1.3.2 球的体积和表面积(导学案)
高中数学 1.3.2球的体积与表面积导学案新人教版必修2
1.3.2 球的体积与表面积【学习目标】1、掌握球的体积、表面积公式．2、能会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养学生应用数学的能力． 重、难点：球的体积、表面积公式及应用【课前导学】 阅读必修2课本P27～28的内容后回答下列问题：1、球的体积：半径为R 的球，其体积V =球___________________2、球的表面积：球面不可展开，半径为R 的球，其表面积S =球面________________ 3、球的截面及其性质：（1）用一个平面去截一个球，截面是圆面。
其中，球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大圆的半径等于球的半径，被不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆。
（2）球心与截面圆圆心的连线与截面的位置关系是 。
4、边长为a 正三角形的外接圆的半径为 。
【预习自测】1、将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的 倍。
2、已知某球的体积与表面积的数值相等，则此球的半径数值为_______________。
3、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是2cm ，则球的表面积为 ，体积为 。
【典例探究】例1、如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径：求证：(1)球的体积等于圆柱体积的23； (2)球的表面积等于圆柱的侧面积。
例2、设正方体的棱长为a ，球半径为R ：①若球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。
如图，截面图为正方形EFGH 的内切圆，则_________=R②若球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，则_________=R③若正方体的八个顶点都在球面上，如图，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，则_________=R例3、已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．【总结与提升】熟练掌握球的体积、表面积公式及其应用。
课件3：1.3.2 球的体积和表面积
4π5hπ2h2＝
25．
跟踪训练4 若两球的表面积之差为48π，它们的半径之和 为6，求两球的体积之差．
解 设两个球的半径分别为 R，r(R>r)，
则由题意得 4πR2－4πr2＝48π， R＋r＝6，
∴(R＋r)·(R－r)＝12， ∴R－r＝2， ∴R＝4，
R＋r＝6，
R＋r＝6， r＝2.
两球的体积之差43π×43－43π×23＝43π(43－23)＝2234π.
∴该圆锥的体积和此球体积的比值为4338ππrr33＝392.
答案：
9 32
跟踪训练2 在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、 PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积． 解 ∵PA、PB、PC 两两垂直，PA＝PB＝PC＝a， ∴以 PA、PB、PC 为相邻三条棱可以构造正方体． 又∵P、A、B、C 四点是球面上四点， ∴球是正方体的外接球，正方体的体对角线是球的直径．
(3)∵V 球＝43πR3＝5030π，∴R3＝125，R＝5， ∴S 球＝4πR2＝100π.
跟踪训练 1 如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的 表面积之比为________． 解析 根据球的体积及表面积公式可知，两个球的体积之比等 于半径之比的立方，表面积之比等于半径之比的平方． ∵两个球的体积之比为8∶27，∴两个球的半径之比为2∶3， ∴两个球的表面积之比为4∶9. 答案：4∶9
谢 谢！
将球取出后，设容器中水的深度为 h，则水面圆的半径为 33h， 水的体积恒定， 则容器内水的体积是 V′＝13π·( 33h)2·h＝19πh3. 由 V＝V′，得 h＝3 15r. 即这时容器中水的深度为3 15r.
跟踪训练 3 将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，
数学必修2导学案1.3.2球的体积和表面积
研卷知古今；藏书教子孙。
1.3.2球的体积和表面积一、学习目标:知识与技能:⑴通过对球的体积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法，知道祖暅原理。
⑵能运用球的公式灵活解决实际问题。
培养空间想象能力。
过程与方法:通过球的体积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式的方法，情感与价值观:通过学习，使我们对球的表面积、体积公式的推导方法有了一定的了解，提高空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。
二、学习重难点:学习重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
学习难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
三、使用说明及学法指导:1、限定45分钟完成，认真阅读教材内容，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。
3、小班完成A,B,C 全部内容；实验班完成B 级以上；平行班完成A~B.（其中A 、B 级问题自主完成；C 级问题可由合作探究方式完成）四、知识链接:什么是球？球的半径？球的直观图怎样画？球的半径，截面圆的半径，球心与截面圆心的距离间有何关系？五、学习过程:B 问题1：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？（阅读32页了解球的体积的推导即可，球的表面积的推导不要求了解）B 问题2：球的表面积的公式怎样？球的体积怎样？A 例1：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。
求证：（1）球的体积等于圆柱的体积的32；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积；A 例2：已知：钢球直径是5cm,求它的体积.B (变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)六、达标训练一、选择题A1一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（ ） A. 3π B. 4π C. 2π D. πB2．在一个侧置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ）A B C DB3正方体的全面积为a ,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（ ） A.3aπ; B.2aπ; C.a π2; D.a π3.B4已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于 （ ）（A）（B（C（D二、填空题A5、球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的倍.B6、一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为cm3.B7、长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是。
1.3.2 球的体积和表面积
A.72π
B.48π
C.30π
D.24π
2.某几何体的三视图如图所示,则其表面积为
.
【解题探究】1.典例1中的三视图表示什么几何体? 提示:典例1中几何体是半球与一个圆锥的组合体. 2.典例2中的几何体表示什么? 提示:该几何体为一个半球.
【解析】1.选C.由三视图可知该几何体是半个球体和一个倒立圆锥体 的组合体,球的半径为3,圆锥的底面半径为3、高为4,那么根据体积公 式可得组合体的体积为30π. 2.由三视图得该几何体为半径为1的半球,则表面积为半球面+底面圆, 代入数据计算为S= 1 ×4π×12+π×12=3π.
【变式训练】球的大圆面积扩大到原来的4倍,那么球的表面积扩大到 ( A.16倍 B.2倍 C.4倍 D. 4 倍
3
)
【解析】选C.球的大圆面积扩大到原来的4倍,则半径成为原来的2倍, 所以球的表面积也变为原来的4倍.
类型二
由三视图求球的体积与表面积
【典例】1.(2015·济宁高一检测)某几何体的三视图如图所示,它的 体积为 ( )
答案:12π
【补偿训练】一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的 体积为 m 3.
【解析】组合体的上面是一个长、宽、高分别为6,3,1的长方体,下面 是两个半径为
3 的相切的球体,所以所求的体积是:V=2V球+V长方体=2× 2
4 3 π × ( )3 +6×3×1=9π +18. 3 2
【方法技巧】求球的表面积与体积的一个关键和两个结论 (1)关键:把握住球的表面积公式S球=4π R2,球的体积公式V球=
4 π R3 3
是计算球的表面积和体积的关键,半径与球心是确定球的条件.把握住 公式,球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了. (2)两个结论:①两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方; ②两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方.
1.3.2 球的体积和表面积
[跟踪训练] 1．过球一条半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面面积为 48π cm2，则球的表面积为________cm2.
256π [易知截面为一圆面，如图所示，圆 O 是球的过已知半径的大圆， AB 是截面圆的直径，作 OC 垂直 AB 于点 C，连接 OA.由截面面积为 48π cm2， 可得 AC＝4 3 cm.设 OA＝R，则 OC＝12R，所以 R2－12R2＝(4 3)2，解得 R ＝8 cm.故球的表面积 S＝4πR2＝256π(cm2)．
由三视图求球的表面积与体积 例 2、一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形．在此容器内注 入水并且放入一个半径为 r 的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆 锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？ 思路探究：设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，由水面下 降后减少的体积来建立一个关系式来解决．
2．若球的过球心的圆面的周长是 C，则这个球的表面积是( )
A．4Cπ2
B．2Cπ2
C．Cπ2
D．2πC2
C [由 2πR＝C，得 R＝2Cπ，所以 S 球面＝4πR2＝Cπ2.]
3．若将气球的半径扩大到原来的 2 倍，则它的体积扩大到原来的( )
A．2 倍
B．4 倍
C．8 倍
D．16 倍
C [设气球原来的半径为 r，体积为 V，则 V＝43πr3.当气球的半径扩大到 原来的 2 倍后，其体积变为43π(2r)3＝8×43πr3.]
]
2．一平面截一球得到直径是 6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是 4
cm，则该球的体积是 ( )
A．1030π cm3
B．2038π cm3
C．5030π cm3
D．416313π cm3
人教A版高二数学必修二第一章1.3.2 球的体积和表面积【教案】
《1.3.2球的体积和表面积》教学设计教材：人民教育出版社A 版普通高中课程标准实验教科书《数学必修2》一、 教学目标知识目标：1、掌握球的体积公式343V R π=、表面积公式24S R π=. 2、会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用数学的能力． 3、能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题． 能力目标：通过类比、归纳、猜想等合情推理培养学生勇于探索的精神. 提高学生分析、综合、抽象概括等逻辑推理能力情感目标：通过寻求如何研究球的内切与外接的方法，培养学生将数学知识和生活实际相联系的意识，对学生进行“事物具有多面性”的辩证唯物主义思想教育. 二、 教学重点、难点重点：球的体积和表面积的计算公式的应用.难点：解决与球相关的“内接”与“外切”的几何体问题 三、教学方法采用试验探索，启发式的教学方法.教辅手段：圆柱、圆锥、半球容积比实物模型；一盆水；多媒体. 四、教学过程2 球的表面积：（以后讲）11221(3)i i V h S h S h S ≈⋅∆+⋅∆++⋅∆+L L又∵i h R ≈，且S =12i S S S ∆+∆+++∆LL∴可得13V R S ≈⋅， 又∵343V R π=，∴13R S ⋅343R π=，∴24S R π=即为球的表面积公式 小结：球的体积公式343V R π=、表面积公式24S R π=都是以R 为 自变量的函数。
教师讲解，学生感悟分割、近似、极限等思想渗透微积分思想.应 用练习1：如果球的体积是36πcm 3,那么它的半径是 .3练习2： 若两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为（ C ）（A ）8：27 （B ）2：3 （C ）4：9 （D ）2：9例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径,，求证： （1）球的体积等于圆柱体积的23（2）球的表面积等于圆柱的侧面积. 证明：（1）设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R.则有V 球=334R π，V 圆柱=πR 2·2R=2πR 3，所以V 球=圆柱V 32.教师引导学生共同完成让学生巩固加深所学内容并灵举例（2）因为S球=4πR2，S圆柱侧=2πR·2R=4πR2，所以S球=S圆柱侧.变式1：把上一题的圆柱改为正方体，且正方体的棱长为a, 球的半径为多少？变式2：若把球吹大到内切于正方体的棱，且正方体的棱长为a,此时球的半径又为多少？变式3：若球接着吹大到刚好包围整个正方体即球各个顶点都在球面上，且正方体的棱长为a,此时球的半径又为多少？活运用.应用举例例2、如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm与2 cm，如图所示，俯视图是一个边长为4 cm的正方形.(1)求该几何体的全面积.(2)求该几何体的外接球的体积.解【审题指导】根据本题所给条件中的三视图，判断该几何体的形状与几何体中相关的数量关系，根据这些求该几何体的全面积及其外接球的体积.【规范解答】(1)由题意可知，该几何体是长方体，图1 图2图3RA 'C 'CAOA 'B 'C 'D 'D C BAO准备 课堂小结 1．通过做实验的方法，获得了球的体积公式和表面积公式. 2．掌握球的体积公式343V R π=、表面积公式24S R π= 3．熟练掌握球的内切、外接问题解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.学生小结,教师完善.学生小结,可以逐步提高学生自我获取知识的能力.教师完善，使知识更系统化.作业1、课本P29B12、《世纪金榜》 P16例23、《世纪金榜》P17 基础自主演练64、半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的边长为 6，求半球的表面积和体积。
球的表面积和体积
1.3.2《球的表面积和体积》导学案【使用说明及学法指导】1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；2．小组讨论，合作探究。
【学习目标】1．能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题；2．培养学生的空间思维能力和空间想象能力；3．自主自发，极度热情，全力以赴。
【重点】球的表面积和体积公式的应用。
【难点】关于球的组合体的计算。
一、自主学习（一）复习回顾1．柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式？2．球的截面的性质？（二）导学提纲看课本第27页－28页，解决下列问题：1．球的表面积公式：____________________．2．球的体积公式：_________________．思路点拨：关于球的组合体的计算，常过切（接）点作二者的公共轴截面图，将立体图形转化为平面图形研究。
此外，球的组合体问题还常用分割与补形的思想。
二、基础过关例1．（1）（05全国1）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（ ）（A ）π28 （B ）π8 （C ）π24 （D ）π4（2）（05湖北文）木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的（ ）A ．60倍B ．6030倍C ．120倍D ．12030倍例2．有3个球，一个切正方体各面，一个切正方体各棱，一个过正方体各顶点，分别求着3个球的表面积之比和体积之比。
方法、规律总结：例3．若从球O 的表面上一点P 出发的三条两两互相垂直的弦PC PB PA ,,，其长度分别为c b a ,,，求证：球的半径22221c b a R ++=方法、规律总结：例4．已知正四面体ABCD （1）求该正四面体的外接球的表面积；（2）求该正四面体的内切球的体积。
方法、规律总结：例5．有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？方法、规律总结：三、拓展探究例6．半径均为R，且两两相切的4个球，分上、下两层放在水平桌面上，下面放3个，上面放1个，求上面一个球的球心到桌面的距离。
球的体积和表面积导学案
§1.3.2《球的体积和表面积》导学案学习目标：1 熟记球的体积公式和表面积公式；2．会用球的体积公式343V R π=和表面积公式24S R π=解决有关问题 3．体会其中蕴涵的数学思想，培养空间想象能力；学习过程 一 自学导引：（一）复习旧知1．圆柱的体积公式是怎样的，椎体呢？2．用一个平面截球，截面是圆，该截面圆的半径如何求？（二）教材助读1 球的表面积公式是 S =__________2 球的体积公式是 V =____________3 求一个球的体积或表面积只需哪个量？4 课本例4中的球的半径和圆柱底面的半径、高有什么关系？5 一个球的半径扩大为原来的2倍，则其体积将扩大为原来的几倍？（三）预习检测：1. 将一钢球放入底面半径为cm 3的圆柱形玻璃容器中，水面升高cm 4，则钢球的半径是 .2.两个球的表面积之比是4:1，则其半径之比是_____,体积之比______我的疑惑?: 请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来,待课堂上与 老师和同学探究解决.二 课堂互动合学（一）基础知识再现：1、球的体积(1)球的体积公式是 ；(2)两球的体积之比与半径之比是什么关系？2、球的表面积（1）球的表面积公式是 ；（2）两球的表面积之比与半径之比是什么关系？3、在球的体积和表面积中，知其一必能求另一个吗？（二）典例分析题１.如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：(1)球的体积等于圆柱体积的32； (2)球的表面积等于圆柱的侧面积.''思考1：球的半径与圆柱的高、底面半径有什么关系？思考2：你能画出该组合体的轴截面吗？ 题2.体积为8的一个正方体，其全面积与球O 的表面积相等，求球O 的体积题3．一个边长为a 的正方体的顶点都在球的表面上，试求球的表面积．思考1：正方体和球是否是中心对称几何体，其中心分别是什么？思考2：正方体的体对角线与球的半径有何关系？（1） （2）拓展延伸：已知长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，试求它的外接球的表面积．三 知识网络构建请同学们对本节所学知识归纳总结后，填写下面的知识网络图1.球的⎩⎨⎧体积公式：表面积公式： 2. 球的内接正方体的体对角线与球的直径关系是______四 当堂检测1、若三个球的表面积之比为3:2:1，求这三个球的体积之比是： .2.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加 倍；3.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ；五、课堂小结：六、作业：。
1.3.2 球的表面积和体积
B
2. 球的表面积 半径是R的球的表面积是
2. 球的表面积 半径是R的球的表面积是
S＝4R
2
3. 球的体积
半径是R的球的体积是
3. 球的体积
半径是R的球的体积是
V 4 3 πR .
3
有一种空心钢球， 质量为142g，
测得外径等于5.0cm， 求它的内径 (钢的密度为7.9g/cm3, 精确到0.1cm)．
圆柱的底面直径与高都等于球
的直径.
(1) 求球的体积与圆柱体积之比；
(2) 证明球的表面积等于圆柱的
侧面积.
探究 若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝
a
⑵正方体的外接球直径＝
⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
课堂小结
1. 球的表面积公式； 2. 球的体积公式；
3. 球的表面积 与定点的距离等于或小于定长的点 的集合，叫做球体，简称球． 定点叫做球心， 定长叫做球的半径． 与定点距离等 于定长的点的集合 叫做球面． C A R O
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点 的集合，叫做球体，简称球． 定点叫做球心， 定长叫做球的半径． 与定点距离等 于定长的点的集合 叫做球面． C A R O
1.3.2 球的体积 和表面积
复习引入
讲授新课
1．球的概念
A R O C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点 的集合，叫做球体，简称球． A R O C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点 的集合，叫做球体，简称球． 定点叫做球心， 定长叫做球的半径． C A R O
1.3.2 球的体积和表面积
(2)由已知可得，该几何体是四分之三个球，其表面积是四
分之三个球的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面
积之和．因为 R＝1，所以 S＝34×4×π×12＋2×12×π×12＝4π. [答案] (1)D (2)4π
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求球的体积与表面积的方法
(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径 R 或者通过条件能 求出半径 R，然后代入体积或表面积公式求解．
[答案] A
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球的截面问题的解题技巧 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题 转化为平面中圆的问题． (2)解题时要注意借助球半径 R，截面圆半径 r，球心到 截面的距离 d 构成的直角三角形，即 R2＝d2＋r2.
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[活学活用] 一平面截一球得到直径为 2 5 cm 的圆面，球心到这个平面的
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[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个球的半径之比为 1∶3，则其表面积之比为 1∶9 ( √ )
(2)经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径
(√)
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2．将直径为 2 的半圆面绕直径所在的直线旋转半周而形成的
(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球 的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．
(3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或 体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视 图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其 表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．
数学必修2——1.3.2《球的体积与表面积》导学导练
高中数学必修2个人原创，版权所有，翻印必究，如需借用，QQ 索取密码 第1页 解密佛山吉红勇老师扣扣：一0七669八11高中数学必修二1.3.2《球的体积与表面积》导学导练【知识要点】1、球的体积（重点）2、球的表面积（重点）【范例析考点】考点一．球的体积公式的应用例1：若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加 倍； 【针对练习】1、三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍；2、正方体全面积是24，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 ．3、用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，求球的体积考点二．球的表面积公式的应用例2：表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积【针对练习】1、已知球的两平行截面的面积为5π和8π，他们位于球心同一侧，且相距为1，求这个球的表面积2、用相距为9cm 的两个平行截面去截一个球，所得的截面面积分别为49πcm 2和400πcm 2求球的表面积3、已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2AB BC CA ===，求球的表面积4、长方体一个顶点上三条棱长分别为3,4,5，且它的顶点都在同一个球面上，求这个球的表面积考点三．球的切、接问题例3：半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面，求球的表面积和体积个人原创，版权所有，翻印必究，如需借用，QQ 索取密码 第1页 解密佛山吉红勇老师扣扣：一0七669八11 第2页【针对练习】1、求体积为V 的正方体的外接球与内切球的表面积与体积2、棱长为a 的正方体内接于球，求球的表面积3、正方体的内切球与外接球的半径之比为多少？4、若一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积为多少？5、半球内有一内接正方体，求这个半球的表面积与正方体的表面积之比6、正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球的四个面都相切，求棱锥的全面积与球的表面积【课后练习】1、把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ；2、球O 1、O 2、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O 3的表面上，求三个球的表面积之比．3、三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的表面积是其余两球的表面积之和的多少倍？4、已知一个球的截面面积为9π，且此截面到球心的距离为4，求球的表面积5、球的大圆面积扩大为原来的4倍，求球的表面积和体积分别过大原来的多少倍？6、过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，求所得截面面积与球的表面积的比7、若两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π求这两个球的半径之差8、三个球的半径之比为1：2:3，求证：最大球的体积等于其他两球体积和的三倍9、将直径分别为3,4,5的三个锡球熔成一个大球，求这个大球的体积10、若果球的体积增大8倍，求半径增大了多少倍11、若一个球的体积为43π，求其表面积。
学案2：1.3.2 球的体积和表面积
1.3.2 球的体积和表面积学习目标1．了解并掌握球的体积和表面积公式．2．会用球的体积与表面积公式解决实际问题．(重点)3．会解决球的组合体及三视图中球的有关问题．(难点、易混点) 知识梳理教材整理 球的表面积与体积公式 1．球的体积设球的半径为R ，则球的体积V ＝ . 2．球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积S ＝ ，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍． 预习自测判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)球的体积之比等于半径比的平方．( ) (2)长方体既有外接球又有内切球．( ) (3)球面展开一定是平面的圆面．( ) (4)球的三视图都是圆．( ) 合作学习类型1 球的表面积和体积例1 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为5003π，求它的表面积．名师指导 1．一个关键抓住球的表面积公式S 球＝4πR 2，球的体积公式V 球＝43πR 3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了． 2．两个结论(1)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方； (2)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方． 跟踪训练1．(1)球的体积是32π3，则此球的表面积是( )A ．12πB ．16π C.16π3D.64π3(2)用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) A.32π3B. 8π3C. 82πD.82π3类型2 与球有关的组合体的表面积与体积例2 (1)如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.92π＋12 B.92π＋18 C.9π＋42D.36π＋18(2)一个几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是________cm 2.名师指导1．由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．2．计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠或交叉． 跟踪训练2．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为( )A．18πB．30πC．33πD．40π探究共研型探究点有关球的切、接问题探究1若球的半径为R，则球的内接正方体的棱长是多少？探究2正方体的外接球、内切球的半径与正方体的棱长分别有什么数量关系？例3一个高为16的圆锥外接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球．求：(1)圆锥的侧面积；(2)圆锥里内切球的体积．名师指导1．在处理与球有关的相接、相切问题时，一般要通过作一适当的截面，将立体问题转化为平面问题解决，而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等．2．几个常用结论(1)球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径； (2)球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径； (3)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径； (4)球与棱锥相切，则可利用V 棱锥＝13S 底h ＝13S 表R ，求球的半径R .跟踪训练3．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B. 73πa 2C.113πa 2D ．5πa 2课堂检测1．直径为6的球的表面积和体积分别是( ) A ．144π，144π B ．144π，36π C ．36π，144πD ．36π，36π2．设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A ．3πa 2 B ．6πa 2 C ．12πa 2D ．24πa 23．已知一个球的体积为43π，则此球的表面积为________．4．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．5．圆柱、圆锥的底面半径和球的半径都是r ，圆柱、圆锥的高都是2r ， (1)求圆柱、圆锥、球的体积之比； (2)求圆柱、圆锥、球的表面积之比．参考答案知识梳理教材整理 球的表面积与体积公式1．43πR 3 2．4πR 2 4 预习自测【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√【解析】 (1)错误．球的体积之比等于半径比的立方． (2)错误．长方体只有外接球，没有内切球． (3)错误．球的表面不能展开成平面图形，故错误． (4)正确．球的三视图都是圆． 合作学习类型1 球的表面积和体积例1 【解析】 借助公式，求出球的半径，再根据表面积与体积公式求解． 解：(1)设球的半径为r ，则由已知得 4πr 2＝64π，r ＝4.所以球的体积：V ＝43×π×r 3＝2563π.(2)设球的半径为R ，由已知得43πR 3＝5003π，所以R ＝5，所以球的表面积为：S ＝4πR 2＝4π×52＝100π. 跟踪训练1．【答案】 (1)B (2)D【解析】 (1)设球的半径为R ，则由已知得V ＝43πR 3＝32π3，R ＝2.∴球的表面积S ＝4πR 2＝16π.(2)设截面圆的半径为r ，则πr 2＝π，故r ＝1，由勾股定理求得球的半径为1＋1＝2， 所以球的体积为43π(2)3＝82π3.类型2 与球有关的组合体的表面积与体积 例2 【答案】 (1)B (2)4π＋12【解析】 先根据三视图还原组合体，再利用有关数据计算．(1)由三视图可得这个几何体是由上面一个直径为3的球，下面一个底面为正方形且边长为3，高为2的长方体所构成的几何体，则其体积为： V ＝V 1＋V 2＝43×π×⎝⎛⎭⎫323＋3×3×2＝92π＋18. (2)由三视图知该几何体为一个四棱柱，一个半圆柱和一个半球的组合体，其中四棱柱上表面与半球重合部分之外的面积为1×2－12×π×12＝2－π2，四棱柱中不重合的表面积为2－π2＋1×2×2＋2×2＋1×2＝12－π2，半圆柱中不重合的表面积为12×2π×2＋12π＝52π，半球的表面积为12×4π＝2π，所以该几何体的表面积为4π＋12. 跟踪训练 2．【答案】 C【解析】 由三视图知该几何体由圆锥和半球组成．球半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母线长等于5，所以该几何体的表面积S ＝2π×32＋π×3×5＝33π.探究共研型探究点 有关球的切、接问题探究1 【答案】 设正方体的棱长为a ，由于正方体的体对角线长等于球的直径，所以3a ＝2R ，故a ＝233R ，即球的内接正方体的棱长为233R .探究2 【答案】 设正方体的棱长为a ，外接球、内切球的半径分别为R 、r ，则2R ＝3a,2r ＝a .例3 【解析】 有关球的切、接问题，作出轴截面求解．解：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰△SAB 内接于⊙O ，而⊙O 1内切于△SAB .设⊙O 的半径为R ，则有43πR 3＝972π，∴R 3＝729，R ＝9. ∴SE ＝2R ＝18. ∵SD ＝16，∴ED ＝2. 连接AE ，又∵SE 是直径， ∴SA ⊥AE ，SA 2＝SD ·SE ＝16×18＝288， ∴SA ＝12 2. ∵AB ⊥SD ，∴AD 2＝SD ·DE ＝16×2＝32， ∴AD ＝4 2.∴S 圆锥侧＝π×42×122＝96π.(2)设内切球O 1的半径为r ，∵△SAB 的周长为2×(122＋42)＝322， ∴12r ×322＝12×82×16.∴r ＝4. ∴内切球O 1的体积V 球＝43πr 3＝2563π.跟踪训练 3．【答案】B【解析】由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a ，如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径R ＝OA 满足R 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝712a 2，故S 球＝4πR 2＝73πa 2.]课堂检测 1．【答案】 D【解析】 R ＝3，S ＝4πR 2＝36π，V ＝43πR 3＝36π.2．【答案】 B【解析】 设该球的半径为R ， ∴(2R )2＝(2a )2＋a 2＋a 2＝6a 2， 即4R 2＝6a 2.∴球的表面积为S ＝4πR 2＝6πa 2. 3．【答案】 4π【解析】 设球的半径为R ，则V ＝43πR 3＝43π，∴R ＝1，∴球的表面积S ＝4π. 4．【答案】 3π【解析】 由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即12×4π＋π＝3π.5． 解：(1)V 圆柱＝πr 2·2r ＝2πr 3， V 圆锥＝13·πr 2·2r ＝23πr 3，V 球＝43πr 3，所以V 圆柱∶V 圆锥∶V 球＝3∶1∶2. (2)S 圆柱＝2πr ·2r ＋2πr 2＝6πr 2， S 圆锥＝πr ·4r 2＋r 2＋πr 2＝(5＋1)πr 2， S 球＝4πr 2，所以S 圆柱∶S 圆锥∶S 球＝6∶(5＋1)∶4.。
课时作业2：1.3.2 球的体积和表面积
1.3.2 球的体积和表面积一、基础达标1．(2014·临沂高一检测)设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( ) A.43π B.8π3 C ．43π D ．323π答案 C解析 由题意可知，6a 2＝24，∴a ＝2. 设正方体外接球的半径为R ，则3a ＝2R ，∴R ＝3，∴V 球＝43πR 3＝43π.2．(2014·义乌高一检测)一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为( )A ．8B ．8 2C ．8 3D ．4 2答案 A解析 ∵球的半径为1，且正方体内接于球，∴球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为2.不妨设正方体的棱长为a ，则有3a 2＝4，即a 2＝43. ∴正方体的表面积为6a 2＝6×43＝8.3．(2014·十堰高一检测)如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.92π＋12 B.92π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18答案 B解析 由三视图可得几何体为长方体与球的组合体，故体积为V ＝32×2＋43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝18＋92π. 4．正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )A ．1∶ 3B ．1∶3C ．1∶3 3D ．1∶9答案 C解析 设正方体的棱长为a ，则它的内切球的半径为12a ，它的外接球的半径为32a ，故所求的比为1∶3 3.5．一平面截一球得到直径是6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm ，则该球的体积是( )A.100π3 cm 3 B.208π3 cm 3 C.500π3 cm 3 D.41613π3cm 3答案 C解析 根据球的截面性质，有R ＝r 2＋d 2＝32＋42＝5，∴V 球＝43πR 3＝5003π(cm 3)．6．(2013·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．答案 3解析先求出球的半径，再根据正方体的体对角线等于球的直径求棱长．设正方体棱长为a，球半径为R，则43πR3＝92π，∴R＝32，∴3a＝3，∴a＝ 3.7．盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？解设取出小球后，容器中水面下降h cm，两个小球的体积为V球＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3×⎝⎛⎭⎪⎫523＝125π3(cm3)，此体积即等于它们在容器中排开水的体积V＝π×52×h，所以125π3＝π×52×h，所以h＝53，即若取出这两个小球，则水面将下降53cm.二、能力提升8．(2013·课标全国Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()A.500π3cm3 B.866π3cm3C.1 372π3cm3 D.2 048π3cm3答案 A解析利用球的截面性质结合直角三角形求解．如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5，∴V 球＝43π×53＝5003π(cm 3)．9．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D ．5πa 2答案 B解析 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a .如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心， 易知AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径R ＝OA 满足R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝712a 2，故S 球＝4πR 2＝73πa 2.10.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.答案 4解析 设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r ＝6πr 3，高度为8 cm的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×43πr3＝4πr3，由题意6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4(cm)．11．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积．解∵AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，∴△ABC是直角三角形，∠B ＝90°.因球心O到截面△ABC的射影O′为截面圆的圆心，也即是Rt△ABC的外接圆的圆心，所以斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示)．设O′C＝r，OC＝R，则球半径R，截面圆半径r，在Rt△O′CO中，由题设知sin∠O′CO＝OO′OC＝12，∴∠O′CO＝30°，∴rR＝cos 30°＝32，即R＝23r，①又2r＝AC＝30⇒r＝15，代入①得R＝10 3. ∴球的表面积为S＝4πR2＝4π(103)2＝1 200π.球的体积为V＝43πR3＝43π(103)3＝4 0003π.三、探究与创新12.如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积．(其中∠BAC＝30°)解如图所示，过C作CO1⊥AB于O1.在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝3R，BC＝R，CO1＝32R，∴S球＝4πR2，S圆锥AO1侧＝π×32R×3R＝32πR2，S圆锥BO1侧＝π×32R×R＝32πR2，∴S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧＝112πR2＋32πR2＝11＋32πR2.故旋转所得几何体的表面积为11＋32πR2.13．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？解设圆锥形杯子的高为h cm，要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须V圆锥≥V半球，而V半球＝12×43πr3＝12×4π3×43，V圆锥＝13Sh＝13πr2h＝π3×42×h.依题意：π3×42×h≥12×4π3×43，解得h≥8，即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm，高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子．又因为S圆锥侧＝πrl＝πr h2＋r2，当圆锥高取最小值8时，S圆锥侧最小，所以高为8 cm时，制造的杯子最省材料．。
6.示范教案(1.3.2 球的体积和表面积)
1.3.2 球的体积和表面积整体设计教学分析本节教材直接给出了球的表面积和体积公式，并用两个例题来说明其应用.值得注意的是教学的重点放在球与其他几何体的组合体的有关计算上，这是高考的重点.三维目标掌握球的表面积和体积公式，并能应用其解决有关问题，提高学生解决问题的能力，培养转化与化归的数学思想方法.重点难点教学重点：球的表面积和体积公式的应用.教学难点：关于球的组合体的计算.课时安排约1课时教学过程导入新课思路1.位于香港栈桥回澜阁西部、西陵峡路东端海滨，有一座新异奇秀的半球形建筑.由香港好世界饮食服务（中国）有限公司等三方合资兴建，1996年9月正式开业，既是岛城饮食服务业的“特一级”店，又是新增加的一处景点.酒店的总建筑面积11 380平方米，现酒店管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店，那么，需要多少面积的这种化学材料呢？思路2.球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？教师引出课题：球的体积和表面积.推进新课新知探究球的半径为R ，它的体积和表面积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R ，那么S=4πR 2,V=334R .注意：球的体积和表面积公式的证明以后证明.应用示例思路1例1 如图1所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：图1（1）球的体积等于圆柱体积的32； （2）球的表面积等于圆柱的侧面积.活动：学生思考圆柱和球的结构特征，并展开空间想象.教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形.证明：（1）设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R.则有V 球=334R π，V 圆柱=πR 2·2R=2πR 3，所以V 球=圆柱V 32.（2）因为S 球=4πR 2，S 圆柱侧=2πR·2R=4πR 2，所以S 球=S 圆柱侧.点评：本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算.解决此类问题的关键是明确组合体的结构特征.变式训练1.如图2(1)所示，表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积.图2解：设球的半径为R ，正四棱柱底面边长为a,则轴截面如图2（2），所以AA′=14,AC=a 2,又∵4πR 2=324π,∴R=9.∴AC=28''22=-CC AC .∴a=8.∴S 表=64×2+32×14=576,即这个正四棱柱的表面积为576.2有一种空心钢球，质量为142 g,测得外径（直径）等于5 cm ，求它的内径（钢的密度为7.9 g/cm 3，精确到0.1 cm ）.解：设空心球内径（直径）为2x cm,则钢球质量为7.9·［3334)25(34x ππ-•］=142, ∴x 3=14.349.73142)25(3⨯⨯⨯-≈11.3,∴x≈2.24,∴直径2x≈4.5. 答：空心钢球的内径约为4.5 cm.例2 如图3所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m 、高为3 m 的圆柱形物体，上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.1）?图3活动：学生思考和讨论如何计算鲜花的朵数.鲜花的朵数等于此几何体的表面积（不含下底面）与每朵鲜花占用的面积.几何体的表面积等于圆柱的侧面积再加上半球的表面积. 解：圆柱形物体的侧面面积S 1≈3.1×1×3=9.3(m 2),半球形物体的表面积为S 2≈2×3.1×(21)2≈1.6(m 2), 所以S 1+S 2≈9.3+1.6=10.9(m 2).10.9×150≈1 635(朵).答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花.点评：本题主要考查球和圆柱的组合体的应用，以及解决实际问题的能力.变式训练有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R 的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？分析：转化为求水的体积.画出轴截面，充分利用轴截面中的直角三角形来解决. 解：作出圆锥和球的轴截面图如图4所示，图4圆锥底面半径r=R R 330tan =︒, 圆锥母线l=2r=R 32，圆锥高为h=r 3=3R ，∴V 水=334332πππ=-R h r ·3R 2·3R 333534R R ππ=-， 球取出后，水形成一个圆台，下底面半径r=R 3,设上底面半径为r′， 则高h′=(r -r′)tan60°=)'3(3r R -,∴'3353h R ππ=(r 2+r′2+rr′),∴5R 3=)3'3')('3(322R Rr r r R ++-, ∴5R 3=)'33(333r R -，解得r′=6331634R R =, ∴h′=(3123-)R.答：容器中水的高度为(3123-)R.思路2例1 （2006广东高考，12）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________.活动：学生思考长方体和球的结构特征.教师可以借助于信息技术画出图形.分析：画出球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以球的半径R=233，则该球的表面积为S=4πR 2=27π.答案：27π点评：本题主要考查简单的组合体和球的表面积.球的表面积和体积都是半径R 的函数.对于和球有关的问题，通常可以在轴截面中建立关系.画出轴截面是正确解题的关键.变式训练1.（2006全国高考卷Ⅰ，理7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）A.16πB.20πC.24πD.32π分析：由V=Sh ，得S=4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以，球的半径为R=642221222=++，所以球的表面积为S=4πR 2=24π.答案：C2.（2005湖南数学竞赛，13）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积为_____________.分析：把正四面体补成正方体的内接正四面体，此时正方体的棱长为a 22，于是球的半径为a 42，V=3242a π. 答案：3242a π 3.（2007天津高考，理12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为___________.分析：长方体的对角线为14321222=++，则球的半径为214,则球的表面积为4π(214)2=14π. 答案：14π例2 图5是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？图5活动：学生思考杯里的水将下降的原因，通过交流和讨论得出解题思路.因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20 cm 的圆，它的体积正好等于圆锥形铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度.解：因为圆锥形铅锤的体积为2)26(31⨯⨯π×20=60π（cm 3），设水面下降的高度为x ，则小圆柱的体积为x 2)220(π=100πx （ cm 3）. 所以有60π=100πx ，解此方程得x=0.6（ cm ）.答：杯里的水下降了0.6 cm.点评：本题主要考查几何体的体积问题，以及应用体积解决实际问题的能力.明确几何体的形状及相应的体积公式是解决这类问题的关键.解实际应用题的关键是建立数学模型.本题的数学模型是下降的水的体积等于取出的圆锥形铅锤的体积.明确其体积公式中的相关量是列出方程的关键.变式训练1.一个空心钢球，外直径为12 cm ，壁厚0.2 cm ，问它在水中能浮起来吗？（钢的密度为7.9 g/cm 3）和它一样尺寸的空心铅球呢？（铅的密度为11.4 g/cm 3）分析：本题的关键在于如何判断球浮起和沉没，因此很自然要先算出空心钢球的体积，而空心钢球的体积相当于是里、外球的体积之差，根据球的体积公式很容易得到空心钢球的体积，从而算出空心钢球的质量，然后把它与水的质量相比较即可得出结论，同理可以判断铅球会沉没.解：空心钢球的体积为V 钢=348.53463433πππ=⨯-⨯×20.888≈87.45(cm 3)， ∴钢的质量为m 钢=87.45×7.9=690.86(g).∵水的体积为V 水=34π×63=904.32(cm 3)， ∴水的质量为m 水=904.32×1=904.32(g)＞m 钢.∴钢球能浮起来，而铅球的质量为m 铅=87.45×11.4=996.93(g)＞m 水.∴同样大小的铅球会沉没.答：钢球能浮起来，同样大小的铅球会沉没.2.（2006全国高中数学联赛试题第一试，10）底面半径为1 cm 的圆柱形容器里放有四个半径为21cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水___________cm 3.分析：设四个实心铁球的球心为O 1、O 2、O 3、O 4，其中O 1、O 2为下层两球的球心，A 、B 、C 、D 分别为四个球心在底面的射影，则ABCD 是一个边长为22 cm 的正方形，所以注水高为(1+22) cm.故应注水π(1+22)-4×)2231()21(343+=ππ cm 3. 答案：（31+22）π 知能训练1.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ）A.1倍B.2倍C.59倍D.47倍分析：根据球的表面积等于其大圆面积的4倍，可设最小的一个半径为r ，则另两个为2r 、3r ，所以各球的表面积分别为4πr 2、16πr 2、36πr 2，5916436222=+r r r πππ（倍）. 答案：C2.（2006安徽高考，理9）表面积为32的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（ ） A.32π B.3π C.32π D.322π 分析：此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形，所以由8×32432=a 知，a=1，则此球的直径为2.答案：A3.（2007北京西城抽样，文11）若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9π，则球的表面积是____________.分析：画出球的轴截面，则球心与截面圆心的连线、截面的半径、球的半径构成直角三角形，又由题意得截面圆的半径是3，则球的半径为2234+=5，所以球的表面积是4π×52=100π.答案：100π4.某街心花园有许多钢球（钢的密度是7.9 g/cm 3）,每个钢球重145 kg,并且外径等于50 cm,试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的.如果是空心的，请你计算出它的内径（π取3.14,结果精确到1 cm ）.解：由于外径为50 cm 的钢球的质量为7.9×3)250(34⨯π≈516 792(g), 街心花园中钢球的质量为145 000 g,而145 000＜516 792,所以钢球是空心的.设球的内径是2x cm ，那么球的质量为7.9·［3334)250(34x ππ-•］=145 000, 解得x 3≈11 240.98,x≈22.4,2x≈45(cm).答：钢球是空心的，其内径约为45 cm.5.（2007海南高考，文11）已知三棱锥S —ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC=r 2,则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）A.πB.2πC.3πD.4π分析：由题意得SO=r 为三棱锥的高，△ABC 是等腰直角三角形，所以其面积是21×2r×r=r 2,所以三棱锥体积是33132r r r =⨯⨯，又球的体积为343r π，则球的体积与三棱锥体积之比是4π.答案：D点评：面积和体积往往涉及空间距离，而新课标对空间距离不作要求，因此在高考试题中其难度很低，属于容易题，2007年新课标高考试题就体现了这一点.高考试题中通常考查球、三棱锥、四棱锥、长方体、正方体等这些简单几何体或它们的组合体的面积或体积的计算.我们应高度重视这方面的应用.拓展提升问题：如图6，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A—BEFD与三棱锥A—EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）图6A.S1＜S2B.S1＞S2C.S1=S2D.S1,S2的大小关系不能确定探究：如图7，连OA、OB、OC、OD，则V A—BEFD=V O—ABD＋V O—ABE＋V O—BEFD+V O—ADF，V A—EFC=V O—AFC＋V O—AEC＋V O—EFC，又V A—BEFD=V A—EFC，而每个小三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S△ABD＋S△ABE＋S BEFD+S△ADF=S△AFC＋S△AEC＋S△EFC，又面AEF是公共面，故选C.图7答案：C课堂小结本节课学习了：1.球的表面积和体积.2.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积.3.空间几何体的表面积与体积的规律总结：（1）表面积是各个面的面积之和，求多面体表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积.求旋转体的表面积时，可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长关系，注意球面不可展开.（2）在体积公式中出现了几何体的高，其含义是：柱体的高：从柱体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为柱体的高；锥体的高：从锥体的顶点向底面作垂线，这点和垂足间的距离称为锥体的高；台体的高：从台体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为台体的高.注意球没有高的结构特征.（3）利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题的常用手段.（4）柱体、锥体、台体和球是以后学习第二章点、直线、平面位置关系的载体，高考试题中，通常是用本模块第一章的图，考查第二章的知识.（5）与球有关的接、切问题是近几年高考的热点之一，常以选择题或填空题的形式出现，属于低档题.作业课本本节练习1、2、3.设计感想本节教学结合高考要求，主要是从组合体的角度来讨论球的表面积和体积.值得注意的是其中的题目没有涉及球的截面问题（新课标对球的截面不要求），在实际教学中，教师不要增加球的截面方面的练习题，那样会增加学生的负担.。
球的体积和表面积公式具体推导过程
1。
.3。
2球的体积和表面积(1）设球的半径为R,将半径OAn等分，过这些分点作平面把半球切割成n 层，每一层都是近似于圆柱形状的“小圆片",这些“小圆片"的体积之和就是半球的体积。
由于“小圆片”近似于圆柱形状,所以它的体积也近似于圆柱的体积。
它的高就是“小圆片"的厚度，底面就是“小圆片”的下底面。
由勾股定理可得第i层（由下向上数)“小圆片”的下底面半径：，（i＝1，2，3，···，n）第i层“小圆片"的体积为：V≈π·＝，（i＝1，2，3，···,n）半球的体积:V半径＝V1＋V2＋ (V)≈｛1＋（1－）＋（1－）＋···＋[1－]｝＝［n－］（注：）＝［n－＝)＝①当所分的层数不断增加,也就是说，当n不断变大时，①式越来越接近于半球的体积,如果n无限变大，就能由①式推出半径的体积。
事实上，n增大，就越来越小，当n无限大时，趋向于0，这时,有V半径＝，所以，半径为R的球的体积为：V＝1.。
3。
2球的体积和表面积(2）球的表面积推导方法（设球的半径为R,利用球的体积公式推导类似方法) （1）分割。
把球O的表面分成n个“小球面片”，设它们的表面积分别是S1,S2，……Sn，那么球的表面积为：S＝S1＋S2＋……＋Sn把球心O和每一个“小球面片"的顶点连接起来，整个球体被分成n个以“小球面片”为底,球心为顶点的“小锥体”。
例如，球心与第i个“小球面片”顶点相连后就得到一个以点O为顶点，以第i个“小球面片"为底面的“小锥体"。
这样“小锥体”的底面是球面的一部分，底面是“曲”的。
如果每一个“小球面片”都非常小，那么“小锥体”的底面几乎是“平”的，（好象地球一样)，这时,每一个“小锥体”就近似于棱锥,它们的高近似于球的半径R。
(2）求近似和.设n个“小锥体"的体积分别为V1，V2, (V)那么球的体积为：V＝V1＋V2＋ (V)由于“小锥体”近似于棱锥，所以我们用相应棱锥的体积作为“小锥体"体积的近似值.第i个“小锥体"对应的棱锥以点O为顶点，以点O与第i个“小球面片”顶点的连线为棱。
1_1.3.2球的体积和表面积
例题讲解
类型二 根据三视图计算球的体积与表面积 例 3(2016·广东茂名二模)若几何体的三视图如图所示，则该几 何体的外接球的表面积为( ) A．34π B．35π C．36π D．17π
跟踪训练
1.某几何体的三视图如图所示，它的体积为( ) A．72π B．48π C．30π D．24π
例题讲解
A．8 ：27 B．2 ：3 解C．析4：：43π9r3 ：D43．πR23＝：89 ：27，
∴r ：R＝2 ：3，∴S1 ：S2＝4 ：9. 答案：C
变式训练三
1.把球的表面积扩大到原来的 2 倍，那么体积扩大为原来的 ()
A．2 倍 B．2 2倍 C. 2倍 D．3 2倍
滦州市第六中学 王飞
【学习目标】
1.了解球的表面积和体积的计算公式. 2.会用球的体积与表面积公式解决实际问题. 3.会解决球的组合体及三视图中球的有关问 题．
自主学习 基础认识 知识点 球的表面积与体积公式
【尝试计算】
例题讲解
例1 圆柱的底面直径与高都等于球的直径, 求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的 ；
2R 2 a
切点：各棱的中点。 球心：正方体的中心。 直径： “对棱”中点连线 球的直径等于正方体一个面上的对角线长
简单三多、面正体方体与的球外接的球接切问题
2R 3 a
球直径等于正一个正方体的顶点都在球面上， 它的棱长是acm,求球的体积。
简单多面§体1正与方球体的与接球切问题
正方体的内切球,外接球,棱切球
一简、单正方多体面的内体切与球 球的接切问题
o
2R a
切点：各个面的中心。 球心：正方体的中心。 直径：相对两个面中心连线。 球的直径等于正方体棱长。
人教新课标B版必修2《1.3.2 球的表面积和体积》教学设计
《1.3.2 球的表面积和体积》教学设计一、教学目标：知识与技能：1、了解球的体积公式343V R π=、表面积公式24S R π=。
2、会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用数学的能力。
3、能解决与球的截面有关的计算问题及球相关的“内切”“外接”的几何体问题。
过程与方法：通过类比、猜想球的表面积和体积公式，变式训练强化内切、外接问题，提高学生分析、综合、抽象概括等逻辑推理能力。
情感态度价值观：培养学生空间想象能力以及勇于探索的精神，拓展学生视野，增强应用意识，渗透类比化归等数学思想，加强辨证唯物主义观点。
二、学情分析：学生以前已学习过圆的概念、相关公式，有一定的类比迁移能力，对本节课球的概念和公式较容易接受，运算能力良好，能运用公式求解相关问题。
但对正方体和球的几类情况较为陌生，学生具有一定的空间想象能力，借助3D 软件和FLASH 动画演示能较好理解新知。
三、教学重难点：重点：球的体积和表面积的计算公式的应用。
难点：解决与球相关的“内切”“外接”的几何体问题。
四、教学方法：探索启发式的教学方法。
五、教学用具：3D 玲珑画板、FLASH 动画、PPT 、板书等六、教学过程：一、探究新知2.复习:球的概念：一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的旋转体。
3.思考：做一个足球需要用到多少布料？把一个足球充满气需要多少气体？球的表面积和体积由哪个量来确定？试猜想球的表面积和体积公式。
引导学生类比得出球的表面积与半径的平方成正比，球的体积与半径的立方成正比。
猜想出32,kRVkRS==。
教师给出球的表面积公式24S Rπ=、体积公式343V Rπ=。
以后可以证明。
V和S都是以R为自变量的函数。
从实际问题入手，激发学生的学习兴趣，复习球的概念。
引导学生猜想球的表面积和体积公式。
唤起学生对球体的概念的认识，加深印象，为本节做好必要的知识铺垫.二、新知应用1．一个球的直径为4cm，则它的表面积是_________，体积是_________。
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1
1.3.2球的体积和表面积
一、 教学目标：1、掌握球的体积公式343
V R π=、表面积公式24S R π=. 2、会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用数学的能力．
3、能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题．
二、 教学重点、难点
重点：球的体积和表面积的计算公式的应用.
难点：解决与球相关的“内接”与“外切”的几何体问题
预习案
1.球的概念：球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面所为成的几何体叫做球体，简称球. 一个球用表示它的球心的字母表示，例如球O ．
问题提出：球也是一个旋转体，它也有表面积和体积，怎样求一个球的表面积和体积？
1．球的体积
可先求半径为R 的半球的体积.为此，采用倒水做实验的方法，直观得出球的体积公式. 取三个形状不同的容器，其中一个是半球形的，一个是圆柱形的，一个是圆锥形的，它们的高和底面圆的半径长都是R .先在半球和圆锥容器里灌满水，然后倒入圆柱形容器里，我们可以发现，这些水恰好把圆柱形容器灌满.这个实验告诉我们，半球的体积等于与它等底、等高的圆柱与圆锥的体积的差，就是：
=-=圆锥圆柱半球V V V ________________________________
所以 球V =___________ .
2 2 球的表面积：（以后讲）
11221(3)i i V h S h S h S ≈⋅∆+⋅∆++⋅∆+
又∵i h R ≈，且S =12i S S S ∆+∆+++∆ ∴可得13V R S ≈⋅， 又∵343V R π=，∴13R S ⋅343
R π=， ∴S=___________,即为球的表面积公式
小结：球的体积公式343
V R π=、表面积公式24S R π=都是以R 为自变量的函数。
练习1：如果球的体积是36πcm 3
,那么它的半径是 . 练习2： 若两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为（ ）
（A ）8：27 （B ）2：3 （C ）4：9 （D ）2：9
探究案
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径,，求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的23 （2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
变式1：把上一题的圆柱改为正方体，且正方体的棱长为a, 球的半径为多少？
变式2：若把球吹大到内切于正方体的棱，且正方体的棱长为a,此时球的半径又为多少？ 变式3：若球接着吹大到刚好包围整个正方体即球各个顶点都在球面上，且正方体的棱长为a,此时球的半径又为多少？
图1 图2 图3
例2、如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm与2 cm，如图
所示，俯视图是一个边长为4 cm的正方形.
(2)求该几何体的外接球的体积.
变式训练2：正三棱锥的高为 1，底面边长为26。
求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。
3。