史宁中：漫谈数学的基本思想
史宁中漫谈数学的基本思想
史宁中漫谈数学的基本思想史宁中，国务院学科评议组成员，第五届国家级教学名师，中国教育学会副会长，教育部第五届科技委数理学部委员，原东北师范大学校长数学思想是数学文化的核心，因为数学文化是数学的形态表现，可以包括：数学形式、数学历史、数学思想。
其中思想是本质的，没有思想就没有文化。
一、数学思想是什么数学思想需要满足两个条件：一是数学产生、发展过程中所必须依赖的那些思想，二是学习过数学的人所具有的思维特征。
可以归纳为三种基本思想：抽象、推理和模型。
通过抽象，把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学研究的对象；通过推理，得到数学的命题和计算方法，促进数学内部的发展；通过模型，创造出具有表现力的数学语言，构建了数学与外部世界的桥梁。
二、什么是抽象数学抽象包括：数量与数量关系的抽象，图形与图形关系的抽象。
通过抽象得到数学的基本概念：研究对象的定义，刻画对象之间关系的术语和运算方法。
这是从感性具体上升到理性具体的思维过程，只是第一次抽象。
在此基础可以凭借想象和类比进行第二次抽象，其特点是符号化，得到那些并非直接来源于现实的数学概念和运算方法。
数量与数量关系的抽象。
数学把数量抽象成数；数量关系的本质是多与少，抽象到数学内部就是数的大小。
由大小关系派生出自然数的加法。
数的四则运算，都是基于加法的。
数学还有一种运算，就是极限运算，这涉及到数学的第二次抽象，微积分的运算基础是极限。
为了合理解释极限，1821年柯西给出了-语言，开始了现代数学的特征：研究对象的符号化，证明过程的形式化，逻辑推理的公理化。
数学的第二次抽象就是为这些特征服务的。
图形与图形关系的抽象。
欧几里得最初抽象出点、线、面这些几何学的研究对象是有物理属性的，随着几何学研究的深入，特别是非欧几何学的出现，人们需要重新审视传统的欧几里得几何学。
1898年希尔伯特给出了符号化的定义，基于五组公理，实现了几何研究的公理体系。
这些公理体系的建立，完成了数学的第二次抽象。
史宁中教授-抽象推理
数的符号表达：简洁、关键是把握问题的本质 （基本概念与运算法则：小学数学核心问题， 高等教育出版社，2013年）
读数的关键：十个符号 + 数位
如何读 2002 符号 0 很重要： 1 ～ 10 → 1 ～ 9 → 0 和 10 相反数： a + b = 0，b 为相反数，表示为 -a 数位与数不同 数位：个(ones)、十(tens)，“十”是十个“个” “万”是十个“千” 数：10 = 9 + 1
从现实世界到数学内部，数学具有一般性 通过推理：数学 → 数学 从假设前提出发，通过推理得到数学的结果 数学内部的发展，数学具有逻辑性 通过模型：数学 → 现实 解决现实世界中的与数量和图形有关的问题 从数学内部到现实世界，数学具有应用性
得到数学的基本特征：
一般性（抽象）、严谨性（逻辑）、应用的广泛性（模型）
演绎推理
演绎推理只能用来验证知识，不能用来发现知识。 论证问题的形式是： 已知 A 求证 B
其中 A 和 B 都是确定性命题，没有新的知识
发现知识需要下面两个能力： 从条件预测结果的能力，从结果探究成因的能力 因此，需要归纳推理：从经验过的东西推断未曾经验的东西
归纳推理
归纳推理需要前提：经验或者想象 经验：从个别到一般，从具体到符号 加法交换律 3 + 5 = 8，5 + 3 = 8 → 3 + 5 = 5 + 3 6 + 9 = 15，9 + 6 = 15 → 6 + 9 = 9 + 6 3 + (-2) = 1，(-2) + 3 = 1 → 3 + (-2) = (-2) + 3 → a + b = b + a 结论的正确与否需要演绎证明
史宁中(关于高中数学的一些想法)35页PPT
数学推理是有逻辑的推理：命题内涵之间具有传递性。 演绎推理：命题内涵由大到小，得到结果是必然的。验证结论。
A → P，x ∈ A，x → P。 凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。 归纳推理：命题内涵由小到大，得到结果是或然的。发现结论。
归纳推理就是“看出”结果，这是创新的根本。在我国，过去 的数学教育缺少这种能力的培养。因此，这种能力的培养将是我 国未来教育教学改革的难点和重点。
针对现代数学符号化、形式化、公理化的特点，应当采取有相应 的教学方法：
表达是符号的，教学应当是现实的； 证明是形式的，教学应当是直观的； 体系是公理的，教学应当是归纳的。
为了解释微积分、为了解释极限运算 需要实数的连续性：可以理解 1/n → 0，如何理解 x → 0 ? 需要无理数的运算：√2 +√3 = ? √2·√3 = √2·3 ?
极限运算：柯西(1821) 从柯西开始，现代数学走向了符号化、形式化、公理化
1872 年，康托用柯西基本序列的方法定义了实数 解决了实数的运算问题
□□□←□ □□□□ 哪边的小方块多？
所以 3 + 1 = 4。等号是指两边的量相等。
方程的意义：讲两个故事，两个故事量相等。
自然数（加法） → 整数（减法：加法的逆运算） → 有理数（除法：乘法的逆运算）；有理数 = 分数 → 无理数（不能写成分数的形式） → 实数 = 有理数 + 无理数（小数形式的表达）
史宁中(关于高中数学的一些想法)
怎样思想，就有怎样的生活
关于高中数学的一些想法
东北师范大学 史宁中
2019年10月
关于抽象
亚里士多德： 数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉事物中那些 感性的东西（颜色、温度）。对于数学而言，线、角、 或者其他的量的定义，不是作为存在而是作为关系。
史宁中教授《把握数学的思想和本质》培训讲学
1. 热爱教育事业
被动 ---- 主动 人生价值的体现 兴趣之所在
2．树立明确的教育理念
以知识为本：关注知识的传授、学生是否接受。 ◆ 凯洛夫的“三中心”论：课堂、教科书、教师。
以人为本： ➢关注学生的全面成长、培养合格的人：素质教育。 ➢站在受教育者的立场思考：尊重的教育。
◆ 教育是生存的需要、接受教育是孩子的本能。 ◆ 依据教育规律、基因的充分表达需要后天刺激。 ◆ 好的教育要启发学生思考、启发式原则。
1 那种颜色的球多？ 2 估计比例大概是多少？ 3 如果带子有五个球，白球大概有几个？
这些也许就是“过程的教育”，让学生自己探索答案，而不 一定是通过讲道理分析出答案。通过“道理” 直接给出结果固然 是好的，但是通过有规律的计算寻求这个规律是得到一般结果的 有效手段，这是我们过去教学中忽视的地方。
还缺少什么？ 根据情况“预测结果”的能力； 根据结果“探究成因”的能力。
需要一种“从特殊到一般的推理”， 这种推理就是归纳推理，培根在《新工具》提出。 归纳推理就是从个别现象出发、抽象出共性、总结出一般 的结论。
从思维训练的角度考虑，过去的教育缺少归纳能力的培养， 对培养创新性人才是不利的,但这种培养是困难的,这种培养是 基于经验的。
“双基” → “四基”
基础知识、基本技能 + 基本思想、基本经验。
“两能” → “四能” 发现问题、提出问题 + 分析问题、解决问题。
讲课的例子
一、有鹅4只，是鸭子的1/3，问有几只鸭子？ 教学目的：4 ÷ 1/3 = 4 × 3 = 12。 除法是乘法的逆运算： ？ × 1/3 = 4 → ？ = 4 ÷ 1/3 3只鸭子 ：1只鹅 (破解1/3的含义) 6只鸭子 ：2只鹅 (推广1/3的含义) …… ？只鸭子 ：4只鹅 (最后到结论)
读书笔记 读《数学基本思想18讲》有感
读书笔记读《数学基本思想18讲》有感在传统“双基”的基础上，《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出了“四基”。
在基础知识，基本技能的基础上，增加了基本思想和基本活动经验，之前一直困惑，基本思想是什么？那么抽象的东西小学生能理解吗？暑假研读了东北师范大学资深教授史宁中教授的《数学基本思想18讲》，虽然没有读完，但收获颇丰。
全书分为抽象、推理、模型三个部分，共计18讲。
本书所讨论的内容，恰恰为当前数学课程标准所设定的数学核心素养的本质。
聚焦数学学科核心素养，聆听名家娓娓道来数学教学的最终目标是什么?是要让学生学会：1.用数学的眼光观察现实世界——抽象；2.用数学的思维思考现实世界——推理；3.用数学的语言表达现实世界——模型。
数学基本思想就归结为三个核心要素：抽象，推理，模型，这三者之间的关系是“你中有我，我中有你”。
数学的抽象包括前九讲，我选看了自然数的产生、四则运算的产生与演变两讲，史教授把知识的产生、发展、知识之间的联系解释的淋漓尽致，数学的每一个知识点的产生都是有据可依，每一个公式的推导都是严谨缜密，这更说明了数学是一门非常严谨的学科，容不得半点虚假和马虎。
我们应追根溯源，发扬数学文化，在自己的数学课堂上做一个讲道理、讲科学的老师。
数学的推理共6讲，包含的内容有：数学推理的基础、演绎推理的典范、演绎推理的表达、归纳推理的思维模式等，我着重研读了数学推理的基础和演绎推理的表达，数学推理是从一个数学命题判断到另一个数学命题判断的思维过程，教师在教学过程中要向学生渗透推理意识，培养学生利用所学知识进行正确的推理。
做到有理有据，才能揭示推理的重要性。
“要想给孩子一桶水，老师就要有一缸水”，做为教师我们要不断学习，不断充电，终身学习，提高自己的文化素养和学科素养，想方设法的将自己所学知识渗透到课堂教学，数学源于生活服务于生活，做为数学教师更要多阅读与数学相关的书籍，拓宽自己的视野，吃透数学基本思想，更好的引领学生向更深、更远的方向发展。
史宁中关于数学单元整体教学
史宁中关于数学单元整体教学导言数学是一门抽象而又具有挑战性的学科，对于学生来说，往往是极具难度的。
史宁中关于数学单元整体教学的理念和方法，可以让学生从容应对数学知识的学习，培养出良好的数学思维和解决问题能力。
本文将就史宁中关于数学单元整体教学进行探讨和研究。
一、背景介绍史宁中是一位享誉国内外的数学教育学者，他提出的数学单元整体教学理念对于推动数学教育的改革和提高教学质量有着重要的意义。
史宁中认为，数学教学应该以整体为主导，促进学生对数学知识的整体理解和运用，培养学生的数学思维和解决问题能力，并将之贯穿于整个教学过程中。
二、理念内涵1. 整体性思维：史宁中强调数学单元整体教学的理念，要求教师不断引导学生进行整体性思维，帮助学生理解数学知识的全貌和内涵。
整体性思维是史宁中数学教育理念的核心，它要求学生在学习数学知识时，不仅要关注知识点的细节，更要关注知识点之间的内在联系和整体结构。
2. 综合运用：史宁中倡导数学单元整体教学时，注重培养学生对数学知识的综合应用能力。
他认为数学不是孤立的知识点堆砌，而是具有内在联系的整体体系。
教师应该引导学生从整体角度理解数学知识，在解决问题和应用中，培养学生的创造性思维和综合运用能力。
3. 培养数学思维：史宁中数学单元整体教学强调培养学生的数学思维和解决问题能力。
他认为，学生在学习数学过程中，应该注重培养自己的逻辑思维、抽象思维、推理能力和创新思维等数学思维能力，使其能够应对各种复杂的数学问题。
三、教学方法在史宁中数学单元整体教学中，教师可以采用一系列方法来帮助学生理解和掌握数学知识，培养其数学思维和解决问题能力。
1. 案例教学法：通过案例教学法，教师可以引导学生从真实的问题出发，运用所学的数学知识进行分析和解决，培养学生的数学应用能力和创新能力。
2. 互动讨论：教师可以采用互动讨论的方式，引导学生就数学问题展开思考和交流，促进学生之间的合作和交流，激发学生的学习兴趣，提升课堂教学效果。
小学数学中的基本思想史宁中
报告目录
一、数学的根本思想 二、小学数学中的抽象 三、小学数学中的推理 四、小学数学中的模型
一、数学的根本思想
1、课程目标：由双基到四基、从两能到四能 实现教育理念的转变
过去的教育理念：以知识为本 教学大纲
关心问题是： 应当教那些内容；应当教到什么程度
考核内容是： 规定的内容是否教了；学生的掌握是否到达要求 教学目标是： 根底知识〔概念记忆与命题理解〕扎实〔记忆〕 根本技能〔证明技能与运算技能〕熟练〔训练〕 教学形式是： 课堂、教材、教师〔凯洛夫的三中心论〕
比方几何概念 对应：称这样的图形为直线段、角 述说：角是由两条端点重合的射线所形成的图形
数的符号表达：简洁、关键是把握问题的本质 〔根本概念与运算法那么：小学数学教学中的核心问
题 高等教育出版社，2021年〕
读数的关键：十个符号 + 数位 如何读 2002
符号 0 很重要： 1 ～ 10 → 1 ～ 9 → 0 和 10 相反数： a + b = 0，b 为相反数，表示为 -a
直接推理：对命题的直接判断 一般推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程
逻辑推理：命题的内涵之间存在一条主线、具有传递性。 A → P，x ∈ A， x → P。 x → P，x ∈ A， A → P。
前者：凡人都有死。苏格拉底是人。/ 苏格拉底有死。 后者：苏格拉底是人，苏格拉底有死。
柏拉图是人，柏拉图有死。/ 凡人都有死。 非逻辑推理：命题的内涵之间不存在一条主线、无传递性。
得到数学的根本特征： 一般性〔抽象〕、严谨性〔逻辑〕、应用的广泛性〔模型〕
二、小学数学中的抽象
数学思想：抽象、推理、模型〔不是知识，不靠讲解靠感悟〕
史宁中谈数学核心素养和小学数.docx
史宁中，东北师范大学前校长，教授，博士生导师。
第十、十一届全国人大代表，国务院学科评议组成员，第五届国家级教学名师，数学新课标修订组组长,中国教育学会副会长,教育部第五届科技委数理学部委员。
前言我先讲个前言就是小学数学教学和数学核心素养怎么能挂上钩，我的第一个观点你们一定不同意，但是我坚持我的想法.教无定法，绝对不能说哪种教学方法是最好的办法，教育教学是个艺术，艺术就是在不同的场合、不同的情况下会采取不同的方式，所以根据你讲课内容的不同,根据听众的不同，甚至根据你那天讲的心情的不同，你可以用不同的教学方法，比如一个新概念的引入，你可能会举一些例子来说明这个概念是怎么回事；如果要是接续以前的概念，你可能就不要引入很现实的例子，直接就讲下去了。
教无定法，但是教书得有一个基本的规则，所以我希望经过新常态的讨论能定下一个原则,就是说课堂教学应该遵循的原则是什么，或者说评价一堂课好或不好的标准是什么，教书是一门艺术，艺术同科学的最大区别是什么?科学是无论是谁，无论在哪里,无论在什么时候得到的结论都是一样的，这就叫做科学。
艺术是会随着人的不同、时间的不同、场合的不同有所改变,因此艺术的好坏有一个标准,基本标准就叫做价值观,由你的价值观来判断这个艺术是好或是不好，有人认为好，有人认为非常不好。
价值观是什么，就是一堂课的评判标准是什么，在此，中国的《义务教育法》中,国家鼓励学校和教师采用启发式教育教学方法，提高教育教学质量，就是不管你怎样教书,采用怎样的办法，一定要启发学生思考，启发式教学,在法律中只有这句话，因此在修改《普通高中数学课程标准》明确指出，数学教学活动的关键是启发学生学会数学思考，启发学生思考是非常重要的。
培养一个孩子，这个孩子可能未来不从事数学，那培养的终极目标是什么呢？终极目标就是学会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。
眼光、思维、语言，你在讲课的过程当中，在备课的过程之中,这个是很重要的.这样一个终极目标下，我们好的教学质量应该是怎样的呢？就是把握数学内容的本质，创设合适的教学情境，在教师的启发下，提一个好的情境、好的问题引发学生思考.学生让他自然而然的学会思考是很难的,教师的责任之一就是要他学会思考，敢于思考，善于思考.让学生在情境中掌握知识技能，感悟数学内容的本质，积累数学思维的经验，也就是课标说的四基:基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。
漫谈数学基本思想史宁中
→ 实现了数学的符号化、形式化、公理化。
形式化与直观的矛盾 \数学是创造\
\直观认为\ 集合测度至少要满足下面四个条件：令Ω是由实数 集合构成的类，m是类中的集合测度，那么
1 零测度。空集的测度为零，即m(O)=0。 2 单调性。对于Ω中的两个集合A和B，如果B⊆A，那么 m(B)≦m(A)。 3 可列可加性。对于Ω中的两个集合A和B，如果A∩B=O，那么 m(A∪B)=m(A)+m(B)，对可数个不交集合成立。 4 平移不变性。对于给定的实数c，令B(c,A)表示集合A对于c的平 移变换，则这两个集合的测度相等，即 B≡B(c,A)={b=c宁中
东北师范大学，长春，130024
一、数学思想与数学文化 文化是生活的形态表现，文明是生活的物质表现。 数学文化是数学的形态表现：形式、历史、思想。 思想是本质的，无思想则无文化。 《数学课标》：双基→四基、两能→四能
基础知识、基本技能 + 基本思想、基本活动经验
分析问题、解决问题 + 发现问题、提出问题
1872年，康托基本序列：满足柯西准则的有理数列。 \解决实数的运算\ 假定有理数列 an → √a, bn → √b 。
根据极限的性质有
an2 → a, bn2 → b，an2·bn2 → a·b 则有理数列{an2·bn2 } ≡ {(an·bn)2 }确定实数a·b
所以有理数列{an·bn}确定实数 √a·b，即
大学的数学教学也要关注培养学生的
思维方法：创新的根本。
思维方法的教育：数学思想 + 思维经验。 数学思想方法是什么？通常认为的数学思想方法： 等量替换、数形结合、分类、递归、转换； 配方法、换元法、加强不等式。
二、数学的基本思想
关于高中数学教育中的数学核心素养——史宁中教授访谈之七
关于高中数学教育中的数学核心素养——史宁中教授访谈之七关于高中数学教育中的数学核心素养——史宁中教授访谈之七高中数学教育是培养学生数学素养和培养科学思维的重要阶段。
而数学核心素养的培养则是高中数学教育中的关键任务之一。
我们有幸采访到享有盛名的教育家史宁中教授，就高中数学教育中的数学核心素养展开了深入探讨。
史教授在接受采访时首先指出，数学核心素养是指学生在数学领域中应具备的一系列基本能力和知识结构。
这些能力包括数学思维、问题解决能力、数学建模能力、数学推理能力、数学沟通能力以及数学应用能力等。
这些核心素养不仅是培养学生的数学兴趣和探究精神的基础，更是未来学生在数学领域发展的关键。
在培养数学核心素养方面，史教授提到了一些重要的教育策略。
首先，他强调了学生的主体性和自主性在数学学习中的重要性。
教师应引导学生主动探究，培养他们的独立思考和自主学习能力。
同时，教师还要充分关注学生思维的发展和变化，根据学生的实际情况和需求提供个性化的教学服务。
其次，史教授强调了数学学习的整体性和综合性。
他认为数学知识是相互联结的，学生需要在解决数学问题中综合运用各个知识点。
因此，教师在教学中应通过举一反三的方法，让学生建立完整的知识结构，培养他们的数学思维能力和问题解决能力。
另外，史教授还提到了数学教学和现实生活的关联。
他认为数学是一门与现实生活紧密相关的学科，学生需要通过数学解决实际问题的能力。
因此，教师在教学中要注重数学与现实生活的结合，通过真实场景和实际问题的引导让学生体会到数学在实际中的应用。
对于如何培养学生的数学沟通能力和数学应用能力，史教授也给出了建议。
他指出，数学沟通能力是指学生能够用准确、清晰的语言表达数学想法和数学推理的能力。
而数学应用能力则是学生将数学知识应用于实际问题的能力。
为了培养学生的数学沟通能力，教师应提供充分的表达和交流机会，鼓励学生用自己的语言讲述数学问题的解决思路和过程；为了培养学生的数学应用能力，教师应设计一些真实性强、复杂度适中的数学问题，让学生能够将数学知识应用于解决实际问题，并提供引导和反馈。
史宁中教授《把握数学的思想和本质》
6只鸭子 ：2只鹅 (推广1/3的含义)
…… ？只鸭子 ：4只鹅 (最后到结论)
（猜想） → ？ = 12 = 4 ÷ 1/3
12 = 4 × 3 （验证） → 4 ÷ a/b = 4 × b/a （证明） ？× 1/3 = 4 ？× 1/3 × 3 = 4 × 3 ？= 4 × 3
二、在一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果
复数是数；？
复数可以比较大小。
矛盾律：A和非A不能同时成立。
比如在证明√2 是无理数，
用到一个数不能同时
是奇数又是偶数。
排中律：A和非A必然有一个成立。
比如在证明平行线同位角相等时
用到反证法。
关于模型
是沟通数学与外部世界的桥梁。
叙述一类事物的故事。
方程、函数、模型。
ax2 + bx + c = 0 ：不是模型；
证明形式（出发点、演绎推理、反证法）
难点是： 图形的理解（平行线） 证明的理解（演绎、综合法）
启发式教学： 学习的兴趣与良好的学习习惯。 综合与实践： 因为有学生参与，重点是处理好 预设与生成。 帮助学生理清思路。
引导学生思考的关键是与学生一起思考。
培养学生的归纳能力
和
帮助学生积累活动经验
谢谢！
素质教育1 ：建立大教育的观念是素质教育的核心
学科外的活动要注意教育价值(30%) ◆开朗的性格。 ◆与他人合作的能力、语言表达能力、组织能力。 ◆对于生活的观察与思考。
学科内的教学要注意全面培养(70%) ◆ 学习的兴趣。 ◆ 良好的学习的习惯。 ◆ 良好的身心素质。
素质教育2：培养学生的创造力是素质教育的根本
“双基” → “四基” 基础知识、基本技能 + 基本思想、基本经验。
史宁中：什么是数学基本思想？
史宁中：什么是数学基本思想？史宁中史宁中，东北师范⼤学资深教授，博⼠研究⽣导师，国内著名数理统计学家和教育家，义务教育数学课程标准修订组组长，普通⾼中数学课程标准修订组组长，教育部中⼩学教材审查委员，曾任国务院学位委员会学科评议组成员、教育部科学技术委员会数理学部委员、中国概率统计学会副理事长、东北师范⼤学校长。
数学教学的最终⽬标，是要让学习者会⽤数学的眼光观察现实世界，会⽤数学的思维思考现实世界，会⽤数学的语⾔表达现实世界。
⽽数学的眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语⾔就是模型。
——东北师范⼤学资深教授史宁中在数学教学中，通常说的等量替换、数形结合、递归法、换元法等，可以称为数学思想⽅法，但不是数学基本思想。
因为在述说这些概念的时候，必然要依附于某些具体的数学内容，因此这些概念在本质上是个案⽽不是⼀般。
此外，这些概念也不是最基本的，⽐如关于等量替换，⼈们可以进⼀步追问：为什么可以在计算的过程中进⾏等量替换呢？这就意味着，作为⼀种⽅法，等量替换可以⽤其他的更为基本的原理推演出来。
为此，需要建⽴判断数学基本思想的原则。
我们建⽴两个原则：第⼀个原则，数学产⽣和发展所必须依赖的那些思想。
第⼆个原则，学习过数学的⼈应当具有的基本思维特征。
根据这两个原则，我们把数学基本思想归结为三个核⼼要素：抽象、推理、模型。
这三者对于数学的作⽤以及相互之间的关系⼤体是这样的：通过抽象，⼈们把现实世界中与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学的研究对象，思维特征是抽象能⼒强；通过推理，⼈们从数学的研究对象出发，在⼀些假设条件下，有逻辑地得到研究对象的性质以及描述研究对象之间关系的命题和计算结果，促进数学内部的发展，思维特征是逻辑推理能⼒强；通过模型，⼈们⽤数学所创造的语⾔、符号和⽅法，描述现实世界中的故事，构建了数学与现实世界的桥梁，思维特征是表述事物规律的能⼒强。
当然，针对具体的数学内容，不可能把三者截然分开，特别是不能把抽象与推理、抽象与模型截然分开。
访史宁中教授：谈数学基本思想、数学核心素养等问题
访史宁中教授：谈数学基本思想、数学核心素养等问题刘祖希访谈史宁中教授谈数学基本思想、数学核心素养等问题摘要通过访谈史宁中教授，探讨了：关于教育的哲学思考、师范教育改革与数学教育改革；什么是数学基本思想；数学基本思想与数学“双基”、数学“四基”、数学核心素养的传承关系；如何编写中小学数学教材；如何总结上海乃至中国数学教育改革经验等问题.2016年12月，国家数学课程标准修订组组长、东北师大原校长史宁中教授受邀出席在上海召开的高中数学新课程、新教材高峰论坛，笔者借论坛的两个间隙访谈了史宁中教授.访谈围绕当前数学教育领域的几个重要话题展开.刘祖希老师史校长您好，感谢您接受我们的邀请莅临本次论坛.史宁中教授谢谢你们的邀请，我很高兴与教材出版社以及中学界的朋友们交流，大家一起出力把我们国家的数学教材编好.刘祖希老师我们出版社正在组织新青年数学教师工作室编写《当代中国数学教育名家访谈》这本书，想对您做个访谈，当面向您请教一些问题.史宁中教授请教不敢当，前两年北师大曹一鸣教授和我也有过一次访谈，有些内容可以供你们参考.新的问题，我今天也乐意回答.1关于教育、师范教育与数学教育教育应当包括经验信息的传递，知识信息的传递和智慧信息的传递.我们对三种信息传递的载体进行研究，去寻求教育的内核，探讨教育自身的发展过程，从而展望教育的未来.——史宁中刘祖希老师您是何时开始关注教育、师范教育与数学教育的？您对我们国家的教育、师范教育与数学教育总体上有什么判断？史宁中教授我从1994年起担任东北师大主管本科教学与研究生培养的副校长，开始关注教育，对教育作了点哲学层面的思考.1998年出任东北师大校长，对东北师大的师范教育进行了改革.特别是2005年承担义务教育阶段数学课程标准修订工作后，接触了多位中小学教师和学科教学论的专家，我意识到：应当详细地研究数学的基本思想，构建切实可行的方法把这些思想体现于数学教师的日常教学；应当理顺中小学数学的脉络，使得数学教师在教学活动中有所遵循；应当清晰地阐述数学教学内容中重要知识点的内涵与外延，对于数学教师能够有所启发.刘祖希老师您说清晰地阐述数学教学内容中重要知识点的内涵与外延，是不是写成了“学科教学核心问题研讨丛书”这套书？我们发现第一本书在当当网上已获得2000多条好评.史宁中教授是的，遗憾的是这套书还没有写完，只出版了第一本.主要是工作太忙了，争取挤时间写完，不辜负读者的期待.刘祖希老师您刚才讲到对师范教育进行了改革，这些年我们国家的师范生教育一直在改革，效果似乎不太令人满意，您怎么看师范教育改革？史宁中教授师范教育的问题主要是课程比较陈旧.作为师范大学的校长，我清楚地意识到，随着经济与社会的发展，教师教育必然逐渐走向开放，传统的师范教育也必然逐渐走向综合.面对转型期提出的问题和挑战，我们需要认真思考和扎实实践；要实现教师职业专门化，就必须对传统的师范教育进行改造.1998年，东北师大把传统的“教育学原理”和“普通心理学”两门师范类课程改造为“教师学与教学论”、“教育研究方法”、“青少年心理学”和“学校教育心理学”四门更为实用的课程.我总是认为，在大学，应当尊重学生的学习兴趣，尊重学生的专业选择，对于师范专业尤其重要，因为一个人是否能成为一名好的教师，首先在于他是否热爱教师这个职业.事实上，从2002年开始，东北师大就打通了师范与非师范的界限：在7个一级学科实行前两年为通识课、两年后选专业方向的培养模式；对于选择师范专业的学生，从教学方法、学科思想方法等方面给予特殊的培养，我们不能用“专业教育学心理学=教师”这个公式来培养教师.刘祖希老师您来主持国家数学课程标准的修订工作，是不是跟您的大学校长身份有关？能调动更多的社会力量来做这件事？史宁中教授课程标准的修订工作主要靠大家多出主意、多沟通，包括数学家、数学教育家、中小学数学教研员和教师，甚至包括其他行业的专家，大家多交换意见就好办了.比如，我们在新修订的义务教育阶段数学课程标准里提“四基”，为此征求了许多数学家、数学教育界人士的意见，他们都很赞同.误解往往源于缺少沟通，我找到一个很有效的办法，就是把争论的双方请到一起、坐下来交换意见，误解很快就消除了.课程标准修订主要还是学术问题，不一定非要靠大学校长来做.包括这次的高中数学课程标准修订稿，一直没有公布，我们就跟教育部沟通，把精神传达给出版社，以便他们能够尽早修订教材，确保试验地区能够按时用上新教材.刘祖希老师对数学课程标准进行修订，不管是义务教育阶段的还是高中阶段的，您主张推倒重来还是小修小补？史宁中教授我们在课程标准修订过程中制定了几条基本原则：(1)坚持基础教育课程改革的大方向；(2)课程标准要更加准确、规范、明了、全面，凡是没有充足理由的说法都不出现，还是用传统的；(3)课程标准要更适合于教材编写、教师教学、学习评价，我们编了许多例子帮助老师们理解数学教学；(4)处理好几个关系：关注过程和结果的关系；学生自主学习和教师讲授的关系；合情推理和演绎推理的关系；生活情境和知识系统性的关系.这几条基本原则保障了课程标准的已有成果得到巩固，不合理的地方得到较大改善，原来的课程标准总体上是积极的，也是富有成效的.2关于关于数学基本思想我们把数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型.——史宁中刘祖希老师我们准备了一套您的著作《数学思想概论》(5册)，想请您为这套书签个名，送给会场踊跃提问的老师.史宁中教授好，我来签名，谢谢你们的精心准备.这套书内容有点多，我最近将这套书压缩成了一本，叫做《数学基本思想18讲》，已由北师大出版社出版，这样学校上课、读者看起来都方便一些.刘祖希老师我记得您在2005年左右就提出了数学的三个基本思想——抽象、推理、模型，您是怎样考虑的？史宁中教授大家都觉得数学思想很重要，但是说不清道不明，有的人把数学思想列出一大串.在数学教学中，通常说的等量替换、数形结合、递归法、换元法等，可以称为数学思想方法，但不是数学基本思想，数学基本思想是更上位的概念.因为在述说这些概念的时候，必然要依附于某些具体的数学内容，因此这些概念在本质上是个案而不是一般.此外，这些概念也不是最基本的，比如关于等量替换，人们可以进一步追问：为什么可以在计算的过程中进行等量替换呢？这就意味着，作为一种方法，等量替换可以用其他的更为基本的原理推演出来.为此，需要建立判断数学基本思想的原则.我们建立两个原则：第一个原则，数学产生和发展所必须依赖的那些思想；第二个原则，学习过数学的人应当具有的基本思维特征.根据这两个原则，我们把数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型.刘祖希老师您能否做些具体解释呢？史宁中教授这三者对于数学的作用以及相互之间的关系大体是这样的：通过抽象，人们把现实世界中与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学的研究对象，思维特征是抽象能力强；通过推理，人们从数学的研究对象出发，在一些假设条件下，有逻辑地得到研究对象的性质以及描述研究对象之间关系的命题和计算结果，促进数学内部的发展，思维特征是逻辑推理能力强；通过模型，人们用数学所创造的语言、符号和方法，描述现实世界中的故事，构建了数学与现实世界的桥梁，思维特征是表述事物规律的能力强.当然，针对具体的数学内容，不可能把三者截然分开，特别是不能把抽象与推理、抽象与模型截然分开.在推理的过程中，往往需要从已有的数学知识出发，抽象出那些并不是直接来源于现实世界的概念和运算法则；在构建模型的过程中，往往需要在错综复杂的现实背景中抽象出最为本质的关系，并且用数学的语言予以表达.反之，抽象的过程往往需要借助逻辑推理；通过推理判断概念之间的关系，判断什么是命题的独立性，什么是命题的相容性，最终抽象出公理体系；在众多个案的运算过程中发现规律，通过推理验证什么是最本质的规律，最终用抽象的符号表达一般性的运算法则.因此，在数学研究和学习的过程中，抽象、推理、模型这三者之间常常是你中有我，我中有你.刘祖希老师大家对“数学的三个基本思想”这样凝练的观点接受度如何？史宁中教授抽象、推理这是大家都公认的；可能因为我的专业是数理统计学的，所以对数学的应用有很深的体会，感觉模型思想特别重要.我提出这三个基本思想之后，在不同场合听听大家的意见，大家都觉得不错，许多数学家也赞同.现在我们更明确地提出：数学教学的最终目标，是要让学习者会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界.而数学的眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语言就是模型.这样大家就更容易理解三个数学基本思想的意思和重要性了.3关于数学基本思想与数学“双基”、“四基”以及数学核心素养的传承普通高中数学课程标准所设定的核心素养的本质就是抽象、推理、模型.[5]基于“四基”的数学教学就是基于数学核心素养的数学教学.——史宁中刘祖希老师“数学基本思想”是很有创见的观点.十年后的今天，您和高中数学课程标准修订组做的数学核心素养框架体系(包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析)，我感觉就是在三个数学基本思想的基础上发展起来的.五年前，义务教育阶段数学课程标准修订版提的是十个核心词，进行聚类分析后，也是三个数学基本思想.数学基本思想(抽象、推理、模型)就是“数学核心素养”体系的“基底”.史宁中教授你看的很准，张奠宙先生最近也谈到了这个观点.这其实就是我们对中国数学课程的传承，是个大问题，要反复地跟大家讲.刘祖希老师可否请您具体帮我们讲讲这个传承关系？史宁中教授数学基本思想与数学“双基”、“四基”、数学核心素养都是一脉相承的，基于“四基”的数学教学就是基于数学核心素养的数学教学.相对于我们的数学教育传统，数学核心素养并没有另起炉灶.这也是我们一以贯之的事情.我来具体说说这里面的继承关系.1990年代，我们国家的数学教学大纲是把数学思想和方法含在数学“双基”里面的，大纲里有明确的表述；数学“四基”是把“数学基本思想”从数学“双基”里面单独列出来，另外再加上“数学基本活动经验”，这是对“双基”的继承、发展.数学核心素养是六个：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析，其中前三个就是数学基本思想、也是传承，后三个是传统的数学能力.刘祖希老师听您的讲解我们就很清楚了：自从1980年代徐利治先生在国内倡导“数学方法论”，在他的影响之下，在数学教学中渗透数学思想方法，已经成为中国数学教育的常识，“数学思想方法”也在1992年正式纳入义务教育数学教学大纲，拓展了数学“双基”中“基础知识”的内容，并延续至2000年初、高中数学教学大纲；后写进1998年版上海市高中数学课程标准、2002年版高中数学大纲，成为数学“双基”中“基础知识”、“基本技能”所包括的内容；随后写进2003年版高中数学课程标准、2004年版上海市中小学数学课程标准，成为了数学“三基”中的一基：数学基本思想(“三基”的提法很短暂，容易被人忽视)；进而又写进2011年修订版义务教育数学课程标准，成为了数学“四基”中的一基.史宁中教授可以这样理解，但我们不能机械地“背文件”.我们对数学教育、特别是基础阶段的数学教育至少应当清晰两件事情：一件事情是，不能单纯让学生记住一些概念，掌握一些解题的技巧，要让学生形成和发展数学核心素养，特别是逻辑推理素养；还有一件事情是，学生逻辑推理素养的形成和发展，在本质上，不是靠教师“教”出来的，而是靠学生“悟”出来的.虽然，为了数学的严谨性，现代数学逐渐走向了符号化、形式化和公理化，但数学的教学过程却应当反其道而行之，给学生创造直观思维的机会，给学生的“悟”留有充分的时间和空间；虽然概念的表达是符号的，但对概念的认识应当是有具体背景的；虽然证明的过程是形式的，但对证明的理解应当是直观的；虽然逻辑的基础是基于公理的，但思维的过程应当是归纳的.为了实现这样的教学过程，就要求教师在数学教学活动中，更多地关心学生的思维过程，抓住数学的本质，创设合适的教学情境、提出合适的问题，启发学生独立思考或与他人进行有价值的讨论，让学生在掌握知识技能的同时，感悟数学的思想，积累数学思维的经验，形成和发展数学核心素养.这就是基于“四基”的数学教学，这也是未来将要提倡的基于“数学核心素养”的数学教学.4关于中小学数学教材的编写与修订教育的任务就是要把科学的知识让学生理解，并化为他自己的知识.这里面有两个重要的转化的过程：一是科学知识向学科课程知识的转化，这要依靠学科专家和课程开发专家的努力；二是把学科课程知识转化为学生知识，这就依靠广大教师.——史宁中刘祖希老师这次会议的另一个主题是关于数学教材编写，我们想请教您：作为数学家、大学校长，您觉得编写中小学数学教材难度大不大？是不是一件比较容易的事情？史宁中教授教材编写这个事还真不简单.教材要越读越有味道，经得起反复推敲，绝对不是“快餐”.你是上海教材的责任编辑，应该也有这个体会.现在我们国家很重视教材的编写，教材编写队伍力量配备很强，过去以专职的教材编写者为主，现在是由高校数学教师、教育学院的教师培训者、基层数学教育教学研究人员、资深中小学数学教师共同组成，专业、专职和兼职人员并重的四位一体编写队伍.与过去相比，教材编写队伍的学术层次提高了，研究气氛浓厚了，理论与实践之间的关系开始趋于平衡了，一线教师的参与程度加强了，教材编写活动的活力大大增加了.刘祖希老师近几年国内开展了许多教材比较研究的工作(包括国际比较)，教材难度的比较是其中一个基本问题.您认为应该如何衡量一套教材的难度？史宁中教授华东师大的《数学教学》杂志发表了我的一篇讲座稿，其中专门谈了教材难度的问题.什么是教材难度？它由许多因素确定，比如广度(知识含量，包括习题)、深度(逻辑层次，区分概念与命题)、表达(描述方式，包括例题)、时间(单位时间授课进度)，这样的话，教材难度就是广度、深度、表达、时间的(线性或对数线性)函数.大家可以做一些实证来验证一下这个观点.刘祖希老师近来您与各家教材出版社的同志、各版本教材的主编和编委交流很频繁，您是不是希望向他们传递更多的关于教材编写和修订的理念、要求？史宁中教授课程标准的实施首先体现在教材编写这个环节，至关重要.当前，编写配套的高中数学新教材要特别注意以下几点：(1)把握数学知识的本质，比如新概念的引入要回答缘由、新方法的述说要述说道理；(2)创设合适的教学情境、提出合适的数学问题；(3)启发学生思考，鼓励学生与教师交流、学生之间相互交流；(4)让学生在思考和交流中在掌握知识、技能的同时，理解知识的本质；(5)帮助学生感悟数学思想，积累思维的经验，形成和发展数学核心素养.另外，教材编写团队平时也要注意做好教材修订工作.修订工作大体上可以围绕3个方面进行：(1)围绕“显性”问题修订；(2)围绕“打造教材特色”修订；(3)围绕“深层”问题修订，这是真正有挑战性的修订，目前教材编写有很多不太令人满意的“深层”问题，比如数学概念的表述还是几十年前的，至今没有变化；还有忽视学生学习过程的问题屡见不鲜.这些“深层”问题解决好了，有可能使中国的数学教材面貌在世界上独树一帜，令人期待.上海教材就很好，很多地方值得全国同行借鉴.5关于上海数学教育改革经验的总结在近30年上海数学教育改革的长期积淀过程中，上海至少形成了三条重要经验：连贯一致的改革思路、海派文化的数学课堂、强而有力的教研与教师队伍.——史宁中刘祖希老师您今年已经是第5次来上海了吧.史宁中教授是的，为了总结上海数学教育改革经验就来了4次.刘祖希老师2016年8月22日，全国“上海中小学数学教育改革经验”交流会在上海举行，会议主题是“推广交流上海中小学数学教育改革经验，研讨我国数学教育改革发展方向与推进策略”.您作为上海基础教育改革宣传推广工作数学教育项目组组长，在会上为上海数学教育改革经验总结的3句话现在广为传播.史宁中教授上海教育界的同志很客气，请我总结上海的数学教育改革经验，我讲了3句话：连贯一致的改革思路、海派文化的数学课堂、强而有力的教研与教师队伍.头尾两句话好理解，很多人问我第二句话是什么意思？我说海派文化的数学课堂就是“海纳百川、教无定法”，大家很赞同.上海的数学课堂什么经验、方法都可以拿来试验，好的就留下来、为我所用，海纳百川本身就是上海这座城市的精神.刘祖希老师这3句话的经验总结令上海教育界欢欣鼓舞，也令中国其他地方羡慕不已.史宁中教授上海数学教育界的同志工作、研究做得很扎实，比如顾泠沅教授，上海的经验有他们的功劳.当然，这3句话不是上海独有的经验，我们国家很多地区都有这样的经验，上海是代表.刘祖希老师现在上海已经明确有几门学科会使用全国统一教材，您判断上海的数学教材会不会也使用全国统一教材？史宁中教授上海的数学教材对上海的数学教育改革经验肯定有很大贡献，国家既然总结推广上海的数学教育改革经验，上海的数学教材应该是很重要的体现，祝愿上海教材做得更好.刘祖希老师谢谢您接受我们的采访.结语对史宁中教授的访谈时间过得很快，许多问题还来不及展开.考虑到会议日程很紧张，我们按计划结束了这次访谈.在近3个小时的访谈过程中，史宁中教授为我们详细讲解了：关于教育的哲学思考、师范教育改革与数学教育改革；什么是数学基本思想；数学基本思想与数学“双基”、数学“四基”、数学核心素养有着怎样的传承关系；如何编写中小学数学教材；如何总结上海乃至中国数学教育改革经验等重要问题.当代中国数学家有关心教育特别是数学教育的优良传统，数学家关心数学教育主要有几种形式：一是关注中小学数学教育与课程改革；二是主持编写中小学数学教材；三是开展数学普及工作与科普创作.作为一名学术成就斐然的数学家、大学校长，史宁中教授从关心、关注到逐渐领导中国的中小学数学课程改革，在这一“华丽转身”的背后，是他为中国数学教育贡献的非凡智慧与拳拳之心、殷殷深情.后注史宁中教授：东北师范大学前校长，教授，博士生导师。
基本数学思想(1)(1)
基本数学思想：教材架构与教学思考一、基本数学思想的教材架构数学思想是数学的灵魂，是数学科学发生和发展的根本。
有了数学思想，数学知识便不再是孤立的。
史宁中教授认为，“数学思想需要满足两个条件：一是数学产生、发展过程中所必须依赖的那些思想，二是学习过数学的人所具有的思维特征。
基本数学思想主要有三种：抽象、推理和模型。
整个数学学科就是建立在基本数学思想的基础上，并按照基本数学思想发展起来的。
”苏教版义务教育小学数学教材坚持用基本数学思想统整全部内容，规划合理的内容结构，侧重引导学生经历简单的数学抽象过程、推理过程、建立模型过程。
（一）以数学抽象为主线引入数学研究的对象数学是研究数量关系和空间形式的科学，数学研究的对象是一种抽象的存在。
教材在编写时，注重精心选择素材，创设情境，把客观世界中与数量和图形有关的事物或现象抽象成数学研究的对象。
1. 数量与数量关系的抽象。
把数量抽象成数。
数概念的形成与发展是“数与代数”学习的起点，整数、小数、分数的学习，是一个从具体事物和数量抽象为数的过程，是抽象水平不断提高的过程，学生认识数的过程也是逐步感悟抽象思想的过程。
比如教学正整数的认识，教材按照“现实情境中的数量—实物（小棒、小方块等）表示数—计数器（或算盘）表示数—写数” 的线索，引导学生经历数的抽象过程。
再比如教学负整数的认识，教材选择温度计、海拔高度、收支盈亏、向不同方向走路等现实素材，从大量存在的具有相反意义的量中抽象出负数的意义。
把数量抽象成数，并用符号表达，数学就有了研究的对象。
把数量多少关系抽象成数大小关系。
抽象出研究对象不是根本，数学的本质是研究关系。
数中最重要的关系是大小关系，大小关系是从数量里的多少关系抽象出来的。
教材结合认识10 以内的数，通过创设童话情境，先引导学生比较同类事物数量的多少，再抽象出数的大小，进而演变为一般的序关系（一个自然数加 1 就可以得到下一个比它大 1 的数）。
有了数的大小关系，就能派生出自然数的加法，进而建构四则运算；有了数概念“序”的特性，就为后面建构大数概念的更高程度的抽象提供经验支撑。
史宁中数学课程与教学思想研究
史宁中数学课程与教学思想研究史宁中数学课程与教学思想研究报告概述近年来，教育研究已成为全球研究的重点领域之一，而数学教育更是其中的重要分支。
史宁中学校的数学课程和教学思想研究旨在通过有效的教学程序和策略，为学生提供深入和全面的数学教育。
本文对此进行了详细的分析和阐述。
课程设计史宁中学校的数学课程设计基于课程标准和学生的需求。
该课程包括基础的数学概念和技能、适应性的数学活动以及鼓励探究与思考的学习体验。
课程内容覆盖了数学各个领域，包括代数、几何、概率与统计。
在课程中，学生还可以学习如何利用技术工具，如计算器和电子表格，来强化他们的数学能力。
教学思想教师是学生学习过程中最重要的资源之一。
为了保证学生的成功，史宁中学校的数学教学将教师和学生视为学习共同体。
学生被鼓励在一个相互支持和共同探究的氛围中学习，以实现学习的最大效益。
此外，学生还需要从教师那里获得个性化的学习策略和支持，以帮助他们克服具体的学习障碍。
教学过程教师在教学过程中采用了多种教学策略，以帮助学生获得成功。
包括但不限于利用视觉工具、表述问题的不同方式、结合实际问题等教学方法。
同时，教师还利用评价和反馈，指导学生对已学知识的掌握和巩固。
教师还会给学生提供一些练习题和参考资料，帮助学生独立学习和巩固知识点。
教学评价为了确保教学效果，教师们需要对学生的学习情况进行系统的评价和反馈。
这可以通过书面测验、口头测试、作业、课堂讨论和学生反馈等方式来实现。
在这个过程中，教师需要与学生交流，以了解他们的学习风格、弱点和优势。
除此之外，教师还需要根据学生的进展提供针对性的辅导以帮助他们克服学习难题。
总结在史宁中学校，数学课程和教学思想的设计是为了帮助学生掌握基本数学概念和技能。
教学过程注重学生学习策略和个性化支持，包括多种教学方法和评价方式的运用，以确保学生达到学习目标。
总之，史宁中学校的数学教育为学生提供了深入且广泛的数学教育，为他们追求未来的职业和学术成功奠定了坚实基础。
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史宁中：漫谈数学的基本思想
数学思想是数学文化的核心，因为数学文化是数学的形态表现，可以包括：数学形式、数学历史、数学思想。
其中思想是本质的，没有思想就没有文化。
一、数学思想是什么
数学思想需要满足两个条件：一是数学产生、发展过程中所必须依赖的那些思想，二是学习过数学的人所具有的思维特征。
可以归纳为三种基本思想：抽象、推理和模型。
通过抽象，把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学研究的对象；通过推理，得到数学的命题和计算方法，促进数学内部的发展；通过模型，创造出具有表现力的数学语言，构建了数学与外部世界的桥梁。
二、什么是抽象
数学抽象包括：数量与数量关系的抽象，图形与图形关系的抽象。
通过抽象得到数学的基本概念：研究对象的定义，刻画对象之间关系的术语和运算方法。
这是从感性具体上升到理性具体的思维过程，只是第一次抽象。
在此基础可以凭借想象和类比进行第二次抽象，其特点是符号化，得到那些并非直接来源于现实的数学概念和运算方法。
数量与数量关系的抽象。
数学把数量抽象成数；数量关系的本质是多与少，抽象到数学内部就是数的大小。
由大小关系派生出自然数的加法。
数的四则运算，都是基于加法的。
数学还有一种运算，就是极限运算，这涉及到数学的第二次抽象，微积分的运算基础是极限。
为了合理解释极限，1821年柯西给出了ε-δ语言，开始了现代数学的特征：研究对象的符号化，证明过程的形式化，逻辑推理的公理化。
数学的第二次抽象就是为这些特征服务的。
图形与图形关系的抽象。
欧几里得最初抽象出点、线、面这些几何学的研究对象是有物理属性的，随着几何学研究的深入，特别是非欧几何学的出现，人们需要重新审视传统的欧几里得几何学。
1898年希尔伯特给出了符号化的定义，基于五组公理，实现了几何研究的公理体系。
这些公理体系的建立，完成了数学的第二次抽象。
至少在形式上，数学的研究脱离了现实，正如希尔伯特所说：无论称它们为点、线、面，还是称它们为桌子、椅子、啤酒瓶，最终得到的结论都是一样的。
三、什么是推理
数学主要依赖的是逻辑推理，通过推理形成各种命题、定理和运算法则。
虽然数学逐渐形成各个分支，甚至形成各种流派，但因为研究的出发点是一致的，推理规则是一致的，
因此，至少到现在的结果表明，数学的整体一致性是不可动摇的。
数学似乎蕴含着类似真理那样的合理性。
推理是指从一个命题判断到另一个命题判断的思维过程，命题是可供判断的语句；有逻辑的推理是指命题内涵之间具有某种传递性。
有两种形式的逻辑推理，一是归纳推理，一是演绎推理。
归纳推理是命题内涵由小到大的推理，是一种从特殊到一般的推理，通过归纳推理得到的结论是或然的。
借助归纳推理，从经验过的东西出发推断未曾经验过的东西。
演绎推理是命题内涵由大到小的推理，是一种从一般到特殊的推理，通过演绎推理得到的结论是必然的。
借助演绎推理可以验证结论的正确性，但不能使命题的内涵得到扩张。
数学结论之所以具有类似真理那样的合理性，正是因为推理过程遵循了这两种形式的推理。
四、什么是模型
数学模型与数学应用有所区别：数学应用可以泛指应用数学解决实际问题的所有事情，数学模型更侧重于用数学的概念、原理和思维方法描述现实世界中的那些规律性的东西。
数学模型使数学走出数学的世界，构建了数学与现实世
界的桥梁。
通俗说，数学模型是用数学的语言讲述现实世界的故事。
数学模型的出发点不仅是数学，还包括现实世界中的那些将要讲述的东西；研究手法需要从数学和现实这两个出发点开始；价值取向也往往不是数学本身，而是对描述学科所起的作用。
但是，数学家们在构建数学模型和实际应用的过程中，必然会从数学的角度汲取"创造数学的"的灵感，促进数学自身的发展，就像冯?诺伊曼所说过的那样。