时，2x ∈（π2，3π2），此时函数F （x ）单调递增，故C 正确；对于D ，函数f （x ）＝cos （2x ＋π6），令2x ＋π6＝2k π（k ∈Z ），得x ＝k π－π12（k ∈Z ），所以函数f （x ）在（0，π2）上无极大值点，故D 错误.。

数学三角函数的定义域与值域知识点

数学三角函数的定义域与值域知识点说起数学里的三角函数，那可真是让不少同学头疼不已，但其实只要咱细细琢磨，也能发现其中的趣味。

就拿正弦函数 y ＝ sin x 来说吧，它的定义域那可是整个实数集 R ，简单说就是从负无穷到正无穷，啥数都能往里放。

那它的值域呢，是闭区间-1, 1。

这意味着啥？不管 x 咋变，sin x 最大也就是 1 ，最小也就是－1 。

我记得当时学这个的时候，老师在黑板上画着波浪线，嘴里不停地念叨着“周期，周期”。

我当时就在想，这玩意儿咋就这么神奇，能像波浪一样有规律地起伏。

有一次做作业，就碰到了一道关于正弦函数定义域和值域的题目。

题目是这样的：已知函数 y ＝ 2sin(3x ＋π/4) ，求其定义域和值域。

我当时一看，心里“咯噔”一下，这可咋整？但还是硬着头皮开始琢磨。

我先想着正弦函数本身的定义域是R ，那这里不管3x ＋π/4 咋变，整体也应该是 R 没错。

至于值域，因为系数 2 ，那正弦函数的值域就得跟着变，原来是-1, 1，现在就得变成-2, 2。

我就在草稿纸上不停地写写画画，一会儿列出式子，一会儿又擦掉重新思考。

那过程，就像是在迷宫里找出口，有时候觉得自己走对了，结果发现是个死胡同；有时候又觉得没希望了，突然又柳暗花明。

算着算着，我突然发现自己把 3x ＋π/4 这个整体给搞混了，结果整个思路都错了。

哎呀，那叫一个懊恼啊！我狠狠地拍了一下自己的脑袋，自言自语道：“咋就这么笨呢！”重新调整思路后，我终于算出了正确答案。

那一刻，心里别提多有成就感了，就好像打了一场胜仗似的。

再来说说余弦函数 y ＝ cos x ，它的定义域也是 R ，值域同样是-1, 1。

有一回上课，老师讲了个例子，说是一个钟摆的摆动角度可以用余弦函数来描述。

我就在脑子里想象那个钟摆晃来晃去的样子，想着余弦函数是怎么和它对应起来的。

正切函数 y ＝ tan x 就有点不一样了，它的定义域是x ≠ kπ ＋π/2 ，k ∈Z 。

高中数学第十三课三角函数的性质

第十三课时三角函数的性质教学目标：理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义，会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点. 教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用教学过程：Ⅰ.课题导入上节课，我们研究了正、余弦函数的图象，今天，我们借助它们的图象来研究它们有哪些性质.(1)定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ［或(－∞，＋∞)］，分别记作：y ＝sin x ，x ∈Ry ＝cos x ，x ∈R(2)值域因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sin x ｜≤1，｜cos x ｜≤1，即－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］.其中正弦函数y =sin x ，x ∈R①当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1. ②当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1.②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.(3)周期性由⎩⎨⎧=+=+xk x x k x cos )2cos(sin )2sin(ππ (k ∈Z ) 知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是这两个函数的周期. 对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.(4)奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.(5)单调性从y ＝sin x ，x ∈［－π2 ，3π2］的图象上可看出：当x ∈［－π2 ，π2］时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－1增大到1. 当x ∈［π2 ，3π2］时，曲线逐渐下降，sin x 的值由1减小到－1. 结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［－π2 ＋2k π，π2＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［π2 ＋2k π，3π2＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.［例1］求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么.(1)y ＝cos x ＋1，x ∈R ； (2)y ＝sin2x ，x ∈R .解：(1)使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合｛x ｜x ＝2k π，k ∈Z ｝.函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2.(2)令Z ＝2x ，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且使函数y ＝sinZ ，Z ∈R 取得最大值的Z的集合是｛Z ｜Z ＝π2＋2k π，k ∈Z ｝由2x ＝Z ＝π2 ＋2k π，得x ＝π4＋k π 即：使函数y ＝sin2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是｛x ｜x ＝π4＋k π，k ∈Z ｝. 函数y ＝sin2x ，x ∈R 的最大值是1.［例2］求下列函数的定义域：(1)y ＝1＋1sin x(2)y ＝cos x 解：(1)由1＋sin x ≠0，得sin x ≠－1即x ≠3π2＋2k π(k ∈Z ) ∴原函数的定义域为｛x ｜x ≠3π2＋2k π，k ∈Z ｝ (2)由cos x ≥0得－π2 ＋2k π≤x ≤π2＋2k π(k ∈Z ) ∴原函数的定义域为［－π2 ＋2k π，π2＋2k π］(k ∈Z ) ［例3］求下列函数的单调递增区间：①y ＝cos(2x ＋π6 )；②y ＝3sin(π3 －x 2) 解：①设u ＝2x ＋π6，则y ＝cos u 当2k π－π≤u ≤2k π时y ＝cos u 随u 的增大而增大又∵u ＝2x ＋π6随x ∈R 增大而增大 ∴y ＝cos(2x ＋π6 )当2k π－π≤2x ＋π6≤2k π(k ∈Z ) 即k π－7π12 ≤x ≤k π－π12时，y 随x 增大而增大 ∴y ＝cos(2x ＋π6)的单调递增区间为：［k π－7π12 π，k π－π12］(k ∈Z ) ②设u ＝π3 －x 2，则y ＝3sin u 当2k π＋π2 ≤u ≤2k π＋3π2时，y ＝3sin u 随x 增大在减小，又∵u ＝π3 －x 2随x ∈R 增大在减小 ∴y ＝3sin(π3 －x 2 )当2k π＋π2 ≤π3 －x 2 ≤2k π＋3π2即－4k π－7π3 ≤x ≤－4k π－π3时，y 随x 增大而增大 ∴y ＝3sin(π3 －x 2 )的单调递增区间为［4k π－7π3 ，4k π－π3］(k ∈Z ) Ⅲ.课堂练习课本P 33 1～7Ⅳ.课时小结通过本节学习，要初步掌握正、余弦函数的性质以及性质的简单应用，解决一些相关问题. Ⅴ.课后作业课本P 46 习题 2、3、4课后练习：①y ＝sin x 在第一象限是增函数；②α是锐角，则y ＝sin(α＋π4)的值域是［－1，1］； ③y ＝sin ｜x ｜的周期是2π；④y ＝sin 2x －cos 2x 的最小值是－1；分析:①y ＝sin x 是周期函数，自变量x 的取值可周期性出现，如反例：令x 1＝π3 ，x 2＝π6＋2π，此时x 1＜x 2 而sin π3 ＞sin(π6＋2π) ∴①错误；②当α为锐角时，π4 ＜α＋π4 ＜π2 ＋π4由图象可知22＜sin(α＋π4)≤1 ∴②错误；③∵y ＝sin ｜x ｜(x ∈R )是偶函数.其图象是关于y 轴对称，可看出它不是周期函数.∴③错误；④y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，最小值为－1∴④正确.答案：④评述：函数的单调性是函数的局部选择，是针对区间而言的；我们不能说某函数在某象限内是增函数还是减函数，而只能说某函数在某区间上是增函数还是减函数.2．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝lg(sin x －32) (2)y ＝22cos3x －1 分析：根据函数有意义列不等式，求x 的范围即为定义域.求值域时要注意正弦函数和余弦函数的值域.解：(1)要使lg(sin x －32)有意义，必须且只须sin x ＞32，解之得：2k π＋π3 ＜x ＜2k π＋2π3，k ∈Z 又∵0＜sin x －32≤1－32 ∴lg(sin x －32)≤lg(1－32) ∴定义域为(2k π＋π3 ，2k π＋2π3)，(k ∈Z )值域为(－∞，lg(1－32)］. (2)要使22cos3x －1 有意义，必须且只须2cos3x －1≥0，即cos3x ≥12，解之得2k π－π3 ≤3x ≤2k π＋π3即 2k π3 －π9 ≤x ≤2k π3 ＋π9，k ∈Z . 又0≤2cos3x －1≤1故0≤22cos3x －1 ≤2 ∴定义域为［2k π3 －π9 ，2k π3 ＋π9］，k ∈Z 值域为［0，2］评述：求由正弦函数和余弦函数组成复合函数的定义域、值域问题，要充分考虑基本的正弦函数和余弦函数的单调性和值域.4.比较下列各组数的大小：(1)sin195°与cos170°;(2)cos 32 ，sin 110 ，－cos 74(3)sin(sin 3π8 )，sin(3π8). 分析：化为同名函数，进而利用单调性来比较函数值的大小.解：(1)sin195°＝sin(180°＋15°)＝－sin15°cos170°＝cos(180°－10°)＝－cos10°＝－sin80°∵0°＜15°＜80°＜90°又∵y ＝sin x 在［0°，90°］上是递增函数，∴sin15°＜sin80° ∴－sin15°＞－sin80°∴sin195°＞cos170°.(2)∵sin 110 ＝cos(π2 －110) －cos 74 ＝cos(π－74) 又∵π2 －110 ＝1.47＜1.5＝32π－74 ＝1.39＜1.4＜π2 －110 ＜32而y ＝cos x 在［0，π］上是减函数，由π－74 ＜π2 －110 ＜32＜π得cos 32 ＜cos(π2 －110 )＜cos(π－74 ) 即cos 32 ＜sin 110 ＜－cos 74 .(3)∵cos 3π8 ＝sin π8∴0＜cos 3π8 ＜sin 3π8 ＜1而y ＝sin x 在［0，1］内递增 ∴sin(cos 3π8 )＜sin(sin 3π8 ).。