2019春九年级数学下册28.2.2第3课时利用方位角坡度解直角三角形学案无答案新版新人教版
部审人教版九年级数学下册教学设计28.2.2 第3课时《利用方位角、坡度解直角三角形》
部审人教版九年级数学下册教学设计28.2.2 第3课时《利用方位角、坡度解直角三角形》一. 教材分析人教版九年级数学下册第28.2.2节《利用方位角、坡度解直角三角形》是学生在学习了三角函数基础知识之后的一个实践应用部分。
本节内容通过实际问题引入方位角和坡度的概念，让学生了解在实际问题中如何利用三角函数知识解决问题。
教材通过实例分析，引导学生掌握利用方位角、坡度解直角三角形的方法，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的三角函数知识，对直角三角形有一定的认识。
但是，将理论知识应用于实际问题解决中，特别是涉及到方位角和坡度的问题，对学生来说还是一个新的挑战。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解方位角、坡度的概念，掌握利用方位角、坡度解直角三角形的方法。
2.过程与方法：通过实际问题，培养学生解决实际问题的能力，提高学生的动手操作能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：方位角、坡度的概念及应用。
2.难点：如何将方位角、坡度与直角三角形相结合，解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、分组讨论法等，引导学生主动探究、合作交流，提高学生解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引入方位角、坡度的概念。
2.准备一些图片或实物，用于展示直角三角形的应用。
3.分组讨论的素材，让学生在课堂上进行实践操作。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如建筑工人测量高度、航海员确定船只位置等，引导学生思考如何利用数学知识解决这些问题。
让学生认识到方位角、坡度在实际生活中的重要性。
2. 呈现（10分钟）教师讲解方位角、坡度的概念，并通过实例解释其在实际问题中的应用。
同时，引导学生回顾直角三角形的知识，为后续解直角三角形打下基础。
人教版九年级数学下册-28.2.2 第3课时 利用方位角、坡度角解直角三角形【数学专题教学设计】
28.2.2 应用举例第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形1.如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比（坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），坝高BC=3m ，则坡面AB 的长度是（ ）A ．9mB ．6mC ．mD ．2.在某次海上搜救工作中，A 船发现在它的南偏西30°方向有一漂浮物，同时在A 船正东10km 处的B 船发现该漂浮物在它的南偏西60°方向，此时，B 船到该漂浮物的距离是（ ）A ．kmB ．kmC ．10kmD ．20km3.如图，港口A 在观测站O 的正东方向，OA=4km ，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB 的长）为（ ）A ．4kmB ．kmC ．kmD ．+1）km第3题图 第4题图4.如图是拦水坝的横断面,斜坡AB 的水平宽度为12米,斜面坡度为1:2,则斜坡AB 的长为（ ） A.34米B.56米C.512米D.24米5.如图，将一个Rt △ABC 形状的楔子从木桩的底端点P 沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm （如箭头所示），则木桩上升了_________cm.第5题图第6题图7.如图,在一次数学课外活动中,小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向,办公楼B位于南偏东45°方向.小明沿正东方向前进60米到达C处,此时测得教学楼A恰好位于正北方向,办公楼B正好位于正南方向.求教学楼A与办公楼B之间的距离.9.如图,湖中的小岛上有一标志性建筑物,其底部为A,某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上,然后沿岸边直行4公里到达C处,再次测得A在C的北偏西45°的方向上（其中A、B、C在同一平面上）．求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离．10.如图,某校教学楼的后面紧邻着一个土坡,坡上面是一块平地,BC∥AD，斜坡AB的长为22 m,坡角∠BAD=680，为了防止山体滑坡,保障安全,学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测,当坡角不超过500时,可确保山体不滑坡．(1)求改造前坡顶与地面的距离；(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动,坡顶B沿BC改到F点处,则BF至少是多少米?(保留一位小数,参考数据:sin680≈0.9272,cos 680≈0.3746,tan 680≈2.4751,sin500≈0.7660,cos500≈0.6428,tan500≈1.1918)11.一艘观光游船从港口A处以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号．一艘在港口正东方向B处的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里/小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．(温馨提示：sin53°≈0．8，cos53°≈0．6)考点综合专题：反比例函数与其他知识的综合◆类型一反比例函数与一次函数的综合一、判断函数图象1．当k ＞0时，反比例函数y ＝kx和一次函数y ＝kx ＋2的图象大致是【方法3④】( )二、求交点坐标或根据交点求取值范围2．(2017·自贡中考)一次函数y 1＝k 1x ＋b 和反比例函数y 2＝k 2x (k 1·k 2≠0)的图象如图所示．若y 1＞y 2，则x 的取值范围是【方法3③】( )A ．－2＜x ＜0或x ＞1B ．－2＜x ＜1C ．x ＜－2或x ＞1D ．x ＜－2或0＜x ＜1第2题图 第3题图 第5题图3．如图，直线y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝kx 的图象的一个交点为A (－1，2)，则另一个交点B 的坐标为【方法3①】( )A ．(－2，1)B ．(2，1)吧C ．(1，－2)D ．(2，－1)4．若一次函数y ＝mx ＋6的图象与反比例函数y ＝nx 在第一象限的图象有公共点，则有( )A ．mn ≥－9B ．－9≤mn ≤0C ．mn ≥－4D ．－4≤mn ≤05．(2017·长沙中考)如图，点M 是函数y ＝3x 与y ＝kx 的图象在第一象限内的交点，OM＝4，则k 的值为________．6．(2017·菏泽中考)直线y ＝kx (k ＞0)与双曲线y ＝6x 交于A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)两点，则3x 1y 2－9x 2y 1的值为________．【方法4】7．(2017·广安中考)如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象在第一象限交于点A (4，2)，与y 轴的负半轴交于点B ，且OB ＝6.(1)求函数y ＝mx和y ＝kx ＋b 的解析式；(2)已知直线AB 与x 轴相交于点C ，在第一象限内，求反比例函数y ＝mx 的图象上一点P ，使得S △POC ＝9.◆类型二 反比例函数与二次函数的综合8．(2017·广州中考)当a ≠0时，函数y ＝ax 与y ＝－ax 2＋a 在同一直角坐标系中的大致图象可能是( )9．★如图，在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，F 是AB 上的一个动点(F 不与A ，B 重合)，过点F 的反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象与BC 边交于点E .(1)当F 为AB 的中点时，求该函数的解析式；(2)当k 为何值时，△EF A 的面积最大，最大面积是多少？◆类型三 与三角形的综合10．位于第一象限的点E 在反比例函数y ＝kx 的图象上，点F 在x 轴的正半轴上，O 是坐标原点．若EO ＝EF ，△EOF 的面积等于2，则k 的值为( )A ．4B ．2C ．1D ．－211．(2017·包头中考)如图，一次函数y ＝x －1的图象与反比例函数y ＝2x 的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点B ，点C 在y 轴上．若AC ＝BC ，则点C 的坐标为________．第11题图 第12题图 第13题图12．(2017·西宁中考)如图，点A 在双曲线y ＝3x(x ＞0)上，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于点B .当AC ＝1时，△ABC 的周长为________．13．(2017·贵港中考)如图，过C (2，1)作AC ∥x 轴，BC ∥y 轴，点A ，B 都在直线y ＝－x ＋6上．若双曲线y ＝kx(x ＞0)与△ABC 总有公共点，则k 的取值范围是________．14．(2017·苏州中考)如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，AB ⊥x 轴，垂足为A .反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象经过点C ，交AB 于点D .已知AB ＝4，BC ＝52. (1)若OA ＝4，求k 的值；(2)连接OC ，若BD ＝BC ，求OC 的长．◆类型四 与特殊四边形的综合15．(2017·衢州中考)如图，在直角坐标系中，点A 在函数y ＝4x (x ＞0)的图象上，AB ⊥x轴于点B ，AB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与函数y ＝4x(x ＞0)的图象交于点D ，连接AC ，CB ，BD ，DA ，则四边形ACBD 的面积等于( )A ．2B ．2 3C ．4D ．43第15题图 第16题图16．(2016·齐齐哈尔中考)如图，已知点P (6，3)，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，反比例函数y ＝kx 的图象交PM 于点A ，交PN 于点B .若四边形OAPB 的面积为12，则k ＝________．17．(2016·泰安中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，点C 的坐标为(0，3)，点A 在x 轴的负半轴上，点D 、M 分别在边AB 、OA 上，且AD ＝2DB ，AM ＝2MO ，一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点D 和M ，反比例函数y ＝mx 的图象经过点D ，与BC 的交点为N .(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)若点P 在直线DM 上，且使△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，求点P 的坐标．参考答案与解析 1．C 2.D 3.D4．A 解析：将y ＝mx ＋6代入y ＝n x 中，得mx ＋6＝nx ，整理得mx 2＋6x －n ＝0.∵两个图象有公共点，∴Δ＝62＋4mn ≥0，∴mn ≥－9.故选A.5．436．36 解析：由题可知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于原点对称，∴x 1＝－x 2，y 1＝－y 2.把A (x 1，y 1)代入双曲线y ＝6x ，得x 1y 1＝6，∴3x 1y 2－9x 2y 1＝－3x 1y 1＋9x 1y 1＝6x 1y 1＝36.故答案为36.7．解：(1)把点A (4，2)代入反比例函数y ＝mx，可得m ＝8，∴反比例函数解析式为y＝8x .∵OB ＝6，∴B (0，－6)，把点A (4，2)，B (0，－6)代入一次函数y ＝kx ＋b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧2＝4k ＋b ，－6＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－6，∴一次函数解析式为y ＝2x －6.(2)在y ＝2x －6中，令y ＝0，则x ＝3，即C (3，0)，∴CO ＝3.设P ⎝⎛⎭⎫a ，8a ，则由S △POC ＝9，可得12×3×8a ＝9，解得a ＝43，∴P ⎝⎛⎭⎫43，6. 8．D9．解：(1)∵在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，∴B 点坐标为(3，2)．∵F 为AB 的中点，∴F 点坐标为(3，1)．∵点F 在反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象上，∴k ＝3，∴该函数的解析式为y ＝3x(x ＞0)．(2)由题意知E ，F 两点坐标分别为E ⎝⎛⎭⎫k 2，2，F ⎝⎛⎭⎫3，k 3，∴S △EF A ＝12AF ·BE ＝12×13k ×⎝⎛⎭⎫3－12k ＝12k －112k 2＝－112(k 2－6k ＋9－9)＝－112(k －3)2＋34.当k ＝3时，S △EF A 有最大值，最大值为34. 10．B11．(0，2) 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，∴A (2，1)，B (1，0)．设C (0，m )，∵BC ＝AC ，∴AC 2＝BC 2，即4＋(m －1)2＝1＋m 2，∴m ＝2，故答案为(0，2)．12.3＋113．2≤k ≤9 解析：当反比例函数的图象过C 点时，把C 的坐标代入得k ＝2×1＝2；把y ＝－x ＋6代入y ＝k x 得－x ＋6＝kx ，x 2－6x ＋k ＝0，Δ＝(－6)2－4k ＝36－4k .∵反比例函数y ＝kx 的图象与△ABC 有公共点，∴36－4k ≥0，解得k ≤9，即k 的取值范围是2≤k ≤9，故答案为2≤k ≤9.14．解：(1)如图，作CE ⊥AB ，垂足为E .作CF ⊥x 轴，垂足为F .∵AC ＝BC ，AB ＝4，∴AE ＝BE ＝2.在Rt △BCE 中，BC ＝52，BE ＝2，由勾股定理得CE ＝32.∵OA ＝4，∴OF ＝OA－CE ＝52，∴C 点的坐标为⎝⎛⎭⎫52，2.∵点C 在y ＝kx的图象上，∴k ＝5.(2)设A 点的坐标为(m ，0)．∵BD ＝BC ＝52，∴AD ＝32，∴D ，C 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫m ，32，⎝⎛⎭⎫m －32，2.∵点C ，D 都在y ＝k x 的图象上，∴32m ＝2⎝⎛⎭⎫m －32，解得m ＝6，∴C 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，2，∴OF ＝92，CF ＝2.在Rt △OFC 中，OC 2＝OF 2＋CF 2，∴OC ＝972.15．C16．6 解析：∵∠NOM ＝90°，PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，∴四边形ONPM 是矩形．∵点P 的坐标为(6，3)，∴PM ＝3，PN ＝6.∵A ，B 在反比例函数y ＝k x 上，∴S △NOB ＝S △OAM ＝k2.∵S四边形OAPB＝S 矩形OMPN －S △OAM －S △NBO ＝12，∴6×3－12k －12k ＝12，解得k ＝6.17．解：(1)∵正方形OABC 的顶点C 的坐标为(0，3)，∴OA ＝AB ＝BC ＝OC ＝3，∠OAB ＝∠B ＝∠BCO ＝90°.∵AD ＝2DB ，∴AD ＝23AB ＝2，∴D 点的坐标为(－3，2)．把D 点的坐标代入y ＝m x 得m ＝－6，∴反比例函数的解析式为y ＝－6x .∵AM ＝2MO ，∴MO ＝13OA ＝1，∴M 点的坐标为(－1，0)．把M 点与D 点的坐标代入y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，－3k ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－1，则一次函数的解析式为y ＝－x －1. (2)把y ＝3代入y ＝－6x 得x ＝－2，∴N 点坐标为(－2，3)，∴NC ＝2.设P 点坐标为(x ，y )．∵△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，∴12(OM ＋NC )·OC ＝12OM ·|y |，即|y |＝9，解得y ＝±9.在y ＝－x －1中，当y ＝9时，x ＝－10；当y ＝－9时，x ＝8，则点P 的坐标为(－10，9)或(8，－9)．考点综合专题：反比例函数与其他知识的综合◆类型一 反比例函数与一次函数的综合 一、判断函数图象1．当k ＞0时，反比例函数y ＝kx和一次函数y ＝kx ＋2的图象大致是【方法3④】( )二、求交点坐标或根据交点求取值范围2．(2017·自贡中考)一次函数y 1＝k 1x ＋b 和反比例函数y 2＝k 2x (k 1·k 2≠0)的图象如图所示．若y 1＞y 2，则x 的取值范围是【方法3③】( )A ．－2＜x ＜0或x ＞1B ．－2＜x ＜1C ．x ＜－2或x ＞1D ．x ＜－2或0＜x ＜1第2题图 第3题图 第5题图3．如图，直线y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝kx 的图象的一个交点为A (－1，2)，则另一个交点B 的坐标为【方法3①】( )A ．(－2，1)B ．(2，1)吧C ．(1，－2)D ．(2，－1)4．若一次函数y ＝mx ＋6的图象与反比例函数y ＝nx 在第一象限的图象有公共点，则有( )A ．mn ≥－9B ．－9≤mn ≤0C ．mn ≥－4D ．－4≤mn ≤05．(2017·长沙中考)如图，点M 是函数y ＝3x 与y ＝kx 的图象在第一象限内的交点，OM＝4，则k 的值为________．6．(2017·菏泽中考)直线y ＝kx (k ＞0)与双曲线y ＝6x 交于A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)两点，则3x 1y 2－9x 2y 1的值为________．【方法4】7．(2017·广安中考)如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象在第一象限交于点A (4，2)，与y 轴的负半轴交于点B ，且OB ＝6.(1)求函数y ＝mx和y ＝kx ＋b 的解析式；(2)已知直线AB 与x 轴相交于点C ，在第一象限内，求反比例函数y ＝mx 的图象上一点P ，使得S △POC ＝9.◆类型二 反比例函数与二次函数的综合8．(2017·广州中考)当a ≠0时，函数y ＝ax 与y ＝－ax 2＋a 在同一直角坐标系中的大致图象可能是( )9．★如图，在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，F 是AB 上的一个动点(F 不与A ，B 重合)，过点F 的反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象与BC 边交于点E .(1)当F 为AB 的中点时，求该函数的解析式；(2)当k 为何值时，△EF A 的面积最大，最大面积是多少？◆类型三 与三角形的综合10．位于第一象限的点E 在反比例函数y ＝kx 的图象上，点F 在x 轴的正半轴上，O 是坐标原点．若EO ＝EF ，△EOF 的面积等于2，则k 的值为( )A ．4B ．2C ．1D ．－211．(2017·包头中考)如图，一次函数y ＝x －1的图象与反比例函数y ＝2x 的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点B ，点C 在y 轴上．若AC ＝BC ，则点C 的坐标为________．第11题图 第12题图 第13题图12．(2017·西宁中考)如图，点A 在双曲线y ＝3x(x ＞0)上，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于点B .当AC ＝1时，△ABC 的周长为________．13．(2017·贵港中考)如图，过C (2，1)作AC ∥x 轴，BC ∥y 轴，点A ，B 都在直线y ＝－x ＋6上．若双曲线y ＝kx(x ＞0)与△ABC 总有公共点，则k 的取值范围是________．14．(2017·苏州中考)如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，AB ⊥x 轴，垂足为A .反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象经过点C ，交AB 于点D .已知AB ＝4，BC ＝52. (1)若OA ＝4，求k 的值；(2)连接OC ，若BD ＝BC ，求OC 的长．◆类型四 与特殊四边形的综合15．(2017·衢州中考)如图，在直角坐标系中，点A 在函数y ＝4x (x ＞0)的图象上，AB ⊥x轴于点B ，AB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与函数y ＝4x (x ＞0)的图象交于点D ，连接AC ，CB ，BD ，DA ，则四边形ACBD 的面积等于( )A ．2B ．2 3C ．4D ．43第15题图 第16题图16．(2016·齐齐哈尔中考)如图，已知点P (6，3)，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，反比例函数y ＝kx 的图象交PM 于点A ，交PN 于点B .若四边形OAPB 的面积为12，则k ＝________．17．(2016·泰安中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，点C 的坐标为(0，3)，点A 在x 轴的负半轴上，点D 、M 分别在边AB 、OA 上，且AD ＝2DB ，AM ＝2MO ，一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点D 和M ，反比例函数y ＝mx 的图象经过点D ，与BC 的交点为N .(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)若点P 在直线DM 上，且使△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，求点P 的坐标．参考答案与解析 1．C 2.D 3.D4．A 解析：将y ＝mx ＋6代入y ＝n x 中，得mx ＋6＝nx ，整理得mx 2＋6x －n ＝0.∵两个图象有公共点，∴Δ＝62＋4mn ≥0，∴mn ≥－9.故选A.5．436．36 解析：由题可知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于原点对称，∴x 1＝－x 2，y 1＝－y 2.把A (x 1，y 1)代入双曲线y ＝6x ，得x 1y 1＝6，∴3x 1y 2－9x 2y 1＝－3x 1y 1＋9x 1y 1＝6x 1y 1＝36.故答案为36.7．解：(1)把点A (4，2)代入反比例函数y ＝mx，可得m ＝8，∴反比例函数解析式为y＝8x .∵OB ＝6，∴B (0，－6)，把点A (4，2)，B (0，－6)代入一次函数y ＝kx ＋b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧2＝4k ＋b ，－6＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－6，∴一次函数解析式为y ＝2x －6.(2)在y ＝2x －6中，令y ＝0，则x ＝3，即C (3，0)，∴CO ＝3.设P ⎝⎛⎭⎫a ，8a ，则由S △POC ＝9，可得12×3×8a ＝9，解得a ＝43，∴P ⎝⎛⎭⎫43，6. 8．D9．解：(1)∵在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，∴B 点坐标为(3，2)．∵F 为AB 的中点，∴F 点坐标为(3，1)．∵点F 在反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象上，∴k ＝3，∴该函数的解析式为y ＝3x(x ＞0)．(2)由题意知E ，F 两点坐标分别为E ⎝⎛⎭⎫k 2，2，F ⎝⎛⎭⎫3，k 3，∴S △EF A ＝12AF ·BE ＝12×13k ×⎝⎛⎭⎫3－12k ＝12k －112k 2＝－112(k 2－6k ＋9－9)＝－112(k －3)2＋34.当k ＝3时，S △EF A 有最大值，最大值为34. 10．B11．(0，2) 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，∴A (2，1)，B (1，0)．设C (0，m )，∵BC ＝AC ，∴AC 2＝BC 2，即4＋(m －1)2＝1＋m 2，∴m ＝2，故答案为(0，2)．12.3＋113．2≤k ≤9 解析：当反比例函数的图象过C 点时，把C 的坐标代入得k ＝2×1＝2；把y ＝－x ＋6代入y ＝k x 得－x ＋6＝kx ，x 2－6x ＋k ＝0，Δ＝(－6)2－4k ＝36－4k .∵反比例函数y ＝kx 的图象与△ABC 有公共点，∴36－4k ≥0，解得k ≤9，即k 的取值范围是2≤k ≤9，故答案为2≤k ≤9.14．解：(1)如图，作CE ⊥AB ，垂足为E .作CF ⊥x 轴，垂足为F .∵AC ＝BC ，AB ＝4，∴AE ＝BE ＝2.在Rt △BCE 中，BC ＝52，BE ＝2，由勾股定理得CE ＝32.∵OA ＝4，∴OF ＝OA－CE ＝52，∴C 点的坐标为⎝⎛⎭⎫52，2.∵点C 在y ＝kx的图象上，∴k ＝5.(2)设A 点的坐标为(m ，0)．∵BD ＝BC ＝52，∴AD ＝32，∴D ，C 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫m ，32，⎝⎛⎭⎫m －32，2.∵点C ，D 都在y ＝k x 的图象上，∴32m ＝2⎝⎛⎭⎫m －32，解得m ＝6，∴C 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，2，∴OF ＝92，CF ＝2.在Rt △OFC 中，OC 2＝OF 2＋CF 2，∴OC ＝972.15．C16．6 解析：∵∠NOM ＝90°，PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，∴四边形ONPM 是矩形．∵点P 的坐标为(6，3)，∴PM ＝3，PN ＝6.∵A ，B 在反比例函数y ＝k x 上，∴S △NOB ＝S △OAM ＝k2.∵S四边形OAPB＝S 矩形OMPN －S △OAM －S △NBO ＝12，∴6×3－12k －12k ＝12，解得k ＝6.17．解：(1)∵正方形OABC 的顶点C 的坐标为(0，3)，∴OA ＝AB ＝BC ＝OC ＝3，∠OAB ＝∠B ＝∠BCO ＝90°.∵AD ＝2DB ，∴AD ＝23AB ＝2，∴D 点的坐标为(－3，2)．把D 点的坐标代入y ＝m x 得m ＝－6，∴反比例函数的解析式为y ＝－6x .∵AM ＝2MO ，∴MO ＝13OA ＝1，∴M 点的坐标为(－1，0)．把M 点与D 点的坐标代入y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，－3k ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－1，则一次函数的解析式为y ＝－x －1. (2)把y ＝3代入y ＝－6x 得x ＝－2，∴N 点坐标为(－2，3)，∴NC ＝2.设P 点坐标为(x ，y )．∵△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，∴12(OM ＋NC )·OC ＝12OM ·|y |，即|y |＝9，解得y ＝±9.在y ＝－x －1中，当y ＝9时，x ＝－10；当y ＝－9时，x ＝8，则点P 的坐标为(－10，9)或(8，－9)．。
人教九年级下册数学-利用方位角、坡度解直角三角形教案与教学反思
28.2.2 应用举例第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；(重点)2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题．(难点)一、情境导入在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h )和水平长度(l )的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝h l.坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝h l＝tan α.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．我们这节课就解决这方面的问题．二、合作探究探究点一：利用方位角解直角三角形 【类型一】 利用方位角求垂直距离如图所示，A 、B 两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB )，经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，100km 为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)．解析：过点P作PC⊥AB，C是垂足．AC与BC都可以根据三角函数用PC表示出来．根据AB的长得到一个关于PC的方程，求出PC的长．从而可判断出这条高速公路会不会穿越保护区．解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝200，即33PC＋PC＝200，解得PC≈126.8km＞100km.答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．方法总结：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】利用方位角求水平距离“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C村村民欲修建一条水泥公路，将C村与区级公路相连．在公路A处测得C村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500m，在B处测得C村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短．画出符合条件的路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数)解析：作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，据题意有∠CAD＝30°，求得AD.在Rt△CBD中，据题意有∠CBD＝60°，求得BD.又由AD－BD＝500，从而解得CD.解：如图，过点C作CD⊥AB，垂落在AB的延长线上，CD即为所修公路，CD的长度即为公路长度．在Rt△ACD中，据题意有∠CAD＝30°，∵tan CAD＝CD AD ，∴AD＝CDtan30°＝3CD.在Rt△CBD中，据题意有∠CBD＝60°，∵tan∠CBD＝CDBD，∴BD＝CDtan60°＝r(3)3CD又∵AD－BD＝500，∴3CD－33CD＝500，解得CD≈433(m)．答：所修公路长度约为433m.方法总结：在解决有关方位角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方位角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．变式训练：见《练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题探究点二：利用坡角、坡度解直角三角形【类型一】利用坡角、坡度解决梯形问题如图，某水库大坝的横截面为梯形ABCD，坝顶宽BC＝3米，坝高为2米，背水坡AB的坡度i＝1∶1，迎水坡CD的坡角∠ADC为30°.求坝底AD的长度．解析：首先过B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，可得四边形BEFC是矩形，又由背水坡AB的坡度i＝1∶1，迎水坡CD的坡角∠ADC为30°，根据坡度的定义，即可求解．解：分别过B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，垂足为E、F，可得BE∥CF，又∵BC ∥AD，∴BC＝EF，BE＝CF.由题意，得EF＝BC＝3，BE＝CE＝2.∵背水坡AB的坡度i＝1∶1，∴∠BAE＝45°，∴AE＝BEtan45°＝2，DF＝CFtan30°＝23，∴AD＝AE＋EF＋DF＝2＋3＋23＝5＋23(m)．答：坝底AD的长度为(5＋23)m.方法总结：解决此类问题一般要构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】利用坡角、坡度解决三角形问题如图，某地下车库的入口处有斜坡AB，它的坡度为i＝1∶2，斜坡AB 的长为65m，斜坡的高度为AH(AH⊥BC)，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14°(图中的∠ACB＝14°)．(1)求车库的高度AH；(2)求点B与点C之间的距离(结果精确到1m，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25)．解析：(1)利用坡度为i＝1∶2，得出AH∶BH＝1∶2，进而利用勾股定理求出AH的长；(2)利用tan14°＝6BC＋12，求出BC的长即可．解：(1)由题意可得AH∶BH＝1∶2，设AH＝x，则BH＝2x，故x2＋(2x)2＝(65)2，解得x＝6，故车库的高度AH为6m；(2)∵AH＝6m，∴BH＝2AH＝12m，∴CH＝BC＋BH＝BC＋12m.在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，故tan∠ACB＝AHCH，又∵∠ACB＝14°，∴tan14°＝6BC＋12，即0.25＝6BC＋12，解得BC＝12m.答：点B与点C之间的距离是12m.方法总结：本题考查了解直角三角形的应用中坡度、坡角问题，明确坡度等于坡角的正切值是解题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计1．方位角的意义；2．坡度、坡比的意义；3．应用方位角、坡度、坡比解决实际问题．将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合他们的图形．这一方面在教学过程应由学生展开，并留给学生思考的时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积极主动地学习.【素材积累】1、不求与人相比，但求超越自己，要哭旧哭出激动的泪水，要笑旧笑出成长的性格。
九年级数学下册28.2.2解直角三角形的简单应用第3课时利用方位角坡度角解直角三角形新人教版8
28.2.2 解直角三角形的简单应用第 3 课时利用方向角、坡度角解直角三角形知识点 1: 利用方向角解直角三角形1．如图，某人从 O点沿北偏东 30°的方向走了 20 米抵达 A 点， B 在 O点的正东方，且在 A 的正南方，则此时 AB 间的距离是 ________米． ( 结果保存根号 )2． ( 百色中考 ) 有一轮船在 A 处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至 B 处，测得小岛 P 在南偏东45°方向上，按原方向再航行10 海里到 C处，测得小岛P 在正东方向上，则A、 B 之间的距离是()A． 10 3海里 B ． (102－ 10) 海里C． 10 海里D ． (103－ 10) 海里3．( 昭通中考 ) 小亮一家在一湖泊中游乐，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛P 处观看小亮与爸爸在湖中划船( 如下图 ) ．小船从P 处出发，沿北偏东60°方向划行200 米到 A 处，接着向正南方向划行一段时间到 B 处．在 B 处小亮观察到妈妈所在的P 处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米( 精准到 1 米)?( 参照数据： sin37 °≈ 0.60 ，cos37 °≈ 0.80 ，tan37 °≈ 0.75 ，2≈ 1.41 ， 3 ≈1.73)知识点 2: 利用坡度 ( 角 ) 解直角三角形4． ( 聊城中考 ) 河堤横断面如下图，堤高BC＝ 6 米，迎水坡AB 的坡比为 1∶3，则AB的长为 ()A．12 米B．4 3米C．5 3米D．6 3米5．如图，在坡度为 1∶2的山坡上种树，要求株距 ( 相邻两树间的水平距离 ) 是 6 米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 ________米．6． ( 昆明中考 ) 如图，为了缓解交通拥挤，方便行人，在某街道计划修筑一座横断面为梯形 ABCD的过街天桥，若天桥斜坡 AB的坡角∠ BAD 为 35°，斜坡 CD的坡度为 i ＝1∶1.2( 垂直高度CE与水平宽度DE的比) ，上底BC＝10 m，天桥高度CE＝5 m，求天桥下底AD的长度．( 结果精准到 0.1 m ，参照数据： sin35 °≈ 0.57 ， cos35 °≈ 0.82 ， tan35 °≈ 0.70)中档题7． ( 铜仁中考 ) 如图，一艘轮船航行到 B 处时，测得小岛 A 在船的北偏东60°的方向，轮船从 B 处持续向正东方向航行200 海里抵达 C 处时，测得小岛 A 在船的北偏东30°的方向．已知在小岛四周170 海里内有暗礁，若轮船不改变航向持续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？ (3≈ 1.732)8． ( 遵义中考 ) 如图，一楼房AB 后有一假山，其坡度为i ＝1∶3，山坡坡面上 E 点处有一歇息亭，测得假山坡脚 C 与楼房水平距离BC＝ 25 米，与亭子距离CE＝ 20 米，小丽从楼房顶测得 E 点的俯角为45°，求楼房AB 的高． ( 注：坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比 )综合题9． ( 南充中考 ) 马航 MH370失联后，我国政府踊跃参加搜救．某日，我国两艘专业救援船 A、B 同时收到相关可疑飘荡物的讯息，如图，可疑飘荡物P 在救援船 A 的北偏东53.5 °方向上，在救援船 B 的西北方向上，船 B 在船 A 正东方向 140 海里处． ( 参照数据： sin36.5 °≈0.6 ， cos36.5 °≈ 0.8 ， tan36.5 °≈ 0.75)(1) 求可疑飘荡物P 到 A、B 两船所在直线的距离；(2)若救援船 A、救援船 B 分别以 40 海里 / 时，30 海里 / 时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试经过计算判断哪艘船先抵达P 处．参照答案1．1032.D3. 过 P作 PC⊥AB 于 C，在 Rt△ APC中， AP ＝ 200 m ，∠ ACP ＝ 90 °，∠ PAC ＝ 60 °.∴ PC＝ 200× sin60 °＝ 200 ×3＝ 1003(m) ．2PC PC100×1.73∵在 Rt△ PBC中， sin37 °＝PB，∴ PB＝sin37°＝0.6≈288(m) ．答：小亮与妈妈相距约288 米．4.A5.356. 过 B 点作 BF⊥AD于点 F.∵四边形 BFEC是矩形，∴ BF＝ CE＝ 5 m， EF＝ BC＝ 10 m．BF∵在 Rt△ ABF 中，∠ BAF＝ 35°， t an∠BAF＝AF，BF5∴ AF＝tan35°≈0.70≈7.14(m) ．∵斜坡 CD的坡度为 i ＝1∶1.2 ，∴CE1， ED＝ 1.2CE＝1.2 ×5＝ 6(m) ．＝ED 1.2∴AD＝ AF＋ FE＋ED＝ 7.14 ＋ 10＋ 6＝23.14 ≈ 23.1(m) ．答：天桥下底AD的长度为 23.1 m ．7.该轮船不改变航向持续前行，没有触礁危险．原因如下：由题意，得∠ ABD＝30°，∠ ACD＝ 60° .∴∠ CAB＝∠ ABD，∴ BC＝AC＝ 200 海里．在 Rt△ ACD中，设 CD＝ x 海里，则 AC＝ 2x ， AD ＝2222＝ 3x. AC－ CD＝（ 2x）－x22（ 222在 Rt△ ABD中， AB＝ 2AD＝ 2 3x ， BD＝ AB－AD＝3x）－（3x）＝ 3x.又∵ BD＝ BC＋ CD，∴ 3x＝200＋ x，解得 x＝100.∴AD＝ 3x＝ 1003≈ 173.2 ，∵ 173.2 海里＞ 170 海里，∴轮船不改变航向持续向前行驶，轮船无触礁的危险．8.过点 E 作 EF⊥BC的延伸线于 F，EH⊥ AB于点 H ，在 Rt△ CEF中，∵ i ＝EF1＝＝ tan ∠ ECF，∴∠ ECF＝ 30° .∴EF＝1CE＝ 10 米， CF＝ 10 3米． 2∴BH＝ EF＝ 10 米， HE＝ BF＝ BC＋ CF＝ (25 ＋103) 米．在 Rt△ AHE中，∵∠ HAE＝ 45°，∴AH＝HE＝ (25 ＋ 10 3) 米．∴AB＝ AH＋ HB＝(35 ＋ 103) 米．答：楼房 AB 的高为 (35 ＋10 3) 米．9.(1) 过点 P 作 PH⊥AB 于点 H，依据题意，得∠ PAH＝ 90°－ 5 3.5 °＝ 36.5 °，∠ PBH＝ 45°， AB＝ 140 海里．设 PH＝ x 海里，在 Rt △ PHB中， tan45 °＝x，BHx x4∴ BH＝x. 在 Rt△ PHA中， tan36.5 °＝，∴ AH＝＝ x.AH tan36.534又∵ AB＝ 140，∴3x＋ x＝ 140，解得 x＝ 60，即 PH＝ 60.答：可疑飘荡物 P 到 A、B 两船所在直线的距离为60 海里．422(2) 在 Rt △ PHA中， AH＝3× 60＝ 80， PA＝60＋ 80 ＝10 0.救援船 A 抵达 P 处的时间 t A＝100÷40＝ 2.5( 小时 ) ；在 Rt△ PHB中， PB＝ 602＋ 602＝ 60 2，救援船 B 抵达 P 处的时间 t B＝ 60 2÷ 30＝ 22( 小时 ) ．∵2.5 ＜ 2 2，∴救援船 A 先抵达 P 处．。
部审人教版九年级数学下册说课稿28.2.2第3课时《利用方位角、坡度解直角三角形》
部审人教版九年级数学下册说课稿28.2.2 第3课时《利用方位角、坡度解直角三角形》一. 教材分析人教版九年级数学下册第28.2.2节《利用方位角、坡度解直角三角形》是一节实践性较强的课程。
在本节课中，学生将学习如何利用方位角和坡度来解决实际问题，进一步理解和掌握直角三角形的性质。
教材通过引入实际问题，引导学生运用所学的数学知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了直角三角形的性质，对三角函数有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题与数学知识相结合。
因此，在教学过程中，我将以学生已有的知识为基础，引导学生将实际问题转化为数学问题，培养学生解决实际问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能理解方位角、坡度的概念，掌握利用方位角、坡度解决直角三角形问题的方法。
2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生将实际问题转化为数学问题，运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：方位角、坡度的概念及应用。
2.教学难点：如何将实际问题转化为数学问题，运用方位角、坡度解决直角三角形问题。
五. 说教学方法与手段本节课采用情境教学法、问题驱动法和小组合作学习法。
利用多媒体课件展示实际问题，引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
在解决问题的过程中，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的合作意识。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一个房屋建筑平面图，引导学生观察并思考如何利用数学知识解决实际问题。
2.讲解方位角、坡度概念：结合实例，讲解方位角、坡度的定义及计算方法。
3.解决问题：以房屋建筑平面图为例，引导学生运用方位角、坡度解决实际问题。
4.巩固练习：设计一些有关方位角、坡度的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5.拓展延伸：引导学生思考如何将方位角、坡度应用到其他领域，如航海、航空等。
人教版九年级下册数学 第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形导学案
28.2.2 应用举例第3课时利用方位角、坡度解直角三角形【学习目标】⑴使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角⑵逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．⑶巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．【学习重点】用三角函数有关知识解决方位角问题【学习难点】学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型【导学过程】一、自学提纲：坡度与坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。
即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？这一关系在实际问题中经常用到。
二、教师点拨：例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？例6同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)四、学生展示：完成课本77页练习补充练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；______，坡角 ______度．2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．五、课堂小结：六、作业设置：课本第78页习题28．2复习巩固第5、7题七、自我反思：本节课我的收获:。
【人教版】2019年春九年级数学下册：第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形
28.2.2 应用举例第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；(重点)2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题．(难点)一、情境导入在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h )和水平长度(l )的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝h l .坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝h l＝tan α.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．我们这节课就解决这方面的问题．二、合作探究探究点一：利用方位角解直角三角形【类型一】 利用方位角求垂直距离如图所示，A 、B 两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB )，经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，100km 为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)．解析：过点P 作PC ⊥AB ，C 是垂足．AC 与BC 都可以根据三角函数用PC 表示出来．根据AB 的长得到一个关于PC 的方程，求出PC 的长．从而可判断出这条高速公路会不会穿越保护区．解：过点P 作PC ⊥AB ，C 是垂足．则∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°，AC ＝PC ·tan30°，BC ＝PC ·tan45°.∵AC ＋BC ＝AB ，∴PC ·tan30°＋PC ·tan45°＝200，即33PC ＋PC ＝200，解得PC ≈126.8km ＞100km.答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．方法总结：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第1题【类型二】 利用方位角求水平距离“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C 村村民欲修建一条水泥公路，将C 村与区级公路相连．在公路A 处测得C 村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500m ，在B 处测得C 村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短．画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数)解析：作CD ⊥AB 于D ，在Rt △ACD 中，据题意有∠CAD ＝30°，求得AD .在Rt △CBD 中，据题意有∠CBD ＝60°，求得BD .又由AD －BD ＝500，从而解得CD .解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足落在AB 的延长线上，CD 即为所修公路，CD 的长度即为公路长度．在Rt △ACD 中，据题意有∠CAD ＝30°，∵tan ∠CAD ＝CD AD ，∴AD ＝CD tan30°＝3CD .在Rt △CBD 中，据题意有∠CBD ＝60°，∵tan ∠CBD ＝CD BD ，∴BD ＝CD tan60°＝33CD .又∵AD －BD ＝500，∴3CD －33CD ＝500，解得CD ≈433(m)．答：所修公路长度约为433m.方法总结：在解决有关方位角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方位角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题探究点二：利用坡角、坡度解直角三角形【类型一】 利用坡角、坡度解决梯形问题如图，某水库大坝的横截面为梯形ABCD ，坝顶宽BC ＝3米，坝高为2米，背水坡AB 的坡度i ＝1∶1，迎水坡CD 的坡角∠ADC 为30°.求坝底AD 的长度．解析：首先过B 、C 作BE ⊥AD 、CF ⊥AD ，可得四边形BEFC 是矩形，又由背水坡AB 的坡度i ＝1∶1，迎水坡CD 的坡角∠ADC 为30°，根据坡度的定义，即可求解．解：分别过B 、C 作BE ⊥AD 、CF ⊥AD ，垂足为E 、F ，可得BE ∥CF ，又∵BC ∥AD ，∴BC ＝EF ，BE ＝CF .由题意，得EF ＝BC ＝3，BE ＝CE ＝2.∵背水坡AB 的坡度i ＝1∶1，∴∠BAE ＝45°，∴AE ＝BE tan45°＝2，DF ＝CF tan30°＝23，∴AD ＝AE ＋EF ＋DF ＝2＋3＋23＝5＋23(m)． 答：坝底AD 的长度为(5＋23)m.方法总结：解决此类问题一般要构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】 利用坡角、坡度解决三角形问题如图，某地下车库的入口处有斜坡AB ，它的坡度为i ＝1∶2，斜坡AB 的长为65m ，斜坡的高度为AH (AH ⊥BC )，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14°(图中的∠ACB ＝14°)．(1)求车库的高度AH ；(2)求点B 与点C 之间的距离(结果精确到1m ，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25)．解析：(1)利用坡度为i ＝1∶2，得出AH ∶BH ＝1∶2，进而利用勾股定理求出AH 的长；(2)利用tan14°＝6BC ＋12，求出BC 的长即可． 解：(1)由题意可得AH ∶BH ＝1∶2，设AH ＝x ，则BH ＝2x ，故x 2＋(2x )2＝(65)2，解得x ＝6，故车库的高度AH 为6m ；(2)∵AH ＝6m ，∴BH ＝2AH ＝12m ，∴CH ＝BC ＋BH ＝BC ＋12m.在Rt △AHC 中，∠AHC ＝90°，故tan ∠ACB ＝AH CH ，又∵∠ACB ＝14°，∴tan14°＝6BC ＋12，即0.25＝6BC ＋12，解得BC ＝12m. 答：点B 与点C 之间的距离是12m.方法总结：本题考查了解直角三角形的应用中坡度、坡角问题，明确坡度等于坡角的正切值是解题的关键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计1．方位角的意义；2．坡度、坡比的意义；3．应用方位角、坡度、坡比解决实际问题．将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合他们的图形．这一方面在教学过程应由学生展开，并留给学生思考的时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积极主动地学习.。
九年级数学下册 28.2.2 第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形学案(无答案)(新版)新人教版
28.2.2 应用举例第3课时利用方位角、坡度解直角三角形【学习目标】⑴使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角⑵逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．⑶巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．【学习重点】用三角函数有关知识解决方位角问题【学习难点】学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型【导学过程】一、自学提纲：坡度与坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。
即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？这一关系在实际问题中经常用到。
二、教师点拨：例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？例6同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)四、学生展示：完成课本77页练习补充练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；______，坡角 ______度．2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．五、课堂小结：六、作业设置：课本第78页习题28．2复习巩固第5、7题七、自我反思：本节课我的收获:。
【人教版】2019春九年级数学下册教案28.2.2 第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形
28.2.2第 3 课时应用举例利用方位角、坡度解直角三角形1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；(重点) 2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题．(难点)一、情境导入 在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h)和水平 h 长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作 i，即 i＝ . lh 坡度通常写成 1∶m 的形式，如 i＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α，有 i＝ ＝tanα .显然，坡 l 度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡．我们这节课就解决这方面的问题． 二、合作探究 探究点一：利用方位角解直角三角形 【类型一】 利用方位角求垂直距离 如图所示，A、B 两城市相距 200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段 AB)，经测量， 森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30°和 B 城市的北偏西 45°的方向上．已知森林保护区的范围在以 P 点 为圆心， 100km 为半径的圆形区域内， 请问： 计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据： 3≈1.732， 2≈1.414)．解析：过点 P 作 PC⊥AB，C 是垂足．AC 与 BC 都可以根据三角函数用 PC 表示出来．根据 AB 的长得到 一个关于 PC 的方程，求出 PC 的长．从而可判断出这条高速公路会不会穿越保护区．解：过点 P 作 PC⊥AB，C 是垂足．则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC· tan30°，BC＝PC· tan45°. ∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC· tan45°＝200，即 答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区． 方法总结：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 3 PC＋PC＝200，解得 PC≈126.8km＞100km. 3变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第 1 题 【类型二】 利用方位角求水平距离 “村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C 村村民欲修建 一条水泥公路，将 C 村与区级公路相连．在公路 A 处测得 C 村在北偏东 60°方向，沿区级公路前进 500m， 在 B 处测得 C 村在北偏东 30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短．画出符合条件的公路示意图，并 求出公路长度．(结果保留整数)解析： 作 CD⊥AB 于 D， 在 Rt△ACD 中， 据题意有∠CAD＝30°， 求得 AD.在 Rt△CBD 中， 据题意有∠CBD ＝60°，求得 BD.又由 AD－BD＝500，从而解得 CD.解： 如图， 过点 C 作 CD⊥AB， 垂足落在 AB 的延长线上， CD 即为所修公路， CD 的长度即为公路长度． 在 Rt△ACD 中，据题意有∠CAD＝30°，∵tan∠CAD＝ ∠CBD＝60°，∵tan∠CBD＝ CD CD ，∴AD＝ ＝ 3CD.在 Rt△CBD 中，据题意有 AD tan30°CD CD 3 3 ，∴BD＝ ＝ CD.又∵AD－BD＝500，∴ 3CD－ CD＝500，解 BD 3 tan60° 3得 CD≈433(m)． 答：所修公路长度约为 433m. 方法总结：在解决有关方位角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方位 角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 4 题 探究点二：利用坡角、坡度解直角三角形 【类型一】 利用坡角、坡度解决梯形问题 如图， 某水库大坝的横截面为梯形 ABCD， 坝顶宽 BC＝3 米， 坝高为 2 米， 背水坡 AB 的坡度 i＝1∶1， 迎水坡 CD 的坡角∠ADC 为 30°.求坝底 AD 的长度．解析：首先过 B、C 作 BE⊥AD、CF⊥AD，可得四边形 BEFC 是矩形，又由背水坡 AB 的坡度 i＝1∶1， 迎水坡 CD 的坡角∠ADC 为 30°，根据坡度的定义，即可求解．解：分别过 B、C 作 BE⊥AD、CF⊥AD，垂足为 E、F，可得 BE∥CF，又∵BC∥AD，∴BC＝EF，BE BE ＝CF.由题意，得 EF＝BC＝3，BE＝CE＝2.∵背水坡 AB 的坡度 i＝1∶1，∴∠BAE＝45°，∴AE＝ ＝ tan45°CF 2，DF＝ ＝2 3，∴AD＝AE＋EF＋DF＝2＋3＋2 3＝5＋2 3(m)． tan30° 答：坝底 AD 的长度为(5＋2 3)m. 方法总结：解决此类问题一般要构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 6 题 【类型二】 利用坡角、坡度解决三角形问题 如图，某地下车库的入口处有斜坡 AB，它的坡度为 i＝1∶2，斜坡 AB 的长为 6 5m，斜坡的高度 为 AH(AH⊥BC)，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为 14°(图中的∠ACB＝14°)． (1)求车库的高度 AH； (2)求点 B 与点 C 之间的距离(结果精确到 1m，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25)．解析：(1)利用坡度为 i＝1∶2，得出 AH∶BH＝1∶2，进而利用勾股定理求出 AH 的长；(2)利用 tan14° ＝ 6 ，求出 BC 的长即可． BC＋12解：(1)由题意可得 AH∶BH＝1∶2，设 AH＝x，则 BH＝2x，故 x2＋(2x)2＝(6 5)2，解得 x＝6，故车库的 高度 AH 为 6m； (2)∵AH＝6m，∴BH＝2AH＝12m，∴CH＝BC＋BH＝BC＋12m.在 Rt△AHC 中，∠AHC＝90°，故 tan AH 6 6 ∠ACB＝ ，又∵∠ACB＝14°，∴tan14°＝ ，即 0.25＝ ，解得 BC＝12m. CH BC＋12 BC＋12 答：点 B 与点 C 之间的距离是 12m. 方法总结：本题考查了解直角三角形的应用中坡度、坡角问题，明确坡度等于坡角的正切值是解题的关 键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 6 题 三、板书设计 1．方位角的意义； 2．坡度、坡比的意义； 3．应用方位角、坡度、坡比解决实际问题．将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通过对实物的观察或 根据文字语言中的某些条件，画出适合他们的图形．这一方面在教学过程应由学生展开，并留给学生思考的 时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积极主动地学习.。
人教版九年级数学下册全册配套学案设计第3课时利用方位角、坡度解直角三角形
28.2.2 应用举例第3课时利用方位角、坡度解直角三角形【学习目标】⑴使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角⑵逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．⑶巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．【学习重点】用三角函数有关知识解决方位角问题【学习难点】学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型【导学过程】一、自学提纲：坡度与坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。
即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？这一关系在实际问题中经常用到。
二、教师点拨：例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？例6同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)四、学生展示：完成课本77页练习补充练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；______，坡角 ______度．2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．五、课堂小结：六、作业设置：课本第78页习题28．2复习巩固第5、7题七、自我反思：本节课我的收获:。
新北师版初中数学九年级下册精品教案28.2.2 第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形
28.2.2 应用举例第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；(重点)2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题．(难点)一、情境导入在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h )和水平长度(l )的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝h l.坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝h l＝tan α.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．我们这节课就解决这方面的问题． 二、合作探究探究点一：利用方位角解直角三角形【类型一】 利用方位角求垂直距离如图所示，A 、B 两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB )，经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，100km 为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)．解析：过点P 作PC ⊥AB ，C 是垂足．AC 与BC 都可以根据三角函数用PC 表示出来．根据AB 的长得到一个关于PC 的方程，求出PC 的长．从而可判断出这条高速公路会不会穿越保护区．解：过点P 作PC ⊥AB ，C 是垂足．则∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°，AC ＝PC ·tan30°，BC ＝PC ·tan45°.∵AC ＋BC ＝AB ，∴PC ·tan30°＋PC ·tan45°＝200，即33PC ＋PC ＝200，解得PC ≈126.8km ＞100km.答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．方法总结：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第1题【类型二】 利用方位角求水平距离“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C 村村民欲修建一条水泥公路，将C 村与区级公路相连．在公路A 处测得C 村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500m ，在B 处测得C 村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短．画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数)解析：作CD ⊥AB 于D ，在Rt △ACD 中，据题意有∠CAD ＝30°，求得AD .在Rt △CBD 中，据题意有∠CBD ＝60°，求得BD .又由AD －BD ＝500，从而解得CD .解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足落在AB 的延长线上，CD 即为所修公路，CD 的长度即为公路长度．在Rt △ACD 中，据题意有∠CAD ＝30°，∵tan ∠CAD ＝CD AD ，∴AD ＝CD tan30°＝3CD .在Rt △CBD 中，据题意有∠CBD ＝60°，∵tan ∠CBD ＝CD BD ，∴BD ＝CD tan60°＝33CD .又∵AD －BD ＝500，∴3CD －33CD ＝500，解得CD ≈433(m)． 答：所修公路长度约为433m.方法总结：在解决有关方位角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方位角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题探究点二：利用坡角、坡度解直角三角形【类型一】 利用坡角、坡度解决梯形问题如图，某水库大坝的横截面为梯形ABCD ，坝顶宽BC ＝3米，坝高为2米，背水坡AB 的坡度i ＝1∶1，迎水坡CD 的坡角∠ADC 为30°.求坝底AD 的长度．解析：首先过B 、C 作BE ⊥AD 、CF ⊥AD ，可得四边形BEFC 是矩形，又由背水坡AB 的坡度i ＝1∶1，迎水坡CD 的坡角∠ADC 为30°，根据坡度的定义，即可求解．解：分别过B 、C 作BE ⊥AD 、CF ⊥AD ，垂足为E 、F ，可得BE ∥CF ，又∵BC ∥AD ，∴BC ＝EF ，BE ＝CF .由题意，得EF ＝BC ＝3，BE ＝CE ＝2.∵背水坡AB 的坡度i ＝1∶1，∴∠BAE ＝45°，∴AE ＝BE tan45°＝2，DF ＝CF tan30°＝23，∴AD ＝AE ＋EF ＋DF ＝2＋3＋23＝5＋23(m)．答：坝底AD 的长度为(5＋23)m.方法总结：解决此类问题一般要构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】 利用坡角、坡度解决三角形问题如图，某地下车库的入口处有斜坡AB ，它的坡度为i ＝1∶2，斜坡AB 的长为65m ，斜坡的高度为AH(AH⊥BC)，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14°(图中的∠ACB ＝14°)．(1)求车库的高度AH；(2)求点B与点C之间的距离(结果精确到1m，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25)．解析：(1)利用坡度为i＝1∶2，得出AH∶BH＝1∶2，进而利用勾股定理求出AH的长；(2)利用tan14°＝6BC＋12，求出BC的长即可．解：(1)由题意可得AH∶BH＝1∶2，设AH＝x，则BH＝2x，故x2＋(2x)2＝(65)2，解得x＝6，故车库的高度AH为6m；(2)∵AH＝6m，∴BH＝2AH＝12m，∴CH＝BC＋BH＝BC＋12m.在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，故tan∠ACB＝AHCH，又∵∠ACB＝14°，∴tan14°＝6BC＋12，即0.25＝6BC＋12，解得BC＝12m.答：点B与点C之间的距离是12m.方法总结：本题考查了解直角三角形的应用中坡度、坡角问题，明确坡度等于坡角的正切值是解题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计1．方位角的意义；2．坡度、坡比的意义；3．应用方位角、坡度、坡比解决实际问题．将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合他们的图形．这一方面在教学过程应由学生展开，并留给学生思考的时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积极主动地学习.。
人教版九年级下册数学 第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形导学案
28.2.2 应用举例第3课时利用方位角、坡度解直角三角形【学习目标】⑴使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角⑵逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．⑶巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．【学习重点】用三角函数有关知识解决方位角问题【学习难点】学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型【导学过程】一、自学提纲：坡度与坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。
即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？这一关系在实际问题中经常用到。
二、教师点拨：例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？例6同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)四、学生展示：完成课本77页练习补充练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；______，坡角 ______度．2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．五、课堂小结：六、作业设置：课本第78页习题28．2复习巩固第5、7题七、自我反思：本节课我的收获:。
九年级数学下册解直角三角形的简单应用第3课时利用方位角坡度角解直角三角形导学案
28.2.2解直角三角形的简单应用第3课时利用方位角、坡度角解直角三角形一、学习目标：1．能运用解直角三角形解决方位角问题2．能运用解直角三角形解决坡度问题二、学习重难点：重点：方位角、坡度．难点：直角三角形解决方位角、坡度问题探究案三、教学过程课堂导入直角三角形中诸元素之间的关系：（1）三边之间的关系：________________；（2）锐角之间的关系：______________；（3）边角之间的关系：________________________________________________________课堂探究知识点一：方位角问题方位角的定义：指北或指南方向线与目标方向线所成的__________的角叫做方位角.认识方位角(1)正东，正南，正西，正北是：(2)请用射线在图上画出西北、西南、东南、东北的方向，并表示出来：西北方向:_________西南方向:__________东南方向:__________东北方向:__________(3)请在下图中画出南偏西25°、北偏西70°、南偏东60°；例题解析例1如图，东西两炮台A,B相距2 000 m，同时发现入侵舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离分别是多少米.（精确到1 m，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.76，tan40°≈0.84）归纳总结试一试1.如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，现测得有一水塔（图中点A处）在她家北偏东60°方向500 m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB长是（）A. 250 mB. mC. mD. m2.如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A 在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80 m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为________．3.海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东6 °方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东 °方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？课堂探究知识点二：坡角问题如图是某一大坝的横断面：坡面AB的垂直高度与水平宽度AE的长度之比是α的什么三角函数？坡面AB与水平面的夹角叫做____________.记作α坡度的定义：坡面的垂直高度与水平宽度之比叫做坡度（或坡比），记作i .i=__________例题解析例2 ：为方便行人，打算修建一座高（即点B到路面的距离）为5 m的过街天桥（如图，路基高度忽略不计），已知天桥的斜坡AB的坡角为30°，斜坡CD的坡度i=1∶2，请计算两个斜坡的长度. （结果保留整数）试一试1.一个公共房门前的台阶高出地面1.2 m，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或结论错误的是（）A. 斜坡AB的坡角是10°B. 斜坡AB的坡度是tan10°C. AC=1.2tan10° mD. AB=m2.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了________米．(参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67)3.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AF=DE = 6 m.斜面坡度i= 1∶1.5是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度i = 1∶3是指DE与CE的比.根据图中数据，求：（1）坡角α和β的度数；（2）斜坡AB的长(结果保留小数点后一位).随堂检测1.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处. 这时，B处与灯塔P的距离BP 的长可以表示为（）A. 40海里B. 40tan37°海里C. 40cos37°海里D. 40sin37°海里2.在山坡上植树，要求两棵树间的水平距离是m，测得斜坡的倾斜角为α，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是（）A. B.C. m·tanαD. m·cosα3.如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是( )米/秒．A．20(＋1) B．20(-1)C．200 D．3004.某人沿坡度i=1∶2.4的山坡行走了260 m，此人在水平方向上前进了__________m.5.如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以12海里/h的速度向北偏东35°航行，乙船向南偏东55°航行. 2 h后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C,B两船相距40海里，问乙船的速度是每小时多少海里？6.如图，水库大坝的横截面是梯形，坝顶宽5 m，坝高20 m，斜坡AB的坡度为1∶2.5，斜坡CD的坡度为1∶2，求大坝的截面面积.我的收获___________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ _参考答案探究案课堂导入（1）a2+b2=c2 (勾股定理)（2）∠A+∠B=90°（3）课堂探究知识点一：方位角问题小于90°(1)射线OA、OB、OC、OD(2)射线OE射线OF 射线OG 射线OH （3）射线OA 射线OB 射线OC例题解析例1解：依题意，得∠ACB=40°,∵sin ∠ACB= ,tan ∠ACB=,AB=2 000 m, ∴AC ≈3 125（m ）,BC ≈2 381（m ）.∴敌舰与两炮台的距离分别是3 125 m 和2 381 m. 试一试 1.A2.3.解：由点A 作BD 的垂线,交BD 的延长线于点F ，垂足为F ，∠AFD =9 °. 由题意图示可知∠DAF = ° 设DF = x , AD =2x则在R △ADF 中，根据勾股定理AF ===在R △ABF 中，tan ,AFABF BF∠=3tan 30,12x =+ 解得x =6610.4.AF x ==≈因而10.4 > 8，所以没有触礁危险. 课堂探究知识点二：坡角问题 坡角tan BEAEa =h i l=例2解：∵BE ⊥AE ，CF ⊥DF ， 且∠BAE=30°，BE=CF=5 m ， ∴AB=2BE=10（m ）. 由i=1∶2，得CF ∶DF=1∶2，∴DF=2CF=10（m ）. ∴CD= ≈11（m ）.试一试1.C2.2803.解：(1)在Rt△ABF中，tan α＝≈0.666 7，所以α≈33°41′29″.在Rt△DCE中，tan β＝≈0.333 3，所以β≈18°26′.(2)因为AF＝6，，所以BF＝9.所以AB＝＋＝9＋6≈10.8(m)．答：斜坡AB的长约为10.8 m.随堂检测1、D2、B3、A4、2405、解：解：∵甲的速度是12海里/h，时间是2h，∴AC=24（海里）.∵∠EAC=35°，∠FAB=55°,∴∠CAB=90°.∵BC=40海里，∴AB=32（海里）.∵乙船也用了2 h，∴乙船的速度是16海里/h.6、解：依题意，得∵BE=20 m,∴AE=50（m）.依题意，得∵CF=BE=20 m,∴DF=40（m）.∵EF=BC=5 m,∴AD=AE+EF+DF=95（m）.∴大坝的截面面积为×（5+95）×20=1 000（m2）.。
初中数学九年级下册《利用方位角、坡度解直角三角形》导学案
28.2.2 应用举例第3课时利用方位角、坡度解直角三角形【学习目标】⑴使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角⑵逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．⑶巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．【学习重点】用三角函数有关知识解决方位角问题【学习难点】学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型【导学过程】一、自学提纲：坡度与坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。
即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？这一关系在实际问题中经常用到。
二、教师点拨：例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？例6同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)四、学生展示：完成课本77页练习补充练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；______，坡角 ______度．2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．五、课堂小结：六、作业设置：课本第78页习题28．2复习巩固第5、7题七、自我反思：本节课我的收获:数学选择题解题技巧1、排除法。
是根据题设和有关知识，排除明显不正确选项，那么剩下唯一的选项，自然就是正确的选项，如果不能立即得到正确的选项，至少可以缩小选择范围，提高解题的准确率。
2020年春人教版九年级数学下册教案28.2.2 第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形
28.2.2 应用举例第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；(重点)2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题．(难点)一、情境导入在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h )和水平长度(l )的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝h l .坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝h l＝tan α.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．我们这节课就解决这方面的问题． 二、合作探究探究点一：利用方位角解直角三角形【类型一】 利用方位角求垂直距离如图所示，A 、B 两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB )，经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，100km 为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)．解析：过点P 作PC ⊥AB ，C 是垂足．AC 与BC 都可以根据三角函数用PC 表示出来．根据AB 的长得到一个关于PC 的方程，求出PC 的长．从而可判断出这条高速公路会不会穿越保护区．解：过点P 作PC ⊥AB ，C 是垂足．则∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°，AC ＝PC ·tan30°，BC ＝PC ·tan45°.∵AC ＋BC ＝AB ，∴PC ·tan30°＋PC ·tan45°＝200，即33PC ＋PC ＝200，解得PC ≈126.8km ＞100km.答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．方法总结：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第1题【类型二】 利用方位角求水平距离“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C 村村民欲修建一条水泥公路，将C 村与区级公路相连．在公路A 处测得C 村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500m ，在B 处测得C 村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短．画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数)解析：作CD ⊥AB 于D ，在Rt △ACD 中，据题意有∠CAD ＝30°，求得AD .在Rt △CBD 中，据题意有∠CBD ＝60°，求得BD .又由AD －BD ＝500，从而解得CD .解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足落在AB 的延长线上，CD 即为所修公路，CD 的长度即为公路长度．在Rt △ACD 中，据题意有∠CAD ＝30°，∵tan ∠CAD ＝CD AD ，∴AD ＝CD tan30°＝3CD .在Rt △CBD 中，据题意有∠CBD ＝60°，∵tan ∠CBD ＝CD BD ，∴BD ＝CD tan60°＝33CD .又∵AD －BD ＝500，∴3CD －33CD ＝500，解得CD ≈433(m)． 答：所修公路长度约为433m.方法总结：在解决有关方位角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方位角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题探究点二：利用坡角、坡度解直角三角形【类型一】 利用坡角、坡度解决梯形问题如图，某水库大坝的横截面为梯形ABCD ，坝顶宽BC ＝3米，坝高为2米，背水坡AB 的坡度i ＝1∶1，迎水坡CD 的坡角∠ADC 为30°.求坝底AD 的长度．解析：首先过B 、C 作BE ⊥AD 、CF ⊥AD ，可得四边形BEFC 是矩形，又由背水坡AB 的坡度i ＝1∶1，迎水坡CD 的坡角∠ADC 为30°，根据坡度的定义，即可求解．解：分别过B 、C 作BE ⊥AD 、CF ⊥AD ，垂足为E 、F ，可得BE ∥CF ，又∵BC ∥AD ，∴BC ＝EF ，BE ＝CF .由题意，得EF ＝BC ＝3，BE ＝CE ＝2.∵背水坡AB 的坡度i ＝1∶1，∴∠BAE ＝45°，∴AE ＝BE tan45°＝2，DF ＝CF tan30°＝23，∴AD ＝AE ＋EF ＋DF ＝2＋3＋23＝5＋23(m)．答：坝底AD 的长度为(5＋23)m.方法总结：解决此类问题一般要构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】 利用坡角、坡度解决三角形问题如图，某地下车库的入口处有斜坡AB ，它的坡度为i ＝1∶2，斜坡AB 的长为65m ，斜坡的高度为AH (AH ⊥BC )，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14°(图中的∠ACB ＝14°)．(1)求车库的高度AH ；(2)求点B 与点C 之间的距离(结果精确到1m ，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25)．解析：(1)利用坡度为i ＝1∶2，得出AH ∶BH ＝1∶2，进而利用勾股定理求出AH 的长；(2)利用tan14°＝6BC ＋12，求出BC 的长即可． 解：(1)由题意可得AH ∶BH ＝1∶2，设AH ＝x ，则BH ＝2x ，故x 2＋(2x )2＝(65)2，解得x ＝6，故车库的高度AH 为6m ；(2)∵AH ＝6m ，∴BH ＝2AH ＝12m ，∴CH ＝BC ＋BH ＝BC ＋12m.在Rt △AHC 中，∠AHC ＝90°，故tan ∠ACB ＝AH CH ，又∵∠ACB ＝14°，∴tan14°＝6BC ＋12，即0.25＝6BC ＋12，解得BC＝12m.答：点B与点C之间的距离是12m.方法总结：本题考查了解直角三角形的应用中坡度、坡角问题，明确坡度等于坡角的正切值是解题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计1．方位角的意义；2．坡度、坡比的意义；3．应用方位角、坡度、坡比解决实际问题．将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合他们的图形．这一方面在教学过程应由学生展开，并留给学生思考的时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积极主动地学习.。
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28.2.2 应用举例
第3课时利用方位角、坡度解直角三角形
【学习目标】
⑴使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角
⑵逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
⑶巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．
【学习重点】
用三角函数有关知识解决方位角问题
【学习难点】
学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型
【导学过程】
一、自学提纲：
坡度与坡角
坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），
一般用i表示。
即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？
这一关系在实际问题中经常用到。
二、教师点拨：
例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，
距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段
时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？
例6同学
们，如果你
是修建三
峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)
四、学生展示：
完成课本77页练习
补充练习
(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；
______，
坡角 ______度．
2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：
①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
五、课堂小结：
六、作业设置：
课本第78页习题28．2复习巩固第5、7题
七、自我反思：
本节课我的收获:。