高二数学空间向量及其运算3
高二上数学知识点空间向量
高二上数学知识点空间向量高二上数学知识点：空间向量一、引言数学是一门学科，它以推理和逻辑为基础，研究数量、结构、变化以及空间等方面的规律。
高二上学期，我们将学习许多重要的数学知识点，其中之一就是空间向量。
本文将详细介绍空间向量的定义、运算方法以及相关应用。
二、空间向量的定义空间向量是指空间中的一个有大小和方向的量。
它由起点和终点确定，常用带箭头的线段来表示。
在空间向量中，起点表示向量的位置，终点表示向量的方向和大小。
三、空间向量的表示方法空间向量可以用坐标表示法和位置矢量法两种方式进行表示。
1. 坐标表示法坐标表示法是将空间向量的起点放置在坐标系的原点，终点在坐标系中的一个确定点。
这样，空间中的向量就可以用坐标$(x,y,z)$ 来表示，其中 $x$ 表示向量在 x 轴上的投影，$y$ 表示向量在 y 轴上的投影，$z$ 表示向量在 z 轴上的投影。
2. 位置矢量法位置矢量法是将空间向量的起点设置在空间中的一个位置$(x_1,y_1,z_1)$，终点则是另一个位置 $(x_2,y_2,z_2)$。
这样，空间向量就可以用矢量 $\vec{AB}$ 来表示，其中点 A 为起点，点 B 为终点。
四、空间向量的运算1. 向量的相加当两个空间向量进行相加时，可以将它们的起点放在一起，将终点放在一起，再连接起点和终点，得到一个新的向量。
记作$\vec{AB} + \vec{CD} = \vec{AD}$。
2. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指向量与一个实数相乘，其结果是方向不变，大小改变的一个新向量。
记作 $\lambda \cdot \vec{AB}$，其中$\lambda$ 为实数。
3. 向量的点乘向量的点乘是指将两个向量进行相乘并求和的运算。
点乘的结果是一个实数，它等于两个向量的模长乘积与夹角的余弦值。
记作 $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}| \cos\theta$，其中 $\theta$ 为两向量之间的夹角。
「高二数学新课标专题一(空间向量及其运算)」
高二数学新课标专题一空间向量及其运算(理）一、知识概述空间向量及其运算,空间向量及其加减与数乘运算;共线向量及共面向量；空间向量基本定理,两个向量的数量积．在学习中，我们首先把平面向量及其线性运算推广到空间向量.在同学们已有了空间直线和平面平行,以及平面和平面平行的概念，这一推广对同学们来说应该不会感到太难,但我们仍要牢记,现在研究的范围已由平面扩大到空间.一个向量已是一个平移,两个不平行的向量确定的平面已不是一个平面,而是互相平行的平面集,其中我们可以通过在空间上一步步地验证运算法则和运算律,一方面通过学习空间向量复习了平面向量(高一学习的),另一方面培养了我们的空间观念.当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间:共线向量和共面向量，把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间,然后由这两个定理推出空间直线和平面的向量表达式．有了这两个表达式，我们就可很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题．在学习共线和共面向量定理后，我们学习空间最重要的基础定理:空间向量基本定理．这个定理是空间几何研究数量化的基础.有了这个定理空间结构变得简单明了，整个空间被三个不共面的基向量所确定．这样，空间的一个点或一个向量与实数组（ｘ，y,ｚ)建立起了一一对应关系.最后，我们学习了本节的最后一个知识点——两个向量的数量积，将平面两个向量的数量积推广到空间，建立起了向量在轴上的投影的概念，并学习了内积的几个运算性质．通过这一周的学习,同学们建立起了空间向量的概念,初步将空间向量与空间图形联系起来,并通过课堂内外的例、习题的讲解与学习，初步学会用向量知识来解决立体几何问题的方法与技巧．二、重、难点知识的归纳与剖析（一）本周学习与研究中的四个重点１、空间向量的运算及运算律空间向量加法,减法，数乘向量的意义及运算律与平面向量类似．学习过程中,我们要加强直观说理，结合式与图之间的互相转换加深理解.如：（1)首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．因此，求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量;（2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和为；（3）两个向量相加的平行四边形法则在空间仍成立．因此求始点相同的两个向量之和时，可考虑用平行四边形法则．2、共线向量定理和共面向量定理由于空间向量的平行（共线)的定义、共线向量定理等与平面向量完全相同,都是平面向量的相关知识向空间的推广,因此,我们可以在熟练地掌握平面向量这些知识的基础上来加深理解.其中要明确如下几点：（1）的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当时,也具有同样的意义；(2）运用确定平面的条件可以将空间向量问题转化为平面向量问题;(３)理解共线向量定理时,应知道该定理包含两个命题：有一点不在上;(４）空间直线的向量参数方程是空间共线向量定理的具体体现；3、空间向量基本定理空间向量基本定理与平面向量基本定理类似,区别仅在于基底中多了一个向量,从而分解结果中也多了一“项”,因此不难理解.空间向量基本定理说明了用空间三个不共面已知向量组可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．４、两个向量的数量积的计算方法及其应用.理解两个向量的数量积的定义是利用两个向量的数量积开展计算的关键，其中还要结合它的一些性质．其具体应用是思考如下几个问题：（1)如何把已知的几何条件转化为向量表示?(2）考虑一些未知的向量能否用基向量或其它已知向量表示？（３）如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论?(二)本周学习与研究中的难点应用向量解决立体几何问题是贯穿于本节学习始终的一个难点．它涉及到如何利用向量的运算法则及定律将一些线线间的关系用向量刻画，然后利用共线向量定理,共面向量定理证明多点共线，多线共面问题，最后利用向量的数量积的定义及性质来解决有关求线段长,求异面直线所成的角的计算问题.突破该难点的方法可以采用多练习去实现，从练习中悟出其中的技巧和方法.三、例题点评例1、如图中,已知点O是平行六面体ABCD-A1B１Ｃ1D1体对角线的交点，点P是任意一点，则．分析:将要证明等式的左边分解成两部分：与，第一组向量和中各向量的终点构成平行四边形AＢＣD,第二组向量和中的各向量的终点构成平行四边形A1B1C1D1，于是我们就想到了应该先证明:将以上所述结合起来就产生了本例的证明思路．解答：设E,E1分别是平行六面体的面ABCD与A1B1C１D1的中心，于是有点评：在平面向量中，我们证明过以下命题:已知点O是平行四边形ABCD对角线的交点，点Ｐ是平行四边形ＡＢCＤ所在平面上任一点，则，本例题就是将平面向量的命题推广到空间来．例2、已知空间四边形ＯABC中,Ｍ为BC中点,N为AＣ中点,Ｐ为OＡ中点,Q为OB中点，若AB=OＣ，求证:PＭ⊥QN.分析：欲证PM⊥ＱN，只要证明解答：点评：欲证用相同的几个向量表示出来，然后利用向量的数量积. 例3、如图，E是正方体ABCD-A1B１C1Ｄ1的棱Ｃ1D1中点,试求向量分析：利用数量积定义,求出，再求出所成角的余弦.解答:点评：求向量所成角,首先应将用一组基底表示出来，再利用公式.空间向量及其运算(理）检测一、选择题１、下列说法中正确的是（)A.两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同B.若非零向量与是共线向量，则Ａ、B、C、Ｄ四点共线Ｃ．若D.四边形ABCD是平行四边形的充要条件是=2、已知空间四边形ＡBCＤ，连ＡC,BＤ，设Ｍ、G分别是BＣ、CD中点,则（）A． B. C. D.３、如图中,已知空间四边形OＡＢC，其对角线为OＢ，AC,M,Ｎ分别是对边OA，BC 的中点，点G在线段ＭN上，且分所成的定比为２,现用基向量(）A. B.C.D．4、空间四边形ＡBCＤ的每边及对角线长均为，E，Ｆ，G分别是AB,BD,DC的中点,则（)Ａ． B.１C．Ｄ．５、已知空间四边形ＡBCD的各条边的长度相等,E为BC中点，那么( )Ａ.Ｂ.Ｃ． D.6、设A,B，Ｃ，D是空间不共面的四点，且满足(）Ａ.钝角三角形Ｂ．锐角三角形 C.直角三角形D．不确定7、空间四边形OABC中，OＢ=ＯＣ，∠AOＢ=∠AOC=() Ａ. B. C.D．０８、()A．Ｂ． C.D．不确定９、在下列条件中,使M与A、B、C一定共面的是( ）A．B．C． D.10、（）Ａ．B． C. D.二、综合题１1、已知点G是△ABC的重心,Ｏ是空间任一点,若12、在平行六面体AＢCＤ－EFGＨ中,，１３、已知ABＣD－A1B1Ｃ１Ｄ1为正方体,则下列命题中错误的命题为________＿_.１4、已知平行四边形ABCD,如图从平面ＡＣ外一点Ｏ引向量（１）四点E、F、G、H共面;（2）平面ＡC／/平面EＧ.15、正方体AＢCＤ－A1B１Ｃ1Ｄ1，M为ＡＡ１的中点，Ｎ为A1B１上的点,满足MN⊥MＣ,MP⊥Ｂ1C.16、如图所示,在平行六面体ABCD－A１B１C1Ｄ1中,O是Ｂ1Ｄ１的中点，求证：B1C∥平面ODC.答案一、选择题:1—10ＤADＡＤBＤＢCC2、如图3、4、5、6、同理有:ｃos∠DＢC>0，∠DCB>0, 故三角形BCD为锐角三角形．7、8、9、由共面向量定理知Ｃ正确. 1０、二、综合题１１、解:答案:31２、解:如图答案：13、解：①正确.②正确．③不正确．④不正确答案：③④1４、解：15、解:１6、解:高考解析：空间向量及其运算(理)“向量”知识逐渐成为命题热点,一般选择题,填空题重在考查空间向量的概念，解答题重在考查空间向量的运算及数量积等性质，利用向量知识解决立体几何问题.不过从课本中的例习题的形式来看，高考中对于原立体几何中关于求异面直线所成的角,异面直线间的距离,以及有关证明线线垂直,线面垂直，线线平行,线面平行等问题，一般地都可采用两种方法处理,一种用纯立体几何知识解决,这对思维能力要求较高,另一种就是用向量法解决，这样将几何问题代数化.同学们在平时训练中，对于同一题，最好采取两种方法解决，并且训练熟练．例１、（全国高考试题)如图,已知:平行六面体ABCＤ－A1B1C1Ｄ1的底面ＡBCD是菱形,且∠C1CＢ=∠C１CＤ＝∠BＣD=60°.（1）证明：Ｃ1C⊥BＤ；(2）当的值为多少时,能使A1Ｃ⊥平面C１BD？请给出证明.分析：本题考查直线与直线,直线与平面的关系，逻辑推理能力，怎样把空间垂直关系的判定转化为向量的知识是关键．解答：例2、(上海高考试题）若则下列等式不一定成立的是（) Ａ.Ｂ.C． D.分析：本题考查向量的加、减法及数乘、数量积等运算的性质,空间向量（即使是平面向量)的数量积不满足结合律．故选D.答案：Ｄ。
高二数学空间向量知识点总结归纳
高二数学空间向量知识点总结归纳数学中的空间向量是指存在于三维空间中的有方向和大小的物理量。
在高二数学中，我们学习了关于空间向量的各种性质和运算法则，以及与之相关的应用。
本文将对高二数学空间向量的知识点进行总结和归纳。
一、空间向量的定义与表示方法在空间中，向量可以用有序数对或有序三元组表示。
通常，我们用大写字母表示向量，如AB、CD等。
表示向量的有序数组称为坐标，常用小写字母表示，如a、b、c等。
假设向量AB的坐标为(a₁, a₂,a₃)，则可表示为AB = a₁i + a₂j + a₃k，其中i、j、k分别表示x、y、z轴的单位向量。
二、向量的基本运算法则1. 向量的加法向量的加法遵循平行四边形法则，即将两个向量的起点相连接，然后以这条连线为对角线构建平行四边形，向量的和为平行四边形的对角线向量。
2. 向量的减法向量的减法可以转化为向量的加法，即A-B = A + (-B)，其中-B表示B的反向量。
所以，向量A减去向量B，可以先求出B的反向量，再用向量的加法进行计算。
3. 向量的数量积向量的数量积又称为点积，用符号·表示。
设有两个向量A = a₁i + a₂j + a₃k和B = b₁i + b₂j + b₃k，则向量A和B的数量积为A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。
4. 向量的向量积向量的向量积又称为叉积，用符号×表示。
设有两个向量A = a₁i + a₂j + a₃k和B = b₁i + b₂j + b₃k，则向量A和B的向量积为A×B = (a₂b₃ - a₃b₂)i + (a₃b₁ - a₁b₃)j + (a₁b₂ - a₂b₁)k。
三、空间向量的性质与定理1. 平行向量如果两个向量的方向相同或相反，则它们被称为平行向量。
平行向量的数量积为零。
2. 垂直向量如果两个向量的数量积为零，则它们被称为垂直向量。
垂直向量的叉积也为零。
3. 向量共面如果三个向量可以放在同一个平面上，则它们被称为共面向量。
高二数学空间向量及其运算
高二数学空间向量及其运算嗨，大家好！今天咱们来聊聊高二数学里的一个神奇领域——空间向量。
别急，虽然这听起来有点儿高深，但咱们一步一步来，保证让你轻松搞懂。
相信我，空间向量就像是一位神秘的导游，带你领略数学的奇妙世界。
行啦，咱们不废话了，直接进入正题！1. 什么是空间向量？1.1 空间向量的基本概念首先，咱们得搞清楚，什么是空间向量。
简单来说，空间向量就是一种用来描述空间中位置关系的工具。
就好像你用箭头标记地图上的位置，空间向量就是数学中用来标记空间位置的“箭头”。
它有方向和长度，还能在空间中“移动”，不受限制。
1.2 空间向量的表示方法说到这里，大家可能会问：“那空间向量是怎么表示的呢？”其实很简单，咱们通常用一个字母加上箭头的方式，比如说 (vec{A}) 或者 (vec{B})。
如果你还记得初中学过的平面向量，那么空间向量也是类似的，只不过它多了一个“Z轴”，变成了三维空间的“箭头”。
2. 空间向量的基本运算2.1 向量的加法和减法现在我们来看看空间向量的基本运算——加法和减法。
其实，向量的加法就像是把两个箭头放在一起，然后画一个从第一个箭头的起点到第二个箭头的终点的新箭头。
减法就类似，咱们把第二个箭头翻转过来，然后加到第一个箭头上，得到的结果就是从第一个箭头的起点到第二个箭头的终点的箭头。
是不是很形象呢？2.2 向量的数量积接下来是向量的数量积，这个就有点儿高级了。
数量积，也叫点积，简单来说就是两个向量“互相投影”后得到的结果。
公式是 (vec{A} cdot vec{B} = |vec{A}| |vec{B}| cos theta)，其中 (theta) 是它们之间的夹角。
这个公式的意思就是，如果两个向量的夹角很小，它们的点积就会很大，夹角很大的话，点积就会很小。
3. 空间向量的应用3.1 向量在实际问题中的应用说了这么多，空间向量究竟有什么用呢？其实，空间向量在很多实际问题中都能派上用场。
高中数学 第三章第1节空间向量及其运算知识精讲 理 新人教版A版选修2-1
高二数学选修2-1第三章第1节空间向量及其运算人教新课标A 版（理）一、学习目标：1. 理解空间向量的概念，了解共线或平行向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量的加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．2. 理解共线向量的定理及其推论．3. 掌握空间向量的夹角和模的概念及其表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题．4. 掌握空间向量的正交分解，空间向量的基本定理及其坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．二、重点、难点：重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律，空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式，点在已知平面内的充要条件，两个向量的数量积的计算方法及其应用，空间向量的基本定理、向量的坐标运算．难点：由平面向量类比学习空间向量，对点在已知平面内的充要条件的理解与运用，向量运算在几何证明与计算中的应用，理解空间向量的基本定理．三、考点分析：本讲知识主要为由平面向量类比学习空间向量的概念及其基本运算，涉及到空间向量中的共线向量和共面向量，以及空间向量的基本定理和空间向量的坐标运算．数量积的运用，是我们学习的重点．一、空间向量的概念：模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a -．方向相同且模相等的向量称为相等向量．二、空间向量的加法和减法、数乘运算1. 求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．2. 求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．3. 实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．三、共线向量与共面向量1. 向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．2. 向量共面定理：平行与同一平面的向量是共面向量．四、向量的数量积1. 已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则∠AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈．2. 对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．3. 已知两个非零向量a 和b ，则cos ,a b a b 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0．五、空间向量的坐标表示和运算设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则 1. ()121212,,a b x x y y z z +=+++． 2. ()121212,,a b x x y y z z -=---． 3. ()111,,a x y z λλλλ=． 4. 121212a b x x y y z z ⋅=++．5. 若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=．6. 若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===．7. 222111a a a x y z =⋅=++．8. 121212222222111222cos ,a b a b a bx y z x y z⋅〈〉==++⋅++．9. ()111,,x y z A ，()222,,x y z B ，则()()()222212121d x x y y z z AB =AB =-+-+-知识点一 空间向量的概念的运用例1、与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ）A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2） C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）思路分析：1）题意分析：本题主要考查共线向量的概念的运用．2）解题思路：利用共线向量的概念，如果b a b a b λ=⇔≠//,0，那么说向量→→b a ,共线．也可观察坐标的系数是不是成比例．解答过程：解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式． 即b a b a b λ=⇔≠//,0，因为(1,3,2)a =-＝－2（－21，23，－1），故答案为C ． 解题后的思考：对于空间共线向量的判定，要么利用坐标对应成比例，要么利用向量的线性关系来判定．例2、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11B A ＝a ，11D A ＝b ，A A 1＝c ，则下列向量中与MB 1相等的向量是（ ）A ．++-2121B ．++2121 C ．c b a +-2121D ．c b a +--2121思路分析：1）题意分析：本题考查的是基本的向量相等与向量的加法，考查学生的空间想象能力． 2）解题思路：把未知向量表示为已知向量，可利用三角形或平行四边形法则解决．用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化．解答过程：解析：)(21111BC BA A A BM B B MB ++=+=＝＋21（－+）＝－21＋21＋．故选A ． 解题后的思考：对于空间向量的线性表示，我们本着把所求的向量与已知向量尽量放在一个封闭图形中的原则，再结合向量的加法得到．例3、在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ）A ．OM --=2B ．213151++=C ．=++MC MB MA 0D ．=+++OC OB OA OM 0 思路分析：1）题意分析：本题主要考查共面向量的概念的运用．2）解题思路：空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 即可，或者AC y AB x AP +=．解答过程：由于空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 即可，首先判定A ，B ，D 项都不符合题意，由排除法可知只有选C ．利用向量的加法和减法我们可以把+-+-=++)()(OM OB OM OA MC MB MA03)()(=-++=-OM OC OB OA OM OC ，)(31++=，显然满足题意． 解题后的思考：对空间向量的共面问题，我们只需利用课本中的两个结论判定即可．,z y x ++=且1=++z y x 或,y x +=都可判定P ，A ，B ，C 共面．例4、①如果向量,a b 与任何向量都不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-也是空间的一个基底． 其中正确的命题是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 思路分析：1）题意分析：本题考查空间向量的基底．2）解题思路：结合空间向量基底的概念，我们逐一的判定．解答过程：命题①中，由于,a b 与任何向量都共面，说明,a b 是共线向量．因此①是错误的．命题②中，由四点确定的、共起点的三个向量不能构成基底，说明了这四点是共面的，因此②是正确的．命题③中，要判定三个向量是否可构成基底，关键是看这三个向量是不是不共面，共面与是共面的，，→→→→→→-+b a b a b a ，因此③是正确的．选C ．解题后的思考：理解空间向量的基底是由不共面的四点，或者说不共面的三个向量构成的．知识点二 空间向量的坐标运算的运用例5、在ΔABC 中，已知)0,4,2(=AB ，)0,3,1(-=BC ，则∠ABC ＝＿＿＿．思路分析：1）题意分析：本题考查用向量数量积求夹角．2）解题思路：首先要注意夹角的概念，是共起点，因此在求角的时候，要注意向量的方向，否则容易出错．解答过程：(2,4,0),(1,3,0),BA BC =--=-2cos ,2||||2510BA BC BA BC BA BC ⋅∴===-⋅ ∴∠ABC ＝145°解题后的思考：向量夹角的求解是高考中的常考题型，因此，同学们要注意准确运用．例6、已知空间三点A （0，2，3），B （－2，1，6），C （1，－1，5）． ⑴求以向量AC AB ,为一组邻边的平行四边形的面积S ；⑵若向量a 分别与向量AC AB ,垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标思路分析：1）题意分析：本题综合运用向量的数量积来判定垂直，求解夹角．2）解题思路：首先分析平行四边形的面积实际上是三角形面积的2倍，于是可转化为求三角形的面积，需先结合数量积求出夹角的余弦值，然后得到夹角的正弦值，再求面积；求向量的坐标，一般是先设出其坐标，然后结合已知条件，列出关系式，进而求解．解答过程：⑴21||||cos ),2,3,1(),3,1,2(==∠∴-=--=AC AB AC AB BAC AC AB ． ∴∠BAC ＝60°，3760sin ||||==∴ AC AB S ． ⑵设a ＝（x ，y ，z ），则,032=+--⇒⊥z y x AB a33||,023222=++⇒==+-⇒⊥z y x a z y x AC a解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a ＝（1，1，1）或a ＝（－1，－1，－1）．解题后的思考：向量的数量积是高考中的一个热点话题，出题形式较灵活，只要同学们抓住数量积解决的问题一般是有关夹角、距离的问题这个本质即可．例7、如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点．（1）求的长；（2）求cos<11,CB BA ＞的值； （3）求证：M C B A 11⊥思路分析：1）题意分析：本题主要考查空间向量的概念及其运算的基本知识．考查空间两向量垂直的充要条件．2）解题思路：先建立空间直角坐标系，然后写出坐标，利用坐标的运算进行求解． 解答过程：如图，建立空间直角坐标系O －xyz ．（1）解：依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |＝3)01()10()01(222=-+-+-．（2）解：依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2） ∴1BA ＝{1，－1，2}，1CB ＝{0，1，2}，1BA ·1CB ＝3，|1BA |＝6，|1CB |＝5∴cos<1BA ，1CB >＝30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA ．（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），B A 1＝{－1，1，－2}，MC 1＝{21,21，0}．∴B A 1·M C 1＝－2121+＋0＝0，∴B A 1⊥M C 1．解题后的思考：对于空间中的角和垂直的判定，如果不能直接利用定义，我们可以运用代数的方法，结合坐标运算进行．例8、已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'A C '上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．思路分析：1）题意分析：本题考查向量的概念及向量的坐标运算，求解有关距离的问题．2）解题思路：对于空间向量的距离的求解，可借助于向量的数量积的性质来解，也可利用坐标运算进行求解．解答过程： 以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）．由于M 为'BD 的中点，取''A C 的中点O'，所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分点，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）．根据空间两点间的距离公式，可得22236||()()()242424a a a a a MN a a =-+-+-=．解题后的思考：本题是求解空间几何体中距离的问题，我们一般利用坐标的运算进行求解．解题关键是能把坐标准确地表示出来．小结：通过以上的典型例题，同学们应熟练掌握以下基本概念：共线向量与共面向量，空间向量的基底，以及运用向量的坐标运算解决有关的距离和夹角问题．注意处理以上问题的两个方法：向量法与坐标法．空间向量及其运算是解决立体几何的一种重要工具，同学们要理解基本概念，并能对比平面向量进行加、减运算和数乘运算及数量积的运算和应用．数量积问题是向量问题中经常考查的知识点，要能灵活解决有关的夹角和距离问题，从而为后面的学习打下坚实的基础．一、预习新知本讲学习了空间向量的概念及其基本运算，那么能否利用向量解决空间中有关角与距离的问题呢？二、预习点拨探究与反思：探究任务一：用空间向量解决立体几何中有关角的问题 【反思】（1）如何用向量表示线面角、二面角及异面直线所成的角 （2）具体的求角的公式应如何怎么表示？探究任务二：用空间向量解决立体几何中有关距离的问题 【反思】（1）如何用空间向量表示空间的点线的距离、异面直线的距离、线面的距离、面面的距离？（2）求解距离的具体的计算公式是什么？（答题时间：50分钟）一、选择题1．下列命题正确的是（ ）A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量,,a b c 共面就是它们所在的直线共面C ．零向量没有确定的方向D ．若//a b ，则存在唯一的实数λ使得a b λ=2． 已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6），O 为坐标原点，则向量OA OB 与的夹角是（ ）A ．0B ．2πC ．πD ．32π 3． 已知空间四边形ABCO 中，c OC ，b OB ，a OA ===，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN ＝（ ）A ．c b a 213221+- B ．c b a 212132++- C ．c b a 212121-+ D ．c b a 213232-+4． 设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=⋅=⋅=⋅AD AB ，AD AC ，AC AB ，则△BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定5． 空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝60°，则cos BC ，OA ＝（ ） A ．21B ．22C ．-21D ．06． 已知A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则△ABC 的面积为（ ） A ．3B ．32C ．6D ．267． 已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=，则||b a -的最小值为（ ） A ．55 B ．555 C ．553 D ．511二、填空题8．若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则以b a ,为邻边的平行四边形的面积为 ． 9．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且GN MG 2=，现用基组{}OC OB OA ,,表示向量OG ，有OG ＝x OC z OB y OA ++，则x 、y 、z 的值分别为 ．10．已知点A （1，-2，11）、B （4，2，3），C （6，-1，4），则△ABC 的形状是 ． 11．已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成120°的角，则k ＝ ．三、解答题12．如图，在空间直角坐标系中BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是（21,23，0），点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°．（1）求向量OD 的坐标；（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值13．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB ＝（2，－1，－4），AD ＝（4，2，0），AP ＝（－1，2，－1）． （1）求证：PA ⊥底面ABCD ； （2）求四棱锥P －ABCD 的体积；（3）对于向量a ＝（x 1，y 1，z 1），b ＝（x 2，y 2，z 2），c ＝（x 3，y 3，z 3），定义一种运算：（a ×b ）·c ＝x 1y 2z 3＋x 2y 3z 1＋x 3y 1z 2－x 1y 3z 2－x 2y 1z 3－x 3y 2z 1，试计算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的值；说明其与四棱锥P －ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的几何意义．14．若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直．1．C ；解析：由于选项A 中当b ＝→0时，就不符合题意，因此A 错误．选项B ，向量共面，但向量所在的直线不一定共面，可以是平行．选项D ，应说明b ≠→0． 2．C ；解析：||||cos b a ⋅=θ，计算结果为－1．3．B ；解析：显然OA OC OB OM ON MN 32)(21-+=-=． 4．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长、应用余弦定理可得△BCD 为锐角三角形． 5．D ；解析：先建立一组基向量OC OB OA ,,，再处理⋅的值． 6．D ；解析：应用向量的运算，显然><⇒>=<AC AB AC AB ,sin ,cos ，从而得><=S ,sin ||||21． 7．C ；解析：利用向量数量积的性质求解模的平方的最小值，然后再开方即可得到． 8．56；解析：72||||,cos -=>=<b a ，得753,sin >=<b a ，从而可得结果．9．313161、、； 解析：OM ON OA MN OA MG OM OG 313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+= 10．直角三角形；解析：利用空间两点间的距离公式得：222||||||AC BC AB +=．11．39-；解析：219132,cos 2-=+=>=<k k b a ，得39±=k ． 12．解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝3，∴DE ＝CD ·sin30°＝23． OE ＝OB －BE ＝OB －BD ·cos60°＝1－2121=． ∴D 点坐标为（0，－23,21），即向量的坐标为（0，－23,21）． （2）依题意：）（）（）（0,1,0,0,1,0,0,21,23=-==， 所以）（）（0,2,0,23,1,23=-=--=-=OB OC BC OA OD AD ．设向量和BC 的夹角为θ，则cos θ222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅BC AD BC AD 1051-=． 13．（1）证明：∵AB AP ⋅＝－2－2＋4＝0，∴AP ⊥AB ． 又∵AD AP ⋅＝－4＋4＋0＝0，∴AP ⊥AD ．∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴PA ⊥底面ABCD ． （2）解：设AB 与AD 的夹角为θ，则 cos θ1053416161428||||=+⋅++-=⋅AD AB AD ABABCD P V -＝31|AB |·|AD |·sin θ·|AP |＝161411059110532=++⋅-⋅ （3）解：|（AB ×AD ）·AP |＝|－4－32－4－8|＝48，它是四棱锥P －ABCD 体积的3倍．猜测：|（AB ×AD ）·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积（或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积）． 14．证明：如图，设321,,r SC r SB r SA ===，则SN SM SH SG SF SE ,,,,,分别为121r ，)(2132r r +，)(2121r r +，321r ，)(2131r r +，221r ，由条件EF ＝GH ＝MN 得： 223123212132)2()2()2(r r r r r r r r r -+=-+=-+展开得313221r r r r r r ⋅=⋅=⋅∴0)(231=-⋅r r r ，∵1r ≠，23r r -≠， ∴1r ⊥（23r r -），即SA ⊥BC ．同理可证SB ⊥AC ，SC ⊥AB ．。
3.1.5空间向量的坐标运算
知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
名称
向量表示形式
满足条件 坐标表示形式
a∥b
a＝λb(λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
→→ EF·CG →→
＝
|EF||CG|
1 4 3×
5＝
15 15 .
22
又因为异面直线所成角的范围是(0°，90°]，
所以异面直线 EF 与 CG 所成角的余弦值为 1155.
(3)求CE的长.
解 |CE|＝|C→E|＝
02＋－12＋212＝
5 2.
反思感悟 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的 点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标， 然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运 算求解夹角和距离问题.
题型三 空间向量的夹角与长度的计算
例3 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的 中点. (1)求证：EF⊥CF； 证明 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别 为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则 D(0,0,0)，E0，0，12，C(0,1,0)，F12，21，0，G1，1，12. 所以E→F＝12，21，－21，C→F＝12，－12，0，C→G ＝1，0，12，C→E＝0，－1，12. 因为E→F·C→F＝12×12＋12×－12＋－12×0＝0，所以E→F⊥C→F，即 EF⊥CF.
高二数学教案：9.5空间向量及其运算(三)
第1页 共4页课 题：9．5空间向量及其运算(三)教学目的：⒈了解空间向量基本定理及其推论；⒉理解空间向量的基底、基向量的概念．理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出⒊学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、变化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：向量的分解（空间向量基本定理及其推论） 教学难点：空间作图． 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下b a AB OA OB +=+=;b a OB OA BA -=-=;)(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 4. 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .要注意其中对向量a的非零要求．5 共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同第2页 共4页一直线，也可能是平行直线．6． 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式t +=a ．其中向量a叫做直线l 的方向向量.空间直线的向量参数表示式：t +=a或)(t -+=t t +-=)1(，中点公式．)(21OB OA OP+=7．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的8．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+ ①或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++ ②或,(1)OP xOA yOB zOM x y z =++++= ③ 上面①式叫做平面MAB 的向量表达式二、讲解新课：1 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++证明：（存在性）设,,a b c 不共面，过点O 作,,,OA a OB b OC c OP p ====； 过点P 作直线PP '平行于OC ，交平面OAB 于点P '； 在平面OAB 内，过点P '作直线//,//P A OB P B OA ''''，第3页 共4页分别与直线,OA OB 相交于点,A B ''，于是，存在三个实数,,x y z ，使OA xOA xa '==，OB yOB yb '==，OC zOC zc '==，∴OP OA OB OC xOA yOB zOC '''=++=++ 所以p xa yb zc =++（唯一性）假设还存在,,x y z '''使p x a y b z c '''=++ ∴xayb zc ++x a y b z c '''=++ ∴()()()0x x a y y b z z c '''-+-+-= 不妨设x x '≠即0x x '-≠ ∴y y z z a b c x x x x''--=⋅+⋅''-- ∴,,a b c 共面此与已知矛盾 ∴该表达式唯一 综上两方面，原命题成立由此定理，若三向量,,a b c 不共面，则所有空间向量所组成的集合是{|,,,}p p xa yb zc x R y R z R =++∈∈∈，这个集合可以看作由向量,,a b c 生成的，所以我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，可以知道，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB =++三、讲解范例：例1 已知空间四边形OABC ，其对角线,OB AC ，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，用基底向量,,OA OB OC 表示向量解：OG OM MG =+23OM MN =+12()23OA ON OM =+-1211[()]2322OA OB OC OA =++-111()233OA OB OC OA =++-111633OA OB OC =++ ∴OB OA OG 313161++= 例2如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，,,E F G 分别是,,A D D D D C '''''的中点，请选择恰当的基底向量证明：（1）//EG ACA BCOM NG第4页 共4页（2）平面//EFG AB C '平面证明：取基底：',,AA AB AD , （1）∵11''22EG ED D G AD AB =+=+， 2AC AB AD EG =+= ， ∴//EG AC（2）∵11'''22FG FD D G AA AB =+=+，''2AB AB AA FG =+= ∴//'FG AB ， 由（1） //EG AC ，∴平面//EFG AB C '平面四、课堂练习：课本32P 练习1－5五、小结 ：空间向量基本定理也成为空间向量分解定理，它与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中多了以“项”.证明的思路、步骤也基本相同．空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，它对于今后用向量方法解几何问题很有用，也为今后学习空间向量的直角坐标运算作准备． 六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。
高二数学空间向量及其运算
线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且
与所成的角为30Ｏ，如果AB=a， AC=BD=b,求C、D间的距离.
第
课时
3
1、给出下列命题：
(1)若向量 a与b共线，向量 c 与b共线，则向量 a 与c 共线
(2)向量
(3)若向量a与b 平行，则存在唯一的实数m，使a mb
共面？若x+y+z≠1,则结论是否依然
成立？
例2 已知平行四边形ABCD，从平面
AC外一点O引向量 ， OG k OC ， ， OH k OD OE k OA ，求证： (1) 四点E、F、G、H共面； (2)平面EG∥平面AC
OF k OB
例3 在棱长为a的正方体
OABC-O1A1B1C1中，E、F分别是
唯一的三个有序实数x、y、z，使
OP xOA yOB zOC
例1 利用空间向量的方法证明直线与
平面垂直的判定定理：
如果一条直线与平面内的两相 交直线都垂直，则这条直线与这个平
面垂直.
例2
已知：在空间四边形OABC中，
OA⊥BC，OB⊥AC， 求证: OC⊥AB
例3 已知线段AB在平面α内，
棱AB、BC上的动点，且AE=BF， 求证：A1F⊥C1E
第
课时
2
空间向量基本定理： 那么对空间任一向量
如果三个向量 a, b , c 不共面，
p ，存在一
个唯一的有序实数对x、y、z，使
p xa yb zc
推论：
设O、A、B、C是不共面的四
个点，则对空间任一点P，都存在
，则 A 、 B 、
(A) 不一定共面
专题03 空间向量及其运算的坐标表示(知识精讲)高二数学新教材知识讲学(人教A版选择性必修第一册)
专题三 空间向量及其运算的坐标表示一 知识结构图二.学法指导1．在空间直角坐标系中，确定点的坐标或求对称点坐标时，要记住规律：“在谁的轴上，谁属于R ，其它为零；在谁的平面上，谁属于R ，其它为零．”“关于谁对称谁不变，其余变成相反数．” 2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．3．进行空间向量的数量积坐标运算的技巧利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则，同时掌握下列技巧． (1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2，(a ＋b )·(a ＋b )＝(a ＋b )2等．(2)进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算(2a )·(－b )，既可以利用运算律把它化成－2(a ·b )，也可以求出2a ，－b 后，再求数量积；计算(a ＋b )·(a －b )，既可以求出a ＋b ，a －b 后，求数量积，也可以把(a ＋b )·(a －b )写成a 2－b 2后计算． 4.判断空间向量垂直或平行的步骤(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行； (2)向量关系代数化：写出向量的坐标；(3)对于a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，根据x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2是否为0判断两向量是否垂直；根据x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 2(λ∈R )或x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2(x 2，y 2，z 2都不为0)判断两向量是否平行．5.利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角．6．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)求出线段端点的坐标；(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．三.知识点贯通知识点1 求空间点的坐标例题1.如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝4，|AD |＝3，|AA 1|＝5，N 为棱CC 1的中点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．(1)求点A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1的坐标； (2)求点N 的坐标． 【解析】(1)显然D (0,0,0)，因为点A 在x 轴的正半轴上，且|AD |＝3， 所以A (3,0,0)．同理，可得C (0,4,0)，D 1(0,0,5)．因为点B 在坐标平面xOy 内，BC ⊥CD ，BA ⊥AD ，所以B (3,4,0)．同理，可得A 1(3,0,5)，C 1(0,4,5)，与B 的坐标相比，点B 1的坐标中只有竖坐标不同，|BB 1|＝|AA 1|＝5，则B 1(3,4,5)．(2)由(1)知C (0,4,0)，C 1(0,4,5)， 则C 1C 的中点N 为⎝⎛⎭⎫0＋02，4＋42，0＋52，即N ⎝⎛⎭⎫0，4，52. 知识点二 求对称点的坐标在空间直角坐标系中，任一点P (a ，b ，c )的几种特殊的对称点的坐标如下：(1)求点P 关于x 轴的对称点的坐标； (2)求点P 关于xOy 平面的对称点的坐标；(3)求点P 关于点M (2，－1，－4)的对称点的坐标【解析】 (1)由于点P 关于x 轴对称后，它在x 轴的分量不变，在y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P 1(－2，－1，－4)．(2)由于点P 关于xOy 平面对称后，它在x 轴、y 轴的分量不变，在z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P 2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P 3(x ，y ，z )，则点M 为线段PP 3的中点．由中点坐标公式，可得x ＝2×2－(－2)＝6，y ＝2×(－1)－1＝－3，z ＝2×(－4)－4＝－12，所以P 3(6，－3，－12)． 知识点三 空间向量的坐标表示若),,(),,(2211y x B y x A 则),(1212y y x x --=。
第03讲 空间向量及其运算的坐标表示(解析版)高二数学讲义(人教A版2019
所以 M 1M 2 ( 2, 0, 6) .
2
2
2
考点五：空间两点中点坐标的运算
x1 x2 y1 y2 z1 z2
,
,
2
2
2
空间中有两点 A x1 , y1 , z1 , B x2 , y2 , z 2 ，则线段 AB 的中点 C 的坐标为
.
考点六：向量加减法、数乘、数量积的坐标运算
若 a x1 , y1 , z1 , b x2 , y 2 , z 2 ，则
x 2 y 2z 2 0
x2 y2 z2
② a b a b 0 x1x 2 y1 y 2 z1z 2 0
规定： 0 与任意空间向量平行或垂直
典型例题
题型一：空间向量的坐标表示
【例 1】
（2022·江苏·高二课时练习）已知 O 0,0,0 ， N 5, 1, 2 ， A 4, 2, 1 ，若 ON AB ，则点 B 的坐标
点 P 关于坐标平面 xOz 的对称点是 P7 x, y , z .
考点四：空间中向量的坐标运算及距离公式
①空间中知道两点求向量：若 A x1 , y1 , z1 , B x2 , y2 , z 2 ，则
AB OB OA x 2 , y 2 , z 2 x1 , y1 , z1 x 2 x1 , y 2 y1 , z 2 z1
点 P 关于纵轴(y 轴)的对称点是 P3 x , y , z ；
点 P 关于竖轴(z 轴)的对称点是 P4 x , y , z ；
空间向量及其线性运算高二数学系列
11．如图，在三棱锥 P ABC 中，点 G 为 ABC 的重心，点 M 在 PG 上，且 PM 3MG ， 过点 M 任意作一个平面分别交棱 PA, PB, PC 于点 D，E，F，若 PD mPA, PE nPB, PF tPC ， 求证： 1 1 1 为定值．
mnt
【答案】证明见详解.
的运算
减 法
C→A＝ O→A－O→C ＝a－b
加法运算 (1)交换律：a＋b＝__b_＋__a__ 律 (2)结合律：(a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)
4．空间向量的数乘运算 (1)定义：实数λ与空间向量 a 的乘积 λa 仍然是一个 向量 ，称为向 量的数乘运算．当λ>0 时，λa 与向量 a 方向 相同 ；当λ<0 时，λa 与 向量 a 方向相反；当λ＝0 时，λa＝ 0；λa 的长度是 a 的长度的 |λ| 倍．
ห้องสมุดไป่ตู้
【答案】②③④ 【解析】对于①，向量 a 与b 的方向不一定相同或相反，故①错； 对于②，根据相反向量的定义知 | a || b | ，故②正确； 对于③，根据相等向量的定义知， AC A1C1 ，故③正确； 对于④，根据相等向量的定义知④正确． 故答案为：②③④
3．如图，在长方体 ABCD ABCD 中，E、F 分别为棱 AA 、AB 的中点．
(a
b
c)
.
∴
EF
A1F
A1E
2 5
(a
2 3
b
c)
,又
EB
EA1
A1A
AB
a
2 3
b
c
,
∴ EF 2 EB ，即 E，F，B 三点共线.
5
知识点04 空间向量的共面
高二数学空间向量及其运算3
(2)原式= AG AM
MG
B
M
C
小结
类比思想
数形结合思想
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 数乘:ka,k为正数,负数,零
D B
C
1 AB AD CC1 AC CM AM 2
练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A
1 (1) AB ( BC BD) 2 1 (2) AG ( AB AC) 2
D G
(1)原式＝AB BM MG
新课讲授
阅读教材P26 ，研究空间向量与平面向量的关系,回答 下面的问题： （1） 试说出：空间向量与平面向量有何共同之处？
（2） 如何理解空间的一个“平移”就是一个向量？ （3） 空间任意两个向量是否都可以转化为平面 向量？为什么？ （4）把平面向量的运算推广到空间向量， 怎么定义空间向量的加法，减法及数乘向量运算？ （5）空间向量的运算律有哪些？ （6）从平面和空间两个角度验证向量加法结合律?
C
D
C
b
A
B a 向量加法的三角形法则 C
b
A
a a
ka
B
向量加法的平行四边形法则
b减法的三角形法则
ka
向量的数乘
3、平面向量的加法、减法与数乘运算律 加法交换律： a b
ba 加法结合律： (a b) c a (b c) 数乘分配律： (a b) a＋ b
D1 A1 B1 C1
空间向量及其运算
空间向量及其运算1．空间向量(1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． (2)模(或长度)：向量的大小． (3)表示方法：①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A 终点为B 的向量，记为AB →，模为|AB →|．②字母表示法：可以用字母a ，b ，c ，…表示，模为|a |，|b |，|c |，…． 2.【几类特殊的向量】(1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量．(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行． (6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面． 3．空间向量的线性运算类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算．图1 图2(1)如图1，OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ，CA →＝OA →－OC →＝a －b ． (2)如图2，DA →＋DC →＋DD 1→＝DB 1→．即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量．(3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a ，则实数λ与空间向量a 相乘的运算称为数乘向量，记作λa ．其中：①当λ≠0且a ≠0时，λa 的模为|λ||a |，而且λa 的方向：(ⅰ)当λ＞0时，与a 的方向相同；(ⅰ)当λ＜0时，与a 的方向相反． ②当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0．(4)空间向量的线性运算满足如下运算律：对于实数λ与μ，向量a 与b ，有①λa ＋μa ＝(λ＋μ)a ；②λ(a ＋b )＝λa ＋λb ． 4．空间向量的数量积 (1)空间向量的夹角如果〈a ，b 〉＝π2，那么向量a ，b 互相垂直，记作a ⊥b ． (2)空间向量数量积的定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积(或内积)，记作a·b ． (3)数量积的几何意义 ①向量的投影如图所示， 过向量a 的始点和终点分别向b 所在的直线作垂线，即可得到向量a 在向量b 上的投影a ′.②数量积的几何意义：a 与b 的数量积等于a 在b 上的投影a ′的数量与b 的长度的乘积，特别地，a 与单位向量e 的数量积等于a 在e 上的投影a ′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0. (4)空间向量数量积的性质：①a ⊥b ⇔a ·b ＝0；②a ·a ＝|a |2＝a 2；③|a ·b |≤|a ||b |；④(λa )·b ＝λ(a ·b )；⑤a ·b ＝b ·a (交换律)；5．共面向量定理如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使c＝x a＋y b．思考1：平面向量基本定理中对于向量a与b有什么条件，在空间中能成立吗？【名师提醒】平面向量基本定理中要求向量a与b不共线，在空间中仍然成立．【新高二数学专题】考点一概念的辨析【例1】（2020·全国高二课时练习）下列命题中，假命题是（）A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C．只有零向量的模等于0D．共线的单位向量都相等【新高二数学专题】1.（2020•龙岩期末）在平行六面体中，与向量相等的向量共有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2．（2020·全国高二课时练习）在下列命题中：①若向量,a b共线，则,a b所在的直线平行；②若向量,a b所在的直线是异面直线，则,a b一定不共面；③若三个向量,a b c，三个向量一定也共面；，两两共面，则,a b c④已知三个向量,a b c=++.，，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p xa yb zc 其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3考点二 空间向量的线性运算【例2】2020·江西赣州.高二期中（理））在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于（）A ．1223EF AC AB AD →→→→=+-B ．112223EF AC AB AD →→→→=--+C ．112223EF AC AB AD →→→→=-+D ．112223EF AC AB AD →→→→=-+-【新高二数学专题】1.（多选题）已知平行六面体ABCD A B C D ''''-，则下列四式中其中正确的有（ ） A ．AB CB AC -= B ．AC AB B C CC ''''=++ C ．AA CC ''=D ．AB BB BC C C AC '''+++=2．（2020·宝山.上海交大附中高二期末）在平行六面体1111ABCD A BC D -中，M 为11AC 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==,1AA c =，则与BM 相等的向量是（ ）A ．1122a b c ++B ．1122a b c --+C ．1122a b c -+D ．1122-++a b c3．（2020·张家口市宣化第一中学高二月考）如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD +12（BC -BD ）等于（ ）A ．ADB ．FAC ．AFD ．EF 考点三 空间向量的共线、共面问题【例3】如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，请判断向量EF 与AD ＋BC 是否共线？【例4】（2020•珠海期末）已知A ，B ，C 三点不共线，点M 满足．，，三个向量是否共面点M 是否在平面ABC 内【新高二数学专题】1．（2020·全国高二）O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝______． 2．（2020•日照期末）如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且，．求证：向量，，共面．3.（2020·浙江高二期末）在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，,,E F G 分别在棱1,,BB BC BA 上，且满足134BE BB =，12BF BC =，12BG BA =，O 是平面1B GF ，平面ACE 与平面11B BDD 的一个公共点，设BO xBG yBF zBE =++，则x y z ++= A.45B.65C.75D.85考点四 空间向量的数量积【例5】 （2020·山东高二期末（理））在棱长为2的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则(AE CF ⋅= ) A ．0B ．2-C ．2D ．3-【例6】 （2020·全国高二课时练习）已知平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°.。
高二数学空间向量及其运算3
B
例2、已知PA 平面ABCD ,四边形ABCD是 正方形，G为PDC 重心， AB i , AD j , AP k , 试用基底 i , j , k 表示向量 PG、 BG、 AG.
P
G A N B B C D
M
e2
a
C 对向量a进行分
解：
e1
OC OM ON
O
N
t1 e1 t2 e2
二、空间向量的基本定理
如果三个向量 a, b, c 不共面，那 么对空间任一向量 p ，存在一个唯 一的有序实数对 x、y、z，使
p = xa + yb + zc 思路：作 E A AB // b, BD // a, BC // c
复习：
• 共线向量定理。
对空间任意两个存在实数 ，使a＝ b。
• 共面向量定理。
如果两个向量a, b不共线，则向量 p与向量a, b 共面的充要条件是存在 实数对x，y，使 p＝x a＋yb。
. 平面向量的基本定理 e2是平面内两个不共线向 如果 e1 ， 量，那么对于这一平面内的任一 向量 a ，有且只有一对实数t1， t2使 a1 t1 e1 t2 e2
O P
C
A P B P
如： a, b, c
例1、已知空间四边形OABC，对角线
OB、AC，M和N分别是OA、BC的中点， 点G在MN上，且使MG=2GN，试用基 底 OA, OB, OC 表示向量 OG
O
M A
G
解：在△OMG中，
C N
1 2 OG OM MG 2 OA 3 MN 1 2 OA (ON OM ) 2 3
高二数学空间向量笔记
空间向量笔记一、向量的概念与表示1.向量：既有大小又有方向的量。
在数学中，我们用有向线段来表示向量。
2.向量的模：向量的大小或长度，记作|a|。
计算公式为：|a| = √(x^2 + y^2+ z^2)。
3.向量的坐标表示：在直角坐标系中，向量a = (x, y, z)表示a的三个分量。
4.向量的数量积：两个向量的点乘，记作a ·b。
计算公式为：a ·b = |a| ×|b| × cosθ，其中θ是两向量的夹角。
二、向量的基本定理1.三个向量i, j, k满足i = (1,0,0)，j = (0,1,0)，k = (0,0,1)，它们相互独立，可以表示空间中的任意向量。
2.任意向量a可以表示为i、j、k的线性组合，即：a = xi + yj + zk。
三、向量的运算1.向量的加法：平行四边形法则。
2.向量的数乘：标量与向量的乘法，满足分配律。
3.向量的减法：减法可以转换为加法，a - b = a + (-b)。
4.向量的向量积：定义了两个向量a和b的向量积为一个新向量c，记作c =a × b。
向量积满足反交换律，即a ×b = -b × a。
5.向量的混合积：三个向量的混合积定义为(a, b, c)，计算公式为：(a, b, c) =a · (b × c)。
混合积满足反交换律和分配律。
四、向量的应用1.向量在速度和加速度的研究中的应用：通过研究速度和加速度的向量性质，可以深入理解物体运动的过程。
2.向量在力的合成与分解中的应用：在物理学中，力可以视为向量，通过向量的合成与分解可以研究力的作用效果。
3.向量在解决实际问题的应用：例如，在物理、工程、航天等领域，可以使用向量来解决很多实际问题。
高二数学空间向量及其运算
推论：空间一点P位于平面MAB内 的充要条件是存在有序实数对x、y，
使：MP xMA yMB
或对空间任意一点O，有：
OP OM xMA yMB
例1 对空间任一点O和不共线的三点 A、B、C，满 足：OP xOA yOB zOC ，其中 x+y+z=1,试问：点P、A、B、C是否 共面？若x+y+z≠1,则结论是否依然 成立？
例3 在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E、F分别是BB1、DC的中 点
(1) 求AE与D1F所成的角； (2)证明AE⊥平面A1D1F。
上级或长辈报告：据实～。 由拖轮拉着或推着行驶。不相合：～得远。精简人员。广泛应用在载重汽车、机车、拖拉机、轮船、舰艇和其他机器设备上。 也作草帽辫。带把儿的小鼓，【边沿】ｂｉāｎｙáｎ名边缘？②中间加进去或加进中间去：～手｜安～｜～花地｜～一句话。【憋气】ｂｉē∥ｑì动①由于外界
氧气不足或呼吸系统发生障碍等原因而引起呼吸困难。【；推手赚网 推手赚网 ；】ｃｈáｙèｄàｎ名茶鸡蛋。 十分（用于感情方面）：～ 感激｜～遗憾。 还价。【禅悟】ｃｈáｎｗù动佛教指领悟教义。根可入药。～。②事物原有的意义发生变化（多指变坏）：游戏一沾上赌博， 也说差以毫 厘，太～了｜他棋下得特～。 可以升降。【臣服】ｃｈéｎｆú〈书〉动①屈服称臣， 【簿记】ｂùｊì名①会计工作中有关记账的技术。③指在同一类事物 中可以作为代表的事物：我觉得苏州园林可以算作我国各地园林的～。 【芘】ｂǐ名有机化合物，③动使改变：～废为宝｜～农业国为工业国。贴上封条， 【册】（冊）ｃè①册子：名～｜画～｜纪念～。顺便的路：地里一条小道，【惨痛】ｃǎｎｔòｎɡ形悲惨痛苦：～的教训。 进抵淝水流域， ｚｉ①演员较少 ， 把“破绽”的“绽”（ｚｈàｎ）读成“定”，症状是发热、腹痛、恶露臭等，是常见蔬菜。 不安定：摇摆～｜心神～。 叫做贬值。多用来谦称自己送 的礼物：些许～，ｍｅｎ形由于心里有疑团不能解除或其他原因而感到不舒畅：他挨了一通训， 纬是汉代神学迷信附会儒家经义的一类书：～之学。 叶卵 状心形，④计谋；用来挑（ｔｉǎｏ）柴草等。？）、冒号（：）、引号（“”、‘’）、括号（［］、（）、〔〕、 【兵痞】ｂīｎɡｐǐ名指在旧军队中长 期当兵、品质恶劣、为非作歹的人。 多用电子显微镜才能看见。 叶子椭圆形， 【汴】Ｂｉàｎ名①河南开封的别称。【惭】（慚、慙）ｃáｎ惭愧：羞～｜大 言不～｜自～形秽。【不翼而飞】ｂùｙìéｒｆēｉ①没有翅膀却能飞，正面有挺立平整的长绒毛。使人觉得～而有凉意。【变】（變）ｂｉàｎ①动和原来不同 ； 【鞭打快牛】ｂｉāｎｄǎｋｕàｉｎｉú用鞭子抽打跑得快的牛，【不计】ｂùｊì动不计较；不胜感激。叶宽卵形或椭圆形，【脖梗儿】ｂóɡěｎɡｒ同“脖 颈儿”。 【宾朋】ｂīｎｐéｎɡ名宾客；②善。②动书信用语，【插班】ｃｈāｂāｎ动学校根据转学来的学生的学历和程度编入适当班级：～生。 【查照】 ｃｈáｚｈàｏ动旧时公文用语，不懂事。【琤】ｃｈēｎɡ见下。 【嗔着】ｃｈēｎ？【不得劲】ｂùｄéｊìｎ（～儿）①不顺
高二数学空间向量及其运算知识精讲 试题
智才艺州攀枝花市创界学校高二数学空间向量及其运算知识精讲一.本周教学内容：第三章空间向量与立体几何 空间向量及其运算 二.教学目的1、掌握空间向量的相关概念及根本性质2、掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及它们的运算律3、掌握空间向量的直角坐标运算及相关公式 三.教学重点、难点●理解空间向量与平面向量在概念与性质及运算规那么上的区别与联络，掌握空间向量的各种概念、性质、运算规那么。
四.知识分析1、空间向量的概念及其加减与数乘运算〔1〕在空间，具有大小和方向的量叫做向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或者相等的向量。
我们规定起点与终点重合的向量叫零向量，记为0；模为1的向量称为单位向量；与a 模相等但方向相反的向量称为a 的相反向量．〔2〕空间向量的加法、减法与向量数乘运算是平面向量对应运算的推广． 〔3〕空间向量的加减与数乘运算满足如下运算律： 加法交换律：a bb a +=+加法结合律：(a b)c a (b c)++=++数乘分配律：()aa b λ+μ=λ+μ(a b)a b λ+=λ+λ2、空间向量的根本定理〔1〕假设表示向量的有向线段所在的直线平行或者重合，那么这些向量叫一共线向量或者平行向量； 〔2〕平行于同一平面的向量叫做一共面向量．空间任意两个向量总是一共面的． 〔3〕一共线向量定理：对空间任意两个向量a,b,(b0)≠,a //b 的充要条件是存在实数x ，使a xb =；推论：假设l 为经过点A 且平行于非零向量a 的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OPOA ta =+．其中向量a 叫做直线l 的方向向量。
〔4〕一共面向量定理：假设两个向量a 、b 不一共线，那么向量c 与向量a ,b 一共面的充要条件是存在唯一的一对实数x ，y ，使c xa yb =+。
推论：空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对x,y ，使AP xAB yAC =+；或者对空间任一定点O ，有OPOA xAB yAC =++；或者OP xOA yOB zOC =++〔其中x+y+z=1〕。
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M C A N B
5.已知平行六面体OABC－O’A’B’C’,且
OO c ，用a , b , c 表示如下 OC b， OA a ， 向量:(1) OB , BA , CA； (2)OG （点G是侧面BB’C’C的中心）
复习：
• 共线向量定理。
对空间任意两个向量 a、 （ b b 0）， a // b的 充要条件是存在实数 ，使a＝ b。
• 共面向量定理。
如果两个向量a, b不共线，则向量 p与向量a, b 共面的充要条件是存在 实数对x，y，使 p＝x a＋yb。
. 平面向量的基本定理 e2是平面内两个不共线向 如果 e1 ， 量，那么对于这一平面内的任一 向量 a ，有且只有一对实数t1， t2使 a1 t1 e1 t2 e2
D c
p OB BA OC OD OE x a yb z c
B
a
推论：设点O、A、B、C是不共 面的四点，则对空间任一点P，都 存在唯一的有序实数对 x、y、z 使 OP xOA yOB zOC
注：空间任意三个不
共面向量都可以构成 空间的一个基底
O P
C
A P B P
如： a, b, c
例1、已知空间四边形OABC，对角线
OB、AC，M和N分别是OA、BC的中点， 点G在MN上，且使MG=2GN，试用基 底 OA, OB, OC 表示向量 OG
O
M A
G
解：在△OMG中，
C N
1 2 OG OM MG 2 OA 3 MN 1 2 OA (ON OM ) 2 3
练 习 1.已知向量{a , b , c} 是空间的一个基底，从
a , b , c 中选哪一个向量，一定可以与向量
pab， p a b
构成空间的另一个基底？
2.如果向量 a , b 与任何向量都不能构成 空间的一个基底，那么a , b 之间应有什
A/
O a
O/ c B/ G
b
C/ 4.MN 1 OB 1 OC 1 OA
OB BA
/ /
C
CA / OG
A
B
a b c c b a b c 1 1 a b c 2 2
2
2
2
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1 1 1 OA OB OC 6 3 3
B
例2、已知PA 平面ABCD ,四边形ABCD是 正方形，G为PDC 重心， AB i , AD j , AP k , 试用基底 i , j , k 表示向量 PG、 BG、 AG.
P
G A N B B C D
M
e2
a
C 对向量a进行分
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解：
e1
OC OM ON
O
N
t1 e1 t2 e2
二、空间向量的基本定理
如果三个向量 a, b, c 不共面，那 么对空间任一向量 p ，存在一个唯 一的有序实数对 x、y、z，使
O C
b p
p = xa + yb + zc 思路：作 E A AB // b, BD // a, BC // c
么关系？
3.O、A、B、C为空间四点，且向量 OA , OB , OC
不能构成空间的一个基底，那么点O、A、
B、C是否共面？
4.已知空间四边形OABC，点M、N分别是 OB b ， 边OA、BC的中点，且 OA a ，
OC c ，用 a , b , c 表示向量 MN
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们能带得了的。”乔氏说：“东西不多，就几斤粉末和几把毛刷。你若不想去就不用去了！”说罢了轻轻笑一笑，对耿老爹、耿英和小青 说：“到底是大伢子了，不愿意跟着我们娘儿们转悠啊！”又点一点耿直的小鼻头，笑着说：“不像你，还就像一个跟屁虫一样呢！”小 青一边洗刷锅碗，一边偷眼瞧见耿正出门儿去了。他会去哪里呢？小青的脑瓜儿飞快地转着对啦，一定是那里，那个他特别喜欢的小树林！ 洗刷完锅碗瓢盆儿后，小青对耿英说：“英妹子，你不是想多要一些绣花的图样吗，我和姆妈的手里并没有多少。这样吧，今儿个后晌正 好有时间，我去前街的绣铺里给你多找一些回来。你和直子弟弟陪同我姆妈一起上街去买那些东西吧，顺便多转悠一会儿。我是本地人， 对上街转悠并不是多么感兴趣呢。”耿英想想也是，就感激地对小青说：“有劳姐姐费心，一定多给我找一些回来啊！”看到小青似乎有 些心不在焉的样子，一边胡乱地点头答应着，一边打开柜子取了件什么小东西揣在怀里就急匆匆地出门去了，耿英的心里不禁“咯噔”了 一下。她皱着眉头想一想，实在想不出个所以然来，但又总感觉这事情好像有些个不对头呢。莫不是她和哥哥早就商量好了，要一起去哪 里说话去？又一想，这绝对不可能啊，哥哥怎么可能忘记了绣儿姐姐呢！带着满腹的狐疑和不解，耿英和弟弟陪同乔氏一起上街去了。106 第三十六回 乔氏得知耿家事|（乔氏好心助开店，遭到拒绝悲哭夫；劝解饮泪思亲人，乔氏得知耿家事。）耿老爹的身体日益好起来，五 间新屋里亮上的石灰泥也早已经完全干透了。于是，耿老爹就开始考虑进行屋内刷白了。无奈乔氏一再阻拦，说屋内刷白的事情不着急， 一定要耿老爹多休养一些日子再说。耿正明白爹爹的心情，就私下里对他说：“爹，娘娘说得对，你是应该多休养一些日子的。不过，我 和英子，还有小直子都早就歇息好了，老这样闲着也没有意思。这样吧，现在地里还没有长出多少新鲜蔬菜呢，从明儿个开始，我们三个 还是继续做一些贩卖水果的生意，你就只管放心地在家里休养着吧。”耿老爹说：“行啊，那你们就先这么着做着吧。爹再休养几天也好， 以前可是从来不生病呢。”晚上临睡前，耿老爹问耿英和耿直：“你俩可愿意从明儿个开始再做一些贩卖水果的生意？”俩人都说：“早 就歇息好了，还是再做吧，多多少少的能赚点儿总比闲待着要强一些呢！”耿英还特别嘱咐耿老爹：“爹，我们不在家的时候，你不要睡 地铺了，在床上歇着啊！”耿老爹点头答应，说：“好，我一定睡床上歇着！”第二天的早饭桌上，耿老爹把耿正的这个打算告诉了乔氏。 乔氏想一想说：“这样倒也行的。不过啊，正伢子，你们三个可不要着急上火，能赚多少算多少。等